pembahasan osk matematika 2014_samunlam@gmail

8/9/2019 PEMBAHASAN OSK matematika 2014_samunlam@Gmail

1/22

LOGO

www.themegallery.comSaman Abdurrahman., S.Si., M.Sc ([email protected])

PEMBAHASAN

OLIMPIADE SAINSTINGKAT KABUPATEN/KOTA

TAHUN 2014


2/22

Garis berat pada segitiga ABC memotong garis berat

di titik P, serta perpanjangan memotong ABC di titik E.Jika diketahui segiiga ABC lancip, dan AB = 6, maka panjangDE adalah

Penyelesaian:

1. OSK 2014 GEOMETRI

Menurut Teorema Jika CE : EA =CD : DB, maka .

Akibatnya, ABC EDC,

sehingga:

DE =

=


3/22

Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertamatetap, bilangan kedua ditambah 10, dan bilangan ketiga ditambah

bilangan prima, maka ketiga bilangan ini membentuk deret ukur. Bilanganketiga dari bilangan bulat berurutan adalah

2. OSK 2014 Deret

Penyelesaian:

Misalkan bilangan bulat positif yang berurutan adalah: x, x + 1, x + 2.

x, x + 11, x + 2 + p membentuk deret ukur (geometri) dengan p adalah prima.

a). Untuk x = 1, dan px = 20x + 121

p = 20 + 121 = 141 = 3 . 47 (bukan prima)

b). Untuk x = 11, dan px = 20x + 121

11p = 20.11 + 121 p = 31 (prima)

c). Untuk x = 121, dan px = 20x + 121 121p = 20.121 + 121 p = 21(bukan prima)

20x + 121 = px

x|(20x + 121)

x|121

x = 1, 11, 121

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 11 bilangan ketiga sehinggabilangan bulat ketiga dari bilangan bulat berurutan adalah 13.


4/22

Misalkan a, b adalah bilangan riil sedemikian sehingga

a + b = = 6.

Nilai dari + 1980 adalah

Penyelesaian:

3. OSK 2014 ALJABAR

Mengingat a + b = 6, dan 6 = ab = 1

= 34 + 1980

= 2014


5/22

adalah ...Penyelesaian:

Perhatikan bentuk

Dari sini maka:

Jadi,

= 1

Nilai dari

4. OSK 2014 DERET


6/22

Untuk 0 x , nilai minimum dari adalah

Penyelesaian:

5. OSK 2014 Deret

Berdasarkan ketentuan AM GM diperoleh

Tanda kesamaan terjadi, jika 16 sin x =

Jadi, nilai minimum dari = 24


7/22

Misalkan S adalah himpunan bilangan asli digitnya tidak berulang dandipilih dari 1, 3, 5, 7. Jumlah digit satuan dari semua anggota S adalah

6. OSK 2014 KOMBINATORIK

Misalkan angka 7 adalah angka yang harus menjadi angka satuan daribilangan 1 digit, 2 digit, 3 digit, dan 4 digit, maka:

1

3

3 2

3 2 1

Bilangan 1 digit ada 1

Penyelesaian:

Total bilangan yang angka 7 sebagai angka satuan ada 1 + 3 + 6 + 6 = 16.Demikian juga untuk digit yang satuanya angka 1, 3, dan 5 masing-masingada 16 bilangan.Jadi, jumlah digit satuan dari anggota S adalah

16 (1 + 3 + 5 + 7) = 256.

Bilangan 3 digit ada 3 . 2 = 6

Bilangan 2 digit ada 3

Bilangan 4 digit ada 3. 2. 1 = 6

1

1

1


8/22

Misalkan x, y, z 1 dan w 0. Jika logxw = 4, logyw = 5 dan

logxyzw = 2, maka nilai logzw adalah Penyelesaian:

Mengingat logab = c b = ac, maka

w = x4, w = y5, dan w = (xyz)2.

Dari sini, maka:

w10 = (xyz)20

w5 . w4 . w = x20 . y20 . z20

x20

. y20

. w = x20

. y20

. z20

w = z20

logzw = 20

7. OSK 2014 ALJABAR


9/22

Terdapat tiga meja bundar yang identik. Setiap meja harus dapat ditempatiminimal satu siswa. Banyaknya cara mendudukan enam siswa pada meja-meja tersebut adalah


Penyelesaian:

Kemungkinan susunan keenam siswa adalah:

Ingat: permutasi dengan beberapa unsur yang sama

a). Cara duduk untuk susunan 4 kursi, 1 kursi, 1 kursi adalah:

b). Cara duduk untuk susunan 3 kursi, 2 kursi, 1 kursi adalah:

c). Cara duduk untuk susunan 2 kursi, 2 kursi, 2 kursi adalah:

Banyaknya cara mendudukan enam siswa pada meja-meja

tersebut adalah 90 + 120 + 15 = 225 cara.


10/22

Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1 satuan. Titik E, dan Fberturut-turut berada pada sisi BC dan CD sehingga AEF samasisi.

Dibuat pula persegi yang melewati B yang sisi-sisinya sejajar denganABCD dengan salah satu titik sudutnya berada pada ruas garis AE,namun bukan A dan bukan E. Jika panjang sisi persegi yang lebih keciladalah dengan a, b, c bilangan bulat positif dan b bukan kuadratsempurna, maka nilai a + b + c adalah


BA

D C

E

IG

H

F

x

1 - x

1

Penyelesaian:

Karena ABE ADF, maka HAG = 150.

tan 150 = tan (450 300) = 2

Perhatikan AHG

tan HAG = tan 150

Jadi, a + b + c = 3 + 3 + 6 = 12.


11/22

Suatu perusahaan permen memproduksi empat macam rasa permen.Permen dijual dalam bungkus, setiap bungkus berisi 10 permen dengan

setiap rasa permen ada dalam bungkus. Banyaknya macam variasi isibungkusan permen adalah


Penyelesaian:

Misalkan x i menyatakan banyaknya permen warna ke-i dalam bungkusan,sehingga permasalahan equivalen dengan mencari banyaknya solusipersamaan:

x1 + x2 + x3 + x4 = 10

dengan x i 1, dan i = 1, 2, 3, 4.

Misalkan y = x1 1; y2 = x2 1; y3 = x3 1; y4 = x4 1, maka

y1 + y2 + y3 + y4 = 6 dengan yi 0.

Sehingga banyaknya variasi isi bungkusan permen adalah


12/22

Bilangan-bilangan 1111, 5276, 8251, dan 9441 bersisa sama jika dibagiN. Nilai N terbesar yang memiliki sifat tersebut adalah

11. OSK 2014 TEORI BILANGAN

Penyelesaian:

Karena 1111, 5276, 8251, dan 9441 bersisa sama jika dibagi N, makaN membagi setiap selisih antara dua bilangan tersebut.

1111 5276 8251 9441 k (mod N)

9441 8251 = 1190 2. 595 (mod N)

9441 1111 8330 14 . 595 (mod N)

9441 5276 4165 7 . 595 (mod N)

8251 5276 2975 5. 595 (mod N)

8251 1111 7140 12 . 595 (mod N)

5276 1111 4165 7 . 595 (mod N)

Jadi nilai terbesar N yang memiliki sifat tersebut di atas adalah

595


13/22

Ada sebanyak 6! Permutasi dari huruf-huruf OSNMAT. Jika semua permutasitersebut diurutkan secara abjad dari A ke Z, maka OSNMAT pada urutan ke

12. OSK 2014 Kombinatorik

Penyelesaian:

Urutan alfabet dari OSNMAT adalah A, M, N, O, S, T

Banyak susunan yang diawali huruf A: A_______________ = 5! = 120

Banyak susunan yang diawali huruf M: M_______________ = 5! = 120

Banyak susunan yang diawali huruf N: N_______________ = 5! = 120

Banyak susunan yang diawali huruf O(A): OA ____________ = 4! = 24

Banyak susunan yang diawali huruf O(M): OM ____________ = 4! = 24

Banyak susunan yang diawali huruf O(N): ON ____________ = 4! = 24

Banyak susunan yang diawali huruf O(S)A: OSA_________ = 3! = 6

Banyak susunan yang diawali huruf O(S)M: OSM_________ = 3! = 6

Banyak susunan yang diawali huruf O(S)N: OSNA______ = 2! = 2

Banyak susunan yang diawali huruf O(S)N: OSNM______ = 1! = 1

Jadi, kata OSNMAT ada pada urutan 3 120 + 3 24 + 2 6 + 2 + 1 = 447.


14/22

Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan panjang AB = AC = 10 cm.Titik D terletak pada garis AB sejauh 7 cm dari A, dan E titik pada garis AC yangterletak sejauh 4 cm dari A. Dari A ditarik garis tinggi dan memotong BC di F. Jika

bilangan rasional a/b menyatakan perbandingan luas segi empat ADFE terhadapluas segitiga ABC dalam bentuk yang paling sederhana, maka nilai a + b adalah

13. OSK 2014 Trigonometr i

Penyelesaian:

Karena adalah garis tinggi samakaki ABC, maka

Misalkan t = tinggi AFB, dan t = tinggi AFC.

AFB AFC, sehingga Luas AFB = Luas AFC.

tt

Jadi, nilai dari a + b = 31.


15/22

Hasil kali semua akar real dari persamaan

2x2 + 3x + 4 =

adalah

14. OSK 2014 ALJABAR

Penyelesaian:

Misalkan a = 2x2 + 3x + 12 8 = 2a

a2 8 = 2a

(a 4)(a + 2) = 0

a = 4, karena a 0

2x2 + 3x + 4 = 2 . 4

2x2 + 3x 4 = 0

x1 . x2 = 2


16/22

Diberikan segitiga ABC dengan AB = 360, BC = 240, dan AC = 180. Garis bagidalam, dan garis bagi luar dari CAB memotong BC dan perpanjangan BC

berturut-turut di P dan Q. Jari-jari lingkaran yang melalui titik A, P, dan Q adalah


Penyelesaian:

240

Karena AP garis bagi, maka

Maka BP = 160 dan PC = 80.

Karena Aq garis bagi, maka

Maka PQ = PC + CQ = 80 + 240 = 320.

2CAQ + 2CAP = 180

PAQ = CAQ + CAP = 900

Karena PAQ = 900, maka PQ adalah diameter lingkaran yang melalui titik

A, P, dan Q. Jadi, jari-jari lingkaran yang melalui titik A, P, dan Q adalah 160.


17/22

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c yang didefinisikan padahimpunan bilangan real dengan b 0. Jika f(x) selalu positif, maka nilai

terkecil yang mungkin untuk adalah


f(x) selalu positif (definit positif), maka a 0 dan D = b2 4ac 0.

4ac b2 0

Penyelesaian:

c 0 dan

Dengan menggunakan ketaksamaan AM GM, maka

Tanda kesamaan terjadi jika, atau a = c dan b2 = 4ac sehinggab = 2a = 2c.

Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk adalah 1.


18/22

Semua pasangan bilangan prima (p, q) yang memenuhi persamaan

(7p q)

2

= 2(p 1)q

2

adalah


Penyelesaian:

(7p q)2 = 2(p 1)q2 49p2 14pq + q2 = 2(p 1)q2

q|49p2

Karena p dan q prima, maka:Kasus I: Jika q|49 q = 7

(7p 7)2 = 2(p 1)72

(p 1)2 = 2(p 1)

(p 1)(p 1 2) = 0 p = 3, karena p prima

Kasus II: Jika q|p q = p (7p p)2 = 2(p 1)p2 36 = 2(p 1) p = 19

Jadi, pasangan bilangan prima yang mungkin adalah (3, 7) dan (19, 19).


19/22

Diberikan segitiga ABC yang sisi-sisinya tidak sama panjang sehingga panjanggaris berat AN dan BP berturut-turut 3 dan 6. Jika luas segitiga ABC adalah 3 ,

maka panjang garis berat ketiga CQ adalah


Penyelesaian: LABP = LABC =

Karena PG : GB = 1 : 2, maka LABG =

s = (2c + 2 + 4) = c + 3Perhatikan ABG:

Dengan rumus Heron, maka

(c2 4)(c2 6) = 0 c = 2 atau c =6

Untuk c =6, maka AB = 26

Untuk c = 2, maka AB = 4, sehingga

Cos GAB =

Diperoleh k = 2, maka GQ = GP, sehingga AB = AC. Kontradiksi dengan panjangketiga sisi berbeda.

Cos GAB =

Jadi , CQ = 3k = 36


20/22

Diketahui bahwa: 20! + 14! = 243290a0953b4931200. Nilai adan b adalah


Penyelesaian:

20! + 14! habis dibagi 9 dan 11, maka:

a). 9|(2 + 4 + 3 + 2 + 9 + 0 + a + 0 + 9 + 5 + 3 + b + 4 + 9 + 3 + 1 + 2 + 0 + 0) 9 |(56 + a + b)

a + b = 7 atau a + b = 16b). 11|(2 4 + 3 2 + 9 0 + a 0 + 9 5 + 3 b + 4 9 + 3 1 + 2 0 + 0) 11|(14 + a b) a b = 3 atau a b = 8

Berdasarkan analisa di atas, maka1). a + b = 7 dan a b = 3 a = 2 dan b = 5

2). a + b = 16 dan a b = 8

a = 12 dan b = 4(a = 12 Tidak memenuhi, karena digit bilangan tidak memenuhi syarat)

Jadi, nilai a dan b yang memenuhi adalah a = 2 dan b = 5.


21/22

Semua bilangan bulat n sehingga n4 51n2 + 225 merupakan bilanganprima adalah


Penyelesaian:

n4 51n2 + 225 = (n2 + 15)2 (9n)2 = (n2 + 9n + 15) (n2 9n + 15)

a). Karena (n4 51n2 + 225) prima, maka n2 + 9n + 15 1. Akibatnya

n2 9n + 15 = 1 (n 2)(n 7) = 0

n = 2, 7

Jadi, semua bilangan bulat yang memenuhi adalah,7, 2, 2, 7.

b). Karena (n4 51n2 + 225) prima, maka n2 9n + 15 1. Akibatnya

n2 + 9n + 15 = 1 (n + 2)(n + 7) = 0

n =2,7


22/22

LOGO

www.themegallery.com

Add your company slogan

pembahasan osk matematika 2014_samunlam@gmail

Documents