THE PHILOSOPHY OF MATHEMATICS EDUCATION Ditulis Oleh: Paul Ernest

FILSAFAT MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

THINKING ABOUT MATHEMATICS

Ditulis Oleh Steward Shapiro

FILSAFAT MATEMATIKA

The Liang Gie

Dalam fakta sejarah perkembangan ilmu pengetahuan pikiran seorang ilmuwan seringkali tidak disetujui oleh ilmuwan yang lain. Hal ini telah terjadi sejak zaman dahulu.

Salah satu akibat dari kejadian ini tampak dari munculnya paham-paham yang ada dalam filsafat matematika

paham platonisme, logisisme, empirisme, formalisme. intuisionisme

1 Mathematical realism (REALISME) 1.1 Platonism (PLATONISME)1.2 Logicism (LOGISISME)1.3 Empiricism (EMPIRISME)1.4 Formalism (FORMALISME)

2 Intuitionism (INTUiSIONISME)3 Constructivism (KONSTRUKTIVISME)4 Fictionalism (FIKSIONALISME)

BEBERAPA ALIRAN FILSAFAT MATEMATIKA

Mathematical realism, like realism in general, holds that mathematical entities exist independently of the human mind. Thus humans do not invent mathematics, but rather discover it, and any other intelligent beings in the universe would presumably do the same. In this point of view, there is really one sort of mathematics that can be discovered: Triangles, for example, are real entities, not the creations of the human mind.

Platonism is the form of realism that suggests that mathematical entities are abstract, have no spatiotemporal or causal properties, and are eternal and unchanging. This is often claimed to be the view most people have of numbers.

Logicism is the thesis that mathematics is reducible to logic, and hence nothing but a part of logic (Carnap 1931/1883, 41). Logicists hold that mathematics can be known a priori, but suggest that our knowledge of mathematics is just part of our knowledge of logic in general, and is thus analytic, not requiring any special faculty of mathematical intuition. In this view, logic is the proper foundation of mathematics, and all mathematical statements are necessary logical truths.

Rudolf Carnap (1931) presents the logicist thesis in two parts:

1. The concepts of mathematics can be derived from logical concepts through explicit definitions.

2. The theorems of mathematics can be derived from logical axioms through purely logical deduction.

Empiricism is a form of realism that denies that mathematics can be known a priori at all. It says that we discover mathematical facts by empirical research, just like facts in any of the other sciences. It is not one of the classical three positions advocated in the early 20th century, but primarily arose in the middle of the century. However, an important early proponent of a view like this was John Stuart Mill. Mill's view was widely criticized, because it makes statements like "2 + 2 = 4" come out as uncertain, contingent truths, which we can only learn by observing instances of two pairs coming together and forming a quartet.

Formalism holds that mathematical statements may be thought of as statements about the consequences of certain string manipulation rules. For example, in the "game" of Euclidean geometry (which is seen as consisting of some strings called "axioms", and some "rules of inference" to generate new strings from given ones), one can prove that the Pythagorean theorem holds (that is, you can generate the string corresponding to the Pythagorean theorem). Mathematical truths are not about numbers and sets and triangles and the like — in fact, they aren't "about" anything at all!

In mathematics, intuitionism is a program of methodological reform whose motto is that "there are no non-experienced mathematical truths" (L.E.J. Brouwer). From this springboard, intuitionists seek to reconstruct what they consider to be the corrigible portion of mathematics in accordance with Kantian concepts of being, becoming, intuition, and knowledge. Brouwer, the founder of the movement, held that mathematical objects arise from the a priori forms of the volitions that inform the perception of empirical objects. (CDP, 542)

Fictionalism in mathematics was brought to fame in 1980 when Hartry Field published Science Without Numbers, which rejected and in fact reversed Quine's indispensability argument. Where Quine suggested that mathematics was indispensable for our best scientific theories, and therefore should be accepted as a body of truths talking about independently existing entities, Field suggested that mathematics was dispensable, and therefore should be considered as a body of falsehoods not talking about anything real. He did this by giving a complete axiomatization of Newtonian mechanics that didn't reference numbers or functions at all. He started with the "betweenness" of Hilbert's axioms to characterize space without coordinatizing it, and then added extra relations between points to do the work formerly done by vector fields. Hilbert's geometry is mathematical, because it talks about abstract points, but in Field's theory, these points are the concrete points of physical space, so no special mathematical objects at all are needed.

Realisme memandang bahwa entitas matematika ada terbebas dari pikiran.

Logisisme memandang bahwa matematika merupakan bagian dari logika.

Empirisme memandang bahwa matematika harus dikembangkan secara empiris.

Formalisme menyatakan bahwa pernyatan-pernyatan dalam matematika harus dipikirkansebagai serangkaian konsekuensi dari manipulasi serangkaian aturan.

Aliran logisisme adalah aliran yang berpandangan bahwa matematika murni merupakan bagian dari logika. Pengagas utama dari pandangan ini adalah Leibniz, Frege (1983), Russel (1919), Whitehead dan Carnap (1931).

Ada dua hal pokok dalam aliran ini, yaitu

(1). Semua konsep dalam matematika pada akhirnya dapat diturunkan dari konsep-konsep logika, penyajian dari penurunan tersebut meliputi konsep-konsep teori bilangan maupun beberapa sistim yang terdapat pada teori Russsel.

(2). Semua kebenaran matematika dapat dibuktikan dari aksioma-aksioma dan aturan-aturan logika.

Jadi secara singkat dapat dikatakan bahwa hakekat dari aliran ini adalah

bahwa jika semua matematika dapat diekspresikan dalam bentuk-bentuk

logika secara murni dan dibuktikan dari prinsip-prinsip logika itu sendiri,

maka kepastian dari pengetahuan matematika dapat direduksi menjadi

logika.

Ternyata tujuan ini tidak dapat tercapai karena memang matematika tidak hanya merupakan logika. Sebagai contoh aksioma ketakhinggan dapat disajikan dalam bentuk-bentuk proposisi logika tetapi tidak dapat dinyatakan kebenarannya secara logika.

Idea atau tujuan aliran formalisme adalah kemungkinan menggambarkan bahwa matematika sebagai permainan formal yang tak bermakna yang dimainkan dengan menuliskan simbol-simbol pada kertas dengan menggunakan aturan tertentu. Tokoh dalam aliran ini adalah Hilbert Dalam aliran formlisme pernyatan-pernyatan dalam matematika harus dipikirkan sebagai serangkaian konsekuensi dari manipulasi serangkaian aturan.

Para formalist mempunyai dua pernyataan yang diyakininya yaitu :

(1). Matematika murni dapat diekspresikan ke dalam sistem formal yang

tak bermakna, dimana kebenaran matematika direpresentasikan dengan

teori formal.

(2). Kekuatan dari sistem formal dapat didemonstrasikan dalam

pernyataan yang bebas dari ketidak konsistenan

Idea atau tujuan aliran formalisme adalah kemungkinan menggambarkan bahwa matematika sebagai permainan formal yang tak bermakna yang dimainkan dengan menuliskan simbol-simbol pada kertas dengan menggunakan aturan tertentu. Tokoh dalam aliran ini adalah Hilbert Dalam aliran formlisme pernyatan-pernyatan dalam matematika harus dipikirkan sebagai serangkaian konsekuensi dari manipulasi serangkaian aturan.

Para formalist mempunyai dua pernyataan yang diyakininya yaitu :

(1). Matematika murni dapat diekspresikan ke dalam sistem formal yang

tak bermakna, dimana kebenaran matematika direpresentasikan dengan

teori formal.

(2). Kekuatan dari sistem formal dapat didemonstrasikan dalam

pernyataan yang bebas dari ketidak konsistenan

Idea atau tujuan dari aliran intuisionisme adalah bahwa keberadaan

matematika dipandang sebagai bebas dari ahli matematika itu sendiri. Objek

matematika dikonstruk dalam pikiran dengan cara menghilangkan

semantiknya. Tokoh dari aliran ini adalah Brouwer.

Manfaat dari aliran logisisme diantaranya adalah pembuktian induksi

matematika, penggunaan implikasi dan pembuktian matematika baik dengan

cara bukti langsung maupun bukti tidak langsung yang sangat bermanfaat

dalam perkembangan matematika. Aliran logicisme merupakan dasar untuk

pembentukan pola pikir deduktif yang merupakan ciri atau karakteristik dari

matematika yang menekankan pada penataan nalar.

Manfaat dari aliran Formalisme misalnya prosedur dalam memunculkan

struktur aljabar seperti grup, ring maupun field. Contoh lain yang menonjol

dari manfaat aliran formalisme adalah banyaknya perkembangan baru dari

matematika. Sebagai contoh cabang matematika baru tersebut adalah fuzzy

set. Pada sistem matematika yang lama konsep himpunan menggunakan

konsep himpunan dua nilai, yaitu x anggota A atau x bukan anggota

himpunan A. Namun pada sistem matematika yang baru konsep himpunan

dapat dikembangkan tidak hanya konsep himpunan dua nilai. Keanggotaan x

pada sebuah himpunan tidak hanya anggota dan bukan anggota.

Keanggotaan x dapat berupa ½ anggota, ¼ anggota, ¾ anggota dan lain-lain.

Dengan konsep matematika yang demikian, berkembanglah cabang

matematika yang baru namun demikian cabang matematika tersebut tidak

kontradiksi dengan sistem yang lama.

Manfaat aliran intuisionisme diantaranya adalah cara-cara pembuktian dalam

matematika misalnya pembuktian dalam analisis real. Dalam pembuktian-

pembuktian pada hakekatnya didasarkan pada aliran intuisionisme.

Aliran Logika (Logisisme) berpandangan bahwa konsep dan obyek matematika seperti bilangan dapat didefinisikan dari terminology logika dan dengan definisi ini teorema matematika berasal dari prinsip logika. Hal ini menunjukkan bahwa kebenaran matematika dapat diterima jika berasal dari prinsip logika.

Matematika sebenarnya merupakan bagian dari logika dan keduanya saling berhubungan atau matematika merupakan cabang dari logika. Hal ini tertuang dalam salah satu tulisan Russel yang menyatakan bahwa logika telah menjadi lebih bersifat matematis dan matematika menjadi lebih logis. Bahkan dikatakan bahwa logika dan matematika memiliki hubungan seperti anak dan orang dewasa. Logika merupakan masa mudanya matematika dan matematika adalah masa dewasanya logika

Secara umum pandangan aliran logika bertujuan mengembalikan matematika kepada logika. Hal ini menunjukkan bahwa kebenaran matematika dapat diterima jika berasal dari prinsip logika. Dalam hal ini ingin ditunjukkan bahwa konsep-konsep matematika seperti bilangan-bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk kata-kata atau menggunakan operator logika dan sifat-sifatnya ditunjukkan oleh logika murni.

Hal ini tertuang dalam pandangan Frege dalam mendefinisikan tentang bilangan dengan menggunakan prinsip Hume, bahwa semua konsep dalam matematika dapat dinyatakan dalam bentuk-bentuk logika murni dan dapat dibuktikan dengan prinsip-prinsip logika saja.

Hal ini berlebihan sehingga kebenaran dalam matematika dapat direduksi menjadi logika. Padahal pada perkembangan matematika tidak semua matematika dapat dibuktikan kebenarannya berdasarkan prinsip logika, dengan kata lain terdapat beberapa konsep matematika yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan prinsip logika.

Pandangan Russel lebih fleksibel dibandingkan pandangan Frege dengan kata lain Russel memberi ruang pembuktian matematika tanpa menggunakan prinsip logika umum. Russel berpandangan matematika memerlukan aksioma non logika seperti aksioma ketakhinggaan (himpunan dari semua bilangan asli adalah tak hingga) dan aksioma pilihan (choice) perkalian kartesius dari keluarga himpunan tak kosong adalah himpunan tak kosong itu sendiri

Karakteristik-karakteristik ide-ide dasar dari semua ide matematika dapat didefinisikan. Tetapi tidak semua proposisi-proposisi primitif dari semua proposisi matematika tersebut dapat dideduksi. Ini merupakan suatu masalah yang lebih sulit karena belum diketahui jawaban yang sebenarnya.

Matematika adalah sistem hipotetik deduktif dimana konsekuen dari aksioma-aksioma yang akan diselidiki, tanpa menyatakan kebenarannya. Namun hal ini juga merupakan suatu kegagalan dalam paham ini, karena tidak semua kebenaran matematika (seperti Aritmatika Peano) secara konsisten dapat disajikan sebagai pernyataan-pernyataan implikasi (Macofer, 1983).

Berdasarkan uraian-uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kebenaran matematika tetap berlandaskan pada prinsip-prinsip logika, namun tetap memperhatikan dan melakukan analisis empirikal dalam merumuskan proposisi-proposisi matematika sebagai suatu kebenaran sintetik. Jika kebenaran yang diperlukan adalah kebenaran definisi maka kebenaran itu tetap berlandaskan pada aspek semantik dalam penggunaan bahasa dan pemaknaan terhadap simbol dan variabel yang digunakan dalam merumuskan proposisi matematika.