PENGERTIAN PEMETAAN KONFORMAL

PENGERTIAN PEMETAAN KONFORMALPemetaan konformal adalah sebuah fungsi yang mempertahankan sudut. Pemetaan konformal mempertahankan sudut dan bentuk dari gambar yang berukuran kecil tetapi tidak mementingkan ukuran. Secara umum ditentukan w=f(z) disebut konformal (pertahanan sudut) pada z0 jika itu mempertahankan keaslian sudut antara kurva melalui z0 sama seperti orientasinya Fungsi variabel kompleks merupakan proses pemetaan dari bidang z ke bidang w . Bentuk dan ukuran bangun geometri di bidang z akan diubah sedemikian rupa menurut fungsinya dan dipetakan di bidang w . Walaupun bentuk dan ukuran mengalami perubahan, ada satu aspek yang tidak berubah, yaitu sudut yang diapit oleh dua buah kurva. Dua kurva yang berpotongan tegak lurus di bidang z akan tetap berpotongan secara tegak lurus di bidang w, apapun fungsi yang memetakannya. Sifat yang demikian inilah yang memberikan nama proses ini sebagai pemetaan konformalmari kita lihat bahwa fungsi analitik

memberikan kita tranformasi ke sistem koordinat orthogonal

kuadrat dari elemen panjang di bidang z (x,y)

kuadrat dari elemen panjang di bidang w (u,v)

Dari persamaan di atas, kita lihat bahwa

sehingga ratio dS terhadap ds adalah

titik z dimana w(z) analitik dan tidak sama dengan nol. Kalau kita melakukan pendekatan hingga nilai z, nilai hampir konstan dan ratio hampir konstan juga

Dapat kita katakan, area kecil di bidang di bidang z (ABCD) dan imagenya (ABCD) di bidang w

Dua area kecil di atas adalah sama. Karena sifat ini pemetaan oleh fungsi analitik disebut pemetaan konformal (sama bentuknya). Sudut antara dua buah kurva di bidang z dan bidang w sama (A=A;B=B etc). Hasil dari tranformasinya bisa memperbesar atau memperkecilPenggunaanJika suatu fungsi harmonik (yaitu, memenuhi persamaan Laplace) atas ruang tertentu, dan fungsi tersebut ditransformasikan melalui pemetaan konformal ke ruang lain, transformasi juga harmonik.Contoh SoalTunjukkan bahwa fungsi P = 3x + 2y harmonic dalam bidang w dibawah transformasi z = w !

Pertama kita selesaikan dulu maka

Sehingga Diperoleh

Pembahasan Substitusikan x dan y ke dalam persamaan P

Fungsi x dan y tersebut harmonik jika memenuhi persamaan Laplace

Dan

Terbukti bahwa turunan kedua z terhadap u dan v ada dan kontinu

Terbukti bahwa fungsi z = 3x + 2y harmonic dalam bidang w dibawah transformasi z = w11Fungsi z tersebut harmonik jika komponen x dan y memenuhi persamaan Laplace

maka

SehinggaTerbukti bahwa fungsi z = x2 y2+ 2y harmonic dalam bidang w dibawah transformasi z = w

Latihan SoalTunjukkan bahwa fungsi P = x2 y2+ 2y harmonic dalam bidang w dibawah transformasi z = w2!Tunjukkan bahwa fungsi P = x2 y2harmonic dalam bidang w dibawah transformasi z = w3!

Pertama kita selesaikan dulu dengan w = u +iv maka untuk

Sehingga Diperoleh

Pembahasan 1Substitusikan x dan y ke dalam persamaan P

Fungsi x dan y tersebut harmonik jika memenuhi persamaan Laplace

Dan

Terbukti bahwa turunan kedua z terhadap u dan v ada dan kontinu

Terbukti bahwa fungsi z harmonik di bidang w dibawah transformasi z = w218PEMBAHASAN 2Pertama kita selesaikan dulu dengan w = u +iv maka untuk

Sehingga Diperoleh

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan P

Fungsi x dan y tersebut harmonik jika memenuhi persamaan Laplace

Dan

Terbukti bahwa turunan kedua P terhadap u dan v ada dan kontinu

Terbukti bahwa fungsi P harmonik di bidang w dibawah transformasi z = w3

21