pembahasan soal ujian profesi aktuaris · pembahasan soal ujian profesi aktuaris persatuan aktuaris...

Pembahasan SoalUjian Profesi AktuarisPersatuan Aktuaris Indonesia

A60-Matematika Aktuaria

Periode 2014-2018

Tim Penyusun:

Danang Teguh Qoyyimi

Wawan Hafid Syaifudin

Maria Anestasia

Felivia Kusnadi

2018

Daftar Isi

1 Periode Mei 2018 3

2 Periode November 2017 27

3 Periode Mei 2017 51


5 Periode Juni 2016 106


7 Periode Juni 2015 151


2

1 Periode Mei 2018

1. Sebuah asuransi diskrit khusus berjangka 2 tahun dengan uang pertanggungan tahun pertamasebesar 500.000, dan pada tahun ke-2, baik premi maupun manfaat kematian naik sebesar10%. Diberikan qx = 0, 01, qx+1 = 0, 02 dan i = 0, 05. Hitunglah premi netto tahunanuntuk tahun pertama.

A. 7.176

B. 7.181

C. 7.186

D. 7.191

E. 7.196

Pembahasan: Misalkan P adalah premi netto untuk tahun pertama. Maka,

P (1 + (1 + 10%)v(px)) = 500.000(

v(qx) + (1 + 10%)v2(px)(qx+1))

P(

1 +1, 101, 05

(0, 99))= 500.000

(1

1, 05(0, 01) +

1, 101, 05

(0, 99)(0, 02))

P(2, 037143) = 14.639, 46

P = 7186, 268617

Jawab: C

2. Terdapat 2 decrement untuk karir seorang aktuaris yang berumur 50 tahun, yaitu decrement

pertama mortalita dan decrement kedua adalah pensiun. Decrement 1 mengikuti uniform sur-

vival distribution dengan ω = 75, sedangkan decrement 2 memiliki µ(2)y = 0, 10 untuk

y ≥ 50. Tentukan probabilitas aktuaris tersebut tetap pada pekerjaannya paling tidak selama5 tahun namun kurang dari 15 tahun.

A. 0,145

B. 0,150

C. 0,155

D. 0,160

3

1 Periode Mei 2018

E. 0,165

Pembahasan: Jawab: ANULIR.

3. Diberikan lx = 2.500(64− 0, 8x)13 , dengan 0 ≤ x ≤ 80. Tentukan Var(X)!

A. 16,2857

B. 0,2857

C. 4.114,2857

D. 514,2857

E. 3,2857

Pembahasan: Pertama, kita hitung S0(t):

S0(t) =ltl0

=2.500(64− 0, 8t)1/3

2.500(64− 0, 8(0))1/3 = 0, 25(64− 0, 8t)1/3

MakaE(T0) =

∫ 80

0S0(t)dt =

∫ 80

00, 25(64− 0, 8t)1/3dt = 60,

dan

E(T20 ) = 2

∫ 80

0tS0(t)dt = 2

∫ 80

00, 25t(64− 0, 8t)1/3dt

= 2(2057, 142858)

= 4114, 2856

Sehingga Var(X) = Var(T0) = E(T20 )− [E(T0)]

2 = 514, 2857Jawab: D.

Berikut adalah informasi untuk soal nomor 4 dan 5.

Untuk (x) dan (y) yang saling bebas dengan qx = 0, 2 dan qy = 0, 1, diketahui bahwa tingkatmortalitas untuk integral ages mengikuti distribusi seragam.

4. Manakah grafik yang tepat untuk menggambarkan s px sebagai fungsi dari s dengan 0 ≤ s ≤1?

4

1 Periode Mei 2018

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

E. 5

Pembahasan: Diketahui bahwa tingkat mortalitas untuk integral ages mengikuti distribusiseragam, maka sqx = s · qx, sehingga s px = 1− s · qx = 1− 0, 2s. Maka grafik yang tepatadalah grafik no 1.

Jawab: A.

5. Tentukanlah g(s) sehingga sqxy = s · qxy + g(s) · qxy terpenuhi untuk 0 ≤ s ≤ 1.

A. g(s) = s2 − s

B. g(s) =√

1− s2

C. g(s) = s(1− s)

D. g(s) = s√1−s

E. g(s) = 1− s

5

1 Periode Mei 2018

Pembahasan:

sqxy = 1− s pxy

= 1− s px · s py

= 1− (1− sqx) · (1− sqy)

= 1− (1− (sqx + sqy) + sqx · sqy)

= sqx + sqy − sqx · sqy

= sqx + sqy − sqx · sqy

= s(qx + qy)− s2(qxy)

= s(qxy + qxy)− s2(qxy)

= s · qxy + qxy(s− s2)

= s · qxy + qxy(s)(1− s)

Sehingga g(s) = s(1− s).Jawab: C.

6. Diketahui: Px:3 = 0, 35 i = 0, 06 lx = 100 lx+1 = 95

Hitunglah nilai 10.000(

2Vx:3 − 1Vx:3

)!

A. 2.565

B. 2.555

C. 2.575

D. 2.585

E. 2.595

Pembahasan: Diketahui:

px =lx+1

lx=

95100

qx = 1− px =5

100

Dengan menggunakan rumus rekursif,

(10.0000Vx:3 + 10.000 · Px:3 )(1 + i) = 10.000 · qx + px · 10.0001Vx:3

⇒ 10.0001Vx:3 =(10.000 · Px:3 )(1 + i)− 10.000qx

px= 3.378, 947

6

1 Periode Mei 2018

Dan

(10.0002Vx:3 + 10.000Px:3 )(1 + i) = 10.000 =⇒ 10.0002Vx:3 = 5.933, 962

Sehingga10.000

(2Vx:3 − 1Vx:3

)= 2.555, 015

Jawab: B.

7. Diberikan sebuah fungsi survival dari seorang bayi yang baru lahir:

S0(x) =

{1− x

250 , 0 ≤ x < 401−

( x100)2 , 40 ≤ x ≤ 100

Hitunglah probabilitas seseorang yang berumur 25 tahun akan meninggal dalam 30 tahun.

A. 0,210

B. 0,215

C. 0,220

D. 0,225

E. 0,230

Pembahasan:

30q25 =S0(25)− S0(55)

S0(25)=

(1− 25

250)−(

1−( 55

100)2)

1− 25250

= 0, 255

Jawab: D.

8. A dan B, keduanya berumur 45 tahun dengan sisa umur di masa yang akan datang salingbebas, memiliki polis asuransi dengan ketentuan seperti berikut:

i. Premi dibayarkan secara tahunan pada awal tahun sepanjang A dan B masih hidup

ii. Manfaat sebesar 60.000 per tahun akan dibayarkan di awal tahun selama hanya B yanghidup

iii. Manfaat sebesar 3 kali premi netto akan dibayarkan di awal tahun selama hanya A yanghidup

iv. i = 0, 06 = 14, 1121 a45 = 12, 6994

Tentukan premi netto untuk polis tersebut.

7

1 Periode Mei 2018

A. 5.509

B. 7.523

C. 10.018

D. 12.540

E. 15.371

Pembahasan: Jawab: ANULIR.Komentar: Jika informasi yang diberikan adalah a45 = 14, 1121 dan a45:45 = 12, 6994, makasoal tersebut dapat kita kerjakan seperti berikut ini:

APV(Bene f its) = 60.000 a45|45 + 3Pa45|45

dengan a45|45 = a45 − a45:45 = 14, 1121− 12, 6994 = 1, 4127

APV(Premiums) = Pa45:45

SehinggaAPV(Premiums) = APV(Bene f its)

P(12, 6994) = 60.000(1, 4127) + 3P(1, 4127)

P = 10.018

Yaitu, jawabannya adalah C.

9. Sebuah grup berisi 10.000 orang berumur x yang saling bebas, diketahui memiliki informasisebagai berikut :

i. Manfaat anuitas akan dibayarkan setiap awal tahun sebesar 1 untuk setiap orang yanghidup

ii. Ax = 0, 55

iii. 2 Ax = 0, 33

iv. i = 0, 05

Y adalah peubah acak dari nilai sekarang (Present Value) dari total pembayaran anuitas. Den-gan menggunakan pendekatan normal, tentukan jumlah dana yang dibutuhkan agar 95% yakinanuitas di atas dapat dibayarkan. Untuk suatu X yang berdistribusi normal, diketahui

P(−1, 96 < X < 1, 96) = 0, 95 P(−1, 645 < X < 1, 645) = 0, 90.

A. 97.700

B. 96.675

8

1 Periode Mei 2018

C. 95.650

D. 94.625

E. 93.600

Pembahasan: Misalkan Yi adalah peubah acak dari nilai sekarang untuk pembayaran anuitaspada individu ke-i. Maka,

E(Yi) = ax =1− Ax

d= 9, 45 Var(Yi) =

2 Ax − (Ax)2

d2 = 12, 1275.

Maka Y = ∑10.000i=1 Yi menyatakan peubah acak dari nilai sekarang (Present Value) dari total

pembayaran anuitas.

E(Y) = 10.000E(Yi) = 94.500 Var(Y) = 10.000Var(Yi) = 121.275

P(Y ≤ F) = P

(Z ≤ F− 94.500√

121.275

)= 0, 95

=⇒ F− 94.500√121.275

= 1, 96 −→ F = 95.182, 5614

Jawab: TIDAK JELAS.komentar: Seharusnya P(Z < 1, 645) = 0, 95 bukan P(Z < 1, 96) = 0, 95. Jika menggu-nakan P(Z < 1, 645) = 0, 95, maka nilai F = 95072.864.

10. Untuk sebuah asuransi dwiguna (endowment insurance) dengan 15 kali pembayaran yangberkelanjutan secara penuh (fully continuous) selama 25 tahun senilai 1000 untuk (35), dike-tahui:

i. µ35+t = 0, 03 untuk t ≥ 0

ii. δ = 0, 05

iii. 1.000 A 135:25 = 324, 25

iv. a35:25 = 8, 7351

Hitunglah 5V, net premium reserve pada tahun ke-5!

A. 139,03

B. 149,65

C. 152,17

D. 154,23

E. 163,31

9

1 Periode Mei 2018

Pembahasan: Untuk net premium reserve, kita gunakan rumus prospektif,

(5V+ Pa40:10 ) = 1.000 A40:20

Kita hitung besarnya premi menggunakan prinsip ekuivalensi:

Pa35:15 = 1.000 A35:25 =⇒ P =1.000 A35:25

a35:15

Selain itu, kita juga gunakan rumus:

nEx = vnn px = (e−nδ)(e−nµ) = e−n(0,08)

A1x:n = Ax − nEx An+x =

(µ

µ + δ

)− e−n(0,08)

(µ

µ + δ

)=

38(1− e−n(0,08))

Ax:n = A1x:n + Ax:

1n = A1

x:n + nEx =38(1− e−n(0,08)) + e−n(0,08)

ax:n =1− Ax:n

δ

Sehingga diperoleh:

A35:15 =38(1− e−15(0,08)) + e−15(0,08) = 0, 563246

a35:15 =1− A35:15

δ= 8, 735072

A35:25 =38(1− e−25(0,08)) + e−25(0,08) = 0, 459585

A40:10 =38(1− e−10(0,08)) + e−10(0,08) = 0, 655831

a40:10 =1− A40:10

δ= 6, 883388

A40:20 =38(1− e−20(0,08)) + e−20(0,08) = 0, 501185

Net premium reserve pada tahun ke-5 adalah:

(5V+ Pa40:10 ) = 1.000 A40:20

5V = 1.000 A40:20 −1.000 A35:25

a35:15( a40:10 )

= 139, 0248

10

1 Periode Mei 2018

Jawab: A.

11. Sebuah asuransi berjangka 2 tahun diskrit diterbitkan untuk (x) dengan i = 0. Diketahuiqx = 0, 25 dan Var(Z1

x:2 ) = 0, 75. Hitunglah qx+1!

A. 0,5

B. 0,6

C. 0,7

D. 0,8

E. 0,9

Pembahasan: Diketahui i = 0, maka v = 1.

A1x:2 = qx + v px qx+1 = qx + px qx+1

2 A1x:2 = qx + v2 px qx+1 = qx + px qx+1

Var(A1x:2 ) =

2 A1x:2 − (A1

x:2 )2

0, 75 = qx + px qx+1 − [qx + px qx+1]2

0, 75 = 0, 25 + 0, 25qx+1 − [0, 25 + 0, 25qx+1]2

Diperoleh persamaan kuadrat 0, 0625q2x+1 − 0, 25qx+1 + 0, 3125 = 0 yang memiliki akar

kompleks.Jawab: ANULIR.

12. Sedang dilakukan sebuah penelitian mengenai asumsi yang digunakan untuk menentukantingkat harga premi untuk sebuah polis asuransi kesehatan. Perhitungan didasarkan pada mul-

tiple state model seperti diagram berikut:

11

1 Periode Mei 2018

Diketahui,

i. Premi dibayar secara berkelanjutan (continuous) oleh pemegang polis Sakit

ii. Manfaat sakit dibayarkan secara berkelanjutan kepada pemegang polis Sakit

iii. Tidak ada manfaat kematian

Dari kondisi - kondisi berikut, manakah yang paling mungkin menyebabkan kenaikan rate

premi?

A. Tingkat suku bunga yang lebih rendah dan tingkat sembuh dari Sakit yang lebih tinggi

B. Tingkat kematian yang lebih rendah dari kondisi Sehat dan kondisi Sakit

C. Tingkat kematian yang lebih tinggi dari kondisi Sehat maupun Sakit

D. Tingkat sembuh dari Sakit yang lebih rendah dan tingkat kematian yang lebih rendah dariSakit

E. Tingkat suku bunga yang lebih tinggi dan tingkat kematian yang lebih rendah dari Sehat

Pembahasan: Dapat dijabarkan bahwa:

A. Tingkat suku bunga yang lebih rendah akan menyebabkan kenaikan premi, tetapi tingkatsembuh dari Sakit yang lebih tinggi akan menurunkan premi, karena proyeksi dari manfaatsakit akan turun dan lebih banyak pemegang polis yang membayar premi.

B. Tingkat kematian yang lebih rendah dari kondisi Sehat → ada lebih banyak pemegangpolis yang membayar premi→ penurunan rate premi

C. Tingkat kematian yang lebih tinggi dari kondisi Sakit → penurunan pada manfaat sakit→ penurunan rate premi

D. Tingkat sembuh dari Sakit yang lebih rendah→ kenaikan pada manfaat sakit→ kenaikanrate premiTingkat kematian yang lebih rendah dari Sakit → kenaikan pada manfaat sakit → ke-naikan rate premi

12

1 Periode Mei 2018

E. Tingkat suku bunga yang lebih tinggi→ penurunan rate premiTingkat kematian yang lebih rendah dari Sehat dapat menyebabkan penurunan rate premikarena ada lebih banyak pemegang polis Sehat yang membayar premi.

Jawab: D.

13. Seorang siswa menghitung nilai ax dengan i = 0, 05. Setelah diperiksa, ternyata seharusnyapx+1 lebih besar sebesar 0,05 dari yang digunakan oleh siswa tersebut. Dalam perhitungan-nya, siswa tersebut menggunakan nilai-nilai berikut:qx = 0, 1 qx+1 = 0, 2 ax+1 = 9Bagaimanakah perubahan nilai ax jika dihitung dengan px+1 yang benar dibandingkan denganperhitungan awal?

A. Naik sebesar 0,43

B. Naik sebesar 0,57

C. Tidak ada perubahan

D. Turun sebesar 0,57

E. Turun sebesar 0,43

Pembahasan: Kita gunakan rumus rekursif ax = 1 + v · px · ax+1.Jadi, nilai ax yang dihitung pada saat awal ( ax0) adalah sebesar

ax0 = 1 + v · px · ax+1 = 1 +1

1, 05(0, 9)(9) = 8, 714286

Sedangkan, nilai ax+2 =ax+1−1

vpx+1= 9−1

0,8 (1, 05) = 10, 5. Sehingga, jika px+1 seharusnyalebih besar sebesar 0, 05 dari yang digunakan, maka seharusnya ax+1 = 1+ v · px+1 · ax+2 =

1 + 11,05 (0, 85)(10, 5) = 9, 5 dan

ax = 1 + v · px · ax+1 = 1 +1

1, 05(0, 9)(9.5) = 9, 142857.

Jadi, perubahan nilai ax adalah sebesar ax − ax0 = 9, 142857− 8, 714286 = 0, 428571.

Jawab: A.

14. Dari fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang tidak dapat digunakan sebagai survival model

untuk x > 0?

A. SX(x) = (1 + x)−3

B. SX(x) = exp[7, 125 · (1− 2x)]

13

1 Periode Mei 2018

C. SX(x) = e−x2

D. SX(x) = exp[x− 0, 72 · (2x − 1)]

E. SX(x) = 11+√

x

Pembahasan: Suatu fungsi survival harus memenuhi syarat berikut:

• SX(0) = 1, yaitu peluang dari individu (x) bertahan hidup selama 0 tahun adalah 1.

• limx→∞ SX(x) = 0, yaitu semua orang pada akhirnya akan meninggal.

• fungsi survival haruslah merupakan fungsi yang non-increasing.

Sehingga, jika kita periksa dari antara fungsi-fungsi tersebut hanya D yang tidak memenuhiketiga syarat tersebut.

ddx

SX(x) = exp[x− 0, 72 · (2x − 1)](1− 0, 72(2x) ln 2)

Jika x = 0, 5, maka ddx SX(x) = 0, 359989 > 0, jadi fungsi tersebut tidak non-increasing.

Jawab: D.

15. Sebuah kontrak endowment sepanjang 20 tahun diterbitkan kepada seseorang yang berumur 55tahun. Endowment ini memiliki manfaat menurun yang dibayarkan pada akhir tahun kejadian,dengan bk = (21− k) untuk kejadian pada tahun ke-k dan pure endowment dengan manfaatsebesar 1. Diketahui,

10V = 5 19V = 0, 6 q65 = 0, 1 i = 0, 08

Hitunglah cadangan premi di akhir tahun ke-11 (11V) untuk produk tersebut!

A. 5,28

B. 4,29

C. 3,30

D. 2,31

E. 1,34

14

1 Periode Mei 2018

Pembahasan: π menyatakan besarnya premi.

19V = APV dari future benefits−APV dari future premiums,

0, 6 =1

1 + 0, 08− π =⇒ π = 0, 326

11V =(10V+ π) (1 + i)− (q65)(b11)

p65

=(5 + 0, 326)(1, 08)− (0, 1)(10)

1− 0, 1= 5, 28

Jawab: A.

16. Y adalah nilai sekarang dari sebuah anuitas hidup sementara yang membayarkan 1 secaraberkelanjutan (continuous) per tahun sepanjang (x) hidup selama n tahun ke depan. Diketahui,

i. ax:n = 4, 9

ii. 2 ax:n = 3, 6

iii. δ = 0, 095

Hitunglah Var(Y)!

A. 3,36

B. 6,69

C. 9,92

D. 12,25

E. 15,58

Pembahasan:

Var(Y) =2δ

(ax:n − 2 ax:n

)− ( ax:n )

2

=2

0, 095(4, 9− 3, 6)− (4, 9)2

= 3, 358421

Jawab: A.

17. Sebuah asuransi seumur hidup untuk (40) memiliki manfaat pembayaran sebesar bk untukkegagalan pada tahun ke-k. Diketahui informasi sebagai berikut,

i. Premi netto P = P20

ii. Cadangan manfaat tV = 20V, untuk t = 0, 1, 2, . . . , 19

15

1 Periode Mei 2018

iii. q40+k = q20+k + 0, 01, untuk k = 0, 1, 2, . . . , 19

iv. 11V20 = 0, 08

v. q30 = 0, 008

Tentukanlah b11!

A. 0,16

B. 0,25

C. 0,36

D. 0,49

E. 0,64

Pembahasan: Diketahui bahwa

11V = (10V+ P20) (1 + i)− (b11 − 11V) q50 . . . (1)

dan

11V20 = (10V20 + P20) (1 + i)− (1− 11V20) q30

dengan 10V=10V20 dan 11V=11V20, maka

11V = (10V+ P20) (1 + i)− (1− 11V) q30 . . . (2)

Persamaan (2) dikurangi persamaan (1) menghasilkan:

(b11 − 11V) q50 = (1− 11V) q30

b11 =(1− 11V) q30

q50+ 11V

=(1− 0, 08)0, 008

0, 008 + 0, 01+ 0, 08

= 0, 4888 ≈ 0, 49

Jawab: D.

18. Sebuah asuransi dwiguna (endowment insurance) n-tahun sebesar 1.000 untuk (x), diketahui:

i. Manfaat kematian dibayarkan pada saat kematian

ii. Premium dibayarkan secara tahunan setiap awal tahun

iii. Kematian berdistribusi seragam pada seluruh usia

iv. i = 0, 05

16

1 Periode Mei 2018

v. nEx = 0, 172

vi. Ax:n = 0, 192

Tentukan premi netto tahunan untuk asuransi di atas.

A. 10,1

B. 11,3

C. 12,5

D. 13,7

E. 14,9

Pembahasan: Misalkan P menyatakan premi netto tahunan, maka

P =1.000 Ax:n

ax:n=

1.000(0, 192)ax:n

dengan

ax:n =1− Ax:n

d=

(1, 05)(0, 05)

(1− A1

x:n − Ax:1n)

Ax:n =iδ

(A1

x:n)+ nEx =⇒ A1

x:n = (0, 192− 0, 172)(

0, 050, 0488

)=⇒A1

x:n = 0, 01952 =⇒ ax:n =1, 050, 05

(1− 0, 01952− 0, 172) = 16, 97808

Sehingga diperoleh:

P =1.000(0, 192)

16, 97808= 11, 31

Jawab: B.

19. Diketahui untuk sebuah select and ultimate mortality model dengan periode seleksi 1 tahun,bahwa p[x] = (1 + k)px untuk suatu konstanta k. Jika ax:n = 21, 854 dan a[x]:n = 22, 167,tentukanlah k!

A. 0,015

B. 0,020

C. 0,025

D. 0,030

E. 0,035

17

1 Periode Mei 2018

Pembahasan:

a[x]:n = 1 + v p[x] ax+1:n−1 = 1 + (1 + k)vpx ax+1:n−1 = 1 + (1 + k)( ax:n − 1)

Sehingga diperoleh:

k =a[x]:n − 1ax:n − 1

− 1 =21, 16720, 854

− 1 = 0, 015

Jawab: A.

20. Dari sebuah fungsi kepadatan gabungan (joint density function) dari Tx dan Ty berikut:

fTx ,Ty(tx, ty) =4

(1 + tx + 2ty)3 , untuk tx > 0 dan ty > 0,

Tentukan nqxy!

A. 11+3n

B. 11+n

C. n1+n

D. 3n1+3n

E. 5n1+5n

Pembahasan:

n pxy = FTx ,Ty(tx, ty) = P(Tx ≥ n and Ty ≥ n)

=∫ ∞

n

∫ ∞

nfTx ,Ty(tx, ty)dtxdty

=∫ ∞

n

∫ ∞

n

4(1 + tx + 2ty)3 dtxdty

=1

1 + 3n

Sehingga

nqxy = 1− n pxy =3n

1 + 3n

Jawab: D.

21. Anuitas pasti dan berkelanjutan n tahun akan memberikan pembayaran yang pasti untuk ntahun pertama dan pembayaran selanjutnya akan dibayarkan jika masih hidup. Seorang pe-menang kuis berumur 40 tahun berhak untuk mendapatkan pembayaran sebesar P setiap awal

18

1 Periode Mei 2018

tahun selama 10 tahun secara pasti, dan selanjutnya selama ia masih hidup. Tentukan nilaipembayaran P jika diketahui

A40 = 0, 3 A50 = 0, 35 A 140:10 = 0, 09 i = 0, 04

A. 538,35

B. 540,70

C. 542,05

D. 544,40

E. 546,75

Pembahasan: Jawab: ANULIR.Komentar: Kurang informasi tentang berapa nilai hadiah yang dimenangkan. Jika diasum-sikan uang yang dimenangkan adalah sejumlah 10.000, maka

10.000 = P( a10 + 10| a40) = P( a10 + 10E40 · a50)

Untuk menghitung 10E40, perhatikan bahwa

A40 − A 140:10 = 0, 21 = 10E40 A50 =⇒ 10E40 =

0, 210, 35

= 0, 60.

Kemudian, dapat dihitung pula

a50 =1− A50

d= 16, 90 dan a10 =

1− v10

d= 8, 43533.

Sehingga

P =10, 000

8, 43533 + (0, 60)(16, 90)= 538, 35.

Sehingga jawabannya adalah A.

Berikut adalah informasi untuk soal nomor 22 dan 23.

Kezia yang berumur 35 tahun memiliki sebuah anuitas seumur hidup premi tunggal denganketentuan seperti berikut:

i. Pembayaran sebesar 10.000 per tahun, dimulai pada umur 65

ii. Biaya awal sebesar 5% dari premi

iii. Biaya renewal sebesar 50 per tahun setiap awal tahun, termasuk tahun pertama

iv. Biaya administrasi sebesar 50 setiap pembayaran manfaat

19

1 Periode Mei 2018

v. i = 0, 06 30 p35 = 0, 8 a35 = 15 a65 = 10 30E35 = 0, 15

22. Tentukan premi tunggal bruto untuk anuitas di atas dengan menggunakan prinsip ekuivalen(equivalence principle).

A. 15.228

B. 16.658

C. 17.088

D. 18.518

E. 19.948

Pembahasan: Misalkan G menyatakan premi tunggal bruto. Maka, menggunakan prinsipekuivalen,

G = 0, 05G + 50 a35 + 30E35(10.000 + 50) a65

0, 95G = 50(15) + (0, 15)(10050)(10)

G =15.8250, 95

= 16.657.89 ≈ 16.658

Jawab: B.

23. Kezia ditawarkan untuk menambah manfaat anuitasnya dengan pengembalian single gross

premium pada akhir tahun kematian dengan bunga sebesar 6% per tahun jika ia meninggalsebelum umur 65 tahun. Berapa premi tambahan yang harus Kezia bayar jika ia setuju untukpenambahan manfaat ini?

A. 28.822

B. 21.100

C. 16.688

D. 9.944

E. 4.442

Pembahasan: Misalkan premi yang baru adalah G∗, maka EPV (Expected Present Value)dari penambahan manfaat anuitasnya adalah

G∗(

q35v(1, 06) + 1|1q35v2(1, 06)2 + · · ·+ 29|1q35v30(1, 06)30)= 30q35G∗

= (1− 30 p35)G∗ = 0, 2G∗

20

1 Periode Mei 2018

Sehingga persamaan yang baru untuk premi tunggal brutonya adalah

G∗ = 0, 05G∗ + 0, 2G∗ + 50 a35 + 30E35(10.000 + 50) a65

0, 75G∗ = 50(15) + (0, 15)(10050)(10)

G∗ =15.8250, 75

= 21.100

Premi tambahan yang harus Kezia bayar jika ia setuju untuk penambahan manfaat ini adalahsebesar

G∗ − G = 21.100− 16.657.89 = 4.442, 105

Jawab: E.

24. Untuk dua orang dengan sisa umur di masa yang akan datang saling bebas (independent future

lifetimes), (x) dan (y), diketahui δ = 0, 05, µx = 0, 1 dan µy = 0, 15. Hitunglah P( A )xy!

A. 0,01

B. 0,03

C. 0,05

D. 0,07

E. 0,09

Pembahasan: Karena diketahui Constant Force of Mortality, maka:

Ax =µx

µx + δ=

0, 10, 1 + 0, 05

= 0, 667

Ay =µy

µy + δ=

0, 150, 15 + 0, 05

= 0, 75

µxy = µx + µy =⇒ Axy =µxy

µxy + δ=

0, 250, 25 + 0, 05

= 0, 833

Axy = Ax + Ay − Axy = 0, 667 + 0, 75− 0, 833 = 0, 5833

axy =Axy

δ= 8, 333

P( Axy ) =Axy

axy=

0, 58338, 333

= 0, 07

Jawab: D.

25. Sebuah asuransi seumur hidup yang berkelanjutan (continuous) sebesar 10.000 diterbitkanuntuk (40). Premi dibayarkan sebesar 100 setiap tahun. Diketahui δ = 0, 04 dan µ70,5 =

0, 025, tentukan 30,5V jika ddt tV = 337, 5 untuk t = 30, 5.

21

1 Periode Mei 2018

A. 7.000

B. 7.500

C. 8.000

D. 8.500

E. 9.000

Pembahasan: Diketahui bahwa

ddt tV = δtV+ Pt − et − (St + Et − tV)µx+t

Untuk t = 30, 5,

337, 5 = 0, 04(30,5V) + 100− 0− (10.000 + 0− 30,5V)(0, 025)

487, 5 = 0, 065(30,5V)

30,5V = 7.500

Jawab: B.

26. Sebuah anuitas 5 tahun dengan manfaat sebesar 1 diterbitkan untuk (55). Diketahui lX =

100− x untuk 0 ≤ x ≤ 100 dan i = 0.06. Tentukan probabilitas hasil penjumlahan pem-bayaran anuitas tanpa didiskon akan melebihi expected present value pada saat anuitas diter-bitkan jika diketahui 5E55 = 0, 7081 dan a60 = 11, 1454 dan a5 = 4, 4651.

A. 0,69

B. 0,71

C. 0,73

D. 0,75

E. 0.77

Pembahasan: Jawab: ANULIR.Komentar: asumsi jika yang dimaksud adalah anuitas seumur hidup dengan manfaat sebesar1 yang dibayarkan setiap awal tahun, dengan 5 tahun pertama dijamin terbayar (guaranteed),maka expected present value pada saat anuitas dibayarkan adalah

a5 + 5E55 a60 = 4, 4651 + (0, 7081)(11, 1454) = 12, 35716

Sehingga probabilitas hasil penjumlahan pembayaran anuitas tanpa didiskon akan melebihiexpected present value pada saat anuitas diterbitkan adalah probabilitas bahwa setidaknya

22

1 Periode Mei 2018

ada 13 kali pembayaran anuitas. Hal ini akan terjadi jika (55) bertahan hidup hingga usia55 + 12 = 67. Maka probabilitasnya adalah:

12 p55 =l67

l55=

100− 67100− 55

= 0, 7333

Sehingga jawabannya adalah C.

27. Diketahui sebagian dari sebuah tabel triple decrement.Belakangan diketahui bahwa q(1)40 seharusnya bernilai 0, 02, sedangkan angka-angka yang

x l(τ)x q(1)x q(2)x q(3)x40 15.000 0,01 0,04 0,0541 - 0,04 0,08 0,10

lain sudah tepat. Berapakah dampak kesalahan ini terhadap nilai d(3)41 yang seharusnya?

A. Lebih kecil 20 dari yang seharusnya

B. Lebih kecil 15 dari yang seharusnya

C. Tidak ada dampak

D. Lebih besar 15 dari yang seharusnya

E. Lebih besar 20 dari yang seharusnya

Pembahasan: Menggunakan data pada tabel yang awal,

p(τ)40 = 1− (0, 01 + 0, 04 + 0, 05) = 0, 9

l(τ)41 = l(τ)40 p(τ)40 = 15.000(0, 9) = 13.500

d(3)41 = l(τ)41 q(3)41 = 13.500((0, 1) = 1.350

Kemudian, jika kita ubah q(1)40 menjadi 0, 02 sedangkan angka-angka yang lain tetap, maka

p(τ)40 = 1− (0, 02 + 0, 04 + 0, 05) = 0, 89

l(τ)41 = l(τ)40 p(τ)40 = 15.000(0, 89) = 13.350

d(3)41 = l(τ)41 q(3)41 = 13.350((0, 1) = 1.335

Yaitu, nilai d(3)41 seharusnya adalah 1335 bukan 1350. Jadi, kesalahannya adalah lebih besar15 dari yang seharusnya. Jawab: D.

23

1 Periode Mei 2018

28. Peubah acak nilai tunai untuk (x) dapat dinyatakan sebagai:

Z = f (x) =

0, Tx ≤ 10vTx , 10 < T ≤ 202vTx , 10 < T ≤ 200, lainnya

Dari pilihan-pilihan berikut, manakah ekspresi yang tepat untuk menggambarkan E[Z]?

A. 10| Ax + 20| Ax − 30| Ax

B. Ax + 20Ex Ax+20 − 230Ex Ax+30

C. 10Ex Ax + 20Ex Ax+20 − 230Ex Ax+30

D. 10Ex Ax+10 + 20Ex Ax+20 − 230Ex Ax+30

E. 10Ex [ Ax+10 + 10Ex+10 Ax+20 − 10Ex+20 Ax+30]

Pembahasan: Jawab: ANULIR.Komentar: jika yang dimaksud adalah

Z = f (x) =

0, Tx ≤ 10vTx , 10 < T ≤ 202vTx , 20 < T ≤ 300, lainnya

Maka Z dapat kita tuliskan sebagai

Z =

0, Tx ≤ 10vTx , 10 < T ≤ 20vTx + vTx , 20 < T ≤ 300, lainnya

dan E[Z] = 10| Ax + 20| Ax − 230| Ax. Dengan menggunakan n| Ax = nEx Ax+n, maka diper-oleh E[Z] = 10Ex Ax + 20Ex Ax+20 − 230Ex Ax+30 sehingga jawabannya adalah C.

29. Berikut adalah Select and ultimate life table dengan periode seleksi 3 tahun:

Diketahui juga e60 = 1 dan kematian berdistribusi seragam pada setiap usia. Tentukan e[58]+2.

A. 2,1

B. 1,6

C. 1,1

24

1 Periode Mei 2018

[x] l[x] l[x]+1 l[x]+2 l[x]+3 x + 355 10.000 9.493 8.533 7.664 5856 8.547 8.028 6.889 5.630 5957 7.011 6.443 5.395 3.904 6058 5.853 4.846 3.548 2.210 61

D. 0,6

E. 0,1

Pembahasan:

e[58]+2 = e[58]+2 + 0, 5

e[58]+2 = p[58]+2(1 + e61) = p[58]+2

[1 +

e60

p60− 1]

=l61

l[58]+2× e60

p60=

22103548

× 1(2210/3904)

=39043549

= 1, 100338

e[58]+2 = 1, 100338 + 0, 5 = 1, 6

Jawab: B.

30. Diketahui sebuah asuransi seumur hidup sebesar 1.000 untuk (x), diketahui

i. Gross premium sebesar 25

ii. Biaya per polis setiap awal tahun adalah 5

iii. Biaya per premi sebesar 2% setiap awal tahun

iv. i = 0, 05

v. Cash value yang tersedia untuk ditarik pada akhir tahun ke-4 adalah 100

vi. q(d)x+3 = 0, 015 sedangkan q(w)x+3 = 0, 05 dengan withdrawal terjadi pada akhir tahun

vii. Nilai aktuaria dari kumpulan premi setelah disesuaikan dengan manfaat dan biaya, biasadisebut asset share, pada akhir tahun ke-3 bernilai 75

Jika pada tahun ke-4 kemungkinan withdrawal dan seluruh biaya menjadi 120% dari yangtertulis di atas, seberapa besarkah perubahan asset share pada akhir tahun ke-4?

A. Bertambah 1,11

B. Berkurang 1,21

C. Bertambah 1,31

D. Berkurang 1,41

25

1 Periode Mei 2018

E. Bertambah 1,51

Pembahasan: Menggunakan rumus rekursif untuk asset share:

[kAS + Gk(1− ck)− ek](1 + ik) = p(τ)x+kk+1AS + q(d)x+k(bk+1 + Ek+1) + q(w)x+kk+1CV

Sehingga:

4AS =[3AS + G3(1− c3)− e3](1 + i)− [q(d)x+3(b4) + q(w)

x+3(4CV)]

p(τ)x+k

=[75 + 25(1− 0, 02)− 5](1, 05)− [0, 015(1000) + 0, 05(100)]

1− 0, 05− 0, 015

= 84, 73262.

Pada tahun ke-4 kemungkinan withdrawal dan seluruh biaya menjadi 120% dari yang tertulis,yaitu

q(w)x+3 = 0, 05(120%) = 0, 06

ek = 5(120%) = 6

ck = 2%(120%) = 0, 024

Sehingga asset share yang baru adalah:

4AS∗ =[75 + 25(1− 0, 024)− 6](1, 05)− [0, 015(1000) + 0, 06(100)]

1− 0, 06− 0, 015

= 83, 31892.

Maka, perubahan asset share pada akhir tahun ke-4 adalah

4AS∗ − 4AS = 83, 31892− 84, 73262 = −1, 4137

Jawab: D.

26

2 Periode November 2017

1. Diberikan sebagai berikut :

SX(x) =9000− 10x− x2

9000, untuk 0 < x ≤ 90

Hitunglah nilai q50 − µ50.

A. 0,000167

B. 0,000200

C. 0,000250

D. 0,000333

E. 0,000500

Pembahasan:

q50 = P[T50 ≤ 1] = 1− S(51)S(50)

= 1− 9000− 10× 51− 512

9000− 10× 50− 502

= 0, 0185.

µ50 =fX(50)SX(50)

=10 + 2× 50

9000− 10× 50− 502 = 0.0183.

q50 − µ50 = 0.0185− 0.0183 = 0.000200.

Jawab: B.

2. Hitunglah nilai dari n−1Vx:n , jika diberikan Ax:n = 0, 50 dan d = 0, 08

A. 0,80

B. 0,82

C. 0,84

27


D. 0,86

E. 0,90

Pembahasan: Dengan asumsi premi dibayar dengan besaran tetap selama masa asuransi (n)dan premi dihitung menggunakan prinsip ekuivalensi, maka besar premi per periode adalah

P =Ax:n

ax:n=

Ax:n1−Ax:n

d

=0, 5

1−0,50,08

= 0, 08.

Karena pada asuransi dwiguna jika tertanggung still in force pada n − 1 maka tertanggungakan menerima 1 pada waktu n, apapun yang terjadi, maka dipunyai

(n−1Vx:n + P)(1 + i) = 1

n−1Vx:n = v− P = (1− d)− P = 1− 0, 08− 0, 08 = 0, 84.

Jawab: C.

3. Untuk suatu model “2-year selection and ultimate mortality”, diberikan:

(i) q[x]+1 = 0, 95qx+1

(ii) l76 = 10.140

(iii) l77 = 9.848

Hitunglah l[75]+1

A. 10.120

B. 10.125

C. 10.130

D. 10.133

E. 10.135

Pembahasan:

q[75]+1 = 0, 95q75+1 = 0, 95`76 − `77

`76

1−`[75]+2

`[75]+1= 0, 95

29210.140

= 0, 0274

1− `77

`[75]+1= 0, 0274

`[75]+1 =9, 8480, 9726

= 10.125

28


Jawab: B.

4. Diberikan sebagai berikut:

(i) qx = 0, 5

(ii) “Force of Mortality” adalah konstan antara “integral ages”

Hitunglah 1/2 px+1/4

A. 0,2525

B. 0,2626

C. 0,2727

D. 0,2828

E. 0,2929

Pembahasan:qx = px = 0, 5.

3/4 px = 1/4 px1/2 px+1/4

(0, 5)3/4 = (0, 5)1/41/2 px+1/4

1/2 px+1/4 = (0, 5)1/2

1/2qx+1/4 = 1− 1/2 px+1/4 = 0, 2929

Jawab:E.

5. Untuk (x) dan (y) dengan “independent future lifetimes” diberikan sebagai berikut:

(i) ax = 10, 06

(ii) ay = 11, 95

(iii) axy = 12, 59

(iv) Ax1y = 0, 04

(v) δ = 0, 07

Hitunglah Ax1y

A. 0,15

B. 0,20

C. 0,25

29


D. 0,30

E. 0,35

Pembahasan: Dari informasi yang diberikan, diperoleh:

(i) Ax = 1− δ ax = 0, 2958

(ii) Ay = 1− δ ay = 0, 1635

(iii) Axy = 1− δ axy = 0, 1187

(iv) Axy = Ax + Ay − Axy = 0, 3406

A1xy = Axy − Ax

1y = 0, 3406− 0, 04 = 0, 3006.

Jawab: D.

6. Suatu asuransi seumur hidup pada (x) dengan manfaat 1 dengan pengembalian dari “net single

premium” tanpa bunga pada saat kematian. Diberikan:

(i) µx+t = 0, 01 untuk t > 0

(ii) δ = 0, 02

Hitunglah “net single premium”

A. 1/2

B. 1/3

C. 1/4

D. 1/5

E. 4/9

Pembahasan:

P =∫ ∞

0(1 + P)e−δt

t pxµx+tdt

= (1 + p)∫ ∞

0e−(0,02+0,01)0, 01dt

=13+

13

P

P =12

Jawab: A.

7. Untuk suatu model double decrement, diketahui sebagai berikut:

30


(i) T adalah variabel acak dari time-until-death

(ii) J adalah variabel acak dari cause-of-decrement

(iii) fT,J adalah joint p.d.f dari T dan J

(iv)

fT,J(t, j) =

{0, 6ke−0,8t + 0, 9(1− k)e−1,5t, t ≥ 0 dan J = 10, 2ke−0,8t + 0, 6(1− k)e−1,5t, t ≥ 0 dan J = 2

(v) ∞q(1)x = 3∞q(2)x

Hitunglah k.

A. 3/8

B. 4/9

C. 1/2

D. 2/3

E. 1

Pembahasan:

∞q(1)x =∫ ∞

00, 6ke−0,8t + 0, 9(1− k)e−1,5tdt

=0, 6k0, 8

e−0,8t +0, 9(1− k)

1, 5e−1,5t|0∞ =

3k4

+3(1− k)

5,

∞q(2)x =∫ ∞

00, 2ke−0,8t + 0, 6(1− k)e−1,5tdt

=0, 2k0, 8

e−0,8t +0, 6(1− k)

1, 5e−1,5t|0∞ =

k4+

2(1− k)5

.

Karena diketahui ∞q(1)x = 3∞q(2)x maka diperoleh

3k4

+3(1− k)

5= 3

[ k4+

2(1− k)5

]15k + 12(1− k) = 15k + 24(1− k)

12(1− k) = 0

k = 1.

Jawab: E.

Informasi untuk nomor 8 sampai 10

31


Suatu pembayaran dilakukan sebesar 10 di akhir minggu untuk memenuhi kebutuhan pembe-lian detergen. Kegunaan detergen adalah variabel “the week of exhaustion of supply” adalahvariabel acak K Misalkan Z = 10vK menyatakan “present value” dari pembayaran variabel

k Pr(K = k)1 0,202 0,303 0,204 0,155 0,15

acak. Dengan asumsi bunga i = 0, 01, ”effective per week”

8. Hitunglah “the mean” dari Z

A. 9,731

B. 10,731

C. 11,731

D. 12,731

E. 13,731

Pembahasan: Dengan menganggap kuadrat pada Pr(K = k) pada tabel tidak ada, maka soaldapat diselesaikan sebagai berikut:

E(Z) =5

∑k=1

10vkPr(K = k)

= 10( 1

1, 01

)0, 20 + 10

( 11, 01

)20, 30 + 10

( 11, 01

)30, 20

+ 10( 1

1, 01

)40, 15 + 10

( 11, 01

)50, 15

= 9, 730935512

Jawab: A.

9. Hitunglah ”variansi” dari Z

A. 0,01663

B. 0,02663

C. 0,03663

D. 0,04663

32


E. 0,05663

Pembahasan: Diketahui

E(Z2) =5

∑k=1

(10vk)2Pr(K = k)

= 100( 1

1, 01

)20, 20 + 100

( 11, 01

)40, 30 + 100

( 11, 01

)60, 20

+ 100( 1

1, 01

)80, 15 + 100

( 11, 01

)100, 15

= 94, 70778869.

Sehingga

Var(Z) = E(Z2)− (E(Z))2 = 0, 016682746

Jawab: A.

10. Hitunglah ”median” dari Z

A. 9,706

B. 10,706

C. 11,706

D. 12,706

E. 13,706

Pembahasan: Dari tabel pmf tersebut di atas diperoleh cdf untuk K adalah sebagai berikut:

k Pr(K = k) Pr(K ≤ k) Pr(K ≥ k)1 0,20 0,20 1,002 0,30 0,50 0,803 0,20 0,70 0,504 0,15 0,85 0,305 0,15 1,00 0,15

33


P(Z ≤ zmed) = 0, 50

P(10vK ≤ zmed) = 0, 50

P(K ≥ log(zmed/10)log v

) = 0, 50 = P(K ≥ 3)

log(zmed/10)log v

= 3

zmed = 10e3 log v = 10v3 = 9, 705901479

Jawab: A.

11. Manakah dari pernyataan berikut yang benar dari ddt tV(Ax)

A. Ax+t+ax+tµx+tax

B. Ax+t−ax+tµx+tax

C. 1−δax+t−ax+tµx+tax+t

D. 1−δax+t+ax+tµx+tax+t

E. 1−µx+tax+t

Pembahasan: Sebelum menyelesaikan permasalahan ini, perlu diingat kembali derivatif darifungsi asuransi terhadap x. Namun sebelumnya, perlu dilihat asuransi kontinu untuk (x) dapatdituliskan sebagai

Ax =∫ ∞

0vs

s pxµx+sds

=1

x p0

∫ ∞

0vs

x+s p0µx+sds

=1

x p0

∫ ∞

xvy−x

y p0µydy

dengan y = x + s, sehingga Ax dapat dituliskan sebagai

Ax =1

vxx p0

∫ ∞

xvy

y p0µydy

bentuk ini dipilih karena di dalam integral sudah tidak memuat x sehingga lebih mudah men-

34


cari derivatifnya terhadap x. Selanjut derivatif dari Ax terhadap x dapat dihitung

ddx

Ax =d

dx

( 1vxx p0

) ∫ ∞

xvy

y p0µydy +1

vxx p0

ddx

( ∫ ∞

xvy

y p0µydy)

= −vx ln vx p0 + vx(−x p0µx)

(vx)x p0)2

∫ ∞

xvy

y p0µydy +1

vxx p0(vx

x p0µx)

= (δ + µx) Ax − µx (2.1)

Diketahui nilai cadangan pada waktu t adalah

tV( Ax) = Ax+t − Pax+t

= Ax+t − P1− Ax+t

δ=(

1 +Pδ

)Ax+t −

Pδ

.

Karena premi dihitung sebagai premi bersih dan dibayarkan kontinu maka

P =Ax

ax,

sehingga

tV( Ax) =( δ ax + Ax

δ ax

)Ax+t −

Pδ

.

Selain itu juga dipunyai

ax =1− Ax

δ(2.2)

sehingga δ ax + Ax = 1. Subsitusi hasil ini ke persamaan cadangan tadi diperoleh

tV( Ax) =( 1

δ ax

)Ax+t −

Pδ

.

Jadi derivatif dari fungsi cadangan terhadap t adalah

ddt tV( Ax) =

( 1δ ax

) ddt

Ax+t =( 1

δ ax

) dd(x + t)

Ax+t.

Dengan menggunakan (2.1) dan (2.2) diperoleh

ddt tV( Ax) =

( 1δ ax

)((δ + µx+t) Ax+t − µx+t)

=δ Ax − µx+t(1− Ax+t)

δ ax

=δ Ax − µx+tδ ax+t

δ ax=

Ax − µx+t ax+t

ax.

35


Jawab: B

12. Suatu “nonhomogeneous Poisson process” mempunyai “rate function” λ(t) = t untuk 0 ≤t ≤ 10 dan λ(t) = 10 untuk t > 10. Hitunglah “expected number of events” pada interval(5,14]

A. 57,50

B. 60,50

C. 64,50

D. 75,50

E. 77,50

Pembahasan: Untuk proses Poisson non-homogen, nilai harapan banyaknya kejadian padainterval (s, t] adalah m(t)−m(s) =

∫ ts λ(t)dt. Jadi banyaknya kejadian pada interval (5, 14]

adalah

m(14)−m(5) =∫ 14

5λ(t)dt =

∫ 10

5tdt +

∫ 14

1010dt

=12

t2|105 + 10t|14

10

= 77, 50.

Jawab: E.

13. Misalkan N berdistribusi “negative binomial” dengan E[N] = 20 dan Var[N] = 24. Hi-tunglah nilai dari parameter r

A. 5/6

B. 20

C. 25

D. 75

E. 100

Pembahasan:E(N) =

r(1− p)p

= 20,

Var(N) =r(1− p)

p2 = 24

p =E(N)

Var(N)=

2024

=56

,

36


r =20× p1− p

=20× 5/6

1/6= 100.

Jawab: E.

14. Jika diketahui µ(1)x+t = 0, 1 dan µ

(2)x+t = 0, 2. Hitunglah nilai dari ∞q(1)x

A. 1

B. 1/2

C. 1/3

D. 1/4

E. 1/5

Pembahasan: Dari informasi tentang force of decrements diperoleh

t p(τ)x = e∫ t

0 µ(1)x+t+µ

(2)x+tdt = e0,3t.

∞q(1)x =∫ ∞

0t p(τ)x µ

(1)x+tdt

=∫ ∞

0e−0,3t0, 1dt =

0, 10, 3

=13

.

Jawab: C.

15. Untuk suatu ”fully continuous whole life insurance” dengan benefit 10.000 diterbitkan padausia (40). Diberikan sebagai berikut:

(i) Premi dibayarkan sebesar 100 per tahun

(ii) δ = 0, 05

(iii) µ70,5 = 0, 038

(iv) Untuk t = 30, 5 ddt tV = 292

Hitunglah nilai dari 30,5V

A. 5.000

B. 5.500

C. 6.000

D. 6.500

E. 7.000

37


Pembahasan: Persamaan diferensial Thiele untuk nilai polis pada produk tersebut adalah

ddt tV = δtV + P− (10.000− tV)µx+t.

Sehingga untuk t = 30, 5 diperoleh

ddt tV

∣∣∣t=30,5

= 292 = 0, 0530,5V + 100− (10.000− 30,5V)0, 038

30,5V =292− 100 + 380

0, 088= 6500.

Jawab: D.

16. Untuk suatu polis asuransi ”fully discrete whole life” dengan benefit 100,000 pada usia hidup(35). Diberikan sebagai berikut:

(i) Biaya dibawah ini dibayarkan pada saat awal tahun ke 11Per Polis = 50, Persentase dari Premi adalah = 15%

(ii) ”Gross Premi” sama dengan 1.100 per polis

(iii) ”Asset share” per polis pada akhir tahun ke 10 adalah 10.000

(iv) Selama tahun ke 11 ”realized investment rate” adalah 8%

(v) Selama tahun ke 11 ”realized mortality rate” adalah 0,005

Hitunglah ”Asset share” per polis pada akhir tahun ke 11

A. 10.900

B. 11.100

C. 11.124

D. 11.312

E. 11.422

Pembahasan:

AS11 =(10.000 + 0, 85× 1.100− 50)(1, 08)− 0, 005× 100.000

0, 995

= 11.312, 3618.

Jawab: D.

17. Untuk sekelompok individu usia x, diberikan sebagai berikut:

38


k qsx+k qns

x+k0 0,10 0,051 0,20 0,102 0,30 0,15

(i) 25% adalah ”smoker (s)” dan 75% adalah ”nonsmoker (ns)”

(ii)

(iii) i = 0, 02

Hitunglah nilai dari 10.000 A1x:2 untuk individu yang dipilih secara acak pada kelompok ini

A. 1.690

B. 1.710

C. 1.730

D. 1.750

E. 1.770

Pembahasan: For smokers:

A(s)1x:2

= vq(s)x + v21|q

(s)x

=1

1, 02(0, 1) +

( 11, 02

)2(0, 9)(0, 2)

= 0, 2710.

For non-smokers:

A(ns)1x:2

= vq(ns)x + v2

1|q(ns)x

=1

1, 02(0, 05) +

( 11, 02

)2(0, 95)(0, 1)

= 0, 1403.

10.000A1x:2 = 10.000×E[E(Z|S)] untuk S variabel random status

= 10.000(A(s)1x:2

P(S = s) + A(ns)1x:2

P(S = ns))

= 10.000(0, 271× 0, 25 + 0, 1403× 0, 75)

= 1730, 1038.

Jawab: C.

39


18. Untuk T, variabel acak ”future lifetime” pada (0), diberikan sebagai berikut:

(i) ω > 70

(ii) 40 p0 = 0, 6

(iii) E(T) = 62

(iv) E[min(T, t)] = t− 0, 005t2, 0 < t < 60

Hitunglah ”complete expectation of life” pada 40

A. 30

B. 35

C. 40

D. 45

E. 50

Pembahasan: Karena diketahui E[min(T, t)] = t− 0, 005t2, 0 < t < 60 maka

E[min(T, 40)] =∫ 40

0t p0dt = 40− 0, 005× 402 = 32.

Dari pernyataan (iii) diperoleh

E(T) =∫ 40

0t p0dt +

∫ ω

40t p0dt

62 = 32 +∫ ω

40t p0dt∫ ω

40t p0dt = 30.

Complete expectation of life pada (40) dapat dihitung sebagai

e40 =

∫ ω40 t p0dt

40 p0

=300, 6

= 50.

Jawab: E.

19. Diberikan suatu ”survival function”

S0(x) =1

1 +√

x

Hitunglah 5|15q15

40


A. 0,176

B. 0,186

C. 0,196

D. 0,206

E. 0,216

Pembahasan:

5|15q15 = P(5 ≤ T15 ≤ 20)

= F15(20)− F15(5) = S25(5)− S15(20)

=1 +√

151 +√

20− 1 +

√15

1 +√

35

= 0, 8905− 0, 7046 = 0, 1859.

Jawab: B.

20. Diberikan bahwa kematian mengikuti lx = 100− x, 0 ≤ x ≤ 100Hitunglah e80

A. 6,75

B. 8,75

C. 9,25

D. 10,45

E. 11,35

Pembahasan:e80 =

ω− x2

=100− 80

2= 10,

e80 = e80 − 0, 5 = 9, 5.

Jawab: - (dianulir).

21. Diberikan :

(i) Kematian berdistribusi seragam untuk setiap tahun usia

(ii) i = 0, 10

(iii) qx = 0, 05

(iv) qx+1 = 0, 06

41


Hitunglah A1x:2

A. 0,097

B. 0,108

C. 0,111

D. 0,114

E. 0,119

Pembahasan:

A1x:n =

∫ 1

0e−δt0, 05dt +

∫ 2

1e−δt0, 06dt

=0, 05

δe−δt|01 +

0, 06δ

e−δt|12

= 0, 0477 + 0, 0520 = 0, 0997.

Jawab: A.

22. Untuk suatu anuitas yang dibayarkan semi tahunan, diberikan sebagai berikut:

(i) Kematian berdistribusi ”uniform” untuk setiap usia

(ii) q69 = 0, 03

(iii) i = 0, 06

(iv) 1000A70 = 530

Hitunglah nilai dari a(2)69

A. 8,35

B. 8,47

C. 8,59

D. 8,72

E. 8,85

Pembahasan: Dari informasi yang diberikan diperoleh konstanta-konstanta berikut:

d = 1− v = 0, 0566,

δ = ln(1, 06) = 0, 0583,

i(2) = 2((1 + i)1/2 − 1) = 0, 0591,

42


d(2) = 2(1−√

1− d) = 0, 0574.

A69 = vq69 + v p69 A70

=1

1, 060, 03 +

11, 06

0, 97× 0, 53 = 0, 5133.

a69 =1− A69

δ= 8, 3526.

a69 =idδ2 a69 −

i− δ

δ2

= 1, 0003 a69 − 0, 5099

a69 = 8, 8599.

a(2)69 =id

i(2)d(2)a69 −

i− i(2)

i(2)d(2)

= 8, 6044.

Jawab: C.

23. Perusahaan anda menawarkan suatu produk ”whole life annuity” yang membayarkan bene-fit anuitas sebesar 12.000 setiap awal tahun. Seorang dari tim produk menyarankan untukmenambahkan benefit kematian untuk produk tersebut yang dibayarkan setiap akhir tahunkematian. Dengan menggunakan ”discount rate” sebesar 8%, hitunglah berapa besarnya ben-efit kematian yang dapat meminimalkan ”variance of the present value random variable” dariproduk tersebut.

A. 0

B. 50.000

C. 100.000

D. 150.000

E. 200.000

43


Pembahasan: Jika benefit kematian adalah B, variabel random untuk nilai sekarang dari pro-duk tersebut adalah

Z = 12.000 aKx+1 + BvKx+1 =12.000

d+ vKx+1

(B− 12.000

d

)Variansi dari Z adalah

Var(Z) = Var(12.000

d+ vKx+1

(B− 12.000

d

))=(

B− 12.000d

)2Var(vKx+1)

Syarat perlu untuk B yang meminimalkan variansi dari Z adalah

ddB

Var(Z) = 2(

B− 12.000d

)Var(vKx+1) = 0

B =12.000

d=

12.0000, 08

= 150.000.

Untuk mengkonfirmasi bahwa nilai tersebut meminimalkan variansi, bukan memaksimalkan,kita dapat hitung turunan kedua dari Var(Z) sebagai berikut:

d2

dB2 Var(Z) =d

dB

(2(

B− 12.000d

)Var(vKx+1)

)= 2Var(vKx+1),

yang tentu saja positif karena Var(vKx+1) positif.

Jawab: D.


(i) µx+t = 0, 01 0 ≤ t < 5

(ii) µx+t = 0, 02 5 ≤ t

(iii) δ = 0, 06

Hitunglah nilai dari ax

A. 12,5

B. 13,0

C. 13,4

D. 13,9

E. 14,3

44


Pembahasan: Untuk 0 ≤ t < 5,

t px = e−∫ t

0 0,01dt = e−0,01t,

sedangkan untuk t ≥ 5,

t px = e−(∫ 5

0 0,01dt+∫ t

5 0,02dt) = e−0,02t+0,05.

Nilai dari anuitas jiwa kontinu untuk (x),

ax =∫ ∞

0e−δt

t pxdt

=∫ 5

0e−0,06te−0,01tdt +

∫ ∞

5e−0,06te−0,02t+0,05dt

=e−0,07t

0, 07

∣∣∣05+

e−0,08t+0,05

0, 08

∣∣∣5∞

= 4, 2187 + 8, 8086 = 13, 0273.

Jawab: B.


(i) Px = 0, 090

(ii) ”Net Premium Reserve” pada akhir tahun ke n untuk suatu asuransi ”fully discrete wholelife” dengan benefit 1 pada (x) adalah 0,563

(iii) Px:1n = 0, 00864

Hitunglah P1x:n

A. 0,008

B. 0,024

C. 0,040

D. 0,065

E. 0,085

Pembahasan: Dari pernyataan-pernyataan tersebut diperoleh informasi sebagai berikut:

(i) Px = Axax

= 0, 090⇔ Ax = 0, 09 ax,

(ii) nV = Ax+n − 0, 090 ax+n = 0, 563⇔ Ax+n = 0, 563 + 0, 09 ax+n,

(iii) Px:1n = nEx

ax:n= 0, 00864⇔ nEx = 0, 00864 ax:n

45


P1x:n =

A1x:n

ax:n=

Ax − nEx Ax+n

ax:n=

0, 09( ax:n + ax+nnEx)− nEx(0, 563 + 0, 09 ax+n)

ax:n

= 0, 09− 0, 00864× 0, 563 = 0, 0851.

Jawab: E.

26. Untuk suatu asuransi ”fully continuous whole life” dengan benefit 1:

(i) µx = 0, 04, x > 0

(ii) δ = 0, 08

(iii) L adalah variabel acak ”loss-at-issue” pada ”net premium”

Hitunglah Var(L)

A. 1/10

B. 1/5

C. 1/4

D. 1/3

E. 1/2

Pembahasan:Ax =

∫ ∞

0e−0,08te−0,04t0, 04dt =

412

=13

.

ax =∫ ∞

0e−0,08te−0,04tdt =

10, 12

.

P =Ax

ax=

1/31/0, 12

= 0, 04.

2 Ax =∫ ∞

0e−0,16te−0,04t0, 04dt =

0, 040, 20

=15

.

L = vTx − PaTx= vTx − 0, 04

1− vTx

δ

=(

1 +0, 040, 08

)vTx − 0, 04

0, 08.

Var(L) =(

1 +12

)2Var(vTx ) =

(32

)2[2 Ax − (Ax)

2]

=94× 4

45=

15

.

46


Jawab: B.

27. Gambar grafik dibawah ini berhubungan dengan ”current human mortality”

Manakah dari pernyataan berikut yang paling mungkin terjadi

A. lx px

B. µx

C. lxµx

D. lx

E. l2x

Jawab: C.

28. Untuk suatu ”special 3-year temporary life annuity-due” pada (x), diberikan sebagai berikut:

t Annuity Payment px+t0 15 0,951 20 0,902 25 0,85

(i)

(ii) i = 0, 06

Hitunglah variansi dari ”present value random variable” untuk anuitas ini

A. 91

B. 102

C. 114

D. 127

E. 139

47


Pembahasan: Present value random variable untuk produk ini adalah

Z =

15, jika Kx = 015 + 20v = 33, 8679, jika Kx = 115 + 20v + 25v2 = 56, 1178, jika Kx ≥ 2

Peluang-peluang yang bersesuaian dengan variabel random tersebut adalah berturut-turut P(Kx =

0) = qx = 0, 05, P(Kx = 1) = 1|qx = px qx+1 = 0, 95× 0, 1 = 0, 095, dan P(Kx ≥ 2) =

2 px = 0, 95× 0, 90 = 0, 855. Momen pertama dan kedua dari Z adalah

E(Z) = 15× 0, 05 + 33, 8679× 0, 095 + 56, 1178× 0, 855 = 51, 9484,

E(Z2) = 152 × 0, 05 + 33, 86792 × 0, 095 + 56, 11782 × 0, 855 = 2812, 7943.

Variansi dari Z dapat dihitung sebagai berikut,

Var(Z) = E(Z2)− (E(Z))2 = 114, 1785.

Jawab: C.

29. Manakah dari pernyataan berikut yang benar untuk

∂

∂n n| ax

A. ∂∂n

∫ ∞n vt

tqxdt

B. ∂∂n

∫ ∞n vt

t px+ndt

C. vnn px

D. −nEx

E. vnnEx

48


Pembahasan:

∂

∂n n| ax =∂

∂n

{vn

n px

∫ ∞

0vt

t px+ndt}

=∂

∂n

{∫ ∞

0vn+t

n pxt px+ndt}

=∂

∂n

{∫ ∞

0vn+t

n+t pxdt}

=∂

∂n

{∫ ∞

nvt

t pxdt}

= −vnn px

= −nEx.

Jawab: D.

30. Suatu ”age-at-failure” variabel acak mempunyai distribusi sebagai berikut:

FX(x) = 1− 0, 1(100− x)1/2 , 0 ≤ x ≤ 100.

Tentukan nilai dari E[X] dan median dari distribusi tersebut.

A. 100/3;75

B. 100/3;100

C. 200/3;100

D. 200/3;75

E. 200/3;50

Pembahasan: DiketahuiFX(x) = 1− 0, 1(100− x)1/2

sehingga

t px = SX(t) = 1− FX(t) = 0, 1(100− t)1/2.

E(X) =∫ 100

0t pxdt =

∫ 100

00, 1(100− t)1/2dt

= −∫ 100

00, 1(100− t)1/2d(100− t) = − 2

30(100− t)3/2|100

0

= 200/3

49


Untuk median, xmed, dipunyai persamaan berikut:

FX(xmed) = 0, 50

1− 0, 1(100− xmed)1/2 = 0, 50

xmed = 100−( 0.50

0, 10

)2= 75.

Jawab: C.

50

3 Periode Mei 2017

1. Dengan menggunakan ”annual interest rate” i = 0, 05 dan `95 = 100, `96 = 70, `97 =

40, `98 = 20, `99 = 4, `100 = 0.

Hitunglah a95

A. 0,932

B. 1,123

C. 1,235

D. 1,455

E. 2,012

Pembahasan:

a95 = vp95 + vp95 + v22 p95 + v3

3 p95 + v44 p95

=1

1.0570

100+( 1

1.05

)2 40100

+( 1

1.05

)3 20100

+( 1

1.05

)4 4100

= 1.2352

Jawab: C.

2. Hitunglah nilai dari n−1Vx:n , jika diberikan Ax:n = 0, 20 dan d = 0, 08

A. 0,85

B. 0,90

C. 0,95

D. 1,00

E. 1,05

Pembahasan: Diasumsikan premi dihitung berdasarkan prinsip ekuivalensi dan dibayarkan

51

3 Periode Mei 2017

per tahun, di awal tahun, selama masa asuransi, sehingga diperoleh besar premi per periode

P =Ax:n

ax:n=

Ax:n1−Ax:n

d

=0, 08× 0, 20

1− 0, 20= 0, 02

Dari formula rekursi cadangan pada asuransi dwiguna diketahui,

n−1Vx:n + P = vqx+n−1 + v px+n−1nVx:n .

Karena pada asuransi dwiguna nVx:n = 1, maka diperoleh

n−1Vx:n + 0, 02 = vqx+n−1 + v px+n−1 = v = 1− d = 1− 0, 08 = 0, 92.

Jadi

n−1Vx:n = 0, 90

Jawab: B

3. Untuk suatu asuransi seumur hidup dengan ”net level annual premium” untuk (x), ”initial re-serve” untuk tahun t adalah 200 dan ”net amount of risk” untuk tahun t adalah 1295. Hitunglah”terminal reserve” untuk t− 1, jika diberikan:

”initial reserve”=(t−1V+ P)

”net amount at risk” = B− tV

ax = 16, 20 qx+t−1 = 0, 00386 i = 0, 05

A. 143,84

B. 153,84

C. 163,84

D. 178,84

E. 189,84

Pembahasan: Karena premium dibayarkan tahunan dengan besaran sama maka

P =BAx

ax=

B(1− dax)

ax=

B× 0, 228612, 60

52

3 Periode Mei 2017

atauB = 70, 8750P.

Sehingga dari informasi net amount of risk diperoleh hubungan

70, 8750P− tV = 1295.

Dengan menggunakan formula rekursi untuk reserve, diperoleh hubungan antara t−1V dan tVsebagai berikut

(t−1V+ P)(1 + i) = Bqx+t−1 + tVpx+t−1

200× 1, 05 = 70, 8750P× 0, 00386 + (70.8750P− 1295)(1− 0, 00386)

= 70, 8750P− 1295× 0, 00386

P =200× 1, 05 + 1295× 0, 00386

70, 8750= 21, 1640

Jadi,

t−1V = 200− P = 178, 8360.

Jawab: D


Suatu unit “continuously-operation air conditioning” mempunyai waktu hidup berdistribusi“exponential” dengan “mean” 4 tahun. Ketika unit “fail” harus diganti dengan biaya 1000,yang dianggap sebagai “unit of money”. Anggap Z menyatakan “present value” variabel acakuntuk setiap pembayaran unit pada saat terjadi “fail”. Dengan menggunakan “effective annualinterest rate 5%” hitunglah

4. E(Z)

A. 0,8367

B. 0,9921

C. 1,2134

D. 1,4505

E. 1,8980

Pembahasan: Dalam hal ini biaya 1000 dianggap sebagai satu unit pembayaran, sehingga Zadalah present value per unit pembayaran bila terjadi fail, atau pembayaran dalam ribuan, se-hingga variabel acaknya adalah Z = e−δT , dengan T menunjukkan unit waktu (dalam tahun)

53

3 Periode Mei 2017

sampai terjadi fail. Karena T berdistribusi eksponensial maka pdf dari T adalah

fT(t) = µe−µt. (3.1)

Nilai dari µ diperoleh dari informasi tentang mean dari T. Diketahui bahwa mean dari variabelacak berdistribusi eksponensial dengan pdf (5.1) adalah 1

µ dan diketahui mean dari T adalah4 tahun maka µ = 1

4 = 0, 25. Nilai harapan dari Z adalah

E(Z) =∫ ∞

0e−δte−µtµdt

=0, 25

0, 25 + log(1, 05)= 0, 8367076.

Jawab: A

5. Var(Z)

A. 0,00918

B. 0,01918

C. 0,02918

D. 0,03918

E. 0,04918

Pembahasan:

E(Z2) =

∫ ∞

0(e−δt)2e−µtµdt

=µ

µ + 2δ= 0, 7192581962

Var(Z) = E(Z2)− (E(Z))2

= 0, 7192581962− 0, 83670762 = 0, 01917859484

Jawab: B.

6. 90th percentile dari distribusi Z

A. 0,3792

B. 0,4243

C. 0,5212

54

3 Periode Mei 2017

D. 0,8981

E. 0,9797

Pembahasan:

P(e−δTx ≤ z) = 0, 90

P(

Tx ≥log(z)−δ

)= 0, 90∫ ∞

log(z)−δ

e−µtµdt = 0.90

µ log(z)δ

= log 0.90

z = eδ log 0,90

µ = 0, 9796477336

Jawab: E.


Suatu pembayaran dilakukan sebesar 10 di akhir minggu untuk memenuhi kebutuhan pembe-lian detergen. Kegunaan detergen adalah variabel, ”the week of exhaustion of supply” adalahvariabel acak K.

k Pr(K = k)2

1 0,202 0,303 0,204 0,155 0,15

Misalkan Z = 10vK menyatakan ”present value” dari pembayaran variabel acak. Denganasumsi bunga i = 0, 01, ”effective per week”

7. Hitunglah ”the mean” dari Z

A. 9,731

B. 10,731

C. 11,731

D. 12,731

E. 13,731

55

3 Periode Mei 2017

Pembahasan: Dengan menganggap kuadrat pada Pr(K = k) pada tabel tidak ada, maka soaldapat diselesaikan sebagai berikut:

E(Z) =5

∑k=1

10vkPr(K = k)

= 10( 1

1, 01

)0, 20 + 10

( 11, 01

)20, 30 + 10

( 11, 01

)30, 20

+ 10( 1

1, 01

)40, 15 + 10

( 11, 01

)50, 15

= 9, 730935512

Jawab: A.

8. Hitunglah ”variansi” dari Z

A. 0,01663

B. 0,02663

C. 0,03663

D. 0,04663

E. 0,05663

Pembahasan: Diketahui

E(Z2) =5

∑k=1

(10vk)2Pr(K = k)

= 100( 1

1, 01

)20, 20 + 100

( 11, 01

)40, 30 + 100

( 11, 01

)60, 20

+ 100( 1

1, 01

)80, 15 + 100

( 11, 01

)100, 15

= 94, 70778869.

Sehingga

Var(Z) = E(Z2)− (E(Z))2 = 0, 016682746

Jawab: A.

9. Hitunglah ”median” dari Z

A. 9,706

56

3 Periode Mei 2017

B. 10,706

C. 11,706

D. 12,706

E. 13,706

Pembahasan: Dari tabel pmf tersebut di atas diperoleh cdf untuk K adalah sebagai berikut:

k Pr(K = k) Pr(K ≤ k) Pr(K ≥ k)1 0,20 0,20 1,002 0,30 0,50 0,803 0,20 0,70 0,504 0,15 0,85 0,305 0,15 1,00 0,15

P(Z ≤ zmed) = 0, 50

P(10vK ≤ zmed) = 0, 50

P(K ≥ log(zmed/10)log v

) = 0, 50 = P(K ≥ 3)

log(zmed/10)log v

= 3

zmed = 10e3 log v = 10v3 = 9, 705901479

Jawab: A.

10. Suatu ”nonhomogeneous Poisson process” mempunyai ”rate function” λ(t) = t untuk 0 ≤t ≤ 10 dan dan λ(t) untuk t > 10. Hitunglah ”expected number of events” pada interval(5,15]

A. 57,50

B. 87,50

C. 108,50

D. 125,50

E. 130,50

Pembahasan: Untuk proses Poisson non-homogen, nilai harapan banyaknya kejadian padainterval (s, t] adalah m(t)−m(s) =

∫ ts λ(t)dt. Jadi banyaknya kejadian pada interval (5, 15]

57

3 Periode Mei 2017

adalah

m(15)−m(5) =∫ 15

5λ(t)dt =

∫ 10

5tdt +

∫ 15

1010dt

=12

t2|105 + 10t|15

10

= 87, 50.

Jawab: B.

11. Suatu ”age-at-failure” variabel acak mempunyai distribusi sebagai berikut:

FX(x) = 1− 0, 1(100− x)1/2

Tentukan nilai dari E(X) dan median dari distribusi tersebut

A. 100/3 ; 75

B. 100/3 ; 100

C. 200/3 ; 75

D. 200/3 ; 100

E. 200/3 ; 50

Pembahasan: DiketahuiFX(x) = 1− 0, 1(100− x)1/2

sehingga

t px = SX(t) = 1− FX(t) = 0, 1(100− t)1/2.

E(X) =∫ 100

0t pxdt =

∫ 100

00, 1(100− t)1/2dt

= −∫ 100

00, 1(100− t)1/2d(100− t) = − 2

30(100− t)3/2|100

0

= 200/3

Untuk median, xmed, dipunyai persamaan berikut:

FX(xmed) = 0, 50

1− 0, 1(100− xmed)1/2 = 0, 50

xmed = 100−( 0.50

0, 10

)2= 75.

58

3 Periode Mei 2017

Jawab: C.

12. Jika L = L( Ax) menyatakan nilai sekarang dari “loss random variable” pada suatu “fullycontinuous whole life model” dengan “continuous premium rate” berdasarkan prinsip equiva-lent. Jika L∗ menyatakan nilai sekarang dari ”loss random variable” pada model yang serupadengan ”continuous annual premium rate 0,05” tentukan nilai dari Var(L∗) jika diketahuinilai dari:

Var(L) = 0, 25 Ax = 0, 40 δ = 0, 06

A. 0,1025

B. 0,1525

C. 0,2025

D. 0,2525

E. 0,3025

Pembahasan: Berdasarkan prinsip ekuivalensi, premi untuk model asuransi ini adalah

P =Ax

ax=

Ax1−Ax

δ

=0, 06, 401− 0, 40

= 0, 04.

Variabel random kerugian untuk model asuransi ini adalah

L = L(Ax) = Ax − Pax

= Ax − P(1− Ax

δ

)=(

1 +Pδ

)Ax −

Pδ

,

sehingga

Var(L) = Var((

1 +Pδ

)Ax −

Pδ

)= Var

((1 +

Pδ

)Ax

)=(

1 +Pδ

)2(2 Ax − A2

x)

0, 25 =(

1 +0, 040, 06

)2(2 Ax − A2

x)

atau(2 Ax − A2

x) = 0, 09.

59

3 Periode Mei 2017

Jika diketahui P∗ = 0, 05 maka

Var(L∗) = Big(1 +P∗

δ

)2(2 Ax − A2

x)

= Big(1 +0, 050, 06

)20, 09 = 0, 3025.

Jawab: E.

13. Diberikan sebagai berikut

(i) Ax = 0, 30

(ii) Ax+n = 0, 40

(iii) Ax:1n = 0, 35

(iv) i = 0, 05

Hitunglah ax:n

A. 9,3

B. 9,6

C. 9,8

D. 10,0

E. 10,3

Pembahasan: Dari informasi tersebut di atas, pertama dapat dicari nilai dari asuransi ber-jangkanya

A1x:n = Ax − Ax:

1n Ax+n

= 0, 30− 0, 40, 35 = 0, 16.

Sehingga nilai dari asuransi dwiguna

Ax:n = A1x:n + Apureendowxn = 0, 16 + 0, 35 = 0, 51.

Dari sini dapat dihitung nilai dari anuitas akhir,

ax:n =1− A1

x:n

d= 10, 04300781

Sehingga diperoleh

ax:n = vax:n =1

1.0510, 04300781 = 9, 564769347.

60

3 Periode Mei 2017

Jawab: B.

14. Untuk (x) dan y yang saling bebas, diberikan sebagai berikut:

(i) ax = 10, 06

(ii) ay = 11, 95

(iii) axy = 12, 59

(iv) Ax1y = 0, 09

(v) δ = 0, 07

Hitunglah A1xy

A. 0,15

B. 0,20

C. 0,25

D. 0,30

E. 0,35

Pembahasan: Diketahui hubungan berikut

axy + axy = ax + ay,

sehingga diperolehaxy = 10, 06 + 11, 95− 12, 59 = 9, 42.

Informasi ini digunakan untuk menghitung asuransi joint life sebagai berikut

Axy = 1− δ axy = 0, 3406.

Diketahui pula hubunganA1

xy + Ax1y = Axy,

sehingga diperolehA1

xy = Axy − Ax1y = 0, 2506.

Jawab: C.

15. Suatu perusahaan mengeluarkan produk asuransi ”special single premium 3-year endowment”.Diketahui sebagai berikut:

(i) Manfaat meninggal 50.000, dibayarkan tiap akhir tahun kematian

61

3 Periode Mei 2017

(ii) Manfaat ”maturity” adalah 10.000

(iii) Dengan mengikuti tabel mortalita, kematian berdistribusi ”uniform” pada setiap tahunusia

q60 = 0, 11

q61 = 0, 12

q62 = 0, 20

q63 = 0, 28

(iv) i = 0, 06

(v) Premi dibayarkan secara sekaligus (”single premium gross”) mengikuti prinsip ”equiva-lence”

(vi) Komisi adalah 30% dari premium. Tidak ada biaya lain.

Hitunglah nilai dari ”single premium gross” untuk usia masuk (60)

A. 19.778

B. 25.788

C. 30.178

D. 31.111

E. 35.240

Pembahasan: Berdasarkan prinsip ekuivalensi, E(0L) = 0. Nilai harapan harga sekaranguntuk manfaat tersebut adalah

E(Z) =2

∑k=0

50.000vk+1k|q60 + 10.0003 p60

= 50.000(( 1

1.05

)0, 11 +

( 11.05

)2(1− 0, 11)0, 12 +

( 11.05

)3(1− 0, 11)(1− 0, 12)0, 20

)+

10.000( 1

1.05

)3(1− 0, 11)(1− 0, 12)(1− 0, 20)

= 21.777, 87704

Berdasarkan prinsip ekuivalensi

E(0L) = E(Z)− (P− 0, 3P) = 0,

sehingga diperoleh

P =21.777, 87704

0, 07= 31.111, 25291.

62

3 Periode Mei 2017

Jawab: D.

16. Pada soal nomor 15, hitunglah nilai dari ”single premium gross” untuk usia masuk (60,25)

A. 31.500

B. 32.500

C. 33.500

D. 34.500

E. 35.500

Pembahasan: Untuk mendapat premi total kotor untuk (60,25) diperlukan tabel mortalitasuntuk (60,25). Berdasarkan asumsi uniform maka diperoleh tabel berikut

k `60+k `60,25+k d60,25+k0 1,0000 0,9725 0,10921 0,8900 0,8633 0,11932 0,7832 0,7440 0,16133 0,6266 0,58274 0,4511

E(Z) =2

∑k=0

50.000vk+1k|q60,25 + 10.0003 p60,25

= 50.000(( 1

1.05

)0, 112288 +

( 11.05

)20, 122632 +

( 11.05

)30, 165901

)+

10.000( 1

1.05

)30, 599178

= 22.749, 24

Berdasarkan prinsip ekuivalensi

E(0L) = E(Z)− (P− 0, 3P) = 0,

sehingga diperoleh

P =22.749, 24

0, 07= 32.498, 9138.

Jawab: B

17. Pada soal nomor 15, Hitunglah peluang dimana perusahaan membayar manfaat lebih dari20.000 untuk usia masuk (60,25)

63

3 Periode Mei 2017

A. 0,1

B. 0,2

C. 0,3

D. 0,4

E. 0,5

Pembahasan: Perusahaan membayar manfaat lebih dari 20.000 sama artinya perusahaanmembayar 50.000. Perusahaan membayar manfaat sebesar 50.000 jika tertanggung meninggalsebelum usia 63,25 sehingga

Peluang = P(T60,25 < 3) = 1− 0, 5827/0, 9725 = 0, 401.

Jawab: D.

18. Pada soal nomor 15, Hitunglah ”gross premium reserve” pada akhir tahun kedua untuk usiamasuk (60,25)

A. 13.617

B. 14.617

C. 15.617

D. 16.617

E. 17.617

Pembahasan: Karena pada kasus ini tidak ada expenses lagi setelahnya, gross premium re-

serve hanyalah EPV dari manfaat, sehingga

V = (50.000)(0, 1613/0, 7440)/1, 06 + (10.000)(0, 5827/0, 7440)/1, 06

= 17.617.

Jawab: E.

Gunakan informasi berikut untuk soal nomor 19-20Untuk suatu asuransi spesial ”20-year term” pada (30) dan (50), diketahui sebagai berikut:

(i) Kematian berdistribusi ”uniform” dengan ω = 100

(ii) (30) dan (50) adalah ”independent”

19. Hitunglah peluang paling sedikit satu dari (30) dan (50) akan meninggal dalam kurun waktu10 tahun:

64

3 Periode Mei 2017

A. 1/30

B. 3/10

C. 1/3

D. 2/3

E. 11/35

Pembahasan:

P(min(T30, T50) ≤ 10) = 1−P(min(T30, T50) > 10)

= 1−P(T30 > 10)P(T50 > 10)

= 1−(

1− 1070

)(1− 10

50

)=

1135

.

Jawab: E.

20. Hitunglah peluang dari (30) meninggal dalam 10 tahun tetapi setelah (50) meninggal:

A. 1/60

B. 1/30

C. 1/20

D. 3/20

E. 1/70

Pembahasan:

10q 230:50 = P(T30 ≤ 10 dan T30 > T50)

=∫ 10

0

∫ t

0fT50,T30(s, t)dsdt =

∫ 10

0

∫ t

0

150

170

dsdt

=1

50170

12

t2|100 =

170

.

Jawab: E.

21. Untuk “two lives” (50) dan (60) dengan “independent future lifetimes”:

(i) µ50+t = 0, 002t, t > 0

(ii) µ60+t = 0, 00046t, t > 0

65

3 Periode Mei 2017

Hitunglah 20q 150:60 − 20q50:

260

A. 0,17

B. 0,18

C. 0,30

D. 0,31

E. 0,37

Pembahasan: Dari informasi tersebut diperoleh pdf dari T50 dan T60 masing-masing adalah

fT50(t) = e−∫ t

0 µ50+sdsµ50+t

= e−∫ t

0 0,002sds0, 002t

= e−0,001t20, 002t,

fT60(t) = e−∫ t

0 µ60+sdsµ60+t

= e−∫ t

0 0,00046sds0, 00046t

= e−0,00023t20, 00046t.

20q 150:60 = P(T50 ≤ 20 dan T50 < T60)

=∫ 20

0

∫ ∞

tfT60,T50(s, t)dsdt

=∫ 20

0

∫ ∞

tfT60(s) fT50(t)dsdt

=∫ 20

0

∫ ∞

te−0,00023s2

0, 00046se−0,001t20, 002tdsdt

=∫ 2

000, 002te−0,001t2

[−e−0,00023s2 |∞t

]dt

=∫ 2

000.002te−0,00123t2

dt

=200246

(1− e−0,00123(202)

)= 0.315933036.

66

3 Periode Mei 2017

20q50:2

60 = P(T60 ≤ 20 dan T60 > T50)

=∫ 20

0

∫ t

0fT50,T60(s, t)dsdt

=∫ 20

0

∫ t

0fT50(s) fT60(t)dsdt

=∫ 20

0

∫ t

0e−0,001s2

0, 002se−0,00023t20, 00046tdsdt

=∫ 2

000, 00046te−0,00023t2

[−e−0,001s2 |t0

]dt

=∫ 2

000.00046te−0,00023t2

(1− e−0,001t2)dt

=∫ 20

00, 00046te−0,00023t2

dt−∫ 20

00, 00046te−0,00123t2

dt

=(

1− e−0,00023t2)+

46246

e−0,00123(202) − 46246

= 0.08789485 + 0.114327272− 0.18699187 = 0.015230252.

Jadi,

20q 150:60 − 20q50:

260 = 0.300702784.

Jawab: C.

22. Untuk suatu asuransi ”spesial fully discrete whole life” pada (40) diberikan:

(i) ”annual net premium” pada 20 tahun pertama adalah 1000P40

(ii) ”annual net premium” berubah pada usia 60

(iii) Manfaat kematian adalah 1000 pada 20 tahun pertama, setelah itu menjadi 2000

(iv) a60 = 11, 1454 a40 = 14, 8166 A60 = 0, 36913 q60 = 0, 01376

(v) i = 0, 08

Hitunglah 21V, ”net premium reserve” pada akhir tahun 21

A. 282

B. 286

C. 292

D. 296

E. 300

67

3 Periode Mei 2017

Pembahasan:Karena pada kasus ini (”special fully discrete whole life”) premi dan benefitnya sama untuksebuah kontrak asuransi pada seseorang yang berumur (40) tahun selama kurun waktu 20tahun, maka 20V harus sama seperti pada sebuah kontrak asuransi seumur hidup standarddengan benefit sebesar 1000 pada seseorang berumur (40). Jadi

20V40 = 1− a60

a40= 1− 11, 1454

14, 8166= 0, 247776

Kemudian berdasarkan prinsip ekivalensi, besar cadangan (reserve) ini ditambahkan dengan”future net premium” haruslah sama dengan ”future benefit”. Misalkan P adalah premi asur-ansi untuk seseorang yang berusia lebih dari 60 tahun, maka

2000A60 = 247, 776 + Pa60

2000(0, 36913) = 247, 776 + P(11, 1454)

P =2000(0, 36913)− 247, 776

11, 1454= 44, 0077

Berikutnya kita akan menghitung 21V dengan rumus rekursif

21V =(20V+ P)(1 + i)− 200q60

1− q60

=(247, 776 + 44, 0077)(1, 06)− 200(0, 01376)

1− 0, 01376

= 285, 70

≈ 286

Jadi 21V = 286

Jawab: B

23. Anda diberikan sebagai berikut:

(i) Rate Kematian untuk (x) dan manfaat asuransi dibayarkan setiap tahun mengikuti tabelberikut:

t qx+t−1 bt1 0,01 102 0,03 103 0,05 20

(ii) i = 0, 04

68

3 Periode Mei 2017

(iii) Z adalah ”present value” dari variabel acak untuk 3 tahun asuransi ”term life” pada (x)dengan manfaat pada tabel diatas dibayarkan pada akhir tahun kematian

Hitunglah Var(Z)

A. 16,26

B. 16,47

C. 16,78

D. 17,14

E. 18,81

Pembahasan:

E(Z) =2

∑k=0

bt+1vk+1k|qx

= 10(

11, 04

)0, 01 + 10

(1

1, 04

)20, 99× 0, 03 + 20

(1

1, 04

)30, 99× 0, 97× 0, 05

= 1, 224450245,

dan

E(Z2) =2

∑k=0

(bt+1vk+1

)2k|qx

=

(10

11, 04

)20, 01 +

(10

11, 04

)40, 99× 0, 03 +

(20

11, 04

)60, 99× 0, 97× 0, 05

= 18, 64210544.

JadiVar(Z) = E(Z2)− (E(Z))2 = 17, 14282704.

Jawab: D.

24. Diberikan bahwa kematian mengikuti `x = 100− x, 0 ≤ x ≤ 100

Hitunglah e85

A. 6,890

B. 6,895

C. 6,900

D. 6,905

69

3 Periode Mei 2017

E. 7,000

Pembahasan:

e85 =ω− x

2=

100− 852

= 7, 5,

e85 = e85 − 0, 5 = 7.

Jawab: E.

25. Untuk suatu asuransi ”quarterly premium whole life” dengan manfaat 1000 pada (50),

i. ”annual net premium” adalah 24,40

ii. Manfaat kematian dibayarkan pada akhir tahun kematian

iii. q60 = 0, 02

iv. ”force of mortality” adalah konstan antara usia 60 dan 61

v. i = 0, 15

vi. 10V = 205, 11

Hitunglah ”net premium reserve” di saat t = 10, 4

A. 218,84

B. 219,74

C. 223,95

D. 227,26

E. 232,70

Pembahasan:Pada kasus ini kita akan menggunakan rumus rekursif. Dua ”quartely premium whole life”yang masing-masing besarnya adalah 6,10 dibayarkan pada rentang waktu [10, 10, 4). Karenadiketahui bahwa ”force of mortality” adalah konstan, maka ”rale of mortality” untuk semuaperiode sebesar s selama tahun tersebut adalah 1− 0, 98s.Dengan demikian

10,4V =(10V+ P

4 )(1, 10,4) + (0, 980,25)( P4 )(1, 10,15)− 1000(1− 0, 980,4)(1, 1−0,6)

0, 980,4

=(205, 11 + 6, 10)(1, 10,4) + (0, 980,25)(6, 10)(1, 10,15)− 7, 60117

0, 980,4

= 219, 74

70

3 Periode Mei 2017

Jadi ”net premium reserve” di saat t = 10, 4 adalah 219,74.

Jawab: B


S0(x) =1

1 +√

x

Hitunglah 5|5q15

A. 0,06

B. 0,08

C. 0,10

D. 0,12

E. 0,14

Pembahasan:

Sx(t) =S0(x + t)

S0(x)=

11+√

x+t1

1+√

x

=1 +√

x1 +√

x + t

5|5q15 = P(5 < T15 ≤ 10)

= FT15(10)− FT15(5) = S15(5)− S15(10)

=1 +√

151 +√

20− 1 +

√15

1 +√

25

= 0, 078345.

Jawab: B.

27. Untuk suatu model ”2-year selection and ultimate mortality”, diberikan

(i) q[x]+1 = 0, 95qx+1

(ii) `76 = 96.815

(iii) `77 = 96.124

Hitunglah `[75]+1

A. 96.150

71

3 Periode Mei 2017

B. 96.780

C. 97.420

D. 98.050

E. 98.690

Pembahasan:

p[75]+1 =`77

`[75]+1

1− 0, 95p76 =`77

`[75]+1

`[75]+1 =`77

1− 0, 95 `76−`77`76

= 96.780, 21414.

Jawab: B.


(i) qx = 0, 024

(ii) ”Force of mortality” adalah konstan antara usia usia ber-bilangan bulat

Hitunglah 1/2qx+1/4

A. 0,051

B. 0,043

C. 0,032

D. 0,026

E. 0,012

Pembahasan:

12qx+ 1

4= 1− 1

2px+ 1

4

= 1− (p12)

= 1− (1− 0, 024)12 = 0, 01207.

Jawab: E.

72

3 Periode Mei 2017

29. Untuk dua asuransi ”fully continuous whole life” pada (x), diketahui sebagai berikut:

a) Polis A: manfaat kematian sebesar 1, “annual premium rate” sebesar 0,10 dan “varianceof the present value of future loss at t” sebesar 0,455

b) Polis B: manfaat kematian sebesar 2, ”annual premium rate” sebesar 0,16

c) δ = 0, 06

Hitunglah nilai dari ”variance of the present value of future loss at t” pada polis B

A. 0,9

B. 1,4

C. 2,0

D. 2,9

E. 3,4

Pembahasan: .

• Untuk polis A diketahui future loss pada waktu t adalah

tL = 1× vTx+t − PaTx+t

= e−δTx+t − 0.1(

1− e−δTx+t

δ

)=

(1 +

0, 10δ

)e−δTx+t − 0, 10

δ.

Sehinga

Var(tL) =(

1 +0, 10

δ

)2Var(e−δTx+t)

0, 455 =

(1 +

0, 100, 06

)2 (2 Ax+t − A2

x+t

)

atau (2 Ax+t − A2

x+t

)=

0, 455(1 + 0,10

0,06

)2 = 0.063984375.

73

3 Periode Mei 2017

• Untuk polis B:


= e−δTx+t − 0.16(

1− e−δTx+t

δ

)=

(1 +

0, 16δ

)e−δTx+t − 0, 16

δ.

Sehinga

Var(tL) =(

2 +0, 16

δ

)2Var(e−δTx+t)

=

(2 +

0, 160, 06

)2 (2 Ax+t − A2

x+t

)= 21.77777778× 0.063984375

= 1, 3934375.

Jawab: B.

30. Jika variabel acak ”age-at-failure” berdistribusi ”exponential” dengan ”mean” 1/λ, manakahdari penyataan berikut yang benar untuk P( Ax)?

A. P( Ax) = λ

B. P( Ax) =1λ

C. P( Ax) =λ

λ+δ

D. P( Ax) =δ

λ+δ

E. P( Ax) =1

λ+δ

Pembahasan:

P( Ax) =Ax

ax=

λλ+δ

1λ+δ

= λ.

Jawab: A.

74


1. Untuk suatu model double decrement, diketahui sebagai berikut:

(i) T adalah variabel acak dari time-until-death

(ii) J adalah variabel acak dari cause-of-decrement

(iii) fT,J adalah joint p.d.f dari T dan J

(iv)

fT,J(t, j) =

{0, 6ke−0,8t + 0, 9(1− k)e−1,5t, t ≥ 0 and J = 10, 2ke−0,8t + 0, 6(1− k)e−1,5t, t ≥ 0 and J = 2

(v) ∞q(1)x = 2∞q(2)x

Hitunglah k .

A. 3/8 B. 4/9 C. 1/2 D. 2/3 E. 3/4

Pembahasan:

∞q(1)x = 2∞q(2)x∫ ∞

0fT,1(t, 1) dt = 2

∫ ∞

0fT,2(t, 2) dt∫ ∞

00, 6ke−0,8t + 0, 9(1− k)e−1,5tdt = 2

∫ ∞

00, 2ke−0,8t + 0, 6(1− k)e−1,5tdt

0, 6k∫ ∞

0e−0,8tdt + 0, 9(1− k)

∫ ∞

0e−1,5tdt = 0, 4k

∫ ∞

0e−0,8tdt + 1, 2(1− k)

∫ ∞

0e−1,5tdt

Misalkan:

A =∫ ∞

0e−0,8tdt =

10, 8

=54

B =∫ ∞

0e−1,5tdt =

11, 5

=23

75


Kita bisa menuliskan ulang persamaan tersebut menjadi :

(0, 6k)A + (0, 9)(1− k)B = (0, 4k)A + (1, 2)(1− k)B

0, 6kA + 0, 9B− 0, 9kB = 0, 4kA + 1, 2B− 1, 2kB

0, 2kA = 0, 3B− 0, 3kB

k =0, 3B

0, 2A + 0, 3B

=(0, 3)( 2

3 )

(0, 2)( 54 ) + (0, 3)( 2

3 )

=49

Jawab: B.

2. Perusahaan elektronik ingin menawarkan garansi pada sistem mereka high-end stereo, yang”blaster”, yang akan mencakup hanya ”kegagalan” karena cacat pabrik. CFO khawatir tentangbiaya garansi ini dan ingin memastikan bahwa klaim atas garansi tersebut terbatas. Andadiberikan:

(i) Semua ”kegagalan” karena cacat semua produsen akan menghasilkan klaim garansi

(ii) Fungsi hazard untuk kegagalan produk karena cacat pabrik adalah µ = 0, 01

(iii) Fungsi hazard untuk kegagalan produk karena semua penyebab lainnya adalah µ = 0, 02

(iv) Garansi harus n tahun, dimana n adalah suatu integer

Berapa lama garansi terpanjang untuk memastikan bahwa tidak lebih dari 1 dalam 50 sistem”blaster” menghasilkan klaim garansi?

A. 1 Tahun

B. 2 Tahun

C. 3 Tahun

D. 4 Tahun

E. 5 Tahun

Pembahasan:Dengan menyatakan kegagalan karena cacat pabrik sebagai (1), kita ingin membuat agar

”decrement” dari (1) selama n tahun tidak lebih besar dari1

50atau 0,02. Dengan kata lain

nq(1) = 0, 02

0, 02 =∫ n

0e−(µ1+µ2)tµ1dt

76


dimana µ1 = 0, 01 dan µ2 = 0, 02. Jadi

0, 02 =∫ n

0e−0,03t(0, 01)dt

=13(1− e−0,03n)

0, 94 = e−0,03n

0, 03n = − ln 0, 94 = 0, 06188

n = 2, 0626 ≈ 2

Jadi lama garansi terpanjang untuk memastikan bahwa tidak lebih dari 1 dalam 50 sistem”blaster” menghasilkan klaim garansi adalah 2 tahun.

Jawab: B

3. Suatu asuransi ”special whole life” di terbitkan pada (x) . Manfaat kematian adalah 1 untuktahun pertama dan 2 untuk tahun selanjutnya. Manfaat tambahan sebesar 2 ditambahkan jikameninggal karena kecelakaan:

(i) Manfaat dibayarkan pada ”moment of death”.

(ii) ”force of mortality” meninggal karena kecelakaan adalah µ(ad)x+t = 0, 005, t ≥ 0

(iii) µ(τ)x+t = 0, 040, t ≥ 0

(iv) δ = 0, 06

Hitunglah ”net single premium” untuk asuransi ini

A. 0,777

B. 0,812

C. 0,827

D. 0,844

E. 0,862

Pembahasan:Diasumsikan bahwa premi dihitung berdasarkan prinsip ekivalensi.

77


Net single premium = Nilai saat ini dari semua manfaat asuransi yang didapatkan= Nilai saat ini untuk manfaat kematian sebesar 1 dengan

µ(τ)x+t = 0, 04 + nilai saat ini untuk manfaat kematian sebesar 1

yang tertunda 1 tahun (deffered) dengan µ(τ)x+t = 0, 04 +

Nilai saat ini untuk manfaat kematian tambahan sebesar 2

dengan µ(ad)x+t = 0, 005

Net single premium =1∫ ∞

0vt

t p(τ)x µ(τ)x+tdt + v p(τ)x

∫ ∞

0vt

t p(τ)x µ(τ)x+tdt+

2∫ ∞

0vt

t p(τ)x µ(ad)x+t dt

=(1 + v p(τ)x )∫ ∞

0vt

t p(τ)x µ(τ)x+tdt + 2

∫ ∞

0vt

t p(τ)x µ(ad)x+t dt

=(1 + e−0,06 e−0,04)∫ ∞

0e−0,06te−0,04t(0, 04)dt+

2∫ ∞

0e−0,06te−0,04t(0, 005)dt

=(1 + e−0,1)

(0, 04

0, 04 + 0, 06

)+

2(0, 005)0, 04 + 0, 06

=4

10(1 + e−0,1) +

110

=0, 8619349672

≈0, 862

Jawab: E.

4. Suatu ”whole life insurance” dengan manfaat 1 dibayarkan saat ”moment of death” dari (x)termasuk ketentuan ”double-ganti rugi”. Ketentuan ini membayarkan manfaat kematian tam-bahan sebesar 1 untuk kematian yang disengaja. S merupakan ”net single premium” untukasuransi ini.”Whole life insurance” yang kedua dengan manfaat 1 dibayarkan saat ”moment of death” dari(x) termasuk ketentuan ”triple-ganti rugi”. Ketentuan ini membayarkan manfaat kematiantambahan sebesar 2 untuk kematian yang disengaja. T merupakan ”net single premium” un-tuk asuransi ini. Diberikan sebagai berikut:

(i) µ adalah suatu ”force of decrement” untuk kematian yang disengaja

(ii) 5µ adalah suatu ”force of decrement” untuk kematian dengan cara lain

(iii) Tidak ada ”decrement” lainnya.

Tentukan lah T − S

A. S /12

78


B. S / 8

C. S / 7

D. S / 4

E. S / 2

Pembahasan:Pertama kita akan menghitung nilai saat ini dari manfaat kematian untuk ”whole life insur-

ance” tipe 1.Nilai saat ini dari manfaat kematian sebesar 1 yang dibayarkan saat ”moment of death” adalah:

5µ

µ + δ

Nilai saat ini dari manfaat kematian sebesar 2 untuk kematian yang disengaja dan dibayarkansaat ”moment of death” adalah

2µ

µ + δ

Dengan demikian kita peroleh nilai saat ini dari manfaat kematian untuk ”whole life insur-

ance” tipe 1 adalah

S =5µ

µ + δ+

2µ

µ + δ

=7µ

µ + δ

Berikutnya kita akan menghitung nilai saat ini dari manfaat kematian untuk ”whole life insur-

ance” tipe 2. Nilai saat ini dari manfaat kematian sebesar 1 yang dibayarkan saat ”moment ofdeath” adalah

5µ

µ + δ

Nilai saat ini dari manfaat kematian sebesar 3 untuk kematian yang disengaja dan dibayarkansaat ”moment of death” adalah:

3µ

µ + δ

Dengan demikian nilai saat ini dari manfaat kematian untuk ”whole life insurance” tipe 2

79


adalah

T =5µ

µ + δ+

3µ

µ + δ

=8µ

µ + δ

Jadi, T − S =8µ

µ + δ− 7µ

µ + δ=

µ

µ + δ=

S7

Jawab: C.

5. Sebuah ”10-year term insurance” diterbitkan pada (x) yang memberikan manfaat kematiansebesar 2.000 jika kematian terjadi karena kecelakaan dan 1.000 jika kematian terjadi karenahal lainnya. Manfaat kematian dibayarkan saat ”moment of death”.”Force of mortality” untuk kematian karena kecelakaan adalah konstan 0,01. Bunga pada”constant force”, δ = 0, 09.Tentukan ”net single premium” untuk ”coverage” berikut.

A. 2000A1x:10 (at δ = 0, 10) + 1000A1

x:10 (at δ = 0, 09)

B. 2000A1x:10 (at δ = 0, 09) + 1000A1

x:10 (at δ = 0, 10)

C. 1000A1x:10 (at δ = 0, 09) + 20ax:10 (at δ = 0, 09)

D. 1000A1x:10 (at δ = 0, 09) + 10ax:10 (at δ = 0, 10)

E. 1000A1x:10 (at δ = 0, 10) + 10ax:10 (at δ = 0, 10)

Pembahasan:Net Single Premium untuk kontrak asuransi ini adalah sama dengan jumlah seluruh benefityang diperoleh oleh policyholder, yaitu:

P = 1000A1x:10 δ=0,09 + 2000

∫ 10

0vt

t px (0, 01) dt

= 1000A1x:10 δ=0,09 + 20

∫ 10

0vt

t px dt

= 1000A1x:10 (at δ = 0, 09) + 20ax:10 (at δ = 0, 09)

Jawab: C

6. Untuk ”two independent lives now” usia 30 dan 34, diberikan sebagai berikut:

80


x qx

30 0,1

31 0,2

32 0,3

33 0,4

34 0,5

35 0,6

36 0,7

37 0,8

Hitunglah peluang dimana kematian terakhir dari ”two lives” ini akan terjadi selama 3 tahundari sekarang (2|q30:34)

A. 0,01

B. 0,03

C. 0,14

D. 0,18

E. 0,24

Pembahasan:

2|q30:34 = 3q30:34 − 2q30:34

= 3q30 3q34 − 2q30 2q34

= (1− 3 p30)(1− 3 p34)− (1− 2 p30)(1− 2 p34)

= (1− p30 p31 p32)(1− p34 p35 p36)− (1− p30 p31)(1− p34 p35)

= (1− (0, 9)(0, 8)(0, 7))(1− (0, 5)(0, 4)(0, 3))− (1− (0, 9)(0, 8))(1− (0, 5)(0, 4))

= 0, 24224

≈ 0, 24

Jawab: E.

7. Diberikan 2 ”independent lives”, (x) dan (y) , bergantung pada ”identical forces of mortality”:

µx+t = µy+t = 0, 05 untuk 0 < t ≤ 20

Tentukan peluang ”last survivor (xy)” akan hidup 10 tahun.

A. Kurang dari 0,20

81


B. Lebih besar sama dengan 0,20, tetapi lebih kecil dari 0,40

C. Lebih besar sama dengan 0,40, tetapi lebih kecil dari 0,60

D. Lebih besar sama dengan 0,60, tetapi lebih kecil dari 0,80

E. Lebih besar sama dengan 0,80

Pembahasan:Karena x dan y saling independen dan memiliki laju kematian yang identik maka kita peroleh:

10qx = 10qy = 1− 10 px = 1− e−0,05(10) = 1− e−0,5

Peluang ”last survivor” akan hidup 10 tahun adalah

10 pxy = 1− 10qxy = 1− 10qx 10qy = 1− (1− e−0,5)2 = 0, 845181

Jawab: E.

8. (40) dan (50) adalah ”independent lives”. Manakah dari pernyataan berikut yang benar untukmenyatakan peluang dari ”last survivor” dari (40) dan (50) akan meninggal antara usia 70 dan75?

A. 20 p50 5q70 30q40 + 30 p50 5q70 20q50

B. 20 p50 5q70 30q40 + 30 p50 5q70 20q50 + 20 p50 5q70 30 p40 5q70

C. 20 p50 5q70 30q40 + 30 p50 5q70 20q50 + 220 p50 5q70 30 p40 5q70

D. 20q40 20 p50 5q70 + 20 p40 20 p50∫ 5

0 tq60 t p70 µ70+tdt + 30q50 30 p40 5q70 +

30 p50 30 p40∫ 5

0 tq80 t p70 µ70+t dt

E. Σ4t=0(30 p40 t p70 q70+t 30+tq50 + 20 p50 t p70 q70+t . 20+tq40)

Pembahasan:Misalkan (x) = 40 dan (y) = 50. Untuk menghitung peluang dari ”last survivor” (x)dan (y) yang akan meninggal antara usia 70 dan 75, kita akan mempertimbangkan empatkemungkinan yang dapat terjadi:

1) Dalam 20 tahun mendatang, (x) akan meninggal dan (y) (yang masih hidup ketika (x)meninggal) akan meninggal antara usia 70 tahun dan 75 tahun.Peluang dari kejadian ini adalah:

20q40 20|5q50 = 20q40 20 p50 5q70

82


2) Dalam kurun waktu 20 tahun mendatang, (x) dan (y) masih tetap hidup, namun (y) akanmeninggal setelah (x) meninggal ((y) meninggal kedua) pada usia antara 70 tahun dan 75tahun. Peluang dari kejadian ini adalah:

20 p40 20 p50

∫ 5

0tq60 t p70 µ70+tdt

3) Dalam kurun waktu 30 tahun mendatang, (y) akan meninggal dan (x) (yang masih hidupketika (y) meninggal) akan meninggal antara usia 70 tahun dan 75 tahun. Peluang darikejadian ini adalah:

30q50 30|5q40 = 30q50 30 p40 5q70

4) Dalam kurun waktu 30 tahun mendatang, (x) dan (y) masih tetap hidup, namun (x) akanmeninggal setelah (y) ((x) meninggal kedua) pada usia antara 70 tahun dan 75 tahun.Peluang dari kejadian ini adalah:

30 p50 30 p40

∫ 5

0tq80 t p70 µ70+tdt

Jadi pernyataan yang benar untuk menyatakan peluang dari ”last survivor” dari (40) dan (50)akan meninggal antara usia 70 dan 75 adalah:

20q40 20 p50 5q70 + 20 p40 20 p50

∫ 5

0tq60 t p70 µ70+tdt + 30q50 30 p40 5q70+

30 p50 30 p40

∫ 5

0tq80 t p70 µ70+t dt

Jawab: D


(i) Tx dan Ty adalah ”independent”

(ii) Fungsi ”survival” untuk (x) mengikuti lx = 100(95− x), 0 ≤ x ≤ 95

(iii) Fungsi ”survival” untuk (y) berdasarkan konstan ”force of mortality”, µy+t = µ untukt ≥ 0

(iv) n < 95− x

Tentukan peluang dimana (x) meninggal dalam waktu n tahun dan meninggal sebelum (y) .

A.e−µn

95− x

B.ne−µn

95− x

83


C.1− e−µn

µ(95− x)

D.1− e−µn

95− x

E. 1− eµn +e−µn

95− x

Pembahasan:Peluang (x) hidup hingga t tahun kemudian adalah:

t px =lx+t

lx= 1− t

95− x

sedangkan peluang (y) hidup hingga t tahun kemudian adalah

t py = e−µt

peluang joint-life antara (x) dan (y) hingga t tahun adalah

t px:y = t px t py =

(1− t

95− x

)e−µt

Dengan demikian peluang dimana (x) meninggal dalam waktu n tahun dan meninggal se-belum (y) adalah

nq1x:y =

∫ n

0t px:yµx+tdt

=∫ n

0

(1− t

95− x

)e−µt

(1

95− x− t

)dt

=∫ n

0

(e−µt

95− x

)dt

=1

95− x1µ(1− e−µn)

=1− e−µn

µ(95− x)

Jawab: C.

10. Suatu group terdiri dari dua ”independent lives” (x) dan (y) , dimana x = 40 dan y = 30Diberikan sebagai berikut:

(i) Untuk (x), lx = 50− x (0 ≤ x ≤ 50)

(ii) Untuk (y), ly = 100− y (0 ≤ y ≤ 100)

84


Hitunglah ”expected” usia kematian untuk kematian pertama

A. Kurang dari 44,0

B. Paling sedikit 44,0; tetapi kurang dari 44,5

C. Paling sedikit 44,5; tetapi kurang dari 45,0

D. Paling sedikit 45,0; tetapi kurang dari 45,5

E. Paling sedikit 45,5

Pembahasan:karena (x) dan (y) saling independen, maka:

t pxy = t px . t py

dimana

t px = t p40 = 1− t50− 40

= 1− t10

t py = t p30 = 1− t50− 30

= 1− t20

dengan demikian

t pxy = t p40:30 =

(1− t

10

)(1− t

20

)= 1− 3t

20+

t2

200

”Expected future life” untuk x dan y adalah:

exy =∫ 10

0t p40:30 dt

=∫ 10

01− 3t

20+

t2

200dt

= 10− 30040

+1000600

= 4, 167

Jadi, ”expected” usia untuk kematian pertama adalah: 40 + 4, 167 = 44, 167

Jawab: B



(ii) T80 dan T85 adalah ”independent”

85


(iii) G adalah peluang (80) meninggal setelah (85) dan sebelum 5 tahun dari sekarang

(iv) H adalah peluang dimana kematian pertama terjadi setelah 5 tahun dan sebelum 10 tahundari sekarang

Hitunglah G + H

A. 0,25

B. 0,28

C. 0,33

D. 0,38

E. 0,41

Pembahasan:

G = 5q 280:85 =

∫ 5

0t p80(1− t p85)µ80+tdt

=∫ 5

0

(1− t

110− 80

)(t

110− 85

)(1

30− t

)dt

=∫ 5

0

t750

dt

=25

1500

=1

60

H = 5|5q80:85 = 5 p80:85 − 10 p80:85

= 5 p80 5 p85 − 10 p80 10 p85

=

(1− 5

110− 80

)(1− 5

110− 85

)−(

1− 10110− 80

)(1− 10

110− 85

)

=4

15

Dengan demikian kita peroleh G+H = 160 + 4

15 = 1760 = 0, 28333 ≈ 0, 28

Jawab: B.

Gunakan informasi berikut untuk soal nomor 12-14Untuk suatu asuransi spesial ”20-year term” pada (40) dan (50), diketahui sebagai berikut:


(ii) (40) dan (50) adalah ”independent”

86


12. Hitunglah peluang paling sedikit satu dari (40) dan (50) akan meninggal dalam kurun waktu10 tahun:

A. 1/30

B. 3/10

C. 1/3

D. 2/3

E. 7/10

Pembahasan:Untuk kematian yang berdistribusi seragam, peluang (x) akan tetap hidup hingga t tahunkemudian diberikan oleh:

t px = 1− tω− x

dengan demikian diperoleh:

10 p40 = 1− 1060

=56

dan

10 p50 = 1− 1050

=45

peluang dari kedua orang (40) dan (50) akan hidup dalam kurun waktu 10 tahun adalah

10 p40:50 = 10 p40 10 p50

=56× 4

5=

23

peluang paling sedikit satu dari (40) dan (50) akan meninggal dalam kurun waktu 10 tahunadalah

10 p40:50 = 1− 10 p40:50

= 1− 23=

13

Jawab: C.

13. Hitunglah peluang dari (40) meninggal sebelum usia 50 tetapi setelah (50) meninggal:

A. 1/60

87


B. 1/30

C. 1/20

D. 3/20

E. 11/60

Pembahasan:Peluang dari (40) meninggal sebelum usia 50 tetapi setelah (50) meninggal adalah

10q 240:50 =

∫ 10

0t p40(1− t p50)µ40+tdt

=∫ 10

0

(1− t

60

)(t

50

)(1

60− t

)dt

=∫ 10

0

(60− t

60

)(t

50

)(1

60− t

)dt

=∫ 10

0

(t

3000

)dt

=100

6000

=1

60

Jawab: A.

14. Hitunglah peluang dimana kematian kedua terjadi antara t = 10 dan t = 20 A. 1/10 B. 1/5 C. 4/15 D. 1/3 E. 2/5

Pembahasan:Peluang dimana kematian kedua terjadi antara t = 10 dan t = 20 adalah

10|10q40:50 = 20q40:50 − 10q40:50

= 20q40 20q50 − 10q40 10q50

=

(2060

)(2050

)−(

1060

)(1050

)

=110

Jawab: A.

15. Untuk ”two lives” (50) dan (60) dengan ”independent future lifetimes”:

(i) µ50+t = 0, 002t, t > 0

88


(ii) µ60+t = 0, 003t, t > 0

Hitunglah 20q150:60 − 20q50:

260

A. 0,17

B. 0,18

C. 0,30

D. 0,31

E. 0,37

Pembahasan:Dari informasi tersebut diperoleh pdf dari T50 dan T60 masing-masing adalah

fT50(t) = e−∫ t

0 µ50+sdsµ50+t

= e−∫ t

0 0,002sds0, 002t

= e−0,001t20, 002t,

fT60(t) = e−∫ t

0 µ60+sdsµ60+t

= e−∫ t

0 0,003sds0, 003t

= e−0,0015t20, 003t.

20q 150:60 = P(T50 ≤ 20 dan T50 < T60)

=∫ 20

0

∫ ∞

tfT60,T50(s, t)dsdt

=∫ 20

0

∫ ∞

tfT60(s) fT50(t)dsdt

=∫ 20

0

∫ ∞

te−0,0015s2

(0, 003s)e−0,001t2(0, 002t)dsdt

=∫ 20

0(0, 002t)e−0,001t2

∫ ∞

t(0, 003s)e−0,0015s2

dsdt

=∫ 20

00.002te−0,001t2

e−0,0015t2dt

=∫ 20

00.002te−0,0025t2

dt

= 0, 2528482235

89


20q50:2

60 = P(T60 ≤ 20 dan T60 > T50)

=∫ 20

0

∫ t

0fT50,T60(s, t)dsdt

=∫ 20

0

∫ t

0fT50(s) fT60(t)dsdt

=∫ 20

0

∫ t

0e−0,001s2

(0, 002s)e−0,0015t2(0, 003t)dsdt

=∫ 20

0(0, 003t)e−0,0015t2

∫ t

0(0, 002s)e−0,001s2

dsdt

=∫ 20

0(0, 003t)e−0,0015t2

(1− e−0,001t2)dt

=∫ 20

0(0, 003)te−0,0015t2

dt−∫ 20

0(0, 003t)e−0,0025t2

dt

= 0, 451188364− 0, 3792723353

= 0, 0719165011

Jadi,

20q 150:60 − 20q50:

260 = 0, 1809317224 ≈ 0, 18

Jawab: B.

16. Untuk suatu asuransi ”spesial fully discrete whole life” pada (40) diberikan:

(i) ”annual net premium” pada 20 tahun pertama adalah 1000P40

(ii) ”annual net premium” berubah pada usia 60

(iii) Manfaat kematian adalah 1000 pada 20 tahun pertama, setelah itu menjadi 2000

(iv) a60 = 11, 1454 a40 = 14, 8166 A60 = 0, 36913 q60 = 0, 01376

(v) i = 0, 06

Hitunglah 21V , ”net premium reserve” pada akhir tahun 21.

A. 282 B. 286 C. 292 D. 296 E. 300

Pembahasan:Karena pada kasus ini (”special fully discrete whole life”) premi dan benefitnya sama untuksebuah kontrak asuransi pada seseorang yang berumur (40) tahun selama kurun waktu 20tahun, maka 20V harus sama seperti pada sebuah kontrak asuransi seumur hidup standarddengan benefit sebesar 1000 pada seseorang berumur (40). Jadi

20V40 = 1− a60

a40= 1− 11, 1454

14, 8166= 0, 247776

90


Kemudian berdasarkan prinsip ekivalensi, besar cadangan (reserve) ini ditambahkan dengan”future net premium” haruslah sama dengan ”future benefit”. Misalkan P adalah premi asur-ansi untuk seseorang yang berusia lebih dari 60 tahun, maka

2000A60 = 247, 776 + Pa60

2000(0, 36913) = 247, 776 + P(11, 1454)

P =2000(0, 36913)− 247, 776

11, 1454= 44, 0077

Berikutnya kita akan menghitung 21V dengan rumus rekursif

21V =(20V+ P)(1 + i)− 2000q60

1− q60

=(247, 776 + 44, 0077)(1, 06)− 2000(0, 01376)

1− 0, 01376

= 285, 70

≈ 286

Jadi 21V = 286Jawab: B


(i) Rate Kematian untuk (x) dan manfaat asuransi dibayarkan setiap tahun mengikuti tabelberikut:

t qx+t−1 bt

1 0,01 10

2 0,03 10

3 0,05 20

(ii) i = 0, 05

(iii) Z adalah ”present value” dari variabel acak untuk 3 tahun asuransi ”term life” pada (x)dengan manfaat pada tabel diatas dibayarkan pada akhir tahun kematian

Hitunglah Var(Z)

A. 16.26 B. 16,47 C. 16,78 D. 18,30 E. 18,81

91


Pembahasan:

E(Z) =2

∑k=0

bt+1vk+1k|qx

= 10(

11, 05

)0, 01 + 10

(1

1, 05

)20, 99× 0, 03 + 20

(1

1, 05

)30, 99× 0, 97× 0, 05

= 1, 1941691

dan

E(Z2) =2

∑k=0

(bt+1vk+1

)2k|qx

= 102(

11, 05

)20, 01 + 102

(1

1, 05

)40, 99× 0, 03 + 202

(1

1, 05

)60, 99× 0, 97× 0, 05

= 17, 68226874

JadiVar(Z) = E(Z2)− (E(Z))2 = 16, 2563 ≈ 16, 26

Jawab: A.

18. Sebuah asuransi ”3-year term life” pada (x) membayarkan 5000 pada akhir tahun kematian.Diberikan sebagai berikut:

(i) ”Spot rates” untuk 1 tahun zero-coupon bond 0,05 dan 2 tahun zero-coupon bond 0,06

(ii) qx = 0, 01 qx+1 = 0, 015 qx+2 = 0, 02

(iii) Z adalah ”present-value” variabel acak untuk asuransi

(iv) E[Z] = 194, 89

Hitunglah ”2-year forward rate” untuk ”1-year bond”

A. 0,063

B. 0,066

C. 0,069

D. 0,072

E. 0,075

Pembahasan:Diberikan y1 = 0, 05 dan y2 = 0, 06

1 + f (1, 2) =(1 + y2)

2

(1 + y1)=

(1, 06)2

(1, 05)= 1, 07009524

92


E[Z] = (v1qx + v1v2 1|qx + v1v2v3 2|qx)× 5000

194, 89 = 5000(

0, 011, 05

+(0, 99)(0, 015)

(1, 05)(1, 07009524)+

(0, 99)(0, 985)(0, 02)(1, 05)(1, 07009524)(1 + f (2, 3))

)194, 89 = 47, 61904762 + 66, 08223555 +

86, 78800269(1 + f (2, 3))

81, 18871683 =86, 78800269(1 + f (2, 3))

f (2, 3) =86, 7880026981, 18871683

− 1

= 0, 06897

≈ 0, 069

Jawab: C.

Informasi untuk nomor 19 sampai 21Suatu unit ”continuously-operating air conditioning” mempunyai ”exponential lifetime dis-

tribution” dengan nilai rata-rata 4 tahun. Ketika unit rusak, harus diganti dengan biaya 1.000,yang dianggap sebagai satu unit uang. Misalkan Z adalah nilai sekarang dari variabel acakuntuk pembayaran unit saat waktu gagal. Gunakan ”effective annual interest rate” dari 5%.

19. Hitunglah E[Z] (pembulatan terdekat)

A. 0,35

B. 0,47

C. 0,53

D. 0,62

E. 0,84

Pembahasan:Dalam hal ini biaya 1000 dianggap sebagai satu unit pembayaran, sehingga Z adalah present

value per unit pembayaran bila terjadi fail, atau pembayaran dalam ribuan, sehingga variabelacaknya adalah Z = e−δT , dengan T menunjukkan unit waktu (dalam tahun) sampai terjadifail. Karena T berdistribusi eksponensial maka pdf dari T adalah

fT(t) = µe−µt. (4.1)


µ dan diketahui mean dari T adalah

93


4 tahun maka µ = 14 = 0, 25. Nilai harapan dari Z adalah

E(Z) =∫ ∞

0e−δte−µtµdt

=0, 25

0, 25 + log(1, 05)= 0, 8367076.

Jawab: E.

20. Hitunglah Var[Z] (pembulatan terdekat)

A. 0,010

B. 0,012

C. 0,014

D. 0,016

E. 0,019

Pembahasan:

E(Z2) =

∫ ∞


=µ

µ + 2δ= 0, 7192581962

Var(Z) = E(Z2)− (E(Z))2

= 0, 7192581962− 0, 83670762 = 0, 01917859484

Jawab: E.

21. Hitunglah ”90 th percentile” dari distribusi Z (pembulatan terdekat)

A. 0,45

B. 0,56

C. 0,67

D. 0,79

E. 0,98

94


Pembahasan:

P(e−δTx ≤ z) = 0, 90

P(

Tx ≥log(z)−δ

)= 0, 90∫ ∞

log(z)−δ

e−µtµdt = 0.90

µ log(z)δ

= log 0.90

z = eδ log 0,90

µ = 0, 9796477336

Jawab: E.

22. Diberikan bahwa kematian mengikuti lx = 100− x, 0 ≤ x ≤ 100Hitunglah e85,2

A. 6,890

B. 6,895

C. 6,900

D. 6,905

E. 6,910

Pembahasan:

e85,2 =14

∑k=1

k p85,2

=14

∑k=1

14, 8− k14, 8

= 14− (14)(15)/214, 8

= 6, 90541

≈ 6, 905

Jawab: D

23. Untuk ”two lives” (x) dan (y) dengan ”independent future lifetimes”:

(i) µx =2

100− x, x < 100

95


(ii) µx =3

100− y, y < 100

Hitunglah 20qx2y untuk x = 60, y = 60

A. 47/160 B. 3/8 C. 13/40 D. 31/80 E. 2/5

Pembahasan:(x) dan (y) saling independen dan memiliki peluang hidup hingga t tahun kemudian masing-masing adalah:

t px =

(1− t

100− x

)2

t py =

(1− t

100− y

)3

untuk (x) = 60, kita peroleh:

t p60 =

(1− t

40

)2

sedangkan untuk (y) = 60, kita peroleh:

t p60 =

(1− t

40

)3

Dengan demikian nilai dari 20qx2y untuk (x) = 60 dan (y) = 60 adalah:

96


20qx2y =

∫ 20

0t py(1− t px)µy+tdt

=∫ 20

0

(1− t

40

)3(1−

(1− t

40

)2)3

40− tdt

=∫ 20

0

3(40− t)2

403

(1−

(40− t

40

)2)dt

=∫ 20

0

3405 (40− t)2(402 − (40− t)2)dt

=∫ 20

0

3405 (40− t)2(80t− t2)dt

=∫ 20

0

3405 (1600− 80t + t2)(80t− t2)dt

=3

405

∫ 20

0128000t− 8000t2 + 160t3 − t4dt

=3

405 (64000(20)2 − 80003

(20)3 + 40(20)4 − 15(20)5)

=47

160

Jawab: A.

24. Untuk suatu asuransi ”quarterly premium whole life” dengan manfaat 1000 pada (50),

(i) ”annual net premium” adalah 24,40

(ii) Manfaat kematian dibayarkan pada akhir tahun kematian

(iii) q60 = 0, 02

(iv) ”force of mortality” adalah konstan antara usia 60 dan 61

(v) i = 0, 1

(vi) 10V = 205, 11

Hitunglah ”net premium reserve” di saat t = 10, 4

A. 218,84 B. 219,74 C. 222,38 D. 227,26 E. 232,70

Pembahasan:Pada kasus ini kita akan menggunakan rumus rekursif. Dua ”quartely premium whole life”yang masing-masing besarnya adalah 6,10 dibayarkan pada rentang waktu [10, 10, 4). Karenadiketahui bahwa ”force of mortality” adalah konstan, maka ”rate of mortality” untuk semuaperiode sebesar s selama tahun tersebut adalah 1− 0, 98s.

97


Dengan demikian

10,4V =(10V+ P

4 )(1, 10,4) + (0, 980,25)( P4 )(1, 10,15)− 1000(1− 0, 980,4)(1, 1−0,6)

0, 980,4

=(205, 11 + 6, 10)(1, 10,4) + (0, 980,25)(6, 10)(1, 10,15)− 7, 60117

0, 980,4

= 219, 74

Jadi ”net premium reserve” di saat t = 10, 4 adalah 219,74Jawab: B

25. Untuk suatu portofolio dari asuransi dengan manfaat 100 ”fully discrete whole life” untukindividu usia (35):

(i) 50 polis memiliki ”face amount” 5.000 dan 50 polis memiliki ”face amount” 10.000

(ii) A35 = 0, 175

(iii) 2 A35 = 0, 060

(iv) d = 0, 04

Dengan menggunakan pendekatan normal, hitunglah premi per 1.000 untuk peluang dari”positive future net loss” adalah 5%

A. 10,30 B. 10,60 C. 10,68 D. 10,75 E. 10,88

Pembahasan:Dalam bentuk P, premi per 1000, ”expected future loss” tiap individu adalah

A35 − 0, 001Pa35 = A35

(1 +

0, 001Pd

)− 0, 001P

d

= 0, 175(1 + 0, 025P)− 0, 025P

= 0, 175− 0, 020625P

karena 1d = 25. Untuk portofolio dari asuransi, kalikan nilai tersebut dengan 50(5000) +

50(10.000) = 750.000 untuk medapatkan

E[oLporto f olio] = 131.250− 15.468, 75P

Variansi dari ”future loss” per 1000 adalah

(2 A35 − A 2

35

)(1000 +

Pd

)2= (0, 060− 0, 1752)(1000 + 25P)2

= 0, 029375(1000 + 25P)2

98


Karena nilai tersebut adalah variansi per 1000, bukan variansi per unit/individu, maka untukportofolio asuransi kalikan nilai tersebut dengan 52 untuk polis dengan ”face amount” 5000dan kalikan dengan 102 untuk polis dengan ”face amount” 10.000, kemudian jumlahkan. Den-gan kata lain, kalikan nilai tersebut dengan 50(25)+50(100)=6250, sehingga kita peroleh

Var(oLporto f olio) = 183, 59375(1000 + 25P)2

Presentil ke-95 dari ”future net loss” kita atur agar sama dengan 0 sehingga peluang kerugianyang lebih besar dari 0 adalah 5%. Dengan kata lain

131.250− 15.468, 75P + 1, 645√

183, 59375(1000 + 25P)2 = 0

131.250− 15.468, 75P + 1.645√

183, 59375 + 41, 125√

183, 59375P = 0

153.539− 14.912P = 0

P =153.53914.912

= 10, 30

Jadi premi per 1000 untuk peluang dari ”positive future net loss” adalah 5% = 10, 30Jawab: A


S0(x) =1

1 +√

x

Hitunglah 5|10q15

A. 0,06

B. 0,08

C. 0,10

D. 0,12

E. 0,14

99


Pembahasan:

t px = Sx(t) =S0(x + t)

S0(x)

=

11 +√

x + t1

1 +√

x

=1 +√

x1 +√

x + t

Nilai dari 5 p15 dan 15 p15 masing-masing adalah:

5 p15 = S15(5) =1 +√

151 +√

20

15 p15 = S15(15) =1 +√

151 +√

30

Dengan demikian kita peroleh:

5|10q15 = 5 p15 − 15 p15

=1 +√

151 +√

20− 1 +

√15

1 +√

30

= 0, 1381827

≈ 0, 14

Jawab: E.

27. Untuk suatu asuransi ”fully discrete whole life” dengan manfaat 1.000 pada (45), diberikansebagai berikut:

(i) Kematian mengikuti lx = 10(110− x), 0 ≤ x ≤ 110

(ii) i = 0, 06

Pada akhir tahun ke 20, nasabah menginginkan perubahan premi sehingga polis akan ”paid

up” dengan tambahan 10 tahun. Perusahaan asuransi tidak menambahkan biaya untuk pe-rubahan ini, dan menggunakan ”equivalence principle” untuk menghitung ”new net pre-

mium”

Hitunglah ”new net premium” tersebut

A. 21,95

100


B. 24,65

C. 27,22

D. 30,90

E. 33,27

Pembahasan:

A45 =1− 1

(1,06)65

(0, 06)(65)= 0, 250602

A65 =1− 1

(1,06)45

(0, 06)(45)= 0, 343463

”Net premium reserve” pada akhir tahun ke-20 adalah

20V = 1000(

0, 343463− 0, 2506021− 0, 250602

)= 123, 91

Berdasarkan prinsip ekivalensi dengan menggunakan premi asuransi yang baru (”new net pre-

mium”) yang dinotasikan dengan P, kita peroleh

123, 91 + Pa65:10 = 1000A65

dimana

A65:10 =1− 1

(1,06)10

(0, 06)(45)+

3545

1(1, 06)10 = 0, 597865

a65:10 =1− A65:10

d=

1− 0, 5978650,061,06

= 7, 104393

Dengan demikian kita dapatkan

123, 91 + 7, 104393P = 343, 463

P =343, 463− 123, 91

7, 104393= 30, 90

Jadi ”new net premium” adalah 30,90Jawab: D

28. Untuk ”cohort” dari 1000 jiwa usia 50, peluang hidup adalah

t p50 =20−

√t

20t < 400

101


Dengan pendekatan ”normal”, hitunglah 95 percentile dari ”number of lives” untuk cohort

ini yang akan hidup 30 tahun.

A. 744

B. 749

C. 755

D. 764

E. 771

Pembahasan:Peluang seseorang berumur 50 yang akan hidup hingga 30 tahun mendatang adalah:

30 p50 =20−

√30

20

Jumlah kematian (D) untuk ”cohort” dari 1000 jiwa usia 50 yang akan meninggal dalamkurun waktu 30 tahun mendatang mengikuti distribusi binomial dengan parameter n = 1000

dan p = 30 p50 =20−

√30

20.

Dengan demikian nilai ekspetasi dan varians dari jumlah kematian untuk kelompok ini adalah:

E[D] = 100030 p50 = 1000

(20−

√30

20

)= 726, 1387212

Var[D] = 100030 p50(1− 30 p50) = 1000

(20−

√30

20

)(√30

20

)= 198, 8613

Dengan pendekatan distribusi normal, 95 precentile dari ”number of lifes” untuk ”cohort”

yang akan hidup 30 tahun memenuhi persamaan berikut:

P

(D− E[D]√

Var[D]< k

)= 0, 95

dengan k = 1, 645 (tabel distribusi normal standart).Dengan demikian kita peroleh:

D− E[D]√Var[D]

=D− 726, 1387212√

198, 8613= 1, 645

D = 749, 3362 ≈ 749

Jawab: B

102


29. Untuk suatu model ”2-year selection and ultimate mortality”, diberikan:

(i) q[x]+1 = 0, 95qx+1

(ii) l76 = 98.153

(iii) l77 = 96.124

Hitunglah l[75]+1

A. 96.150

B. 96.780

C. 97.420

D. 98.050

E. 98.690

Pembahasan:

q[x]+1 =l[75]+1 − l77

l[75]+1

q75+1 = q76 =l76 − l77

l76

Diketahui bahwa q[x]+1 = 0, 95qx+1. Dengan demikian kita peroleh:

q[75]+1 = 0, 95 q76

l[75]+1 − l77

l[75]+1= 0, 95

(l76 − l77

l76

)l[75]+1 − 96.124

l[75]+1= 0, 95

(98.153− 96.124

98.153

)

Dengan menyelesaikan persamaan di atas, kita dapatkan:

l[75]+1 = 98.049, 518 ≈ 98.050

Jawab: D.

30. Untuk suatu asuransi ”fully discrete 10-pay 20 year term life” dengan manfaat 1 pada (40)

103


diberikan:

A40 = 0, 22 5E40 = 0, 8

A45 = 0, 24 10E40 = 0, 64

A50 = 0, 26 20E40 = 0, 4

A60 = 0, 30 d = 0, 04

Hitunglah ”net premium reserve” pada akhir tahun ke 5

A. 0,008

B. 0,014

C. 0,028

D. 0,035

E. 0,042

Pembahasan:Diberikan d = 0, 04, dengan demikian kita peroleh v = 1− d = 0, 96. Pertama, kita akan

menghitung nilai daril50

l45dan

l60

l45terlebih dahulu.

5E40 = v55 p40 = v5 l45

l40= (0, 96)5 l45

l40= 0, 8

kita peroleh l40 =(0, 96)5

0, 8l45

10E40 = v1010 p40 = v10 l50

l40= (0, 96)10 l50

l40= 0, 64


0, 64l50

20E40 = v2020 p40 = v20 l60

l40= 0, 4


0, 4l60

Dari ketiga persamaan, kita bisa mendapatkan nilai daril50

l45dan

l60

l45, yaitu

l50

l45= (0, 96)−5(0, 8) dan

l60

l45= (0, 96)−15(0, 5)

104


Selanjutnya, kita akan menghitung nilai dari ”net premium” dengan menggunakan prinsipekuivalensi, yaitu

A 140:20 = P a40:10

dimana

A 140:20 = A40 − 20E40 A60 = 0, 22− (0, 4)(0, 3) = 0, 1

A40:10 = A40 − 10E40 A50 + 10E40 = 0, 22− (0, 64)(0, 26) + 0, 64 = 0, 6936

a40:10 =1− A40:10

d=

1− 0, 69360, 04

= 7, 66

Jadi P =A 1

40:20

a40:10=

0, 17, 66

=5

383Berikutnya kita akan menghitung ”net premium reserve” pada akhir tahun kelima yaitu

5V = A 145:15 − P a45:5

dimana

A 145:15 = A45 − v15 l60

l45A60 = 0, 24− (0, 96)15

(0, 96)15 (0, 5)(0, 3) = 0, 09

A45:5 = A45 − v5 l50

l45A50 + v5 l50

l45= 0, 24− (0, 96)5

(0, 96)5 (0, 8)(0, 26) +(0, 96)5

(0, 96)5 (0, 8)

= 0, 832

a45:5 =1− A45:5

d=

1− 0, 8320, 04

= 4, 2

Jadi kita dapatkan 5V = 0, 09− 5383

(4, 2) = 0, 03517 ≈ 0, 035Jawab: D.

105

5 Periode Juni 2016

1. Jonny melakukan atraksi melompat sepeda motor sepanjang tahun dan memiliki kemungkinancedera saat melakukan atraksi tersebut berdasarkan 3 tahapan berikut:

• Tahap 1: tidak terjadi cedera

• Tahap 2: tepat satu cedera

• Tahap 3: Paling sedikit dua cedera

Diberikan sebagai berikut:

(i) Intensitas transisi antara per tahapan adalah per tahun

(ii) µ01t = 0, 03 + 0, 06(2t), t > 0

(iii) µ02t = 2, 718µ01

t , t > 0

(iv) µ12t = 0, 025, t > 0

Hitunglah peluang dimana Jonny, saat sekarang tidak terjadi cedera, akan bertahan palingsedikit satu cedera dalam tahun berikutnya.

A. 0,35

B. 0,39

C. 0,43

D. 0,47

E. 0,51

Pembahasan: Peluang Jonny tidak mengalami cedera dalam tahun berikutnya adalah:

1 p00x = e−

∫ 10 (µ

01t +µ02

t )dt

dimana µ01t + µ02

t = 3, 718µ01t . Sehingga diperoleh:

∫ 1

03, 718µ01

t dt =∫ 1

03, 718

(0, 03 + 0, 06

(2t)) dt = 3, 718

(0, 03 +

0, 06ln 2

)= 0, 4334

maka

1 p00x = e−0,4334 = 0, 6483

106

5 Periode Juni 2016

Peluang Jonny sedikitnya memiliki satu cedera dalam tahun berikutnya adalah: 1− 0, 6483 =

0, 3517.

Jawab: A.

2. Untuk suatu model ”2-year selection and ultimate mortality”, diberikan

(i) q[x]+1 = 0, 95qx+1

(ii) `76 = 98.153

(iii) `77 = 96.124

Hitunglah `[75]+1 (pembulatan terdekat)

A. 96.150

B. 96.780

C. 97.420

D. 98.050

E. 98.690

Pembahasan:

1− `77

`[75]+1= q[75]+1 = 0, 95q76

1− 96.124`[75]+1

= 0, 95×(

98.153− 96.12498.153

)`[75]+1 = 98, 090.9936

Jawab: D.

3. Untuk suatu ”fully discrete whole life insurance policy” (30) dengan manfaat kematian sebesar150.000 diberikan sebagai berikut:

(i) Cadangan saat akhir tahun 20 dan 21 adalah 24.496 dan 26.261 secara berturut-turut

(ii) Premi gross adalah 1.212

(iii) Biaya yang diestimasikan sama dengan 60 + W% dari premi bruto dibayarkan tiap awaltahun

(iv) q50 = 0, 004736

(v) Suku bunga yang dipakai adalah 8%

(vi) Profit pada saat awal tahun polis ke 21 adalah 722

Hitunglah W%

107

5 Periode Juni 2016

A. 8%

B. 9%

C. 10%

D. 11%

E. 12%

Pembahasan: Profit pada saat akhir tahun polis ke 20 sama dengan profit pada saat awaltahun polis ke 21, yaitu:

722 =(

20V+ PG − (W × PG + 60))(1 + i)− q50(150.000)− p50(21V)

= (24.496 + 1.212− (W × 1.212 + 60)) (1, 08)− (0, 004736)(150.000)

− (1− 0, 004736)(26.261)

W = 10%

Jawab: C.

4. Untuk suatu ”fully discrete whole life insurance” dengan manfaat 100.000 untuk orang yangberusia (45), diberikan sebagai berikut:

(i) Cadangan gross premi saat durasi 5 adalah 5.500 dan saat durasi 6 adalah 7.100

(ii) q50 = 0, 009

(iii) i = 0, 05

(iv) ”renewal expenses” saat awal setiap tahun adalah 50 plus 4% dari premi gross

(v) ”claim expenses” adalah 200

Hitunglah premi bruto! (pembulatan terdekat)

A. 2.200

B. 2.250

C. 2.300

D. 2.350

E. 2.400

Pembahasan:(5V+ 0, 96PG − 50

)(1 + i) = q50(100.200) + p50(6V)

(5.500 + 0, 96PG − 50)(1.05) = (0, 009)(100.200) + (1− 0, 009)(7.100)

PG = 2.197, 8175

108

5 Periode Juni 2016

Jawab: A.

5. Untuk suatu tabel kematian dengan faktor seleksi dua tahun, diberikan sebagai berikut:

(i)

x q[x] q[x]+1 qx+2 x + 250 0,0050 0,0063 0,0080 5251 0,0060 0,0073 0,0090 5352 0,0070 0,0083 0,0100 5453 0,0080 0,0093 0,0110 55

(ii) ”force of mortality” adalah konstan diantara ”integral ages”

Hitunglah 2,5q[50]+0,4

A. 15,2

B. 16,4

C. 17,7

D. 19,0

E. 20,2

Pembahasan:

2,5q[50]+0,4 = 1− 2,5 p[50]+0,4 = 1− 2,9 p[50]

0,4 p[50]

= 1−p[50] × p[50]+1 × (p52)

0,9

(p[50])0,4

= 1−(1− q[50])× (1− q[50]+1)× (1− q52)

0,9

(1− q[50])0,4

= 1− (1− 0, 0050)× (1− 0, 0063)× (1− 0, 0080)0,9

(1− 0, 0050)0,4

= 0.0164

10002,5q[50]+0,4 = 16, 4

Jawab: B.

6. Untuk suatu ”fully discrete 5-payment whole life insurance” untuk manfaat 1.000 pada (80),diberikan:

(i) Premi bruto adalah 130

(ii) q80+k = 0, 01(k + 1), k = 0, 1, 2, . . . , 5

109

5 Periode Juni 2016

(iii) v = 0, 95

(iv) 1000A86 = 683

(v) 3L adalah ”prospective loss random variable” saat t = 3, berdasarkan premi bruto

Hitunglah E[3L] (pembulatan terdekat)

A. 330

B. 350

C. 360

D. 380

E. 390

Pembahasan:

E[3L] = 1000A83 − Pa83:3 , karena hanya ada 5 pembayaran, maka

E[3L] = 1000(A 183:3 + 3E83 A86)− 130(1 + p83v)

= 1000[

q83v + p83 q84v2 + 2 p83 q85v3 + v33 p83 A86

]− 130(1 + p83)v

= 1000[0, 04v + (0, 96× 0, 05)v2 + 0, 96× 0, 95× (0, 06 + 0, 94× 0, 683)v3

]− 130(1 + 0, 96)v

= 630, 2477− 248, 56

= 381, 6877

Jawab: D.


(i) qx = 0, 1

(ii) ”Force of mortality” adalah konstan antara ”integral ages”

Hitunglah 1/2qx+1/4 (pembulatan terdekat)

A. 0,051

B. 0,043

C. 0,032

D. 0,026

E. 0,012

110

5 Periode Juni 2016

Pembahasan:

12qx+ 1

4= 1− 1

2px+ 1

4

= 1− (px)12

= 1− 0, 912 = 0, 0513.

Jawab: A.

8. Untuk suatu ”fully discrete 20-year endowment insurance” dengan manfaat 100.000 pada (30),diberikan sebagai berikut:

(i) d = 0, 05

(ii) biaya, dibayarkan pada awal setiap tahun:

Tahun Pertama Tahun BerikutnyaPersen dari Per Polis Persen dari Per Polis

Premi bruto? Premi bruto?Pajak 4% 0 4% 0

Komisi Agen 35% 0 2% 0Biaya Maintenance 0% 250 0% 50

(iii) Premi netto adalah 2.143

Hitunglah premi bruto mengunakan prinsip ”equivalence”

A. 2.408

B. 2.530

C. 2.800

D. 3.130

E. 3.280

Pembahasan: Dari premi netto diperoleh:

PN a30:20 = 100.000A30:20 = 100.000(1− da30:20 )

⇒ a30:20 = 13.9997

A30:20 = 1− da30:20 = 0, 3

111

5 Periode Juni 2016

Misalkan PG menyatakan premi bruto, maka menggunakan prinsip ”equivalence”:

PG a30:20 = 100.000A30:20 +(

200 + 50 a30:20

)+(

0, 33PG + 0, 06PG a30:20

)13, 9997PG = 30.901, 3860 + 1, 17PG

PG = 2.408, 5752

Jawab: A.

9. Sepasang suami-istri usia 55 dan 50, dengan independent future lifetimes, diberikan sebagaiberikut:

(i) Force of mortality pada usia 50 adalah µ50+t =1

50− t, untuk 0 6 t < 50

(ii) Force of mortality pada usia 55 adalah µ55+t = 0, 04, untuk t > 0

(iii) Untuk single premi sebesar 60, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan sebuah polisyang membayarkan manfaat sebesar 100 pada saat kematian pertama kali dari (55) dan(50)

(iv) δ = 0, 05

Hitunglah probabilitas dimana perusahaan asuransi tidak mengalami kerugian pada polis terse-but: (pembulatan terdekat)

A. 0,45 B. 0,47 C. 0,49 D. 0,51 E. 0,53

Pembahasan: Dari informasi tersebut diperoleh

t p50 = e−∫ t

0 µ50+sds

= e−∫ t

01

50−s ds

=

(50− t

50

), 0 ≤ t ≤ 50

t p55 = e−∫ t

0 µ55+sds

= e−∫ t

0 0,04ds

= e−0,04t t ≥ 0.

T50:55 = min(T50, T55) menyatakan waktu hingga kematian pertama kali dari (55) dan (50),

112

5 Periode Juni 2016

maka

t p50:55 = P(T50:55 ≥ t)

= t p50 × t p55 karena independent,

=

(50− t

50

)e−0,04t, 0 ≤ t ≤ 50

Variabel random kerugian untuk model asuransi ini diberikan oleh

L = 100e−δT50:55 − 60 = 100e−0,05T50:55 − 60

Sehingga perusahaan asuransi mengalami kerugian (positive loss) jika

L > 0→ e−0,05T50:55 > 0, 6→ T50:55 < −20 ln(0, 6).

P(L > 0) = P(T50:55 < −20 ln(0, 6))

= 1−P(T50:55 ≥ −20 ln(0, 6))

= 1−P(T50:55 ≥ 10, 2165)

= 1−(

50− (10, 2165)50

)e−0,04(10,2165)

= 0, 4712

Sehingga probabilitas dimana perusahaan asuransi tidak mengalami kerugian adalah 1−P(L >

0) = 0, 53.Jawab: E.Komentar: di kunci jawaban tertulis B, mungkin yang dimaksud oleh soal seharusnya adalahpositive loss.


(i) Z(n) adalah ”present value random variable for an n-year term insurance on a life agex” berdasarkan yield curve sekarang.

(ii) E[Z(1)] = 0, 014354 dan E[Z(2)] = 0, 032308

(iii) ”current one-year spot rate” adalah 4,50%

(iv) qx+1 = 0, 02

Hitunglah “current two-year spot rate” (pembulatan terdekat)

A. 4,55%

113

5 Periode Juni 2016

B. 4,75%

C. 4,95%

D. 5,15%

E. 5,35%

Pembahasan: E[Z(1)] = qxv4,5% = 0, 014354→ qx = 0, 015Sehingga

E[Z(2)] = qxv4,5% + px(v4,5%vj)qx+1 = 0, 032308

→ 0, 014354 + (1− 0, 015)(v4,5%vj)(0, 02) = 0, 032308

→ v4,5%vj = 0, 9114

1(1 + i)2 = 0, 9114, dengan i adalah ”currrent two-year spot rate”

=⇒ i = 4, 75%

Jawab: B.

11. Untuk (x) dan y dengan ”independent future lifetimes” diberikan sebagai berikut:

(i) ax = 10, 06

(ii) ay = 11, 95

(iii) axy = 12, 59

(iv) Ax1y = 0, 09

(v) δ = 0, 07

Hitunglah A1xy

A. 0,15

B. 0,20

C. 0,25

D. 0,30

E. 0,35

Pembahasan: Diketahui hubungan berikut

axy + axy = ax + ay,

sehingga diperolehaxy = 10, 06 + 11, 95− 12, 59 = 9, 42.

114

5 Periode Juni 2016

Informasi ini digunakan untuk menghitung asuransi joint life sebagai berikut

Axy = 1− δ axy = 0, 3406.

Diketahui pula hubunganA1

xy + Ax1y = Axy,

sehingga diperolehA1

xy = Axy − Ax1y = 0, 2506.

Jawab: C.

12. Untuk suatu ”special 10-year deferred whole life annuity-due” dengan manfaat 50.000 pada(62), diberikan sebagai berikut:

(i) “level annual benefit premiums” dibayarkan selama 10 tahun

(ii) manfaat kematian dibayarkan saat akhir tahun kematian dan hanya diberikan selamaperiode penangguhan yang adalah jumlah premi manfaat tanpa bunga

(iii) a62 = 12, 2758

(iv) a62:10 = 7, 4574

(v) A 162:10 = 0, 0910

(vi) ∑10k=1 A 1

62:k = 0, 4891

Hitunglah premi manfaat untuk ”special annuity” ini (pembulatan terdekat)

A. 34.400

B. 34.500

C. 34.600

D. 34.700

E. 34.800

Pembahasan: Berdasarkan prinsip ekuivalensi, nilai sekarang dari premium sama dengannilai sekarang dari total manfaat yang diperoleh, yaitu

Pa62:10 = 50.000(

10|a62

)+ P

((IA) 1

62:10

)= 50.000

(a62 − a62:10

)+ P

(11A 1

62:10 −10

∑k=1

A 162:k

)2

∑k=0

P = 34.687, 2075

115

5 Periode Juni 2016

Jawab: D.

13. Untuk suatu ”fully discrete whole life insurance” dengan manfaat 10.000 pada (45), diberikan:

(i) i = 0, 05

(ii) 0L adalah variabel acak kerugian saat polis diterbitkan berdasarkan premi manfaat

(iii) Jika K45 = 10 , dan 0L = 4.450

(iv) a55 = 13, 4205

Hitunglah 10V , cadangan manfaat saat akhir tahun ke 10 untuk asuransi ini

A. 1.010

B. 1.460

C. 1.820

D. 2.140

E. 2.300

Pembahasan: Dari informasi mengenai variabel acak kerugian saat polis diterbitkan berdasarkanpremi manfaat kita dapat hitung nilai preminya adalah:

0L = 10.000vK45+1 − PaK45+1 = 10.000v11 − Pa11

4.450 = 10.000(0, 5847)− P(8.7217) −→ P = 160, 151

Selanjutnya, kita hitung cadangan manfaat saat akhir tahun ke 10 untuk asuransi ini

A55 = 1− da55 = 0, 3609

10V = 10.000A55 − Pa55 = 1.459, 982

Jawab: B.

14. Suatu asuransi seumur hidup pada (x) dengan manfaat 1 dengan pengembalian dari ”net singlepremium” tanpa bunga pada saat kematian. Diberikan:

(i) µx+t = 0, 01 for t > 0

(ii) δ = 0, 03

Hitunglah ”net single premium”A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/5 E. 3/4

116

5 Periode Juni 2016

Pembahasan:

P =∫ ∞

0(1 + P)e−δt

t pxµx+tdt

= (1 + P)∫ ∞

0e−(0,03+0,01)t0, 01dt

=14+

14

P

P =13

Jawab: B.

15. Untuk dua ”fully continuous whole life insurance policies” pada (x), diberikan sebagai berikut:

(i) Polis A: Manfaat Kematian 1 ; rate premi tahunan 0,10 ; Variansi dari nilai sekarangkerugian dimasa depan saat t= 0,455

(ii) Polis B: Manfaat Kematian 2 ; rate premi tahunan 0,16

(iii) δ = 0, 06

Hitunglah variansi dari nilai sekarang kerugian dimasa depan saat t untuk polis B (pembulatanterdekat)

A. 0,9

B. 1,4

C. 2,0

D. 2,9

E. 3,4

Pembahasan: .

• Untuk polis A diketahui future loss pada waktu t adalah


= e−δTx+t − 0.1(

1− e−δTx+t

δ

)=

(1 +

0, 10δ

)e−δTx+t − 0, 10

δ.

117

5 Periode Juni 2016

Sehingga

Var(tL) =(

1 +0, 10

δ

)2Var(e−δTx+t)

0, 455 =

(1 +

0, 100, 06

)2 (2 Ax+t − A2

x+t

)

atau (2 Ax+t − A2

x+t

)=

0, 455(1 + 0,10

0,06

)2 = 0.063984375.

• Untuk polis B:


= e−δTx+t − 0.16(

1− e−δTx+t

δ

)=

(1 +

0, 16δ

)e−δTx+t − 0, 16

δ.

Sehingga

Var(tL) =(

2 +0, 16

δ

)2Var(e−δTx+t)

=

(2 +

0, 160, 06

)2 (2 Ax+t − A2

x+t

)= 21.77777778× 0.063984375

= 1, 3934375.

Jawab: B.

16. Diberikan:


(ii) i = 0, 10

(iii) qx = 0, 05

(iv) qx+1 = 0, 08

Hitunglah A1x:2 (pembulatan terdekat)

A. 0,103 B. 0,108 C. 0,111 D. 0,114 E. 0,119

118

5 Periode Juni 2016

Pembahasan:

A1x:2 =

iδ

A1x:2 =

iδ[vqx + v2 pxqx+1]

=0, 10

ln(1 + 0, 10)[(1 + 0, 10)−1(0, 05) + (1 + 0, 10)−2(0, 95)(0, 08)]

= 0, 114.

Jawab: D.

Informasi untuk nomor 17 dan 18Suatu ”fully discrete 2-payment, 3-year term insurance” dengan manfaat kematian 10.000pada (x) diberikan :

(i) i = 0, 05

(ii) qx = 0, 1 qx+1 = 0, 15 qx+2 = 0, 20

(iii) Kematian adalah satu-satunya decrement

(iv) Biaya yang dibayarkan pada saat awal tahun adalah:

Tahun Polis Per Polis Per 1.000 dari Per 100 darimanfaat kematian gross premium

1 25 4,5 202 10 1,5 103 10 1,5 -

(v) Biaya tambahan yang dibayarkan pada akhir tahun saat terjadi kematian adalah sebesar20 per polis ditambahkan 1 per 1.000 dari manfaat kematian

(v) G adalah gross premium tahunan untuk asuransi ini

(v) Net single premium untuk asuransi ini adalah 3.499

17. Hitunglah nilai dari expected present value dari biaya (tidak termasuk biaya tambahan) padasaat issue (polis terbit) dalam bentuk G. (pembulatan terdekat)

A. 101,9 + 0,286G

B. 108,8 + 0,286G

C. 119,3 + 0,286G

D. 182,2 + 0,286G

E. 546,8 + 0,286G

119

5 Periode Juni 2016

Pembahasan: Nilai dari expected present value dari biaya (tidak termasuk biaya tambahan)pada saat issue (polis terbit) adalah:

EPV =

[25 + (4, 5)

(10.0001.000

)+

(20

100

)G]

+

[10 + (1, 5)

(10.0001.000

)+

(10100

)G]

vpx

+

[10 + (1, 5)

(10.0001.000

)]v2 px px+1

=70 + 0, 2G + (25 + 0, 1G)

(0, 9

1, 05

)+ (25)

(0, 9)(0, 85)1, 052

=108, 78 + 0, 2857G

Jawab: B.

18. Hitunglah G dengan menggunakan prinsip ekuivalen (pembulatan terdekat) A. 1.597 B.2.296 C. 2.303 D. 2.343 E. 2.575

Pembahasan: Nilai dari expected present value dari manfaat kematian adalah 3.499 (dari Net

single premium).Nilai dari expected present value dari gross premium tahunan adalah

G(1 + vpx) = 1, 8571G

Biaya tambahan adalah sebesar 20 + (1)(10) = 30, yang dibayarkan pada akhir tahun saatterjadi kematian, sehingga nilai dari expected present value dari biaya tambahan adalah(

3010.000

)EPVmanfaat kematian = (0, 003)(3.499) = 10, 50

Sehingga, menggunakan prinsip ekuivalen untuk menghitung nilai G, diperoleh:

1, 8571G = 3499 + (108, 78 + 0, 2857G) + 10, 50

G =3618, 28

1, 8571− 0, 2857= 2302, 59

Jawab: C.

19. Jika Tx dan Ty adalah saling bebas, hitunglah nilai dari 2|qxy diberikan: (pembulatan terdekat)

qx = 0, 08 qx+1 = 0, 09 qx+2 = 0, 10

qy = 0, 10 qy+1 = 0, 15 qy+2 = 0, 20

120

5 Periode Juni 2016

A. 0,10

B. 0,14

C. 0,18

D. 0,20

E. 0,24

Pembahasan:

2|qxy =(

2 pxy) (

qx+2:y+2)

= (2 px)(

2 py) (

1− px+y:y+2)

= (px px+1)(

py py+1) (

1− px+2 py+2)

= 0, 17932

Jawab: C.


Suatu unit ”continuously-operation air conditioning” mempunyai ”exponential lifetime distri-bution” dengan nilai rata-rata 4 tahun. Ketika unit rusak, harus diganti dengan biaya 1.000,yang dianggap sebagai satu unit uang. Misalkan Z menyatakan nilai sekarang dari variabelacak untuk setiap pembayaran unit saat gagal. Gunakan ”effective annual interest rate 5%”.

20. Hitunglah E(Z) (pembulatan terdekat)

A. 0,35

B. 0,47

C. 0,53

D. 0,62

E. 0,84

Pembahasan: Dalam hal ini biaya 1000 dianggap sebagai satu unit pembayaran, sehingga Zadalah present value per unit pembayaran bila terjadi fail, atau pembayaran dalam ribuan, se-hingga variabel acaknya adalah Z = e−δT , dengan T menunjukkan unit waktu (dalam tahun)sampai terjadi fail. Karena T berdistribusi eksponensial maka pdf dari T adalah

fT(t) = µe−µt. (5.1)

121

5 Periode Juni 2016


µ dan diketahui mean dari T adalah4 tahun maka µ = 1

4 = 0, 25. Nilai harapan dari Z adalah

E(Z) =∫ ∞

0e−δte−µtµdt

=0, 25

0, 25 + log(1, 05)= 0, 8367076.

Jawab: E

21. Hitunglah Var(Z) (pembulatan terdekat)

A. 0,010

B. 0,012

C. 0,014

D. 0,016

E. 0,019

Pembahasan:

E(Z2) =

∫ ∞


=µ

µ + 2δ= 0, 7192581962

Var(Z) = E(Z2)− (E(Z))2

= 0, 7192581962− 0, 83670762 = 0, 01917859484

Jawab: E.

22. Hitunglah ”90th percentile” dari distribusi Z (pembulatan terdekat)

A. 0,45

B. 0,56

C. 0,67

D. 0,79

E. 0,98

122

5 Periode Juni 2016

Pembahasan:

P(e−δTx ≤ z) = 0, 90

P(

Tx ≥log(z)−δ

)= 0, 90∫ ∞

log(z)−δ

e−µtµdt = 0.90

µ log(z)δ

= log 0.90

z = eδ log 0,90

µ = 0, 9796477336

Jawab: E.

23. Perusahaan Anda menerbitkan polis asuransi anuitas seumur hidup (whole life annuities)kepada sebuah kelompok yang memiliki umur 70 tahun. Untuk setiap polis, anda diberikan:

i. Pembayaran anuitas sebesar 2.000 setiap akhir tahun

ii. Premi tunggal gross (single gross premium) adalah 26.600

iii. Keuntungan (Profit) berdasarkan cadangan gross premium (gross premium reserve)

iv. Cadangan gross premium pada akhir tahun ke 10 adalah 8.929,18 per polis

v. Biaya dibayarkan setiap akhir tahun untuk setiap pemegang polis yang tidak meninggaldalam tahun tersebut

Pada tahun ke 11, antisipasi (anticipated) dan aktual experience adalah sebagai berikut:

a) 1.000 polis inforce di awal tahun ke 11

b) Tabel aktual dan antisipasi:

Antisipasi Aktual(anticipated) (actual)

Mortality q80 = 0, 11 200 kematianInterest i = 0, 03 i = 0, 04

Expenses 30 per polis 35 per polis

Untuk tahun ke 11, anda menghitung keuntungan (gain) karena bunga (interest) sebelummenghitung keuntungan (gain)dari sumber lain. Hitunglah keuntungan karena bunga (interest)pada tahun ke 11

A. 87.560

B. 87.902

C. 88.435

123

5 Periode Juni 2016

D. 88.880

E. 89.292

Pembahasan: Karena anuitas dibayarkan di akhir tahun, maka hanya cadangan gross pre-

mium pada akhir tahun ke 10 saja yang mendapat bunga.

Keuntungan karena bunga (interest) pada tahun ke 11 adalah:cadangan di awal tahun × keuntungan dari bunga (aktual - antisipasi)= 1000× (8.929, 18)× (0, 04− 0, 03) = 89.291, 8Jawab: E.

24. Untuk sebuah tabel double decrement, anda diberikan:

i. q′(1)x = 0, 1

ii. q(2)x = 0, 2

iii. Setiap decrement adalah berdistribusi seragam (uniform distribution) di setiap tahun usiadalam hubungannya dengan tabel single decrement

Hitunglah q(1)x (pembulatan terdekat)A. 0,0895 B. 0,0915 C. 0,0935 D. 0,0955 E. 0,0975

Pembahasan: Karena setiap decrement berdistribusi seragam, maka

0, 2 = q(2)x = q′(2)x

(1− 1

2q′(1)x

)= q′(2)x

(1− 1

2(0, 1)

)= 0, 95q

′(2)x

⇒ q′(2)x = 0, 21053

p(τ)x = p′(1)x p

′(2)x = (0, 9)(1− 0, 21053) = 0, 71053

q(1)x = q(τ)x − q(2)x = 1− p(τ)x − q(2)x

= 1− 0, 71053− 0, 2 = 0, 08947

Jawab: A.

25. Karyawan di perusahaan ABC bisa berstatus:State 0: Karyawan tidak eksekutifStete 1: Karyawan eksekutif

124

5 Periode Juni 2016

State 2: Karyawan yang diberhentikanJohn bergabung dengan perusahan ABC sebagai karyawan tidak eksekutif pada usia 30 tahun.Anda diberikan:

i. µ01 = 0, 01 untuk setiap tahun pelayanan

ii. µ02 = 0, 006 untuk setiap tahun pelayanan

iii. µ12 = 0, 002 untuk setiap tahun pelayanan

iv. Karyawan eksekutif tidak pernah kembali menjadi karyawan tidak eksekutif

v. Karyawan yang diberhentikan tidak pernah kembali dipekerjakan

vi. Probabilitas bahwa John hidup sampai umur 65 tahun adalah 0,9 tanpa menghiraukanstate

Hitunglah probabilitas bahwa John akan menjadi karyawan eksekutif dari perusahaan ABCpada usia 65 tahun.A. 0,232 B. 0,245 C. 0,258 D. 0,271 E. 0,284

Pembahasan: Peluang bahwa John akan menjadi karyawan eksekutif dalam 35 tahun adalah

35 p010 .

35 p010 =

∫ 35

0t p00

0 × µ01t × (35−t)p11

t dt

=∫ 35

0e−∫ t

0 (µ01s +µ02

s )ds × µ01t × e−

∫ 35t µ12

s dsdt

=∫ 35

0e−(µ01

t +µ02t )t × µ01

t × e−µ12t (35−t)dt

=∫ 35

0e−(0,01+0,006)t × 0, 01× e−(0,002)(35−t)dt

= 0, 01× e−0,07 ×∫ 35

0e−0,014tdt

=0, 01

0, 014× e−0,07 ×

(1− e−0,49

)= 0, 25799

Peluang bahwa John akan menjadi karyawan eksekutif dari perusahaan ABC pada usia 65tahun mensyaratkan bahwa John hidup sampai umur 65 tahun, sehingga peluangnya adalah:

0, 9× 0, 25799 = 0, 232.

Jawab: A.

125

5 Periode Juni 2016

26. Untuk suatu ”20 tahun temporary life annuity due” dari manfaat 100 per tahun pada usia (65),diberikan:

i. µx = 0, 001x, x ≥ 65

ii. i = 0, 05

iii. Y adalah present value variabel acak untuk anuitas ini

Hitunglah probabilitas bahwa Y kurang dari 1000 (pembulatan terdekat)A. 0,54 B. 0,57 C. 0,61 D. 0,64 E. 0,67

Pembahasan: Kita ingin menghitung P(Y < 1000) = P(

100 aK65+1 < 1000)= P

(aK65+1 < 10

).

Karena

a13 =1− v13

d= 9, 86 dan a14 =

1− v14

d= 10, 4

Maka

P(Y < 1000) = P(K65 ≤ 13− 1) = P(T65 < 13)

= 1− exp(−∫ 13

0µ65+tdt

)= 1− exp

(−0, 001

∫ 13

0(65 + t)dt

)= 1− exp[−0, 001(0, 5)((65 + 13)2 − 652)]

= 0, 6052

Jawab: C.

27. Pada 1 Januari, sebuah perusahaan asuransi menerbitkan 10 polis ”one-year term life insur-

ance” pada usia x dengan independent future lifetime. Anda diberikan:

(i) Setiap polis membayarkan manfaat sebesar 1.000 pada akhir tahun jika pemegang polismeninggal dalam tahun tersebut

(ii) Setiap pemegang polis membayar premi tunggal sebesar 90

(iii) qx adalah sama untuk setiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0, 3 , qx = 0, 0 untuksetiap pemegang polis. Dengan probabilitas 0, 7 , qx = 0, 2 untuk setiap pemegangpolis

(iv) i = 0, 04

Hitunglah variansi dari present value of future losses yang diterbitkan pada variabel acak untukseluruh portfolio (pembulatan terdekat). Hint: Var [Loss] = E[Var(Loss)] + Var(E[Loss])

A. 800.000

B. 900.000

C. 1.000.000

126

5 Periode Juni 2016

D. 1.400.000

E. 1.800.000

Pembahasan: Misalkan N menyatakan jumlah kematian, maka S = 1000vN − 900 denganN berdistribusi binomial (10, Q) dan

Q =

{0 dengan peluang 0, 30, 2 dengan peluang 0, 7

Maka

Var(N) =E [Var(N|Q)] + Var [E(N|Q)]

=E[10Q(1−Q)] + Var[10Q]

=10E[Q]− 10E[Q2] + 100(

E[Q2]−E[Q]2)

=90E[Q2] + 10E[Q]− 100E[Q]2

=90[02(0, 3) + 0, 22(0, 7)] + 10[0(0, 3) + 0, 2(0, 7)]

− 100[0(0, 3) + 0, 2(0, 7)]2

=1, 96

Var(S) =Var(1000vN − 900)

=(1000v)2(1, 96) = 1.812.130

Jawab: E.

28. Untuk sebuah asuransi berjangka 3 tahun dengan benefit 1.000 pada usia 75, diberikan:

i. Manfaat meninggal dibayarkan pada akhir tahun kematian

ii. Level premium dibayarkan setiap awal kwartal

iii. Mortality mengikuti select and ultimate life table dengan 2 tahun periode seleksi:

x l[x] l[x]+1 lx+2 x + 275 15.930 15.668 15.286 7776 15.508 15.224 14.816 7877 15.050 14.744 14.310 79

Hitunglah nilai dari premi kuarteran (pembulatan terdekat)A. 5,3 B. 5,5 C. 5,7 D. 5,9 E. 6,1

Pembahasan: Jawab: C. – ini dari kunci jawaban.Kurang informasi pada soal. Dibutuhkan informasi mengenai i (interest) dan asumsi yangdigunakan (distribusi seragam? atau WH formula?)

127

5 Periode Juni 2016

29. Untuk sebuah asuransi diskrit berjangka 5 tahun ”fully discrete 5 year term” dengan manfaat100.000 pada usia 80 tahun, diberikan:

i. l80 = 1.000

ii.

x lx dx83 920 5084 870 60

iii.

Time to maturity Annual spot rate1 0,042 0,043 0,044 0,055 0,06

iv. Nilai berikut dihitung pada i = 0, 04a80:5 = 4, 3868A 1

80:5 = 0, 1655

Hitunglah manfaat premi tahunan untuk asuransi tersebut (pembulatan terdekat)

A. 3.660

B. 3.680

C. 3.700

D. 3.720

E. 3.740

Pembahasan: Karena annual spot rate untuk tahun ke 4 dan ke 5 berubah, maka kita perlumenyesuaikan cash flownya.

a80:5 = 4, 3868 +870

1.000×[

11, 054 −

11, 044

]= 4, 3589

A 180:5 = 0, 1655 +

501.000

×[

11, 054 −

11, 044

]+

601.000

×[

11, 065 −

11, 045

]= 0, 1594

Sehingga, besarnya manfaat premi tahunan adalah

100.000× 0, 15944, 3589

= 3657, 25

128

5 Periode Juni 2016

Jawab: A.

30. Diberikan:

a) ”select and ultimate life table” dengan periode seleksi 2 tahun:

x l[x] l[x]+1 lx+2 x + 250 99.000 96.000 93.000 5251 97.000 93.000 89.000 5352 93.000 88.000 83.000 5453 90.000 84.000 78.000 55

b) Kematian berdistribusi seragam di sepanjang tahun usia

Hitunglah 10.0002,2q[51]+0,5 (pembulatan terdekat)

A. 705

B. 709

C. 713

D. 1.070

E. 1.074

Pembahasan:

`[51]+0,5 = 0, 5`[51] + 0, 5`[51]+1 = 0, 5 (97.000) + 0, 5 (93.000) = 95.000

`53.7 = 0, 3`53 + 0, 7`54 = 0, 3 (89.000) + 0, 7 (83.000) = 84.800

2,2q[51]+0,5 =`[51]+0,5 − `53.7

`[51]+0,5=

95.000− 84.80095.000

= 0, 10737

10.0002,2q[51]+0,5 = 1.074

Jawab: E.

129


1. Diberikan µ35+t =1

100+t . Hitung nilai dari 10 p35.

(A) 7/11

(B) 8/11

(C) 9/11

(D) 10/11

(E) 1

Pembahasan

t p35 = e−∫ t

0 µ35+udu

= e−∫ t

0du

100+u

=100

100 + t

10 p35 =100

100 + 10=

1011

Jawab: D.

2. Untuk model ”2-year selection and ultimate mortality”,

(i) q[x]+1 = 0, 95 · qx+1

(ii) l76 = 98.153

(iii) l77 = 96.124

Hitung l[75]+1

(A) 96.150

(B) 96.780

(C) 97.420

(D) 98.050

(E) 98.690

Pembahasan

Untuk model ”2-year selection and ultimate mortality”,

130


q[75]+1 = 0,95 q76

1− 96.124l[75]+1

= 0,95(

1− 96.12498.153

)

l[75]+1 = 98.049,52

Jawab: D.

3. Diberikan sebagai berikut.

(i) qx = 0, 1

(ii) “Force of Mortality” adalah konstan antara “integral ages”

Hitung 1/2qx+1/4

(A) 0,051

(B) 0,043

(C) 0,032

(D) 0,026

(E) 0,012

Pembahasan

Diketahui bahwa Force of Mortality adalah konstan.

12qx+ 1

4= 1− 1

2px+ 1

4

= 1− (px)1/2

= 1−√

0.9= 0,051

Jawab: A.


(i) l[45] = 1000

(ii) 5q[45] = 0, 04

(iii) 5q[45]+5 = 0, 05

Hitung l[45]+10

(A) 912

(B) 960

(C) 950

(D) 800

131


(E) 990

Pembahasan

Kita akan menghitung dulu nilai dari l[45]+5.

5q[45] = 1−l[45]+5

l[45]

0,04 = 1−l[45]+5

1.000l[45]+5 = 1.000(0, 96)l[45]+5 = 960

Lalu, kita akan menghitung nilai dari l[45]+10.

5q[45]+5 = 1−l[45]+10

l[45]+5

0,05 = 1−l[45]+10

960l[45]+10 = 960(0, 95)l[45]+10 = 912

Jawab: A.

5. Suatu asuransi seumur hidup pada (x) dengan manfaat 1 dengan pengembalian dari “net singlepremium” tanpa bunga pada saat kematian. Diberikan: µx+t = 0, 01 untuk t > 0 dan δ =

0, 03. Hitung ”net single premium”

(A) 1/2

(B) 1/3

(C) 1/4

(D) 1/5

(E) 3/4

Pembahasan

Manfaat (Benefit) yang akan dibayarkan adalah sebesar 1 + P, dengan premi P.

(1 + P) Ax = P

P =Ax

1− Ax

132


Ax =∫ ∞

0e−δt

t pxµx+tdt

=∫ ∞

0e−0,03te−0,01t(0, 01)dt

= 0, 01∫ ∞

0e−0,04tdt

=14

Maka,

P =14

1− 14=

13

Jawab: B.

6. Diberikan:


(ii) i = 0, 1

(iii) qx = 0, 05

(iv) qx+1 = 0, 08

Hitung A1x:2

(A) 0,103

(B) 0,108

(C) 0,111

(D) 0,114

(E) 0,119

Pembahasan

Kita akan terlebih dahulu menghitung nilai dari A1x:2 .

A1x:2 =

1

∑k=0

vk+1k|qx

= vqx + v2 px qx+1

= 1, 1−1(0, 05) + 1, 1−2(0, 95)(0, 08)= 0,108264

Karena terdapat asumsi UDD (berdistribusi seragam),

133


A1x:2 =

iδ

A1x:2

=0, 1

ln(1, 1)(0, 108264)

= 0,113592

Jawab: D.

Informasi untuk no 7 dan 8

7. Suatu “fully discrete 2-payment, 3-year term insurance” dengan manfaat kematian 10.000pada (x) diberikan :

(i) i = 0, 05

(ii) qx = 0, 1 qx+1 = 0, 15 qx+2 = 0, 2 (iii) Kematian adalah satu-satunya decrement

(iv) Biaya yang dibayarkan pada saat awal tahun adalah:

Tahun Polis Per Polis Per 1.000 dari Per 100 darimanfaat kematian gross premium

1 25 4,5 202 10 1,5 103 10 1,5 -

(v) Biaya tambahan yang dibayarkan pada akhir tahun saat terjadi kematian adalah sebesar 20per polis ditambahkan 1 per 1.000 dari manfaat kematian

(vi) G adalah gross premium tahunan untuk asuransi ini

(vii) Net single premium untuk asuransi ini adalah 3.499

Hitunglah nilai dari expected present value dari biaya (tidak termasuk biaya tambahan) padasaat issue (polis terbit) dalam bentuk G. (pembulatan terdekat)

(A) 101,9+0,286G

(B) 108,8+0,286G

(C) 119,3+0,286G

(D) 182,2+0,286G

(E) 546,8+0,286G

Pembahasan

Diketahui biaya yang dibayarkan saat awal tahun adalah:

Tahun Polis Biaya per polis Biaya Manfaat Kematian Biaya Premium

1 25 45 20% G2 10 15 10% G3 10 15 -

134


Jadi, nilai sekarang dari biaya-biaya tersebut:

PV = (25 + 45) + (10 + 15)v(px) + (10 + 15)v2(px)(px+1) + G(20% + 10%v(px))

= 70 + 25 0,91,05 + 25 (0,9)(0,85)

1,052 + G(

20% + 10% 0,91,05

)= 108,7755 + 0, 2857G

Jawab: B.

8. Hitunglah G dengan menggunakan prinsip ekuivalen (pembulatan terdekat)

(A) 1.597

(B) 2.296

(C) 2.303

(D) 2.343

(E) 2.575

Pembahasan

Nilai sekarang dari biaya tambahan adalah:

PV = 30(v(qx) + v2(px)(qx+1) + v3(px)(px+1)(qx+2))

= 30[

0, 11, 05

+0, 9(0, 15)

1, 052 +0, 9(0, 85)(0, 2)

1, 053

]

= 10,49563

A1x:3 = vqx + v2 pxqx+1 + v3 px px+1qx+2 = 0, 349854

ax:2 = 1 + vpx = 1, 857143

10.000(A1x:3 ) + (108, 8 + 0, 286G) + 10, 49563 = Gax:2

G = 2.302, 677

Jawab: C.

9. Diberikan suatu rate kematian sebagai berikut:

q75 = 0, 01

q76 = 0, 02

q77 = 0, 04

i = 0, 05

Hitung a75:3

135


(A) 1,85

(B) 2,34

(C) 2,82

(D) 3,43

(E) 3,77

Pembahasan

Kita akan menghitung nilai dari a75:3 .

a75:3 = 1 + v p75 + v22 p75

= 1 + 1, 05−1(0, 99) + 1, 05−2(0, 99)(0, 98)= 2,8229

Jawab: C.

10. Untuk suatu “fully discrete whole life” dari manfaat kematian 1 di usia (25) diberikan:

• P25 = 0, 01128

• P25:1

15 = 0, 05107

• P25:15 = 0, 05332

Hitunglah “net premium reserve” untuk manfaat kematian 25.000 pada akhir tahun ke 15.

(A) 4.420

(B) 4.460

(C) 4.500

(D) 4.540

(E) 4.580

Pembahasan

Kita akan mencari terlebih dahulu nilai dari P125:15 .

P25:15 = P25:1

15 + P125:15

0,05332 = 0, 05107 + P125:15

P125:15 = 0,00225

P125:15 = P25 − P25:

115 A40

0,00225 = 0, 01128− 0, 05107(P40)P40 = 0,1768

15V = 25.000P40 = 4.420

Jawab: A.

136


11. Untuk suatu “independent lives” (x) dan (y):

• qx = 0, 05

• qy = 0, 1

• Kematian berdistribusi seragam pada setiap tahun usia

Hitung 0,75qxy

(A) 0,1088

(B) 0,1097

(C) 0,1106

(D) 0,1116

(E) 0,1125

Pembahasan

Untuk independent lives x dan y,

0,75qxy = 1− 0,75 pxy

= 1− (0,75 px)(0,75 py)

= 1− (1− 34 (0, 05))(1− 3

4 (0, 1))= 0,109688

Jawab: B.

12. Kematian berdistribusi seragam diantara “integral ages”. Manakah diantara pernyataan berikutyang merepresentasikan 3/4 px +

12 ·1/2 px · µx+1/2?

(A) 3/4 px

(B) 3/4qx

(C) 1/2 px

(D) 1/2qx

(E) 1/4 px

Pembahasan

Diketahui kematian berdistribusi seragam di antara ’integral ages’.

34

px +12 1

2pxµx+ 1

2= 3

4px +

12 qx

= (1− 34 qx) +

12 qx

= 1− 14 qx

= 1− 14qx

= 14

px

Jawab: E.

137


13. Diberikan fungsi survival S0(x) dimana:

S0(x) =

1, 0 ≤ x < 1

1− ex

100 , 1 ≤ x < 4, 5

0, x ≥ 4, 5

Hitung nilai dari µ4.

(A) 0,45

(B) 0,55

(C) 0,8

(D) 1

(E) 1,2

Pembahasan

Kita akan terlebih dahulu menentukan µx+t.

µx+t = − ddt ln S0(x+t)

S0(x)

= − ddt

[ln(

1− ex+t

100

)− ln

(1− ex

100

)]

=1

1− ex+t

100

(ex+t

100

)Maka,

µ4 =e4

100

1− e4

100

= 1, 2

Jawab: E.

14. Untuk suatu “triple decrement” tabel, diberikan:

(i) µ(1)x+t = 0, 3, t > 0

(ii) µ(2)x+t = 0, 5, t > 0

(iii) µ(3)x+t = 0, 7, t > 0

Hitung q(2)x

(A) 0,26

(B) 0,3

(C) 0,33

138


(D) 0,36

(E) 0,39

Pembahasan

Kita akan terlebih dahulu menentukan t p(τ)x .

t p(τ)x = e−∫ t

0 ∑i µ(i)x+udu

= e−∫ t

0 0,3+0,5+0,7du

= e−1,5t

Sehingga:

q(2)x =∫ 1

0t p(τ)x µ

(2)x+tdt

=∫ 1

0e−1,5t(0, 5)dt

= 0,25896

Jawab: A.


(i) µx+t = 0, 01; 0 ≤ t < 5

(ii) µx+t = 0, 02; t ≥ 5

(iii) δ = 0, 06

Hitung ax

(A) 12,5

(B) 13

(C) 13,4

(D) 13,9

(E) 14,3

Pembahasan

Kita akan menghitung nilai dari ax.

139


ax =∫ ∞

0e−δt

t pxdt

=∫ 5

0e−0,06te−0,01tdt +

∫ ∞

0e−0,06(5)e−0,01(5)e−0,06te−0,02tdt

= 4,218742 + 8,808601= 13,02734

Jawab: B.


µx =

0, 04, 0 < x < 40

0, 05 x ≥ 40

Hitung e25:25

(A) 14

(B) 14,4

(C) 14,8

(D) 15,2

(E) 15,6

Pembahasan

Kita akan menghitung nilai dari e25:25 .

e25:25 =∫ 25

0t p25dt

=∫ 15

0e−0,04tdt + e−0,04(15)

∫ 10

0e−0,05tdt

= 15,59852

Jawab: E.

17. Untuk suatu “continuous whole life annuity” dari 1 pada (x):

(i) Tx adalah “future lifetime” variabel acak untuk (x)

(ii) “force of interest” dan “force of mortality” adalah konstan dan bernilai sama

(iii) ax = 12, 5

Hitunglah standar deviasi dari aTx(pembulatan terdekat)

140


(A) 1,67

(B) 2,5

(C) 2,89

(D) 6,25

(E) 7,22

Pembahasan

Diketahui bahwa ax = 12, 5. Karena Force of interest dan Force of mortality konstan, maka

ax =1

µ + δ. Kita dapat menghitung bahwa µ + δ =

1ax

=1

12, 5= 0, 08. Jadi, µ = δ =

0, 04.

Ax =µ

µ + δ=

0, 040, 08

=12

2 Ax =µ

µ + 2δ=

0, 040, 12

=13

Var =1δ2

[2 Ax − (Ax)

2]=

10, 042

[13−(

12

)2]= 52, 0833

Std =√

Var =√

52, 0833 = 7, 22

Jawab: E.

18. Diberikan suatu fungsi survival:

S0(t) = 1− (0, 01t)2, 0 ≤ t ≤ 100

Hitung e30:50

(A) 27

(B) 30

(C) 34

(D) 37

(E) 41

Pembahasan

Kita akan menghitung e30:50 .

141


e30:50 =∫ 50

0t p30dt

=∫ 50

0

S(30 + t)S(30)

dt

=∫ 50

0

1−(

1100 (30 + t)

)2

1−(

1100 30

)2 dt

= 37,1795

Jawab: D.


(i) Ax = 0, 28

(ii) Ax+20 = 0, 4

(iii) Ax:1

20 = 0, 25

(iv) i = 0, 05

Hitung ax:20

(A) 11

(B) 11,2

(C) 11,7

(D) 12

(E) 12,3

Pembahasan

Kita ketahui bahwa Ax:1

20 = 20Ex.

A1x:20 = Ax − 20Ex Ax+20

= 0, 28− 0, 25(0, 4)= 0,18

Ax:20 = A1x:20 + Ax:

120 = 0, 18 + 0, 25 = 0, 43

ax:20 =1− Ax:20

d=

1− 0, 430,051,05

= 11, 97

ax:20 = ax:20 − 1 + 20Ex = 11, 97− 1 + 0, 25 = 11, 22

Jawab: B.

142


20. Suatu “5-year temporary life annuity-immediate” pada (x) membayar 10 per tahun diberikan:

(i) A1x:5 = 0, 04

(ii) 2 A1x:5 = 0, 03

(iii) 5 px = 0, 94

(iv) i = 0, 05

Hitunglah variansi dari “present value 5-year annuity immediate” tersebut (pembulatan ter-dekat)

(A) 53,8

(B) 73,8

(C) 120,8

(D) 162,8

(E) 200,8

Pembahasan

Ax:5 = A1x:5 + Ax:

15 = 0, 04 + (0, 94)1, 05−5 = 0, 7765

2 Ax:5 = 2 A1x:5 + 2 Ax:

15 = 0, 03 + (0, 94)1, 05−10 = 0, 6071

Var(Y) =1i2

[2 Ax:5 −

(Ax:5

)2]=

10, 052 [0, 6071− 0, 77652] = 1, 6591

Karena terdapat pembayaran sebesar 10 per tahun, maka sama saja dengan mencari:

Z = 10Y

Var(Z) = Var(10Y) = 100 ·Var(Y) = 165, 91


(i) Px = 0, 09

(ii) “net premium reserve” pada saat akhir tahun ke n untuk suatu “fully discrete whole lifeinsurance” dari 1 pada (x) adalah 0,563

(iii) Px:1n = 0, 00864

Hitunglah P1x:n

(A) 0,008

(B) 0,024

143


(C) 0,04

(D) 0,065

(E) 0,085

Pembahasan

nVx = 1(Px+n) = 0, 563

P1x:n = Px − Px:

1n · Px+n

= 0, 09− 0, 00864(0, 563)= 0,085136

Jawab: E.

22. Suatu “fully continuous whole life insurance” yang memiliki manfaat sebesar 1:

(i) µx = 0, 04, x > 0

(ii) δ = 0, 08

(iii) L adalah suatu variabel acak “loss-at-issue” pada “net premium”

Hitunglah Var(L)

(A) 1/10

(B) 1/5

(C) 1/4

(D) 1/3

(E) 1/2

Pembahasan

Pertama, kita cari dahulu besar premi netto.

Ax = P · ax

Ax = P1− Ax

δ

P =δAx

1− Ax

=0, 08( 1

3 )

1− 13

= 0,04

144


Kita dapat mendefinisikan variabel acak L sebagai:

L = 1(Ax)− P(ax)

= Ax − P1− Ax

δ

=(

1 +Pδ

)Ax −

Pδ

Var(L) = Var[(1 +

Pδ)Ax −

Pδ

]

=(

1 +Pδ

)2Var(Ax)

=(

1 +0, 040, 08

)2 [2 Ax − (Ax)

2]

= 1.52

[µ

µ + 2δ−(

µ

µ + δ

)2]

= 0,2

Jawab: B.

23. Let X1, X2, ..., Xn suatu variabel acak yang bebas, sehingga setiap Xi memiliki ”expectedvalue µ” dan variansi σ2. Jika Sn = X1 + X2 + ... + Xn, maka nilai dari E[Sn] adalah

(A) µ

(B) µ/n

(C) nµ

(D) nXi

(E) ∞

Pembahasan

E[Sn] = E[X1 + X2 + ... + Xn]

Karena masing-masing variabel acak Xi independen satu sama lain,

E[Sn] = E[X1] + E[X2] + ... + E[Xn] = µ + µ + ... + µ = nµ

Jawab: C.

145


24. Hitunglah nilai dari Var(Sn) pada soal nomor 23.

(A) δ

(B) δ2

(C) nδ

(D) nδ2

(E) δ2/n

Pembahasan

Var(Sn) = Var(X1 + X2 + ... + Xn)

Karena masing-masing variabel acak Xi independen satu sama lain, Cov(Xi, Xj) = 0 untuksetiap i 6= j.

Var(Sn) = nVar(Xi) = nσ2

Jawab: D.

25. Manakah diantara pernyataan berikut yang benar?

(1)Px(1− Ax)

Ax= d

(2)Px

Ax − Px(1− Ax)= i

(3)Ax − Px(1− Ax)

Ax= v

(A) 1

(B) 1,2

(C) 1,3

(D) 2,3

(E) 1,2,3

Pembahasan

Pernyataan 1:Px(1− Ax)

Ax= d

Px =d(Ax)

1− Ax=

Ax1−Ax

d

=Ax

ax

146


Pernyataan 2: Gunakan persamaan yang telah kita peroleh dari bagian (1)

d =Px(1− Ax)

Ax

i1 + i

=Px(1− Ax)

Ax

i =Px(1− Ax)

Ax+ i

Px(1− Ax)

Ax

i

(1− Px(1− Ax)

Ax

)=

Px(1− Ax)

Ax

i

(Ax − Px(1− Ax)

Ax

)=

Px(1− Ax)

Ax

i =Px(1− Ax)

Ax − Px(1− Ax)

Jadi pernyataan (2) salah

Pernyataan 3:Ax − Px(1− Ax)

Ax= v = 1− d

1− Px(1− Ax)

Ax= 1− d

Px(1− Ax)

Ax= d

Lalu seperti Pernyataan 1.

Jawab: C.

26. Untuk suatu asuransi seumur hidup dengan benefit 1 pada usia (41) dengan benefit kematiandibayarkan pada akhir tahun kematian, diberikan sebagai berikut:

(i) i = 0, 05

(ii) p40 = 0, 9972

(iii) A41 − A40 = 0, 00822

(iv) 2 A41 − 2 A40 = 0, 00433

(v) Z adalah nilai sekarang dari variabel acak untuk asuransi ini

Hitunglah Var (Z)

(A) 0,023

(B) 0,024

(C) 0,025

147


(D) 0,026

(E) 0,027

Pembahasan

Kita dapat menulis ulang A41 − A40 = 0, 00822 sebagai

A40 = A41 − 0, 00822

Dengan menggunakan rumus rekursif Ax = vqx + v px Ax+1,

A40 = 1.05−1 q40 + 1.05−1 p40 A41

Kita ketahui juga bahwa p40 = 0, 9972 dan q40 = 1− p40 = 0, 0028. Maka kita peroleh

A41 = 0, 216496

Apabila kita ingin menggunakan rumus rekursif 2 Ax = (v∗)qx + (v∗)px(2 Ax+1), kita harusmenghitungnya dengan tingkat suku bunga yang dikuadratkan juga. Tingkat suku bunga yangbaru (j) menjadi 1 + j = (1 + 5%)2 = 1, 1025 sehingga v∗ = 1, 1025−1. Maka kita peroleh

2 A41 = 0, 071926

Kita dapat mencari variansinya:

Var(Z) = 2 A41 − A241 = 0, 025056

Jawab: C.

Soal dibawah ini digunakan untuk nomor 27-30

Anda diberikan suatu fungsi survival untuk suatu kelahiran baru (“newborn”)

S0(t) =(121− t)1/2

k, t ∈ [0, ω]

27. Hitunglah nilai dari k sehingga S0(t) menjadi fungsi survival yang valid

(A) 11

(B) 12

148


(C) 13

(D) 14

(E) 15

Pembahasan

Untuk menjadi fungsi survival yang valid, S0(0) = 1. Oleh karena itu,

√121− 0

k= 1

Maka, nilai k adalah 11.

Jawab: A.

28. Hitunglah batas atas usia ω untuk fungsi survival tersebut

(A) 91

(B) 101

(C) 111

(D) 121

(E) 131

Pembahasan

Pertama, kita akan menentukan bentuk dari f (t).

f (t) = − ddt

S0(t)

= − ddt

√121− t

11

=122

(121− t)−12

Agar memenuhi fungsi survival tersebut,

1 =∫ w

0

122

(121− t)−12 dt

22 =∫ w

0(121− t)−

12 dt

w = 121

Jawab: D.

29. Hitunglah nilai dari e0 dari fungsi survival tersebut (pembulatan terdekat)

149


(A) 81

(B) 95

(C) 105

(D) 121

(E) 140

Pembahasan

Kita akan menghitung nilai dari e0.

e0 =∫ 121

0S0(t)dt

=∫ 121

0

√121− t

11dt

= 81

Jawab: A.

30. Hitunglah peluang, dengan menggunakan fungsi survival diatas, orang yang berusia (57)meninggal antara usia 84 dan 100 (pembulatan terdekat)

(A) 0,11

(B) 0,15

(C) 0,16

(D) 0,18

(E) 0,19

Pembahasan

Peluang orang yang berusia (57) meninggal antara usia 84 dan 100 dapat dinotasikan dengan

27|16q57.

27|16q57 = (27 p57)(16q84)

=S0(84)S0(27)

(1− S0(100)

S0(84)

)

=

√37−

√21√

64

= 0,1875 = 0,19

Jawab: E.

150

7 Periode Juni 2015

1. Diketahui sebagai berikut :

(i) Usia saat kematian berdistribusi seragam (UDD).

(ii) e20 = 30

Hitunglah q20

A. 1/60

B. 1/70

C. 1/80

D. 1/90

E. 1/100

Pembahasan:Diketahui bahwa usia kematian berdistribusi seragam dan e20 = 30. Berdasarkan rumusDe’Moivre, kita peroleh:

ex =ω− x

2

e20 =ω− 20

2= 30

Dengan demikian kita dapatkan ω = 80. Selanjutnya kita akan mencari nilai q20

tqx =t

ω− x

q20 =1

80− 20=

160

Jadi q20 =160

Jawab: A.

2. Diketahui bahwa i = 0.Manakah diantara pernyataan berikut yang sama dengan Ax:30 ?

A. 30 px

151

7 Periode Juni 2015

B. 30qx

C. 30|px

D. px+30

E. 1

Pembahasan:Diberikan i = 0.

Ax:30 = A1x:30 + Ax:

130

=29

∑k=0

vkk|qx + v30

30 px

karena i = 0 maka kita dapatkan :

Ax:30 =29

∑k=0

k|qx + 30 px

= 30qx + 30 px

= 1

Jawab: E.

3. Z adalah nilai sekarang dari variabel acak (present value random variable) untuk ”15-tahunpure endowment dengan benefit sebesar 1 pada (x)”.

(i) Force of mortality adalah konstan selama periode 15 tahun.

(ii) v = 0, 9

(iii) Var(Z) = 0, 065E[Z]

Hitunglah qx

A. 0,020

B. 0,025

C. 0,030

D. 0,035

E. 0,040

152

7 Periode Juni 2015

Pembahasan:

Var(Z) = E(Z2)− (E(Z))2

= v3015 px − (v15

15 px)2

= v3015 px − v30(15 px)

2

= v3015 px(1− 15 px)

= v3015 px 15qx

Diketahui Var(Z) = 0, 065E[Z], dengan demikian kita peroleh:

v3015 px 15qx = 0, 065v15

15 px

v1515qx = 0, 065

15qx =0, 065(0, 9)15

= 0, 3157

karena force of mortality adalah konstan, maka kita dapatkan:

15qx = 1− e−µ(15) = 0, 3157

µ =ln(1− 0, 3157)

−15

=ln(0, 6843)−15

= 0, 02529

Selanjutnya kita akan mencari nilai dari qx

qx = 1− e−µ

= 1− e−0,02529

= 0, 025

Jawab: B.


(i) Px:1n = 0, 250

(ii) Px = 0, 035

(iii) nvx = 0, 110

153

7 Periode Juni 2015

Hitunglah 1000P1x:n

A. 7,5 B. 8,0 C. 8,5 D. 9,0 E. 9,5

Pembahasan:

Px = P1x:n +n vx Px:

1n

0, 035 = P1x:n + (0, 110)(0, 250)

P1x:n = 0, 0075

Dengan demikian 1000P1x:n = 7, 5

Jawab: A.

5. Diketahui dari suatu tabel double-decrement:

(i) q(1)71 = 0, 02

(ii) q(2)71 = 0, 06

(iii) Setiap decrement berdistribusi seragam (UDD) pada setiap tahun usia dalam tabel double-

decrement.

Hitunglah 1000q′(1)71 .

A. 20,57 B. 20,59 C. 20,61 D. 20,63 E. 20,65

Pembahasan:

q(τ)71 = q(1)71 + q(2)71

= 0, 02 + 0, 06

= 0, 08

p(τ)71 = 1− q(τ)71

= 0, 92

karena setiap decrement berdistribusi seragam, maka kita peroleh:

p′(1)71 = p

(τ)q(1)71

q(τ)7171

= (0, 92)0,020,08

= (0, 92)14

154

7 Periode Juni 2015

dan

q′(1)71 = 1− p

′(1)71

= 1− (0, 92)14

= 0, 02062964

Dengan demikian 1000q′(1)71 = 20, 62964 ≈ 20, 63

Jawab: D.

6. Untuk suatu model ”2-year selection and ultimate mortality”, diketahui:

(i) q[x]+1 = 0, 96qx+1

(ii) l76 = 76.213

(iii) l77 = 75.880

Hitunglah l[75]+1

A. 75.900

B. 76.000

C. 76.100

D. 76.200

E. 76.300

Pembahasan:

q[75]+1 =l[75]+1 − l77

l[75]+1

q75+1 = q76 =l76 − l77

l76

Diketahui bahwa q[x]+1 = 0, 96qx+1. Dengan demikian kita peroleh:

q[75]+1 = 0, 96q76

l[75]+1 − l77

l[75]+1= 0, 96

(l76 − l77

l76

)l[75]+1 − 75.880

l[75]+1= 0, 96

(76.213− 75.880

76.213

)

Dengan menyelesaikan persamaan di atas, kita dapatkan:

l[75]+1 = 76.199, 624 ≈ 76.200

155

7 Periode Juni 2015

Jawab: D.

7. Asuransi seumur hidup diskrit sepenuhnya (fully discrete whole life) dengan nilai pertanggun-gan 10.000 pada (x), diberikan:

(i) Kematian berdistribusi uniform setiap tahun usia (UDD)

(ii) Premi manfaat tahunan adalah 645,5

(iii) Cadangan premi pada akhir tahun ke-4 sebesar 1.000

(iv) qx+4 = 0, 04

(v) i = 0, 03

Hitunglah cadangan premi pada akhir tahun ke 4,5

A. 1.323

B. 1.349

C. 1.500

D. 1.525

E. 1.542

Pembahasan:Diberikan: Nilai pertanggungan (b) = 10.000.Premi manfaat tahunan (P) = 645,5Cadangan premi pada akhir tahun ke-4 (4V) = 1000

qx+4 = 0, 04

i = 0, 03

Karena kematian berdistribusi seragam, maka:

sqx+4 = s.qx+4

s px+4 = 1− sqx+4

dengan demikian

0,5qx+4 = 0, 5.qx+4

= (0, 5)(0, 04)

= 0, 02

156

7 Periode Juni 2015

dan

0,5 px+4 = 1− 0, 02

= 0, 98

berikutnya, kita akan menggunakan rumus rekursif untuk menghitung cadangan premi padaakhir tahun ke 4,5.

(nV + P)(1 + i)s = v1−sb sqx+h + s px+h h+sV

subtitusikan n = 4, s = 0, 5, dan h = 4, sehingga kita peroleh:

(4V + P)(1 + i)0,5 = v0,5b 0,5qx+4 + 0,5 px+4 4,5V

(1000 + 645, 5)(1, 03)0,5 = 1, 03−0,5(10.000)(0, 02) + (0, 98) 4,5V

4,5V =(1000 + 645, 5)(1, 03)0,5 − 1, 03−0,5(10.000)(0, 02)

0, 98

= 1.502, 99

≈ 1.500

Jawab: C.

8. Diberikan suatu fungsi survival S0(x) ,dimana:S0(x) = 1 , 0 ≤ x < 1

S0(x) = 1− ex

100, 1 ≤ x < 4, 5

S0(x) = 0 , 4, 5 ≤ x

Hitunglah nilai dari µ4

A. 0,45 B. 0,55 C. 0,80 D. 1,00 E. 1,20

Pembahasan:

µx+t = −S′x(t)Sx(t)

karena kita ingin mendapatkan nilai dari µ4, maka kita akan menggunakan S0(x) untuk 1 ≤x < 4, 5

S0(x) = 1− ex

100

S′0(x) = − ex

100

157

7 Periode Juni 2015

dengan demikian kita peroleh:

µ4 = −S′0(4)S0(4)

=

e4

100

1− e4

100

=e4

100− e4 = 1, 203 ≈ 1, 2

Jawab: E.

9. Suatu asuransi seumur hidup (whole life insurance) dengan benefit 1 pada (X), diketahui:

(i) Force of mortality adalah µx+t.

(ii) Benefit dibayarkan pada saat kematian (moment of death)

(iii) δ = 0, 06

(iv) Ax = 0, 60

Hitunglah A′x (revised expected present value) dari asuransi ini dengan mengasumsikan µx+t

naik sebesar 0,03 untuk semua t dan δ turun sebesar 0,03.

A. 0,5 B. 0,6 C. 0,7 D. 0,8 E. 0,9

Pembahasan:Pada kasus ini, diketahui bahwa force of mortality dan force of interest adalah konstan, se-hingga nilai saat ini dari asuransi seumur hidup adalah:

Ax =µ

µ + δ

dengan µ adalah force of mortality dan δ adalah force of interest.

0, 60 =µ

µ + 0, 06

µ = 0, 09

Berikutnya diasumsikan bahwa µx+t naik sebesar 0,03 dan δ turun sebesar 0,03. Dengandemikian kita peroleh:

µ′ = 0, 09 + 0, 03 = 0, 12

158

7 Periode Juni 2015

dan

δ′ = 0, 06− 0, 03 = 0, 03

Revised expected present value dari asumsi ini adalah:

A′x =µ′

µ′ + δ′

=0, 12

0, 12 + 0, 03

= 0, 8

Jawab: D.


(i) Ax = 0, 22

(ii) Ax+25 = 0, 46

(iii) Ax:1

25 = 0, 20

(iv) i = 0, 06

Hitunglah ax:25

A. 9,8

B. 10,1

C. 10,4

D. 10,9

E. 11,1

Pembahasan:Pertama-tama kita akan menghitung nilai dari A1

x:25

A1x:25 = Ax − A1

x:25 Ax+25

= 0, 22− (0, 20)(0, 46)

= 0, 128

159

7 Periode Juni 2015

Berikutnya kita akan menghitung nilai dari Ax:25

Ax:25 = A1x:25 + Ax:

125

= 0, 128 + 0, 20

= 0, 328

selanjutnya menggunakan hubungan antara expected present value dari anuitas jiwa dan ex-

pected present value dari asuransi jiwa.

ax:25 =1− Ax:25

d

=1− 0, 328

0,061,06

= 11, 872


ax:25 = ax:25 − 1 + Ax:1

25

= 11, 872− 1 + 0, 2

= 11, 072 ≈ 11, 1

Jawab: E.

11. Dua orang aktuaris menggunakan tabel mortalitas yang sama untuk menghitung premi darisebuah asuransi fully discrete 2-year endowment dari benefit 1000 pada (x)

(i) Kevin menghitung non-level benefit premiums dari 608 untuk tahun pertama dan 350untuk tahun kedua.

(ii) Kira menghitung level annual benefit premiums dari π

(iii) d = 0, 05

Hitunglah π.

A. 482 B. 489 C. 497 D. 508 E. 517

Pembahasan:Kedua premi memiliki present value yang sama, dan nilai tersebut juga sama dengan present

value dari benefit. Hal ini berarti:

EPVkevin(premium) = EPVkira(premium) = EPV(bene f it)

608 + 350 v px = π(1 + v px) = 1000 v qx + 1000 v2 px

160

7 Periode Juni 2015

karena diberikan v = 1− d = 0, 95, maka kita bisa mendapatkan nilai dari px dengan menye-lesaikan bagian pertama dan ketiga dari persamaan di atas.

608 + 350(0, 95)(px) = 1000(0, 95)(qx) + 1000(0, 95)2(px)

608 + 332, 5(px) = 950(1− px) + 902, 5(px)

380 px = 342

px = 0, 9

subtitusikan nilai px = 0, 9 ke dalam bagian pertama dan kedua dari persamaan awal, se-hingga kita peroleh:

608 + 350(0, 95)(0, 9) = π(1 + (0, 95)(0, 9))

π = 489, 1 ≈ 489

Jawab: B.

12. Untuk suatu asuransi fully discrete whole life dari benefit 1000 pada (20), diberikan sebagaiberikut:

(i) 1.000P20 = 10

(ii) Cadangan benefit untuk asuransi ini adalah

(a) 20V = 490

(b) 21V = 545

(c) 22V = 605

(iii) q40 = 0, 022

Hitunglah q41

A. 0,024

B. 0,025

C. 0,026

D. 0,027

E. 0,028

Pembahasan:Diberikan 1000P20 = 10 dan b = 1.000 Menggunakan rumus rekursif untuk cadangan bene-fit:

(hV + Ph)(1 + i) = h+1V + qx+h(b− h+1V)

161

7 Periode Juni 2015


(20V + 1000P20)(1 + i) = 21V + q40(b− 21V)

(490 + 10)(1 + i) = 545 + (0, 022)(1.000− 545)

(500)(1 + i) = 555, 01

(1 + i) =555, 01

500

dan

(21V + 1000P21)(1 + i) = 22V + q41(b− 22V)

(545 + 10)

(555, 01

500

)= 605 + q41(1.000− 605)

616, 0611 = 605 + 395 q41

q41 = 0, 028002

q41 ≈ 0, 028

Jawab: E.

13. Manakah diantara pernyataan berikut yang benar?

(1)Px(1− Ax)

Ax= d

(2)Px

Ax − Px(1− Ax)= i

(3)Ax − Px(1− Ax)

Ax= v

A. 1

B. 1,2

C. 1,3

D. 2,3

E. 1,2,3

Pembahasan:

(1) Px =Ax

ax=

Ax(1−Ax)

d

dengan demikian d =Px(1− Ax)

AxJadi pernyataan (1) benar

162

7 Periode Juni 2015

(2) Gunakan persamaan yang telah kita peroleh dari bagian (1)

d =Px(1− Ax)

Ax

i1 + i

=Px(1− Ax)

Ax

i =Px(1− Ax)

Ax+ i

Px(1− Ax)

Ax

i

(1− Px(1− Ax)

Ax

)=

Px(1− Ax)

Ax

i

(Ax − Px(1− Ax)

Ax

)=

Px(1− Ax)

Ax

i =Px(1− Ax)

Ax − Px(1− Ax)

Jadi pernyataan (2) salah

(3)

d =Px(1− Ax)

Ax

1− v =Px(1− Ax)

Ax

v = 1− Px(1− Ax)

Ax

v =Ax − Px(1− Ax)

Ax

Jadi pernyataan (3) benar

Jwab: C.

14. Diberikan sebagai berikut :

µx = 0, 05 50 ≤ x < 60

µx = 0, 04 60 ≤ x < 70

Hitunglah 4|14q50

A. 0,38

B. 0,39

C. 0,41

D. 0,43

163

7 Periode Juni 2015

E. 0,44

Pembahasan:

10 p50 = e−∫ 10

0 0,05dt = e−0,05(10) = e−0,5 = 0, 6065

4 p50 = e−∫ 4

0 0,05dt = e−0,05(4) = e−0,2 = 0, 8187

8 p60 = e−∫ 8

0 0,04dt = e−0,04(8) = e−0,32 = 0, 7261

18 p50 = 10 p50 × 8 p60 = 0, 6065× 0, 7261 = 0, 4404

dengan demikian

4|14q50 = 4 p50 −18 p50

= 0, 8187− 0, 4404

= 0, 3783

≈ 0, 38

Jawab: A.

Gunakan informasi dibawah ini untuk pertanyaan no 15-17 (dibulatkan ke angka terdekat)Suatu ”fully discrete 2-payment, 3-year term insurance” dengan benefit kematian 10.000 pada(x) diberikan :

(i) i = 0, 05

(ii) qx = 0, 1 qx+1 = 0, 15 qx+2 = 0, 20

(iii) Kematian adalah satu-satunya decrement

(iv) Biaya, dibayarkan pada saat awal tahun, adalah:

Tahun Polis Per PolisPer 1.000 dari

benefit kematian% dari gross

premium

1 25 4,5 0,20

2 10 1,5 0,10

3 10 1,5 -

(v) Biaya tambahan, dibayarkan pada akhir tahun saat terjadi kematian, sebesar 20 per polisditambahkan 1 per 1.000 dari benefit kematian

(vi) G adalah gross premium tahunan untuk asuransi ini

(vii) Net single premium untuk asuransi ini adalah 3.499

164

7 Periode Juni 2015

15. Hitunglah nilai dari present value yang diharapkan semua biaya dalam G.

A. 101,9 + 0,286G

B. 108,8 + 0,286G

C. 119,3 + 0,286G

D. 182,2 + 0,286G

E. 546,8 + 0,286G

Pembahasan:Di Anulir

16. Hitunglah G dengan menggunakan prinsip ekuivalen

A. 1.597 B. 2.296 C. 2.303 D. 2.343 E. 2.575


17. Hitunglah gross premium reserve untuk asuransi ini pada saat akhir tahun 1

A. 670 B. 710 C. 860 D. 920 E. 950


18. Untuk suatu tabel double-decrement, diberikan:

(i) q′(2)x = 2q

′(1)x

(ii) q′(1)x + q

′(2)x = q(τ)x + 0, 18

Hituglah q′(2)x

A. 0,2

B. 0,3

C. 0,4

D. 0,6

E. 0,7

165

7 Periode Juni 2015

Pembahasan:

q′(1)x + q′(2)x = 1− p(τ)x + 0, 18

= 1− p′(1)x p′(2)x + 0, 18

= 1− (1− q′(1)x )(1− q′(2)x ) + 0, 18

= 1− (1− q′(1)x − q′(2)x + q′(1)x q′(2)x ) + 0, 18

= q′(1)x + q′(2)x − q′(1)x q′(2)x + 0, 18

dengan demikian kita dapatkan:

q′(1)x q′(2)x = 0, 18

q′(1)x (2q′(1)x ) = 0, 18

(q′(1)x )2 = 0, 09

q′(1)x = 0, 3

Diperoleh q′(2)x = 2q′(1)x = 0, 6

Jawab: D.

19. Untuk suatu tabel double-decrement, diberikan:

(i) q′(2)x =

18

(ii) 1|q(1)x =

14

(iii) q(1)x+1 =13

Hitunglah q′(1)x

A. 1/4

B. 1/5

C. 1/6

D. 1/7

E. 1/8

166

7 Periode Juni 2015

Pembahasan:

1|q(1)x = p(τ)x q(1)x+1

14= p(τ)x .

13

kita peroleh p(τ)x =34

. Berikutnya substitusikan nilai tersebut ke dalam persamaan di bawahini.

p(τ)x = p′(1)x p′(2)x

34= (1− q′(1)x )(1− q′(2)x )

= (1− q′(1)x )(1− 18)

= (1− q′(1)x )(78)

Dengan menyelesaikan persamaan di atas, kita dapatkan q′(1)x =17

Jawab: D.

20. Diberikan suatu kematian mengikuti lx = 100− x, 0 ≤ x ≤ 100.Hitunglah e85,2

A. 6.890

B. 6.895

C. 6.900

D. 6.905

E. 6.910

Pembahasan:

e85,2 =14

∑k=1

k p85,2

=14

∑k=1

14, 8− k14, 8

= 14− (14)(15)/214, 8

= 6, 90541

≈ 6, 905

167

7 Periode Juni 2015

Jawab: D

21. Jika diketahui sebagai berikut:

(i) Kematian berdistribusi uniform dengan ω = 100

(ii) x dan y adalah independent lives pada usia 90 untuk keduanya

Hitunglah peluang last survivor dari x dan y akan meninggal antara usia 95 dan 96

A. 0,05 B. 0,06 C. 0,10 D. 0,11 E. 0,20

Pembahasan:

t|uqxy = t+uqxy − tqxy

karena x dan y adalah independent, serta keduanya memiliki usia yang sama. maka persamaandi atas dapat kita tuliskan lagi menjadi:

t|uqxy = t+uqx t+uqy − tqx tqy

= (t+uqx)2 − (tqx)

2

selanjutnya, karena diketahui bahwa kematian berdistribusi seragam dengan ω = 100, makakita peroleh:

6q90 =6

100− 90=

610

dan

5q90 =5

100− 90=

510

dengan demikian peluang last survivor dari x dan y akan meninggal antara 95 dan 96 adalah

5|q90:90 =

(6

10

)2

−(

510

)2

=11100

= 0, 11

Jawab: D.

168

7 Periode Juni 2015

22. Jika diketahui µx = 1/(100− x) ; 0 < x < 100Hitunglah e80:90

A. 3,17

B. 4,17

C. 4,57

D. 4,67

E. 5,00

Pembahasan:Diketahui bahwa kematian berdistribusi seragam dengan laju kematian adalah:

µx =1

(100− x); 0 < x < 100

E(Tx) =ω− x

2dengan ω = 100

E(T80) =100− 80

2= 10

E(T90) =100− 90

2= 5

Nilai maksimum dari T80:90 adalah

min(100− 80, 100− 90) = min(20, 10) = 10

karena kematian berdistribusi seragam, maka:

E(Tx:y) =min(ω− x, ω− y)

2− 1

6(min(ω− x, ω− y))2

max(ω− x, ω− y)


E(T80:90) = e80:90

=102− 1

6102

20

=256

= 4, 167

≈ 4, 17

Jawab: B.

169

7 Periode Juni 2015

Gunakan informasi dibawah ini untuk pertanyaan no 23-26.Diberikan sebagai berikut:

(i) (30) dan (50) adalah suatu independent lives dengan constant force of mortality,µ = 0, 05

(ii) δ = 0, 03

23. Hitunglah 10q30:50

A. 0,155 B. 0,368 C. 0,424 D.0,632 E. 0,845

Pembahasan:

10q30:50 = 10q30 10q50

karena laju kematian adalah konstan sebesar 0,05 maka:

10q30:50 = (1− 10 p30)(1− 10 p50)

= (1− e−0,05(10))(1− e−0,05(10))

= (1− e−0,05(10))2

= 0, 15482

= 0, 155

Jawab: A.

24. Hitunglah e30:50

A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 E. 50

Pembahasan:

e30:50 =∫ ∞

0 t p30:50 dt

=∫ ∞

0t p30 + t p50 − t p30t p50 dt

=∫ ∞

0e−0,05t + e−0,05t − (e−0,05t)2 dt

=∫ ∞

02e−0,05t − e−0,1t dt

=2e−0,05t

−0, 05

∣∣∣∣∣∞

t=0

+e−0,1t

0, 1

∣∣∣∣∣∞

t=0

= 40− 10

= 30

170

7 Periode Juni 2015

Jawab: C.

25. Hitunglah Var(T30:50)

A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 E. 400

Pembahasan:karena x dan y independen, maka t pxy = t px t py

t p30:50 = t p30 t p50

= (e−µt)(e−µt)

= (e−2µt)

= e−0,1t

Berikutnya kita akan menghitung Var(T30:50)

Var(T30:50) =∫ ∞

02t t p30:50 dt−

(∫ ∞

0t p30:50 dt

)2

=∫ ∞

02t e−0,1t dt−

(∫ ∞

0e−0,1t dt

)2

= 2

(te−0,1t

(−0, 1)

∣∣∣∣∣∞

t=0

+10∫ ∞

0e−0,1t dt

)− (10)2

= 2(100)− 100

= 100

Jawab: B.

26. Hitunglah Cov(T30:50, T30:50)

A. 10 B. 25 C. 50 D. 100 E. 200

Pembahasan:karena laju kematian adalah konstan dan kedua individu saling independen, maka:

E(T30) = E(T50)

=1µ

=1

0, 05= 20

171

7 Periode Juni 2015

Dari jawaban nomor 25, diketahui bahwa:

E(T30:50) =∫ ∞

0t p30:50 dt =

∫ ∞

0e−0,1t dt = 10

dengan demikian

Cov(T30:50, T30:50) = (E(T30)− E(T30:50))(E(T50)− E(T30:50))

= (20− 10)(20− 10) = 100

Jawab: D.


(i) Ax:n = u

(ii) A1x:n = y

(iii) Ax+n = z

Hitunglah nilai dari Ax

A. (1− z)y + uz

B. (1− z)u + yz

C. (1 + z)y− uz

D. (1 + z)u− yz

E. (1 + z)u− y

Pembahasan:

Ax:n = A1x:n + Ax:

1n

u = y + Ax:1n

dengan demikian diperoleh Ax:1n = u− y. Selanjutnya kita akan menghitung nilai dari Ax.

Ax = A1x:n + Ax:

1n Ax+n

= y + (u− y)z

= y + uz− yz

= (1− z)y + uz

Jawab: A.


172

7 Periode Juni 2015

(i) Ax = 0, 632

(ii) Ax+1 = 0, 644

(iii) i = 3%

Hitunglah qx

A. qx < 0, 013

B. 0, 013 ≤ qx < 0, 015

C. 0, 015 ≤ qx < 0, 017

D. 0, 017 ≤ qx < 0, 019

E. 0, 019 ≤ qx

Pembahasan:

Ax = v qx + v px Ax+1

0, 632 =1

1, 03qx +

11, 03

(1− qx)(0, 644)

= 0, 97 qx + 0, 625(1− qx)

= 0, 625 + 0, 345 qx

dengan menyelesaikan persamaan di atas diperoleh qx = 0, 02029Jadi qx ≥ 0, 019

Jawab: E.


(i) µx+t = 0, 01 0 ≤ t < 5

(ii) µx+t = 0, 02 5 ≤ t

(iii) δ = 0, 06

Hitunglah ax

A. 12,5 B. 13,0 C. 13,4 D. 13,9 E. 14,3

Pembahasan:Untuk 0 ≤ t < 5 diperoleh:

vtt px = e−0,06te−0,01t = e−0,07t

173

7 Periode Juni 2015

Untuk t ≥ 5 diperoleh:

vtt px = e−0,06te−0,05e−0,02(t−5)

= e−0,06te−0,05e−0,02t+0,1

= e−0,08t+0,05

dengan demikian diperoleh:

ax =∫ ∞

0vt

t px dt

=∫ 5

0vt

t px dt +∫ ∞

5vt

t px dt

=∫ 5

0e−0,07tdt +

∫ ∞

5e−0,08t+0,05dt

=e−0,07t

(−0, 07)

∣∣∣∣∣t=5

t=0

+e0,05 e−0,08t

(−0, 08)

∣∣∣∣∣t=∞

t=5

= 4, 21874 + 8, 8086

= 13, 02734

≈ 13

Jawab: B.

30. Untuk S = X1 + X2 + ... + XN;

(i) X1, X2, ... setiap x berdistribusi eksponential dengan rata-rata θ

(ii) Variabel acak N, X1, X2, ... saling independen

(iii) N berdistribusi Poisson dengan rata-rata 1; dan

(iv) MS(1) = 3

Tentukan nilai dari θ

A. 0,50

B. 0,52

C. 0,54

D. 0,56

E. 0,58

Pembahasan:

174

7 Periode Juni 2015

Gunakan rumus MGF untuk compound poisson distribution

Ms(t) = MN(ln Mx(t))

= MN

(ln

11− θt

)

= eλ(eln( 11−θt )−1)

= eλ( 11−θt−1)

= eλ( θt1−θt )

Diberikan λ = 1, θ = θ, dan Ms(1) = 3, sehingga diperoleh:

Ms(1) = e(θ

1−θ ) = 3

e(θ

1−θ ) = 3

θ

1− θ= ln 3

Selesaikan persamaan di atas dan diperoleh θ =ln 3

1 + ln 3= 0, 5235 ≈ 0, 52

Jawab: B.

175


1. Sebuah variable acak dari distribusi age-at-failure, didefinisikan sebagai berikut:

F(x) = 1− 110

(100− x)1/2; 0 ≤ x ≤ 100

Carilah nilai E(X) yang paling mendekati, bila diketahui fungsi E(X) =∫ ∞

0 Sx(x)dx

A. 33,33

B. 1,67

C. 66,67

D. 203,07

E. 167,67

Pembahasan

Diketahui F(x) = 1− 110 (100− x)1/2; 0 ≤ x ≤ 100.

Lalu kita tahu bahwa S(x) = 1− F(x) = 110 (100− x)1/2 sehingga

E(X] =∫ 100

0 S(x)dx

=∫ 100

0

110

(100− x)1/2dx

=200

3Jawab: C.

2. Hitunglah nilai dari ax:4 , diketahui sebagai berikut:

ax:4 = E[Yx:4 ]

k ak k−1|qx

1 1,00 0,33

2 1,93 0,24

3 2,80 0,16

4 3,62 0,11

A. 2,2186

B. 2,2862

176


C. 2,1862

D. 2,1268

E. 2,2681

Pembahasan

Kita akan menghitung nilai dari ax:4 .

ax:4 = a1x:4 + ax:

14

=3

∑k=0

k|qx · ak+1 + 4 px · a4

dengan 4 px = 1−3

∑k=0

k|qx = 0, 27

= [(0, 33)(1) + (0, 24)(1, 93) + (0, 16)(2, 8)] + (0, 27)(3, 62)= 2,2186

Jawab: A.

3. Sebuah perusahaan mesin cuci menyediakan garansi perbaikan untuk setiap mesin baru yangdi jual. Perusahaan mengharuskan customer membayar 50 (deductible) untuk setiap per-baikan. Tabel di bawah ini menunjukkan biaya perbaikan selama ini.

Event Loss amount (x)

A 25B 52C 70D 75E 150

Hitunglah berapa variance untuk biaya yang dibayarkan oleh perusahaan pada setiap kejadiankerusakan?

A. 10.580,14

B. 10.480,24

C. 1.431,44

D. 1.341,44

E. 1.250,25

Pembahasan

Diketahui terdapat biaya minimum yang harus dibayar tertanggung (deductible) sebesar 50,sehingga biaya yang harus ditanggung perusahaan (L) menjadi x− 50.

177


Kejadian L L2

A 0 0B 2 4C 20 400D 25 625E 100 10.000

L = 29, 4 ∑ L2 = 11.029

Kita dapat menghitung variansinya.

Variansi = ∑ L2

n− L2

=11.029

5− (29, 4)2

= 1.341,44

Jawab: D.

4. Sebuah asuransi seumur hidup sebesar 1 untuk seorang berusia 41 tahun, dengan manfaatmeninggal yang dibayarkan di akhir tahun kematian. Diketahui:

• i = 5%

• P40 = 0, 9972

• A41 − A40 = 0, 00822

• 2 A41 − 2 A40 = 0, 00433

• Z adalah nilai sekarang dari variabel acak dari asuransi ini

Hitung Var(Z).

A. 0,02343

B. 0,02434

C. 0,02544

D. 0,02655

E. 0,02712

Pembahasan

Kita dapat menulis ulang A41 − A40 = 0, 00822 sebagai

A40 = A41 − 0, 00822

178


Dengan menggunakan rumus rekursif Ax = vqx + v px Ax+1,

A40 = 1.05−1 q40 + 1.05−1 p40 A41

Kita ketahui juga bahwa p40 = 0, 9972 dan q40 = 1− p40 = 0, 0028. Maka kita peroleh

A41 = 0, 216496

Apabila kita ingin menggunakan rumus rekursif 2 Ax = (v∗)qx + (v∗)px(2 Ax+1), kita harusmenghitungnya dengan tingkat suku bunga yang dikuadratkan juga. Tingkat suku bunga yangbaru (j) menjadi 1 + j = (1 + 5%)2 = 1, 1025 sehingga v∗ = 1, 1025−1. Maka kita peroleh

2 A41 = 0, 071926

Kita dapat mencari variansinya:

Var(Z) = 2 A41 − A241 = 0, 025056

Jawab: C.

5. Sebuah anuitas menaik (temporary annuity – due) membayarkan 2 pada tahun pertama, 3 ditahun kedua dan 4 di tahun ketiga. Diketahui nilai berikut:

px = 0, 8

px+1 = 0, 75

px+2 = 0, 5

v = 0, 9

Hitunglah variance terhadap nilai sekarang dari variabel acak anuitas ini (present value randomvariable)

A. 3,59

B. 4,79

C. 5,79

D. 7,59

E. 8,79

Pembahasan

179


Waktu (T) Peluang mendapat pembayaran Nilai sekarangsampai waktu T dari pembayaran

0 1− 0, 8 = 0, 2 2

1 (0, 8)(1− 0, 75) = 0, 2 2 + 3v = 4, 7

2 (0, 8)(0, 75) = 0, 6 2 + 3v + 4v2 = 7, 94

Misalkan X merupakan nilai sekarang dari pembayaran anuitas tersebut.

E[X] = (0, 2)(2) + (0, 2)(4, 7) + (0, 6)(7, 94) = 6, 1042

E[X2] = (0, 2)(2)2 + (0, 2)(4, 7)2 + (0, 6)(7, 94)2 = 43, 0442

Var(X) = E[X2]− (E[X])2 = 5, 79

Jawab: C.

6. Jika X berdistribusi seragam pada (1,3), berapakah Var (X) ?

A. 1

B. 1/3

C. 2/3

D. 3

E. 2

Pembahasan

X berdistribusi Uniform dengan batas (1, 3).

Var(X) =(3− 1)2

12=

13

Jawab: B.

7. Aktuaris A dan B menggunakan tabel mortalita yang sama untuk menghitung premi dari suatuproduk asuransi Dwiguna diskrit selama 2 tahun sebesar 1.000.

(i) Aktuaris A menghitung premi sebesar 608 di tahun pertama dan 350 di tahun kedua.

(ii) Aktuaris B menghitung level premi untuk tahun pertama dan kedua.

(iii) d = 0.05

Berapakah level premi yang dihitung Aktuaris B? (yang paling mendekati)

A. 459

B. 479

C. 489

180


D. 497

E. 517

Pembahasan

v = 1− d = 0, 95.Karena kedua aktuaris menghitung manfaat dari produk asuransi yang sama:

1.000Ax:2 = 608 + 350v px

1.000(vqx + v2 px) = 608 + 350v px

1.000(0, 95(1− px) + 0, 952 px) = 608 + 350(0, 95)px

px =950− 608

350(0, 95)− 902, 5 + 950= 0,9

Kita dapat menghitung premi dari aktuaris B, yaitu:

608 + 350(0, 95)(0, 9) = P(1 + 0, 95(0, 9))

P =608 + 350(0, 95)(0, 9)

1 + 0, 95(0, 9)= 489

Jawab: C.

8. Tentukan nilai dari Var(Y95) , bila menggunakan tingkat bunga tahunan 5% dan nilai sebagaiberikut: l95 = 100, l96 = 70, l97 = 40, l98 = 20, l99 = 4, l100 = 0, a95 = 1, 2532 dan2a95 = 1, 1403.

A. 1,0933

B. 1,0399

C. 2,0933

D. 2,2352

E. 2,2532

Pembahasan

Untuk momen kedua, kita akan menggunakan valuasi d dalam dua kali tingkat suku bungayaitu sebagai d∗. Maka d∗ = 1− ( 1

1+i )2 = 1− ( 1

1.05 )2.

a95 = 1 + a95 = 2.2532; A95 = 1− d · a95 = 0, 8936

2 a95 = 1 + 2a95 = 2, 1403; 2 A95 = 1− d∗(2 a95) = 0, 8010

Var(Y95) =2 A95 − (A95)

2

d2 =0, 8010− 0, 89362

( 0,051,05 )

2= 1, 0933

Jawab: A.

181


9. Suatu asuransi seumur hidup diskrit untuk seorang berusia 40 tahun sebesar 1.000. Diketahui:

• i = 6%

• a40:10 = 7, 7

• a50:10 = 7, 57

• 1.000A 140:20 = 60

• A40 = 0, 16132; A50 = 0, 24905 dan A60 = 0, 36913

• a40 = 14, 1866

• 10E40 = 0, 53667;10 E50 = 0, 51081 dan 20E40 = 0, 27414

Pada tahun ke 10, tertanggung ingin memilih opsi membayar hanya untuk 10 tahun berikutnya,tetapi tetap terproteksi sebesar 1.000 selama seumur hidup. Berapakah premi yang harus dibayar untuk 10 tahun berikutnya?

A. 11

B. 15

C. 17

D. 19

E. tidak ada jawaban yang benar.

Pembahasan

P = 1.000A40

a40= 1.000

0, 1613214, 8166

= 10, 89

10V = 1.000A50 − Pa50 = 1.000(0, 24905)− 10, 89(13, 26066) = 104, 6707

a40 = a40:10 + 10E40 a50

14,8166 = 7, 7 + 0, 53667a50

a50 = 13,26066

Premi yang harus dibayar untuk 10 tahun berikutnya:

10V = 1.000A50 − Pa50:10

104,6707 = 1.000(0, 24905)− P(7, 57)P = 19,07256

Jawab: D.

10. Sebuah select survival distribution didefinisikan sebagai berikut: ST(t; x) = (1 − 140−x ),

untuk 0 ≤ x < 40, dan 0 < t < 40–− X. Tentukan e30

A. 7

B. 6

C. 5

182


D. 4

E. 3

Pembahasan

Kita ketahui bahwa

tqx =t

ω− x

t px = 1− tqx = 1− tω− x

ex =ω− x

2

Oleh karena itu, kita peroleh ω = 40. Jadi:

e30 =40− 30

2= 5

Jawab: C.

11. Sebuah anuitas ditunda 10 tahun dengan pembayaran 10.000 setahun di bayarkan setiap awaltahun (10 year deferred annuity-due), di jual kepada Bapak X yang berusia 55 tahun, denganpremi neto tahunan yang dibayarkan selama masa penundaan. Sebagai tambahan, produk inijuga menyediakan pengembalian premi tanpa bunga bila Bapak X meninggal selama masapenundaan. Hitunglah premi level neto tahunan bila diketahui:

• a55:10 = 8

• a55 = 12

• (IA) 155:10 = 2, 5

A. 7.200

B. 6.872

C. 7.327

D. 7.400

E. 7.273

Pembahasan

Kita ketahui bahwa a55 = 12 dan a55:10 = 8, sehingga:

a55 = a55:10 + 10| a55

10| a55 = 4

Oleh karena itu, kita dapat menghitung premi:

183


10.00010| a55 + P(IA) 155:10 = Pa55:10

10.000(4) + P(2, 5) = P(8)P = 7.272,73

Jawab: E.

12. Sebuah kontrak dwiguna selama n tahun, dengan premi tunggal netto sebesar 600. Kontrak iniakan membayarkan sebesar 1000 bila tertanggung hidup di akhir tahun n, tetapi hanya akanmembayarkan premi netto tunggal bila tertanggung meninggal dalam n tahun.

Diketahui Ax:n = 0, 8. Hitunglah nEx.

A. 0,25

B. 0,20

C. 0,30

D. 0,35

E. 0,40

Pembahasan

Perlu diketahui bahwa Ax:1n sama dengan nEx.

P = 1.000Ax:1n + 600A1

x:n

600 = 600Ax:n + 400Ax:1n

600 = 600(0, 8) + 400nEx

600(0,2) = 400nEx

nEx = 0,3

Jawab: C.

13. Tentukan nilai dari 1000(2Vx:3 − 1Vx:3 ), bila menggunakan tingkat bunga tahunan 6% dannilai sebagai berikut: lx = 100, lx+1 = 90, Px:3 = 0, 3251

A. 330,38

B. 230,83

C. 130,83

D. 133,38

E. tidak ada jawaban yang benar

Pembahasan

Px:3 =Ax:3

ax:3=

1− 0.061.06 ax:3

ax:3

184


Karena kita ketahui bahwa Px:3 = 0, 3251 maka ax:3 = 2, 61983, serta px =lx+1

lx=

90100

=

0, 9.

ax:3 = 1 + v · px + v2 · 2 px

2, 61983 = 1 + 1, 06−1(0, 9) + 1, 06−2(0, 9)(px+1)

⇒ px+1 = 0, 962268

Dengan menggunakan rumus rekursif,

(0Vx:3 + 1.000 · Px:3 )(1 + i) = 1.000 · qx + px · 1Vx:3

⇒ 1Vx:3 = 271, 784

Kembali menggunakan rumus rekursif,

(1Vx:3 + 1.000 · Px:3 )(1 + i) = 1.000 · qx+1 + px+1 · 2Vx:3

⇒ 2Vx:3 = 618, 295

Maka,1.000(2Vx:3 − 1Vx:3 ) = 346, 511

Jawab: E.

14. Tentukan nilai dari a95, bila menggunakan tingkat bunga tahunan 6% dan nilai sebagai berikut:l95 = 100, l96 = 60, l97 = 50, l98 = 30, l99 = 6, l100 = 0.

A. 2,31

B. 3,31

C. 3,11

D. 1,31

E. 1,11

Pembahasan

Dengan tingkat suku bunga sebesar 6%,

a95 = v p95 + v22 p95 + v3

3 p95 + v44 p95

= 1, 06−1 60100 + 1, 06−2 50

100 + 1, 06−3 30100 + 1, 06−4 6

100= 1,31

Jawab: D.

185


15. Diketahui λx(x) = (80− x)−1/2 untuk 0 < x < 80. Manakah dari nilai di bawah ini yangpaling mendekati median dari distribusi T20?

A. 1,249

B. 3,249

C. 4,249

D. 5,249

E. 6,249

Pembahasan

Diketahui force of mortality λx(x) = (80− x)−1/2. Kita dapat mencari t px dari rumus

t px = e−∫ t

0 µx+sds

Maka

t p20 = e−∫ t

01√

80−20−sds

Dengan teknik substitusi integral, u = 60− s⇒ du = −ds

= e∫ t

01

u1/2 du

= e2√

60−t−2√

60

Karena kita ingin mencari median dari distribusi T20,

e2√

60−t−2√

60 = 0.5

⇒ t = 5.24898

Jawab: D.

16. Sebuah tabel penurunan multiple (mutiple decrement table) dengan kejadian meninggal (1),ketidakmampuan- disability (2) dan batal (3) dimana pembatalan hanya terjadi pada akhirtahun. Diketahui:

• q′(1)60 = 0, 01

• q′(2)60 = 0, 05

• q′(3)60 = 0, 1

• Kejadian meninggal dan ketidakmampuan berdistribusi seragam sepanjang usia yangdiasosiasikan dengan tabel penurunan single.

Hitunglah q(3)60

A. 0,094

186


B. 0,088

C. 0,089

D. 0,084

E. 0,098

Pembahasan

Karena kejadian (1) dan (2) terjadi dalam tahun tersebut, peluang seseorang bertahan hidupsampai akhir tahun adalah

p′(1)60 · p

′(2)60 = (1− 0, 01)(1− 0, 05) = 0, 9405

Peluang yang tersisa pada tahun tersebut

p′(1)60 · p

′(2)60 · p

′(3)60 = (1− 0, 01)(1− 0, 05)(1− 0, 1) = 0, 84645

Makaq(3)60 = 0, 9405− 0, 84645 = 0, 09405

Jawab: A.

17. Hitunglah premi neto tahunan dari produk asuransi selama 2 tahun dimana manfaat meninggalsebesar 1000 dibayarkan pada akhir tahun kematian. Premi neto tahunan dihitung berdasarkanequivalence principle.

Diketahui: v = 0, 9; qx = 0, 1 dan qx+1 = 0, 2

A. 330,27

B. 230,27

C. 130,27

D. 100,27


Pembahasan

Dengan menggunakan Equivalence Principle,

1.000(vqx + v2 px qx+1) = P(1 + v px)

Maka, P =1.000(0, 09 + 0, 93(0, 2))

1 + 0, 92 = 130, 2762

Jawab: C.

187


18. Bila diketahui informasi berikut:

• Var(aTx) = 100

9

• δ = 4k

• µx+t = k untuk semua t

Tentukan nilai dari k.

A. 0,02

B. 0,2

C. 0,01

D. 0,1


Pembahasan

Kita ketahui bahwa Var (aTx) = 100

9 .

Var (aTx) = 1

δ2

[2 Ax − (Ax)2]100

9=

1δ2

[µ

µ + 2δ− (

µ

µ + δ)2]

1009

=1

(4k)2

[k

k + 8k− (

kk + 4k

)2]

k = 0,02

Jawab: A.

19. Tabel kehidupan diberikan seperti di bawah ini:

x lx

0 100.0001 97.4082 97.2593 97.1604 97.081

Berapakah yang akan meninggal antara usia 2 dan 4 tahun?

A. 177

B. 178

C. 179

D. 180

E. 181

188


Pembahasan

Banyak orang yang hidup pada usia 2 adalah 97.259, sedangkan banyak orang yang hiduppada usia 4 adalah 97.081. Maka banyaknya orang yang akan meninggal antara usia 2 dan 4tahun:

97.259− 97.081 = 178

Jawab: B.

20. Hitunglah p38. Diketahui 2023V15 = 0, 585, 20

24V15 = 0, 6, i = 8%

A. 0,8482

B. 0,979

C. 0,9205

D. 0,947

E. 0,9709

Pembahasan

Kita akan mencari nilai dari p38.2023V15 = vq38 + v p38(

2024V15)

0,585 = 1, 08−1(1− p38) + 1, 08−1 p38(0, 6)p38 = 0,9205

Jawab: C.

21. Sebuah Anuitas seumur hidup ditunda yang dibayarkan di awal periode (deferred annuitydue) dengan masa penundaan selama 30 tahun, di jual kepada seseorang berusia 35 tahun.Di tawarkan juga fitur tambahan bila tertanggung meninggal selama masa penundaan, premitunggal netto yang telah di bayarkan akan di kembalikan. Hitunglah premi tunggal netto perunit dari produk asuransi tersebut bila diketahui sebagai berikut:

a65 = 9, 9

A35:30 = 0, 21

A 135:30 = 0, 07

A. 1,49032

B. 2,49032

C. 3,49032

D. 4,14903

189


E. 4,49032

Pembahasan

Kita perlu terlebih dahulu menghitung A35:1

30 .

A35:1

30 = A35:30 − A 135:30 = 0, 14

P = PA 135:30 + 30| a35

P(1− 0, 07) = 30E35 a65

P =0, 14(9, 9)1− 0, 07

= 1,490323

Jawab: A.

22. Diketahui tingkat kematian (force of failure) untuk perokok adalah 2 kali lipat bukan perokok,untuk semua usia diatas 55 tahun. Bila variable acak untuk age-at-failure berdistribusi seragamdengan ω =75 , hitunglah nilai dari e65:55, jika (65) adalah bukan perokok dan (55) adalahperokok dan saling independen.

A. 5,34167

B. 4,34167

C. 3,54167

D. 2,45167

E. 1,67341

Pembahasan

Misalkan kita notasikan S sebagai seorang perokok, sedangkan NS sebagai seorang non per-okok.

e65:55 =∫ 10

0t p65:55dt

=∫ 10

0t pNS

65 t pS55dt

=∫ 10

0

(10− t

10

)(20− t

20

)2dt

=8524

= 3, 5417

Jawab: C.

190


23. Sebuah survival model didefinisikan sebagai berikut: Sx(x) =c− xc + x

untuk 0 ≤ x ≤ c.Kemudian, sebuah tabel kehidupan (Life table) disusun berdasarkan distribusi tersebut denganradix 100,000. Dalam tabel tersebut, l35 = 44.000 . Diketahui pula ω = 90. Hitunglahprobabilitas dari seorang berusia 10 tahun akan meninggal antara usia 30 dan 45.

A. 11/24

B. 9/24

C. 7/24

D. 5/24

E. 1/8

Pembahasan

Terlebih dahulu, kita perlu menghitung nilai dari c.

Sx(35) =c− 35c + 35

l35

l0=

c− 35c + 35

44.000100.000

=c− 35c + 35

⇒ c = 90

20|15q10 = (20 p10)(15q30)

=l30

l10

(1− l45

l30

)

=5

24

Jawab: D.

24. Sebuah asuransi diskrit seumur hidup sebesar 1,000 dengan informasi sebagai berikut:

• Biaya tetap tahun pertama sebesar 70 (terdiri dari 50 biaya akuisisi dan 20 biaya main-tenance) dan biaya tetap tahun selanjutnya sebesar 20 (biaya maintenance).

• 3% dari setiap premi yang di bayarkan.

• d = 0, 04, ax = 20 dan ax:20 = 10

A. 97,01

191


B. 97,10

C. 100,01

D. 87,01

E. 67,01

Pembahasan *Soal dianulir*

25. Diketahui bahwa q(1)x = 0, 2 dan q(2)x = 0, 1. Kedua penurunan (decrement) tersebut berdis-tribusi seragam di antara interval (x, x + 1) dalam konteks multiple decrement. Diketahuipula persamaan berikut:

tP′(j)x = (1− t · q(τ)x )q(j)

x /q(τ)x dan t = 1

Tentukanlah nilai q′(2)x .

A. 0,8879

B. 0,1121

C. 1,8879

D. 1,1121


Pembahasan

Karena berdistribusi seragam, maka:

q(1)x = q′(1)x − 1

2q′(1)x q

′(2)x

q(2)x = q′(2)x − 1

2q′(1)x q

′(2)x

Diketahui q(1)x = 0, 2 dan q(2)x = 0, 1, substitusikan ke dalam kedua persamaan di atas.

0, 2 = q′(1)x − 1

2q′(1)x q

′(2)x

0, 1 = q′(2)x − 1

2q′(1)x q

′(2)x

Eliminasi kedua persamaan tersebut, sehingga diperoleh:

0, 1 = q′(1)x − q

′(2)x

q′(1)x = 0, 1 + q

′(2)x (8.1)

192


Substusikan (1) ke salah satu persamaan di atas untuk memperoleh q′(2)x = 0.111847.

Jawab: B.

26. Diketahui µx = 0, 04 untuk 0 < x ≤ 40 dan µx = 0, 05 untuk x > 40. Manakan dari pilihannilai di bawah ini yang paling mendekati untuk e25:25 ?

A. 12,6

B. 15,6

C. 10,6

D. 8,6

E. 6,6

Pembahasan

Diketahui bahwa µx = 0, 04 untuk 0 < x ≤ 40 dan µx = 0, 05 untuk x > 40.

e25:25 =∫ 25

0t p25dt

=∫ 15

0t p25dt + 15 p25

∫ 10

0t p40dt

=∫ 15

0e−0,04tdt + (e−

∫ 150 0,04ds)

∫ 10

0e−0,05tdt

= 15,6

Jawab: B.

27. Sebuah bond korporasi dengan durasi 10 tahun dan kupon sebesar 40 setahun, dengan tingkatgagal (default rate) 2% setahun. Bila bond tersebut default maka tidak akan ada lagi pem-bayaran kupon selanjutnya. Pada tingkat yield rate 6%, berapakah ekspektasi nilai sekarangdari kupon tersebut? Diketahui pula bahwa anuitas pasti (tidak ada kemungkinan gagal) daria10 0,06 adalah 7,36.

A. 294,4

B. 240,54

C. 266,44

D. 288,51

E. 246,4

Pembahasan

193


Karena terdapat kemungkinan bond dapat gagal, maka t px = 0.98t. Jadi, nilai sekarang darikupon bond tersebut adalah:

PV = c(v)(px) + c(v2)(2 px) + ... + c(v10)(10 px)

= 40(1.06−1)(0, 98) + 40(1, 06−2)(0, 982) + ... + 40(1, 06−10)(0, 9810)

= 4010

∑k=1

(0, 981, 06

)k

= 400, 981, 06

1− ( 0,981,06 )

10

1− 0,981,06

= 266,44

Jawab: C.

28. Suatu polis asuransi biasanya memuat klausa bahwa bila usia tertanggung diketahui tidak tepatpada saat diterbitkan, maka manfaat dari polis tersebut dapat disesuaikan sebesar selisih kalaupolis tersebut dibeli dengan usia yang tepat. Suatu polis asuransi berjangka diskrit selama 3tahun sebesar 1.000 dijual kepada seseorang yang menyatakan berusia 30 pada saat penerbitanpolis. Akan tetapi, pada tahun ke tiga, di ketahui sesungguhnya orang tersebut berusia 31 tahunpada saat penerbitan polis. Bila diketahui:

• i = 4%

• q30 = 0, 01

• q31 = 0, 02

• q32 = 0, 03

• q33 = 0, 04

Hitunglah berapa besar manfaat yang harus disesuaikan (besar manfaat yang dikurangkan).

A. 264,1

B. 664,1

C. 864,1

D. 335,9

E. 135,9

Pembahasan

Diberikan manfaat kematian S sebesar 1.000.

194


Jika dibeli pada usia 30, maka premi yang harus dibayar:

P = 1.000A 1

30:3

a30:3

dengan a30:3 = 1 + v p30 + v2(2 p30) = 2, 84893. Maka A 130:3 = A30:3 − 3E30 = (1− d ·

a30:3 )− 3 p30 · v3 = 0, 0537981. Sehingga preminya sebesar 18, 88362.

Karena ternyata usianya 31 tahun, maka:

P = SA 1

31:3

a31:3

dengan a31:3 = 1 + v p31 + v2(2 p31) = 2, 821191. Maka A 131:3 = A31:3 − 3E31 = (1− d ·

a31:3 )− 3 p31 · v3 = 0, 080216.

Jadi, manfaat kematian yang baru:

18, 88362 = S · 0, 0802162, 821191

⇒ S = 664, 1

Oleh karena itu, manfaat kematiannya harus dikurangi sebesar 1.000− 664, 1 = 335, 9

Jawab: D.

Sebenarnya, soal ini tidak masuk akal untuk menghitung manfaat yang diperoleh pada tahunketiga dari suatu asuransi berjangka 3 tahun, karena nilai tunai dari asuransi tersebut adalah 0.

29. T80 dan T85 adalah variabel acak independen berdistribusi seragam dengan ω =100 . Hi-tunglah probabilitas bahwa kejadian kedua (second failure) terjadi 5 tahun dari sekarang.

A. 1/12

B. 5/12

C. 1/4

D. 1/2

E. 1/6

Pembahasan

Karena berdistribusi seragam, maka:

tqx =t

100− x

Maka peluang second failure terjadi dalam 5 tahun adalah:

195


5q80:85 = (5q80)(5q85)

=5

100− 80· 5

100− 85

=112

Jawab: A.

30. Asuransi diskrit berjangka 2 tahun dijual untuk usia (x) dengan tingkat bunga (i) = 0. Jikadiketahui qx = 0,50 dan Var(Z1

x:2 )= 0,1771. Hitunglah qx+1 .

A. 0,52

B. 0,56

C. 0,42

D. 0,45

E. 0,54

Pembahasan

Karena tingkat suku bunga i = 0, maka v = 1.

A1x:2 = qx + v px qx+1 = qx + px qx+1

2 A1x:2 = qx + v2 px qx+1 = qx + px qx+1

Var (A1x:2 ) = 2 A1

x:2 − (A1x:2 )

2

0,1771 = qx + px qx+1 − [qx + px qx+1]2

0,1771 = 0, 5 + 0, 5qx+1 − [0, 5 + 0, 5qx+1]2

qx+1 = 0,54

Jawab: E.

196

pembahasan soal ujian profesi aktuaris · pembahasan soal ujian profesi aktuaris persatuan aktuaris...

Documents