PEMETAANSifat – Sifat Homomorfisme

Contoh 3:

B : {…, -2, -3, 0, 1, 2, …} dan (B, +) grup

Perhatikan pemetaan dengan

,

,

,

Berarti suatu homomorfisme, karena pemetaannya

dari B ke B, maka merupakan endomorfisme.

Perhatikan pementaan

, - x

, - y

, = - (x + y)

= (- x) + (- y)

= x

Berarti suatu homomorfisme, karena pemetaannya

dari B ke B dan merupakan pemetaan bijektif, maka

suatu automorfisme.

Teorema 8.1:

Misalakan dan adalah grup, sedangkan pemetaan

merupakan homomorfisme, maka:

i. (i) = , i elemen identitas dalam G dan adalah

elemen identitas dalam G

ii. (x-1) = (x)-1 untuk setiap .

(x)-1 ialah ()-1 yaitu invers dari (x) dalam

Sifat-Sifat Homomorfisme

Bukti:

Akan dibuktikan dengan I elemen identitas G dan

elemen identitas

i. adalah elemen identitas dalam maka (x-1)* .

Untuk dan maka , sehingga .

Jadi =

= karena homomorfisme

.

ii. Akan dibuktikan bahwa

untuk setiap .

Maka karena untuk setiap .

Teorema tersebut dapat dikatakan bahwa (i) peta

(bayangan) elemen identitas dalam G adalah

elemen identitias dan (ii) bayangan invers x

dalam G adalah invers bayangan x dalam .

Jadi apabila merupakan homomorfisme dan G

merupakan suatu grup, maka adalah grup. Tetapi

apabila suatu grup maka G belum tentu merupakan

grup.

Teorema 8.2:

Jika homomorfisme dan G merupakan grup

komulatif, maka merupakan grup komulatif.

Bukti:

Ambil a, b, dan dengan

Dan , serta dan

G grup komulatif,

Jadi memenuhi

yang berarti grup komulatif.

Teorema 8.3:

Misalkan dan adalah grup.

Jika pemetaan merupakan homomorfisme yang

surjektif, maka -1 adalah subgrup normal dari G.

Jadi merupakan subgrup normal dari G.

Dengan perkataan lain, himpunan semua yang

memenuhi , merupakan subgrup normal N dari G.

Bukti:

1) Akan dibuktikan bahwa N subgrup, yaitu jika ab

maka ab-1

Ambil maka dan

=

(ab-1) =(b-1)

=-1

= -1 =

Jadi ab-1 dan N merupakan subgrup.

2)Akan dibuktikan bahwa N subgrup normal, yaitu

jika g dan n maka g . n . g-1

-1) = -1)

= -1 =

Jadi g . n . g-1 dan N subgrup normal.

Himpunan disebut inti (kemel) dari pemetaan

tersebut, dan dinyatakan dengan ker.

Teorema 8.4:

Misalkan dan adalah grup, sedangkan adalah

homomorfisme dari G ke . Himpunan semua peta

(bayangan) anggota dari G dalam oleh

homomorfisme merupakan subgrup dari .

Teorema 8.5:

Misalkan G suatu grup dan N subgrup nrmal dari G.

Sedangkan G/N grup faktor.

Jika pemetaan didefinisikan oleh untuk setiap ,

maka suatu homomorfisme.

TERIMA KASIH

CREATED BY IKHWAN KOMPUTER