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E

D I T

O R

I A L

Este es el tercer número de color naran- ja. Como habrás podido observar, cadaaño los boletines tendrán el mismo coloren el fondo de la portada, con el fin deque puedan distinguirse de los otrosaños con facilidad. Aún falta otro ejem-plar que será editado a finales de año.

En este boletín por fin conseguimosalgo largamente anhelado, Aníbal nosexplica cómo se puede crear, ahora quetenemos la teoría, sólo falta la práctica,¡ánimo!, esperamos ver pronto vuestrascreaciones.

También presentamos un gran plegador,

desconocido para gran la mayoría delos socios: Ronald Koh, que estamosseguro os va a gustar, sobretodo a losamantes de la papiroflexia complicada.

Por último, quisiéramos reiterar que unsocio no es solamente una persona a lacual le llega el boletín. Un socio puedey debe colaborar en la confección dedicho boletín mandándonos noticias,ideas, sugerencias y hasta quejas. Espor ello que desde aquí volvemos apedir una vez más vuestra colaboración,todos tenemos algo que decir y aportar.

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AKIRA

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4 PAPIROFLEXIA DE

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5AKIRA YOSHIZAWA

Yoshizawa quiere hacer una gran fiesta dedespedida, y para ello ha invitado a sus mejoresamigos en el mundo. Junto con Carlos acudirána Japón pegadores de la talla de David Brill,Eric Joisel, Michael LaFosse, Jonathan Baxtery Susanna Wellenberg. Nos llena de orgullotener un español entre personajes tan ilustresy esperamos ansiosos la vuelta de Carlos paraque nos transmita todas sus experiencias.

Por último, quisimos que Carlos nos explicaraen sus propias palabras el por qué de su viajea Japón con el gran maestro Yoshizawa.

Del 6 al 18 de octubre se celebró en Tokiouna gran exposición retrospectiva sobre laobra de Akira Yoshizawa.Yoshizawa no es un simple creador de pa-piroflexia, para él “el origami” es una filo-sofía de vida. Siempre se cuenta que Yos-hizawa tardó más de 20 años en crear uncisne que veía todos los días en el estanquede su casa. Él crea a través de la observación,

contempla las figuras reales y hasta que nolas siente no se decide a plasmarlas en papel,y es por ello que cuando observamos susfiguras nos parece que tienen vida propia,que sienten.Y quizás -seguro- sea por esto último porlo que Yoshizawa haya invitado a CarlosPomarón a Japón a celebrar con él su fiestade 88 cumpleaños. Pomarón, además de serun buen creador de papiroflexia es médicoacupuntor y vivió dos años en China. Nadiecomo él entiende la filosofía oriental, ade-más de ser un gran amigo de Yoshizawa,según Carlos para él Akira Yoshizawa escomo un padre, o tal vez como un hijo.

“El designio de los Dioses hace que posen mis huesos en Tokio, viviendo una“despedida” del “amateur” de las pajaritas, me refiero a Akira Yoshizawa.Siempre nos insiste en la transmisión de

algo más con nuestros modelos. Amor,cariño, ilusión es lo que voy a encontrar en el encuentro con el maestro”

Carlos Pomarón Arbues

Homenaje en su aniversario

88

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Mi nombre es Ronald Koh, nací en 1948,y actualmente trabajo como director del de-partamento de control de calidad y atención alcliente del servicio de correos de Singapur.

Mi primer contacto con la papiroflexia fue desdeniño, empecé doblando libros con modelos simplesy tradicionales. Este interés permaneció en mí enla mayor parte de mi infancia, y conseguí crear al

principio de los años 60 varios modelos muysencillos a fuerza de plegar y plegar. Los librosmás complicados eran muy difíciles de conseguiren Singapur por aquél entonces. Sin embargo, todoesto cambió en 1972, cuando encontré un ejemplardel libro de Robert Harbin “Secrets of Origami”en una librería. Este libro se puede considerar comoel comienzo de un largo y feliz adentramiento enel mundo de la papiroflexia, que dura hasta hoydía, con algunos periodos de inactividad entre

medias.Logré contactar con el Origami Center of America–ahora Origami USA- gracias a que su direcciónaparecía en dicho libro, y compré más libros depapiroflexia. También me las arreglé para entablaruna breve correspondencia con Robert Harbin yFred Rhom, los cuales fueron muy generososcompartiendo sus ideas conmigo. Mi colección delos mejores libros de papiroflexia creció hasta másde 200 ejemplares, y hoy en día forman mi principalfuente de referencia para la mayoría de los aspectostécnicos de la papiroflexia.Plegando el trabajo de otros creadores, empecé aver las posibilidades para nuevos modelos anali-

zando el proceso de plegado de cada unode ellos. También realicé un gran trabajo de

plegando e investigando nuevas bases, a menudoen mis viajes en transporte público hacia la oficina.Cuando veía posibilidades en el modelo que estabaplegando, lo apartaba, para posteriormente catalo-garlo o desarrollarlo más cuando dispusiera de mástiempo libre. Este catálogo de modelos parcialmente

plegados es otra valiosa fuente y referencia parasolucionar los problemas que me encuentro cuandoquiero crear un modelo en particular.

Las instrucciones de dos de mis primeras creacio-nes: un cenicero y un cupido de tres piezas queconstaba de una flecha y dos corazones, fue publi-cado en el libro de Robert Harbin “Origami IV”(1977). Otra de mis primeras creaciones fue unagallina que creé aproximadamente en 1967, la cualfue publicada en octubre de 1993 en el boletín de

la British Origami Society (BOS).Aunque llevo plegando desde hace muchos años,mis modelos nos han sido nunca expuestos hasta1993, en la Convención de la Origami USA de eseaño, donde participé con una cacatúa, que adjunté junto a la orden de subscripción a la FOCA (Ori-gami USA). A raíz de ello recibí una carta de DonnaWalcavage, solicitándome los diagramas. Este fueel inicio de mi correspondencia con Donna, laenvié varias fotos de mis otras creaciones. Donname animó a mandar algunos de mis modelos parasu convención, lo cual hice, y llevo haciendo casitodos los años.

Aparte de otros lugares que desconozco, mis mo-6

Ronald KohQuiénesQuién

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delos han sido expuestos en las siguientes exposi-ciones en los últimos años:

Exposición de Papiroflexia Jurásica en Piovera(Italia) en marzo de 1994. Creo que los modelosse encuentran actualmente en una exposición per-manente en algún lugar de Italia.

Southeastern Origami Festival, en Charlotte (Ca-rolina del Norte –EEUU), en 1996

World Origami Exhibition en 1993, 1995, 1995 y1999, organizada por la Nippon Origami Associa-tion (NOA). Esta exposición visita varias ciudadesimportantes japonesas cada año.

La NOA me honró dedicándome dos páginas desu ejemplar 222 (febrero 1994) con fotograf í as demis creaciones. Fotograf í as y una breve mencióna mis dinosaurios aparecieron en las revistas italia-nas “Piccolo” y “Notes” en marzo de 1994. Entremayo y agosto de 1999 aparecí también en el webde Oriland (http://www.library.advanced.org/ 27151/index.htm).

Los diagramas de varias de mis creaciones hansido publicados en las colecciones de la FO-

CA/OUSA entre 1993 y 1999, y en sus periódicos.El Tiranosaurio Rex fue publicado en la colecciónde la Convención de la Origami Usa de 1999, así como en el libro de dinosaurios de Sergei Afonkin.

Estoy trabajando por mi propia cuenta en la elabo-ración de mi primer libro de papiroflexia, pero metemo que me llevará bastante tiempo aún. Sinembargo no soy de aquellos autores que piensanque porque vaya a publicar un libro no debo dejarautorización de mis figuras. De este modo consiguesuna publicidad impagable. Por ello, como com-prenderás, compartiendo y ayudando a otros ple-gadores y asociaciones les estoy ayudando a ellosy a mí . Desafortunadamente, hay gente que noentiende esta lógica tan simple y sólo piensa en elnegocio. Se gana muy poco dinero con los librosde papiroflexia. Si quieren ganar dinero les reco-miendo que escriban una novela, que seguro en-contrarán algún editor dispuesto a publicársela yganarán más dinero, a nosotros, que nos dejenseguir soñando.

Casi todos mis modelos están plegados a partir deun cuadrado de entre 25 ó 30 cm.. Generalmentelos pliego con papel hecho por mí , pegando papel

de seda y metalizado, me parece la mejor formade conservar la forma original en el clima tropicaldonde vivo. Por supuesto, ni corto ni pego en

ninguna de mis creaciones.

El Tiranosaurio Rex forma parte de un grupo dediez dinosaurios que creé como reto personal, despuésde inspirarme en el “Estegosaurio” de John Montroll.Al principio de todo, estuve haciendo unos experi-mentos con la base cometa, dándome cuenta detodas las posibilidades que tení a dicha base paramis propósitos. Entonces distribuí el papel en laposición y proporción correctas para mi Tiranosaurio,introduciendo incluso dedos en todas sus patas. La

gran cantidad de papel acumulada en la cabeza mepermití a crear detalles en su cara e “otorgarle un

poco más de vida”. Como dije anteriormente, elestudio de la base cometa me ha proporcionadograndes resultados, como varios dinosaurios más:velociraptor, parasaulophus, elasmosaurus y inclusoalgunas especies de peces de colores.

Para mí , la papiroflexia es lago más que un pasa-tiempo: el al mismo tiempo un arte y una ciencia,y me proporciona constantemente nuevos retosque me permiten expresarme artí sticamente, perosiempre con la restricción de una sola hoja papelcuadrado. Es terapéutica, divertida y me permitesatisfacer mis más internos deseos de autorealiza-ción. En mi trabajo tengo que realizar proyectosque me exigen un alto grado de creatividad, inno-vación, planificación, organización y minuciosidad.La creación en papiroflexia requiere mucho de lo

mismo, me ha enseñado a perseverar, a pensar másallá de lo ordinario y a que nada es imposible siuno desea poner todo su corazón y mente en ello.

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Ronald Koh

Tiranosaurio Rex

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Usar papel seda con aluminiode, al menos, 20 cm..

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Repetir 24 y 25a la derecha.

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Pliegue pétalo y despuésrepetir los pasos del 16 al 20.

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Repetir pasos 31 a 33 en ellado opuesto.

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Repetir a la derecha los pasos41 a 43.

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Repetir los pasos52 a 54 a la derecha

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Repetir a la derecha 46 a 49.

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6463

Repetir los pasos 57 a 61en las restantes capas de laizquierda.

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Repetir 56 a 65 detrás

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Repetir 92-93 en la otra pata trasera,pero dándole un ángulo diferente

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Repetir 102-103 en la otra patadelantera, con diferente ángulo

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116117 118

119120

Si quieres conocera más figuras de Ronald Koh,las puedes ver en las siguientes direcciones:www.geocities.com/EnchantedFoprest/Palace/3457/ y www.bboxbbs.ch/home/tanjit/index.htm

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Origami Deutschland

A través de estas páginas nuestroscolegas de la asociación alemanaOrigami Deutschland informande sus actividades, proyecto y engeneral todo lo concerniente a suasociación y el origami.

Por fortuna para la mayorí a, laspáginas se encuentran en inglésy alemán (la dirección incluidalleva automáticamente a la ver-sión inglesa). Se puede encontrarla historia de la asociación y suestado actual, cómo contactar ycómo asociarse, las convencionesorganizadas y los contenidos de“der falter”, su boletí n cuatrimes-tral. La página se completa con

una sección de links o enlaces aotras asociaciones y páginas deorigami.

http://www.uni-mainz.de/~maulm001/od/e/main.html

La Pajarita juega con su hijo o todos quieren leer “Pajarita” LA PAJARITA QUE RÍE

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Señalador

Vicente Palacios

= =

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Pavo

Juan López Figueroa

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25 26 plegar con volumen

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ConvencionesAños 1999-2000

José Arley Moreno

Calle 58 7N-72Cali-ColombiaTeléfono: 0057-2-6801010e-mail: [email protected]

Asociación Fecha Ciudad Contacto

Origami Colombia’99

3er Encuentro

12-14 noviembre

1999

Santiago de Cali

British OrigamiSociety Convenciónde primavera

14-16 abril 2000 FitzwilliamCollege Cambridge

Penny Groom2A The ChestnutsCountesthorpeLeicester LE8 5TL

Reino Unidoe-mail: [email protected]

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Introducción

a la Creación

En los últimos años mucha gente me ha pregun-tado ¿Cómo haces para inventar nuevas figuras?Y siempre les he respondido lo mismo: “No esdifícil”, pero generalmente no les he explicadocómo hacerlo. Si no lo he hecho, no es porqueno quiera que conozcan mi secreto, sino mas bien por que no sabía como explicarlo.

Hace unos años, un socio de la AEP (Jesús dela Peña) me puso en el compromiso de explicar-

lo, lo que me obligó a analizar cómo creaba...y llegué a la conclusión que me sería tan fácilcomo explicar la “Teoría de la relatividad”. Asíque para salir del paso estudié una teoría mate-mática para la creación de figuras de papel; elsistema se llama “Método Autoproyectivo deOrigami” y su autor es un japonés llamadoToshiyuki Meguro.

La conferencia no salió mal y sin duda el métodoes muy eficaz, pero dudo que alguno de los

asistentes entendiera gran cosa.Más adelante, nuestro grupo editor me volvióa meter en el lío de explicar cómo crear figuras, pero ¡ADEMÁS! me puso la condición de que

¡tenía que entenderse! Así que me puse a trabajar en ello (eso sí, sin cansarme).

El resultado ha sido este artículo (que si lo estásleyendo es por que algún loco lo ha publicado).Como verás más adelante, con lo que aquí sedice no se puede aprender a “crear”, pero sícuenta unos trucos que pueden ser útiles a lahora de hacerlo y también se dan unas nociones básicas de las matemáticas del plegado junto

con una bibliografía.En resumen, en este artículo verás reunidos unoscuantos trucos que pueden serte útiles a la horade crear, pero no son nada que haya inventadoyo. Todo aparece disperso por la mayoría de loslibros de origami y lo único que hice fue reunirloy explicarlo un poco.Para terminar debo decir que sólo existe unaforma segura de inventar algo: intentar hacerloy dedicarle muchas horas al tema.

J. Aníbal Voyer

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A quié n va dirigido este artí culo

Aunque existen excepciones, la mayoría de

los “papirolocos” inventan su primera figuradespués de años de plegar figuras de otrosautores y esto es así porque, con la prácticaque da doblar, se va aprendiendo a entenderel papel. Ya sabes qué cosas se van a poderhacer y cuáles no, cómo cambiar el color ode dónde sacar puntas cuando las necesitas.

Este artículo está pensado para personas queya llevan un tiempo plegando y que tienen

dificultades a la hora de crear, pero no paralos expertos que sin duda ya conocerán todolo que aquí se comenta.

Si después de leer lo que aquí contaremosllegas a la conclusión de que ya lo conocíastodo y que pese a ello nunca has inventadonada, la conclusión es obvia: nunca te hasmolestado en perder tu tiempo inventandoalgo.

La importancia de las bases

Existen infinitas formas de inventar, se podríadecir que cada plegador tiene su sistema, peroexisten algunas especialmente frecuentes co-mo:

1. Plegar al azar

2. Modificar figuras de otros autores

3. Búsqueda de bases

3.1. Bases tradicionales

3.2. Bases tradicionales modificadas

3.3. Creación de bases

4. Desplegado imaginario de figuras

5. Arrugoflexia

6. Escultura de papel

Evidentemente los nombres que he dado arriba

no son de uso común, puede que otras personasusen otros distintos pero creo que estos des-criben bien en qué consisten.

La mayoría de los procesos de creación tienensu fundamento en las bases, bien sean lastradicionales o no, sólo con 1, 5 y 6 podríasprescindir de ellas. Tu misión al crear no essólo obtener el modelo, si no descubrir desdequé base lo puedes sacar mejor.

1. Plegar al azar

Este es sin duda el sistema más difundido yel más fácil de explicar, lo único que tienesque hacer es coger un papel y doblarlo. Lopuedes doblar como prefieras y tanto como

quieras; después de un tiempo fíjate en lo quetienes e intenta encontrarle parecido con algunacosa, si se parece a algo intenta sacarlo y sino, sigue doblando.

Este procedimiento no es demasiado científico,pero a la larga seguro que sacas algo (aunquesea una figura abstracta).

El principal defecto que tiene es que su por-centaje de éxitos es ínfimo debido a que no

tenías ninguna idea preconcebida, por lo queno has ido escogiendo la opción más favorablepara tu modelo.

La principal virtud es lo relajante que resulta(no como los otros), no se necesita pensar ennada.

2. Modificar figuras de otros autores.

Todo el mundo, en alguna ocasión, doblando

la figura de otra persona ha visto la posibilidadde mejorarla, transformarla o modificarla paraobtener otro modelo. Este es un sistema decreación sencillo, pero cuenta con multitud dedetractores que consideran que así no tienemérito. Yo no estoy entre ellos. Ni Einstein,ni Newton serían hoy conocidos si no hubieranpartido de los trabajos de otros sabios que lesprecedieron.

3. Bú squeda de bases.

Una base es una figura preliminar más o menossencilla que tiene una estructura de puntas,

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90º

45º

90º

90º

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45º

45º

112.5º

90º

112.5º

45º

90º

45º

135º

22.5º 45º

45º

22.5º

157.5º

157.5º

90º

90º

90º

90º

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112.5º

45º

90º

90º

45º

Cometa Bomba Preliminar Pez Pájaro

Rana Blintz pezPájaro estirada Blintz pájaro Blintz rana

Fig. 1 Bases.

capas y ángulos que nos condiciona, en ciertamedida, las figuras que podremos obtener deella.

3.1. Bases tradicionales

Existe un infinito número de bases, aunquesegún los entendidos son sólo 4 las bases tradi-cionales (cometa, pez, pá jaro y rana). Junto aestas he enumerado otras bases muy frecuentesy de gran aceptación.

Una persona que desee hacer una figura utilizandoalguna de estas bases deberí a escoger aquellaque tenga la estructura que mejor se adapte a sumodelo. El ejemplo que tradicionalmente seutiliza es el de la base pá jaro, que como puedesver en el esquema anterior tiene 4 puntas largas y una central corta que tradicionalmente no seutilizaba demasiado. Por lo tanto esta base se

usaba para figuras que sólo necesitarán 4 puntas,como los pá jaros; dos puntas eran las alas o patasy las otras dos para la cabeza y la cola.

3.2. Bases tradicionales modificadas.

El ejemplo anterior, ha quedado francamenteanticuado ya que utilizar sólo 4 puntas con labase pá jaro es desaprovecharla. Existen multitudde medios que permiten sacarle más partido ypor ello, una base que inicialmente no cumplelas condiciones que necesitamos para nuestrafigura por no tener suficientes puntas, puede ser,

después de modificarla un poco, la mejor opción.En los ejemplos que a continuación expondremospodrás ver algunos de los sistemas más sencillosque pueden aplicarse para la modificación delas bases tradicionales. Todos los ejemplos vanacompañados de sus diagramas de plegado.

3.2.1 Triplicado de puntas.

Este procedimiento nos permite la división decualquier punta que tenga por ángulo 45º y suvértice esté en el lado o esquina del papel.

También es posible aplicar este sistema para

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dividir una punta en 2, 4, 5 o más partes,así como utilizarlo en puntas con ángulos dife-rentes a los 45º, aunque no es lo normal.

3.2.2. Utilización de puntas mayores de 90º

En este ejemplo he utilizado una base pá jaro,pero también serí a aplicable, con pequeñasvariacionas, a otras bases.

3.2.3. Adelgazar puntas.

Un caso de adelgazado de puntas lo tenemosen el ejemplo anterior, pasamos de una de112,5º a tener sólo 22.5º. Otro muy frecuente

1 2 3 4

5 6 7

Fig. 3 Utilización de puntas mayores de 90º

Fig. 2 Triplicado de una punta.

1

2 3

4 56

7 8 9

se nos presenta despues de haber triplicado unapunta. De las tres puntas que nos quedan dostienen un ángulo de 45º y la central sólo de 22.5º.

3.2.4 Añadidos.

Hay ocasiones en las que la base que estamosutilizando le falta papel para que podamocompletar nuestra figura; necesitarí amos poder

Fig. 4 Añadidos.

añadirle un trozo. En estos casos lo que hacemucha gente es coger otro papel y terminarsu figura con dos o más modulos.

Esta solución aunque es perfectamente válida

a mí se me da fatal, nunca sé cómo trabar laspiezas, así que lo que hago es “añadir” lasuperficie que me falta en el cuadrado original.Esto que suena tan raro al comentarlo no estan complicado como parece.

Supongamos que al plegar la grulla tradicionaldecicimos ponerle una cabeza más elaborada.La base pá jaro no nos permitirí a hacerlo sinque el cuello se redujera, así que tendremos

Fig. 3 Adelgazado de puntas.

1 2

que añadir más papel a nuestro cuadrado.

Fijémonos en el desplegado de la base pá jaro:la cabeza de la grulla se pliega con una de lasesquinas. Para tener más papel en esa esquina lo

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que podrí amos hacer serí a añadir dos tiras segúnlos lados del cuadrado y volver a plegar la grulla,esto además nos aumenta el papel en las alas.

También podrí amos haber optado por añadir latira según la diagonal, lo que nos aporta máspapel en dos esquinas opuestas y en el centrodel cuadrado.

La decisión de cómo colocar el añadido depen-derá de lo que necesitemos en nuestra figura.

3.3 La creaci ó n de bases.

Los procedimientos que acabo de comentaraumentan enormemente las posibilidades deestas bases, pero generalmente tienen el problemaasociado de aumentar el número de capas denuestra figura haciendo que sea más molesto suplegado. Esto entre otras cosas es lo que obligaen muchas ocasiones a buscar nuevas bases quese ajusten mejor a nuestras necesidades.

Una forma sencilla para crear una base nueva

serí a combinando otras de las ya existentes. Ala hora de combinar bases tenemos que fijarnosen lo que necesitamos.

Supongamos que la figura que quiero es unbrontosaurio. Para poder hacerla necesitarí a 2puntas largas (cabeza y cola) y 4 cortas (laspatas) una forma f ácil de hacerlo serí a aumentarel tamaño del papel y plegar dos bases pez quese superponen.

Esto es una combinación de bases iguales, perotambién pueden combinarse bases diferentes.

Fig. 5 Combinación de bases.

A la hora de combinar bases puede hacersecon la base entera o sólo con una parte de

ella, esto lo decidiremos según sean las carac-terí sticas de nuestra figura.

Para obtener una base nueva, sin partir de otrasya existentes, hay fundamentalmente dos siste-mas: hacerlo de una forma intuitiva o por mediosmatemáticos. Los procedimientos que utilizanlos creadores para hacer nuevas bases son muyvariados y yo no los conozco, por lo tanto eneste apartado explicare únicamente mi procesoy daré unas nociones sobre la creación matemá-tica.

Para que no haya confusiones al leer este artí culopaso a aclarar la nomenclatura que utilizo.

- Esquina: cada una de las cuatro puntas de uncuadrado.

- Punta: los modelos tienen varias puntas, estaspuntas pueden ser esquinas, como en el caso dela base pá jaro, o estar en otra parte del cuadrado.Como norma general si el ángulo de punta esmayor de 90º no la considero como punta.

- Pliegue: cada una de las lí neas por donde se

dobla el papel.- Marca: es la “cicatriz” o lí nea que queda en el

papel después de efectuar un pliegue.- Nudo: donde se cortan dos o más pliegues o

marcas.- Vértice: es un nudo que además es el extremo

de una punta, los vértices pueden estar en lasesquinas del cuadrado, en los lados, o en elinterior de éste.

- Ángulo de punta: es el ángulo que forman los

dos lados de la punta. En el caso de la basepá jaro el ángulo de punta es de 45º.

-Libertad o longitud útil de punta: es la dis-tancia mí nima que hay entre su vértice y elpliegue más alejado por el que se puede doblar.

- Capa: cada uno de los planos paralelos depapel que tiene el modelo.

- Ángulos útiles: a la hora de hacer figuras,establezco unas restricciones en los ángulosa utilizar, lo hago para que la figura resultante

se pueda plegar con facilidad.Los que considero ángulos más útiles son: 90º,60º,45º, 30º, 22.5º, 11.25º y las combinaciones deestos ángulos.

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3.3.1. C álculo geomé trico de figuras:

Hace tiempo, Juan Gimeno, miembro de la

A.E.P., me facilitó una fotocopia en japonés deun método geométrico que permití a medianteun proceso sencillo la creación de figuras nuevas.

Inicialmente este método no fue una gran ayuda,ya que estaba escrito en japonés y sólo podí aentender las f órmulas. Unos meses después tuvela suerte de que una japonesa, la Srta. ChikaTomita, se hiciese miembro de la AEP y metradujera esos papeles. Por desgracia, entenderel texto tampoco solucionó mis dudas, pero sí

que aumentó enormemente mi curiosidad, porlo que mi familia y yo nos pusimos a pensarsobre este asunto. En poco tiempo mi hermanodio con el truco: “la solución eran las hipérbolas”.

Mr. Toshiyuki Meguro habí a desarrollado unmétodo para el diseño casi automático de figurasde origami basado en el teorema del incentro deFushimi.

Este teorema dice que cualquier triángulo al serplegado por sus bisectrices y una perpendiculara uno de sus lados que pase por el incentro nosda una figura plana (mirar fig. 6).

Si proyectamos el incentro sobre los tres ladosdel triángulo, obtendremos 6 segmentos, igualesdos a dos que cumplen (mirar figura 7):

Si llamamos d = AC - BC, nos queda:

a - b = d (5)

Resolviendo el sistema formado por las ecua-ciones (1) y (5), obtenemos la longitud de lossegmentos a y b en función de las longitudes delos lados.

a = (AB + d)/2 (6)

b = (AB - d)/2 (7)

Recí procamente, si sólo se conociesen las lon-gitudes a y b, los lados del triángulo AB, BC yAC deben verificar las igualdades (1) y (4). En

este caso, la longitud de AB se determina demanera única, pero los lados BC y AC puedentomar cualquier valor que cumpla la igualdad(4).

Cuando queremos hacer una figura, no conoce-mos los triángulos, pero sí las puntas que nece-sitamos y sus longitudes (éstas son precisamentelos segmentos a y b). Si necesitamos dos puntasque tengan por longitudes a y b respectivamente,los triángulos que nos valen deben cumplir:

AC - BC = a - b = d

Como los segmentos a y b son conocidos, sudiferencia es una constante, luego tenemos queel punto C cumple que la diferencia de lasdistancias de este punto a los otros dos es cons-tante.

Ésta es precisamente la definición de hipérbola:(lugar geométrico de los puntos del plano cuyadiferencia de distancias a dos puntos fijos, lla-

mados focos, es constante).Por lo tanto, el vértice C del triángulo quenecesitamos estará en la rama de una hipérbolaque tiene por focos A y B y por vértice (de lahipérbola) la proyección del incentro sobre ellado AB (mirar fig. 8).

Fig. 6 Teorema del incentro.

Fig. 7

A

BC

a

c

a

b

c b

AB= a + b (1)

AC= a + c (2)

BC= b + c (3)

Si restamos (2) y (3) obtenemos:a - b= AC - BC (4)

Fig. 8

a

b

A

B

Lugar geomé trico

de los incentros

H i p é r b

o l a

C C

C

A

BC

A

BC

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33

Cualquiera de los triángulos que tenga su tercervértice en la rama de la hipérbola dibujada, nosdarán unas puntas con la longitud que necesitamos.

Esto no deja las cosas demasiado definidas, perohay que tener en cuenta que en el desplegado deuna figura se tienen otros muchos triángulos yesto hace que los infinitos vértices C se nosreduzcan a uno sólo, determinado por la intersec-ción de dos o más hipérbolas o por la intersecciónde una hipérbola y un elemento fijo de la figura(diagonal, mediatriz, bisectriz ...).

En mi opinión, este método es un gran avance

pero tiene un serio problema: los ángulos de lostriángulos que salen son muy dif í ciles de plegarsin usar regla y compás u otros métodos máspoderosos, como dibujar el desplegado medianteun programa de ordenador.

Una solución para este problema serí a establecerrestricciones para los ángulos, lo que he llamadoángulos útiles. Ésta fue mi primera idea, así queme preparé una tabla que me determinaba larelación que debí an tener los dos segmentos de

los triángulos para obtener unos ángulos dados.

Fijémonos en la figura 6. Por el teorema dels e n o s a b e m o s q u eAB/senC=BC/senA=CA/senB.

Como vimos antes, d= BC - CA, aplicándolea esto el teorema del seno sacamos:

d= AB ((senA-senB)/senC)

Sustituyendo esto en (6) y (7) sacamos:

a= AB/2 (1- ((senA - senB)/senC)

b= AB/2 (1+ ((senA - senB)/senC)

Dividimos a/b para eliminar el término AB ynos queda.

a/b = (1- ((senA - senB)/senC)/ (1+ ((senA -senB)/senC)

En la tabla 1 se puede ver los valores a/b enfunción de los ángulos que más uso (no heincluido los de 30º ó 60º).

Utilizando esta tabla se solucionaba uno delos problemas que presenta el método deToshiyuki Meguro pero se presentan otros,como por ejemplo la dificultad de conseguir

que el desplegado de la figura se pueda adaptar

a/b

11.25º

22.5º

33.75º

45º

56.25º

67.5º

78.75º

90º

101.2º

112.5º

123.7º

135º

146.2º157.5º

11.25º

1

2.0195911

3.0799305

4.2055808

5.4269826

6.7841315

8.3324916

10.153170

12.371674

15.195293

18.995246

24.511921

33.470517

51.043435

22.5º

.49514972

1

1.5250267

2.0823922

2.6871689

3.3591608

4.1258309

5.0273395

6.1258309

7.5239452

9.4054906

12.137071

16.572917

33.75º

.32468264

.65572619

1

1.3654791

1.7620470

2.2026897

2.7054154

3.2965582

4.0168678

4.9336480

6.1674266

7.9585955

45º

.23777928

.48021693

.73234367

1

1.2904240

1.6131259

1.9812938

2.4142135

2.9417277

3.6131259

4.5166759

56.25º

.18426445

.37213886

.56752172

.77493906

1

1.2500743

1.5353820

1.8708684

2.2796797

2.7999524

67.5º

.14740280

.29769339

.45399039

.61991440

.79995244

1

1.2282326

1.4966057

1.8236194

78.75º

.12001212

.24237542

.36962900

.50472068

.65130370

.81417802

1

1.2185035

90º

.09849140

.19891236

.30334668

.41421356

.53451113

.66817863

.82067879

101.2º

.08082980

.16324316

.24895028

.33993628

.43866195

.54836003

112.5º

.06580985

.13290899

.20268977

.27676865

.35714892

123.7º

.05264475

.10632087

.16214218

.22140176

135º

.04079647

.0823922

.12565031

146.2º

.02987704

.06033946

157.5º

.01959115

Tabla 1

a un papel cuadrado. Éste y otros problemasson los que han hecho que haya dejado apar-cado este método.

En la actualidad empleo un método hí brido:

lo primero que hago es determinar cómo debeser el punto de partida (la base) sobre la quedebo aplicar el método geométrico. Hagamosun ejemplo paso a paso.

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3.3.2. El ejemplo.

Antes de poder aplicar este sistema es preciso

responder a las siguientes preguntas:a- ¿Qué queremos hacer?

En nuestro caso vamos a hacer una avispa (cuandola inventé lo hice aplicando esto).

b- Caracter í sticas de la figura.

Las avispas de verdad tienen 2 mandí bulas, 2ojos, 2 antenas, 4 alas, 6 patas, y un abdomencon un número indeterminado de rayas. Tantolas patas como las alas salen del tórax y la sepa-

ración entre cabeza, tórax y abdomen está muymarcada.

Por motivos de simplicidad, no voy a sacar todoslos elementos que tiene una avispa real, mecentraré esencialmente en los que considero másrepresentativos, estos son: 2 mandí bulas, 2 ojos,2 alas, 6 patas y un número indeterminado derayas en el abdomen.

c- N úmero, longitud y ángulo de las puntas.

Para determinar las caracterí sticas de las puntasque debe tener la base que nos permita sacar estafigura, iré considerando por separado sus distintoselementos, esto es: cabeza, alas, patas y abdomen.

La cabeza:

Por la experiencia adquirida con otros modelos,sé que todas las puntas que puedo necesitar parala cabeza las puedo sacar de una única punta,siempre que ésta tenga una longitud suficiente,no sea demasiado gruesa (es decir, tenga pocas

capas) y un ángulo de punta no mayor de 45º.Si la punta que uso para la cabeza tiene muchascapas de papel, al ir sacando más puntas de ellaéstas quedarí an aún más gruesas y serí an muydif í ciles de manejar. Por otra parte, para poderrealizar cambios de color con facilidad, se necesitaque el vértice de la punta esté en el lado del papel.

Si el vértice está en el lado del cuadrado pero noen la esquina, el número de capas de papel quesaco para tener un ángulo de punta de 45º es de

4, por otra parte si el vértice está en la esquinadel cuadrado, solo tendré dos capas para unángulo de 45º (mirar figura 9).

Avispa

1

2 1 - 2

3

4

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7

8

9

6 - 8

5

6

45º Fig. 9

La mejor solución para la cabeza es una puntade 45º que además sea esquina del cuadrado y

con una longitud a determinar, en función de losdemás elementos.

El abdomen:

Por una figura anterior sabí a que podí a sacar conmucha facilidad franjas con cambios de color enuna punta de 45º y dos capas (es decir, que suvértice sea esquina del cuadrado)

La cabeza y el abdomen:

Por simetrí a del modelo, tanto la cabeza comoel abdomen deben estar en la misma diagonal.

Las alas:

A las alas sólo les exijo dos condiciones funda-mentales, que sean muy largas y que tengancambio de color.

Para conseguir el cambio de color con facilidad,se necesita que sus vértices estén en un lado delcuadrado, además, suele ser más f ácil conseguirpuntas de gran longitud cuando éstas son esquinas

del cuadrado.

Definitivamente, decidí poner las alas en lasesquinas por motivos de simplicidad: me permití ausar una base pá jaro o algo que se le parecí amucho.

Las patas:

El poner las alas en las esquinas prácticamenteme obligaba a colocar el vértice de las patas enel interior del cuadrado, si no lo hací a así y las

sacaba al borde una de las dos puntas, el abdomeno la cabeza, quedaban mucho más grande que laotra o si no, tendrí a que esconder mucho papeldentro del modelo. 35

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36

10

11

12

13

14

1 1 - 1 2

15

16

6 - 1 5

17

90º

18

1920

21

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37

22 23

24 25

2627

El tener las patas por el interior hace que quedenun poco gruesas y muy cortas.

d- El plegado de la base.

Con todas estas decisiones tomadas tenemosque intentar dibujar el desplegado de nuestrabase (mirar fig. 10). Si nos fijamos, el dibujoque nos ha quedado es una base pá jaro y tenemosque ver si es posible utilizar esta base directa-mente para sacar la avispa o necesitamos hacerlealguna modificación.

Cuando sacamos puntas del interior de un cua-

drado, el vértice siempre cae en un nudo, luegosi no queremos tener que modificar mucho labase provisional que nos ha salido, lo más acer-tado serí a utilizar como vértices para las pataslos nudos que ya tiene la base pá jaro.

En una base pá jaro sólo hay 5 nudos interiores,(mirar fig. 10) y una avispa tiene 6 patas, por loque tendré que hacerle alguna variación.

Fig. 10

Cabeza

Abdomen

AlaAla

Patas

Base pá jaro Base pá jaro estirada

Cabeza

Abdomen

AlaAla Patas

La variación más sencilla que se me ocurrió fueutilizar la base pá jaro estirada con lo que elimi-naba el vértice central y las patas las sacaba delos nudos interiores.

Esta base tiene una longitud de alas pequeña encomparación con las otras dos puntas, pero lospliegues que aún quedan por hacer en cabeza,abdomen y patas aumentarán proporcionalmentela longitud de las alas, en las que sólo tenemos

que hacer un cambio de color, que ademásaprovecharemos para disminuir la anchura delas alas en su conexión con el cuerpo (mirarpasos 6-15).

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38

28

29

30

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32

33

34

35

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39

37

38

39

40

41

Todo lo hecho hasta aquí ha sido pura intuicióno deducción encaminada a obtener una base departida lo más simple posible. A partir de este

punto lo que haré es aplicar el ”Método autopro-yectivo de origami” con pequeñas limitacionesen los ángulos.

A

B C

D

EF

Fig. 11

Ésta es la base de partida y todo lo que realizarésobre ella no afectará a las alas, es decir, sóloconsidero el hexágono ABCDEF, el cual tienela particularidad de tener dos capas de papel queestán unidas por todo el perí metro y abierta unade ellas por la lí nea AD, lo cual limita en granmedida los cambios de color. Las alas no volveréa mencionarlas hasta el final.

e- Desarrollo de la figura.

Las patas van a salir de B, C, E, F y de los puntosmedios de los lados BC y EF. El ángulo de puntade cada pata será 22.5º y su longitud igual a lacuarta parte del lado BC ó EF. Para realizar todoesto utilizaremos lo descrito en el apartado 3.3.1(en este caso las hipérbolas son lí neas rectas).El resultado, sólo para un lado de la avispa,puede verse en la fig. 12.

Fig. 12

A

B C

D

EF

El resultado de plegar todas las patas puede verse

en el paso 35 de la avispa.

Una vez plegado este paso tendremos cuatropuntas con un ángulo de 67.5º y sólamente las

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41

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5. Arrugoflexia.

Dentro de la “arrugoflexia”, se podrí an distinguir

dos divisiones: una ortodoxa y otra heterodoxa.5.1. Arrugoflexia ortodoxa.

Tenemos que intentar sacar la figura sin que nosimporte demasiado arrugar el papel, pero en estecaso es preferible que partamos de algo quetenga ya una estructura de pliegues (base): yaque cuando terminemos este modelo previo,vamos a tener que desplegarlo, buscar su patrónde plegado, e intentar repetirlo sin arrugar elpapel.

Despues de varios intentos es probable queencontremos la forma correcta de doblar el papely saquemos una figura de papiroflexia ortodoxa.

5.2. Arrugoflexia heterodoxa.

Este sistema consiste, como su nombre indica,en arrugar el papel modelándolo de tal formaque obtengamos la figura que deseamos.

Los papeles que se utilizan para esta técnicadeben ser finos y una vez arrugados no deben

desplegarse f ácilmente. Un material especial-mente útil es el papel de aluminio.

6. Escultura de papel.

Consiste en un plegado tridimensional de nuestro

modelo desde el comienzo, lo que haremos sonpequeños pliegues y pinzados con los que vamosdando volumen a nuestro modelo hasta obtenerel resultado deseado. Esta técnica es muy em-pleada para hacer máscaras y tiene el problema(o ventaja) de ser casi imposible obtener dosmodelos iguales.

Con esto ya he terminado de comentar lo pocoque sé de las distintas t é cnicas de creación.

Espero que si lees este art í culo pueda serte útil.

Si deseas obtener más información sobre lacreación de figuras de papel, dir í gete a nuestrabiblioteca y pide el libro:

Origami Science & ArtProcedings of the Second International Meetingof Origami Science and Scientific Origami

Editores: Koryo Miura; Tomoko Fuse; Tos-hikazu Kawasaki; Jun Maekawa

Si deseas alguna aclaración sobre el art í culoanterior, acude a nuestra pr ó xima asamblea

general y pregúntamela directamente, a ver siasí conseguimos que venga más gente.

43

....que para finales de año o principios delque viene habrá numerosas novedadeseditoriales en España. Carlos GonzálezSantamarí a sacará un nuevo libro de más-caras, con nuevas máscaras y una presen-tación mucho más cuidada, además deestar traducido a cuatro idiomas (francés,inglés, italiano y español).

Aní bal no para y tiene previsto editar unode monstruos conjuntamente con MarioAdrados, muy recomendable para losamantes de las figuras complicadas, ac-

tualmente se encuentra buscando un editorque se lo publique, suerte Aní bal y Mario.Otro proyecto de Aní bal es un libro sobreanimales de granja, pero mucho nos te-memos que no lo veremos a corto plazo.

Fernando Gilgado tampoco se queda atrás,

y cuando consiga solucionar sus múltiplesdesavenencias con su ordenador, nos vol-verá a obsequiar con otro libro de dino-saurios, y tal vez a más largo plazo unosobre animales marinos.

Por último no podemos olvidarnos dellibro que nos presentó el propio JeremyShafer en la Asamblea, un gran librorepleto de sorpresas y figuras divertidas.

También dentro de este apartado cabedestacar un hecho bastante triste para losaficionados a la papiroflexia: la Librerí aAranda cerró el dí a 21 de octubre por jubilación de sus propietarios, ya no nosquedan librerí as especializadas en papiro-flexia.

También el Hogar Canario cerrará suspuertas, por lo que a partir de noviembre

no sabemos todaví a muy bien dónde nosreuniremos en Madrid.

En Madrid últimamente hemos recibidola visita de cuatro plegadores: José IgnacioRoyo y Joseba Picaza desde Bilbao, An-nelore Jekel desde EEUU y Mónica

Walker desde Argentina, esperemos quetodos ellos hayan vuelto contentos y conganas de volver.

Respecto al apartado de clases y exposi-ciones, últimamente sólo tenemos cons-tancia de un taller realizado por VicentePalacios en la Escuela de verano del Ma-resme (Barcelona) y una próxima mini-exposición realizada por Esther Martí nezen la Coruña.

Por último, felicitar a nuestros viajerosamigos y compañeros: Carlos Pomaróny Aní bal Voyer que se irán en próximas

fechas a Japón, Italia respectivamente, arepresentarnos; invitados por el CentroDiffusione Origami y por Akira Yoshi-zawa. Sabemos que dejarán el pabellónmuy alto.

@

Se dice,se comenta,se rumorea…

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Tradicional

AviónMartillo

c

d o

e o

e s

i c a l i z

l f

o e x t r a o r d i b i l m e n b o m b a s

n t u n e

e r r e l a d e

Plegados a 90º

A

B

Utiliza un papel del mismo color por las doscaras y de tamaño "UNE-A4" (210 x 297mm.), o de proporción similar.

PROPORCIÓN: B = A x 2

1 2

3

4

5

6

7

8

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