MATEMATIKA TEKNIK KIMIA (4 SKS)

Matematika Teknik Kimia adalah salah satu mata kuliah yang cukup penting dalam

ilmu Teknik Kimia, karena mempelajari dasar-dasar perhitungan baik untuk analisis proses

maupun perancangan alat. Mata Kuliah ini menjadi momok bagi mahasiswa Teknik Kimia.

Akan tetapi pada tulisan ini akan dibahas dasar-dasar pada mata kuliah ini secara sederhana

sehingga diharapkan akan lebih mudah dipahami. Sedangkan untuk pengembangannya bisa

belajar lebih jauh pada buku-buku referensi yang banyak jumlahnya.

1. Pengolahan Data Teknik

Bab ini mempelajari bagaimana mengolah data-data percobaan / penelitian menjadi sebuah

persamaan pendekatan yang sederhana sehingga dapat digunakan untuk

memprediksikan pada kondisi yang lain

2. Pemodelan Matematis

3. Penyelesaiana Persamaan Diferensial Biasa

4. Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Deret

BAB I

PENGOLAHAN DATA TEKNIK

1. Pendahuluan

Dalam disiplin ilmu teknik kimia akan banyak dijumpai data-data yang merupakan

hasil penelitian atau percobaan. Akan tetapi data-data ini akan sulit untuk dibaca jika idak

diolah terlebih dahulu. Oleh karena itu data-data tersebut perlu diolah agar bias dibaca oleh

orang lain. Hasil pengolahan data-data percobaan ini biasanya ditampilkan dalam bentuk

persamaan maupun dalam bentuk grafis.

Misal pada fluida yang mengalir dalam suatu pipa, hubungan antara bilangan Reynold

(Nre) dengan factor friksi pipa (f), dalam bentuk grafik dalam digambarkan sebagai berikut :

Sedangkan dalam bentuk persamaan dapat dinyatakan dengan :

Secara sepintas akan mudah dibaca jika data ditampilkan dalam bentuk grafik, akan

tetapi mempunyai kekurangan karena tingkat pembacaan orang akan berbeda-beda.

Pembacaan tiap orang akan sama nilainya jika merupakan hasil perhitungan sebuah

persamaan, akan tetapi hal ini lebih sulit akan bentuk persamaan yang kadangkala

rumit/kompleks.

2. Metode Grafis dan Persamaan Pendekatan

Secara umum data-data hasil percobaan dapat dibentuk menjadi beberapa bentuk

grafis dengan persamaan pendekatan yang tertentu.

1. Persamaan linier

Bentuk umum persamaan linier adalah y = ax + b

Adapun bentuk grafisnya adalah :

y

Dimana :

Data Percobaan

Persamaan pendekatan

Persamaan untuk mendapatkan harga konstanta pada persamaan linier adalah :

n = jumlah pasangan data

Contoh 1:

Data dari percobaan menunjukkan hubungan antara temperatur dengan konversi pada suatu

reaski diperoleh data sebagai berikut :

No Temperatur K Konversi

1 300 0.52

2 330 0.56

3 360 0.64

4 390 0.74

5 420 0.78

6 450 0.81

7 480 0.85

Buatlah persamaan pendekatannya :

Penyelesaian :

Karena plot data diperoleh grafik yang hampir linier, maka persamaan pendekatannya adalah

linier. X = aT + b

No x y x.y x^2

1 300 0.52 156 90000

2 330 0.56 184.8 108900

3 360 0.64 230.4 129600

4 390 0.74 288.6 152100

5 420 0.78 327.6 176400

6 450 0.81 364.5 202500

7 480 0.85 408 230400

Jml 2730 4.9 1959.9 1089900

= 0,0019

= -0,0568

2. Persamaan logaritmik

Bentuk umum persamaan logaritmik adalah y = axn

Persamaan logaritmik dapat dilinierkan menjadi :

log y = log a + n log x

y’ = ax’ + b

dimana :

y’ = log y

x’ = log x

Secara grafik dapat digambarkan dalam bentuk :

log x vs log y pada koordinat linier

log y

log x

x vs y pada koordinat logaritmik

y

Contoh 2.

Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviacae adalah sebagai

berikut :

Berat biomassa (m) = 0.2 gram

Volume larutan CuSO4 (V) = 100 ml

No Co

(mg/l)

Cs

(mg/l)

qs data

(mg/g)

% Penyerapan

1

2

3

4

5

20

40

60

80

100

9.5325

22.2425

34.9525

47.6625

63.55

5.23375

8.87875

12.52375

16.16875

18.225

52.3375

44.39375

41.74583

40.42188

36.45

Hubungan antara Cs dengan qs adalah :

Jika isotherm kesetimbangan yang dipakaia adalah Model Isotherm Freundlich,

dengan persamaan :

qs = KFCs1/n

Carilah konstanta pada isotherm Freundlich tersebut :

Penyelesaian :

Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi :

log qs = log KF + (1/n) log Cs

y’ = ax’ + b

No x = log Cs y = log qs x2 xy

1

2

3

4

5

0.979207

1.347184

1.543478

1.678177

1.803116

0.718813

0.948352

1.097734

1.208676

1.260668

0.958846

1.814904

2.382325

2.816277

3.251226

0.703867

1.277604

1.694329

2.028373

2.273129

Total 7.351161 5.234243 11.22358 7.977302

Menghitung harga a :

∑x ∑y – n ∑xy

( ∑x )2

– n ∑x2

(7.351161) (5.234243) – 5 (7.977302)

(7.351161)2 – 5 (11.22358)

a = 0.677828

Menghitung harga b:

∑x ∑xy - ∑x2 ∑y

( ∑x )2 – n ∑x

2

(7.351161) (7.977302) – (11.22358) (5.234243)

(7.351161)2 – 5 (11.22358)

b = 0.050284

Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan:

y = 0.677828 x + 0.050284

log qs = 0.677828 log Cs + 0.050284

Sehingga diperoleh harga (1/n) dan KF, sbb :

1/n = 0.677828

KF = 1.12275242 (log-1

b)

Harga kf dan 1/n disubstitusikan persamaan isotherm freundlich akan diperoleh harga

qs model (perhitungan) dan persen kesalahan :

No qs data qs model % Kesalahan

1

2

3

4

5

5.23375

8.87875

12.52375

16.16875

18.225

5.176282854

9.192698152

12.48811818

15.40987089

18.72776711

1.09801091

3.535949903

0.284513983

4.693492756

2.75866727

% Kesalahan rata-rata 2.474126964

3. Persamaan eksponensial

Bentuk umum persamaan logaritmik adalah y = aebx

Persamaan logaritmik dapat dilinierkan menjadi :

ln y = ln a + bx

y’ = ax + b

dimana :

y’ = ln y

x’ = x

Contoh 3.

Pada suatu reaksi kimia diperoleh data hubungan antara temperatur (T) dengan harga

konstanta kecepatan reaksi (k) sebagai berikut :

No Temperatur, K k. 1/menit

1 300 0.0012

2 330 0.0017

3 360 0.0025

4 390 0.0036

5 420 0.0042

Jika hubungan antara k dan T mengikuti persamaan Arrhenius :

k = A.exp(-E/RT)

Carilah harga A dan E!.

Penyelesaian :

Persamaan Arrhenius dapat dilinierkan menjadi :

ln k = ln A – E/RT

y’ = b – a x’

dimana :

y’ = ln k

x = 1/T

b = ln A � intersep

a = -E/R � slope= koefisien arah= tg ã = gradien

---

No

T, K k, 1/mnt

x=1/T y=ln k xy x^2

1 300 0.0012 0.003333 -6.72543 -0.02242 1.11111E-05

2 330 0.0017 0.00303 -6.37713 -0.01932 9.18274E-06

3 360 0.0025 0.002778 -5.99146 -0.01664 7.71605E-06

4 390 0.0036 0.002564 -5.62682 -0.01443 6.57462E-06

5 420 0.0042 0.002381 -5.47267 -0.01303 5.66893E-06

0.014086 -30.1935 -0.08584 4.02535E-05

Dari hasil perhitungan akan diperoleh :

Harga konstanta pada persamaan linier (a dan b) :

a= -1317,19 = - E/R � E = - a * R

b = -2,17002 = ln A � A = eb

Harga konstanta pada persamaan Arrhnius ( A dan E) :

A = 0,114175

E = 2728529 cal/gmol K

4. Persamaan berbentuk

Persamaan diatas dapat dilinierkan menjadi :

y’ = ax’ + b

dimana :

y’ = 1/y

x’ = 1/x

Contoh 4.

Data kesetimbangan biosorpsi Cu dengan saccharomyces cereviacae adalah sebagai

berikut :

Berat biomassa (m) = 0.2 gram

Volume larutan CuSO4 (V) = 100 ml

No Co Cs qs data % Penyerapan

(mg/l) (mg/l)

(mg/g)

1

2

3

4

5

20

40

60

80

100

9.5325

22.2425

34.9525

47.6625

63.55

5.23375

8.87875

12.52375

16.16875

18.225

52.3375

44.39375

41.74583

40.42188

36.45

Hubungan antara Cs dengan qs adalah :

Jika isotherm kesetimbangan yang dipakaia adalah Model Isotherm Langmuir, dengan

persamaan :

Carilah konstanta pada isotherm Langmuir tersebut:

Penyelesaian :

Persamaan dapat dilinierkan menjadi :

1/qs = 1/ (qmaksbCs) + 1/ qmaks

Jika data-data dimasukkan akan diperoleh :

No Co Cs 1/Cs = x qs 1/qs = y

1

2

3

4

5

20

40

60

80

100

9.5325

22.2425

34.9525

47.6625

63.55

0.104904

0.044959

0.02861

0.020981

0.015736

5.23375

8.87875

12.52375

16.16875

18.225

0.191068

0.112628

0.079848

0.061848

0.05487

No x y x2 xy

1

2

3

4

5

0.104904

0.044959

0.02861

0.020981

0.015736

0.191068

0.112628

0.079848

0.061848

0.05487

0.011005

0.002021

0.000819

0.00044

0.000248

0.020044

0.005064

0.002284

0.001298

0.000863

Total 0.21519 0.500262 0.014533 0.029553

∑x ∑y – n ∑xy

( ∑x )2

– n ∑x2

(0.21519) (0.500262) – 5 (0.029553)

(0.21519)2 – 5 (0.014533)

Menghitung harga a :

a = 1.521983

Menghitung harga b :

∑x ∑xy - ∑x2 ∑y

( ∑x )2 – n ∑x

2

(0.21519) (0.029553) – (0.014533) (0.500262)

(0.21519)2 – 5 (0.014533)

b = 0.034549

Dengan mengganti harga a dan b maka persamaan :

y = 1.521983 x 0.034549

atau

1.521983 Cs 1

qs

= + 0.034549

1/qs = 1/ (qmaksbCs) + 1/ qmaks

Sehingga diperoleh harga qmaks dan b, sbb :

1/qmaks = 0.034549 maka qmaks = 28.94419

1/qmaks b = 1.521983 maka b = 0.0227

Harga Cs disubstitusikan ke persamaan (B.2.1) untuk memperoleh harga qs model

(perhitungan).

No Co Cs 1/qs (model) qs model

1

2

3

4

5

20

40

60

80

100

9.5325

22.2425

34.9525

47.6625

63.55

0.194212

0.102976

0.078094

0.066482

0.058499

5.149019

9.710997

12.80515

15.04172

17.09442

Perhitungan % kesalahan :

% Kesalahan = x 100%

qs data-qs model)

qs data

No qs data qs model % Kesalahan

1

2

3

4

5

5.23375

8.87875

12.52375

16.16875

18.225

5.149019

9.710997

12.80515

15.04172

17.09442

1.618937

9.37347

2.24695

6.970406

6.203459

% Kesalahan rata-rata 5.282644

3. Metode Interpolasi

Kadangkala data-data hasil penelitian/percobaan diberikan dalam bentuk table,

sehingga dalam pembacaan untuk suatu nilai tertentu digunakan metode interpolasi. Tabel

yang sering dipakai adalah steam table. Persamaan dasar metode interpolasi :

Misal untuk suatu variabel bebas dan terikat :

X Y

Xo Yo

X2 Y2

X3 Y3

X4 Y4

Berapa harga Y pada nilai X1 yang terletak diantara Xo dan X2?

Contoh 2.

Pada steam tabel pada steam jenuh terdapat nilai Hfg untuk masing-masing temperatur

sebagai berikut :

T, oF Hfg

100 950

120 942

150 935

Berapa harga Hfg pada T = 130 oF?

Penyelesaian ;

H130 = H120 +

= 942 +

= 942 – 2,333

= 939,667