pendahuluan kalkulus - miamtk.files.wordpress.com filependahuluan kalkulus 1 | pengajar: mia fitria,...

18
Pendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu kah anda bilangan apa saja yang termasuk pada kategori bilangan-bilangan tersebut? Bilangan-bilangan yang merupakan anggota bilangan asli adalah ... , 3 , 2 , 1 . Bilangan asli biasanya dinyatakan dengan . Secara matematis himpunan bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut. ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, … Bilangan asli ini disebut juga sebagai bilangan yang paling sederhana. Himpunan bilangan asli ditambahkan dengan 0 maka himpunan bilangan tersebut menjadi { } ... , 3 , 2 , 1 , 0 . Himpunan bilangan tersebut merupakan bilangan cacah. Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan ℂ. Sehingga himpunan bilangan cacah dapat ditulis sebagai berikut. ℂ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Himpunan bilangan cacah ditambahkan negatif dari bilangan- bilangan asli maka himpunan bilangan tersebut adalah bilangan bulat. Bilangan bulat dapat juga dinotasikan dengan . Secara matematis, himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai berikut. ℤ = −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … Dalam pengkuran, bilangan-bilangan bulat kurang memadai untuk digunakan karena tidak memiliki ketelitian yang cukup. Hal ini dapat menuntun kepada pembagian/rasio dua bilangan bulat yang dikenal sebagai bilangan rasional/terukur atau . Bilangan yang merupakan bilangan rasional dapat dinyatakan ke dalam bentuk b a dengan 0 b , a dan b adalah bilangan bulat. Sehingga bilangan rasional dapat dikatakan merupakan gabungan dari bilangan bulat dan pecahan. Kekurangan dari bilangan rasional dapat memberikan hasil berupa bilangan irrasional. Gabungan bilangan rasional dan irrasional yang dapat mengukur panjang (positif) beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut dan nol disebut juga bilangan real atau . Sistem bilangan tidak hanya berakhir pada bilangan real saja, melainkan dapat diperluas lagi menjadi sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks berbentuk ib a +

Upload: vothu

Post on 22-Mar-2019

224 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

1 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

PENDAHULUAN KALKULUS

1. BILANGAN REAL

Ada beberapa jenis bilangan yang telah kita kenal ketika di bangku

sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah,

rasional, irrasional. Tahu kah anda bilangan apa saja yang termasuk pada

kategori bilangan-bilangan tersebut?

Bilangan-bilangan yang merupakan anggota bilangan asli adalah

...,3,2,1 . Bilangan asli biasanya dinyatakan dengan ℕ. Secara matematis

himpunan bilangan asli dapat ditulis sebagai berikut.

ℕ = �1, 2, 3, 4, 5, … �

Bilangan asli ini disebut juga sebagai bilangan yang paling sederhana.

Himpunan bilangan asli ditambahkan dengan 0 maka himpunan bilangan

tersebut menjadi { }...,3,2,1,0 . Himpunan bilangan tersebut merupakan

bilangan cacah. Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan ℂ. Sehingga

himpunan bilangan cacah dapat ditulis sebagai berikut.

ℂ = �0, 1, 2, 3, 4, 5, … �

Himpunan bilangan cacah ditambahkan negatif dari bilangan-

bilangan asli maka himpunan bilangan tersebut adalah bilangan bulat.

Bilangan bulat dapat juga dinotasikan dengan ℤ. Secara matematis,

himpunan bilangan bulat dapat ditulis sebagai berikut.

ℤ = �−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … �

Dalam pengkuran, bilangan-bilangan bulat kurang memadai untuk

digunakan karena tidak memiliki ketelitian yang cukup. Hal ini dapat

menuntun kepada pembagian/rasio dua bilangan bulat yang dikenal sebagai

bilangan rasional/terukur atau ℚ. Bilangan yang merupakan bilangan

rasional dapat dinyatakan ke dalam bentuk b

a dengan 0≠b , a dan b

adalah bilangan bulat. Sehingga bilangan rasional dapat dikatakan

merupakan gabungan dari bilangan bulat dan pecahan.

Kekurangan dari bilangan rasional dapat memberikan hasil berupa

bilangan irrasional. Gabungan bilangan rasional dan irrasional yang dapat

mengukur panjang (positif) beserta negatif dari bilangan-bilangan tersebut

dan nol disebut juga bilangan real atau ℝ. Sistem bilangan tidak hanya

berakhir pada bilangan real saja, melainkan dapat diperluas lagi menjadi

sistem bilangan kompleks. Sistem bilangan kompleks berbentuk iba +

Page 2: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

2 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

dengan a dan b adalah bilangan real. Akan tetapi pembahasan sistem

bilangan konsep ini akan dibahas pada bahasan fungsi kompleks.

Setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai desimal, karena

bilangan rasional dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua bilangan bulat.

Jika pembilang dibagi dengan penyebut maka dihasilkan suatu bentuk

desimal.

Ada dua dentuk desimal dari bilangan rasional, yaitu bentuk desimal

berakhir dan bentuk desimal berulang. Bentuk desimal berakhir biasanya

diakhiri dengan nol yang berulang.

Contoh 1 :

Bentuk desimal berakhir

000000,223

6...375000000,0375,0

8

1...4000000,04,0

5

2======

Bentuk desimal berulang

.....3333333333,03

1=

...857142857142,0

7

5=

...1666666666,0

6

1=

Jika bilangan rasional dapat dinyatakan ke dalam bentuk desimal berakhir

dan berulang, dapatkah berlaku kebalikannya yaitu bilang yang mempunyai

bentuk desimal berakhir dan berulang dapat dikatakan sebagai bilangan

rasional?

Contoh 2 :

Buktikan apakah 0,175 ; 0,136136136... ; 0,17171717...

Jawab :

40

7

1000

175175,0 ==

Misalkan ...136136136,0=x maka ...136136,1361000 =x sehingga

Bilangan Real (ℝ)

Bilangan Rasional (ℚ)

Bilangan Bulat (ℤ)

Bilangan Cacah (ℂ)

Bilangan Asli (ℕ)

Page 3: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

3 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

999

136

136999

...136136,0

...136136,1361000

=

=

−=

=

x

x

x

x

Misalkan ...17171717,0=y maka ...171717,17100 =x sehingga

99

17

1799

...171717,0

...171717,17100

=

=

−=

=

x

x

x

x

Jadi dapat disimpulkan bahwa bilangan bentuk desimal berakhir dan

berulang merupakan bilangan rasional

Bentuk akar dari bilangan rasional pada umumnya merupakan

bilangan irrasional. Selain itu ada juga bilangan yang bukan bentuk akar

yang juga merupakan bilangan irrasional.

Contoh 3 :

Bentuk Akar

...626527804,2125

...279507057,227

...414213562,,12

5

4

=

=

=

Bentuk Bukan Akar

...3010299957,02log

...141592654,3

=

Akan tetapi ada bentuk akar yang hasilnya merupakan bilangan rasional

sehingga bentuk akar tersebut tidak bisa dikategorikan sebagai bilangan

irrasional seperti 61296;5125;981;416 43 ==== . Selain itu, ada juga

bentuk bukan akar yang hasilnya merupakan bilangan rasional sehingga

menjadikannya bukan bilangan irrasional seperti

481log;38log;2100log 32=== .

� SIFAT-SIFAT PADA BILANGAN REAL � Sifat-sifat Operasi pada Bilangan Real

Asosiatif

Penjumlahan : cbacba ++=++ )()(

Page 4: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

4 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Perkalian : cbacba ⋅⋅=⋅⋅ )()(

Komutatif

Penjumlahan : abba +=+

Perkalian : abba ⋅=⋅

Distributif

Depan : cabacba ⋅+⋅=+⋅ )(

Belakang : acabacb ⋅+⋅=⋅+ )(

Identitas

Penjumlahan : aaa =+=+ 00

Perkalian : aaa =⋅=⋅ 11

Invers (Kebalikan)

Penjumlahan : 0)()( =+−=−+ aaaa

Perkalian : 111

=⋅=⋅ aaa

a

dengan cba ,, adalah bilangan real.

� Sifat-sifat Urutan pada Bilangan Real

Himpunan bilangan real yang anggotanya selain nol dipisahkan sama

besar menjadi dua himpunan yaitu himpunan bilarang real positif dan

negatif. Sehingga kita mengenal tanda-tanda seperti < (dibaca “lebih kecil

daripada”), > (dibaca “lebih besar daripada”), = (dibaca “sama dengan”). Jika

yx < maka xy − positif. Selain itu juga diperoleh bahwa xyyx >=< .

Berikut ini adalah sifat-sifat urutan pada bilangan real yaitu

a. Trikotomi

Jika x dan y adalah bilangan real maka salah satu di antara tiga hal berikut

ini akan berlaku

yx < atau yx = atau yx >

b. Transitif

Jika yx < dan zy < maka zx < , dengan zyx ,, adalah bilangan real.

Jika yx > dan zy > maka zx > , dengan zyx ,, adalah bilangan real.

c. Penjumlahan

yx < ⇔ zyzx +<+ ; yx > ⇔ zyzx +>+

d. Perkalian

z adalah bilangan real positif, yx < ⇔ zyzx ⋅<⋅ , yx > ⇔ zyzx ⋅>⋅

z adalah bilangan real negatif, yx < ⇔ zyzx ⋅>⋅ , yx > ⇔ zyzx ⋅<⋅

Tanda ≤ (dibaca “ lebih kecil daripada atau sama dengan”) dan ≥

(dibaca “ lebih besar daripada atau sama dengan”) juga melambangkan

Page 5: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

5 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

urutan suatu bilangan real. Jika yx ≤ maka xy − positif atau nol. Jika yx ≥

maka yx − positif atau nol. Sifat-sifat b, c, dan d dapat juga berlaku untuk

tanda ≤ dan ≥.

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN INTERVAL

� Persamaan

Persamaan adalah suatu kalimat matematika yang mengandung

nilai-nilai yang belum diketahui (variabel/peubah) dan dihubungkan oleh

tanda kesamaan (“=”). Persamaan biasanya didefinisikan berdasarkan

banyak variabelnya, pangkat tertinggi variabel, atau jenis variabelnya.

Penyelesaian dari persamaan adalah satu atau sejumlah bilangan berhingga

yang membuat persamaan menjadi berlaku. Menyelesaikan suatu

persamaan adalah tugas dasar dalam matematika.

Contoh 4 :

Persamaan linear 5103 =−x dengan penyelesaian adalah 53

15==x .

Persamaan kuadrat 062=−− xx dengan penyelesaian adalah 31 =x dan

22 −=x .

Persamaan eksponen 82 2

1

=x

dengan penyelesaian adalah 6=x .

� Pertidaksamaan dan Interval

� Pertidaksamaan

Pertidaksamaan mempunyai karakteristik yang kurang lebih sama

dengan persamaan. Perbedaannya terletak pada tanda hubung yang

digunakan yaitu “<, >, ≤, ≥”. Selain itu himpunan penyelesaian dari suatu

pertidaksamaan adalah seluruh bilangan yang berada pada interval

bilangan.

Contoh 5 :

5103 <−x 062≤−− xx

� Interval

Ada tiga jenis interval yang biasanya dijumpai yaitu interval terbuka,

tertutup, dan kombinasi keduanya. Interval terbuka biasanya menggunakan

tanda “>”, “<” atau keduanya, misal bxa << . Interval terbuka bxa <<

sebenarnya terdiri dari dua buah pertidaksamaan ax > dan bx < yang

menunjukkan semua bilangan di antara titik � dan � tapi tidak termasuk

titik � dan �. Interval terbuka biasanya dinyatakan dengan tanda kurung “

),( ”. Interval tertutup biasanya menggunakan tanda “≤”, “≥” atau

Page 6: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

6 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

keduanya, misal bxa ≤≤ . Interval tertutup bxa ≤≤ sebenarnya terdiri dari

dua buah pertidaksamaan ax ≥ dan bx ≤ yang menunjukkan semua

bilangan di antara titik � dan � termasuk titik � dan �. Interval tertutup

biasanya dinyatakan dengan tanda kurung “ [ ], ”. Kombinasi dari interval

tertutup dan terbuka seperti bxabxa ≤<<≤ ; dapat dinyatakan dengan

tanda kurung “ ),[ “ dan “ ],( ”. Adapun beragam kemungkinan interval

dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1. Ragam Kemungkinan Interval

Penulisan Himpunan

Penulisan Interval

Grafik

{ }bxax <<: ),( ba

{ }bxax ≤≤: [ ]ba,

{ }bxax <≤: [ )ba,

{ }bxax ≤<: [ )ba,

{ }bxx ≤: ( ]b,∞−

{ }bxx <: ( )b,∞−

{ }axx ≥: [ )∞,a

{ }axx >: ( )∞,a

ℝ ( )∞∞− ,

� Penyelesaian Pertidaksamaan

Pertidaksamaan dapat diselesaikan tanpa mengubah himpunan

penyelesaian. Khususnya:

a. Menjumlahkan bilangan yang merupakan invers penjumlahan pada

kedua ruas dari suatu pertidaksamaan.

(a b

)

[a b

]

[a b

)

(a b

]

b]

b]

[a

(a

Page 7: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

7 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

b. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan

positif.

c. Mengalikan kedua ruas suatu pertidaksamaan dengan suatu bilangan

negatif, tetapi kemudian arah tanda pertidaksamaan harus dibalik.

Contoh 6 :

Selesaikan pertidaksamaan 2472 −<− xx dan perlihatkan grafik himpunan

penyelesaiannya.

Jawab:

) 2

1dengan perkalian karena ubah tanda(

2

5

)2

1kalikan(5

2

1)2(

2

1

52

))4(tambahkan(54)4(2)4(

)7tambahkan(724772

−−>

−⋅−<−⋅−

<−

−++−<+−

+−<+−

x

x

x

xxxxx

xx

Contoh 7 :

Selesaikan pertidaksamaan 4625 <+≤− x dan perlihatkan grafik himpunan

penyelesaiannya.

Jawab :

12

11

)2(2

12

2

1)11(

2

1

2211

)6(4)6(62)6(5

4625

−<≤−

−⋅<⋅≤−⋅

−<≤−

−+<−++≤−+−

<+≤−

x

x

x

x

x

Contoh 8 :

Selesaikan pertidaksamaan 062<−− xx .

Jawab :

0)2)(3(

062

<+−

<−−

xx

xx

dari perhitungan diperoleh 303 =⇔=− xx dan 202 −=⇔=+ xx . Jadi

titik -2 dan 3 adalah titik pemisah.Untuk penyelesaian dari pertidaksamaan

tentukan terlebih dahulu titik uji pada interval )3,2(),2,( −−−∞ dan ),3( ∞ .

Pada interval )2,( −−∞ titik uji yang dipilih adalah 3− , pada interval )3,2(−

3− 2− 1− 0 1 2 3(

6− 5− 4− 3− 2− 1− 0[ )

Page 8: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

8 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

titik uji yang dipilih adalah 0 dan pada interval ),3( ∞ titik uji yang dipilih

adalah 4 . Maka proses selanjutnya adalah

Titik Uji Nilai dari Tanda )2)(3( +− xx )3( −x )2( +x

3− − − +

0 − + −

4 + + +

Karena 0)2)(3( <+− xx maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

tersebut berada pada interval )3,2(− atau 2−>x dan 3<x . Grafik

himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan dapat digambarkan sebagai

berikut.

Titik uji

Titik Pemisah Titik Pemisah

� Nilai Mutlak

Nilai mutlak suatu bilangan real x , dinyatakan oleh x ,

didefinisikan sebagai

0jika

0 jika

<−=

≥=

xxx

xxx

Contoh 9 :

5)5(50066 =−−=−==

Dari definisi nilai mutlak tidak ada menjelaskan bahwa xx =− (lihat

Contoh 9). Akan tetapi adalah benar bahwa x selalu taknegatif dan adalah

benar juga bahwa xx =− . Mencoba membayangkan x sebagai jarak

antara x dengan titik asal yaitu 0 dan ax − sebagai jarak antara titik x

dengan a merupakan salah satu cara terbaik untuk memahami nilai mutlak.

3− 2− 1− 0 1 2 3( )

4−+ +

x− x0

xx =− xx =

a x

xaax −=−

Page 9: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

9 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

� Sifat-sifat Nilai Mutlak

a. baba ⋅=⋅

b. b

a

b

a=

c. baba +≤+

d. baba −≥−

� Pertidaksamaan yang Melibatkan Nilai Mutlak

a. axaax <<−⇔<

b. axaxax >−<⇔> atau

Contoh 10 :

Selesaikanlah pertidaksamaan 24 <−x .

Jawab :

Jika ditambahkan 4 pada ketiga ruas maka diperoleh

62

424442

24224

<<⇔

+<+−<+−⇔

<−<−⇔<−

x

x

xx

Jika memandang 24 <−x sebagai jarak maka jarak antara titik x dan 4

harus lebih kecil daripada 2 .

Sehingga nilai x yang memenuhi adalah seluruh bilangan yang ada di

antara 2 dan 6, yaitu 62 << x .

Contoh 11 :

Selesaikanlah pertidaksamaan 153 ≥−x .

Jawab :

23

4

6343

5155351553

153153153

≥≤⇔

≥≤⇔

+≥+−+−≤+−⇔

≥−−≤−⇔≥−

xataux

xataux

xataux

xatauxx

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan adalah gabungan dua interval

yaitu [ )∞∪

∞− ,2

3

4, .

2 653 4 71( )

0 431 2 51−] [

Page 10: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

10 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

� Kuadrat yang Melibatkan Nilai Mutlak

a. 22xx =

b. 2xx =

Apakah operasi kuadrat mempertahankan pertidaksamaan? Misal 34 <−

tetapi ( ) 2234 >− , sebaliknya 42 < dan 22 42 < . Dari dua hal tersebut

diperoleh bahwa operasi kuadrat tidak selalu mempertahankan

pertidaksamaan.

Jika bekerja hanya pada bilangan taknegatif maka 22baba <⇔< .

Sehingga jika mengingat bahwa nilai mutlak suatu bilangan real adalah

taknegatif maka 22yxyx <⇔< .

Contoh 12 :

( ) ( )

0)115)(13(

0143545

144484169

12213

122136213

2

22

22

<−+⇔

<−+⇔

+−<++⇔

−<+⇔

−<+⇔−<+

xx

xx

xxxx

xx

xxxx

Diperoleh tiga interval yaitu )13,( −−∞ , ( )5

11,13− dan ( )∞,5

11 .

Titik Uji Nilai dari Tanda )115)(13( −+ xx )13( +x )115( −x

14− − − +

0 + − −

3 + + +

Karena 0)115)(13( <−+ xx maka himpunan penyelesaiannya adalah semua

bilangan yang berada pada interval ( )5

11,13− .

3. SISTEM KOORDINAT CARTESIUS

Koordinat Cartesius dibentuk oleh dua garis bilangan real yang

saling tegak lurus dan berpotongan di titik nol kedua garis. Garis mendatar

di sebut sumbu � dan garis tegak disebut sumbu �. Titik potong keduanya

dinamakan titik asal dan diberi label Ο. Sumbu-sumbu koordinat membagi

bidang menjadi empat daerah yang disebut kuadran, yaitu kuadran I, II, III,

dan IV (Lihat Gambar 2).

Tiap titik P (Lihat Gambar 3) pada bidang koordinat dapat

dinyatakan oleh sepasang bilangan sebagai titik koordinatnya. Jika P

mempunyai koordinat (�, �), maka suatu garis tegak yang melalui P akan

Page 11: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

11 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

memotong sumbu � di �, dan suatu garis mendatar yang melalui akan

memotong sumbu � di �. Titik (�, �) merupakan pasangan terurut � dan �

sehingga urutannya tidak bisa dibalik. Bilangan pertama � di koordinat-�

dan � bilangan kedua di koordinat-� Bilangan � disebut absis dan bilangan

� disebut ordinat.

Gambar 2 Gambar 3

� Rumus Jarak

Gambar 4

Jarak ( )d antara dua titik P dan Q yang masing-masing mempunyai

koordinat ),( 11 yx dan ),( 22 yx adalah:

( ) ( )2

12

2

12),( yyxxQPd −+−=

Contoh 13 :

Carilah jarak antara )3,2(− dan )1,4( − !

Jawab :

y

xΟ a

b),( baP

y

),( 22 yxQ

),( 11 yxP

y

IKuadran IIKuadran

IIIKuadran IVKuadran

d

Page 12: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

12 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

( ) ( )

( ) ( )

21,752

1636

)4(6

3)1()2(4

22

22

2

12

2

12

≈=

+=

−+=

−−+−−=

−+−= yyxxd

� Rumus Titik Tengah

Dua titik ),( 11 yxP dan ),( 22 yxQ dengan 21 xx ≤ dan 21 yy ≤ . Jika P

dihubungkan oleh sebuah garis lurus ke Q maka jarak antara 1x dan 2x

adalah 12 xx − serta jarak antara 1y dan 2y adalah 12 yy − . Titik tengah ruas

garis yang menghubungkan P dan Q berada pada pertengahan garis

penghubung kedua titik tersebut. Pertengahan garis penghubung kedua

titik tersebut dapat dicari dengan membagi dua jarak antara 1x dan 2x serta

jarak antara 1y dan 2y . Sehingga diperoleh 2

12 xx −dan

2

12 yy −. Titik tengah

ruas garis yang menghubungkan P dan Q adalah

22

2

2

21121121

xxxxxxxx

+=

−+=

−+

22

2

2

21121121

yyyyyyyy

+=

−+=

−+

Jadi titik tengah ruas garis yang menghubungkan P dan Q adalah

++

2,

2

2121 yyxx

Contoh 14 :

Tentukan jarak antara )3,2(− dengan titik tengah ruas garis yang

menghubungkan titik )2,2( −− dan )3,4( .

Jawab :

Titik tengah ruas garis yang menghubungkan titik )2,2( −− dan )3,4( adalah

=

=

+−+−=

++

2

1,1

2

1,

2

2

2

32,

2

42

2,

2

2121 yyxx

Page 13: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

13 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

( ) ( )( ) ( )

91,34

61

4

259

2

53

32

1)2(1,1,3,2

2

2

2

2

21

≈=+=

−+=

−+−−=−d

4. GARIS DAN PERSAMAAN GARIS

� Garis

Pengertian

Garis atau garis lurus adalah objek geometri yang terbentuk dari paling

sedikitnya dua titik yang terhubung. Dari satu titik dapat dibuat tak

terhingga banyaknya garis, namun dari dua titik hanya dapat dibuat satu

garis.

Kedudukan Dua Garis

� Dua garis berpotongan

Dua garis dikatakan berpotongan jika keduanya berpotongan di satu titik

yang disebut titik potong. Jika perpotongan dua garis tersebut pada satu

membentuk sudut 90� maka dua garis itu disebut saling tegak lurus.

� Dua garis sejajar

Dua garis dikatakan sejajar jika garis tersebut berada pada satu bidang

dan jika diteruskan tidak akan berpotongan atau dengan kata lain kedua

garis tersebut tidak mempunyai titik potong.

� Dua garis berhimpit

Dua garis dikatakan berhimpit jika kedua garis mempunyai paling sedikit

dua titik potong.

� Gradien/Kemiringan

Gambar 5

y

),( 22 yxB

),( 11 yxA12 xx −

12 yy −

Page 14: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

14 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

Umumnya (Gambar 5) untuk sebuah garis melalui ( )11 , yxA dan

( )22 , yxB dengan 21 xx ≠ , kemiringan (�) dari garis tersebut adalah

12

12

xx

yym

−= (*)

Contoh 15 :

Gradien garis yang melalui titik ( )2,3 dan ( )0,4 adalah

21

2

34

20

12

12 −=−

=−

−=

−=

xx

yym

Berdasarkan (*), maka untuk gradien garis-garis horizontal (sejajar sumbu

�) adalah bernilai 0, sedangkan garis-garis vertikal (sejajar sumbu �)

nilainya tidak didefinisikan (karena adanya pembagian dengan 0).

Dua garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama: 21 mm = .

Sedangkan dua garis yang saling tegak lurus mempunyai gradien yang

saling berlawanan dan berkebalikan: 2

1

1

mm −= .

� Persamaan Garis

Persamaan garis dapat disusun dari dua titik koordinat yang dilalui

garis atau satu titik koordinat yang dilalui dan besar kemiringannya. Bentuk

umum persamaan garis lurus adalah

0=++ CByAx

Persamaan garis yang melalui satu titik ( )11 , yx dengan gradien m adalah

( )11 xxmyy −=−

Jika satu garis mempunyai titik potong di sumbu � misal di titik ( )b,0

seperti maka kemiringan garis tersebut adalah

bxmy +=

Garis yang melalui dua titik ( )11 , yxA dan ( )22 , yxB maka persamaan

garisnya adalah

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

−=

Contoh 16 :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik ( )2,4− dan ( )1,6 − !

Jawab :

10

3

)4(6

21

12

12 −=−−

−−=

−=

xx

yym

Pilih salah satu titik dan gunakan persamaan garis yang melalui satu titik.

Page 15: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

15 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

( )

( )

( )

5

4

10

3

10

8

10

3

210

12

10

3

410

32

)4(10

32

11

+−=

+−=

+−−=

+−=−

−−−=−

−=−

xy

xy

xy

xy

xy

xxmyy

( )

( )

5

4

10

3

10

8

10

3

110

18

10

3

10

18

10

31

610

3)1(

11

+−=

+−=

−+−=

+−=+

−−=−−

−=−

xy

xy

xy

xy

xy

xxmyy

atau tanpa menghitung gradiennya, dapat juga dicari dengan menggunakan

persamaan garis yang melalui dua titik.

3

2

10

4

21

2

46

4

21

2

)4(6

)4(

12

1

12

1

−=

+

−−

−=

+

+

−−

−=

−−

−−

−=

yx

yx

yx

yy

yy

xx

xx

( )

5

4

10

3

10

8

10

3

210

12

10

3

410

32

+−=

+−=

+−−=

+−=−

xy

xy

xy

xy

Jadi persamaan garis yang melalui titik ( )2,4− dan ( )1,6 − adalah

5

4

10

3+−= xy

5. EVALUASI

Latihan 1

1) Sederhanakanlah soal berikut ini:

a. ( ) 611824 +−−

b. ( )( ) 241612715 ++−+−

c. 6

1

21

3

74

3−+

d.

2

315

2

21

14

e. ( )( )3535 −+

f. ( )2

73 +

Page 16: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

16 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

2) Sederhanakan bentuk aljabar berikut ini.

a. ( )( )1293 +− xx

b. ( )3112 −x

c. 2

62

+

−−

x

xx

d. 1926

22

−+

− y

y

y

3) Ubahlah bilangan rasional ini menjadi desimal.

a. 3

11

b. 17

5

c. 8

15

d. 8

3

4) Ubahlah desimal berikut ini menjadi suatu hasil bagi bilangan bulat.

a. 0,123123123 …

b. 2,5656565656 …

c. 0,375

d. 0,64

Latihan 2

1) Gambarlah grafik dari interval berikut ini.

a. ( )3,5−

b.

5,

8

2

c.

− 2,

4

3

d.

2

7,2

2) Nyatakan himpunan penyelesaiannya dalam cara penulisan interval dan

sketsalah grafiknya.

a. 527 −<− xx

b. 4635 −>− xx

c. 4613 ≤−<− x

d. 52

<x

e. ( )( )( ) 03132 >−−+ xxx

f. 065 23<−− xxx

g. 52 ≥−x

h. 754 ≤+x

Page 17: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

17 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

i. 112 −≥− xx

j. 10322 +<− xx

k. 6213 −<− xx

Latihan 3

1) Gambarlah titik-titik berikut ini dalam bidang koordinat dan carilah

jarak antara titik-titik tersebut.

a. ( ) ( )3,5,1,2 −

b. ( ) ( )4,2,2,4

c. ( ) ( )3,6,5,1−

d. ( ) ( )8,5,5,4 −

2) Buktikan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya adalah ( ) ( )4,2,3,5 − dan

( )8,10 adalah sama kaki.

3) Tentukan jarak antara ( )3,2− dengan titik tengah ruas garis yang

menghubungkan ( )2,2 −− dan ( )3,4 .

4) Carilah titik pada sumbu-x yang berjarak sama dari ( )1,3 dan ( )4,6 .

5) Carilah panjang ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah

dengan ruas-ruas AB dan CD dengan ( ) ( ) ( )7,4,6,2,3,1 === CBA dan

( )4,3=D .

Latihan 4

1) Carilah kemiringan dari garis yang melalui dua titik berikut ini.

a. ( ) ( )2,2dan1,1

b. ( ) ( )5,-6-dan3,2

c. ( ) ( )4,7dan5,3

d. ( ) ( )0,-6dan4,2 −

e. ( ) ( )0,5dan0,3

f. ( ) ( )0,6dan0,6−

2) Carilah persamaan untuk tiap garis dan tulislah dalam bentuk

0=++ CByAx .

a. Melalui ( )4,3 dan gradien −1.

b. Melalui ( )3,2 dan gradien 4.

c. Memotong sumbu-� di 3 dan gradien 2.

d. Memotong sumbu-� di 5 dan gradien 3.

e. Melalui ( ) ( )4,8dan3,2

f. Melalui ( ) ( )8,2dan1,4

Page 18: PENDAHULUAN KALKULUS - miamtk.files.wordpress.com filePendahuluan Kalkulus 1 | Pengajar: Mia Fitria, S.Si, M.Pd PENDAHULUAN KALKULUS 1. BILANGAN REAL Ada beberapa jenis bilangan yang

Pendahuluan Kalkulus

18 | Pengajar : Mia Fitria, S.Si, M.Pd

3) Carilah gradien dan perpotongan pada sumbu-� untuk tiap garis berikut

ini.

a. 123 +−= xy

b. 252 += xy

c. 632 =+ yx

d. 2045 =+ yx

4) Tulislah persamaan garis yang ( )3,3 − yang:

a. Sejajar garis 52 += xy

b. Sejajar garis yang melalui ( ) ( )3,-1dan 2,1−

c. Tegak lurus garis 632 =+ yx

===SELAMAT BEKERJA===