PENGUKURAN PENYIMPANGAN

ISMUADI, SE, S.Pd.I

Pengukuran penyimpangan dapat diartikan suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-rata data tersebut. Beberapa jenis pengukuran penyimpangan antara lain :

Rentangan (range) Varians Simpangan baku (standar deviasi) Koefisien varians

Pengertian

Rentangan dapat di ketahui dengan mengurangi data tertinggi dengan data terendah. Rentangan berfungsi untuk melihat perbedaan dari data yang ada.

Rumus Range untuk data tidak berkelompok:

R = Xt-Xr (Range (rentangan) = Data tertinggi – data terendah))

Contoh : Data UTS Statistika

Kelas A : 90, 70, 50, 80, 50, 60, 70, 70, 85, 85Kelas B : 95, 87, 76, 84, 75, 96, 85, 83, 73, 80 

A. Rentangan (Range)

Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannyaKelas A : 50, 50, 60, 70, 70, 70, 80, 85, 85, 90Kelas B : 73, 75 ,76, 83, 84, 85, 87, 80, 95, 96

Rentangan Kelas A : 90-50 = 40 Rentangan Kelas B : 96-73 = 24

Penyelesaian...

Perhitungan range untuk data berkelompok adalah:

R = Ka – KpDi mana:Ka = nilai tengah kelas akhirKp = nilai tengah kelas pertama

Kelompok nilai

Fi Xi

30-39,99 6 35

40-49,99 12 45

50-59,99 30 55

60-69,99 24 65

70-79,99 18 75

80-89,99 10 85

∑ 100 -

Contoh :

Kp = (40+30)/2 = 35 Ka = (80 + 90)/2 = 85 Sehingga; R = 85 – 35 = 50

Rentangan (Range)

Penjelasan

Apabila nilai rentangan (range) semakin

kecil, maka kualitas data tersebut semakin

baik. Akan tetapi, metode ini mempunyai

kelemahan-kelemahan antara lain, didalam

perhitungan tidak mengikutsertakan seluruh

nilai. Dia hanya memperhatikan nilai

tertinggi dan terendah.

Yang dimaksud dengan simpangan (deviasi ) adalah selisih antara nilai pengamatan ke i dengan nilai rata-rata, yaitu Xi – X@

dalam pengukuran deviasi rata-rata ini perlu dilihat dari sisi datanya yaitu;

1. Data yang tidak berkelopok2. Data yang berkelompok

B. Simpangan Rata-rata (Mean Deviasi)

Untuk menghitung deviasi rata-rata bagi data yang tidak berkelompok dapat dilakukan dengan:

Contoh ; Jumlah pemakaian energi listrik

yg dikonsumsikan oleh suatu keluarga adalah seperti berikut;

B.1. Data tidak berkelompk

Bulan Jumlah Pemakaian dalam KWH

(Xi)

Xi – X2 I Xi – X2 I

Januari 111 -8 8

Februari 108 -11 11

Maret 104 -15 15

April 117 -2 2

Mai 116 -3 3

Juni 124 5 5

Juli 122 3 3

Agustus 122 3 3

September 126 7 7

Oktober 119 0 0

November 128 9 9

Desember 131 12 12

Σ 1.428 0 78

Sebelum menghitung deviasi, perlu dihitung terlebih dahulu nilai rata-rata, yaitu:

Sehingga deviasi rata-rata (mean deviation) dapat dihitung:

11912

1428

x

n

Xx i

5.612

78

n

XXMD

i

Fluktuasi jumlah pemakaian energi listrik perbulan adalah sebanyak 6,5 KWH. Dengan kata lain, rata-rata jumlah pemakaian energi listrik bulanan berdeviasi sebesar 6,5 KWH dari rata-rata bulanannya sebesar 119 KWH.

Penjelasan....

Dimana:fi = frekuensi pada kelas iXi = titik tengah kelas frekuensiN = jumlah frekuensi

B.2 Data Berkelompok

Kelompok nilai

fi Xi

30-39,99 6 35 26,6 159,6

40-49,99 12 45 16,6 199,2

50-59,99 30 55 6,6 198,2

60-69,99 24 65 3,4 81,6

70-79,99 18 75 13,4 241,2

80-89,99 10 85 23,4 234,0

∑ 100 - 1.113,6

XXf ii XX i Sebelum dilakukan perhitungan deviasi, terlebih dahulu perlu dihitung nilai rata-rata hitung (aritmatic mean). Oleh karena nilai rata-rata ini telah dihitung pada bab terdahulu, yaitu (X bar) adalah 61,6, maka perhitungan deviasi sudah dapat dilakukan. Sehingga deviasi rata-rata adalah:

Nilai 100 calon mahasiswa diatas, berdeviasi rata-rata sebesar 11,136 dari nilai rata-rata sebesar 61,60.

136,11100

6,113.1

MD

n

XXfMD

ii

N

XXfx

ii

Pada umumnya, deviasi rata-rata merupakan pengukuran dispersi

yang lebih baik dibandingkan dengan metode rentangan (range).

Hasil pengukuran deviasi rata-rata (mean deviation) mencerminkan

dispersi tiap-tiap nilai observasi dari rata-ratanya, dan bukan hanya

tergantung pada dua nilai ekstrim, tertinggi dan terendah. Namun

demikian, pengukuran deviasi rata-rata tidak memperhatikan nilai

negatif atau positif, sehingga menyulitkan manipulasi secara

matematis. Oleh karennya, pengukuran dispersi dengan metode

deviasi rata-rata kurang populer dibanding dengan “variance” dan

“standar deviation”

penjelasan...

Simpangan baku ( standar deviasi) menunjukkan tingkat atau

derajat variasi kelompok data dari rata-ratanya. Standar deviasi

ini digunakan untuk memperlihatkan seberapa besar perbedaan

data yang ada dibandingkan dari rata-rata data itu sendiri.

Perhitungan simpang baku ini, sama halnya dengan deviasi

rata-rata, yaitu memperhatikan penyimpangan tiap-tiap nilai

dari rata-ratanya. Akan tetapi, perbedaan keduanya, di dalam

perhitugan deviasi standar atau simpang baku, tidak hanya

memperhatikan pada perbedaan tiap nilai dengan rata-rata,

lebih jauh diperhatikan pada kuadrat dari tiap-tiap

penyimpangan, yaitu;

C. Simpangan Baku ( Standar deviasi )

2XX i

Karl pearson merumuskan pengukuran varians untuk data tidak berkelompok adalah:

Sehingga simpang baku (standar deviation) adalah:

C.1. Data tidak berkelompok

n

XXS i

22

n

XXS i

2

Oleh karena perumusan di atas digunakan untuk data-data “sampel”,

khususnya data sampel yang tidak berkelompok, maka perlu

diperhatikan jumlah sampel. Suatu sampel dikatakan besar, apabila

jumlah sampel n ≥30. dan dikatan sampel itu kecil, bila n <30.

Menurut para statistisi, perumusan di atas hanya dapat digunakan untuk

sampel besar, karena bila sampelnya kecil estimasinya akan bias. Sedangkan

perhitungan varians untuk data sampel kecil, dapat digunakan perumusan:

Sehingga simpang baku (standard deviation) adalah:

Alasan yang tepat untuk penggunaan rumus tersebut, di dalam perhitungan

deviasi standar sampel ialaha bahwa rumus ini akan memberikan hasil

varians S2 yang memiliki sifat “unbiased” (tidak bias) untuk keperluan

analisis statistik. Dengan ini dimaksudkan bahwa nilai S2 yang didapat dari

sampel akan sama dengan parameter populasi (σ2), dan rata-rata hitung

sampel (X bar) akan sama dengan µ (rata-rata populasi).

penyelesaian...

1

22

n

XXS i

1

2

n

XXS i

Produksi air bersih oleh PDAM Tirta Mon Pase Lhokseumawe setiap bulannya pada tahun 1997, adalah seperti tertera berikut;

Contoh C.1

Bulan Jumlah Produksi (m3)

Januari 46.608 -3.655,25 13.360.852,560

Februari 47.896

Maret 45.880

April 44.805

Mai 50.125

Juni 51.693

Juli 47.158

Agustus 52.555

September 60.414

Oktober 51.013

November 56.095

Desember 48.9

603.159 224.349.640,279

XX i 2XX i

Rata-rata produksi air pada tahun 1997 adalah:

Varians dari produksi tersebut adalah

Sehingga simpang baku adalah:

Artinya, fluktuasi produksi air bersih per bulan adalah 4.516.13 m3 dari rata-

rata produksi per bulan yang sebanyak 50.263.25 m3.

Perhitungan varians dan deviasi standar untuk populasi adalah:

Varians:

Deviasi standar :

25,263.5012

159.603

X

n

XX i

84,421.395.2011

279,640.349.2241

2

2

2

S

n

XXS i

13,516.484,421.395.20

1

2

S

n

XXS i

N

X i

2

2

N

XX i

2

Tentukan Simpangan Rata-rata (Mean Deviasi) dari rata-rata nilai statistik 70 orang mahasiswa berikut:

Latihan

Nilai f60-6465-6970-7475-7980-8485-8990-94

26

15201674

Jumlah 70

Dari hasil survai yang melihat bagaimana kepemimpinan 10 orang mahasiswa yang aktif dalam organisasi intra kampus. Data berikut memperlihatkan nilai kepemimpinan 10 orang responden tersebut.

No X1 752 703 804 855 606 757 1008 909 9510 75Jumlah 805

x

Untuk menghitung varians dan deviasi standar dari data berkelompok, juga tidak begitu suka dilakukan. Bila varianse dan deviasi standar dihitung dari sebuah frekunsi, maka titik dengah tiap-tiap kelas dianggap sebagai ninali observesi.

Perhitungan deviasi standar dan varians dari data berkelompok ada dua metode, yaitu a. Metode panjang (long method), dan b. Metode pendek (short method)

c.2 Data Berkelompok

Sebelum metode ini digunakan, terlebih dahulu harus diperhatikan besarnya sampel. Untuk sampel yang besar, perhitungan varians dan deviasi standar dapat dihitung dengan rumus:

Sehingga simpang baku (standard deviation) adalah:

Sedangkan bila sampelnya berukuran kecil, variansya adalah:

.

c.2.a. Metode panjang (long method)

N

XXfS ii

2

2

N

XXfS ii

2

1

2

2

N

XXfS ii

Sehingga simpang baku (standar deviation) adalah:

Untuk populasi dapat digunakan rumus:

Varians :

Deviasi standar :

Continue...

1

2

N

XXfS ii

N

Xf ii

2

2

N

Xf ii

2

Dari data tabel berikut ini dapat dihitung varians dan deviasi standar sebagai berikut. Apabila data dari tabel tersebut diasumsikan sebagai data sampel, maka:

Contoh...

Kelompok nilai fi Xi

30-39,99 6 35 26,6 707,56 4.245,36

40-49,99 12 45 16,6 275,56 3.306,72

50-59,99 30 55 6,6 43,56 1.306,80

60-69,99 24 65 3,4 11,56 277,44

70-79,99 18 75 13,4 179,56 3.232,08

80-89,99 10 85 23,4 547,56 5.475,60

∑ 100 - 17.844,00

2XX i XX i 2XXfi i

Rata-rata hitung , telah diperoleh pada bagian terdahulu, yaitu sebesar 61,60.

Variansnya diperoleh:

Simpang baku (standard deviation) adalah:

Artinya, fluktuasi nilai adalah sebesar 13,36 dari nilai rata-ratanya yang sebesar 61,60.

Penyelesaian...)(X

44,178100/844.172

2

2

S

N

XXfS ii

36,1344,178

2

S

N

XXfS ii

Perhitungan deviasi standar dengan menggunakan metode pendek, hanya akan melibatkan angka-angka kecil, sehingga peritungannya sangat praktis. Metode ini juga kadangkala disebut dengan “coding methods”. Rumus untuk menghitungnya dinyatakan sebagai berikut.

c.2.b. Metode pendek (short method)

22

22

22

)1(1

N

df

N

dfi

NN

df

N

dfiS

N

df

N

dfiS

iiii

iiii

iiii

Untuk Sampel Besar

Untuk Sampel Kecil

Untuk populasi

Dimana “di” adalah suatu bilangan skala deviasi standar yang ditentukan secara sembarang (arbitrary). Penempatan d=0, diupayakan di tengah-tengah dari jumlah kelas interval. Untuk menempatkan nilai skala deviasi standar berikutnya dapat dilakukan dengan rumus:

Di mana:◦ di = deviasi standar pada kelas i◦ Mi = nilai tengah pada kelas ke i◦ Xo = nilai tengah di mana nol diletakkan◦ i = besar kelas interval

Continue...

i

XMd oii

)(

Dari data tabel berikut ini dapat dihitung deviasi standar dan variansnya dengan metode pendek sebagai berikut. sampel, maka:

Contoh...

Kelompok nilai

fi Mi di fidi Fidi.di

30-39,99 6 35 -2 -12 24

40-49,99 12 45 -1 -12 12

50-59,99 30 55 0 0 0

60-69,99 24 65 1 24 24

70-79,99 18 75 2 36 72

80-89,99 10 85 3 30 90

∑ 100 - 66 222

Skala deviasi standar (di) dapat dihitung:

Penyelesaian,,,

i

XMd oii

)(

110

)5565(1

d

210

)5575(2

d

110

)5545(1

d 2

10

)5535(2

d

310

)5585(3

d

Maka deviasi standar dapat dihitung:

Sehingga variansnya adalah

Hasil yang diperoleh adalah persis sama dengan yang dihasilkan melalui metode panjang.

Penyelesaian,,,

2.

N

df

N

didfiS iiii

44,17836,13 22 S

2

100

66

100

22210

S

4356,022,210 S

7844,110S

36,13S

Deviasi standar atau simpang baku yang telah dibahas diatas,

mempunyai satuan yang sama dengan satuan data aslinya. Hal ini

akan mempunyai kelemahan bila membandingkan dua kelompok data

yang berbeda. Sebuah contoh berikut akan menjelaskan persoalan

tersebut.

Seorang pengusaha ingin membandingkan variasi gaji pejabat

struktural di perusahaannya. Gaji buruh dibayar secara harian,

sedangkan gaji pejabat struktural dibayar bulanan.

Rata-rata gaji buruh adalah Rp 5.000,- dengan deviasi standar Rp.

1.500,-. Sedangkan gaji pejabat steuktural rata-rata Rp. 600.000,-

dengan deviasi standar Rp. 300.000,-.

D. Koefisien variasi (coefficient of variation)

Dalam hal tersebut, perbandingan secara langsung dari perhitungan deviasi standar tidak mungkin benar. Gaji pejabat struktural yang dibayar perbulan tentu lebih besar daripada gaji buruh yang dibayar harian. Ole karenanya, oleh para statistisi kemudian dikembangkan suatu metode pengukuran dispersi yang disebut koefisien variasi, yang juga sering disebut dengan “covariance”

Perhitungan koefisien variasi ini dapat dilakukan dengan rumus:

Continue...

populasiuntukV _.......

Dalam perbandingan dua koefisien variasi (kovarians), maka distribusi data yang memiliki koefisien variasi yang lebih besar menunjukkan nilainya lebih bervariasi atau lebih heterogen. Sebaliknya, yang memiliki koefisien lebih kecil menunjukkan nilainya lebih konstan atau kualitasnya lebih baik.

Continue...sampeluntuk

X

Sv _.......

Dua buah developer menawarkan perumahan untuk masyarakat, masing-masing Matahari Permai (MP) dan Matahari Indah (MI). Serangkaian sampel diambil dan diperoleh, harga rata-rata rumah di MP Rp 60 juta dengan deviasi standar Rp 9.138.000,- sedangkan harga rata-rata rumah di MI Rp 50 juta dengan deviasi standar Rp 8.750.000,-

Contoh...

Sepintas, bila diperhatikan, variasi harga rumah di MP lebih besar daripada MI. Untuk membandingkan secara lebih benar, dapat diperhatikan sebagai berikut:

Continue...

%50,17__1750,0000.000.50

000.750.8

,

atauv

v

sedangkan

MI

MI

%23,15__1523,0000.000.60

000.138.9

atauv

v

X

Sv

MP

MP

Ternyata, variasi harga rumah di MI lebih besar daripada MP

Semoga Dapat di Amalkan dan Bermanfaat

WASSALAM....

SEKIAN...