PEMBAHASAN SOAL soal MEKANIKA

BUKU MEKANIKA (halaman 74-76)

Buku karangan pak supeno

Di bahas oleh : Wawan Hermanto

8 Pada kasus osilator terpaksa, posisi partikel yang bergerak disepanjang sumbu x ditentukan

oleh persamaan txxx 2cos2084 . Jika pada awalnya partikel diam di x = 0, maka

posisi benda sebagai fungsi waktu adalah sebagai berikut :

Dari persamaan umum tFkxxbxm o cos sehingga diperoleh harga untuk m = 1 kg, b

= 4 dan k = 8 serta Fo = 20.

Dengan menggunakan persamaan 3.61 dalam buku mekanika karangan supenopada halaman 69.

Solusi umum dari persamaan diferensian tak homogen di atas adalah :

tmF

teAtx

o

oh

t

h cos

4

/cos

222221

Dengan

5

1cos

5

2sin2

2tan

2822

2484

22

2

2

222

01

danmaka

danm

b

m

b

m

k

o

o

Sehingga diperoleh solusi umum persamaan posisi sebagai fungsi waktu sebagai berikut:

)1..(..................................................2cos52cos

2cos

2.2.428

1/202cos

2

2222

2

tteAtx

tteAtx

h

t

h

h

t

h

Untuk mencari besarnya parameter hA dan h persamaan 1 di atas dapat dijabarkan berikut

B

CdanBCAmaka

AC

ABbahwapemisalandengan

tttAtAetx

hh

hh

hh

hhhh

t

tan

sin

cos:

2..............2sin22cos2sinsin2coscos

22

2

Sehingga persamaan (2) dapat disederhanakan menjadi :

tt

tCtBetCtBetx

tttCtBetx

tt

t

2cos42sin2

2cos2sin22sin2cos2)(

3..............................2sin22cos2sin2cos

22

2

Pada persamaan (3) kita akan mencari solusi khususnya dari persamaan diferensial biasa tak

homogen dengan mengambil syarat kondisi awal yang telah diketahui di soal yaitu :

1. Ketika t = 0, x(0) = 0

101001)0.(1

00.2sin20.2cos0.2sin0.2cos0 0.2

BBB

CBex

2. v(0) = 0

30422

00cos40sin2

0cos0sin20sin0cos2)0( 00

CC

CeCex

Setelah kita dapatkan harga B dan C mari di masukan saja ke persamaan (3) sehingga diperoleh

persamaan khusus untuk gerak osilasi teredam terpaksa yang sesuai dengan kasus soal nomor 8

adalah sebagai berikut:

bendaposisipersamaantetetxttttetx

tt

t

)2cos(1)2sin(32

2sin22cos2sin32cos

22

2

Dengan amplitudo maksimum dapat dicari sebagai berikut:

0

44

42

0)

4

/(

2222222222

222

22222

oo

oo

o

o

m

F

mF

d

d

d

dA

Supaya pembagian diatas menghasilkan 0, maka pembilangnya harus = 0

4..................22042

042

222222222

222

00

ooo

F

Substitusi persamaan (4) ke persamaan 22222 4

/

o

o mFA untuk mencari Amaksimum.

metermF

A

o

omaksimum 5,2

2

/

22

a. persamaan posisi sebagai fungsi waktu diberikan oleh :

)2cos(1)2sin(32 22 tetetx tt

b. amplitudo maksimum osilasi adalah : meterAmaksimum 5,2

7. indentik dengan soal nomor 6. m = 2 g = 2.10-3 kg, k = 4 N/m dan F = 25 cos (3t) tanpa

redaman (b=0).

Dari data diperoleh 0 , 20002 m

ko , 5201 , 325 danFo

Dengan persamaan diferensial untuk geraknya adalah : txx 3cos25410.2 3

Persis dengan langkah nomor 8 sehingga diperoleh solusi umum untuk persamaan diferensial di atas

yaitu :

)1.7..(..................................................3cos1991

12500520cos

3cos1991

2/25000520cos

ttAtx

ttAtx

hh

hh

Dengan 002

tan22

o

B

CdanBCAmaka

AC

ABbahwapemisalandengan

ttAtAtx

hh

hh

hh

hhhh

tan

sin

cos:

2.7..............3cos1991

12500520sinsin520coscos

22

Persamaan (7.2) dpat dinyatakan :

3.7..............3cos1991

12500520sin520cos ttCtBtx

Melalui proses yang sama dengan soal nomor 8, dengan syarat kondisi awal adalah saat 0 sekon ,

v(0) = 0 dan x(0) =0, maka diperoleh B = 1991

12500 dan C = 0. Maka persamaan posisi setiap

saat aadalah : tttx 520cos1991

125003cos

1991

12500

6. kasus soal sama dengan nomor 7. Hanya F=12 sin2t. tanpa redaman (b=0).

Dari data diperoleh 0 , 20002

m

ko , 5201 , 212 danFo

Bila dituliskan dalam persamaan diferensialnya adalah : )2sin(12410.23 txx

Solusi umum persamaan diferensial diatas adalah

ogentaklinierPDBkhusussolusitxdan

ogenPDBumumsolusitxdengantxtxtx

i

hih

hom)(

hom)(

Langkah 1 : mencari solusi umum PDB linier homogen sebagai berikut

Misalkan : 02 danxx sehingga 0410.2

23 ................................................(6.1)

Persamaan 6.1 merupakan persamaan kuadrat dengan akar akarnya adalah

idani 520520 21 karena 21 dan merupakan pasangan konjugat

kompleks, yang sesuai dngan bentuk bia maka solusi umum dari PDB homogenya di atas adalah

memenuhi : btecbtectxatat

h sincos)( 21 dengan 0a dan 520b maka :

)520sin()520cos()( 21 tctctxh ........................................(6.2)

Langkah 2: Mencari Solusi Khusus untuk PDB tak homogenya

Karena harapanya solusi dari )(txi merupakan fungsi sinusoida, maka kita ambil solusi yang

memenuhi )2sin()( tAtxi ......................................................................................(6.3)

)2cos(2)( tAtxi dan )2sin(4)( tAtxi

Selanjutnya kita substitusi ke persamaan diferensialnya yaitu :

)2sin(6000

sin)2cos(1996cos)2sin(1996

)2sin(6000

)2sin(1996

)2sin(6000)2sin(2000)2sin(4

)2sin(60002000)2sin(12410.2 3

tA

tt

tA

t

ttAtA

txxtxx

Koefisien ruas kanan dengan ruas kiri harus sama, sehingga diperoleh :

0,0sin0sin19966000

cos1996 berartidanA

Karena 1996

60000 Amaka substitusi A dan 0 pada persamaan (6.3) yaitu

)2sin(1996

6000)( ttxi .........................................................(6.4)

Persaman (6.4) merupakan solusi khusus PDB linier bagian Tak homogen. Sehingga solusi

umumnya dapat di tuliskan kembali sebagai berikut :

txtxtx ih

)2sin(1996

6000)520sin()520cos()( 21 ttctctx ........................................(6.5)

Dengan menggunakan syarat kondisi awal saat t = 0 , x(0) = 0 dan v(0) =0 maka diperoleh koefisien

untuk 1996

51200 21 cdanc sehingga persamaan posisi setiap saat sebagai fungsi waktu

adalah : )2sin(1996

6000)520sin(

1996

5120)( 2 ttctx

5 diketahui : m=10 g ;. F=2 N; Fredaman=2 x ; syarat kondisi awal t = 0 x(0)=0,4 cm ; v(0) = 0 ditanyakan :

a. persamaan diferensial?....

b. x(t)=....?

c. v(t)=......?

d. grafiknya?......

Jawaban :

A. persamaan difersialnya adalah :

kita tinjau sebuah pegas pada saat t = 0 memiliki simpangan maksimum xo=4.10-4

m , sementara

gaya penggerak yang menyebabkan benda berosilasi adalah gaya pembalik pegas F=kx=2 maka

diperoleh k = 5 N/m. Persamaan umum osilasi teredam : 0 kxxbxm

Dengan mengganti variabel m, b, dan k diperoleh persamaan diferensial orde dua yaitu :

052102

2

xdt

dx

dt

xd..........................................................................(5.1)

B. untuk menentukan posisi benda setiap saat, kita selesaikan dulu solusi PDB homogen orde dua di

atas dengan memisalkan 2 xdanx sehingga persamaan (5.1) menjadi persamaan

kuadrad :

05,02,02

Akar akarnya adalah idani 7,01,07,01,0 21 yang merupakan pasangan konjugat

kompleks dengan memenuhi bentuk kompleks bia sehingga solusi umum PDB yaitu:

)7,0sin()7,0cos()( 1,021,0

1 tectectxtt ............................................................(5.2)

)3.5.........(..................................................).........7,0sin(1,0

)7,0cos(7,0)7,0cos(1,0)7,0sin(7,0)(

1,0

2

1,0

2

1,0

1

1,0

1

tec

tectectectx

t

ttt

Dengan menggunakan syarat kondisi awal, maka dapat diperoleh 70/4;4,0 21 cc

Maka persamaan posisi benda setiap saat adalah :

)7,0sin(70

4)7,0cos(4,0)( 1,01,0 tetetx tt

C. dari persamaan )5.3 diperoleh persamaan kecepatan tiap saat yaitu :

)200sin(7

2)(

)7,0sin(700

4

)7,0cos(04,0)7,0cos(04,0)7,0sin(28,0)(

100

1,0

1,01,01,0

tetx

te

tetetetx

t

t

ttt

D. dengan menggunakan bantuan matlab dapat ditampilkan grafik posisi benda sebagai fungsi waktu

sebagai berikut :

interval waktu diambil mulai dari 0 sampai 100 sekon

4 persamaan diferensial bagi osilator harmonik teredam adalah sebagai berikut:

0422

2

xdt

dx

dt

xd jika kondisi awal gerak tersebut adalah cmxo 5 dan scmvo /2 pada

saat t = 0 sekon, maka tentukan :

a. x(t) =....... b. interpretasi fisis dari gerak tersebut?.....

JAWABAN :

A. seperti pembahasan nomor sebelumnya, untuk mencari persamaan posisi setiap saat kita harus

mencari solusi PDB sebagai berikut : 0422

2

xdt

dx

dt

xd .................................................(4.1)

Dimisalkan 22

2

dt

xd dan

dt

dx maka persamaan (4.1) dapat digantikan sebagai persaman

kuadrad : 0422 dengan akar akarnya adalah i311 dan i313

sehingga solusi umumnya memenuhi :

)3sin()3cos()( 21 tectectxtt ..........................................................................(4.2)

)3.4(..................................................)3sin(3)3cos(3)( 2112 tcctccetx t Denngan langkah seperti nomer nomer sebelumnya kita gunakan syarat kondisi awal saat t = 0 ,

xo= 5 cm dan vo= -2 cm/s. Dari persamaan (4.2) dan (4.3) dapat diperoleh c1 dan c2 yaitu:

55)0sin()0cos(5)0.3sin()0.3cos()0( 1210

2

0

1 cccececx

32532)0sin(35)0cos(53)( 22220 ccccetx Dengan mensubtitusi c1 dan c2 ke persamaan (4.2) dan (4.3) maka diperoleh:

persamaan posisi setiap saat yaitu )3sin(3)3cos(5)( tetetx tt

kecepatan setiap saat adalah )3sin(36)3cos(2)( ttetx t

B. Dengan bantuan program matlab, dapat ditampilkan grafik sebagai berikut :

Dari grafik di atas secara fisis gerak benda adalah mengalami osilasi underdamped (benda

berosilasi), namun gaya redaman yang bekerja pada benda ini sangat besar, sehingga setelah 5

sekon, simpangan osilasi benda mengecil dan hingga akhirnya benda berhenti.

Untuk menjelaskan interpretasi fisis gerak benda selain melalui grafik, kita juga dapat melihat

secara langsung besarnya 14 2

22

m

b dan 42

m

ko karena

22

o maka terjadi osilasi

underdamped.

Bila ditampilkan grafik kecepatan setiap saat adalah :

Dari grafik kecepatan setiap saat diatas, dapat kita simpulkan bahwa benda bergrak osilasi

terredam dengan kecpatan sebagai fingsi harmonik teredam, dan kecepatan sama dengan nol

setelah 5 sekon, artinya benda diam.

3. Benda bermassa 2 g, mengalami gerak harmonis sederhana disepanjang sumbu horizontal. Untuk kondisi awal saat t = 0 sekon, 10)0( x cm; 4)0( v cm/s dan 12)0( a cm/s

2.

Tentukan :

a. Posisi setiap saat x(t) =...... b. Amplitudo, periode, dan frekuensi osilasi?.....

c. F(t) =.... saat t = sekon4

JAWABAN

A. Persamaan umum gerak OHS adalah 02 xx o ...............................................................(3.1)

dengan salah satu solusinya adalah )sin()( tAtx o .....................................................(3.2)

sehingga kecepatan setiap saatnya dapat dituliskan )cos()( tAtx oo ........................(3.3)

dari persamaan (3.1) dapat diperoleh nilai percepatanya sebagai berikut :

2,112)0()0(

)()(

0

2

2

22

oo

o

oo

xa

txta

xxxx

Persamaan (3.2) dijabarkan sebagai sin)cos(cos)sin()( tAtAtx oo . ....................(3.4)

Dari persamaan (3.2) dan (3.3) saat t = 0 diperoleh : oA

danA

4

cos10

sin

dengan

mensubstitusikan ke persamaan (3.4) maka diperoleh persamaana posisi setiap saat sebagai

berikut : )2,1cos(10)2,1sin(3

120)( tttx

B. Dengan mengkuadradkan kedua ruas persamaan oA

danA

4

cos10

sin

lalu

menjumlahkanya, maka didapatkan 3

3402

12

1360161002

2

o

oA

cm. Atau dengan

menggunakan rumus pada buku mekanika karangan supeno dalam halaman 60, persamaan 3.19

yang dituliskan sebagai 22

2

o

o

o xv

A

maka didapatkan :

amplitudo yaitu 3

3402

2,1

1201610

2,1

4 22

A

mencari periode dan frekuensi osilasi

2,13

52,1

2

T

To sekon sehingga diperoleh 2,1

2

1

f Hz.

C. Untuk mencari persamaan gaya F(t) terlebih dahulu mencari persamaan percepatanya yaitu :

tttxdt

dx

dt

d

dt

tdvta o 2,1cos122,1sin1204,0)(

)()( 2

tttatmatF 2,1cos242,1sin1208,0)(.2)()(

2/90085,96522,0247581,01208,0

4

1.2,1cos24

4

1.2,1sin1208,0

4

1

sgmF

F

Jadi gaya pada saat sekon4

adalah 9.10

-5 Newton memiliki arah berlawanan dengan

simpanganya.

2 Benda bermasa 20 g digantungkan pada pegas tak bermassa sehingga pegas bertambah panjang 5 cm. Tentukan :

a. Posisi benda setiap saat jika saat t = 0, x(0) = 2 cm dan v(0) = 0 b. Amplitudo,Periode, dan Frekuensi Osilasi?.....

JAWABAN:

a. Mula mula kita cari konstanta pegasnya dulu mNk /405,0

2,0 sehingga dapat kita peroleh

20002,0

42 m

ko dan kita ambil salah satu solusi persaman gerak hamonis sederhana

dalam fungsi sinusoida yaitu )sin()( tAtx o sehingga )cos()( tAtx oo . Dengan

langkah penyelesaian yang persis dngan nomor 3 dan diperoleh 2

1 , maka didapatkan

persamaan posisi setiap saat adalah : )2

1210sin(02,0)( ttx

b. Amplitudonya adalah A = 2 cm = 0,02 m

Periode :

10

2210

2 T

To

Frekuensi : 251

Tf Hz

1. Benda bermassa 10 g, berosilasi sepanjang bidang horizontal akibat adanya gaya sebesar 2 N. Jika x(0) = 0,4 cm dan v(0) = 0 saat t = 0 sekon, maka tentukan :

a. Persamaan diferensialnya?..... b. Posisi setiap saat x(t)?..... c. Kecepatan benda setiap saat v(t)?.... d. Amplitudo, Periode, dan frekuensi osilasi?.....

JAWABAN :

a. Persamman umum GHS (OHS) dalam bentuk diferensial orde dua diberikan oleh :

02 xx o bila kita tinjau benda itu sebagai sebuah pegas, maka mNk /500004,0

2

sehingga persamaan diferesialnya adalah :

050000

050001,0

0

xx

xx

kxxm

b. Dengan mengmbil slah satu slusi umum dari persamaan diferensial diatas yaitu:

)sin()( tAtx o dan diperoleh kecepatanya )cos()( tAtx oo dengan mengambil

510050000 m

ko dan memasukan syarat kondisi awal pada saat t = 0 sekon, maka

diperoleh persamaan posisi setiap saat adalah : )2

15100sin(004,0)( ttx dimana x dalam

meter dan t dalam sekon.

c. Untuk mencari setiap saat adalam merupakan turunan pertama dari persamaan posisi setiap saat.

Yaitu sebagai berikut :

2

15100cos54,0

)()( t

dt

tdxtv

d. Amplitudo A = 0,004 m = 0,4 cm

Periode :

250

55100

2 T

To

Frekuensi : 5501

Tf Hz

Jember, 24 November 2013

Pembahas soal

(Wawan Hermanto)