pendahuluan kalkulus - miamtk.files.wordpress.com filependahuluan kalkulus 1 | pengajar: mia fitria,...
TRANSCRIPT
Pendahuluan Kalkulus
1 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
PENDAHULUAN KALKULUS
1. BILANGAN REAL
Ada beberapa jenis bilangan yang telah kita kenal ketika di bangku
sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah,
rasional, irrasional. Tahu kah anda bilangan apa saja yang termasuk pada
kategori bilangan-bilangan tersebut?
Bilangan-bilangan yang merupakan anggota bilangan asli adalah
...,3,2,1 . Bilangan asli biasanya dinyatakan dengan ℕ. Secara matematis
himpunan bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut.
ℕ = �1, 2, 3, 4, 5, … �
Bilangan asli ini disebut juga sebagai bilangan yang paling sederhana.
Himpunan bilangan asli ditambahkan dengan 0 maka himpunan bilangan
tersebut menjadi { }...,3,2,1,0 . Himpunan bilangan tersebut merupakan
bilangan cacah. Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan ℂ. Sehingga
himpunan bilangan cacah dapat ditulis sebagai berikut.
ℂ = �0, 1, 2, 3, 4, 5, … �
Himpunan bilangan cacah ditambahkan negatif dari bilangan-
bilangan asli maka himpunan bilangan tersebut adalah bilangan bulat.
Bilangan bulat dapat juga dinotasikan dengan ℤ. Secara matematis,
himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai berikut.
ℤ = �−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … �
Dalam pengkuran, bilangan-bilangan bulat kurang memadai untuk
digunakan karena tidak memiliki ketelitian yang cukup. Hal ini dapat
menuntun kepada pembagian/rasio dua bilangan bulat yang dikenal sebagai
bilangan rasional/terukur atau ℚ. Bilangan yang merupakan bilangan
rasional dapat dinyatakan ke dalam bentuk b
a dengan 0≠b , a dan b
adalah bilangan bulat. Sehingga bilangan rasional dapat dikatakan
merupakan gabungan dari bilangan bulat dan pecahan.
Kekurangan dari bilangan rasional dapat memberikan hasil berupa
bilangan irrasional. Gabungan bilangan rasional dan irrasional yang dapat
mengukur panjang (positif) beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut
dan nol disebut juga bilangan real atau ℝ. Sistem bilangan tidak hanya
berakhir pada bilangan real saja, melainkan dapat diperluas lagi menjadi
sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks berbentuk iba +
Pendahuluan Kalkulus
2 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
dengan a dan b adalah bilangan real. Akan tetapi pembahasan sistem
bilangan konsep ini akan dibahas pada bahasan fungsi kompleks.
Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal, karena
bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.
Jika pembilang dibagi dengan penyebut maka dihasilkan suatu bentuk
desimal.
Ada dua dentuk desimal dari bilangan rasional, yaitu bentuk desimal
berakhir dan bentuk desimal berulang. Bentuk desimal berakhir biasanya
diakhiri dengan nol yang berulang.
Contoh 1 :
Bentuk desimal berakhir
000000,223
6...375000000,0375,0
8
1...4000000,04,0
5
2======
Bentuk desimal berulang
.....3333333333,03
1=
...857142857142,0
7
5=
...1666666666,0
6
1=
Jika bilangan rasional dapat dinyatakan ke dalam bentuk desimal berakhir
dan berulang, dapatkah berlaku kebalikannya yaitu bilang yang mempunyai
bentuk desimal berakhir dan berulang dapat dikatakan sebagai bilangan
rasional?
Contoh 2 :
Buktikan apakah 0,175 ; 0,136136136... ; 0,17171717...
Jawab :
40
7
1000
175175,0 ==
Misalkan ...136136136,0=x maka ...136136,1361000 =x sehingga
Bilangan Real (ℝ)
Bilangan Rasional (ℚ)
Bilangan Bulat (ℤ)
Bilangan Cacah (ℂ)
Bilangan Asli (ℕ)
Pendahuluan Kalkulus
3 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
999
136
136999
...136136,0
...136136,1361000
=
=
−=
=
x
x
x
x
Misalkan ...17171717,0=y maka ...171717,17100 =x sehingga
99
17
1799
...171717,0
...171717,17100
=
=
−=
=
x
x
x
x
Jadi dapat disimpulkan bahwa bilangan bentuk desimal berakhir dan
berulang merupakan bilangan rasional
Bentuk akar dari bilangan rasional pada umumnya merupakan
bilangan irrasional. Selain itu ada juga bilangan yang bukan bentuk akar
yang juga merupakan bilangan irrasional.
Contoh 3 :
Bentuk Akar
...626527804,2125
...279507057,227
...414213562,,12
5
4
=
=
=
Bentuk Bukan Akar
...3010299957,02log
...141592654,3
=
=π
Akan tetapi ada bentuk akar yang hasilnya merupakan bilangan rasional
sehingga bentuk akar tersebut tidak bisa dikategorikan sebagai bilangan
irrasional seperti 61296;5125;981;416 43 ==== . Selain itu, ada juga
bentuk bukan akar yang hasilnya merupakan bilangan rasional sehingga
menjadikannya bukan bilangan irrasional seperti
481log;38log;2100log 32=== .
� SIFAT-SIFAT PADA BILANGAN REAL � Sifat-sifat Operasi pada Bilangan Real
Asosiatif
Penjumlahan : cbacba ++=++ )()(
Pendahuluan Kalkulus
4 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Perkalian : cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()(
Komutatif
Penjumlahan : abba +=+
Perkalian : abba ⋅=⋅
Distributif
Depan : cabacba ⋅+⋅=+⋅ )(
Belakang : acabacb ⋅+⋅=⋅+ )(
Identitas
Penjumlahan : aaa =+=+ 00
Perkalian : aaa =⋅=⋅ 11
Invers (Kebalikan)
Penjumlahan : 0)()( =+−=−+ aaaa
Perkalian : 111
=⋅=⋅ aaa
a
dengan cba ,, adalah bilangan real.
� Sifat-sifat Urutan pada Bilangan Real
Himpunan bilangan real yang anggotanya selain nol dipisahkan sama
besar menjadi dua himpunan yaitu himpunan bilarang real positif dan
negatif. Sehingga kita mengenal tanda-tanda seperti < (dibaca “lebih kecil
daripada”), > (dibaca “lebih besar daripada”), = (dibaca “sama dengan”). Jika
yx < maka xy − positif. Selain itu juga diperoleh bahwa xyyx >=< .
Berikut ini adalah sifat-sifat urutan pada bilangan real yaitu
a. Trikotomi
Jika x dan y adalah bilangan real maka salah satu di antara tiga hal berikut
ini akan berlaku
yx < atau yx = atau yx >
b. Transitif
Jika yx < dan zy < maka zx < , dengan zyx ,, adalah bilangan real.
Jika yx > dan zy > maka zx > , dengan zyx ,, adalah bilangan real.
c. Penjumlahan
yx < ⇔ zyzx +<+ ; yx > ⇔ zyzx +>+
d. Perkalian
z adalah bilangan real positif, yx < ⇔ zyzx ⋅<⋅ , yx > ⇔ zyzx ⋅>⋅
z adalah bilangan real negatif, yx < ⇔ zyzx ⋅>⋅ , yx > ⇔ zyzx ⋅<⋅
Tanda ≤ (dibaca “ lebih kecil daripada atau sama dengan”) dan ≥
(dibaca “ lebih besar daripada atau sama dengan”) juga melambangkan
Pendahuluan Kalkulus
5 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
urutan suatu bilangan real. Jika yx ≤ maka xy − positif atau nol. Jika yx ≥
maka yx − positif atau nol. Sifat-sifat b, c, dan d dapat juga berlaku untuk
tanda ≤ dan ≥.
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN INTERVAL
� Persamaan
Persamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung
nilai-nilai yang belum diketahui (variabel/peubah) dan dihubungkan oleh
tanda kesamaan (“=”). Persamaan biasanya didefinisikan berdasarkan
banyak variabelnya, pangkat tertinggi variabel, atau jenis variabelnya.
Penyelesaian dari persamaan adalah satu atau sejumlah bilangan berhingga
yang membuat persamaan menjadi berlaku. Menyelesaikan suatu
persamaan adalah tugas dasar dalam matematika.
Contoh 4 :
Persamaan linear 5103 =−x dengan penyelesaian adalah 53
15==x .
Persamaan kuadrat 062=−− xx dengan penyelesaian adalah 31 =x dan
22 −=x .
Persamaan eksponen 82 2
1
=x
dengan penyelesaian adalah 6=x .
� Pertidaksamaan dan Interval
� Pertidaksamaan
Pertidaksamaan mempunyai karakteristik yang kurang lebih sama
dengan persamaan. Perbedaannya terletak pada tanda hubung yang
digunakan yaitu “<, >, ≤, ≥”. Selain itu himpunan penyelesaian dari suatu
pertidaksamaan adalah seluruh bilangan yang berada pada interval
bilangan.
Contoh 5 :
5103 <−x 062≤−− xx
� Interval
Ada tiga jenis interval yang biasanya dijumpai yaitu interval terbuka,
tertutup, dan kombinasi keduanya. Interval terbuka biasanya menggunakan
tanda “>”, “<” atau keduanya, misal bxa << . Interval terbuka bxa <<
sebenarnya terdiri dari dua buah pertidaksamaan ax > dan bx < yang
menunjukkan semua bilangan di antara titik � dan � tapi tidak termasuk
titik � dan �. Interval terbuka biasanya dinyatakan dengan tanda kurung “
),( ”. Interval tertutup biasanya menggunakan tanda “≤”, “≥” atau
Pendahuluan Kalkulus
6 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
keduanya, misal bxa ≤≤ . Interval tertutup bxa ≤≤ sebenarnya terdiri dari
dua buah pertidaksamaan ax ≥ dan bx ≤ yang menunjukkan semua
bilangan di antara titik � dan � termasuk titik � dan �. Interval tertutup
biasanya dinyatakan dengan tanda kurung “ [ ], ”. Kombinasi dari interval
tertutup dan terbuka seperti bxabxa ≤<<≤ ; dapat dinyatakan dengan
tanda kurung “ ),[ “ dan “ ],( ”. Adapun beragam kemungkinan interval
dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Ragam Kemungkinan Interval
Penulisan Himpunan
Penulisan Interval
Grafik
{ }bxax <<: ),( ba
{ }bxax ≤≤: [ ]ba,
{ }bxax <≤: [ )ba,
{ }bxax ≤<: [ )ba,
{ }bxx ≤: ( ]b,∞−
{ }bxx <: ( )b,∞−
{ }axx ≥: [ )∞,a
{ }axx >: ( )∞,a
ℝ ( )∞∞− ,
� Penyelesaian Pertidaksamaan
Pertidaksamaan dapat diselesaikan tanpa mengubah himpunan
penyelesaian. Khususnya:
a. Menjumlahkan bilangan yang merupakan invers penjumlahan pada
kedua ruas dari suatu pertidaksamaan.
(a b
)
[a b
]
[a b
)
(a b
]
b]
b]
[a
(a
Pendahuluan Kalkulus
7 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
b. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan
positif.
c. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan
negatif, tetapi kemudian arah tanda pertidaksamaan harus dibalik.
Contoh 6 :
Selesaikan pertidaksamaan 2472 −<− xx dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
Jawab:
) 2
1dengan perkalian karena ubah tanda(
2
5
)2
1kalikan(5
2
1)2(
2
1
52
))4(tambahkan(54)4(2)4(
)7tambahkan(724772
−−>
−⋅−<−⋅−
<−
−++−<+−
+−<+−
x
x
x
xxxxx
xx
Contoh 7 :
Selesaikan pertidaksamaan 4625 <+≤− x dan perlihatkan grafik himpunan
penyelesaiannya.
Jawab :
12
11
)2(2
12
2
1)11(
2
1
2211
)6(4)6(62)6(5
4625
−<≤−
−⋅<⋅≤−⋅
−<≤−
−+<−++≤−+−
<+≤−
x
x
x
x
x
Contoh 8 :
Selesaikan pertidaksamaan 062<−− xx .
Jawab :
0)2)(3(
062
<+−
<−−
xx
xx
dari perhitungan diperoleh 303 =⇔=− xx dan 202 −=⇔=+ xx . Jadi
titik -2 dan 3 adalah titik pemisah.Untuk penyelesaian dari pertidaksamaan
tentukan terlebih dahulu titik uji pada interval )3,2(),2,( −−−∞ dan ),3( ∞ .
Pada interval )2,( −−∞ titik uji yang dipilih adalah 3− , pada interval )3,2(−
3− 2− 1− 0 1 2 3(
6− 5− 4− 3− 2− 1− 0[ )
Pendahuluan Kalkulus
8 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
titik uji yang dipilih adalah 0 dan pada interval ),3( ∞ titik uji yang dipilih
adalah 4 . Maka proses selanjutnya adalah
Titik Uji Nilai dari Tanda )2)(3( +− xx )3( −x )2( +x
3− − − +
0 − + −
4 + + +
Karena 0)2)(3( <+− xx maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
tersebut berada pada interval )3,2(− atau 2−>x dan 3<x . Grafik
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai
berikut.
Titik uji
Titik Pemisah Titik Pemisah
� Nilai Mutlak
Nilai mutlak suatu bilangan real x , dinyatakan oleh x ,
didefinisikan sebagai
0jika
0 jika
<−=
≥=
xxx
xxx
Contoh 9 :
5)5(50066 =−−=−==
Dari definisi nilai mutlak tidak ada menjelaskan bahwa xx =− (lihat
Contoh 9). Akan tetapi adalah benar bahwa x selalu taknegatif dan adalah
benar juga bahwa xx =− . Mencoba membayangkan x sebagai jarak
antara x dengan titik asal yaitu 0 dan ax − sebagai jarak antara titik x
dengan a merupakan salah satu cara terbaik untuk memahami nilai mutlak.
3− 2− 1− 0 1 2 3( )
4−+ +
x− x0
xx =− xx =
a x
xaax −=−
Pendahuluan Kalkulus
9 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
� Sifat-sifat Nilai Mutlak
a. baba ⋅=⋅
b. b
a
b
a=
c. baba +≤+
d. baba −≥−
� Pertidaksamaan yang Melibatkan Nilai Mutlak
a. axaax <<−⇔<
b. axaxax >−<⇔> atau
Contoh 10 :
Selesaikanlah pertidaksamaan 24 <−x .
Jawab :
Jika ditambahkan 4 pada ketiga ruas maka diperoleh
62
424442
24224
<<⇔
+<+−<+−⇔
<−<−⇔<−
x
x
xx
Jika memandang 24 <−x sebagai jarak maka jarak antara titik x dan 4
harus lebih kecil daripada 2 .
Sehingga nilai x yang memenuhi adalah seluruh bilangan yang ada di
antara 2 dan 6, yaitu 62 << x .
Contoh 11 :
Selesaikanlah pertidaksamaan 153 ≥−x .
Jawab :
23
4
6343
5155351553
153153153
≥≤⇔
≥≤⇔
+≥+−+−≤+−⇔
≥−−≤−⇔≥−
xataux
xataux
xataux
xatauxx
Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah gabungan dua interval
yaitu [ )∞∪
∞− ,2
3
4, .
2 653 4 71( )
0 431 2 51−] [
Pendahuluan Kalkulus
10 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
� Kuadrat yang Melibatkan Nilai Mutlak
a. 22xx =
b. 2xx =
Apakah operasi kuadrat mempertahankan pertidaksamaan? Misal 34 <−
tetapi ( ) 2234 >− , sebaliknya 42 < dan 22 42 < . Dari dua hal tersebut
diperoleh bahwa operasi kuadrat tidak selalu mempertahankan
pertidaksamaan.
Jika bekerja hanya pada bilangan taknegatif maka 22baba <⇔< .
Sehingga jika mengingat bahwa nilai mutlak suatu bilangan real adalah
taknegatif maka 22yxyx <⇔< .
Contoh 12 :
( ) ( )
0)115)(13(
0143545
144484169
12213
122136213
2
22
22
<−+⇔
<−+⇔
+−<++⇔
−<+⇔
−<+⇔−<+
xx
xx
xxxx
xx
xxxx
Diperoleh tiga interval yaitu )13,( −−∞ , ( )5
11,13− dan ( )∞,5
11 .
Titik Uji Nilai dari Tanda )115)(13( −+ xx )13( +x )115( −x
14− − − +
0 + − −
3 + + +
Karena 0)115)(13( <−+ xx maka himpunan penyelesaiannya adalah semua
bilangan yang berada pada interval ( )5
11,13− .
3. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS
Koordinat Cartesius dibentuk oleh dua garis bilangan real yang
saling tegak lurus dan berpotongan di titik nol kedua garis. Garis mendatar
di sebut sumbu � dan garis tegak disebut sumbu �. Titik potong keduanya
dinamakan titik asal dan diberi label Ο. Sumbu-sumbu koordinat membagi
bidang menjadi empat daerah yang disebut kuadran, yaitu kuadran I, II, III,
dan IV (Lihat Gambar 2).
Tiap titik P (Lihat Gambar 3) pada bidang koordinat dapat
dinyatakan oleh sepasang bilangan sebagai titik koordinatnya. Jika P
mempunyai koordinat (�, �), maka suatu garis tegak yang melalui P akan
Pendahuluan Kalkulus
11 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
memotong sumbu � di �, dan suatu garis mendatar yang melalui akan
memotong sumbu � di �. Titik (�, �) merupakan pasangan terurut � dan �
sehingga urutannya tidak bisa dibalik. Bilangan pertama � di koordinat-�
dan � bilangan kedua di koordinat-� Bilangan � disebut absis dan bilangan
� disebut ordinat.
Gambar 2 Gambar 3
� Rumus Jarak
Gambar 4
Jarak ( )d antara dua titik P dan Q yang masing-masing mempunyai
koordinat ),( 11 yx dan ),( 22 yx adalah:
( ) ( )2
12
2
12),( yyxxQPd −+−=
Contoh 13 :
Carilah jarak antara )3,2(− dan )1,4( − !
Jawab :
y
xΟ a
b),( baP
y
xΟ
),( 22 yxQ
),( 11 yxP
y
xΟ
IKuadran IIKuadran
IIIKuadran IVKuadran
d
Pendahuluan Kalkulus
12 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
( ) ( )
( ) ( )
21,752
1636
)4(6
3)1()2(4
22
22
2
12
2
12
≈=
+=
−+=
−−+−−=
−+−= yyxxd
� Rumus Titik Tengah
Dua titik ),( 11 yxP dan ),( 22 yxQ dengan 21 xx ≤ dan 21 yy ≤ . Jika P
dihubungkan oleh sebuah garis lurus ke Q maka jarak antara 1x dan 2x
adalah 12 xx − serta jarak antara 1y dan 2y adalah 12 yy − . Titik tengah ruas
garis yang menghubungkan P dan Q berada pada pertengahan garis
penghubung kedua titik tersebut. Pertengahan garis penghubung kedua
titik tersebut dapat dicari dengan membagi dua jarak antara 1x dan 2x serta
jarak antara 1y dan 2y . Sehingga diperoleh 2
12 xx −dan
2
12 yy −. Titik tengah
ruas garis yang menghubungkan P dan Q adalah
22
2
2
21121121
xxxxxxxx
+=
−+=
−+
22
2
2
21121121
yyyyyyyy
+=
−+=
−+
Jadi titik tengah ruas garis yang menghubungkan P dan Q adalah
++
2,
2
2121 yyxx
Contoh 14 :
Tentukan jarak antara )3,2(− dengan titik tengah ruas garis yang
menghubungkan titik )2,2( −− dan )3,4( .
Jawab :
Titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik )2,2( −− dan )3,4( adalah
=
=
+−+−=
++
2
1,1
2
1,
2
2
2
32,
2
42
2,
2
2121 yyxx
Pendahuluan Kalkulus
13 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
( ) ( )( ) ( )
91,34
61
4
259
2
53
32
1)2(1,1,3,2
2
2
2
2
21
≈=+=
−+=
−+−−=−d
4. GARIS DAN PERSAMAAN GARIS
� Garis
Pengertian
Garis atau garis lurus adalah objek geometri yang terbentuk dari paling
sedikitnya dua titik yang terhubung. Dari satu titik dapat dibuat tak
terhingga banyaknya garis, namun dari dua titik hanya dapat dibuat satu
garis.
Kedudukan Dua Garis
� Dua garis berpotongan
Dua garis dikatakan berpotongan jika keduanya berpotongan di satu titik
yang disebut titik potong. Jika perpotongan dua garis tersebut pada satu
membentuk sudut 90� maka dua garis itu disebut saling tegak lurus.
� Dua garis sejajar
Dua garis dikatakan sejajar jika garis tersebut berada pada satu bidang
dan jika diteruskan tidak akan berpotongan atau dengan kata lain kedua
garis tersebut tidak mempunyai titik potong.
� Dua garis berhimpit
Dua garis dikatakan berhimpit jika kedua garis mempunyai paling sedikit
dua titik potong.
� Gradien/Kemiringan
Gambar 5
y
xΟ
),( 22 yxB
),( 11 yxA12 xx −
12 yy −
Pendahuluan Kalkulus
14 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
Umumnya (Gambar 5) untuk sebuah garis melalui ( )11 , yxA dan
( )22 , yxB dengan 21 xx ≠ , kemiringan (�) dari garis tersebut adalah
12
12
xx
yym
−
−= (*)
Contoh 15 :
Gradien garis yang melalui titik ( )2,3 dan ( )0,4 adalah
21
2
34
20
12
12 −=−
=−
−=
−
−=
xx
yym
Berdasarkan (*), maka untuk gradien garis-garis horizontal (sejajar sumbu
�) adalah bernilai 0, sedangkan garis-garis vertikal (sejajar sumbu �)
nilainya tidak didefinisikan (karena adanya pembagian dengan 0).
Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama: 21 mm = .
Sedangkan dua garis yang saling tegak lurus mempunyai gradien yang
saling berlawanan dan berkebalikan: 2
1
1
mm −= .
� Persamaan Garis
Persamaan garis dapat disusun dari dua titik koordinat yang dilalui
garis atau satu titik koordinat yang dilalui dan besar kemiringannya. Bentuk
umum persamaan garis lurus adalah
0=++ CByAx
Persamaan garis yang melalui satu titik ( )11 , yx dengan gradien m adalah
( )11 xxmyy −=−
Jika satu garis mempunyai titik potong di sumbu � misal di titik ( )b,0
seperti maka kemiringan garis tersebut adalah
bxmy +=
Garis yang melalui dua titik ( )11 , yxA dan ( )22 , yxB maka persamaan
garisnya adalah
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−=
−
−
Contoh 16 :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( )2,4− dan ( )1,6 − !
Jawab :
10
3
)4(6
21
12
12 −=−−
−−=
−
−=
xx
yym
Pilih salah satu titik dan gunakan persamaan garis yang melalui satu titik.
Pendahuluan Kalkulus
15 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
( )
( )
( )
5
4
10
3
10
8
10
3
210
12
10
3
410
32
)4(10
32
11
+−=
+−=
+−−=
+−=−
−−−=−
−=−
xy
xy
xy
xy
xy
xxmyy
( )
( )
5
4
10
3
10
8
10
3
110
18
10
3
10
18
10
31
610
3)1(
11
+−=
+−=
−+−=
+−=+
−−=−−
−=−
xy
xy
xy
xy
xy
xxmyy
atau tanpa menghitung gradiennya, dapat juga dicari dengan menggunakan
persamaan garis yang melalui dua titik.
3
2
10
4
21
2
46
4
21
2
)4(6
)4(
12
1
12
1
−
−=
+
−−
−=
+
+
−−
−=
−−
−−
−
−=
−
−
yx
yx
yx
yy
yy
xx
xx
( )
5
4
10
3
10
8
10
3
210
12
10
3
410
32
+−=
+−=
+−−=
+−=−
xy
xy
xy
xy
Jadi persamaan garis yang melalui titik ( )2,4− dan ( )1,6 − adalah
5
4
10
3+−= xy
5. EVALUASI
Latihan 1
1) Sederhanakanlah soal berikut ini:
a. ( ) 611824 +−−
b. ( )( ) 241612715 ++−+−
c. 6
1
21
3
74
3−+
−
d.
2
315
2
21
14
−
e. ( )( )3535 −+
f. ( )2
73 +
Pendahuluan Kalkulus
16 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
2) Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini.
a. ( )( )1293 +− xx
b. ( )3112 −x
c. 2
62
+
−−
x
xx
d. 1926
22
−+
− y
y
y
3) Ubahlah bilangan rasional ini menjadi desimal.
a. 3
11
b. 17
5
c. 8
15
d. 8
3
4) Ubahlah desimal berikut ini menjadi suatu hasil bagi bilangan bulat.
a. 0,123123123 …
b. 2,5656565656 …
c. 0,375
d. 0,64
Latihan 2
1) Gambarlah grafik dari interval berikut ini.
a. ( )3,5−
b.
5,
8
2
c.
− 2,
4
3
d.
−
2
7,2
2) Nyatakan himpunan penyelesaiannya dalam cara penulisan interval dan
sketsalah grafiknya.
a. 527 −<− xx
b. 4635 −>− xx
c. 4613 ≤−<− x
d. 52
<x
e. ( )( )( ) 03132 >−−+ xxx
f. 065 23<−− xxx
g. 52 ≥−x
h. 754 ≤+x
Pendahuluan Kalkulus
17 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
i. 112 −≥− xx
j. 10322 +<− xx
k. 6213 −<− xx
Latihan 3
1) Gambarlah titik-titik berikut ini dalam bidang koordinat dan carilah
jarak antara titik-titik tersebut.
a. ( ) ( )3,5,1,2 −
b. ( ) ( )4,2,2,4
c. ( ) ( )3,6,5,1−
d. ( ) ( )8,5,5,4 −
2) Buktikan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah ( ) ( )4,2,3,5 − dan
( )8,10 adalah sama kaki.
3) Tentukan jarak antara ( )3,2− dengan titik tengah ruas garis yang
menghubungkan ( )2,2 −− dan ( )3,4 .
4) Carilah titik pada sumbu-x yang berjarak sama dari ( )1,3 dan ( )4,6 .
5) Carilah panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah
dengan ruas-ruas AB dan CD dengan ( ) ( ) ( )7,4,6,2,3,1 === CBA dan
( )4,3=D .
Latihan 4
1) Carilah kemiringan dari garis yang melalui dua titik berikut ini.
a. ( ) ( )2,2dan1,1
b. ( ) ( )5,-6-dan3,2
c. ( ) ( )4,7dan5,3
d. ( ) ( )0,-6dan4,2 −
e. ( ) ( )0,5dan0,3
f. ( ) ( )0,6dan0,6−
2) Carilah persamaan untuk tiap garis dan tulislah dalam bentuk
0=++ CByAx .
a. Melalui ( )4,3 dan gradien −1.
b. Melalui ( )3,2 dan gradien 4.
c. Memotong sumbu-� di 3 dan gradien 2.
d. Memotong sumbu-� di 5 dan gradien 3.
e. Melalui ( ) ( )4,8dan3,2
f. Melalui ( ) ( )8,2dan1,4
Pendahuluan Kalkulus
18 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd
3) Carilah gradien dan perpotongan pada sumbu-� untuk tiap garis berikut
ini.
a. 123 +−= xy
b. 252 += xy
c. 632 =+ yx
d. 2045 =+ yx
4) Tulislah persamaan garis yang ( )3,3 − yang:
a. Sejajar garis 52 += xy
b. Sejajar garis yang melalui ( ) ( )3,-1dan 2,1−
c. Tegak lurus garis 632 =+ yx
===SELAMAT BEKERJA===