0

Penerapan Ilmu Kalkulus dalam Penentuan Dosis Sinar X untuk Pengobatan

Kanker

Makalah

untuk memenuhi tugas matakuliah

Bahasa Indonesia Keilmuan

yang dibina oleh Ibu Titik Harsiati

oleh

Ardini Yuniarta Rizki

140311601209

Off A

UNIVERSITAS NEGERI MALANG

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

JURUSAN MATEMATIKA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

Desember 2014

1

1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

Menu makanan dengan cara langsung dibakar memang sangat lezat, seperti

ayam bakar, ikan bakar, bahkan nasi bakar. Namun dibalik kelezatan makanan

makanan tersebut ada sebuah zat yang disebut dengan zat karsinogenik yang bisa

menyebabkan penyakit kanker. Hal ini menjadi penyebab meningkatnya pengidap

penyakit kanker. Namun dengan perkembangan teknologi kedokteran membuat

peralihan pengobatan yang mulanya menggunakan kemoterapi yang sangat sakit

menjadi menggunakan high energy ionizing radiation yang relatif lebih cepat,

efektif, dan nyaman meskipun lebih mahal. Salah satunya adalah menggunakan

sinar-X, karena tidak memungkinkan untuk membongkar pasang tubuh manusia.

Sebelum melakukan pengobatan menggunakan sinar-X, para ahli dosimetri

berdiskusi dengan ahli ongkologi. Tugas seorang ahli dosimetri adalah

menentukan dosis radiasi dari sinar-X, ini adalah bagian terpenting dalam

pengobatan karena jika salah bisa berakibat fatal. Untuk menentukan dosis

radiasinya, mereka harus mengetahui volume sel kanker tersebut serta letaknya.

Dalam penentuan letak dan volume inilah ilmu kalkulus digunakan.

Dalam kalkulus dibahas tentang berbagai perhitungan integral, seperti

integral cakram, integral cincin, integral lipat 2, ataupun integral lipat 3. Integral

integral tersebut dalam dosimetri digunakan untuk menentukan volume dari sel

kanker karena bentuk sel kanker pada umumnya tidak mungkin berbentuk

simetris. Setelah itu, penerapan kalkulus masih tetap dibutuhkan dalam proses

pengobatan selanjutnya. Penerapan kalkulus selanjutnya adalah untuk menentukan

fungsi dari pergerakan sel kanker setiap waktu, sehingga dapat diketahui kapan sel

kanker tersebut mengecil dan habis sehingga terapi tersebut dapat dihentikan,

karena jika dilakukan terus menerus dapat merusak organ-organ sel yang lain.

Sebenarnya telah banyak makalah yang membahas penerapan ilmu

kalkulus dalam bidang kedokteran. Salah satunya adalah makalah yang ditulis

oleh Muh Sugiarto yang berjudul Penerapan Ilmu Matematika di dalam

Kehidupan. Dalam makalahnya, beliau membahas tentang berbagai penerapan

ilmu matematika dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu penerapan yang beliau

bahas adalah penerapan ilmu kalkulus dalam bidang kedokteran. Beliau

2

membahas secara garis besar bagaimana penerapan matematika dalam bidang

kedokteran.

Setelah membaca makalah tersebut penulis terinspirasi untuk membuat

makalah yang serupa karena topik yang dibahas menarik sehingga dalam makalah

ini penulis juga membahas tentang penerapan matematika dalam bidang

kedokteran. Namun, dalam karya ilmiah ini pembahasan lebih difokuskan dalam

penerapan matematika dalam bidang kedokteran. Jika pada makalah sebelumnya

dibahas gambaran umum tentang penerapan matematika dalam ilmu kedokteran,

maka dalam karya ilmiah ini akan membahas salah satu bidang matematika yaitu

kalkulus yang digunakan untuk menentukan dosis radiasi sinar-X yang digunakan

untuk pengobatan kanker sehingga dalam karya ilmiah ini, akan dibahas dengan

lebih rinci lagi bagaimana penerapan kalkulus tersebut dalam penentuan dosis

radiasi sinar-X dalam pengobatan kanker bukan hanya gambaran umumnya saja.

Dengan pembahasan tersebut, penulis merasa bahwa judul ini perlu

dikembangkan karena masih banyak orang yang tidak paham pentingnya

matematika dalam bidang kedokteran sehingga dengan membaca karya tulis ini,

mereka lebih paham dan tahu bagaimana peranan matematika dalam kedokteran.

Oleh karena itu, ketika mereka mempelajari matematika mereka mengetahui

manfaat matematika itu sendiri untuk kedepannya.

1.1. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam makalah ini dijabarman sebagai berikut:

a. Bagaimana konsep kalkulus dalam matematika?

b. Apa saja konsep kalkulus yang digunakan untuk menentukan volume

kanker dosis radiasi sinar-X dalam pengobatan kanker?

c. Bagaimana menerapkan konsep kalkulus dalam penentuan Dosis Sinar-

X?

1.2. Tujuan

Adapun tujuan penulisan makalah ini dijabarkam sebagai berikut.

a. Untuk mengetahui konsep kalkulus dalam matematika

3

b. Untuk mengetahui konsep dalam kalkulus yang digunakan untuk

menentukan dosis sinar-X dalam pengobatan kanker.

c. Untuk menjelaskan konsep kalkulus dalam penentuan dosis sinar-X

4

2. Pembahasan

2.1 Konsep Kalkulus dalam Matematika

Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari perubahan.

Dalam kalkulus mencakup limit, turunan, integral, dan deret tak hingga. Kalkulus

dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang sains, ekonomi, dan teknik. Beberapa

masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer juga dapat

dipecahkan menggunakan kalkulus.

Kalkulus dibagi menjadi dua, yaitu kalkulus deferensial dan kalkulus

integral. Kalkulus deferensial dan kalkulus integral saling berhubungan melalui

teorema dasar kalkulus. Kalkulus deferensial merupakan cabang kalkulus yang

mempelajari perubahan nilai suatu fungsi yang dipengaruhi oleh perubahan input

nilainya. Dalam kalkulus deferensial topik utamanya adalah turunan dari suatu

fungsi. Proses untuk mencari turunan disebut dengan pendiferensialan. Turunan

banyak digunakan dalam bidang kimia untuk menentukan laju reaksi. Turunan

juga dapat digunakan untuk menbuat strategi dalam persaingan perusahaan.

Kalkulus integral adalah cabang kalkulus yang digunakan untuk menghitung luas

suatu daerah atau volume suatu benda.

2.1.1 Prinsip-prinsip dasar kalkulus

2.1.1.1 Limit dan Kecil Tak Terhingga

Kalkulus pada umumnya dikembangkan dengan memanipulasi sejumlah

kuantitas yang sangat kecil. Objek dalam bahasan ini merupakan angka yang

sangat kecil yang disebut bilangan kecil tak hingga, bilangan yang lebih besar dari

nol tetapi lebih kecil dari bilangan apapun dalam deret 1, ½, ⅓, .... Bilangan ini

jika dikalikan dengan bilangan yang lain tetap akan menghasilkan bilangan yang

kecil tak hingga (infinitesimal). Kalkulus di sini berperan untuk memanipulasi

angka tersebut.

Pada abad ke-19, konsep kecil tak terhingga ini ditinggalkan karena tidak

cukup cermat, dan digantikan dengan konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu

fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Kalkulus di

sini merupakan sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.

Limit dari suatu fungsi dedifinisikan sebagai berikut:

5

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p,

terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x

mendekati p adalah L, dan menuliskan:

lim𝑥→𝑝

𝑓(𝑥) = 𝐿

jika, untuk setiap bilangan 𝑎 > 0, terdapat bilangan 𝑏 > 0 yang

berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

0 < |𝑥 − 𝑝| < 𝑎 ⇒ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝑏

2.1.1.2 Turunan

Turunan dari suatu fungsi mewakili perubahan yang sangat kecil dari

fungsi tersebut terhadap variabelnya. Proses menemukan turunan dari suatu fungsi

disebut sebagai pendiferensialan ataupun diferensiasi. Secara matematis, turunan

fungsi ƒ(x) terhadap variabel x adalah ƒ′ yang nilainya pada titik x adalah:

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

dengan syarat limit tersebut eksis. Jika ƒ′ eksis pada titik x tertentu, kita

katakan bahwa ƒ terdiferensialkan (memiliki turunan) pada x, dan jika ƒ′ eksis di

setiap titik pada domain ƒ, kita sebut ƒ terdiferensialkan.

Apabila z = x + h, h = z - x, dan h mendekati 0 jika dan hanya jika z

mendekati x, maka definisi turunan di atas dapat pula kita tulis sebagai:

𝑓′(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑥)

𝑧 − 𝑥

Perhatikan bahwa ekspresi 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ pada definisi turunan di atas

merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x))

pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan

mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada

titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis

sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari

fungsi tersebut.

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi𝑓(𝑥) = 𝑥2 pada

titik (3,9):

𝑓′(3) = limℎ→0

(3 + ℎ)2 − 9

ℎ

6

𝑓′(3) = limℎ→0

(3 + ℎ)2 − 9

ℎ

𝑓′(3) = limℎ→0

9 + 6ℎ + ℎ2 − 9

ℎ

𝑓′(3) = limℎ→0

6ℎ + ℎ2

ℎ

𝑓′(3) = limℎ→0

(6 + ℎ)

𝑓′(3) = 6

Turunan dapat dinotasikan sebagai berikut:

Notas

i Leibniz

Notas

i Lagrange

Notas

i Newton

Nota

si Euler

Turunan

𝒇(𝒙) terhadap x

𝑑

𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥)

ẏ

denga

n 𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝐷𝑥 𝑓(𝑥)

Tabel 2.1

2.1.1.3 Integral

Integral merupakan ilmu matematika yang digunakan untuk menafsirkan

luas suatu. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai

pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral

tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk

menyatakan integral adalah ∫, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari

"Sum" yang berarti penjumlahan).

a. Integral Tertentu

Integral tertentu adalah integral yang domain intervalnya dibatasi yang

dapat dituliskan dengan bentuk ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎, dengan [𝑎, 𝑏] merupakan domain dari

𝑓(𝑥). Bentuk tersebut dapat didefinisikan sebagai luas wilayah pada bidang xy

yang dibatasi oleh kurva grafik ƒ, sumbu X, dan garis vertikal x = a dan x = b.

Pada notasi integral di atas: a adalah batas bawah dan b adalah batas atas

yang menentukan domain pengintegralan, ƒ adalah integran yang akan dievaluasi

terhadap x pada interval [a,b], dan dx adalah variabel pengintegralan.

Terdapat berbagai jenis pendefinisian formal integral tertentu, namun yang

paling umumnya digunakan adalah definisi integral Riemann. Integral Rieman

7

didefinisikan sebagai limit dari "penjumlahan Riemann". Misalkanlah kita hendak

mencari luas daerah yang dibatasi oleh fungsi ƒ pada interval tertutup [a,b].

Dalam mencari luas daerah tersebut, interval [a,b] dapat kita bagi menjadi banyak

subinterval yang lebarnya tidak perlu sama, dan kita memilih sejumlah n-1 titik

{x1, x2, x3,..., xn - 1} antara a dengan b sehingga memenuhi hubungan:

𝑎 = 𝑥0 ≤ 𝑥1 ≤ ⋯ ≤ 𝑥𝑛−1 ≤ 𝑥𝑛 = 𝑏

Himpunan 𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛} tersebut kita sebut sebagai partisi

[a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval

[𝑥0, 𝑥1], [𝑥1, 𝑥2], … , [𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛]. Lebar subinterval pertama [𝑥0, 𝑥1] kita nyatakan

sebagai Δx1, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δxi = xi -

xi - 1. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada

subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang ti. Maka pada tiap-tiap

subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan

tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (ti, ƒ(ti)) pada kurva.

Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan

ƒ(𝑡𝑖) · 𝛥𝑥𝑖 dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita

akan dapatkan:

𝑆𝑝 = ∑ 𝑓(𝑡𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

Penjumlahan Sp disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada

interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil,

hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang

kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi ‖𝑃‖ mendekati nol,

maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.

Secara cermat, definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan

Riemann adalah sebagai berikut.

Jika diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval

tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di

sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Rieman

n ∑ 𝑓(𝑡𝑖)∆𝑥𝑖𝑛𝑖=1 apabila kondisi berikut terpenuhi, yaitu: Untuk setiap bilangan ε >

0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya

8

sedemikian rupanya untuk setiap partisi𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛} di sepanjang [a,b]

dengan‖𝑃‖ < δ dan pilihan ti apapun pada [xk - 1, ti], kita dapatkan

|∑ 𝑓(𝑡𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

− 𝐼| < ∈

Secara matematis dapat ditulis:

lim‖𝑃‖→0

∑ 𝑓(𝑡𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Apabila tiap-tiap partisi mempunyai sejumlah n subinterval yang sama,

maka lebar Δx = (b-a)/n, sehingga persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai:

lim𝑛→∞

∑ 𝑓(𝑡𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

= 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Limit ini selalu diambil ketika norma partisi mendekati nol dan jumlah

subinterval yang ada mendekati tak terhingga banyaknya. Dalam prakteknya,

penerapan definisi integral tertentu dalam mencari nilai integral tertentu tersebut

jarang sekali digunakan karena tidak praktis. Teorema dasar kalkulus memberikan

cara yang lebih praktis dalam mencari nilai integral tertentu.

b. Integral Tak Tentu

Manakala integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya

ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan

dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema

dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat

dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi

tersebut.

Apabila 𝐹′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥). Maka keseluruhan himpunan

antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun

primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta

sembarang.

9

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu.

Integral tertentu dalam bentuk ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 adalah sebuah bilangan, manakala

integral tak tentu ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan

konstanta sembarang C.

2.1.2 Teorema Dasar

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa turunan dan integral adalah

dua operasi yang saling berlawanan. Lebih tepatnya, teorema ini menghubungkan

nilai dari anti derivatif dengan integral tertentu. Karena lebih mudah menghitung

sebuah anti derivatif daripada menerapkan definisi integral tertentu, teorema dasar

kalkulus memberikan cara yang praktis dalam menghitung integral tertentu.

Teorema dasar kalkulus menyatakan:

“Jika sebuah fungsi f adalah fungsi kontinu pada interval [a,b] dan jika F

adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)”

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b), berlaku

𝐹′(𝑥) =𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

𝑎

= 𝑓(𝑥)

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral ∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎,

daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan

Riemann, kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung

nilai integral tersebut.

Anti derivatif dari fungsi𝑓(𝑥) = 𝑥 adalah 𝐹(𝑥) =1

2𝑥2 + 𝐶. Oleh sebab

itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu ∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

adalah:

∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

=1

2𝑏2 −

1

2𝑎2

Apabila kita hendak mencari luas daerah A dibawah kurva y=x pada

interval [0,b], b>0, maka kita akan dapatkan:

10

∫ 𝑥 𝑑𝑥𝑏

0

= 𝑏2

2

Perhatikan bahwa hasil yang kita dapatkan dengan menggunakan teorema

dasar kalkulus ini adalah sama dengan hasil yang kita dapatkan dengan

menerapkan definisi integral tertentu. Oleh karena lebih praktis, teorema dasar

kalkulus sering digunakan untuk mencari nilai integral tertentu.

2.2 Konsep Kalkulus yang Digunakan untuk Menentukan Dosis Radiasi

Sinar X dalam Pengobatan Kanker

Penyakit kanker merupakan suatu penyakit yang menyerang sel tubuh

manusia, yang penyebabnya adalah karsinogen yang bisa berupa virus, bahan

kimia, radiasi, atau sinar matahari. Karsinogen ini menyebabkan perubahan dalam

bahan genetik sel sehingga sel menjadi kehilangan pengendalian dan mekanisme

normalnya. Sel yang telah terkena karsinogen ini akan tumbuh dengan cepat dan

tidak terkendali serta menjadi ganas.

Sel yang telah terkena karsinogen akan membentuk suatu benjolan yang

akan terus berkembang pesat dan jika dibiarkan bisa menyebabkan kematian.

Untuk menghilangkan sel kanker tersebut bisa dilakukan dengan cara pembedahan

atau kemoterapi. Setelah dilakukan pembedahan biasanya akan dilanjutkan

dengan penyinaran agar sel yang tersisa mengecil dan hilang.

Sebelum dilakukannya penyinaran, dokter harus mengetahui besar sel

kanker tersebut serta letaknya. Untuk mengetahui besarnya ukuran sel tersebut

para ahli dosimetri menggunakan cabang dari ilmu kalkulus yaitu integral.

Integral adalah cabang dari kalkulus yang dapat digunakan untuk mengitung luas

ataupun volume.

Integral yang digunakan untuk menghitung volume adalah integral lipat 3,

yaitu integral tunggal yang diintegralkan kembali. Bentuk sederhananya adalah

∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 atau∫ ∫ ∫ (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝑧2

𝑧1

𝑥2

𝑥1

𝑦2

𝑦1. Untuk menentukan

volume benda, yang digunakan adalah bentuk ∫ ∫ ∫ (𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧𝑧2

𝑧1

𝑥2

𝑥1

𝑦2

𝑦1. Ada

dua metode dalam integral yang bisa digunakan untuk menghitung volume benda,

yaitu metode cakram dan metode cincin.

Metode cakram dapat digunakan untuk benda yang dihasilkan dari satu

bidang datang yang diputar 360° di salah satu porosnya sehingga menghasilkan

11

suatu benda tiga dimensi. Untuk melihat bagaimana penggunaan volume cakram

dalam menentukan volume benda putar yang lebih umum, perhatikan gambar

berikut.

Gambar 2.2.1

Untuk menentukan volume benda putar, perhatikan persegi panjang yang

terletak pada bidang datar. Apabila persegi panjang tersebut diputar dengan pusat

pada suatu garis, akan terbentuk salah satu cakram dalam benda putar yang

volumenya,

∆𝑉 = 𝜋𝑅2Δ𝑥

Sehingga volume benda putar tersebut dapat didekati dengan menggunakan

n buah cakram yang memiliki tinggi Δx dan jari-jari R(xi) yang menghasilkan,

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟 ≈ ∑ 𝜋[𝑅(𝑥𝑖)]2Δ𝑥

𝑛

𝑖=1

= 𝜋 ∑[𝑅(𝑥𝑖)]2Δ𝑥

𝑛

𝑖=1

Pendekatan volume benda putar tersebut akan semakin baik apabila banyak

cakramnya mendekati tak hingga, n → ∞ atau ||Δ|| → 0. Sehingga, kita dapat

mendefinisikan volume benda putar sebagai berikut.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑡𝑎𝑟 = lim‖Δ‖→0

𝜋 ∑[𝑅(𝑥𝑖)]2∆𝑥

𝑛

𝑖=1

= 𝜋 ∫[𝑅(𝑥𝑖)]2𝑑𝑥

𝑏

𝑎

12

Secara sistematis, menentukan volume benda putar dengan metode cakram

dapat dilihat seperti berikut.

Gambar 2.2.2

Rumus yang serupa juga dapat diturunkan apabila sumbu putarannya

vertikal. Apabila sumbu putarannya adalah vertikal (sumbu-y), maka rumus

volume benda putarnya adalah sebagai berikut.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝜋 ∫[𝑅(𝑦)]2𝑑𝑦

𝑑

𝑐

Untuk membedakan antara volume benda putar dengan pusat di garis

horizontal ataupun vertikal, perhatikan gambar berikut.

Gambar 2.2.3

Aplikasi paling sederhana dari metode cakram adalah menentukan volume

benda putar hasil putaran daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi f dan sumbu-x.

Jika sumbu putarannya adalah sumbu-x, maka dengan mudah dapat ditentukan

bahwa R(x) sama dengan f(x).

Sedangkan metode cincin pada umumnya digunakan untuk benda yang

memiliki lubang ditengahnya. Cincin dalam metode ini dibentuk oleh hasil

putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak

berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti terlihat pada gambar berikut.

Rumus dari Pre-Kalkulus

Volume Cakram

𝑉 = 𝜋𝑅2𝑡

Volume Satu Bagian∆𝑉 = 𝜋[𝑅(𝑥𝑖)]2∆𝑥

Volume Benda Putar

𝑉 = 𝜋 ∫𝑎

𝑏

[𝑅 𝑥𝑖 ]2 𝑑𝑥

13

Gambar 2.2.4

Jika r dan R secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari

cincin dan t merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan

sebagai berikut.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑖𝑛 = 𝜋(𝑅2 − 𝑟2)𝑡

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk

menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari

luar R(x) dan jari-jari dalam r(x), seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Gambar 2.2.5

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume

benda putar yang dihasilkan adalah

𝑉 = 𝜋 ∫ ([𝑅(𝑥)]2 − [𝑟(𝑥)]2)𝑑𝑥𝑏

𝑎

14

Perhatikan bahwa integral yang melibatkan jari-jari dalam

merepresentasikan volume lubang yang dikurangkan dari integral yang

melibatkan jari-jari luar.

2.3 Penerapan Kalkulus dalam Menentukan Dosis Radiasi Sinar X dalam

Pengobatan Kanker

Untuk menentukan dosis radiasi sinar X dalam pengobatan kanker,

pertama tama petugas dosimeter harus menghitung volume dari kanker tersebut.

Untuk menghitung volume kanker digunakan integral karena bentuk sel kanker

yang tidak beraturan. Salah satu bentuk dari sel kanker adalah sebagai berikut.

Gambar 2.3.1

Untuk menentukan volume dari sel tersebut maka sel tersebut harus di bagi

menjadi beberapa bagian agar dapat dihitung volumenya menggunakan integral.

Gambaran sederhananya adalah sebagai berikut:

Gambar 2.3.2

Maka untuk menentukan volumenya dapat dihitung dengan cara sebagai

berikut:

15

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = ∭ 𝑤 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

= ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝛾2(𝑥,𝑦)

𝛾1(𝑥,𝑦)

𝜙2(𝑥)

𝜙1(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑥√𝑟2−𝑥2−𝑦2

−√𝑟2−𝑥2−𝑦2

√𝑟2−𝑥2

−√𝑟2−𝑥2

𝑟

−𝑟

= ∫ ∫ [𝑧|−√𝑟2−𝑥2−𝑦2

√𝑟2−𝑥2−𝑦2√𝑟2−𝑥2

−√𝑟2−𝑥2

𝑟

−𝑟

] 𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 2 ∫ [∫ √𝑟2 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑑𝑦𝑟2−𝑥2

−√𝑟2−𝑥2

] 𝑑𝑥𝑟

−𝑟

16

3. Penutup

3.1 Simpulan

Dari paparan atau penjelasan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa

sesuai dengan makalah “Penerapan Ilmu Kalkulus dalam Penentuan Dosis Sinar X

untuk Pengobatan Kanker” ilmu kalkulus dapat digunakan dalam penentuan dosis

sinar X untuk pengobatan kanker. Ilmu kalkulus dalam penentuan dosis sinar X

digunakan untuk menentukan volume sel kanker itu sendiri. Ketika volume telah

diketahui maka penentuan dosis sinar X dapat ditentukan dengan tepat.

3.2 Saran

Menyadari bahwa penulis masih jauh dari kata sempurna, kedepannya

penulis akan lebih fokus dan detail dalam menjelaskan tentang makalah di atas

dengan sumber-sumber yang lebih banyak yang tentunya dapat dipertanggung

jawabkan.

17

DAFTAR RUJUKAN

Kase, Kenneth R. 1972. Consep Of Radiation Dosimetry. California: Stanford

Linear Acceleration Center Stanfors Univercity.

(Online), (http://wikipedia.org/wiki/kalkulus, diakses tanggal 10 November 2014).