pembahasan makalah perpotongan garis geometri analitik

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya

geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan.

Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat.

persamaan garis lurus merupakan persamaan dimana variable x dan y memiliki

pangkat tertinggi yaitu satu. Adapun bentuk umum persamaan garis lurus yaitu

ax+b y+c=0. Dalam sebuah system koordinat, jika terdapat dua buah garis, maka

terdapat tiga kemungkinan yaitu garis tersebut sejajar, berimpit ataupun berpotongan

dimana masing-masing dari ketiga hal tersebut memiliki ciri tersendiri. Dalam materi

geometri analitik sebelumnya telah dijelaskan tentang cara menggambar sebuah grafik

yaitu dengan memisalkan sebarang nilai x dari berbagai titik untuk mencari titik

koordinat yang selanjutnya akan dihubungkan menjadi sebuah garis lurus yang mana

telah kita ketahui sbelumnya bahwa garis tersebut merupakan hasil dari kumpulan

titik-titik yang tak hingga batas. Namun terkadang dengan metode tersebut kita sering

kesulitan untuk mencari titi potong dari garis tersebut. Adapun untuk memahami lebih

lanjut tentang materi garis lurus, pada makalah ini kami akan membahas materi

kelanjutan dari garis lurus yaitu mengenai Perpotongan Garis-Garis.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang diatas, rumusan masalanya yaitu:

1. Apa yang dimaksud dengan perpotongan garis?

2. Bagaimana cara menentukan titik potong dari perpotongan garis?

C. Tujuan

Makalah ini betujuan untuk memenuhi tugas mata kuliah geometri analitik

sekaligus memberikan informasi mengenai perpotongan gari-garis pada sebuah garis

lurus.

Perpotongan Garis-Garis 1

BAB II

PEMBAHASAN

A. Perpotongan Garis-Garis

Titik potong antar dua garis, berarti titik itu terletak pada garis pertama maupun

pada garis kedua. Mencari koordinat titik potong antara dua garis adalah mencari

penyelesaian dari sistem persamaan linier dengan dua variable[1].

Tinjau dua persamaan linier a1 x+b1 y+c1=0, dan a2 x+b2 y+c2=0 dengan a1,

a2, b1 , b2 ≠ 0. Tiap persamaan linier ini mewakili sebuah garis pada bidang[2].

Namakanlah garis-garis tersebut l1 dan l2. Karena sebuah titik (x,y) terletak pada

sebuah garis jika dan hanya jika bilangan-bilangan x dan y memenuhi persamaan

garis tersebut, maka pemecahan sistem persamaan tersebut akan bersesuaian dengan

titik perpotongan dari garis l1 dan l2[3]. Adapun dua buah garis kita katakan

bepotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua garis

tersebut berpotongan disalah satu titiknya. Ada tiga kemungkinan:

a. Garis l1 mungkin sejajar dengan garis l2, dimana di dalam kasus ini tidak ada

perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka tidak ada pemecahan untuk

sistem tersebut.

b. Garis l1 mungkin berpotongan dengan garis l2 di hanya satu titik, dimana dalam

kasus ini kedua garis tersebut mempunyai satu titik potong sehingga sistem

persamaan tersebut mempunyai satu pemecahan.

c. Garis l1 mungkin berimpit dengan garis l2, dimana dalam kasus ini terdapat tak

terhingga banyaknya titik perpotongan, dan sebagai konsekuensinya maka tak

terhingga banyaknya pemecahan untuk sistem tersebut. Hal tersebut digambarkan

dalam grafik berikut[4]:

(a) (b) (c)


x

y

x

y

x

yl1

l2l1l1 l2l2

Gambar 1

(a) Tidak ada pemecahan, (b) Satu Pemecahan, (c) Tak terhingga banyaknya

pemecahan.

B. Menentukan Titik Potong Garis

Menurut aljabar ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan

linier, antara lain dengan metode subtitusi, eliminasi, matriks, dan determinan[5].

1. Menggunakan Metode Subtitusi:

Untuk mencari titik potong terhadap kedua garis menggunakan metode

subtitusi dilakukan dengan cara menyatakan salah satu variabel ke dalam variabel

lainnya pada salah satu persamaan, kemudian mensubtitusikannya ke persamaan lain.

Contoh 1:

Tentukan titik potong dari persamaan berikut:

3 x− y=10

x−2 y=0

Penyelesaian:

Misalkan,

3 x− y=10 … …………… ( i )

x−2 y=0 … …………….(ii)

Cara 1(mensubtitusi y )

Pada persamaan (i) nyatakan variable y ke dalam variable x:

3 x− y=10

y=3 x−10 … …..(iii )

Subtitusikn persamaan (iii) ke persaman ke persamaan (ii):

x−2 y=0

→ x−2 (3 x−10 )=0↔ x−6 x+20=0

↔−5 x+20=0

↔−5 x=−20

↔ x=−20−5

↔ x=4

Subtitusikan x = 4 ke persamaan ke (iii):


y=3 x−10 → y=3 ( 4 )−10

↔ y=12−10

↔ y=2

jadi ,titik potongkedua garis tersebut yaitu (4,2)

Cara 2(Mensubtitusi x ):

Pada persamaan (ii), nyatakan variable x ke dalam variable y:

x−2 y=0

x=2 y …………(iv)

Subtitusikan (iv) ke (i), sehingga menjadi:

3 (2 y )− y=10

↔ 5 y=10

↔ y=2

Subtitusikan y = 2 ke (iv):

x=2 y

↔ x=2 (2 )

↔ x=4

Jadi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2)

2. Menggunakan Metode Eliminasi:

Untuk mencari titik potong terhadap kedua garis menggunakan metode

eliminasi dilakukan dengan cara menghilangkan salah satu variabelnya.

Contoh 2:

Tentukan titik potong dari persamaan berikut:

3 x− y=10

x−2 y=0

Penyelesaian:

Misalkan,

3 x− y=10 … …………… ( i )

x−2 y=0 … …………….(ii)

Mengeliminasi/menghilangkan x:

3 x− y=10 × 1 3 x− y=10


x−2 y=0 × 3 3 x−6 y=05 y=10y=2

Mengeliminasi/menghilangkan y:

3 x− y=10 × 26 x−2 y=20x−2 y=0 × 2x−2 y=0

5 x=20x=4

Jadi, diperoleh titik potong kedua garis tersebut yaitu (4,2)

3. Matriks

Matriks dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear.

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan matriks yaitu

mengubah bentuk persamaan ke dalam bentuk matriks[6]. Selanjutnya matriks tersebut

di selesaikan untuk mencari titik (x,y) dimana pada metode matriks ini juga

menggunakan invers pada matriks. Berikut langkah-langkah untuk mencari titik

potong garis dalam sebuah sistem persamaan menggunakan metode matriks.

Bentuk umum persamaan linear:

a1 x+b1 y+c1=0 → a1 x+b1 y=−c1

a2 x+b2 y+c2=0 → a2 x+b2 y=−c2

Di ubah dalam bentuk matriks menjadi;

(a1 b1

a2 b2)( x

y )=(−c1

−c2)

Pada matriks, jika A ¿(a1 b1

a2 b2) maka:

A−1= 1det A ( b2 −b1

−a2 a1)= 1

a1 b2−a2 b1 ( b2 −b1

−a2 a1)

Sehingga diperoleh: ( xy )= 1

a1 b2−a2 b1 ( b2 −b1

−a2 a1)(−c−c ) [7]

Contoh

Selesaikan system persamaan linear berikut dengan matriks!


{3x− y=10x−2 y=0

[

Penyelesaian:

Kita nyatakan dulu system persamaan tersebut dalam bentuk matriks, yaitu:

(3 −11 −2)(x

y )=(100 )

Sehingga:

⇔( xy )= 1

3 (−2 )−1− (−1 ) (−2 1−1 3)(10

0 )⇔( x

y )= 1−6+1 (−2 1

−1 3)(100 )

⇔( xy )= 1

−5 (−2 (10 )+1(0)−1 (10 )+3(0))

⇔( xy )= 1

−5 (−20−10)

⇔( xy )=(42 )

Diperoleh nilai x = 4 dan y = 2, sehingga koordinat titik pototng kedua persamaan

garis tersebut yaitu (4,2)

4. Determinan

Selain menggunakan sifat invers pada matriks (metode ke-3) dalam mencari

titik potong dari suatu sistem persamaan garis juga dapat diselesaikan dengan

determinan.

Bentuk umum persamaan garis yaitu:

a1 x+b1 y+c1=0

a2 x+b2 y+c2=0 ,

maka:

a1 x+b1 y=−c1

a2 x+b2 y=−c2 ,

Jika diselesaikan dengan metode eliminasi, maka di dapat:

Eliminasi y:


a1 x+b1 y=−c1 ×b2→ a1 b2 x+b1b2 y=−c1b2

a2 x+b2 y=−c2 ×b1→ a2 b1 x+b1b2 y=−c2b1

⇔ a1 b2 x−a2 b1 x=−c1b2+c2b1

⇔ x(a1 b2−a2b1)=−c1b2+c2 b1

⇔ x=c2 b1−c1 b2

a1b2−a2b1

Diperoleh x=c2 b1−c1 b2

a1 b2−a2 b1, atau dapat dituliskan dengan x=

|−c1 b1

−c2 b2|

|a1 b1

a2 b2|

dimana

|−c1 b1

−c2 b2|=c2b1−c1b2 yang tidak lain merupakan determinan dari (−c1 b1

−c2 b2).

Eliminasi x:

a1 x+b1 y=−c1 ×a2→ a1 a2 x+b1 a2 y=−c1 a2

a2 x+b2 y=−c2 ×a1→ a2 a1 x+a1 b2 y=−c2 a1

⇔ b1 a2 y−a1b2 y=−c1 a2+c2 a1

⇔ y ( b1 a2−a1b2 )=−c1 a2+c2 a1

⇔ y=a1c2−a2 c1

a2 b1−a1b2

⇔ y=a2c1−a1 c2

a2 b1−a1b2


Diperoleh y=a2 c1−a1 c2

a2b1−a1 b2

, atau dapat dituliskan dengan y=|a1 −c1

a2 −c2|

|a1 b1

a2 b2|

dimana

|a1 −c1

a2 −c2|=a2 c1−a1 c2 yang tidak lain merupakan determinan dari (a1 −c1

a2 −c2). [7]

Contoh

Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan determinan!

{3x− y−10=0x−2 y=0

Penyelesaian:

x=|−c1 b1

−c2 b2|

|a1 b1

a2 b2|

,maka :

⇔ x=|−(−10 ) −1

−(0 ) −2||3 −11 −2|

=0 (−1 )−(10)(−2)

1 (−1 )−3(−2)=

205

=4

y=|a1 −c1

a2 −c2|

|a1 b1

a2 b2|

,maka :

⇔ y=|3 −(−10)1 −(0) ||3 −11 −2|

=1 (10 )−3 (0 )

1 (−1 )−3(−2)=

105

=2

Diperoleh koordinat titik potong dari sistem persamaan tersebut yaitu (4,2)


1

1

(0,0)

(2,1)

(4,2)

(0,10/3)

x-2y=0

3x-y-10=0

Gambar 2

Pasangan x dan y adalah koordinat titik potong dari garis l1 dan l2. Kita tinjau berbagai

kemungkinan. [8]

Perhatikan contoh berikut:

Contoh 1.

Carilah koordinat titik potong antara g1 :2 x− y+3=0 dan garis g2 : x+3 y−4=0.

Secara determinan:

Penyelesaian:

2 x− y+3=0

x+3 y−4=0

x=|−3 −1

4 3 ||2 −11 3 |

=−9+46+1

=−57

y=|2 −31 4 ||2 −11 3 |

=8+36+1

=117

Jadi titik potong g1 dan g2 adalah titik

(−57

,117

)

Gambar 3

Terlihat |a1 b1

a2 b2|=a1b2−a2 b1 ≠ 0 atau |2 −1

1 3 |=6+1=7 , dana1

a2

≠b1

b2

atau21

≠117

dan

kedua garis tersebut perpotongan pada satu titik yaitu (−57

,117

).

Contoh 2:


Kesimpulannya yaitu:

Jika |a1 b1

a2 b2| = a1b2−a2 b1 ≠ 0 , atau

a1

a2

≠b1

b2

maka dua garis tersebut berpotongan di

satu titik. [9]

1

1(-5/7,11/7)

(1,1)

(0,3)

(1,5)

(4,0)

2x-y+3=0

x+3y-4=0

Diketahui persamaan garis berikut:

{ 3 x− y−5=06 x−2 y−4=0

Tentukan titik potong serta sketsakan grafiknya!

Penyelesaian:

x=|−c1 b1

−c2 b2|

|a1 b1

a2 b2|

maka :

⇔ x=|−(−5) −1−(−4) −2|

|3 −16 −2|

=4 (−1 )−5 (−2)6 (−1 )−3(−2)

=−4+10−6+6

=60=∞

y=|a1 −c1

a2 −c2|

|a1 b1

a2 b2|

,maka :

⇔ y=|3 −(−5)6 −(−4)||3 −16 −2|

=6 (5 )−3(4)

6 (−1 )−3 (−2)=

30−12−6+6

=180

=∞

Gambar 4


1

1

(1,-2)(0,-2)

(1,1)

6x-2y-4=0

3x-y-5=0

Terlihat |a1 b1

a2 b2|=a1b2−a2 b1=0 atau |3 −1

6 −2|=

6 (−1 )−3 (−2 )=0 , dana1

a2

≠b1

b2

atau36=−1

−2 dan kedua garis tersebut tidak memiliki

titik potong.

Contoh 3.

Diketahui persamaan garis berikut:

{ 3x− y−5=06 x−2 y−10=0

Tentukan titik potong serta sketsakan grafiknya!

Penyelesaian:

x=|−c1 b1

−c2 b2|

|a1 b1

a2 b2|

maka :

⇔ x=|−(−5 ) −1−(−10 ) −2|

|3 −16 −2|

=10 (−1 )−5 (−2 )6 (−1 )−3 (−2 )

=−10+10−6+6

=00=∞

y=|a1 −c1

a2 −c2|

|a1 b1

a2 b2|

,maka :

⇔ y=|3 −(−5)6 −(−10)||3 −16 −2|

=6 (5 )−3 (10)

6 (−1 )−3 (−2)=

30−30−6+6

=00=∞



Jika |a1 b1

a2 b2| = a1b2−a2 b1=0 , atau

a1

a2

=b1

b2

dana1

a2

=b1

b2

≠c1

c1

maka garis

tersebut sejajar (dianggap tidak berpotongan). [10]

Terlihat bahwa kedua persamaan garis tersebut memiliki tak hingga banyak titik

koordinat yang berpotongan diantara kedua garis tersebut. Meskipun pada contoh 2 diperoleh

titik (x,y) = (∞ , ∞¿ namun pendefinisiannya berbeda. Pada contoh 2 kedua garis tersebut

sejajar (tidak ada titik perpotongan) sedangkan pada contoh ini kedua garis tersebut

berpotongan pada semua titik atau garis itu sendiri. Hal itu dapat dilihat pada grafik dibawah

ini.

Gambar 5



Jika |a1 b1

a2 b2|=|a1 c1

a2 c2|=|c1 b1

c2 b2| atau

a1

a2

=b1

b2

=c1

c1

maka kedua garis

tersebut berimpit (titik potongnya banyak sekali, yaitu garis itu sendiri) [11].

1

16x-2y-10=0

(1,-2)

(2,1)

3x-y-5=0

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dari pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa, Dua buah garis kita

katakan bepotongan apabila garis tersebut terletak pada satu bidang datar dan kedua

garis tersebut berpotongan, atau ada titik yang dilewatinya secara bersama.. Setiap

persamaan mewakili sebuah garis pada bidang, adapun tiga kemungkinan yaitu, garis

tersebut akan sejajar, berimpit atau berpotongan. Untuk mencari penyelesaian atau

titik potong dari persamaan grafik itu sendiri yaitu ada 4 cara, yakni; metode subtitusi,

eliminasi, matriks maupun determinan.

B. Saran

Semoga makalah yang kami buat ini dapat bermanfaat bagi teman-teman dan

saran kami supaya makalah ini dibaca dan dipelajari agar dapat membantu teman-

teman dalam.


DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga

Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3. Jakarta:

Karunika

Jakarta

Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara

[1], [2] Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3.

Jakarta: Karunika Jakarta, Hlm 2.33

[3] Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga,

Hlm 3

[4] Anton, Howard. 1983. .Aljabar Linier Elementer Edisi Ke-3. Jakarta: Erlangga,

Hlm 4

[5] Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3. Jakarta:

Karunika Jakarta, Hlm 2.33

[6] Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara, Hlm

140

[7] Waluyo, Slamet dkk. 2006. Matematika 2 SMA/MA. Jakarta: Bumi Aksara, Hlm

141

[8], [9], [10], [11], Suherman, Maman.1986. Buku Materi Pokok Geometri Analitik Datar 1-3.

Jakarta: Karunika Jakarta, Hlm 2.33


pembahasan makalah perpotongan garis geometri analitik

Education