pembahasan soalosn matematika kabupaten 2013

Muhammad Yusuf, S.Pd. 1 yusufsila.com

SOAL OSN MATEMATIKA SMP

TINGKAT KOTA/KABUPATEN 2013

A. PILIHAN GANDA

1. Bentuk x4 – 1 mempunyai faktor sebanyak … .

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 7

Jawab : A

x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2 – 1)(x2 + 1)

= (x + 1)(x – 1)(x2 + 1)

Karena (x2 + 1) tidak difaktorkan lagi, maka banyak faktornya adalah 3

2. Jika a, b, c, dan d adalah bilangan bulat positip dibagi 13 berturut-turut bersisa

12, 9, 11, dan 7, maka 3a + 4b – 3c + 2d dibagi 13 akan bersisa … .

A. 0

B. 1

C. 7

D. 9

E. 11

Jawab : A

Misalkan k, l, m, dan n adalah bilangan asli,

a/13 = k + 12 ⇨ a = 13k + 156 ⇨ 3a = 39k + 468

b/13 = l + 9 ⇨ b = 13l + 117 ⇨ 4b = 52l + 468

c/13 = m + 11 ⇨ c = 13m + 143 ⇨ 3c = 39m + 429

d/13 = n + 7 ⇨ d = 13n + 91 ⇨ 2d = 26n + 182

sehingga :

3a + 4b – 3c + 2d = 39k + 468 + 52l + 468 – 39m – 429 + 26n + 182

= 13(3k + 4l – 3m + 2n) + 689

= 13(3k + 4l – 3m + 2n) + 13 x 53

Karena 13(3k + 4l – 3m + 2n) dan 13 x 53 sama-sama habis dibagi 13, maka

sisanya adalah 0

3. Nilai rata-rata kelas A adalah 73, sedangkan nilai rata-rata kelas B adalah 88. Jika

jumlah siswa kedua kelas tersebut adalah 75 dan nilai rata-rata kedua kelas

adalah 80, maka banyak siswa kelas A adalah … orang

A. 35

B. 38

C. 40

D. 42

E. 45


jawab : C

Rata-rata kedua kelas = 80

Berarti Jumlah nilai dari kedua kelas = 80 x 75 = 6000

Jika jumlah nilai kelas A adalah a1 dan banyak anggotanya adalah a2 dan jumlah

nilai kelas B adalah b1 dengan banyak anggota b2

Maka a1 + b1 = 6000 dan a2 + b2 = 75

Sementara itu a1/a2 = 73 dan b1/b2 = 88

Sehingga a1 = 73a2 dan b1 = 88b2

Akibatnya a1 + b1 = 6000 73a2 + 88b2 = 6000

Sehingga 73a2 + 88b2 = 6000 73a2 + 88b2 = 6000

a2 + b2 = 75 73a2 + 73b2 = 5475

15b2 = 525

b2 = 35

Maka b1 = 88 x b2 = 3080 dan a1 = 6000 – 3080 = 2920

Sehingga banyak siswa kelas A adalah 2920/73 = 40

4. Suatu hari perbandingan jumlah uang Netty dan Agit adalah 2 : 1. Sehari

kemudian Netty memberikan uangnya sejumlah Rp100.000,00 kepada Agit.

Sekarang perbandingan uang Netty dan Agit adalah 1 : 3. Jumlah uang Netty

sekarang adalah Rp… .

A. 240.000,00

B. 180.000,00

C. 120.000,00

D. 100.000,00

E. 60.000,00 Jawab : E Uang Netty mula-mula = N, dan uang Agit mula-mula adalah A Maka N : A = 2 : 1 atau N = 2A Setelah Netty memberikan Rp100.000,00 kepada Adit, (N – 100.000) : (A + 100.000) = 1 : 3 Atau A + 100.000 = 3(N – 100.000) = 3N – 300.000 Sehingga 3N – A = 400.000 Karena N = 2A atau A = ½ N, maka 3N – A = 3N – ½ N = 400.000 ⇨5N = 800.000 ⇨N = 160.000 Sehingga uang Netty sekarang adalah 60.000

5. Jika f adalah fungsi linier, f (1) = 2000, dan f (x + 1) + 12 = f(x), maka nilai f (100) =

…

A. 762

B. 812

C. 832

D. 912

E. 1012

Jawab : B

x 1 x 73


f (1) = 2000 dan f (x + 1) + 12 = f(x)

Jika x = 1, maka f (1 + 1) + 12 = f(1) atau f(2) = f(1) – 12 = 2000 – 12 = 1988



Demikian seterusnya ....

Sehingga diperoleh f (100) + 12 = 2000 – 99 x 12 = 812

6. Diketahui H = {k | x2 - 1 < x

2 + k < 2(x + 1), dengan x dan k bilangan bulat}.

Banyaknya himpunan bagian dari himpunan H adalah … .

A. 4

B. 8

C. 16

D. 32

E. 64

Jawab : A

Karena x2 - 1 < 2(x + 1) maka

Untuk x bilangan bulat > -1, (x – 1)(x + 1) < 2(x + 1) atau x – 1 < 2, dengan x yang

memenuhi adalah 0, 1, dan 2 dengan nilai k yang memenuhi 0 dan 1

Untuk x bilangan bulat < -1, (x – 1)(x + 1) > 2(x + 1) atau x – 1 > 2, tidak ada nilai x

yang memenuhi

Sehingga H = {0,1} dengan banyak himpunan bagian 4

7. Tiga orang A, B, dan C pinjam meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang

tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam

mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam

meminjam diantara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari A meminjami

sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-

masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya B

meminjami sejumlah kelereng kepada A dan C sehingga jumlah kelereng A dan

C masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari

terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah

kelereng A dan B masing-masing menjadi dua kali lipat jumlah kelereng

sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng.

Banyak kelereng A mula-mula adalah ….

A. 8

B. 14

C. 26

D. 28

E. 32

Jawab : C

Mula-mula, jumlah kelreng A = A, jumlah kelereng B = B, dan kelereng C = C

Hari pertama,

Kelereng A = A – x


Kelereng B = B + x1 ⇨ B + x1 = 2B atau B = x1

Kelereng C = C + x2 ⇨ C + x2 = 2C atau C = x2

Sehingga Kelereng A = A – B – C

Kelereng B = 2B

Kelereng C = 2C

Hari kedua,

Kelereng B = 2B – y

Kelereng A = A – B – C + y1 = 2(A – B – C) ⇨ A – B – C = y1

Kelereng C = 2C + y2 = 2(2C) ⇨ 2C = y2

Karena y1 + y2 = y, maka A – B – C + 2C = y atau y = A – B + C

Sehingga Kelereng A = 2A – 2B – 2C

Kelereng B = 2B – (A – B + C) = 3B – A – C

Kelereng C = 4C

Hari ketiga,

Kelereng C = 4C – z

Kelereng A = 2A – 2B – 2C + z1 ⇨ 2A – 2B – 2C + z1= 2(2A – 2B – 2C)

Kelereng B = 3B – A – C + z2 ⇨ 3B – A – C + z2 = 2(3B – A – C)

Karena z = z1 + z2, maka z = 2A – 2B – 2C + 3B – A – C = A + B – 3C

Sehingga Kelereng A = 4A – 4B – 4C

Kelereng B = 6B – 2A – 2C

Kelereng C = 4C – (A + B – 3C) = 7C – A – B

Ketiganya masing-masing memiliki 16 kelereng,

4A – 4B – 4C = 16 atau A – B – C = 4 ..................... (1)

6B – 2A – 2C = 16 atau 3B – A – C = 8 ..................... (2)

7C – A – B = 16 ........................................................... (3)

(1) - (2) ........................ 2A – 4B = - 4 ...................... (4)

7 x (2) + (3) ................. - 8A + 20B = 72 .................. (5)

5 x (4) + (5) ................. 2A = 52

Maka banyak A = 26

8. Jika jumlah dua bilangan positip adalah 24, maka nilai terkecil dari jumlah

kebalikan bilangan-bilangan tersebut adalah … .

A. 1

B. 1/2

C. 1/3

D. 1/4

E. 1/6

Jawab : E

Agar jumlah kebalikannya paling kecil, maka diambil yang dekat yaitu 12 dan

12, sehingga jumlah kebalikannya adalah 1/12 + 1/12 = 1/6

x1 + x2 = x = B + C


9. Jika 2013

7000 ditulis dalam bentuk desimal, maka angka ke-2013 di belakang koma

adalah …

A. 1

B. 2

C. 4

D. 5

E. 8

Jawab : D 2013

7000 = 0, 2875714

Karena 2013

7 bersisa 4, maka angka ke-2013 adalah 5

10. Diberikan angka disusun sebagai berikut: 987654321. Berapa banyak tanda

operasi penjumlahan harus disisipkan di antara angka-angka tersebut agar

menghasilkan jumlah 99?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 7

E. 8 Jawab : D

9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99

11. Jika barisan berikut adalah barisan bilangan bulat positip berurutan yang

dihilangkan semua bilangan kelipatan tiga: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, …., maka

suku ke-67 barisan tersebut adalah … .

A. 59

B. 62

C. 86

D. 92

E. 100

Jawab : E

Dari barisan bilangan asli mulai 1 sampai 100 terdapat 100 bilangan

Pada barisan tersebut terdapat bilangan kelipatan 3 mulai 3 sampai 99 (33

bilangan)

Sisa bilangannya adalah 100 – 33 = 67

12. Jika rata-rata 51 bilangan bulat berurutan adalah 10, maka bilangan terkecil dari

semua bilangan tersebut adalah … .

A. 5

B. 0

C. –5

D. –13

E. –15


jawab : E

misalkan bilangan pertamanya adalah a

maka jumlah ke-51 bilangan itu adalah a + a + 1 + a + 2 + .... + a + 50 = 51a + 1275

rata-ratanya adalah 10 = 51𝑎+25×51

51

maka bilangan terkecil adalah a = 10 – 25 = - 15

13. Sebuah kantong berisi 15 bola merah, 12 bola biru, dan 3 bola hijau. Diambil

sebuah bola secara acak sebanyak 2 kali tanpa pengembalian. Peluang bola yang

terambil merah pada pengambilan pertama dan hijau pada pengambilan kedua

adalah … .

A. 1/20

B. 3/58

C. 1/5

D. 3/29

E. 6/29

Jawab : B

Peluang bola merah pada pengambilan pertama = 15/30 = ½

Peluang bola hijau pada pengambilan kedua = 3/29

Sehingga peluangnya adalah ½ x 3/29 = 3/58

14. Lima orang anak akan naik mobil dengan kapasitas enam tempat duduk, yakni

dua di depan termasuk pengemudi (Sopir), dua di tengah, dan dua di belakang.

Jika hanya ada dua orang yang bisa mengemudi, banyak cara mengatur tempat

duduk mereka adalah … .

A. 120

B. 200

C. 220

D. 240

E. 280

Jawab : D

Jika Si A sebagai sopir, maka ada 5! = 120 cara menempatkan yang lain

Jika si B sebagai sopir, maka ada 120 cara juga menempatkan yang lain

Sehingga total ada 240 cara

15. Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 1 satuan, maka jarak

titik E ke bidang datar AFH adalah … . satuan

A. 1

2

B. 2

2

C. 1

3

D. 3

3

E. 3

4


Jawab : D

Perhatikan gambar di samping!

jarak E ke AFH adalah merupakan tinggi ΔAIE

dengan alas AI

EG = 2 sehingga EI = ½ 2

AI = 12 + 2

2

2

= 3

2=

1

2 6

Perhatikan gambar ΔAIE berikut!

Dengan teorema phytagoras, EJ2 = 1

2 – (1/2 6 – x)

2 = 1 – 3/2 + x 6 – x

2

Dengan teori kesebangunan, EJ2 = (1/2 6 – x)(x) = ½ x 6 – x

2

Dari kedua persamaan itu diperoleh, - ½ + x 6 – x2 = ½ x 6 – x

2 atau x( 6 – ½ 6) = ½

Sehingga diperoleh nilai x = 1

6=

1

6 6

EJ2 = ( ½ 2)2 – (⅙ 6)2

= ½ - ⅙ = ⅓

EJ = ⅓ 3

16. Diketahui sekelompok data memiliki sifat-sifat berikut:

i. Terdiri dari 5 data bilangan bulat positip dengan rataan = 7

ii. Median = modus = 9

Jika jangkauan didefinisikan sebagai selisih data terbesar dengan data terkecil,

maka jangkauan terbesar yang mungkin adalah … .

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

E. 15

Jawab : D

Karena rata-ratanya 7, maka jumlah ke-5 bilangan adalah 35

Karena modusnya 9, maka 9 paling banyak muncul

Karena mediannya 9, maka bilangan yang ditengah = 9

Bilangan 9 paling banyak muncul 3 kali, 9 x 3 = 27, sehingga jumlah dua

bilangan tersisa adalah 35 – 27 = 8. Ini berarti bahwa 9 berada pada 3 bilangan

terakhir, dengan jangkuan terbesar = 9 – 1 = 8

Jika 9 hanya muncul 2 kali, 9 x 2 = 18, maka jumlah 3 bilangan tersisa adalah 35 –

18 = 17. Kedua bilangan 9 itu berada pada urutan ke-3 dan ke-4 (ingat!! Median)

Sehingga kemungkinan bilangan terbesar adalah 15 dengan dua bilangan

pertama adalah 1

Sehingga susunannya adalah 1, 2, 9, 9, 15 dengan jangkuan 15

A B

C D

E F

G H I

A

E

I

½ 2

½ 6 – x

1

J x


17. Di dalam suatu keranjang terdapat 12 apel Malang, dua diantaranya diketahui

busuk. Jika diambil 3 apel secara acak (random), maka peluang tepat satu di

antaranya busuk adalah … .

A. 9/22

B. 5/11

C. 4/11

D. 9/44

E. 5/22 Jawab : A

Banyak cara pengambilan 3 apel = 12C3 = 2 x 11 x 10

Banyak cara memilih 2 apel baik = 10C2 = 5 x 9

Banyak cara memilih 1 apel busuk = 2

Sehingga banyak cara memilih 2 apel baik dan 1 apel busuk = 10 x 9

Peluangnya = 10×9

2×11×10 =

9

22

18. Sebuah silinder tegak diletakkan di dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang

sisi kubus 2m. Selanjutnya silinder dipancung oleh bidang miring yang melalui

titik A, B, dan T dimana T adalah titik perpotongan diagonal bidang CDHG.

Volume terbesar silinder terpancung ini adalah … m3.

A. 3𝜋

2

B. 4𝜋

3

C. 5𝜋

4

D. 5𝜋

3

E. 7𝜋

5

Jawab : A

Perhatikan gambar berikut !

A B

C D

E F

G H

T

Silinder dengan volume terbesar adalah silinder yang

menyinggung semua sisi kubus, dengan jari-jari 1m.

Volumenya = 2π

Setelah dipancung, tinggi silinder pada T adalah 1m

Volume silinder terbesar dengan tinggi 1m adalah π.

Dan volume bagian bawah setelah terpancung ½ π

Sementara volume bagian atas = 2π - ½ π = 3

2𝜋

J I


19. Jika gambar di bawah ini adalah segi delapan

beraturan, maka perbandingan luas antara

daerah yang diarsir dan luas segi delapan

beraturan adalah … .

A. 1 : 3

B. 1 : 4

C. 2 : 5

D. 3 : 8

E. 3 : 7

Jawab : B

Perhatikan pemisahan bagian segi-8 beraturan pada gambar berikut

Jika panjang sisi segi-8 itu adalah a, maka b2 + b2 = a2 atau 2b2 = a2

Sehingga b = 1

2 2 a

Luas trapesium yang diarsir

= ½ x 1

2 2a x (a + a +

1

2 2a +

1

2 2a)

= ½ x 1

2 2a x (2a + 2a)

= 1

2 2a2 + ½ a2 = ½ a2(1 + 2)

Luas persegi panjang merah

= a x (a + 1

2 2a +

1

2 2a) = a2(1 + 2)

Luas segi-8 = ½ a2(1 + 2) + ½ a2(1 + 2) + a2(1 + 2)

= 2a2(1 + 2)

Sehingga luas bagian yang diarsir berbanding luas segi delapan adalah

½ a2(1 + 2) : 2a2(1 + 2)

1 : 4

20. Beberapa bilangan empat angka memiliki angka-angka penyusun tak nol yang

saling berbeda dan berjumlah 10. Banyak bilangan yang dimaksud adalah … .

A. 24

B. 22

C. 20

D. 18

E. 16

Jawab : A

Kombinasi dari angka-angka 1, 2, 3, 4 sebanyak 24 bilangan

a

a b

b


B. ISIAN SINGKAT 1. Tino sedang memanjat tangga dan sekarang dia berada tepat di tengah tangga.

Jika ia naik 3 anak tangga ke atas, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik

kembali 10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak

tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah ….

Jawab : 17

Karena 3 – 5 + 10 = 8, maka masih ada 8 anak tangga di atas anak tangga yang

ditengah demikian juga di bawahnya.

Sehingga jumlah anak tangga adalah 17

2. Ani mempunyai uang Rp16.500,00. Sejumlah uang itu akan dihabiskan untuk

membeli 6 buah peralatan sekolah. Ia membeli beberapa pensil dengan harga

Rp2.000,00 per pensil. Ia membeli beberapa buku dengan harga Rp2.500,00 per

buku, dan ia juga membeli beberapa kotak pensil dengan harga Rp4.000,00 per

kotak pensil. Banyak buku yang dibeli Ani adalah … .

Jawab : 1

Misalkan banyak pensil yang dibeli adalah p, banyak buku = b, dan banyak

kotak pensil adalah k (p, b, k adalah bilangan asli)

Maka persamaan matematika dari soal tersebut adalah

2000p + 2500b + 4000k = 16500

Disederhanakan menjadi 4p + 5b + 8k = 33 dimana p + b + k = 6

4p + 5b + 8k = 33

4p + 4b + 4k = 24

B + 4k = 9

Nilai b yang memenuhi adalah 1 dengan k = 2 atau b = 5 dengan k = 1

Karena p + b + k = 6, maka nilai yang memenuhi adalah p = 3, b = 1, dan k = 2

Jadi banyak buku yang dibeli adalah 1

3. Banyak bilangan positip n sehingga 2013

𝑛2−3 berupa bilangan bulat positip adalah …

Jawab : 8

Karena 2013 = 3 x 11 x 61

Maka pembaginya haruslah 1, 3, 11, 33, 61, 183, 671, dan 2013

n2 – 3 = 1 ⇨ n = 2 (diambil yang positif saja)








Jadi banyaknya n yang memenuhi adalah 8 buah


4. Diberikan tabel bilangan berikut:

- 7 x - 8

2y - 5 - 4

x – 2 - 10 y

Jika diketahui bahwa jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal adalah

sama, maka nilai x + y adalah … .

Jawab : -3

(-7) + (-5) + y = 2y + (-5) + (-4), sehingga y = -3

(-7) + x + (-8) = (-8) + (-4) + y ⇨ (-7) + x = (-4) + (-3), sehingga x = 0

Maka nilai x + y adalah -3

5. Jika himpunan A mempunyai anggota sebanyak x dan himpunan B mempunyai

anggota sebanyak y, x ≤ y, maka himpunan A ∪ B mempunyai anggota

(maksimum) sebanyak … .

Jawab : 2x atau 2y

Supaya anggota-anggota A ∪ B maksimum, maka anggota-anggota A dan B

semuanya berbeda dan banyak anggotanya sama. Sehingga banyak anggota dari

A ∪ B adalah 2x atau 2y

6. Semua bilangan asli n yang memenuhi sifat bahwa 6n2 + 5n – 4 adalah bilangan

prima adalah… .

Jawab : 1

Karena 6n2 + 5n – 4 = 6n2 – 3n + 8n – 4 = 3n(2n – 1) + 4(2n – 1) = (2n – 1)(3n + 4)

Maka salah satu dari (2n – 1)(3n + 4) harus bernilai 1 dan yang mungkin hanyalah

(2n – 1) = 1, dengan n = 1 dan 3n + 4 = 7

Sehingga n yang memenuhi hanyalah 1

7. Jika S1 = 1, S2 = S1 – 3, S3 = S2 + 5, S4 = S3 – 7, S5 = S4 + 9,... adalah suku-suku

suatu barisan bilangan, maka S2013 = ....

Jawab : 2013

S1 = 1

S2 = - 2

S3 = 3

S4 = - 4

S5 = 5

S6 = - 6

Demikian seterusnya, sehingga diperoleh :

S2013 = 2013


8. Pada ΔABC terdapat titik D pada BC sehingga BD : DC = 1 : 3. Titik L pada AD

sehingga AL : LD = 1 : 4. Perbandingan luas ΔACL dan ΔBDL adalah ….

Jawab : 5 : 8

Misalkan luas ABC = L

Dengan kesebangunan pada ΔBCC’, t1 : t2 = BC : BD atau t1 : t2 = 4 : 1

Sehingga t1 = 4t2, akibatnya luas ABD = ¼ luas ABC = ¼ L

Dengan kesebangunan pada ΔADD’, t3 : t2 = AL : AD atau t3 : t2 = 1 : 5

Sehingga luas ALB = ⅕ luas ABD, maka luas BDL = ⅘ luas ABD Sehingga luas BDL = ⅘ x ¼ L = ⅕L Karena luas ABD = ¼ L, maka luas ACD = ¾ L Dengan memandang AD sebagai alas, maka ALC dan LDC memiliki tinggi yang sama

Luas ALC : Luas LDC = AL : LD = 1 : 5

Sehingga luas LDC = 5 x Luas ALC, sementara itu luas ALC + luas LDC = ¾ L

Sehingga luas ALC = ⅛ L

Maka Luas ALC : Luas BDL = ⅛L : ⅕L = 5 : 8

9. Suatu string terdiri dari 10 angka 0, 1, atau 2. Bobot string didefinisikan sebagai

jumlah angkaangka dalam string tersebut. Sebagai contoh, string 0002002001

mempunyai bobot 5. Banyak string dengan bobot 4 adalah … .

Jawab : 615

String yang menggunakan 4 buah angka 1 = 10!

6!×4! = 210

String yang menggunakan 2 buah 1 dan 1 buah 2 = 10!

7!×2!×1! = 360

String yang menggunakan 2 buah angka 2 = 10!

8!×2! = 45

Sehingga jumlah string dengan bobot 4 = 615

10. Tita memiliki tetangga baru yang memiliki 2 anak. Jika salah satu anak tetangga

baru tersebut adalah perempuan, maka besar peluang anak yang lain adalah

laki-laki adalah … .

Jawab : ½

Karena anak yang satunya adalah perempuan, maka anak yang lainnya adalah

salah satu dari perempuan atau laki-laki. Sehingga peluang laki-laki dari anak

yang lain tersebut adalah ½

A B

C

D

L

t1

t2 t3

C’ D’ L’

pembahasan soalosn matematika kabupaten 2013

Documents