pengantar himpunan

35
PENGANTAR HIMPUNAN PENGANTAR HIMPUNAN S u t a m a S u t a m a Pend.Matematika FKIP UMS Pend.Matematika FKIP UMS

Upload: chogan

Post on 05-Feb-2016

113 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

PENGANTAR HIMPUNAN. S u t a m a Pend.Matematika FKIP UMS. A. Pengantar. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek baik yang nyata maupun abstrak yang semuanya didefinisikan dengan jelas. Contoh : - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: PENGANTAR HIMPUNAN

PENGANTAR HIMPUNANPENGANTAR HIMPUNANPENGANTAR HIMPUNANPENGANTAR HIMPUNAN

S u t a m a S u t a m a

Pend.Matematika FKIP UMSPend.Matematika FKIP UMS

Page 2: PENGANTAR HIMPUNAN

A. Pengantar Himpunan adalah kumpulan benda atau objek baik yang nyata maupun abstrak yang semuanya didefinisikan dengan jelas.Contoh :Pada umumnya himpunan ditunjukkan dengan huruf besar A, B, C,…., dan anggotanya ditunjukkan dengan huruf kecil a, b, c,…x anggota A ditulis xAx bukan anggota A ditulis xAx, y anggota A ditulis x, yAx, y bukan anggota A ditulis x, yA

Page 3: PENGANTAR HIMPUNAN

B. Penyajian Himpunan

Himpunan dapat disajikan dalam 2 cara1. Dengan bahasa matematika

a. Dengan menulis sifat anggotanyaA={bilangan asli kurang dari 10}B={bilangan bulat}

b. Metode rosterA={1,2,3,4,5,6,7,8,9}B={…,-2,-1,0,1,2,..}

c. Metode ruleA={x/x bilangan asli <10}B={x/x bilangan bulat}

2. Dengan bahasa sehari-haria. Himpunan bilangan 1,2,3,4,5,6,7,8,9b. Himpunan bilangan bulat

Page 4: PENGANTAR HIMPUNAN

• Bilangan kardinal dari suatu himpunan adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya elemen yang berbeda dari himpunan itu.

Page 5: PENGANTAR HIMPUNAN

C. Macam-macam himpunan1. Himpunan kosong/null set/void set,

yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Simbol : atau { }

2. SingletonYaitu himpunan yang hanya mempunyai satu anggota

3. Himpunan semestaYaitu himpunan seluruh benda atau anggota yang dibicarakan.

Page 6: PENGANTAR HIMPUNAN

D. Himpunan Bagian (sub set)

Himpunan A dikatakan menjadi himp. bagian dari B dengan simbol AB bila dan hanya bila setiap anggota dari A menjadi anggota dari B.AB bhb (x).xAxB

Page 7: PENGANTAR HIMPUNAN

Setiap himpunan pasti merupakan himpunan bagian dari himpunan itu sendiri, dan himpunan kosong pasti menjadi himpunan bagian dari setiap himpunan.Jika A memuat n elemen yang berbeda, maka banyaknya himpunan bagian yang dapat dibuat dari n elemen ini sebanyak 2n. Himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan bagian dari himpunan disebut kuasa himpunan (power set).

Page 8: PENGANTAR HIMPUNAN

E. Diagram Venn

●a

●b

●c

●d ●e

BA

S

●f

Page 9: PENGANTAR HIMPUNAN

RELASI HIMPUNANA. Dua himpunan A dan B disebut sama atau

berimpit bhb setiap anggota dari A menjadi anggota dari B dan sebaliknya.

A=B bhb (Ax).xAxB

A●b

●a

●c BAB

BAA=B

Page 10: PENGANTAR HIMPUNAN

B. Dua himpunan A dan B disebut saling asing atau saling lepas atau disjoint bhb kedua himpunan itu tidak memuat sesuatu anggota persekuan.A//B bhb (x). xAxB.. ( x). xBxA

●1

●3●5

●2

●4●6A B

Page 11: PENGANTAR HIMPUNAN

C. Dua himpunan A dan B disebut berpotongan ditulis AB bhb

1. Ada elemen A dan elemen ini B

2. Ada elemen B dan elemen ini A

3. Ada elemen A dan elemen ini B ●3

●4

●5

●1

●2

A B

Page 12: PENGANTAR HIMPUNAN

D. Dua himpunan A dan B ekuivalen

Tiap anggota dari A dapat diadakan korespondensi satu-satu dengan tiap anggota dari B dan sebaliknya, ditulis A~B A~B bhb n(A)=n(B)2

1

3

ab

c

A B

Page 13: PENGANTAR HIMPUNAN

Sifat relasi ekuivalen :1. Refleksi : A~A2. Simetris : A~BB~A3. Transitif : A~Bb~CA~C

Page 14: PENGANTAR HIMPUNAN

OPERASI HIMPUNANA. Irisan

irisan dari dua himpunan A dan B ditulis AB adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen yang berada dalam A dan B AB ={x/xAxB}

Page 15: PENGANTAR HIMPUNAN

B. Gabungangabungan dari dua himpunan A dan B ditulis AB adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari A atau B AB ={x/xAxB}

Page 16: PENGANTAR HIMPUNAN

C. Selisihselisih dari dua himpunan A dan B ditulis A-B adalah himpunan yang angotanya terdiri atas elemen dari A yang bukan elemen dari BA-B={x/xAxB}B-A={x/xBxA}

A-B B-A

Page 17: PENGANTAR HIMPUNAN

D. Komplemenkomplemen relatif A terhadap B ditulis A’ atau Ac adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari B yang bukan elemen dari AA’={x/xBxA}

Page 18: PENGANTAR HIMPUNAN

E. Selisih simetriselisih simetri dari dua himpunan A dan B ditulis A∆B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas elemen dari (A-B)(B-A) A∆B ={x/xABxAB)

Page 19: PENGANTAR HIMPUNAN

F. Partisipartisi suatu himpunan A adalah pembagian A atas subset-subset yang saling asing dan gabungan dari semua subset itu merupakan himpunan A itu sendiri.himpunan A1, A2,…,An merupakan partisi dari himpunan A bhb

Page 20: PENGANTAR HIMPUNAN

a. AiAj= untuk iji. j = 1,2,…,n

b. A1A2…An=A atauA=[A1, A2,…,An]

Page 21: PENGANTAR HIMPUNAN

Latihan 1. Dengan S= {1,2,3,4,5,6}, jika

A={2,4}, B={2,3,5,6}Tentukan :a. AB c. A-B e. A’b. AB d. B-A f. B’

2. Buktikan bahwa AB bila A={1,2,3,4} dan B={bilangan genap}

3. Tentukan power set dari A={3,{2,3}}

Page 22: PENGANTAR HIMPUNAN

RELASI ANTAR ANGGOTA HIMPUNAN

Relasi yang menyangkut satu anggota semestanya disebut relasi monair (monodisc), menyangkut dua anggota disebut relasi binair (diadic), menyangkut tiga anggota disebut relasi ternair (triadic), menyangkut empat anggota disebut relasi quarternair (tetradic), dan menyangkut lebih dari empat anggota disebut relasi polynair (polydic).Contoh :aBerada dalam relasi R dengan b ditulisaRb atau R(a,b)

Page 23: PENGANTAR HIMPUNAN

A. Relasi Determinatif

Suatu relasi R dikatakan determinatif antar anggota-anggota S bhb aRb merupakan kalimat deklaratif untuk setiap a, b dalam S.

Page 24: PENGANTAR HIMPUNAN

B. Relasi Ekuivalen

1.Relasi refleksiRelasi R disebut refleksi bhb untuk setiap anggota dari semestanya berlaku aRaR refleksi bhb (aS)

Page 25: PENGANTAR HIMPUNAN

Relasi refleksi ada 2 macama. Relasi non refleksi

Relasi R disebut non refleksi bhb terdapatlah sekurang-kurangnya satu elemen a yang tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiri R non refleksi bhb (aS). aRa

Page 26: PENGANTAR HIMPUNAN

b. Relasi irrefleksifRelasi R disebut irrefleksif bhb setiap elemen a tidak berada dalam relasi R dengan dirinya sendiriR irrefleksif bhb (aS). aRa

Page 27: PENGANTAR HIMPUNAN

2. Relasi SimetrisRelasi R disebut simetris bhb untuk setiap a,b dari semestanya berlaku bila aRb maka bRaR simetris bhb (a,bS).aRbbRaRelasi simetris ada 3 macam :a. Relasi non simetris

relasi R disebut non simetris bhb terdapatlah sekurang-kurangnya satu pasang a,b demikian sehingga aRb dan bRaR non simetris bhb (a,bS).aRbbRa

Page 28: PENGANTAR HIMPUNAN

b. Relasi AsimetrisRelasi R disebut asimetris bhb setiap pasang a, b dalam semestanya berlaku bila aRb maka bRa

c. Relasi Anti SimetrisRelasi R disebut anti simetris bhb untuk setiap pasang a,b dalam semestanya berlaku(a,bS).a<bb<aa=b

Page 29: PENGANTAR HIMPUNAN

3. Relasi Transitif

Relasi R disbut transitif bhb untuk setiap tripel a,b,c dalam semestanya berlaku bila aRb dan bRc maka aRc. R transitif bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc.

Page 30: PENGANTAR HIMPUNAN

Relasi transitif ada 2 macama. Relasi non transitif

Relasi R disebut non transitif bhb sekurang-kurangnya ada satu tripel a,b,c dalam semestanya sehingga berlaku aRb dan bRc dan aRc R non trans. Bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc)

b. Relasi intransitifRelasi R disebut intransitif bhb untuk setiap triple a,b,c dalam semestanya berlaku bila aRb dan bRc maka aRc R intrans. Bhb (a,b,cS).aRbbRcaRc

Page 31: PENGANTAR HIMPUNAN

Relasi R disebut ekuivalen bhb R sekaligus memiliki sifat refleksi, simetris, dan transitif.

Page 32: PENGANTAR HIMPUNAN

c. RelasiDiberikan 2 himpunan B dan D dengan B={mahasiswa}, D={mahasiswi} Relasi R antara mahasiswa, mahasiswi adalah relasi “kawan dari”Relasi R dari B ke D, dan himpunan elemen dari B yang mempunyai kawan dari elemen dari D disebut daerah sumber (domain), sedang himpunan elemen dari D yang mempunyai kawan elemen dari B disebut daerah hasil (range)

Page 33: PENGANTAR HIMPUNAN

PEMETAANDefinisiSuatu fungsi f dari himpunan A ke B adalah aturan pengawanan yang memetakan setiap x anggota dari A dengan tungal y anggota dari BContohA={d1,d2,d3,d4}

B={1,2,3,4,5,6}●●

A B

Page 34: PENGANTAR HIMPUNAN

Suatu lemparan menentukan suatu fungsi f dari A ke B1.A dihabiskan dan setiap anggota dari A mempunyai kawan tunggal dari B

2.B tidak/boleh dihabiskan dan anggota B ada yang mempunyai kawan tunggal atau lebih dari satu, dan ada yang tidak mempunyai kawan.

Page 35: PENGANTAR HIMPUNAN

Definisi tentang fungsi di atas menunjukkan bahwa suatu fungsi merupakan kejadian khusus dari suatu relasi, yaitu relasi dari A ke B dengan setiap anggota dari A mempunyai kawan tunggal dalam B.