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Notas para el curso de Teoría de Conjuntos Carlos Uzcátegui Aylwin Escuela de Matemáticas Facultad de Ciencias Universidad Industrial de Santander 12 de abril de 2016

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Notas para el curso de Teoría de Conjuntos

Carlos Uzcátegui Aylwin

Escuela de Matemáticas

Facultad de Ciencias

Universidad Industrial de Santander

12 de abril de 2016

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Índice general

1. Funciones 11.1. El producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Algunas propiedades del producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. El concepto de función como relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1. Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Funciones por partes y funciones características . . . . . . . . . . . . 17

1.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.1. Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.2. Funciones sobreyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.3. Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5. Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.6. La función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6.1. Algunas propiedades de la composición . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.7. Permutaciones de n elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.8. La imagen y la preimagen de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2. Cardinalidad 592.1. Conjuntos finitos y métodos de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.1.1. Cardinalidad del conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.2. Cardinalidad del producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.1.3. Cardinalidad de BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.1.4. Funciones y cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.1.5. El principio del palomar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.2. Conjuntos equipotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.3. Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.4. Algunos ejemplos importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 882.5. Operaciones generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.5.1. Producto cartesiano y el axioma de elección . . . . . . . . . . . . . . 972.6. El Teorema de Schröder-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

2.6.1. Demostración del Teorema de Schröder-Bernstein . . . . . . . . . . . 1052.7. Conjuntos numerables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.8. Aplicaciones del Teorema de Schröder-Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . 111

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2.9. ¿Cuál es el tamaño de R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.10. El Teorema de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.10.1. La paradoja de Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3. Órdenes 1213.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1213.2. Buenos órdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.3. Comparación de conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1253.4. El orden de N y de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.4.1. El orden de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.4.2. El orden de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.5. El orden de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1323.5.1. Subconjuntos densos de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1333.5.2. Un ejemplo de subconjunto denso de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . 1363.5.3. El orden de Q es único . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.6. El orden de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.6.1. El axioma del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.6.2. La ecuación x2 − 2 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1473.6.3. Los números irracionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.6.4. Otra demostración de que R no es numerable . . . . . . . . . . . . . 1513.6.5. Algunos subconjuntos de R que tampoco son numerables . . . . . . . 1533.6.6. ¿Es único el orden de R? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

3.7. Operaciones con conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.7.1. Inversión de un orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.7.2. Suma de órdenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.7.3. Producto de órdenes lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.7.4. Buenos órdenes (continuación) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

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Capítulo 1

Funciones

En este capítulo repasaremos algunas nociones básicas sobre relaciones y funciones. Elconcepto de función es quizá uno de los conceptos más importantes de la Matemática. Todaslas teorías matemáticas hacen uso de las funciones.

1.1. El producto Cartesiano

En esta sección introduciremos otra operación entre conjuntos. Sean A y B dos conjuntosno vacíos. Para cada a ∈ A y cada b ∈ B formamos el par ordenado

(a, b).

El elemento a se llama la primera componente del par ordenado (a, b) y b la segundacomponente. La colección de todos los pares ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B se llama elproducto Cartesiano 1 de A por B y se denota por A×B.

A×B = {(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.

Ejemplos 1.1. 1. Sea A = {1, 2} y B = {p, q, r}. Entonces tenemos que

A× B = {(1, p), (1, q), (1, r), (2, p), (2, q), (2, r)}.

2. Sea A = B = {1, 2} Entonces

A× B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.1La palabra Cartesiano hace referencia al nombre del filósofo y matemático francés René Descartes (1596-

1650) quién fué el creador de la geometría analítica.

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Observe que (1, 2) 6= (2, 1) a diferencia de lo que ocurre con los conjuntos donde elorden no es importante, pues {1, 2} = {2, 1}. El par (1, 1) es legítimo, en cambio elconjunto {1, 1} es en realidad el conjunto {1} pues no hace falta repetir los elementos.En algunos libros los pares ordenados se denotan por < 1, 2 > para evitar una posibleconfusión con el intervalo (1, 2) de la recta real. Nosotros mantendremos la notaciónmás tradicional de (a, b) para pares ordenados pues el contexto siempre aclarará a quénos estamos refiriendo.

3. El producto cartesiano de un conjunto A consigo mismo también se acostumbra denotarpor A2 en lugar de A×A.

4. Si A tiene un sólo elemento, digamos {a}, y B es cualquier conjunto no vacío, tambiénpodemos formar A× B y obtenemos {a} × B = {(a, b) : b ∈ B}.

Como su nombre lo indica, el orden en un par ordenado es importante pues dos paresordenados (a, b) y (c, d) son iguales si se cumple que a = c y b = d.

(a, b) = (c, d) si, y sólo si, a = c y b = d.

Veamos cómo se usa la definición de igualdad de pares ordenados. Mostraremos que(a, b) = (b, a) si, y sólo si a = b. Debemos mostrar dos cosas: (i) Supongamos que (a, b) =(b, a), entonces por la definición de igualdad de pares ordenados obtenemos que a = b. (ii)Supongamos que a = b, entonces las primeras y segundas componentes de (a, b) y (b, a) soniguales y por lo tanto (a, b) = (a, a) = (b, a).

Los pares ordenados y el producto cartesiano son muy útiles para modelar situacionesreales. A continuación damos un ejemplo que ilustra lo que acabamos de decir.

Ejemplo 1.2. Si se tira dos veces una moneda al aire y convenimos en representar con laletra c si sale “cara” y con s si sale “sello”, entonces todos los resultados posibles son: cs,cc, ss y sc. Podemos usar el producto cartesiano {c, s} × {c, s} para representar todas lasposibilidades

{c, s} × {c, s} = {(c, s), (c, c), (s, s), (s, c)}.

Ejemplo 1.3. (El plano Cartesiano) El conjunto R2 que consiste de todos los pares orde-nados de números reales sirve para representar un plano. El conjunto R2 generalmente serepresenta por un sistema de coordenadas, llamadas precisamente coordenadas Cartesianas.

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b

x

y

(x, y)

Ejemplos 1.4. Podemos definir subconjuntos interesantes de R2 usando ×.

1. Consideremos el intervalo de la recta real [0, 1] que consiste de todos los números realesx tales que 0 ≤ x ≤ 1. El producto cartesiano [0, 1] × [0, 1] tiene una interpretacióngeométrica: un cuadrado de lado 1.

(0, 0) (1, 0)

(1, 1)(0, 1)

2. Sea A el intervalo cerrado [1, 3] y B el intervalo abierto (1, 3). El conjunto A × R serepresenta de la siguiente manera.

(0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0)

A× R

b b b

y el conjunto R×B se representa de la siguiente manera3

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R×B

b

b

b

(0, 0)

(0, 1)

(0, 2)

(0, 3)

Considere ahora el conjunto (A× R) ∩ (R× B).

[1, 3]× (1, 3)

bc bc

bcbc

b b b

(1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

Podemos formar el producto cartesiano de tres conjuntos: A × B × C. Para esto seintroduce el concepto de una tripleta ordenada (a, b, c) donde a ∈ A, b ∈ B y c ∈ C.

A× B × C = {(x, y, z) : x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C}.

Al igual que con el producto cartesiano de dos conjuntos, se acostumbra a escribir

A3.

en lugar de A×A× A.

Ejemplos 1.5. 1. (El espacio tridimensional) El conjunto R3 que consiste de todas lastripletas ordenadas de números reales se usa para representar el espacio tridimensional.

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2. (El cubo) El conjunto [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] tiene una interpretación geométrica natural:El cubo de lado 1.

(0, 0, 0)

(1, 1, 0)

(0, 1, 0)

(1, 1, 1)

(0, 0, 1)

(1, 0, 1)

(1, 0, 0)

b

b

b

b

b

b

b

b

b b b b b b b bb

b

b

b

b

b

1.1.1. Algunas propiedades del producto cartesiano

Ahora veremos algunas propiedades de la operación ×.

Ejemplo 1.6. Sean A, B y C conjuntos cualesquiera. Mostraremos que

A× (B ∪ C) = (A× B) ∪ (A× C).

Debemos verificar dos cosas:

(i) A× (B ∪ C) ⊆ (A× B) ∪ (A× C)

y

(ii) (A× B) ∪ (A× C) ⊆ A× (B ∪ C).

Veamos (i). Sea (x, y) ∈ A × (B ∪ C), entonces x ∈ A y y ∈ (B ∪ C). Luego hay doscasos a considerar:

Caso a: Supongamos que y ∈ B. Entonces como x ∈ A, se tiene que (x, y) ∈ A×B, y porlo tanto (x, y) ∈ (A× B) ∪ (A× C).

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Caso b: Supongamos y ∈ C. Entonces como x ∈ A, se tiene que (x, y) ∈ A× C, y por lotanto (x, y) ∈ (A× B) ∪ (A× C).

Veamos (ii). Sea (x, y) ∈ (A×B) ∪ (A× C). Entonces hay dos casos a considerar:

Caso a: Supongamos (x, y) ∈ A× B. Entonces x ∈ A y y ∈ B. Por lo tanto y ∈ B ∪ C yen consecuencia (x, y) ∈ A× (B ∪ C).

Caso b: Supongamos (x, y) ∈ A× C. Entonces x ∈ A y y ∈ C. Por lo tanto y ∈ B ∪ C yen consecuencia (x, y) ∈ A× (B ∪ C).

Ejemplo 1.7. Hay otra forma de presentar las demostraciones en el álgebra de conjuntos.Usaremos el ejemplo anterior para ilustrar lo que queremos decir. Para probar la igualdad

A× (B ∪ C) = (A× B) ∪ (A× C),

debemos mostrar que dado x, y cualesquiera se cumple que

(x, y) ∈ A× (B ∪ C) ⇔ (x, y) ∈ (A× B) ∪ (A× C).

Iremos mostrando una serie de equivalencias y la última de ellas será la deseada.

(x, y) ∈ A× (B ∪ C) ⇔ (x ∈ A) ∧ ( y ∈ B ∪ C )

⇔ (x ∈ A) ∧ [(y ∈ B) ∨ (y ∈ C)]

⇔ [(x ∈ A) ∧ (y ∈ B)] ∨ [(x ∈ A) ∧ (y ∈ C)]

⇔ [(x, y) ∈ A×B ] ∨ [ (x, y) ∈ A× C]

⇔ (x, y) ∈ (A×B) ∪ (A× C).

Observe que hemos introducido los paréntesis y corchetes para evitar ambigüedad lógicacon los conectivos. En el tercer paso hemos usado la ley distributiva de la lógica proposicionalque dice lo siguiente

p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r).

Ejemplo 1.8. Sean A, B y C conjuntos. Entonces

A× (B ∩ C) = (A× B) ∩ (A× C ).

En efecto,

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(x, y) ∈ A× (B ∩ C) ⇔ ( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B ∩ C )

⇔ (x ∈ A ) ∧ [ (y ∈ B ) ∧ ( y ∈ C )]

⇔ [( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B )] ∧ [( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ C )]

⇔ [ (x, y) ∈ A× B ] ∧ [ (x, y) ∈ A× C ]

⇔ (x, y) ∈ (A×B) ∩ (A× C).

En este ejemplo hemos usado la siguiente equivalencia lógica:

p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ (p ∧ r).

Ejercicios 1.1

1. Sean A = {1, 2}, B = {−1,−2,−3}, C = {a, b, c}, D = {4} y E = {1, 2, 3}.

a) Determine por extensión los siguientes conjuntos:

(i) A× B (ii) A× B × C (iii) B ×A(iv) A× C × A (v) A3 (vi) B2 ×D

b) Muestre que A× B ⊆ E × B.

c) Muestre que (A× B) ∩ (B ×B) = ∅.d) Muestre que A× B 6= B ×A.

2. Represente en el plano Cartesiano R2 los siguientes conjuntos:

a) [0, 4]× [−1, 2)

b) (3, 6)× (3, 7)

c) (1, 4]× (3,+∞)

d) [0, 2)× R

e) R× [1, 3]

f ) ([0, 2)× R) ∩ (R× [1, 3])

3. ¿Cuál figura geométrica se podría representar con los siguientes conjuntos?

a) [0, 1]× {1}b) [0, 1]× {0} ∪ [0, 1]× {1} ∪ {0} × [0, 1] ∪ {1} × [0, 1]

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4. Mencionamos en el texto que un cubo se puede modelar con el conjunto

[0, 1]× [0, 1]× [0, 1].

¿A qué parte del cubo corresponden los siguientes conjuntos?:

a) [0, 1]× [0, 1]× {1}b) [0, 1]× {1} × {0}c) {1} × [0, 1]× [0, 1]

5. Sean A,B y C conjuntos, muestre las siguiente afirmaciones:

a) (A×B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D).

b) A× (B \ C) = (A×B) \ (A× C).

c) Si A ⊆ B, entonces A× C ⊆ B × C.

d) A× ∅ = ∅.e) A×B = ∅ si, y sólo si A = ∅ o B = ∅.

6. En los siguientes ejercicios daremos un argumento que podría ser una “demostración”.Determine cuáles de las afirmaciones son correctas y cuáles argumentos son correctosy completos. Justifique su respuesta.

a) Afirmación: (A× B) ∪ C = (A× C) ∪ (B × C).“Demostración”:

x ∈ (A× B) ∪ C si, y sólo si x ∈ A× B ó x ∈ Csi, y sólo si x ∈ A y x ∈ B ó x ∈ Csi, y sólo si x ∈ (A× C) ∪ (B × C).

b) Afirmación: Si A×B = A× C y A 6= ∅, entonces B = C.“Demostración”:

A× B

A=

A× C

A

por lo tanto B = C. ✷

c) Afirmación: Si A×B = A× C y A 6= ∅, entonces B = C.“Demostración”: Mostraremos primero que B ⊆ C. Sea b ∈ B. Como A 6= ∅escogemos a ∈ A. Entonces (a, b) ∈ A × B. Luego por hipótesis tenemos que(a, b) ∈ A× C y por lo tanto b ∈ C. Esto muestra que B ⊆ C.

La prueba de que C ⊆ B es análoga. ✷

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7. Todos los conceptos usados en matemáticas pueden ser expresados en términos deconjuntos. Por ejemplo, el concepto de par ordenado puede ser definido de la manerasiguiente: Dados a ∈ A y b ∈ B, se define 〈a, b〉 (usaremos provisionalmente estanotación) como el conjunto

{{a}, {a, b}}.

a) Sea A = {1, 2} y B = {3, 4}. Determine todos los elementos de {〈a, b〉 : a ∈A y b ∈ B}.

b) Muestre que para cada a ∈ A y b ∈ B se cumple que 〈a, b〉 ∈ P(P(A ∪B))

c) Muestre que la definición de 〈a, b〉 satisface la propiedad fundamental de los paresordenados, a saber, 〈a, b〉 = 〈c, d〉 si y sólo si a = c y b = d.

1.2. Relaciones

La noción de relación es usada frecuentemente en la vida diaria. Un ejemplo muy “fami-liar” es la relación “ser padre de”. Veamos otros ejemplos de relaciones antes de introducir ladefinición matemática.

Ejemplo 1.9. Consideremos la colección C de todas las ciudades de Colombia. Diremos quedos ciudades c y d están relacionadas si se puede viajar (no importa con que línea aérea) dec a d sin hacer escalas. Denotaremos este hecho con el símbolo cRd. Por ejemplo,

Bogotá R Bucaramanga y Bogotá R Manizales

pero no es cierto que Manizales R Bucaramanga. Cada par de ciudades relacionadas c yd puede ser considerado como el par ordenado (c, d). La relación R la podemos entoncesrepresentar como el siguiente conjunto de pares ordenados:

R = {(c, d) ∈ C × C : Existe un vuelo sin escalas de c a d}.

Por ejemplo, tenemos que (Bogotá,Manizales) ∈ R y (Manizales,Bucaramanga) 6∈ R.Las bases de datos de las líneas aéreas y agencias de viajes guardan la información sobre

los vuelos de la manera en que la hemos presentado en este ejemplo (esas bases de datos seconocen como bases de datos relacionales). ✷

Ejemplo 1.10. Consideremos la relación < de orden estricto entre números naturales. Pode-mos representar esta relación como una colección de pares ordenados de la manera siguiente:

R = {(n,m) ∈ N× N : n < m}.

Por ejemplo, (3, 5) ∈ R y (4, 2) 6∈ R. Por supuesto que ésta no es la manera usual de expresarla relación de orden, pero nos sirve para motivar la definición que daremos a continuación.✷

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Los dos ejemplos que hemos presentado tienen en común que la relación en cuestión fuerepresentada en términos de colecciones de pares ordenados y esto es la clave de la siguientedefinición.

Definición 1.11. Una relación entre dos conjuntos A y B es un subconjunto de A × B.En este caso diremos que R es una relación de A en B.

Observe que decir que R es una relación de A en B no es lo mismo que decir que R esuna relación de B en A. Las relaciones entre dos conjuntos se conocen también por el nombrede relaciones binarias. Cuando A es igual a B diremos que R es una relación sobre A.

El concepto de relación incluye muchas posibilidades como veremos en los ejemplos acontinuación.

Ejemplos 1.12. 1. Sean A = {1, 2}, B = {3, 4} y R = {(1, 3), (1, 4)}. Tenemos que R esuna relación entre A y B. Pero R no es una relación entre B y A.

2. Otro ejemplo de una relación de A en B consiste en tomar todos los pares ordenados(a, b) ∈ A× B. Es decir, si ponemos R igual a A× B, tenemos que R es una relaciónde A en B. Según esta relación cada uno de los elementos de A está relacionado concada uno de los elementos de B (¿Puede imaginarse un ejemplo de la vida diaria dondeocurra esta situación?).

3. La relación de divisibilidad: sean a, b enteros con a 6= 0, diremos que a está relacionadocon b (y escribimos a|b) si existe un entero k tal que b = ka. Por ejemplo, 3|6 y 4 6 |6.

4. Sea A un conjunto cualquiera. Definimos una relación binaria entre A y P(A) de lamanera siguiente

R = {(x,B) ∈ A×P(A) : x ∈ B}.Entonces (x,B) está en R precisamente cuando x ∈ B. Es decir, ∈ relaciona los ele-mentos de A con los elementos de P(A).

Por ejemplo, en el caso que A = {1, 2, 3} tenemos que

(3, {1, 3}) ∈ R y (2, {1, 3}) 6∈ R.

5. La relación de subconjunto ⊆. Para adaptar este ejemplo a la definción 1.11 trabajare-mos con subconjuntos de un conjunto universal U . Definimos R de la manera siguiente:

R = {(C,D) ∈ P(U)× P(U) : C ⊆ D}.

Dados dos subconjuntos C,D de U , se cumple que C ⊆ D si y solamente si (C,D) ∈ R.Observe que R es una relación sobre P(U).

Por ejemplo, en el caso que U = N, tenemos que

({1, 2}, {1, 2, 3}) ∈ R y ({1, 2}, {1, 3}) 6∈ R.

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6. El conjunto vacío ∅ es un subconjunto de A × B y en consecuencia es otro ejemplode relación de A en B. Este es un ejemplo “extremo” de relación, pues en realidad norelaciona a ningún elemento de A con ninguno de B.

Si R es una relación binaria, también escribiremos

xRy

cuando x e y están relacionados según R, es decir, si (x, y) ∈ R. Es muy frecuente que lasrelaciones se denoten con un símbolo especial. Por ejemplo la relación de orden estricto <,la relación de divisibilidad |, la de pertenencia ∈, la de subconjunto ⊆, etc.

En muchos casos es importante conocer cuáles elementos de A realmente están relacio-nados con algún elemento de B. Y también es útil saber para cuáles elementos de B existealguno de A relacionado con él. Estas ideas las precisamos a continuación.

Definición 1.13. Sea R una relación binaria entre los conjuntos A y B. El dominio de R,denotado por dom(R), es el conjunto formado por todos aquellos elementos a de A tales que(a, b) está en R para algún b en B.

El rango de R, denotado por rango(R), es el conjunto formado por todos aquellos ele-mentos b de B tales que (a, b) está en R para algún a en A.

Usando otra notación podemos expresar las nociones de rango y dominio de una relaciónde la siguiente manera:

dom(R) = {a ∈ A : aRb para algún b ∈ B}

rango(R) = {b ∈ B : aRb para algún a ∈ A}.

Ejemplo 1.14. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4} y R = {(1, 3), (1, 4)}. Entonces por inspeccióntenemos que dom(R) = {1} y rango(R) = {3, 4}

Dejemos A y B como en el ejemplo anterior, es decir, A = {1, 2} y B = {3, 4}. Pero ahoratomemos como R al conjunto {(1, 3), (2, 3)}. Entonces por inspección tenemos que dom(R) ={1, 2} y rango(R) = {3}. Este ejemplo muestra que el rango y el dominio dependen de larelación R que estemos estudiando. ✷

Ejemplo 1.15. Consideremos la relación de orden estricto en N. En términos de conjuntostenemos que nuestra relación R viene dada por

R = {(n,m) ∈ N× N : n < m}.

Afirmamos que dom(R) = N y rango(R) = {n ∈ N : 0 < n}. En efecto:

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(1) rango(R) = {n ∈ N : 0 < n}: Para mostrar la igualdad de estos dos conjuntos debemosmostrar dos cosas: (i) rango(R) ⊆ {n ∈ N : 0 < n} y (ii) {n ∈ N : 0 < n} ⊆ rango(R).

(i) Sea n ∈ rango(R). De la definición de rango se concluye que n ∈ N y también, yesto es lo m ás importante, que existe m ∈ N tal que (m,n) ∈ R. Es decir, m < n.Por consiguiente n 6= 0, luego n ≥ 1.

(ii) Sea n ∈ N con n ≥ 1, queremos ver que n ∈ rango(R). Como n ≥ 1, tenemos quen− 1 ≥ 0, luego n− 1 ∈ N y además n− 1 < n. Por lo tanto, (n− 1, n) ∈ R. Esdecir, n ∈ rango(R).

(2) dom(R) = N: De manera similar, mostraremos dos cosas: (i) N ⊆ dom(R) y (ii)dom(R) ⊆ N.

(i) Sea n ∈ N, queremos mostrar que n ∈ dom(R). En efecto, simplemente notemosque (n, n+ 1) ∈ R pues n < n + 1.

(ii) De la propia definición de dom(R) se deduce que dom(R) ⊆ N.

Ejemplo 1.16. Sea R la relación de pertenencia definida entre elementos de un conjunto Ay el conjunto de partes de A. Es decir,

R = {(x,B) ∈ A× P(A) : x ∈ B}.

Vemos que dom(R) = A, pues dado cualquier a ∈ A tenemos, por ejemplo, que (a, A) ∈ R.Por otra parte, rango(R) = P(A)− {∅}, pues para ningún a ∈ A se cumple que (a, ∅) ∈ R.✷

Ejercicios 1.2

1. Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones.

a) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}b) R = {(−1, 1), (−2, 2), (−3, 3), (−4, 4), (−5, 5)}c) R = {(n, 2n) : n ∈ N}d) R = {(n, 2n+ 1) : n ∈ N}e) R = {(1, 1), (1, 1

2), (1, 1

3), (1, 1

4), (1, 1

5), (1, 1

6), (1, 1

7)}

2. Sea A = {0, 1, 2}. Definimos una relación R sobre A de la manera que se indica. EscribaR como un conjunto de pares ordenados y determine su dominio y su rango.

a) nRm, si n ≤ m.

b) nRm, si m · n = 0.

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c) nRm, si m+ n ∈ A.

d) nRm, si m = máx{n, 1}.e) nRm, si m2 + n2 = 3.

3. Considere la relación R de {1, 2} en P({1, 2}) dada por

R = {(x,B) ∈ {1, 2} × P({1, 2}) : x ∈ B}.

a) Determine todos los elementos de R.

b) Determine el rango y el dominio de R.

4. Halle dos relaciones R y Q sobre {1, 2, 3} tales que dom(R) = dom(Q), rango(R) =rango(Q) pero R 6= Q.

1.3. El concepto de función como relación

Un caso especial y muy importante de relación entre dos conjuntos es el que correspondea la noción de función. En esta sección estudiaremos las propiedades básicas de las funciones.

Definición 1.17. Una relación R entre dos conjuntos A y B se dice que es una función

de A en B si satisface la siguiente condición:

Para todo a ∈ A existe un único b ∈ B tal que aRb.

Observemos que en la definición de función se requiere que la relación cumpla con doscondiciones:

(1) Para cada elemento de a ∈ A existe un elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ R.

(2) El elemento b mencionado en la condición (1) es único.

Notemos que (1) nos dice que el conjunto A es el dominio de R y (2) nos aseguraaún más, pues cada elemento de A está relacionado con un sólo elemento de B. El únicoelemento b al que a está asociado se le llama la imagen de a. Así que una función de A en Basigna a cada elemento de A uno de B y es por esto que las funciones también son llamadasasignaciones.

Ejemplos 1.18. 1. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} y R = {(1, 3), (1, 4), (2, 3)}. Tenemosque R es una relación entre A y B. Pero R no es una función. Pues el 1 está relacionadocon dos elementos de B, esto es, la condición (2) no se cumple. Observe que la condición(1) sí se cumple en este ejemplo.

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2. Sea A = {a, b, c}, B = {3, 4} y R = {(a, 3), (b, 3)}. Tenemos que R es una relaciónentre A y B. Pero R no es una función. Pues el elemento c no está relacionado conningún elemento de B, esto es, la condición (1) no se cumple.

3. Sea A = {1, 2}, B = {3, 4, 5} y R = {(1, 3), (2, 4)}. En este caso R es una función.Pues para cada a ∈ A existe un único b ∈ B tal que (a, b) ∈ R.

Las funciones se denotan generalmente con las letras f, g, h y en lugar de escribir “a f b”,para indicar que a está relacionado con b, se escribe

f(a) = b.

Diremos que f(a) (que se lee “f de a”) es la imagen de a bajo f . También se dice “la imagende a por f ” o que b es el “valor” que toma f en a. Para indicar que f es una función de A enB escribimos

f : A → B.

Ya dijimos que A se llama el dominio de f y a B se le llama contradominio o codominio.Un subconjunto de B que juega un papel importante en el estudio de las funciones es el rangoel cual se define de la siguiente manera:

rango(f) = {b ∈ B : b = f(a) para algún a ∈ A}.

El rango de una función es el conjunto formado por las imágenes de los elementos del dominioy es por esto que también se acostumbra llamarlo el conjunto imagen. Como veremos enlos ejemplos, en general, B no es igual al rango.

El conjunto de todas las funciones de un conjunto A en un conjunto B se denota por

BA.

Ejemplos 1.19. 1. Usualmente las funciones se presentan a través de una “regla” queasigna a cada elemento de A un único elemento de B. Por ejemplo, consideremos losconjuntos A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y la regla que asigna a cada númeroa ∈ A el número 2a. Usualmente expresamos esta regla de asignación escribiendo

f(a) = 2a,

pero también se acostumbra a escribir

a 7→ 2a.

De esta manera hemos definido una función de A en B. El siguiente conjunto representaa f como un conjunto de pares ordenados:

{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}.

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2. Consideremos la regla f(n) = n + 1 que asigna a cada número natural n el númeronatural n + 1. Entonces f : N → N es una función. Podemos expresar f como unconjunto de pares ordenados de la siguiente manera

{(n, n+ 1) ∈ N× N : n ∈ N}.

3. Sea A un conjunto cualquiera y consideremos la asignación i(a) = a, entonces i es unafunción de A en A llamada la función identidad del conjunto A.

Para definir correctamente una función debemos especificar tres cosas:

(i) El dominio de la función.

(ii) El contradominio de la función.

(iii) La regla de asignación (o ley de correspondencia) entre los elementos del dominioy los del contradominio.

Al definir una ley de correspondencia es importante estar seguros de que en realidadlos valores que le asignamos a cada elemento del dominio pertenecen al contradominio yademás debemos verificar que a todo elemento del dominio le hemos asignado un elementodel contradominio.

Ejemplo 1.20. Considere la siguiente regla

x 7→ x

x− 2.

Con sólo esta información no tenemos bien definida una función. Pues no hemos especifi-cado los valores que puede tomar la variable x. En otras palabras, debemos especificar eldominio de la función que queremos definir. Por otra parte, también debemos aclarar cuáles el contradominio de la función que estamos definiendo. Veamos algunas de las posiblesalternativas:

(a) Sea A = {1, 3, 4}, B = Q y g(x) = xx−2

. Entonces g : A → B es una función biendefinida.

(b) Sea A = {1, 2, 3}, B = Q y h(x) = xx−2

. Entonces h : A → B no está bien definida,pues existe un elemento del dominio al cual la regla x 7→ x

x−2no le asigna ninguna

imagen (¿cuál es?).

(c) Sea A = {x ∈ R : x 6= 2}, B = R y f(x) = xx−2

. Entonces f : A → B es una funciónbien definida.

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¿Cuándo dos funciones son iguales? Para que dos funciones f y g sean iguales se debencumplir las tres condiciones siguientes:

(i) f y g tienen el mismo dominio.

(ii) f y g tienen el mismo contradominio.

(iii) f y g tienen igual ley de correspondencia. Es decir, para todo x en el dominio de f(que debe ser igual al dominio de g) se debe cumplir que f(x) = g(x).

Ejemplos 1.21. 1. En el ejemplo 1.20 tenemos que las funciones f y g son distintas pues,aunque usan la misma ley de correspondencia, sus respectivos dominios no son iguales.

2. Considere las funciones f, g : N → N dadas por f(n) = 3n+ 3 y g(n) = 5n + 3. Estasfunciones no son iguales, pues por ejemplo f(1) = 6 y g(1) = 8, es decir las leyes decorrespondencia no asignan la misma imagen al número 1.

1.3.1. Representación gráfica de funciones

Como vimos en una sección anterior, las relaciones binarias se pueden representar condiagramas. En los ejemplos que presentamos a continuación veremos cómo se representanalgunas funciones.

Ejemplo 1.22. Consideremos la función f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3, 4, 5, 6}, dada por f(a) = 2a.Podemos representar esta función con el siguiente diagrama (a veces llamados diagramassagitales pues se representan con flechas):

1

2

3

1

2

3

4

5

6

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Ejemplo 1.23. Considere la función f : N → N dada por f(n) = n+1. Podemos representaresta función con el siguiente diagrama:

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b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b

......

0

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3

4

5

6

Ejemplo 1.24. Considere la función f : R → R dada por f(x) = x2. La representacióngráfica más usada es la siguiente:

Incluir gráfica

1.3.2. Funciones por partes y funciones características

Existen diferentes maneras de definir funciones, pero lo importante es dejar bien clarocuál es su dominio, su contradominio y la ley de correspondencia.

Ejemplo 1.25. Considere la función h : N → N definida por:

h(x) =

{

2x , si x es par;3x , si x es impar.

En este caso la imagen asignada a un elemento del dominio depende de si el número es paro impar. Por ejemplo, h(0) = 0, h(2) = 4, h(4) = 8, h(1) = 3, h(3) = 9, h(5) = 15, etc. Perono hay ninguna duda sobre cómo determinar la imagen de cada número natural. Este tipode función se dice que está definida por partes. ✷

Veremos en seguida un ejemplo importante de función definida por partes. Consideremosun subconjunto A ⊆ {1, 2, 3, 4} cualquiera y definamos una función fA : {1, 2, 3, 4} → {0, 1}:

fA(x) =

{

0 , si x 6∈ A;1 , si x ∈ A.

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Observe que le hemos puesto el subíndice A a la notación de la función pues queremosindicar que la función está relacionada con el conjunto A. La función fA se llama la funcióncaracterística de A. También se le llama la función indicatríz de A Veamos algunosejemplos:

(i) Para A = {1}, tenemos que f{1}(1) = 1 y f{1}(2) = f{1}(3) = f{1}(4) = 0.

(ii) Para A = ∅, tenemos que f∅(x) = 0 para todo x ∈ {1, 2, 3, 4}.

Las funciones características las podemos definir en general para cualquier conjunto U ycualquier subconjunto A ⊆ U de la misma manera que los hicimos en el apartado anterior.

Definición 1.26. Sea U un conjunto y A un subconjunto de U . La función característica deA es la función fA : U → {0, 1} definida por

fA(x) =

{

0 , si x ∈ U \ A;1 , si x ∈ A.

Ejemplo 1.27. Observemos que para cada U y cada A ⊆ U tenemos una función.

1. Si U = N y A = {1, 3, 5, 7}, entonces

f{1,3,5,7}(x) =

{

0 , si x ∈ N \ {1, 3, 5, 7};1 , si x ∈ {1, 3, 5, 7}.

2. Si U = R y A = (1, 5), entonces

f(1,5)(x) =

{

0 , si x ∈ R \ (1, 5);1 , si x ∈ (1, 5).

Ejercicios 1.3

1. Determine cuáles de las siguientes relaciones entre X = {1, 2, 3} e Y = {m,n, r} sonfunciones. En caso que no sea una función diga por qué no lo es.

a) R = {(1, m), (2, n)},b) T = {(1, n), (2, r), (3, r)},c) S = {(1, n), (2, r), (3, m), (3, n)},d) H = {(1, m), (2, m), (3, m)}.

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2. Determine si las siguientes relaciones definen una función de N → N. En caso que nolo sea diga por qué no lo es y en caso que sí lo sea halle la regla de correspondencia.

a) R = {(n,m) ∈ N× N : m divide a n},b) R = {(n,m) ∈ N× N : m− n = 3},c) R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), · · ·},d) R = {(n, 3) ∈ N× N : n ∈ N},e) R = {(n, n3) ∈ N× N : n ∈ N}.

3. En cada caso determine las imágenes indicadas.

a) f : N → Z, definida por f(n) = −n. Hallar f(3) y f(12).

b) f : N → N, definida por f(n) = 6. Hallar f(5) y f(134).

c) f : {0, 1, 2, 3, · · · , 10} → Z dada por f(n) = (n− 3)(n− 6). Hallar f(3) y f(5).

d) Sea f : {0, 1, 2, 3, · · · , 10} → {0, 1, 2, 3, · · · , 10} definida por partes de la manerasiguiente

f(x) =

{

x+ 3 , si 0 ≤ x ≤ 310− x , si 4 ≤ x ≤ 10.

Hallar f(2) y f(8).

e) f : N → N× N definida por f(n) = (n + 1, n+ 2). Hallar f(25) y f(1000).

f ) f : N → P(N) definida por f(n) = {n}. Hallar f(5) y f(13).

4. Determine si existe alguna función f : N → N que satisfaga la condición que se indica.Justifique su respuesta.

a) ∀n ∈ N ∃m ∈ N f(m) = n,

b) ∀m ∈ N ∃n ∈ N f(m) = n,

c) ∃m ∈ N ∀n ∈ N f(m) = n,

d) ∃n ∈ N ∃m ∈ N f(m) = n.

e) ∃m ∈ N ∃n ∈ N f(m) = n.

f ) ∀n ∈ N ∀m ∈ N f(m) = n.

5. Sea f : R → R una función. Suponga que f satisface que

f(x)f(y) = f(x− y)

para todo x, y ∈ R y además que f(x) > 0 para todo x ∈ R. Halle f(1) y muestre quef(x) = f(−x) para todo x ∈ R.

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6. Sea f : R → R una función. Suponga que f satisface que

f(x) + f(x− 1) = x2

para todo x ∈ R y además que f(1) = 1. Halle f(10).

7. Sea f : R → R una función. Suponga que f satisface que

f(x)f(y) = f(x+ y)

para todo x, y ∈ R y además que f(−14) = 1

4. Halle f(1995).

8. a) Halle todas las funciones características de los subconjuntos de {1, 2, 3} (ver ladefinición 1.26. Note que en este caso U = {1, 2, 3}). Verifique que existen 8funciones características.

b) Considere la función g : {1, 2, 3} → {0, 1} definida por g(1) = 1, g(2) = 0 yg(3) = 1. ¿Existirá un subconjunto A de {1, 2, 3} tal que g = fA? Si la respuestaes “si”, encuentre tal conjunto.

c) Para cada A,B ⊆ {1, 2, 3, 4, 5} demuestre que A 6= B si, y sólo si fA 6= fB.(Ver la definición 1.26 con U = {1, 2, 3, 4, 5}. En este caso existen 32 funcionescaracterísticas, pero para responder la pregunta no hace falta hallarlas!).

9. Considere las siguientes funciones de R en R: g(x) = x2 y

h(x) =

{

0 , si x es racional1 , si x es irracional.

Determine para cuáles reales x se cumple que h(x) ≤ g(x)

10. Considere la función

h(x) =

{

0 , si x es racional1x

, si x es irracional.

Determine para cuáles reales x se cumple que h(x) ≤ x.

11. Sean f : A → B y g : C → D funciones. Determine qué hay que suponer para quef ∪ g sea una función de A∪C en B ∪D, cuando f y g se interpretan como relaciones.¿Qué puede decir acerca de f ∩ g? ¿Qué tiene que ver este ejercicio con las funcionesdefinidas por partes?

1.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas

En esta sección estudiaremos tres conceptos básicos sobre funciones.

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1.4.1. Funciones inyectivas

Definición 1.28. Sea f una función de A en B. Diremos que f es inyectiva si dadosa, a′ ∈ A con a 6= a′, se tiene que f(a) 6= f(a′).

A una función inyectiva también se le llama una función uno a uno (a veces se escribe: fes 1 − 1). Este nombre se debe a que elementos distintos del dominio son “enviados” por lafunción a elementos distintos del contradominio. La inyectividad tiene una interpretación entérminos del grafo de la función: A cada elemento del contradominio le llega a lo sumo unaflecha. Como lo ilustraremos en los ejemplos a continuación:

Ejemplo 1.29. Consideremos los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 4, 5}. En los diagramasque siguen se tiene que la función f es inyectiva y la función g no lo es.

f

A B

b

b

b

b

b

b

b

1

2

3

1

3

4

5

g

A B

1

2

3

1

3

4

5

b

b

b

b

b

b

b

Podemos expresar el concepto de inyectividad de la manera siguiente:

Sea f : A → B una función. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

(i) f es inyectiva.(ii) Para todo a, a′ ∈ A, si f(a) = f(a′), entonces a = a′.

Dejamos la verificación de este hecho al lector (ver ejercicio 12). En los siguientes ejemplosharemos uso de esta caracterización de la inyectividad.

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Ejemplo 1.30. Considere la función f : N → N dada por f(n) = n+1. Mostraremos que fes inyectiva. Usaremos el criterio de inyectividad enunciado en el recuadro anterior. Fijemosdos naturales n,m y supongamos que f(n) = f(m). Debemos mostrar que n = m. En efecto,nuestra suposición nos asegura que n+1 = m+1. Restando 1 en ambos lados de la igualdadobtenemos que n = m. ✷

Ejemplo 1.31. Considere la función g : N → N dada por g(n) = n2. Mostraremos que g esinyectiva. Usaremos otra vez el criterio anterior. Debemos probar que

Si g(n) = g(m), entonces n = m.

Es decir,Si n2 = m2, entonces n = m.

En efecto, fijemos n,m ∈ N y supongamos que n2 = m2. De esto tenemos que n2 −m2 = 0.Factorizando obtenemos que

(n+m)(n−m) = 0.

Hay dos casos a considerar: (i) n + m = 0 y (ii) n − m = 0. Como n,m ∈ N, entoncesn,m ≥ 0. Por lo tanto en el caso (i) tenemos que n = −m y entonces necesariamente secumple que n = m = 0. En el caso (ii) tenemos obviamente que n = m. ✷

En el ejemplo que sigue usaremos la definición original de inyectividad.

Ejemplo 1.32. Defina h : Z → Z de la siguiente manera:

h(x) =

{

2x− 1 , si x < 03x+ 1 , si 0 ≤ x.

Mostraremos que h es inyectiva. Tomemos dos enteros x, y distintos y mostremos que h(x) 6=h(y). Hay cuatro casos posibles, los consideraremos por separado.

(i) Supongamos que x < 0 y y < 0. En este caso, por la definición de h, tenemos queh(x) = 2x − 1 y h(y) = 2y − 1. Como x 6= y es claro que 2x 6= 2y y por lo tanto2x− 1 6= 2y − 1. Es decir que h(x) 6= h(y).

(ii) Supongamos que x ≥ 0 y y ≥ 0. En este caso, por la definición de h, tenemos queh(x) = 3x + 1 y h(y) = 3y + 1. Como x 6= y es claro que 3x 6= 3y y por lo tanto3x+ 1 6= 3y + 1. Es decir, h(x) 6= h(y).

(iii) Supongamos que x < 0 y y ≥ 0. Por la definición de h tenemos que h(x) = 2x − 1 yh(y) = 3y + 1. Como x < 0 entonces 2x − 1 < 0 y como y ≥ 0, entonces 3y + 1 ≥ 0.Por lo tanto h(x) 6= h(y).

(iv) Supongamos que y < 0 y x ≥ 0. Este caso se analiza como en el apartado anterior.

Hemos mostrado que en cada uno de los casos se cumple que h(x) 6= h(y). Como estoscuatro casos son todos los posibles, podemos concluir que h es inyectiva. ✷

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Es importante tener claro cuándo una función no es inyectiva. En el siguiente recuadrolo resaltamos:

Sea f : A → B una función. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes

(i) f no es inyectiva(ii) Existe un par de elementos a, a′ ∈ A tales que a 6= a′ y f(a) = f(a′).

Notemos entonces que para mostrar que una función no es inyectiva debemos conseguirDOS elementos del dominio que tengan la misma imagen.

Ejemplo 1.33. Consideremos la función h : Z → N dada por h(n) = n2. Uno estaría tentadoa rápidamente concluir del ejemplo 1.31 que h es inyectiva. Pero no es así. Notemos que hno es la misma función g del ejemplo 1.31, pues hemos modificado el dominio. En este casopara mostrar que h no es inyectiva debemos conseguir un par de elementos distintos n,mdel dominio de h que tengan la misma imagen bajo h, es decir tales que h(n) = h(m). Porejemplo, h(2) = 4 = h(−2). Por esta razón h no es inyectiva. ✷

1.4.2. Funciones sobreyectivas

Definición 1.34. Sea f : A → B una función. Diremos que f es sobreyectiva si dadob ∈ B existe algún a ∈ A tal que b = f(a).

Es claro que una función f : A → B es sobreyectiva cuando el rango de f es igual alcontradominio. Esto lo resaltamos en el próximo recuadro.

Sea f : A → B una función. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes

(i) f es sobreyectiva(ii) rango(f) = B.

Cuando f(x) = y se dice que y es la imagen de x y también diremos que x es unapreimagen de y. En el caso que y 6∈ rango(f), diremos que y no tiene preimagen.

Notemos que la sobreyectividad indica que en el grafo de la función a todo elemento delcontradominio le llega al menos una flecha (pero puede ser más de una). El primero de losdiagramas que siguen corresponde a una función sobreyectiva, en cambio el segundo no.

23

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f

A B

b

b

b

b

b

b

b

g

A B

b

b

b

b

b

b

b

Ejemplo 1.35. Considere la función f : {−1, 0, 1, 2} → {0, 1, 4} definida por f(x) = x2.Mostraremos que f es sobreyectiva. Debemos mostrar lo siguiente:

Para todo y ∈ {0, 1, 4} existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que f(x) = y.

Como el contradominio de f , el conjunto {0, 1, 4}, tiene sólo 3 elementos, podemos verificaresta afirmación con una simple inspección de todos los casos posibles.

(i) Para y = 0, en efecto existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que f(x) = 0, precisamente x = 0. Esdecir, la preimagen del 0 es el 0.

(ii) Para y = 1, tenemos que existe x ∈ {−1, 0, 1, 2} tal que x2 = 1. En realidad existen doselementos del dominio que tiene imagen igual a 1: f(1) = 12 = 1 y f(−1) = (−1)2 = 1.Es decir, 1 tiene dos preimágenes: 1 y -1.

(iii) Para y = 4, tenemos que f(2) = 22 = 4. Es decir, la preimagen del 4 es el 2.

Hemos entonces verificado que todo elemento del contradominio de f es la imagen dealgún elemento del dominio de f . En otras palabras, el rango de f es {0, 1, 4}. ✷

Ejemplo 1.36. Sea g : Q → Q definida por g(x) = 2x+1. Mostraremos que g es sobreyectiva.Debemos mostrar lo siguiente:

Para todo y ∈ Q existe x ∈ Q tal que 2x+ 1 = y.

Por ejemplo, tomando y igual a 4 es claro que g(32) = 3+1 = 4. Es decir, 3

2es una preimagen

de 4. En este ejemplo no podemos mostrar la sobreyectividad de g analizando todos loscasos posibles como lo hicimos en el ejemplo anterior, pues el contradominio de g tiene unacantidad infinita de elementos. Es por esta razón que necesitamos un argumento general.Fijemos un elemento y cualquiera del contradominio, es decir y ∈ Q. Queremos hallar x talque

2x+ 1 = y.

24

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En muchos ejemplos para hallar tal x lo que hacemos es “despejar” x de una ecuación. En elejemplo que estamos analizando tenemos que

2x = y − 1

y por lo tanto

x =y − 1

2.

Es claro que y−12

∈ Q y ahora verificaremos que la imagen de y−12

es y. En efecto,

g

(

y − 1

2

)

= 2

(

y − 1

2

)

+ 1 = (y − 1) + 1 = y.

Ejemplo 1.37. Consideremos la función f : N × N → N, definida por f((n,m)) = n.Mostraremos que f es sobreyectiva. Para entender mejor la definición de f calculemos algunasimágenes. Por ejemplo tenemos que

f((5, 0)) = 5, f((1, 1)) = 1, f((0, 0)) = 0.

Esto nos dice que 5, 1 y 0 tienen (al menos una) preimagen, respectivamente (5, 0), (1, 1)y (0, 0). Pero esto no es suficiente para garantizar que g es sobreyectiva. Debemos mostrarque dado cualquier elemento del contradominio n ∈ N, existe un elemento del dominio(x, y) ∈ N × N tal que f((x, y)) = n. Los ejemplos anteriores sugieren una respuesta. Enefecto, notemos que

f((n, 0)) = n

para cualquier n ∈ N, esto dice que (n, 0) es una preimagen de n y por lo tanto n ∈ rango(f)para todo natural n.

Observemos que en el ejemplo anterior, el conjunto de preimágenes de cada elemento delcontradominio es un conjunto infinito. Por ejemplo, las preimágenes del 3 son todos los paresordenados que tienen la forma (3, m), en símbolos,

{(n,m) ∈ N× N : f((n,m)) = 3} = {(3, m) : m ∈ N}.

Esto nos dice que f está muy lejos de ser una función inyectiva. ✷

Para determinar si una función es sobreyectiva, es crucial poder conseguir su rango. Enlos próximos ejemplos calcularemos el rango de algunas funciones.

Ejemplo 1.38. Considere la función f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} dada por f(n) =2n. Entonces por simple inspección se verifica que el rango de f es el conjunto {2, 4, 6, 8}.✷

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Ejemplo 1.39. Considere la función f : R \ {2} → R dada por

f(x) =x

x− 2.

Para hallar el rango de f debemos determinar cuales números reales son de la forma xx−2

.Para hacerlo consideremos la ecuación

x

x− 2= y.

Debemos “despejar” x de esta ecuación. Tenemos entonces que

x = (x− 2)y.

Luegox− xy = −2y.

Y por lo tanto

x =−2y

1− y.

Usando esta última ecuación mostraremos que si y 6= 1, entonces y está en el rango de f . Enefecto, sea y 6= 1, conseguiremos un real z tal que f(z) = y. Sea

z =−2y

1− y.

Verificaremos que f(z) = y. En efecto,

f(z) =

−2y1−y

−2y1−y

− 2=

−2y1−y

−2y−2+2y1−y

=−2y

−2= y.

Hemos mostrado querango(f) = R \ {1}.

Ejemplo 1.40. Considere la función f : P(N) → P(N) dada por

f(A) = A ∪ {2, 3}.

Mostraremos que el rango de f consiste de todos los subconjuntos de N que contienen al 2y al 3. En efecto, sea B ⊆ N tal que 2, 3 ∈ B. Observemos que

f(B) = B ∪ {2, 3} = B.

Por esto B está en el rango de f . Observemos que para cada B que contenga al 2 y al 3existen varios conjuntos A tales que f(A) = B. En efecto, tenemos que

f(B \ {2, 3}) = (B \ {2, 3}) ∪ {2, 3} = B,

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f(B \ {3}) = (B \ {3}) ∪ {2, 3} = B,

f(B \ {2}) = (B \ {2}) ∪ {2, 3} = B.

Esto muestra que los conjuntos B, B \ {2, 3}, B \ {2} y B \ {3} todos tienen como imagena B. ✷

Es importante que también quede claro cuando una función no es sobreyectiva. En elsiguiente recuadro lo resaltaremos.

Sea f : A → B una función. Las afirmaciones (i) y (ii) son equivalentes

(i) f no es sobreyectiva(ii) Existe un elemento b ∈ B tal que para ningún a ∈ A se tiene que b = f(a).

Notemos que para mostrar que una función no es sobreyectiva debemos encontrar UNelemento del contradominio que no tenga preimagen.

Ejemplos 1.41. 1. f : {0, 1, · · · , 6} → {0, 1, · · · , 6} definida por partes de la manerasiguiente

f(x) =

{

x+ 2 , si 0 ≤ x ≤ 27− x , si 3 ≤ x ≤ 6.

¿Será f sobreyectiva? Como el dominio de f tiene sólo 7 elementos es sencillo responderesta pregunta simplemente analizando por inspección todos los casos posibles. Vemosque

rango(f) = {1, 2, 3, 4}.De esto vemos que 5 no tiene preimagen y por lo tanto f no es sobreyectiva.

2. Podemos modificar el contradominio de la función dada en el ejemplo anterior y obtenerotra función que sí sea sobreyectiva. Definimos g : {0, 1, · · · , 6} → {1, 2, 3, 4} usandola misma ley de correspondencia que la de f . Como el dominio de g es igual al de f yusamos la misma regla, entonces se tiene que rango(g) es de nuevo {1, 2, 3, 4} y por lotanto g sí es sobreyectiva.

En el último ejemplo hemos usado un hecho general acerca de las funciones que enuncia-remos a continuación.

Teorema 1.42. Sea f : A → B una función. Defina g : A → rango(f) por g(x) = f(x).Entonces g es sobreyectiva. ✷

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Ejemplo 1.43. Sea f : (−1,−1) → R definida por f(x) = 2x + 3. Afirmamos que f no essobreyectiva. En efecto, notemos que si x ∈ (−1, 1) entonces

−1 < x < 1.

Multiplicando por 2 la desigualdad anterior obtenemos que

−2 < 2x < 2.

Ahora sumamos 3 a ambos miembros de la desigualdad anterior y obtenemos

1 < 2x+ 3 < 5.

De esto se deduce que el rango de f está contenido en (1, 5). Y por consiguiente podemosentonces concluir que f no es sobreyectiva pues, por ejemplo, 6 no tiene preimagen. Podemosde hecho hallar el rango de f . En efecto, afirmamos que

rango(f) = (1, 5).

Nos falta mostrar que (1, 5) ⊆ rango(f). Sea y ∈ (1, 5). Es decir, 1 < y < 5. Entoncesrestando 3 obtenemos

−2 < y − 3 < 2.

Ahora dividiendo entre 2 obtenemos

−1 <y − 3

2< 1.

Dejamos al lector la verificación que

f

(

y − 3

2

)

= y.

Con esto queda demostrado que todo y ∈ (1, 5) tiene preimagen y por lo tanto que (1, 5) esel rango de f . Definimos g : (−1, 1) → (1, 5) por g(y) = 2y + 3. El Teorema 1.42 nos diceque g es sobreyectiva. ✷

1.4.3. Funciones biyectivas

Definición 1.44. Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Una función es biyectiva cuando su digrafo tiene la propiedad que a todo elemento delcontradominio le llega una y sólo una flecha, como se indica en el siguiente diagrama

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A B

b

b

b

b

b

b

b

b

Por esta razón se dice que una biyección establece una correspondencia biunívoca entrelos elementos del dominio y del contradominio.

Las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas son las herramientas básicas paracomparar el número de elementos de dos conjuntos. Observando el digrafo de una funciónbiyectiva f : A → B vemos que A y B tienen el mismo número de elementos. Ahora bien,si f : A → B es inyectiva, sólo podemos afirmar que B tiene al menos tantos elementoscomo A (pero puede suceder que B tenga más elementos que A). Por último, si f : A → Bes sobreyectiva, sólo podemos afirmar que A tiene al menos tantos elementos como B (peropuede suceder que A tenga más elementos que B).

Ejemplo 1.45. Consideremos los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {1, 3, 5} y C = {1, 3}. Es fácilencontrar una función biyectiva de A en B, una inyectiva de C en A y una sobreyectiva deB en C. Como lo mostramos en los gráficos que siguen. Sin embargo, no es posible encontraruna inyección de A en C, ni tampoco una función sobreyectiva de C en A. En particular,esto nos dice además que no existe un función biyectiva entre A y C, lo cual es claro pues Atiene 3 elementos y C sólo 2 elementos.

1

2

3

1

3

5

A B

f

b

b

b

b

b

b

1

3

1

2

3

C A

g

b

b

b

b

b

1

3

5

1

3

B Ch

b

b

b

b

b

A continuación enunciaremos un resultado general que usaremos con frecuencia.

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Teorema 1.46. Sea f : A → B una función inyectiva y sea g : A → rango(f) dada porg(x) = f(x). Entonces g es biyectiva. ✷

Terminaremos esta sección presentando algunos ejemplos de funciones biyectivas.

Ejemplos 1.47. 1. Consideremos los conjuntos {1, 2, 3} y {a, b, c}. ¿Existirá una funciónbiyectiva entre ellos? Es claro que sí . Por ejemplo, definimos la función f : {1, 2, 3} →{a, b, c} por f(1) = a, f(2) = b y f(3) = c. Por una simple inspección vemos que f esinyectiva y sobreyectiva. De hecho existen 6 funciones biyectivas distintas entre estosdos conjuntos (ver ejercicio 2).

2. Consideremos los conjuntos {1, 2, 3, 4} y {0, 1}×{0, 1}. ¿Existirá una función biyectivaentre ellos?. Recordemos que {0, 1}×{0, 1} consiste de los pares ordenados (0, 0), (0, 1),(1, 0) y (1, 1). Podemos definir entonces una función f : {1, 2, 3, 4} → {0, 1} × {0, 1}de la manera siguiente: f(1) = (0, 0), f(2) = (0, 1), f(3) = (1, 0) y f(4) = (1, 1). Dehecho, entre los conjuntos {1, 2, 3, 4} y {0, 1} × {0, 1} existen 24 funciones biyectivasdistintas.

3. Una función biyectiva f : {1, 2, 3, · · · , n} → B se puede ver como una enumeraciónde los elementos de B. Es decir, la función f sirve para “etiquetar” los n elementos deB. Observe el lector lo que se hizo en los ejemplos anteriores y verá que la regla decorrespondencia implícitamente enumeró los elementos del contradominio.

4. Veamos ahora un ejemplo con conjuntos infinitos. Sea E el conjunto de todos losnúmeros pares, es decir, E consiste de todos los números naturales de la forma 2n conn otro natural. Definimos f : N → E por f(n) = 2n. Mostraremos que f es biyectiva.Debemos mostrar dos cosas:

(i) f es inyectiva: sean n,m ∈ N y supongamos que f(n) = f(m). Es decir, supongamosque 2n = 2m. De esto inmediatamente concluimos que n = m. Esto muestra que f esinyectiva.

(ii) f es sobreyectiva: sea k ∈ E cualquiera, entonces k es un número par. Por lo tantok es de la forma 2n para un natural n. De esto vemos que la preimagen de k es n. Porejemplo, 48 ∈ E y 48 = 2 · 24 así que 24 es la preimagen de 48.

Ejercicios 1.4

1. En cada uno de los ejercicios que siguen determine si existe (y en caso que sea posible,encuentre) una función f : A → B que sea (a) inyectiva, (b) sobreyectiva, (c) biyectiva.

a) A = {1, 2, 3, 4} y B = P({1}).b) A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {0} × {1, 2, 3, 4, 5}.c) A = {1, 2, 3, 4} y B = P({0, 1}).

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d) A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = P({0, 1}).e) A = P({0, 1, 2}) y B = {1, 2, · · · , 8}.f ) A = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} y B = {0, 1, 2, · · · , 7}.

2. a) Halle todas las funciones biyectivas que se puedan definir de {1, 2, 3} en {a, b, c}.¿Puede conseguir una función inyectiva entre estos conjuntos que no sea biyecti-va?. ¿Existirá una función sobreyectiva entre estos conjuntos que no sea biyectiva?

b) Halle una función inyectiva de {1, 2, 3} en {a, b, c, d}. ¿Puede hallarla biyectiva?.

c) Halle una función sobreyectiva de {a, b, c, d} en {1, 2, 3}. ¿Puede hallarla inyectiva?

3. Determine cuáles de las siguientes funciones son inyectivas.

a) Sea A = {0, 1, 2, · · · , 10} y f : A → A dada por f(n) = 10− n. Haga el diagramade f .

b) f : {0, 1, 2, 3, · · · , 10} → {0, 1, 2, 3, · · · , 10} definida por partes de la manerasiguiente

f(x) =

{

x+ 3 , si 0 ≤ x ≤ 310− x , si 4 ≤ x ≤ 10.

(Sugerencia: Haga el diagrama de f).

c) f : {0, 1, 2, 3, · · · , 10} → N dada por f(n) = n+ 3.

d) f : {0, 1, 2, 3, · · · , 10} → N dada por f(n) = (n− 3)(n− 4).

e) f : Q → Q, definida por f(x) = 3.

f ) f : N → N, definida por f(n) = 3n.

g) f : N → Z, definida por f(n) = −n.

h) f : N× N → N, definida por f((n,m)) = m+ n.

i) f : R → R dada por f(x) = 23x−

√2.

j ) f : R → R dada por f(x) = x2.

k) f : R → R dada por f(x) = x3.

4. Determine el rango de cada una de las funciones definidas en el ejercicios 3. Determinecuáles de ellas son sobreyectivas y cuáles son biyectivas.

5. Determine el rango de las siguientes funciones.

a) f : (−1, 3) → (0, 7] dada por f(x) = 54x+ 13

4.

b) f : (−3,−2) → [4, 10) dada por f(x) = 5x+ 20.

c) f : (−1, 0) → (0, 14) dada por f(x) = 1

4x+ 1

4.

d) f : R \ {2} → R dada por f(x) = xx−2

.

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e) f : R \ {2} → R dada por f(x) = 3xx−2

.

6. Muestre que la siguiente función no es inyectiva (hallando pares de elementos distintoscon igual imagen). Determine su rango.

f : R → R dada por f(x) = xx2+1

.

7. Sea A un conjunto con 3 elementos y B un conjunto con 4 elementos. Determinecuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifique susrespuestas:

a) Existe una función biyectiva de A en B.

b) Existe una función inyectiva de A en B.

c) Existe una función inyectiva de B en A.

d) Existe una función sobreyectiva de A en B.

e) Existe una función sobreyectiva de B en A.

8. Diremos que una función f : R → R es estrictamente creciente si para todo r, s ∈ R

se cumple quer < s ⇒ f(r) < f(s)

En este caso también se suele decir que f preserva el orden.

Diremos que f es estrictamente decreciente si para todo r, s ∈ R se cumple que

r < s ⇒ f(r) > f(s)

Determine cuáles de las siguientes funciones f : R → R son estrictamente crecientes oestrictamente decrecientes.

a) f(r) = r2,

b) f(r) = 2r + 1,

c) f(r) = rr2+1

,

d) f(r) = 5− 4r,

e) f(r) = r3.

9. Sea f : R → R una función estrictamente creciente. Muestre que f es inyectiva. ¿Quépuede decir si f es estrictamente decreciente?

10. Halle una función f : R → R inyectiva que no sea ni estrictamente creciente ni estric-tamente decreciente. Sugerencia: No puede ser continua.

11. Determine el rango de las siguientes funciones y si son inyectivas, sobreyectivas y/obiyectivas.

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a) f : P(N) → P(N) dada por f(A) = A ∪ {0, 3, 7}b) f : P(N) → P(N) dada por f(A) = A ∩ {n ∈ N : n es par}c) f : P(N) → P(N) dada por f(A) = A△{0, 3, 7}.

12. Sea f : A → B una función. Verifique que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

a) f es inyectiva.

b) Para todo a, a′ ∈ A [(f(a) = f(a′)) → (a = a′)].

(Sugerencia: Recuerde que una proposición condicional es lógicamente equivalente a sucontrarrecíproca. Enuncie la contrarrecíproca de la proposición condicional que apareceen b)).

13. En los siguientes ejercicios daremos una “demostración” para que la evalúe y determinesi es correcta. Justifique su respuesta.

a) Afirmación: La función f : R → R dada por f(x) = 3x+ 5 es inyectiva.

“Demostración”: Sean x, x′ dos números reales con f(x) 6= f(x′). Entonces 3x+5 6=3x′ + 5. Luego 3x 6= 3x′ y por lo tanto x 6= x′. Esto muestra que f es inyectiva.

b) Afirmación: La función f : (1, 5) → (8, 30) dada por f(x) = 3x+ 5 es sobreyec-tiva.

“Demostración”: Considere la ecuación

y = 3x+ 5.

Despejando x obtenemos que

x =y − 5

3.

Por lo tanto f es sobreyectiva.

14. Sean A,B,C,D conjuntos tales que A ∩ B = ∅ y C ∩ D = ∅. Sean f : A → C yg : B → D funciones inyectivas. Defina h : A ∪ B → C ∪D de la siguiente manera:

h(x) =

{

f(x) , si x ∈ Ag(x) , si x ∈ B.

a) Muestre que la función definida en el Ejemplo 1.32 es un caso particular de esteejemplo (Sugerencia: Tome A como el conjunto de todos los enteros negativos yB como el conjunto de los enteros no negativos. Así que A∪B = Z. Tome C = Ay D = B y sean f(x) = 2x− 1 y g(x) = 3x+ 1).

b) Muestre que h es inyectiva.

15. Modifique el ejercicio anterior y obtenga un criterio para determinar cuando una fun-ción definida por partes es sobreyectiva.

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16. Sean A y B dos conjuntos no vacíos y R una relación entre A y B. Diga justificadamentesi las siguientes propiedades son equivalentes.

a) ∀x1, x2 ∈ A, ∃y ∈ B [(x1, y), (x2, y) ∈ R ⇒ x1 = x2].

b) ∀x1, x2 ∈ A [( ∃y ∈ B (x1, y), (x2, y) ∈ R) ⇒ x1 = x2].

Suponga que R es una función. ¿Cuál de esas dos afirmaciones expresa correctamenteque R es inyectiva?

17. Lea el ejercicio 11 de la sección §1.3, bajo las condiciones de ese ejercicio, suponga quef y g son biyecciones, ¿es f ∪ g biyectiva?

1.5. Composición de funciones

Cuando calculamos2(5)3

lo hacemos por partes: primero calculamos

53

que es igual a 125 y después calculamos

2(125)

que nos da el resultado final 250. Podemos ver esta secuencia de operaciones en términos defunciones. Consideraremos las funciones f, g : N → N dadas por

f(n) = n3 y g(n) = 2n.

Es claro que 250 = g(125) y 125 = f(5) y de esto tenemos que

250 = g(f(5)).

Podemos entonces definir una nueva función, llamémosla h, a partir de f y g de la siguientemanera h : N → N dada por

h(n) = g(f(n)).

La regla de correspondencia de h es: h(n) = g(n3) = 2n3.

nf7→ n3 g7→ 2n3

Dadas dos funciones f : A → B y g : B → C podemos, como hicimos antes, definir unafunción de A en C como se indica a continuación

a 7→ g(f(a)).

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Esta nueva función se llama la compuesta de f y g y se denota por

g ◦ fy su regla de correspondencia es

(g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Observe que el orden en que leemos g ◦ f es “f compuesta con g” y que es el inverso al decomo lo escribimos 2. La operación entre funciones así definida se denomina composiciónde funciones.

La composición de dos funciones se suele representar con cualquiera de los siguientesdiagramas.

A → B → Cf g

g ◦ f

A Bf

C

gg ◦ f

Ejemplo 1.48. Consideremos las siguientes funciones

b

b

b

b

b

b

2

1

0

2

1

0

A B

f

b

b

b

b

b

b

2

1

0

2

1

0

A B

g

Note que en este ejemplo particular podemos componer f con g y también g con f :

(f ◦ g)(0) = f(g(0)) = f(0) = 1(g ◦ f)(0) = g(f(0)) = g(1) = 2(f ◦ g)(1) = f(g(1)) = f(2) = 2(g ◦ f)(1) = g(f(1)) = g(0) = 0(f ◦ g)(2) = f(g(2)) = f(1) = 0(g ◦ f)(2) = g(f(2)) = g(2) = 1

Vemos entonces que f ◦ g 6= g ◦ f . ✷

2Esto es una convención. En algunos textos se acostumbra a leer g ◦ f como g compuesta con f .

35

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Ejemplo 1.49. Consideremos las funciones f : N → Q definida por

f(n) =n

n + 2

y g : Q → Q definida porg(x) = x2.

Entonces g ◦ f : N → Q viene dada por

(g ◦ f)(n) =(

n

n+ 2

)2

.

Por ejemplo (g ◦ f)(4) = 4

9. ✷

Ejemplo 1.50. Considere f, g, h : N → N dadas por

f(n) = n3

g(n) = 2n + 4h(n) = n2 + 2.

Podemos definir 9 funciones componiendo cualesquiera dos de las anteriores.

(f ◦ g)(n) = f((g(n)) = f(2n+ 4) = (2n+ 4)3

(g ◦ f)(n) = g(f(n)) = g(n3) = 2n3 + 4(f ◦ h)(n) = f(h(n)) = f(n2 + 2) = (n2 + 3)3

(g ◦ h)(n) = g(h(n)) = g(n2 + 2) = 2(n2 + 2) + 4 = 2n2 + 8(h ◦ f)(n) = h(f(n)) = h(n3) = (n3)2 + 2 = n6 + 2(h ◦ g)(n) = h(g(n)) = h(2n+ 4) = (2n+ 4)2 + 2(f ◦ f)(n) = f(f(n)) = f(n3) = (n3)3 = n9

(g ◦ g)(n) = g(g(n)) = g(2n+ 4) = 2(2n+ 4) + 4 = 4n + 12(h ◦ h)(n) = h(h(n)) = h(n2 + 2) = (n2 + 2)2 + 2 = n4 + 4n2 + 6

Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D tres funciones. Podemos definir

h ◦ g : B → D y g ◦ f : A → C.

También podemos definir

(h ◦ g) ◦ f : A → D y h ◦ (g ◦ f) : A → D.

El siguiente teorema dice que las dos últimas funciones son iguales. Es decir, la composiciónde funciones es una operación asociativa.

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Teorema 1.51. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D tres funciones. Se tiene que

(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f).

Demostración: Ya que las dos funciones (h◦g)◦f y h◦(g◦f) tienen dominio A y contradominioD sólo resta verificar que tienen la misma ley de correspondencia. Sea x cualquier elementode A, entonces

((h ◦ g) ◦ f)(x) = (h ◦ g)(f(x)) = h(g(f(x)))

y por otra parte

(h ◦ (g ◦ f))(x) = h((g ◦ f)(x)) = h(g(f(x))).

Esto muestra lo deseado. ✷

Ejemplo 1.52. Considere f, g, h : N → N dadas por f(n) = n3, g(n) = 2n+4 y h(n) = n2+2.Entonces usando los cálculos hechos en el ejercicio anterior tenemos que

((f ◦ g) ◦ h)(n) = (f ◦ g)(h(n)) = (f ◦ g)(n2 + 2) = [2(n2 + 2) + 4]3

(f ◦ (g ◦ h))(n) = f((g ◦ h)(n)) = f(2n2 + 8) = [2n2 + 8]3

Observe que [2(n2 + 2) + 4]3 = [2n2 + 8]3. ✷

Mostraremos ahora que la composición de funciones preserva la inyectividad, la sobre-yectividad y por lo tanto también la biyectividad.

Teorema 1.53. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Se cumple que

1. Si f y g son inyectivas, entonces g ◦ f también es inyectiva.

2. Si f y g son sobreyectivas, entonces g ◦ f también es sobreyectiva.

3. Si f y g son biyectivas, entonces g ◦ f también es biyectiva.

Demostración:

1. En efecto, sean x, x′ ∈ A con x 6= x′. Entonces como hemos supuesto que f es inyectiva,tenemos que f(x) 6= f(x′). Ahora como g también es inyectiva, entonces g(f(x)) 6=g(f(x′)). Es decir, (g ◦ f)(x) 6= (g ◦ f)(x′).

2. En efecto, sea z ∈ C cualquiera. Como g es sobreyectiva, entonces existe y ∈ B tal queg(y) = z. Como y ∈ B y f es sobreyectiva, entonces existe x ∈ A tal que f(x) = y.Afirmamos que (g ◦ f)(x) = z, pues (g ◦ f)(x) = g((f(x)) = g(y) = z.

3. Esto se deduce de las dos afirmaciones anteriores, pues si f y g son biyectivas, enparticular son inyectivas y sobreyectivas.

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Es natural preguntares si las proposiciones recíprocas del Teorema 1.53 son válidas. Porejemplo, ¿será cierto que si f ◦ g es inyectiva, entonces f y g son inyectivas? Analizaremos acontinuación una de esas preguntas y en el ejercicio 7 le planteamos al lector otras similares.

Teorema 1.54. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Si g ◦ f es inyectiva, entonces fes inyectiva.

Demostración. Sean x1, x2 ∈ A. Supongamos que f(x1) = f(x2). Mostraremos que x1 =x2. En efecto, por ser g una función se cumple que g(f(x1)) = g(f(x2)). Esto dice que(g ◦ f)(x1) = (g ◦ f)(x2) y por ser g ◦ f inyectiva, concluimos que x1 = x2. ✷

En el ejercicio 5 damos un ejemplo que muestra que el teorema anterior es óptimo, en elsentido que no se puede deducir, en general, que g también es inyectiva cuando g ◦ f lo es.

Ejercicios 1.5

1. Considere los siguientes diagramas que definen tres funciones:

b

b

b

b

b

b

1

2

3

a

b

c

A B

f

b

b

b

b

b

y

x

1

2

3

C A

g

b

b

b

b

b

D C

h

5

6

7

y

x

Haga el diagrama de f ◦ g, g ◦ h y (f ◦ g) ◦ h.

2. Sean f, g, h : N → N las funciones definidas por f(n) = 3n+2, g(n) = n4 y h(n) = n+1.Determine la ley de correspondencia de las siguientes funciones:

a) f ◦ g, f ◦ h, g ◦ f , g ◦ h, h ◦ f , h ◦ h, f ◦ f y g ◦ g.b) f ◦ g ◦ h, g ◦ h ◦ g, f ◦ g ◦ f , f ◦ h ◦ f , h ◦ h ◦ h y h ◦ g ◦ f .

3. Sean f : R → R y g : R → R dadas por

f(x) = 11+x2 y g(x) = 1

2+x2 .

Determine la ley de correspondencia de f ◦ g y g ◦ f .

4. En cada uno de los siguientes ejercicios f es una función de R en R. Calcule la reglade correspondencia de f ◦ f

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a)

f(x) =

{

2x+ 1 , si x ≤ 13x , si x > 1

b)

f(x) =

{

5x− 1 , si x ≤ 1x2 , si x > 1

c)

f(x) =

{

6x+ 8 , si x ≤ 12− 7x , si x > 1

5. Considere las siguientes funciones

b

b

b

b

b

3

2

1

b

a

f

b

b

b

b

b

y

x

3

2

1

g

b

b

b

b

b

b

h

10

9

8

3

2

1

(i) Verifique que f ◦ g es inyectiva (note que f no es inyectiva).

(ii) Verifique que f ◦ h es sobreyectiva (note que h no es sobreyectiva).

(iii) ¿Qué relación guardan estos ejemplos con lo mostrado en el Teorema 1.53?

6. Considere las funciones

f(x) =

{

0 , si x > 01 , si x ≤ 0

g(x) =

{

0 , si x ≥ 01 , si x < 0

Determine f ◦ f , f ◦ f ◦ f ,... y g ◦ g, g ◦ g ◦ g.... ¿Qué patrón observa?

7. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Muestre que las siguientes afirmaciones sonverdaderas:

a) Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.

b) Si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva, entonces g es inyectiva.

c) Si g ◦ f es sobreyectiva y g es inyectiva, entonces f es sobreyectiva.

8. Determine si existen funciones f, g : N → N tales que (f ◦ g)(n) = n2 para todon. Consiga, si es posible, un par de esas funciones tales que ni f ni g sea la funciónidentidad. ¿Qué puede decir sin en lugar de n2 usamos n3?

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1.6. La función inversa

Como dijéramos antes, una función biyectiva establece una correspondencia biunívocaentre los elementos del dominio y los del contradominio. En el siguiente ejemplo mostraremosalgo muy importante acerca de las funciones biyectivas y la composición de funciones.

Ejemplo 1.55. El diagrama de la izquierda define una función f : {1, 2, 3, 4} → {a, b, c, d} Eldiagrama de la derecha define una función g : {a, b, c, d} → {1, 2, 3, 4}; se obtuvo invirtiendoel sentido de las flechas en el diagrama de f .

f

b

b

b

b

b

b

b

b

4

3

2

1

d

c

b

a

g

b

b

b

b

b

b

b

b

d

c

b

a

4

3

2

1

Podemos componer f con g y obtenemos la función g ◦ f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4}.Notemos que

(g ◦ f)(x) = x, para cada x ∈ {1, 2, 3, 4}.Por otra parte, también podemos componer g con f ; obtenemos la función f◦g : {a, b, c, d} →{a, b, c, d}. Notemos que

(f ◦ g)(x) = x, para cada x ∈ {a, b, c, d}.

Las funciones compuestas obtenidas reciben el nombre de función identidad, pues noalteran los elementos del dominio. Obsérvese que esas funciones no son iguales. La primeratiene dominio {1, 2, 3, 4} y la segunda {a, b, c, d}. Las funciones identidad son sencillas perocruciales para caracterizar las funciones biyectivas. Por esta razón usaremos una notaciónespecial para ellas. Dado un conjunto cualquiera A, denotaremos por 1A a la función

1A : A → A

definida por1A(x) = x, para cada x ∈ A.

Hemos usado el subíndice A para denotar la función identidad de A pues obviamente estafunción depende del conjunto A. Es fácil verificar que la función identidad 1A es biyectiva.

Podemos expresar la propiedad que tiene la función g del ejemplo que estamos analizandodiciendo que

g ◦ f = 1{1,2,3,4} y f ◦ g = 1{a,b,c,d}.

40

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Las propiedades de la función g en el ejemplo anterior se deben a que f es biyectiva,como lo demostramos a continuación.

Teorema 1.56. Sea f : A → B. Las siguientes afirmaciones son equivalentes(i) f es biyectiva(ii) Existe una función g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B.

Demostración: Para demostrar esta equivalencia debemos mostrar dos implicaciones.

(ii) ⇒ (i). Supongamos que (ii) se cumple. Es decir, supongamos que existe una funcióng : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B. Primero mostraremos que f es inyectiva. Seanx, x′ ∈ A y supongamos que f(x) = f(x′). Queremos ver que x = x′. Como g ◦ f = 1A,entonces de la definición de composición de funciones obtenemos lo siguiente

g(f(x)) = (g ◦ f)(x) = 1A(x) = xg(f(x′)) = (g ◦ f)(x′) = 1A(x

′) = x′.

Por hipótesis f(x) = f(x′), entonces obviamente

g(f(x) = g(f(x′)).

De las igualdades de arriba obtenemos que x = x′, como queríamos demostrar.Ahora mostraremos que f es sobreyectiva. Fijemos y ∈ B. Debemos hallar x ∈ A tal que

f(x) = y. Como y ∈ B, entonces g(y) ∈ A. Afirmamos que g(y) es la preimagen de y bajof . En efecto, como f ◦ g = 1B, entonces

f(g(y)) = y.

De esta manera hemos mostrado que f es biyectiva y por lo tanto que (ii) ⇒ (i).

(i) ⇒ (ii). Ahora supongamos que f es biyectiva y mostremos que (ii) se cumple. Para estodebemos definir una función g : B → A que tenga las propiedades deseadas. La idea paradefinir g es la misma que usamos para definir g en el ejemplo 1.55, es decir, g se define“invirtiendo las flechas” en el diagrama de f .

Veamos la función f como una relación de A en B. Es decir, consideremos el siguienteconjunto:

R = {(x, f(x)) ∈ A× B : x ∈ A}.Ahora “invirtamos” el orden y obtenemos

R′ = {(f(x), x) ∈ B ×A : x ∈ A}.

Afirmamos que R′ es una función. En efecto,

(i) Sea y ∈ B cualquiera. Por ser f sobreyectiva, existe x ∈ A tal que y = f(x). Luego(x, f(x)) = (x, y) y por definición de R′, tenemos que (y, x) ∈ R′.

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(ii) Supongamos que (y, x) y (y, x′) ambas están en R′. Mostraremos que necesariamentex = x′. En efecto, de la definición de R′ tenemos que f(x) = y y f(x′) = y. Ahora,como f es inyectiva, concluimos que x = x′.

Ya que R′ es una función usaremos la notación de funciones y la denotaremos por g. Asíque g : B → A y por la definición de R′ tenemos que

g(y) = x ⇔ f(x) = y.

Veamos que g ◦ f = 1A. En efecto, sea x ∈ A. Sea y ∈ B tal que y = f(x). Entonces tenemospor la igualdad anterior que

g(f(x)) = g(y) = x.

De igual manera se muestra que f ◦ g = 1B. ✷

Dada una función biyectiva f : A → B, podemos preguntarnos si existirán dos funcionesdistintas con las propiedades mencionadas en la parte (ii) del Teorema 1.56. Si analizamoscon cuidado la demostración de ese teorema, es natural pensar que no existen dos funcionescon esas propiedades. Daremos una justificación más formal de esto que acabamos de decir.Supongamos que f es biyectiva y además que existen dos funciones g, g′ : B → A ambassatisfaciendo lo dicho en (ii) de 1.56. Es decir que

g ◦ f = g′ ◦ f = 1A y f ◦ g = f ◦ g′ = 1B. (1.1)

Mostraremos que g = g′. Ya que estamos suponiendo que g y g′ tienen el mismo dominio ycontradominio, sólo debemos verificar que tienen la misma ley de correspondencia. Fijemosentonces y ∈ B y mostremos que g(y) = g′(y). Como f es biyectiva, existe x ∈ A tal quef(x) = y. De las ecuaciones (1.1) obtenemos que

g(y) = g(f(x)) = (g ◦ f)(x) = x = (g′ ◦ f)(x) = g′(f(x)) = g′(y).

Es decir, g = g′.

En vista de esta propiedad que tienen la funciones biyectivas, se define la inversa de unafunción de la manera siguiente

Definición 1.57. Sea f : A → B una función biyectiva. La inversa de f , que se denotapor f−1, es la única función de B en A que satisface las dos condiciones siguientes

f−1 ◦ f = 1A y f ◦ f−1 = 1B.

Observación: Es importante notar que si f es biyectiva, entonces f−1 también es biyectiva.

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Ejemplo 1.58. Sea g : Q → Q definida por g(x) = 2x + 1. Ya vimos anteriormente que ges sobreyectiva (Ejemplo 1.36). Verifiquemos que g es inyectiva. En efecto, supongamos queg(x) = g(x′), es decir, que 2x+1 = 2x′+1. Si restamos 1 a ambos miembros y luego dividimosentre 2 obtenemos que x = x′. Por lo tanto g es biyectiva y tiene inversa. Usualmente lademostración de la sobreyectividad de la función da bastante información acerca de la reglade correspondencia de la inversa. Recordemos que mostramos que dado y ∈ Q, se cumpleque

g

(

y − 1

2

)

= 2

(

y − 1

2

)

+ 1 = (y − 1) + 1 = y.

Esto nos dice que la inversa de g esta dada por

g−1(y) =y − 1

2.

Ejemplo 1.59. Considere la función f : (1, 4) → (−13,−1) dada por

f(x) = 3− 4x.

Mostraremos que f es biyectiva y calcularemos la ley de correspondencia de su inversa.Supongamos que f(x) = f(x′), es decir, que 3 − 4x = 3 − 4x′. De aquí se deduce

inmediatamente que x = x′. Esto muestra que f es inyectiva.Para ver que f es sobreyectiva, consideremos la ecuación

y = 3− 4x.

Despejando x obtenemos que

x =3− y

4.

Verificaremos que si y ∈ (−13,−1), entonces 3−y

4∈ (1, 4). En efecto, tenemos que

−13 < y < −1.

Luego multiplicando por -1 obtenemos

1 < −y < 13.

Sumando 3 obtenemos4 < 3− y < 16.

Dividiendo entre 4 obtenemos

1 <3− y

4< 4.

Esto muestra que f es sobreyectiva. Además sugiere que la inversa de f es la función

f−1 : (−13,−1) → (1, 4)

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dada por

f−1(y) =3− y

4.

En efecto, tenemos que

(f ◦ f−1)(y) = f

(

3− y

4

)

= 3− 4

(

3− y

4

)

= y

y

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(3− 4x) =3− (3− 4x)

4= x.

En el Teorema 1.56 sobre la existencia de la inversa de una función f se pide que existeuna función g : B → A tal que g ◦ f = 1A y f ◦ g = 1B. Quizá el lector se haya preguntadosi es suficiente pedir una sola de estas dos condiciones para garantizar que f sea biyectiva.La respuesta es no. Le dejamos al lector la tarea de mostrarlo (ver el ejercicio 9).

Para terminar esta sección mostraremos una propiedad importante de las funciones iden-tidad.

Teorema 1.60. Sea f : A → B una función. Se tiene que

1B ◦ f = f y f ◦ 1A = f.

Demostración: Mostraremos la primera igualdad, la otra queda como ejercicio. Es claro que1B ◦ f y f tienen el mismo dominio y contradominio. Veamos que tienen la misma ley decorrespondencia. Sea x ∈ A, entonces por definición de composición y de la función identidad1B tenemos que

(1B ◦ f)(x) = 1B(f(x)) = f(x).

1.6.1. Algunas propiedades de la composición

La operación de composición no es cancelativa, es decir, puede ocurrir que f ◦ h = f ◦ g,pero h 6= g. En efecto, considere la función f : N → N constante igual a 1, es decir, f(n) = 1para todo n. Sea A un conjunto y g, h : A → N dos funciones cualesquiera que no seaniguales, sin embargo tenemos que (f ◦ g)(a) = (f ◦ h)(a) = 1 para todo a ∈ A.

Sin embargo, cuando f es biyectiva si podemos hacer la cancelación como lo mostramosa continuación.

Teorema 1.61. Supongamos que f : B → C es biyectiva, g, h : A → B son funciones. Sif ◦ g = f ◦ h, entonces g = h.

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Demostración. Primero observemos lo siguiente

(f−1 ◦ (f ◦ g)) = (f−1 ◦ f) ◦ g = 1B ◦ g = g

y de igual manera ocurre con h:

(f−1 ◦ (f ◦ h)) = (f−1 ◦ f) ◦ h = 1B ◦ h = h

De aqui se concluye que si f ◦ g = f ◦ h, entonces g = h.✷

También podemos decir algo cuando f es inyectiva.

Teorema 1.62. Sea f : B → C una función inyectiva y g, h : A → B. Si f ◦ g = f ◦ h,entonces g = h.

Demostración. Sea x ∈ B cualquiera. Mostraremos que g(x) = h(x). Tenemos por hipótesisque (f ◦ g)(x) = f ◦ h)(x). Luego por definición de composición, tenemos que f(g(x)) =f(h(x)). Como f es inyectiva, entonces necesariamente g(x) = h(x).

En los ejercicios 11 y 12 presentamos al lector otras variantes del teorema anterior.

Ya mostramos que una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva. Ahora veremoscuando existen inversas laterales. Diremos que g : B → A es una inversa por la derecha deuna función f : A → B, si f ◦ g = 1B. Analogamente, diremos que g es un inversa por laizquierda de f si g ◦ f = 1A. Si f es biyectiva, entonces ya vimos que existe una función gque es simultaneamente inversa por la derecha y por la izquierda.

Teorema 1.63. Sea f : A → B una función. Los siguientes enunciados son equivalentes:

(i) f es inyectiva.

(ii) Existe g : B → A tal que g ◦ f = 1A.

BAf

a

b

c

d

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

45

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B Ag

Af

a

b

c

d

a

b

c

d

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Teorema 1.64. Sea f : A → B una función. Los siguientes enunciados son equivalentes:

(i) f es sobreyectiva.

(ii) Existe g : B → A tal que f ◦ g = 1B.

A Bf

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

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A Bf

Bg

a

b

c

d

a

b

c

d

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Ejercicios 1.6

1. Considere las siguientes funciones. Muestre que son biyectivas y halle sus respectivasinversas.

a) f : Z → Z definida por f(x) = x+ 5

b) f : Q → Q dada por f(x) = 5x− 8

c) f : R → R dada por f(x) = x+24

d) f : R \ {2} → R \ {3} dada por f(x) = 3xx−2

e) f : {0, 1, · · · , 10} → {0, 1 · · · , 10} definida por f(x) = 10− x

f ) f : (−1, 3) → (2, 7) dada por f(x) = 54x+ 13

4

g) f : (−1, 0) → (0, 14) dada por f(x) = 1

4x+ 1

4

h) f : (−8, 8) → (1, 2) dada por f(x) = 116(x− 8) + 2.

2. Sea f : R → R biyectiva. Suponga que f−1(y) = 3y − 5. Halle f .

3. Considere la siguiente función f : N → N definida por partes

f(x) =

{

x+ 1 , si x es parx− 1 , si x es impar.

Muestre que f es biyectiva y halle su inversa. (Sugerencia: haga un esbozo del diagramade f).

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4. Defina una biyección de P({1, 2, 3}) en {1, 2, · · · , 8} y halle su inversa. (Sugerencia:Puede definirla usando un diagrama).

5. Defina una biyección de {1, 2, 3, 4} en {a, b} × {a, b} y halle su inversa. (Sugerencia:Puede definirla usando un diagrama).

6. Sean A y B dos conjuntos, suponga que existe una función biyectiva de A en B. ¿Serácierto que existe una función biyectiva de B en A?

7. Sea f : A → B. Muestre quef ◦ 1A = f.

8. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Muestre que si g ◦ f = 1A, entonces f esinyectiva y g es sobreyectiva.

9. Muestre que existen funciones f : A → B y g : B → A tales que g ◦ f = 1A pero ni fni g son biyectivas. Compare esto con lo que dice el Teorema 1.56.

Sugerencia: El ejemplo es sencillo. Se puede resolver con A y B finitos. Haga un dia-grama sagital.

10. Sea h : N → N. Halle tres pares de funciones diferentes f, g tales que f ◦ g = h.Sugerencia: No se complique la vida, busque soluciones con f biyectiva.

11. Muestre que el Teorema 1.62 es una equivalencia. Es decir, sea f : B → C una función.Supongamos que para todo par de funciones g, h : A → B tales que f ◦ g = f ◦ h,se tiene necesariamente que g = h. Muestre que f es inyectiva.

12. Sea f : A → B una función. Muestre que los siguientes enunciados son equivalentes:

a) f es sobreyectiva

b) Para todo par de funciones g, h : B → C, si g ◦ f = h ◦ f , entonces g = h.

13. Describa una función que tenga dos inversas por la izquierda distintas y otra que tengados inversas por la derecha distintas.

1.7. Permutaciones de n elementos

En esta sección estudiaremos con un poco más de detalle las biyecciones del conjunto{1, 2, · · · , n} en sí mismo. Denotaremos con Sn ese conjunto de biyecciones, usualmentellamado el grupo simétrico y a sus elementos se les llama permutaciones. Es claro que sif, g ∈ Sn, entonces la composición f ◦ g se puede realizar (igualmente g ◦ f). Indicaremosuna manera muy efectiva de representar las permutaciones. Veamos un par de ejemplos:

(i) Suponga n = 5 y sea f(1) = 4, f(2) = 3, f(3) = 2, f(4) = 1 y f(5) = 5. Podemosrepresentar f de la siguiente manera:

48

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f =

1 2 3 4 5↓ ↓ ↓ ↓ ↓4 3 2 1 5

Lo usual es no escribir las flechas ↓.(ii) Sea g la biyección siguiente:

g =

(

1 2 3 4 53 4 1 5 2

)

Podemos calcular g ◦ f y f ◦ g muy fácilmente usando esa representación:

g ◦ f =

(

1 2 3 4 53 4 1 5 2

)(

1 2 3 4 54 3 2 1 5

)

=

(

1 2 3 4 55 1 4 3 2

)

f ◦ g =

(

1 2 3 4 54 3 2 1 5

)(

1 2 3 4 53 4 1 5 2

)

=

(

1 2 3 4 52 1 4 5 3

)

.

La inversa de una permutación es muy fácil de representar. Por ejemplo

(

1 2 3 4 54 3 2 1 5

)−1

=

(

4 3 2 1 51 2 3 4 5

)

Es decir, la inversa de una permutación se obtiene intercambiando de lugar las dos filas.

Ahora veremos otra propiedad de las permutaciones. Si f(i) = i diremos que f fija a i,en el otro caso, diremos que f mueve a i. Cuando una permutación fija a un número no hacefalta incluir ese número en la representación anterior. Por ejemplo

f =

(

1 2 3 44 3 2 1

)

Ahora considere(

2 3 43 4 2

)

esta permutación es igual a(

1 2 3 4 51 3 4 2 5

)

Una permutación f se llama ciclo, si para algunos i1, i2, · · · , ik se cumple que

f(i1) = i2, f(i2) = i3, · · · , f(ik−1) = ik f(ik) = i1

y los demas elementos de {1, 2, · · · , n} diferentes de i1, i2, · · · , ik quedan fijos por f . Larepresentación de este ciclo sería

(

i1 i2 · · · ik−1 iki2 i3 · · · ik i1

)

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Por ejemplo,(

1 2 52 5 1

)

es un ciclo. La función identidad se considera un ciclo que fija a todos los elementos.Considere la permutación f que usamos al comienzo Veamos que se puede escribir como

composición de ciclos

f =

(

1 2 3 4 54 3 2 1 5

)

=

(

1 44 1

)(

2 33 2

)

Esto se cumple para toda permutación. Diremos que dos ciclos son disjuntos, si el conjuntode números que lo forman son disjuntos. Por ejemplo, los dos ciclos en que se descompuso farriba son disjuntos.

Sea g una permutación cualquiera en Sn. Mostraremos que g es igual a la composición deciclos disjuntos. La demostración se hará por inducción en el número r de elementos que gmueve. Si r = 0, entonces g es la función identidad, que se considera un ciclo. Supongamosque g mueve al menos un elemento i1, es decir, g(i1) 6= i1. Pongamos i2 = g(i1), i3 = g(i2),· · · , ik = g(ik−1). Como g sólo puede tomar n valores y es inyectiva, necesariamente paraalgún k, se cumple que g(ik) = i1. Es decir, tenemos el ciclo

h =

(

i1 i2 · · · ik−1 iki2 i3 · · · ik i1

)

.

Ahora bien, notemos que si j ∈ {1, 2, · · · , n} \ {i1, · · · , ik}, entonces g(j) ∈ {1, 2, · · · , n} \{i1, · · · , ik}. Esto permite definir otra permutación h′ de la siguiente manera: h′ fija todoslos elementos en {i1, · · · , ik} y si j 6∈ {i1, · · · , ik} entonces h′(j) = g(j). Asi tenemos que

g = h ◦ h′

Notemos, por último, que h′ mueve menos elementos que g. Por lo tanto, por la hipótesisinductiva, h′ se puede expresar como una composición de ciclos disjuntos y con esto terminala demostración. Dejamos los detalles al lector interesado.

Considere

g =

(

1 2 3 4 53 4 1 5 2

)

Entonces

g =

(

1 33 1

)(

2 4 54 5 2

)

Ejercicios 1.7

1. Calcule las siguientes composiciones de permutaciones

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a)(

1 2 3 4 54 5 1 2 3

)(

1 2 3 4 55 3 2 1 4

)

b)(

1 2 3 4 5 64 6 1 2 3 5

)(

2 4 64 6 2

)

c)(

1 2 3 42 1 4 3

)(

2 4 54 5 2

)

d)(

1 33 1

)(

2 4 54 5 2

)

2. Halle la descomposición en ciclos de las permutaciones que aparecen en toda estasección.

3. Sea i1 ≤ n y g ∈ Sn. Defina i2 = g(i1), i3 = g(i2), · · · , ik = g(ik−1). Muestre quenecesariamente para algún k, se cumple que g(ik) = i1.

4. Sea f ∈ Sn. Para cada k natural se define fk de la manera usual, es decir, f 2 = f ◦ f ,fk+1 = f ◦ fk. Muestre que

a) Para cada i ≤ n existe k tal que fk(i) = i.

b) Existe l tal que fk = Id (la función identidad). ¿Qué relación guarda l con elnúmero k de la parte a)?

5. Dé ejemplos de permutaciones f ∈ Sn tales que f 2 = Id.

6. ¿Existirá un ciclo f tal que f 2 no sea un ciclo?

7. Sea f un ciclo de longitud k. Muestre que fk es la identidad.

1.8. La imagen y la preimagen de un conjunto

Sea f : A → B y C ⊆ A. La imagen de C, que denotaremos por

f [C],

se define como el conjunto formado por las imágenes de los elementos de C. En símbolos

f [C] = {f(x) : x ∈ C}.

Notemos que cuando C = A tenemos que f [A] es precisamente el rango de f .

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Ejemplo 1.65. Sea f : R → R dada por

f(x) = x+ 2.

Sea C = [0, 1). Afirmamos quef [C] = [2, 3).

En efecto, tenemos que

f [C] = {x+ 2 : x ∈ [0, 1)} = {x+ 2 : 0 ≤ x < 1} = [2, 3).

Ejemplo 1.66. Sea f : R → R dada por

f(x) = x2.

Entonces tenemos que

f [(−1, 2)] = [0, 4) f [{−2,−1, 2, 3}] = {1, 4, 9}.

Ejemplo 1.67. Sea f : R → R dada por

f(x) = 6− 3x.

y A = (1, 2]. Sea x ∈ R, tenemos que

1 < x ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 6− 3x < 3.

Por lo tanto f [(1, 2]] = [0, 3).✷

Dada una función f : A → B y un conjunto D ⊆ B definimos la preimagen de D comoel conjunto formado por todas las preimágenes de los elementos de D. La preimagen de unconjunto la denotaremos por

f−1[D].

En símbolos tenemos quef−1[D] = {x ∈ A : f(x) ∈ D}.

Observación: Es importante notar que la preimagen de un conjunto está bien definida aúnen el caso que f no sea biyectiva (y por lo tanto no tenga inversa). Aquí se abusa de lanotación, pues se usa el símbolo f−1 con dos significados distintos: (i) Cuando f es biyectiva,f−1 denota la inversa de f . (ii) Sin importar que f tenga o no inversa, usamos f−1[D] paradenotar la imagen inversa del conjunto D.

Cuando el conjunto D tiene sólo un elemento, digamos D = {b}, escribiremos f−1[b] enlugar de f−1[{b}]. Es decir

f−1[b] = {a ∈ A : f(a) = b}.

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Ejemplo 1.68. Sea f : R → R dada por

f(x) = 2− x.

Tenemos que

f−1[{1, 2, 3, 4, 5}] = {1, 0,−1,−2,−3} f−1[(1, 3]] = [−1, 1)

f−1[2] = {0} f−1[4] = {−2}.✷

Ejemplo 1.69. Sea f : R → R dada por

f(x) = x2 + 1.

Entonces tenemos que

f−1[(2, 4]] = (1,√3] ∪ [−

√3,−1)

f−1[{1, 2, 3, 4, 5}] = {0,√2,−

√2,√3,−

√3, 2,−2}

f−1[7] = {√6,−

√6}

f−1[54] = {1

2,−1

2}.

La preimagen de un conjunto puede ser vacía. Por ejemplo

f−1[(−3, 0)] = ∅ f−1[12] = ∅.

Ejemplo 1.70. Sea f : R → R dada por f(x) = 3x2 + x+1. Defina una relación S sobre R

dada por(x, x′) ∈ S ⇔ f(x) = f(x′).

Mostraremos que S es una relación reflexiva, simétrica y transitiva (es decir, S es una relaciónde equivalencia). En efecto, como f(x) = f(x), es obvio que (x, x) ∈ S para todo x ∈ R,esto dice que S es reflexiva. Para ver que S es simétrica, tomemos (x, x′) ∈ S, entoncesf(x) = f(x′). Claramente, f(x′) = f(x) y en consecuencia (x′, x) ∈ S. Finalmente, paraverificar que S es transitiva, sean (x, y), (y, z) ∈ S. Entonces f(x) = f(y) y f(y) = f(z).Luego f(x) = f(z). Esto es (x, z) ∈ S y así hemos mostrado que S es transitiva.

Recordemos que la clase de equivalencia de un elemento a respecto a una relación deequivalencia S es la colección

[a] = {b : (a, b) ∈ S}.En el caso específico que estamos estudiando, tenemos que

[a] = {b ∈ R : f(a) = f(b)}.

Notemos que f(a) = f(b) si, y sólo si, b ∈ f−1[f(a)]. Esto dice que f−1[f(a)] es la clase deequivalencia de a.

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Sea f : A → B una función. Podemos definir una función entre los subconjuntos de A ylos de B de la siguiente manera. Sea G : P(A) → P(B) dada por

G(D) = f [D] para cada D ⊆ A.

Es decir, G(D) es la imagen de D bajo f . Las propiedades de f y de G están muy relacionadas.A continuación mostraremos que si una es inyectiva la otra también. En el ejercicio 11 seanalizan otras propiedades de la función G.

Teorema 1.71. Sea f : A → B una función y G como fue definida en el párrafo anterior.Entonces f es inyectiva si, y sólo si, G es inyectiva.

Demostración. Supongamos que f es inyectiva y mostraremos que G también lo es. SeanD1, D2 ∈ P(B) tales que D1 6= D2. Debemos mostrar que G(D1) 6= G(D2). Como D1 6= D2

entonces o bien existe x ∈ D1 \ D2, o bien existe x ∈ D2 \ D1. Estas dos alternativasse tratan de manera completamente análoga y sólo haremos una, dejando la otra a cargodel lector interesado. Fijemos entonces x0 ∈ D1 \ D2. Afirmamos que f(x0) ∈ G(D1) yf(x0) 6∈ g(D2) y con esto se completa la prueba de que G(D1) 6= G(D2). En efecto, comox0 ∈ D1, por definición, se tiene que f(x0) ∈ f [D1], esto es, f(x0) ∈ G(D1). Por otraparte, para mostrar que f(x0) 6∈ G(D2), razonamos de manera indirecta. Supongamos quef(x0) ∈ G(D2), esto es, f(x0) ∈ f [D2]. De la definición de f [D2] se concluye que existex1 ∈ D2 tal que f(x0) = f(x1). Como f es inyectiva, entonces x0 = x1, pero esto dice quex0 ∈ D2, lo que contradice la elección de x0. Esta contradicción muestra que f(x0) 6∈ G(D2).

Supongamos ahora que G es inyectiva y mostremos que f también lo es. Sean x0, x1 ∈ A.Supongamos que f(x0) = f(x1). Mostraremos que x0 = x1. En efecto, sean D0 = {x0}y D1 = {x1}. Entonces f [D0] = f [D1], es decir, G(D0) = G(D1). Como G es inyectiva,entonces D0 = D1, esto dice que x0 = x1.

Ejercicios 1.8

1. Sea f : R → R dada por f(x) = x2 − 1. Halle los conjuntos que se indican.

(a) f [[1, 3]], (b) f−1[(−1, 3]], (c) f [N]

(d) f [(1, 4) ∪ (√27, 15)] (e) f−1[[5, 20)] (f) f−1[(2, 5) ∪ [7, 15]]

2. Sea f : R → R dada por f(x) = 3x− 1. Halle los conjuntos que se indican.

(a) f [[1, 3]], (b) f−1[R], (c) f [{1, 2, 3, 4}](d) f [(1, 15)] (e) f−1[{1, 2, 3}] (f) f−1[(0, 1

5]]

3. Sea f : N× N → N dada por

f(n,m) = 2n(2m+ 1)− 1.

Halle los conjuntos que se indican

a) f [C] donde C = {(1, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 3), (2, 1), (3, 2)}.

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b) f−1[{1, 2, 3, 4, 5, 6}]

4. Sea f : A → B una función. Defina una relación S sobre A dada por

(x, x′) ∈ S ⇔ f(x) = f(x′).

Muestre que S es una relación reflexiva, simétrica y transitiva (es decir, S es unarelación de equivalencia).

5. Sea f : N → N dada porf(n) = 3n + 1.

Defina una función G : P(N) → P(N) de la siguiente manera

G(A) = f [A].

a) Halle los conjuntos que se indican

(a) G({1, 3, 5}), (b) G({2, 3, 5}), (c) G(P ) donde P son los números pares.

b) Muestre que G es inyectiva.

6. Sea f : Z → Z dada por f(x) = x2 + 4. Defina G : P(Z) → P(Z) por G(A) = f [A].Muestre que G no es inyectiva.

7. Sea f : A → B una función

a) Muestre que f−1[B] = A.

b) Sean a, c ∈ A. Muestre que f(a) = f(c) si, y sólo si, c ∈ f−1[a].

c) Sea C ⊆ D ⊆ A. Muestre que f [C] ⊆ f [D]

d) Sea E ⊆ F ⊆ B. Muestre que f−1[E] ⊆ f−1[F ].

8. Sea f : A → B una función.

a) Sea C ⊆ A. Muestre queC ⊆ f−1[f [C]]

b) Sea D ⊆ B. Muestre quef [f−1[D]] ⊆ D

c) Determine cuándo se cumple la igualdad en los ejercicios anteriores.

9. Sea f : A → B una función.

a) Sean E, F ∈ P(B). Muestre que f−1[E ∪F ] = f−1[E]∪ f−1[F ]. ¿Qué puede decirsobre f−1[E ∩ F ]?

b) Sean D,K ∈ P(A). Muestre que f [D∪K] = f [D]∪f [K]. ¿Qué puede decir sobref [D ∩K]?

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10. Sea f : N → N dada por f(n) = 3n+ 1. Defina G : P(N) → P(N) por

G(A) = f−1[A].

¿Es G sobreyectiva? ¿Es G inyectiva?

11. Sea f : A → B una función. Defina G : P(A) → P(B) y H : P(B) → P(A) por

G(D) = f [D] con D ⊆ A

yH(E) = f−1[E] con E ⊆ B.

Muestre que

a) f es inyectiva si, y sólo si, G es inyectiva.

b) f es sobreyectiva si, y sólo si, G es sobreyectiva.

c) f es inyectiva si, y sólo si, H es sobreyectiva.

d) f es inyectiva si, y sólo si, G(A \D) = G(A) \G(D) para todo D ⊆ A.

e) Si H es inyectiva, entonces f es sobreyectiva. ¿Es válido el recíproco?

12. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Muestre que

a) (g ◦ f)−1[c] = f−1[g−1[c]] para todo c ∈ C.

b) (g ◦ f)[D] = g[f [D]] para todo D ⊆ A.

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Ejercicios suplementarios del capítulo 1

1. Determine si las siguientes reglas definen una función de N en P(N).

a) n 7→ {n},b) n 7→ {m : m es un múltiplo de n},c) n 7→ {m ∈ N : n ≤ m},d) n 7→ ∅.

2. Determine las imágenes indicadas.

a) f : P({1, 2, 3, 4}) → P({1, 2, 3, 4}) dada por f(A) = A ∪ {1, 2}. Hallar f(∅) yf({1, 2}).

b) f : P({1, 2, 3, 4}) → P({1, 2, 3, 4}) dada por f(A) = A△{1, 2}. Hallar f(∅) yf({1, 3}).

c) f : N → P(N) dada por f(n) = {m ∈ N : n ≤ m}. Hallar f(0) y f(3).

d) Sea f : N → N definida por partes de la manera siguiente

f(x) =

{

x+ 1 , si x es parx , si x es impar.

Hallar f(2) y f(3).

e) f : P({1, 2, 3, 4}) → P({1, 2, 3, 4}) dada por f(A) = A ∩ {1, 2}. Hallar f(∅) yf({1, 3}).

3. Sea f : N → R una función. Suponga que f satisface

f(n) = (n− 1)f(n− 1)

para todo n > 1 y también que f(1) = 1. Halle f(4).

4. Sea f : N → R una función. Suponga que f satisface

f(n) = n · f(n− 1) + 1

para todo n > 1 y también que f(1) = 997. Halle f(5).

5. En cada uno de los ejercicios que siguen determine si existe (y en caso que sea posible,encuentre) una función f : A → B que sea (a) inyectiva, (b) sobreyectiva, (c) biyectiva.

a) A = {1, 2, 3, 4} y B = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1},b) A = {1, 2, 3} y B = {0} × {1, 2, 3, 4, 5,},c) A = P({0, 1, 2}) y B = {0, 1, 2, · · · , 7},

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d) A = P({0, 1}) y B = {0, 1} × {0, 1},e) A = P({0, 1, 2}) y B = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1},f ) A = {n ∈ N : n divide a 12} y B = {1, 2, 3, 4, 5}.

6. Determine si las siguientes funciones son inyectivas, sobreyectivas y/o biyectivas. De-termine el rango de cada una de ellas.

a) f : N → N, definida por f(n) = 3n+ 2.

b) f : N× N → N, definida por f((n,m)) = m.

c) f : N → P(N) definida por f(n) = {n}.d) f : N× N → N, definida por f((n,m)) = m · n.

e) f : N× N → N× N, definida por f((n,m)) = (m,n).

f ) f : N → N× N definida por f(n) = (1, n).

g) f : N → P(N) dada por f(n) = {m ∈ N : n ≤ m}.h) f : P({1, 2, 3, 4}) → P({1, 2, 3, 4}) dada por f(A) = A△{1, 2}i) f : P(N) → P(N) dada por f(A) = A ∪ {1, 2, 3, 4}.j ) f : P(N)× P(N) → P(N) dada por f(A,B) = A \B.

k) f : P(N)× P(N) → P(N) dada por f(A,B) = A△B.

l) Sea f : N → N definida por partes de la manera siguiente

f(x) =

{

x+ 1 , si x es parx , si x es impar

7. Muestre que la función dada es biyectiva y halle su inversa.

a) f : R \ {2} → R \ {1} dada por f(x) = xx−2

b) f : (5, 15) → (13, 12) dada por f(x) = 1

60(x+ 15).

c) f : (−3,−2) → (5, 10) dada por f(x) = 5x+ 20.

d) f : P({0, 1, 2}) → P({0, 1, 2}) definida por f(A) = A△{1}.

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Capítulo 2

Cardinalidad

En este capítulo estudiaremos el concepto de cardinalidad de un conjunto. Este conceptoes la versión matemática de la noción común de “número de elementos de un conjunto”.Nuestro principal objetivo será el de comparar el número de elementos de los conjuntosN, Z, Q y R. Aún cuando todos ellos son conjuntos infinitos, veremos que R tiene “más”elementos que los otros. Este descubrimiento, que los conjuntos infinitos no son todos deigual tamaño, lo hizo el matemático George Cantor a finales del siglo XIX y revolucionó lasMatemáticas. El lector interesado en profundizar sobre estos temas puede consultar [5].

2.1. Conjuntos finitos y métodos de conteo

¿De cuántas maneras podemos ordenar 3 libros distintos en un estante? Designemos conlas letras a, b y c los 3 libros. Podemos hacer una lista de todas las posibles ordenaciones:

abc acb bacbca cab cba

Vemos entonces que hay 6 posibles maneras de ordenarlos. Ahora bien, si en lugar de 3 tene-mos 1000 libros, no podemos hacer una lista exhaustiva de todas las posibilidades pues es unnúmero extraordinariamente grande. Por esto se han desarrollado los métodos de conteo. Enesta sección presentaremos algunos de estos métodos. Lo primero que haremos es precisar lanoción de “un conjunto con n elementos”. Aunque su significado es para todos intuitivamen-te claro, es importante que lo expresemos usando el lenguaje de las Matemáticas. Al igualque en todo proceso de medición (en el caso que nos ocupa, estamos interesados en medirel número de elementos de un conjunto) es fundamental fijar un patrón de referencia. Elconjunto con n elementos que usaremos como patrón es {1, 2, 3, · · · , n} (¿Cuál otro podríaser?). También es conveniente tener a la mano una notación práctica para trabajar con estosconceptos. Todo esto lo haremos a continuación.

Definición 2.1. Sea A un conjunto y un número natural positivo n. Diremos que A tiene nelementos si existe una función biyectiva f : {1, 2, 3, · · · , n} → A. En este caso escribiremos

|A| = n.

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Diremos que A es finito si A es vacío o si tiene n elementos para algún n. Diremos que elconjunto vacío tiene 0 elementos.

El lector debería convencerse que la definición que acabamos de dar captura la nociónintuitiva de un conjunto con n elementos.

El símbolo |A| se lee “el número de elementos de A”, también se dice “la cardinalidad de|A|”. La ecuación |A| = |B|, se lee “A y B tienen el mismo número de elementos” o “ A y Btienen la misma cardinalidad”.

También es usual denotar un conjunto finito con n elementos de la siguiente manera

A = {a1, a2, · · · , an}

donde los símbolos a1, a2, · · · se leen a-sub-uno, a-sub-dos, etc. Esta notación sustituye a labiyección f : {1, 2, · · · , n} → A. Pues implicitamente uno puede suponer que f viene dadade la siguiente manera:

f(1) = a1, f(2) = a2, · · · , f(n) = an

Ejemplo 2.2. Sea A = {2, 4, a, b, 8}. Veamos que A satisface la definición de un conjuntocon 5 elementos. Para esto debemos conseguir una función biyectiva de {1, 2, 3, 4, 5} en A.En efecto, considere la siguiente regla

f(1) = 2f(2) = 4f(3) = af(4) = bf(5) = 8

Teniendo aclarado la noción de “número de elemento de un conjunto” o “cardinalidadde un conjunto finito” nos dedicaremos a estudiar sus propiedades. El primer resultado essumamente útil.

Teorema 2.3. Sean A y B dos conjuntos finitos. Si A y B son disjuntos (es decir, A∩B = ∅),entonces |A ∪B| = |A|+ |B|.

Antes de dar la demostración de este resultado veremos un ejemplo.

Ejemplo 2.4. Sea A = {1, 4, 6} y B = {3, 7, 8, 9}. Tenemos que A ∩ B = ∅, A ∪ B es iguala {1, 4, 6, 3, 7, 8, 9} y A ∪ B tiene 3 + 4 elementos.

Observe que es crucial que los conjuntos sean disjuntos. Por ejemplo, sea C = {1, 4, 6} yD = {1, 7, 8, 9}. En este caso C ∩D = {1} y C ∪D tiene sólo 6 elementos. ✷

Demostración del Teorema 2.3: Sea n = |A| y m = |B|. La demostración se hará porinducción en n.

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Base de la inducción: Si A es vacío, es decir, n = 0, entonces A∪B = B y en consecuencia|A ∪B| = |B| = |A|+ |B|.

Como veremos, para el paso inductivo, necesitamos el caso cuando A tiene un solo elemen-to. Lo haremos de inmediato. Supogamos que A = {x} y B es un conjunto con m elementos ydisjunto de A. Sea f : {1, 2, · · · , m} → B una biyección. Defina f : {1, 2, · · · , m+1} → A∪Bpor partes de la siguiente manera.

g(t) =

{

f(t) , si t ∈ {1, 2, · · · , m}x , si t = m+ 1.

Le dejamos al lector convencerse de que g es una biyección y en consecuencia |A ∪ B| =m+ 1 = |B|+ |A|.

Paso inductivo: Supongamos que el resultado es válido para cualquier conjunto A quetenga a lo sumo n elementos. Debemos verificar el resultado para un conjunto A con n + 1elementos. Por lo visto anteriormete, podemos ademas suponer que n ≥ 1.

Sea A tal que |A| = n + 1 y B un conjunto con m elementos que sea disjunto de A.Escoja un elemento cualquiera de A, denotemoslo por x. Considere el conjunto C = A\ {x}.Claramente |C| = n. Como A∩B = ∅, entonces C∩B = ∅. Por la hipótesis inductiva, sabemosque |C ∪B| = |C|+ |B| = n+m. Por otra parte, considere el conjunto D = C ∪B. Usandola inductiva con los conjuntos {x} y D, tenemos que |{x} ∪D| = |{x}|+ |D| = 1 + n +m.Clarmente A ∪ B = {x} ∪ D, y así concluimos que |A ∪ B| = n + 1 + m que es lo que sequería demostrar. ✷

El teorema anterior se puede demostrar sin usar inducción de una manera directa comolo indicamos en el ejercicio #7.

Podemos generalizar el resultado anterior para la unión de tres o más conjuntos disjuntosde la manera siguiente.

Teorema 2.5. Sean A, B y C tres conjuntos finitos tales que A∩B = A∩C = B ∩C = ∅,entonces A ∪ B ∪ C es finito y además

|A ∪ B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C|.

Demostración: Sean A, B y C tres conjuntos como en la hipótesis. Considere el siguienteconjunto

D = A ∪B.

Tenemos entonces que D y C son disjuntos (¿por qué?). Luego por el Teorema 2.3 concluimosque

|D ∪ C| = |D|+ |C|.Análogamente, como A y B son disjuntos, tenemos que

|D| = |A ∪ B| = |A|+ |B|.

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De la dos igualdades anteriores obtenemos

|A ∪B ∪ C| = |D ∪ C| = |D|+ |C| = |A|+ |B|+ |C|.

Cuando una familia de conjuntos {Ai}i tiene la propiedad que Ai∩Aj = ∅ para cada parde índices distintos i, j se dice que la familia es disjunta dos a dos. El resultado anterior sepuede generalizar: Sea {Ai}ni=1 una familia de conjuntos finitos disjuntas dos a dos, entonces

|A1 ∪ · · · ∪ An| = |A1|+ · · ·+ |An|.

La demostración de este hecho queda como ejercicio (ver ejercicio 8).

Otra propiedad de los conjuntos finitos es la siguiente:

Teorema 2.6. Sea A un conjunto finito y B ⊆ A, entonces B es finito y además |B| ≤ |A|.En otras palabras, si A tiene n elementos y B ⊆ A, entonces B tiene a lo sumo n

elementos. El lector que quiera ver un prueba formal de este resultado puede ver el ejercicio#9 donde encontrará algunas indicaciones de como hacerlo.

El siguiente resultado es similar al Teorema 2.3 pero ahora también incluiremos el casodonde los conjuntos A y B no son necesariamente disjuntos.

Teorema 2.7. Sean A y B conjuntos finitos, entonces se cumple que

|A ∪ B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|.

Demostración: Comencemos observando que

A ∪ B = (A \B) ∪ (A ∩B) ∪ (B \ A)

y además que(A ∩B) ∩ (A \B) = ∅(A ∩B) ∩ (B \ A) = ∅(A \B) ∩ (B \ A) = ∅.

Es decir, cada par de estos tres conjuntos son disjuntos. Ya que A ∩ B ⊆ A, A \ B ⊆ A yB \A ⊆ B, entonces cada uno de ellos es finito (por el Teorema 2.6). Podemos ahora usar elTeorema 2.5 y concluir que

|A ∪B| = |A \B|+ |A ∩ B|+ |B \ A|. (2.1)

Observe que A \B y B ∩ A son disjuntos, es decir

(A \B) ∩ (A ∩B) = ∅

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y además queA = (A ∩ B) ∪ (A \B).

Ya que A \B ⊆ A y A∩B ⊆ A, entonces ambos son conjuntos finitos (por el Teorema 2.6).Por lo tanto por el Teorema 2.3 tenemos que

|A| = |A ∩ B|+ |A \B|. (2.2)

Análogamente para el conjunto B tenemos que

|B| = |A ∩ B|+ |B \ A|. (2.3)

Sumando las igualdades dadas en (2.2) y (2.3) obtenemos que

|A|+ |B| = |A ∩ B|+ |A \B|+ |A ∩B|+ |B \ A|.

Comparando con (2.1) obtenemos

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩ B|

y ésta es la ecuación buscada.✷

El resultado anterior se puede generalizar para tres o más conjuntos finitos. Este resultadose conoce como el principio de inclusión y exclusión.

Teorema 2.8. (Principio de inclusión y exclusión) Sean A, B y C tres conjuntos finitos,entonces A ∪ B ∪ C es finito y además se cumple que

|A ∪ B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|+ |A ∩B ∩ C|.

La utilidad de este resultado reside en que, en general, es más fácil contar el número deelementos de la intersección de conjuntos que el de la unión de conjuntos. En el ejercicio 10el lector encontrará algunas indicaciones de como demostrar este resultado.

Ejemplos 2.9. ¿Cuántos enteros del conjunto S = {1, 2, 3, · · · , 1000} son divisibles por 3 o5? Definimos dos conjuntos D3 y D5 de la siguiente manera

D3 = {n ∈ S : n es divisible por 3} y D5 = {n ∈ S : n es divisible por 5}.

Estamos buscando el número de elementos de D3∪D5. Haciendo uso del Teorema 2.7 bastaríaque consiguiéramos |D3|, |D5| y |D3 ∩ D5|. Notemos que n es divisible por 3 si n es de laforma 3k para algún entero k. Como 3 · 333 = 999, 3 · 334 = 1002, y 5 · 200 = 1000 podemosconcluir que

D3 = {3k : 1 ≤ k ≤ 333} y D5 = {5k : 1 ≤ k ≤ 200}.Esto nos dice que |D3| = 333 y |D5| = 200. Por otra parte, observemos que si n ∈ D3 ∩D5,entonces n es divisible por 15 (pues la factorización de n en factores primos incluirá tanto al

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3 como al 5). Recíprocamente, si n es divisible por 15 entonces n es divisible por 3 y por 5.Esto nos dice que

D3 ∩D5 = {n ∈ S : n es divisible por 15}.

Por lo tanto, como 15 · 66 = 990 y 15 · 67 = 1005, entonces

D3 ∩D5 = {15k : 1 ≤ k ≤ 66}.

De esto tenemos que |D3 ∩D5| = 66. Finalmente

|D3 ∪D5| = |D3|+ |D5| − |D3 ∩D5| = 333 + 200− 66 = 467.

Veamos otro ejemplo. ¿Cuántos enteros en S son divisibles por 3, 5 o 7? Sea D7 el conjunto

D7 = {n ∈ S : n es divisible por 7}.

Al igual que antes se tiene que |D7| = 142, pues 7 · 142 = 994 y 7 · 143 = 1001. Por otraparte, como 7, 3 y 5 son números primos, entonces

D3 ∩D7 = {n ∈ S : n es divisible por 21}D5 ∩D7 = {n ∈ S : n es divisible por 35}

D3 ∩D5 ∩D7 = {n ∈ S : n es divisible por 105}.

Razonando análogamente a como hiciéramos antes, obtenemos que |D3 ∩ D7| = 47, |D5 ∩D7| = 28 y |D3 ∩D5 ∩D7| = 9. Por el principio de inclusión y exclusión tenemos que

|D3 ∪D5 ∪D7| = |D3|+ |D5|+ |D7| − |D3 ∩D5| − |D3 ∩D7| −|D5 ∩D7|+ |D3 ∩D5 ∩D7|

= 333 + 200 + 142− 66− 47− 28 + 9= 543.

Observación 2.10. El principio de inclusión y exclusión se puede generalizar a un númeroarbitrario de conjuntos. Por ejemplo, para cuatro conjuntos A,B,C y D se tiene que

|A ∪ B ∪ C ∪D| = |A|+ |B|+ |C|+ |D|−|A ∩B| − |A ∩ C| − |A ∩D| − |B ∩ C| − |C ∩D| − |B ∩D|+|A ∩ B ∩ C|+ |A ∩ B ∩D|+ |A ∩ C ∩D|+ |B ∩ C ∩D|−|A ∩B ∩ C ∩D|.

Le dejamos al lector la tarea de comprobar esa fórmula.

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2.1.1. Cardinalidad del conjunto potencia

Ahora calcularemos el número de elemento del conjunto potencia. Para hacerlo usaremosel Principio de inducción. El paso inductivo está basado en la siguiente idea. Consideremosel conjunto potencia de {1, 2, 3}. Clasificamos los subconjuntos de {1, 2, 3} en dos grupos: elprimero consiste de aquellos que no contienen al 3 y el segundo del resto, es decir, aquellosque sí contienen al 3

∅ {1} {2} {1, 2}

{3} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3}

Notemos que los conjuntos que están en la primera fila son precisamente los subconjuntosde {1, 2}, es decir, en el primer grupo hemos puestos todos los elementos de P({1, 2}). Y losque colocamos en el segundo grupo se obtienen agregando el 3 a los conjuntos del primergrupo.

De lo dicho anteriormente se concluye que el número de elementos de P({1, 2, 3}) es eldoble que el de P({1, 2}). El lector debe tener presente esta idea cuando lea la prueba quedamos a continuación.

Teorema 2.11. Sea n un natural con n ≥ 1, entonces P({1, 2, · · · , n}) tiene 2n elementos.

Demostración: La demostración la haremos por inducción.

Base de la inducción: Para n = 1, tenemos que P({1}) = {∅, {1}} tiene 21 elementos.

Paso inductivo: Supongamos que el resultado es cierto para k y mostrémoslo para k + 1. Lahipótesis inductiva es que P({1, 2, 3 · · · , k}) tiene 2k elementos. Consideremos los siguientesconjuntos:

A = {X ∈ P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) : k + 1 ∈ X}B = {X ∈ P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) : k + 1 6∈ X}.

Observemos que B es igual a P({1, 2, 3 · · · , k}) (verifíquelo!). Tenemos que A∩B = ∅ y ade-más que P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) = A∪B (verifíquelo!). La hipótesis inductiva nos dice que Btiene 2k elementos. Mostraremos en seguida que A también tiene 2k elementos. Supongamosesto por un momento y terminemos la verificación del paso inductivo. Como A ∪ B es iguala P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) y A y B son disjuntos, entonces podemos usar el Teorema 2.3 y con-cluir que P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) tiene 2k+2k elementos. Como 2 ·2k = 2k+1, hemos mostradoque P({1, 2, 3 · · · , k + 1}) tiene 2k+1 elementos. Con esto terminamos la verificación del pasoinductivo.

Nos quedó pendiente mostrar que A tiene 2k elementos. En realidad es bastante sencillodarse cuenta de eso. Analizando con cuidado la definición de A vemos que A tiene tantoselementos como B, pues a cada conjunto X en B le corresponde exactamente uno de A,precisamente el conjunto X ∪ {k + 1}. Esta es la idea que presentamos antes de enunciar elteorema para el caso particular del conjunto potencia de {1, 2, 3}. Precisaremos estas ideasa continuación.

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Considere la siguiente función: f : B → A dada por

f(X) = X ∪ {k + 1}.

Observe que f(X) es un subconjunto de {1, 2, 3 · · · , k + 1}. Veamos que f es inyectiva. SeanX, Y ∈ B con X 6= Y . Entonces al agregarles a estos conjuntos el número k+1 siguen siendodistintos, en otras palabras, X∪{k + 1} 6= Y ∪{k + 1}. Esto muestra que f(X) 6= f(Y ) y porlo tanto que f es inyectiva. Ahora verificaremos que f es sobreyectiva, en efecto, sea Y ∈ A,esto dice que Y ⊆ {1, 2, 3 · · · , k + 1} y que k+1 ∈ A. Considere el conjunto Z = Y \{k = 1}.Es inmediato comprobar que f(Z) = Y . Como f es biyectiva, entonces |A| = |B|. ✷

El lector seguramente ya habrá notado lo larga que resultó ser la prueba del teoremaanterior. También habrá observado que la idea “detrás” de la prueba es realmente simple(como lo ilustramos antes de enunciar el teorema). Esto es común que suceda en matemáticas.Algunas demostraciones usan una idea sencilla que al “formalizarla” en el lenguaje de lasmatemáticas resulta aparentemente mucho más complicada. Sin embargo, la formalizacióny la prueba son fundamentales para convencernos que el resultado enunciado era correcto.A medida que avance en el estudio de la matemática, el lector irá notando la apariciónen los libros de frases como “es fácil ver que usando tal o cual idea se puede completar lademostración” y le dejan al lector la tarea de convencerse que en realidad esa “idea” simple essuficiente. Podríamos decir que una parte importante del estudio de las matemáticas consisteen llegar a ese convencimiento.

Ya vimos que P({1, 2, 3 · · · , n}) tiene 2n elementos. ¿Qué podemos decir acerca de P(A)si A tiene n elementos? El siguiente teorema dice que P(A), por supuesto, tiene 2n elementos.

Teorema 2.12. Sea A un conjunto finito con n elementos, entonces P(A) tiene 2n elemen-tos.

Demostración: Definiremos una biyección entre P(A) y P({1, 2, · · · , n}). Después de tener ala mano esa biyección podremos usar el Teorema 2.22, pues ya sabemos que P({1, 2, · · · , n})tiene 2n elementos y así concluir que P(A) tiene 2n elementos.

Si A es el conjunto vacío, entonces P(∅) tiene un solo elemento, es decir tiene 20 elementos.Podemos entonces suponer que |A| ≥ 1. Sea A un conjunto con n elementos y fijemos unbiyección f : {1, 2, 3 · · · , n} → A. Definiremos una función g : P({1, 2, · · · , n}) → P(A)de la manera siguiente. Dado un subconjunto B ⊆ {1, 2, · · · , n} definimos g(B) como elconjunto

g(B) = {f(b) : b ∈ B}.Es decir, g(B) consiste de las imágenes bajo f de los elementos de B. Dejamos al lector latarea de convencerse que g es en efecto una biyección (ver ejercicio 17).

2.1.2. Cardinalidad del producto Cartesiano

Ahora calcularemos la cardinalidad del producto cartesiano de dos conjuntos finitos.

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Teorema 2.13. Sean A y B dos conjuntos finitos, entonces el producto cartesiano A × Bes finito y se cumple que

|A× B| = |A| · |B|

Demostración: Para facilitar la presentación, enumeraremos los elementos de A de la siguientemanera:

A = {x1, x2, · · · , xn},donde n es el número de elementos de A. Para cada i ∈ {1, · · · , n} definimos el conjunto Di

como

Di = {xi} × B.

Dejamos al lector la tarea de verificar que

A×B = D1 ∪D2 ∪ · · · ∪Dn.

Observemos que si i 6= j, entonces Di y Dj son disjuntos (¿por qué?). Por lo tanto, podemoshacer uso de la versión generalizada del Teorema 2.5 (ver el comentario que sigue al Teorema2.5) y concluir que

|A× B| = |D1|+ |D2|+ · · ·+ |Dn|.Afirmamos que, para cada i, |Di| = |B|. En efecto, fijemos i y consideremos la funciónf : B → Di dada por f(y) = (xi, y). Entonces f es claramente una biyección y por lo tantose cumple lo afirmado. Así que en la suma anterior tenemos |B| repetido n veces. En otraspalabras,

|A×B| = n · |B| = |A| · |B|.Esto era lo que queríamos demostrar.

Ejemplo 2.14. Considere el conjunto

S = {100, 101, 102, · · · , 999}.

Observemos que |S| = 900. ¿Cuántos números en S tienen un 3 en la primera cifra? Re-flexionando un poco vemos que existe 100 de esos números. Podemos también responderesta pregunta usando el Teorema 2.13. Los números que estamos buscando tienen la forma3ab, donde a, b son dígitos entre 0 y 9 (ambos incluidos). Por el Teorema 2.13 sabemos queexisten 102 pares ordenados de la forma (a, b) con a, b ∈ {0, 1, · · · , 9}. Cada par (a, b) nosproporciona uno de los números buscados, precisamente el número 3ab. Y recíprocamente,a cada número de la forma 3ab le corresponde el par (a, b). Esto muestra que la función(a, b) 7→ 3ab es una biyección entre {0, 1, · · · , 9} × {0, 1, · · · , 9} y el conjunto al que le es-tamos determinando la cardinalidad. Usando el Teorema 2.22 concluimos que existen 100números de la forma 3ab.

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2.1.3. Cardinalidad de BA

En esta sección contaremos la funciones entre dos conjuntos finitos y mostraremos que siA tiene n elementos y B tiene m elementos entonces existen mn funciones de A en B, estoes,

|BA| = |B||A|

Introduciremos ahora un concepto que es de uso frecuente en matemáticas.

Definición 2.15. Sea f : A → B una función y C ⊆ A. La restricción de f a C esuna función de C en B, que denotaremos f⌈C, dada por la misma regla que f , es decir,f⌈(x) = f(x).

Enunciaremos el resultado principal para conjuntos no vacíos. Más adelante analizaremosqué podemos decir cuando A o B son el conjunto vacío.

Teorema 2.16. Sean A y B conjuntos finitos no vacíos, entonces |BA| = |B||A|.

Demostración. Sea n tal que |A| = n. La demostración se hará por inducción en n.

Base de la inducción: Para n = 1, es inmediato que existen tantas funciones de A en B, comoelementos tenga B, es decir, existe m funciones de A en B, que es lo que se quería demostrar.

Hipótesis inductiva: Supongamos que para todo conjunto A con n elementos y todo conjuntofinito B se cumple que |BA| = |B||A|. Demostraremos que lo mismo vale para un conjuntocon n+ 1 elementos.

Sea C un conjunto con n + 1 elementos, escojamos un elemento cualquiera de C, quedenotaremos c0. Sea A = C \ {c0}. Entonces A tiene n elementos. Definimos una funciónH : BC → BA × B de la siguiente manera:

f 7→ (f⌈A, f(c0))

El lector debe convencerse que H está bien definida. Veamos que H es una biyección. Ve-rifiquemos primero que H es inyectiva. Sean f, g ∈ BC con f 6= g. Entonces existe x ∈ Ctal que f(x) 6= g(x). Hay dos casos a considerar: (a) x ∈ A, entonces (f⌈A)(x) 6= (g⌈A)(x)asi f⌈A 6= g⌈A y por lo tanto H(f) 6= H(g). (b) x = c0. Entonces f(c0) 6= g(c0) y porconsiguiente H(f) 6= H(g).

Veamos que H es sobreyectiva. Sea (g, b) ∈ BA×B, esto es, g : A → B y b ∈ B. Definimosf : C → B por partes de la siguiente manera: Recuerde que C = A ∪ {c0}.

f(x) =

{

g(x) , si x ∈ Ab , si x = c0.

Dejamos al lector la verificación de que H(f) = (g, b) y por lo tanto H es sobreyectiva.✷

Nos queda por analizar el caso cuando A o B es vacío. Supongamos que A = ∅. Quépuede ser una función que tenga como dominio el conjunto vacío? Si vemos a una funaciónde A en B como una relación, es decir, como un subconjunto de A × B, es inmediato que

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la única relación, cuando A es vacío, es la relación vacía, es decir, ∅ es una relación entre∅ y B. Y es tambiém inmediato verificar que ∅ es una función de ∅ en B. Por lo tanto,B∅ tiene un sólo elemento, la función vacía. Por otra parte, si B es vacío, un razonamientoanálogo muestra que la función vacía es la única función de un conjunto cualquiera A en ∅.En resumen, |BA| = 1 si A o B es vacío.

Si A y B tienen n elementos cada uno, ¿Cúantas biyecciones existen entre A y B? Larespuesta es que existen n! funciones biyectivas entre A y B 1.

Teorema 2.17. Sean A y B conjuntos con n elementos y n ≥ 1. Entonces existen n!funciones biyectivas de A en B.

Demostración: La haremos por inducción en n.Base de la inducción: Si n = 1, el lector debe convencerse que el resultado es cierto. Es decirque si A y B tienen un sólo elemento cada uno, existe una sola biyección entre ellos.

Paso inductivo: Supongamos que el resultado vale para conjuntos con k elementos y demos-trémoslo para conjuntos con k + 1 elementos.Hipótesis inductiva: Supongamos que si A y B tienen k elementos con k ≥ 1, entonces existenk! biyecciones de A en B.

Suponga que C y D tienen k + 1 elementos. Denotemos los elementos de C y D, respec-tivamente, por c1, · · · , ck+1 y d1, · · · , dk+1. Sea S el conjunto de todas las biyecciones entreC y D. Vamos a clasificar los elementos de S de la siguiente manera

Si = {f ∈ S : f(ck+1) = di}

con 1 ≤ i ≤ k + 1. Se tiene que

S =k+1⋃

i=1

Si

y los Si son dos a dos disjuntos. Observemos que Si tiene cardinalidad igual al del conjuntode biyecciones entre {c1, · · · , ck} y {d1, d2, · · · , dk+1} \ {di}. Como esos dos conjuntos tienenk elementos, entonces la hipótesis inductiva nos asegura que |Si| = k! para cada i. Enconsecuencia |S| = (k + 1)k! = (k + 1)!. ✷

Teorema 2.18. Sean A y B conjuntos finitos con 1 ≤ n = |A| ≤ |B| = m. Entonces existenm!

(m−n)!funciones inyectivas de A en B.

Demostración: Por inducción en m.Base de la inducción: Si m = 1, el lector debe convencerse que si n = m = 1 existe una solafunción inyectiva entre A y B.

Paso inductivo: Supongamos que el resultado vale para m = k y demostrémoslo para m = k+1elementos.

1Recordemos que el factorial de un número natural se define por n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1. Por ejemplo,3! = 3 · 2 · 1 = 6

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Hipótesis inductiva: Supongamos que si A y B son finitos y 1 ≤ n = |A| ≤ |B| = k, entoncesexisten k!

(k−n)!funciones inyectivas de A en B.

Sea C y D conjuntos tales que 1 ≤ n = |C| ≤ |D| = k + 1. Denotemos los elementos deC y D, respectivamente, por c1, · · · , cn y d1, · · · , dk+1. Consideramos dos casos

(i) Supongamos n = m. En este caso toda función inyectiva de C en D es sobreyectivay por consiguiente queremos determinar el número de funciones biyectivas de C en D. Ysabemos que existen (k + 1)! funciones biyectivas por el Teorema 2.17.

(ii) Supongamos n < m. Sea S el conjunto de todas las funciones inyectivas de C en D.Como n < m, entonces toda función inyecitva de C en D no puede ser sobreyectiva, esto nospermite clasificar los elementos de S de la siguiente manera

Si = {f ∈ S : di 6∈ rango(f)}

con 1 ≤ i ≤ k + 1. Se tiene que

S =

k+1⋃

i=1

Si.

Observemos que Si tiene cardinalidad igual al del conjunto de todas las funciones inyectivasde {c1, · · · , cn} en {d1, d2, · · · , dk+1} \ {di}. La hipótesis inductiva nos asegura que |Si| =

k!(k−n)!

para cada i. Atención!: Los conjuntos Si no son necesariamente dos a dos disjuntos. El

lector debe convencerse de que cada f ∈ S pertenece a k+1−n de los Si, (pues D\rango(f)tienes k + 1− n elementos). Por esto

|S| = (k + 1)k!

(k + 1− n)(k − n)!=

(k + 1)!

(k + 1− n)!.

2.1.4. Funciones y cardinalidad

La definición de |A| = n usa el concepto de función biyectiva. En esta sección presentamosalgunas herramientas para el cálculo de la cardinalidad de un conjunto finito haciendo usode funciones.

Teorema 2.19. Sea A un conjunto finito y n ≥ 1. Supongamos que existe una funcióninyectiva f : {1, 2, · · · , n} → A. Entonces n ≤ |A|.

Demostración. La haremos por inducción en n.

Base de la inducción: Para n igual a 1, el hecho que exista una función f : {1} → A indicaque A no es vacío y por lo tanto 1 ≤ |A|.Paso inductivo: Supongamos que si A es un conjunto finito y existe una función inyectivaf : {1, 2, · · · , n} → A. Entonces n ≤ |A|. Lo demostraremos para n+ 1.

Supongamos entonces que B es un conjunto finito y que existe una función inyectiva f :{1, 2, · · · , n+1} → B. Sea A = B \{f(n+1)} y g : {1, 2, · · · , n} → A dada por g(x) = f(x).

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Para verificar que g está bien definida, notemos que como f es inyectiva, entonces para todoz ∈ {1, 2, · · · , n}, f(z) 6= f(n+1), es decir f(z) ∈ B. Por otra parte, g es inyectiva pues f loes (verifcarlo!). Por consiguiente, la hipótesis inductiva nos garantiza que n ≤ |A|. Por otraparte, B = A ∪ {f(n + 1)} y como f(n + 1) 6∈ A, entonces |B| = |A| + |{f(n+ 1)}| (por elTeorema 2.3). Es decir, |B| = |A| + 1. Como |A| ≥ n, entonces |B| ≥ n + 1, que es lo quequeriamos demostrar.

Corolario 2.20. Sean A y B conjuntos finitos. Si existe una función inyectiva f : A → B,entonces |A| ≤ |B|.

Demostración. Si A es vacío la conclusión es obviamente verdadera, por esto supondremosque A no es vacío. Sea n = |A| y g : {1, 2, · · · , n} → A una biyección. Entonces f ◦g : {1, 2, · · · , n} → B es inyectiva por ser una composición de funciones inyectivas (ver elTeorema 1.53). Por consiguientes, n ≤ |B| por el Teorema 2.19. ✷

Es natural preguntarse qué se puede decir si sustituimos inyectividad por sobreyectividaden la hipótesis del teorema anterior. Veamos que sucede.

Corolario 2.21. Sean A y B conjuntos finitos. Suponga que existe una función sobreyectivaf : A → B. Entonces |B| ≤ |A|.

Demostración. Sería suficiente conseguir una función inyectiva g : B → A y usar el resultadoanterior 2.20. Pero ya hemos visto que tal función g existe, en efecto, sabemos que por serf sobreyectiva admite una inversa por la derecha (ver el Teorema 1.64), es decir, existeg : B → A tal que f ◦ g = 1B. En particular, eso garantiza que g es inyectiva (ver el Teorema1.54) y es la función que buscábamos. ✷

Si entre dos conjuntos A y B se puede definir una función biyectiva, entonces A y Btienen el mismo número de elementos. Esa afirmación es “intuitivamente” clara, pero detodas maneras la demostraremos para ilustrar que la definición 2.1 sí captura el significadointuitivo de cardinalidad.

Teorema 2.22. Sean A y B conjuntos finitos. Los siguientes enunciados son equivalentes:

(i) Existe una función biyectiva f : A → B.

(ii) |A| = |B|.

Demostración: (i)⇒ (ii). Sea f : A → B una biyección. Entonces |A| ≤ |B|, por el Teorema2.20. De la misma manera, como f−1 : B → A es inyectiva (de hecho, también es biyectiva),entonces |B| ≤ |A|. Por lo tanto, |A| = |B|.

(ii)⇒ (iii) Sea n el número de elementos de A, es decir, |A| = n y sea g : {1, 2, · · · , n} →A una biyección. Queremos encontrar una biyección h : {1, 2, · · · , n} → B. La funcióncompuesta f ◦ g : {1, 2, · · · , n} → B es la candidata natural para h. En efecto, ya hemos

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visto que la composición de funciones biyectivas es biyectiva (Teorema 1.53), así que f ◦ ges la biyección buscada.

Ejemplo 2.23. Consideremos los conjuntos

A = {2, 5, 7, 8} , B = {a} × {2, 5, 7, 8}.

Es fácil ver que B tiene 4 elementos (¿cuáles son?). Podemos también definir una biyecciónf : A → B entre A y B de la siguiente manera

f(x) = (a, x).

Es decir, a cada elemento x de A lo enviamos al par ordenado (a, x).Para ilustrar lo que hicimos en la demostración del Teorema 2.22 busquemos una biyección

g : {1, 2, 3, 4} → {2, 5, 7, 8}. Por ejemplo: g(1) = 2, g(2) = 5, g(3) = 7 y g(4) = 8. Ahorapodemos calcular la función compuesta f ◦ g : {1, 2, 3, 4} → {a} × {2, 5, 7, 8} y obtenemos(f ◦ g)(1) = (a, 2), (f ◦ g)(2) = (a, 5), (f ◦ g)(3) = (a, 7) y (f ◦ g)(4) = (a, 8). La funciónf ◦ g es biyectiva.

Veremos a continuación algunas consecuencias del teorema anterior que son de uso fre-cuente.

Corolario 2.24. Sean A y B conjuntos finitos y f : A → B inyectiva. Entonces |A| = |f [A]|

Demostración. Sea C el rango de f , es decir, C = f [A]. Considere la función g : A → Cdada por g(x) = f(x). Entonces g es biyectiva y así |A| = |C| (por el Teorema 2.22). ✷

Corolario 2.25. Sean A y B conjuntos finitos y f : A → B inyectiva. Si |A| = |B|, entoncesf es biyectiva.

Demostración. Sea C el rango de f , es decir, C = f [A]. Mostraremos que C = B y así f essobreyectiva y en consecuencia biyectiva. Ya sabemos que |C| = |A| (ver el corolario 2.24) ypor lo tanto |C| = |B|. Por otra parte B = C ∪ (B \ C) y así |B| = |C|+ |B \ C| por ser Cy B \ C disjuntos. Como |C| = |B|, entonces |B \ C| = 0, es decir B \ C = ∅. Luego C = By f es sobreyectiva. ✷

El resultado anterior no es válido para conjuntos infinitos, veamos un ejemplo. Como nohemos precisado todavía qué significado le daremos a |A| cuando A no sea finito (lo queharemos más adelante) presentamos el ejemplo de la siguiente manera:

Ejemplo 2.26. Sea B = N \ {0}, f : N → B dada por f(n) = n+ 1 y g : N → B dada porg(n) = 2n + 1. Entonces f es biyectiva, g es inyectiva pero g no es sobreyectiva. El hechoque f sea biyectiva nos dice que N y B tienen el mismo "tamaño". ✷

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Otra resultado que se deduce de lo que hemos hecho hasta ahora es el siguiente. Supon-gamos que A y B son conjuntos finitos y que |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|. Entonces, por ser |A|y |B| números naturales, es obvio que |A| = |B|. Por lo tanto existe una función biyectivaentre A y B (Teorema 2.22). Podemos enunciar lo que acabamos de mostrar de la manerasiguiente, tenga en mente lo que dice el Teorema 2.20.

Corolario 2.27. Sean A y B conjuntos finitos, si existen funciones inyectivas f : A → B yg : B → A, entonces existe una biyección h : A → B.

Más adelante veremos que el resultado anterior también se cumple para conjuntos infinitos(aunque la demostración requiere más trabajo) y se conoce como el Teorema de Schröder-Bernstein. Ese teorema es una herramienta fundamental para el estudio de los conjuntosinfinitos.

2.1.5. El principio del palomar

Imagine el lector que tenemos un palomar con 100 casillas y llegan 101 palomas y todasentran en alguna casilla. Entonces necesariamente alguna casilla tiene más de una paloma.El razonamineto usado en este ejemplo sencillo involucra lo que se conoce como el principiodel palomar.

Teorema 2.28. Sean A y B conjuntos finitos no vacíos con |A| = n y |B| = m y f : A → Buna función. Si n > m, entonces existen x, z ∈ A tales que x 6= z y f(x) = f(z), es decir, fno es inyectiva.

Demostración. Mostraremos la contrarecíproca, es decir, si f : A → B es una funcióninyectiva, entonces n ≤ m. Pero esto ya lo vimos en el Teorema 2.20. ✷

¿Qué tiene que ver el resultado anterior con el principio del palomar? Veamos, sea P elconjunto de casillas en el palomar y f : {1, 2, · · · , 101} → P la función que a la paloma #i,le asigna la casilla f(i) donde ella entró. Como |P | < 101, por el teorema anterior existeni 6= j tal que f(i) = f(j). Es decir, la palomas i y j entraron en la misma casilla.

Ejercicios 2.1

1. Determine si los siguientes conjuntos son finitos y en caso de serlo diga cuantos ele-mentos tiene.

a) {n ∈ N : La suma de las cifras de n es igual a 5}b) {n ∈ N : 4 + 1

n>

√17}

c) {n ∈ N : 3n+14n+2

< 2940}

2. De 200 personas, 150 trotan o nadan (pudieran hacer las dos cosas). Si 85 nadan y 60hacen las dos actividades ¿cuántas trotan?

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3. En un grupo de 150 personas, hay 75 que nadan, 50 montan bicicleta y 80 trotan;y algunos que no hacen ninguna de estas 3 actividades. Además, en el grupo hay32 personas que trotan pero no andan en bicicleta, 27 que trotan y nadan y 10 quepractican los tres deportes.

a) ¿Cuántas personas solamente trotan (es decir, trotan pero ni nadan ni andan enbicicleta)?

b) Si 11 personas andan en bicicleta y nadan ¿Cuántas no realizan ninguna de lastres actividades?

(Sugerencia: Haga un diagrama de Venn).

4. Una bolsa contiene 50 canicas de cuatro colores distintos. Explique por qué debe haberal menos 13 metras del mismo color.

5. Suponga que se colocan 73 metras en ocho cajas.

a) Muestre que una caja debe contener al menos 10 metras.

b) Muestre que si dos de las cajas están vacías, entonces alguna caja contiene almenos 13 metras.

6. Encuentre el número de enteros en {1, 2, · · · , 1000} que sean divisibles por 4, 5 ó 7.(Sugerencia: Vea el ejemplo 2.9).

7. Sean A y B dos conjuntos disjuntos tales que A tiene n elementos y B tiene m ele-mentos. Sean f : {1, 2, 3, · · · , n} → A y g : {1, 2, 3, · · · , m} → B funciones biyectivas.Defina h : {1, 2, · · · , n+m} → (A ∪B) de la manera siguiente:

h(x) =

{

f(x) , si 1 ≤ x ≤ ng(x− n) , si n + 1 ≤ x ≤ n+m.

Muestre que h es una biyección.

8. Sean A1, A2, · · · , An conjuntos finitos y disjuntos dos a dos. Demuestre que

|A1 ∪ · · · ∪ An| = |A1|+ · · ·+ |An|.

(Sugerencia: Use inducción en n y siga un razonamiento similar al usado en la demos-tración del Teorema 2.5).

9. Muestre que si A es finito y B ⊆ A, entonces B es finito y además se cumple que|B| ≤ |A|.Este es un ejemplo de cómo una afirmación de naturaleza sencilla requiere un argu-mento complicado para demostrarla rigurosamente.

(Sugerencia: Sea n el número de elementos de A. Haga la prueba por inducción en n.Si n es cero, entonces A es vacío y por lo tanto B = ∅. Para el paso inductivo, sea A

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un conjunto con n+ 1 elementos y f : {1, 2, · · · , n+ 1} → A una biyección. Consideredos casos: (a) f(n + 1) 6∈ B y (b) f(n + 1) ∈ B. Para el caso (a), verifique queA−{f(n + 1)} tiene n elementos y que B ⊆ A−{f(n + 1)}. Use la hipótesis inductivapara concluir que B es finito y que |B| ≤ n. Para el caso (b), considere el conjuntoC = B−{f(n+ 1)}. Verifique que C ⊆ A−{f(n+ 1)} y por el caso (a) concluya queC es finito y además que |C| ≤ n. Para finalizar, verifique que B = C ∪ {f(n+ 1)} yuse el Teorema 2.3 para concluir que |B| = |C|+ 1.)

10. Demuestre el Teorema 2.8.

(Sugerencia: Observe que A∪B∪C = (A∪B)∪C. Use ahora el Teorema 2.1 y exprese|A∪B ∪C| en términos de |A∪B|, |(A∪B) ∩C| y |C|. Use de nuevo el Teorema 2.1para calcular |A ∪ B| y |(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)| ).

11. a) Demuestre la fórmula dada en la observación 2.10.

b) Halle una fórmula para calcular

|A ∪ B ∪ C ∪D ∪ E|.

12. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}. Determine

|A ∪B| |A ∩ B| |A△B| |P(A)| |A×B|

|P(A) ∩ P(B)| |P(A×B)| |P(P(P(A)))| |P(A× P(B))| |A×P(P(B))|

13. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c, d} y C = {1, 3, 5}. Calcule |A× B × C|.

14. Sea k ∈ N \ {0} y considere los siguientes conjuntos

A = {X ∈ P({1, 2, 3, · · · , k + 1}) : k + 1 ∈ X}

yB = {X ∈ P({1, 2, 3, · · · , k + 1}) : k + 1 6∈ X}.

Verifique las siguientes afirmaciones:

a) B es igual a P({1, 2, 3, · · · , k})b) A ∩B = ∅c) P({1, 2, 3, · · · , k + 1}) = A ∪B.

d) Complete la demostración del Teorema 2.11.

(Sugerencia: Para ver que f es sobreyectiva, dado X ∈ A, es decir, X ⊆ {1, 2, 3 · · · , k + 1}y además k + 1 ∈ X. Considere Y = X \ {k + 1} y verifique que Y ∈ B. Muestreque f(Y ) = X).

15. Determine la cardinalidad del conjunto A

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a) A = {B ∈ P({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}) : 3 6∈ B y 5 6∈ B}.b) A = {B ∈ P({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}) : 3 ∈ B y 5 ∈ B}.c) A = {B ∈ P({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}) : 3 6∈ B y 5 ∈ B}.

16. Sean A, B y C tres conjuntos finitos con |A| = n, |B| = m y |C| = p. Muestre que|A×B × C| = n ·m · p.(Sugerencia: Halle una biyección entre A × B × C y (A × B) × C. Y use el Teorema2.13).

17. Complete la demostración del Teorema 2.12.

(Sugerencia: Usando que f es inyectiva, muestre que si B,B′ ⊆ {1, 2, · · · , n} con B 6=B′, entonces g(B) 6= g(B′). Para ver que g es sobreyectiva, considere un subconjunto Cde A cualquiera. Verifique que el conjunto B definido por {a ∈ {1, 2, · · · , n} : f(a) ∈ C}satisface que g(B) = C (para probarlo hará falta usar que f es sobreyectiva).

18. Calcule el número de funciones inyectivas entre un conjunto con 17 elementos y otrocon 20 elementos.

19. Suponga que tiene 5 libros distintos que quiere regalar entre 10 personas. De cuántasmaneras puede hacerlo?

20. Sea A un conjunto con 3 elementos y B un conjunto con 10 elementos. Cuántas fun-ciones de A en B no son inyectivas?

21. a) Sean D,B conjuntos finitos con D ⊆ B. Muestre que si |D| = |B|, entoncesB = D.

b) Consiga conjuntos infinitos D,B con D ⊆ B tales que exista una función biyectivaf : D → B y sin embargo D 6= B.

22. Sean A y B conjuntos finitos y f : A → B sobreyectiva. Muestre que si |A| = |B|,entonces f es biyectiva.

2.2. Conjuntos equipotentes

Sean A y B dos conjuntos. Supongamos que existe una función f : A → B biyectiva.Si A y B son finitos, ya vimos en la sección anterior que esto significa que A y B tienenel mismo número de elementos. Usaremos esta idea para definir cuándo dos conjuntos (nonecesariamente finitos) tienen el mismo tamaño.

Definición 2.29. Dos conjuntos A y B se dicen que son equipotentes , si existe una funciónbiyectiva f : A → B. En este caso escribiremos A ≈ B.

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Cuando dos conjuntos A y B no sean equipotentes escribiremos A 6≈ B.La definición que dimos de conjunto finito (ver la Definición 2.1) podemos enunciarla de

la siguiente manera:

Un conjunto A tiene n elementos (con n ≥ 1) si A es equipotente con {1, 2, · · · , n}.

Antes de dar algunos ejemplos mostraremos que la relación ≈ es reflexiva, simétrica ytransitiva.

Teorema 2.30. Sean A,B,C conjuntos. Entonces(i) A ≈ A.(ii) Si A ≈ B, entonces B ≈ A.(iii) Si A ≈ B y B ≈ C, entonces A ≈ C.

Demostración:

(i) La función identidad 1A : A → A es una biyección.

(ii) Supongamos que A ≈ B y sea f : A → B una biyección. Entonces f tiene inversa yf−1 : B → A también es una biyección. Lo que muestra que B ≈ A.

(iii) Supongamos que A ≈ B y B ≈ C y sean f : A → B y g : B → C biyecciones. Comola composición de funciones biyectivas es biyectiva (ver el Teorema 1.53), entonces lafunción g ◦ f : A → C es una biyección. Por lo tanto A ≈ C.

Ejemplo 2.31. Mostraremos que N ≈ N \ {0}. Considere la función f : N → N \ {0} dadapor f(n) = n+ 1. El lector puede verificar facilmente que f es una biyección. ✷

Ejemplo 2.32. Considere los siguientes conjuntos

P = {2n : n ∈ N} I = {2n+ 1 : n ∈ N}.

P consiste de todos los números naturales pares e I de los naturales impares. Considere lafunción

f : N → P

definida por

f(n) = 2n.

Dejamos al lector la fácil tarea de verificar que f es biyectiva. Esto muestra que N ≈ P .De manera similar, para el conjunto I considere la función g : N → I dada por g(n) =

2n + 1. Al igual que antes, es fácil verificar que g es una biyección y por lo tanto N ≈ I.Como ≈ es simétrica y transitiva (Teorema 2.30), podemos concluir que P ≈ I.

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Ejemplo 2.33. Considere la función f : N → Z definida por

f(n) =

{

n2

, si n es par−n+1

2, si n es impar.

Dejamos como un ejercicio al lector la verificación que f es una biyección (ver ejercicio 2).Por lo tanto

N ≈ Z.

Ejemplo 2.34. Considere la función f : R \ {2} → R \ {1} dada por

f(x) =x

x− 2

Dejamos como ejercicio mostrar que f es una biyección. Tenemos entonces que

R \ {2} ≈ R \ {1}.

Existen muchas otras biyecciones entre estos dos conjuntos. Veamos otra. Considere la g :R \ {2} → R \ {1} dada por g(x) = x− 1. Entonces g es biyectiva.

Ejemplo 2.35. Considere la siguiente función f : (0,+∞) → R definida por partes

f(x) =

{

1x

, si 0 < x < 12− x , si 1 ≤ x.

Dejamos como ejercicio al lector mostrar que f es biyectiva. Tenemos entonces que

(0,+∞) ≈ R.

El siguiente resultado será usado con bastante frecuencia.

Proposición 2.36. Sea f : A → B una función inyectiva. Entonces A ≈ rango(f).

Demostración. Restringiendo el contradominio de f y dejando la misma ley de corresponden-cia obtenemos la función g : A → rango(f) dada por g(x) = f(x). Entonces g es biyectiva.

Observemos que el resultado anterior ya lo habíamos demostrado cuando los conjuntosinvolucrados eran finitos (ver el Corolario 2.24).

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Ejemplo 2.37. Considere la función f : R → R definida por partes de la manera siguiente

f(x) =

{

x , si x 6∈ N

x+ 1 , si x ∈ N.

Dejamos como ejercicio verificar que f es inyectiva y además que rango(f) = R \ {0} (verejercicio 8). Usando la proposición 2.36 concluimos que

R ≈ R \ {0}.

Analicemos lo que se ha hecho en este ejemplo. Considere la función g : N → N \ {0} dadapor g(x) = x+ 1. Se puede verificar que g es biyectiva. Ahora notemos que

R = N ∪ (R \ N)

↓ f ↓ g ↓ 1R\N

R \ {0} = (N \ {0}) ∪ (R \ N)

La función f se definió por partes, en N usamos g y en R \ N usamos la identidad. ✷

Ejemplo 2.38. Considere la función

f : R → R

dada porf(x) = 3x+ 1.

Como el lector seguramente sabe, la gráfica de f es una recta. Es fácil verificar que f esbiyectiva. Usaremos esta función para construir varios ejemplos de conjuntos equipotentes.

1. Mostraremos que R \ {3} ≈ R \ {10}. En efecto, sea g : R \ {3} → R dada por g(x) =3x+1. Como f es inyectiva, entonces g también lo es. Notemos que rango(g) = R\{10},pues f(3) = 10. En consecuencia, R \ {3} ≈ R \ {10} (por la proposición 2.36).

2. Un argumento completamente análogo muestra que para todo r ∈ R se tiene que

R \ {r} ≈ R \ {f(r)}

3. Mostraremos que(−1, 3) ≈ (−2, 10).

En efecto, consideremos la función h : (−1, 3) → R definida por h(x) = 3x + 1.Como en la parte (1) tenemos que h es inyectiva. Dejamos como ejercicio verificar querango(h) = (−2, 10). Por lo tanto, (−1, 3) ≈ (−2, 10) (por la proposición 2.36).

Un argumento completamente análogo muestra que [−1, 3] ≈ [−2, 10].

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4. Mostraremos que(−∞, 3) ≈ (−∞, 10).

En efecto, consideremos la función j : (−∞, 3) → R definida por j(x) = 3x + 1.Como f es inyectiva, entonces j también lo es. Dejamos como ejercicio verificar querango(j) = (−∞, 10). Como antes, concluimos que (−∞, 3) ≈ (−∞, 10).

Ejemplo 2.39. Usando una recta se puede mostrar que R \ {a} ≈ R \ {b} para todo par dereales a, b (ver ejercicio 3).

El siguiente resultado es importante.

Teorema 2.40. N× N ≈ N.

Demostración: Definimos f : N× N → N de la siguiente manera

f(a, b) = 2a(2b+ 1)− 1.

Mostraremos que f es una biyección. Comenzaremos mostrando que f es inyectiva. Seana, a′, b, b′ ∈ N. Supongamos que f(a, b) = f(a′, b′). Entonces

2a(2b+ 1) = 2a′

(2b′ + 1).

Como 2b+ 1 y 2b′ + 1 son impares, entonces necesariamente 2a divide a 2a′y viceversa. Por

lo tanto 2a = 2a′, de esto se concluye que a = a′ y además que 2b+1 = 2b′ +1. Por lo tanto,

b = b′.Ahora veremos que f es sobreyectiva. Sea n ∈ N. Queremos hallar a, b ∈ N tales que

f(a, b) = n, es decir,2a(2b+ 1)− 1 = n.

Sea a el mayor natural tal que 2a divide a n+1 (a puede ser cero). Por lo tanto n+12a

es impar,y en consecuencia existe un natural b tal que n+1

2a= 2b+ 1. Tenemos que

n+ 1 = 2a(2b+ 1)

y en consecuencia f(a, b) = n. Esto muestra que f es sobreyectiva.✷

Existen otras pruebas del resultado anterior. Mostraremos una que es fácil de visualizar.Comenzaremos representado los elementos de N× N de la siguiente forma cuadrangular:

(0, 0), (0, 1), · · · , (0, s), · · ·(1, 0), (1, 1), · · · , (1, s), · · ·

......

...(s, 0), (s, 1), · · · , (s, s), · · ·

......

...

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Considere ahora el siguiente arreglo (que sigue las diagonales del anterior).

(0, 0)(1, 0), (0, 1)

(2, 0), (1, 1), (0, 2)(3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3)

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·(s, 0), (s− 1, 1), · · · , (0, s)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·Este arreglo sugiere una manera de ordenar los elementos de N × N. Siguiendo lo indicadoen el diagrama podemos “contar” N× N. El orden del conteo sería

(0, 0), (1, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 1), (0, 2) · · ·

Es decir, considere la función g que asigna a (0, 0) el número 0; a (1, 0) y (0, 1) los números1 y 2 respectivamente; a (2, 0), (1, 1) y (0, 2) los números 3, 4 y 5 respectivamente, etc.

Sorprendentemente, existe una fórmula para representar esa manera de contar los ele-mentos de N× N:

g(a, b) =(a+ b+ 1)(a+ b)

2+ b

Dejamos al lector interesado la tarea de mostrar que g es una biyección (ver ejercicio 15)y convencerse que en efecto corresponde a esa forma de enumerar N × N siguiendo susdiagonales.

Ejercicios 2.2

1. Sea n ≥ 1 un natural. Muestre que para cada natural m con 1 ≤ m ≤ n+1, {1, 2, · · · , n}es equipotente a {1, 2, · · · , n+ 1} \ {m}.

2. Considere la función f : N → Z definida por

f(n) =

{

n2

, si n es par−n+1

2, si n es impar.

Muestre que f es una biyección.

3. Sean a, b, c, d ∈ R con a 6= b y c 6= d. Considere la función

f(x) =c− d

a− b(x− b) + d.

Muestre que f es biyectiva, f(a) = c y f(b) = d. Use esta función para responder lassiguientes preguntas. Escoja adecuadamente los valores de a, b, c y d e imite lo hechoen el ejemplo 2.38.

a) Muestre que R \ {2} ≈ R \ {5}.

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b) Muestre que R \ {2, 1} ≈ R \ {1,−1}.c) Muestre que Q \ {2, 1} ≈ Q \ {1,−1}.d) Sean a, b ∈ R muestre que R \ {a} ≈ R \ {b}.e) Sean a, b, c, d ∈ R con a 6= b y c 6= d. Muestre que R \ {a, b} ≈ R \ {c, d}

4. Considere la función f : (0,+∞) → R definida por partes

f(x) =

{

1x

, si 0 < x < 12− x , si 1 ≤ x.

Muestre que f es biyectiva.

5. a) Muestre que (−1, 1) ≈ (3, 5) y [−1, 1] ≈ [3, 5]. (Sugerencia: Use la función dadaen el ejercicio 3).

b) Muestre que (−1, 6] ≈ (2, 8].

c) Muestre que [−1, 6) ≈ (2, 8].

d) Muestre que, en general, dados a, b, c, d ∈ R con a < b y c < d se tiene que(a, b) ≈ (c, d) y [a, b] ≈ [c, d]. ¿Cuáles otras variantes de esta pregunta se le ocurreson válidas?

6. a) Muestre que (1,+∞) ≈ (0,+∞) .(Sugerencia: Considere la función f(x) = x−1).

b) Muestre que (1,+∞) ≈ (−∞, 0).

c) Muestre que (−∞, 6] ≈ (−∞, 10].

d) Muestre que (−∞, 6] ≈ [10,+∞).

e) Muestre que R ≈ (−∞, 0).

f ) Muestre que, en general, para cada a, b ∈ R se tiene que (a,+∞) ≈ (b,+∞).¿Cuáles otras variantes se le ocurre son válidas?

7. a) Muestre que (0,+∞) ≈ (0, 1). (Sugerencia: Considere la función f(x) = 1x− 1).

b) Muestre que (4,+∞) ≈ (0, 1).

c) Muestre que (4,+∞) ≈ (3, 5).

8. a) Considere la función f : R → R \ {0} definida por partes de la manera siguiente

f(x) =

{

x , si x 6∈ N

x+ 1 , si x ∈ N.

Muestre que f es biyectiva.

b) En la parte anterior construimos una biyección entre f : R → R \ {0}. El lectorquizá se pregunta si habrán otras. Existen muchas más. Recordemos que si g :R → R es una biyección, entonces f ◦ g : R → R \ {0} también es biyectiva.Determine la ley de correspondencia de f ◦ g cuando g(x) = kx para k un enteroy compárela con la de f .

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c) Sea k ∈ N con k ≥ 2. Considere la función h : R → R \ {0} definida por partesde la manera siguiente

h(x) =

{

kx , si x 6∈ N

k(x+ 1) , si x ∈ N.

Determine si h : R → R \ {0} es biyectiva.

9. Use la idea del ejemplo 2.37 para mostrar lo siguiente

a) R \ {0} ≈ R \ {0, 1}b) R \ {0, 1} ≈ R \ {0, 1, 2}c) R \ {−1} ≈ R \ {0, 1}d) R \ {0, 1, 3} ≈ R \ {5, 2}e) Q \ {0, 1} ≈ Q \ {0, 1, 2}

10. Muestre que (−1, 1) ≈ R.

(Sugerencia: Muestre que la función f : (−1, 1) → R dada por f(x) = xx2−1

es biyecti-va).

11. Muestre que (−1, 1) ≈ [−1, 1].

(Sugerencia: Muestre primero que (−1, 1) ≈ R \ {0, 1}, después agregue los puntos 1 y−1, y usando el ejercicio #10 concluya lo deseado).

12. Muestre que [a, b] ≈ (a, b) para todo a, b ∈ R con a < b.

13. Muestre que [0, 1) ≈ (0, 1) (Sugerencia: Considere la función f : [0, 1) → (0, 1) dadapor f(x) = x si x no es de la forma 1/n para todo entero n ≥ 2, f(0) = 1/2 yf(1/n) = 1/(n+ 1) si n es un entero con n ≥ 2.)

14. Halle a, b ∈ N que satisfagan lo que se indica.

a) 2a(2b+ 1) = 4003.

b) 2a(2b+ 1) = 1534.

Sugerencia: Lea la demostración del Teorema 2.40.

15. Sea g : N× N → N dada por

g(a, b) =(a+ b+ 1)(a+ b)

2+ b

Muestre que g es biyectiva. Sugerencia: Lea el comentario al final de la sección 2.2para tener una intuición sobre este problema. Muestre que en la n-ésima diagonal hayn pares ordenados. Además, verifique que el par (a, b) está en la n-ésima diagonal si, y

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sólo si, a+b = n. Al comenzar la n-ésima diagonal se han contado 1+2+3+· · ·+(n−1)pares ordenados. Para ver que g es sobreyectiva, fije m ∈ N. Muestre que existe k talque 1 + 2 + 3 + · · ·+ (k − 1) ≤ m < 1 + 2 + 3 + · · ·+ k. Muestre que existen a, b talesque a + b = k − 1 y g(a, b) = m.

Para mostrar que g es inyectiva. Sean a, a′, b, b′ ∈ N con (a, b) 6= (a′, b′). Considere doscasos: a + b = a′ + b′ o a+ b < a′ + b′.

Otra manera para ver que g es sobreyectiva es usar inducción para mostrar querango(g) = N.

16. Sean A y B conjuntos. Muestre que si A\B ≈ B \A, entonces A ≈ B. ¿Es el recíprocoválido?

17. Sea (Ai)i∈N y (Bi)i∈N dos colecciones de conjuntos que satisfacen:

a) Ai ∩Aj = ∅ si i 6= j.

b) Bi ∩Bj = ∅ si i 6= j.

c) Ai ≈ Bi para todo i ∈ N.

Demuestre que⋃

iAi ≈⋃

i Bi.

2.3. Conjuntos infinitos

Un conjunto que no sea finito se dice que es infinito. Una gran parte de las matemáticasestá ligada al concepto de conjunto infinito2. En esta sección estudiaremos algunas de lapropiedades de los conjuntos infinitos. Lo primero que mostraremos es que N es infinito.Para hacerlo, primero estableceremos un hecho general sobre los subconjuntos de N.

Si A ⊆ N, diremos que m es el máximo de A, si m ∈ A y x ≤ m para todo x ∈ A. Enpalabras, el máximo de un conjunto de números naturales es el mayor elemento del conjunto.Lo primero que hay que observar es que no todos los subconjuntos de N tiene máximo. Porejemplo, N no tiene elemento máximo.

Proposición 2.41. Sea A ⊆ N. Si A es finito y no vacío, entonces A tiene máximo.

Demostración. Sea A un conjunto finito y no vacío. Mostraremos por inducción en el númerode elementos de A, que A tiene máximo.Base de la inducción. Si A tiene un sólo elemento, digamos A = {p}, entonces p es el máximode A.Hipótesis inductiva: Supongamos que todo subconjunto de N de n elementos tiene máximo.

Sea A ⊆ N con n + 1 elementos. Sea p0 ∈ A cualquiera. Sea B = A \ {p0}. Entonces Btiene n elementos. Por hipótesis inductiva, B tiene máximo. Sea q0 el máximo de B. Entoncesel máximo de A es el mayor entre p0 y q0 (verifíquelo).

2Alguien alguna vez comparó la matemática con una sinfonía del infinito

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Teorema 2.42. N es infinito.

Demostración. Es claro que N no tiene máximo, pues si n ∈ N, entonces n < n + 1 paratodo n ∈ N y n + 1 ∈ N. En consecuencia, N no es finito (por la proposición 2.41) ✷

El siguiente resultado expresa de manera precisa el significado de la frase el conjuntoA tiene una cantidad infinita de elementos. Además, da un método para mostrar que unconjunto es infinito.

Teorema 2.43. Un conjunto A es infinito si, y sólo si, existe una función inyectiva f : N →A.

Demostración: Supongamos que A es infinito. Definiremos una función f : N → A inyectiva.Para ese fin, mostraremos que es posible escoger, para cada n ∈ N, un elemento an ∈ A detal manera que si n 6= m son naturales, entonces an 6= am. Una vez hecho esto, definiremosf(n) = an y tendremos la función inyectiva que buscábamos.

Como A es infinito, en particular A no es vacío. Sea entonces a0 ∈ A cualquiera. Notemosque

A = (A \ {a0}) ∪ {a0}

y {a0} es finito, entonces A \ {a0} no es finito y en particular no es vacío. Luego podemosescoger a1 ∈ A con a1 6= a0. Supongamos que hemos escogido ak ∈ A para k ≤ n tal queak 6= al si k 6= l y k, l ≤ n. Notemos que A − {a0, a1, · · · , an} no es vacío, pues si lo fuera,entonces A = {a0, a1, · · · , an}, y en consecuencia A sería finito. Por esta razón sabemos queexiste un elemento a ∈ A diferente de a0, a1, · · · , an, escojamos uno de ellos y denotémoslopor an+1. Por lo dicho al comienzo, la función f : N → A dada por f(n) = an es inyectiva.

Recíprocamente, supongamos que f : N → A es una función inyectiva y sea B =rango(f). Entonces N ≈ B (por la proposición 2.36). Como N no es finito, entonces Bno es finito. Como B ⊆ A, entonces A no es finito.

El resultado anterior nos dice que, desde el punto de vista del tamaño de los conjuntos, lacardinalidad de N es la más pequeña entre la de todos los conjuntos infinitos, pues el hechode que exista una función inyectiva de N en un conjunto A, indica que A tiene al menostantos elementos como N.

Ejemplo 2.44. Por lo visto en la sección 2.2 sabemos que el intervalo (0, 1) es infinito.Podemos mostrarlo de otra forma usando el Teorema 2.43. En efecto, considere la funciónf : N → (0, 1) dada por f(n) = 1/(n + 2). El lector puede verificar fácilmente que f esinyectiva.

Ejemplo 2.45. Mostraremos que el conjunto NN es infinito. Recordemos que NN es el con-junto de todas las funciones de N en N. Usaremos el Teorema 2.43. Debemos construir una

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función F : N → NN inyectiva. Para hacerlo, considere la siguiente colección de funciones

f1(n) = 1f2(n) = 2f3(n) = 3

...fk(n) = k

...

Es decir, la función fk es la función constante con valor k. Obviamente, todas esas funcionesson distintas. Defina F (k) = fk, entonces F es una inyección como la requerida.

Ejemplo 2.46. Mostraremos que el conjunto P(N) es infinito. Usaremos el Teorema 2.43.Debemos construir una función F : N → P(N) inyectiva. Defina F (k) = {k} para k ∈ N,entonces F es una inyección como la requerida.

Una de las propiedades más importantes de un conjunto infinito es la de poseer unsubconjunto propio equipotente a él. Esto ya lo hemos observado en algunos ejemplos, puesvimos que

Z ≈ N , R ≈ (0,+∞) , R ≈ (R \ {0}).Más adelante mostraremos que todos los conjuntos infinitos tienen esa propiedad.

El próximo resultado muestra que un conjunto finito no puede ser equipotente a unsubconjunto propio

Teorema 2.47. Un conjunto finito no es equipotente a ninguno de sus subconjuntos propios.

Demostración: Sea A un conjunto finito. Si A es vacío, entonces no hay nada que demostrarpues el único subconjunto de ∅ es ∅. Por esto podemos suponer que A no es vacío. Sea n = |A|y B ⊆ A con B 6= A. Entonces como A = (A \B) ∪ B y (A \B) ∩B = ∅, entonces

|A| = |A \B|+ |B|.

Como (A \B) 6= ∅, entonces |B| < |A|. En consecuencia, A y B no son equipotentes. ✷

Un conjunto A se dice que es infinito en el sentido de Dedekind si existe B ⊆ A talque A 6= B y A ≈ B. El siguiente teorema nos dice que este concepto es equivalente al deconjunto infinito.

Teorema 2.48. Un conjunto A es infinito si, y sólo si, existe B ⊆ A tal que A ≈ B yB 6= A.

Demostración: ( Si ) Mostraremos la contrarrecíproca. Supongamos que A es finito y queB ⊆ A con A 6= B. Entonces A 6≈ B (por el Teorema 2.47).

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( Sólo si ) Supongamos que A es infinito. Entonces existe una función f : N → Ainyectiva (por el Teorema 2.43). Sea B = A \ {f(0)}. Mostraremos que A ≈ B construyendouna función g : A → B biyectiva. Considere la siguiente función:

g(a) =

{

f(n+ 1) , si a ∈ rango(f) y a = f(n)a , si a 6∈ rango(f).

Mostraremos que g es biyectiva.

(i) Veamos que g es inyectiva. Supongamos que a, a′ ∈ A son tales que g(a) = g(a′). Enton-ces ambos, g(a) y g(a′) están en rango(f) o ninguno pertenece a rango(f) (¿Porqué?).

(1) Supongamos que g(a) y g(a′) están en rango(f). Entonces existen n, n′ ∈ N talesque a = f(n) y a′ = f(n′) y por la definición de f , tenemos que g(a) = f(n+1) =f(n′ +1) = g(a′). Por ser f inyectiva, concluimos que n+1 = n′ +1 y así n = n′.Por lo tanto a = a′.

(2) Supongamos que ni g(a), ni g(a′) están en rango(f). Se tiene que g(a) = a yg(a′) = a′ y por lo tanto a = a′.

(ii) Veamos que g es sobreyectiva. Sea b ∈ B, entonces de nuevo hay dos casos posibles:

(1) b ∈ rango(f). Sea n ∈ N tal que f(n) = b. Como b 6= f(0) y f es inyectiva,entonces n ≥ 1. Sea a = f(n− 1). Entonces g(a) = f(n) = b.

(2) b 6∈ rango(f). Entonces g(b) = b.

Ejercicios 2.3

1. Muestre que para todo n,m ≥ 1 naturales con m 6= n se tiene que {1, · · · , n} 6≈{1, · · · , m}.

2. Sea A ⊆ N finito. Muestres que (N \ A) ≈ N.

3. Muestre que Z \ {−2,−3,−4} ≈ N.

(Sugerencia: Recuerde que Z ≈ N y que N \ F ≈ N para todo conjunto finito F ⊆ N).

4. Consiga otra función inyectiva F : N → NN diferente a la presentada en el ejemplo2.45.

5. Muestre que el conjunto de todas las funciones de N en {0, 1} es infinito.

6. Muestre que el conjunto de todas las biyecciones de N en N es infinito.

7. Sea A un conjunto finito. Muestre que si |A| > 1, entonces A 6≈ A × A. Usando esteresultado, concluya que N no es finito.

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8. Muestre que los siguientes conjuntos son infinitos (use el Teorema 2.43).

a) El conjunto de todos los números enteros pares mayores que 25.

b) El intervalo (2, 5/2).

c) En general, el intervalo (a, b) donde a, b ∈ R y a < b.

d) El conjunto Z \ A donde A es un subconjunto finito de Z.

e) Q \ N.

f ) R× R.

g) El conjunto de todos los enteros múltiplos de 5.

h) R \Q.

i) [0, 1/2] \Q.

9. Halle un subconjunto propio de cada uno de los conjuntos del ejercicio #8 que seaequipotente con el conjunto dado.

10. Sea A y B dos conjuntos tales que A tenga al menos 2 elementos y B no sea vacío.Muestre que si A o B es infinito, entonces AB es infinito.

(Sugerencia: Vea lo hecho en el ejemplo 2.45 y use el Teorema 2.43).

11. Sea A un conjunto infinito. Muestre que P(A) es infinito. (Sugerencia: Vea lo hecho enel ejemplo 2.46 y use el Teorema 2.43).

12. Sea A un conjunto infinito. Muestre que A × B es infinito para todo conjunto B queno sea vacío.

13. Sea S ⊆ R no vacío y acotado superiormente. Sea r = supA. Muestre que si r 6∈ A,entonces A es infinito.

14. Suponga que A es un conjunto Dedekind infinito y x 6∈ A. Sin usar el Teorema 2.48,muestre directamente de la definición de conjunto Dedekind infinito que A ∪ {x} esDedekind infinito.

2.4. Algunos ejemplos importantes

Sean A y B conjuntos. Denotaremos por BA al conjunto de todas las funciones de A enB. En esta sección nos ocuparemos en estudiar, desde el punto de vista que nos da la relaciónde equipotencia, los conjuntos

A× B , P(A) , BA.

Comenzaremos por el producto cartesiano.

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Ejemplo 2.49. Mostraremos que

N× N ≈ Z× Z

y en consecuenciaN ≈ Z× Z.

La segunda afirmación se concluye de la primera y del hecho que N ≈ N×N (Teorema 2.40)Como N ≈ Z (ver el ejemplo 2.33), fijemos una biyección f : N → Z. Definimos H :

N× N → Z× Z de la siguiente manera

H(n,m) = (f(n), f(m)).

Mostraremos que H es una biyección.

(i) H es inyectiva. Sea (n,m), (n′, m′) dos pares ordenados en N × N y supongamos queH(n,m) = H(n′, m′). Mostraremos que (n,m) = (n′.m′). En efecto, por la definiciónde H tenemos que (f(n), f(m)) = (f(n′), f(m′)). Por lo tanto f(n) = f(n′) y f(m) =f(m′). Como f es inyectiva, concluimos que n = n′ y m = m′.

(ii) H es sobreyectiva. Sea (k, l) ∈ Z × Z. Mostraremos que existe (n,m) ∈ N × N talque f(n,m) = (k, l). En efecto, como f es sobreyectiva, existen n,m ∈ N tales quef(n) = k y f(m) = l. Es fácil verificar que H(n,m) = (k, l).

El siguiente teorema es un resultado general relacionado con el ejemplo anterior.

Teorema 2.50. Sean A, B, C y D tales que A ≈ B y C ≈ D. Entonces

A× C ≈ B ×D.

Ahora estudiaremos el conjunto potencia.

Ejemplo 2.51. Mostraremos queP(N) ≈ P(Z).

Fijemos f : N → Z una biyección. Definimos H : P(N) → P(Z) de la siguiente manera

H(A) = {f(n) : n ∈ A}.

Observe que H(A) es f [A]. Mostraremos que H es una biyección.

(i) H es inyectiva. Sean A,B ⊆ N distintos, mostraremos que H(A) 6= H(B). ComoA 6= B, hay dos casos a considerar.

(a) Supongamos que existe x ∈ A\B. Entonces, como f es inyectiva, concluimos queno existe y ∈ B tal que f(y) = f(x). Por lo tanto f(x) ∈ H(A) \H(B).

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(b) Supongamos que existe x ∈ B \A. Este caso lo dejaremos a cargo del lector, puesse hace de manera análoga al caso (a).

(ii) H es sobreyectiva. Sea B ⊆ Z y consideremos el conjunto A = {n ∈ N : f(n) ∈ B}.Observe que A = f−1(B). Mostraremos que H(A) = B. De la definición de H(A) setiene inmediatamente que H(A) ⊆ B. Para verificar que B ⊆ H(A), fijemos y ∈ B.Como f es sobreyectiva, existe x ∈ N tal que f(x) = y. Como f(x) ∈ B, entoncesx ∈ A. Y concluimos que y ∈ H(A).

Un resultado general relacionado con el ejemplo anterior es el siguiente:

Teorema 2.52. Si X ≈ Y , entonces P(X) ≈ P(Y ).✷

Ejemplo 2.53. Mostraremos queZN ≈ NN.

Como antes, fijemos una biyección h : N → Z. Considere la función H : NN → ZN definidapor

H(f) = h ◦ f.Mostraremos que H es una biyección.

(i) H es inyectiva. En efecto, sean f, f ′ ∈ NN dos funciones distintas. Entonces existen ∈ N tal que f(n) 6= f ′(n). Como h es inyectiva, entonces h(f(n)) 6= h(f ′(n)) y estomuestra que H(f) 6= H(f ′).

(ii) H es sobreyectiva. Sea g ∈ ZN. Mostraremos que existe f ∈ NN tal que H(f) = g. Enefecto, sea f = h−1 ◦ g : N → N. tenemos que

H(f) = h ◦ (h−1 ◦ g) = (h ◦ h−1) ◦ g = 1Z ◦ g = g.

El siguiente teorema es un resultado general relacionado con el ejemplo anterior.

Teorema 2.54. Sean A, B, C y D tales que A ≈ B y C ≈ D. Entonces

CA ≈ DB.

Ejercicios 2.4

1. Para responder las preguntas que siguen imite lo hecho en el ejemplo 2.49. Describa labiyección que muestra lo requerido.

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a) Muestre que N× R ≈ R× N.

b) Muestre que N× N× N ≈ Z× Z× Z.

c) Sean A y B conjuntos no vacíos. Muestre que A×B ≈ B × A.

2. Para responder las preguntas que siguen imite lo hecho en el ejemplo 2.51. Describa labiyección que muestra lo requerido.

a) Sea P la colección de números naturales pares y I la colección de números natu-rales impares. Muestre que P(P ) ≈ P(I).

b) Sea A = {n ∈ Z : n ≤ 4} y B = {n ∈ Z : n ≥ 8}. Muestre que P(A) ≈ P(B).

c) Muestre que P((−1, 2)) ≈ P((3, 4)).

d) Muestre que P((0,+∞)) ≈ P(R).

3. Muestre que NN ≈ ZZ.

(Sugerencia: Sea h : N → Z una biyección. Dada f : N → N queremos asociar a f unafunción g : Z → Z. Considere el siguiente diagrama donde 99K indica la función g quequeremos definir.

Nf−→ N

h−1 ↑ ↓ hZ 99K Z

Es natural entonces pensar que g debe ser h◦f ◦h−1. Esto sugiere definir H : NN → ZZ

de la siguiente manera:H(f) = h ◦ f ◦ h−1

Muestre que H es una biyección.)

4. Muestre que NZ ≈ NN.

(Sugerencia: Fije una biyección h : N → Z y defina H : NZ → NN de la manerasiguiente

H(f) = f ◦ h.Muestre que H es una biyección).

5. Use los Teoremas 2.50, 2.52 y 2.54 para mostrar lo siguiente

a) NN × Z ≈ ZZ × N.

b) P(ZN) ≈ P(NN).

c) P(Q)× N ≈ Z× P(Q).

d) (0, 1)R ≈ RR.

e) NP(N) ≈ ZP(Z).

f ) P(P(Z) × R) ≈ P((0, 1)×P(N)).

91

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6. Considere los siguientes conjuntos

A = {3n : n ∈ N} B = {5n+ 2 : n ∈ N} C = {7n− 1 : n ∈ Z}.

Muestre que

a) A ≈ B, B ≈ C.

b) A×B ≈ B × N.

c) P(AN) ≈ P(ZB).

7. Muestre el Teorema 2.50: Sean A, B, C y D tales que A ≈ B y C ≈ D. EntoncesA× C ≈ B ×D.

(Sugerencia: Fije biyecciones f : A → B y g : C → D y defina F : A×C → B ×D dela manera siguiente

F ((a, c)) = (f(a), g(c))

Muestre que F es una biyección).

8. Demuestre el Teorema 2.52: Si X ≈ Y , entonces P(X) ≈ P(Y ).

(Sugerencia: Dada una biyección f : X → Y , considere la función G : P(X) → P(Y )definida por

G(C) = {f(c) : c ∈ C}.Donde C ∈ P(X). Muestre que G es una biyección).

9. a) Sean A, B y C conjuntos no vacíos tales que B ≈ C. Muestre que AB ≈ AC .

(Sugerencia: Imite lo hecho en el ejemplo 2.53).

b) Sean A, B y C conjuntos no vacíos tales que B ≈ C. Muestre que BA ≈ CA.

c) Use (a) y (b) para mostrar el Teorema 2.54: Si A ≈ C y B ≈ D, entoncesAB ≈ CD.

10. Sea H : NN×NN → NN dada por H(f, g)(n) = f(n)+g(n) para todo n ∈ N. Determinesi H es inyectiva y el rango de H .

11. Sea H : NN × NN → NN dada por H(f, g) = f ◦ g. Determine si H es inyectiva y elrango de H .

12. Sean A, B y C conjuntos. Muestre que

a) Si B ∩ C = ∅, entonces AB∪C ≈ AB ×AC .

b) (A×B)C ≈ AC ×BC .

c) (AB)C ≈ AB×C .

92

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2.5. Operaciones generalizadas

Vimos varios ejemplos de generalizaciones de algunas de las leyes del álgebra de conjuntos.Por ejemplo,

A ∪ (B ∩ C ∩D) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ∩ (A ∪D).

Es natural esperar que algo similar se cumple si en lugar de tener 4 conjuntos tenemos 5. Esdecir,

A ∪ (B ∩ C ∩D ∩ E) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) ∩ (A ∪D) ∩ (A ∪ E).

Para expresar leyes similares a éstas, donde intervengan colecciones arbitrarias de conjuntos,usamos los subíndices. Por ejemplo, si tenemos n conjuntos (donde n es un número natural),los denotaremos de la siguiente manera:

A1, A2, · · · , An−1, An.

Los números 1, 2, .., n se llaman subíndices y son etiquetas que sirven para distinguirlos conjuntos. La colección A1, A2, · · · , An−1, An se dice que es una colección indizada yel conjunto {1, 2, · · · , n} es el conjunto de índices de esta colección. Es común que lasfamilias indizadas se denoten por

{Ai}ni=1.

El conjunto de índice depende del problema que se esté resolviendo como veremos en losejemplos.

La ley distributiva se puede expresar de manera general de la siguiente forma: sean A1,A2 · · · , An y B conjuntos, entonces se cumple

B ∪ (A1 ∩ · · · ∩ An) = (B ∪ A1) ∩ · · · ∩ (B ∪ An).

La demostración de este hecho se verá más adelante. La parte derecha de la expresión dearriba también tiene una notación especial. Si A1, · · · , An son conjuntos, entonces la uniónde todos ellos A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪An se escribe

n⋃

i=1

Ai

y la intersección A1 ∩ · · · ∩An se escribe

n⋂

i=1

Ai.

Con esta notación podemos expresar la ley distributiva que mencionáramos arriba de lasiguiente manera

B ∪ [n⋂

i=1

Ai ] =n⋂

i=1

(B ∪ Ai).

93

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La generalización de la otra ley distributiva es

B ∩ [

n⋃

i=1

Ai ] =

n⋃

i=1

(B ∩ Ai).

Antes de continuar con las generalizaciones de la leyes del álgebra de conjuntos veamosalgunos ejemplos de colecciones indizadas.

Ejemplos 2.55. 1. Considere la familia indizada {Ai}5i=0 definida por

Ai = {n+ i : 0 ≤ n ≤ 3} con i ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Así por ejemplo tenemos que

A0 = {0, 1, 2, 3} A1 = {1, 2, 3, 4} A2 = {2, 3, 4, 5}A3 = {3, 4, 5, 6} A4 = {4, 5, 6, 7} A5 = {5, 6, 7, 8}

Tenemos además que5⋃

i=0

Ai = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Dijimos que los índices son como etiquetas que se le colocan a los conjuntos paradiferenciarlos. En algunos casos los índices están estrechamente relacionados con loselementos del conjunto que lleva el índice. Esto ocurrió en el ejemplo que estamosestudiando. Pues conociendo el índice y la regla de formación de los conjuntos tenemostoda la información necesaria para determinar los elementos del conjunto. Por ejemplo,A3 consiste de todos los números de la forma n+ 3 con n ∈ {0, 1, 2, 3}.

2. Consideremos I el conjunto de todas las secciones de Mat10 que se dictaron en laFacultad de Ciencias durante el semestre A-98. Para cada i ∈ I sea

Ai = {n ∈ N : n es el número de cédulade un estudiante inscrito en la sección i de Mat10}.

Tenemos definida de esta manera una familia indizada de conjuntos {Ai}i∈I . A pesarde no tener a la mano los elementos de cada conjunto de esta familia, podemos afirmarque dados dos indices i y j distintos se cumple que Ai ∩Aj = ∅ (¿por qué?).

3. Podemos definir familias indizadas de conjuntos donde el conjunto de índices es muygrande. Por ejemplo, para cada n ∈ N positivo considere el conjunto

Dn = {k ∈ N : n divide a k}.

Esta familia la podemos denotar de varias maneras

{Dn}n∈I {Dn}∞n=1

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donde el conjunto de índices I es {n ∈ N : n ≥ 1} y el símbolo ∞ se lee “infinito”;en este ejemplo se sobrentiende que los índices son números naturales desde el 1 enadelante. Veamos algunos de estos conjuntos

D1 = N

D2 = {k ∈ N : k es par}D7 = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, · · ·} = {7m : m ∈ N}.

Por ejemplo, tenemos que

5⋂

i=2

Di = D2 ∩D3 ∩D4 ∩D5

= {k ∈ N : k es divisible por 2, 3, 4, y 5}= {k ∈ N : k es divisible por 60}.

Podemos también tomar la unión o la itersección de todos los conjuntos indizados. Eneste caso escribiremos

∞⋃

i=1

Di ,∞⋂

i=1

Di.

Notemos que∞⋃

i=1

Di = N ,

∞⋂

i=1

Di = {0}.

El conjunto de índices no tiene porque consistir necesariamente de números. En el ejercicio6 el lector encontrará un ejemplo donde los índices son a su vez conjuntos.

Sean {Ai}ni=1 y {Bj}mj=1 dos familias indizadas la primera con n conjuntos y la segundacon m conjuntos. Observe que hemos usado la letra j para denotar los índices de la segundafamilia, esto se hace para evitar confusiones entre los índices. Ahora podemos expresar lasgeneralizaciones de las leyes distributivas de la siguiente manera:

[n⋃

i=1

Ai ] ∩ [m⋃

j=1

Bj ] =⋃

i=1,2,··· ,n ; j=1,2,··· ,m

(Ai ∩ Bj)

[n⋂

i=1

Ai ] ∪ [m⋂

j=1

Bj ] =⋂

i=1,2,··· ,n ; j=1,2,··· ,m

(Ai ∪ Bj)

Los subíndices en el lado derecho de estas igualdades pueden parecer a primera vistahorrorosos. Más adelante veremos otra manera de escribir esta leyes con una mejor notaciónpara el lado derecho de las igualdades. Veamos que dicen estas leyes cuando n = 3 y m = 2

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(A1 ∪A2 ∪ A3) ∩ (B1 ∪B2) = (A1 ∩ B1) ∪ (A1 ∩B2) ∪ (A2 ∩B1) ∪(A2 ∩ B2) ∪ (A3 ∩B1) ∪ (A3 ∩B2)

(A1 ∩A2 ∩ A3) ∪ (B1 ∩B2) = (A1 ∪ B1) ∩ (A1 ∪B2) ∩ (A2 ∪B1) ∩(A2 ∪ B2) ∩ (A3 ∪B1) ∩ (A3 ∪B2).

Algo similar ocurre con las leyes de DeMorgan. Sea {Ai}ni=1 una familia indizada de subcon-juntos de un conjunto universal U , entonces

[

n⋃

i=1

Ai

]c

=n⋂

i=1

Aci

[

n⋂

i=1

Ai

]c

=

n⋃

i=1

Aci .

Sea {Ai}i∈I una familia indizada de conjuntos, donde I es el conjunto de índices (recor-demos que I no es necesariamente N, puede ser un subconjunto de N o quizá otro conjunto).Cuando se trabaje con uniones e intersecciones generalizadas es importante tener presentela siguientes observaciones que pueden ser consideradas una definición de los símbolos

i Ai

y⋂

i Ai:

x ∈⋃

i∈I

Ai si, y sólo si, existe i ∈ I tal que x ∈ Ai

x ∈⋂

i∈I

Ai si, y sólo si, x ∈ Ai para todo i ∈ I.

Podemos expresar las leyes distributivas generalizadas usando una notación donde inter-viene el producto cartesiano. Sean {Ai}ni=1 y {Bj}mj=1 dos familias indizadas de conjuntos.Denotaremos con I el conjunto {1, 2, · · · , n} y con J el conjunto {1, 2, · · · , m}. Entoncestenemos que

[

n⋃

i=1

Ai ] ∩ [

m⋃

j=1

Bj ] =⋃

(i,j)∈I×J

(Ai ∩Bj)

[n⋂

i=1

Ai ] ∪ [m⋂

j=1

Bj ] =⋂

(i,j)∈I×J

(Ai ∪Bj)

Los cuantificadores son de uso muy frecuente en matemáticas. En muchos casos sirvenpara abreviar expresiones que serían engorrosas de escribir de otra manera. Por ejemplo, sea{Ai}i∈I una familia indizada de conjuntos, entonces

96

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x ∈⋃

i∈I

Ai ⇔ ∃i ∈ I (x ∈ Ai)

x ∈⋂

i∈I

Ai ⇔ ∀i ∈ I (x ∈ Ai).

2.5.1. Producto cartesiano y el axioma de elección

Ya vimos como se denota el productor cartesiano de tres conjuntos: usamos tripletasordenadas (x, y, z). También podemos definir el producto cartesiano de más de tres conjuntos.Para hacerlo introducimos el concepto de tuplas ordenadas que hace uso de la notacióncon subíndices que vimos anteriormente. Digamos que tenemos n conjuntos A1, A2, · · · , An

definimos una n-tupla ordenada como una expresión de la forma

(x1, x2, · · · , xn)

donde xi pertenece al conjunto Ai para cada i ∈ {1, · · · , n}.Dos n-tuplas son iguales cuando todas sus componentes son respectivamente iguales, más

precisamente tenemos

(x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , yn) si, y sólo si x1 = y2, x3 = y3, · · · , xn = yn.

El producto cartesiano de los conjuntos A1, A2, · · · , An se define como la colección detodas la n-tuplas, más precisamente,

A1 × A2 × · · · × An = {(x1, x2, · · · , xn) : x1 ∈ A1, x2 ∈ A2, · · · , xn ∈ An}

Denotaremos con An el producto cartesiano de A por sí mismo n veces.

También podemos definir el producto cartesiano de cualquier colección indizada de con-juntos. Para hacerlo, no es conveniente trabajar con “uplas” para denotar los elementos delproducto cartesiano, en su lugar, usaremos funciones. Para motivar esa definición, considereel lector que tuvieramos tres conjuntos no vacíos A, B y C. Un elemento (x1, x2, x3) cualquie-ra del producto cartesiano A× B × C lo podemos identificar con la función f : {1, 2, 3} →A∪B ∪C dada por f(1) = x1, f(2) = x2 y f(2) = x2. Usando esa idea, damos la definiciónprecisa del producto cartesiano de una familia arbitraria de conjuntos.

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Definición 2.56. Sea (Xi)i una familia conjuntos no vacíos indizada por un conjunto novacío de índices I.

i∈I

Xi = {f : I →⋃

i∈I

Xi | f(i) ∈ Xi para todo i ∈ I}.

Esta definición general de producto cartesiano es quizá el objeto más complejo que se usaen este texto.

Ejemplo 2.57. Sea Xi = N para todo i ∈ N. Es decir, los conjuntos en la familia indizadade conjuntos son todos iguales a N y además el conjunto de índices es N. Entonces

Xi∈N

es igual a NN, es decir, la colección de todas la funciones de N en N.

Observe el lector que los elementos del producto cartesiano son funciones de un tipoespecial: La condición de que f(i) sea un elemento de conjunto Xi se interpreta diciendo quef es una función de elección para la familia (Xi)i. Unos de los axiomas básicos de la teoríade conjuntos garantiza la existencia de tales funciones de elección. Este axioma se conocecomo el axioma de elección.

Veamos con un ejemplo cómo se usa el axioma de elección. Suponga que f : A → B esuna función entre dos conjuntos no vacíos A y B. Si f es sobreyectiva, uno puede escogerpara cada y ∈ B un elemento x ∈ A tal que f(x) = y. Esto permite definir g : B → A comog(y) = x. Por la manera de “construir” g : B → A se verifica que f(g(y)) = y para todoy ∈ B, es decir, f ◦ g = 1B. A continuación presentamos este argumento de manera masrigurosa para hacer explícito el uso del axioma de elección.

Teorema 2.58. Sean A y B dos conjuntos no vacíos y f : A → B una función sobreyectiva.Entonces existe g : B → A inyectiva y además f ◦ g = 1B.

Demostración. Para cada y ∈ B, sea

Xy = {x ∈ A : f(x) = y}.

Por ser f sobreyetiva, sabemos que Xy 6= ∅ para cada y ∈ B. Por el axioma de elección, existeg ∈ ∏

y∈B Xy. Notemos que por la definición de producto cartesiano, se tiene que g(y) ∈ Xy

para todo y ∈ B, es decir, f(g(y)) = y para todo y ∈ B. Esto muestra que f ◦ g = 1B.Veamos que g es inyectiva. En efecto, sean b, c ∈ B y supongamos que g(b) = g(c).

Entonces, b = f(g(b)) = f(g(c)) = c (vea también el ejercicio 8 de la sección §1.6). ✷

Ejercicios 2.5:

1. Para cada i ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sea Ai = {n · i : 0 ≤ n ≤ 3}.

a) Determine por extensión los conjuntos A1, A2, A3, A4 y A5.

b) Determine los elementos de A3△A5 y A5 ∩ A4.

2. Para cada i ∈ {1, 2, 3, 4, 5} sea Ai = {ni : 0 ≤ n ≤ 3}.

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a) Determine por extensión los conjuntos A1, A2, A3, A4 y A5.

b) Determine los elementos de A3△A5 y A5 ∩ A4.

3. Sea P el conjunto de todos los números naturales positivos. Considere los siguientesconjuntos

Dn = {k ∈ P : k es múltiplo de n}para cada n ∈ P. Determine los siguientes conjuntos donde el conjunto universal es P.

a) D2 ∩D5 b) D2 ∩D3 ∩D5 c) D2 ∩D4

d) D4 ∩D6 e) D4△D6 f) D2△D6

g) Dc2 h) Dc

4 ∪Dc6 i) Dc

4△Dc6

4. En este ejercicio el conjunto universal es N. Para cada n ∈ P, sea

An = {n, n + 1, n+ 2, · · ·} = {k ∈ N : k ≥ n}Bn = {0, 1, 2, 3 · · · , 2n} = {k ∈ N : k ≤ 2n}.

a) Determine A4 y B4.

b) Determine An ∩ Bn y Acn para n = 1, 2, 3 y 7.

c) Determine6⋃

n=3

An,6⋃

n=3

Bn,6⋂

n=3

An,6⋂

n=3

Bn.

d) Determine

∞⋃

n=3

An,

∞⋃

n=3

Bn,

∞⋂

n=3

An,

∞⋂

n=3

Bn.

e) Determine

5⋃

n=1

Acn, y

∞⋃

n=1

(An ∪ Bn)c.

5. Para cada n ∈ Z, sea An = {n, n + 1}. El conjunto universal es Z.

a) Determine

6⋃

n=−6

A2n+1,

6⋃

n=−6

A2n,

6⋂

n=−6

Ac2n+1.

b) Muestre que Z =⋃

n∈Z

A2n

c) Determine⋃

n∈Z

A2n+1.

d) Muestre que si n−m = 1, entonces An ∩Am 6= ∅e) Muestre que si n−m > 1, entonces An ∩Am = ∅.f ) ¿Para cuáles valores de n y m se cumple que An ∩ Am 6= ∅?

6. Sea I = P({0, 1}) y defina la colección indizada {CA}A∈I de la manera siguiente

CA = {B ⊆ {0, 1, 2} : A ⊆ B}

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a) Determine C∅, C{0}, C{1} y C{0,1}.

b) Muestre que C{0} ∩ C{1} = C{0,1}.

7. Considere la familia indizada Ai = {n · i : 0 ≤ n ≤ 5} para i ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

a) Determine A0, A1, A2, A3, A4 y A5.

b) Verifique que A0 ⊆ Ai para todo i ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.c) Determine A3△A5.

8. Considere la familia indizada Ai = {ni : 0 ≤ n ≤ 5} para i ∈ N. Muestre que A4 ⊆ A2.

9. Sea A0 = {n ∈ Z : n es divisible por 5} y para cada k ∈ P sea Ak = {n+ k : n ∈ A0}.

a) Encuentre varios elementos de A0, A1, A2, A3, A4, A5 y A6.

b) Muestre que A0 = A5 y que A1 = A6.

c) Generalice sus respuestas de la parte (b).

d) Determine⋃4

k=0Ak y⋃5

k=1Ak.

10. Para cada n ∈ Z sea Bn = {n, n+ 1, n+ 2}.

a) Determine6⋃

n=−6

B3n+1.

b) Determine

6⋃

n=−6

B3n.

c) Muestre que Z =⋃

n∈Z

B3n.

d) Determine⋃

n∈Z

B3n+1.

e) Muestre que si n−m = 1 o n−m = 2, entonces Bn ∩Bm 6= ∅.f ) Muestre que si n−m > 2, entonces Bn ∩Bm = ∅.g) ¿Para cuáles valores de n y m se cumple que Bn ∩ Bm 6= ∅?h) ¿Para cuáles valores de n, m y k se cumple que Bn ∩ Bm ∩ Bk 6= ∅?

11. Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Para cada y ∈ B definimos

Dy = {y} ×B

y consideramos a {Dy}y∈B una familia indizada con B como conjunto de índices. Mues-tre que

A×B =⋃

y∈B

Dy

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12. Para cada n ∈ N, sea

An = {n} × N Bn = N× {n}.

De esta manera tenemos definidas dos familias indizadas {An}∞n=0 y {Bn}∞n=0.

a) Muestre que An ∩ Am = ∅ si, y sólo si, n 6= m.

b) Determine A5 ∩B2. En general, determine An ∩Bm.

c) Muestre que N× N =⋃∞

n=0An

d) Determine⋃∞

n=0Bn

e) Considere que N× N es el conjunto universal y determine[

∞⋃

n=2

An ∪∞⋃

n=3

Bn

]c

13. Sea Xn ⊆ N un conjunto no vacío para cada n ∈ N. Muestre, sin usar el axioma deelección, que

n∈NXn no es vacío. Qué puede decir si Xn ⊆ Z para todo n ∈ N?

14. Sea A un conjunto no vacío y Xn = A para todo n ∈ N. Muestre, sin usar el axiomade elección, que

n∈N Xn no es vacío. En general, si A y B son conjuntos AB es elconjunto de funciones de A en B, y no hace falta el axioma de elección para mostrarque AB no es vacío.

15. Sea f : R → R dada por f(x) = x(x − 1)2, muestre que f es sobreyectiva. Por elTeorema 2.58 sabemos que existe g : R → R tal que (g ◦ f)(x) = x para todo x ∈ R.Defina lo más explícitamente que pueda una función g con esa propiedad. Sugerencia:Haga la gráfica de f y defina g por partes.

16. Sea f : A → B una función. Sean Ei ⊆ B para cada i ∈ N. Muestre que f−1[⋃

iEi] =⋃

i f−1[Ei].

2.6. El Teorema de Schröder-Bernstein

Para los conjuntos finitos tenemos la noción de número de elementos la cual nos permitióintroducir las notaciones

|A| = n y |A| ≤ |B|.En esta sección extenderemos esta notación a los conjuntos infinitos y estudiaremos suspropiedades.

Definición 2.59. Sean A y B dos conjuntos. Escribiremos

|A| ≤ |B|

si existe una función f : B → A sobreyectiva.

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El objetivo de lo que resta de este capítulo es desarrollar métodos para determinar cuándose cumple |A| ≤ |B|. En particular, queremos responder cuáles de las siguientes afirmacionesson ciertas

|N| ≤ |Q|, |Q| ≤ |N|, |Q| ≤ |R|, |R| ≤ |Q|

Comenzaremos mostrando que la relación ≤ que acabamos de introducir es reflexiva ytransitiva.

Teorema 2.60. Sean A, B y C conjuntos. Entonces se tiene que(i) |A| ≤ |A|.(ii) Si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |C|, entonces |A| ≤ |C|.

Demostración: (i) Pues A ≈ A.(ii) Sean f : B → A y g : C → B funciones sobreyectiva. Entonces f ◦ g : C → A es

sobreyectiva (por ser la composición de sobreyectivas, ver el Teorema 1.53) y por lo tanto|A| ≤ |C|.

El siguiente resultado se usará con frecuencia y le recomendamos al lector que le prestebastante atención.

Teorema 2.61. Sean A, B y C conjuntos. Entonces se tiene que(i) Si A ≈ C y |A| ≤ |B|, entonces |C| ≤ |B|.(ii) Si B ≈ C y |A| ≤ |B|, entonces |A| ≤ |C|.

Demostración: Haremos sólo la prueba de (i) y dejamos la de (ii) al lector, pues es comple-tamente análoga. Para (i) basta observar que si A ≈ C, entonces |C| ≤ |A| (verifíquelo). Siademás |A| ≤ |B|, entonces por el Teorema 2.60 se concluye que |C| ≤ |B|.

Ahora daremos una forma equivalente de verificar que se cumple |A| ≤ |B|. Esto se usarácon frecuencia en lo que resta del capítulo y el lector le debe prestar atención.

Teorema 2.62. Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Las siguientes afirmaciones son equi-valentes

(i) Existe una función inyectiva f : A → B.(ii) Existe una función sobreyectiva g : B → A.

Demostración: (i) ⇒ (ii) Sea f : A → B una función inyectiva. Si f es sobreyectiva, entoncestomamos g = f−1. Si f no es sobreyectiva, escogemos a0 cualquier elemento de A. Como fes inyectiva, dado b ∈ rango(f) existe un único a ∈ A tal que f(a) = b, con esto en mentedefinimos g : B → A de la siguiente manera

g(b) =

{

a , si b ∈ rango(f) y f(a) = ba0 , si b 6∈ rango(f).

Mostraremos que g es sobreyectiva. En efecto, sea a ∈ A y pongamos b = f(a), entonces setiene que g(b) = a.

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(ii) ⇒ (i). Por ser g sobreyectiva, existe f : A → B tal que g ◦ f = 1A y ademas f esinyectiva (vea el Teorema 2.58). ✷

Como ya dijimos en la demostración del Teorema 2.58, la prueba de que (ii) ⇒ (i) haceuso del axioma de elección.

En vista del Teorema 2.62 podemos afirmar que |A| ≤ |B| es equivalente aque existe una función inyectiva f : A → B.

Ejemplos 2.63. 1. Si A ⊆ B, entonces |A| ≤ |B|. En efecto, considere la función f :A → B, dada por f(x) = x. Entonces f es inyectiva. En consecuencia tenemos que:|N| ≤ |Z|, |Z| ≤ |Q|, |Q| ≤ |R|.

2. Ya vimos que el conjunto P de los números naturales pares y el conjunto I de losimpares son equipotentes. En particular esto dice que |P | ≤ |I| y también que |I| ≤ |P |.

El siguiente teorema nos da una herramienta muy importante para determinar cuandodos conjuntos son equipotentes.

Teorema 2.64. (Schröder-Bernstein) Si |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|, entonces A ≈ B. ✷

La demostración la haremos al finalizar esta sección.Hasta ahora solo hemos trabajado con la relaciones |A| ≤ |B|. Ahora definimos |A| < |B|

y |A| = |B| de la manera que uno esperaría.

Definición 2.65. Sean A y B conjuntos. Si A ≈ B, entonces escribiremos

|A| = |B|.

Y por otra parte, si |A| ≤ |B| pero |A| 6= |B|, entonces escribiremos

|A| < |B|.

El siguiente resultado es una consecuencia inmediata de los Teoremas 2.62 y 2.64 y quedaa cargo del lector.

Teorema 2.66. Sean A y B conjuntos. Se tiene que

(i) |A| = |B| si, y sólo si, |A| ≤ |B| y |B| ≤ |A|.

(ii) |A| < |B| si, y sólo si, existe una inyección de A en B y no existe una inyección de Ben A.

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(iii) |A| < |B| si, y sólo si, existe una función sobreyectiva de B en A y no existe unafunción sobreyectiva de A en B.

Hemos dejado hasta este momento para precisar el significado del símbolo: |A| = |B|.La razón es que hacía falta el teorema de Schröder-Bernstein para poder justificar que lasrelaciones |A| ≤ |B| y |A| = |B| que hemos definido entre conjuntos tienen las propiedadesque uno espera, es decir, que se comporta de manera similar a lo que ocurre con los conjuntosfinitos.

Teorema 2.67. Sean A, B y C conjuntos cualesquiera. Si |A| < |B| y |B| ≤ |C|, entonces|A| < |C|.

Demostración. Como |A| < |B|, entonces |A| ≤ |B| y ya que ≤ es transitiva, concluimosque |A| ≤ |C| (vea Teorema 2.60). Supongamos, por reducción al absurdo, que | A |=| C |.Entonces |B| ≤ |A| (vea el Teorema 2.61), y en consecuencia |A| = |B| (por el teorema deSchröder-Bernstein). Esto contradice que |A| < |B|. ✷

Ejemplo 2.68. Usaremos el Teorema 2.64 para mostrar que

R ≈ [0, 1].

Ya que [0, 1] ⊆ R, entonces por lo visto en el ejemplo 2.63, |[0, 1]| ≤ |R|. Resta mostrar que|R| ≤ |[0, 1]|. Recordemos que R ≈ (0,+∞) (ver ejemplo 2.35). Por otra parte tenemos que(0,+∞) ≈ (0, 1). En efecto, la función f : (0, 1) → (0,+∞) dada por

f(x) =1

x− 1

es una biyección como lo puede verificar el lector interesado.

Por lo tanto tenemos que

R ≈ (0,+∞) y (0,+∞) ≈ (0, 1).

Luego, por la transitividad de ≈, concluimos que R ≈ (0, 1). En consecuencia |R| = |(0, 1)|.Como |(0, 1)| ≤ |[0, 1]| (¿por qué?), entonces obtenemos que |R| ≤ |[0, 1]|. Hemos verificadoasí que |[0, 1]| ≤ |R| y |R| ≤ |[0, 1]|, las hipótesis del Teorema 2.64, y por lo tanto concluimosque R ≈ [0, 1].

Para que el lector tome conciencia de lo útil que es el Teorema 2.64, lo invitamos aconseguir explícitamente una biyección de R en [0, 1] (vea los ejercicios de la sección 2.2).

Para finalizar esta sección, enunciaremos la ley de tricotomía para la cardinalidad. Nopresentaremos su demostración pues requiere de un principio de la teoría de conjuntos queno trataremos en este curso.

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Teorema 2.69. Sean A y B dos conjuntos. Entonces se cumple una, y sólo una, de lassiguientes afirmaciones:

(i) |A| < |B|.(ii) |A| = |B|.(iii) |B| < |A|. ✷

2.6.1. Demostración del Teorema de Schröder-Bernstein

Sean f : A → B y g : B → A funciones inyectivas. Para definir la biyección h : A →B necesitamos hacer una construcción auxiliar. Definiremos, para cada número natural n,subconjuntos An ⊆ A y Bn ⊆ B de la siguiente manera:

A0 = A \ g[B]B0 = f [A0]

A1 = g[B0]B1 = f [A1]

...An+1 = g[Bn]Bn+1 = f [An+1]

...

A0 A1 A2

B0 B1 B2

· · · · · ·f

g

Sea

M = A0 ∪A1 ∪ A2 ∪ · · ·

y

N = B0 ∪ B1 ∪ B2 ∪ · · ·

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La verificación de las siguientes afirmaciones las dejaremos a cargo del lector.

f [M ] = Ng[N ] = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An ∪ · · ·

g−1(A \M) = B \N.

Notemos que si x ∈ A \ M , entonces x 6∈ A0, es decir x ∈ g[B] y por lo tanto g−1(x) estádefinido. Podemos entonces definir h : A → B como se indica a continuación:

h(x) =

{

f(x) , si x ∈ M .g−1(x) , si x ∈ A \M.

Veamos que h es biyectiva:

(i) h es inyectiva. En efecto, observe que h[M ] = f [M ] = N y h[A \M ] = g−1(A \M) =B \N . En particular h[M ] ∩ h[A \M ] = ∅. Como f y g son inyectivas, de lo anteriorse concluye que h es inyectiva (el lector interesado verificará esta afirmación).

(ii) h es sobreyectiva. En efecto, ya vimos que h[M ] = N y h[A \ M ] = B \ N y por lotanto h[A] = B.

Ejercicios 2.64

1. Muestre que |Z| ≤ |Q|.

2. Muestre que |N× {0, 1}| ≤ |Z× {0, 1, 2}|.

3. Muestre que |N× {1, 2}| ≤ |Z× {3, 4}|.

4. Muestre que |N| ≤ |N× N|.

5. Muestre que (−1, 1) ≈ [−1, 1].

(Sugerencia: Muestre que |(−1, 1)| ≤ |[−1, 1]| y que [−1, 1] ≈ [−12, 12]).

6. Muestre que (1, 2) ∪ (4, 5) ≈ (3, 4).

(Sugerencia: Use la función definida en el ejercicio 3 de §2.2).

7. Sean A = {x ∈ R : 1 ≤ x < 2}, B = {x ∈ N : x ≥ 3}, C = {x ∈ R : 0 < x < 1} yD = {x ∈ Q : x > 4}. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a) A ∪B ≈ C ∪D.

b) A×B ≈ C ×D.

c) A ≈ C ∪D.

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d) A ∪B ≈ C.

8. Sea P la colección de todos los números naturales pares. Muestre que |P | ≤ |N× N|.

9. Sean A y B conjuntos no vacíos. Muestre que |A| ≤ |A× B|.

10. Muestre que |N| ≤ |P(N)|.

11. Sea A un conjunto. Muestre que |A| ≤ |P(A)|.

12. Muestre que |N× {1, 2}| = |N|.

13. Muestre que |N× {1, 2, 3}| = |N|.

14. Muestre que |N| ≤ |NN|.

15. |N× N| ≤ |NN|.

16. Muestre que |P(N)| ≤ |P(NN)|.

17. Muestre que R ≈ R× N. (Sugerencia: Recuerde que R ≈ (n, n + 1) para todo n ∈ N.Esto sirve para demostrar que |R× N| ≤ |R|.)

18. Haga la demostración del Teorema 2.66.

19. Complete la demostración del Teorema 2.64 comprobando las siguientes afirmaciones:

f [M ] = Ng[N ] = A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An ∪ · · ·

g−1(A \M) = B \N.

20. Demuestre que la relación |A| < |B| (donde A y B son conjuntos) es transitiva.

2.7. Conjuntos numerables

En esta sección estudiaremos un tipo particular de conjunto infinito que juega un papelimportante dentro de las matemáticas.

Definición 2.70. Diremos que un conjunto A es numerable si A ≈ N.

Observe que podemos expresar de manera equivalente que A sea numerable escribiendo|A| = |N|.

Teorema 2.71. Todo subconjunto de N es finito ó numerable.

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Demostración: Sea A ⊆ N. Si A es finito, no hay nada que mostrar. Si A es infinito, entoncessabemos que |N| ≤ |A| (por el Teorema 2.43). Como A ⊆ N, entonces |A| ≤ |N|. Luego porel teorema de Schöeder-Bernstein 2.64 tenemos que N ≈ A.

Hemos visto que Z es numerable y el Teorema 2.40 nos dice que N × N es numerable.Ahora mostraremos que Q es numerable.

Teorema 2.72. Q es numerable.

Demostración: Por el Teorema 2.64, es suficiente mostrar que |N| ≤ |Q| y que |Q| ≤ |N|.(i) Considere la función f : N → Q dada por f(n) = n. claramente f es inyectiva, por lo

tanto por el Teorema 2.62, concluimos que |N| ≤ |Q|.(ii) Considere la función g : Z× Z → Q dada por f(p, q) = p/q, si q 6= 0 y f(p, q) = 0 si

q = 0. Le dejamos al lector convencerse que de la misma definición de Q se concluye que fes sobreyectiva. Por lo tanto, |Q| ≤ |Z × Z|. Finalmente, ya hemos mostrado que Z × Z esnumerable (ver ejemplo 2.49) y por lo tanto |Q| ≤ |N|.

El resultado que sigue es de uso frecuente en diferentes areas de las matemáticas.

Teorema 2.73. Sea {An : n ∈ N} una colección de conjuntos numerables. Entonces⋃

n An

es numerable.

Demostración: Denotemos por A la unión de todos los conjuntos An, es decir

A =⋃

n∈N

An.

Ya que A0 ⊆ A, entonces |A0| ≤ |A|. Como A0 es numerable, entonces |N| ≤ |A|. Mostra-remos que |A| ≤ |N|. Después de mostrarlo podemos usar el teorema de Schröder-Bernstein2.64 para concluir que A es equipotente con N y por lo tanto numerable.

Como cada An es numerable existe una biyección fn : N → An. Definiremos una sobre-yección g : N × N → A. Esto mostrará que |A| ≤ |N × N|. Como |N × N| = |N|, entonces|A| ≤ |N|. La definición de g es como sigue:

g(n,m) = fn(m).

Veamos que g es sobreyectiva. Sea a ∈ A, entonces existe n tal que a ∈ An. Como fn essobreyectiva, entonces existe m ∈ N tal que fn(m) = a. Esto muestra que g(n,m) = a.

Podemos usar el resultado anterior para dar otra demostración de que Q es numerable.En efecto, definimos para cada n ∈ N con n > 0 un conjunto An de la manera siguiente:

An ={m

n: m ∈ Z

}

.

Notemos que

Q =⋃

n∈N\{0}

An.

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Afirmamos que An es numerable para cada n ∈ N. En efecto, la función fn : Z → An definidapor fn(m) = m

nes biyectiva. Por el Teorema 2.73, se concluye que

nAn es numerable yesto muestra que Q es numerable.

Ejemplo 2.74. Sea X la colección de todos los subconjuntos de N con exactamente doselementos. Es decir

X = {A ⊆ N : |A| = 2}.Mostraremos que X es numerable, es decir, que |X| = |N|. Usaremos el Teorema de Schröder-Bernstein 2.64. Para esto debemos mostrar dos cosas: |N| ≤ |X| y |X| ≤ |N|.

(1) |N| ≤ |X|: Considere la siguiente función f : N → X dada por

f(n) = {0, n+ 1}.

Entonces f es inyectiva (muéstrelo!). Por consiguiente |N| ≤ |X|.

(2) |X| ≤ |N|: Como N ≈ N × N, entonces es suficiente mostrar que |X| ≤ |N × N|.Considere la función g : N× N → X dada por

g(n,m) =

{

{n,m} , si n 6= m{n, n+ 1} , si n = m.

Verifique que g es sobreyectiva. Por lo tanto |X| ≤ |N× N|.

Ejercicios 2.7

1. Muestre que los siguientes conjuntos son numerables:

a) La colección de todos los números primos.

b) La colección de todos los enteros múltiplos de 8.

c) N3, Q2, Q3.

2. Determine cuáles de los siguientes conjuntos son numerables.

a) {q ∈ Q : Existe un entero m tal que 5m+ 1 < q < 5m+ 2}.b) {(n,m) ∈ N× N : n es par y m es impar}.c) {q ∈ Q : q2 < 2}.d) {q ∈ Q : q4 + 5q3 − q2 + 7q − 12 = 0}.e) {n ∈ N : n divide a 1.567.344.987.678.333}.f ) {(n, q) ∈ N×Q : n es múltiplo de 5 y q ≥ 0}.g) {(n,m) ∈ N× N : n divide a m}.

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3. Muestre que la colección de todos los subconjuntos de N con exactamente 3 elementoses numerable.

(Sugerencia: Imite lo hecho en el ejemplo 2.74).

4. Muestre las siguientes afirmaciones.

a) Todo subconjunto de un conjunto numerable es finito ó numerable.

b) Todo conjunto infinito tiene un subconjunto numerable.

c) Si |N| ≤ |A|, entonces A es infinito.

d) A es finito ó numerable si, y sólo si, |A| ≤ |N|.

5. Si A es infinito y A ⊆ B, entonces B es infinito.

6. Sea B un conjunto infinito, y A ⊆ B finito. Muestre que

a) B −A es infinito.

b) B −A ≈ B, esto no es tan fácil de ver. Los reto a que lo prueben!

7. Sean A y B conjuntos tales que A ⊆ B. Muestre que si A no es numerable, entoncesB no es numerable.

8. Sea A un conjunto. Muestre que A× N es numerable si, y sólo si, |A| ≤ |N|.

9. Muestre que si A y B son numerables, entonces A× B es numerable.

(Sugerencia: Use el Teorema 2.40).

10. Sea A un conjunto finito y f : A → A una función. Muestre que

a) Si f es inyectiva, entonces es f biyectiva.

b) Si f es sobreyectiva, entonces f es biyectiva.

c) Halle una función f : N → N que sea inyectiva pero no sea sobreyectiva. ¿Quétiene esto que ver con lo mostrado en (a)?

d) Halle una función f : N → N que sea sobreyectiva pero no sea inyectiva. ¿Quétiene esto que ver con lo mostrado en (b)?

11. Considere la regla(a, b) 7→ 2a(2b+ 1)− 1.

En la demostración del Teorema 2.40 vimos que si esa regla define una biyección deN×N en N. Pero claramente esa regla tambien tiene sentido si a, b son números realescualesquiera. Determine si esa regla define una inyección entre

a) Z× Z y Q.

b) Q×Q y R.

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12. Suponga que |An| ≤ |N| para cada n ∈ N. Muestre que

|⋃

n∈N

An| ≤ |N|.

13. Sean A y B conjuntos numerables. Muestre que A ∪ B es numerable.

14. Muestre que la colección X de todos los subconjuntos finitos de N es numerable.

(Sugerencia: Muestre primero que para cada n ∈ N la colección de todos los subcon-juntos de N con exactamente n elementos es numerable. Después observe que X es unaunión numerable de conjuntos numerables).

15. Considere la siguiente relación binaria en el conjunto A de todas las funciones de N enN. Sean f, g funciones de N en N.

f ∼ g , si {n ∈ N : f(n) 6= g(n)} es finito.

Muestre que ∼ es una relación de equivalencia. Halle todas las funciones que son equi-valentes con la función constante igual a cero. Muestre que cada clase de equivalenciaes un conjunto numerable.

16. Considere la siguiente relación sobre P(N): A ∼ B si A△B es finito. Muestre que esuna relación de equivalencia. Determine la clase de equivalencia de ∅ y de N.

2.8. Aplicaciones del Teorema de Schröder-Bernstein

En matemáticas se usan con frecuencia conjuntos que tienen la misma cardinalidad queP(N). En esta sección veremos algunos ejemplos. Trataremos varios conjuntos que tiene laforma AN, o sea, funciones de N en A.

El siguiente resultado es intuitivamente claro y lo usaremos con frecuencia.

Lema 2.75. Si A ⊆ B, entonces |AN| ≤ |BN|.Demostración: Definiremos una función f : AN → BN inyectiva. Sea α ∈ AN, es decir,α : N → A es una función. Entonces f(α) simplemente cambia el contradominio de α por By deja la misma regla. ✷

Ejemplo 2.76. Mostraremos que

{0, 1}N ≈ P(N).

Considere la función F : P(N) → {0, 1}N dada por

F (A) = fA.

Donde fA es la función característica de A (ver la definición 1.26). Dejamos como ejercicioal lector verificar que F es una biyección.

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Ejemplo 2.77. Mostraremos queP(N) ≈ NN.

Por el lema 2.75, sabemos que|{0, 1}| ≤ |NN|.

Por otra parte, por lo visto en el ejemplo 2.76, |{0, 1}N| = |P(N)|. Entonces tenemos que

|P(N)| ≤ |NN|.

Bastaría entonces ver que |NN| ≤ |P(N)|. Pues por el teorema de Schröder-Bernstein podemosconcluir que esos dos conjuntos son equipotentes.

Recordemos que N× N ≈ N y por consiguiente por el Teorema 2.52 tenemos que

P(N) ≈ P(N× N).

Ahora bien, cada función f ∈ NN es una relación binaria sobre N. Es decir, cada funciónf ∈ NN es un subconjunto de N× N. En otras palabras, tenemos que

NN = {f ⊆ N× N : f es una función} ⊆ P(N× N).

Y por lo tanto|NN| ≤ |P(N× N)|

y en consecuencia|NN| ≤ |P(N)|.

Ejemplo 2.78. Mostraremos que

{0, 1}N ≈ {0, 1, 2}N.

Es suficiente mostrar que

|{0, 1}N| ≤ |{0, 1, 2}N| y |{0, 1, 2}N| ≤ |{0, 1}N|.

La primera desigualdad se deduce del lema 2.75. Por otra parte, de igual manera se tieneque

|{0, 1, 2}N| ≤ |NN|.De 2.76 y 2.77 sabemos que

NN ≈ {0, 1}N.Por lo tanto

|{0, 1, 2}N| ≤ |{0, 1}N|y con esto termina la demostración.

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Ejercicios 2.8

1. Muestre que {0, 1}N ≈ {4, 5, 6, 7, 8}N.

2. Muestre que {0, 1}N ≈ ZN.

3. Muestre que |P(Q)| = |NN|.

4. Muestre que R \ Z ≈ R.

(Sugerencia: Halle una función inyectiva f : R → R \ Z).

5. Muestre que la función F definida en el ejemplo 2.76 es biyectiva.

(Sugerencia: Para ver que F es inyectiva, tome A,B ∈ P(N) distintos. Entonces haydos casos que se tratan de manera similar. Suponga que existe x ∈ A \ B (¿Cuál esel otro caso?). Entonces fA(x) = 1 y fB(x) = 0, por esto fA 6= fB. Para ver que F essobreyectiva, sea g : N → {0, 1} arbitraria. Tome A = {x ∈ N : g(x) = 1}. Muestreque g = F (A). )

6. Sea S el conjunto de todas las biyecciones de N en N. Muestre que S ≈ {0, 1}N.

7. Sea A un conjunto infinito tal que A ∩ N = ∅. Muestre que A ∪ N ≈ A. ¿ Qué puededecir si A y N no son disjuntos?

Sugerencia: Sea f : N → A inyectiva. Defina g : A ∪ N → A, por partes: f(x) = x six 6∈ f [N], g(f(n)) = f(2n) y g(n) = f(2n+ 1). Muestre que g es inyectiva.

8. Muestre que existen conjuntos A y B tales que P(N) = A ∪ B, A ∩ B = ∅ y |A| =|B| = |P(N)|.Sugerencia: Recuerde que N tiene esa propiedad, es decir, N = P ∪I con P e I disjuntosy los dos numerables. Use P e I para conseguir A y B.

9. Sea A y B conjuntos no vacíos. Justifique si las siguientes afirmaciones son verdaderaso falsas.

a) |A ∩ P(R)| ≤ |R|b) |B ∪ P(R)| ≤ |A×B × R|.c) |P(A×B)| ≤ |AB|

2.9. ¿Cuál es el tamaño de R?

G. Cantor fué el primer matemático en darse cuenta y demostrar que existen conjuntosque no son numerables. Comenzaremos mostrando que R no es numerable con argumentoque se basa en la representación decimal de los números reales, sobre la que supondremosel lector tiene alguna familiaridad. Más adelante en el capítulo 3 veremos otra demostracióndiferente (ver Teorema 3.49).

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Teorema 2.79. R no es numerable.

Demostración: Cada número real lo identificaremos con una expresión de la forma que seindica a continuación, llamada su expansión decimal:

b, a0a1 · · ·an · · ·donde b es un entero y cada ai es un natural. Fijemos una función f : N → R cualquiera.Construiremos un real que no pertenece al rango de f . Por lo tanto f no es sobreyectivay de aquí se concluye que R no es numerable. Cada real f(m) en el rango de f tiene unaexpansión decimal b, a0a1 · · · . Para distinguir una expansión de otra usaremos supraindices(en este caso no confundirlos con la notación de las potencias). Así obtemos la siguiente tablade expansiones decimales de los reales que están en el rango de f .

f(0) = b0, a00 a01 a

02 · · · a0n · · ·

f(1) = b1, a10 a11 a

12 · · · a1n · · ·

...f(m) = bm, am0 am1 am2 · · · amn · · ·

...

Ahora describiremos la expansión decimal de un real que no está en el rango de f . Considerelos siguientes números

cn =

0 , si ann 6= 0

1 , si ann = 0.

Finalmente, sea r el real cuya expansión decimal es igual a

0, c0 c1 c2 · · · cn · · ·De la definición de la sucesión cn se tiene que cn 6= ann para todo n. Esto garantiza quer 6= f(n) para todo n. Es decir, r no pertenece al rango de f . ✷

El argumento que presentamos para mostrar que R no es numerable es quizá el primerejemplo de lo que ahora se conoce como el método de diagonalización de Cantor. El lectorpodrá observar que la sucesión de dígitos cn se obtiene modificando “la diagonal” de la tablade expasiones decimales de los elementos del rango de f .

Pero entonces, ¿cuál es el tamaño de R? Daremos algunas indicaciones para mostrar lasiguiente afirmación

|R| = |P(N)|. (2.4)

Es decir, que hay tantos números reales como subconjuntos de N. Para demostrar estaigualdad bastará mostrar (gracias al teorema de Schröder-Bernstein) que

|R| ≤ |P(N)| y |P(N)| ≤ |R|.

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La primera desigualdad no es difícil de probar. Para la segunda usaremos de nuevo la repre-sentación de lo números reales con expasiones decimales.

Ya vimos en el ejemplo 2.77 que

P(N) ≈ NN

es decir, hay tantos subconjuntos de N como funciones de N en N. Entonces (2.4) dice quehay tantos números reales como funciones de N en N. Esto es hasta cierto punto bastanteintuitivo, pues cada número real se puede expresar en forma decimal, es decir, como un enteroseguido de un sucesión (posiblemente) infinita de números naturales. Esta representaciónsugiere que existe una relación natural entre números reales y funciones de N en N.

Mostraremos a continuación que el tamaño de R no sobrepasa el tamaño de P(N).

Teorema 2.80. |R| = |P(N)|.Demostración: Hemos visto que |N| = |Q| y también sabemos que |P(Q)| = |P(N)| (ver elejercicio 8 de §2.2). Así que basta mostrar que |R| ≤ |P(Q)|. Definimos f : R → P(Q) de lamanera siguiente:

f(r) = {q ∈ Q : q < r}.Mostraremos que f es inyectiva. En efecto, sean r, r′ ∈ R dos reales cualesquiera con r 6= r′.Podemos suponer que r < r′ (el otro caso se analiza de manera análoga). Por la densidadde Q en R existe un racional q tal que r < q < r′. Por lo tanto q ∈ f(r′) pero q 6∈ f(r). Enconsecuencia f(r) 6= f(r′).

La otra desigualdad, |P(N)| ≤ |R|, es un poco más difícil de mostrar. Tenemos que asociara cada subconjunto de N un número real. Para lograr ésto usaremos la representación decimalde los número reales. Tomemos un número real r tal que 0 ≤ r ≤ 1. La representacióndecimal de r es una sucesión an de enteros no negativos que usualmente se escribe de lamanera siguiente

0, a0, a1a2 · · · , an, · · ·A cada subconjunto A ⊆ N le asociamos la siguiente sucesión

an =

{

1 , si n ∈ A0 , si n 6∈ A.

Definimos f : P(N) → R de la siguiente manera

f(A) = el número real cuya expansión decimal viene dada porla sucesión a0, a1, a2, · · · , an · · · , definida arriba.

Mostraremos que f es inyectiva. Sean A,B dos subconjuntos de N diferentes. Ya que A△B 6=∅, denotaremos con m al primer natural que pertenece a A△B. Observe que para todo i < mse tiene que

i ∈ A ⇔ i ∈ B. (2.5)

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Tenemos que considerar dos casos: m ∈ A − B ó m ∈ B − A. Los dos casos son análogosy analizaremos sólo uno de ellos. Supongamos entonces que m ∈ A− B. Para simplificar lanotación llamaremos r al número real f(A) y s a f(B). Mostraremos que r 6= s. Sea an ybn los dígitos correspondientes a la representación decimal de f(A) y f(B) respectivamente.Entonces para todo i < m se cumple que

ai = 0 ⇔ bi = 0. (2.6)

Definimos un racional q de la siguiente manera

q = 0, a0a1a2 · · · , am.

Observe que am = 1 y bm = 0. Por (2.6) sabemos que

s < q ≤ r

por lo tanto r 6= s. ✷

El siguiente resultado que demostraremos es sorprendente. Si el lector no le parece creible,no se preocupe, cuando lo demostró Cantor en 1877 le escribió a su colega Dedekin: “Lo veoy no lo creo”.

Teorema 2.81. R ≈ R2.

Demostración: Ya vimos que R ≈ NN, por esto R × R ≈ NN × NN. En consecuencia, essuficiente mostrar que NN × NN ≈ NN. Afirmamos que:

(i) NN × NN ≈ (N× N)N.

(ii) NN ≈ (N× N)N.

Claramente, de (i) y (ii) se concluye que NN×NN ≈ NN. Ya vimos que (ii) es válida, puesN× N ≈ N (vea el Teorema 2.54).

Para demostrar (i), considere la función ϕ : NN×NN → (N×N)N definida como se indica:

ϕ(f, g)(n) = (f(n), g(n)) (2.7)

El lector debe convencerse de que ϕ está bien definida, es decir, debe entender que la fórmuladada por (2.7) describe correctamente una regla de correspondencia.

Veamos que ϕ es inyectiva. Sean (f, g), (f ′, g′) ∈ NN × NN con (f, g) 6= (f ′, g′). Hay doscasos a considerar, o bien f 6= f ′, o bien g 6= g′. Ambos se tratan de manera análoga ysólo haremos uno. Supongamos que f 6= f ′, debemos mostrar que ϕ(f, g) 6= ϕ(f ′, g′). Porhipótesis, existe n0 ∈ N tal que f(n0) 6= f ′(n0). Afirmamos que ϕ(f, g)(n0) 6= ϕ(f ′, g′)(n0).En efecto, ϕ(f, g)(n0) = (f(n0), g(n0)) 6= (f ′(n0), g

′(n0)) = ϕ(f ′, g′)(n0).Dejamos como un ejercicio al lector el verificar que ϕ es sobreyectiva. ✷

Dijimos que R ≈ R2 es un resultado sorprendente, pues parecería contradecir el hecho queR2 tiene dos dimensiones y R sólo una. Pero no es así, no hay nada logicamente incorrecto

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con esa afirmación, pues sólo hemos demostrado que existe una biyección entre R y R2, peroeso no permite sacar conclusiones de naturaleza geométrica acerca de ellos.

Hasta ahora hemos mostrado ejemplos de subconjuntos de R de tres tamaños: finitos,numerables y aquellos de igual tamaño que R. Una pregunta que ha cautivado la atenciónde muchos matemáticos es si existe algún subconjunto A ⊆ R tal que

|N| < |A| < |R|.

Esta pregunta de apariencia tan sencilla fué estudiada por Cantor, quien pensaba que larespuesta era negativa, es decir, que no existe un conjunto A con esa característica (estaalternativa se conoce como la Hipótesis del Continuo). En la actualidad se sabe mucho másacerca de esa pregunta que en la época de Cantor, sin embargo, todavía es objeto de profundosy complejos trabajos de investigación.

Ejercicios 2.9.

1. Use el mismo argumento de la demostración del Teorema 2.79 para probar que (1/103, 1/102)no es numerable.

2. Muestre que el conjunto de lor números reales en el itervalo (0, 1) que solamente tienenceros y unos en su representación decimal es un conjunto no numerable.

3. Complete la demostración del Teorema 2.81 mostrando que la función ϕ es sobreyectiva.

4. Muestre las siguientes afirmaciones:

a) R ≈ {0, 1}N.

b) R ≈ Rn para todo n ≥ 3.

c) ({0, 1}N)N ≈ {0, 1}N.

d) QQ × ZN ≈ NN.

e) R ≈ RN.

2.10. El Teorema de Cantor

Ahora mostraremos que P(A) tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la de A. Enparticular, eso nos dice que P(N) no es numerable. Y si repetimos el argumento, obtenemosque P(P(N)) es de una cardinalidad estrictamente mayor que la de P(N), vemos así queexisten conjuntos infinitos muy grandes. Este resultado tuvo una enorme repercusión sobrela concepción del infinito en matemáticas.

Teorema 2.82. (Cantor) Sea A un conjunto, entonces |A| < |P(A)|.

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Demostración: Primero observemos que |A| ≤ |P(A)|. En efecto, considere la función f :A → P(A) dada por

f(a) = {a}para a ∈ A. Es obvio que f es inyectiva.

Para ver que |A| 6= |P(A)|, mostraremos que ninguna función g : A → P(A) puede sersobreyectiva. Sea entonces g : A → P(A). Definimos

B = {a ∈ A : a 6∈ g(a)}.

Veremos que B no está en el rango de g. Supongamos que estuviera, y sea a ∈ A tal queg(a) = B. Entonces tenemos que

a ∈ B ⇔ a ∈ g(a) ⇔ a 6∈ B.

Y esto es absurdo. Por lo tanto la suposición de que B estaba en el rango de g es imposible.En consecuencia, g no es sobreyectiva. ✷

Del teorema de Cantor inmediatamente obtenemos que P(N) no es numerable, resultadoque ya habíamos probado de una manera un poco diferente, pues vimos que R ≈ P(N) ytambién que R no es numerable.

Observemos que del teorema de Cantor se obtiene lo siguiente

|N| < |P(N)| < |P(P(N))| < |P(P(P(N)))|.

Esto muestra que estos conjuntos son de un tamaño infinito cada vez mayor.

Ejemplo 2.83. Considere la colección X de todos los subconjuntos de N que no contienennúmeros pares. Es decir, si P denota la colección de números pares e I la de los imparestenemos que

X = {A ⊆ N : A ∩ P = ∅}.De manera equivalente tenemos que

X = {A ⊆ N : A ⊆ I} = P(I).

Mostraremos que X no es numerable. Para esto es suficiente mostrar que |X| = |P(N)| yusar el teorema de Cantor. En efecto, recordemos que I ≈ N, por lo tanto P(I) ≈ P(N) (verel ejercicio 8 de §2.2). En consecuencia |X| = |P(N)|.

2.10.1. La paradoja de Russell

¿Habrán conjuntos que son miembros de sí mismos? Un ejemplo es el conjunto que constade ”ideas abstractas". Dicho conjunto es miembro de sí mismo porque el propio conjunto esuna idea abstracta. Otro ejemplo sería una bolsa con bolsas dentro. Por otro lado, un conjuntoque consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro.

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Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que noforman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntosque no están incluidos en sí mismos, como el de ”libros” en el ejemplo anterior) forma partede sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipode conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Esdecir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo. 3

El razonamiento anterior se conoce como la paradoja de Russel. Veamos una forma masprecisa de enunciarla: Considere la colección de TODOS los conjuntos, denotémosla con laletra U. Podemos entonces definir una subconjunto de U de la siguiente manera:

R = {X ∈ U : X 6∈ X}.

El problema se presenta cuando tratamos de responder la pregunta más básica posible: R ∈ Ro R 6∈ R. Veamos

R ∈ R ⇐⇒ R 6∈ R

Esto indica que la proposición R ∈ R no puede ser ni verdadera ni falsa, lo cual no eslógicamente aceptable. El problema surgió al suponer que la colección U es un conjunto,pues si lo fuera, entonces R también sería un conjunto y nos conseguimos con la paradojadescrita.

Los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos en particular implican que U no es unconjunto y así la paradoja no se presenta.

Ejercicios 2.10

1. Ordene de manera creciente (no necesariamente estricta) los siguientes conjuntos deacuerdo a su cardinalidad.

a) N.

b) Z.

c) P(N).

d) {n ∈ N : n divide a 1.567.344.987.678.333}.e) {q ∈ Q : Existe un entero m tal que 5m+ 1 < q < 5m+ 2}.f ) Q× Z.

g) R

h) R× {0, 1}i) Q5.

j ) QQ.

k) P(P(N)).

3Tomado de Wikipedia

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l) {A ⊆ N : A no contiene números impares}.m) {A ∈ P(P(N)) : {2} 6∈ A}.n) P(P(Z)).

ñ) P(P(P(N))).

2. ¿Existirá un conjunto X tal que P(X) es numerable?

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Capítulo 3

Órdenes

Ya vimos que N, Z y Q son equipotentes, es decir, tienen la misma cardinalidad. Sinembargo, tienen otras propiedades que los hacen diferentes entre sí. Una de ellas es el orden.En este capítulo estudiaremos el concepto de conjunto ordenado. Nos enfocaremos en laspropiedades de los órdenes de N, Z, Q y R. También veremos el concepto de conjunto bienordenado.

3.1. Definición y ejemplos

Recordemos que una relación binaria sobre un conjunto es un orden si es reflexiva, anti-simétrica y transitiva. Por analogía con los símbolos que denotan el orden entre los números,usaremos � para denotar una relación de orden arbitraria. Un conjunto X que tenga unorden � definido sobre él se llama un conjunto ordenado y se denotará (X,�). Cuando es-temos trabajando con dos conjuntos ordenados X e Y , para evitar confusiones, usaremoslos símbolos �X y �Y para referirnos a los órdenes en X e Y , respectivamente. Usaremos elsímbolo ≺ para denotar la relación de orden estricto, es decir, x ≺ y si x � y y x 6= y.

Ejemplos 3.1. 1. N, Z, Q y R están ordenados por el orden usual entre números.

2. El conjunto P(N) está ordenado por la relación ⊆.

Los órdenes pueden ser muy diferentes. Por ejemplo, (N,≤) y (Z,≤) son claramente dis-tintos. ¿Cuáles propiedades los diferencia? Por ejemplo, (Z,≤) no tiene un primer elemento,pero (N,≤) tiene al 0 como primer elemento. Por otra parte (Z,≤) también es diferentede (Q,≤). Pero no es por la no existencia de primer elemento, pues (Q,≤) tampoco tieneprimer elemento. La diferencia es otra, tenemos que en Z entre los números 1 y 2 no haymás enteros. Pero en Q se cumple que entre dos racionales cualesquiera existe otro racional.Para expresarlo de manera simbólica, Q satisface la siguiente propiedad:

∀x, y ∈ Q [x < y → ∃z ∈ Q, x < z < y].

Como ya vimos, esa afirmación no es válida en Z.

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¿Es (Q,≤) diferente de (R,≤)? La respuesta es afirmativa, sin embargo, se requiereestudiar más para poder justificar esa afirmación, pues hay que precisar que entenderemoscuando digamos que dos órdenes son “el mismo”.

Por otra parte, ¿es (P(N),⊆) diferente de (R,≤) o de (N,≤)? Esa pregunta pareceextraña, pero es válida. La respuesta es muy sencilla debido a que el orden (P(N),⊆) tieneuna propiedad que es claramente falsa en los sistemas numéricos. Observemos que en P(N)existen conjuntos que no se pueden comparar con la relación ⊆. Por ejemplo, {0} 6⊆ {1}y {1} 6⊆ {0}. En cambio, en los sistemas numéricos, dos números cualesquiera x, y soncomparables: x ≤ y o y ≤ x. Un orden con esa propiedad se llama total, es decir, unconjunto ordenado (X,�) está totalmente ordenado (también se dice linealmente ordenado)si para todo par de elementos x, y ∈ X se cumple que, o bien, x � y o y � x.

Una fuente muy importante de ejemplos de conjuntos ordenados se obtiene si considera-mos los subconjuntos de un conjunto ordenado. Veamos un ejemplo.

Ejemplo 3.2. Sea X el siguiente subconjunto de R:

X = {1− 1/(n+ 1) : n ∈ N}.

X es un conjunto ordenado tomando el orden que X hereda de R al ser un subconjunto deR, es decir, X está ordenado con el orden usual de los números reales.

Ejemplo 3.3. Sea X = [0, 1) como subconjunto de R. Observamos que X como conjuntoordenado tiene una propiedad que R no posee: X tiene primer elemento y R no.

De ahora en adelante cada subconjunto Y ⊆ X de un conjunto ordenado (X,�) será con-siderado como un conjunto ordenado usando el orden que hereda del conjunto X y usaremosel mismo símbolo � para denotar el orden de Y .

Definición 3.4. Sea (X,�) un conjunto ordenado y A ⊆ X no vacío. Un elemento x ∈ Aes minimal de A, si no existe y ∈ A tal que y ≺ x. El mínimo de A es un elemento x ∈ Atal que si x � y para todo y ∈ A.

Ejemplo 3.5. Sea A = [2, 8) el intervalo en la recta. Entonces 2 es el mínimo de A. Porotra parte, el intervalo (0, 1) no tiene mínimo (¿puede el lector verificar esa afirmación?).

Los conceptos de elemento mínimo y elemento minimal están muy relacionados: Si x esel mínimo del conjunto A, entonces x es un elemento minimal de A. Pero el recíproco no esválido, un elemento puede ser minimal y no ser mínimo, como lo veremos en el ejemplo quepresentamos a continuación.

Ejemplo 3.6. Considere la familia X formada por todos los subconjuntos de N no vacíos.Ordenamos a X con la relación ⊆. Entonces todo subconjunto con un solo elemento, estoes, de la forma {n}, con n ∈ N, es un elemento minimal de X. Sin embargo, X no tieneelemento mínimo.

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Ejemplo 3.7. Sea X = {a, b, c}. Podemos describir todos los ordenes posibles en X. Enefecto 1

Ejemplo 3.8. (El orden lexicográfico en N×N). Consideremos el siguiente orden ≺lex sobreN× N.

(a, b) �lex (c, d) si (i) a < b o (ii) a = b y c ≤ d

El orden lexicográfico debe su nombre a que usa el mismo criterio usado para ordenar laspalabras en un diccionario. En efecto, los pares en N × N que comienzan con 0 son todosmenores que los que comienzan con un 1. Por ejemplo,

(0, 0) ≺lex (0, 1) ≺lex (0, 2) ≺lex (0, 3) ≺lex · · · (1, 0) �lex (1, 1) �lex (1, 2) �lex (1, 3) �lex · · ·

Ejercicios 3.1

1. Haga un diagrama de los órdenes posibles sobre los conjuntos {a, b} y {a, b, c, d} (laúltima pregunta tiene una larga respuesta!!)

2. Haga un diagrama que represente el orden (P({1, 2, 3}),⊆).

3. Considere el conjunto X de todas las funciones f : {a, b} → {1, 2, 3}. Ordene esasfunciones de la siguiente manera:

f � g ⇔ f(a) ≤ g(a) y f(b) ≤ g(b)

Haga un diagrama que represente ese orden.

4. Sea X = {1, 2, 3} e Y = {1, 2}. Ordene X × Y de la siguiente manera

(a, b) � (c, d) ⇔ a ≤ c y b ≤ d

Muestre que es un orden sobre X × Y . Haga un diagrama que represente ese orden.

5. Considere la siguiente relación sobre R2:

(x, y) � (w, z)def⇔ (x ≤ w) ∧ (y ≤ z).

Muestre que � es un orden. ¿Es un orden total?

6. Considere la siguiente relación sobre R2:

(x, y) � (w, z)def⇔ (x < w) ∨ [(x = w) ∧ (y ≤ z)].

Muestre que � es un orden. ¿Es un orden total? Haga un diagrama que represente comoquedan ordenados según � todos los pares de la forma (0, n) y (1, n), para n ∈ N.

1incluir diagramas

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7. Considere la relación sobre NN dada por:

f � gdef⇔ ∀n ∈ N (f(n) ≤ g(n)).

a) Muestre que es un orden.

b) Sea A la colección de funciones f ∈ NN con la propiedad de que f(n) = 1 paraalgún n ∈ N. Determine si A tiene elementos minimales.

8. Considere la siguiente relación sobre P(N) \ {∅}: A � B, si mı́n(A) ≤ mı́n(B). ¿Es �una relación de orden?, donde mı́n(A) es el mínimo de A como subconjunto de N.

9. Considere la siguiente relación sobre P(N): A ⊆f B, si A \ B es finito. ¿Es ⊆f unarelación de orden sobre P(N)?

10. Defina una relación de orden sobre P(N) diferente a ⊆.

3.2. Buenos órdenes

En esta sección estudiaremos un tipo de conjunto linealmente ordenado que tiene unapropiedad especial. El ejemplo que motiva esta noción es N con su orden natural. Ya hemoscomentado que N satisface que todo subconjunto no vacío de N tiene primer elemento.

Definición 3.9. Sea � un orden sobre X. Diremos que (X,�) es un conjunto bien orde-

nado, si todo A ⊆ X con A 6= ∅ tiene mínimo, es decir, existe a0 ∈ A tal que a0 � x paratodo x ∈ A.

Cuando (X,�) es un conjunto bien ordenado, también se dice que � es un buen ordensobre X.

Lo primero que debemos observar es que si (X,�) está bien ordenado, entonces � es unorden lineal. En efecto, dados a, b ∈ X, considere el conjunto A = {a, b}. Por la propiedaddel buen orden, sabemos que a o b es el mínimo de A. En el primer caso, a ≺ b y en elsegundo b ≺ a. Esto muestra que � es un orden lineal.

Como dijimos, el ejemplo que motiva la definición de buen orden es (N,≤) (con el ordenusual). El hecho que (N,≤) está bien ordenado usualmente se conoce como el principio debuena ordenación. Este principio es una de las propiedades básidas de N, y lo usaremos comosi formara parte de la definición de los números naturales.

Ejemplo 3.10. Considere el subconjunto X de R:

X = {1− 1/(n+ 1) : n ∈ N}.

Afirmamos que X, con el orden que hereda de R, es un conjunto bien ordenado. En efecto,sea A ⊆ X no vacío. Ahora considere el subconjunto B ⊆ N que consiste de los naturales ntales que 1 − 1/(n + 1) ∈ A. Claramente B no es vacío, y en consecuencia, por el principiode buena ordenación de N, B tiene un primer elemento que denotaremos por n0. Afirmamos

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que a0 = 1− 1/(n0 + 1) es el mínimo de A. Es obvio que a0 ∈ A. Sea x ∈ A cualquiera, estoes, x = 1 − 1(n + 1) para algún n ∈ N. Por definición del conjunto B, se tiene que n ∈ B.Por lo tanto n0 ≤ n y en consecuencia 1− 1/(n0 + 1).

Ejemplo 3.11. Sea n ∈ Z y X = {x ∈ Z : n ≤ x}. Entonces X con el orden usual de Z

es un conjunto bien ordenado. En efecto, sea A ⊆ X no vacío. Observemos primero que sin ≥ 0, entonces X ⊆ N y en consecuencia A ⊆ N. Por el principio de buena ordenaciónpara N, sabemos que A tiene un elemento mínimo. Nos queda por analizar el caso cuandon < 0. Para esto consideraremos el siguiente conjunto de enteros:

B = {x− n : x ∈ A}.

Afirmamos que B ⊆ N. En efecto, por hipótesis, n ≤ x para cada x ∈ A. En consecuencia,0 ≤ x − n para cada x ∈ A y de esto se concluye que los elementos de B son mayores oiguales a cero. Es decir, B ⊆ N. Por el principio de buena ordenación para N, concluimosque B tiene un elemento mínimo que denotaremos por b0. Por definición de B, tenemos queb0 = x0 − n para algún x0 ∈ A. Como b0 es el mínimo de B, se tiene que x0 − n ≤ x − npara todo x ∈ A. De esto se deduce que x0 ≤ x para todo x ∈ A. Como x0 ∈ A, entonces x0

es el mínimo de A.

Ejercicios 3.2

1. Sea (X,�X) un orden lineal con X finito. Muestre por inducción en |X| que X tienemáximo y mínimo.

2. Sea (X,�) un conjunto linealmente ordenado. Suponga que para todo A ⊆ X, novacío, se cumple que A tiene máximo y mínimo. Muestre que X es finito.

3. Muestre que el orden lexicográfico sobre N× N definido en el ejemplo 3.8 es un buenorden.

3.3. Comparación de conjuntos ordenados

Para comparar conjuntos ordenados usaremos funciones con cierta propiedad especial:que preserven los ordenes.

Definición 3.12. Sean (X,�X) y (Y,�Y ) dos conjuntos ordenados. Una función f : X → Yes un isomorfismo de orden, si f es una biyección que además cumple con lo siguiente: paratodo x, x′ ∈ X,

x �X x′ ⇔ f(x) �Y f(x′).

Observe el lector que hemos agregado un subíndice al símbolo que denota los órdenespara distinguir el orden de X del de Y .

Teorema 3.13. Sea X un conjunto finito no vacío con n elementos y � un orden linealsobre X. Entonces (X,�) es orden isomorfo a {1, 2, · · · , n} con el orden usual.

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Demostración. Comenzamos haciendo una observación sencilla: Si (X,�) es un orden linealy X es finito, entonces para todo A ⊆ X, con A 6= ∅, A tiene mínimo y máximo.

Definimos un isomorfismo de orden f : {1, 2, · · · , n} → X de la siguiente manera: Sea a1el mínimo de X y hacemos f(1) = a1. Supongamos que hemos definido f(1), · · · , f(k) conk < n. Entonces f(k + 1) es el mínimo de X \ {f(1), · · · , f(k)}. ✷

Ejemplo 3.14. En el ejemplo 3.2, considere la función f : N → X dada por

f(n) = 1− 1/(n+ 1).

El lector puede verificar que f es biyectiva y que cumple lo siguiente: n ≤ m si, y sólo si,1− 1/(n+ 1) ≤ 1− 1/(m+ 1). Esto muestra que f es un isomorfismo de orden.

Ejemplo 3.15. Sea X la colección de subconjuntos de N que se indica a continuación:

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 2, 3, , 4}, , · · · , {0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · , n}, · · ·

Mostraremos que (X,⊆) es isomorfo a (N,≤). Para simplificar el argumento, denotemospor Ln al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · , n} para cada n ∈ N. Entonces X = {L0, L1, L2, · · · }.Considere la siguiente función f : N → X dada por

f(n) = Ln.

El lector verificará que f es una biyección y que además que n ≤ m si, y sólo si, Ln ⊆ Lm.Esto muestra que f es un isomorfismo.

Teorema 3.16. Todo orden isomorfo a un buen orden es también un buen orden.

Demostración. Sea (X,�X) un buen orden y (Y,�Y ) otro conjunto ordenado. Supongamosque f : X → Y es un isomorfismo de orden. Mostraremos que �Y es un buen orden. SeaA ⊆ Y no vacío. Como �X es un buen orden, entonces B = f−1(A) tiene mínimo, quedenotaremos con b. Entonces f(b) = a es el mínimo de A. ✷

Definición 3.17. Sean (X,�X) y (Y,�Y ) dos conjuntos ordenados. Una función f : X → Ypreserva el orden, si cumple con lo siguiente: para todo x, x′ ∈ X,

x �X x′ ⇒ f(x) �Y f(x′).

Observemos que f es un isomorfismo de orden si tanto f como f−1 preservan el orden.Veamos un ejemplo.

Ejemplo 3.18. Considere el conjunto Y = {1, 2, 3} y X = {a, b, c} ordenados de la si-guiente manera: Y con el orden usual de los enteros y en X colocamos los pares ordenados(a, a), (a, b), (a, c), (b, b) y (c, c) (haga un diagrama de este orden). Sea f : X → Y la funciónconstante f(x) = 1 para todo x ∈ X. Claramente f preserva el orden. Veamos otra posibi-lidad mas interesante. Ahora defina f por f(a) = 1, f(b) = 2 y f(c) = 3. Observe que f esuna biyección que preserva el orden, pero no es un isomorfismo de orden.

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Debería ser claro que X y Y no son isomorfos, pues Y está totalmente ordenado y Xno (verifíquelo). Pero la situación es aún más interesante, pues mostraremos que ni siquieraexiste g : Y → X biyectiva que preserve el orden. En efecto, sea g : Y → X una biyección,supondremos que g preserva el orden y llegaremos a una contradicción. Sea x, y ∈ Y talesque g(x) = b y g(y) = c. Como Y es un orden total, tenemos que x ≺Y y o y ≺Y x. Como gpreserva el orden y b 6= c, entonces g(x) ≺Y g(y) o g(y) ≺ g(x), lo que contradice que b y cno son comparables.

Teorema 3.19. La composición de isomorfismos de orden es un isomorfismo de orden.

Ejercicios 3.3

1. Existen 219 órdenes sobre {a, b, c, d}, pero sólo 16 órdenes no isomorfos, trate de re-presentarlos con diagramas.

2. Construya una función f : (P({a, b}),⊆) → ({1, 2, 3, 4},≤) biyectiva que preserve elorden. Muestre que esos órdenes no son isomorfos.

3. Considere los conjuntos ordenados definidos en los ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la sección 3.1.Determine entre cuáles de ellos se puede encontrar una función inyectiva que preserveel orden.

4. Sea X = {1− 1/(n+ 1) : n ∈ N} ∪ {1} ordenado con el orden usual de Q. Determinesi (X,≤) es isomorfo a (N,≤).

5. Sea X = {1− 1/(n + 1) : n ∈ N} ∪ {−1 + 1/(n + 1) : n ∈ N} ordenado con el ordenusual de Q. Determine si (X,≤) es isomorfo a (Z,≤).

6. Sean X = (0, 1), Y = (0, 1], W = (0, 1) ∪ (2, 3) y Z = R con el orden que tienen comosubconjuntos de R. Determine cuáles de ellos son isomorfos.

7. Sean A = {x ∈ R : 1 ≤ x < 2}, B = {x ∈ R : x ≥ 3}. Demuestre que A ∪ N y B sonequipotentes, pero no son orden isomorfos (respecto del orden que heredan de R).

8. Muestre que el conjunto X definido en el ejemplo 3.11 es isomorfo a N.

9. Complete la demostración del teorema 3.16.

10. Demuestre que la composición de dos funciones que preservan el orden también preservael orden.

3.4. El orden de N y de Z

En esta sección mostraremos una caracterización de los órdenes de N y de Z.

127

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3.4.1. El orden de N

Teorema 3.20. Sea (X,�) un orden con las siguientes propiedades:

1. X es infinito.

2. (X,�) es un buen orden.

3. Para todo x ∈ X, el conjunto de predecesores de x es finito, es decir, {y ∈ X : y ≺ x}es finito.

Entonces (X,�) es isomorfo a N con el orden usual.

Demostración. Daremos las indicaciones para construir un isomorfismo de orden f : N → X.La definición de f se hará por recursión.

(i) f(0) es el mínimo de X, el cual existe pues X está bien ordenado y no es vacío.

(ii) Supongamos que hemos definido f(0), f(1), · · · , f(n). Sea B = X\{f(0), f(1), · · · , f(n)}.Como X es infinito, entonces X 6= {f(0), f(1), · · · , f(n)}. Definimos f(n+ 1) como elelemento mínimo de X \ {f(0), f(1), · · · , f(n)}.

Mostraremos que f es un isomorfismo de orden. Primero verificaremos que f es inyectiva.Sean n,m ∈ N con n < m. Entonces, por definición de f , se tiene que f(m) pertenece aX \ {f(0), f(1), · · · , f(m− 1)}. En particular, como n ≤ m− 1, entonces f(m) 6= f(n).

Veamos que f es sobreyectiva. Supongamos que no lo es, entonces el siguiente conjuntono es vacío:

A = {x ∈ X : x no pertenece al rango de f}.Sea a un elemento cualquiera de A. Mostraremos que el conjunto de predecesores de a esinfinito, lo cual contradice una de la hipótesis. Como f es inyectiva, basta mostrar quef(n) ≺ a para todo n. Esto lo haremos por inducción en n.

(i) f(0) ≺ a, pues a 6= f(0) y f(0) es el mínimo de X.(ii) Mostremos que f(n+1) ≺ a. Sea B = X \{f(0), f(1), · · · , f(n)}. Por definición de f ,

tenemos que f(n+ 1) es el mínimo de B. Como a no está en el rango de f , entonces a ∈ B.Esto implica que f(n+ 1) � a. Como a 6= f(n+ 1), entonces f(n+ 1) ≺ a.

En casos como lo expresado en el teorema 3.20, se suele decir que (N,≤) es el únicoorden salvo isomorfismo que satisface las propiedades 1, 2 y 3 indicadas en el enunciado delteorema.

Teorema 3.21. Sea (X,�) un orden con las siguientes propiedades:

1. (X,�) es un buen orden.

2. X no tiene último elemento.

128

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3. Todo x ∈ X que no sea el mínimo tiene un predecesor inmediato, i.e. existe y ∈ X talque y ≺ x y no existe z ∈ X tal que y ≺ z ≺ x.

Entonces (X,�) es isomorfo a N con el orden usual.

Demostración. Mostraremos que (X,�) satisface las condiciones del teorema 3.20. ComoX es un buen orden entonces es lineal. Supongamos que X es finito, entonces tendría unúltimo elemento, lo cual no es posible por hipótesis. En consecuencia X es infinito. sólo faltaverificar que los antecesores de cada elemento de X es un conjunto finito. Supongamos queno es así, entonces el siguiente conjunto no es vacío:

A = {x ∈ X : {y ∈ X : y ≺ x} es infinito}.

Como el orden de X es un buen orden y A no es vacío, entonces A tiene un elemento mínimo,que denotaremos por a. Ya que a tiene una cantidad infinita de predecesores, entonces a noes el mínimo de A. Por lo tanto, a tiene un predecesor inmediato, que denotaremos por b.Observemos que por ser b el predecesor inmediato de a se cumple que

{y ∈ X : y ≺ b} = {y ∈ X : y ≺ a} \ {b}.

De aqui se concluye que el conjunto de predecesores de b es infinito, es decir, b ∈ A. Peroesto es una contradicción, pues b ≺ a y a es el menor elemento de A. ✷

Teorema 3.22. Sea (X,�X) un conjunto linealmente ordenado. Si X es infinito, entoncesexiste f : N → X que cumple alguna de las siguientes alternativas:

(i) Para todo n,m ∈ N, n < m si, y sólo si, f(n) ≺X f(m).

(ii) Para todo n,m ∈ N, n < m si, y sólo si, f(m) ≺X f(n).

Demostración. Consideraremos dos casos. (i) (X,�X) es un buen orden. Definimos f : N →X por recursión. Sea f(0) el mínimo de X. Suponga que hemos definido f(k) para todok ≤ n. Entonces ponemos f(n+ 1) como el mínimo de X \ {f(0), f(1), · · · , f(n)}.

(ii) (X,�X) no es un buen orden. Sea A ⊆ X no vacío y que no tenga mínimo. Definimosf : N → X por recursión. Sea f(0) un elemento cualquiera de A. Como f(0) no es el mínimode A, existe a ∈ A tal que a ≺X f(0). Sea f(1) = a. Suponga que hemos definido f(k) paratodo k ≤ n tal que f(k) ∈ A y f(l) ≺X f(k) si k < l ≤ n. Entonces f(n) no es el mínimo deA, por lo tanto existe b ∈ A tal que b ≺X f(n). Definimos f(n+ 1) = b. ✷

El teorema anterior se puede expresar de la siguiente manera: Todo orden lineal infinito, obien contiene una copia de N, o bien contiene una copia de los enteros negativos. La primeraalternativa dice que X contiene una cadena infinita creciente y la segunda una cadena infinitadecreciente.

Veremos a continuación un resultado similar al anterior, su demostración recuerda a ladel Lema del Sol naciente.

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Teorema 3.23. Sea (X,�X) un conjunto linealmente ordenado y f : N → X inyectiva.Entonces existe A ⊆ N infinito tal que se cumple alguna de las siguientes alternativas:

(i) Para todo n,m ∈ A, n < m si, y sólo si, f(n) ≺X f(m).

(ii) Para todo n,m ∈ A, n < m si, y sólo si, f(m) ≺X f(n).

Demostración. Sea

SN = {n ∈ N : f(m) ≺X f(n) para todo m > n}

Consideraremos dos casos:(i) Supongamos que SN es infinito. Afirmamos que para todo n,m ∈ SN , si n < m,

entonces f(m) ≺X f(n). En efecto, sean n,m ∈ SN con n < m. Como n ∈ SN , se sigue dela definición de SN que f(m) ≺X f(n). De lo anterior vemos que A puede tomarse comoSN .

(ii) Supongamos que SN es finito. Sea n0 un natural mayor que todos los elementos deSN . Entonces, por definición de SN , existe n1 > n0 tal que f(n0) �X f(n1). Como f esinyectiva, entonces f(n0) ≺X f(n1). De la misma manera, como n1 6∈ SN , entonces existen2 > n1 tal que f(n1) ≺X f(n2). Continuando de esta manera, se define una sucesión (nk)kde elementos que no pertenecen a SN tales que

f(n0) ≺X f(n1) ≺X f(n2) ≺X f(n3) ≺X · · ·

El conjunto A buscado es {n0, n1, n2, · · · }. ✷

3.4.2. El orden de Z

Veremos una caracterización del orden de Z. Para hacerlo, necesitamos introducir lanoción de intervalo en un conjunto linealmente ordenado. Sea (X,≺) un conjunto linealmenteordenado. Un intervalo es un subconjunto I ⊆ X que contiene cualquier elemento que estéentre dos elementos de I, es decir, para todo x, y ∈ I y todo z ∈ X, si x ≺ z ≺ y, entoncesz ∈ I.

Dados x, y ∈ X con x < y, el conjunto (x, y) = {z ∈ X : x < z < y} es un intervalo y demanera análoga se definen los intervalos [x, y), (x, y] y [x, y]. Un intervalo es final, si es de laforma (x,+∞) = {y ∈ X : x ≺ y} y es inicial si es de la forma (−∞, y) = {y ∈ X : y ≺ x}.Un intervalo es propio, si no es igual a X.

Teorema 3.24. Sea (X,�) un conjunto linealmente ordenado que satisface las siguientespropiedades:

(i) X no tiene ni primer ni último elemento.

(ii) Todo intervalo final propio tiene primer elemento y todo intervalo inicial propio tieneúltimo elemento.

130

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(iii) Cada elemento de X tiene un predecesor y un sucesor inmediato.

Entonces (X,�) es isomorfo a Z (con el orden usual).

Demostración. Sea (X,�) un conjunto ordenado como en las hipótesis del enunciado. De-finiremos, por recursión, un isomorfismo f : Z → X. Fijemos un elemento cualquiera x0 deX.

(a) Pongamos f(0) = x0.

(b) Sea f(1) el primer elemento del intervalo (f(0),+∞) y f(−1) el último elemento delintervalo (−∞, f(0)).

(c) Supongamos que hemos definido f(n) y f(−n). Entonces, sea f(n+1) el primer elemen-to del intervalo (f(n),+∞) y f(−n−1) el último elemento del intervalo (−∞, f(−n)).

Afirmamos que f preserva el orden, es decir, si n < m, entonces f(n) ≺ f(m) (lo dejamoscomo ejercicio).

De lo anterior también concluimos que f es inyectiva.Veamos que f es sobreyectiva. Primero que todo, afirmamos que el rango de f es un

intervalo. En efecto, sean n < m en Z y supongamos que x ∈ X satisface que f(n) < x ≤f(m). Le dejamos al lector la tarea de convencerse que podemos suponer que m = n + 1.Esto nos dice que f(n) < x ≤ f(n + 1). Mostraremos que x = f(n + 1). Hay dos casos aconsiderar:

(i) Supongamos que 0 ≤ n. Entonces, por definición de f , tenemos que f(n + 1) el esmínimo del intervalo (f(n),+∞). Pero x ∈ (f(n),+∞), por lo tanto f(n + 1) ≤ x. Porconsiguiente, x = f(n+ 1).

(ii) Supongamos que n < 0. Sea m = −n. Entonces f(n) = f(−m) es el último elementode (−∞, f(−m + 1)) = (−∞, f(n + 1)). Como f(n) < x, entonces f(n + 1) ≤ x y asíf(n+ 1) = x.

Con esto hemos probado que el rango de f es un intervalo, que denotaremos por I.Mostraremos que I = X. En efecto, sea x ∈ X, y supongamos, por reducción al absurdo,que x 6∈ I. Hay dos casos a considerar: (i) Para todo n ∈ Z, f(n) < x. (ii) Para todon ∈ Z, x < f(n). El lector debe convencerse de que, por ser I un intervalo, estos dos casosson los únicos posibles. Analizaremos el caso (i) y el otro lo dejamos como ejercicio. SeaJ = {y ∈ X : f(n) < y para todo n ∈ Z}. Por la suposición, x ∈ J y es fácil verificar que Jes un intervalo final de X. Por lo tanto, una de las hipótesis del teorema nos garantiza que Jtiene un primer elemento que denotaremos y0. Por otra de las hipótesis, y0 tiene un predecesorinmediato, que denotaremos por z0. Como z0 < y0, entonces z0 6∈ J y en consecuencia z0 ∈ I.Esto dice que existe n ∈ Z tal que f(n) = z0. Por lo tanto f(n + 1) = y0, lo que contradiceque y0 6∈ I.

Ejercicios 3.4

131

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1. Complete los detalles de la demostración del teorema 3.24.

2. Un automorfismo de un conjunto ordenado (X,�) es un isomorfismo f : X → X, esdecir, es un isomorfismo de X en sí mismo. Muestre que N no admite automorfismosdiferentes de la identidad. Muestre que Z si admite autormorfismo diferentes de laidentidad.

3. Sea Y = N \ A donde A ⊆ N. Suponga que N \ A es infinito. Muestre que Y con elorden que hereda de N es isomoformo a N. Por ejemplo, esto sucede si A es finito.

4. Sea Y = Z\A donde A ⊆ Z. Sea Z+ los enteros no negativos y Z− los enteros negativos.Suponga que Z+ \ A y Z− \ A son ambos infinitos. Muestre que Y con el orden quehereda de Z es isomoformo a Z. Por ejemplo, esto sucede si A es finito.

3.5. El orden de Q

La representación geométrica de los racionales es la siguiente. Fijemos una recta l y unpunto o en ella. Llevemos infinitas veces un segmento unitario hacia la derecha de ese puntocomo se ilustra a continuación:

0 1 2 3 4

1n2n

3n

n−1n

Dividiendo cada segmento en n partes iguales obtendremos los números racionales de laforma m

ncon m ∈ Z. Si hacemos ésto para cada natural n obtendremos una representación

geométrica de todos los racionales.El orden de Q no es un buen orden, por ejemplo el conjunto

{ 1n: n ∈ Z+}

sólo contiene racionales positivos pero no tiene elemento mínimo, pues 1n+1

< 1n

para todon ∈ Z+.

Es ”evidente” que Q posee las siguientes tres propiedades:

(i) Q es numerable.

(ii) Q no tiene extremos, es decir, no tiene ni máximo, ni mínimo.

132

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(iii) El orden de Q es denso, es decir, dados x, y ∈ Q con x < y, existe z ∈ Q tal quex < z < y.

Digimos que estas tres propiedades de Q son evidentes. ¿Lo son? En vista de lo estudiadosobre cardinalidad, sabemos que (i) es cierta, pero quizá no deberíamos decir que es evidente¿última piensa el lector? La propiedad (ii) sí se puede considerar evidente, ¿no? Por último,verifiquemos la propiedad (iii), y se hará un poco más evidente. Como es una propiedad muyimportante de Q la enunciaremos como un teorema.

Teorema 3.25. Para todo s, r ∈ Q con r < s, existe t ∈ Q tal que r < t < s.

Demostración: Considere el siguiente racional

t =s+ r

2

que corresponde al punto medio entre r y s. Mostraremos que r < t < s. Veamos primeroque r < t, es decir, que t− r > 0. En efecto,

t− r =s+ r

2− r =

s− r

2= (s− r) · 2−1.

Como r < s, entonces s − r es positivo. Y como 2−1 es positivo (¿por última?) entoncess−r2

también es positivo por ser el producto de dos números positivos. Por lo tanto r < t.Notemos que s− t = t− r y por consiguiente s− t > 0, es decir, t < s. ✷

Recordemos la definición de intervalo, sean r < s racionales, entonces

(r, s) = {x ∈ Q : r < x < s}.

El teorema 3.25 simplemente muestra que todo intervalo (r, s) no es vacío. Por esa razón sedice que el orden de los racionales es denso 2.

Aunque ya debería ser evidente, lo repetimos para enfatizarlo. Ni el orden de N ni el deZ es denso, es decir, ninguno de ellos tiene la propiedad expresada en el teorema 3.25; porejemplo, no existe ningún entero entre el 1 y el 2, como tampoco entre el -65 y el -64, etc.

3.5.1. Subconjuntos densos de Q

Como veremos en esta sección, existen subconjuntos de Q que tienen una propiedadsimilar a la que mostramos en el teorema 3.25, es decir, tienen la propiedad que entre cadados racionales existe un elemento del subconjunto. Estos subconjuntos se llamarán densos.

Definición 3.26. Sea D ⊆ Q, diremos que D es denso en Q si para todo s, r ∈ Q conr < s, existe t ∈ D tal que r < t < s.

2Compare el significado que le estamos dando a la palabra denso con el que tiene en frases como “ladensidad de población”, “la densidad es igual a la masa sobre el volumen”.

133

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Ejemplos 3.27. 1. El conjunto Z no es denso en Q. En efecto, basta notar que, porejemplo, 3 < 4 y no existe un elemento t de Z tal que 3 < t < 4.

2. Consideremos ahora el conjunto A = Q \ {3}. Mostraremos que A es denso en Q. Seanr < s dos racionales cualesquiera. Sea t = r+s

2. Si t ∈ A, entonces no tenemos nada

más que mostrar, pues r < t < s. En caso que t 6∈ A, se tiene que t = 3. Podemostomar u = 3+s

2. El lector deberá convencerse que r < u < s y u ∈ A.

3. Analicemos ahora el siguiente conjunto

{

1

n + 1: n ∈ N

}

,

que denotaremos con la letra B. Le sugerimos al lector que represente algunos de loselementos de B sobre un recta. Observará que quedan mucho “huecos” donde no hayelementos de B. Por ejemplo, ningún elemento de B está estrictamente entre 1/2 y1. En efecto, si 1/2 < 1

n+1< 1, entonces n + 1 < 2 y a la vez n + 1 > 1. Lo cual es

imposible. En conclusión B no es denso.

Sea A un subconjunto de Q

Para mostrar que A no es denso debemos encontrar dos racionales r < stal que ningún elemento de A esté entre r y s.

Para mostrar que A es denso debemos garantizar que para cualquierpar de racionales r < s, existe un elemento de A entre ellos.

Mostraremos a continuación que entre dos racionales cualesquiera existen tanto racionalescomo un desee, de hecho, existe entre ellos una cantidad infinita de racionales.

Proposición 3.28. Para todo r, s ∈ Q con r < s y todo natural n ≥ 1 existen racionalest1, t2, · · · , tn tales que

r < t1 < t2 < · · · < tn < s

Demostración: Fijemos r < s racionales cualesquiera. La demostración la haremos por in-ducción.

Base de la inducción: Para n = 1 el resultado es cierto, pues es lo que probamos en elteorema 3.25.

134

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Paso inductivo: Supongamos que es válido para n = k y lo mostraremos para n = k+1.La hipótesis inductiva nos asegura que existen racionales t1, t2, · · · , tk tales que

r < t1 < t2 < · · · < tk < s.

Sabemos que existe otro racional u tal que tk < u < s (por el teorema 3.25, aplicado atk y s). Tomemos entonces tk+1 = u.

Los subconjuntos densos de Q se parecen mucho a Q. Dejaremos como ejercicio al lectormostrar que la proposición anterior también es válida para los subconjuntos densos de Q

(vea el ejercicio 15).

Ejemplo 3.29. Sea D = Q\{1, 2, 3}. Mostraremos que D es denso. Sean r y s dos racionalescualesquiera con r < s. Por la proposición 3.28, con r, s y n = 4, sabemos que existen 4racionales t1, t2, t3 y t4 tales que

r < t1 < t2 < t3 < t4 < s.

Como el conjunto {1, 2, 3} tiene 3 elementos, entonces al menos uno de los racionales t1, t2, t3, t4pertenece a D. Con esto hemos mostrado que existe t ∈ D tal que r < t < s.

Ejemplo 3.30. Sea D = Q \ N. Mostraremos que D es denso. Sean r y s dos racionalescualesquiera con r < s. Entre r y s hay, a lo sumo, una cantidad finita de naturales. Másformalmente, consideremos el conjunto

F = {x ∈ N : r < x < s}.

Afirmamos que F es vacío o tiene una cantidad finita de elementos. Primero notemos quesi s ≤ 0, entonces claramente F es vacío. Por otra parte, si s > 0, de la proposición ??,sabemos que existe un entero m tal que s < m. De esto se deduce que

{x ∈ N : r < x < s} ⊆ {1, 2, · · · , m− 1}.

Por lo tanto, F tiene a lo sumo m− 1 elementos. Digamos que F tiene k elementos. Por laproposición 3.28, con r, s y n = k+1, sabemos que existen k+1 racionales t1, · · · , tk+1 talesque

r < t1 < t2 < · · · < tk+1 < s.

Como el conjunto F tiene k elementos, entonces al menos uno de los racionales t1, · · · , tk+1

pertenece a D. Con esto hemos mostrado que existe t ∈ D tal que r < t < s.

135

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3.5.2. Un ejemplo de subconjunto denso de Q

El objetivo principal de esta sección es mostrar que el siguiente subconjunto de Q esdenso

D ={ m

10n: m ∈ Z, n ∈ N

}

. (3.1)

¿Cuáles racionales pertenecen a este conjunto? Precisamente aquellos que tienen expansióndecimal finita (no periódica). La reglas milimétricas precisamente marcan racionales de esetipo. Así que debería ser al menos intuitivamente claro que entre dos racionales cualesquierar < s existen elementos del conjunto D. Pues si usamos una regla milimétrica tal que ladistancia entre las marcas más cercanas es menor que s − r, entonces necesariamente unade las marcas estará entre r y s. Lo interesante es que esa intuición geométrica se puedeverificar o justificar de manera rigurosa.

Para lograr nuestro objetivo necesitamos mostrar primero un resultado auxiliar que esinteresante en sí mismo.

Proposición 3.31. (i) Para todo par de racionales r y s con r > 0, existe un natural ntal que s < nr.

(ii) Para todo racional r > 0, existe n ∈ N tal que 0 < 1/n < r.

(iii) Para todo racional r > 0, existe n ∈ N tal que 0 < 110n

< r.

Demostración:

(i) Si s ≤ 0, entonces basta tomar n = 1. Suponga entonces que s > 0. Como s · r−1 > 0,entonces existen enteros positivos p y q tales que s · r−1 = p/q. Como 1 ≤ q entoncesp/q ≤ p. En consecuencia, s · r−1 ≤ p y, despejando s, obtenemos que s < pr.

(ii) Fijemos un racional r > 0. Tome s = 1 y use la parte (i) para concluir que existe n ∈ N

tal que 1 < nr. Por lo tanto, 0 < 1/n < r.

(iii) Usaremos el siguiente hecho que muestra por inducción: n ≤ 10n para todo n ≥ 1 (verel ejercicio 10 de §3.5.1). Ahora bien, dado r > 0 racional, por lo probado en la parte(ii), sabemos que existe un natural n tal que 1/n < r. Como n ≤ 10n tenemos que

1

10n≤ 1

n< r.

Ya tenemos lo que nos hace falta para mostrar lo que mencionamos al comienzo de estasección.

Teorema 3.32. Para todo s, r ∈ Q con r < s, existe m ∈ Z y p ∈ N tales que r < m10p

< s.

136

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Demostración: Seguiremos usando la letra D para denotar el conjunto definido en (3.1).Primero supondremos que r ≥ 0 y más adelante trataremos el otro caso.

Supongamos entonces que r ≥ 0. Por la parte (iii) de la proposición 3.31 sabemos queexiste un natural p tal que

1

10p< s− r. (3.2)

Por la parte (i) de la proposición 3.31, existe n ∈ N tal que r10p < n · 1. Esto muestra queel siguiente conjunto no es vacío

B = {n ∈ N : r <n

10p}.

El principio de buena ordenación nos garantiza que B tiene un primer elemento el cualdenotaremos con la letra m.

Afirmamos que

r <m

10p< s. (3.3)

La primera desigualdad es obvia por el hecho que m pertenece a B. La segunda desigualdadla mostraremos por reducción al absurdo. Supongamos que s ≤ m

10p. Por ser m el primer

elemento de B tenemos que m− 1 6∈ B. Pero observe que m− 1 ≥ 0 pues r > 0, por lo tantola razón para que m− 1 no pertenezca a B es que m−1

10p≤ r. De lo anterior se deduce que

m− 1

10p≤ r < s ≤ m

10p.

De esta desigualdad se concluye que

s− r ≤ m

10p− m− 1

10p=

1

10p.

Lo que contradice que p satisface (3.2). Con esto hemos mostrado (3.3).Nos queda por analizar el caso r < 0. Consideremos dos casos: Si r < 0 < s, entonces no

hay nada más que buscar, pues 0 ∈ D. Ahora si s ≤ 0, entonces tenemos que 0 ≤ −s < −ry podemos razonar como lo hicimos en la demostración del teorema ??. Ya mostramos queexiste m ∈ Z y n ∈ N tal que

−s <m

10n< −r

Por lo tanto

r <−m

10n< r

y con esto concluye la demostración. ✷

Ejercicios 3.5.1

137

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1. En cada uno de los ejercicios siguientes halle dos racionales estrictamente entre losracionales indicados:

(a)2

3y7

9, (b)

15

7y34

9, (c) −4

5y −6

9, (d)

6

18y

7

14.

2. Sean a, b, c, d enteros con b > 0 y d > 0. Muestre que sia

b<

c

d, entonces

a

b<

a+ c

b+ d<

c

d.

¿última tiene que ver este resultado con el teorema 3.25?

3. Determine cuáles de los siguientes subconjuntos de Q son densos en Q. Justifique surespuesta.

a) Q \ {7, 8, 10, 25}b) {r ∈ Q : r ≤ 6} ∪ {r ∈ Q : 10 ≤ r}c) {1, 2, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 12}d) N

e) { 12n

: n ∈ N}f ) {± 1

2n: n ∈ N}

g) {m± 1n: m,n ∈ Z y n > 0}

h) {m± 12n

: m ∈ Z, n ∈ N}i) Q \ Z

4. a) Lea de nuevo la demostración del teorema 3.25 y determine si se puede usars+ r

3

en lugar des+ r

2.

b) Determine para cuales racionales r < s se cumple que

r <s+ r

3< s

5. Determine si la condición (*) es necesaria para que un subconjunto D ⊆ Q sea denso:

(*) Para todo r, s ∈ Q se tiene quer + s

2∈ D.

Es decir, determine si es verdadero que dado un conjunto D denso en Q, entonces secumple (*).

6. Sean r, s dos racionales con r < 0. Muestre que existe un natural n tal que nr < s.

7. a) Sea r un racional positivo. Muestre que existe n ∈ N tal que 0 < 25/n < r.

b) Determine si el siguiente enunciado es verdadero:

∀r ∈ Q+∀n ∈ N ( 0 <25

n+ 1< r ).

138

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c) Sea a un entero positivo y r un racional positivo. Muestre existe n ∈ N tal que0 < a

n< r.

8. Muestre que para todo racional r > 0 existe un natural n tal que r > nn2+1

.

9. Sea r un racional con 0 < r < 12

y n un natural tal que n > 1r. Determine si es cierto

que nn2+1

< r.

10. Sea a un entero con a ≥ 2. Muestre por inducción que m ≤ am para todo m ∈ N.

11. Sea r ∈ Q y n ∈ N con n > 0. Muestre que existe un único entero m tal que mn< r ≤

m+1n

.

12. En los siguientes ejercicios damos dos racionales r y s con r < s y le pedimos hallarun natural n que satisfaga la conclusión del teorema 3.31, es decir, tal que s < nr.

(a) 23< 7

9, (b) 3

2< 15

6, (c) 5

32< 25

4, (d) 12

13< 7.

13. Para cada uno de los r < s del ejercicio 12 halle un racional de la forma m10n

tal quer < m

10n< s, como en la conclusión de la proposición 3.32.

14. Sean D ⊆ E ⊆ Q. Muestre que si D es denso en Q, entonces E también es denso enQ.

15. Sea D ⊆ Q denso en Q. Para todo r, s ∈ Q con r < s y todo natural n ≥ 1 muestreque existen racionales t1, t2, · · · , tn en D tales que

r < t1 < t2 < · · · < tn < s.

Sugerencia: Modifique la demostración de la proposición 3.28.

16. Sea D un conjunto denso en Q. Muestre que D \ {a} es denso en Q para todo a ∈ D.Muestre que si F ⊂ D es finito, entonces D \ F es denso en Q.

17. Sea A ⊆ N infinito. Muestre que el siguiente conjunto es denso en Q:

{ m

10n: m ∈ Z, n ∈ A

}

.

Sugerencia: ¿última relación guarda este conjunto con el que se estudió en la proposición3.32?

18. Muestre que el siguiente conjunto es denso en Q:

{

m

2k + 1: m ∈ Z y k ∈ N

}

139

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19. Sea a un entero con a ≥ 2 y defina Da de la manera siguiente

Da ={m

an: m ∈ Z y n ≥ 0

}

.

a) Muestre que Da es denso en Q (Sugerencia: Siga los pasos de la demostración dela proposición 3.32 y cuando haga falta use el ejercicio 10).

b) Muestre que si a|b, entonces Da ⊆ Db.

c) Muestre que mcd(a, b) = 1 si, y sólo si, Da ∩Db = Z.

20. En este ejercicio mostraremos que existen dos subconjuntos de Q disjuntos y ambosdensos.

a) Muestre que si D ⊆ Q es denso en Q, entonces D \ Z también es denso en Q.

b) Use (a) y el ejercicio 19 para mostrar que existen D,E ⊆ Q densos en Q conD ∩ E = ∅.

21. Muestre que existe un conjunto B ⊆ Q que no es denso en Q y tal que Q \B tampocoes denso en Q.

22. Un subconjunto D ⊆ Q se dice que es denso en sí mismo si satisface la siguientepropiedad: Para todo a, b ∈ D con a < b existe c ∈ D tal que a < c < b.

a) Muestre que todo subconjunto de Q que sea denso en Q es denso en sí mismo.

b) Sea D = {r ∈ Q : 1 < r < 2 ó 3 < r < 4}. Muestre que D es denso en sí mismopero no es denso en Q.

c) De otro ejemplo de un subconjunto de Q que sea denso en sí mismo pero que nosea denso en Q.

23. Muestre que la funciones f, g : Q → Q dadas por f(x) = x + 2 y g(x) = 2x sonautormorfismos de Q. Muestre que exsiten automorfismos de Q que no son de la formax 7→ x+ q o x 7→ rx donde q, r son racionales.

3.5.3. El orden de Q es único

El conjunto de los números racionales con su orden usual es único, en esta sección trata-remos de aclarar esta afirmación.

Teorema 3.33. Sea (X,�) un orden lineal con las siguientes propiedades:

1. X no tiene ni primer ni último elemento.

2. El orden � es denso, es decir, dados x, y ∈ X, con x ≺ y, existe z ∈ X tal quex ≺ z ≺ y.

3. X es numerable.

140

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Entonces (X,�) es orden isomorfo a Q (con el orden usual de los racionales).

La demostración de este teorema requiere de un método especial para construir el isomor-fismo que es diferente a la simple recursión usada en la pruebas de los resultados análogosque vimos sobre N y Z (ver 3.20 y 3.24).

Sea (X,≺) un conjunto ordenado como en la hipótesis del teorema. Daremos un bozquejogeneral de cómo construir un isomorfismo f : Q → X. Para comenzar fijemos dos enumera-ciones de {qn : n ∈ N} y {xm : m ∈ N} de Q y de X, respectivamente. La definición de fse hará por recursión. Parte de la idea para definir f consiste en que en los pasos pares de laconstrucción definimos la imagen de algún qn y en los pases impares definimos la preimagende algún xn.

Paso 0 Definimos f(q0) = x0.

Paso 1 Sea m1 el primer m tal que xm 6= f(q0). Si xm1 < x0, sea n1 el menor n tal que qn < q0y defina f−1(xm1) = qn1 . Si xm1 > x0, ponga f−1(xm1) = qn1 donde n1 el menor n talque qn > q0.

Paso 2 Sea n2 el primer n tal que qn 6∈ {q0, qn1}. Aqui hay que considerar todas las posibilidadesde acuerdo al lugar en que se encuentra qn2 en relación con q0 y qn1 . De acuerdo a cadacaso, se escoje m2 de tal manera que xm2 se encuentre ubicado en relación con x0 y xm1

en una posición similar a la que ocupa qn2 en relación con q0 y qn1 . Definimos entoncesf(qn2) = xm2 . Note que para garantizar que tal xm2 existe, hace falta que el orden deX sea denso.

Ejercicios 3.5.3

1. Sean p < q y r < s cuatro racionales. Muestre que los intervalos (en Q) (r, s) y (p, q)son orden isomorfos. (Sugerencia: Use el teorema 3.33 para mostrar que todo intervaloabierto en Q es orden isomorfo a Q.) Puede dar un isomorfismo explícito?

2. Sea Y = Q \A donde A ⊆ Q es finito. Muestre que Y con el orden que hereda de Q esisomorfo a Q.

3.6. El orden de R

3.6.1. El axioma del supremo

La siguiente definición es crucial para enunciar la propiedad más importante que distinguea los reales de los racionales.

Definición 3.34. Un conjunto A de números reales se dice que es acotado superiormente

si existe un número real c tal que x ≤ c para todo x ∈ A. Un número c con esa propiedad sedice que es una cota superior de A.

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Ejemplo 3.35. Considere el siguiente conjunto de números reales.

A = {r ∈ R : r < 5}.

Tenemos que 5 es una cota superior de A. Además, todo número real mayor que 5 tambiénes una cota superior de A. Por ejemplo, 11

2y 6 son cotas superiores de A. ✷

Definición 3.36. Dado un conjunto A de números reales acotado superiormente, diremosque un número real c es una cota superior mínima de A si se cumplen las dos condicionessiguientes:

(i) c es una cota superior de A.(ii) Si d es una cota superior de A, entonces c ≤ d.

Si A tiene una cota superior mínima, entonces ella es única. En efecto, si c y c′ son cotassuperiores mínimas de A, es claro de la definición que c ≤ c′ y también que c′ ≤ c. Luegopor la Ley de Tricotomía tenemos que c = c′.

En el caso que A admita una cota superior mínima c, diremos que c es el supremo deA y escribiremos

c = supA.

Cuando haga falta para evitar ambigüedades también escribiremos sup(A).Diremos que c es el máximo de A si c ∈ A y para todo x ∈ A se cumple que x ≤ c. Es

decir, si c ∈ A y c es una cota superior de A.Notemos que si c es el máximo de A, entonces c es el supremo de A. En otras palabras, un

conjunto tiene máximo si, y sólo si, el conjunto tiene supremo y además el supremo perteneceal conjunto.

Ejemplo 3.37. 1. Considere el conjunto siguiente:

A = {r ∈ R : r ≤ 5}.

Es claro que 5 es una cota superior de A y además 5 pertenece a A. Luego 5 es elmáximo y por lo tanto 5 también es el supremo de A.

2. Consideremos ahora el conjunto:

B = {1− 1

n: n ∈ N, n ≥ 1}.

Observemos que para todo b ∈ B se tiene que b ≤ 1. Así que B es acotado superior-mente. Por otra parte 1 6∈ B (¿por última?). No es difícil convencerse que 1 debe serel supremo de B, sin embargo, para demostrarlo formalmente necesitaremos primeromostrar que N no es acotado superiormente en R, lo que haremos más adelante (ver elteorema 3.42).

142

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Pero si podemos mostrar que B no tiene máximo. En efecto, observemos que

1− 1

n< 1− 1

n+ 1

para todo natural n ≥ 1 (verifíquelo!). Esto indica que ningún elemento de B es mayorque todos los otros elementos de B.

Ahora bien, ¿será cierto que todo conjunto de números reales acotado superiormente tienesupremo? La respuesta es afirmativa, sin embargo, no es posible deducirla de las propiedadesalgebraicas de los números reales, es decir, de las propiedades relativas a las operaciones desuma, resta, multiplicación y división. Por esa razón se introduce la siguiente propiedad, quese conoce como el axioma de completitud o axioma del supremo.

(Axioma de Completitud) Todo conjunto no vacío de números reales que sea acotado supe-riormente tiene supremo.

De manera análoga definiremos los conceptos de cota inferior y cota inferior máxima.

Definición 3.38. Un conjunto A de números reales se dice que es acotado inferiormente

si existe un número real c tal que para todo x ∈ A, se cumple que c ≤ x. Un número real ccon esta propiedad se dice que es una cota inferior de A.

Definición 3.39. Dado un conjunto A de números reales acotado inferiormente, diremosque un número real c es una cota inferior máxima de A si se cumplen las dos condicionessiguientes:

(i) c es una cota inferior de A.(ii) Si d es una cota inferior de A, entonces d ≤ c.

Si A tiene una cota inferior máxima, entonces ella es única (¿por qué?). En el caso queA admita una cota inferior máxima c, diremos que c es el ínfimo de A y escribiremos

c = ı́nf A.

También escribiremos ı́nf(A) para evitar ambigüedades.

Diremos que c es el mínimo de A si c ∈ A y para todo x ∈ A se cumple que c ≤ x. Esdecir, si c ∈ A y c es una cota inferior de A.

Notemos que c es el mínimo de A si, y sólo si, c ∈ A y c es el ínfimo de A.

El axioma de completitud implica que todo conjunto no vacío de números reales acotadoinferiormente tiene un ínfimo.

Teorema 3.40. Todo conjunto de números reales no vacío y acotado inferiormente tieneínfimo.

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Demostración: Sea A ⊆ R no vacío y acotado inferiormente. Sea

B = {y ∈ R : y es una cota inferior de A}.

Por hipítesis, B no es vacío. Por otra parte, mostraremos que cualquier x ∈ A es una cotasuperior de B. En efecto, dado x ∈ A, por definición de ínfimo se tiene que y ≤ x para todoy ∈ B. Por el axioma de completitud B tiene supremo. Sea c el supremo de B. Mostraremosque c es el ínfimo de A. Tenemos que mostrar dos cosas:

1. c es una cota inferior de A. Sea x ∈ A. Ya mostramos que x es una cota superior deB. Luego, como c es el supremo de B, se tiene que c ≤ x. Y esto muestra que c es unacota inferior de A.

2. c es la mayor de la cotas inferiores de A. Sea d otra cota inferior de A, es decir, d ∈ B.Como c es el supremo de B, se tiene que d ≤ c.

Veremos en seguida que el principio de buena ordenación de N se puede deducir delaxioma del supremo.

Teorema 3.41. (Principio de buena ordenación) Sea A un subconjunto no vacío de N.Entonces A tiene un elemento mínimo.

Demostración: Como A está acotado inferiormente por 0, entonces del teorema 3.40 conclui-mos que A tiene ínfimo. Sea

k = ı́nf A.

Mostraremos que k es el mínimo de A. Esto es, mostraremos que k ∈ A. Lo haremos porreducción al absurdo. Supongamos que k 6∈ A. De la definición de ínfimo, se tiene que k + 1

2

no es una cota inferior de A. Por lo tanto existe n ∈ A tal que

k ≤ n < k +1

2.

Observe que nuestra hipótesis que k 6∈ A, nos garantiza que k < n. Por lo tanto, n tampocoes una cota inferior de A, y en consecuencia existe m ∈ A tal que

k ≤ m < n < k +1

2.

De esto se deduce que

0 < n−m <1

2.

Lo cual es imposible, pues n−m es un natural. ✷

Teorema 3.42. N no es acotado superiormente en R.

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Demostración: Daremos una prueba indirecta por reducción al absurdo. Supongamos que N

es acotado superiormente. Por el axioma de completitud N tiene supremo. Sea c el supremode N. Como c− 1 < c, entonces c− 1 no es una cota superior de N. Luego existe n0 ∈ N talque c− 1 < n0. De esto último se obtiene que c < n0 + 1 y como n0 + 1 ∈ N, entonces c nosería una cota superior de N, lo cual es una contradicción.

Ejercicios 3.6.1

1. Determine si los siguientes conjuntos son acotados inferiormente y/o superiormente ysi tienen máximo y/o mínimo y, en caso de tenerlo, diga cúal es:

a) A = {mn: m,n ∈ Z , 1 ≤ m ≤ 5 y 1 ≤ n ≤ 5}.

b) B = {mn: m,n ∈ Z , m ≥ 5 y 1 ≤ n ≤ 5}.

c) C = {mn: m,n ∈ Z , 1 ≤ m ≤ 5 y n ≥ 5}.

d) D = {mn: m,n ∈ Z , m ≥ 5 y n ≥ 5}.

e) E = { mm+1

: m ∈ Z , 0 ≤ m}.f ) F = {m+1

m: m ∈ Z , 0 < m}.

g) G = { mm+1

: m ∈ Z , m < −1}.h) H = { n2

n2+1: n ∈ Z}.

i) I = { 3n2

2n2+1: n ∈ Z}.

j ) J = {4n+75n+2

: n ∈ N}.k) K = {4n+7

5n−2: n ∈ N}.

l) L = {4n+75n−2

: n ∈ N} ∪ {4n+75n+2

: n ∈ N}.m) M = { n

2n2−1: n ∈ N}.

n) N = { n−17−n2 : n ∈ N}.

2. Determine si los siguientes subconjuntos de R son: (i) acotados superiormente y (ii)acotados inferiormente. En caso que lo sean, hallar su supremo y su ínfimo. Determinesi tienen máximo y/o mínimo.

a) R

b) {x ∈ R : 3 ≤ x < 8}.c) {x ∈ R : x2 + 2x+ 1 ≥ 0}.d) {x ∈ R : x2 + 2x− 3 ≥ 0} (Sugerencia: Note que x2 + 2x− 3 = (x+ 1)2 − 4).

e) {z ∈ R : z ∈ Z y z ≤ 113}.

3. a) Sea A ⊆ {x ∈ R : 2 < x < 5} con A 6= ∅ ¿Es A acotado superiormente?

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b) Sea A ⊆ {x ∈ R : x < 2} con A 6= ∅ ¿Es A acotado inferiormente?

4. Sea A ⊆ R, designaremos con −A al conjunto

{−r ∈ R : r ∈ A}.

Halle −A en cada uno de los siguientes ejercicios:

a) A = {2,−3, 23, 5}

b) A = {x ∈ R : x < 2}c) A = {x ∈ R : x ≥ 2}.d) A = {x ∈ R : x ≤ 3}e) A = {x ∈ R : x > 3}f ) A = {x ∈ R : 3 < x < 4}.

5. Dados dos subconjuntos no vacíos A,B de R, definimos los conjuntos A + B y A · Bcomo sigue:

A+B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B} A · B = {ab : a ∈ A, b ∈ B}.

Por ejemplo, si A = {−1, 2} y B = {4, 5, 7}, entonces

A +B = {−1 + 4,−1 + 5,−1 + 7, 2 + 4, 2 + 5, 2 + 7} = {3, 4, 6, 7, 9}.

Y anúlogamenteA ·B = {−4,−5,−7, 8, 10, 14}.

En cada uno de los siguientes ejercicios determine A+B y A · B.

a) A = {1, 2} y B = {12, 34, −2

9}

b) A = {2} y B = N

c) A = {1} y B = { 1n: n ∈ N, n 6= 0}

d) A = Z y B = {−1}e) A = {x ∈ R : 1 < x < 2} y B = {1

2}

f ) A = {x ∈ R : x < 3} y B = {x ∈ R : x < 5}g) A = B = {x ∈ R : −1 < x < 1}h) A = {x ∈ R : 1 < x < 2} y B = {x ∈ R : 3 < x < 4}

6. a) En cada uno de los conjuntos del ejercicio 5 determine si los conjuntos A, B,A + B y A · B son acotados superiormente. En caso que lo sean, halle supA,supB, sup(A+B) y sup(A · B).

b) Dados tres subconjuntos A,B,C de R ¿Es cierto que A · (B+C) = A ·B+A ·C?

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7. Sea A ⊆ R y B = A\[0, 1]. Suponga que B es acotado superiormente y que sup(B) ≤ 0.Muestre que A es acotado superiormente y que sup(A) ≤ 1.

8. Sea A ⊆ R y B = A\ [0, 1]. Suponga que B es acotado inferiormente y que ínf(B) ≥ 1.Muestre que A es acotado inferiormente y que ínf(A) ≥ 0.

9. Sean a, b, c, d ∈ R con a < b y c < d. Los intervalos (a, b), (−∞, a) y (a,+∞) se definende la siguiente manera:

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}(a,+∞) = {x ∈ R : a < x}.

Usando la noción de suma de conjuntos del ejercicio 5, muestre que

(i) (a,+∞) + (c,+∞) = (a+ c,+∞).

(ii) (−∞, a) + (−∞, c) = (−∞, a+ c).

(iii) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (en caso de emergencia, vea el ejercicio ?? de lasección ??).

10. Sea r un real positivo. Considere los siguientes conjuntos:

E = {x ∈ R : x = (1 + a)r para algún real a > 0}.

D = {x ∈ R : x =r

1− bpara algún real b con 0 < b < 1}.

a) Determine si E ⊆ D o D ⊆ E o E = D.

b) ¿Es E igual al intervalo (r,+∞) ?

11. Considere los siguientes conjuntos:

E = {x ∈ R : ∃a, b ∈ R (a < x < b ≤ 2)}F = {x ∈ R : ∃a ∈ R (a < x < 2)}G = {x ∈ R : x < 2}

Determine que relación guardan entre sí. ¿Serán iguales?

3.6.2. La ecuación x2 − 2 = 0

La división (operación inversa de la multiplicación) es siempre posible en Q y es por estoque la ecuación ax+ b = c tiene solución en Q (cuando a, b y c son racionales). Sin embargo,no ocurre lo mismo con la potenciación, pues, como veremos enseguida, no existe un racionalr tal que r2 = 2, o para decirlo de manera equivalente, la ecuación x2 − 2 = 0 no tienesolución en Q.

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Antes de mostrar que no existe un racional cuyo cuadrado sea 2 necesitamos recordar unhecho importante acerca de las fracciones. Ya dijimos que un número racional está represen-tado por una infinidad de fracciones. Sin embargo, entre todas las fracciones que representana un racional dado, hay una que se distingue de las demás por estar en forma irreducible.Una fracción m

nse dice irreducible si mcd(m,n) = 1 y n > 0, es decir, si n y m son coprimos.

Recuerde que mcd(n,m) denota el máximo común divisor de n y m. La siguiente proposiciónmuestra lo que acabamos de decir.

Proposición 3.43. Dada una fracción mn, existe otra fracción p

qirreducible tal que m

n= p

q.

Demostración: Sea m, n dos enteros con n 6= 0. Denotaremos mcd(n,m) por d. Sea p = m/dy q = n/d. Entonces mcd(p, q) = 1 y además p

q= m

n.

La proposición anterior nos dice que siempre podemos suponer, si hiciera falta, que unnúmero racional está representado por una fracción irreducible.

Proposición 3.44. No existe un racional r tal que r2 = 2.

Demostración: Daremos un argumento indirecto, por reducción al absurdo. Supongamos quetal racional existe, sea entonces m

nuna fracción tal que

(m

n

)2

= 2.

Por la proposición 3.43 podemos suponer que mn

es irreducible, es decir que mcd(m,n) = 1.Tenemos entonces que

m2

n2= 2

y por lo tanto m2 = 2n2. Luego m2 es par. Afirmamos que, en consecuencia, m también espar. En efecto, si m no fuera par, entonces sería impar, es decir, m = 2l+1 para algún enterol. Por lo tanto,

m2 = (2l + 1)2 = 4l2 + 4l + 1 = 2(2l2 + 2l) + 1

y de esto se obtiene que m2 es impar. Lo cual contradice lo que obtuvimos antes. Por estom es par.

Como m es par, existe un entero k tal que m = 2k. Luego m2 = 4k2 y por lo tanto2n2 = 4k2. De esto se obtiene que n2 es par y, como antes, esto implica que n también espar. Por lo tanto m y n son pares, en consecuencia mcd(n,m) 6= 1, lo que contradice nuestrasuposición de que m

nera una fracción irreducible.

Si el lector está interesado en una demostración alternativa del teorema anterior, loinvitamos a resolver el ejercicio 5.

Ejercicios 3.6.2

1. Determine la fracción irreducible equivalente a la fracción dada:

(a) 327

, (b) 3620

, (c) 10068

, (d) −2628

, (e) −4535

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2. Sea m un entero. Muestre que si m2 es impar, entonces m es impar.

3. Sean p y q enteros. Muestre que si mcd(p, q) = 1, entonces mcd(pn, qn) = 1 para todonatural n.

4. En cada uno de los siguiente ejercicios determine si existe un racional r que satisfagalo indicado:

(i) r3 = 4, (ii) r2 = 12, (iii) r4 = 80, (iv) r3 = 64,

5. Daremos las indicaciones de una demostración alternativa de que no existe un racionalr tal que r2 = 2. Esta demostración fué tomada de [4]. El argumento es por reducciónal absurdo. Suponga que si existe un racional r tal que r2 = 2 que podemos suponerpositivo (¿Porúltima podemos suponerlo?). Considere el siguiente conjunto de númerosnaturales:

S = {n ∈ N \ {0} : n · r ∈ N}

a) Muestre que S no es vacío.

b) Por el principio de buena ordenanción de N, S tiene un primer elemento quedenotaremos por a. Concluya que a ·(r−1) es un natural positivo y pertenece a S.Muestre que 1 < r < 2 y obtenga una contradicción mostrando que a · (r−1) < a.

3.6.3. Los números irracionales

Los números reales que no son racionales se llaman irracionales y se denotan con laletra I.

I = R \Q.

Ya vimos que, por ejemplo,√2 es irracional, es decir, que las soluciones de la ecuación x2 = 2

no son racionales. Ahora mostraremos un resultado más general que dice que, dados n, a ∈ N,si la ecuación

xn = a

tiene solución en Q, entonces también tiene una solución en N.

Proposición 3.45. Sean n, a ∈ N. Si existe un racional r tal que rn = a, entonces existeun natural m tal que mn = a.

Demostración: Sean p, q ∈ N tales que

(

p

q

)n

= a.

Por lo dicho en la proposición 3.43, podemos suponer sin pérdida de generalidad que mcd(p, q) =1. Entonces pn = aqn, por lo tanto qn|pn. Pero mcd(pn, qn) = 1 (¿por última?), entoncesqn = 1 y por lo tanto pn = a.

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La proposición anterior se puede enunciar de forma equivalente de la siguiente manera:Sean n, a ∈ N. Si no existe una solución en N para la ecuación xn = a, entonces tampocoexiste una solución en Q de esa ecuación.

De lo dicho anteriormente se concluye que los siguiente números son irracionales:

4√21,

3√15,

7√2.

Pues ninguna de las ecuaciones x4 = 21, x3 = 15 y x7 = 2 tiene solución en N.

Ejercicios 3.6.3

1. Demuestre que los siguiente números son irracionales:

a)√3,√5 ,

√6

b) 3√2 y 3

√3

c)√2 +

√3 + 2

d)√6−

√2−

√3

e)√√

2,

√√2

2. ¿Para cuáles naturales n existe un racional r tal que rn = n?

3. Use la proposición 3.45 para determinar para cuáles naturales n y a se cumple que n√a

es irracional.

4. a) Suponga que a y b son racionales ¿Es a + b necesariamente racional? ¿Y si a í bes irracional?

b) Si a es racional y b es irracional, ¿es ab necesariamente irracional?

c) ¿Existe algún número real a tal que a2 es irracional pero a4 es racional?

d) Determine si la suma de irracionales es irracional.

e) ¿Existen dos números irracionales tales que tanto su suma como su producto seanracionales?

f ) Sea a un número irracional, ¿Es a−1 irracional?

5. Sean a, b, c y d racionales y x un irracional tal que cx+ d 6= 0. Muestre que

ax+ b

cx+ d

es irracional si, y sólo si, ad 6= bc.

6. Supondremos que la exponenciación ab está definida para cualquier para de reales a, bcon a > 0

a) Muestre que existe un irracional a > 0 y un racional b tal que ab es irracional.

b) Muestre que existe un irracional a > 0 y un irracional b tal que ab es racional.

150

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3.6.4. Otra demostración de que R no es numerable

Ya vimos en el teorema 2.79 que R no es numerable. El argumento que usamos dependióde la representación decimal de los números reales. Ahora veremos otra prueba que usa elaxioma del supremo. En ambos argumentos se muestra que ninguna función f : N → R essobreyectiva, construyendo un número real que no pertenece al rango de f .

Ahora daremos otra demostración de que R no es numerable. Para hacerlo, necesitare-mos una propiedad muy importante de los números reales. Antes de enunciarla daremos unejemplo.

Ejemplo 3.46. Considere la siguiente colección de intervalos cerrados

In =

[

− 1

n + 1,

1

n + 1

]

para n ∈ N. Por ejemplo,

I0 = [−1, 1] , I1 =

[

−1

2,1

2

]

I2 =

[

−1

3,1

3

]

.

Observe queI0 ⊇ I1 ⊇ I2 ⊇ · · ·

es decir, los intervalos van decreciendo con relación a ⊆. Mostraremos que

n∈N

In = {0}.

En efecto, es obvio que 0 ∈ In para todo n ∈ N. Por otra parte, mostraremos que si r 6= 0,entonces existe n ∈ N tal que r 6∈ In. En efecto, como |r| > 0 entonces existe n ∈ N tal que|r| > 1

n+1(propiedad Arquimediana de R). Por lo tanto r 6∈ In.

La longitud de un intervalo [a, b] se define como la diferencia de sus extremos, es decir,la longitud de [a, b] es b− a. En el ejemplo anterior, tenemos que la longitud de In es

1

n + 1− (− 1

n + 1) =

2

n+ 1

Observemos que dado r > 0 cualquiera, existe un natural n tal que 2n+1

< r. Esto dice que lalongitud de los intervalos In del ejemplo anterior se hace tan pequeña como se quiera. Estosson los ingredientes del siguiente teorema.

Teorema 3.47. (Principio de los intervalos encajados) Sea {In}n∈N una colección de inter-valos cerrados en R tales que

(i) In+1 ⊆ In,

(ii) Para todo r > 0 existe un n tal que longitud de In es menor que r.

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Entonces existe un real z tal que

n

In = {z}.

Demostración: Sea an, bn los extremos de In, es decir, In = [an, bn]. Por hipótesis In+1 ⊆ In,por lo tanto

an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn. (3.4)

Es decir, tenemos que

a0 ≤ a1 ≤ · · · ≤ an ≤ an+1 ≤ · · · ≤ bn+1 ≤ bn ≤ · · · ≤ b1 ≤ b0

Sea A el siguiente conjuntoA = {bn : n ∈ N}.

De (3.4) se tiene que cada an es una cota inferior de A. Por consiguiente A tiene ínfimo,sea z el ínfimo de A. Por la misma razón tenemos que an ≤ z para todo n. Por lo tantoan ≤ z ≤ bn. Esto muestra que z ∈ In para todo n.

Falta mostrar que z es el único elemento de⋂

n In. Supongamos que no es así y sea wotro real tal que w ∈ In para todo n. Por lo tanto para todo n la longitud de In es mayor oigual que |z − w|. Pero esto contradice la hipótesis (ii).

También necesitaremos el siguiente resultado.

Lema 3.48. Sea F ⊆ R un conjunto finito, I un intervalo cerrado y n un natural con n ≥ 1.Entonces existe un intervalo cerrado J ⊆ I tal que F ∩ J = ∅ y la longitud de J es menorque 1

n.

Demostración: Sea I = [a, b], F = {c1, c2, · · · , cm} un conjunto finito y n ≥ 1. Podemossuponer que a ≤ c1 < c2 < · · · < cm ≤ b (¿por última?). Entonces escojamos a′, b′ tales quec1 < a′ < b′ < c2 y además b′ − a′ < 1

n. Sea J = [a′, b′]. Dejamos como ejercicio verificar que

J satisface la conclusión del lema.✷

Teorema 3.49. R no es numerable.

Demostración: (Segundo argumento) Sea f : N → R un función cualquiera. Mostraremosque f no es sobreyectiva construyendo un real z que no está en el rango de f .

Definiremos una sucesión de intervalos cerrados In tales que

(i) f(n) 6∈ In para todo n,

(ii) In+1 ⊆ In para todo n,

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(iii) La longitud de In es menor que 1n+1

.

Sea I0 un intervalo cerrado tal que f(0) 6∈ I0 y lademás que tenga longitud menor que 1.Supongamos que hemos definido Ik para todo k ≤ n tal que (i), (ii) y (iii) se cumplen. Por ellema 3.48 sabemos que existe un intervalo cerrado J ⊆ In tal que f(n+1) 6∈ J y la longitudde J es menor que 1

n+1. Sea In+1 = J .

El lector debe convencerse que esta sucesión de intervalos cerrados satisface las hipótesisdel teorema 3.47. Sea entonces z ∈ R tal que z ∈ In para todo n ∈ N. Por la condición (i)de la construcción de los intervalos sabemos que f(m) 6= z para todo m. Esto muestra quez no pertenece al rango de f . ✷

El primer argumento que presentamos para mostrar que R no es numerable es quizá elprimer ejemplo de lo que ahora se conoce como el método de diagonalización de Cantor. Ellector puede observar que la sucesión de dígitos cn se obtiene modificando “la diagonal” de latabla de expasiones decimales de los elementos del rango de f . El segundo argumento haceuso del axioma del supremo. Esto muestra que el tamaño de R está ligado al hecho que R

satisface el axioma del supremo.

3.6.5. Algunos subconjuntos de R que tampoco son numerables

El siguiente resultado muestra que existen muchos más números irracionales que racio-nales.

Teorema 3.50. El conjunto de los números irracionales no es numerable.

Demostración: En efecto, supongamos por reducción al absurdo que I es numerable. ComoR = Q ∪ I, entonces R es numerable, al ser la unión de dos conjuntos numerables. Y esto esun contradicción.

En algunas circunstancias el conocer la cardinalidad de un conjunto da indirectamenteinformación interesante sobre el conjunto. Ilustraremos lo que acabamos de decir con unejemplo.

Ejemplo 3.51. (Números algebraicos y trascendentes) Un número real r se dice que esalgebraico, si existe un polinomio p(x) con coeficientes racionales tal que p(r) = 0. Enotras palabras, los números algebraicos son aquellos números reales que son una raíz de unpolinomio con coeficientes racionales. Por ejemplo,

√2 es algebraico, pues es una raíz de

x2 − 2. De igual forma 3√5 también es algebraico. El lector se puede convencer que n

√q es

algebraico para todo racional positivo q y todo natural n ≥ 2.Sea A la colección de todos los números reales algebraicos. Ya dijimos que Q ⊆ A y que

también A contiene números irracionales.Ahora bien, ¿cuál es la cardinalidad de A?, ¿Es A = R? Daremos algunas indicaciones

de cómo responder estas preguntas. Consideremos el siguiente conjunto

Q[x] = {p : p es un polinomio con coeficientes en Q}.

153

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El conjunto Q[x] es numerable. La idea para mostrar esto último es la siguiente. Considerelos conjuntos

Qn[x] = {p ∈ Q[x] : p es un polinomio de grado menor o igual a n}.Tenemos entonces que

Q[x] =⋃

n

Qn[x].

Bastaría entonces mostrar que cada Qn[x] es numerable. Por ejemplo, para ver que Q2[x] esnumerable, observemos que un polinomio p ∈ Q2[x] tiene la forma

p(x) = a+ bx

con a, b ∈ Q. Ahora bien, notemos que si (a, b) 6= (a′, b′), entonces los polinomios a + bx ya′ + b′x son diferentes. Por lo tanto tenemos que la función

(a, b) 7→ a + bx

es biyectiva. Esto muestra que Q2[x] es numerable. De manera similar se puede mostrar queQn[x] también es numerable.

Continuando con la discusión sobre la cardinalidad de A, considere para cada p ∈ Q[x]el conjunto

Rp = {r ∈ R : p(r) = 0}.Es decir, Rp consiste de las raíces de p. Como cada polinomio de grado n tiene a lo sumo nraíces, tenemos que para cada polinomio p el conjunto Rp es finito. Es fácil convencerse que

A =⋃

p∈Q[x]

Rp.

Luego como Q[x] es numerable y cada Rp es finito entonces |A| ≤ |N|. Pero ya vimos antesque |N| ≤ |A|. Por lo tanto A es numerable.

El hecho que A es numerable y que R no lo es garantiza que R\A tampoco es numerable.En efecto, razonando indirectamente, vemos que si R \ A fuese numerable, entonces R =(R \ A) ∪ A también lo sería (por ser la unión de dos conjuntos numerables) y esto es unacontradicción. Con esto hemos mostrado que existen reales que no son algebraicos.

Los reales que pertenecen a R \A se llaman trascendentes. Vemos entonces que hay másreales trascendentes que algebraicos. ¿Puede el lector dar un ejemplo de un real trascendente?Esta pregunta no es sencilla. El matemático francés Joseph Liouville (1809-1882) fué quienpor primera vez mostró que existían números trascendentes (el argumento que dimos arriba,basado en la cardinalidad de los conjuntos, se debe a Cantor y es posterior). Algunos ejemplosde números transcendentes son e y π. Entre los que consigió Liouville tenemos el siguiente:

0, 101001000000100000000000000000000000010 · · ·10 · · ·Donde el número de ceros entre dos unos consecutivos es n!.

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Ejercicios 3.6.4

1. Considere la siguiente colección {In}n∈N de intervalos cerrados:

In =

[

3n+ 1

2n+ 2,3n + 4

2n + 2

]

para cada n ∈ N. Halle el real z tal que

n∈N

In = {z}.

2. Considere los siguientes conjuntos donde n ∈ N:

An =

[

− 1

n + 1,

1

n+ 1

]

∪[

1− 1

n+ 1, 1 +

1

n + 1

]

.

Muestre que⋂

n∈N

An = {0, 1}.

3. Muestre que⋂

n∈N

[n,+∞) = ∅.

4. Muestre que⋂

n∈N

(

0,1

n+ 1

)

= ∅.

5. Muestre que⋂

n∈N

[

0, 1 +1

n + 1

]

= [0, 1].

6. Muestre que R \ Z no es numerable.

7. Sea A = {q ∈ Q : q2 < 2}. Muestre que R \ A no es numerable.

8. Muestre que R2 no es numerable.

9. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q}. Muestre que A no es numerable.

10. Muestre que {(x, y) ∈ R2 : x, y son irracionales} no es numerable.

11. Muestre que R2 \ (Z×Q) no es numerable.

12. Muestre que R3 no es numerable.

13. Muestre que R3 \Q3 no es numerable.

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14. Diremos que una función f ∈ NN es eventualmente constante, si existen m, a ∈ N

tales quef(n) = a para todo n ≥ m.

Por ejemplo, sea f ∈ NN dada por f(0) = 15, f(1) = 35 y f(n) = 3 si n ≥ 2. Entoncesf es eventualmente constante. Por otra parte, la función f(n) = n + 2 para n ∈ N noes eventualmente constante.

Sea A la colección de funciones que son eventualmente constantes. Muestre que NN \Ano es numerable.

15. Muestre que el siguiente conjunto es numerable para cada entero positivo n.

Qn[x] = {p ∈ Q[x] : p es un polinomio de grado menor o igual a n}.

3.6.6. ¿Es único el orden de R?

Ya hemos visto que los órdenes de N, Z y Q se pueden caracterizar por algunas propie-dades que sólo ellos tienen. Enunciaremos un resultado similar para el orden de R.

Un orden lineal (X,≺X) es completo, si satisface el principio del supremo, es decir, todosubconjunto de X no vacío y acotado superiormente tiene supremo.

Teorema 3.52. (Cantor) Sea (X,≺X) un orden lineal tal que

(i) (X,≺X) es completo

(ii) Existe D ⊆ X numerable y denso en X.

(iii) X no tiene ni primer ni último elemento.

Entonces (X,≺X) es orden isomorfo a R.

Ejercicios 3.6.6.

1. Determine cuales de los siguientes subconjuntos son isomorfos a R con el orden here-dado de R.

a) (0,+∞).

b) (−1, 1).

c) R \ {0}.

2. Muestre que toda colección de abiertos de R es a lo sumo numerable.

3.7. Operaciones con conjuntos ordenados

En esta sección veremos cómo podemos ”sumar” y ”multiplicar” conjuntos ordenados. Nosconcentraremos en estas operaciones sobre conjuntos linealmente ordenados.

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3.7.1. Inversión de un orden

Sea (X,�X) es un conjunto ordenado, podemos invertir el orden y obtenemos otro ordensobre X. Mas precisamente, definamos una relación �∗

X de la manera siguiente: x �∗X y, si

y �X x para x, y ∈ X. Por ejemplo, la inversión del orden usual de N luce como se indica acontinuación:

· · · ≤∗N 4 ≤∗

N 3 ≤∗N 2 ≤∗

N 1 ≤∗N 0

Debería ser claro que (N,≤N) y (N,≤∗N) no son isomorfos. Por ejemplo, N con su orden usual

tiene un primer elemento, pero con el orden invertido no tiene mínimo.

Veamos ahora última sucede con el orden (Z,≤Z). Al invertir el orden obtenemos

· · · ≤∗Z 4 ≤∗

Z 3 ≤∗Z 2 ≤∗

Z 1 ≤∗Z 0 ≤∗

Z −1 ≤∗Z −2 ≤∗

Z −3 ≤∗Z −4 ≤∗

Z · · ·

En este caso obtenemos un orden que es isomorfo al inicial. Esto es (Z,≤Z) y (Z,≤∗Z) son

isomorfos. El lector puede verificar que la función x 7→ −x es un isomorfismo.

3.7.2. Suma de órdenes

Sean (X,�X) y (Y,�Y ) dos conjuntos ordenados que supondremos satisfacen que X∩Y =∅. La suma de esos órdenes consiste en colocar los elementos de X antes de cualquier elementode Y . Formalmente, definimos un nuevo conjunto ordenado que denotaremos por

(X,�X)⊕ (Y,�Y )

sobre el conjunto Z = X ∪ Y y orden viene dado de la siguiente manera: Sean a, b ∈ Z,diremos que a �Z b, si se da cualquiera de las siguientes alternativas:

(i) a, b ∈ X y a �X b

(ii) a, b ∈ Y y a �Y b

(iii) a ∈ X y b ∈ Y .

Por ejemplo, consideremos el caso en que X = Y = N con el orden usual. Entonces(N,≤N)⊕ (N,≤N) luce como se indica a continuación:

(0, 0) � (1, 0) � (2, 0) � (3, 0) � · · · (0, 1) � (1, 1) � (2, 1) � (3, 1) � · · ·

La condición de que X e Y sean disjuntos no es realmente necesaria, pues podemoscambiarlos por copias isomorfas sobre conjuntos disjuntos. Más precisamente, sean (X,�X) y(Y,�Y ) dos conjuntos ordenados. Consideremos los conjuntos X ′ = X×{0} y Y ′ = Y ×{1}.Entonces X ′ y Y ′ son disjuntos. Ahora definimos los órdenes en X ′ y Y ′ de la manerasiguiente: (a, 0) �X′ (b, 0) si a �X b para (a, 0), (b, 0) ∈ X ′. De manera análoga, lo hacemoscon Y ′.

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3.7.3. Producto de órdenes lineales

Ahora veremos una manera de hacer el producto de órdenes lineales. La idea es la mismaque se usa para multiplicar números. Veamos. Sea A = {a, b, c} y B = {1, 2}. Consideremosque A y B están ordenados, digamos que en A tenemos a < b < c y en B el orden usual delos números. Entonces podemos listar (ordenar) A×B de la siguiente manera:

(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)

Esto es, ordenamos primero de acuerdo a la primera coordenada y después respecto a lasegunda. Este es el criterio usado para ordenar palabras en un diccionario y por esto esteorden se llama el orden lexicográfico.

Sean (X,�X) y (Y,�Y ) dos conjuntos linealmente ordenados. El orden lexicográfico enX × Y se define como sigue: Sean (x, y), (x′, y′) ∈ X × Y , pondremos (x, y) � (x′, y′) si secumple alguna de las siguientes alternativas:

(i) x ≺X x′,

(ii) x = x′ y y �Y y.

Siguiendo con los conjuntos A y B de antes, veamos como es el orden en B ×A

(1, a) ≺ (1, b) ≺ (1, c) ≺ (2, a) ≺ (2, b) ≺ (2, c)

Claramente, este orden no es igual al de A × B, pues A × B 6= B × A, sin embargo sonisomorfos. Esto no se cumple en general, es decir, en algunos casos el orden lexicográfico deX × Y no es isomorfo al de Y ×X. Veamos un ejemplo.

Consideremos X = N con su orden usual y Y = {a, b} con el orden a < b. EntoncesX × Y queda ordenado de la siguiente manera:

(0, a) ≺ (0, b) ≺ (1, a) ≺ (1, b) ≺ (2, a) ≺ (2, b) ≺ (3, a) ≺ (3, b) ≺ · · ·

El lector debe convencerse que, en este caso particular, X × Y ordenado lexicográficamente,es isomorfo a N con su orden natural.

Por otra parte, el orden de Y ×X es:

(a, 0) ≺ (a, 1) ≺ (a, 2) ≺ (a, 3) ≺ · · · ≺ (b, 0) ≺ (b, 1) ≺ (b, 2) ≺ (b, 3) ≺ · · ·

El lector también debe convencerse que Y × X no es isomorfo a X × Y (por ejemplo, enX×Y no existe un elemento como (b, 0) que tiene infinitos elementos antes que él) y tambiénque Y ×X es isomorfo a N⊕ N.

Ejercicios §3.7

1. Sea (X,�X) un orden lineal con X un conjunto finito. Muestre que (X,�∗) es isomorfoa (X,�)

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2. Sea ≤Q el orden usual en Q. Muestre que (Q,≤∗Q) es isomorfo a (Q,≤Q) y que lo mismo

ocurre con R.

3. Denotemos por U al orden de un conjunto de un sólo punto. Muestre que (N⊕ U)∗ esisomorfo a U ⊕ N∗.

4. Sean (X,�X) y (Y,�Y ) conjuntos lineales. Muestre que (X⊕Y )∗ es isomorfo a Y ∗⊕X∗.

5. Muestre que (N,≤N)⊕ (N,≤∗N) es isomorfo a Z con el orden usual.

6. Muestre que (Q,≤Q)⊕ (Q,≤Q) es isomorfo a (Q,≤Q). última puede decir de Z⊕ Z yR⊕ R? Sugerencia: Use el teorema 3.33.

7. Construya dos conjuntos linealmente ordenados X e Y tales que X ⊕ Y no sea ordenisomorfo a Y ⊕X.

8. Sea A = {a, b} ordenado a ≺A b. Muestre que (A,�A)× (N,≤N) ordenado lexicográfi-camente es isomorfo a N⊕ N y que (N,≤N)× (A,�A) es isomorfo a N.

9. Muestre que (Q,≤Q)× (Q,≤Q) es isomorfo a (Q,≤Q).

3.7.4. Buenos órdenes (continuación)

En esta sección mostraremos que las operaciones ⊕ y × entres buenso órdenes producenbuenos órdenes.

Teorema 3.53. Sean (X,�X) y (Y,�Y ) dos conjuntos bien ordenados. Entonces

(i) (X,�X)⊕ (Y,�Y ) es un buen orden.

(ii) (X,�X)× (Y,�Y ) es un buen orden.

Demostración. (i) Supondremos que X ∩Y = ∅. Sea A ⊆ X ∪ Y no vacío. Mostraremos queA tiene un primer elemento. Consideramos dos casos:

(a) A ∩ X 6= ∅. Por estar X bien ordenado, entonces A ∩ X tiene un primer elementoque denotaremos por a0. Por la definición del orden suma, se concluye que a0 es el primerelemento de A ∩X respecto al orden �X .

(b) A∩X = ∅. Es similar al caso (a). Como A ⊆ Y y Y está bien ordenado, entonces ·seb0 el mínimo elemento de A respecto al orden �Y .

(ii) Sea A ⊆ X × Y no vacío. Sea B = {x ∈ X : ∃y ∈ Y (x, y) ∈ A}, claramenteB 6= ∅. Como X está bien ordenado, sea x0 el menor elemento de B (respecto a �X). SeaC = {y ∈ Y : (x0, y) ∈ A}. Por la escojencia de x0, se tiene que C no es vacío. Sea y0el menor elemento de C (respecto a �Y ). Dejamos al lector convencerse que 8x0, y0) es elmenor elemento de A respecto del orden lexicográfico.

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El teorema anterior nos permite construir buenos órdenes. En efecto, sea X = Y = N

con su orden usual, entonces X ⊕ Y se puede visualizar como lo hicimos en la sección 3.7.2.El orden producto N× N es mas complejo.

(0,0) � (0,1) � (0,2) � ··· (1,0) � (1,1) � (1,2) � ···(2,0) � (2,1) � (2,2) � ··· (n,0) � (n,1) � (n,2) � ···

Otra consecuencia importante del teorema anterior es que podemos agregar un punto acada conjunto bien ordenado y obtenemos otro conjunto bien ordenado. En efecto, si (X,�X)está bien ordenado, entonces colocando Y = {1} vemos que X ⊕ Y consiste en agregar unpunto que está por encima de cada elemento de X. Este orden se denota por X + 1.

Los buenos órdenes son especiales (por algo los llamamos así!!). Uno podría preguntarsesi son ”fáciles de construir”, o mejor, si un conjunto cualquiera se puede ordenar con un buenorden. Por ejemplo, ¿existirá un buen orden � en R? La respuesta es que sí, pero justificar laexistencia de un buen orden sobre R requiere argumentos que no incluiremos en este texto.De hecho, se tiene el siguiente teorema.

Teorema 3.54. Todo conjunto puede ser bien ordenado.

Como dijimos, la demostración de este teorema está fuera de los objetivos de este libro,pero sí queremos decirle al lector, que para hacerlo se requiere el uso del axioma de la elección.

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Índice alfabético

A+B, 146A ≈ B, 76A · B, 146A× B, 1BA, 14, 88Sn, 48fA, 181A, 40f : A → B, 14f [C], 51f−1, 42f−1[D], 52f−1[b], 52g ◦ f , 35

automorfismo, 132axioma de completitud, 142Axioma de Elección, 98, 159axioma del supremo, 142

buen orden, 124

Cantor, 117cartesiano, 1ciclo, 49ciclos disjuntos, 50codominio, 14componente, 1conjunto acotado inferiormente, 143conjunto acotado superiormente, 141conjunto con n elementos, 59conjunto denso en si mismo, 140conjunto finito, 60conjunto imagen, 14conjunto infinito, 84conjunto linealmente ordenado, 122

conjunto ordenado, 121conjunto totalmente ordenado, 122conjuntos disjuntos dos a dos, 62conjuntos equipotentes, 76contradominio, 14cota inferior, 143cota superior, 141cubo, 5

Dedekind, 86denso, 132Descartes, 1diagrama sagital, 16dominio de una función, 14dominio de una relación, 11

espacio tridimensional, 4

fracción irreducible, 147función, 13función biyectiva, 28función característica, 18función compuesta, 35función creciente, 32función decreciente, 32función definida por partes, 17función identidad, 15, 40función indicatríz, 18función inyectiva, 21función que preserva el orden, 126función restricción, 68función sobreyectiva, 23función uno-a-uno, 21

grupo simétrico, 48

hipótesis del continuo, 117

161

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imagen de un conjunto, 51imagen de un elemento, 13infimo, 143intervalo, 130, 133intervalo propio, 130inversa por la derecha, 45inversa por la izquierda, 45inversas laterales, 45isomorfismo de orden, 125

ley de correspondencia, 15longitud de un intervalo, 151

máximo, 84, 142método de diagonalización de Cantor, 114,

152

número algebráico, 153número irracional, 149número trascendente, 154

orden, 121orden completo, 156orden lexicográfico, 157

par ordenado, 1Paradoja de Russel, 119permutaciones, 48plano Cartesiano, 2preimagen, 23preimagen de un conjunto, 52principio de buena ordenación, 124, 144principio de inclusión y exclusión, 63principio de los intervalos encajados, 151principio del palomar, 73producto Cartesiano, 1

rango de una función, 14rango de una relación, 11relación, 10relación binaria, 10

subconjunto denso, 133supremo, 142

Teorema de Schröder-Bernstein, 103

tupla ordenada, 97

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