pengaruh laju aliran sungai utama dan anak sungai...

TUGAS AKHIR - SM 091332

PENGARUH LAJU ALIRAN SUNGAI UTAMA DAN ANAK SUNGAI TERHADAP PROFIL SEDIMENTASI DI PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL YUYUN INDAH TRISNAWATI NRP 1210 100 039 Dosen Pembimbing Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2014

FINAL PROJECT - SM 091332

FLOW RATE EFFECT OF MAIN STREAM AND LATERAL STREAM TOWARDS SEDIMENTATION PROFILE AT THE CONFLUENCE OF TWO RIVERS SINUSOID MODEL YUYUN INDAH TRISNAWATI NRP 1210 100 039 Dosen Pembimbing Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc DEPARTMENT OF MATHEMATICS Faculty of Mathematics and Natural Science Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 2014

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL........................................................... i

HALAMAN PENGESAHAN ............................................ v

ABSTRAK ........................................................................... vii

ABSTRACT ......................................................................... ix

KATA PENGANTAR ........................................................ xi

DAFTAR ISI ....................................................................... xiii

DAFTAR GAMBAR .......................................................... xv

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI .................................. xvii

BAB I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang .................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ............................................... 2

1.3 Batasan Masalah ................................................. 3

1.4 Tujuan ................................................................. 3

1.5 Manfaat ............................................................... 4

1.6 Sistematika Penulisan ......................................... 4

BAB II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Aliran Saluran Terbuka ....................................... 7

2.1.1 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Waktu ... 7

2.1.2 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Ruang ... 7

2.1.3 Tipe Aliran Berdasarkan Perbandingan Gaya-

gaya Inersia dengan Kekentalan ............... 8

2.2 Sedimentasi ......................................................... 9

2.3 Konsep Volume Hingga ...................................... 11

2.4 Metode Beda Hingga-Alternating Direction Implicit

(ADI) ................................................................... 12

2.4.1 Metode Beda Hingga ................................. 12

2.4.2 Alternating Direction Implicit (ADI) Method

............................................................................ 16

BAB III. METODE PENELITIAN

3.1 Tahapan Penelitian .............................................. 17

3.2 Diagram Alir Metode Penelitian ......................... 18

xiv

BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hidrodinamika Aliran Sungai ............................. 21

4.1.1 Persamaan Kekekalan massa ..................... 22

4.1.2 Persamaan Kekekalan Momentum ............. 26

4.2 Morfologi Sungai ................................................ 35

4.3 Diskritisasi Model Dua Dimensi......................... 36

4.3.1 Persamaan Kekekalan Massa Sungai Utama

............................................................................ 37

4.3.2 Persamaan Kekekalan Momentum Sungai

Utama .................................................................. 38

4.3.3 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Sungai

Utama .................................................................. 43

4.3.4 Persamaan Kekekalan Massa Pertemuan

Sungai ................................................................. 44

4.3.5 Persamaan Kekekalan Momentum Pertemuan

Sungai ................................................................. 46

4.3.6 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen

Pertemuan Sungai ............................................... 51

4.4 Proses Simulasi ..................................................... 52

4.4.1 Simulasi I ................................................. 52

4.4.2 Simulasi II ............................................... 55

4.4.3 Simulasi III .............................................. 57

4.4.4 Simulasi IV .............................................. 59

BAB V. PENUTUP

5.1 Kesimpulan ............................................................. 63

5.2 Saran ........................................................................ 64

DAFTAR PUSTAKA ............................................................ 65

BIODATA PENULIS ............................................................ 67

xv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Kisi Beda Hingga Skema Maju Ruang dengan

dan ....................... 13

Gambar 2.2 Kisi Beda Hingga Skema Mundur ................... 14

Gambar 2.3 Kisi Beda Hingga Skema Tengah-Ruang ......... 15

Gambar 3.1 Diagram Alir Metode Penelitian ...................... 19

Gambar 4.1 Penampang Sungai ........................................... 21

Gambar 4.2 Volume Kendali ............................................... 22

Gambar 4.3 Sungai Utama ................................................... 33

Gambar 4.4 Anak Sungai ..................................................... 33

Gambar 4.5 Pertemuan Sungai ............................................. 34

Gambar 4.6 Pola Diskritisasi untuk u, v, dan h .................... 37

Gambar 4.7 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak

Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I 53

Gambar 4.8 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama,

Anak Sungai, dan Pertemuan Sungai pada

Simulasi I ......................................................... 54

Gambar 4.9 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama,


Simulasi I ......................................................... 54


Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II 55



Simulasi II ....................................................... 56



Simulasi II ........................................................ 56


Sungai dan Pertemuan Sungai pada Simulasi III 57



Simulasi III ....................................................... 58

xvi



Simulasi III ....................................................... 58


Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV

.......................................................................... 59



Simulasi IV ....................................................... 60



Simulasi IV ....................................................... 60

xi

KATA PENGANTAR

Dengan Rahmat Allah SWT, syukur Alhamdulillah, penulis

dapat menyelesaikan penyusunan Laporan Tugas Akhir yang berjudul “Pengaruh Laju Aliran Sungai Utama Dan Anak

Sungai Terhadap Profil Sedimentasi Di Pertemuan Dua

Sungai Model Sinusoidal”. Dalam penyusunan Laporan Tugas Akhir ini, penulis

banyak menerima bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak, sehingga dalam kesempatan ini penulis ingin berterima kasih kepada:

1. Ibu Dr. Erna Apriliani, M.Si. sebagai Ketua Jurusan

Matematika FMIPA ITS. 2. Bapak Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc. sebagai dosen

pembimbing Tugas Akhir yang telah memberikan motivasi dan pengarahan dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

3. Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp. sebagai koordinator Tugas Akhir.

4. Ibu Dra. Farida Agustini Widjajati, MS. Sebagai dosen wali selama penulis kuliah di Jurusan Matematika FMIPA-ITS.

5. Bapak Subchan, M.Sc., PhD, Bapak Dr. Chairul Imron, MI.Komp., dan Ibu Sholeha, S.Si, M.Si. sebagai dosen penguji Tugas Akhir yang telah memberikan kritik dan saran yang bersifat membangun dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

6. Semua pihak yang telah memberikan dukungan dan ilmu kepada penulis dalam penyelesaian Tugas Akhir ini.

Penulis menyadari bahwa selama masa penelitian dan

penyusunan laporan ini masih ada kekurangan dan kesalahan. Oleh karena itu, penulis membutuhkan kritik dan saran dari berbagai pihak yang bersifat membangun sebagai bahan

xii

perbaikan di masa yang akan datang. Semoga laporan Tugas Akhir ini bermanfaat bagi semua pihak.

Surabaya, 2014

Penulis

Special thank’s to: 1. Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah –

Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan lancar.

2. Kedua orang tua, Bapak Muslimin dan Ibu Siamah, yang telah memberikan doa dan motivasi lahir batin sampai kelulusan kuliah S-1 ini.

3. Saudara kandung, Veri Irawan, yang telah memberikan dukungan selama penulis menempuh pendidikan sampai mendapatkan gelar sarjana.

4. Kakek dan Nenek, Bapak Dakelan dan Ibu Latikah serta keluarga besar yang telah banyak memberikan dukungan dan doa selama penulis kuliah di Matematika FMIPA-ITS.

5. Teman-teman angkatan 2010 Matematika ITS, Dyah Ayu Erniasanti, Mita Sani Untari, Amilia Khoiro Masruri, Ari Serawati, Ike Miftahul Jannah, Ema Enggar Wati, Belgis Ainatul Izza, dan lainnya yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

6. Teman satu kos, Ria Aniza (Teknik Lingkungan 2011) yang telah banyak memberikan dukungan dan bantuan selama peulis menyelesaiakan Tugas Akhir ini.

7. Kakak-kakak angkatan yang membantu dalam proses penyelesaian Tugas Akhir ini.

xvii

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI

𝑕 : kedalaman sungai (m)

𝑡 : waktu (s)

𝑢 : kecepatan aliran sungai arah x (m/s)

𝑣 : kecepatan aliran sungai arah y (m/s)

𝑤 : kecepatan aliran sungai arah z (m/s)

𝑞𝑏 : banyaknya sedimen bed load

𝑐𝑚 : koefisien Chezy (𝑐𝑚 = 8.0)

𝑠 : rasio massa jenis sedimen dengan massa jenis air

𝑔 : percepatan gravitasi (𝑔 = 9.8 𝑚/𝑠2)

𝑑50 : rata-rata diameter sedimen (m)

𝜏𝑏 : tegangan geser (𝑁/𝑚2)

𝜌 : massa jenis air (𝑘𝑔/𝑚3)

𝑈 : kecepatan aliran sungai (m/s)

𝜌𝑠 : massa jenis sedimen (kg/m3)

𝑧𝑏 : ketinggian dasar sungai (sedimen) (m)

𝑝 : porositas tanah

𝐹𝑠 : surface force (N)

𝐹𝑏 : body force (N)

𝛾 : berat jenis air (𝑘𝑔/𝑚3)

𝑏 : lebar sungai (m)

𝐶𝑓 : koefisien gesek (N)

𝐴 : luas volume kendali (𝑚2)

𝐿𝑖 : panjang domain kendali pertemuan sungai (m)

𝐿 : panjang domain kendali sungai utama (m)

𝐿1 : panjang domain kendali anak sungai (m)

𝑆𝑥 , 𝑆𝑦 : kemiringan dasar sungai

𝐹𝑏𝑙 : body force pada sungai utama (N)

𝐹𝑏𝑝 : body force pada pertemuan sungai (N)

𝐶∗ : koefisien Chezy

𝑄1 : debit pada sungai utama (𝑚3/𝑠)

𝑄2 : debit pada anak sungai (𝑚3/𝑠)

𝑃 : gaya hidrostatis pada pertemuan sungai (N)

xviii

𝑆 : gaya geser pada pertemuan sungai (N)

𝐹𝑏1 ,𝐹𝑏2 : gaya gesek pada dinding sungai (N)

𝜏 : gaya gesek dasar sungai (N)

vii

PENGARUH LAJU ALIRAN SUNGAI UTAMA DAN ANAK SUNGAI TERHADAP PROFIL SEDIMENTASI DI

PERTEMUAN DUA SUNGAI MODEL SINUSOIDAL

Nama : Yuyun Indah Trisnawati NRP : 1210 100 039 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc ABSTRAK

Sungai merupakan aliran air permukaan yang

mengalir ke tempat yang lebih rendah, jumlahnya salah satunya

bergantung dari daerah tangkapan air (catchment area) yang

terdiri dari sebuah sungai dan anak sungainya yang disebut

dengan confluence. Aliran air pada sungai selain mengalirkan air

dari hulu ke hilir yang akhirnya ke laut juga mengalirkan material

sedimen sebagai hasil dari proses erosi pada dinding ataupun

dasar sungai. Proses terjadinya sedimentasi pada pertemuan

sungai dapat dimodelkan secara matematis dan disimulasikan

secara numerik. Pada Tugas Akhir ini, dikembangkan model

sedimentasi di pertemuan dua sungai model sinusoidal dengan

menggunakan pendekatan volume hingga. Model ini selanjutnya

diselesaikan dengan menggunakan metode beda hingga-

Alternating Direction Implicit (ADI) dan hasil tersebut

disimulasikan dengan menggunakan Matlab. Dari hasil simulasi

diperoleh hasil bahwa semakin besar debit yang masuk dari

sungai utama, diperoleh rata-rata bahwa kedalaman sungai

semakin turun, kecepatan aliran sungai semakin turun dan

ketinggian sedimen semakin naik, tetapi perubahan yang terjadi

tidak begitu signifikan. Besarnya debit sungai utama dan anak

sungai yang masuk ke pertemuan sungai relatif kurang

viii

berpengaruh terhadap kedalaman sungai, kecepatan aliran sungai

dan ketinggian sedimen.

Kata Kunci—Sedimentasi, Metode Beda Hingga, Alternating

Direction Implicit

ix

FLOW RATE EFFECT OF MAIN STREAM AND LATERAL

STREAM TOWARDS SEDIMENTATION PROFILE AT THE

CONFLUENCE OF TWO RIVERS SINUSOID MODEL

Name of Student : Yuyun Indah Trisnawati

NRP : 1210 100 039

Department : Mathematics

Supervisor : Prof. Dr. Basuki widodo, M.Sc

ABSTRACT

River is the flow of water surface which flows into a lower

place, the number one of the flow is dependent from catchment

area, which consists of a main stream and lateral stream is called

by confluence. The flow of water in the rivers not only to flow

water from upstream to downstream into the sea but also to flow

material sediment as a result of the erosion process on the wall

or the bottom of the river. The process of sedimentation at the

confluence can be mathematically modeled and numerically

simulated. The morphology confluence of two rivers to be

reviewed is the sinusoid model. In this final project, it is

constructed the sedimentation model at the confluence of two

rivers of sinusoid model using the finite volume, the

sedimentation model is solved by using the finite difference

method-Alternating Direction Implicit (ADI) and the result is

simulated by using matlab. The simulation it is obtained that the

bigger of river flow from main stream, it is obtained the average

depth of the river getting down, the speed of river flow is the

getting down and the height of the sedimen is rising, but the

change occurs in significanlyt. The river floaws from main

stream and lateral stream into a confluence of river relatively

less impacts on the depth of river,the flow of river, and the

height of sediment.

x

Keyword: Sedimentation, Finite difference method, Alternating

Direction Implicit

1

BAB I

PENDAHULUAN

Bab ini membahas latar belakang yang mendasari

penulisan Tugas Akhir ini. Di dalamnya mencakup identifikasi

permasalahan pada topik Tugas Akhir ini. Uraian ini bersifat

umum yang menjelaskan secara ringkas hal-hal yang akan

dilakukan pada penyelesaian Tugas Akhir. Informasi yang telah

diperoleh tersebut kemudian dirumuskan permasalahan yang akan

dibahas, tujuan, dan manfaat dari Tugas Akhir. Selain itu juga

diberikan batasan-batasan untuk membatasi pembahasan pada

tugas Akhir ini.

1.1 Latar Belakang

Sungai merupakan aliran air permukaan yang mengalir ke

tempat yang lebih rendah, jumlahnya bergantung dari tinggi muka

air, luas daerah tangkapan air (catchment area), perkolasi,

infiltrasi dan besarnya curah hujan. Pada suatu catchment area

terdiri dari sebuah sungai dan anak sungainya yang disebut

dengan confluence. Pertemuan antara sungai utama dan anak

sungai dapat mempengaruhi morfologi dan hidrolika bagian hulu

dan hilir.

Fungsi sungai selain untuk menampung aliran curah hujan,

mengalirkan air dari hulu ke hilir yang akhirnya ke laut, sebagai

drainase alam atau drainase area juga mengalirkan sedimen

sebagai fungsi morfologi dalam proses pembentukan daratan atau

landscape. Proses terjadinya sedimentasi pada sungai dapat

dimodelkan secara matematis dan disimulasikan secara numerik.

Pemodelan tersebut dapat dijadikan acuan oleh pihak terkait

dalam pengaturan alur sungai, perencanaan bangunan air, dan

2

dapat dimanfaatkan untuk memprediksi perubahan morfologi

dasar sungai.

Bentuk morfologi pertemuan dua sungai merupakan suatu

fenomena alam yang menarik untuk dikaji karena akan dijumpai

beraneka ragam bentuk model pertemuan dua sungai. Salah

satunya adalah sungai dengan profil berbentuk sinusoidal.

Sebelumnya sudah terdapat penelitian oleh Febriyan Eka

Priangga mengenai Profil Kontur Sedimentasi di Pertemuan Dua

Sungai Model Sinusoidal (2012). Dalam Tugas akhir tersebut

dibahas mengenai model dan profil kontur sedimentasi pertemuan

dua sungai model sinusoidal dengan menggunakan metode

Meshless Local Petrov-Galerkin (MLPG) sebagai solusi

penyelesaian metode volume hingga.

Dalam Tugas Akhir ini dikembangkan suatu model

matematika dari proses sedimentasi di pertemuan dua sungai

model sinusoidal dengan menggunakan pendekatan konsep

volume hingga dan diselesaikan dengan menggunakan metode

beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI). Metode ADI

ini mempunyai keunggulan dalam akurasi/ketepatan hasil dan

kecepatan penyelesaian dibandingkan dengan metode eksplisit

dan metode implisit [6]. Selain itu, pada metode ADI ini tidak

mempunyai syarat stabilitas sehingga program akan selalu stabil

dalam semua keadaan. Kemudian setelah modelnya dibangun dan

diselesaikan, akan disimulasikan untuk mempelajari pengaruh

laju aliran sungai utama dan anak sungai terhadap sedimentasi.

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas dalam Tugas Akhir ini

adalah sebagai berikut:

3

1. Bagaimana pengembangan model sedimentasi di

pertemuan dua sungai dengan menggunakan pendekatan

volume hingga.

2. Bagaimana menyelesaikan model sedimentasi ini dengan

metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI).

3. Bagaimana pengaruh laju aliran sungai utama dan anak

sungai terhadap sedimentasi di pertemuan dua sungai ini.

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah yang digunakan pada Tugas Akhir

ini adalah sebagai berikut:

1. Model sedimentasi yang dibangun adalah dalam 2

dimensi.

2. Aliran air tak mampu mampat (incompressible ) dan

rapat jenis air (𝜌) konstan.

3. Aliran sungai seragam pada hulu dan hilir.

4. Pengangkutan sedimen adalah bed-load dan butiran

sedimen seragam dengan diameter 0.0625 mm, yaitu

pasir yang sangat halus.

5. Permukaan sungai horizontal dan dinding sungai

berkarakteristik halus (smooth).

6. Pengaruh angin sangat kecil sehingga friksi di permukaan

diasumsikan nol.

1.4 Tujuan

Tujuan yang ingin dicapai dalam Tugas Akhir ini adalah

sebagai berikut:

1. Mengembangkan model sedimentasi di pertemuan dua

sungai dengan menggunakan pendekatan volume hingga.

4

2. Menyusun metode penyelesaian dari model sedimentasi

ini dengan menggunakan metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI).

3. Menganalisa pengaruh laju aliran sungai utama dan anak

sungai terhadap sedimentasi di pertemuan dua sungai ini.

1.5 Manfaat

Manfaat yang diharapkan dari penulisan Tugas Akhir ini

adalah memberikan pengetahuan kepada pihak terkait dalam

pencegahan dan penanggulangan dini atas dampak yang

ditimbulkan akibat adanya sedimentasi, serta dapat juga

digunakan sebagai acuan dalam penelitian sejenis.

1.6 Sistematika Penulisan

Penulisan laporan Tugas Akhir ini disusun dalam lima bab.

Adapun sistematika penulisan dalam laporan Tugas Akhir ini

adalah sebagai berikut:

1. BAB I PENDAHULUAN

Bab ini menjelaskan latar belakang penyusunan Tugas

Akhir, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat,

dan sistematika penulisan laporan Tugas Akhir.

2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini menjelaskan tentang konsep dasar aliran saluran

terbuka, sedimentasi beserta karakteristiknya, dasar-dasar

mengenai konsep volume hingga serta metode beda

hingga-Alternating Direction Implicit (ADI).

3. BAB III METODE PENELITIAN

Bab ini menjelaskan tentang tahap-tahap yang dilakukan

dalam penyusunan Tugas Akhir ini.

4. BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

5

Bab ini menjelaskan tentang bagaimana membangun model

sedimentasi dengan pendekatan konsep volume hingga

yang kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode

beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI). Di

samping itu, pada bab ini juga dilakukan analisis terhadap

hasil penelitian berdasarkan hasil simulasi yang dilakukan.

5. BAB V PENUTUP

Bab ini menjelaskan tentang penarikan kesimpulan dan

saran dari hasil analisa dan pembahasan yang telah

dilakukan.

6

“Halaman ini sengaja dikosongkan”

7

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Aliran Saluran Terbuka

Aliran pada saluran terbuka merupakan aliran yang

memiliki permukaan bebas yang dipengaruhi oleh tekanan udara

bebas. Aliran saluran terbuka banyak sekali dijumpai, misalkan

pada selokan, kali, sungai kecil dan sungai besar sampai ke muara

sungai, saluran pelayaran, saluran pembangkit listrik, saluran

irigasi dan talang. Aliran saluran terbuka dapat digolongkan

menjadi berbagai jenis dan diuraikan dengan berbagai cara.

2.1.1 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Waktu

a. Aliran Tetap (Steady Flow)

Aliran dikatakan tetap bila kedalaman aliran tidak

berubah atau dianggap konstan selama suatu selang

waktu tertentu. Pada aliran tetap berlaku:

𝜕𝑕

𝜕𝑡= 0 dan

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 0

b. Aliran Tidak Tetap (Unsteady Flow)

Aliran dikatakan tidak tetap bila kedalamannya

berubah sesuai dengan waktu. Pada aliran tidak tetap

berlaku:

𝜕𝑕

𝜕𝑡≠ 0 dan

𝜕𝑢

𝜕𝑡≠ 0

2.1.2 Tipe Aliran Berdasarkan Kriteria Ruang

a. Aliran Seragam

8

Aliran dikatakan seragam bila kedalaman aliran sama

pada setiap penampang saluran. Pada aliran seragam

berlaku:

𝜕𝑕

𝜕𝑠= 0 dan

𝜕𝑢

𝜕𝑠= 0

b. Aliran Tidak Seragam

Aliran dikatakan tidak seragam bila kedalaman aliran

berubah di sepanjang saluran. Pada aliran tidak

seragam berlaku:

𝜕𝑕

𝜕𝑠≠ 0 dan

𝜕𝑢

𝜕𝑠≠ 0

2.1.3 Tipe Aliran Berdasarkan Perbandingan Gaya-Gaya

Inersia dengan Kekentalan

a. Aliran Laminar

Aliran adalah laminar bila gaya kekentalan relatif

sangat besar dibandingkan dengan gaya inersia,

sehingga kekentalan berpengaruh besar terhadap

perilaku aliran. Dalam aliran laminar, butir-butir air

seolah-olah bergerak menurut lintasan tertentu yang

teratur atau lurus, dan selapis cairan yang sangat tipis

seperti menggelincir di atas lapisan di sebelahnya.

b. Aliran Turbulen

Aliran adalah turbulen bila gaya kekentalan relatif

lebih lemah dibandingkan dengan gaya

kelembamannya. Pada aliran turbulen, butir-butir air

bergerak menurut lintasan yang tidak teratur, tidak

lancar maupun tidak tetap, walaupun butir-butir

tersebut tetap menunjukkan gerak maju dalam aliran

secara keseluruhan.

9

c. Aliran Transisi

Di antara keadaan laminar dan turbulen terdapat suatu

campuran atau keadaan peralihan yang dikenal

sebagai aliran transisi.

2.2 Sedimentasi

Sedimentasi merupakan proses pengendapan material yang

diangkut oleh media air, angin, es atau gletser di suatu cekungan.

Menurut Dibyosaputra (1997) besar kecilnya sedimen di daerah

sungai ditentukan melalui transportasi sungai yang disebabkan

oleh adanya kekuatan aliran sungai yaitu kecepatan aliran tertentu

yang mampu mengangkut sedimen dengan diameter tertentu.

Dengan kata lain bahwa besarnya sedimen yang terangkat

bergantung pada debit sungai, material sedimen dan kecepatan

aliran [7].

Proses terjadinya sedimentasi terdiri dari dua bagian, yaitu

hidrodinamika dan morfologi. Hidrodinamika menjelaskan

tentang aliran sungai, sedangkan morfologi menjelaskan tentang

proses pengangkutan sedimen [4].

Ada lima macam angkutan sedimen yang terjadi di dalam

alur sungai, yaitu:

1. Dissolved load terdiri dari material, khususnya ion hasil

pelapukan kimia yang dilarutkan oleh air sungai. Sedimen

jenis ini berpengaruh terhadap keseluruhan jumlah total

material yang dilepaskan dari daerah tangkapan air.

2. Suspended load terutama terdiri dari pasir halus yang

melayang di dalam aliran karena tersangga oleh turbulensi

aliran air.

3. Intermittent suspension (saltation) load terjadi pada

sedimen berukuran pasir dimana aliran fluida yang ada

10

mampu menghisap dan mengangkut sedimen pasir tersebut

sampai akhirnya karena gaya gravitasi yang ada mampu

mengembalikan sedimen pasir tersebut ke dasar sungai.

4. Wash load terdiri dari partikel-partikel lanau dan debu yang

terbawa masuk ke dalam sungai dan tetap tinggal melayang

sampai mencapai laut, atau genangan air lainnya.

5. Bed load adalah angkutan dasar di mana material dengan

butiran-butiran yang lebih besar akan bergerak

menggelincir, menggelinding satu di atas lainnya pada

dasar sungai.

Untuk menghitung banyaknya sedimen pada transportasi

sedimen tipe bed load, salah satu rumus yang banyak digunakan

adalah rumus Meyer-Peter & Muller, yaitu [3].

𝑞𝑏 = 𝑐𝑚 (𝑠 − 1)𝑔 0.5𝑑501.5 𝜇𝜃 − 𝜃𝑎 1.5

dengan:

𝜃 =𝜏𝑏

𝜌𝑏−𝜌 𝑔𝑑50

𝜏𝑏 =𝜌

2

0.06

𝑙𝑜𝑔 12𝑕

2.5𝑑50

2 𝑈2

𝑠 =𝜌𝑠

𝜌

𝑞𝑏 = banyaknya sedimen tipe bed load 𝑐𝑚 = 8.0 koefisien Chezy

𝜇 = 1.0

𝜌𝑠 = massa jenis sedimen

𝜌 = massa jenis air

𝑔 = percepatan gravitasi

11

𝑑50 = rata-rata diameter sedimen

𝜃𝑎 = 0.047

𝑈 = kcepatan aliran sungai

𝑕 = kedalaman sungai

Perubahan morfologi sungai diasumsikan hanya terjadi

pada dasar sungai yang diakibatkan adanya proses gerusan dan

pengendapan. Perubahan ini dapat dihitung dengan menggunakan

persamaan kekekalan massa untuk transportasi sedimen, yaitu:

𝑑𝑧𝑏

𝑑𝑡+

1

(1−𝑝)

𝜕𝑞𝑏

𝜕𝑥+

𝜕𝑞𝑏

𝜕𝑦 = 0

dengan:

𝑧𝑏 = ketinggian dasar sungai

𝑝 = porositas

𝑞𝑏 = banyaknya sedimen bed load

2.3 Konsep Volume Hingga

Permasalahan sedimentasi pada pertemuan saluran terbuka

harus memenuhi hukum kekekalan massa dan kekekalan

momentum.

Hukum kekekalan massa untuk suatu volume kendali dapat

dinyatakan dengan persamaan [1]:

𝑑

𝑑𝑡 𝑚𝑎𝑠𝑠 + 𝑛𝑒𝑡𝑡 𝑜𝑢𝑡𝑤𝑎𝑟𝑑 𝑚𝑎𝑠𝑠 𝑓𝑙𝑢𝑥 = 0 (2.1)

dengan:

Massa = 𝜌∀; dengan 𝜌 adalah massa jenis dan ∀ adalah volume,

massa flux yang keluar= 𝜌𝑢𝐴; dengan 𝑢 adalah kecepatan dan 𝐴

adalah luas permukaan.

Sehingga persamaan (2.1) dapat ditulis dalam bentuk:

𝑑

𝑑𝑡 𝜌∀ + 𝜌𝑢𝐴𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0 (2.2)

12

dan menurut teorema pengangkutan Reynolds, persamaan (2.2)

dapat dinyatakan dalam bentuk diskrit, seperti persamaan berikut

ini:

𝜌𝑢𝐴 = 𝜌𝑢𝐴 𝑜𝑢𝑡 − 𝜌𝑢𝐴 𝑖𝑛𝑓𝑎𝑐𝑒

Sedangkan hukum kekekalan momentum untuk suatu

volume kendali dapat dinyatakan dengan persamaan [1]:

𝑑

𝑑𝑡 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚 + 𝑛𝑒𝑡𝑡 𝑜𝑢𝑡𝑤𝑎𝑟𝑑 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚 𝑓𝑙𝑢𝑥 = 𝐹𝑜𝑟𝑐𝑒

(2.3)

dengan:

Momentum= 𝜌𝐴𝑢 dimana 𝑢 adalah kecepatan

Momentum flux yang keluar= 𝜌𝑢𝐴𝑢

Sehingga persamaan (2.3) dapat ditulis menjadi:

𝑑

𝑑𝑡 𝜌∀𝑢 + 𝜌𝑢𝐴𝑢𝑓𝑎𝑐𝑒 = 𝐹

Force atau gaya pada aliran fluida terdiri dari dua tipe, yaitu

surface force dan body force. Gaya pokok yang termasuk dalam

kategori surface force adalah gaya tekan hidrostatis dan

viskositas, sedangkan yang termasuk body force adalah gaya

gravitasi, gaya berat, dan gaya gesek [5].

2.4 Metode Beda Hingga-Alternating Direction Implicit (ADI)

2.4.1 Metode Beda Hingga

Metode beda hingga adalah suatu metode numerik untuk

menyelesaikan suatu persamaan differensial dengan

mengaproksimasi turunan-turunan persamaan tersebut menjadi

sistem persamaan linear. Terdapat tiga skema beda hingga yang

13

biasa digunakan dalam diskritisasi persamaan differensial parsial,

yaitu skema maju, skema mundur, dan skema tengah.

a. Skema maju

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑢 𝑥𝑖+𝑕 −𝑢 𝑥𝑖

𝑕

Pada skema maju, informasi pada titik hitung 𝑖 dihubungkan dengan titik hitung 𝑖 + 1 yang berada di

depannya.

Gambar 2.1 Kisi Beda Hingga Skema Maju Ruang dengan

𝒉 = 𝒙𝒊+𝟏 − 𝒙𝒊 dan ∆𝒕 = 𝒕𝒏+𝟏 − 𝒕𝒏

Dengan menggunakan kisi beda hingga, maka skema maju

biasa ditulis sebagai berikut:

Skema maju-ruang:

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑢 𝑖+1𝑛 −𝑢 𝑖

𝑛

𝑕 atau

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑢 𝑖+1𝑛+1−𝑢 𝑖

𝑛+1

𝑕

Skema maju-waktu:

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝑢 𝑖+1𝑛+1−𝑢 𝑖+1

𝑛

∆𝑡 atau

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝑢 𝑖𝑛+1−𝑢 𝑖

𝑛

∆𝑡

b. Skema mundur

14

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑢 𝑥𝑖 −𝑢 𝑥𝑖−𝑕

𝑕

Pada skema mundur, informasi pada titik hitung 𝑖 dihubungkan dengan titik hitung 𝑖 − 1 yang berada di

belakangnya.

Gambar 2.2 Kisi Beda Hingga Skema Mundur

Dengan menggunakan kisi beda hingga, maa skema

mundur ditulis sebagai berikut:

Skema mundur-ruang:

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑢 𝑖𝑛 −𝑢 𝑖−1

𝑛

𝑕 atau

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑢 𝑖𝑛+1−𝑢 𝑖−1

𝑛+1

𝑕

Skema mundur-waktu:

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝑢 𝑖−1𝑛+1−𝑢 𝑖−1

𝑛

∆𝑡 atau

𝜕𝑢

𝜕𝑡=

𝑢 𝑖𝑛+1−𝑢 𝑖

𝑛

∆𝑡

c. Skema tengah

15

Gambar 2.3 Kisi Beda Hingga Skema Tengah-Ruang

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑢 𝑖+1𝑛+1−𝑢 𝑖−1

𝑛+1

2𝑕 atau

𝜕𝑢

𝜕𝑥=

𝑢 𝑖+1𝑛 −𝑢 𝑖−1

𝑛

2𝑕

Beda hingga terhadap ruang derivasi kedua:

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 =𝜕

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑥=

𝑢𝑖+1−𝑢𝑖𝑕

−𝑢𝑖−𝑢𝑖−1

𝑕

𝑕=

𝑢 𝑖+1−2𝑢𝑖+𝑢𝑖−1

𝑕2

Untuk 𝑡𝑛 ,

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 =𝑢 𝑖+1

𝑛 −2𝑢𝑖𝑛 +𝑢𝑖−1

𝑛

𝑕2

Untuk 𝑡𝑛+1,

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 =𝑢 𝑖+1

𝑛+1−2𝑢 𝑖𝑛+1+𝑢𝑖−1

𝑛+1

𝑕2

Sedangkan untuk beda hingga skema tengah terhadap

waktu

𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝑖−1

=𝑢 𝑖−1

𝑛+1−𝑢 𝑖−1𝑛

∆𝑡

𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝑖

=𝑢 𝑖

𝑛+1−𝑢 𝑖𝑛

∆𝑡

16

𝜕𝑢

𝜕𝑥 𝑖+1

=𝑢 𝑖+1

𝑛+1−𝑢 𝑖+1𝑛

∆𝑡

2.4.2 Alternating Direction Implicit (ADI) Method

Metode Alternating Direction Implicit (ADI) adalah

metode beda hingga yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan differensial parsial berbentuk parabolik dan eliptik.

Metode ini banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah

konduksi panas atau memecahkan permasalahan difusi dalam dua

dimensi atau lebih.

Misal diberikan sistem persamaan differensial biasa [2]:

𝑑𝑈

𝑑𝑡= 𝐴1 + 𝐴2 𝑈

𝑈 0 = 𝑈0

dengan 𝑈 𝑡 adalah vektor berdimensi 𝑁:

𝑈𝑚+1 = 𝑈𝑚 +∆𝑡

2 𝐴1 + 𝐴2 𝑈𝑚+1 + 𝐴1 + 𝐴2 𝑈𝑚

17

BAB III

METODE PENELITIAN

Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan

dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Di samping itu,

dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah

yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir. Beberapa

tahapan penelitian yang dilakukan adalah:

3.1 Tahapan Penelitian

Guna mencapai tujuan dari penulisan ini, akan dilakukan

langkah-langkah sebagai berikut:

a. Studi literatur

Pada tahap ini dilakukan studi literatur mengenai teori-teori

dasar yang mendukung pembahasan masalah pada Tugas

Akhir ini dengan mengumpulkan berbagai referensi yang

mendukung penelitian ini. Uraian mengenai konsep dasar

aliran saluran terbuka, sedimentasi, metode beda hingga-

Alternating Direction Implicit (ADI). Pembelajaran ini

didapat baik melalui buku-buku literatur, Tugas Akhir atau

Thesis yang berkaitan dengan permasalahan tersebut,

maupun artikel dari internet.

b. Perumusan model sedimentasi

Pada tahap ini dilakukan perumusan model sedimentasi

dengan konsep volume hingga dengan menerapkan hukum

kekekalan massa dan kekekalan momentum aliran fluida

serta persamaan transportasi (angkutan) sedimen dengan

mempertimbangkan batasan masalah dan kendala-kendala

yang mempengaruhi.

c. Penyelesaian numerik

Pada tahap ini dilakukan penyelesaian numerik dengan

menggunakan metode beda hingga-Alternating Direction Implicit (ADI). Metode ini digunakan untuk penyelesaian

numerik dari model sedimentasi.

18

d. Simulasi

Pada tahap ini dilakukan simulasi hasil penyelesaian

dengan menggunakan Matlab. Hal ini bertujuan agar hasil

penelitian lebih mudah dipahami.

e. Analisa hasil dan penarikan kesimpulan serta penyusunan

laporan

Pada tahap ini dilakukan analisa hasil dan kemudian

diambil suatu kesimpulan dari analisa yang telah dilakukan

serta disusun buku sebagai bahan dokumentasi dari

pengerjaan Tugas Akhir.

3.2 Diagram Alir Metode Penelitian

Secara umum tahapan-tahapan yang dilakukan dalam

menyelesaikan penulisan Tugas Akhir ini dapat ditampilkan

dalam diagram alir penelitian pada Gambar 3.1 di bawah ini:

19

Gambar 3.1 Diagram Alir Penelitian

Mulai

Studi literatur

Studi mengenai model sungai sinusoidal.

Perumusan model sedimentasi

Perumusan model sedimentasi dengan konsep volume

hingga.

Simulasi

Simulasi menggunakan perangkat lunak Matlab.

Selesai

Penyelesaian numerik

Penyelesaian menggunakan Alternating Direction Implicit (ADI)

Analisa hasil dan penarikan kesimpulan serta

penyusunan laporan

Analisa hasil dan diambil kesimpulan serta disusun buku

sebagai bahan dokumentasi

20


21

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa model untuk proses terjadinya sedimentasi terdiri dari dua bagian, yaitu hidrodinamika aliran sungai dan morfologi sungai.

4.1 Hidrodinamika Aliran Sungai

Profil aliran sungai model sinusoidal dan volume kendali adalah sebagai berikut:

Gambar 4.1 Penampang Sungai

22

Gambar 4.2 Volume Kendali

4.1.1 Persamaan Kekekalan Massa

Sebuah sistem didefinisikan sebagai kumpulan dari isi yang tidak berubah, maka prinsip kekekalan massa untuk sebuah sistem dinyatakan dengan:

𝜕𝑀𝑠𝑦𝑠

𝜕𝑡= 0 (4.1)

dengan 𝑀𝑠𝑦𝑠 adalah massa sistem, yang lebih umum dinyatakan dengan: 𝑀𝑠𝑦𝑠 = 𝜌𝑑∀

𝑠𝑦𝑠 (4.2)

Menurut teorema pengangkutan Reynold, untuk sebuah

sistem dan sebuah volume kendali yang tetap dan tidak berdeformasi (mengalir) yang berimpit pada suatu saat yang sama dapat dinyatakan sebagai berikut:

23

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑑∀𝑠𝑦𝑠

=𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑑∀𝐶𝑉

+ 𝜌𝑈.𝑛 𝑑𝐴𝐶𝑆

(4.3) Integral 𝑈.𝑛 dalam integral laju aliran massa menyatakan perkalian dari komponen kecepatan 𝑈, yang tegak lurus terhadap suatu bagian terkecil permukaan kendali (CS) dan bidang differensial 𝑑𝐴. Jadi, 𝑈.𝑛 𝑑𝐴 adalah laju aliran volume melalui 𝑑𝐴 dan 𝜌𝑈.𝑛 𝑑𝐴 adalah laju aliran massa melalui 𝑑𝐴.

Untuk tanda perkalian titik, adalah “+” untuk aliran yang keluar dari volume kendali (CV) dan “-“ untuk aliran yang masuk ke dalam volume kendali (CV) karena 𝑛 dianggap positif apabila menunjuk keluar volume kendali (CV). Jika seluruh differensial .𝑛 𝑑𝐴 dijumlahkan pada seluruh permukaan kendali (CS), maka diperoleh 𝜌𝑈.𝑛 𝑑𝐴

𝐶𝑆 dan jika hasilnya ditulis dalam bentuk

diskrit menjadi laju aliran massa netto melalui permukaan kendali, yaitu:

𝜌𝑈.𝑛 𝑑𝐴𝐶𝑆

= 𝑚 𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟 − 𝑚 𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘 (4.4) dengan 𝑚 adalah laju aliran massa dengan 𝑚 = 𝜌𝑄 = 𝜌𝑉𝐴.

Dengan mengkombinasikan Persamaan (4.1), (4.2), dan (4.3) akan menghasilkan persamaan kekekalan massa dengan volume kendali (CV) yang tetap dan tidak berdeformasi, yaitu:

𝜕


+ 𝜌𝑈.𝑛 𝑑𝐴𝐶𝑆

= 0 (4.5) dengan 𝜕


=𝜕

𝜕𝑡 𝜌∀ adalah fluks massa aliran yang ada

dalam volume kendali. Jika Persamaan (4.5) dijabarkan maka diperoleh: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌∀ + 𝜌𝑢𝐴 𝑒 − 𝜌𝑢𝐴 𝑤 + 𝜌𝑣𝐴 𝑛 − 𝜌𝑣𝐴 𝑠 + 𝜌𝑤𝐴 𝑏 −

𝜌𝑤𝐴 𝑡 = 0 (4.6)

24

dengan 𝐴𝑒= permukaan kendali yang keluar sisi timur, 𝐴𝑤= permukaan kendali yang masuk sisi barat, 𝐴𝑛= permukaan kendali yang keluar sisi utara, 𝐴𝑠= permukaan kendali yang masuk sisi selatan, 𝐴𝑏= permukaan kendali yang keluar sisi bawah dan 𝐴𝑡= permukaan kendali yang masuk sisi atas. Oleh karena ∀= ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, 𝐴𝑒 = 𝐴𝑤 = ∆𝑦∆𝑧, 𝐴𝑛 = 𝐴𝑠 = ∆𝑥∆𝑧, 𝐴𝑏 = 𝐴𝑡 = ∆𝑥∆𝑦 maka Persamaan (4.6) menjadi: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧 + 𝜌 𝑢𝑒 − 𝑢𝑤 ∆𝑦∆𝑧 + 𝜌 𝑣𝑛 − 𝑣𝑠 ∆𝑥∆𝑧 +

𝜌 𝑤𝑏 −𝑤𝑡 ∆𝑥∆𝑦 = 0 (4.7) Jika Persamaan (4.7) dibagi dengan ∆𝑥∆𝑦∆𝑧 maka diperoleh: 𝜕𝜌

𝜕𝑡+

𝜌 𝑢𝑒−𝑢𝑤

∆𝑥+

𝜌 𝑣𝑛−𝑣𝑠

∆𝑦+

𝜌 𝑤𝑏−𝑤𝑡

∆𝑧= 0 (4.8)

Dengan merujuk pada metode volume hingga, untuk limit ∆𝑥 → 0,∆𝑦 → 0,∆𝑧 → 0, serta karena alirannya incompressible

atau tak mampu mampat, maka Persamaan (4.8) menjadi: 𝜕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕𝑤

𝜕𝑧= 0 (4.9)

Dengan mengintegralkan Persamaan (4.9) terhadap sumbu z (kedalaman, 𝑕(𝑥,𝑦, 𝑡)), maka persamaan tersebut menjadi:

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝑧𝑕𝑧0

𝑑𝑧 + 𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝑧𝑕𝑧0

𝑑𝑧 + 𝜕𝑤

𝜕𝑧

𝑧𝑕𝑧0

𝑑𝑧 = 0 (4.10) Dengan menggunakan aturan Leibnitz, Persamaan (4.10) menjadi:

25

𝜕

𝜕𝑥 𝑢 𝑑𝑧𝑧𝑕𝑧0

− 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕 𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑥+ 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧0

𝜕𝑧0

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑦 𝑣 𝑑𝑧𝑧𝑕𝑧0

−

𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕 𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑦+ 𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧0

𝜕𝑧0

𝜕𝑦+ 𝑤 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕 − 𝑤 𝑥,𝑦, 𝑧0 = 0

(4.11) Dengan menggunakan turunan total 𝑧 = 𝑧(𝑥,𝑦, 𝑡) terhadap waktu 𝑡, yaitu: 𝜕𝑧

𝜕𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝜕𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝜕𝑦

𝜕𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑡

𝜕𝑡

𝜕𝑡 (4.12)

Karena 𝜕𝑥

𝜕𝑡= 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧 ,

𝜕𝑦

𝜕𝑡= 𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧 ,

𝜕𝑧

𝜕𝑡= 𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧 , maka

diperoleh: 𝑤 𝑥,𝑦, 𝑧 = 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝑥+ 𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧

𝜕𝑧

𝜕𝑦+

𝜕𝑧

𝜕𝑡 (4.13)

Untuk 𝑧 = 𝑧𝑕 , maka Persamaan (4.13) menjadi: 𝑤 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕 = 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕

𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑥+ 𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕

𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑦+

𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑡 (4.14a)

Dan untuk 𝑧 = 𝑧0, maka Persamaan (4.13) menjadi: 𝑤 𝑥,𝑦, 𝑧0 = 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧0

𝜕𝑧0

𝜕𝑥+ 𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧0

𝜕𝑧0

𝜕𝑦+

𝜕𝑧0

𝜕𝑡 (4.14b)

Jika Persamaan (4.14a) dan (4.14b) disubstitusikan ke Persamaan (4.11) maka diperoleh: 𝜕

𝜕𝑥 𝑢 𝑑𝑧𝑧𝑕𝑧0

− 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕 𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑥+ 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧0

𝜕𝑧0

𝜕𝑥+

𝜕

𝜕𝑦 𝑣 𝑑𝑧𝑧𝑕𝑧0

−

𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕 𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑦+ 𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧0

𝜕𝑧0

𝜕𝑦+ 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕

𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑥+

𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧𝑕 𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑦+

𝜕𝑧𝑕

𝜕𝑡− 𝑢 𝑥,𝑦, 𝑧0

𝜕𝑧0

𝜕𝑥+ 𝑣 𝑥,𝑦, 𝑧0

𝜕𝑧0

𝜕𝑦+

𝜕𝑧0

𝜕𝑡 =

0 (4.15)

26

Persamaan (4.15) dapat disederhanakan menjadi: 𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑦+

𝜕 𝑧𝑕−𝑧0

𝜕𝑡= 0 (4.16)

Dengan 𝑢 =

1

𝑕 𝑢 𝑑𝑧𝑧𝑕𝑧0

, dan 𝑣 =1

𝑕 𝑣 𝑑𝑧𝑧𝑕𝑧0

Dan karena 𝑧𝑕−𝑧0 = 𝑕, maka Persamaan (4.16) menjadi: 𝜕𝑕

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑦= 0 (4.17)

Persamaan (4.17) merupakan persamaan kekekalan massa untuk aliran lurus dua dimensi. Untuk aliran pertemuan sungai maka Persamaan (4.17) menjadi: 𝜕𝑕

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑦= 𝑄1 + 𝑄2 (4.18)

Dengan 𝑄1 adalah debit yang masuk dari sungai utama dan 𝑄2 adalah debit yang masuk dari anak sungai. 4.1.2 Persamaan Kekekalan Momentum

Momentum adalah massa dikalikan dengan kecepatan, maka momentum dari sebuah partikel kecil 𝜌𝑑∀ adalah 𝑈𝜌𝑑∀. Jadi momentum dari seluruh sistem adalah 𝑈𝜌𝑑∀

𝑠𝑦𝑠, dapat

ditulis menjadi:

𝜕

𝜕𝑡 𝑈𝜌𝑑∀𝑠𝑦𝑠

= 𝐹𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚

Berdasarkan teorema pengangkutan Reynolds, untuk sebuah sistem dan kandungan volume kendali yang tetap dan tidak berdeformasi adalah:

27

𝜕

𝜕𝑡 𝑈𝜌𝑑∀𝑠𝑦𝑠

=𝜕

𝜕𝑡 𝑈𝜌𝑑∀ + 𝑈𝜌𝑈.𝑛 𝑑𝐴

𝐶𝑠𝐶𝑉

Sehingga persamaan untuk kekekalan momentum dapat ditulis menjadi: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑈𝑑∀ + 𝑈𝜌𝑈.𝑛 𝑑𝐴

𝐶𝑠𝐶𝑉= 𝐹𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑘𝑒𝑟𝑗𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚

⇔

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑈𝑑∀ + 𝜌𝑈𝐴𝑈𝑐𝑠𝐶𝑉

= 𝐹 ⇔

𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑈∀ + 𝜌𝑈𝐴𝑈𝑐𝑠 = 𝐹 (4.19)

Persamaan (4.19) kemudian dijabarkan menjadi: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌∀U + 𝜌𝑢𝐴U 𝑒 − 𝜌𝑢𝐴U 𝑤 + 𝜌𝑣𝐴U 𝑛 − 𝜌𝑣𝐴U 𝑠 +

𝜌𝑤𝐴U 𝑏 − 𝜌𝑤𝐴U 𝑡 = 𝐹𝑠𝑥𝐴 𝑒− 𝐹𝑠𝑥𝐴 𝑤

+ 𝐹𝑠𝑦𝐴 𝑛−

𝐹𝑠𝑦𝐴 𝑠+ 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦 ∀ (4.20)

Dengan: 𝐹𝑠= surface forces, dan 𝐹𝑏= body forces

Apabila ∀ dan 𝐴 dinyatakan dalam bentuk ∀= ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, 𝐴𝑒 =𝐴𝑤 = ∆𝑦∆𝑧, 𝐴𝑛 = 𝐴𝑠 = ∆𝑥∆𝑧, 𝐴𝑏 = 𝐴𝑡 = ∆𝑥∆𝑦 , maka Persamaan (4.20) menjadi: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝑈 + 𝜌𝑢U 𝑒 − 𝜌𝑢U 𝑤 ∆𝑦∆𝑧 + 𝜌𝑣U 𝑛 −

𝜌𝑣U 𝑠 ∆𝑥∆𝑧 + 𝜌𝑤U 𝑏 − 𝜌𝑤U 𝑡 ∆𝑥∆𝑦 = 𝐹𝑠𝑥 𝑒−

𝐹𝑠𝑥 𝑤 ∆𝑦∆𝑧 + 𝐹𝑠𝑦 𝑛

− 𝐹𝑠𝑦 𝑠 ∆𝑥∆𝑧 + 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦 ∆𝑥∆𝑦∆𝑧

(4.21)

28

Jika Persamaan (4.21) dibagi dengan ∆𝑥∆𝑦∆𝑧, maka persamaan tersebut menjadi: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌U +

𝜌𝑢U 𝑒− 𝜌𝑢U 𝑤

∆𝑥+

𝜌𝑣U 𝑛− 𝜌𝑣U 𝑠

∆𝑦+

𝜌𝑤U 𝑏− 𝜌𝑤U 𝑡

∆𝑧=

𝐹𝑠𝑥 𝑒− 𝐹𝑠𝑥 𝑤

∆𝑥+

𝐹𝑠𝑦 𝑛− 𝐹𝑠𝑦 𝑠

∆𝑦+ 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦 (4.22)

Karena pada penelitian ini, model yang dibangun adalah

dalam dua dimensi maka persamaan yang digunakan adalah terhadap sumbu x dan sumbu y: a. Terhadap sumbu x

Pada sumbu x, U = 𝑢 Sehingga Persamaan (4.22) menjadi: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌𝑢 +

𝜌𝑢2 𝑒− 𝜌𝑢2

𝑤

∆𝑥+

𝜌𝑣𝑢 𝑛− 𝜌𝑣𝑢 𝑠

∆𝑦=


∆𝑥+


∆𝑦+ 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦 (4.23)

Dengan merujuk pada metode volume hingga, dimana untuk limit ∆𝑥 → 0,∆𝑦 → 0 dan karena alirannya tak mampu mampat (incompressible), maka Persamaan (4.23) dapat dinyatakan menjadi: 𝜕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑢2

𝜕𝑥+

𝜕𝑢𝑣

𝜕𝑦=

1

𝜌 𝜕 𝐹𝑠𝑥

𝜕𝑥+

𝜕 𝐹𝑠𝑦

𝜕𝑦+ 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦

(4.24) Dengan mengintegralkan Persamaan (4.24) terhadap sumbu 𝑧 (kedalaman, 𝑕(𝑥, 𝑦, 𝑡)), maka persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu x adalah:

29

𝜕(𝑕𝑢)

𝜕𝑡+

𝜕(𝑕𝑢2)

𝜕𝑥+

𝜕(𝑕𝑢𝑣)

𝜕𝑦=

1

𝜌 𝜕 𝑕𝐹𝑠𝑥

𝜕𝑥+

𝜕 𝑕𝐹𝑠𝑦

𝜕𝑦+

𝑕 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦 (4.25)

b. Terhadap sumbu y

Pada sumbu y, U = 𝑣 Sehingga Persamaan (4.22) menjadi: 𝜕

𝜕𝑡 𝜌v +

𝜌𝑢𝑣 𝑒− 𝜌𝑢𝑣 𝑤

∆𝑥+

𝜌𝑣2 𝑛− 𝜌𝑣2

𝑠

∆𝑦=


∆𝑥+


∆𝑦+ 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦 (4.26)

Dengan merujuk pada metode volume hingga, dimana untuk limit ∆𝑥 → 0,∆𝑦 → 0 dan karena alirannya tak mampu mampat (incompressible), maka Persamaan (4.26) dapat dinyatakan menjadi: 𝜕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑢𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑣2

𝜕𝑦=

1

𝜌 𝜕 𝐹𝑠𝑥

𝜕𝑥+

𝜕 𝐹𝑠𝑦

𝜕𝑦+ 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦 (4.27)

Dengan mengintegralkan Persamaan (4.27) terhadap sumbu 𝑧 (kedalaman, 𝑕(𝑥, 𝑦, 𝑡)), maka persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu y adalah: 𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣2

𝜕𝑦=

1

𝜌 𝜕 𝑕𝐹𝑠𝑥

𝜕𝑥+

𝜕 𝑕𝐹𝑠𝑦

𝜕𝑦+ 𝑕 𝐹𝑏𝑥 + 𝐹𝑏𝑦

(4.28) Persamaan (4.25) dan (4.28) merupakan persamaan kekekalan momentum untuk aliran lurus dua dimensi.

30

Diasumsikan gaya-gaya yang bekerja pada pertemuan sungai adalah gaya hidrostatis (𝑃), gaya geser pada pertemuan sungai (𝑆), gaya berat (𝑊), dan gaya gesek dinding sungai 𝐹𝑏1

dan 𝐹𝑏2 serta gaya gesek dasar

sungai 𝜏 yaitu: Gaya hidrostatis: 𝑃 =

1

2𝛾𝑕2𝑏

dengan: 𝛾 = berat jenis air 𝑕 = kedalaman sungai 𝑏 = lebar sungai Gaya geser pada pertemuan dua sungai: 𝑆 = 𝐶𝑓𝜌

𝑉12−𝑉2

2

2𝑕𝐿𝑖

𝜌 = massa jenis air 𝐶𝑓 = koefisien gesek 𝑉1

2 = kecepatan aliran pada sungai utama 𝑉2

2= kecepatan aliran pada anak sungai Gaya berat: 𝑊 = 𝛾𝐴𝐿𝑖𝑆𝑥 Dengan: 𝐴 = luas volume kendali 𝐿𝑖 = panjang domain kendali pertemuan sungai 𝑆𝑥 = kemiringan sungai Gaya gesek dinding sungai

𝐹𝑏1= 𝜌

𝑈3

𝐶∗

2 𝑏3 1 − 𝜉 + 𝑦3 𝐿

31

𝐹𝑏2= 𝜌

𝑈3

𝐶∗

2 𝑏3𝜉 + 𝑦3 𝐿1

Gaya gesek dasar sungai: 𝜏𝑏 = 𝜌𝑔𝑕𝑆𝑥 Karena diasumsikan dinding sungai berkarakteristik halus (smooth), maka diperoleh:

𝐹𝑠 = −𝑃

𝐴= −

1

2𝛾𝑕2𝑏

𝑕𝑏= −

1

2𝜌𝑔𝑕

𝐹𝑏𝑙 =

𝜏𝑏

𝑕

𝐹𝑏𝑝 = 𝜌

𝑔𝑆𝑥 𝑕+𝐿𝑖

𝑕− 𝐶𝑓𝜌

𝑉12−𝑉2

2

2𝐴𝑕𝐿𝑖

Dengan 𝐹𝑏𝑙 = body force pada sungai utama 𝐹𝑏𝑝 = body force pada pertemuan sungai 𝐶∗ = koefisien Chezy 𝑈3 = kecepatan pada pertemuan sungai 𝑦3 = kedalaman pada pertemuan sungai 𝑏3 = lebar sungai 𝜉 = rasio debit sungai utama dengan debit pertemuan sungai 𝐿 = panjang domain kendali sungai utama 𝐿1 = panjang domain kendali anak sungai 𝐿𝑖 = panjang domain kendali pertemuan sungai Dengan 𝑆𝑥 adalah kemiringan dasar saluran pada sumbu-x dan 𝑆𝑦 adalah kemiringan dasar saluran pada sumbu-y, maka Persamaan (4.25) menjadi:

32

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑦= −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕2

𝜕𝑦 + 𝑔𝑕 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦

(4.29) Dan Persamaan (4.28) menjadi: 𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣2

𝜕𝑦= −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕2

𝜕𝑦 + 𝑔𝑕 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦

(4.30) Dari (4.29) persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu x pada pertemuan sungai adalah: 𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑦= −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕2

𝜕𝑦 + 𝑔𝑆𝑥 𝑕 + 𝐿𝑖 −

𝑕𝐶𝑓 𝑉1

2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2 (4.31)

Dari (4.30) persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu y pada pertemuan sungai adalah: 𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣2

𝜕𝑦= −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕2

𝜕𝑦 + 𝑔𝑆𝑥 𝑕 + 𝐿𝑖 −

𝑕𝐶𝑓 𝑉1

2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2 (4.32)

Setelah didapat persamaan kekekalan massa dan

momentum terhadap sumbu x dan sumbu y untuk aliran lurus dua dimensi, kemudian diubah menjadi aliran sinusoidal. Untuk sungai utama dengan arah aliran ke arah sumbu (-y) (Gambar 4.3) dan anak sungai dengan arah aliran ke arah sumbu (+y) (Gambar 4.4), sehingga dapat digunakan persamaan:

𝑥 = sin𝑦 →

𝜕𝑥

𝜕𝑦= cos𝑦 (4.33)

Dengan 0 ≤ 𝑦 ≤ 2𝜋

33

Gambar 4.3 Sungai Utama

Gambar 4.4 Anak Sungai

Kemudian Persamaan (4.33) disubstitusikan ke dalam

Persamaan kekekalan massa (4.17) dan Persamaan kekekalan momentum (4.29) dan (4.30), sehingga governing equation yang diperoleh untuk sungai utama dan anak sungai adalah: 1. Persamaan kekekalan massa

34

𝜕𝑕

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑥cos𝑦 = 0 (4.34)

2. Persamaan kekekalan momentum

a. Terhadap sumbu x 𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑥cos𝑦 = −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕2

𝜕𝑥cos𝑦 +

𝑔𝑕 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 (4.35)

b. Terhadap sumbu y 𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣2


1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕2

𝜕𝑥cos𝑦 +

𝑔𝑕 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 (4.36)

Untuk pertemuan sungai, arah aliran ke arah sumbu (x), sehingga dapat digunakan persamaan: 𝑦 = sin𝑥 →

𝜕𝑦

𝜕𝑥= cos𝑥 (4.37)

Dengan 0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋

Gambar 4.5 Pertemuan Sungai

Kemudian Persamaan (4.37) disubstitusikan ke

Persamaan kekekalan massa (4.18) dan Persamaan kekekalan

35

momentum (4.31) dan (4.32) untuk aliran lurus pada pertemuan sungai, sehingga governing equation yang diperoleh untuk pertemuan sungai adalah: 1. Persamaan kekekalan massa

𝜕𝑕

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑦cos𝑥 +

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑦= 𝑄1 + 𝑄2 (4.38)

2. Persamaan kekekalan momentum

a. Terhadap sumbu x 𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢2

𝜕𝑦cos 𝑥 +

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑦= −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑦cos𝑥 +

𝜕𝑕2

𝜕𝑦 +

𝑔𝑆𝑥 𝑕 + 𝐿𝑖 − 𝑕𝐶𝑓 𝑉1

2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2

(4.39)

b. Terhadap sumbu y 𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑦cos 𝑥 +

𝜕𝑕𝑣2

𝜕𝑦= −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑦cos𝑥 +

𝜕𝑕2

𝜕𝑦 +


2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2

(4.40) 4.2 Morfologi Sungai

Persamaan kekekalan massa sedimen: Governing equation untuk sungai utama dan anak sungai: 𝜕𝑧𝑏

𝜕𝑡+

1

(1−𝜌) 𝜕𝑞𝑏

𝜕𝑥 1 + cos𝑦 = 0 (4.41)

Governing equation untuk pertemuan sungai: 𝜕𝑧𝑏

𝜕𝑡+

1

(1−𝜌) 𝜕𝑞𝑏

𝜕𝑦 1 + cos𝑥 = 0 (4.42)

36

Untuk menghitung banyaknya transportasi sedimen bed load menggunakan rumus Meyer-Peter & Muller [3]: 𝑞𝑏 = 𝑐𝑚 (𝑠 − 1)𝑔 0.5𝑑50

1.5 𝜇𝜃 − 𝜃𝑎 1.5

dengan: 𝜃 =

𝜏𝑏 𝜌𝑏−𝜌 𝑔𝑑50

𝜏𝑏 =𝜌

2

0.06

𝑙𝑜𝑔 12𝑕

2.5𝑑50

2 𝑈2

𝑠 =

𝜌𝑠

𝜌

𝑞𝑏 = banyaknya sedimen tipe bed load 𝑐𝑚 = 8.0 koefisien Chezy

𝜇 = 1.0 𝜌𝑠 = massa jenis sedimen 𝜌 = massa jenis air 𝑔 = percepatan gravitasi 𝑑50 = rata-rata diameter sedimen 𝜃𝑎 = 0.047 𝑈 = kcepatan aliran sungai 𝑕 = kedalaman sungai

4.3 Diskritisasi Model Dua Dimensi Untuk diskritisasi terhadap waktu menggunakan skema

maju dan untuk diskritisasi terhadap ruang menggunakan skema tengah. Berikut adalah gambar untuk diskritisasi terhadap 𝑢, 𝑣, dan 𝑕:

37

Gambar 4.6 Pola Diskritisasi untuk 𝒖,𝒗, dan 𝒉

4.3.1 Persamaan Kekekalan Massa Sungai Utama

Berikut adalah persamaan kekekalan massa pada Persamaan (4.34): 𝜕𝑕

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑥cos𝑦 = 0

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi: 𝜕𝑕

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑕

𝜕𝑥+ 𝑕

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑕

𝜕𝑥+ 𝑕

𝜕𝑣

𝜕𝑥 cos𝑦 = 0

Dengan menggunakan metode beda hingga didapat:

𝑕𝑖,𝑗𝑛+1−𝑕𝑖,𝑗

𝑛

∆𝑡 + 𝑢𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛+1 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛+1

2∆𝑥 + 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑢𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 +

𝑣𝑖,𝑗𝑛

𝑕𝑖+1,𝑗𝑛+1 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛+1

2∆𝑥 + 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑣𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑣𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 cos𝑦 = 0 (4.43)

Persamaan (4.43) dapat diatur menjadi:

1

∆𝑡 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛+1 + 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 +cos 𝑦 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑥 𝑕𝑖+1,𝑗

𝑛+1 + −𝑢 𝑖,𝑗

𝑛 −cos 𝑦 𝑣𝑖,𝑗𝑛

2∆𝑥 𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛+1 =

1

∆𝑡−

𝑢 𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑢𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 − cos𝑦

𝑣𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑣𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 (4.44)

Persamaan (4.44) dapat disederhanakan menjadi:

38

𝐴𝑖𝑕𝑖,𝑗

𝑛+1 + 𝐵𝑖𝑕𝑖+1,𝑗𝑛+1 + 𝐶𝑖𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛+1 = 𝐷𝑖 (4.45) dengan:

𝐴𝑖 = 1

∆𝑡 ,𝐵𝑖 =

𝑢 𝑖,𝑗𝑛 +cos 𝑦 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑥 ,𝐶𝑖 =

−𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −cos 𝑦 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑥 ,

𝐷𝑖 = 1

∆𝑡−

𝑢𝑖+1,𝑗𝑛 − 𝑢𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 − cos𝑦

𝑣𝑖+1,𝑗𝑛 − 𝑣𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 𝑕𝑖,𝑗

𝑛

Persamaan (4.45) menghasilkan sistem persamaan linear (SPL) tri-diagonal. Jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi:

𝐴1

𝐶2

00⋮0

𝐵1

𝐴2

⋱⋮⋮0

0𝐵2

⋱⋮⋮0

00⋱⋱

𝐶𝑘−1

0

⋯⋯⋮⋱

𝐴𝑘−1

𝐶𝑘

00⋮⋮

𝐵𝑘−1

𝐴𝑘

𝑕1,𝑗𝑛+1

𝑕2,𝑗𝑛+1

⋮⋮

𝑕𝑘−1,𝑗𝑛+1

𝑕𝑘 ,𝑗𝑛+1

=

𝐷1

𝐷2

⋮⋮

𝐷𝑘−1

𝐷𝑘

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑕1,𝑗

𝑛+1 sampai dengan 𝑕𝑘 ,𝑗𝑛+1.

4.3.2 Persamaan Kekekalan Momentum Sungai Utama a. Terhadap Sumbu x

Berikut adalah persamaan kekekalan momentum terhadap sumbu x pada Persamaan (4.35):

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢2

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑢𝑣


1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑥 1 + cos𝑦 +

𝑔𝑕 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦

39

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi: 𝑕𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑕

𝜕𝑡+ 2𝑕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑢2 𝜕𝑕

𝜕𝑥+ 𝑢𝑣

𝜕𝑕

𝜕𝑥+ 𝑕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑕𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥 cos𝑦 =

−1

2𝑔 2𝑕

𝜕𝑕

𝜕𝑥 1 + cos𝑦 + 𝑔𝑕 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦


𝑕𝑖,𝑗𝑛

𝑢 𝑖,𝑗𝑛+1−𝑢 𝑖,𝑗

𝑛


𝑛 𝑕𝑖,𝑗𝑛+1−𝑕𝑖,𝑗

𝑛

∆𝑡 + 2𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢𝑖 ,𝑗𝑛

𝑢 𝑖+1,𝑗𝑛+1 −𝑢 𝑖−1,𝑗

𝑛+1

2∆𝑥 +

𝑢2 𝑖,𝑗𝑛

𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 +

𝑢𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 + 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑣𝑖 ,𝑗𝑛

𝑢 𝑖+1,𝑗𝑛+1 −𝑢 𝑖−1,𝑗

𝑛+1

2∆𝑥 +

𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑢𝑖,𝑗


𝑛

2∆𝑥 cos𝑦 = −

1

2𝑔 2𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 1 +

cos𝑦 + 𝑔𝑕𝑖 ,𝑗𝑛 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 (4.46)


𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡 𝑢𝑖,𝑗

𝑛+1 + 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 +cos 𝑦 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑣𝑖,𝑗𝑛

2∆𝑥 𝑢𝑖+1,𝑗

𝑛+1 +

−2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −cos 𝑦 𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑥 𝑢𝑖−1,𝑗

𝑛+1 = 𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡−


𝑛

∆𝑡 −

𝑢𝑖,𝑗𝑛

𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 − cos𝑦 𝑣𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 −

cos𝑦 𝑕𝑖,𝑗𝑛

𝑣𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑣𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 𝑢𝑖 ,𝑗

𝑛 −1

2𝑔 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 1 +

cos𝑦 + 𝑔 𝑕𝑖 ,𝑗𝑛 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 (4.47)


40

𝐴𝑖𝑢𝑖,𝑗

𝑛+1 + 𝐵𝑖𝑢𝑖+1,𝑗𝑛+1 + 𝐶𝑖𝑢𝑖−1,𝑗

𝑛+1 = 𝐷𝑖 (4.48) dengan:

𝐴𝑖 = 𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡 ,𝐵𝑖 =

2 𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑢 𝑖,𝑗

𝑛 +cos 𝑦 𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑥 ,

𝐶𝑖 = −2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −cos 𝑦 𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑥 ,

𝐷𝑖 =

𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡−


𝑛

∆𝑡 − 𝑢𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 −

cos𝑦 𝑣𝑖 ,𝑗𝑛

𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 − cos𝑦 𝑕𝑖,𝑗


𝑛

2∆𝑥 𝑢𝑖 ,𝑗

𝑛 −

1

2𝑔 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 1 + cos𝑦 + 𝑔 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦

Persamaan (4.48) menghasilkan sistem persamaan linier

(SPL) tridiagonal pada setiap 𝑛. Jika ditulis dalam bentuk matriks menjadi:

𝐴1

𝐶2

00⋮0

𝐵1

𝐴2

⋱⋮⋮0

0𝐵2

⋱⋮⋮0

00⋱⋱

𝐶𝑘−1

0

⋯⋯⋮⋱

𝐴𝑘−1

𝐶𝑘

00⋮⋮

𝐵𝑘−1

𝐴𝑘

𝑢1,𝑗𝑛+1

𝑢2,𝑗𝑛+1

⋮⋮

𝑢𝑘−1,𝑗𝑛+1

𝑢𝑘,𝑗𝑛+1

=

𝐷1

𝐷2

⋮⋮

𝐷𝑘−1

𝐷𝑘

Sistem persamaan linier di atas kemudian diselesaikan

dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑢1,𝑗𝑛+1 sampai

dengan 𝑢𝑘,𝑗𝑛+1.

41

b. Terhadap sumbu y Berikut adalah persamaan kekekalan momentum terhadap

sumbu y pada Persamaan (4.36):

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑥+

𝜕𝑕𝑣2


1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑥 1 + cos𝑦 +

𝑔𝑕 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi: 𝑣𝜕𝑕

𝜕𝑡+ 𝑕

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢𝑣

𝜕𝑕

𝜕𝑥+ 𝑕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑕𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 2𝑕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣2 𝜕𝑕

𝜕𝑥 cos𝑦 =

−1

2𝑔 2𝑕

𝜕𝑕

𝜕𝑥 1 + cos𝑦 + 𝑔𝑕(𝑆𝑥 + 𝑆𝑦)


𝑣𝑖 ,𝑗𝑛


𝑛

∆𝑡 + 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑣𝑖,𝑗𝑛+1−𝑣𝑖,𝑗

𝑛

∆𝑡 + 𝑢𝑖,𝑗


𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 +

𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑢 𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 + 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑢𝑖,𝑗𝑛

𝑣𝑖+1,𝑗𝑛+1 −𝑣𝑖−1,𝑗

𝑛+1

2∆𝑥 +

2𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑣𝑖+1,𝑗𝑛+1 −𝑣𝑖−1,𝑗

𝑛+1

2∆𝑥 + 𝑣2 𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 cos𝑦 = −

1

2𝑔 2𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 1 + cos𝑦 + 𝑔𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 (𝑆𝑥 + 𝑆𝑦) (4.49)


𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡 𝑣𝑖,𝑗

𝑛+1 + 𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑢 𝑖,𝑗

𝑛 +2 cos 𝑦 𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑥 𝑣𝑖+1,𝑗

𝑛+1 +

−𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −2 cos 𝑦 𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑥 𝑣𝑖−1,𝑗

𝑛+1 = 𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡−

𝑕𝑖,𝑗𝑛+1− 𝑕𝑖,𝑗

𝑛

∆𝑡 −

𝑢𝑖,𝑗𝑛

𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 −

42

𝑕𝑖 ,𝑗𝑛

𝑢 𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑢 𝑖−1,𝑗

𝑛


𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛 −

1

2𝑔 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 1 + cos𝑦 + 𝑔 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦 (4.50)


𝐴𝑖𝑣𝑖,𝑗𝑛+1 + 𝐵𝑖𝑣𝑖+1,𝑗

𝑛+1 + 𝐶𝑖𝑣𝑖−1,𝑗𝑛+1 = 𝐷𝑖 (4.51)

𝐴𝑖 = 𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡,𝐵𝑖 =

𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑢 𝑖,𝑗

𝑛 +2 cos 𝑦 𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑥 ,

𝐶𝑖 = −𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −2 cos 𝑦 𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑥 ,

𝐷𝑖 =

𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡−

𝑕𝑖,𝑗𝑛+1− 𝑕𝑖,𝑗

𝑛

∆𝑡 − 𝑢𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 −

𝑕𝑖 ,𝑗𝑛

𝑢 𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑢 𝑖−1,𝑗

𝑛


𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛 −

1

2𝑔 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑕𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 1 + cos𝑦 + 𝑔 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑆𝑥 + 𝑆𝑦

Persamaan (4.51) menghasilkan sistem persamaan linear

(SPL) tri-diagonal pada setiap 𝑛. Jika ditulis dalam bentuk

matriks menjadi:

43

𝐴1

𝐶2

00⋮0

𝐵1

𝐴2

⋱⋮⋮0

0𝐵2

⋱⋮⋮0

00⋱⋱

𝐶𝑘−1

0

⋯⋯⋮⋱

𝐴𝑘−1

𝐶𝑘

00⋮⋮

𝐵𝑘−1

𝐴𝑘

𝑣1,𝑗𝑛+1

𝑣2,𝑗𝑛+1

⋮⋮

𝑣𝑘−1,𝑗𝑛+1

𝑣𝑘 ,𝑗𝑛+1

=

𝐷1

𝐷2

⋮⋮

𝐷𝑘−1

𝐷𝑘


dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑣1,𝑗𝑛+1

sampai dengan 𝑣𝑘 ,𝑗𝑛+1.

4.3.1.3 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Sungai Utama Berikut adalah persamaan kekekalan massa sedimen pada

Persamaan (4.41):

𝜕𝑧𝑏

𝜕𝑡+

1

(1−𝜌) 𝜕𝑞𝑏

𝜕𝑥 1 + cos𝑦 = 0


𝑧𝑏 𝑖,𝑗𝑛+1−𝑧𝑏 𝑖,𝑗

𝑛

∆𝑡+

1

1−𝜌

𝑞𝑏 𝑖+1,𝑗𝑛 −𝑞𝑏 𝑖−1,𝑗

𝑛

2∆𝑥 1 + cos𝑦 = 0 (4.52)


1

∆𝑡 𝑧𝑏 𝑖,𝑗

𝑛+1 = 1

∆𝑡 𝑧𝑏 𝑖 ,𝑗

𝑛 −1

1−𝜌


𝑛

2∆𝑥 1 + cos𝑦

(4.53)


𝐴𝑖𝑧𝑏 𝑖,𝑗𝑛+1 = 𝐵𝑖 (4.54)

Dengan:

44

𝐴𝑖 = 1

∆𝑡 ,

𝐵𝑖 = 1


𝑛 −1

1−𝜌


𝑛

2∆𝑥 1 + cos𝑦

Persamaan (4.54) menghasilkan sistem persamaan linear


matriks menjadi:

𝐴1

000⋮0

0𝐴2

⋱⋮⋮0

00⋱⋮⋮0

00⋱⋱00

⋯⋯⋮⋱

𝐴𝑘−1

0

00⋮⋮0𝐴𝑘

𝑧𝑏1,𝑗𝑛+1

𝑧𝑏2,𝑗𝑛+1

⋮⋮

𝑧𝑏𝑘−1,𝑗𝑛+1

𝑧𝑏𝑘 ,𝑗𝑛+1

=

𝐵1

𝐵2

⋮⋮

𝐵𝑘−1

𝐵𝑘


dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑧𝑏1,𝑗𝑛+1

sampai dengan 𝑧𝑏𝑘 ,𝑗𝑛+1.

4.3.4 Persamaan Kekekalan Massa Pertemuan Sungai

Berikut ini adalah persamaan kekekalan massa pada

Persamaan (4.38):

𝜕𝑕

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑦cos 𝑥 +

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑦= 𝑄1 + 𝑄2

Persamaan tersebut dapat ditulis menjadi:

𝜕𝑕

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑕

𝜕𝑦+ 𝑕

𝜕𝑢

𝜕𝑦 cos𝑥 + 𝑣

𝜕𝑕

𝜕𝑦+ 𝑕

𝜕𝑣

𝜕𝑦= 𝑄1 + 𝑄2

45



𝑛


𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛+1 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛+1

2∆𝑦 + 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑢 𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 cos𝑥 +

𝑣𝑖 ,𝑗𝑛

𝑕𝑖,𝑗+1𝑛+1 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛+1

2∆𝑦 + 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑣𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑣𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 = 𝑄1 + 𝑄2 (4.55)


1

∆𝑡 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛+1 + 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 cos 𝑥+ 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑦 𝑕𝑖,𝑗+1

𝑛+1 + −𝑢 𝑖,𝑗

𝑛 cos 𝑥− 𝑣𝑖,𝑗𝑛

2∆𝑦 𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛+1 =

1

∆𝑡− 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑢 𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑢 𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 −

𝑣𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑣𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 + 𝑄1 + 𝑄2 (4.56)


𝐴𝑗𝑕𝑖 ,𝑗𝑛+1 + 𝐵𝑗𝑕𝑖,𝑗+1

𝑛+1 + 𝐶𝑗𝑕𝑖,𝑗−1𝑛+1 = 𝐷𝑗 (4.57)

Dengan:

𝐴𝑗 =1

∆𝑡,𝐵𝑗 =

𝑢 𝑖,𝑗𝑛 cos 𝑥+ 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑦

𝐶𝑗 = −𝑢 𝑖,𝑗

𝑛 cos 𝑥− 𝑣𝑖,𝑗𝑛

2∆𝑦

𝐷𝑗 = 1

∆𝑡− 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑢 𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑢𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 −


𝑛

2∆𝑦 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 + 𝑄1 + 𝑄2


(SPL) tridiagonal pada setiap 𝑛. Jika ditulis dalam bentuk matriks

menjadi:

46

𝐴1

𝐶2

00⋮0

𝐵1

𝐴2

⋱⋮⋮0

0𝐵2

⋱⋮⋮0

00⋱⋱

𝐶𝑘−1

0

⋯⋯⋮⋱

𝐴𝑘−1

𝐶𝑘

00⋮⋮

𝐵𝑘−1

𝐴𝑘

𝑕𝑖,1𝑛+1

𝑕𝑖,2𝑛+1

⋮⋮

𝑕𝑖,𝑘−1𝑛+1

𝑕𝑖,𝑘𝑛+1

=

𝐷1

𝐷2

⋮⋮

𝐷𝑘−1

𝐷𝑘


dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑕𝑖,1𝑛+1 sampai

dengan 𝑕𝑖,𝑘𝑛+1.

4.3.5 Persamaan Kekekalan Momentum Pertemuan Sungai

a. Terhadap Sumbu x

Berikut ini adalah persamaan kekekalan momentum

terhadap sumbu x pada Persamaan (4.39):

𝜕𝑕𝑢

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢2

𝜕𝑦cos 𝑥 +

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑦= −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑦 cos𝑥 + 1 +


2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2


𝑕𝜕𝑢

𝜕𝑡+ 𝑢

𝜕𝑕

𝜕𝑡+ 2𝑕𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑢2 𝜕𝑕

𝜕𝑦 cos𝑥 + 𝑢𝑣

𝜕𝑕

𝜕𝑦+ 𝑕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑕𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑦=

−1

2𝑔 2𝑕

𝜕𝑕

𝜕𝑦 cos𝑥 + 1 + 𝑔𝑆𝑥 𝑕 + 𝐿𝑖 − 𝑕𝐶𝑓

𝑉12−𝑉2

2

2𝐴𝐿𝑖 +

𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2


47

𝑕𝑖,𝑗𝑛

𝑢 𝑖,𝑗𝑛+1−𝑢 𝑖,𝑗

𝑛


𝑛 𝑕𝑖,𝑗𝑛+1−𝑕𝑖,𝑗

𝑛

∆𝑡 + 2𝑕𝑖,𝑗


𝑢 𝑖,𝑗+1𝑛+1 −𝑢𝑖,𝑗−1

𝑛+1

2∆𝑦 +

𝑢2 𝑖,𝑗𝑛

𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 cos𝑥 + 𝑢𝑖,𝑗


𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 +


𝑛 𝑢 𝑖,𝑗+1𝑛+1 −𝑢 𝑖,𝑗−1

𝑛+1

2∆𝑦 + 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑢𝑗𝑛


𝑛

2∆𝑦 =

−1

2𝑔 2𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 cos𝑥 + 1 + 𝑔𝑆𝑥 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 + 𝐿𝑖 −

𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝐶𝑓

𝑉12−𝑉2

2

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2 (4.58)


𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡 𝑢𝑖,𝑗

𝑛+1 + 2 cos 𝑥 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 +𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑦 𝑢𝑖,𝑗+1

𝑛+1 +

−2 cos 𝑥 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑦 𝑢𝑖,𝑗−1

𝑛+1 = 𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡−


𝑛

∆𝑡 −

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑢𝑖,𝑗𝑛

𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 − 𝑣𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 −

𝑕𝑖,𝑗𝑛


𝑛

2∆𝑦 𝑢𝑖,𝑗

𝑛 −1

2𝑔 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 cos𝑥 + 1 +

𝑔𝑆𝑥 𝑕𝑖,𝑗𝑛 + 𝐿𝑖 −𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝐶𝑓 𝑉1

2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1+𝑉2𝑄2 (4.59)


𝐴𝑗𝑢𝑖 ,𝑗𝑛+1 + 𝐵𝑗𝑢𝑖,𝑗+1

𝑛+1 + 𝐶𝑗𝑢𝑖,𝑗−1𝑛+1 = 𝐷𝑗 (4.60)

Dengan:

𝐴𝑗 = 𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡 ,𝐵𝑗 =

2 cos 𝑥𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑢 𝑖,𝑗

𝑛 +𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑦 ,

48

𝐶𝑗 = −2 cos 𝑥 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑦 ,

𝐷𝑗 =

𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡−


𝑛

∆𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑢𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 − 𝑣𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 −

𝑕𝑖,𝑗𝑛


𝑛

2∆𝑦 𝑢𝑖,𝑗

𝑛 −1

2𝑔 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 cos𝑥 + 1 +


𝑛 𝐶𝑓 𝑉1

2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1+𝑉2𝑄2


(SPL) tridiagonal pada setiap 𝑛. Jika ditulis dalam bentuk matriks

menjadi:

𝐴1

𝐶2

00⋮0

𝐵1

𝐴2

⋱⋮⋮0

0𝐵2

⋱⋮⋮0

00⋱⋱

𝐶𝑘−1

0

⋯⋯⋮⋱

𝐴𝑘−1

𝐶𝑘

00⋮⋮

𝐵𝑘−1

𝐴𝑘

𝑢𝑖,1𝑛+1

𝑢𝑖,2𝑛+1

⋮⋮

𝑢𝑖,𝑘−1𝑛+1

𝑢𝑖,𝑘𝑛+1

=

𝐷1

𝐷2

⋮⋮

𝐷𝑘−1

𝐷𝑘


dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑢𝑖,1𝑛+1 sampai

dengan 𝑢𝑖,𝑘𝑛+1.

b. Terhadap Sumbu y

Berikut ini adalah persamaan kekekalan momentum

terhadap sumbu y pada Persamaan (4.40):

49

𝜕𝑕𝑣

𝜕𝑡+

𝜕𝑕𝑢𝑣

𝜕𝑦cos𝑥 +

𝜕𝑕𝑣2

𝜕𝑦= −

1

2𝑔

𝜕𝑕2

𝜕𝑦 cos𝑥 + 1 +


2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2


𝑣𝜕𝑕

𝜕𝑡+ 𝑕

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑢𝑣

𝜕𝑕

𝜕𝑦+ 𝑕𝑣

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑕𝑢

𝜕𝑣

𝜕𝑦 cos𝑥 + 2𝑕𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑦+ 𝑣2 𝜕𝑕

𝜕𝑦=

−1

2𝑔 2𝑕

𝜕𝑕

𝜕𝑦 cos𝑥 + 1 + 𝑔𝑆𝑥 𝑕 + 𝐿𝑖 − 𝑕𝐶𝑓

𝑉12−𝑉2

2

2𝐴𝐿𝑖 +

𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2


𝑣𝑖 ,𝑗𝑛


𝑛

∆𝑡 + 𝑕𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑣𝑖,𝑗𝑛+1−𝑣𝑖,𝑗

𝑛



𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 +


𝑛 𝑢 𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑢 𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 + 𝑕𝑖 ,𝑗


𝑣𝑖,𝑗+1𝑛+1 −𝑣𝑖,𝑗−1

𝑛+1

2∆𝑦 cos𝑥 +

+2𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖,𝑗

𝑛 𝑣𝑖,𝑗+1𝑛+1 −𝑣𝑖,𝑗−1

𝑛+1

2∆𝑦 + 𝑣2 𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 =

−1

2𝑔 2𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 cos𝑥 + 1 + 𝑔𝑆𝑥 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 + 𝐿𝑖 −

𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝐶𝑓

𝑉12−𝑉2

2

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1 + 𝑉2𝑄2 (4.61)


𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛+1 + cos 𝑥𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 +2𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑦 𝑣𝑖,𝑗+1

𝑛+1 +

−cos 𝑥𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −2𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑦 𝑣𝑖 ,𝑗−1

𝑛+1 =

𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡−


𝑛

∆𝑡 − cos𝑥 𝑢𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 −

50

cos𝑥 𝑕𝑖,𝑗𝑛

𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 − 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛 −

1

2𝑔 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 cos𝑥 + 1 +


𝑛 𝐶𝑓 𝑉1

2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1+𝑉2𝑄2 (4.62)


𝐴𝑗𝑣𝑖 ,𝑗𝑛+1 + 𝐵𝑗𝑣𝑖 ,𝑗+1

𝑛+1 + 𝐶𝑗𝑣𝑖 ,𝑗−1𝑛+1 = 𝐷𝑗 (4.63)

Dengan

𝐴𝑗 = 𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡 ,𝐵𝑗 =

cos 𝑥𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑢 𝑖,𝑗

𝑛 +2𝑕𝑖,𝑗𝑛 𝑣𝑖,𝑗

𝑛

2∆𝑦 ,

𝐶𝑗 = −cos 𝑥𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑢 𝑖,𝑗𝑛 −2𝑕𝑖,𝑗


2∆𝑦 ,

𝐷𝑗 = 𝑕𝑖,𝑗𝑛

∆𝑡−


𝑛

∆𝑡 − cos 𝑥 𝑢𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 −

cos𝑥 𝑕𝑖,𝑗𝑛

𝑢 𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑢 𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 − 𝑣𝑖 ,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 𝑣𝑖,𝑗

𝑛 −

1

2𝑔 2 𝑕𝑖,𝑗

𝑛 𝑕𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑕𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 cos𝑥 + 1 +


𝑛 𝐶𝑓 𝑉1

2−𝑉22

2𝐴𝐿𝑖 + 𝑉1𝑄1+𝑉2𝑄2



matriks menjadi:

51

𝐴1

𝐶2

00⋮0

𝐵1

𝐴2

⋱⋮⋮0

0𝐵2

⋱⋮⋮0

00⋱⋱

𝐶𝑘−1

0

⋯⋯⋮⋱

𝐴𝑘−1

𝐶𝑘

00⋮⋮

𝐵𝑘−1

𝐴𝑘

𝑣𝑖 ,1𝑛+1

𝑣𝑖 ,2𝑛+1

⋮⋮

𝑣𝑖 ,𝑘−1𝑛+1

𝑣𝑖 ,𝑘𝑛+1

=

𝐷1

𝐷2

⋮⋮

𝐷𝑘−1

𝐷𝑘


dengan bantuan software Matlab untuk mencari nilai 𝑣𝑖,1𝑛+1 sampai

dengan 𝑣𝑖,𝑘𝑛+1.

4.3.6 Persamaan Kekekalan Massa Sedimen Pertemuan

Sungai

Berikut ini adalah persamaan kekekalan massa sedimen

pada Persamaan (4.42):

𝜕𝑧𝑏

𝜕𝑡+

1

(1−𝜌) 𝜕𝑞𝑏

𝜕𝑦 1 + cos𝑥 = 0


𝑧𝑏 𝑖,𝑗𝑛+1−𝑧𝑏 𝑖,𝑗

𝑛

∆𝑡+

1

1−𝜌

𝑞𝑏 𝑖,𝑗+1𝑛 −𝑞𝑏 𝑖,𝑗−1

𝑛

2∆𝑦 1 + cos 𝑥 = 0 (4.64)


1


𝑛+1 = 1

∆𝑡 𝑧𝑏 𝑖 ,𝑗

𝑛 −1

1−𝜌


𝑛

2∆𝑦 1 + cos𝑥

(4.65)


𝐴𝑗𝑧𝑏 𝑖 ,𝑗𝑛+1 = 𝐵𝑗 (4.66)

52

dengan:

𝐴𝑗 = 1

∆𝑡 , 𝐵𝑗 =

1


𝑛 −1

1−𝜌


𝑛

2∆𝑦 1 + cos𝑥



matriks menjadi:

𝐴1

000⋮0

0𝐴2

⋱⋮⋮0

00⋱⋮⋮0

00⋱⋱00

⋯⋯⋮⋱

𝐴𝑘−1

0

00⋮⋮0𝐴𝑘

𝑧𝑏 𝑖 ,1𝑛+1

𝑧𝑏 𝑖 ,2𝑛+1

⋮⋮

𝑧𝑏 𝑖,𝑘−1𝑛+1

𝑧𝑏 𝑖 ,𝑘𝑛+1

=

𝐵1

𝐵2

⋮⋮

𝐵𝑘−1

𝐵𝑘


dengan menggunakan software Matlab untuk mencari nilai 𝑧𝑏 𝑖,1𝑛+1

sampai dengan 𝑧𝑏 𝑖,𝑘𝑛+1

4.4 Proses Simulasi

Berikut ini ditampilkan beberapa hasil output program

dengan ketentuan:

Panjang sungai utama = 10 𝑚

Lebar sungai utama = 20 𝑚

Panjang anak sungai = 10 𝑚

Lebar anak sungai = 10 𝑚

Panjang pertemuan sungai = 10 𝑚

Lebar pertemuan sungai = 25 𝑚

Sudut = pi/6

4.4.1 Simulasi I

Kedalaman awal h= 6.00 𝑚

53

Kecepatan awal sungai utama v= 0.2 𝑚/𝑠

Kecepatan awal anak sungai va= 0.1 𝑚/𝑠

Ketinggian awal sedimen zb= 0.01 𝑚

Waktu T= 5 𝑠

Debit sungai utama Q1= 10 𝑚3/𝑠

Debit anak sungai Q2= 10 𝑚3/𝑠

Dengan 5 kriteria tersebut dapat dilihat grafik simulasi I

untuk kedalaman sungai, kecepatan aliran dan ketinggian sedimen

sebagai berikut:

Gambar 4.7 Grafik Kedalaman Sungai Utama, Anak Sungai, dan

Pertemuan Sungai pada Simulasi I

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 54.5

5

5.5

6

Waktu

Kedala

man S

ungai

Kedalaman sungai utama, anak sungai dan pertemuan sungai

Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

54

Gambar 4.8 Grafik Kecepatan Aliran Sungai Utama, Anak Sungai,

dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I

Gambar 4.9 Grafik Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak

Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi I

Dari simulasi I terlihat bahwa kedalaman sungai mengalami

penurunan sebesar 0.9425, untuk kecepatan aliran mengalami

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Waktu

Kecepata

n S

ungai

Kecepatan sungai utama, anak sungai dan pertemuan sungai

Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

Waktu

Ketinggia

n S

edim

en

Ketinggian Sedimen Sungai Utama, Anak Sungai dan Pertemuan Sungai

Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

55

penurunan sebesar 0.08401 dan untuk ketinggian sedimen

mengalami peningkatan sebesar 0.0110.

4.4.2 Simulasi II





Waktu T= 5 𝑠



Dengan 5 kriteria tersebut dapat dilihat grafik simulasi II


sebagai berikut:


Pertemuan Sungai pada Simulasi II

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 54.5

5

5.5

6

Waktu

Kedala

man S

ungai


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

56


dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II


Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi II

Dari simulasi II terlihat bahwa kedalaman sungai

mengalami penurunan sebesar 0.9430, untuk kecepatan aliran

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Waktu

Kecepata

n S

ungai


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

Waktu

Ketinggia

n S

edim

en


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

57

mengalami penurunan sebesar 0.08403 dan untuk ketinggian

sedimen mengalami peningkatan sebesar 0.0130.

4.4.3 Simulasi III





Waktu T= 5 𝑠



Dengan 5 kriteria tersebut dapat dilihat grafik simulasi III


sebagai berikut:


Pertemuan Sungai pada Simulasi III

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 54.5

5

5.5

6

Waktu

Kedala

man S

ungai


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

58


dan Pertemuan Sungai pada Simulasi III


Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi III

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Waktu

Kecepata

n S

ungai


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Waktu

Ketinggia

n S

edim

en


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

59

Dari simulasi III terlihat bahwa kedalaman sungai




4.4.4 Simulasi IV





Waktu T= 5 𝑠



Dengan 5 kriteria tersebut dapat dilihat grafik simulasi IV


sebagai berikut:


Pertemuan Sungai pada Simulasi IV

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 54.5

5

5.5

6

Waktu

Kedala

man S

ungai


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

60


dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV


Sungai, dan Pertemuan Sungai pada Simulasi IV

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Waktu

Kecepata

n S

ungai


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

Waktu

Ketinggia

n S

edim

en


Sungai utama

Anak sungai

Pertemuan sungai

61

Dari simulasi IV terlihat bahwa kedalaman sungai




62


63

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan dari analisa dan

pembahasan yang telah dilakukan. Selain itu, diberikan pula saran

yang dapat dilakukan sebagai kelanjutan atau pengembangan dari

Tugas Akhir ini.

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisa yang telah dilakukan:

1. Didapatkan model sedimentasi di pertemuan dua

sungai model sinusoidal.

2. Dari hasil simulasi I dan II dengan debit sungai utama

sebesar 10 𝑚3/𝑠 pada simulasi I dan debit sungai

utama sebesar 15 𝑚3/𝑠 pada simulasi II sedangkan

untuk besarnya debit anak sungai sama besar yaitu 10

𝑚3/𝑠 diperoleh hasil bahwa untuk simulasi I terjadi

penurunan kedalaman sungai sebesar 0.9425,

penurunan kecepatan aliran sungai sebesar 0.08401 dan

untuk ketinggian sedimen mengalami kenaikan sebesar

0.0110, sedangkan untuk simulasi II terjadi penurunan

kedalaman sungai sebesar 0.9430, penurunan

kecepatan aliran sungai sebesar 0.08403 dan untuk

ketinggian sedimen mengalami kenaikan sebesar

0.0130.

3. Dari hasil simulasi III dan IV dengan debit sungai

utama sebesar 15 𝑚3/𝑠 pada simulasi III dan debit

sungai utama sebesar 20 𝑚3/𝑠 pada simualasi IV,

sedangkan untuk besarnya debit anak sungai sama

besar yaitu 15 𝑚3/𝑠 diperoleh hasil bahwa untuk

simulasi III terjadi penurunan kedalaman sungai

sebesar 0.9435, penurunan kecepatan aliran sungai

sebesar 0.08404 dan untuk ketinggian sedimen

mengalami kenaikan sebesar 0.0300, sedangkan untuk

simulasi IV terjadi penurunan kedalaman sungai

64

sebesar 0.94400, penurunan kecepatan aliran sungai

sebesar 0.08405 dan untuk ketinggian sedimen

mengalami kenaikan sebesar 0.0500.

4. Dari simulasi I, II, III dan IV terlihat bahwa besarnya

debit yang masuk dari sungai utama dan anak sungai

relatif kurang berpengaruh terhadap rata-rata

perubahan kedalaman sungai, kecepatan aliran sungai

dan ketinggian sedimen.

5.2 Saran

Adapun saran dari Tugas Akhir ini adalah sebagai berikut:

1. Pada Tugas Akhir ini, model aliran sinusoidal yang

dibangun dalam bentuk 2 dimensi, akan lebih baik jika

dilakukan penelitian lebih lanjut mengenai model

sedimentasi dalam 3 dimensi.

2. Pada Tugas Akhir ini, untuk jenis angkutan

sedimennya adalah bed load, akan lebih baik jika

dikembangkan untuk wash load dan suspended load.

65

DAFTAR PUSTAKA

[1] Apsley, D. 2013. Computational Fluid Dynamic. Springer.

New York

[2] Faisol. 2012. Thesis Pengaruh Hidrodinamika pada

Penyebaran Polutan di Sungai. Surabaya : Matematika FMIPA-

ITS.

[3] Liu, Z. 2001. Sediment Transport. Laboratoriet for

Hydraulik og Havnebygning Instituttet for Vand Manual. Jord og

Miljoteknik Aalborg Universitet.

[4] Ottovanger, W. 2005. Discontinuous Finite Element

Modeling of River Hydraulics and Morphology with

Application to the Parana River. University oo Twente :

Department of Applied Mathematics.

[5] Priangga, F.E. 2012. Profil Kontur Sedimentasi di

Pertemuan Dua Sungai Model Sinusoidal. Surabaya :

Matematika FMIPA-ITS.

[6] Purwadi, PK. 2001. Metode ADI dalam Penyelesaian

Persoalan Perpindahan Panas Konduksi Benda Padat

Dimensi Keadaan Tak Tunak. SIGMA, Vol. 4 No.1.

[7] Rizky, A. 2013. Proses Terjadinya Sedimentasi.

http://adityaaaaaarizky.blogspot.com/. Diakses pada 03 maret

2014.

[8] Saptaningtyas, F.Y. 2009. Metode Volume Hingga Untuk

Mengetahui Pengaruh Sudut Pertemuan Saluran Terhadap

Profil Perubahan Sedimen Pasir Pada Pertemuan Sungai.

Yogyakarta : Universitas Negeri Yogyakarta.

http://adityaaaaaarizky.blogspot.com/

66

[9] Sholikin, M. 2012. Tugas Akhir Kajian Karakteristik

Sedimentasi di Pertemuan Dua Sungai Menggunakan Metode

Meshles Local Petrov-Galerkin dan Simulasi Fluent. Surabaya

: Matematika FMIPA-ITS.

[10] Widodo, B. 2012. Pemodelan Matematika. Itspress. Hal.

91-152. Surabaya : Matematika FMIPA-ITS.

[11] Yang, C.T. 1996. Sediment Transport, Theory Practice.

Mc Graw Hill. New York.

67

BIODATA PENULIS

Penulis lahir di Gresik, 22 Oktober

1992. Setelah menyelesaikan studinya di MI Hidayatul Ulum Kisik, penulis melanjutkan pendidikannya di MTs Assaadah Bungah dan SMA Assaadah Bungah. Melalui jalur Bidik Misi, penulis diterima di jurusan S1 Matematika FMIPA ITS pada tahun 2010 dengan NRP 1210 100 039 dan memilih Simulasi dan Pemodelan Sistem sebagai bidang keahliannya.

Semasa kuliah penulis aktif di beberapa organisasi

kemahasiswaan, diantaranya aktif sebagai staff Kesejahteraan Mahasiswa (KESMA) Himatika ITS, staff Hubungan Masyarakat dan Sosial Masyarakat Swayanaka Mahasiswa-Cabang Surabaya.

Mengingat masih banyak hal yang perlu diperbaiki dan

dikembangkan dalam Tugas Akhir ini dan juga topik –topik yang berkaitan, silahkan kirimkan kritik dan saran di email [email protected] untuk saling berbagi demi bertambahnya ilmu pengetahuan dan wawasan bersama.

mailto:[email protected]

pengaruh laju aliran sungai utama dan anak sungai...

Documents