MAKALAH

PAKET PROGRAM SIMULASI STATISTIKA

Dosen Pengampu: Florentina Yuni Arini,S.Kom.,M.Cs.

Disusun oleh:

Luky Triohandoko ( 4112311002 )

Astetika Rosyana ( 4112311023 )

Muhammad Syarif Hidayat ( 4112311030 )

Dania Istiqomah ( 4112311031 )

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2013

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ...........................................................................................i

DAFTAR ISI .......................................................................................................iii

BAB I Statistika..................................................................................................1

BAB II Variabel dan Data....................................................................................

BAB III Jenis Data ...............................................................................................

BAB IV Pemilihan presentasi data tepat...............................................................

BAB V Arti ukuran gejala pusat...................................................................

BAB VI Arti Sebaran Data............................................................................

I. STATISTIKA

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan,

mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.

Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika'

(bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan

ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil

penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat

digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakanstatistika

deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas.

Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu

alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial

(termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidangbisnis, ekonomi, dan industri.

Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus

penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal. Aplikasi statistika

lainnya yang sekarang popular adalah prosedur jajak pendapat atau polling (misalnya

dilakukan sebelum pemilihan umum), serta hitung cepat (perhitungan cepat hasil

pemilu) atauquick count. Di bidang komputasi, statistika dapat pula diterapkan

dalam pengenalan pola maupun kecerdasan buatan.

Sejarah

Penggunaan istilah statistika berakar dari istilah istilah dalam bahasa latin

modern statisticum collegium ("dewan negara") dan bahasa

Italia statista ("negarawan" atau "politikus"). Gottfried Achenwall (1749)

menggunakan Statistik dalam bahasa Jerman untuk pertama kalinya sebagai nama

bagi kegiatan analisis data kenegaraan, dengan mengartikannya sebagai "ilmu tentang

negara (state)". Pada awal abad ke-19 telah terjadi pergeseran arti menjadi "ilmu

mengenai pengumpulan dan klasifikasi data". Sir John Sinclair memperkenalkan

nama (Statistics) dan pengertian ini ke dalam bahasa Inggris. Jadi, statistika secara

prinsip mula-mula hanya mengurus data yang dipakai lembaga-lembaga administratif

dan pemerintahan. Pengumpulan data terus berlanjut, khususnya melalui sensus yang

dilakukan secara teratur untuk memberi informasi kependudukan yang berubah setiap

saat.

Pada abad ke-19 dan awal abad ke-20 statistika mulai banyak menggunakan bidang-

bidang dalam matematika, terutama peluang. Cabang statistika yang pada saat ini

sangat luas digunakan untuk mendukung metode ilmiah, statistika inferensi,

dikembangkan pada paruh kedua abad ke-19 dan awal abad ke-20 oleh Ronald

Fisher (peletak dasar statistika inferensi),Karl Pearson (metode regresi linear),

dan William Sealey Gosset (meneliti problem sampel berukuran kecil). Penggunaan

statistika pada masa sekarang dapat dikatakan telah menyentuh semua bidang ilmu

pengetahuan, mulai dari astronomi hingga linguistika. Bidang-

bidang ekonomi, biologi dan cabang-cabang terapannya, serta psikologi banyak

dipengaruhi oleh statistika dalam metodologinya. Akibatnya lahirlah ilmu-ilmu

gabungan seperti ekonometrika, biometrika (atau biostatistika), dan psikometrika.

Meskipun ada pihak yang menganggap statistika sebagai cabang dari matematika,

tetapi sebagian pihak lainnya menganggap statistika sebagai bidang yang banyak

terkait dengan matematika melihat dari sejarah dan aplikasinya. Di Indonesia, kajian

statistika sebagian besar masuk dalam fakultas matematika dan ilmu pengetahuan

alam, baik di dalam departemen tersendiri maupun tergabung dengan matematika.

Beberapa kontributor statistika

Carl Gauss

Blaise Pascal

Sir Francis Galton

William Sealey Gosset (dikenal dengan sebutan "Student")

Karl Pearson

Sir Ronald Fisher

Gertrude Cox

Charles Spearman

Pafnuty Chebyshev

Aleksandr Lyapunov

Isaac Newton

Abraham De Moivre

Adolph Quetelet

Florence Nightingale

John Tukey

George Dantzig

Thomas Bayes

Konsep dasar

Dalam mengaplikasikan statistika terhadap permasalahan sains, industri, atau sosial,

pertama-tama dimulai dari mempelajari populasi. Makna populasi dalam statistika

dapat berarti populasi benda hidup, benda mati, ataupun benda abstrak. Populasi juga

dapat berupa pengukuran sebuah proses dalam waktu yang berbeda-beda, yakni

dikenal dengan istilah deret waktu.

Melakukan pendataan (pengumpulan data) seluruh populasi dinamakan sensus.

Sebuah sensus tentu memerlukan waktu dan biaya yang tinggi. Untuk itu, dalam

statistika seringkali dilakukan pengambilan sampel (sampling), yakni sebagian kecil

dari populasi, yang dapat mewakili seluruh populasi. Analisis data dari sampel

nantinya digunakan untuk menggeneralisasi seluruh populasi.

Jika sampel yang diambil cukup representatif, inferensial (pengambilan keputusan)

dan simpulan yang dibuat dari sampel dapat digunakan untuk menggambarkan

populasi secara keseluruhan. Metode statistika tentang bagaimana cara mengambil

sampel yang tepat dinamakan teknik sampling.

Analisis statistik banyak menggunakan probabilitas sebagai konsep dasarnya hal

terlihat banyak digunakannya uji statistika yang mengambil dasar pada sebaran

peluang. Sedangkanmatematika statistika merupakan cabang dari matematika

terapan yang menggunakan teori probabilitas dan analisis matematika untuk

mendapatkan dasar-dasar teori statistika.

Ada dua macam statistika, yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial.

Statistika deskriptif berkenaan dengan deskripsi data, misalnya dari menghitung rata-

rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau

grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lebih bermakna. Sedangkan

statistika inferensial lebih dari itu, misalnya melakukan pengujian hipotesis,

melakukan prediksi observasi masa depan, atau membuat model regresi.

Statistika deskriptif berkenaan dengan bagaimana data dapat digambarkan

dideskripsikan) atau disimpulkan, baik secara numerik (misalnya menghitung rata-

rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik), untuk

mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut, sehingga lebih

mudah dibaca dan bermakna.

Statistika inferensial berkenaan dengan permodelan data dan melakukan pengambilan

keputusan berdasarkan analisis data, misalnya melakukan pengujian hipotesis,

melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi), membuat

permodelan hubungan (korelasi, regresi, ANOVA, deret waktu), dan sebagainya.

Metode Statistika

Dua jenis penelitian: eksperimen dan survai

Terdapat dua jenis utama penelitian: eksperimen dan survei. Keduanya sama-sama

mendalami pengaruh perubahan pada peubah penjelas dan perilaku peubah respon

akibat perubahan itu. Beda keduanya terletak pada bagaimana kajiannya dilakukan.

Suatu eksperimen melibatkan pengukuran terhadap sistem yang dikaji, memberi

perlakuan terhadap sistem, dan kemudian melakukan pengukuran (lagi) dengan cara

yang sama terhadap sistem yang telah diperlakukan untuk mengetahui apakah

perlakuan mengubah nilai pengukuran. Bisa juga perlakuan diberikan secara simultan

dan pengaruhnya diukur dalam waktu yang bersamaan pula. Metode statistika yang

berkaitan dengan pelaksanaan suatu eksperimen dipelajari dalam rancangan

percobaan (desain eksperimen).

Dalam survey, di sisi lain, tidak dilakukan manipulasi terhadap sistem yang dikaji.

Data dikumpulkan dan hubungan (korelasi) antara berbagai peubah diselidiki untuk

memberi gambaran terhadap objek penelitian. Teknik-teknik survai dipelajari

dalam metode survei.

Penelitian tipe eksperimen banyak dilakukan pada ilmu-ilmu rekayasa, misalnya

teknik, ilmu pangan, agronomi, farmasi, pemasaran (marketing), dan psikologi

eksperimen.

Penelitian tipe observasi paling sering dilakukan di bidang ilmu-ilmu sosial atau

berkaitan dengan perilaku sehari-hari, misalnya ekonomi, psikologi dan pedagogi,

kedokteran masyarakat, dan industri.

Tipe pengukuran

Ada empat tipe skala pengukuran yang digunakan di dalam statistika, yaitu nominal,

ordinal, interval, dan rasio. Keempat skala pengukuran tersebut memiliki tingkat

penggunaan yang berbeda dalam pengolahan statistiknya.

Skala nominal hanya bisa membedakan sesuatu yang bersifat kualitatif atau kategoris,

misalnya jenis kelamin, agama, dan warna kulit.

Skala ordinal selain membedakan sesuatu juga menunjukkan tingkatan, misalnya

pendidikan dan tingkat kepuasan pengguna.

Skala interval berupa angka kuantitatif namun tidak memiliki nilai nol mutlak

sehingga titik nol dapat digeser sesuka orang yang mengukur, misalnya tahun dan

suhu dalam Celcius.

Skala rasio berupa angka kuantitatif yang memiliki nilai nol mutlak dan tidak dapat

digeser sesukanya, misalnya adalah suhu dalam Kelvin, panjang, dan massa.

Teknik-teknik statistika

Beberapa pengujian dan prosedur yang banyak digunakan dalam penelitian antara

lain:

Analisis regresi dan korelasi

Analisis varians (ANOVA)

khi-kuadrat

Uji t-Student

Statistika Terapan

Bebebarapa ilmu pengetahuan menggunakan statistika terapan sehingga mereka

memiliki terminologi yang khusus. Disiplin ilmu tersebut antara lain:

Aktuaria (penerapan statistika dalam bidang asuransi)

Biostatistika atau biometrika (penerapan statistika dalam ilmu biologi)

Statistika bisnis

Ekonometrika

Psikometrika

Statistika sosial

Statistika teknik atau teknometrika

Fisika statistik

Demografi

Eksplorasi data (pengenalan pola)

Literasi statistik

Analisis proses dan kemometrika (untuk analisis data kimia analis dan teknik kimia)

Statistika memberikan alat analisis data bagi berbagai bidang ilmu. Kegunaannya

bermacam-macam: mempelajari keragaman akibat pengukuran, mengendalikan

proses, merumuskan informasi dari data, dan membantu pengambilan keputusan

berdasarkan data. Statistika, karena sifatnya yang objektif, sering kali merupakan

satu-satunya alat yang bisa diandalkan untuk keperluan-keperluan di atas.

Piranti lunak

Perhitungan statistika modern banyak dilakukan oleh komputer, dan bahkan beberapa

perhitungan hanya dapat dilakukan oleh komputer berkecepatan tinggi,

misalnya jaringan saraf tiruan. Revolusi komputer telah membawa implikasi

perkembangan statistika di masa mendatang, dengan penekanan baru pada statistika

eksperimental dan empirik.

II. VARIABLE DAN DATA

Pengertian Data dan Variabel

Data adalah kumpulan kumpulan fakta atau angka atau segala sesuatu yang dapat

dipercaya kebenarannya sehingga dapat digunakan sebagai dasar menarik suatu

kesimpulan.

Variabel adalah karakteristik yang dapat diamati dari sesuatu (objek) dan mampu

memberikan bermacam-macam nilai atau beberapa kategori.

Penggolongan Data Statistik 

1. Ditinjau dari variabel yang diteliti (segi sifat angkanya), data statistik dapat

dibedakan menjadi dua golongan, yaitu: data kontinu dan data diskrit.

- Variabel atau data kontinu adalah data statistik yang angka-angkanya merupakan

deretan angka yang sambung-menyambung. Dengan kata lain, data kontinu ialah data

yang deretan angkanya merupakan suatu kontinum. Contoh:

1. Data statistik mengenai tinggi badan (dalam ukuran sentimeter): 160-160,1- 160,2-

160,3-160,4-160, 5-160,6-160,7 dan seterusnya.

2. Data statistik mengenai berat badan (dalam ukuran kilogram): 50-50,1-50,2- 50,3-

50, 4-50,5-50,6-50,7-50,8-50,9 dan seterusnya.

- Variabel atau data diskrit ialah data statistik yang tidak mungkin berbentuk pecahan.

Contoh:

1. Data statistik tentang jumlah anggota keluarga (dalam satuan orang): 1 – 2 – 3 – 4 –

5 – 6 – 7 dan sebagainya.

2. Data statistik tentang jumlah buku-buku perpustakaan: (dalam satuan eksemplar):

50 – 125 – 307 – 5113 – 12891- dan sebagainya.

Dalam hal ini jelas bahwa tidak mungkin jumlah anggota keluarga = 1,25 – 3,50 dan

sebagainya; demikian pula tidak mungkin jumlah buku perpustakaan = 50,75 – 125,33

– 209,67 – dan sebagainya. 

2. Penggolongan berdasarkan cara menyusun angka ditinjau dari segi cara menyusun

angka, data statistik dapat dibedakan menjadi tiga macam; yaitu data nominal, data

ordinal, dan data interval. 

- Data Nominal ialah data statistik yang cara menyusun angkanya didasarkan atas

penggolongan atau klasifikasi tertentu. Data nominal juga sering dinyatakan dengan

data hitungan. Disebut demikian, karena data tersebut diperoleh dengan cara

menghitung (dalam hal ini menghitung jumlah siswa, baik menurut tingkatan studi

maupun jenis kelaminnya).

- Data ordinal juga sering disebut dengan data urutan, yaitu data statistik yang cara

menyusun angkanya didasarkan atas urutan kedudukan (ranking). 

- Data interval ialah data statistik yang terdapat jarak sama di antara hal-hal yang

sedang diselidiki atau dipersoalkan.

3. Penggolongan Data Berdasarkan Bentuk Angka ditinjau dari segi bentuk angkanya,

data statistik dapat dibedakan menjadi 2 (dua) macam, yaitu data tunggal (un grouped

data) dan data kelompok atau data bergolong (grouped data). 

- Data tunggal ialah data statistik yang masing-masing angkanya merupakan satu unit

(satu kesatuan). Dengan kata lain, data tunggal ialah data statistik yang masing-

masing angkanya merupakan satu unit (satu kesatuan) atau data statistik yang angka-

angkanya tidak dikelompokkan. 

- Data kelompok ialah data statistik yang tiap-tiap unitnya terdiri dari sekelompok

angka. 

4. Penggolongan Data Statistik Berdasarkan Sumbernya ditinjau dari sumber mana

data tersebut diperoleh, data statistik dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu: data

primer dan data sekunder.

- Data primer adalah data statistik yang diperoleh atau bersumber dari tangan pertama

(first hand data). Contoh: data tentang prestasi belajar siswa yang diperoleh dari

bagian kesiswaan.

 - Sedangkan data sekunder adalah data statistik yang diperoleh dari tangan kedua

(second hand data). Data tentang jumlah siswa yang tawuran pada tahun 2006,

diperoleh dari surat kabar harian Kompas. 

5. Penggolongan Data Statistik Berdasarkan Waktu Pengumpulannya ditinjau dari

segi waktu pengumpulannya, data statistik dapat dibedakan menjadi dua golongan,

yaitu: data seketika (cross section data) dan data urutan waktu (time series data). 

- Data seketika adalah data statistik yang mencerminkan keadaan pada satu waktu saja

(at a point time). Contoh, data statistik tentang jumlah guru di “SD Karawaci” dalam

tahun ajaran 2006/2007 (hanya satu tahun ajaran saja). 

- Data urutan waktu ialah data statistik yang mencerminkan keadaan atau

perkembangan mengenai sesuatu hal, dari satu alokasi waktu ke waktu yang lain

secara berurutan. Data urutan waktu sering juga dikenal dengan istilah historical data.

Contoh: data statistik tentang jumlah guru di “SD Karawaci” tahun ajaran 2002/2003

sampai dengan tahun 2006/2007.

Penggolongan Variabel 

Secara umum, variabel dibagi atas 2 (dua) jenis, yaitu variabel kontinu (continous

variabel) dan variabel deskrit (descrete variabel). Variabel dapat juga dibagi sebagai

variabel dependen dan variabel bebas. Variabel dapat dilihat sebagai variabel aktif

dan variabel atribut.

1. Variabel kontinu  adalah variabel yang dapat ditentukan nilainya dalam jarak

jangkau tertentu dengan desimal yang tidak terbatas. Sebagai contoh, berat, tinggi,

luas, pendapatan, dan lain sebagainya. Untuk berat badan misalnya, kita bisa menulis

75,0 kg, atau 76,14 kg, atau 40,5556. Luas panen, bisa 14,2 ha, 19,49 ha, atau

188,0003 ha.

2. Variabel diskrit adalah konsep yang nilainya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

pecahan atau desimal di belakang koma. Variabel ini sering juga dinyatakan sebagai

variabel kategori. Kalau mempunyai dua kategori saja dinamakan juga variabel

dikotomi. Sebagai contoh, jenis kelamin, terdiri atas laki-laki atau perempuan. Status

perkawinan, terdiri atas kawin atau tidak kawin. Apabila ada lebih dari dua kategori,

disebut juga variabel politomi. Tingkat pendidikan adalah variabel politomi, SD,

SMP, SMA, perguruan tinggi, dan sebagainya. Jumlah anak merupakan variabel

diskrit. Jumlah anak hanya dapat: 3, 4, atau 6. Tidak mungkin ada jumlah anak: 4,5;

5,6; 21/2, dan sebagainya.

3. Variabel Dependen dan Variabel Bebas Apabila ada hubungan antara dua variabel,

misalnya antara variabel Y dan variabel X, dan jika variabel Y disebabkan oleh

variabel X, maka variabel Y adalah variabel dependen dan variabel X adalah variabel

bebas. Contoh: jika dibuktikan ada hubungan antara motivasi intrinsik (variabel

bebas) dan prestasi belajar (variabel dependen), maka dengan meningkatnya motivasi

intrinsik meningkat juga skor prestasi belajar. Model matematika hubungan tersebut,

dinyatakan delam fungsi sebagai berikut.

X = f (Y) 

Keterangan: 

Y = prestasi belajar 

X = motivasi intrinsik 

f = fungsi

4. Variabel Aktif Variabel aktif adalah variabel yang dimanipulasikan oleh peneliti.

Apabila seorang peneliti memanipulasikan metode mengajar, metode memberikan

hukuman kepada siswa, maka metode mengajar dan memberikan hukuman pada

siswa adalah variabel-variabel aktif, karena variabel ini dapat dimanipulasikan.

5. Variabel Atribut Variabel-variabel yang tidak dapat dimanipulasikan atau sukar

dimanipulasikan, dinamakan variabel atribut. Variabel-variabel atribut umumnya

merupakan karakteristik manusia seperti; inteligensia, jenis kelamin, status

sosial, pendidikan, sikap, dan sebagainya. Variabel-variabel yang merupakan objek

inanimate seperti populasi, rumah tangga, daerah geografis, dan sebagainya, adalah

juga variabel-variabel atribut.

III. JENIS DATA

Sebelum mengenal lebih jauh tentang statistika, sebaiknya kita mengetahui

dahulu jenis data statistika. Dalam ilmu statistika, jenis data dibedakan menjadi empat

yaitu nominal, ordinal, interval dan rasio.

1.   Nominal

Data berjenis nominal membedakan data dalam kelompok yang bersifat kualitatif.

Dalam ilmu statistika, data nominal merupakan data dengan level pengukuran yang

paling rendah.

Contohnya:

Data jenis kelamin pada sampel penelitian Departemen Pendidikan, data siswa

dikategorikan menjadi ’laki-laki’ yang diwaliki angka 1 dan ’perempuan’ yang

diwakili angka 2. Konsekuensi dari data nominal adalah tidak mungkin seseorang

memiliki dua kategori sekaligus dan angka yang digunakan di sini hanya sebagai

kode/simbol saja sehingga tidak dapat dilakukan operasi matematika.

2.   Ordinal

Dalam ilmu statistika, data berjenis ordinal mempunyai level pengukuran yang lebih

tinggi daripada data nominal dan termasuk data kualitatif. Pada data nominal semua

data dianggap bersifat kualitatif dan setara, sedangkan pada data ordinal terdapat

klasifikasi data berdasarkan tingkatannya.

Contohnya:

Mengenai tingkat pendidikan yang dikategorikan menjadi ’SD’ yang diwakili angka

1, ’SMP’ yang diwakili angka 2, ’SMA’ yang diwakili angka 3, ’Diploma’ yang

diwakili angka 4, dan ’Sarjana’ yang diwakili angka 5. Sama halnya dengan data

nominal, meskipun tingkatannya lebih tinggi, data ordinal tetap tidak dapat dilakukan

operasi matematika. Angka yang digunakan hanya sebagai kode/simbol saja, dalam

contoh tadi tingkat pendidikan tertinggi adalah ’Sarjana’ dan terendah adalah ’SD’

(Sarjana > Diploma > SMA > SMP > SD).

3.   Interval

Data berjenis interval termasuk dalam kelompok data kuantitatif. Dalam ilmu

statistika, data interval mempunyai tingkat pengukuran yang lebih tinggi daripada

data nominal maupun ordinal. Angka yang digunakan dalam data ini, selain

menunjukkan urutan juga dapat dilakukan operasi matematika. Angka nol yang

digunakan pada data interval bukan merupakan nilai nol yang nyata.

Contohnya:

Interval nilai pelajaran matematika siswa SMA 4 Surabaya adalah antara 0 sampai

100. Bila siswa A dan B masing-masing mempunyai nilai 45 dan 90, bukan berarti

tingkat kecerdasan B dua kali A. Nilai 0 sampai 100 hanya merupakan rentang yang

dibuat berdasarkan kategori pelajaran matematika dan mungkin berbeda dengan mata

pelajaran lain.

4.   Rasio

Dalam ilmu statistika, data rasio merupakan tipe data dengan level pengukuran yang

paling tinggi dibandingkan dengan tipe data lain. Data ini termasuk dalam kelompok

data kuantitatif. Angka yang digunakan pada data ini menunjukkan angka yang

sesungguhnya, bukan hanya sebagai symbol dan memiliki nilai nol yang

sesungguhnya. Pada data ini, dapat dilakukan berbagai operasi matematika.

Contohnya:

Dalam sebuah bank, seseorang mempunyai tabungan dengan saldo 10.000.000 rupiah.

Angka tersebut menunjukkan bahwa orang tersebut benar-benar mempunyai saldo

sebesar 10.000.000 rupiah. Jika seseorang mempunyai saldo -1.000.000 rupiah berarti

orang tersebut mempunyai hutang sebesar 1.000.000 rupiah. Sedangkan jika

seseorang mempunyai saldo 0 rupiah berarti orang tersebut tidak mempunyai

tabungan maupun hutang.

IV. PEMILIHAN PRESENTASI DATA TEPAT

1. Populasi dan Sampel

Populasi yaitu sekelompok orang, kejadian atau segala sesuatu yang mempunyai

karakteristik tertentu. Populasi adalah keseluruhan subjek penelitian anggota populasi

disebut dengan elemen populasi. Apabila seseorang ingin meneliti semua elemen

yang ada dalam wilayah penelitian, maka penelitiannya merupakan penelitian

populasi atau disebut studi populasi, atau juga studi sensus. 

Sampel, jika hanya ingin meneliti sebagian dari populasi, maka penelitiannya disebut

penelitian sampel. Sampel adalah sebagian atau wakil dari populasi yang diteliti.

Berdasarkan hasil sampel, peneliti kemudian menarik kesimpulan dalam sampel

sebagai kesimpulan penelitian yang berlaku bagi populasi.

2. Prosedur Pemilihan Sampel

Beberapa faktor yang menjadi alasan kenapa peneliti melakukan penelitian sampel

daripada sensus (populasi) adalah :

1. Jika jumlah elemen populasi-nya terlalu banyak, peneliti tidak akan mungkin

mengumpulkan seluruhnya karena butuh tenaga dan biaya yang relatif mahal.

2. Kualitas data yang dihasilkan oleh penelitian sampel seringkali lebih baik

dibandingkan dengan hasil sensus.

3. Proses penelitian sampel relatif lebih cepat.

4. Alasan lain, adalah jika dilakukan penelitian yang memerlukan pengujian yang

bersifat merusak.

Agar diperoleh sampel yang representatif peneliti perlu menggunakan prosedur

pemilihan sampel yang sistematis. Tahapannya adalah sebagai berikut :

1. Mengidentifikasi populasi target

2. Memilih kerangka pemilihan sampel

3. Menentukan metode pemilihan sampel

4. Merencanakan prosedur penentuan unit sampel

5. Menentukan ukuran sampel

6. Menentukan unit sampel

3. Metode Pemilihan Sampel Probabilitas dan Non-Probabilitas

Metode Pemilihan Sampel Probabilitas Pengambilan sampel probabilitas/acak

adalah suatu metode pemilihan sampel dimana setiap anggota populasi mempunyai

peluang yang sama untuk dipilih menjadi anggota sampel. Dari beberapa cara

pengambilan sampel dengan metode ini, tiga diantaranya adalah sebagai berikut :

1. Cara acak sederhana (Simple Random Sampling) Pengambilan sampel dengan

teknik ini terdiri dari beberapa cara, salah satu diantaranya adalah cara

sistematis/ordinal. Cara sistematis/ordinal merupakan teknik untuk memilih

anggota sampel melalui peluang dan teknik dimana pemilihan anggota sampel

dilakukan setelah terlebih dahulu dimulai dengan pemilihan secara acak untuk

data pertamanya.

2. Cara Stratifikasi (Stratified Random Sampling) Suatu populasi yang dianggap

heterogen menurut suatu karakteristik tertentu dikelompokan dalam beberapa sub-

populasi, sehingga tiap kelompok akan memiliki anggota sampel yang relatif

homogen (keragaman antar populasi tinggi sedangkan antar strata/sub-populasi

rendah). Lalu dari tiap sub-populasi ini secara acak diambil anggota sampelnya.

3. Cara Cluster (Cluster Sampling) Merupakan teknik pengambilan sampel dari

beberapa kelompok populasi secara acak, kemudian mengambil semuanya atau

sebagian dari setiap kelompok yang terpilih untuk dijadikan sampel. Pengambilan

sampel cluster mirip dengan cara stratifikasi, bedanya jika cara stratifikasi

menghasilkan kelompok yang unsur – unsurnya homogen maka dengan cara

cluster unsur – unsurnya menjadi heterogen. Metode Pemilihan Sampel Non-

probabilitas

Dengan cara ini semua elemen populasi belum tentu memiliki peluang yang sama

untuk dipilih menjadi anggota sampel. Cara ini juga sering disebut sebagai

pengambilan sampel berdasarkan pertimbangan, karena dalam pelaksanaanya pe-

riset menggunakan pertimbangan tertentu.

Berikut ini lima macam teknik sampling non-probabilitas :

1) Cara Keputusan (Judgment Sampling)

Sampling diambil berdasarkan kriteria yang telah dirumuskan terlebih dahulu oleh

peneliti. Cara ini lebih cocok dipakai pada saat tahap awal studi eksploratif.

2) Cara Dipermudah (Convinience Sampling)

Sampel dipilih karena ada ditempat dan waktu yang tepat. Penggunaan sampling ini

biasa digunakan pada awal penelitian eksploratif untuk mencari kondisi awal yang

menarik.

3) Cara Kouta (Quota Sampling)

Quota Sampling adalah metode memilih sampel yang mempunyai ciri-ciri tertentu

dalam jumlah atau quota yang diinginkan, teknik ini sangat mudah dan cepat

digunakan namun penentuan sampel cenderung subyektif.

4) Cara Bola Salju (Snowball Sampling)

Cara ini adalah teknik penentuan sampel yang mula – mula jumlahnya kecil

namun kemudian sampel diajak untuk memilih responden lain untuk dijadikan

sampel lagi, begitu seterusnya hingga jumlah sampel menjadi banyak.

5) Area Sampling

Pada prinsipnya cara ini menggunakan “perwakilan bertingkat”. Populasi dibagi

atas beberapa bagian populasi, dimana bagian populasi ini dapat dibagi – bagi

lagi.

3. Penentuan Ukuran Sampel

Ukuran sample tergantung beberapa faktor yang mempengaruhi diantaranya ialah:

a. Homogenitas unit-unit sample:

Secara umum semakin mirip unit-unit sampel; dalam suatu populasi semakin kecil

sample yang dibutuhkan untuk memperkirakan parameter-parameter populasi.

b. Kepercayaan:

Kepercayaan mengacu pada suatu tingkatan tertentu dimana peneliti ingin merasa

yakin bahwa yang bersangkutan memperkirakan secara nyata parameter populasi

yang benar. Semakin tinggi tingkat kepercayaan yang diingnkan, maka semakin

besar ukuran sample yang diperlukan. 

c. Presisi:

Presisi mengacu pada ukuran kesalahan standar estimasi. Unutk mendapatkan

presisi yang besar dibutuhkan ukuran ssmpel yang besar pula.

d. Kekuatan Statsitik:

Istilah ini mengacu pada adanya kemampuan mendeteksi perbedaan dalam situasi

pengujian hipotesis. Untuk mendpatkan kekuatan yang tinggi, peneliti

memerlukan sample yang besar.

e. Prosedur Analisa:

Tipe prosedur analisa yang dipilih untuk analisa data dapat juga mempengaruhi

seleksi ukuran sample.

f. Biaya, Waktu dan Personil:

Pemilihan ukuran sample juga harus memeprtimbangkan biaya, waktu dan

personil. Sample besar akan menuntut biaya besar, waktu banyak dan personil

besar juga.

Ada bermacam – macam cara untuk menentukan ukuran sampel dari suatu

populasi, baik untuk ukuran populasi yang diketahui maupun yang tidak diketahui

(atau terlalu besar).

1. Rumus Slovin

Untuk menentukan berapa minimal sampel yang dibutuhkan jika ukuran

populasi diketahui, dapat digunakan rumus slovin.

2. Cara Interval Takisiran

Jika ukuran populasi tidak diketahui atau sangat besar, maka rumus yang

dipakai yakni rumus untuk menaksir parameter µ dan parameter P. Alat

analisis yang digunakan untuk menyesuaikan sampel adalah alat analisis Chi-

Square yang menuntut jumlah observasi tertentu.

Menaksir parameter rata – rata X – Za/2 ( σ/√n) < µ < X + Za/2 (σ/√n)

Menaksir parameter proporsi  P ± Za/2 √(p.q/n)

4. Contoh Penerapannya

Penerapan teknik pemilihan sampel biasanya dilakukan untuk membuat

penelitian/riset terhadap suatu kelompok objek yang akan diteliti penerapanya

tersebut dapat berupa kuisioner, wawancara dll.

V. ARTI UKURAN GEJALA PUSAT

1. Pendahuluan

Untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan

data mengenai sesuatu persoalan, baik mengenai sampel atau pun

populasi, selain dari data disajikan dalam tabel dan diagram, masih

diperlukan ukuran-ukuran yang merupakan wakil kumpulan data tersebut.

Dalam bab ini akan diuraikan tentang ukuran gejala pusat (rata-rata atau

rata-rata hitung, rata-rata ukur, rata-rata harmonis dan modus) dan

ukuran letak (median, kuartil, desil, dan persentil).

Ukuran yang dihitung dari kumpulan data dalam sampel dinamakan

statistik. Apabila ukuran itu dihitung dari kumpulan data dalam populasi

atau dipakai untuk menyatakan populasi, maka namanya parameter

bergantung pada apakah ukuran dimaksud untuk sampel atau populasi.

Rata-rata (average) ialah suatu nilai yang mewakili suatu kelompok

data. Nilai ini disebut juga ukuran gejala pusat karena pada umumnya

mempunyai kecenderungan terletak di tengah-tengah dan memusat ke

dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai

data.

Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan ialah:

1. Mayor Means terdiri dari:

Rata-rata hitung (Arithmetic means)

Median

Quartile

Decile

Percentile

Modus

2. Minor Means, terdiri dari:

Rata-rata ukur (Geometric means)

Rata-rata Harmonis (Harmonic Means)

Rata-rata Tertimbang

Rata-rata Kuadratis

Rata-rata dari Rata-rata (rata-rata gabungan)

Pengukuran nilai rata-rata dapat dilakukan dengan menggunakan

data populasi maupun data sampel, dan dari data yang belum

dikelompokkan maupun yang sudah dikelompokkan.

2. Ukuran Gejala Pusat

a. Rata-rata atau rata-rata hitung

Nilai –nilai data kuantitatif atau dinyatakan dengan x1, x2..........xn,

apabila dalam kumpulan data itu terdapat n buah nilai, simbol n juga akan

dipakai untuk menyatakan ukuran sampel, yakni banyak data yang diteliti

dalam sampel dengan simbol N dan dipakai untuk menyatakan populasi,

yakni banyak anggota terdapat dalam populasi.

Rata-rata atau lengkapnya rata-rata hitung, untuk data kuantitatif

yang terdapat dalam sebuah sampel dihitung dengan jalan membagi

jumlah nilai data oleh banyak data.

Simbol untuk rata-rata dari sampel ialah X , sedangkan untuk rata-

rata dari populasi dipakai simbol µ. Jadi X adalah statistik yang

merupakan ukuran yang dihitung dari data dalam sampel, sedangkan µ

adalah parameter yang merupakan ukuran yang dihitung dari data dalam

populasi.

Rumus untuk rata-rata X , adalah :

X=x1+x2+……+xn

natau X=

∑i=1

n

x i

n

Dengan :

x1 , x2, ...... : Nilai-nilai individual

n : Juml;ah individu dalam distribusi (sampel).

Contoh :

Jika ada nilai ujian dari 5 orang mahasiswa untuk mata kuliah

statistika berbentuk : 70 :69: 45 : 80 dan 56 jadi untuk ke lima nilai ujian

di atas, nilai rata-ratanya ialah :

X=70+69+45+80+565

=64

b. Modus

Modus disingkat Mo, ukuran yang menyatakan fenomena yang

paling banyak terjadi atau paling banyak terdapat. Untuk data kuantitatif

ditentukan dengan jalan menentukan frekuensi terbanyak di antara data

itu.

Ukuran ini juga dalam keadaan tidak disadari sering dipakai untuk

menentukan “rata-rata” data kualitatif. Jika kita dengan atau baca:

kebanyakan kematian di Indonesia disebabkanoleh penyakit malaria, pada

umumnya kecelakaan lalu lintas karena kecerobohan pengemudi, maka

ini tiada lain masing-masing merupakan modus penyebab kematian dan

kecelakaan lalu lintas.

Contoh :

Terdapat sampel dengan nilai-nilai data : 12, 34, 14, 34, 28, 34, 34,

28, 14. Dalam tabel dapat disusun seperti dibawah ini :

Tabel 1

xi fi

12

14

28

34

1

2

2

4

Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi,

modusnya dapat ditentukan: Mo = b + p ( b1

b1+b2)

Untuk:

Frekuensi terbanyak, ialah f = 4,

terjadi untuk data bernilai 34. Maka

modus Mo = 34.

b = batas bawah kelas modal, ialah kelas interval dengan frekuensi

terbanyak.

P = panjang kelas modal.

b1= frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval

terdekat sebelumnya.

b2= frekuensi kelas modal dikurangi frekuensi kelas interval

terdekat sebelumnya.

Contoh:

Untuk mencari modus Mo data tabel 1, maka diperoleh :

Tabel 2

Kelembaban (x) f

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

1

2

5

15

25

20

12

Jumlah 80

Kelas modus = kelas kelima = 71 - 80

b = 70,5

b1 = 25 – 15 = 10

b2 = 25 – 20 = 5

p = 10.

Mo = 70,5 + (10) (1010+5 )

= 77,17

Modus, dibandingkan dengan ukuran lainnya, tidak tunggal

adanya. Ini berarti sekumpulan data tidak bisa mempunyai lebih dari

sebuah modus.

c. Median

Median (Me), menentukan letak data setelah data itu disusun

menurut uratan nilainya, artinya 50 % dari data harga-harganya paling

tinggi sama dengan Me sedangkan 50 % lagi harga-harganya paling

rendak sama dengan Me.

Setelah data disusun menurut nilainya dan jika banyak:

Data ganjil, maka median Me, , merupakan data paling tengah.

Untuk sampel berukuran genap, setelah data disusun menurut

urutan nilainya, mediannya sama dengan rata-rata dihitung dua

data tengah.

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi

frekuensinya, mediannya dihitung dengan rumus :

Me = b + p ( 1

2n−F

f )Dengan :

b = batas bawah kelas median, ialah kelas dimana median

akan terletak.

P = panjang kelas mediannya.

n = ukuran sampel atau banyak data

F = jumlah semua frekuensi sebelum kelas median.

f = frekuensi kelas median.

Contoh :

Jika untuk Data Kelembatan Hidrometeorologi di Singomerto

Selama 80 Hari akan dihitung mediannya dengan menggunakan

daftar berikut kita tempuh hal dibawah ini :

Tabel 3

Nilai (f)

31 – 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

1

2

5

15

25

20

12

Jumlah 80

b = 70,5; p = 10,

f = 35, sehingga

Me = 70,5 + (10)(40−2325 )=77 ,3

Setengah dari seluruh data ada 40

buah. Jadi median akan terletak di

kelas interval kelima, karana sampai

dengan ini jumlah frekuensi sudah

lebih dari 40. Dari kelas median ini

didapat

Ada 50 % dari data yang bernilai paling rendah 77,3 dan

setengahnya lagi bernilai paling besar 77,3.

Dari data dalam Daftar 3 tentang nilai ujian 80 mahasiswa, telah

didapat x = 76,62; Mo = 77,17 dan Me = 77,3. Kita lihat bahwa

harga-harga statistik tersebut berlainan

Ketiga nilai, yakni : rata-rata, median dan modus akan sama bila

kurva halusnya simetrik. Untuk fenomena dengan kurva halus positif atau

negatif, terdapat hubungan: Rata-rata – Mo = 3(Rata-rata-Me)

Median sering dipakai untuk “memperbaiki” harga rata-rata untuk

sekumpulan data. Jika terdapat harga ekstrim, sering rata-rata kurang

respresentatif sebagai ukuran gejala pusat. Dalam hal ini median dipakai

untuk “memperbaikinya”.

Kuartil, adalah nilai yang membagi sekelompok data menjadi 4

bagian yang sama banyak, sesudah disusun menurut urutan

nilainya. Ada tiga buah kuartil, ialah kuartil pertama, kuartil

kedua, dan kuartil ketiga yang masing-masing disingkat K1, K2,

K3. Pemberian nama ini dimulai dari kuartil paling kecil. Untuk

menentukan nilai kuartil :

1. susun data menurut urutan nilainya

2. tentukan letak kuartil

3. tentukan nilai kuartil

Letak K1= data ke

i( n+1)4 , dengan I = 1,2, 3

Contoh :

Sampel dengan data 75 82 66 57 64 56 92 94 86 52 60 70

setelah disusun menjadi : 52 56 57 60 64 66 70 75 82 86

92 94

Letak K1 = data ke

12+14 =data ke 3 1/4

K1 = data ke 3 + ¼ (data ke 4 – data ke 3)

= 57 + ¼ (60 – 57) = 57 ¾.

Letak K3 = data ke

3(12+1)4

= data ke 9 ¼.

K3 = data ke-9 + ¾ (data ke-10 – data ke 9)

= 82 + ( ¾ )(86-82) = 85

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi,

kuartil Ki (i = 1, 2, 3) dihitung dengan rumus :

Ki = b + p ( in

4−F

f ), dengan i = 1,2, 3

Dengan :

b = batas bawah kelas Ki, ialah kelas interval di mana Ki akan

terletak.

p = panjang kelas Ki

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Ki

f = frekuensi kelas Ki

Desil, yaitu nilai yang membagi sekumpulan data menjadi 10

bagian yang sama setelah dta itu diurutkan. Karenanya ada

sembilan buah desil ialah desil pertama, desil kedua,……, desil

kesembilan yang disingkat dengan D1, D2,……….D3.

Desil- desil ini dapat ditentukan dengan jalan.

1. susun data menurut urutan nilainya

2. tentukan letak desil

3. tentukan nilai desil

Letak desil ditentukan oleh rumus :

Letak Di = data ke

i( n+1)10 ,dengan i = 1, 2, 3 ……, 9

Contoh :

Untuk data yang telah disusun dalam contoh terdahulu ialah

52 56 57 60 64 66 70 75 82 86 92 94, maka letak D7 =

data ke

7(12+1)10

=data ke 9,1.

Nilai D7 = data ke-9 + (0,1) (data ke-10 – data ke 9) atau D7 =

82 + (0,1) (86 – 82) = 82,4.

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, nilai Di (i = 1,2,

….., 9) dihitung dengan rumus :

Di = b + p ( in10

−F

f ), dengan i = 1, 2, 3 …

Dengan :

b = batas bawah kelas Di,

p = panjang kelas Di

F = jumlah frekuensi sebelum kelas Di

f = frekuensi kelas Di.

Jika sekumpulan data yang dibagi menjadi 100 bagian yang

sama akan menghasilkan 99 pembagi yang berturut-turut

dinamakan persentil pertama, persentil kedua,……., persentil

ke 99. Simbol yang digunakan berturut-turut P1, P2 …….., P99.

Karena cara perhitungannya sama seperti perhitungan desil,

maka disini hanya diberikan rumus-rumusnya letak persentil P i

(I = 1,2,3 ….., 99) untuk sekumpulan data ditentukan oleh

rumus : Letak Pi = data ke

i( n+1)100 , dengan i = 1, 2, 3 ……, 99

Untuk nilai Pi untuk data dalam daftar distribusi frekuensi

dihitung dengan :

Pi = b + p ( in100

−F

f ), dengan i = 1, 2, 3 …..,99

Dengan :

b = batas bawah kelas Di, p = panjang kelas Di

F = jumlah frekuensi sebelum kelas Di

f = frekuensi kelas Di.

d. Rata-rata ditimbang

Rata-rata ditimbang adalah rata-rata yang memperhitungkan

frekuensi dari tiap-tiap nilai variabel. Rumus untuk rata-rata ini adalah:

X=∑ f i xi

∑ f i

Contoh :

Jika 5 mahasiswa mendapat nilai 70 : 6 mahasiswa mendapat 69

: 3 mendapat nilai 45 : seorang mahasiswa mendapat nilai 80 :

dan seorang lagi mendapat nilai 56 untuk data tersebut

sebaliknya ditulis sebagai berikut :

X1 f2 F1xX1

70 5 350

69 6 414

45 3 135

80 1 80

56 1 56

Jumlah 16 1035

Pada nilai rata-rata ujian tersebut untuk ke-16 mahasiswa itu

ialah :

X=103516

=64,6

e. Rata-rata gabungan

Rata-rata gabungna, yaitu rata-rata dari beberapa sampel lalu

disajikan satu. Misalnya kalau k buah sampel masing-masing diketahui

Sampel 1 berukuran nk dengan rata-rata x1

Sampel 2 berukuran nk dengan rata-rata x2

Sampel k berukuran nk dengna rata-rata xk, maka rata-rata gabungan dari

k buah sampel itu dihubungkan dengan:

X=∑ ni x1

∑ ni

Contoh :

Tiga sampel masing-masing berkuran 10 : 6 dan 8 sedangkan

rata-rata masing-masing 145 : 118 : 162. Jadi rata-rata

gabungan adalah :

X=(10 ) (145 )+ (6 ) (118 )+(8)(162)

10+6+8=143,9

f. Rata-rata dari distribusi frekuensi

Menghitung rata-rata dari distribusi frekuensi pada hakekatnya

tidak berbeda dengan menghitung rata-rata dari distribusi tunggal. Hanya

saja nilai x disini tidak lagi mewakili nilai variabel individual, melainkan

mewakili titik tengah interval kelas. Jadi x disini adalah mewakili titik dari

interval kelas dalam distribusi. Dalam hal ini cara menghitung rata-rata

daftar distribusi frekuensi adalah dengan cara koding atau cara singkat

dengan rumus sebagai berikut :

X=x0+ p¿¿ dengan :

X : Rata-rata yang sebenarnya / yang dicari

x0 : Rata-rata tekanan (titik tengah)

p : Panjang interval kelas

f ic i : Jumlah deviasi kesalahan akibat tekanan

f i : Jumlah frekuensi

Contoh :

Untuk data nilai ujian 80 mahasiswaa dalam table sebagai

berikut :

Interval kelas

nilai

F1 X1 a F1c1

31 - 40 1 35,5 -4 -4

41 - 50 2 45,5 -3 -6

51 - 60 5 55,5 -2 -10

61 - 70 15 65,5 -1 -15

71 - 80 25 75,5 0 0

81 - 90 20 85,5 1 20

91 - 100 12 95,5 2 24

Jumlah 80 9

Jadi X=75,5+10( 980 )=76,62 (Rata-rata nilai ujian)

g. Rata-rata ukur

Jika perbandingan tiap dua data berurutan tetap atau hampir tetap,

rata-rata umur lebih baik dipakai dari pada rata-rata hitung, apabila

dikehendaki rata-rata. Untuk data bernilai x1, x2, ........., xn maka rata-rata

ukur U didefinisikan sebagai berikut :

U=√x1 x2 x3……… xn

Yaitu akar pangkat n dari produk (x1 x2 x3 ……… xn¿

Contoh : rata-rata ukur untuk data x1 = 2 : x2 = 4 : x3 = 8 adalah

U=3√2.4 .8=4

Untuk bilangan bernilai besar, lebih baik digunakan logaritma

menjadi:

log U ∑ log x1

n

Untuk fenomena yang bersifat tumbuh, seperti pertumbuhan

penduduk, bakteri dan lainnya, sering digunakan rumus yang mempunyai

rata-rata ukur adalah :

Pt=P0( 1+x100 )

t

Dimana

P0 = Keadaan awal

Pt = Keadaan akhir

x = Rata-rata pertumbuhan setiap satuan waktu

t = satuan waktu yang digunakan

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

dipakai rumus :

log U=∑ ( f i log x¿¿1)

∑ f i

¿

h. Rata-rata harmonis

Untuk data x1, x2, ........,xn dalam sebuah sampel berukuran n maka

rata-rata harmonis ditentukan oleh :

H= n1/ x i

Contoh : rata-rata harmonis untuk kumpulan data :3, 5, 6, 7, 10,

12 dengan n = 7 adalah :

H= 71/3+…+1/12

=5,87

Untuk data dalam daftar distribusi frekuensi maka rata-rata

harmonis ditulis dengan rumus :

H=∑ f i

∑ ( f i / x i )

i. Modus

Untuk menyatakan fenomena yang paling banyak terjadi atau paling

banyak terjadi. Digunakan modus disingkat Mo. Modus dapat dibatsi

sebagai :

Nilai variabel yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam

distribusi (distribusi tunggal)

Titik tengah interval kelas yang mempunyai frekuensi tertinggi

dalam distribusi (distribusi frekuensi).

Modus untuk data kualitatif ditentukan dengan cara menentukan

penyebab dari suatu akibat, sedangkan untuk data kuantitatif adalah

dengan jalan menentukan frekuensi terbanyak diantara data itu. Jadi

modus adalah nilai, bukan frekuensi yang tertinggi .

Contoh : jika dalam distribusi tunggal terdapat sampel dengan nilai-nilai :

12 34 14 34 28 34 34 28 14.

Modus dari data tersebut adalah : Mo = 34

Jika data kuantitatif telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi :

modus ditulis dengan rumus :

Mo=b+ p ( b1

b1+b2)

Dimana :

b : batas bawah nyata kelas modus, ialah kelas interval dengan

frekuensi terbanyak

p : Panjang kelas modus

b1 : Frekuensi kelas moduus dikurangi frekuensi kelas interval

sebarannya.

b2 : Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas interval berikutnya.

Contoh:

Interval Kelas (nilai) F1

31 – 40 1

41 – 50 2

51 – 60 5

61 – 70 15

71 – 80 25

81 – 90 20

91 – 100 12

Jumlah 80

Mo=75,5+(10 )( 1010+5 )=77,17

Modus dibanding dengan ukuran lainnya, tidak tunggal adanya. Ini berarti

sekumpulan data biasa mempunyai lebih dari satu modus.

VI. ARTI SEBARAN DATA

1. Pendahuluan

Selain ukuran gejala pusat dan ukuran letak, masih ada lagi

ukuran lain ialah ukuran simpangan atau ukuran dispensi. Ukuran

ini kadang-kadang dinamakan pula ukuran variasi, yang

menggambarkan bagaimana berpencarnya data kuantitatif.

Ukuran sebaran data adalah ukuran yang menunjukkan sebaran

atau penyimpangan tiap observasi data terhadap suatu harga

tengah. Beberapa ukuran dispersi yang terkenal dan akan

diuraikan disini ialah : rentang, rentang antar kuartil, simpangan

kuartil atau deviasi antar kuartil, rata-rata simpangan atau rata-

rata deviasi, simpangan baku atau deviasi standar, varians dan

koefisien variasi.

a. Jangkauan/Rentang (Range)

Jangakauan atau rentang adalah nilai yang diperoleh dengan  mengurangkan

nilai maksimum dari data dengan nilai minimun dari data. Range dapat

diartikan juga sebagai selisih nilai tertinggi (maksimum) dan nilai terendah

(minimum).

Range = score max – score min

Misal :

dimiliki data : 1,4,2,5,7,3,8,2 dimana nilai maksimum dan minimum dari data

berturut-turut :8 dan 1.

Maka range atau jangkauan dari data tersebut adalah 8 – 1 = 7

Nilai koefisiemn relatif diberikan sebagai berikut:

Koefisien Relatif Range (KR) = max−minmax+min

Dari data di atas dapat dihitung KR sebagai berikut :

KR = max−minmax+min

= 8−18+1

= 79=0,77.

Karena mudahnya dihitung, rentang ini banyak sekali digunakan dalam cabang

lain statistika, ialah statistika industri.

Rentang antar kuartil juga mudah ditentukan, dan merupakan selisih antar

K3 dan K1. Jadi didapatlah hubungan :

RAK = K3 – K1

Dengan:

RAK = rentang antar kuartil

K3 = kuartil ketiga,

K1 = kuartil pertama.

Simpangan kuartil atau deviasi kuartil atau disebut juga rentang semi antar

kuartil, harganya setengah dari rentang antar kuartil. Jadi, jika simpangan

kuartil disingkat SK, maka :

SK = 12

( K3−K 1)

b. Deviasi Rata-rata

Deviasi rata-rata adalah harga sebaran tiap observasi data terhadap rata-

ratanya. Misalkan data hasil pengamatan berbentuk x1, x2, ......, xn dengan rata-

rata X . Jarak ini, dalam simbol ditulis |X i−X| (baca: harga mutlak dari selisih

X i dengan X ). Dengan |a| berarti sama dengan a jika a positif, sama dengan –

a jika a negatif dan nol jika a = 0. Jadi hargai mutlak, selalu memberikan tanda

positif, karena inilah |X i−X| disebut jarak antara X i dengan X . Jika sekarang

jarak-jarak: |X1−X|, |X2−X|, ................, |Xn−X| dijumlaahkan, lalu dibagi

oleh n, maka dipeeroleh satuan yang disebut rata-rata simpangan atau deviasi

rata-rata. Deviasi rata-rata dapat dirumuskan sebagai berikut :

RS=∑|X1−X|

n

Dengan:

RS berarti = deviasi rata-rata

N = banyaknya data

X = rata-rata

Contoh :

dimiliki data : 340, 525, 450, 210, 275 dan diketahui mean =

360.

X1 ( X i−X ) |X i−X|

210 -150 150

275 -85 85

340 -20 20

450 90 90

525 165 165

0 510

Maka :

RS=∑|X1−X|

n=150

5=102

c. Varians dan simpangan baku

Untuk mengetahui informasi rata-rata menyimpangnya data

dari rataan, orang lebih suka menggunakan informasi varians

atau simpangan baku. Sebenarnya mean simpangan juga

mencerminkan hal dimaksud di atas.

σ 2=1n∑i=1

N

( X1−X )2

Akan tetapi secara statistika nilai mean simpangan tersebut

merupakan nilai bias yang cukup besar terhadap nilai

populasinya, sehingga orang memilih bukan mutlak tetapi

bentuk kuadratnya. Nilai varians populasinya adalah :

s2=1n∑i=1

n

( X1−X )2

Dimana n merupakan jumlah data populasi.

Untuk menjangkau nilai varians populasi tersebut biasanya

diambil sampel sejumlah n data yang representatif yakni x1,

x2, ......, xn. Varians sampel disimbolkan s2, tergeneralisasi, mengiluti

rumusnya di atas diberikan:

Akan tetapi secara statistika dapat dibuktikan bahwa s2 merupakan penaksiran

populasi yang bias. Dengan modifikasi rumus varians sampel yang tak bias

adalah sebagai berikut :

s2= 1n−1

∑i=1

n

( X 1−X )2

Dimana n adalah banyaknya data sampel.

Rumus tersebut dapat disajikan dalam bentuk lain dengan cara menguraikan

bentuk kuadrat dan menyederhanakannya, diperoleh :

Simpangan Baku (S) adalah merupakan akar dari Varians yaitu :

s2=n∑

i=1

n

x12−(∑ x i )

2

n ( n−1 )

S=√s2