notas de aula calc iv

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Notas de calculo IV

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  • 1Notas do Curso de SMA356 - Calculo IV e SMA333 - Calculo III

    Prof. Wagner Vieira Leite Nunes

    S~ao Carlos - 1.o semestre de 2015

  • 2

  • Sumario

    1 Avisos Gerais sobre a Disciplina 7

    1.1 Pagina na web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.2 Endereco de email do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.3 Sala do professor no ICMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.4 Telefone/Ramal do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    1.5 Horario das aulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.6 Ementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.7 Bilbiograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.8 Notas de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    1.9 Horarios de monitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.10 Horario de atendimento do docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.11 Listas de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.12 Freque^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.13 Criterio de avaliac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.14 Prova substitutiva da disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    1.15 Datas das avaliac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.16 Gabaritos das provas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.17 Trancamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.18 Numeros de aulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.19 Calendario USP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    1.20 Observac~oes nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    2 Introduc~ao 15

    3 Seque^ncias Numericas 17

    3.1 Denic~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    3.2 Operac~oes com seque^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    3.3 Converge^ncia de seque^ncias numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3.4 Seque^ncias monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.5 Seque^ncias divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    3.6 Subseque^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    3.7 Seque^ncias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    3.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    3

  • 4 SUM

    ARIO

    4 Series Numericas 75

    4.1 Denic~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

    4.2 Operac~oes com series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.3 Converge^ncia de series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    4.4 Resultados Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    4.5 Criterios de Converge^ncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    4.6 Converge^ncia de Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    4.7 Reagrupamento de Series Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    4.8 Series Absolutamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

    4.9 Series Condicionalmente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

    4.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    5 Seque^ncia de Func~oes 163

    5.1 Denic~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

    5.2 Converge^ncia Pontual de Seque^ncias de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

    5.3 Converge^ncia Uniforme de Seque^ncias de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . 168

    5.4 Seque^ncias de Func~oes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    5.5 Propriedades da converge^ncia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    5.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

    6 Series de Func~oes 191

    6.1 Series de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

    6.2 Converge^ncia Pontual de Series de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

    6.3 Converge^ncia Uniforme de Series de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    6.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

    7 Series de Pote^ncias 215

    7.1 Denic~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

    7.2 Converge^ncia Pontual de Series de Pote^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

    7.3 Converge^ncia Uniforme de Series de Pote^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

    7.4 Integrac~ao Series de Pote^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

    7.5 Derivac~ao de Series de Pote^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

    7.6 Serie de Taylor e de McLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

    7.7 Representac~ao de Func~oes em Series de Pote^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . 286

    7.8 Serie Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

    7.9 Aplicac~ao de series de pote^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

    7.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

    8 Series de Fourier 311

    8.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

    8.2 Metodo das Separac~ao de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

    8.3 Os Coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

    8.4 Interpretac~ao Geometrica dos Coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 365

  • SUM

    ARIO 5

    8.5 Converge^ncia Pontual da Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

    8.6 Converge^ncia Uniforme da Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

    8.7 Notas Historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

    8.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

    9 Aplicac~ao de Serie de Fourier as EDP's 413

    9.1 O Problema da Conduc~ao do Calor em um Fio . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

    9.2 O Problema da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

    9.2.0.1 Corda Vibrante com as Extremidades Fixas . . . . . . . . . . 434

    9.2.0.2 Corda Vibrante com as Extremidades num Trilho Vertical . 439

    9.3 A Equac~ao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

    9.3.0.3 O Problema de Dirichlet num Reta^ngulo . . . . . . . . . . . 449

    9.3.0.4 O Problema de Dirichlet num Crculo . . . . . . . . . . . . . 457

    9.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

    9.5 Refere^ncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

  • 6 SUM

    ARIO

  • Captulo 1

    Avisos Gerais sobre a Disciplina

    As informac~oes que cosntam des captulo tratam da turma do prof. Wagner.

    24.02.2015 - 1.a aula

    1.1 Pagina na web da disciplina

    A pagina da disciplina SMA356 - Calculo IV, que sera ministrada pelo prof. Wagner, tem o

    seguinte endereco:

    www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/sma356.html

    1.2 Endereco de email do professor

    O email do professor Wagner, e

    wvlnunes@icmc.usp.br

    1.3 Sala do professor no ICMC

    A sala do professor Wagner, e a

    sala 3-128, no ICMC-USP

    1.4 Telefone/Ramal do professor

    O telefone/ramal do professor Wagner, no ICMC, e

    (33) 73-9745

    7

  • 8 CAP

    ITULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA

    1.5 Horario das aulas

    Os horarios das aulas da disciplina SMA356 - Calculo IV ser~ao:

    3.as-feiras e 5.as-feiras, das 14:20 as 16:00, na sala Matadouro 1

    Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web:

    www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/sma356.html

    1.6 Ementa da disciplina

    A ementa da disciplina SMA356 - Calculo IV e a seguinte:

    1. Seque^ncias numericas.

    (a) Denic~oes e exemplos.

    (b) Subseque^ncias de uma seque^ncia numerica.

    (c) Seque^ncias numericas de Cauchy.

    (d) Converge^ncias de seque^ncias numericas.

    (e) Seque^ncias numericais monotonas (crescentes e decrescentes).

    2. Series numericas:

    (a) Denic~oes e exemplos.

    (b) Converge^ncia para series numericas, cujos termos s~ao n~ao negativos:

    i. Criterio de diverge^ncia para series numericas;

    ii. Criterio de Cauchy para series numericas;

    iii. Criterio da comparac~ao para series numericas,

    iv. Criterio da comparac~ao, por limite, para series numericas;

    v. Criterio da raz~ao para series numericas;

    vi. Criterio da raz~ao, por limite, para series numericas;

    vii. Criterio da raiz para series numericas;

    viii. Criterio da raiz, por limite, para series numericas.

    (c) Series alternadas:

    i. Criterio de Leibniz (