penerbit wade group -...

Penerbit WADE GROUP

ii

Penulis : Bain Khusnul Khotimah, S.T, M.Kom.

ISBN : 978-602-6802-11-8

Desain & Layout : Abu Muntaha

Cover Image : http://www.google.com

Penerbit WADE GROUP --- BuatBuku.com CV. WADE GROUP

Jl. Pos Barat Km.1 Ngimput Purwosari Babadan Ponorogo Indonesia 63491 BuatBuku.com [email protected] INDONESIA

Cetakan Pertama, November 2015

Hak Cipta © 2015 pada Penulis Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apapun, baik secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotocopy, merekam atau dengan sistem penyimpanan lainnya, tanpa seizin tertulis dari Penulis. Perpustakaan Nasional: Katalog Dalam Terbitan (KDT)

xiv + 238 hlm.; 15,5 x 23 cm

http://www.google.com/

iii

Kata Pengantar

Puji syukur Kita panjatkan kehadirat Allah SWT serta

sholawat dan salam kita hatur ke junjungan Nabi Mohammad SAW,

berkat rahmat-Nya serta syafaatnya sehingga penulisan buku ajar

“Teori Simulasi Dan Pemodelan: Konsep, Aplikasi Dan Terapan” ini dapat terselesaikan. Penulisan buku ajar ini, dimaksudkan untuk

memberikan gambaran tentang konsep, perkembangan, teori,

pemodelan, dan perkembangan aplikasi simulasi kepada para

pembaca, khususnya mahasiswa yang menempuh mata kuliah

Simulasi.

Buku ini berisi dasar pemodelan sistem dan operasi sistem ril,

teknik simulasi dapat digunakan untuk penyelesaian beragam

persoalan yang menyangkut dengan sistem dan operasi sistem.

Penerapan Simulasi dapat diaplikasikan dengan menggunakan

prosedur pengoperasian sistem yang secara khusus disusun untuk

menyelesaian persoalan yang dihadapi. Sedangkan prosedur yang

digunakan disusun berdasarkan pemodelan dan analisis sistem.

Beberapa contoh aplikasi simulasi diambil dari beberapa penelitian

baik jurnal maupun buku yang disajikan dalam bentuk-bentuk umum

simulasi dan dalam bentuk-bentuk khusus untuk penyelesaian

persoalan system dalam berbagai aplikasi persoalan misalnya

persoalan sistem antrian dan persoalan sistem persediaan. Contoh-

contoh aplikasi ini diharapkan dapat menumbuhkan penguasaan atas

penggunaan teknik simulasi.

Dalam proses belajar mengajar, guna menunjang proses

tersebut kami menyusun buku ajar ini yang diperuntukkan bagi

mahasiswa, yang juga diharapkan dapat digunakan sebagai acuan

materi antar dosen yang mengajar pada beberapa kelas parallel di

Jurusan Teknik Informatika. Kami sangat mengharapkan saran dan

iv

kritik membangun dari para mahasiswa, dosen dan pembaca guna

kesempurnaan catatan kuliah ini.

Bangkalan, 2015

Bain Khusnul Khotimah

v

DAFTAR ISI

Kata Pengantar…iii

Daftar Isi…v

Daftar Gambar…xi

Daftar Tabel…xiii

BAB I. KONSEP DASAR MODEL SIMULASI…1

1.1 Dunia Nyata dan Sistem…3

1.1.1 Tujuan Imitasi pada Simulasi…3

1.1.2 Simulasi Penyelesaian Persoalan…5

1.1.3 Konsep Simulasi…6

1.2 Tahapan Simulasi…9

1.3 Dasar-dasar Pemodelan Sistem…11

1.4 Bentuk Operasi Maya dan Simulasi…20

1.5 Prosedur Pengoperasian Sistem Maya…21

1.6 Operasi Maya Sistem Diskrit…22

1.7 Simulasi dengan Operasi Statik…24

1.8 Simulasi dengan Operasi Dinamik…26

1.9 Bentuk Nilai Simulasi Deterministik…27

1.10 Simulasi Stokastik…29

1.11 Verifikasi dan Validasi Simulasi…31

1.12 Rangkuman…32

vi

BAB II. PEMODELAN SISTEM DINAMIK...35

2.1 Pendekatan dalam Sistem Dinamik...37

2.2 Simulasi dalam Sistem Dinamik…40

2.2.1 Pemodelan Sistem Dinamik…41

2.3 Perangkat Lunak Simulasi...42

2.3.1 Sub Model Pasar/Penjualan...45

2.3.2 Sub Model Konsumen Rumah Tangga...46

2.3.3 Sub Model Jumlah Tangkapan…47

2.3.4 Sub Model SDM…48

2.3.5 Diagram Stok Aliran (Stock Flow

Digram)…49

2.4 Analisis Kebutuhan…50

2.4.1 Interaksi Antar Variabel…50

2.4.2 Diagram Stock And Flow…52

2.5 Simulasi Hasil Pemodelan UKM…55

2.6 Rangkuman…57

BAB III. SISTEM TUNGGU…61

3.1 Teori Antrian…62

3.1.1 Komponen Proses Antrian…63

3.2 Model-Model Antrian…67

3.3 Aplikasi Antrian Pada Layanan Bandara…89

3.3.1 Pengolahan Data Waktu Kedatangan…92

3.3.2 Pengolahan Data Waktu Pelayanan…97

vii

3.3.3 Perhitungan Variabel Model Antrian...102

3.4 Rangkuman…105

BAB IV. PEUBAH ACAK…109

4.1 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret…110

4.2 Sebaran peubah Acak Kontinu…118

4.3 Sebaran Peluang Bersama…120

4.4 Rangkuman…123

BAB V. NILAI HARAPAN (EKSPETASI)…127

5.1 Gambaran Nilai Harapan…128

5.2 Kaedah-kaedah Nilai harapan…133

5.3 Nilai Harapan Khusus…136

5.4 Sifat-sifat Koefisien korelasi (r)…140

5.5 Sifat-sifat Ragam/Variasi…146

5.6 Teorema Chebyshev…14λ

5.7 Rangkuman…152

BAB VI. SEBARAN PELUANG DISKRET…157

6.1 Sebaran Seragam…158

6.2 Sebaran Binomial dan Multinomil…160

6.3 Sebaran Hipergeometrik…167

6.4 Sebaran Poisson…171

6.5 Sebaran Binomial Negatif dan Geometrik…177

viii

6.6 Rangkuman…181

BAB VII. SEBARAN NORMAL…185

7.1 Kurva Normal…186

7.2 Luas Daerah Di bawah Kurva Normal…190

7.3 Pendekatan Normal terhadap Binomial…193

7.4 Rangkuman…199

BAB VIII. PENGEMBANGAN MODEL…203

8.1 Pemodelan Simulasi Kejadian Diskrit Dinamis…204

8.2 Teknik Representasi kejadian system…206

8.3 Simulasi Monte Carlo…209

8.4 Sistem Komputer Time-Shared…211

8.4.1 Formulasi Masalah…213

8.4.2 Model Analitik…216

8.4.3 Pertimbangan Pemrograman dan Struktur

Data…222

8.4.4 Penambahan Waktu dalam Model

Simulasi…222

8.5 Aplikasi Pemodelan Simulasi untuk Sistem Antrian

Kesehatan…223

8.5.1 Kejadian kondisional diskret...224

8.5.2 Pemrosesan Kejadian…224

8.5.3 Kejadian (Event)…225

ix

8.5.4 Proses Simulasi Pro Model...227

8.5.5 Verifikasi dan Validasi Model...228

8.6 Permasalahan Analisis dalam Model Simulasi…228

8.7 Rangkuman…236

xi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Sistem ril dan sistem imitasi ............................................. 4

Gambar 1.2. Gambaran pemodelan simulasi ........................................ 6

Gambar 1.3 Model konseptual simulasi ................................................. 7

Gambar 1.4. Tahapan Simulasi ............................................................ 11

Gambar 1.9. Kurva Karakteristik Beberapa Ketidaklinieran .............. 14

Gambar 1.5 Wilayah Kerja Simulasi .................................................. 17

Gambar 1.6 Illustrasi Operasi Diskrit dari Operasi Kontinu ............... 24

Gambar 1.7 Simulasi statik atas satu segmen aktivitas ..................... 25

Gambar 1.12. Simulasi dinamik dalam periode ganda ............ 26

Gambar 2.1 Pendekatan Sistem dengan Simulasi Sistem Dinamik .... 42

Gambar 2.2 Diagram Simpal Kausal .................................................. 45

Model Perikanan di Kabupaten Konawea Selatan .............................. 45

Gambar 2.3 Model Sub Sistem Pasar................................................. 46

Gambar 2.4 CLD Sub Sistem Model Konsumen ................................ 47

Gambar 2.5 CLD Sub Sistem Model Jumlah Tangkapan .................. 47

Gambar 2.6 CLD Sub Model SDM/Penduduk .................................. 48

Gambar 2.7 Diagram Alir Model Sistem Perikanan Lengkap ............ 49

Gambar 2.8 Interaksi Antar Variabel Awal ........................................ 52

Gambar 2.9 Submodel Teknologi ....................................................... 53

Gambar 2.10 Submodel Permintaan dan Produksi ............................. 53

Gambar 2.11 Submodel Keuangan ..................................................... 54

Gambar 2.12 Submodel Kebijakan Investasi ..................................... 54

Gambar 2.13. Hasil Simulasi Skenario ............................................... 56

Gambar 3.1 Komponen Dasar Antrian ............................................... 63

xii

Gambar 3.2. Antrian Satu Saluran Satu Tahap ................................... 65

Gambar 3.3. Antrian Banyak Saluran Satu Tahap .............................. 66

Gambar 3.4. Antrian Satu Saluran Banyak Tahap .............................. 66

Gambar 3.5. Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap ......................... 66

Gambar 3.6. Model Antrian ................................................................ 67

Gambar 3.7 Model Antrian Model M/M/1/I/I ................................... 68

Gambar 3.8 Model Antrian Model M/M/S/I/I .................................... 72

Gambar 3.9. Model Antrian Model M/M/1/I/F .................................. 80

Gambar 3.10. Model Antrian Model M/M/S/F/I ................................ 83

Gambar 4.1 Grafik sebaran peluang diskret ..................................... 112

Gambar P(a<x<b) = b

a

dxxf )(

.......................................................... 119

Gambar 6.1 histogram dari sebaran seragam f(x:6) =1/6 ................. 160

Gambar 7.1 kurva normal ................................................................. 187

Gambar 7.1 Kurva Normal ............................................................... 189

Gambar 7.2 Kurva Normal f(x1<x<x2) = luas daerah yang diarsir .. 190

7.3 Gambar hubungan antara luasan dan N(,2) ............................ 192

Gambar 7.3 Hampiran Kurva Normal terhadap b(x;16,0,5) ............. 194

Gambar 8.1. Graf kejadian sistem perbaikan mesin ........................ 209

Gambar 8.2. Sistem komputer time-shared ...................................... 211

Gambar 8.4. Logika pemrogaman time-shared computer ................ 221

Gambar 8.5 Model Konseptual ......................................................... 226

Gambar 8.6 Aliran Diagram Entitas ................................................ 226

Gambar 8.7 Contoh gambar Simulasi Pro Model ............................ 227

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1. Simbol-simbol Diagram Alir ............................................. 43

Tabel 3.1 Maskapai Penerbangan Yang Beroperasi ........................... 90

di Bandara Adisutjipto Yogyakarta ..................................................... 90

Tabel 3.3 Waktu Kedatangan PenumpangCheck-In Batavia .............. 91

Tabel 3.4 Waktu Pelayanan PenumpangCheck-In Batavia ................. 92

Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Waktu Kedatangan ............................ 93

Tabel 3.6 Hasil Perhitungan 2 Untuk Waktu Kedatangan

Penumpang .......................................................................................... 97

Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi waktu Pelayanan ................................ 98

Tabel 3.8 Hasil Perhitungan 2 Untuk Waktu Pelayanan Penumpang

........................................................................................................... 101

Table 5.1. Sebaran peluang ............................................................... 130

Tabel 8.1. Biaya dan pengurangan waktu koneksi dengan beberapa

alternatif memori ............................................................................... 213

Tabel 1. Waktu terhubung rata-rata .................................................. 218

Tabel 1. Hasil Analisis Data Input .................................................... 227

1

BAB I

KONSEP DASAR MODEL

SIMULASI

2

BAB I

KONSEP DASAR MODEL SIMULASI

Tujuan Intruksional Umum

1. Mahasiswa mengerti arti dan manfaat studi simulasi, serta

mendapat gambaran tentang cakupan studi simulasi

2. Mahasiswa dapat membangun model yang akan

disimulasikan dan memahami definisi simulasi.

Tujuan Intruksional Khusus

1. Mahasiswa mampu mengikhtisarkan pentingnya simulasi

sehingga lebih termotivasi untuk memahaminya labih

lanjut

2. Mahasiswa dapat menyebutkan manfaat dan kelebihan-

kelebihan pendekatam simulasi.

3. Mahasiswa dapat menyebutkan bidang-bidang atau ilmu-

ilmu yang sering menggunakan pendekatan simulasi.

4. Mahasiswa mampu membandingkan sistem dan model,

dan menyimpulkan perlunya model untuk kebutuhan

simulasi.

5. Mahasiswa mampu menggolongkan model ke dalam

simulasi matematis, baik yang statis maupun dinamis.

3

1.1 Dunia Nyata dan Sistem

Dalam penerapan dunia nyata maka segala sesuatu pasti

mengikuti suatu aturan seperti air yang mengalir dari tempat

yang tinggi (gunung) ke tempat (dataran) yang lebih rendah.

Sedangkan pada pemakaian suatu alat bantu yang sangat penting

ialah model abstrak yang perilaku esensialnya mencerminkan

perilaku dunia nyata (realita) yang diwakilinya. Model

digunakan dalam banyak cara untuk mendiskripsikan system

untuk mendisain dan mengelola sistem sebagai fungsi analisis.

Analisis ini didefinisikan sebagai determinasi output model,

dengan menggunakan input dan struktur model yang telah

diketahui. Dalam membangun analisis simulasi maka

dibangunlah system imitasi dalam simulasi.

1.1.1 Tujuan Imitasi pada Simulasi

Menurut pendefinisian pada berbagai kamus,

kata simulasi diartikan sebagai cara mereproduksi

kondisi dari suatu keberadaan dengan menggunakan

model dalam rangka studi pengenalan atau pengujian

atau pelatihan dan yang sejenis lainnya. Simulasi

dalam bentuk pengolahan data merupakan imitasi

dari proses dan input ril yang menghasilkan data

output sebagai gambaran karakteristik operasional

dan keadaan pada sistem. Hubungan sistem ril

dengan sistem imitasi dalam simulasi disajikan pada

Gambar 1.2. (Napitupulu, 2009).

4

Gambar 1.1 Sistem ril dan sistem imitasi

Imitasi dalam simulasi menghasilkan model

representasi dari suatu proses atau operasi dan

keadaan ril. Model sebagai imitasi disusun dalam

bentuk yang sesuai menyajikan sistem ril atas hal-

hal tertentu yang perlu direpresentasikan dengan

maksud untuk menghadirkan tiruan dari kegiatan

dan sistem ril. Sebagai contoh, model sistem antrian

sebagai imitasi dari sistem pelayanan disusun untuk

menggambarkan posisi dari pelanggan menunggu di

depan stasiun pelayanan.

Tujuan imitasi sistem ril dengan menghadirkan

elemen dan komponen tiruan adalah untuk peniruan

fungsi dan hubungan ril serta interaksi antar objek

dan komponen ril pada sistem tiruan. Komponen-

komponen sistem tiruan hadir dalam bentuk fungsi

dan interaksi imitasi yang disajikan dalam bentuk

rangkaian proses dalam aktivitas dan operasi sistem

yang disimulasi. Operasi tiruan yang berlangsung

dengan penggunaan data input tiruan diperlukan

5

untuk menghasilkan output sebagai gambaran dari

hasil operasi dan keadaan pada sistem yang

disimulasi.

1.1.2 Simulasi Penyelesaian Persoalan

Masalah tidak adanya metode yang sesuai

dengan persoalan pada umumnya berkaitan dengan

bentuk persoalan yang unik dan rumit, yang tidak

dapat diselesaikan dengan menggunakan metode dan

model-model baku yang ada. Sebagai contoh adalah

persoalan sistem antrian yang unik seperti disajikan

pada Gambar 1.2.

Perumusan persoalan dengan penyesuaian

terhadap metode yang hendak digunakan biasanya

terjadi atas kepentingan untuk memperoleh solusi

seadanya. Namun dengan upaya penyesuaian, solusi

yang diperoleh dapat menyimpang dari yang

semestinya, di samping dapat memunculkan

persoalan baru jika penerapan solusi yang diperoleh

tidak dapat memberikan hasil yang diharapkan dan

bahkan menimbulkan masalah pada penanganan

persoalan. (Napitupulu, 2009).

Model Baku : M/M/1

Stasiun Pelayanan

6

a. Model Sistem Antrian

b. Model Solusi Grafis

Gambar 1.2. Gambaran pemodelan simulasi

(Napitupulu, 2009)

1.1.3 Konsep Simulasi

Simulasi sebagai proses pengolahan data

dengan penggunaan rangkaian model-model

simbolik pada pengoperasian sistem tiruan tidak

mengharuskan dan tidak mengajukan penggunaan

formula atau fungsi-fungsi dan persamaan tertentu

Stasiun Pelayanan

Stasiun Pelayanan

Stasiun Pelayanan

7

sebagai model simbolik penyelesaian persoalan,

tetapi sebaliknya simulasi yang terdiri dari tahapan-

tahapan dan langkah-langkah pengolahan data

haruslah dilengkapi dengan model-model simbolik

yang sesuai memberikan hasil pengoperasian sistem

tiruan dalam bentuk data output yang berguna

untuk penyelesaian persoalan. Simulasi juga tidak

terikat dengan penggunaan model-model sistem

acuan tetapi memerlukan pemodelan untuk

menghasilkan model sistem dan model operasi

sistem yang sesuai dengan tujuan penelitian atau

penyelidikan.

Gambar 1.3 Model konseptual simulasi

8

Penyusunan model-model pada simulasi

merupakan bentuk aplikasi dari teori, prinsip, dan

pendekatan sistem. Model sistem dan model-model

simbolik dari fungsi atau proses serta prosedur

pengoperasian sistem tiruan haruslah disusun sebagai

perangkat lunak untuk penyelidikan dan analisis

karakteristik sistem. Untuk itu peniruan operasi

sistem ril dilakukan atas elemen-elemen yang

berkaitan dengan aktivitas sistem yaitu masukan dan

komponen- komponen sistem, hubungan dan

interaksi antar komponen sistem, aturan-aturan,

disiplin dan ketentuan lainnya yang berlaku dalam

aktivitas sistem. Berdasarkan peniruan sistem dan

aktivitas sistem ril yang sesuai, hasil simulasi sistem

dapat diterima dan berlaku syah sebagai data output

yang berguna menunjukkan karakteristik operasional

sistem ril.

Sesuai dengan konsep simulasi sistem tersebut

di atas, solusi untuk suatu persoalan dalam bentuk

keadaan yang kurang baik ataupun keadaan yang

tidak optimal dapat disusun dalam bentuk

rancangan pengembangan sistem dan bentuk

rancangan perbaikan pengelolaan dan pengoperasian

sistem. Solusi untuk mewujudkan keadaan yang

lebih baik dapat diperoleh berdasarkan hasil analisis

dan pengujian rancangan pengembangan dan

perbaikan melalui simulasi sistem seperti disajikan

pada Gambar 1.3.

Model konseptual simulasi pada gambar di atas

menunjukkan simulasi sebagai imitasi sistem melalui

penyusunan model-model yang diperlukan pada

9

pengoperasian sistem maya sebagai tiruan yang sama

ataupun sebagai imitasi modifikasi dari suatu sistem

ril untuk memperoleh karakteristik operasional

sistem sebagai bahan pertimbangan pada penentuan

solusi atas persoalan sistem ril.

1.2 Tahapan Simulasi

Proses Tahapan dalam mengembangkan Model dan

simulasi komputer secara umum, sebagai berikut :

a. Memahami sistem yang akan disimulasikan Jika

Pengembang model tidak tau atau belum mengetahui cara

kerja sistem yang akan dimodel simulasikan maka

pengembang perlu meminta bantuan seorang ahli (pakar)

dibidang sistem yang bersangkutan. Data masukan,

keluaran, variable dan parameter masih dalam bentuk

symbol – symbol verbal (kata – kata).

b. Mengembangkan Model matematika dari sistem Apabila

pengembang sudah mengetahui cara kerja sistem yang

bersangkutan, maka tahap berikutnya adalah

memformulasikan model matematika dari sistem. Model

matematika bisa dalam bentuk persamaan diferensial,

persamaan aljabar linear, persamaan logika diskret dan

lain – lain disesuaikan dengan karakterisitik sistem dan

tujuan pemodelan

c. Mengembangkan Model matematika untuk simulasi

Digunakan untuk menyederhanakan model matematika

yang sudah dihasilkan sebelumnya. Agar lebih mudah

dalam menyederhanakan Model matematika, maka

10

dibuatlah suatu Flow Chart untuk merinci tahapan yang

harus dilewati untuk membuat program.

d. Membuat program (software) Beberapa flow chart dari

tahapan sebelumnya kemudian diimplementasikan lebih

lanjut menjadi program (software) computer

e. Menguji, memverifikasi dan memvalidasi keluaran

simulasi Simulasi pada dasarnya adalah menirukan sistem

nyata (realitas) sehingga tolak ukur baik tidaknya simulasi

adalah sejauh mana yang bersangkutan. Pengujian

(testing) dilakukan pada tingkat modul program, untuk

menguji fungsi subsistem. Verifikasi dilakukan untuk

membuktikan bahwa hasil implementasi program

komputer sudah sesuai dengan rancangan model konsep

dari sistem yang bersangkutan. Validasi dilakukan dengan

membandingkan hasil keluaran simulasi dengan data yang

diambil dari sistem nyata (realitas).

f. Mengeksekusi program simulasi untuk tujuan tertentu.

Eksekusi (running) program komputer bisa dilakukan

secara waktu nyata (real time) atau waktu tidak nyata

(offline) tergantung dari tujuan simulasi. Secara umum ada

3 tujuan simulasi, yaitu : untuk mempelajari perilaku

(behavior) sistem, untuk pelatihan (training), untuk

hiburan/permainan (gaming).

11

Gambar 1.4. Tahapan Simulasi

1.3 Dasar-dasar Pemodelan Sistem

Sebuah sistem merupakan kombinasi dari beberapa

komponen yang bekerja bersama-sama. Konsep sistem yang

digunakan berupa gejala-gejala abstrak dan dinamis seperti yang

dijumpai dalam “sistem” harus dapat di interprestasikan untuk dapat menyatakan sistem fisik, biologi, ekonomi, dan

12

sebagainya.

Pemodelan sistem adalah suatu langkah awal yang di

lakukan untuk pembuatan suatu rekayasa perangkat lunak dari

sebuah sistem yang akan di simulasikan. Apabila formulasi

model dilakukan maka tahap selanjutnya akan dilakukan

evaluasi model system diantaranya adalah: ketelitian,

ketersediaan taksiran atas variable, interpretasi, dan validasi.

Dalam hal ini formulasi model senantiasa dilakukan berdasarkan

teori-teori yang berlaku diwilayah dimana system berada.

Beberapa tahapan yang biasa dilakukan untuk melakukan

formulasi model yaitu:

a. Dari sudut pandang system dan lingkungannya: system

tertutup & system terbuka.

b. Dari sudut pandang tingkat kepastian system: system

deterministic & system probabilistic.

c. Dari sudut pandang kedinamisan system: system dinamis

& system statis.

d. Dari sudut pandang kekontinuan system: system kontinu

& system diskrit.

Perkembangan sistem kontrol dalam industri proses

dewasa ini telah melahirkan banyak penemuan–penemuan baru

tentang masalah konsep dan prinsip kerja dari berbagai sistem

yang digunakan didalam industri itu sendiri untuk melaksanakan

proses produksinya.

Beberapa sistem yang terdapat di sekeliling kita dapat

didefinisikan sebagai berikut:

13

a. Sistem Linier

Definisi sistem linier merupakan suatu sistem yang

mempunyai persamaan model yang linier dengan

menerapkan prinsip superposisi. Definisi prinsip

superposisi menyatakan respon yang dihasilkan oleh

penggunaan secara serentak dua buah fungsi penggerak

yang berbeda adalah sama dengan jumlah dari dua buah

respon individualnya. Oleh karenanya, pada sistem linier,

respon terhadap beberapa masukan dapat dihitung dengan

cara mencari respon terhadap tiap-tiap masukan dan

menjumlahkan hasilnya. Prinsip ini memungkinkan kita

untuk menyusun jawaban yang kompleks pada persamaan-

persamaan diferensial linier dari beberapa jawaban yang

sederhana. Pada penyelidikan sistem dinamik secara

eksperimantal, jika sebab dan akibat adalah sebanding,

maka akan berlaku sistem superposisi sehingga sistem

tersebut dapat dianggap linier.

b. Sistem Non Linier

Sistem non linier adalah sistem yang dinyatakan

oleh persamaan non linier dan tidak dapat menerapkan

prinsip superposisi. Beberapa kurva karakteristik ketidak

lini eran diperlihatkan pada Gambar 1-1 ibawah ini.

Beberapa contoh persamaan non linier adalah:

BA sin

32BAZ

14

Keluaran Keluaran

Masukan

Keluaran

Masukan

Masukan

(a) (b)

(c)

(a) Ketidaklinieran saturasi, (b) Ketidaklinieran daerah

mati, (c) Ketidaklinieran hukum kuadrat

0)1( 2

2

2

xdt

dxx

dt

xd

,

03

2

2

xxdt

dx

dt

xd

Gambar 1.9. Kurva Karakteristik Beberapa

Ketidaklinieran

c. Sistem Kendali dengan Lup Terbuka

Sistem kendali dengan lup terbuka adalah suatu

sistem kendali yang keluarannya tidak di umpan balikkan

dengan masukannya. Sehingga untuk setiap masukan

acuan (set point), kondisinya tidak akan berubah (tetap).

Respon keluaran yang demikian itu tergantung dari

15

keadaan dari kalibrasi sistem kendali itu sendiri.

Manakala, penalaan parameter sistem adalah benar dan

stabil maka sistem itu akan bekerja sesuai dengan yang

diinginkan. Tetapi manakala penalaan parameter sistem

tidak tepat atau bahkan terjadi suatu gangguan

(disturbance) pada sistem maka sistem itu tidak dapat

bekerja seperti apa yang diinginkan.

d. Sistem Kendali dengan Lup Tertutup

Sistem kendali lup tertutup adalah suatu sistem

kendali yang keluarannya dapat di umpan balikkan dengan

masukannya. Sehingga untuk setiap masukan acuan (set

point), kondisinya akan selalu berubah sesuai dengan nilai

masukan acuan yang diberikan pada sistem tersebut.

Dalam hal ini, sistem kendali dengan lup tertutup biasanya

tidak peka terhadap perubahan yang terjadi pada sistem,

baik itu perubahan yang disebabkan oleh karena gangguan

eksternal maupun internal sistem. Hal itu disebabkan

karena adanya penalaan yang sedemikian rupa pada sistem

kendali lup tertutup yang ditujukan agar jika sewaktu-

waktu terjadi perubahan yang mendadak / tidak dapat

diramalkan pada sistem tersebut maka dengan cepat sistem

merespon keluaran yang kemudian akan dibandingkan

dengan masukan acuan utuk menghasilkan suatu nilai

yang dikehendaki.

e. Karakteristik Sistem Kendali Otomatik

Beberapa karakteristik yang penting dari sistem

kendali otomatik adalah:

16

a. Sistem kendali ototomatik merupakan sistem

dinamis (berubah terhadap waktu) yang dapat

berbentuk linier dan non linier.

b. Bersifat menerima informasi, memprosesnya,

mengolahnya, dan mengembangkannya.

c. Komponen/unit yang membentuk sistem kendali ini

akan saling berinteraksi

d. Bersifat mengembalikan sinyal ke bagian masukan

(feedback) dan ini digunakan untuk memperbaiki

sifat sistem.

e. Karena adanya pengembalian sinyal ini (sistem

umpan balik) maka pada sistem kendali otomatik

selalu terjadi maslah stabilisasi.

f. Pemakaian Sistem Kendali Otomatik

Pemakaian dari sistem kendali otomatik ini

dikelompokan sebagai berikut: [10]

a. Pengontrolan proses

b. Pembangkit tenaga listrik (pengontrolan distribusi

tenaga)

c. Pengontrolan numeric (numerical control, N/C)

d. Transportasi

e. Servomekanis,dll

17

Gambar 1.5 Wilayah Kerja Simulasi

(Law and Kelton, 1991)

a. Eksperimen langsung dan tidak langsung. Eksperimen

langsung dan tidak langsung merupakan suatu cara yang

digunakan untuk memperoleh gambaran dan informasi

secara lengkap dari system yang ingin disimulasikan. Bila

diinginkan data yang benar-benar valid maka yang lebih

tepat adalah eksperimen langsung terhadap system

realnya, karena jika kita bereksperimen terhadap model

system maka akan timbul kendala apabila model tersebut

tidak menggambarkan system realnya secara utuh.

18

b. Model Fisik dan model matematik

Model system dapat berwujud secara fisik maupun

dalam bentuk formula matematik. Pada umumnya model

matematik selalu dapat memberikan hasil yang

menjanjikan, karena model matematik yang sempurna

akan dapat memberikan informasi dan pada akhirnya akan

dapat menunjukkan kinerja dari system nyatanya secara

tepat.

c. Penyelesaian analitik dan dengan simulasi

Penyelesaian analitik dan dengan simulasi

merupakan bagian tahapan selanjutnya manakal model

fisik maupun model matematik system selesai dibuat. Jika

model system cukup sederhana maka penyelesaian secara

analisis mudah dilakukan, namun bila model system cukup

kompleks maka penyelesaian simulasi dengan

menggunakan computer akan lebih membantu.

Simulasi computer adalah suatu metode yang mana

metode itu dengan sendirinya harus disesuaikan dengan

karakteristik system real yang di buat simulasinya.

Banyaknya karakteristik system yang ada di sekeliling kita

akan memunculkan bermacam-macam simulasi,

diantaranya adalah:

a. Simulasi system dinamis : merupakan model

simulasi yang dapat merepresentasikan system yang

berubah-ubah sepanjang waktu.

b. Simulasi system diskrit: merupakan system yang

perubahan statenya terjadi pada waktu-waktu diskrit.

19

c. Simulasi system kontinu: merupakan system yang

perubahan statenya terjadi secara kontinu.

d. Simulasi system probabilistic: merupakan system

dengan kejadian yang probabilistic.

Aspek-aspek yang mendasar bagi kajian simulasi

suatu system adalah:

1. Aspek pemodelan system. Dilakukan untuk

membuat representasi system dalam bahasa/bentuk

tertentu, sehingga dengan perwujudan representasi

itu maka segala bentuk analisis dan pembahasan atas

sitem dapat dilakukan.

Adapun tahapan utama dalam melakukan

pemodelan system adalah sebagai berikut:

a. Penetapan tujuan

b. Identifikasi masalah

c. Pengembangan model koseptual

d. Pengembangan Model matematis

e. Validasi

Solusi model Pemahaman atas segala bentuk

komponen (entity) dan antribut (antribute) beserta

interaksi yang mewarnai system mutlak diperlukan

karena pemahaman ini merupakan modal dasar yang

utama dalam pemodelan system. Atas model

matematis yang diperoleh, selanjutnnya dilakukan

validasi sehingga akan diperoleh model yang valid.

20

2. Aspek pemrograman computer. Dilakukan untuk

menyelesaikan persoalan model matematika system

kedalam bentuk program computer, sehingga

program tersebut dapat menirukan perilaku system

realnya.

3. Aspek percobaan (statistic). Dilakukan untuk

mengolah data keluaran simulasi agar dapat

menunjukan keluaran yang benar dan tidak

menyesatkan.

1.4 Bentuk Operasi Maya dan Simulasi

Operasi sistem dalam bentuk maya umumnya

diawali dengan pengambilan input dan diakhiri dengan

penyajian output hasil pengolahan data. Operasi maya per

siklus dapat diulang kembali mulai dari awal periode atau

dilanjutkan pada periode selanjutnya. Operasi maya dalam

sejumlah siklus dapat berulang dalam satu periode yang

sama atau berlanjut dalam jumlah periode yang sama

dengan jumlah siklus operasi maya. Operasi maya pada

umumnya berlangsung dalam bentuk rangkaian proses

maya dengan input maya dan output maya.

Operasi maya berlangsung dengan menggunakan

data tiruan yang dapat dibedakan atas data deterministik

dan data stokastik pada simulasi dinamik atau simulasi

statik. Pengadaan data input tiruan deterministik

dilakukan dengan cara menyediakan nilai-nilai yang pasti,

sedangkan data input tiruan stokastik dapat disediakan

dengan menggunakan nilai-nilai peluang sebagai penduga.

Operasi sistem pada simulasi statik berlangsung bebas

21

tidak terikat dengan kemajuan waktu, sedangkan operasi

sistem pada simulasi dinamik berlangsung dalam selang

waktu maya yang disesuaikan terhadap selang waktu

operasi pada sistem nyata.

Hasil simulasi sistem dalam bentuk data output

merupakan hasil operasi imitasi pada sistem maya.

Dengan penggunaan nilai- nilai input yang sama dengan

nilai-nilai input pada sistem ril, data output hasil

pengoperasian sistem maya sebagai imitasi dari suatu

sistem ril pada prinsipnya adalah sama dengan nilai-nilai

dari hasil operasi sistem ril yang sama. Data output hasil

simulasi sistem maya dan data hasil operasi sistem ril

adalah sama dalam bentuk nilai-nilai yang berfungsi

menunjukkan keadaan pada sistem maya dan keadaan

pada sistem ril.

1.5 Prosedur Pengoperasian Sistem Maya

Simulasi komputer dijalankan dengan menggunakan

program simulasi pada komputer. Program simulasi sistem

berfungsi untuk menghadirkan komponen-komponen

suatu sistem maya dan untuk mengoperasikan sistem

maya yang terbentuk. Program simulasi sistem yang

tersusun dalam bentuk rangkaian perintah-perintah dan

ekspressi merupakan prosedur pengoperasian sistem

maya.

Dengan penggunaan variabel sebagai komponen

sistem maya, operasi maya dapat disusun dalam bentuk

rangkaian ekspressi dan model-model simbolik yang

menyatakan bentuk dan fungsi proses serta hubungan

22

input-output. Ekspressi-ekspressi pada program dapat

disusun sebagai rangkaian pernyataan yang berfungsi

untuk mengendalikan jalannya operasi maya sehingga

proses pengolahan data dapat menirukan proses dan

interaksi pada sistem ril.

Program komputer khusus untuk suatu simulasi

sistem dapat disusun dengan menggunakan bahasa

program tertentu, antara lain bahasa C++ dan bahasa

Visual Basic. Program simulasi juga dapat disusun dalam

bentuk worksheet aplikasi ataupun dengan menggunakan

perangkat lunak sistem simulasi seperti ProModel,

PowerSim dan lain sebagainya. Perangkat lunak sistem

simulasi berfungsi dengan mengoperasikan model sistem

dan menggunakan data input tiruan. Untuk itu

diperlukan penyusunan model sistem dan model operasi

sistem, penentuan karakteristik data input serta

penyusunan ekspressi-ekspressi pengoperasian sistem

maya sesuai dengan bentuk operasi pada sistem ril yang

disimulasikan.

1.6 Operasi Maya Sistem Diskrit

Dari segi cara pelaksanaannya, simulasi komputer

termasuk simulasi sistem diskrit sesuai dengan bentuk

pengoperasian sistem secara terputus-putus, meskipun

aktivitas dan operasi pada sistem ril berlangsung kontinu.

Simulasi sistem dapat dijalankan dengan pelaksanaan

operasi diskrit sehubungan dengan ketidaklayakan

pengoperasian sistem tiruan dengan menjalankan aktivitas

maya dalam bentuk kontinu.

23

Pengoperasian sistem tiruan berlangsung secara

diskrit sesuai dengan proses pemasukan data, pengolahan

data dan penerimaan output hasil pengolahan data secara

bertahap pada posisi waktu atau posisi operasi maya

tertentu. Meskipun proses pengolahan data berlangsung

dalam selang waktu yang relatip sangat kecil,

pengambilan dan penentuan nilai-nilai dalam simulasi

sistem tetap berlangsung secara diskrit per periode dan per

siklus.

Pengoperasian sistem secara diskrit juga berkaitan

dengan pelaksanaan elemen operasi maya yang tuntas

seketika melalui eksekusi perintah program, meskipun

pelaksanaannya pada sistem ril berlangsung kontinu

dalam selang waktu yang relatip lama. Sebagai contoh,

pengisian sejumlah bahan baku ke dalam tangki

persediaan pada sistem ril berlangsung kontinu dan selesai

dalam beberapa jam, namun pada simulasi dapat

terlaksana dan tuntas seketika melalui eksekusi perintah

penambahan nilai variabel yang menyatakan isi tangki.

(Gambar 1.6.)

Operasi pengisian 600 m3 bahan ke dalam tangki persediaan

24

Gambar 1.6 Illustrasi Operasi Diskrit dari Operasi

Kontinu

1.7 Simulasi dengan Operasi Statik

Pada simulasi statik, pengoperasian sistem maya

berlangsung secara bebas tidak terikat dengan kemajuan

waktu. Hasil simulasi yang diperoleh merupakan

gambaran keberadaan dan karakteristik sistem dalam

berbagai konfigurasi atau variasi keadaan yang tidak

terikat dengan waktu.

Simulasi statik merupakan simulasi sistem maya

dalam satu periode sebagai satu siklus peristiwa atau satu

segmen aktivitas. Pengulangan simulasi statik berlaku

terbatas dalam satu periode tunggal pada posisi yang sama

dan tidak bergerak. Pelaksanaan simulasi dalam m siklus

adalah statis dalam satu periode seperti disajikan pada

25

Gambar 1.11. berikut.

Gambar 1.7 Simulasi statik atas satu segmen aktivitas

Simulasi sistem termasuk simulasi statik jika

kelangsungan operasi sistem maya tidak berkaitan dengan

kemajuan waktu maya dan kemajuan waktu maya tidak

berpengaruh terhadap operasi dan keadaan sistem.

Sebagai contoh, simulasi analisis rentabilitas proyek

investasi dengan umur 10 tahun dapat dilakukan berulang-

ulang tanpa terikat dengan waktu operasi maya. Analisis

proyek dalam satu siklus berlangsung dalam satu periode

operasi, di mana satu periode operasi tidak sama dengan

selang waktu 10 tahun maya. Jika pengulangan simulasi

dilakukan sebanyak 200 kali, bukan berarti analisis

rentabilitas dilakukan untuk proyek dalam selang waktu

2000 tahun maya. Demikian juga jika umur proyek

dikurangi menjadi 5 tahun, bukan berarti simulasi

berlangsung dalam ½ siklus. Simulasi proyek dengan

umur 10 tahun maupun 5 tahun sama-sama berlangsung

dalam 1 siklus yang sama.

26

1.8 Simulasi dengan Operasi Dinamik

Pada simulasi dinamik, pengoperasian sistem

berlangsung berkelanjutan dalam ruang waktu maya.

Operasi sistem dinamik adalah khas tidak berulang pada

periode atau pada selang waktu yang sama. Dengan

mengikuti kemajuan waktu, perubahan pada sistem maya

selalu dikaitkan dengan selang waktu ataupun posisi

waktu maya, di mana operasi maya dijalankan dalam

sejumlah periode yang berurutan menurut kemajuan waktu

atau menurut pembagian waktu maya untuk sejumlah

periode seperti disajikan pada Gambar 1.12.

Gambar 1.12. Simulasi dinamik dalam periode ganda

(Napitupulu, 2009)

Simulasi sistem secara dinamik terikat dengan

kemajuan dan perubahan waktu karena operasi maya

dijalankan dalam sejumlah periode yang berurutan dengan

27

selang waktu tertentu, ataupun menurut kemajuan waktu

yang menentukan urutan dan jumlah periode. Jika

pelaksanaan operasi dinamik berlangsung dalam n periode

yang berurutan, dan 1 periode operasi berlangsung dalam

m menit maya maka simulasi berlangsung dalam n(m)

menit maya.

Sebagai contoh, sistem antrian maya dengan operasi

dinamik dijalankan dengan mengikuti kemajuan waktu

yang menentukan terhadap jumlah kedatangan, lama

pelayanan dan panjang antrian. Sistem maya dioperasikan

dari menit ke menit dalam selang waktu 7 jam atau 420

menit maya. Dengan selang waktu 1 menit maya per 1

kali pengecekan operasi sistem maka simulasi berlangsung

dalam 420 kali pengecekan. Jika simulasi dijalankan

dalam 210 menit maya berarti pengoperasian sistem

antrian dalam simulasi berlangsung dalam 210 kali

pengecekan.

1.9 Bentuk Nilai Simulasi Deterministik

Pengoperasian sistem tiruan termasuk simulasi

deterministik jika semua nilai-nilai input tiruan yang

digunakan terdiri dari nilai- nilai pasti atau menentu.

Hasil simulasi sistem yang diperoleh juga merupakan

nilai pasti untuk masing-masing kombinasi nilai-nilai

input sistem. Dengan penggunaan data input deterministik,

jumlah hasil simulasi yang dapat diperoleh akan sama

dengan jumlah kombinasi dari nilai-nilai parameter dan

variabel yang digunakan seperti diberikan pada contoh

berikut :

28

Jika nilai input A=5 dan B=7 dengan model simbolik

operasi C = A*B maka nilai C = 5x7 = 35 merupakan

nilai pasti.

Selama nilai A dan nilai B serta model simbolik C

= A*B tidak berubah maka nilai C akan tetap sama

tidak berubah pada setiap ulangan simulasi operasi.

Jika nilai A terdapat pada dua level yaitu A1= 4 dan

A2= 6 maka nilai C menurut nilai A terdiri dari 2

nilai pasti yaitu C1= 28 dan C2= 42

Jika nilai A terdapat pada dua level yaitu A1 =4

dan A2=6, dan nilai B terdapat pada tiga level

yaitu B1=5, B2=6 dan B3=7 maka nilai C menurut

nilai A dan nilai B terdiri dari 6 nilai pasti sesuai

dengan jumlah kombinasi dari variabel A dengan

variabel B sebanyak 2 x 3 yaitu :

C1= 20, C2= 24, C3= 28, C4= 30, C5= 36, dan

C6= 42

Pada contoh di atas dapat terlihat jelas bahwa hasil

simulasi deterministik tidak berubah untuk nilai-nilai

masukan yang sama. Hasil simulasi sistem tetap akan

sama meskipun dengan jumlah ulangan yang sangat besar.

Pengulangan simulasi dengan nilai- nilai input yang sama

tidak akan memberikan nilai hasil simulasi yang berubah

sehingga ulangan simulasi tidak diperlukan untuk

penentuan nilai rata-rata hasil pengoperasian sistem.

Sehubungan dengan hasil simulasi deterministik

yang sama untuk nilai-nilai input yang sama maka

perlunya simulasi sistem deterministik adalah untuk

29

memperoleh nilai hasil simulasi untuk nilai-nilai input

tertentu dari antara nilai-nilai input yang berbeda dalam

jumlah yang relatip sangat besar. Simulasi deterministik

untuk nilai-nilai input yang berbeda dapat bermanfaat

menyajikan bentuk hubungan yang pasti antara nilai-

nilai input dengan nilai- nilai output pada operasi statik

yang berulang maupun operasi dinamik yang

berkelanjutan.

1.10 Simulasi Stokastik

Simulasi sistem termasuk simulasi stokastik jika

nilai-nilai input yang digunakan terdiri dari nilai-nilai

dugaan. Data output hasil simulasi yang diperoleh dengan

penggunaan nilai-nilai input dugaan juga termasuk nilai

dugaan, meskipun simulasi dilakukan dengan langkah-

langkah yang pasti. Hasil simulasi dalam bentuk nilai

dugaan tidak dapat diubah menjadi nilai pasti.

Nilai dugaan tidak berdiri sendiri sebagai nilai

tunggal tetapi sebagai nilai anggota dari suatu kelompok

nilai dengan kehadiran berdasarkan peluang tertentu.

Penggunaan nilai-nilai sebagai data input berdasarkan

peluang berkaitan dengan terdapatnya banyak nilai-nilai

sejenis yang mungkin muncul dari kelompok yang sama.

Sebagai contoh, rata-rata kecepatan angin termasuk data

dugaan pada suatu simulasi pelayaran sehubungan

dengan nilainya yang berubah dari waktu ke waktu tidak

dapat dinyatakan dengan nilai pasti. Penggunaan nilai-

nilai kecepatan angin sebagai data input pada simulasi

merupakan nilai dugaan berdasarkan peluang yang

menentukan frekwensi kemunculan nilai-nilai pada

30

operasi maya.

Penggunaan data input dugaan akan memberikan

nilai hasil simulasi dalam bentuk nilai ekspektasi yang

tidak terlepas dari peluang yang menentukan frekwensi

kehadiran nilai-nilai input. Hubungan nilai-nilai input

dugaan dengan hasil simulasi sebagai nilai ekspektasi

dapat dijelaskan melalui contoh berikut:

Pada kecepatan angin rata-rata 15; 20 dan 25

km per jam, kecepatan rata-rata perahu adalah 5;

10 dan 15 km per jam. Kecepatan angin rata-rata

15 km/jam dapat terjadi dengan peluang 0,5;

kecepatan rata-rata 20 km/jam dengan peluang 0,3

dan kecepatan rata-rata 25 km/jam dengan peluang

0,2. Berdasarkan nilai rata-rata dan peluang

terjadinya kecepatan angin serta hubungannya

dengan kecepatan perahu maka ekspektasi jarak

tempuh perahu per jam dapat diperoleh dari

perhitungan : (0,5x5)+(0,3x10)+(0,2x15) = 8,5

km/jam.

Ekspektasi jarak tempuh perahu pada contoh di atas

tidak dapat dinyatakan dengan nilai pasti karena data

input terdiri dari nilai-nilai dugaan. Ekspektasi jarak

tempuh perahu akan berubah dengan mengikuti perubahan

nilai-nilai peluang kecepatan angin pada setiap ulangan

simulasi. Sesuai dengan perubahan nilai-nilai bilangan

acak sebagai nilai peluang, data kecepatan angin dugaan

pada setiap siklus simulasi juga mengalami perubahan

sehingga dengan peningkatan jumlah ulangan simulasi

akan diperoleh rata- rata jarak tempuh perahu yang

berubah dan bervariasi.

31

1.11 Verifikasi dan Validasi Simulasi

Sistem tiruan dan program simulasi dapat digunakan

apabila model sistem sesuai dengan bentuk sistem ril, dan

operasi maya sesuai dengan operasi ril. Untuk itu

verifikasi model sistem perlu dilakukan sebelum uji coba

penggunaan program simulasi.

Verifikasi model sistem dilakukan berdasarkan

pengecekan kesesuaian model dengan keadaan ril,

terutama dalam hal jumlah dan jenis komponen, bentuk

hubungan interaksi antar komponen, serta input-output

proses dalam operasi sistem. Ketidaksesuaian umumnya

mengakibatkan penyimpangan hasil simulasi terhadap

hasil yang seharusnya. Ketidaksesuaian model dapat

terjadi dalam berbagai hal yang disebutkan di atas.

Ketidaksesuaian misalnya terdapat pada komponen-

komponen sistem maya yang tidak tepat mewakili

komponen-komponen sistem ril dengan prosedur yang

tidak efektip mengintegrasikan semua komponen-

komponen sistem sehingga mengakibatkan adanya

perbedaan antara operasi sistem maya dengan operasi

sistem ril.

Selanjutnya prosedur pengoperasian sistem maya

juga perlu divalidasi karena model operasi yang

digunakan pada sistem maya kemungkinan tidak sesuai

dengan bentuk operasi pada sistem ril. Model operasi

sistem maya yang berbeda dengan bentuk operasi ril jelas

tidak berlaku mewakili sistem ril. Model operasi sistem

maya tidak valid jika uji coba simulasi memberikan

hasil yang berbeda dibandingkan dengan hasil operasi

sistem ril.

32

Prosedur pengoperasian sistem yang disusun

berdasarkan model operasi sistem yang lolos verifikasi

juga perlu divalidasi. Prosedur dalam bentuk program

komputer perlu divalidasi sebelum digunakan pada

pensimulasian. Validasi program simulasi dapat dilakukan

berdasarkan hasil pengecekan kesamaan antara hasil

simulasi dengan hasil operasi ril atas penggunaan data

input yang sama. Jika pengujian ini menunjukkan bahwa

hasil simulasi tidak sesuai dengan hasil operasi sistem ril

maka program simulasi yang digunakan dianggap tidak

berlaku syah dan tidak dapat digunakan pada

pensimulasian.

Program simulasi yang valid berdasarkan hasil

pengujian dan pembuktian merupakan jaminan untuk

penerimaan hasil simulasi atas penggunaan model sistem

dan model operasi yang sama. Berdasarkan validasi ini,

model sistem dan program simulasi yang disempurnakan

selanjutnya dapat digunakan pada pensimulasian dengan

penggunaan data input tiruan yang bervariasi, baik untuk

penyelesaian persoalan pengelolaan sistem maupun dalam

rangka pengembangan sistem.

1.12 Rangkuman

Simulasi merupakan teknik penyelesaian persoalan

sistem ril dengan cara pengoperasian sistem imitasi untuk

memperoleh data output operasi yang menunjukkan

karakteristik operasional sistem sebagai bahan yang

berguna pada penyusunan solusi persoalan.

33

Simulasi dapat berlaku memberikan hasil yang

valid sebagai bahan penyusunan solusi persoalan sistem

ril melalui imitasi operasi dengan penggunaan model-

model dan prosedur yang sesuai dan valid untuk

penyelidikan, analisis dan evaluasi operasi sistem.

Simulasi dapat berfungsi menyelidiki karakteristik

operasional sistem melalui operasi imitasi dengan

penggunaan elemen-elemen, komponen-komponen dan

input maya yang sesuai untuk mewakili elemen-elemen,

komponen-komponen dan input operasi sistem ril.

LATIHAN

1) Apakah yang dimaksud dengan permodelan ?

2) Apakah yang dimaksud dengan simulasi computer?

3) Apa yang dimaksud dengan system diskrit, probabilistic?

Berikan contohmasing-masing?

4) Buatlah contoh sebuah gambaran simulasi tentang system

produksi di dunia industri !

5) Apa yang dimaksud dengan system linier dan non linier?

Berikan contoh masing-masing!

6) Simulasi efektip diaplikasikan untuk penyelesaian

persoalan sistem ril yang dapat diamati. Bagaimana bentuk

penggunaan simulasi pada penyelesaian persoalan pada

suatu sistem yang belum terwujud atau yang tidak

ditemukan dalam bentuk ril?

34

7) Keberadaan dan kehadiran sistem dalam bentuk maya

dapat terlihat dari hasil simulasi yang berlaku mewakili

operasi dan keadaan pada sistem ril. Bagaimana jika

hasil operasi sistem ril berbeda dengan hasil operasi dari

sistem maya tiruannya?

8) Sistem sebagai suatu bentuk perpaduan dari berbagai jenis

komponen melalui interaksi dapat hadir dalam bentuk

yang berbeda. Apakah bentuk-bentuk kehadiran yang

berbeda dari suatu sistem ril yang sama adalah berkaitan

satu sama lain?

9) Bentuk dari sistem maya sebagai imitasi dari suatu

sistem ril dapat ditentukan melalui pemodelan yang

didasari oleh suatu kepentingan penyelesaian persoalan.

Apakah bentuk sistem maya dapat berlaku sebagai model

perbaikan pada sistem ril?

DAFTAR PUSTAKA

1. Sandi Setiawan “SIMULASI” (Bab 1 s/d 4)

2. Humala L. Napitupulu, Simulasi Sistem

Pemodelan Dan Analisis, USUpress 2009

2009usupress.usu.ac.id/files/SIMULASI%20SISTEM_final_ba

b%201.pdf

3. (Law, A.M., Kelton, W.D. (1997), Simulation Modeling and

Analysis, McGraw-Hill, Singapore.

35

BAB II

PEMODELAN SISTEM

DINAMIK

36

BAB II

PEMODELAN SISTEM DINAMIK


1. Membuat model sistem dinamik pengembangan industri.

2. Menentukan faktor-faktor apa saja yang paling

berpengaruh didalam pengembangan industri.

3. Menjelaskan pengertian tentang state space dan

menentukan nisbah alih hubungannya dengan persamaan

ruang keadaan

4. Mengembangkan analisis sistem pengaturan dalam model

persamaan Ruang Keadaan (state space)


1. Mahasiswa memahami definisi dan konsep dari Sistem

Dinamik.

2. Mahasiswa mampu melakukan perancangan Sistem.

3. Mahasiswa memiliki keterampilan Sintesis, Integrasi dan

perancangan.

4. Mahasiswa memiliki Problem Solving Skills.

37

2.1 Pendekatan dalam Sistem Dinamik

Sistem dinamik adalah metodologi untuk memahami suatu

masalah yang kompleks. Metodologi ini dititikberatkan pada

pengambilan kebijakan dan bagaimana kebijakan tersebut

menentukan tingkah laku masalah-masalah yang dapat

dimodelkan oleh sistem secara dinamik (Richardson dan Pugh

1986). Permasalahan dalam sistem dinamik dilihat tidak

disebabkan oleh pengaruh dari luar namun dianggap disebabkan

oleh struktur internal sistem. Tujuan metodologi sistem dinamik

berdasarkan filosofi kausal (sebab akibat) adalah mendapatkan

pemahaman yang mendalam tentang tata cara kerja suatu sistem

(Asyiawati 2002; Muhammad; et a!. 2001). Tahapan dalam

pendekatan sistem dinamik adalah :

a. ldentifikasi dan definisi masalah

b. Konseptualisasi sistem

c. Formulasi model

d. Sirnulasi model

e. Verifikasi dan validasi model

f. Analisis kebijakan

g. Impiementasi kebijakan

Tahapan dalam pendekatan sistem dinamik diawali dan

diakhiri dengan pemahaman sistem dan permasalahannya

sehingga membentuk suatu lingkaran tertutup.

Pemodelan merupakan alat bantu dalam pengambilan

keputusan. Model digambarkan sebagai suatu sistem yang

dibatasi. Sistem yang dibatasi ini merupakan sistem yang

38

meliputi semua konsep dan variabel yang saling berhubungan

dengan permaslahan dinamik yang ditentukan. Permasalahan

dalam sistem dinamik dilihat tidak disebabkan oleh pengaruh

dari luar, namun dianggap disebabkan oleh struktur internal dari

sistem. Tujuan metodologi sistem dinamik berdasarkan filosofi

kausal (sebab akibat) adalah mendapatkan pemahaman

mendalam tentang tata cara kerja suatu sistem (Asyiawati

2002).

Proses pemodelan terdiri atas langkah-langkah sebagai

berikut (Sterman 2000):

1. Perumusan masalah dan pemilihan batassan dunia nyata.

Tahap ini meliputi kegiatan pemilihan tema yang akan

dikaji, penentuan variabel kunci, rencana waktu untuk

mempertimbangkan masa depan yang jadi pertimbangan

serta seberapa jauh kejadian masa lalu dari akar masalah

tersebut dan selanjutnya mendefinisikan masalah

dinamisnya.

2. Formulasi hipotesis dinamis dengan menetapkan hipotesis

berdasarkan pada teori perilaku tergadap masalahnya dan

membangun peta struktur kausal melalui gambaran model

mental pemodel dengan bantuan alat-alat seperti causal

loop diagram. Stock flow diagram, dan alat bantu lainnya.

Model mental adalah asumsi yang sangat dalam melekat,

umum atau bahkan suatu gambaran dari bayangan atau

citra yang berpengaruh pada bagaimana kita memahami

dunia dan bagaimana kita mengambil tindakan (Senge

1995).

3. Tahap formulasi model simulasi dengan membuat

spesifikasi struktur, aturan keputusan, estimasi parameter

39

dan uji konsistensi dengan tujuan dan batasan yang telah

ditetapkan sebelumnya.

4. Pengujian meliputi pengujian melalui pembandingan dari

model yang dijadikan referensi, pengujian kehandalan

(robustness) dan uji sensistivitas.

5. Evaluasi dan perancangan kebijakan berdasarkan skenario

yang telah diujicobakan dari hasil simulasi. Perancangan

kebijakan mempertimbangkan analisis dampak yang

ditimbulkan, kehandalan model pada skenario yang

berbeda dengan tingkat ketidakpastian yang berbeda pula

serta keterkaitan antar kebijakan agar dapat bersinergi.

Tahapan-tahapan pemodelan :

1. mendefinisikan masalah dan tujuan model

2. Menentukan variabel tujuan

3. memilih variabel control

4. memilih parameter variabel kontrol

5. menguji model yang dihasilkan

6. melihat bagaimana model akan bekerja, memilih horizon

waktu atau perilaku dinamis dalam waktu

7. jalankan model

8. mengganti parameter dengan alasan ekstrim

9. membandingkan hasil dengan data eksperimen

10. Perbaiki model berdasarkan parameter yang ada

40

2.2 Simulasi dalam Sistem Dinamik

Analisis model sistem dinamis menggunakan analisis

model simulasi. Simulasi sebagai teknik penunjang keputusan

dalam pemodelan, misalnya pemecahan masalah bisnis secara

ekonomis dan tepat menghadapi perhitungan rumit dan data

yang banyak. Simulasi adalah aktivitas di mana pengkaji dapat

menarik kesimpulan tentang perilaku dari suatu sistem melalui

penelaahan perilaku model yang selaras, di mana hubungan

sebab akibatnya sama dengan atau seperti yang ada pada sistem

sebenarnya (Eriyatno 1998).

Simulasi juga dilakukan dengan menggunakan bahasa

program dalam beberapa software program komputer yang

dirancang untuk kebutuhan simulasi seperti Dynamo, AutoMod

II, ProModel, Simfactory II.5, Witness, XCELL+, -Powersim,

Stella dan lain-lain. Perangkat lunak dalam pemodelan sistem

dinamik tersebut merupakan alat bantu yang dapat memudahkan

pemodel dalam menerjemahkan bahasa causal loop diagram ke

dalam stock flow diagram. Stock flow diagram harus dilengkapi

dengan persamaan matematika dan nilai awal untuk aktivitas

simulasi. Stock flow diagram sebagai konsep sentral dalam teori

sistem dinamik. Stock adalah akumulasi atas pengumpulan dan

karakteristik keadaan sistem dan pembangkit informasi di mana

aksi keputusan didasarkan padanya. Stock digabungkan dengan

rate atau flow sebagai aliran informasi, sehingga stock menjadi

sumber ketidakseimbangan dinamis dalam sistem. Perangkat

pemodelan sistem dinamis juga dilengkapi berbagai kemudahan

seperti tampilan yang mudah dimengerti sehingga memudahkan

pemodel bagi pemodel taupun pemakai yang tidak mengerti

secara teknis sekalipun. Stella yang dipakai dalam penelitian ini

merupakan suatu pernagkat lunak yang dibuat atas dasar model

sistem dinamis dalam melakukan simulasi.

41

2.2.1 Pemodelan Sistem Dinamik

Pada pemodelan system dinamik menggunakan

proses pemetaan masalah yang berasal dari dunia nyata ke

dalam dunia model maya (Borshchev dan Filippov).

Karakteristik unik yang dimiliki sebuah model yaitu sifat

representatif dari sistem nyata, mampu menggambarkan

sistem nyata secara rinci (describle), mampu menerangkan

bentuk-bentuk interaksi dengan jelas (explainable), dan

mampu meramalkan kondisi-kondisi di masa datang

secara realistis (predictable). Menurut Forrester sistem

dinamik digunakan untuk melihat sebuah struktur yang

mendasari situasi yang kompleks dan mengidentifikasi

pola penyebab dari perubahan perilaku yang terjadi. Pada

metode sistem dinamik ini berkaitan dengan berbagai

sistem yang kompleks, dimana pola perilaku yang

dibangkitkan oleh sistem tersebut seiring dengan

bertambahnya waktu. Sehingga persoalan yang dapat

dimodelkan dengan sistem dinamik adalah masalah yang

bersifat dinamis atau berubah terhadap waktu dan struktur

yang fenomenanya mengandung paling sedikit satu unsur

umpan balik (feedback structure).

Dalam sistem dinamik, dunia real atau nyata

dinyatakan dalam bentuk stock seperti material, ilmu

pengetahuan, orang dan uang. Bentuk lainnya adalah

aliran antar stock dan informasi sebagai penentu nilai

dalam aliran. Gambaran mengenai sistem dinamik dapat

dilihat pada Gambar 2.1.

42

Gambar 2.1 Pendekatan Sistem dengan Simulasi

Sistem Dinamik , (Borshchev dan Filippov, 2004)

2.3 Perangkat Lunak Simulasi

Untuk melakukan simulasi dari sebuah model, diperlukan

perangkat lunak (software) yang secara cepat dapat melihat

perilaku dari model yang telah dibuat. Ada berbagai macam

perangkat lunak yang dapat digunakan untuk keperluan ini,

seperti Vensim, Dynamo, Ithink, Stella dan Power Simulation.

Tetapi dalam penelitian ini, software yang digunakan adalah

Power Simulation.

Powersim digunakan untuk membangun dan melakukan

simulasi suatu model dinamik. Suatu model dinamik adalah

kumpulan dari variabel-variabel yang saling mempengaruhi

antara satu dengan lainnya dalam suatu kurun waktu.

Setiap variabel berkorespondensi dengan suatu besaran

yang nyata atau besaran yang dibuat sendiri. Semua variabel

tersebut memiliki nilai numerik dan sudah merupakan bagian

43

dari dirinya.

Pada waktu mensimulasikan model, variabel-variabel akan

saling dihubungkan membentuk suatu sistem yang dapat

menirukan kondisi sebenarnya. Pada perangkat lunak Powersim,

suatu sistem yang menggambarkan hubungan antara variabel-

variabel itu dinamakan stock flow diagram.

Model yang dibangun dengan menggunakan perangkat

lunak Powersim berbentuk simbol-simbol dan perkembangan

selanjutnya, simulasi dengan menggunakan perangkat lunak ini

banyak dipakai dalam bidang-bidang komersial, industri,

manajemen dan riset. Simulasi ditujukan untuk mencari model

yang paling cocok sebelum diterapkan dalam kondisi

sebenarnya. Simbol yang digunakan ditampilkan pada Tabel 5.

Tabel 2.1. Simbol-simbol Diagram Alir (Muhammadi, 2001)

No. Simbol Arti

1.

Level

2.

Auxiliary

3.

Konstanta

44

4.

Sumber

5.

Hubungan

6.

Hubungan tertunda

7.

Inisialisasi hubungan

8.

Aliran (flow)

Diagram Simpal Kausal

Berdasarkan jurnal (Kholil M., 2007) menggunakan

diagram Simpal Kausal untuk menghubungkan antara variabel-

variabel yang membentuk model dalam sistem perikanan. Dasar

pembuatan model mental yang direpresentasikan dalam bentuk

diagram simpal kausal ini adalah kondisi nyata keadaan

perikanan yang ada di Kabupaten Konawe Selatan.

Dari diagram simpal kausal (CLD) diatas, maka model

sistem perikanan Kabupaten Konawea Selatan dibagi menjadi 4

Sub Sistem, Yaitu

1. 1.Sub Sistem Pasar

2. Sub Sistem Konsumsi

45

3. Sub Sistem Jumlah Tangkapan

4. Sub Sistem SDM

Gambar 2.2 Diagram Simpal Kausal

Model Perikanan di Kabupaten Konawea Selatan

(Kholil M., 2007)

2.3.1 Sub Model Pasar/Penjualan

Sub model pasar yang terdiri dari Stock (Level) dan

Flow (Aliran) atau sebelumnya disebut Rate konsumen

rumah tangga yang dipengaruhi oleh jumlah konsumen

rumah tangga, dan jumlah tangkapan, industri

pengolahan dan regulasi dari Pemda Kabupaten Konawea.

Pada sub model Pasar ini penulis membatasi hanya pada

Pasar

PAD

PDRB

LajuKelahiran

IndustriPengolahan

Emigrasi

Konsumen

PopulasiPenduduk

HargaIkan

LajuKematian

Imigrasi

+

+

+

-

-

+

++

+

++

+

JumlahTangkapan

PotensiKelautan

SDMAlatTangkap

+

+

+

++

LajuKonsumsi

+

+

+

+ _

LajuKonsumen

+

+

+ LajuPenangkapanIkan

+

+

+Teknologi

+

+

+

46

hasil perikanan yang berupa hasil tangkapan dilaut, tidak

termasuk budidaya perikanan yang lain.

Pasar akan meningkat dipengaruhi oleh laju

konsumsi. Besarnya laju konsumsi dipengaruhi oleh

besarnya konsumen rumah tangga dan besarnya

permintaan industri pengolahan ikan. Besar pasar sektor

Perikanan ini akan menjadikan pendapatan asli

(PAD)daerah meningkat lewat restribusi/pajak yang

dibebankan pada hasil penjualan. Sejalan dengan hal

tersebut diatas akan meningkat pula Produk Domestik

Bruto daerah tersebut (PDRB). Lihat gambar 2.3 Model

Sub Sistem Pasar dibawah ini.

Gambar 2.3 Model Sub Sistem Pasar

2.3.2 Sub Model Konsumen Rumah Tangga

Sub Model Konsumen Rumah Tangga (ikan)

dibangun dari Stock Konsumen Rumah Tangga yang

jumlahnya dipengaruhi oleh aliran atau Flow laju

konsumen RT yang besarnya tergantung dari jumlah

Rumah Tangga, dan harga ikan.

Pasar

PAD

PDRB

++

LajuKonsumsi

+

+

+

47

Konsumen

HargaIkan

+

LajuKonsumen

+

+

+

Gambar 2.4 CLD Sub Sistem Model Konsumen

2.3.3 Sub Model Jumlah Tangkapan

Sub Sistem Jumlah tangkapan menggambarkan

bahwa jumlah tangkapan sebagai Stock (Level)

dipengaruhi oleh laju penangkapan ikan yang merupakan

Flow (Aliran) Laju penangkapan ikan dipengaruhi oleh

potensi kelautan, alat tangkap, sumber daya manusia yang

kompeten. Sementara jumlah tangkapan akan

mempengaruhi industri pengolahan ikan

IndustriPengolahan

Angkatankerja

JumlahTangkapan

PotensiKelautan

SDM

AlatTangkap

+

+

+

+

LajuPenangkapanIkan

+

++

+

+

Teknologi

Gambar 2.5 CLD Sub Sistem Model Jumlah

Tangkapan

48

2.3.4 Sub Model SDM

Sub sistem populasi penduduk menggambarkan

jumlah penduduk di Kabupaten Konawea Selatan yang

lahir dan meninggal . Untuk memudahkan perhitungan sub

model ini menggunakan data langsung yang terdiri dari

rata-rata bertambahnya kelahiran dan kematian per tahun

atau disebut sebagai fraksi kelahiran dan kematian.

Jumlah penduduk dipengaruhi pula oleh imigrasi

dan emigrasi. Emigrasi penduduk terjadi karena kesulitan

mendapatkan penghasilan yang layak .Selain Emigrasi

adapula penduduk yang datang dan menetap Kabupaten

Konawea Selatan. Karena merupakan Kota Kabupaten

baru banyak pekerja pendatang yang menetap dan menjadi

penduduk permanen di wilayah ini.

LajuKelahiran

Emigrasi

PopulasiPenduduk

LajuKematian

Imigrasi

+

+

+

-

-

+

SDM

+

+ _

Konsumen

+

Gambar 2.6 CLD Sub Model SDM/Penduduk

49

2.3.5 Diagram Stok Aliran (Stock Flow Digram)

Dari model mental sistem pengembangan perikanan

di Kabupaten Konawea Selatan yang telah dibuat

berdasarkan kondisi nyata di lapangan, maka di buat

model Komputer yang biasa disebut stock flow diagram

(diagram stok aliran).

Model komputer dalam bentuk Stock Flow

Diagram(SFD). Pembuatan SFD ini dilakukan

berdasarkan perangkat lunak yang digunakan. Ada

beberapa perangkat lunak yang digunakan untuk

pemodelan sistem dinamik, antara lain : Stella, Dynamo,

Vensim, Powersim, Ithink. Dalam hal ini penulis

menggunakan Powersim, karena menurut hemat penulis

perangkat lunak Powersim merupakan perangkat lunak

sistem dinamik yang User Friendly (ramah pengguna).

STOCK FLOW DIAGRAMModel Sistem Perikanan

Lengkap

Jmlh_rata2_anggota_Keluarga

Jumlah_Rumah_Tangga

Emigrasi

Populasi_Penduduk

Teknologi

Pasar

Konsumen_rumah_Tangga

Fraksi_Keluarga

Jumlah_Rumah_Tangga

Kematian

Imigrasi

Kelahiran

Fraksi_Emigrasi

Fraksi_Kematian

Fraksi_Imigasi

Angkatan_Kerja

Alat_Tangkap

Potensi_Kelautan

Fraksi_Kelahiran

Fraksi_AT

Fraksi_Potensi_Kelautan

Fraksi_Teknologi

Regulasi_Pemda

Fraksi_regulasi_Pemda

Industri_Pengolahan

Fraksi_AK

Fraksi_sdm_sk

SDM_SK

Fraksi_JSDMKontribusi_SDM

FSDM

Laju_Penagkapan

Hasil_Tangkapan

Hasil_Tangkapan

Harga_Ikan_segar

Laju_Penjualan

Harga_Pengolahan

Constant_23

Kebutuhan_Perkapita

Laju_Konsumen_RT

PDRB_Sektor

PPn

PAD_Sektor

Kbth_per_kepala

Gambar 2.7 Diagram Alir Model Sistem

Perikanan Lengkap (Kholil M., 2007)

50

2.4 Analisis Kebutuhan

Pada penelitian yang dilakukan Retnari Dian Mudiastuti

dkk, penerapan aplikasi simulasi Alternatif Skenario Kebijakan

Peningkatkan Daya Saing UKM Mebel dengan Pendekatan

Sistem Dinamik. Permasalahan kemampuan daya saing UKM

mebel merupakan sistem yang kompleks karena terdapatnya

berbagai macam aliran seperti material, uang, informasi dan

aktivitas, dimana aliran tersebut memiliki interdependensi satu

sama lainnya, terdiri dari berbagai stakeholder (pemangku

kepentingan) selain produsen dalam hal ini UKM, juga

konsumen (lokal maupun mancanegara) yang melakukan

permintaan dari waktu ke waktu, penyedia bahan baku, serta

pemerintah yang berperan sebagai regulator pengembangan

bisnis serta faktor tenaga kerja.

Tahapan dalam penelitian ini dijelaskan sebagai berikut.

Tahapan Identifikasi variabel, dimana dilakukan studi literatur

dari berbagai penelitian sebelumnya terkait kemampuan

teknologi UKM serta kunjungan lapangan untuk mendapatkan

data terkait variabel berpengaruh dan kondisi nyata di UKM

mebel di Kota Pasuruan. UKM mebel yang terpilih adalah

UKM-UKM skala kecil yang berpengalaman memproduksi

mebel kayu jati ekspor. Data yang dibutuhkan berupa data

profile UKM, pola permintaan produk, proses produksi,

kemampuan mesin produksi, kemampuan tenaga kerja, biaya

operasional dan kebijakan UKM daerah dan pusat.

2.4.1 Interaksi Antar Variabel

Pola interaksi antar variabel digambarkan pada

Gambar 2.8, dimana dijelaskan hubungan yang saling

51

mempengaruhi antar variabel yang ada. Kapasitas

produksi mempengaruhi kemampuan pemenuhan oleh

importir dan kapasitas produksi dipengaruhi oleh

kemampuan teknologi (mesin) dan tenaga kerja.

Rendahnya kapasitas produksi mempengaruhi jumlah

pemenuhan permintaan yang selanjutnya berpengaruh

terhadap keuntungan UKM, Nur, dkk. Jumlah keuntungan

dan kapasitas produksi merupakan indikator daya saing

UKM mebel pada penelitian ini.

Pada interaksi variabel digambarkan skenario berupa

kebijakan yang akan diterapkan untuk melihat perubahan

terhadap model yang dikembangkan dengan tujuan

peningkatan keuntungan dan kapasitas produksi dalam

kurun waktu 120 bulan atau 10 tahun. Skenario yang

dikembangkan dalam pemodelan simulasi ini adalah

investasi mesin semi modern maupun mesin modern, dan

investasi peningkatan kemampuan tenaga kerja bantu

untuk menjadi tenaga ahli.

52

Gambar 2.8 Interaksi Antar Variabel Awal

2.4.2 Diagram Stock And Flow

Tujuan pembuatan diagram stock and flow adalah

menggambarkan interaksi antar variabel sesuai logika

struktur dengan bantuan software Ventana Simulator

(Vensim)™. Pemodelan interaksi variabel pada diagram stock and flow dari submodel teknologi (mesin dan tenaga

kerja), submodel permintaan dan produksi, submodel

keuangan, dan submodel kebijakan investasi Perancangan

diagram stock and flow juga bertujuan mengetahui pola

perilaku variabel dalam model kemampuan UKM mebel.

Berikut dijelaskan mengenai diagram stock and flow dan

beberapa formulasi pada masing-masing submodel pada

Gambar 2.9, 2.10, 2.11, 2.12.

53

Gambar 2.9 Submodel Teknologi

Gambar 2.10 Submodel Permintaan dan Produksi

WIPproduk dikirim

produk dibuatlama pengerjaan

perkontainer

kapasitas produksi

perbulan

jumlah mesin

modern baru

jumlah mesin semi

modern eksisting

auxiliary unit

month/kontaineer

jumlah mesin semi

modern baru

<jumlah mesin

modern baru>

<jumlah mesinsemi modern

baru>

tb SMP

ta mesin semi

modern

tb SMA

fraksi tb SMP

fraksi ta

fraksi tb SMA

ta mesin modern

fraksi ta moderntotal ta

pemilihan tingkat

pendidikan

<signal investasi

pendidikan>

<signal investasi

pendidikan>

<jumlah mesin semi

modern baru>

<jumlah mesin semi

modern baru>

bulan<Time>

WIPproduk dikirim

produk dibuatlama pengerjaan

perkontainer

kapasitas produksi

perbulan

permintaan ekspor

perbulan

kesenjangan produksi

(permintaan - kapasitas)

actual order

jumlah mesin

modern barujumlah mesin semi

modern eksisting

auxiliary satuan

month

auxiliary satuan

kontainer

pembayaran

order (DP)

auxiliary unit

month/kontainer

<jumlah mesin

modern baru>

<jumlah mesin semi

modern baru>

<jumlah mesin semi

modern eksisting>

<jumlah mesin semi

modern baru>

54

Gambar 2.11 Submodel Keuangan

Gambar 2.12 Submodel Kebijakan Investasi

bulan

<Time>

WIPproduk dikirim

produk dibuat

permintaan ekspor

perbulan

actual order

auxiliary satuan

kontainer

akumulasi

pendapatanpemasukan pengeluaranpembayaran

order (DP)

harga per

kontainer

biaya manpower

biaya perawatan

mesinbiaya produksi

biaya produksi per

kontainer

<produk dibuat>

signalpemakaian

order signal out<produk dibuat>

biaya maintenance

perperawatan

<harga per

kontainer>

<auxiliary satuan

month>

biaya investasi

tenaga kerja

<auxiliary satuan

month>

fix cost perbulan

persen biaya

produksi

persen DP

pelunasan

signal produk

selesai<produk dikirim>

auxiliary satuan

kontainer/month

<total ta>

<tb SMP>

<tb SMA>

fraksi biaya ta

fraksi biaya tb

SMP

fraksi biaya tb

SMA

biaya beli mesin

jual mesin existing <Time>

harga bekas

<jumlah mesin semi

modern eksisting>

jumlah pegawai

Bonus Tahunan

fraksi Bonus

Tahunan

signal in

<signal in>

<signal investasi

pendidikan>

fraksi biaya sma

ahli

<jumlah mesin semi

modern baru>

<jumlah mesin semi

modern eksisting>

<Bonus Tahunan>

<auxiliary satuan

kontainer>

<tb SMP>

<auxiliary satuan

month>

pemasukan modal

awal

fraksi modal awal

kapasitas produksi

per bulan

kualitas bahan

baku

akumulasi

pendapatanpemasukan pengeluaran

<auxiliary satuan

month> biaya investasi

tenaga kerja

biaya pelatihan per

unit mesin modern

<jumlah mesin

modern baru>

<auxiliary satuan

month>

biaya beli mesin

beli mesin modern

beli mesin semi

modern

harga mesin semi

modern

harga mesin

modern

<jumlah mesin

modern baru>

<jumlah mesin semi

modern baru>

<Time>

investasi

pendidikan

<Time>

biaya investasi

pendidikan

aktifkan

<jumlah mesin semi

modern baru>

<jumlah mesin semi

modern eksisting>

fraksi biaya

investasi

signal investasi

pendidikansignal masuk

<auxiliary satuan

month>

multiplier satuan

rupiah per monthmultiplier satuan

rupiah

55

2.5 Simulasi Hasil Pemodelan UKM

Berdasarkan hasil simulasi kondisi eksisting, ditemukan bahwa

keterbatasan kapasitas produksi yang dipengaruhi oleh

kemampuan mesin dan kemampuan tenaga kerja mempengaruhi

profit atau keuntungan UKM. Pengaruh kemampuan mesin dan

tenaga kerja signifikan berpengaruh pada jumlah keuntungan

UKM. Terkait dengan hasil wawancara dengan pelaku UKM,

diharapkan adanya peningkatan kapasitas produksi melalui

penambahan mesin produksi dan tenaga ahli mebel. Sehingga

pada skenario yang diajukan adalah penggantian mesin semi

modern ke mesin modern, penambahan mesin modern dan

investasi tenaga ahli. Skenario yang diajukan adalah mengganti

4 unit mesin modern, mengganti 8 unit mesin modern,

menambah 4 unit mesin modern dan investasi tenaga ahli mebel.

Berdasarkan penetapan skenario yaitu mengganti 8 unit mesin

semi modern dengan 4 unit mesin modern, 8 unit mesin modern,

atau menambah 4 unit mesin modern dan investasi tenaga ahli

mebel, maka hasil skenario terlihat pada Gambar 2.13.

56

Gambar 2.13. Hasil Simulasi Skenario

Pada skenario dilakukan untuk mendapatkan strategi

terbaik dengan parameter nilai keuntungan yang tertinggi

sebagai indikator daya saing UKM. Pada kondisi eksisting, nilai

keuntungan pada tahun ke-10 sebesar 1,4 miliar rupiah. Setelah

menerapkan 4 skenario yaitu menggunakan 4 unit mesin

modern, 8 unit mesin modern, penambahan 4 unit mesin modern

dan investasi tenaga ahli, maka strategi dengan nilai keuntungan

UKM tertinggi senilai 2,173 miliar rupiah dengan

melakukan investasi 4 unit mesin modern. Keuntungan

terendah senilai 762,17 juta rupiah pada skenario penambahan 4

unit mesin modern. Pemilihan strategi jangka pendek dapat

dipertimbangkan dengan mengganti mesin modern menjadi 4

unit mesin, sedangkan dengan memperhatikan kemampuan

modal UKM dan untuk menghasilkan ketersediaan tenaga ahli

keuntungan

4 B

2.95 B

1.9 B

850 M

-200 M

0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120

Time (Month)

keuntungan : Investasi Tenaga Ahli rupiah

keuntungan : Menambah 4 unit mesin modern rupiah

keuntungan : Mengganti 8 unit mesin modern rupiah

keuntungan : Mengganti 4 unit mesin modern rupiah

keuntungan : Eksisting rupiah

57

mebel kayu sehingga dapat berdampak positif pada jangka

menengah dan jangka panjang, maka pelaksanaan scenario

investasi tenaga ahli dapat dipertimbangkan. Sehingga ketika

terjadi keputusan perubahan mesin dan adanya kepastian

permintaan mebel, maka UKM tidak memiliki kesulitan terkait

tenaga ahli lagi sehingga demikian daya saing UKM dapat

meningkat.

2.6 Rangkuman

Sistem dinamik diaplikasikan pada system manufaktur dan

jasa terdiri dari elemen-elemen yang saling berhubungan dan

berfungsi secara interaktif untuk menghasilkan produk tertentu.

Sistem dinamik terdiri dari entitas, sumber, aktivitas, dan

kontrol yang disimbolkan dengan diagram atau alur. Metrik

kinerja sistem atau variabel respon biasanya berupa waktu,

utilisasi, inventori, kualitas atau yang berhubungan dengan

biaya. Sedangkan optimisasi sistem berupaya menemukan

penentuan nilai variabel keputusan yang paling tepat yang

memaksimumkan atau meminimumkan nilai variabel respon

tertentu. Dengan menerapkan memahami pendekatan sistem

model Causal Loop Diagram (CLD) maka dapat digunakan

untuk menvisualisasikan lebih jelas bahwa strategi masalah baik

secara internal maupun eksternal semata yang biasa dilakukan,

tapi banyak beberapa hal yang perlu di perhatikan secara cermat

di karenakan setiap unit dapat saling mempengaruhi atau

mengakibatkan dampak antara satu dengan yang lainnya.

58

LATIHAN

1. Buatlah diagram simulasi sistem bandara, jJika sebuah bandar

udara dianggap sebagai sebuah system, deskripsikan selengkap

mungkin system tersebut.

Ambillah sebuah contoh kasus yang ada dalam bandara

dan definisikan modelnya (apa yang akan menjadi fungsi tujuan,

batasan, dsb). Tidak perlu dibuat detail model matematikanya.

Buatlah diagram simpal kausal loopnya dan alur sistem!

2. Buatlah pemodelan dinamis pada perkiraan Jumlah Penduduk di

Kabupaten Bangkalan dengan diagram simpal kausal dengan

mempertimbangkan efek pendapatan daerah dan factor-fator

lainnya. (tugas sebagai projek mandiri)

DAFTAR PUSTAKA

1. Forrester, J.W. (1961), Principles of Systems. MIT Press.

2. Borshchev, A., and Filippov, A. From System Dynamics and

Discrete Event to Practical Agent Based Modeling: Reasons,

Techniques, Tools The 22nd International Conference of the

System Dynamics Society. Oxford, England, 2004

3. Han, X., Wen, Y., and Kant, S. (2009), The global

competitiveness of the Chinese wooden furniture industry.

Forest Policy and Economics Vol.11, pp.561–569.

4. Law, A.M., Kelton, W.D. (2000), Simulation Modeling and

Analysis, McGraw-Hill, Singapore.

5. repository.unhas.ac.id/.../Full%20paper%20IWOBE%20Iqbal.d

oc?...1

59

6. Muhammad Kholil dkk, 2008. Model Simulasi Pengembangan

Industri Perikanan Di Konawea Selatan Dengan Pendekatan

Sistem Dinamik

http://digilib.mercubuana.ac.id/manager/file_artikel_abstrak/Isi_

Artikel_213311627740.pdf

7. Sumber: Harrell, C., B.K. Ghosh and R.O. Bowden, Jr.,

Simulation Using Promodel, 2nd ed., McGrawHill, Singapore,

2003.

http://digilib.mercubuana.ac.id/manager/file_artikel_abstrak/Isi_Artikel_213311627740.pdf

http://digilib.mercubuana.ac.id/manager/file_artikel_abstrak/Isi_Artikel_213311627740.pdf

61

BAB III

SISTEM TUNGGU

62

BAB III

SISTEM TUNGGU


1. Mahasiswa dapat membuat model antrian dan

menggunakan rumus-rumusnya untuk mendapatkan solusi

optimal, sehingga diharapkan dapat membuat program

aplikasinya.


1. Mahasiswa dapat menentukan elemen dasar model antrian.

2. Mahasiswa dapat menjelaskan proses pure birth dan pure

death.

3. Mahasiswa dapat memahami distribusi Poisson dan

Eksponensial.

3.1. Teori Antrian

Suatu antrian adalah suatu garis tunggu dari

pelanggan/pengunjung yang memerlukan layanan dari suatu

atau lebih pelayanan (fasilitas layanan). Kejadian garis tunggu

tersebut timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan

sehingga pengantri/pengunjung yang tiba tidak bisa

mendapatkan pelayanan, sedangkan masalah yang timbul dalam

antrian adalah bagaimana mengusahakan keseimbangan antara

biaya tunggu (antrian) terhadap biaya mencegah antrian itu

sendiri guna memperoleh keuntungan yang maksimal. Dalam

63

kehidupan sehari-hari, kejadian antrian sering kita jumpai

misalnya antrian saat melakukan transaksi di bank, antrian

ditempat praktek dokter, antrian saat pembayaran rekening

listrik atau telepon dan banyak lagi contoh antrian yang lain.

Umumnya tiap orang pernah mengalami kejadian seperti ini

dalam hidupnya, jadi antrian bisa dikatakan sudah menjadi

bagian dari kehidupan setiap orang.

Dalam banyak hal, tambahan fasilitas pelayanan dapat

diberikan untuk mengurangi antrian atau untuk mencegah

timbulnya kepadatan antrian akan tetapi, biaya karena

memberikan pelayanan tambahan akan menimbulkan

pengurangan keuntungan mungkin sampai dibawah tingkat yang

dapat diterima. Sebaliknya timbulnya antrian akan

mengakibatkan hilangnya para langganan atau nasabah.

3.1.1. Komponen Proses Antrian

Komponen dasar antrian adalah kedatangan,

pelayanan dan antri komponen ini disajikan pada gambar

dibawah ini :

Gambar 3.1 Komponen Dasar Antrian

64

a. Kedatangan

Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan,

unsur ini sering dinamakan proses input. Proses

input ini meliputi sumber kedatangan atau biasa

dinamakan Calling Population dan cara terjadinya

kedatangan yang umumnya merupakan proses

Random atau acak.

b. Pelayanan

Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat

terdiri dari satu atau lebih fasilitas pelayanan,

contohnya pada sebuah check out counter dari suatu

super market terkadang hanya ada seorang pelayan,

padahal bisa juga diisi seorang kasir dengan

pembantunya untuk memasukan barang-barang

kekantung plastik. Pada kasus pendaftaran

mahasiswa baru UNIKOM dapat ditambahkan

bagian teller dari bank yang bersangkutan untuk

menampung uang pendaftarannya, agar tidak terjadi

penumpukan uang di loket pendaftaran, dan juga

meringankan tugas bagian pelayanan karena hanya

mengerjakan satu pekerjaan saja yaitu menerima

calon mahasiswa baru yang mendaftarkan diri.

c. Antrian

Timbulnya antrian terutama tergantung dari

sifat kedatangan dan proses pelayanan. Faktor lain

yang penting dalam antrian adalah disiplin antri.

Disiplin antri adalah aturan keputusan yang

menjelaskan cara melayani pengantri. Misalnya

datang awal dilayani terlebih dahulu, datang terakhir

65

dilayani terlebih dahulu, berdasarkan abjad,

berdasarkan janji dan sebagainya. Berikut beberapa

jenis disiplin antrian, diantaranya :

o FIFO ( First In First Out )

o LIFO (Last In Last Out )

o SIRO ( Service In Random Order )

o PS ( Priority Service )

Jika tidak ada antrian berarti terdapat

pelayanan yang menganggur atau kelebihan fasilitas

pelayanan.

Proses antrian pada umumnya dikelompokan

kedalam empat struktur dasar menurut sifat fasilitas

pelayanan, yaitu :

a. Satu Saluran Satu Tahap

Gambar 3.2. Antrian Satu Saluran Satu Tahap

66

b. Banyak Saluran Satu Tahap

Gambar 3.3. Antrian Banyak Saluran Satu

Tahap

c. Satu Saluran Banyak Tahap

Gambar 3.4. Antrian Satu Saluran Banyak

Tahap

d. Banyak Saluran Banyak Tahap

Gambar 3.5. Antrian Banyak Saluran

Banyak Tahap

67

Banyaknya saluran dalam proses antrian

adalah jumlah pelayanan parallel yang tersedia,

banyaknya tahap menunjukan jumlah pelayanan

beruntun yang harus dilalui oleh setiap kedatangan.

Empat kategori yang disajikan diatas merupakan

kategori dasar, masih terdapat banyak variasi

struktur antrian yang lain.

Pada pembahasan ini mempelajari mengenai

sistem tunggu yang terdiri dari beberapa jenis

tergantung dari jumlah server dan buffernya. Pada

pembahasan sebelumnya mengenai distribusi engset

dan binomial tidak terdapat buffer didalamnya.

Dalam sistem delay ini akan terdapat buffer yang

menjadi tempat user sebelum dilayani oleh sistem.

3.2. Model-Model Antrian

Adapun sistem tunggu akan dibahas pada bab ini adalah

sebagai berikut ;

Gambar 3.6. Model Antrian

68

Empat model antrian :

1. Model M/M/1/I/I

Gambar 3.7 Model Antrian Model M/M/1/I/I

Rumus :

Jumlah individu rata-rata dalam antrian

)-(

2

qn

Jumlah individu rata dalam sistem total

-

tn

Waktu rata-rata dalam antrian

)-(

qt

Waktu rata-rata dalam sistem total

-

1 tt

Probabilitas jumlah n individu dalam sistem

69

n

nP

-1

Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan

P

Contoh

Tuan Indra memiliki usaha pompa bensin dengan

hanya satu pompa. Mobil yang ingin mengisi bensin

datang mengikuti distribusi poisson dengan rata-rata 25

mobil per jam. Bila pompa bensin sedang melayani

kustomer maka kustomer yang datang akan pergi ke

tempat lain. Waktu yang diperlukan untuk mengisi bensin

mobil-mobil tersebut mengikuti distribusi eksponensial

dengan rata-rata 30 mobil per jam. Dia ingin menganalisa

sistem antriannya dengan mempergunakan teori antrian.

Tentukan :

a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan pompa bensin.

b. Jumlah rata-rata langganan dalam antrian.

c. Jumlah rata-rata langganan dalam sistem.

d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.

e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

f. Probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem dan

lebih dari empat mobil dalam sistem.

70

Penyelesaian :

Diketahui : = 25 orang per jam

= 30 orang per jam

a. Tingkat kegunaan bagian pelayanan restaurant.

P = 30

25 = 0,8333

Rata-rata bagian pelayanan sibuk 83,33% dari

waktunya.

b. Jumlah rata-rata langganan dalam antrian.

)-(

2

qn = )25-30( 30

25

2

= 4,1667 mobil

c. Jumlah rata-rata langganan dalam sistem.

-

tn = 25-30

25 = 5 mobil

d. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.

)-(

qt

)25-30( 30

25 qt = 0,1667 jam atau 10 menit

e. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

-

1 tt =

25-30

1 = 0,2 jam atau 12 menit

71

f. Probabilitas lebih dari satu mobil dan lebih dari

empat mobil dalam sistem.

Probabilitas lebih dari satu mobil dalam sistem

Dengan n

nP

-1

P0 = (1 – 0,8333) (0,8333)0 = 0,1667

P1 = (1 – 0,8333) (0,8333)1 = 0,1389

P(n > 1) = 1 – P(n 1)

= 1 – (P0 + P1)

= 1 – (0,1667 + 0,1389)

= 1 – (0,3056) = 0,6944 = 69,44%

Probabilitas lebih dari empat mobil dalam sistem

Dengan n

nP

-1

P0 = (1 – 0,8333) (0,8333)0 = 0,1667

P1 = (1 – 0,8333) (0,8333)1 = 0,1389

P2 = (1 – 0,8333) (0,8333)2 = 0,1158

P3 = (1 – 0,8333) (0,8333)3 = 0,0965

P4 = (1 – 0,8333) (0,8333)4 = 0,0804

P(n > 4) = 1 – P(n 4)

= 1 – (P0 + P1 + P2 + P3 +P4)

72

= 1 – (0,1667 + 0,1389 + 0,1158 + 0,0965 + 0,0804)

= 1 – (0,5983) = 0,4017 = 40,17%

2. Model M/M/S/I/I

Gambar 3.8 Model Antrian Model M/M/S/I/I

Rumus :

Jumlah individu rata-rata menunggu dalam antrian

02P

)-(S )!1(

S

n

S

q

Jumlah individu rata-rata dalam sistem total

n q tn

73

Waktu menunggu rata-rata dalam antrian

S

t

2

0

q

S-1)S(S!

P

Waktu menunggu rata-rata dalam sistem

1

t q tt

Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan

S

P

Probabilitas tidak ada individu dalam sistem

1!

n!

1

1

0

0

SS

PS

S

n

n

Probabilitas menunggu dalam antrian

SS

PP

S

W

1!

0

74

Contoh

1. Sebuah bank memperkerjakan tiga teller. Nasabah

datang mengikuti distribusi poisson, selama periode

waktu 8 jam rata-rata nasabah datang sebanyak

1.750 orang. Jika seorang nasabah mendapati semua

teller sedang sibuk ia akan menggabung pada antrian

yang dilayani oleh ketiga teller. Waktu trsansaksi

antara nasabah dan teller mempunyai distribusi

eksponensial dengan rata-rata 0,5 menit. Tentukan :

a. Tingkat kedatangan nasabah per jam.

b. Tingkat kegunaan teller.

c. Probabilitas tidak ada nasabah.

d. Jumlah nasabah rata-rata menunggu untuk

dilayani.

e. Jumlah nasabah dalam sistem.

f. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.

g. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

h. Probabilitas untuk menunggu dalam antrian.

Jawab

Diketahui :

S = 3 teller

= 1.750 nasabah / 8 jam = 218,75 nasabah per jam

= 60 menit/ 0,5 menit = 120 nasabah per jam

75

a. Tingkat kedatangan panggilan per jam.

= 120 nasabah per jam

b. Tingkat kegunaan karyawan.

S

P = )120(3

75,218

= 0,6076 = 60,76%

c. Probabilitas tidak ada panggilan.

1!

n!

1

1

0

0

SS

PS

S

n

n

)360/75,2181(!3

)120/75,218(

!2

)120/75,218(

!1

)120/75,218(

!0

1

132

= 5731,26615,18229,11

1

= 0,1417

= 14,17%

d. Jumlah pedagang rata-rata menunggu untuk

dilayani.

02P

)-(S )!1(

S

n

S

q

76

= (0,1417) )75,218-60(3 )!13(

120

75,218)120)(75,218(

2

3

= 0,5647 nasabah

e. Jumlah pedagang dalam sistem.

n q tn

= 0,5647 + 1,8229 = 2,3876 nasabah

f. Waktu menunggu rata-rata dalam antrian.

S

t

2

0

q

S-1)S(S!

P

=

3

2 120

75,218

360

75,218-1)120(3)(3!

0,1417

= 0,00258 jam atau 0,1548 menit

g. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

1

t q tt

= 0,00258 + 120

1

= 0,01091 jam atau 0,6546 menit

77

h. Probabilitas untuk menunggu dalam antrian.

SS

PP

S

W

1!

0

=

360

75,2181!3

1417,0

120

75,2183

= 0,3646

2. Sebuah bank memperkerjakan tiga teller. Nasabah

datang mengikuti distribusi poisson, selama periode

waktu 8 jam rata-rata nasabah datang sebanyak

1.750 orang. Jika seorang nasabah mendapati semua

teller sedang sibuk ia akan menggabung pada antrian

yang dilayani oleh ketiga teller. Waktu trsansaksi

antara nasabah dan teller mempunyai distribusi

eksponensial dengan rata-rata 0,5 menit. Bank

tersebut telah menerima keluhan-keluhan dari

banyak nasabah bahwa waktu pelayanan terlalu

lama. Karena itu, manajer bank sedang

mempertimbangkan penambahan satu teller lagi

untuk mengurangi waktu menunggu dalam sistem.

Dia merasa bahwa biaya pelayanan total akan naik

karena penambahan teller. Bila seorang teller

berpenghasilan Rp 3.500,- per jam (termasuk semua

gaji dan jaminan lainnya) dan biaya mendapatkan

seorang nasabah check out sedang menunggu adalah

Rp. 5.500,- per jam (gaji, tunjangan, kehilangan

keuntungan karena penundaan dan biaya-biaya

lainnya), tentukan apakah lebih baik tetap

78

mempunyai 3 teller atau 4 teller yang menangani

nasabah tersebut.

Jawab

Diketahui :

= 1.750 nasabah / 8 jam = 218,75 nasabah per jam

= 60 menit/ 0,5 menit = 120 nasabah per jam

S = 3 teller (dari soal no. 1 dengan 3 teller 2,3876 tn )

S2 = 4 teller

CS = Rp 3.500,- per jam/ teller

CW = Rp 5.200,- per jam

Total biaya sekarang per jam dengan tiga teller.

Wt CC tSWS n SC C S

= 3 (Rp 3.500) + 2,3876 (Rp 5.500)

= Rp 23.631,8,- ≈ Rp 23.650,-

Total biaya per jam dengan empat karyawan.

1!

n!

1

1

0

0

SS

PS

S

n

n

79

=

480)218,75/ - (1 ! 4

120)(218,75/

! 3

120)(218,75/

! 2

120218,75/

! 1

120)(218,75/

! 0

1

1432

= 8454,00096,16615,18229,11

1

= 0,1577

02

P )-(S )!1(

S

n

S

q

= (0,1577) 218,75)-(480 )!14(

)120/75,218)(120)(75,218(2

4

= 0,1116 nasabah

n q tn = 0,1116 + 1,8229 = 1,9345 nasabah.

Wt CC tSWS n SC C S

= 4 (Rp 3.500) + 1,9345 (Rp 5.500)

= Rp 24.639,75,- ≈ Rp 24.650,-

Kesimpulan :

Total biaya antrian dengan tiga teller sebesar Rp

23.650,- dan total biaya antrian dengan empat teller

sebesar Rp 24.650,-. Karena total biaya antrian dengan

memperkerjakan tiga teller lebih murah maka tidak perlu

direkomendasikan untuk penambahan satu teller lagi.

80

3. Model M/M/1/I/F

Gambar 3.9. Model Antrian Model M/M/1/I/F

Rumus :

Jumlah individu rata-rata dalam antrian.

-1 1

)1( -1

1

2

qn

Jumlah individu rata-rata dalam sistem.

1

1

-1 1

1-1

tn

81

Probabilitas jumlah n individu dalam sistem.

n

P

-1

-1

1n

Contoh

Sebuah restaurant fast food mengoperasikan sebuah

pintu yang melayani pembeli. Restaurant tersebut terletak

pada jalan yang ramai tetapi restaurant mempunyai tempat

parkir yang terbatas. Tempat parkir yang tersedia hanya 6

ruangan. Tingkat kedatangan pelanggan adalah 21 mobil

per jam dan mengikuti distribusi Poisson sedangkan

tingkat pelayanan restaurant 36 mobil per jam dan juga

berdistribusi Poisson.

Tentukan :

a. Jumlah mobil rata-rata dalam antrian.

b. Jumlah mobil rata-rata dalam sistem.

c. Probabilitas ada 10 mobil dalam sistem.

Jawab

Diketahui :

= 21 mobil per jam

= 36 mobil per jam

= 6 ruangan

82

a. Jumlah mobil rata-rata dalam antrian.

-1 1

)1( -1

1

2

qn

=

6

616

2

36

21-1

36

211

36

21)16(

36

216-1

36

21

= (0,3403)

4003,0

1970,04053,01

= 0,6730 mobil.

b. Jumlah mobil rata-rata dalam sistem.

1

1

-1 1

1-1

tn

=

16

166

36

21-1

36

211

36

216

36

2116-1

36

21

83

= (0,5833)

4071,0

1379,02758,01

= 1,2352 mobil.

c. Probabilitas ada 10 mobil dalam sistem.

n

nP

-1

-1

1

= 10

16 36

21

36

21-1

36

21-1

= 0,0046 9770,0

4167,0

= 0,00196 mobil

4. Model M/M/S/F/I

Gambar 3.10. Model Antrian Model M/M/S/F/I

84

Notasi antrian sumber terbatas :

U : Waktu rata-rata antar kedatangan per unit

T : Waktu rata-rata pelayanan per unit

H : Jumlah rata-rata unit yang sedang dilayani

J : Jumlah rata-rata unit sedang beroperasi

N : Jumlah unit dalam populasi

M : Jumlah channel pelayanan

X : Faktor pelayanan (proporsi waktu pelayanan yang

diperlukan)

D : Probabilitas bahwa suatu kedatangan harus

menunggu

F : Faktor efisiensi menunggu dalam garis (antrian)

Rumus :

Faktor pelayanan.

X = UT

T

Jumlah unit rata-rata menunggu untuk dilayani.

qn = N (1 – F)

Jumlah unit rata-rata dalam sistem.

85

tn = N – J atau tn = qn + H

Waktu menunggu rata-rata pelayanan.

q

q

n

U) (T n

Ntq

Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

q

q

n

U) (T n

Ntt

+ T

Jumlah rata-rata unit sedang dilayani.

H = F.N.X

Jumlah rata-rata unit yang sedang beroperasi.

J = N.F (1 – X)

Contoh :

Sebuah rumah sakit menginformasikan bahwa rata-

rata setiap pasien dari 20 pasien yang ada memerlukan

tipe-tipe perawatan tertentu setiap 4 jam. Ada dua orang

dokter yang melayani pasien-pasien tersebut dengan rata-

rata waktu pelayanan selama 10 menit per pasien. Tingkat

kedatangan dan tingkat pelayanan mengikuti distribusi

eksponensial, tentukan:

a. Waktu antar kedatangan rata-rata dari setiap pasien.

b. Jumlah pasien rata-rata menunggu untuk dilayani.

c. Waktu menunggu rata-rata pelayanan.

86

d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

e. Jumlah pasien rata-rata yang sedang dilayani.

f. Jumlah pasien rata-rata yang sedang beroperasi.

g. Jumlah pasien rata-rata dalam sistem.

h. Probabilitas bahwa pasien akan menunggu untuk

dilayani.

i. Jumlah rata-rata fasilitas pelayanan menganggur.

Penyelesaian :

Diketahui :

U = 4 jam per tipe-tipe perawatan

N = 20 pasien

T = 10 menit per pasien

= 2 dokter

a. Waktu antar kedatangan rata-rata dari setiap pasien.

U = 4 jam tipe-tipe perawatan

= 240 menit per tipe-tipe perawatan

Dengan : X = UT

T

=

24010

10

= 0,04

b. Jumlah pasien rata-rata menunggu untuk dilayani.

Diketahui :

N = 20, X = 0,04 dan M = 2, dari tabel

87

diperoleh

F = 0,994.

qn = N (1 – F)

= 20 (1 – 0,994)

= 0,12 pasien ≈ tidak ada pasien yang

menunggu.

c. Waktu menunggu rata-rata pelayanan.

q

q

n

U) (T n

Ntq

= 12,020

)24010(12,0

= 1,5 menit.

d. Waktu menunggu rata-rata dalam sistem.

tt = qt + T

= 1,5 + 10 = 11,5 menit.

e. Jumlah pasien rata-rata yang sedang dilayani.

H = F.N.X

= (0,994) (20) (0,04)

= 0,7952 pasien ≈ 1 pasien.

88

f. Jumlah pasien rata-rata yang masih dalam

ruangannya.

J = N.F.(1 – X)

= 20 (0,994) (1 – 0,04) = 19 pasien.

g. Jumlah pasien rata-rata dalam sistem.

tn = N – J

= 20 – 19 = 1 pasien.

atau,

tn = qn + H

= 0,12 + 0,7952

= 0,λ152 pasien ≈ 1 pasien.

h. Probabilitas bahwa pasien akan menunggu untuk

dilayani.

D = 0,202 (diperoleh dari tabel) = 20,2%

i. Jumlah rata-rata fasilitas pelayanan menganggur.

I = M – H

= 2 – 0,7952

= 1,2048 dokter ≈ 1 dokter.

89

3.3. Aplikasi Antrian Pada Layanan Bandara

Pada penelitian yang dilakukan oleh Reynold Tri Kristiono

pada tahun 2011 melakukan analisis pelayanan penumpang bagian

counter check-in di bandara adisutjipto Yogyakarta, dengan

peningkatan permintaan akan sarana transportasi udara akan

mengakibatkan peningkatan jumlah lalu lintas penerbangan baik

itu pesawat maupun penumpangnya. Jumlah penumpang

angkutan udara yang terus menerus mengalami peningkatan

mengakibatkan terjadinya kepadatan di bandara. Salah satu

dampak dari kepadatan tersebut adalah mempengaruhi tingkat

pelayanan di Check-in counter. Melihat kondisi yang terjadi

sekarang dimana sering terjadi antrian yang panjang dan

penumpukan penumpang di counter check-in khususnya pada

jam padat, yang mengakibatkan banyaknya keluhan dan

komplain dari calon penumpang dan pengguna jasa bandar

udara yang terlambat menyelesaikan proses check- in.

Masalah kepadatan penumpang di Bandar Udara

Internasional Adisutjipto Yogyakarta saat ini semakin

meningkat tiap tahunnya. Sehingga sering terjadi antrian yang

panjang dan penumpukan penumpang di check-in counter

khususnya pada jam padat. Dengan segala kemampuan jumlah

tenaga kerja, sarana dan prasarana serta fasilitas atau peralatan

melaksanakan berbagai macam pelayanan dan usaha untuk

mencapai tujuan perusahaan. Berdasarkan kepada intensitas arus

penumpang dari hari ke hari yang menunjukkan peningkatan di

Bandar udara Internasional Adisutjipto, maka PT. (Persero)

Angkasa Pura I Cabang Bandara Internasional Adisutjipto

Yogyakarta berupaya untuk meningkatkan pelayanan terhadap

pemakai jasa bandar udara.

90

Di Bandara Adisutjipto Yogyakarta saat ini terdapat 6

maskapai penerbangan yang beroperasi secara berjadwal dengan

berbagai macam tujuan penerbangan seperti : Jakarta,

Denpasar, Mataram, Surabaya, Balikpapan, Banjarmasin,

Pontianak, Ujung Pandang dan Halim Perdana Kusuma.

Tabel 3.1 Maskapai Penerbangan Yang Beroperasi

di Bandara Adisutjipto Yogyakarta

Jadwal penerbangan Batavia Air di Bandara Adisutjipto

Yogyakarta saat ini memiliki 4 kali kegiatan operasi

penerbangan dalam sehari dengan berbagai macam tujuan

seperti dijelaskan pada tabel di bawah ini :

91

Tabel 3.2 Jadwal Penerbangan Reguler Batavia Air

Tabel 3.3 Waktu Kedatangan PenumpangCheck-In Batavia

92

Tabel 3.4 Waktu Pelayanan PenumpangCheck-In Batavia

Sumber : Hasil pengolahan dan perhitungan

(Reynold Tri Kristiono, 2011)

3.3.1. Pengolahan Data Waktu Kedatangan

Berdasarkanpada data waktu kedatangan, tahapan

pengujian adalah sebagai berikut:

Batavia

1. Menentukan range atau sebaran data pengamatan

Range = H – L

= Data terbesar – Data terkecil

= 8,35 – 1,03 = 7,32

93

2. Menentukan jumlah kelas

K = 1 + 3,322 log N

dengan N = 60, maka :

K = 1 + 3,322 log 60

= 6,87 7

3. Menentukan lebar kelas

I = R / K

= 7,32 / 6,87

= 1,07

4. Pengujian distribusi data

Data waktu kedatangan beserta frekuensinya

dapat dilihat pada tabel dibawah ini:

Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Waktu Kedatangan

94

1. Uji Keseragaman Data

Pengujian ini dilakukan untuk menyeleksi data

yang pantas diikutkan dalam perhitungan

selanjutnya. Data yang tidak pantas akan disebut

data ekstrim dan selanjutnya dibuang. Suatu data

akan dianggap ekstrim jika data diatas batas kontrol

atas atau dibawah batas kontrol bawah.

n

XiX

= 60

21,206 = 3,44

)1(

)()( 22

NN

XiXiN

)160(60

)21,206()07,937(60 2

= 1,97

BKA =

X + 3 = 3,44 + 3 (1,97) = 9,34

BKB =

X - 3 = 3,44 - 3 (1,97) = -2,46

Dari hasil perhitungan diketahui bahwa data

tertinggi yang terkumpul (8,35) lebih kecil dari BKA

(9,34) dan data terendah yang terkumpul (1,03) lebih

besar dari BKB (-2,46) maka dapat disimpulkan

bahwa data tersebut sudah seragam.

2. Uji Chi Kuadrat

Uji yang akan dilakukan untuk menentukan

distribusi ini adalah uji chi kuadrat. Dengan

ketentuan sebagai berikut:

95

a. Ho = Waktu Antar Kedatangan Penumpang

Berdistribusi Eksponensial

Hi = Waktu Antar Kedatangan Tidak


b. Tingkat kepercayaan 99 % dan tingkat

ketelitian α 1%

V = 7 – 1 = 6 2 tabel = 0.01;6 =16,80

c. Kriteria penolakan

Ho = diterima jika 2 hitung < 2 tabel

Hi = ditolak jika 2 hitung > 2 tabel

d. Perhitungan 2 hitung

Langkah – langkah perhitungannya adalah

sebagai berikut:

1) Menentukan probabilitas teoritis F(t) untuk

distribusi eksponensial tiap kelas dengan

rumus F(t) = e-t1/

x - e

-t2/

x

2) Menentukan frekuensi harapan untuk selang

kelas dengan rumus

ei = F(t) x jumlah data

Sebagai contoh perhitungan sel kedua

96

ei = F(t) x N

= e-2,11/3,44

– e-3,18/3,44

x 60

= 8,69

Dengan diketahui nilai oi dan ei maka suatu

ukuran deviasi antara frekuensi amatan dan

frekuensi teoritis dapat dihitung dengan

menggunakan rumus sebagai berikut :

2 = ei

eioi2)(

Dimana : oi = Frekuensi yang diamati sel ke i

ei = Frekuensi harapan sel ke i

Sebagai contoh perhitungan 2 untuk sel kedua

dimana ei = 8,69 dan oi = 14 diperoleh

2 = 69,8

)69,814( 2= 3,25

Untuk seluruh perhitungan tersebut dapat

diringkas dalam tabel sebagai berikut:

97

Tabel 3.6 Hasil Perhitungan 2 Untuk Waktu

Kedatangan Penumpang

Dari hasil perhitungan diketahui 2 hitung

(12,13) < 2 tabel (16,80) berarti 2 hitung terletak

diluar daerah kritis. Karena 2 hitung lebih kecil dari

2 tabel maka Ho diterima sehingga dapat

disimpulkan bahwa waktu antar kedatangan

penumpang berdistribusi eksponensial.

3.3.2. Pengolahan Data Waktu Pelayanan

Berdasarkanpada data waktu pelayanan, tahapan

pengujian adalah sebagai berikut:

Batavia

1. Menentukan range atau sebaran data pengamatan

Range = H – L

= Data terbesar – Data terkecil

98

= 9,40 – 1,02 = 8,38

2. Menentukan jumlah kelas

K = 1 + 3,322 log N

dengan N = 60, maka :

K = 1 + 3,322 log 60

= 6,87 7

3. Menentukan lebar kelas

I = R / K

= 8,38 / 6,87

= 1,22

4. Pengujian distribusi data

Data waktu pelayanan beserta frekuensinya

dapat dilihat pada tabel dibawah ini:

Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi waktu Pelayanan

99

5. Uji Keseragaman Data

Pengujian ini dilakukan untuk menyeleksi data

yang pantas diikutkan dalam perhitungan

selanjutnya. Data yang tidak pantas akan disebut

data ekstrim dan selanjutnya dibuang. Suatu data

akan dianggap ekstrim jika data diatas batas kontrol

atas atau dibawah batas kontrol bawah.

n

XiX

= 60

48,220 = 3,67

)1(

)()( 22

NN

XiXiN

)160(60

)48,220()62,1089(60 2

= 2,18

BKA =

X + 3 = 3,67 + 3 (2,18) = 10,21

BKB =

X - 3 = 3,67 - 3 (2,18) = -2,87

Dari hasil perhitungan diketahui bahwa data

tertinggi yang terkumpul (9,40) lebih kecil dari BKA

(10,21) dan data terendah yang terkumpul (1,02)

lebih besar dari BKB (-2,87) maka dapat

disimpulkan bahwa data tersebut sudah seragam.

6. Uji Chi Kuadrat

Uji yang akan dilakukan untuk menentukan

distribusi ini adalah uji chi kuadrat. Dengan

ketentuan sebagai berikut:

100

a. Ho = Waktu Antar Pelayanan Penumpang


Hi = Waktu Antar Pelayanan Tidak


b. Tingkat kepercayaan 99 % dan tingkat

ketelitian α 1%

V = 7 – 1 = 6 2 tabel = 0.01;6 =16,80

c. Kriteria penolakan

Ho = diterima jika 2 hitung < 2 tabel

Hi = ditolak jika 2 hitung > 2 tabel

d. Perhitungan 2 hitung

Langkah – langkah perhitungannya adalah

sebagai berikut:

1) Menentukan probabilitas teoritis F(t) untuk

distribusi eksponensial tiap kelas dengan

rumus F(t) = e-t1/

x - e

-t2/

x

2) Menentukan frekuensi harapan untuk selang

kelas dengan rumus

ei = F(t) x jumlah data

Sebagai contoh perhitungan sel kedua

ei = F(t) x N

= e-2,25/3,67

– e-3,46/3,67

x 60

101

= 9,13

Dengan diketahui nilai oi dan ei maka

suatu ukuran deviasi antara frekuensi amatan

dan frekuensi teoritis dapat dihitung dengan

menggunakan rumus sebagai berikut :

2 = ei

eioi2)(

Dimana : oi = Frekuensi yang diamati sel ke i

ei = Frekuensi harapan sel ke i

Sebagai contoh perhitungan 2 untuk

sel kedua dimana ei = 9,13 dan oi = 15

diperoleh 2 =

13,9

)13,915( 2= 3,78

Untuk seluruh perhitungan tersebut

dapat diringkas dalam tabel sebagai berikut:

Tabel 3.8 Hasil Perhitungan 2 Untuk Waktu

Pelayanan Penumpang

102

Dari hasil perhitungan diketahui 2

hitung (10,19) < x2 tabel (16,80) berarti 2

hitung terletak diluar daerah kritis. Karena 2

hitung lebih kecil dari 2 tabel maka Ho

diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa

waktu antar pelayanan penumpang

berdistribusi eksponensial.

3.3.3 Perhitungan Variabel Model Antrian

Dari hasil pengumpulan dan pengujian data maka

dapat disimpulkan bahwa waktu kedatangan dan waktu

pelayanan penumpang Batavia, Lion, Wings, Merpati, dan

Mandala mengikuti distribusi eksponensial sedangkan

Garuda tidak mengikuti distribusi eksponensial, sehingga

hanya lima maskapai yang dapat diteruskan kedalam

perhitungan variabel model antrian.

Dari hasil pengujian waktu antar kedatangan

penumpang Batavia didapat (

X ) = 3,44 berarti tingkat

kedatangan penumpang =

X

1 =

44,3

1 x 60 menit = 17

Dari hasil pengujian waktu pelayanan penumpang

Batavia didapat (

X ) = 3,67 berarti tingkat pelayanan

penumpang =

X

1 =

67,3

1x 60 menit

= 16 penumpang/jam.

103

Perhitungan nilai – nilai variabel antrian Batavia :

Diketahui :

Tingkat kedatangan penumpang 17 penumpang/jam

Tingkat pelayanan penumpang 16 penumpang/jam

a. Tingkat kegunaan fasilitas pelayanan

P = = 17/16 =1,06 = 106 %

Hasil diatas 100 % menunjukkan bahwa fasilitas

check-in sibuk sehingga tidak ada kesempatan

menganggur bagi petugas pelayanan check-in.

b. Tingkat menganggur fasilitas

1 – P = 1 – 1,06 = - 0,06 = - 6 %

Hasil dibawah 0 % menunjukkan bahwa tidak ada

kesempatan menganggur bagi petugas counter

check-in.

c. Jumlah rata – rata penumpang dalam antrian

Lq = )(

2

= )1716(16

172

= - 18

Dengan demikian jumlah rata – rata penumpang

dalam antrian sebanyak -18 penumpang. Sedangkan

nilai negatif menunjukkan bahwa sistem tidak

mampu menampung penumpang sehingga terjadi

penumpukan penumpang.

104

d. Jumlah rata – rata penumpang dalam sistem

Ls =

= 1716

17

= - 17

Dengan demikian jumlah rata – rata penumpang

dalam sistem sebanyak -17 penumpang. Sedangkan

nilai negatif menunjukkan bahwa sistem tidak

mampu menampung penumpang sehingga terjadi

penumpukan penumpang. Jumlah rata – rata

penumpang pada sistem harus lebih besar dari pada

jumlah dalam antrian hal itu disebabkan karena

jumlah penumpang dalam sistem adalah jumlah

antrian ditambah satu orang yang sedang dilayani.

Sehingga apabila diaplikasikan dalam bentuk

matematika maka menjadi Sistem = Antrian + Pelayanan

sehingga S = -18 + 1 = -17.

e. Waktu rata – rata menunggu penumpang dalam

antrian

Wq =)(

= )1716(16

17

= - 1,06 jam = -

63,75 menit

Dengan demikian bila jumlah penumpang dalam

antrian sebanyak -18 penumpang maka rata – rata

waktu antriannya adalah -63,75 menit, sedangkan

untuk rata – rata waktu antrian per penumpang

adalah 3,54 menit. Sedangkan nilai negatif

menunjukkan bahwa sistem tidak mampu melayani

penumpang dengan maksimal sehingga terjadi

antrian atau penumpukan penumpang.

105

f. Waktu rata – rata penumpang dalam sistem

Ws =

1=

1716

1

= - 1 jam = - 60 menit

Dengan demikian bila jumlah penumpang dalam

sistem sebanyak -17 penumpang maka rata – rata

waktu antriannya adalah -60 menit. Sedangkan nilai

negatif menunjukkan bahwa sistem tidak mampu

melayani penumpang dengan maksimal sehingga

terjadi antrian atau penumpukan penumpang. Waktu

rata – rata dalam sistem harus lebih besar dari

jumlah rata – rata antrian karena waktu dalam sistem

adalah penjumlahan dari waktu antrian ditambah

dengan waktu pelayanan di sini diketahui bahwa

waktu antrian adalah -63,75 menit dan waktu

pelayanan 3,75 menit sehingga waktu dalam sistem

adalah -63,75 menit+ 3,75 menit = -60 menit.

3.4. Rangkuman

Setiap masalah antrian diuraikan dalam 3 karateristik,

yaitu : kedatangan, antrian dan pelayanan Model antrian adalah

model probabilistik (stochastic) karena unsur-unsur tertentu

proses antrian yang dimasukkan dalam model adalah variabel

random. Variabel random ini sering digambarkan dengan

distribusi probabilitas. Asumsi yang biasa digunakan dalam

kaitannya dengan distribusi kedatangan (banyaknya kedatangan

per unit waktu) adalah distribusi Poisson.

106

LATIHAN

1. Dalam suatu ruang praktek dokter, setiap 5 menit datang 1

pasien. Untuk melayani setiap pasien dibutuhkan waktu 5 menit.

Jam kerja praktek dokter adalah jam 15.00 – 18.00. Hitunglah:

a. Banyaknya pasien yang bisa dilayani selama jam kerja.

b. Rata-rata banyaknya pasien dalam sistem.

c. Rata-rata panjang antrian.

d. Rata-rata waktu menunggu seorang pasien dalam sistem.

e. Rata-rata waktu menunggu tiap pasien sebelum menerima

pelayanan (antri).

2. Kedatangan penelpon ke suatu telepon umum mengikuti fungsi

poisson dengan rata-rata waktu 10 menit antara kedatangan satu

dengan lainnya. Lamanya satu pembicaraan telepon rata-rata 3

menit dan mengikuti distribusi eksponensial. Hitunglah:

a. Probabilitas bahwa seorang penelpon yang datang ke

telepon umum tersebut harus menunggu.

b. Rata-rata panjang antrian yang tidak kosong.

c. Perusahaan telepon akan mendirikan tempat telepon

umum yang kedua dengan syarat waktu menunggu suatu

kedatangan penelpon hingga memperoleh giliran paling

sedikit 3 menit.

Berapa seharusnya banyaknya kedatangan sehingga

tempat telepon umum yang kedua tersebut mempunyai alas an

kuat untuk didirikan?

107

DAFTAR PUSTAKA

1. Gottfried, Byron S., “Elements of Stochatic Process

Simulation”, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1984.

2. Law, Averill M., W. David Kelton, “Simulation Modeling &

Analysis”, Mc. Graw-Hill Inc., Singapore, 1991.

3. Soepono Soeparlan, “Pengantar Simulasi”, Penerbit Gunadarma, Jakarta, 1995.

4. Mendenhall, William, “A course in Business Statistics”,

Duxbury Press, Boston, 1984.

5. elearning.upnjatim.ac.id/courses/MK/document/2._ANTRIAN.d

oc?...

6. Reynold Tri Kristiono, 2011. Analisis Pelayanan Penumpang

Bagian Counter Check-In Di Bandara Adisutjipto Yogyakarta

Universitas Pembangunan Nasional ‘Veteran’ Yogyakarta

109

BAB IV

PEUBAH ACAK

110

BAB IV

PEUBAH ACAK


1. Mahasiswa mampu memahami peubah acak diskrit,

peubah acak kontinu, fungsi distribusi, fungsi peluang.

2. Mahasiswa mampu memahami pemodelan statistika yang

menitikberatkan pada kajian peluang secara matematik.


1. Mahasiswa mampu memahami dan membedakan peubah

acak diskrit dan kontinu.

2. Mahasiswa mampu menghitung peluang pada nilai peubah

acak dan mampu mengidentifikasi ruang sampel dan

event dari contoh penerapan peluang acak.

3.Mahasiswa mampu menentukan fungsi distribusi dan

transformasi peubah acak (serta distribusi peluang yang

menyertainya)

4.1 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret

Suatu peubah acak diskret tiap nilai yang mungkin

mendapatkan nialai peluang tertentu. Dalam kasusu

melantunkan mata uang tiga kali. Peubah acak X yang

menyatakan banayaknya muka yang muncul mendapatlan 2

dengan peluang 3/8 .pada contoh kemungkinan banyaknya anak

111

laki-laki yang lahir bila pasangan suami istri merencanakan 2

anak cukup disajikan pada table berikut :

Perhatikan jumlah peluangnya sama dengan 1(satu),

karena x menyatakan suatu yang mungkin.

Fungsi nilai numeic dari x dinyatakan f(x), g(x). r(x) dan

sebagainya jadi f(x) =P(X=X)

Dari contoh diatas maka f(2) = P(X=2) =1/4

Misalkan dalam suatu kandang terdapat 15 ekor ayam

broiler 5 ekor diantaranya adalah jantan. Jika seorang peternak

mengambil 3 ekor ayam broiler secara acak carilah sebaran

peubah acak X yang menyatakan banyaknya anak ayam jantan

yang terambil. Ayam broiler jantan yang mungkin terambil

adalah 0,1,2 atau tiga ekor denagn peluang yangberbeda seperti

disajikan pada table berikut :

Catatan ( 10) ( 9 ) ( 8 )= 720 = 24 coba cari yang lain

15 14 13 2730 91

Kerap kali kita igin menggambarkan grafik suatu sebaran

peluang diskret. Ada dua macam grafik yang biasa digunakan

adalah diagram batang atau histogram. Sebagai contoh kita

gambar sebaran peluang peubah acak banyaknya muka (M)

yang peluang muncul bila 4 mata uang seimbang dilantunkan.

Adapun sebaran peluang seperti table berikut :

112

a. Grafik batang b. histogram

Gambar 4.1 Grafik sebaran peluang diskret

Pada mekanisme percobaan yang sering kali dilakukan

akan mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat diberi

nama berhasil atau gagal. Misalnya saja dalam pelemparan

sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan

mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Dan salah satu di

antara keduanya ditentukan sebagai ‘berhasil’ dan yang lainnya sebagai ‘gagal’. Percobaan tersebut mempunyai ciri-ciri bahwa

ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang

keberhasilan setiap ulangan tetap sama yaitu sebesar 1/2 .

Percobaan semacam ini disebut percobaan binom.

Jika suatu ulangan binomial mempunayi peluang

keberhasilan p dan pelang kegagalan q = 1 – p, maka distribusi

probabilitas bagi peubah acak binomial X, yaitu bayaknya

keberhasilan dalam n ulangan bebas, adalah :

113

Definisi Distribusi Peluang Binomial

n-xxn

x q p Cb(x;n,p)

Dimana:

x = 0,1,23,...,n

n: banyaknya ulangan

x: banyak keberhasilan dalam peubah acak X

p: peluang berhasil pada setiap ulangan

q: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan

Secara ringkas, Percobaan Binomial adalah percobaan

yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1. Percobaan diulang n kali

2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam

2 kelas;

Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL"

("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED")

3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p

tidak berubah.

Peluang gagal = q = 1- p.

4. Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.

114

Contoh

Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali

pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!

Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"

Jawab

x = 3

n = 5 pelemparan diulang 5 kali

p =1

6 q = 1-

1

6 =

5

6

n-xxn

x q p Cb(x;n,p)

2

653

615

361 )()(53 C) ,;b(

= 5

3 2

5

6

2

5

!

! ! = 10 0.003215...= 0.03215...

Contoh:

10 % dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A.

Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak. Berapa

peluang sampel itu akan berisikan benda kategori A :

semuanya,

sebuah,

dua buah,

paling sedikit sebuah,

115

paling banyak dua buah

tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.

Jawab

Artikan R = banyak benda kategori A. Peluang benda

termasuk kategori A = 0,10. Semuanya tergolong kategori

A R = 30

P (R = 30) = )!3030(!30

!30

(0,10)

30 (0,90)

0 = 10

-30

Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan

nol.

Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1

P (R = 1) = )!130(!1

!30

(0,10)

1 (0,90)

29 = 0,1409

Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A =

0,1409

Disini X = 2, sehingga :

P (R = 2) = )!230(!2

!30

(0,10)

2 (0,90)

28 = 0,2270

Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti

X = 1, 2, 3, .., 30. Jadi perlu P(R = 1) + P(R = 2) + … + P(R = 30). Tetapi P(R = 0) + P(R = 1) + … + P(R = 30) =

1, sehingga yang dicari = 1 – P(R = 0).

P(R= 0) = )!030(!0

!30

(0,10)

0 (0,90)

30 = 0,0423.

116

Jadi, peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit

sebuah benda kategori A = 1 – 0,0423 = 0,9577

Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti R= 0, 1,

2. Perlu dicari P(R = 0) + P(R = 1) + P(R = 2) = 0,0423 +

0,1409 + 0,2270 = 0,4102.

= 30 (0,1) = 3 artinya, rata-rata diharapkan akan terdapat

3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang

terdiri atas 30

Contoh Aplikasi:

Debit puncak banjir sungai Citarum-Nanjung priode T=5

tahun adalah 359m3/det. Tentukan dalam waktu 10 tahun

peluang debit banjir tersebut:

Tidak terjadi ?

Terjadi satu kali ?

Terjadi dua kali ?

Terjadi tiga kali ?

Rata-rata dan deviasi standarnya ?

Jawab

Dari soal didapat:

T=5 tahun, maka P=1/T=1/5=0,2

Q=1-P=1-0,2=0,8

N=10

117

P(R)= xNxN

x QPC , maka:

o Peluang debit banjir tidak terjadi, berarti x=0, sehingga

P(R=0)= 107,0)8,0()2,0()!010(!0

!10 100010010

0

QPC

o Peluang debit banjir terjadi satu kali , berarti x=1,

sehingga:

P(R=1)= 268,0)8,0()2,0()!110(!1

!10 91110110

1

QPC

o Peluang debit banjir terjadi dua kali , berarti x=2,

sehingga:

P(R=2)= 308,0)8,0()2,0()!210(!2

!10 82210210

2

QPC

o Peluang debit banjir terjadi tiga kali , berarti x=3,

sehingga:

P(R=3)= 201,0)8,0()2,0()!310(!3

!10 73310310

3

QPC

o Peluang debit banjir dengan T=5 tahunan, rata-rata terjadi

selama 10 tahun, sehingga :

NP =(10)(0,2)=2 kali.

Artinya, waktu 10 tahun, rata-rata akan terjadi debit banjir

dengan priode 5 tahunan adalah 2 kali, dengan deviasi

standar dihitung dari: NPQ =

118

kali26,18,0.2,0.10

4.2 Sebaran peubah Acak Kontinu

Suatu peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada

setiap titik x. mungkin hal ini mengejutkan pada permulaan,

tetapi akan mudah dipahami dengan contoh berikut. Pandanglah

peubah acak berat sapi bali yang berumur dua tahun maka sapi

tersebut mempunyai berat normal antara 200-300 Kg. ternyata

banyak sekali sapi bali yang berumur 2 tahun yang mempunyai

berat 200-300 Kg salah satu diantaranya adalah sapi bali yang

beratnya 210 kg. peluang terpilihnya sapi bali yang beratnya

tepat tidak kurang sedikitpun atau persisi 210 kg mendekati 0

atau sama denagn nol karena 1 : banyak sekali (1 : tak hingga).

Kenyataan diatas menyebabkan :

P(a<x≤b) = P (a<x<b) + P (x=b)

= P (a<x<b) + 0

= P(Ax<b)

Jadi tidaklah menjadi masalah apakah titik ujung diikut

sertakan ataupun tidak.

Sebaran peluang kontinu tidak dapat disajikan dalam

bentuk table,tetapi rumusnya ada. Seperti sediakala sebaran

peluang akan dinyatakan denagn fungsi f(x).sebaran peluang

kontinu f(x) biasa disebut fungsi padat atau fungsi kepekatan,

dimana x berada dalam selang dua nilai tertentu di dalam ruang

contoh sehingga grafik f(x) digambarkan secara seimbang.

119

.

Gambar P(a<x<b) = b

a

dxxf )(

Gambar grafik diatas disebut grafik fungsi kepekatan f(x)

fungsi kepekatan peluang digambarkan oleh luas daerah

dibawah kurva yang bersangkutan dan diatas sumbu x. bila

digambar secara keseluruhan maka luas kurva tersebut = 1

artinya total peluang diri - ~<x<+~ adalah sama denagn satu.

Peluang bagi semua nilai x yangberada dalam selang (a,b)

sama denagn luas dibawah kurva kepekatan antara x=a sampai

x=b.

Jadi fungsi f(x) adalah fungsi padat peluang peubah acak

kontinu x yang didefinisikan diatas terdefinisi pada semua

bilangan nyata (real) R bila :

1. f(x) ≥ 0, untuk semua x=R

2.

~

~

1(xdxf

0

20

a b

f(x)

X

120

3. P(a<x<b) = b

a

dxxf 1)(

4.3 Sebaran Peluang Bersama

Setelah kita pelajari peubah acakdan sebaran peluangnya

pada ruang sample berdimensi satu dangan kata lain hasil

percobaan berasal dari peubah acak yang tunggal ternyata pada

banyak keadaan diperelukan pencatatan hasil beberapa peubah

acak secara serempak,jadi deminsi pengamatan lebih dari satu.

Bila X dan Y dua peubah acak sebaran peluang terjadinya

secara serempak dapat dinyatakan denagn fungsi f(x,y0.

biasanya f(x,y) disebut peluang bersama (gabungan) X dan Y .

jadi dalam kasusu diskret f(x,y0 = P(X=x,Y=y) yaitu f(x,y)

menyatakan peluang bahwa X dan Y terjadi bersama-sama.

Sebagai contoh bila X menyatakan umur (tahun) sapai bali

betina dan Y menyatakan banyaknya kali kelahiran maka f(3,4)

berarti sapi bali betina umur 3 tahun dan telah melahirkan

sebanyak 4 kali.

Contoh

Dua ekor anak anjing Kintamani dipilih secara acak dari

dalamkeranjang seorang pedagang anjing yang berisi 3 ekor

warna putih, 2 ekor warna hitam dan 3 ekor warna kemerahan.

Bila X menyatakan anak anjing kintamani yang bulunya

berwarna putih dan Y anak anjing Kintamanai berwarna hitam

terambil/terpilih.

Hitunglah:

1. fungsi peluang bersama f(x.y)

2. P [ (x,y) ЄA] bila A daerahnya { (x,y) │x + y ≤ 1}

121

Jawab

1. Pasangan harga (x,y) yang memungkinkan adalah : (0,0),

(0,1) (1,0)(1,1)(0,2)atau(2,0)

Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih dua

ekor anak anjing kintamani dari 8 ekor (3+2+3 ekor) yang

bulunya berwarna putih dan hitam adalah (8

2) = 8/2!(8-2)!

= 28

Misalkan f(0,1) menyatakan peluang bahwa anak anjing

Kintamani yang warna bulunya kemerahan dan hitam

yang terpilih dapat dicari denagn cara :

28

6

28

)3)(2)(1(

)(

)()(()1,0(

8

2

3

)1

2

1

3

0 f

Jadi )(

))()((),(

8

2

3

2

23

yxyxyxf

Dengan jalan yang sama dapat dihitung peluang

untuk kasus yang lainnya.hasil perhitungannya disajikan

pada table dibawah ini.

Table sebaran peluang bersama x dan y serta

peluang marginalnya.

122

2. P[(x,y) ЄA] = P[(x + y)≤1]

= f (0,0) + f(0,1) + f(1,0)

= 3/29 + 6/28 + 9/28

= 18/28

Sebaran peluang bersama f(x,y) yang dihasilkan oleh

peubah acak diskret x dan Y sehingga diperoleh sebaran

peluang berdeminsi satu g (x) bagi peubah x dan h(x) bagi

peubah y,maka g(x) dan h (x) disebut sebaran marginal

bagi X dan Y

Misalnya kita mencari g(0) :

f(x/y) = f(x,y)

h(y)

f(x,y) = h(y),f(x/y)

jika f(x/y) =g(x)

maka f(x,y) = g(x),h(x)

Apabila X dan Y adalh peubah peubah acak diskret

atau kontinu yang sebaran peluangnya f(x.y) dan sebaran

marginalnya adalag g(x) dan h(x) maka X dan y dikatakan

bebas secara statistika jika dan hanya jika :

f(x,y) = g(x),h(x) untuk semua nilai-nilai x dan y

misalkan contoh soal diatas kita ambil f(0,20 g(0) dan h(2)

maka

f(0,2) ≠g(0),h(2)

123

3/28 ≠ (15/28)(3/28)

Jadi contoh diatas tidak bebas secara statsitika(tidak

indevenpen)

4.4 Rangkuman

Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang

harganya ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang sampel.

Peubah acak diskret adalah peubah acak yang didefinisikan pada

ruang sampel yang mengandung titik sampel berhingga

banyaknya. Peubah acak kontinu adalah peubah acak yang

didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel

tak berhingga banyaknya dan sama banyaknya dengan titik pada

sepotong garis. Fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) adalah

suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak

diskret X jika, untuk setiap hasil x yang mungkin:

(1) F (x) 0

(2) x

xf 1)(

(3) P(X =x ) = f (x)

LATIHAN

1. Peluang turun hujan per hari secara rutin diketahui p=0,7.

Berdasarkan pengamatan dilakukan dalam satu minggu,

hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?

124

b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam

satu minggu?

2. Curah hujan dikota Malang diketahui penyebarannya secara

normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 30 mm dan ragam

27 mm2.

Hitunglah:

1. Curah hujan di kota Malang kurang dari 10 mm?

2. Curah hujan di kota Malang antara 10 mm sampai 20 mm?

3. Curah hujan di kota Malang di atas 30 mm?

4. Jika dikatakan Malang mempunyai peluang 10% curah hujan

tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut!

DAFTAR PUSTAKA

1. Ronald E. Walpode, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur

dan Ilmuwan, Penerbit ITB, 1995

2. Jay L.Devore, Probability & Statistics for Engineering and the

Sciences, Wadsworth,Inc,1982

3. Bethea , Robert M. , Statistical Methods for Engineers and

Scientists, Marcel Dekker,Inc, 1985.

4. Ronald E. Walpole and raymond H. Myers, Probability and

Statistic for engineers and scientists ,ed.2, Macmillan publishing

Co,Inc,

5. Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika, Edisi Terjemahan, PT.

Gramedia, Jakarta, 1992.

125

6. Anto Dayan, Pengantar Metode Statistik, Jilid 1&2, LP3S,

Jakarta, 1976

7. https://syahrialidroes.files.wordpress.com/2009/.../vi-distribusi-

peluang3....

127

BAB V

NILAI HARAPAN

(EKSPETASI)

128

BAB V

NILAI HARAPAN (EKSPETASI)


1. Mahasiswa mampu memahami Satu konsep yang penting

di dalam teori peluang dan statistika adalah ekspektasi

matematik atau nilai ekspektasi..


1. Mahasiswa mampu memahami ukuran yang menyatakan

harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu

percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai

ekspektasi matematika.

2. Mahasiswa mampu memahami aplikasi dan contoh

penerapan nilai harapan dalam aplikasi system

5.1. Gambaran Nilai Harapan

Dari 16 orang ibu rumah tangga yang ikut program

keluarga berencana (KB) catur Warga( cukup punya anak

dua)ternyata 4 keluarga mempunyai anak keduanya perempuan,

7 keluarga satu anak laki satu anak perempuan dan 5 keluarga

keduanya anak laki-laki. Coba perhatikan jika x menyatakan

anak laki-laki dari keluarga tersebut maka x bisabernilai 0,1 dan

2 bila kita ingin mencari nilai rata-rata anak laki-laki yang lahir

dari 16 orang ibuyang ikut program KB maka

x= 0(4/16) + 1(7/16)+2(5/16) = 17/16=1,06

129

hasil rata-rata ini mendekati 1 yaitu nilai yang mungkin terjadi

namun nilai rata-rata tersebut biasanya (secara teoritis) akan

mendekati 1,keluarga yang ikut KB yang dicatat semakin

banyak.Sesuatu yang mungkin ini adalah sesuatu yang

diharapkan terjadi,jadi nilai kemungkinan yang diharapkan

terjadi ini disebut Nilai harapan (Ekspetasi).

Nilai harapan ini biasanya diberi symbol atau ntasi

E(x),dapat dicari dari definisi peluangnya atau dalam uraian

diatas adalah dari kemungkinan anak laki-laki yang lahir dari

ibu-ibu yang ikut KB Catur Warga tersebut yaitu :

f(0) = P(X=0)=(2

0)/22 =1/4

f(1) =P(X=0) =(2

1)/22=2/4

f(2)=P(X=0) =(2

2)/22=1/4

jadi E[x] =0(1/4) +1(2/4)+2(1/4)=1

Hal ini berarti bila semua ibu rumah tangga yang KB

Catur waga dicatat (sample diperbanyak) maka rata-rata

banyaknya anak laki-laki yang dilahirkannya sama dengan

1(setengah anak-anak yang lahir dari ibu-ibu yang ikut program

KB Catur warga adalah laki-laki hal ini memang yang kita

harapkan, kenapa?

Bila x adalah suatu peubah acak yang memiliki sebaran

peluang(peluang teoriis) seperti table berikut :

130

Table 5.1. Sebaran peluang

Maka nilai harapan E[x] bagi x adalah:

bila diskret :

n

i

xixifxE1

)(][

bila kontinu ;

~

~

1)(. dxxfx

Bila x adalah peubah acak dengan sebaran peluang f(xi0,

untuk i=1,2,3,…..,n maka nilai harapn fungsi g(x) yang merupakan fungsi dari peubah X adalah :

n

i

xifxigxE1

)()(][

Contoh

Tentukan nilai harapan banyaknya perempuan dalam

panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang

perempuan dan 3 orang laki-laki!

Jawab

Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka

131

rumus peluang X adalah :

3

7

3

3

3

4

)(x

xf , x = 0,1,2,3

Sehingga, f(0)= ;35

182;

35

121;

35

1 ff dan

35

43 f

Jadi, E(X) = 0. 7

51

7

12

35

4.3

35

182

35

12.1

35

1

Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali,

maka rata-rata wanita terpilih adalah 7

51 tiap pemilihan.

Contoh

Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai

fungsi pada:

f(X) =

lainnyaXuntuk

XuntukX

,0

10,2

Jawab

E(X) = 3

2

3

22,

1

0

1

0

1

0

3

xxdxxdxxxf

Contoh:

Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang

seperti table berikut ;

132

Hitunglah nilai harapan g(x) =(x-1)2

Jawab:

E[x-1] =

3

0x

(x-1)2f(x)

= (0-1)2f(x) + (1-1)

2f(1) + (2-1)

2f(2) + (3-1)

2f(3)

= (1)(1/3) + (0)(1/2) + (1)(0) =(4)(1/6)

=1

Bila X dan Y merupakan peubah acak dengan sebaran

peluang gabungan f(x,y) maka nilai harapan fungsi g(x,y)

adalah:

E[g(x,y)] =

n

i

n

j

yxyjxiyjfxig1 1

],[,(,(

Contoh:

Dua puluh sample daging sapi diperiksa pHnya sebagai

peubah acak X dan warnanya sebagai peubah acak Y kedua

peubah tersebur diberikan ekor 0,1 dan 2.Skor tersebut

menunjukkan dibawah normal,normal dan diatas normal,

hasilnya disajikan pada table berikut :

133

Maka

E[x,y] =

3

1

3

1

,(i j

yjxixiyjf

5.2. Kaedah-kaedah Nilai harapan

Dengan mengetahui kaedah-kaedah atau sifat-sifat dari

nilai harapan akan memungkinkan kita menghitung suatu nilai

harapan melalui nilai harapan melalui nilai harapan yang telah

diketahui atau pun dapat mempermudah perhitungan. Hal ini

berlaku untuk peubah acak diskret maupun konyinu.

Jika a dan b merupakan suatu konstanta atau tatapan maka:

E[aX + b] =aE[X] = b

Bila diambil a=0 maka E[b] =b

Bila diambil b=0 maka E[aX]=aE[X]

Jika X dan Ydua buah peubah acak yang saling bebas

maka

E[XY] =E[X].E[Y]

134

Contoh

Dua puluh ekor anjing Bali jantan diperiksa

tinjanya,untuk mengetahui apakah ada atau tidaknya cacing

(x=0,1).disamping itu juga diperiksa kadar Haemoglobin

darahnya untuk mengetahui apakah dibawah normal,normal ata

diatas normal(y=0,1,2) datanya seperti table berikut:

Tentukan distribinal dan peluang marginal dan bersama

serta tunjukkan apakan X dan Y bebas secara statistika

E[XY] = (0) (0)(λ/20)+(0)(1)(3/20) +……………+(2)(1)(1/20)

= 3/20

E[X] = (0)(12/20)+(1)(4/20)+(2)(4/20)

= 12/20

E[Y] = (0)(15/20)+(1)(15/20)

= 5/20

E[XY] = E[X].E[Y]

3/20 = (12/20)(5/20)

3/20 = 3/20

Jadi X dan Y saling bebas statistika

135

Contoh

Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah

mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi

4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !

Jawab

Distribusi peluangnya adalah :

7

24

35

4.3

35

18.2

35

12.1

35

1.0)(][

7

12

35

4.3

35

18.2

35

12.1

35

1.0)(][

22

x

x

xfxXE

xxfXE

Jadi 49

24

7

12

7

242

2

Contoh

Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan

sebagai :

laiinyaxuntuk

xxxf

0

21)1(2)(

hitunglah Rataan dan Variansi

136

Jawab

3

5

6

52

2

3

3

72

)14(2

1108(

3

12

2

1

3

12)(2)1(2][

2

1

2322

1

2

1

xxdxxxdxXXXE

.6

17)1(2 22 dxxxXE

Sehingga diperoleh rataan 3

5)( XE dan varians

18

1

3

5

6

172

2

5.3. Nilai Harapan Khusus

Bila g(x) =xk menghasilkan nilai harapan yang momen

ke –k disekitar titik asal peubah acak X yang dinotasikan denagn 3k. jadi bila X diskret maka:

3k =E[x

k] =

n

i

xixif1

)(

bila k=0 maka diperoleh 30 = 1

hasil ini merupakan total peluang didalam ruang sample

bila k=1 maka diperoleh 31 = E[X]

Hasil ini merupakan nilai tengah populasi biasanya ditulis

x atau jadi = x = E[X]

137

Bila k=2 maka diperoleh 32=E[X

2} dan seterusnya.

Bila g(x) =(x- )k memberikan nilai harapan yang disebut

momen ke k disekitar rata-rata peubah acak X,yang dinyatakan

dengan k jadi k = E [x- )k]

Bila k =2 maka 2 mempunyai makna khusus karena

memberikan gambaran penyebaran pengukuran disekitar rata-

rata.jadi 2 disebut gaman/variasi peubah acak X dan dinyatakan

denagn α2x atau α2

Jadi α2 = 2 = E [(x- )2]

= E[(x2-2 x + 2

)]

=`E[x2] –E[2 x] +E[ 2

]

= E[x2] –2 E[x] + 2

= E [x2] -2 . + 2

= E[x2] - 2 2

+ 2

= E[x2] -

2

Jadi keragaman peubah acak X α2 = E [x

2] – 2

Jika pengamatan/observasi kita ukur dengan ukuran

tertentu misalkan meter maka = E[X] mempunyai satuan meter pula,sedangkan α2

=E[(x- )2] mempunyai satuan

pengukuran meter kuadarat (m2). Untuk menyeragamkan satuan

ukurannya,mengakarkan ragamnya (√α2) hasilnya disebut

standar deviasi atau simpangan baku dan dinyatakan dengan α atau disingkat SD.

138

Contoh

Berdasarkan teori peluang lahirnya anak jantan sama

denagn betina dari seekor induk sapi Bali. Jika seorang peternak

mempunyai 5 ekor sapi Bali betina bunting maka: hitunglah

rata-rata anak sapi bali jantan yang mungkin lahir dan

simpangan bakunya.

Jawab

Kemungkinan anak sapi bali jantan (x) yang lahir yaitu

x=0,1,2,3,4 dan 5

Peluang lahir anak sapi Bali jantan f(x) =P(X=x) = 52

)x5

(

f(0) =P(X=0) = 321)0

5(

52

f(1) =P(X=1) = 3251)

5(

52

f(2) =P(X=2) = 3210)2

5(

52

f(3) =P(X=3) = 321)0

5(

52

f(4) =P(X=4) = 325)4

5(

52

f(5) =P(X=5) = 321)5

5(

52

139

Jadi :

E[X] =0(1/32) + 1(5/32) +2(10/32)+3(10/3)+4(5/32)+5(1/32)

= 80/32=2,5 jadi =2,5

E[X2] = 0

2(1/32) + 1

2(5/32)+2

2(10/32) + 3

2(10/3) + 4

2(5/32) +

52(1/32)

= 240/32 =7,5

α2=E(X

2)-

2=7,5-(2,5)

2 =1,25

jadi SD= √1,25 =1.11

Bila g(x,y) =(x- x)(y- y) dengan x=E[X] dan y =E[Y] maka akan menghasilkan suatu nilai harapan khusus yang

disebut kovariasi atau keragaman X dan Y yang diberikan notasi

αxy atau kov (xy) jadi

αxy=E[(x- x)(y- y)]

= E[(xy- yx- xy+ x y)]

=E[xy]- yE[x]- xE[y]+ x y

=E[xy]-2 yx+ x y

=E[(xy)- xy

Jadi αxy = kov (xy) =E[XY]- x y

Harga kovariasi tergantung pada satuan pengukuran X dan

Y biasanya kita menginginkan suatu ukuran yang menyatakan

hubunga dua peubah yang tidak tergaantung dari pada satuan

ukurannya. Hal ini dapat diperoleh denagn membagi

kovariasinya denagn standar deviasi peubah X dan Y

140

Ukuran hubungan yang diperoleh dinamakan koefisien

korelasi antara peubah X dan Y yang diberikan notasi kor

(X<Y) atau r

Jadi : Kor (X,Y) = r = Kov (XY)

αx αy

5.4. Sifat-sifat Koefisien korelasi (r)

Kor (X,Y) adalah bilangan yang harganya antar -1 dan 1 (-

1≤r≤1). Harga -1 dan 1 dicapai bila hubungan peubah X dan Y

sangat erat yaitu sebagai suatu garis lurus dengan koefisien arah

negative dan positif

Kor (X,Y) tidak berubah apabila peubanya ditambah ata

dikalikan bilangan konstan yang tandanya sama. Misalnya Z=

5x + 2 dan v=2y+3 maka Kor(Z,V) =Kor(X,Y). Analisis

korelasi banyak jenisnya, ada sembilan jenis korelasi yaitu :

Korelasi pearson Product Moment (r) ; Korelasi Ration (y);

Korelasi Spearman Rank atau Rhi ( rs atau p); Korelasi Berserial

(rb); Korelasi Korelasi Poin Berserial (rpb); Korelasi Phi (0);

Korelasi Tetrachoric (rt); Korelasi Kontigency (C); Korelasi

Kendall’s Tau (8), Bagaimana cara menggunakannya ? tergantung pada jenis data yang dihubungkan.

Berdasarkan sembilan teknik analisis korelasi tersebut,

maka dipilih dan dibahas ialah Korelasi Pearson Product

Moment (r) karena sangat populer dan sering dipakai oleh

mahasiswa dan peneliti. Korelasi ini dikemukakan oleh Karl

Pearson tahun 1900. Kegunaannya untuk mengetahui derajat

hubungan dan kontribusi variabel bebas (independen) dengan

variabel terikat (dependent).

141

})(}{)({

))((

2222YYnXXn

YXXYnrxy

Korelasi dilambangkan (r) dengan ketentuan nilai r tidak

lebih dari harga (-1< r < + 1). Apabilah nilai r = -1 artinya

korelasinya negatif sempurna; r = 0 artinya tidak ada korelasi

dan r = 1 berarti korelasinya sangat kuat. Sedangkan arti harga r

akan dikonsultasikan dengan tabel interpretasi nilai r sebagai

berikut.

Interpretasi Koefisien Korelasi Nilai r

Interval Koefisien Tingkat Hubungan

0,80 – 1,000

0,60 – 0,799

0,40 – 0.599

0,20 – 0,399

0,00 – 0,199

Sangat Kuat

Kuat

Cukup Kuat

Rendah

Sangat Rendah

Selanjutnya untuk menyatakan besar kecilnya sumbangan

variabel X terhadap Y dapat ditentukan dengan rumus koefisien

diterminan sebagai berikut.

KP = r2 x 100%

Dimana KP = Nilai Koefisien Diterminan

r = Nilai Koefisien Korelasi

142

Pengujian lanjutan yaitu uji signifikansi yang berfungsi

apabila peneliti ingin mencari makna hubungan variabel X

terhadap Y, maka hasil korelasi tersebut diuji dengan uji

Signifikansi dengan rumus :

2r1

2nr

hitungt

Dimana: thitung = Nilai t

r = Nilai Koefisien korelasi

n = Jumlah Sampel

Contoh

Hitung hubungan antara motivasi dengan Kinerja Dosen

STAI Daruttaqwa Gresik

Motivasi (X) : 60; 70; 75; 65; 70; 60; 80; 75; 85; 90; 70; dan 85

Kinerja (Y) : 450; 475; 450; 470; 475; 455; 475; 470; 485; 480;

475;dan 480.

Pertanyaan ;

a. Berapakah besar hubungan motivasi dengan kinerja

dosen?

b. Berapakah besar sumbangan (kontribusi) motivasi dengan

kinerja dosen?

c. Buktikan apakah ada hubungan yang signifikan motivasi

dengan kinerja dosen?

143

Jawab

Langkah-langkah menjawab:

Langkah 1.

Membuat Ha dan Ho dalam bentuk kalimat :

Ha : ada hubungan yang signifikan motivasi dengan

kinerja dosen.

Ho : Tidak ada hubungan yang signifikan motivasi dengan

kinerja dosen.

Langkah 2.

Membuat Ha dan Ho dalam bentuk statistik;

Ha μ r ≠ 0

Ho : r = 0

Langkah 3.

Membuat tabel penolong untuk menghitung Korelasi PPM:

No X Y X2 Y

2 XY

1.

2.

3.

4.

60

70

75

65

450

475

450

470

3600

4900

5625

4225

202500

225625

202500

220900

27000

33250

33750

30550

144

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

70

60

80

75

85

90

70

85

475

455

475

470

485

480

475

480

4900

3600

6400

5625

7225

8100

4900

7225

225625

207025

225625

220900

235225

230400

225625

230400

33250

27300

38000

35250

41225

43200

33250

40800

Statistik X Y X2 Y

2 XY

Jumlah 885 5640 66325 2652350 416825

Langkah 4.

Mencari rhitung dengan cara masukkan angka statistik dari

tabel penolong dengan rumus ;

})(}{)({

))((

2222YYnXXn

YXXYnrxy

})640.5()350.652.2.(12}.{)885()325.66.(12{

)460.5).(885()825.416(12

22

xyr

145

465,002,327.365

00.169

000.835.463.133

900.169xyr

Langkah 5.

Mencari besarnya sumbangan (konstribusi) variabel X

terhadap Y dengan rumus :

KP = r2 x 100% = 0,465

2 x 100% = 21,62 %.

Artinya motivasi memberikan konstribusi terhadap kinerja

dosen sebesar 21,62% dan sisanya 78,38% ditentukan oleh

variabel lain.

Langkah 6.

Menguji signifikan dengan rumus thitung :

329,388,0

15,2

684,01

212465,0

2r1

2nr

hitungt

2

Kaidah pengujian :

Jika thitung ≥ ttabel, maka tolak Ho artinya signifikan dan

thitung ≤ ttabel, terima Ho artinya tidak signifikan.

Berdasarkan perhitungan di atas , α = 0,05 dan n = 12, uji dua pihak;

dk = n - 2 = 12 – 2 = 10 sehingga diperoleh ttabel = 2,228

Ternyata thitung lebih besar dari ttabel, atau 3,329 > 2,228, maka

Ho ditolak, artinya ada hubungan yang signifikan motivasi

dengan kinerja dosen.

146

Langkah 7.

Membuat kesimpulan

1. Berapakah besar hubungan motivasi dengan kinerja

dosen? rxy sebesar 0,465 kategori cukup kuat.

2. Berapakah besar sumbangan (konstribusi) motivasi

dengan kinerja dosen?

KP = r2 x 100% = 0,465

2 x 100% = 21,62%. Artinya

motifasi memberikan konstribusi terhadap kinerja dosen

sebesar 21,62% dan sisanya 78,38% ditentukan oleh

variable lain.

3. Buktikan apakah ada hubungan yang signifikan motivasi

dengan kinerja dosen? terbukti bahwa ada hubungan yang

signifikan motivasi dengan kinerja dosen.

Ternyata thitung lebih besar dari ttabel, atau 3,329 >

2,228, maka Ho ditolak, artinya ada hubungan yang

signifikan motivasi dengan kinerja dosen.

5.5. Sifat-Sifat Ragam/Variasi

Bila dimisalkan g(x) sebagai fungsi peubah acak X maka

rata-rata dan variasi g(x) akan dinyatakan denagn g(x) dan α2g(x)

Teorema : misalkan X peubah acak denagn sebaran peluang

f(x) maka variasi g(x) adalah :

Var [g(x)] = E[{g(x) – g(x)}2]

(sesuai dengan teorema ragam)

147

Teorema ; Bila X suatu peubah acak dan b suatu konstanta atau

tetapan maka : α2 (x+b) = α2

x =α2

Bukti:

α2 (x+b) = E[{x+b) – (x+b) }

2]

Oleh karena (x+b) = E[X+b] =E[X] + b = + b

Sehingga μ α2 (x+b) = E[(X + b – -b)

2]

= E[(X – )2]

= α2

Rumus/teorema ini menyatakan bahwa ragam /variasi

tidak berubah bila suatu konstanta/tetapan ditambahkan ke

ataupun dikurangkan dari suatu peubah acak. Penambahan atau

pengurangan suatu konstanta hanyalah mengeser harga x ke kanan ata kekiri dan tidak akan mengubah ragamnya.

Teorema : Bila X suatu peubah acak digandakan denagn a dan a

adalah suatu konstanta maka :

α2ax =a

2α2x =a

2α2

(coba buktikan pembaca membuktikan )

Teorema ini menyatakan bila suatu peubah acak dikalikan

atau dibagi denagn suatu konstanta maka variasinya dikalikan

atau dibagi denagn kuadrat konstanta tersebut

Teorema : Bila X dan Y peubah acak denagn sebaran peluang

gabungan f(x,y) maka

α2a +by =a

2 α2x +b

2α2y +2abα2xy

148

Contoh

Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah

mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi

4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !

Jawab

Distribusi peluangnya adalah :

7

24

35

4.3

35

18.2

35

12.1

35

1.0)(][

7

12

35

4.3

35

18.2

35

12.1

35

1.0)(][

22

x

x

xfxXE

xxfXE

Jadi 49

24

7

12

7

242

2

Contoh

Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan

sebagai :

laiinyaxuntuk

xxxf

0

21)1(2)(

hitunglah Rataan dan Variansi

149

Jawab

3

5

6

52

2

3

3

72

)14(2

1108(

3

12

2

1

3

12)(2)1(2][

2

1

2322

1

2

1

xxdxxxdxXXXE

.6

17)1(2 22 dxxxXE

Sehingga diperoleh rataan 3

5)( XE dan varians

18

1

3

5

6

172

2

5.6. Teorema chebyshev

Dalam suatu peubah acak memberikan gambaran

mengenai penyebaran pengamatan disekitar nilai tengahnya.

Bila variasi ataupun aimpangan baku suatu peubah acak kecil

nilainya maka umumnya pengamatan mengelompokkan dekat

disekitar nilai tengahnya,sebaliknya jika variasi ataupun

simpangan bakunya semakin besar nilainya maka umumnya

pengamatan lebih menyebar /jauh dari nilai tengahnya. Keadaan

ini berlaku pada sebaran diskret maupun kontinu.

Perbandingan tersebut dapat digambarkan dengan kurva

berikut ;

150

Gambar penyebaran pengamatan peubah acak kontinu

disekitar nilai tengah disini αx<αy

Chebyshev,seorang matematikawan berkebangsan rusia

menemukan bahwa bagian paling luas dua nilai tengahnya

berkaitan denagn simpangan bakunya. Karena luas dibawah

sebaran peluang peubah acak sama denagn 1 maka luas antara

bilangan sembarang menyatakan peluang peubah acak yang

bersangkutan mendapat nilai antara kedua bilangan tersebut .

Teorema Chebyshev menyatakan bahwa peluang setiap

peubah acak X mendapat nilai k simpangan baku dari nilai rata-

rata adalah paling sedikit (1-1/k2) yaitu :

P( – kα <X< +kα≥1-1/k2

Teorema tersebut memberikan taksiran yang berhati-hati

(konservatif) tentang peluang suatu peubah acak mendapat nilai

dalam jarak kesimpangan baku dari harga rata-rata.

Misalkan untuk k=2 teorema menyatakan bahwa peubah

acak X mempunyai peluang paling sedikit 1-1/22 =3/4 mendapat

nilai dalam jarak dua simpangan baku dari nilai rata-rata. Yaitu

¾ atau lebih pengamatan setiap sebaran terletak dalam selang ± 2α

151

Contoh

Suatu peubah X mempunyai rata-rata =8 dan ragam α2=9

sedangkan sebaran tidak diketahui

Hitunglah P(-4 < X <20) dan P (│x-8│>6)

Jawab

P(-4<X<20) = P(8-(4)(3)<X<8 + (4)(3)

Dalam hal ini digunakan k=4 maka

P(-4<X<20) ≥ 1-1/42

P(-4<X<20) ≥ 15/16

P(│x -8│) >6 = 1-P(│x - 8│<6)

P(│x -8│) >6 = 1-P( -6<x -8<6)

P(│x -8│) >6 = 1-P( 8-6<x<8 +6)

P(│x -8│) >6 = 1-P( 8-(2)(3)<x<8 + (2)(3)

Dalam hal ini diperoleh/digunakan k=2 maka :

P(│x -8│) ≤1-(1-1/22)

P(│x -8│) ≤1-1-1/4

P(│x -8│) ≤1/4

Teorema Chebyshev berlaku untuk setiap sebaran

pengamatan oleh karena itu hasilnya biasanya lemah. Hasil yang

diberikan teori tersebut hanyalah batas bawah. Yaitu kita tahu

bahwa peluang suatu peubah acak mendapat nilai dalam jarak

dua simpangan baku dari harga rata-rata tidak mungkin kurang

152

dari ¾. Tetapi kita tidak tahu lebih dari itu (nilai sesunguhnya)

hanya bila sebaran peluangnya diketahui baru peluangnya yang

tetap dapat ditentukan.

5.7. Rangkuman

Pada nilai harapan maka dalam suatu percobaan tentu ada

hasil yang diharapkan. Untuk mendapatkan hasil yang baik dan

kesimpulan hasil yang akurat, maka percobaan statistika

tersebut dilakukan berulang kali. Hal tersebut dimaksudkan

untuk memperoleh suatu hasil yang benar-benar

mendekati,sehingga kesimpulan yang dihasilkan valid. Ukuran

yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari

suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai

ekspektasi matematika.

Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang

f(x). Nilai harapan X atau harapan matematika X didefinisikan

sebagai

kontinuXJikadxxfx

diskretXJikaxxfXE

)(.

)()(

Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang

gabungan f(x,y), maka nilai harapan matematik fungsi g(X,Y)

ditentukan oleh

,

,.

kontinuxJikadxxfxg

diskretxJikaxfxg

xgEx

153

LATIHAN

1. Seratus ekor anjing yang sedang beranak dicatat periode

kelahiranya sebagai peubah acak X dan jumlah anaknya sebagai

peubah acak Y datanya seperti tabel berikut :

Hitunglah:

a. rata-rata anak anjing yang lahir dari seekor induknya.

b. Ragam peubah acak X dan Y

c. Korelasi (X,Y)

2. Beradasarkan hasil penelitian didapatkan bahwa perkawinan

antara ayam buras jantan berbulu putih denagn ayam buras

betina berbulu hitam anak ayam yang menetas terdiri atas

15%putih, 20 % hitam dan 65% bulu campuran (warna lain)

Sedangkan jenis kelaminnya 60%jantan. Jika warna bulu

dianggap e=sebagai peubah X dan jenis kelamin sebagai peubah

Y hitunglah

154

a. E[X] dan E[Y]

b. Keragaman peubah acak X dan Y

c. Kovariasi (XY)

d. α2x+y

e. α22x-2y

3. Suatu peubah acak X mempunyai 12 dan ragam 4 denagn

menggunakan teorema Chebushev hitunglah :

a. P (│x-12│≥3) b│x-12│<3)

c. P(6<x<16) d. harga c sehingga P(│x-12>c│)≤0,04

DAFTAR PUSTAKA

1. Matematika Teknik 2nd

Edition. JA.Kastroude, Prentice Hall

1996.

2. K.H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications,

McGraw-Hill, New York, 5th

Edition, 2003.

3. K.A. Ross, C.R.B. Wright, Discrete Mathematics, Prentice-Hall,

New Jersey, 4th

Edition, 2003.

4. V. Bryant, Aspect of Combinatorics: A wide-ranging

introduction, Cambridge Univ. Press, Great Britain, 1995

5. Djarwanto, dkk. 1996. Statistik Induktif. BPFE :Yogyakarta

6. Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan

Sains. Erlangga : Jakarta.

155

7. ftp.gunadarma.ac.id/handouts/S1.../Probabilita%20dan%20Statis

tika.doc

8. Drs. Ach. Nur Syamsudin, M.Pd. bahan ajar, 2011

https://achmadnursamsudin.files.wordpress.com/.../korelasi

pearson-prod...

9. xa.yimg.com/kq/groups/23082406/348656916/name/binom-

nenny.doc

https://achmadnursamsudin.files.wordpress.com/.../korelasi-pearson-prod

https://achmadnursamsudin.files.wordpress.com/.../korelasi-pearson-prod

157

BAB VI

SEBARAN PELUANG DISKRET

158

BAB VI

SEBARAN PELUANG DISKRET


1. Mahasiswa mampu menjelaskan dan menanalisa hasil

penentuan eksperimen acak meliputi prosedur, observasi

dan model

2. Mahasiswa mampu mengidentifikasi ruang sampel dan

event dari eksperimen acak


1. Mahasiswa mampu memahami konsep dasar tentang

eksperimen acak dan penentuan ruang sampel serta event

dari suatu eksperimen tersebut.

2. Mahasiswa mampu dan paham definisi tentang eksperimen

acak, ruang sampel dan event tersebut dilengkapi dengan

beberapa contoh yang berguna untuk memberikan

penjelasan secara utuh tentang konsep- konsep tersebut.

6.1. Sebaran Seragam

Pada sebaran peubah acak akan dihasilkan dari percobaan

statistika mempunyai sifat-sifat yang sama dan pada dasarnya

dapat dinyatakan dalam sebaran peluang yang sama. Dalam bab

ini akan dibahas beberapa sebaran peluang diskret yang sering

muncul dalam percobaan statistika. Sebaran peluang diskret

yang paling sederhana ialah sebaran yang peubah acaknya

159

memperoleh semua harga denagn peluang yang sama sebaran

peluang semacam ini disebut sebaran seragam atau uniform.

Bial peubah acak X mendapat harga x1,x2,…..xk dengan peluang yang sama maka sebaran seragam disket diberikan oleh

f(X;k) =1/k, X=x1,x2,…..xk

Notasi f(X:k) dipakai sebagai penggati f(x) untuk

menunjukkan bahwa sebaran seragam tersebut bergantung atas

parameter k. Rata-rata dan variasi sebaran seragam disket f(x;k)

adalah :

=1/k

k

i

Xi1

dan α 2 = 1/k

k

i 1

(xi – )2

Contoh :

Bila sebuah dasu dilantunkan maka tiap ekemen ruang

sample S =(1,2,3,4,5,6) muncul dengan peluang yang sama yaitu

1/6

Jadi merupakan sebaran seragam f( x:6) =1/6 disini x=

1,2,3,2,3,4,5,6

Demikian juga misalkan kita memilih 5 ekor anak ayam

betina secara acak dari seekor induk yang mempunyai 6 ekor

anak betina.

Banyaknya kombinasi yang mungkin = (6

5) = 6 kombinasi

karena satiap anak ayam mempunyai peluang yang sama untuk

terpilih berarti sebaran sampelnya mengikuti sebaran saragam

f(X;6=1/6 untuk X=1,2,3,4,5,6

160

Kedua contoh diatas mempunyai gambar histogram

sebagai berikut :

Gambar 6.1 histogram dari sebaran seragam f(x:6) =1/6

6.2. Sebaran Binomial dan Multinomil

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa uaha/trial,bial

setiap usaha memberikan hasil salah satu dari dua kemungkinan

yang dinamakan sukses atau gagal, maka percobaan demikian

disebut percobaan binomial. Dalam percobaan binomial

pendifinisian atau menentukan kejadian sukses harus jelas dn

kita dapat menentukan atau memilih salah satu hasil sebagai

sukses.

Misalkan pada pelantunan 3 mata uang yang seimbang

maka muncul salah satu muka kita sebut kejadian sukses,

demikian pula kekahiran anak sapi perah, bila lahir anak betina

bisa disebut suatu kejadian sukses.

Syarat-syarat suatu percobaan binomial adalah sebagai

berikut :

161

1. percobaan terdiri atas n usaha yang berulang

2. tiap usaha memberikan hasil yang dapat ditentukan

dengan sukses atau gagal.

3. peluang sukses dinyatakan denagn p tidak berubah dari

usaha yang satu ke usaha berikutnya.

4. tiap usaha bebas denagn usaha lainnya.

Pandanglah suatu percobaan binomial pemeriksaan tiga

sample tinja ayam mengenai ada tidaknya cacing. Bila

diketemukan cacing pada ayam tinja tersebut dianggap sukses

dan berdasarkan teori atau hasil penelitian, peluang

ditemukannya cacing tersebut p=0,75=3/4

Banyaknya sukses merupakan suatu peubah acak yang

harganya adalah bilangan bulat dari 0 sampai 3

Kedelapan hasil yang mungkin harga x dan peluangnya

disajikan dalam tabel berikut:

Catatan T (tidak diketemukan cacing atau gagal)

C(ditemukan cacing atau sukses)

162

Sebaran peluang diatas dapat disajikan lebih ringkas

seperti tabel dibawah ini :

Sebaran acak binomial yang menggambarkan banyaknya

sukses x dan N usaha diberikan notasi b(X;n,p), karena nilai

sebaran ini tergantung dari banyaknya usaha (n) dan peluang

sukses dalam suatu usaha (p)

Jadi untuk contoh diatas sebaran peluang X bila X

menyatakan kemungkinan ditemukannya 2 sampel berisi cacing

dari tiga sample tinja ayam adalah P(X=2) =f(x)

=b(2;3,3/4)=27/64

Jika percobaan bernoulli sebanyak N kali secara

independen, x = menghasilkan peristiwa A dan sisanya (N – x) =

A . Jadi 1 – P = P( A ), maka peluang terjadinya peristiwa A

sebanyak X = R kali di antara N, dihitung oleh:

xNxN

x QPCRP)(

Dimana:

P(R)=peluang terjadinya sebesar R untuk N kejadian .

N = jumlah kejadian.

R = jumlah kejadian yang diharapkan =0,1,2,…,n

P = peluang terjadinya kejadian (parameter distribusi)

Q = peluang kegagalan (tidak terjadi) = 1-P

163

)!(!

!

xNx

NC

N

x , jumlah kombinasi N dan x pada 1 (satu)

satuan waktu dengan N!=1.2.3.4…(N-1).N dan 0!=1.

Parameter distribusi binomial antara lain adalah:

(1) rata-rata hitung (mean) NP

(2) Variansi NPQ2

(3) Deviasi standar NPQ

(4) Kemencengan NPQ

PQCS

3

3

(5) Koefisien Kurtosis 361

NPQ

PQCK

Untuk N tak hingga, maka distribusi binomial cendrung

menjadi fungsi normal.

Contoh :

(1) Peluang untuk mendapatkan 6 muka G ketika melakukan

undian dengan sebuah mata uang homogin sebanyak 10

kali adalah :

P (R = 6) = 10

6C ( ½ )6 ( ½ )

4 = (210) ( ½ )

10 = 0,2050

Dengan R = jumlah muka G yang nampak

164

(2) Undian dengan menggunakan 10 buah dadu homogin

sekaligus. Berapa peluang nampaknya mata 6 sebanyak 8

buah, yaitu:

P (mata 6) = 1/6 dan disini N = 10, R = 8 dimana R

berarti muka bermata 6 nampak disebelah atas, maka :

P (R=8) = 10

8C (1/6)8 (5/6)

2 = 0,000015

Berarti undian dengan 10 dadu akan diperoleh mata 6

sebanyak 8 kali, terjadi kira-kira 15 dari tiap sejuta.

(3) 10 % dari semacam benda tergolong ke dalam kategori A.

Sebuah sampel berukuran 30 telah diambil secara acak.

Berapa peluang sampel itu akan berisikan benda kategori

A :

a. semuanya,

b. sebuah,

c. dua buah,

d. paling sedikit sebuah,

e. paling banyak dua buah

f. tentukan rata-rata terdapatnya kategori A.

Jawab:

a. Artikan R = banyak benda kategori A. Peluang benda

termasuk kategori A = 0,10. Semuanya tergolong kategori

A R = 30

165

b. P (R = 30) = )!3030(!30

!30

(0,10)

30 (0,90)

0 = 10

-30

Sebuah harga yang sangat kecil yang praktis sama dengan

nol.

c. Sebuah termasuk kategori A berarti X = 1

P (R = 1) = )!130(!1

!30

(0,10)

1 (0,90)

29 = 0,1409

Peluang sampel itu berisi sebuah benda kategori A =

0,1409

d. Disini X = 2, sehingga :

P (R = 2) = )!230(!2

!30

(0,10)

2 (0,90)

28 = 0,2270

e. Paling sedikit sebuah benda tergolong kategori A, berarti

X = 1, 2, 3, .., 30. Jadi perlu P(R = 1) + P(R = 2) + … + P(R = 30). Tetapi P(R = 0) + P(R = 1) + … + P(R = 30) = 1, sehingga yang dicari = 1 – P(R = 0).

P(R= 0) = )!030(!0

!30

(0,10)

0 (0,90)

30 = 0,0423.

Jadi, peluang dalam sampel itu terdapat paling sedikit

sebuah benda kategori A = 1 – 0,0423 = 0,9577

f. Terdapat paling banyak 2 buah kategori A, berarti R= 0, 1,

2. Perlu dicari P(R = 0) + P(R = 1) + P(R = 2) = 0,0423 +

0,1409 + 0,2270 = 0,4102.

166

g. = 30 (0,1) = 3 artinya, rata-rata diharapkan akan terdapat

3 benda termasuk kategori A dalam setiap kelompok yang

terdiri atas 30

Distribusi multinomial ialah perluasan dari distribusi

binomial. Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa-

peristiwa E1, E2, …, Ek dengan peluang 1 = P(E1), 2 = P(E2),

…, k = P(Ek). Terhadap eksperimen ini kita lakukan percobaan

sebanyak N kali. Maka peluang akan terdapat x1 peristiwa E1, x2

peristiwa E2, …, xk peristiwa Ek diantara N, ditentukan oleh

distribusi multinomial berikut :

P(x1, x2, …, xk) = kxxx

N x

k

xx

k

...!!...!

! 2

2

1

1

21

x1 + x2 + … + xk = N dan 1 + 2 + …+ k = 1,

0 < I < 1, i = 1, 2, …, k.

Eskpektasi terjadinya tiap peristiwa E1, E2, …, Ek berturut-turut

adalah N1, N2, …, Nk

Variansnya N1 (1 - 1), N2 (1 - 2), …, Nk (1 - k).

Contoh :

1) Dalam undian dengan sebuah dadu sebanyak 12 kali,

maka peluang terdapat mata 1, mata 2, … mata 6 masing-

masing tepat dua kali adalah

2222226/16/16/16/16/16/1

!2!2!2!2!2!2

!12= 0,0034

167

2) Sebuah kotak berisi 3 barang yang dihasilkan oleh mesin

A, 4 oleh mesin B dan 5 oleh mesin C. kecuali

dikategorikan berdasarkan mesin, identitas lainnya

mengenai barang tersebut sama. Sebuah barang diambil

secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, lalu

disimpan kembali kedalam kotak. Tentukan peluang

diantara 6 barang yang diambil dengan jalan demikian

terdapat 1 dari mesin A, 2 dari mesin B dan 3 dari mesin

C.

Jawab :

Jelas bahwa P (dari mesin A) = 12

3, P (dari mesin B) =

12

4

dan P (dari mesin C) = 5/12. Dengan rumus di atas

didapat:

P (1 dari mesin A dan 2 dari mesin B dan 3 dari mesin C)

=

321

12

5

12

4

12

3

!3!2!1

!6

= 0,1206

6.3 Sebaran Hipergeometrik

Untuk mempelajari sebaran hipergeometrik kita

perhatikan contoh berikut. Dalam sebuah kandang berisi 50 ekor

anak itik 10 ekor diantranya jantan dan sisianya betina seorang

peternak mambenli 3 ekor anak itik diambil secara acak dari

kandang itu (jadi pengambilan tanpa pengembalian ) dan

kemudian diadakan sexing terhadap anak itik yang telah

diambil/dibeli. Apakah anak itik yang telah diambil jantan atau

betina yang terambil jiak jantan yang diambil pembeli

168

mengangap sukses dan kita berikan lambang x maka nilia

numeric x = 0,1,2,atau 3

Secara lebih umum dapat kita pandang persoalan diatas

sebagai berikut. Misalkan dalam kandang tersebut a ekor anak

itik jantan, dan b ekor anak itik betina,sehingga seluruh itik yang

ada N =a + b ekor jadi b = N-a kita ambil tanpa pengembalian n

ekor (1≤n≤N) sedemikian hingga (Nn) himpuna bagian

mempunyai peluang yang sama yaitu (1

N) akan terambil jadi ada

N benda yang terdiri dari a benda yang akan diberi nama sukses

sedangkan sisanya N-a diberi nama gagal.Umumnya yang akan

dicari adalah peluang memilih x sukses dari sebanyak a yang

tersedia dan n-x gagal dari sebanyak N-a yang tersedia. Bila

sample ukurannya n diambil N benda. Ini dikenal percobaan

hipergeometrik denagn sifat-sifat sebagai berikut :

1. sample acak ukuran n diambil dari N benda

2. sebanyak a benda dapat nama sukses sedangkan sisanya

N-a diberi nama gagal.

Banyaknya X dalam percobaan hipergeometrik disebut

peubah acak hipergeometrik dan diberi notasi h(x;N,n,a) disini :

h(x;N,n,a) = )xnaN)(x

a(

/ )nN(

Jadi kemungkinan anak itik jantan yang terambil dapat

diselesaikan denagn rumus sebaran hiepergeometrik: .

h(0;50,3,10) = )0-3

01-50)(0

10( / )350

( = 0.504

h(1;50,3,10) = )1-3

01-50)(110( / )3

50( = 0.398

169

h(2;50,3,10) = )2-301-50)(

210( / )3

50( = 0.092

h(3;50,3,10) = )3-301-50)(

310( / )3

50( = 0.006

Dalam bentuk tabel dapat disajikan sebagai berikut :

Dari contoh diatas kita dapat mencari nilai tengah ( ) dan ragamnya (α2

) sebagai berikut :

= 0(0,504) +1(0,393) +2(0,092)+3(0,006)

= 0,6

α2 = {(0

2(0,504)+1

2(0,393) +3

2(0,006)}-0,6

2

= 0,46

Dapat dicari rumus untuk menghitung nilai tengah ( ) dan ragamnya (α2

) sebagai berikut :

= nNa dan α2

= nNa (1-

Na ) [(N-n)/(N-1)]

Jadi μ = (3)(10/50)=0,6

α2 = (3)(10/50)(1-10/50)[(50-3)/(50-1)]

= (0,6)(0.8)(959) =0,46

Rumus nilai tengahdan ragam identik denagn rumus-

rumus untuk sebaran binomial bila n kecil dibandingkan N maka

peluang penarikan/pengambilan hanya berubah cukup kecil .jadi

170

pada dasarnya percobaan adalah binomial sehingga sebaran

hipergeometrik dapat dihampiri denagn sebaran binomial

denagn p=a/N

Jadi nilai tengah dan ragamnya dapat pula dihampiri

denagn rumus sebagai berikut

= np = n a/N dan α2=npq= n a/N(1-k/n)

jadi terlihat rumus nilai tengah sama sedangkan rumus ragam

ada perbedan denagn factor koreksi [N-n)/(N-1)] basarnya factor

koreksi dapat diabaikan jika n cukup kecil bila dibandingkan

denqagn N atau jika N cukup besar dibandingkan n.

Contoh

Dalam program vaksinasi ayam buras disuatu propinsi

dikirim 1000 ampul vaksin diantaranya terdapay 200 ampul

yang rusak bila pada suatu desa mendapat jatah 5 ampul berapa

peluangnya terdapat satu ampul yang rusak

Jawab

Karena n =5 cukup kecil dibandingkan dengan N=1000

maka peluangnya dapat dihampiri dengan menggunakan sebaran

binomial

jadi peluang mendapatkan 1 ampul vaksin yang rusak adalah

h(1 1000,5,200) = b(1;5,0,2)

( 200 )(1000-200)

1 5-1 = ( 5)(0,2)1(0,8)

5-1

)5

1000(

171

0,407λ = 0,4096

Jadi peluangnya bisa didekati dengan 0,41

6.4 Sebaran Poisson

Percoban yang menghasilkan peubah acak X yang bernilai

numeric yaitu banyaknya sukses dalam selang waktu tertentu

atau dalam daerah tertentu disebuit percobaan poisson panjang

selang waktu tertentu dapat berupa apa saja, bis saja semenit,

sehari,seminggu,sebulan setahun dan sebagainya. Seperti pada

peubah acak binomial X yang menunjukkan banyaknya sukses

dalam n usaha independent, namun pada peubah acak Poisson

terjadi bila n cukup besar, tetapi p sangat kecil mendekati 0.

Dalam hal ini misalnya X mungkin menyatakan tikus sawah

dalam sehari yang matai ,banyaknya bakteri pathogen yang

tumbuh pada suatu media dalam waktu tertentu dan sebagainya.

Perhatikan sebaran peluang peubah acak binomial mX

yaitu :

f(x) =P(X=x) = )xn( p

x(1-p)

n-x x=0,1,……..,n.

Misalkan n cukup besar tetapi p sangat kecil mendekati

nol (p→ 0) misalkan hasil kali p denagn n kita tulis =np sehingga p = /n. maka nilai tengah dan ragamnya dapat kita tulis : = dan α2

= (1- /n)

Jika dibuat konstan n diperbesar dan p mendekati 0 (

sehingga p = /n→0) maka ragamnya akan mendekati harga

konstan yaitu α=

Jadi untuk peubah acak binomial X dengan n cukup besar

172

dan p mendekati nol dan np= maka nilai tengah dan ragamnya keduanya akan mendekati harga yang sama yaitu

sebagai contoh misalkan =2 maka peubah acak binomial dengan :

n = 4 p=0,5 maka =4(0,5) =2 α2 =2(0,5) =1,0

n = 20 p=0,1 maka =20(0,1) =2 α2 =2(0,9) =1,8

n = 100 p=0,02 maka =100(0,02) =2 α2 =2(0,98) =1,96

n = 300 p=0,01 maka =300(0,01) =2 α2 =2(0,99) =1,98

jadi jika n bertambah besar dan np diambil konstan maka

dan α2 keduanya mendekati limit yang memuat dan x. hal ini

dapat ditunjukkan memang demikian adanya. Jika np= dan n cukup besar maka untuk sembarang harga tertentu x, maka

fungsi peluang f(x) =P9X=x) = (xn)( /n)x(1- )n-x

harga fungsi

peluang ini mendekati suatu limit seperti rumus berikut :

f(x) = P(X=x) = e-

x ,

disni e= 2,71828

x!

sebaran peubah acak ini disebut sebaran poisson dan

dinyatakan denagn P(x ) karena nilainya hanya tergantung dari x dan yaitu rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam

selang waktu atau daerah tertentu dan oleh karena = maka

f(x) =P(X=x) = e-

x ; x=0,1,2,……..

x!

nilai-nilai sebaran poisson telah disajikan dalam tabel (lihat

lampiran)

173

Contoh

Berdasarkan teori/penelitian banyaknya telur cacing hati

yang menetas dalam air yang mengandung Furadan dengan

konsentrasi 2 gram/liter sebanyak 2 butir telur dari 100 butir

telur yang ditetaskanbila kita juga menetas dengan cara yang

sama berapa peluang bahwa :

a. 4 butir telur yang menetas

b. Antara 0 dan 4 (0<x<4) yang menetas

Jawab

Jadi x= 4 dan =2, maka coba lihat tabel poisson)

P(4;2) = e -2

24 = (0,1353)(16) = 2,1648 =0,0902

4! 24 24

Σ P(x 2) =P(1 2) + Pλ2 2) + Pλ3 2)

x=1 = 0,270671 +0,270671 +0,180447 = 0,721789

Distribusi Poisson dapat pula dianggap sebagai

pendekatan kepada distribusi binomial.

N cukup besar dan P(A), sangat dekat kepada nol sehingga =

Np tetap, distribusi binomial menjadi distribusi Poisson,

dilakukan pendekatan N ≥ 50 sedangkan Np < 5.

Dirumuskan menjadi: !

)(R

eRP

R

dimana:

P(R) = peluang terjadinya sebesar R dalam jumlah

kejadian N.

174

R = jumlah kejadian yang diharapkan =0,1,2,…,N

= rata-rata hitung (mean) distribusi Poisson.

N = jumlah kejadian.

e = 2,71828

Dengan parameter statistiknya sebagai berikut::

(1) Rata-rata hitung (mean) NP

(2) Variansi NPQ2

(3) Deviasi standar NPQ

(4) Kemencengan NPQ

PQCS

(5) Koefisien Kurtosis 361

NPQ

PQCK

Contoh

1) Banyak orang yang lewat melalui muka pasar setiap hari,

tetapi sangat jarang terjadi seseorang menemukan barang

hilang dan mengembalikannya kepada si pemilik atau

melaporkannya kepada polisi.

2) Dalam tempo setiap 5 menit, operator telepon banyak

menerima permintaan nomor untuk disambungkan,

diharapkan jarang sekali terjadi salah sambung.

3) Misalkan rata-rata ada 1,4 orang buta huruf untuk setiap

100 orang. Sebuah sampel berukuran 200 telah diambil.

175

4) Jika R = banyak buta huruf per 200 orang, maka untuk kita

sekarang = 2,8.

Peluangnya tidak terdapat yang buta huruf adalah :

P(R=0) = .0608,0!0

)8,2( 8,208,2

ee

Sedangkan peluang terdapatnya yang buta huruf sama

dengan (1-0.0608) = 0,9392.

Contoh

Peluang seseorang akan mendapat reaksi buruk setelah

disuntik = 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan

peluang yang mendapat reaksi buruk:

a) tidak ada

b) ada 2 orang

c) lebih dari 2 orang, dan

d) ada berapa orang akan mendapat reaksi buruk.

Jawab

a) Dengan menggunakan pendekatan distribusi Poisson

kepada distribusi binomial, maka = Np = 4000 X

0,0005 = 2.

R = banyak orang yang mendapat reaksi buruk akibat

suntikan, maka:

P(R=0) = .1353,0!0

202

e

176

b) Dalam hal ini X = 2, sehingga :

P(R=2) = .2706,0!2

222

e

Peluang ada 2 orang mendapat reaksi buruk ialah 0,2706.

c) Yang menderita reaksi buruk lebih dari 2 orang, ini berarti

X = 3, 4, 5, . . . . Tetapi P(R=0) + P(R=1) + . . . = 1, maka

P(R=3) + P(R=4) + . . . = 1- P(R=0)- P(R=1)– P(R=2).

Harga-harga P(R=0) dan P(R=2) sudah dihitung di atas

P(R=1) = .2706,0!1

212

e

Peluang yang dicari = 1 – (0,1353 + 0,2706 + 0,2706) =

0,3235.

d) Tiada lain diminta menentukan rata-rata , yaitu

= 2.

Contoh Aplikasi:

Dalam suatu DPS dibangun dam pengendali banjir dengan

umur bangunan 100 tahun. Berapa peluang terjadinya banjir 550

m3/det dengan priode ulang 200 tahun selama priode umur dam

tersebut, apabila ditentukan dengan Distribusi Poisson ?

Jawab

Priode ulang banjir 200 tahun, maka peluang terjadinya 1

kali banjir adalah:

005,0200

11

TP , dan 5,0005,0.100 NP

177

sehingga:

!

)(R

eRP

R

= 308,0!1

71828,2.05,0 5,01

Artinya, pada DPS itu dengan umur dam pengendali banjir

100 tahun, selama priode umur tersebut akan terjadi banjir

priode 200 tahun dengan peluang 0,308%.

6.5 Sebaran Binomial Negatif dan Geometrik

Percobaan binomial negative adalah suatu percobaan

yang berbagai sifatnya sama dengan percobaan binomial,

kecuali bahwa disini usaha diulang sampai terjadi sejumlah

sukses tertentu.jadi jika n tetap maka ingin diketahui peluang

bahwa sukses ke k terjadi pada usaha ke x.

Sebagai contoh dalam usaha meningkatkan mutu ternak

sapi Bali dan efisiensi penguunaan pejantan maka dilakukan

kawin suntik atau inseminasi buatan (IB). jika diketahui

keberhasilan IB 60 % ingin dicari peluang sapi betina yang ke 7

yang di Ib. nyatakan sapi Bali betina yang bunting (sukses)

denagnS dan yang gagal atau tidak beruntung denagnG maka

salah satu kemungkinan adalah SSGSSGS

Kemungkinan susunan lain dari S dan G dapat disusun

sedemikian rupa asalkan memenuhi syarat yang terakhir harus S

(sukses) yang ke lima. Jumlah semua urutan yang mungkin

sama dengan banyaknya cara memisahkan (menyekat keenam

usaha yang pertama menjadi dua kelompok yaitu kelompok

pertama mengandung dua G dan kelompok ke dua yang

mengandung empat S jadi ada )46( =15 cara yang berlainan itu

178

yaitu :

GGSSSSS, GSGSSSS, GSSGSSS, GSSSGSS,

GSSSSGS SGGSSSS, SGSGSSS, SGSSGSS,

SGSSSGS, SSGGSSS, SSGSGSS, SSGSSGS,

SSSGGSS, SSSGSGS, SSSSGGS

Jadi merupakan peluang mendapatkan 4 kejadian sukses

p=0,6 dari 6 kejadian yang terjadi karena kejadian yang ke 7

selalu sukses. Sehingga dapat dihitung besar peluang denagn

sebaran binomial sebagai berikut \;

b(4;6,0,6) = )46( (0,6)

6 (0,4)

4-2= 0,112

Sebaran ini sangat menyerupai sebaran binomial

sehingga disebut sebaran binomial negative dan diberikan notasi

atau lambing b* (x,k,p)

Berdasarkan ilustrasi diatas maka bila usaha yang saling

bebas dilakukan berulang kali menghasilkan sukses dengan

peluang p sedangkan gagal denagn peluang q=1 – p maka

sebaran peluang acak X yaitu banyaknya usaha yang tepat pada

sukses ke k adalah :

b* (x; k,p) = )1-k1-x( p

k q

x-k disini x =k, k+1, k+2,………

Contoh

Seekor sapi bali yang diperiksa kesehatannya mungkin

jinak (berhasil diperiksa) mungkin juga liar (gagal diperiksa

)kemungkinan berhasil atau gagal adalah sama yaitu 0,5

tergantung dari cara pemeriksaannya. Jika seorang doketr hewan

memeriksa dengan cara tertentu berapa peluanng sapi yang ke 5

dalam keadaan jinak yang kedua :

179

Jawab

Dengan menggunakan sebaran peluang binomial negatip

maka x=5,k=2 dan p=0,5

Sehingga :

b*(5; 2,0,5) = )1-21-5

( (0,5)2(0,5)

5-2

=0,125

Pada sebaran binomial negatip yang bersifat khusus

dimana k=1 maka diperoleh sebaran peluang denagn satu S

didalam sejumlah usaha yang dilakukan.misalkan pada contoh

diatas yaitu pada pemerikasaan kesehatan 5 ekor sapi Bali.

Seandainya 4 ekor sapi yang diperiksa gagal/tidak mau jinak

maka eluang sapi yang kelima mau jinak menjadi b*(x; 1,p)

=pqx-1

untuk x=1,2,3,…. Yang suku-suku ekspansinya

membentuk persamaan yang meningkat secara geometric. Oleh

karena itu sebaran yang demikian disebut sebaran geometric

yang dinotasikan dengan g(x;p). umumnya percobaan ini terus

menerus dilakukan dn baru berhenti setelah

berhasil/sukses,namun saja terus gagal karena peluang

berhasil/sukses akan semakin kecil bila percobaan terus

dilakukan. Mungkin akan lebih besar kemungkinan akan

berhasil jika teknik/cara percobaan yang diruber.

Sebaran geometric terjadi,bila usaha yang saling bebas dan

dilakukan berulang kali sampai mencapai sukses,denganpeluang

sukses p dan peluang gagal q=1-p maka sebaran peluang peubah

acak X yaitu banyaknya yang berakhir sukses yang pertama

adalah :

g(x;p) =pqx-1

; x=1,2,3,………..

180

Contoh

Telah diketahui bahwa peluang untuk mendapatkan parasit

cacing tertetu pada jantung seekor penyu adalah 0,30 jika

seorang dokter hewan memeriksa jantung penyu ditempat

pemotongan penyu dan dokter hewan tersebut mempunyai

keyakinan jik apeluang untuk mendapatkan parasit cacing

tersebut pada jantung penyu ≤0,01 maka penyu-penyu yang

dipotong ditempat pemotongan tersebut semuanya bebas dari

parasit cacing tersebut.

Berapa ekor penyu paling sedikit harus diperiksa untuk

meyakinkan bahwa penyu-penyu di rumah potobf tersebut bebas

dari parasit pad jantungnya.

Jawab

Dengan menggunakan sebaran peluang geometric p=0,30

dan q =1-0,30 =0,70 maka

Gg(x;p) =pqx-1

0,001= (0,3)(0,7)x-1

Log0,01 = log[(0,3) (0,7)x-1

]

Log 0,01=Log0,3 + (x-1)Log 0,7

-2 =-0,523 +(x-1)-0,155

-2= -0,523-0,155x + 0,155

0,155x=1,632

X=10,5

181

Karena dokter hewan tersebut baru yakin jika peluangnya

≤0,01 maka diperiksa minimal 11 ekor dank e 11 ekor yang diperiksa menunjukkan negatip/tidak ada cacing pada

jantungnya.

6.6 Rangkuman

Peubah acak adalah suatu fungsi bernilai real yang

harganya ditentukan oleh setiap anggota dalam ruang sampel.

Dmana peubah acak diskret adalah peubah acak yang

didefinisikan pada ruang sampel yang mengandung titik sampel

berhingga banyaknya. Sedangkan Peubah acak kontinu adalah

peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang

mengandung titik sampel tak berhingga banyaknya dan sama

banyaknya dengan titik pada sepotong garis. Jika distribusi

peluang f(x,y), peubah acak X dan Y diketahui, maka distribusi

peluang X dan Y sendiri adalah :

Untuk hal diskret g(x) = y x

yxfyhyxf ),()();,(

Untuk hal kontinu g(x) = dxyxfyhdyyxf ),()(;),(

g(x) dan h(y), masing-masing didefinisikan sebagai

distribusi marginal X dan Y.

LATIHAN

1. Untuk memeriksa kepalsuan susu serbuk jenis tertentu yang

beredar di kota denpasar,maka diperiksa 10 sampel took penjual

susu serbuk secara acak dan sample yang diambil berturut-turut

182

diberikan kode 1,2,3,4,5,6,7,8,9 dan 10 dan seluruh sample

disimpan dlam kotak

a. jika pemeriksa mengambil satu sample secara acak berapa

peluang bahwa yang terambil adalah sample yang kode 4

b. jika ada dua kemungkinan yang sma yaitu palsu dan tidak

berapa peluang semua sample yang diperiksa tidak ada

yang palsu

2. Berdasrkan hasil pemeriksaan pravalensi infestasi cacing

Ascaridia galli pada tinja itik Bali jantan adalah 22 %. Bila

diperiksa 15 ekor itik jantan hitunglah :

a. paling sedikit 9 ekor didapatkan cacing tersebut.

b. antara 2 sampai 6 ekor didapatkan cacing tersebut

c. tepat 5 ekor ditemukan cacing tersebut

d. bila anda yakin pasti salah satu itik yang diperiksa atau

minimal satu ekor yang diperiksa pada tinjanya terdapat

cacing tersebut, bila peluang ditemukannya 0,99 berapa

ekor minimal itik Bali tinjanya harus diperiksa

3. Dua belas butir telur ayam konsumsi yang masing-masing 2,4 dan

6 butir diberi zat pengawet A,B dan C dan kemudian disimpan

pada suhu 37 C.jik a telur yang diambil seua diberikat pengawet

B

4. Disuatu rumah pemotongan hewan (RPH) dalam jangka waktu

satu tahun yang rata-rata memotong sapi betina 50 ekor per hari

hanya ada 2 ekor sapi betina bunting yang dipotong berapa

peluang dalam jangka waktu satu tahun.

183

a. kurang dari 2 ekor sapi betina bunting

b. antar 1-3 ekor sapi betina bunting yang dipotong

c. tidak ada sapi betina bunting yang dipotong.

5. Untuk membuktikan suatu obat yang baru ditemukan dapat

menyembuhkan suatu penyakit tertentu pada ternak kambing

kacang dalam jangka waktu 3 hari maka obat tersebut

disuntikkan pada beberapa ekor kambing penderita.

a. berapa peluang kambing yang ke 7 diobati merupakan

sembuh yang ke 3 kalinya dalam jangka waktu 3 hari

b. bila pemakai obat tersebut baru yakin obat itu dapat

diandalkan jiak semua ternak diobatiberturut-turut sembuh

peluangnya lebih kecil daro 0,01 berapa ekor ternak

penderita menimal diobati berturut-turut sembuh.

6. Daging babi yang dipasarkan disekitar kota denpasar disinyalir 20

% tercemar bakteri Salmonella. Untuk yakin 99% bahwa daging

babi yang dijual di suatu kias daging bebas dari bakteri

salmonella berapa paling sedikit jumlah sample daging yang

harus diperiksa

DAFTAR PUSTAKA

1. Ronald E. Walpode, Ilmu Peluang dan Statistika Untuk Insinyur

dan Ilmuwan, Penerbit ITB, 1995

2. Jay L.Devore, Probability & Statistics for Engineering and the

Sciences, Wadsworth,Inc,1982

184

3. Bethea , Robert M. , Statistical Methods for Engineers and

Scientists, Marcel Dekker,Inc, 1985.

4. Ronald E. Walpole, Pengantar Statistika, Edisi Terjemahan, PT.

Gramedia, Jakarta, 1992.

5. Anto Dayan, Pengantar Metode Statistik, Jilid 1&2, LP3S,

Jakarta, 1976

6. https://syahrialidroes.files.wordpress.com/2009/.../vi-distribusi-

peluang3....

185

BAB VII

SEBARAN NORMAL

186

BAB VII

SEBARAN NORMAL


1. Mahasiswa mampu memahami konsep distribusi normal

dalam pengukuran.

2. Mahasiswa paham akan penerapan metode distribusi

normal yang benar saat melakukan proses pengukuran.


1. Mahasiswa memahami dan mampu mengimplementasikan

metode distribusi normal hasil pengukuran dengan benar

2. Mahasiswa mampu memahami kebenaran teoritis untuk

ide-ide statistik dari berbagai bukti beberapa hasil

penelitian yang terkait dengan pengembangan aplikasi.

7.1 Kurva Normal

Peubah-peubah yang menggunakan skala rasional seperti

pengukuran berat,panjang,volume,waktu dn sebagainyabiasanya

mengikuti sebaran peluang kontinu. Salah satu sebaran peluang

kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah

sebaran normal. Grafiknya disebut kurva normal berbentuk

lonceng atau genta seperti gambar dibawah ini :

187

Gambar 7.1 kurva normal

Pada distribusi normal (Distribusi Gauss) merupakan distribusi

probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi

statistic dalam penerapan pemodelan untuk data riil diberbagai

bidang antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat, tinggi

badan manusia, hewan dll). Adapun kesalahan-kesalahan

pengukuran dalam eksperimen ilmiah pengukuran-pengukuran

intelejensia dan perilaku, dimana nilai skor berbagai pengujian

dan berbagai ukuran dan indikator ekonomi sebagai berikut:

Distribusi normal terjadi secara alamiah. Seperti diuraikan

sebelumnya banyak peristiwa di dunia nyata yang

terdistribusi secara normal.

Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara

normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi

suatu distribusi variabel acak yang normal.

Ada beberapa hasil dan teknik analisis yang berguna

dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan

benar jika model distribusinya berupa distribusi normal

188

Pada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan

distribusi normal pada populasinya Namun distribusi rata-

rata sampel yang diambil secara random dari populasi

tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Pada tahun 1733 De Moive menemukan persamaan

matematika kurva normal yang menjadi dasar bayak teori

statistika induktif. Sebaran normal disebut juga sebaran Gaus

untuk menghormati Gauss (1777-1855) yang juga menemukan

persamaan waktu menghitung kesalahan penelitian (galat

penelitian)dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai

bahan yang sama

Suatu peubah acak X yang sebarannya berbentuk Genta

seperti gambar diats disebut peubah acak normak. Persamaan

matematik sebaran peluang peubah acak normal kontinu

tergantung pada dua parameter yaitu dan α, yang biasa disebut rata-rata hitung dan simpangan baku jadi fungsi pada X biasanya

dinotasikan dengan n(x ,α) persamaan μ

Nn(x; ,α) = 1___ e –(1/2)[(x- )/α] 2

√ 2πα

Disini – ~<x<+~ dengan π =3,1415λ… dan e=2,71828……. Secara ringkas sebaran peluang peubah acak normal sering ditulis X ~N( x,αx) dan dibaca peubah X menyebar normal dengan nilai tengah x dan simpangan baku αx.

Bila danα diketahui maka seluruh kurva normal diketahui sebagai contoh bila =60 dan α=8 maka ordinat n(xμ 6o,8) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan

kurvanya dapat digambar.

189

Bila nilai –nilai dan α tertentu maka akan menghasilkan kurva dengan gambar tertentu pula. Coba perhatikan gambar

dibawah ini

Gambar 7.1 Kurva Normal

Gambar kurva A dan B memiliki nilai tengah (rata0rata

hitung) yang sama,tetapi simpangan baku yang berbeda.

Sedangkan kurva B dan C memiliki nilai tengan yang berbeda

tetapi simpangan bakunya sama. Kurva A dan C memiliki nilai

tengan dan simpangan baku yang berbeda.

Dengan kurva serta memeriksa turunan pertama dan kedua

dari nilai n(x ,α) dapat diperoleh lima sifat kurva normal sebagai berikut :

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan

maksimum kurva, terdapat pada x¯ = .

2. Kurva staangkup terhadap garis tegak yang nilainya sma

dengan

3. Kurva mempunyai titik belok pada x= +α dan x= -α cembung ke atas bila -α < x< +α dan cembung ke bawah untuk harga x lainnya.

190

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar

(sumbu x) bila harga x bergerak menjauhi baik dari ke kiri maupun ke kanan.

5. Seluruh luas di bawah kurva dan diatas sumbu datar

(sumbu X )sama dengan 1,0 (100%)

7.2 Luas Daerah Di bawah Kurva Normal

Kurva setiap semaran peluang atau fungsi padat dibuat

sedemikian rupa sehingga luas kurva diantara kedua koordinat

x= x1 dan x= x2 sama dengan harga peubah acak X mendapat

harga antar x= x1 dan x=x2. jadi untuk kurva normal seperti bi

bawah ini:

Gambar 7.2 Kurva Normal f(x1<x<x2) = luas

daerah yang diarsir

Jadi bagi suatu fungsi padat tertentu yang memiliki danα lain akan menghasilkan peluang P (x1<x<x2) yang berbeda pula

besarnya, walaupun letak x1 dan x2 tetap. Sehingga setiap kali

ingin menghitung besarnya peluang tersebut harus mencari

interval terhadap bentuk fungsi f(x) = n(x ,α) itu ini merupakan pekerjaan merepatkan dan kurang efisien. Untuk

mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat

191

normal, maka dibuat tabel luas kurva normal,sehingga

memudahkan penggunaannya. Akan tetapi mungkin membuat

tabel yang berlainan untuk setiap harga dan α . Untuk itu peubah acak normal dapat ditransformasikan menjadi himpunan

pengamatan baru yang dikenal peubah acak normal Z.

Sebaran normal Z disebut pula sebaran normal baku yang

memiliki nilai tengah z = 0 dan simpangan baku αz = 1 jadi biasanya ditulis Z ~ N(0,1) dan dirumuskan dengan :

x _____x - x

Z

Bila diketahui bahwa peubah acak X ~ N( , α) maka semua nilai Xi yang berada pada selang (x1, x2) dapat

ditransformasikan menjadi peubah baku Z yang berada dalam

selang Z1 =( x1 – )/α dan Z2 = (x2 – )/α .. sehingga P(x1 <x<x2)

dapat dicari dengan cepat menggunakan P( Z1<Z<Z2)

berdasarkan nilai tabel (lihat tabel Z pada lampiran)

Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak

yang mengikut sebuah distribusi normal, maka

68,26% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 1 x dari

x ,


x ,


x

192

7.3 Gambar hubungan antara luasan dan N(,2)

Contoh

Sapi bali jantan yang berumur 2 tahun rata-rata beratnya

250 kg dan simpangan bakunya 11,05 kg. bila diasumsikan berat

sapi tersebut mengikuti sebaran normal berapa % (peluangnya) :

a. Berat Sapi Bali jantan antara 240-260 kg

b. Berat sapi Bali jantan kurang dari 235 kg

Jawab

Untuk menyelesaikan soal diatas kita transformasikan dulu

nilai-nilai x1 =240, x2=260 dan x3 =235 menjadi Z1, Z2 dan Z3

Z1 = x1 – __ = 240 – 250 = -0.90

α 11,05

193

Z2 = x2 – __ = 260 – 250 = 0.90

α 11,05

Z3 = x3 – __ = 235 – 250 = -1.36

α 11,05

dengan menggunakan tabel Z maka :

a. P(Z1<Z<Z2) = P(-0,90<Z<0,90)

Karena kurva simetris dan luasnya = 1 maka

P(-0,90<Z<0,90) = 1- 2(P(Z<90)

= 1- (0,1841)

= 1- 0,3684 =0,6316

Jadi sekitar 63,16 % sapi Bali jantan yang berumur 2

tahun berat antara 240 -260 kg

b. P(Z<Z3) = P(Z<-1,36) = P(Z>1,36) = 0,0869

Jadi sekitar 8,69 % sapi bali jantan umur 2 tahun beratnta

kurangf 235 kg.

7.3 Pendekatan Normal terhadap Binomial.

Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial secara

langsung dapat diperoleh dari rumus sebaran binomial atau dari

tabel binomial pad alampiran, n cukup kecil (n<25). Bila n besar

atau tak tersedia dalam tabel, maka peluang binomial dapat

dihitung dengan pendekatan sebaran normal.

194

Pada uraian sebelumnya sebaran poisson dapat dipakai

untuk menghampiri peluang binomial, jika n cukup besar dan p

mendekati 0. Sedangkan jika n cukup besar dan p tidak cukup

dekat denagn 0 atau 1 maka sebaran binomial dapat dihampiri

oleh sebaran normal dan hampiran itu sangat baik bila n cukup

besar dan p mendekati 0,50.

Bila X peubah acak binomial dengan nilai tengah = np dan α2

=npq, bila n cukup besar maka betuk limit sebaran

normal baku n(Z;0,1) adalah

x- np

Z = √ npq

Untuk melihat pendekatan normal terhadap sebaran

binomial perhatikan conoth berikut :mula-mula lukislah

histogram b(x; 16, 0,5) dan kemudian letakkan kurva normal

dengan rata-rata dan ragam yang sama dengan peubah binomial

X sehingga keduanya saling tumpang tindih. Untuk itu lukislah

kurva normal denagn = np = 16 (0,5) =8,0 dan α2 =npq

=16(0,5)(0,5)=4,0

Histogram b(x;16,0,5) dan kurva normal padanannya yang

seluruhnya telah tertentu oleh rata-rata dan ragamnya seperti

gambar dibawah ini.

Gambar 7.3 Hampiran Kurva Normal terhadap b(x;16,0,5)

195

Tingkat akurasi (ketepatan) pendekatan tergantung dari

sejauh mana kurva normal yang dihasilkan dapat mendekati

histogram dari binomial.

Dari contoh diatas kita dapat menghitung peluang yang

tepat bahwa X berharga 4 sama dengan luas persegi panjang

dengan yang titik tenganya x= 4 yaitu b(4;16,0,5) = 0,0278 luas

ini dengan pendekatan normal identik dengan luas daerah

dibawah kurva normal antar x 1 =3,5 dan x 2 =4,5.jiak diubah

kedalam sebaran normal Z maka

Z1= x1 – = 3,5 – 8,0 = -2,25

α √4

Z1= x2 – = 4,5 – 8,0 = -1,75

α √4

jadi

P (-2,25 <Z<-1,75) = P(Z.1,75) – P (Z>2,25)

= 0,0401 – 0,0122

= 0,0279

Jadi nilainya sama bila kita ambil 3 angka dibelakang

koma yaitu 0,028.

Contoh

Berdasarkan pengalaman 30 % dari itik Bali yang dibeli

pada peternak adalah invertil (tidak bisa menetas) jika seorang

pengusaha peternakan menetaskan 250 butir telur berpa peluang

bahwa yang invertil kurang dari 60 butir.

196

Jawab

Banyaknya telur yang invertil mengikuti sebaran binomial

dengan parameter n =250 dan p =0,30 karena ukuran sample

cukup besar an p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1 maka dapat

digunakan pendekatan sebaran normal baku yaitu

= np = 250 (0,30)=75

α2 =npq = 250(0,30)(0,70) =52,5 dan α =√52,5 =7,25

untuk mendapatkan peluany yang ditanyakan harus dicari luas

daerahnya yaitu :

Z1 = x1 – = 60 – 75 = -2,07

α 7,25

jadi P(x<60) = P (Z< -2,07) = P(Z.2,07) = 0,0192

Contoh

1. Diketahui data berdistribusi normal dengan

mean = 55 dan deviasi standar = 15

a) P(55≤x≤75) =

=

= P(0≤Z≤1,33)

= 0,4082 (Tabel Z)

Atau Tabel Z A = 0,4082

197

7.2 P(60≤x≤80)

= P(0,33≤Z≤1,67)

= P(0≤Z≤1,67) – P(0≤Z≤0,33)

= 0,4525 – 0,1293 = 0,3232

Z1 = = 0,33 B = 0,1293

Z2 = = 1,67 A = 0,4525

C = A – B = 0,3232

198

7.3 P(40≤x≤60)= A + B

= P(-1,00≤Z≤0,33)

= P(-1,00≤Z≤0) + P(0≤Z≤0,33)

= 0,3412 + 0,1293

= 0,4705

Atau : Z1 = = -1,00

A = 0,3412

Z2 = = 0,33

B = 0,1293

199

7.4 P(x ≤ 40) = 0,5 – A

= 0,5 – 0,3412

= 0,1588

7.5 P(x ≥ 85)

e. P(x ≤ 85) = 0,5 + A

= 0,5 + 0,4772

= 0,9772

7.4 Rangkuman

Distribusi Normal adalah model distribusi kontinyu yang

paling penting dalam teori probabilitas. Distribusi Normal

diterapkan dalam berbagai permasalahan. Distribusi normal

memiliki kurva berbentuk lonceng yang simetris. Karena

200

distribusi frekuensi probabilitas disusun berdasarkan teori

peluang maka pengetahuan tentang distribusi teoritis menjadi

sangat penting untuk membuat estimasi atau meramalkan

variasi-variasi yang mungkin dapat timbul pada suatu keadaan

yang tidak pasti. Dua parameter yang menentukan distribusi

normal adalah rataan / ekspektasi ( ) dan standar deviasi (σ).

LATIHAN

1. Diketahui peubah acak X yang menyebar normal dengan rata-

rata 16 dan simpangan baku 2,5 hitunglah :

a. P(X<5)

b. Nilai k sehigga P(x<k) = 0,2578

c. P(17<x<21)

d. Nilai k sehingga P(x>k) =0,2578

2. Berat badan sapi Bali jantan 2 tahun mengikuti sebran normal

dengan rata-rata 250 kg simpangan baku 8,30kg. bila sebuah

rumah pemotongan hewan memotong 200 ekor sapi Bali jantan

umur 2 tahun berapa ekor dapat diharapkan.

a. Beratnya kurang dari 240 kg

b. Beratnya antara 235 dan 265 kg

c. Beratnya lebih dari 270 kg

201

3. Hitunglah galat (kesalahan) dalam pengampiran dengan kurva

normal sebaran binomial dibawah ini

a. 10

Σ b( x 10, 0,3)

x = 0

b. 20

Σ b( x 20, 0,3)

x = 0

c. 20

Σ b( x 20, 0,5)

x = 9

d. 20

Σ b( x 30, 0,3)

x = 0

e. 10

Σ b( x 30, 0,5)

x = 0

4. Suatu perusahaan farmasimengatakan bahwa suatu jenis obat

tertentu dapat menyembuhkan rata-rata 80 % penyakit kulit pada

kelinci. Untuk menguji kebenaran maka obat tersebut dicoakan

pada 100 ekor kelinci penderita :

202

a. berapa peluang 75 ekor ikelinci atau lebih dapat

disembuhkan.

b. Bila peluang kesembuhan 0,95 diputuskan obat tersebut

masih bisa diterima leh pemakai obat, berapa menimal

jimlah ternak yang diharapkan sembuh.

c. Bila ingin mengurangi jumlah kelinci penderita yang

dipakai mencoba obat tersebut, berapa jumlah minimal

kelinci penderita yang diperlukan jika peluang semua

ternak yang diinginkan sembuh maksimal 0,01.

DAFTAR PUSTAKA

1. Walpole E. Ronald, Myers H. Ronald, Ilmu Peluang dan

Satatistika Untuk Insinyur dan Ilmuwan (terjemahan), edisi 2,

ITB, 1986.

2. Denis Anderson, Sweeney J., Williams A. Thomas, Statistics for

Businees and Economics, West Publishing Company, USA,

1987.

3. Boediono, Koster Wayan, Teori dan Aplikasi Statistika dan

Probabilitas, Rosdakarya, Bandung, 2001.

203

BAB VIII

PENGEMBANGAN MODEL

204

BAB VIII

PENGEMBANGAN MODEL


1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian dasar dari

model pengembangan simulasi sebagai suatu pendekatan

dalam kasus

2. Mahasiswa mengetahui inisialisasi parameter, waktu dan

penerapan berbagai jenis pengembangan model


1. Mahasiswa mampu mengikhtisarkan pentingnya model

simulasi dalam berbagai kasus

2. Mahasiswa mampu menggunakan simulasi dalam

penerapan program simulator

3. Mahasiswa mampu membandingkan sistem dan model

dalam setiap kasus, serta menyimpulkannya untuk

kebutuhan simulasi.

8.1 Pemodelan Simulasi Kejadian Diskrit Dinamis

Semua aspek pemodelan yang sudah dipelajari

sebelumnya akan digunakan dalam bagian ini:formulasi masalah

yang didasarkan pada sistem nyata dan sampling dari distribusi

probabilitas variabel model. Simulasi kejadian diskrit

memodelkan sistem yang berubah sesuai waktu melalui suatu

205

representasi dimana variabel status berubah secara langsung

pada titik terpisah dalam waktu. Titik terpisah dalam waktu

adalah keadaan dimana suatu kejadian terjadi. Kejadian

didefinisikan sebagai kejadian langsung yang dapat mengubah

status sistem. Meskipun simulasi kejadian diskrit dapat

dilakukan secara manual, jumlah data yang harus disimpan dan

dimanipulasi dalam dunia nyata mengharuskan penggunaan

komputer digital.

Pada simulasi jarum Buffon adalah simulasi kejadian-

diskrit statis dalam artian bahwa simulasi itu terdiri dari

serangkaian kejadian acak dimana setiap kejadian tidak

dipengaruhi oleh kejadian sebelumnya. Waktu bukan bagian

dari simulasi. Menjatuhkan jarum dilakukan berulang-ulang,

memberikan perkiraan yang lebih baik akan probabilitas jarum

menyentuh atau memotong garis, tapi simulasi akan tetap sama

jika ke 3000 jarum dijatuhkan secara bersama-sama atau

dijatuhkan satu demi satu sebanyak 3000 kali. Lebih sering,

simulasi bersifat dinamis, dimana interaksi antara kejadian acak

dan waktu adalah bagian dari simulasi. Karena sifat dinamis ini,

kita harus mengikuti nilai waktu tersimulasi selama simulasi

dijalankan, dan kita juga perlu mekanisme mengembangkan

waktu tersimulasi dari satu nilai ke nilai lainnya. Kita sebut

variabel model simulasi yang memberikan nilai waktu

tersimulasi saat ini dengan simulation clock. Unit waktu

simulation clock tidak pernah dinyatakan secara eksplisit ketika

pemrograman model dibuat dengan bahasa pemrograman umum

seperti FORTRAN, Pascal atau C, dan diasumsikan dalam unit

yang sama dengan parameter input. Juga, secara umum tidak

ada hubungan antara waktu tersimulasi dengan waktu

menjalankan simulasi dalam komputer.

206

Dua pendekatan prinsipal disarankan untuk menjalankan

simulation clock yaitu next-event time advance dan fixed-

increment time advance. Pendekatan pertama digunakan hampir

semua bahasa simulasi dan bahasa umum (general purpose

language), karena itu kita akan menggunakan pendekatan ini.

Dalam next-event time advance simulation clock diinisiasi

dengan 0 dan waktu terjadinya kejadian di masa mendatang

ditentukan. Simulation clock kemudian bertambah (maju)

dengan waktu terjadinya kejadian berikutnya yang pertama,

dimana pada suatu titik status sistem diperbaharui setelah

terjadinya suatu kejadian, dan pengetahuan kita akan waktu

kejadian berikutnya juga diperbaiki. Proses penambahan

simulation clock berlanjut terus dari satu kejadian ke kejadian

lainnya sampai kondisi penghentian yang sudah didefinisikan

dipenuhi. Karena semua status berubah hanya pada waktu

kejadian model simulasi kejadian-diskrit, periode tidak aktif

diloncat dari waktu kejadian ke waktu kejadian. Harus

diperhatikan bahwa loncatan berurutan simulation clock secara

umum bervariasi dalam ukuran (tidak sama) .

8.2 Teknik Representasi kejadian sistem

Model simulasi kejadian-diskrit dapat digambarkan

sebagai sebuah model interaksi kejadian diskrit yang terjadi

dalam sistem dan variabel status sistem. Interaksi ini dapat

ditunjukkan dengan graf dimana simpul (verteks) menunjukkan

kejadian dan cabang berarah (ruas) menunjukkan penyebab

langsung terjadinya suatu kejadian hanya jika kondisi dipenuhi.

207

Kejadian,

penghubung tidak terkondisi

penghubung terkondisi

Jika ruas yang menghubungkan dua kejadian adalah garis

terputus, itu menunjukkan bahwa terjadinya satu kejadian bisa

menyebabkan pembatalan kejadian lainnya. Jika ada penundaan

antara dua kejadian terhubung, penundaan ditunjukkan pada

ruas di antara kedua kejadian. Jika terjadinya suatu kejadian

bersifat kondisional, referensi terhadap kejadian penting

ditunjukkan ruas penghubung. Contoh :

Pada diagram di atas menunjukkan bahwa kejadian i akan

mengarah ke kejadian j setelah penundaan selama t dan kondisi

1 terpenuhi.

Sebagai contoh sistem kejadian-diskrit, perhatikan

sekumpulan mesin yang ditangani sekelompok operator. Setiap

mesin rusak perlu diperbaiki oleh operator. Setelah diperbaiki,

mesin akan berfungsi kembali. Variabel status sistem adalah

sebagai berikut:

i j

1

t

208

M(i) status mesin i

0 = menunggu perbaikan

1 = sedang diperbaiki

2 = beroperasi

O(j) status operator

0 = menganggur

1 = sibuk

Kejadian diskrit yang terjadi adalah:

1(i) mesin i menunggu diperbaiki

M(i) diatur jadi 0

2(ij) operator j mulai memperbaiki mesin i

M(i) bernilai 1

O(j) bernilai 1

3(ij) operator j menyelesaikan perbaikan mesin i

O(j) bernilai 0

4(i) mesin i mulai beroperasi

M(i) bernilai 2

Kondisinya adalah:

C(1) beberapa O(j) = 0 (ada operator menganggur)

C(2) beberapa M(i) = 0 (ada mesin sedang mengunggu

209

diperbaiki)

Penundaan kejadian :

T(r) waktu mesin dijalankan di antara panggilan perbaikan

T(s) waktu yang dibutuhkan untuk memperbaiki mesin

Graf kejadian sistem tersebut adalah:

Gambar 8.1. Graf kejadian sistem perbaikan mesin

8.3 Simulasi Monte Carlo

Sebelum mengembangkan model simulasi kompleks, kita

bicarakan dulu list processing dalam simulasi. Untuk model

simulasi sederhana, kita dapat menemukan tidak ada list atau

maksimum hanya satu list record dengan 1 atribut. Tapi untuk

model simulasi kompleks kita harus berhadapan dengan

beberapa list yang memuat banyak records juga dengan banyak

atribut. Sering pemrosesan FIFO (First In First Out) tidak

efisien. Jika jumlah besar informasi ini tidak disimpan dan

dimanipulasi secara efisien, eksekusi model akan membutuhkan

waktu yang lama dan memori penyimpanan yang besar akan

mengakibatkan model simulasi tidak layak.

1(i) 2(i,j)

c(1)

4(i) 3(i,j)

t(r) c(2)

t(s)

210

Ada dua cara penyimpanan list records dalam komputer

yaitu alokasi sekuensial dan terhubung (linked).

Pendekatan alokasi-sekuensial meletakkan records

berdekatan secara fisik dalam lokasi penyimpanan, satu demi

satu record sesuai dengan hubungannya. Dalam pendekatan

alokasi penyimpanan terhubung, setiap record memuat atribut

dan pointer (link). Pointer menunjukkan relasi logik dari satu

record ke record lainnya dalam list. Sehingga record dalam list

yang saling berhubungan tidak harus diletakkan berdekatan.

Pendekatan kedua ini (alokasi penyimpanan terhubung) lebih

disukai dalam pemodelan simulasi karena memiliki beberapa

keuntungan, yaitu:

1. waktu pemrosesan yang dibutuhkan untuk jenis list

tertentu dapat dikurangi secara signifikan.

2. pemrosesan list-kejadian untuk model simulasi dimana

daftar (list) kejadian memuat sejumlah besar record

kejadian secara simultan dapat dipercepat

3. untuk beberapa model simulasi, kapasitas memori

komputer yang dibutuhkan untuk menyimpan bisa lebih

kecil.

4. menyediakan kerangka umum yang memungkinkan

menyimpan dan memanipulasi banyak daftar secara

simultan dengan mudah, dimana records dalam daftar

berbeda dapat diproses dengan cara berbeda.

211

8.4 Sistem Komputer Time-Shared

Perhatikan sistem komputer time-shared, dimana pemakai

dihubungkan ke sistem melalui jaringan telepon. Hanya ada

sedikit jumlah port untuk koneksi seperti ini, dan ketika semua

port digunakan ketika panggilan masuk, maka pengguna akan

menerima signal sibuk dan harus mencoba membuat koneksi di

lain waktu. Sekali koneksi tersambung, port tidak akan dapat

digunakan lagi oleh pemakai lain sampai pemakai saat itu

memutus hubungan dengan menutup telepon. Skematik sistem

ditunjukkan oleh Gambar 1.

Gambar 8.2. Sistem komputer time-shared

Dengan maksud menyederhanakan permasalahan, kita

akan mengasumsikan bahwa pemakai berusaha menghubungi

komputer pada waktu acak sepanjang hari dengan laju rata-rata

212

panggilan 35 per jam. Data historis rata-rata lamanya waktu,

termasuk perhitungan dan bukan perhitungan, 25 menit.

Meskipun saat ini ada 14 port, tidak jarang bagi pemakai

menemukan bahwa semua port sibuk saat mereka melakukan

pemanggilan. Permintaan memperbesar memori CPU dan

menambah jumlah port dan kecepatan transmisi sudah sering

diajukan untuk meningkatkan level pelayanan.

Port relatif mahal karena biaya perangkat keras dan biaya

pelayanan telepon per bulan. Harga perangkat keras untuk

setiap port sekitar Rp10,000,000,- dan biaya pelayanan telepon

serta perawatan setiap port per bulan sebesar Rp250,000,-.

Sistem komputer hanya dapat mendukung 32 port dan kapasitas

perhitungan sistem terbatas.

Dipercaya bahwa dengan meningkatkan laju transmisi

antara sistem komputer dengan pemakai yang memanggil dari

120 kpd (karakter per detik) menjadi 960 kpd, lama sesi dapat

dikurangi. Diyakini bahwa lama sesi rata-rata dapat dikurangi

tiga menit menggunakan laju transmisi lebih tinggi.

Peningkatan dari 120 ke 960 kpd membutuhkan biaya

Rp4,000,000,- untuk setiap 100 terminal yang dapat

dikoneksikan ke sistem.

Studi pendahuluan menunjukkan bahwa kinerja sistem

akan diperbaiki jika memori CPU diperbesar. Pengaruh

peningkatan seperti itu akan menjadi sesi paling sensitif dimana

pemakai akan terhubung ke sistem dalam jangka waktu singkat.

Memori CPU saat ini 1MB dan dapat diperbesar ke 2 MB atau 3

MB. Tabel 1 menunjukkan biaya dan pengurangan waktu

koneksi untuk memori 1MB, 2 MB dan 3 MB.

Dengan maksud mengevaluasi kegunaan penambahan

port, peningkatan kecepatan transmisi, atau menambah memori,

213

disarankan untuk mempelajari kinerja sistem dan biaya yang

berhubungan dengan bantuan model analitik, model simulasi

dan keduanya.

Tabel 8.1. Biaya dan pengurangan waktu koneksi dengan

beberapa alternatif memori

Waktu perhitungan

rata-rata

Biaya (dolar) peningkatan

10

8

7

0

20,000

30,000

Konfigurasi saat ini

Memori 1M-Byte

Memori 2M-byte

8.4.1 Formulasi Masalah

Untuk memformulasikan masalah, kita perlu

menjawab pertanyaan :

1. Apa yang kita harapkan untuk dipelajari dengan

membangun model simulasi kasus ini?

2. Informasi apa yang kita inginkan disediakan

simulasi?

Pertanyaan-pertanyaan ini bisa dikembangkan lagi

dan tidak selalu diungkapkan secara eksplisit.

214

Kita dapat menggunakan model simulasi untuk

memprediksi kinerja sistem sebagai parameter perubahan

sistem atau lebih disukai, model simulasi dapat digunakan

untuk mengarahkan pengoptimuman beberapa tujuan yang

dibatasi oleh sumber daya terbatas.

Untuk kasus di atas, dengan mencoba konfigurasi

sistem berbeda, kita dapat mengamati ukuran kinerja

sistem. Pertanyaan yang akan dijawab bisa dalam bentuk:

1. Berapa probabilitas penghubungan ke sistem sebagai

fungsi jumlah koneksi terminal (port)? atau

2. Berapa jumlah rata-rata port sibuk, sebagai fungsi

memori, koneksi terminal dan kecepatan transmisi?

atau

3. berapa level kepuasan pemakai sebagai fungsi

peningkatan sumber daya?

Berbagai pertanyaan lain dapat dibentuk, setiap

pertanyaan membantu analis untuk fokus pada tujuan

pemodelan simulasi.

Alternatifnya, kita dapat menyatakan fungsi objektif

yang akan dioptimalkan bersamaan dengan pembatas yang

harus dipenuhi untuk mendapatkan solusi layak. Sebagai

contoh, kita mungkin memilih dari salah bentuk di bawah

ini untuk tujuan dan pembatas :

maksimumkan (kepuasan pengguna)

terhadap : biaya total pengeluaran < C0

atau

215

minimumkan (total pengeluaran)

terhadap : kepuasan pemakai > S0

atau

minimumkan (lama rat-rata sesi per pemakai)

terhadap : biaya total < C0

atau

minimumkan (total biaya)

termasuk biaya pemakai dan biaya sumber daya

Beberapa dari tujuan dan pembatas ini perlu

diklarifikasi, yang merupakan langkah penting dalam

formulasi masalah. Tanpa mengidentifikasi dengan jelas

dan lebih dini pertanyaan yang harus dijawab dari model

simulasi, proses pemodelan simulasi akan berakhir dengan

sendirinya dan analisis akan sangat mudah kehilangan

wawasan tujuan akhir dari pemodelan. Detil dan level

kompleksitas model harus merefleksikan penggunaan

akhir model. Model tidak perlu lebih kompleks atau lebih

detil dari pertanyaan yang harus dijawab yang dibuat di

awal analisis.

Karena tujuan pengembangan model adalah untuk

mendukung pengambilan keputusan, maka selanjutnya

kita harus mempertimbangkan kriteria pengambilan

keputusan termasuk tujuan dan kendala yang dihadapi.

Berbagai kriteria keputusan ada, tapi jika kita membatasi

pilihan pada pengukuran biaya dan level pelayanan, kita

dapat mempertimbangkan kriteria seperti berikut:

216

1. minimumkan TC

2. minimumkan TC dengan kendala PK < P0

3. minimumkan PK dengan kendala TC < TC0

4. minimumkan biaya total sistem (termasuk nilai

waktu pemakai, biaya perangkat keras dan telepon).

Kriteria terakhir ini adalah yang umum, tapi kita

akan menghadapi model yang lebih kompleks.

Kompleksitasnya ada karena kita harus mengukur nilai

waktu pemakai. Untuk selanjutnya kita akan

menggunakan kriteria keputusan no. 2. Nilai P0 dibuat

0.02 dan level pelayanan paling tidak 0.98.

8.4.2 Model Analitik

Sebelum mengembangkan model simulasi, pertama-

tama harus selalu dipertimbangkan apakah model analitik

dapat digunakan. Pengembangan dan penggunaan model

analitik lebih murah dibandingkan model simulasi, dan

bahkan jika model analitik sempurna tidak dapat

dikembangkan, model analitik pendekatan akan sangat

berguna untuk menganalisis sistem.

Model analitik untuk kasus komputer time-shared di

atas dapat dikembangkan dengan membuat beberapa

asumsi terlebih dahulu :

Waktu koneksi berdistribusi secara eksponensial

dengan rata-rata konstan.

217

Waktu antara dua panggilan berdistribusi

eksponensial dengan rata-rata konstan.

Pengaruh jumlah awal pemakai yang terhubung ke

sistem pada permulaan hari menghilang dengan

cepat

Distribusi waktu di antara panggilan tidak berubah

(paling tidak secara mendasar) ketika semua port

terpakai.

Misalkan : Pi = peluang secara tepat sejumlah i

pemakai terhubung, i = 0, 1, ..., K

= 1/waktu rata-rata antara kedatangan

= 1/rata-rata waktu terhubung

maka,

1

00

!

iP

K

i

i

(1) dan

i

i

P

P

0

1

(2) 1 i K

Dalam model ini, PK adalah probabilitas bahwa

semua port digunakan atau probabilitas bahwa pengguna

yang mau masuk ke sistem tidak dapat terhubung.

218

Menggabungkan kedua persamaan di atas akan diperoleh:

i

K

P

K

i

i

K

K

0

!

(3)

ada 108 pilihan alternatif berbeda (2 kecepatan transmisi,

3 ukuran memori dan sampai 18 ports). Dari sudut

pandang model antrian, setiap alternatif pilihan dapat

direpresentasikan dengan waktu koneksi rata-rata (1

) dan

jumlah port K. menggunakan persamaan (3), level

pelayanan PC dapat dihitung untuk setiap alternatif. Tabel

1 menunjukkan waktu terhubung rata-rata untuk himpunan

bagian pilihan kecepatan transmisi dan 3 memori.

Tabel 1. Waktu terhubung rata-rata

Diagram Model Simulasi (graf) kejadian untuk

sistem di atas adalah:

219

Gambar 8.3 Graf kejadian untuk sistem komputer time-

shared

Variabel status :

N(t) = jumlah port sibuk

Kejadian :

1. pemakai berusaha koneksi ke sistem

2. pemakai terhubung dan sesi mulai

3. pemakai menyudahi sesi

Kondisi :

C(1) : n(t) < K

Penundaan :

t(a) = waktu sampai pemakai berikutnya berusaha masuk

t(s) = jangka waktu pemakai terhubung dengan sistem

1 2 c(1) 3

t(a)

t(s)

220

Variabel model :

Variabel Eksogenus – tidak dapat dikontrol

Variabel Eksogenus –dapat dikontrol (variabel

keputusan)

Variabel Endogenus – variabel status

Variabel Endogenus – ukuran kinerja

Parameter simulasi

221

Function dan Subroutines

Logika pemrograman menggunakan metode

penjadwalan kejadian waktu berlanjut ditunjukkan

Gambar 8.4.

Gambar 8.4. Logika pemrogaman time-shared

computer

222

8.4.3 Pertimbangan Pemrograman dan Struktur Data

Usaha perhitungan dalam simulasi pada umumnya

melibatkan banyak kejadian, seperti identifikasi kejadian

paling dekat berikutnya dan penjadwalan kejadian

berikutnya. Program simulasi akan jauh lebih efisien jika

kejadian yang dieksekusi diurutkan berdasarkan waktu

kejadian berikutnya, daripada disimpan tidak terurut.

Daripada mencari sekumpulan kejadian berikutnya secara

fisik di dalam komputer, akan lebih baik melakukan

pencarian secara logika. Menggunakan metode penstruktur

data, efisiensi simulasi komputer dapat ditingkatkan secara

signifikan, khususnya saat simulasi mempunyai banyak

kejadian berikutnya dijadwalkan.

8.4.4 Penambahan Waktu dalam Model Simulasi

Penambahan waktu dalam model simulasi harus

diperhatikan. Dua sisi sering harus dihadapi dalam

penambahan waktu mode simulasi. Pertama, dalam

banyak kasus, waktu (T) ditambah dengan selisih waktu

(T+delta) tanpa ada kejadian selama interval waktu (T,

T+delta), menyebabkan pencarian kejadian selama interval

waktu menjadi sia-sia. Kedua, akan terjadi kehilangan

akurasi jika kejadian dimungkinkan terjadi hanya pada

waktu delta dan kelipatannya. Jika delta dinaikkan,

permasalahan yang pertama akan dikurangi tetapi akan

menyebabkan penurunan akurasi. Sebaliknya, ukuran

delta dikurangi. Keakuratan akan lebih baik, tetapi

frekuensi pembaharuan (dan pencarian berurutan kejadian)

meningkat, menyebabkan komputasi model tidak efisien.

223

Metode alternatif untuk memperbaharui waktu (T)

adalah dengan memeriksa semua kejadian di masa

mendatang secara berurut dan memperharui T dengan

waktu kejadian paling dulu terjadi. Dengan melangkah ke

kejadian terjadwal terdekat, baik permasalahan

pembaharuan yang tidak penting dan akurasi dapat

dihilangkan, tapi logika yang agak lebih kompleks.pada

kebanyakan simulasi kejadian-diskrit, pelacakan kejadian

adalah metode yang paling disukai dalam penambahan

waktu dan merupakan metode paling banyak dilakukand

alam bahasa simulasi.

8.5 Aplikasi Pemodelan Simulasi untuk Sistem Antrian

Kesehatan

Pada penelitian Nia pada tahun 2009 melakukan analisa

system antrian kegiatan di Puskesmas Kelurahan Sadang

Serang, puskesmas tersebut melayani pasien dewasa dan anak-

anak. Puskesmas Sadang Serang memiliki fasilitas dokter umum

(untuk pasien dewasa), dokter anak, dokter gigi dan apotek. Jam

operasinya hanya empat jam, yaitu dari jam 08.00 s/d 12.00

WIB. Hal tersebut yang mengakibatkan panjangnya antrian

pasien. Antrian pendaftaran dan dokter umum yang panjang

mengakibatkan banyak pasien di jam tertentu tidak mendapatkan

tempat duduk di ruang tunggu. Mau tidak mau pasien tersebut

harus menunggu, karena kondisi yang tidak sehat harus segera

disembuhkan. Hal tersebut pula mendorong peneliti untuk

memecahkan masalah tersebut. Agar pasien yang datang ke

puskesmas merasa nyaman dan setidaknya dapat menstimulus

pasien agar cepat sembuh dari penyakit yang dideritanya.

224

Adapun masalah yang kami temukan dilapangan adalah

adanya antrian yang panjang pada jam-jam tertentu setiap

fasilitas puskesmas. Tujuan penelitian ini adalah untuk

mengetahui berapa jumlah tempat duduk yang harus tersedia

untuk menampung pasien dewasa dan anak-anak pada jam sibuk

(peak hour) dan menentukan jumlah server yang tepat sehingga

rata-rata waktu menunggu lebih singkat

8.5.1 Kejadian kondisional diskret

Simulasi kejadian diskret (discrete time simulation)

merupakan simulasi dengan perubahan status dari model

simulasi terjadi pada titik-titik waktu yang diskret yang

dipicu oleh kejadian. Dalam simulasi kejadian diskret,

variabel status berubah jika suatu kejadian terjadi.

Sedangkan simulasi kontinyu, variabel status berubah

dengan berubahnya waktu.

Kejadian yang dipicu oleh suatu kondisi tertentu.

Contoh dalam sistem antrian adalah kejadian seorang

pelanggan mulai dilayani (yang dipicu oleh kejadian orang

sebelumnya selesai dilayani).

8.5.2 Pemrosesan Kejadian

Kejadian memicu eksekusi dari logika yang

berkaitan dengan kejadian. Contohnya adalah jika suatu

entitas membebaskan suatu sumberdaya, variabel status

dan statistik diperbarui dan daftar tunggu diperiksa untuk

memeriksa aktivitas apa yang akan diproses berikutnya.

225

Pada sistem nyata, kejadian-kejadian dapat terjadi

bersamaan. Dalam simulasi komputer, hanya ada satu

aktivitas yang diproses pada suatu saat. Diperlukan suatu

metode atau aturan untuk menentukan kejadian yang

terjadi pada saat yang bersamaan.

8.5.3 Kejadian (Event)

Dua kejadian yang mengubah status system adalah

kedatangan (arrival) dan kepergian (departure). Kejadian

kedatangan terjadi jika pelanggan tiba di antrian. Tiap

pemrosesan kedatangan pelanggan mencakup penjadwalan

kedatangan pelanggan berikutnya. Jika pelanggan dilayani

ATM, kepergian dijadwalkan berdasarkan lamanya waktu

pelayanan. Untuk penghentian simulasi disebut kejadian

penghentian (termination). Sedangkan pada deskripsi

sistem dapat digambarkan sebagai berikut :

1. Lokasi puskesmas terlatak di daerang sadang serang.

2. Terdapat fasilitas pelayanan didalamnya,

diantaranya pelayanan dokter umum, dokter anak

dan apotek.

3. Jam pelayanan dibatasi hanya 4 jam, yaitu dari jam

08:00 WIB – 12:00 WIB.

Pada model konseptual untuk penerapan antrian

puskesmas maka digambarkan pemodelannya sebagai

berikut:

226

20 14 13 12 11 1

Kedatangan pasienAntrian Pendaftaran

( FIFO)Layanan

Pendaftaran Kepergian pasien

8 6 5

Antrian Klinik( FIFO) Layanan Klinik

4 3 2

Antrian Apotek( FIFO) Layanan Apotek

10 9 7

Antrian Klinik( FIFO) Layanan Klinik

Gambar 8.5 Model Konseptual

Adapun analisis data input meliputi :

1. Pengujian independensi data, dilakukan dengan

scatter plot, autocorelation plot dan run test

2. Pengujian data mempunyai distribusi identik, yang

dilakukan dengan uji Kruskal Wallis

3. Fitting terhadap distribusi teoritis tertentu, dilakukan

dengan uji Chisquare

Diagram aliran entitas :

Gambar 8.6 Aliran Diagram Entitas

227

Hasil analisis data input dapat dilihat pada Tabel 1.

Urutan kedatangan pasien di puskesmas hingga

meninggalkan apotek dapat dilihat pada Gambar 3.

Tabel 1. Hasil Analisis Data Input

8.5.4 Proses Simulasi Pro Model

Berikut ini adalah beberapa gambar dari proses

running pada software Pro Model

Gambar 8.7 Contoh gambar Simulasi Pro Model

228

8.5.5 Verifikasi dan Validasi Model

Verifikasi dilakukan dengan membandingkan antara

input yang diberikan model dan animasi running simulasi.

Input model yang terdiri dari lama waktu antar

kedatangan, waktu pelayanan pendaftaran, waktu

pelayanan dokter umum, waktu pelayanan dokter anak,

dan waktu pelayanan apotek, hasil running simulasi dapat

menampilkan sesuai dengan input yang diberikan. Maka

dengan melihat dan membandingkan antara logika

konseptual dan logika pada model simulasi hasil running

simulasi dapat disimpulkan bahwa telah sesuai dan

berdasarkan hasil tersebut pula maka model ini telah

terverifikasi.

Validasi dilakukan dengan membandingkan output

hasil simulasi dengan kondisi aktual, dengan

menggunakan uji t. Uji t dilakukan untuk menguji apakah

data dari model dan aktual berasal dari distribusi yang

sama. Pada masalah ini, kami membandingkan output

maksimum antrian dari model simulasi dan aktual,

kemudian dilakukan uji t. Berdasakan uji kenormalan,

data secara signifikan berdistribusi normal dengan

menggunakan selang kepercayaan 95%. Dari hasil uji-t di

atas, signifikansi > 0.05 untuk semua variabel, sehingga

dapat disimpulkan data simulasi dan aktual berasal dari

distribusi yang sama, dan dikatakan model valid.

8.6 Permasalahan Analisis dalam Model Simulasi

Semua sistem dinamis dapat dikategorikan sebagai sistem

terminating atau nonterminating. Sistem diklasifikasikan

229

terminating jika kejadian yang menggerakkan sistem

menghentikan kejadian dalam suatu waktu tertentu, sedangkan

sistem diklasifikasikan nonterminating jika kejadian diskrit

terjadi berulang-ulang tanpa batasan. Mungkin ada sesi kejadian

berulang yang disebut dengan regenerasi dalam sistem

terminating, tetapi setiap sesi itu akan mulai dari awal lagi.

Dalam sistem kejadian diskrit terminating, suatu kejadian TE

menandai akhir dari suatu sesi. Kejadian TE mungkin selalu

terjadi pada waktu yang sama, selama setiap sesi, atau waktu

kejadiannya mungkin variabel acak. Dalam sistem terminating,

status akhir sesi sebelumnya tidak mempengaruhi status awal

sesi berikutnya. Sebaliknya dalam sistem nonterminating,

kejadian diskrit menggerakkan sistem terjadi terus tanpa batas.

Bagian tunggal sistem berlangsung terus tanpa batas dan tidak

ada kejadian yang mengakhiri.

Adalah penting untuk membedakan sistem terminating

atau nonterminating, karena masing-masing menggunakan

metode analisis output berbeda. Perlu diperhatikan juga

perbedaan antara sistem dan simulasi sistem. Setiap simulasi

merupakan proses terminating tetapi tidak semua sistem bersifat

terminating. Untuk setiap simulasi, selanjutnya kita perlu

membedakan apakah simulasi steady-state (status stabil) atau

transient (sementara). Cara menganalisis output model simulasi

tergantung dari keadaan sistem (terminating atau

nonterminating) dan karakteristik perilakunya (steady-state atau

transient). Contoh-contoh sistem terminating:

1. Bank: bank buka setiap hari dari jam 9.00 pagi dengan

keadaan awal tidak ada nasabah dan ditutup jam 4.00 sore

dan menyelesaikan layanan nasabah yang terakhir ada di

antrian. Lama setiap sesi (hari) akan berbeda (tergantung

dari jumlah nasabah yang masih mengantri jam 4.00 sore

230

itu) tetapi setiap hari akan selalu dimulai dan diakhiri

dengan tidak ada nasabah dalam antrian. Kejadian yang

mengakhiri adalah penyelesaian pelayanan nasabah

terakhir. Dalam simulasi seperti ini kita akan menyukai

memilih mengukur kinerja yang menaksir waktu rata-rata

semua nasabah menunggu, sama halnya dengan waktu

rata-rata nasabah tiba pada waktu berbeda setiap harinya.

2. Sistem komputer: sistem komputer mulai bekerja pagi hari

ketika pengguna pertama masuk ke dalam sistem (log on),

dan berakhir ketika pengguna terakhir hari itu keluar dari

sistem (log off). Meskipun selama detik-detik akhir dan

jam-jam lebih awal kadang-kadang pengguna mungkin

akan masuk ke sistem (log on), perhatian kita hanya

selama jam kerja normal dan kinerja sistem selama bukan

ja kerja tidak diperhatikan. Setiap sesi mungkin mulai jam

8.00 pagi dengan sejumlah acak pengguna (sudah masuk

lebih awal dalam sistem) dan sesi diakhiri ketika pengguna

terakhir keluar dari sistem jam 5 sore. Ukuran kinerja

yang mungkin adalah jumlah rata-rata pengguna

terhubung ke sistem apda waktu yang berbeda dalam satu

hari, peluang seorang pengguna tidak bisa masuk ke dalam

sistem dalam waktu berbeda dalam satu hari, jumlah rata-

rata pengguna yang terhubung ke sistem setiap hari dan

peluang total seorang pengguna tidak dapat terhubung ke

sistem.

3. Permainan peluang: dua pemain dua melempar koin. Jika

kedua koin sama (menunjukkan kepala atau ekor), pemain

pertama akan memenangka satu dolar. Jika satu koin

menunjukkan kepala dan satunya lagi ekor, maka pemain

kedua akan memenangkan satu dolar. Permainan

berlangsung selama satu jam atau sampai salah satu

231

pemain kehabisan uangnya. Lama satu sesi oleh

karenanya adalah satu jam atau sampai keadaan dimana

salah satu pemain tidak dapat melanjutkan karena sudah

kehabisan uang. Kejadian yang mengakhiri terjadi ketika

salah satu pemain memenangkan uang terakhir pemain

lainnya atau satu jam telah berlangsung. Ukuran kinerja

bisa berupa rata-rata waktu permainan dan peluang

memenangkan permainan.

4. Inventori komponen: seorang produsen membeli mesin

berfungsi tunggal (special-purposes machine) bersamaan

dengan 5 komponen pengganti untuk komponen mesin

kritis. Mesin akan digunakan selama 2 tahun mendatang.

Jika komponen kritis rusak, komponen itu akan

digantikan. Pengusaha itu tidak akan mendapatkan

komponen pengganti dengan cepat dan dengan biaya

murah setelah pembelian awal itu. Lama setiap sesi oleh

akrenanya adalah 2 tahun atau sampai kelima komponen

pengganti sudah rusak. Kejadian yang mengakhiri adalah

waktu 2 tahun atau sampai kelima komponen rusak,

tergantung yang mana yang terjadi lebih dulu. Ukuran

kinerja sistem bisa berupa peluang komponen akan

bertahan selama 2 tahun dan waktu rata-rata sistem

beroperasi.

5. Sistem basis data: dalam basis data terkomputerisasi data

didistribusikan di dalam beberapa file. Data dihubungkan

menggunakan field kunci dan pointer. Ketika pertanyaan

basis data terjadi, pencarian dilakukan di semua file yang

mengandung data menggunakan field kunci dan pointer

untuk mencari lokasi data yang diminta. Kejadian yang

mengakhiri adalah lokasi data yang dibutuhkan. Ukuran

232

kinerja termasuk jumlah rata-rata file yang diakses dan

waktu rata-rata menemukan lokasi.

Sedangkan dalam penerapan contoh sistem nonterminating

akan dijelaskan seperti contoh dibawaah ini:

1. Jobshop: fasilitas produksi terdiri dari beberapa stasiun

kerja. Ketika suatu pekerjaan tiba pada fasilitas, pekerjaan

itu akan melewati beberapa stasiun sampai diselesaikan.

Meskipun shop hanya beroperasi satu shift dan tidak

beroperasi pada hari Sabtu atau minggu, jobshop ini

tergolong sistem nonterminating. Ketika operasi akan

diakhiri (seperti pada Jumat malam), status akhir sistem

akan menjadi status awal ketika operasi dimulai lagi.

Siklus hidup sistem tidak terbatas dan sistem

disimulasikan selama pengakumulasian statistik yang

dibutuhkan untu ukuran kinerja. Ukuran kinerja bsia

dalam bentuk utilisasi berbagai stasiun kerja, waktu rata-

rata penyelesaian satu pekerjaan dan rata-rata pekerjaan

dalam proses.

2. Sistem inventori: peritel menimbun barang dagangan dan

melakukan pemesanan ulang ketika level inventori

mencapai atau lebih rendah dari level yang ditentukan.

Meskipun aktifitas jualan hanya 8 jam sehari dan 5 hari

dalams atu minggu, inventori akhir pada hari tertentu akan

menjadi inventori awal pada hari berikutnya. Kejadian

diskrit yang menggerakkan sistem berlangsung tanpa

batas, dan ukuran kinerja termasuk rata-rata inventori,

fraksi order yang harus memesan ulang atau berlebih dan

jumlah rata-rata order per tahun.

233

3. Bandar udara: selama 24 jam per hari, pesawat tiba dan

berangkat dari bandara. Meskipun ada periode aktivitas

ringan dan berat, keadaan pagi di bandara tergantung dari

bagus tidaknya manajemen dilakukan sore sebelumnya

dengan tidak ada pengakhiran sistem. Ukuran kinerja

termasuk rata-rata waktu satu pesawat harus menunggu

untuk lepas landas atau mendarat dan rata-rata jumlah

pesawat menunggu untuk mendarat atau lepas landas.

4. Rumah sakit: pasien masuk rumah sakit dengan asumsi

kamar inap tersedia. Begitu satu tempat tidur sudah diisi,

tempat tidur itu tidak akan tersedia lagi sampai pasien

tersebut sudah pulang atau pindah kamar. Pasien yang

tidak dapat diterima karena tidak ada tempat tidur lagi

akan masuk ke rumah sakit lainnya jika memerlukan

perawatan segera atau menunggu sampai ada tempat tidur

yang kosong berikutnya. Jumlah pasien yang masuk dan

keluar setiap pagi tergantung dari jumlah pasien di rumah

sakit dan panjang daftar tunggu sore sebelumnya. Ukuran

kinerja termasuk rata-rata jumlah pasien dalam klinik dan

rata-rata waktu menunggu pasien untuk mendapatkan

perawatan.

5. Sistem status tetap: dosen direkrut oleh suatu universtas

dan beberapa tahun diberikan sebagai tahapan menuju

status tetap. Pada akhir setiap tahun pengajaran dan

penelitian dosen menerima tahun berikutnya sebagai

tahapan menuju status tetap. Setelah 6 tahun, evaluasi

dilakukan, dosen akan diangakt menjadi status tetap atau

hanya akan diberikan kontrak satu tahun lagi. Selama 6

tahun itu, dosen dapat meninggalkan universitas. Setelah

menerima status tetap, dosen dapat tinggal sampai pensiun

atau pindah ke universitas lain. Ini adalah sistem

234

nonterminating (kecuali untuk sdosen yang akhirnya tidak

mendapatkan status tetap) karena universitas mempunyai

masa hidup tidak terbatas.pada akhir sembarang tahun,

jumlah dosen dalam universitas tergantung dari jumlah

pada awal tahun dan status permanen mereka dan jumlah

tahun menuju status permanen. Ukuran kinerja adalah

jumlah dosen status permanen dan bukan permanen dan

peluang bahwa seorang dosen akan mendapatkan status

permanen.

Karakteristik perilaku sistem seperti yang diuraikan di atas

bisa steady-state (status stabil) atau transient. Untuk memahami

perbedaan steady-state dan transient, perhatikan definisi ini:

Asumsikan:

s(t) adalah status sistem pada waktu t.

Ps(t) adalah peluang bahwa sistem akan berada pada status s

pada waktu t.

Sistem akan berada dalam status stabil relatif terhadap

variabel status s ketika

0

dt

tdPs

jika tidak sistem tidak akan mencapai status stabil dan

dikatakan menunjukkan perilaku transient. Ketika distribusi

peluang variabel status tidak berubah lagi sepanjang waktu,

maka variabel status sudah mencapai status stabil atau lebih

tepatnya mencapai distribusi status stabilnya.

Terminologi status stabil juga sering disalahartikan,

menyarankan bahwa sistem akan lebih terkontrol (tidak

235

berubah), menyebabkan hanya sedikit perubahan radikal dalam

statusnya. Kita tidak bisa menerima saja pemikiran bahwa

sistem mantap setelah periode dasar operasi. Meskipun

distribusi peluang variabel status stabil sepanjang waktu, sistem

berpindah dari satu keadaan ke keadaan lainnya sama aktifnya

dengan fase status stabil saat sistem dalam keadaan fase

transient. Faktanya, ragam status sistem lebih besar pada

keadaan stabil dibandingkan selama dalam keadaan transient.

Contoh sistem yang dapat mencapai status stabil adalah:

1. Jobshop menerima order pada laju rata-rata konstan.

Awalnya, pada simulasi, jobshop mungkin tidak

mempunyai pekerjaan dalam proses. Asumsinya jobshop

meneruskan operasi secara tidak terbatas. Sistem ini

nonterminating dan mencapai perilaku status stabil.

2. Bank darah mengumpulkan dan menyimpan darah,

mendistribusikannya ke anggota rumah sakit yang

membutuhkannya. Dengan menganggap permintaan akan

darah seragam sepanjang tahun, inventori darah akan

memenuhi distribusi status stabil. Sistem adalah

nonterminating.

3. Pembayaran tol dikumpulkan di boks tol pada pintu masuk

tol selama jam sibuk (jam 7 sampai jam 9). Jika intensitas

lalu lintas tidak berubah selama 2 jam, dan laju

kedatangan cukup besar, sistem akan melewati fase

transientnya dengan cepat dan analisis status stabil akan

sesuai, meskipun simulasi hanya untuk 2 jam. Ketika

dianalisis dalam bentuk seperti ini, sistem adalah

terminating dan kejadian yang menghentikan adalah

kesimpulan jam sibuk.

236

Contoh sistem yang tidak akan mencapai status stabil adalah:

1. Pengguna sistem komputer time-shared terhubung ke

sistem jam 8 pagi sampai jam 5 sore. Laju pengguna

terhubung ke sistem bervariasi sepanjang hari, dengan

permintaan padatnya pertengahan pagi dan sore. Sistem

ini adalah terminating yang tidak akan mencapai distribusi

status stabil karena variasi permintaan sistem komputer

dan jam operasi yang terbatas 9 jam.

2. Perusahaan penerbangan punya kebijakan untuk menerima

reservasi lebih 5% dari total tempat duduk yang tersedia

untuk mengantisipasi penumpang yang tidak muncul pada

jam penerbangan. Setiap hari merupakan sesi terminating,

diakhiri dengan sejumlah acak penumpang yang tidak

dapat tiket. Kondisi akhir hari tertentu tidak akan

mempengaruhi kondisi awal hari berikutnya (dengan

asumsi penumpang yang tidak dapat tiket hari tertentu

sudah terakomodasi dengan penerbangan lainnya hari itu

juga). Dalam simulasi ini tidak ada distribusi status stabil

maupun transient dan waktu buakn inti simulasi.

8.7 Rangkuman

Penerapan simulasi untuk menerapkan system yang

berbeda-berbeda dari karakteristik model sebenarnya. Karena

itu menggunakan output simulasi kejadian diskrit untuk

menjawab pertanyaan pemodelan yang merupakan perilaku dan

karakteristik sistem nyata bisa menjadi pekerjaan yang sangat

sulit. Dalam berbagai studi simulasi, waktu dan dana besar

biasanya dikeluarkan saat pengembangan model dan pembuatan

program, tapi sangat sedikit usaha yagn dilakukan dalam

237

menganalisis output simulasi dengan tepat. Ada beberapa alasan

kenapa analisis data output belum dilakukan dengan benar.

Pertama, pengguna sering membayangkan bahwa simulasi

hanya latihan dalam pemrograman komputer, bahkan untuk

yang sangat kompleks. Akibatnya, banyak studi simulasi

dimulai dengan pembangunan dan pengkodean model heuristik

dan diakhiri dengan penjalanan tunggal mode untuk

menghasilkan “jawaban”. Padahal, simulasi adalah percobaan contoh statistik berbasis komputer. Oleh karena itu, jika hasil

simulasi tidka mempunyai arti, teknik statistik harus digunakan

untuk merancang dan menganalisis percobaan simulasi. Alasan

kedua adalah output proses semua simulasi maya bersifat

dinamis dan otokorelasi.

LATIHAN

1. Simulasikan system antrian dengan monte carlo berdasarkan

parameter waktu dan kedatangan.

2. Dalam suatu ruang praktek dokter, setiap 4 menit datang 1

pasien. Untuk melayani setiap pasien dibutuhkan waktu 2,5

menit. Jam kerja praktek dokter adalah jam 15.00 – 18.00.

Hitunglah:

a) Banyaknya pasien yang bisa dilayani selama jam kerja.

(45 pasien)

b) Rata-rata banyaknya pasien dalam sistem. (1,66 pasien)

c) Rata-rata panjang antrian. (1,04 pasien)

d) Rata-rata waktu menunggu seorang pasien dalam sistem.

(6,66 menit)

238

e) Rata-rata waktu menunggu tiap pasien sebelum menerima

pelayanan (antri). (4,16 menit)

DAFTAR PUSTAKA

1. Nia Budi Puspitasari , 2009 Simulasi Pelayanan Puskesmas

Sadang Serang http://www.e-jurnal.com/2014/09/simulasi-

pelayanan-puskesmas-sadang.html

2. Dwyer. 1997. Simulations in the Learning Cycle: A Case Study

Involving Exploring the Nardoo. University of Alabama

3. Eylon, et.al. 1996. Computer Simulation as Tool for Teaching

and Learning. Using a Simulation Environment in Optics.

Journal of Science Education anf Technology.

4. Zeitzman, A.l., & Hewson, P.W.1986. Effect of Instruction

Using Microcomputers Simulations and Conceptual Change

Strategies onScience Learning. Journal of Research and Science

Teaching.

5. W.DavidKelton: Books. Simulation Modelling and Analysis

.McGraw Hill, 2001

6. openstorage.gunadarma.ac.id/.../simulasi%20sistem/PENGEMB

ANGAN...

7. William Stalling, “Operating Systems second edition”, Prentice Hall International Editions, USA, 1995.

http://www.e-jurnal.com/2014/09/simulasi-pelayanan-puskesmas-sadang.html

http://www.e-jurnal.com/2014/09/simulasi-pelayanan-puskesmas-sadang.html

http://dev.torrentz.pro/McGraw-Hill-Simulation-Modeling-and-Analysis-Third-Edition-Averill-M.-Law-W.-David-Kelton.pdf-download-torrent-CB047BE6EB7DBF5E649BE71B2C414EAD2F27FDB2.php

penerbit wade group -...

Documents