Penulis : Rahmad AzHaris

Copyright © 2013 pelatihan-osn.com

Cetakan I : Oktober 2012

Diterbitkan oleh :

Pelatihan-osn.com

Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A

Sawangan, Depok, Jawa Barat 16511

Telp. 021-9321 1780

Email : humas@pelatihan-osn.com ; tokobuku@pelatihan-osn.com

Dilarang Keras Mengutip, menjiplak, memfotokopi sebagaian atau seluruh isi buku ini serta

memperjual belikannya tanpa izin tertulis dari pelatihan-osn.com

prakata

Puji syukur penulis sampaikan kepada Allah SWT yang karena berkat rahmat dan hidayatnya penulis

bias merampungkan penyusunan buku “Sukses Menuju Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA”

tepat pada waktunya. Meskipun berbagai halangan yang kami alami dalam proses penyusunannya

tetapi akhirnya buku ini dapat diselesaikan dengan baik.

Dalam penyusunan buku ini, penulis sudah berusaha untuk melakukan yang terbaik. Namun tentu

banyak kekurangan dan kesalahan yang terjadi, sehingga kritik dan masukanakan sangat berguna

bagi penulis sehingga dapat memperbaiki dan menjadi lebih baik di masa mendatang.

Tidak lupa pula penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada pihak-pihak yang

telah membantu sehingga buku ini dapat dirampungkan. Tanpa bantuan mustahil buku ini dapat

diselesaikan dengan baik tepat pada waktunya.

Akhir kata, semoga buku ini dapat berguna bagi pembaca untuk Sukses Menuju Olimpiade Sains

Nasional Bidang Matematika SMA.

Bandung, Februari 2013

Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar

Daftar Isi

Bab 1 Pendahuluan

1.1. Himpunan 1

1.1.1. Definisi 1

1.1.2. Himpunan Bagian 1

1.1.3. Operasi Himpunan 2

1.1.4. Beberapa Identitas Himpunan 2

1.2. Sistem Bilangan 3

1.2.1. Bilangan Asli 3

1.2.2. Bilangan Cacah 3

1.2.3. Bilangan Bulat 3

1.2.4. Bilangan Rasional 3

1.2.5. Bilangan Irrasional 4

1.2.6. Bilangan Real 5

1.2.7. Bilangan Kompleks 5

1.3. Notasi Sigma dan Pi 5

1.3.1. Notasi Sigma 5

1.3.2. Notasi Pi 6

Bab 2 Aljabar

2.1. Polinomal 7

2.2. Fungsi 11

2.2.1. Fungsi Chauchy 14

2.2.2. Fungsi Jensen 16

2.3. Barisan, Deret, dan Rekursif 17

2.3.1. Barisan dan Deret 17

2.3.2. Prinsip Teleskopik 19

2.3.3. Rekursif 20

2.4. Ketaksamaan 23

2.4.1. Konsep Dasar 23

2.4.2. Ketaksamaan QM, AM, GM, HM 24

2.4.3. Ketaksamaan Nesbitt 27

2.4.4. Ketaksamaan Chauchy-Schwarz 27

2.5. Sistem Persamaan 28

2.5.1. Dengan Eliminasi atau Subtitusi 29

2.5.2. Dengan Menggunakan Ketaksamaan 29

2.5.3. Dengan Menggunakan Karakteristik Fungsi 30

2.5.4. Dengan Menggunakan Karakteristik Polinom 30

Soal-Soal Latihan 31

Bab 3 Teori Bilangan 36

3.1. Keterbagian 36

3.2. Uji Habis Dibagi 37

3.3. Bilangan Genap dan Ganjil 38

3.4. Algoritma Pembagian 40

3.5. GCD 41

3.6. LCM 43

3.7. Bilangan Prima 44

3.8. Algoritma Euclidian 47

3.9. Algoritma Stein 47

3.10. Identitas Bezout 48

3.11. Persamaan Diophantine Linear 49

3.11.1. Persamaan Diophantine Linear DuaVariabel 49

3.12. Induksi Matematika 51

3.12.1. Induksi Matematika Biasa 52

3.12.2. Induksi Matematika Kuat 54

3.13. Fungsi Tangga 55

3.13.1. Fungsi Floor 55

3.13.2. Fungsi Ceilling 57

3.13.3. Fungsi Bulat 58

3.13.4. Polignac Formula 58

3.14. Modular Aritmatik 59

3.15. Residu Lengkap 62

3.16. Jumlah dan Banyaknya Pembagi 67

3.16.1. Banyaknya Pembagi Positif Bilangan Asli 67

3.16.2. Jumlah Pembagi Positif 69

3.17. Fungsi Totient Euler 70

3.18. Teorema Kecil Fermat dan Teorema Euler 72

3.18.1. Himpunan Bilangan yang Relatif Prima 72

3.18.2. Teorema Euler 73

3.18.3. Fermat Little Theorem 74

Soal-Soal Latihan 77

Bab 4 Kombinatorik 80

4.1. Kombinatorik Dasar 80

4.1.1. Kaidah Penjumlahan 80

4.1.2. Kaidah Perkalian 80

4.1.3. Permutasi 81

4.1.3.1. Permutasi Boleh Berulang 81

4.1.3.2. Permutasi Tidak Berulang 81

4.1.4. Permutasi Siklik 82

4.1.5. Kombinasi 83

4.1.5.1. Kombinasi Tanpa Perulangan 83

4.1.5.2. Kombinasi dengan Perulangan 83

4.1.6. Binomial Newton 84

4.1.7. Peluang 85

4.1.8. Komplemen Suatu Kejadian 86

4.2. Prinsip Inklusi-Eksklusi 87

4.3. De Moivre Formula 88

4.3.1. Objek Bilangan Asli 88

4.3.2. Objek Bilangan Non negatif 89

4.4. Derangements 90

4.5. Paritas 91

4.6. Multinomial Ekspansion 92

4.7. Pigeon Hole Principle 93

4.7.1. Bentuk Sederhana 93

4.7.2. Bentuk Kuat 93

4.8. Teori Graf 95

4.9. Coloring Proofs 103

Soal-Soal Latihan 105

Bab 5 Geometri 110

5.1. Geometri Analitik 110

5.1.1. Titik dan Garis 110

5.1.1.1. Jarak Antara DuaTitik 110

5.1.1.2. Titik Tengah antara DuaTitik 110

5.1.1.3. Persamaan Garis 111

5.1.1.4. Jarak Titik ke Garis 111

5.1.2. Lingkaran 112

5.2. Geometri Vektor 112

5.2.1. Perkalian dengan Skalar 112

5.2.2. Penjumlahan Vektor 112

5.2.3. Perbandingan Vektor 112

5.2.4. Sifat-Sifat Dasar Vektor 113

5.2.5. Perkalian Skalar Dua Buah Vektor 113

5.3. Trigonometri 113

5.3.1. Perbandingan Geometri 113

5.3.2. Sifat-Sifat Perbandingan Trigonometri 114

5.3.3. Identitas Trigonometri Dasar 114

5.3.4. Rumus Trigonometri Dasar 114

5.4. Geometri Euclid 116

5.4.1. Segitiga 116

5.4.1.1. Luas Segitiga 116

5.4.1.2. Hukum Sinus dan Kosinus 117

5.4.1.3. Teorema Stewart 119

5.4.1.4. Teorema Ceva 119

5.4.1.5. Teorema Menelaos 119

5.4.1.6. Garis Tinggi 120

5.4.1.7. Garis Berat 121

5.4.1.8. Garis Bagi Dalam Segitiga 121

5.4.1.9. Garis Bagi Luar Segitiga 122

5.4.1.10. Garis Sumbu 123

5.4.2. Lingkaran 123

5.4.2.1. Sudut Pusat dan Sudut Keliling 124

5.4.2.2. Segiempat Tali busur 124

5.4.2.3. Titik Kuasa 126

5.4.2.4. Teorema Euler 127

5.4.2.5. Teorema Brahmagupta 127

5.4.3. Segiempat 127

5.4.3.1. JajarGenjang Varignon 127

5.4.3.2. Lingkaran Dalam Segiempat 127

Soal-Soal Latihan 130

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. HIMPUNAN

1.1.1. Definisi

Himpunan adalah kumpulan objek-objek dengan suatu sifat tertentu dan terdefinisi secara jelas.

Contoh: Himpunan semua bilangan ganjil, yaitu ±1, ±3, ±5, ±7 …

Himpunan secara umum disimbolkan dengan huruf kapital 𝐴, 𝐵, 𝐶, … Cara penyajian himpunan :

Misal : 𝐴 =himpunan huruf vokal.

𝐴 = {𝑎, 𝑖, 𝑢, 𝑒, 𝑜}

𝐴 = 𝑥 𝑥 adalah huruf vokal}

𝑥 ∈ 𝐴 : 𝑥 merupakan anggota himpunan 𝐴.

𝑥 ∉ 𝐴 : 𝑥 bukan merupakan anggota himpunan 𝐴.

Banyaknya elemen di dalam himpunan𝐴 dinotasikan dengan 𝑛 𝐴 atau 𝐴 .

Himpunan yang tidak punya elemen disebut himpunan kosong . Dinotasikan dengan ∅ atau { }.

1.1.2. Himpunan Bagian (𝑺𝒖𝒃𝒔𝒆𝒕)

Himpunan 𝐴 dikatakan himpunan bagian dari himpunan 𝐵 jika dan hanya jika setiap elemen 𝐴

merupakan elemen dari himpunan 𝐵.

Dinotasikan dengan 𝐴 ⊆ 𝐵.

Beberapa sifat yaitu :

𝐴 ⊆ 𝐴

∅ ⊆ 𝐴

Dengan kata lain himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

Jika 𝐴 ⊆ 𝐵 dan 𝐵 ⊆ 𝐶 maka 𝐴 ⊆ 𝐶

Banyaknya himpunan bagian dari 𝐴 jika ada 𝑛 elemen adalah 2𝑛

Contoh :

Himpunan bagian dari 𝐴 = {1,2,3,4} yaitu

1,2,3,4 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,3,4 , 2,3,4 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4 , 1 , 2 , 3 , 4 , {}

Ada 24 = 16 himpunan bagian.

BAB 2

ALJABAR

2.1. POLINOMIAL

Definisi :

Polinomial atau suku banyak memiliki bentuk umum yaitu

𝑃 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Dengan 𝑥 merupakan variabel , 𝑛 merupakan bilangan bulat ≥ 0 dan 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 merupakan

konstanta bilangan real.

Contoh :

Polinom derajat 5 :

1

2𝑥5 + 3𝑥4 + 2𝑥 + 2

Lebih lanjut 𝑛 disebut dengan derajat dari polynomial 𝑃(𝑥), yaitu pangkat tertinggi dari 𝑥. Dan

𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 disebut koefisien.

Suatu bilangan misal 𝑥0disebut akar dari polinom 𝑃 𝑥 adalah jika disubtitusikan 𝑥 = 𝑥0 maka nilai

𝑃 𝑥0 = 0.

Contoh :

(OSP 2008) Suatu polinom 𝑓(𝑥) memenuhi persamaan 𝑓 𝑥2 − 𝑥3𝑓 𝑥 = 2(𝑥3 − 1) untuk setiap

bilangan real 𝑥. Derajat dari 𝑓(𝑥) adalah …

Jawab :

Misal 𝑓(𝑥) berderajat 𝑛 maka 𝑓(𝑥2) berderajat 2𝑛. Derajat dari 𝑥3𝑓(𝑥) adalah 𝑛 + 3.

Jika 𝑛 > 3

Maka 2𝑛 > 𝑛 + 3 sehingga 𝑓 𝑥2 − 𝑥3𝑓 𝑥 berderajat > 6 tidak mungkin kesamaan terjadi

Jika 𝑛 = 3

Maka 𝑓(𝑥2) dan 𝑥3𝑓(𝑥) sama-sama berderajat 6 jadi dimungkinkan akan saling

menghilangkan dan menyisakan derajat 3.

Contoh yang memenuhi 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 2

Jika 𝑛 < 3

Maka 2𝑛 < 𝑛 + 3, jadi ruas kiri berderajat 𝑛 + 3, karena ruas kanan berderajat 3 maka

𝑛 = 0

Maka 𝑓 𝑥 = 𝑐 untuk suatu 𝑐 bilangan real.

𝑓 𝑥2 − 𝑥3𝑓 𝑥 = 𝑐 − 𝑥3𝑐 = 2𝑥3 − 2

Dipenuhi 𝑐 = −2

Jadi derajat 𝑓 𝑥 = 3 atau derajat 𝑓 𝑥 = 0