notas de aula calc iv

1

Notas do Curso de SMA356 - Calculo IV e SMA333 - Calculo III

Prof. Wagner Vieira Leite Nunes

S~ao Carlos - 1.o semestre de 2015

Sumario

1 Avisos Gerais sobre a Disciplina 7

1.1 Pagina na web . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Endereco de email do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Sala do professor no ICMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Telefone/Ramal do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Horario das aulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6 Ementa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.7 Bilbiograa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8 Notas de aula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9 Horarios de monitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10 Horario de atendimento do docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.11 Listas de exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.12 Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.13 Criterio de avaliac~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.14 Prova substitutiva da disciplina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.15 Datas das avaliac~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.16 Gabaritos das provas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.17 Trancamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.18 Numeros de aulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.19 Calendario USP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.20 Observac~oes nais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Introducao 15

3 Sequencias Numericas 17

3.1 Denic~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Operac~oes com sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Convergencia de sequencias numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4 Sequencias monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.5 Sequencias divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.6 Subsequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.7 Sequencias de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3

4 SUMARIO

4 Series Numericas 75

4.1 Denic~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Operac~oes com series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.3 Convergencia de series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4 Resultados Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.5 Criterios de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6 Convergencia de Series Alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4.7 Reagrupamento de Series Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.8 Series Absolutamente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

4.9 Series Condicionalmente Convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5 Sequencia de Funcoes 163

5.1 Denic~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2 Convergencia Pontual de Sequencias de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5.3 Convergencia Uniforme de Sequencias de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.4 Sequencias de Func~oes de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.5 Propriedades da convergencia uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

6 Series de Funcoes 191

6.1 Series de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.2 Convergencia Pontual de Series de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

6.3 Convergencia Uniforme de Series de Func~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

7 Series de Potencias 215

7.1 Denic~oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

7.2 Convergencia Pontual de Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

7.3 Convergencia Uniforme de Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

7.4 Integrac~ao Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.5 Derivac~ao de Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

7.6 Serie de Taylor e de McLaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.7 Representac~ao de Func~oes em Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . 286

7.8 Serie Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

7.9 Aplicac~ao de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

7.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

8 Series de Fourier 311

8.1 Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

8.2 Metodo das Separac~ao de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.3 Os Coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

8.4 Interpretac~ao Geometrica dos Coecientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . 365

SUMARIO 5

8.5 Convergencia Pontual da Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383

8.6 Convergencia Uniforme da Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398

8.7 Notas Historicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

8.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

9 Aplicacao de Serie de Fourier as EDP’s 413

9.1 O Problema da Conduc~ao do Calor em um Fio . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

9.2 O Problema da Corda Vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434

9.2.0.1 Corda Vibrante com as Extremidades Fixas . . . . . . . . . . 434

9.2.0.2 Corda Vibrante com as Extremidades num Trilho Vertical . 439

9.3 A Equac~ao de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

9.3.0.3 O Problema de Dirichlet num Retangulo . . . . . . . . . . . 449

9.3.0.4 O Problema de Dirichlet num Crculo . . . . . . . . . . . . . 457

9.4 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

9.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468

6 SUMARIO

Capıtulo 1

Avisos Gerais sobre a Disciplina

As informacoes que cosntam des capıtulo tratam da turma do prof. Wagner.

24.02.2015 - 1.a aula

1.1 Pagina na web da disciplina

A pagina da disciplina SMA356 - Calculo IV, que sera ministrada pelo prof. Wagner, tem o

seguinte endereco:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/sma356.html

1.2 Endereco de email do professor

O email do professor Wagner, e

[email protected]

1.3 Sala do professor no ICMC

A sala do professor Wagner, e a

sala 3-128, no ICMC-USP

1.4 Telefone/Ramal do professor

O telefone/ramal do professor Wagner, no ICMC, e

(33) 73-9745

7


mailto:[email protected]

8 CAPITULO 1. AVISOS GERAIS SOBRE A DISCIPLINA

1.5 Horario das aulas

Os horarios das aulas da disciplina SMA356 - Calculo IV ser~ao:

3.as-feiras e 5.as-feiras, das 14:20 as 16:00, na sala Matadouro 1

Outras informac~oes podem ser obtidas no seguinte endereco da web:


1.6 Ementa da disciplina

A ementa da disciplina SMA356 - Calculo IV e a seguinte:

1. Sequencias numericas.

(a) Denic~oes e exemplos.

(b) Subsequencias de uma sequencia numerica.

(c) Sequencias numericas de Cauchy.

(d) Convergencias de sequencias numericas.

(e) Sequencias numericais monotonas (crescentes e decrescentes).

2. Series numericas:


(b) Convergencia para series numericas, cujos termos s~ao n~ao negativos:

i. Criterio de divergencia para series numericas;

ii. Criterio de Cauchy para series numericas;

iii. Criterio da comparac~ao para series numericas,

iv. Criterio da comparac~ao, por limite, para series numericas;

v. Criterio da raz~ao para series numericas;

vi. Criterio da raz~ao, por limite, para series numericas;

vii. Criterio da raiz para series numericas;

viii. Criterio da raiz, por limite, para series numericas.

(c) Series alternadas:

i. Criterio de Leibniz (ou da integral) para series numericas.

(d) Series numercias absolutamente convergentes.

3. Sequencias de Func~oes:


(b) Tipos de convergencia para sequencias de func~oes:


1.6. EMENTA 9

i. Convergencia pontual para sequencias de func~oes;

ii. Convergencia uniforme para sequencias de func~oes.

(c) Propriedades da func~ao limite de uma sequencias de func~oes:

i. Continuidade da func~ao limite;

ii. Integrabilidade da func~ao limite;

iii. Diferenciabilidade da func~ao limite.

4. Series de Func~oes:

(a) Denic~oes e exemplos;

(b) Tipos de convergencia para series de func~oes:

i. Convergencia pontual para sequencias de func~oes;

ii. Convergencia uniforme para sequencias de func~oes.

(c) O criterio de Cauchy para a convergencia uniforme de uma serie de func~oes.

(d) Propriedades da func~ao soma de uma serie de func~oes:

i. Continuidade da func~ao soma;

ii. Integrabilidade da func~ao soma;

iii. Diferenciabilidade da func~ao soma.

5. Series de potencias:


(b) Propriedades gerais das series de potencias.

(c) Raio e intervalo de convergencia de series de potencias.

(d) Propriedades da func~ao soma de uma serie de potencias:

i. Continuidade da func~ao soma;

ii. Integrabilidade da func~ao soma;

iii. Diferenciabilidade da func~ao soma.

(e) Criterio para representac~ao de func~oes em series de potencias.

(f) Serie de Taylor associada a uma func~ao.

(g) Serie binomial.

6. Series de Fourier:


(b) Resultados sobre a convergencia pontual e uniforme das series de Fourier (Teorema

de Fourier).

(c) Series de senos e cossenos associadas a uma func~ao periodica.

(d) Series de Fourier associadas a func~oes pares e mpares.


7. Aplicac~oes de sequencias e series de func~oes na resoluc~ao de diferenciais ordinarias e

parciais.


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/ementa356.html

ou

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/ementa356-Jupiterweb.pdf

1.7 Bilbiografia da disciplina

Os livros sugeridos para a disciplina SMA356 - Calculo IV ser~ao:

Guidorizzi, H.L. - Um Curso de Calculo, vol. 4 e 5, ed. Rio de Janeiro, LTC, 2002.

Boyce, E.W., Diprima, R.C. - Equac~oes diferenciais elementares e problemas de valores

de contorno, ed. Rio de Janeiro, LTC, 2002

Stewart, J. - Calculo, vol. 1 e 2, ed. S~ao Paulo:Pioneira, 2001.

Leithold, G. - O Calculo com Geometria Analica, Vol. 2, Editora Harbra, S~ao Paulo,

1994.

Simmons, G.F. - Calculo com Geometria Analtica, Vol. 2, Mc Graw-Hill do Brasil, Rio

de Janeiro, 1987.

Swokowski, E.W. - Calculo com Geometria Analtica, Vol. 2, Makron-Books do Brasil

Editora Ltda., Rio de Janeiro, 1995.

Tolstov, G.P. - Fourier Series, New York: Dover, 1976.

Churchill, R., Brown, J. - Fourier series and boundary value problems, 4 ed. New York:

McGraw-Hill, 1987.

Butkov E. - Fsica Matematica, Rio de Janeiro: Guanabara 2, 1988.


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/bibliograa356.html

1.8 Notas de aula

No endereco

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/notas356.html

estar~ao disponveis as notas de aula da disciplina SMA356 - Calculo IV, relativas ao conteudo

desenvolvido pelo professor Wagner, em sala de aula.

As notas de aula ser~ao atualizadas periodicamente.

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/ementa356.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/ementa356-Jupiterweb.pdf

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/bibliografia356.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/notas356.html

1.9. HORARIOS DE MONITORIA 11

1.9 Horarios de monitoria da disciplina

O aluno Atila Correia sera o monitor da disciplina SMA356 - Calculo IV, ministrada pelo

professor Wagner.

Ele ministrara aula de exerccios semanalmente e dara plant~ao de duvidas semanalmente.

Os horarios e locais desta e das outras monitorias ser~ao:

Plantao de duvidas: 2.as-feiras das 19:00 as 21:00, na sala 3-011 no ICMC-USP

Aula de exercıcios: 4.as-feiras das 19:00 as 21:00, na sala C7 no EESC-USP

Alem desse ha outros dois monitores, Lito (PAE) e Rodrigo (PAE) que dar~ao atendimento

nos seguintes dias/horario/locais:

Lito:

3.as e 4.as-feiras, das 19:00 as 21:00, na sala 5-002 e 3-010(ICMC), respecivamente

Rodrigo:

3.as e 5.as-feiras, das 21:00 as 23:00, na sala 3-011, no ICMC-USP


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/monitores356.html

1.10 Horario de atendimento dos docentes da disciplina

para suas respectivas turmas

O horario de atendimento da disciplina SMA356 - Calculo IV, ministrada pelo professor

Wagner, ocorrera na:

2.as-feiras das 16:00 as 18:00, na sala do professor Wagner no ICMC-USP.


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/atendimento356.html

1.11 Listas de exercıcios da disciplina

As oito listas de exerccios da disciplina SMA356 - Calculo IV, ministrada pelo professor

Wagner, podem ser encontradas na seguinte pagina da web:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/exercicios356.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/monitores356.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/atendimento356.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/exercicios356.html


1.12 Frequencia na disciplina

Uma condic~ao necesssaria (mas n~ao suciente) para o aluno ser aprovado na disciplina

SMA356 - Calculo IV, e que sua frequencia na disciplina, que denotaremos por F, seja maior

ou igual a 70%.

A lista de presenca da disciplina sera controlada.

So ser~ao aceitasASSINATURAS ouNOME COMPLETO POR EXTENSO na lista

de presenca.

Qualquer outro modo NAO sera aceito e sera colocado falta na lista de presenca.

1.13 Criterio de avaliacao e aprovacao da disciplina

A avaliac~ao da disciplina ministrada pelo professor Wagner, constara de duas provas, a pri-

meira prova, que sera denotada P1, valendo2

5da nota nal, a segunda prova, que sera

denotada P2, valendo3

5da nota nal, ou seja, a media nal, que denotaremos por MF, sera

dada pela seguinte formula:

MF.=2 ∗ P1 + 3 ∗ P2

5.

Para ser considerado aprovado na disciplina ministrada pelo professor Wagner, a media

do aluno na disciplina devera ser maior ou igual a 5, 0 e sua frequencia ser maior ou igual a

70%, ou seja:

5, 0 ≤MF e 70% ≤ F.

Alem disso, ser~ao aplicados exerccios aos alunos, nas aulas de exerccios ministrada pelo

monitor, que entregar~ao as notas das respectivas provas.

Outras informac~oes sobre os dois itens acima podem ser encontradas no seguinte endereco

da web:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/criterio356/criterio356.html

1.14 Prova substitutiva da disciplina

O aluno que perder uma, e somente uma, das duas provas do item (1.13) podera se sub-

meter a assim denominada prova substitutiva, cujo valor denotaremos por PS.

A nota desta prova entrara na lugar da nota da prova que o aluno perdeu e a media

sera calculada como no item (1.13), substituindo-se a nota prova perdida pela nota da prova

substitutiva, ou seja,

MF.=2 ∗ PS+ 3 ∗ P2

5ou MF

.=2 ∗ P1 + 3 ∗ PS

5

no caso, o valor a esquerda na primeira linha, sera para o aluno que perdeu a primeira prova,

valor a direita na primeira linha, sera para o aluno que perdeu a segunda prova.


1.15. DATAS DAS AVALIAC ~OES 13

SOMENTE podera fazer a prova substitutiva o aluno que perdeu uma das duas provas

do item (1.13).

Para ser considerado aprovado na disciplina SMA356 - Calculo IV, ministrada pelo pro-

fessor Wagner, a media do aluno na disciplina, apos a prova substitutiva, devera ser maior

ou igual a 5, 0 e sua frequencia ser maior ou igual a 70%, ou seja:

5, 0 ≤MF e 70% ≤ F.

Observacao 1.14.1 O conteudo da prova substitutiva sera todo o conteudo desenvolvido

durante a disciplina ministrada pelo professor Wagner.

Outras informac~oes sobre o item acima podem ser encontradas no seguinte endereco da

web:


1.15 Datas das avaliacoes, prova substitutiva e de recu-

peracao da disciplina

As datas das provas da disciplina SMA356 -Calculo IV ser~ao:

1.a Prova:

30 de abril - 5.a-feira

2.a Prova:

25 de junho - 5.a-feira

Prova Substitutiva:

2 de julho - 5.a-feira

Outras informac~oes sobre os itens acima podem ser encontradas no seguinte endereco da

web:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/datas356.html

1.16 Gabaritos das provas da disciplina

Os gabaritos das provas da disciplina SMA356 - Calculo IV, que ser~ao aplicadas durante o

desenvolvimento da mesma, estar~ao a disposic~ao dos alunos, logo apos as mesmas terem sido

aplicadas, e se encontrar~ao no seguinte endereco da web:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/gabaritos356.html


www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/datas356.html

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/sma356/gabaritos356.html


1.17 Trancamento da disciplina

A data maxima para o trancamento da disciplina SMA356 - Calculo IV e 8 de abril de 2015.

Procure a sec~ao de graduac~ao da sua unidade para maiores esclarecimentos de como

proceder o trancamento.

1.18 Numeros de aulas

O numero total de aulas a serem ministradas, ser~ao de 33 aulas, sendo que 3 destas ser~ao

destinadas as avaliac~oes.

1.19 Calendario USP

O incio do 1.o semestre de 2015 sera no dia 23 de fevereiro e o termino do mesmo sera no

dia 4 de julho.

N~ao havera aula nos seguintes dias/semanas:

30 de marco a 4 de abril (semana da Patria).

20 de abril (recesso).

21 de abril (Tiradentes).

1 de maio (dia do trabalho).

2 de maio (recesso).

4 de junho (corpus Christi).

5 e 6 junho (recesso).

Outras informac~oes sobre os dois itens acima podem ser encontradas no seguinte endereco

da web:

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/calendario USP 2015 - Jupiterweb

1.20 Observacoes finais

www.icmc.usp.br/pessoas/wvlnunes/2015-calendarioUSP-Jupiterweb.pdf

Capıtulo 2

Introducao

Estas notas de aula ser~ao utilizadas para o cursos cuja ementa trata de sequencias e series

numericas, sequencias e series de func~oes, em particular, serie de potencias e de Fourier.

Aplicaremos series de Fourier para a resoluc~ao de alguns problemas relacionados com

algumas Equac~oes Diferenciais Parciais, a saber, as Equac~oes do Calor, da Onda e de Laplace,

no caso periodico.

Ser~ao exibidos todos os conceitos relacionados com o conteudo acima, bem como proprie-

dades e aplicac~oes dos mesmos.

As referencias (ver (9.5)) ao nal das notas poder~ao servir como material importante para

o conteudo aqui desenvolvido.

15

16 CAPITULO 2. INTRODUC ~AO

Capıtulo 3

Sequencias Numericas

25.02.2015 - 2.a aula

3.1 Definicoes

Comecaremos tratando de:

Definicao 3.1.1 Uma sequencia de numeros reais (ou complexos) (ou, simplesmente,

sequencia numerica) e uma aplicac~ao

a : N → R (ou C)n 7→ a(n)

isto e, uma lei que associa a cada numero natural n um, unico, numero real (ou

complexo) a(n), que indicaremos por an e denotaremos uma sequencia numerica por:

(an)n∈N , (an) , ann∈N , an .

Para cada n ∈ N xado, o elemento an sera dito termo da sequencia numerica

(an)n∈N.

O conjunto

an : n ∈ N

sera dito conjunto dos valores da sequencia numerica (an)n∈N .

Exemplo 3.1.1

1. Considere a sequencia numerica (real) (an)n∈N, onde

an.=1

n, para cada n ∈ N .

Logo o conjunto dos valores da sequencia numerica (an)n∈N sera:1 ,1

2,1

3, · · ·

.

17

18 CAPITULO 3. SEQUENCIAS NUMERICAS


an.= 0 , para cada n ∈ N .

Notemos que o conjunto dos valores da sequencia numerica (an)n∈N sera:

0 .


an.= sen

(nπ2

)=

0 , quando a n for par

(−1)n+32 , quando n for mpar

.

Observemos que o conjunto dos valores da sequencia numerica (an)n∈N sera:

1 , 0 ,−1 .


an.= n , para cada n ∈ N .


1 , 2 , 3 , 4 , · · · .


an.= (−1)n , para cada n ∈ N .


1 ,−1 .


an.=n+ 1


Observemos que o conjunto dos valores da sequencia numerica (an)n∈N sera:2 ,3

2,4

3,5

4, · · ·

.


an.=1+ (−1)n


Logo, o conjunto dos valores da sequencia numerica (an)n∈N sera:0 , 1 , 0 ,

1

2, 0 ,

1

3, 0 , · · ·

.

3.2. OPERAC ~OES COM SEQUENCIAS 19

3.2 Operacoes com sequencias numericas

Como sequencias numericas s~ao func~oes a valores reais (respectivamente, complexos), cujo

domnio e N, podemos soma-las, multiplica-las por numeros reais (ou complexos) de ma-

neira semelhante a quando tratamos de quaisquer func~oes a valores reais (respectivamente,

complexos), isto e,

Definicao 3.2.1 Dadas as sequencias numericas (an)n∈N, (bn)n∈N e α ∈ R (ou C) de-

nimos a sequencia numerica soma da sequencia numerica (an)n∈N com a sequencia

numerica (bn)n∈N, denotada por

(an)n∈N + (bn)n∈N ,

como sendo a seguinte sequencia numerica:

(an)n∈N + (bn)n∈N.= (an + bn)n∈N , (3.1)

ou seja, a sequencia numerica soma, a saber, (an)n∈N + (bn)n∈N , e obtida somando-se

os correspondentes termos de cada uma das sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N.

Denimos a sequencia numerica produto do numero real (respectivamente, com-

plexo) α, pela sequencia numerica (an)n∈N, indicada por

α (an)n∈N ,


α (an)n∈N.= (αan)n∈N , (3.2)

ou seja, a sequencia numerica produto, isto e, α (an)n∈N, e obtida multiplicando-se os

correspondentes termos de cada sequencia numerica (an)n∈N pelo numero real (respec-

tivamente, complexo) α.

Denimos a sequencia produto da sequencia numerica (an)n∈N pela sequencia numerica

(bn)n∈N, indicada por

(an)n∈N · (bn)n∈N ,


(an)n∈N · (bn)n∈N.= (an bn)n∈N , (3.3)

ou seja, a sequencia numerica produto, isto e, (an)n∈N·(bn)n∈N, e obtida multiplicando-se

os correspondentes termos de cada uma das sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N.

Se bn = 0, para todo n ∈ N, denimos a sequencia numerica quociente da sequencia

numerica (an)n∈N pela sequencia numerica (bn)n∈N, indicada por

(an)n∈N/(bn)n∈N ou(an)n∈N(bn)n∈N

,


(an)n∈N/(bn)n∈N.= (an/bn)n∈N , (3.4)


ou seja, a sequencia numerica quociente, isto e, (an)n∈N/(bn)n∈N, e obtida dividindo-se

os correspondentes termos de cada uma das sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N(observe que bn = 0, para todo n ∈ N).

Com isto temos o seguinte exerccio:

Exercıcio 3.2.1 Se as sequencias numericas (reais) (an)n∈N e (bn)n∈N s~aos dadas por:

an.=1

ne bn

.= (−1)n , para cada n ∈ N (3.5)

e α.= 2, encontrar as sequencia numericas:

(an)n∈N + (bn)n∈N , α (an)n∈N , (an)n∈N · (bn)n∈N e (an)n∈N/(bn)n∈N .

Resolucao:

Logo, de (3.1), segue que

(an)n∈N + (bn)n∈N(3.5) e (3.1)

=

(1

n+ (−1)n

)n∈N

=

(1+ (−1)n n)

n

)n∈N

.

De (3.2), temos que:

α (an)n∈N(3.5) e (3.2)

=

(21

n

)n∈N

=

(2

n

)n∈N

.

De (3.3), segue que

(an)n∈N · (bn)n∈N(3.5) e (3.3)

=

(1

n(−1)n

)n∈N

=

((−1)n

n

)n∈N

.

Finalmente, de (3.4), temos que:

(an)n∈N/(bn)n∈N(3.5) e (3.4)

=

1

n(−1)n

n∈N

=

(1

(−1)n n

)n∈N

.

3.2. OPERAC ~OES COM SEQUENCIAS 21

Observacao 3.2.1 Como sequencias numericas s~ao func~oes a valores reais (respectiva-

mente, complexos), cujo domnio e N, podemos representar seus gracos em N×R (ou

em N× C, respectivamente).

Denotaremos o graco da sequencia numerica (real ou complexa) (an)n∈N por G((an)n∈N

),

e sera denido por:

G((an)n∈N

) .= (n , an) ; n ∈ N .

Na verdade, isto n~ao tera muito interesse no estudo das sequencias numericas.

A seguir temos alguns exemplos relacionados com esta quest~ao.

Exemplo 3.2.1 Se a sequencia numerica (real) (an)n∈N e dada por:

an.= n , para cada n ∈ N ,

ent~ao seu graco sera dado por:

G((an)n∈N

) .= (n ,n) ; n ∈ N ,

e assim, a representac~ao geometrica do seu graco sera:

6

-1 2 3

1

2

3

n

Exemplo 3.2.2 Se a sequencia numerica (real) (bn)n∈N e dada por:

bn.= (−1)n , para cada n ∈ N ,


G((an)n∈N

) .= (n , (−1)n) ; n ∈ N ,


-

6

n1 2 3 4 5

1

−1

Exemplo 3.2.3 Se a sequencia numerica (real) (cn)n∈N e dada por

cn.=1

n, para cada n ∈ N ,



G((an)n∈N

) .=

(n ,1

n

); n ∈ N

,


6

-

1

1 2 3 n4

1/2

1/4

3.3 Convergencia de sequencias numericas

Observacao 3.3.1 Empiricamente, observando os exemplos acima temos:

1. No Exemplo (3.2.1), os termos da sequencia numerica (an)n∈N crescem, ilimitada-

mente, quando n cresce, ou ainda, os termos v~ao para "innito", quando n cresce

ilimitadamente, ou seja, quando n vai para "innito".

2. No Exemplo (3.2.2), os termos da sequencia numerica (bn)n∈N oscilam entre −1 e

1, quando n cresce ilimitadamente, ou seja, quando n vai para "innito".

3. No Exemplo (3.2.3), os termos da sequencia numerica (cn)n∈N "aproximam-se" de

zero, quando n cresce ilimitadamente, isto e, os termos da sequencia "tendem" a

zero, quando n vai para innito.

A seguir vamos formalizar esta ultima situac~ao de modo mais preciso, ou seja, colocar

de forma correta o conceito de "convergir" (ou "aproximar-se de", ou ainda "tender

a").

Definicao 3.3.1 Diremos que uma sequencia numerica (an)n∈N e convergente (ou con-

verge, ou tende) para l ∈ R (respectivamente, C), quando n vai para innito, denotando-

se por:

limn→∞an = l , ou an

n→∞−→ l , ou ainda, an → l ,

se, e somente se: dado ε > 0, podemos encontrar No ∈ N, de modo que, para

n ≥ No , deveremos ter |an − l| < ε . (3.6)

Observacao 3.3.2

1. A Denic~ao (3.3.1) acima nos diz, formalmente, que podemos car t~ao proximo de

l, quanto se queira (isto e, dado ε > 0), desde que o ndice da sequencia numerica,

ou seja, n, seja sucientemente grande (isto e, tenhamos n ≥ No).

3.3. CONVERGENCIA DE SEQUENCIAS NUMERICAS 23

2. Na linguagem dos intervalos, a Denic~ao (3.3.1) acima, nos diz que dado o inter-

valo

(l− ε , l+ ε)

(ou seja, dado ε > 0), todos os termos da sequencia numerica caem dentro desse

intervalo excetuando-se, eventualmente, os No primeiros termos da sequencia

numerica.

3. Em geral, na Denic~ao (3.3.1) acima, o numero natural No depende do numero

real positivo ε dado inicialmente.

4. A Denic~ao (3.3.1) acima, e semelhante a denic~ao de limites no innito, para

func~oes a valores reais, de uma variavel real, estudadas no Calculo I.

Compare com aquela e veja as semelhancas.

O resultado a seguir, garante a unicidade do limite de uma sequencia numerica, caso ele

existe, mais precisamente:

Proposicao 3.3.1 (unicidade do limite de uma sequencia convergente) Se o limite da

sequencia numerica (an)n∈N existir ele devera ser unico, isto e, se

limn→∞an = l1 e lim

n→∞an = l2 ,

ent~ao

l1 = l2 .

Demonstracao:

Mostremos que, para cada ε > 0, teremos

|l1 − l2| < ε ,

o que implica que

l1 = l2 .

Para isto temos que, para cada ε > 0, como

limn→∞an = l1 ,

podemos encontar N1 ∈ N, de modo

se n ≥ N1 , deveremos ter: |an − l1| <ε

2. (3.7)

De modo analogo, como

limn→∞an = l2 ,

podemos encontrar N2 ∈ N, de modo que

se n ≥ N2 , deveremos ter: |an − l2| <ε

2. (3.8)


Logo, se

n ≥ No.= maxN1 , N2 ,

segue que

|l1 − l2| = |l1 − an + an − l2|

≤ |l1 − an|︸︷︷︸=|an−l1|

n≥N1 , logo vale (3.7)< ε

2

+ |an − l2|︸︷︷︸n≥N2 , logo vale (3.8)

< ε2

<ε

2+ε

2= ε ,

completando a demonstrac~ao do resultado.

Temos o:

Exemplo 3.3.1 A sequencia numerica (an)n∈N, dada por

an.=1

n, para cada n ∈ N , (3.9)

e convergente para zero, isto e,

limn→∞

1

n= 0 . (3.10)

Resolucao:

De fato, observemos que dado ε > 0, se considerarmos No ∈ N, de modo que

No >1

ε. (3.11)

Ent~ao, para

n ≥ No , (3.12)

teremos

|an − l|an=

1n

e l=0=

∣∣∣∣ 1n − 0

∣∣∣∣n>0=1

n

n(3.12)

≥ No≥1≤ 1

No

(3.11)< ε ,

mostrando a armac~ao.

Temos temabem o:


an.=

2n

n+ 1, para cada n ∈ N , (3.13)

e convergente para 2, isto e,

limn→∞

2n

n+ 1= 2 . (3.14)


Resolucao:

De fato, observemos que dado ε > 0, consioderemos No ∈ N, de modo que

No >2

ε, (3.15)

Ent~ao, se

n ≥ No , (3.16)

teremos

|an − l|an

(3.13)= 2n

n+1e l=2

=

∣∣∣∣ 2nn+ 1− 2

∣∣∣∣=

∣∣∣∣2n− 2n− 2

n+ 1

∣∣∣∣=

∣∣∣∣ −2

n+ 1

∣∣∣∣ = 2

n+ 1

n+1≥n(3.16)

≥ No≥1≤ 2

No

(3.15)< ε ,

mostrando que a armac~ao e verdadeira.

Um outro caso e dado pelo:


an.= cos(nπ) , para cada n ∈ N , (3.17)

n~ao e convergente.

Resolucao:

De fato, observemos que

an = cos(nπ)

= (−1n) , para n ∈ N . . (3.18)

Se a sequencia fosse convergente para algum l ∈ R, ent~ao dado

ε =1

2> 0 ,

deveria existir um No ∈ N, de modo que, para

n ≥ No , deveramos ter |(−1)n − l| <1

2,

isto e,

l−1

2< (−1)n < l+

1

2,


o que um absurdo, pois isto implicaria que os termos da sequencia numerica,

−1(3.18)= a2 n+1 e 1

(3.18)= a2 n ,

deveriam pertencer ao intervalo (l−

1

2, l+

1

2

),

cujo comprimento e igual a 1 (notemos que se os numeros −1 e 1 pertencem a um mesmo

intervalo, este intervalo devera ter um comprimento maior ou igual a 2), o que e um absurdo.

Portanto a sequencia numerica n~ao e convergente.

3.03.2015 - 3.a aula

A seguir temos o seguinte:

Exercıcio 3.3.1 Consideremos a sequencia numerica (an)n∈N, onde seus termos s~ao da-

dos por

a1.= 0.3 , a2

.= 0.33 , a3

.= 0.333 , a4

.= 0.3333 , · · · , an

.= 0. 33 · · · 3︸︷︷︸

n−casas

, · · · . (3.19)

Mostre que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para1

3, ou seja,

limn→∞an =

1

3︸︷︷︸.=l

. (3.20)

Resolucao:

De fato, dado ε > 0, consideremos No ∈ N, de modo que

No > log1

3 ε− 1 , ou seja, 10No+1 >

1

3 ε,

ou ainda,1

3 10No+1< ε . (3.21)

Logo, para

n ≥ No , (3.22)

teremos

|an − l|(3.19) e (3.20)

=

∣∣∣∣∣0. 3 · · · 3︸︷︷︸n−casas

−1

3

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣0.

n−casas︷︸︸︷9 · · · 9−13

∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣−0.

n−casas︷︸︸︷0 · · · 0 13

∣∣∣∣∣∣∣∣


=

∣∣∣∣∣∣∣−1

10n+1

3

∣∣∣∣∣∣∣=

1

3 10n+1

n(3.22)

≥ No≥1<

1

3 10No+1

(3.21)< ε ,

como queramos mostrar, completando a resoluc~ao do exerccio.

Definicao 3.3.2 Diremos que uma sequencia numerica (an)n∈N e limitada, se existir

M > 0, de modo que

|an| ≤M, para todo n ∈ N . (3.23)

Observacao 3.3.3 Nos Exemplos (3.3.1), (3.3.2), (3.3.3) e Exerccio (3.3.1) acima, todas

sequencias numericas s~ao limitadas.

Observemos que nem todas elas s~ao sequencia numericas convergentes (veja o Exem-

plo (3.3.3)).

Como veremos a seguir existe uma relac~ao entre sequencias numericas convergentes e

sequencias numericas limitadas, a saber:

Proposicao 3.3.2 Toda sequencia numerica convergente e limitada, isto e, se a sequencia

numerica (an)n∈N e convergente, ent~ao ela sera uma sequencia numerica limitada.

Demonstracao:

Como a sequencia numerica (an)n∈N e convergente, segue que existe l ∈ R, de modo que

limn→∞an = l ,

ou seja, dado ε > 0, podemos encontrar No ∈ N, de modo que

para n ≥ No , teremos: |an − l| < ε .

Em particular, se tomarmos

ε.= 1 ,

poderemos encontrar No ∈ N, de modo que

para n ≥ No , teremos |an − l| < 1 ,

ou seja, para n ≥ No , teremos − 1 < an − l < 1

ou, equivalentemente, l− 1 < an < 1+ l , para n ≥ No ,

ou ainda, − |l|− 1 < an < |l|+ 1 , para n ≥ No ,

isto e, |an| < |l|+ 1 , para n ≥ No . (3.24)


Denamos

M.= max |a1| , |a2| , · · · , |aNo−1| , |l|+ 1 . (3.25)

Como isto temos que

|an| ≤M para todo n ∈ N ,

como queramos demonstrar.

Observacao 3.3.4 A recproca do resultado acima e falsa, isto e, nem toda sequencia

numerica limitada e convergente, como mostra o Exemplo (3.3.3).

A seguir temos algumas propriedades gerais para convergencia de sequencias numericas.

Teorema 3.3.1 (propriedades basicas da convergencia de sequencias) Sejam (an)n∈N,

(bn)n∈N e (cn)n∈N sequencias numericas.

1. Se as sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N s~ao convergentes para a e b, respec-

tivamente, ent~ao a sequencia numerica (an)n∈N+(bn)n∈N e convergente para a+ b,

isto e, se existem limn→∞an = a e lim

n→∞bn = b, ent~ao existe limn→∞(an + bn) e

limn→∞(an + bn) = a+ b ,

isto e,

limn→∞(an + bn) = lim

n→∞an + limn→∞bn. (3.26)

Vale os analogos para as sequencias numericas

(an)n∈N − (bn)n∈N , (an)n∈N · (bn)n∈N e(an)n∈N(bn)n∈N

,

ou seja, as respectivas sequencias numericas ser~ao convergentes para

a− b , ab ea

b,

onde, no ultimo caso deveremos ter bn , b = 0 para todo n ∈ N, respectivamente,

ou seja:

limn→∞(an − bn) = a− b ,

limn→∞(an · bn) = ab ,

limn→∞

an

bn=a

b,

ou ainda,

limn→∞(an − bn) = lim

n→∞an − limn→∞bn , (3.27)

limn→∞(an · bn) =

(limn→∞an

) (limn→∞bn

), (3.28)

limn→∞

an

bn=

limn→∞anlimn→∞bn

. (3.29)


2. Se as sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N s~ao convergentes para a e b, respec-

tivamente, e

an ≤ bn , para cada n ∈ N ,

ent~ao

a ≤ b ,

isto e,

limn→∞an ≤ lim

n→∞bn . (3.30)

3. Se a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para zero e a sequencia numerica

(bn)n∈N e limitada, ent~ao a sequencia numerica (an)n∈N · (bn)n∈N = (an bn)n∈N e

convergente para zero, isto e,

limn→∞(an · bn) = 0 . (3.31)

4. Suponhamos que as sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N s~ao convergentes para

l e a sequencia numerica (cn)n∈N satisfaz:

an ≤ cn ≤ bn , para cada n ∈ N . (3.32)

Ent~ao a sequencia numerica (cn)n∈N e convergente para l, isto e,

limn→∞ cn = l . (3.33)

Demonstracao:

De 1.:

Comecemos demonstrando (3.26):

Como

limn→∞an = a e lim

n→∞bn = b ,

dado ε > 0, podemos encontrar N1, N2 ∈ N, de modo que

se n ≥ N1 temos |an − a| <ε

2(3.34)

e

se n ≥ N2 temos |bn − b| <ε

2. (3.35)

Logo, tomando-se

No.= maxN1 ,N2 , (3.36)

temos para

n ≥ No , (3.37)


segue que

|(an + bn) − (a+ b)| = |(an − a) + (bn − b)|

≤ |an − a|+ |bn − b|

n(3.37)

≥ No

(3.36)

≥ N1 e n(3.37)

≥ No

(3.36)

≥ N2 , logo valem (3.24) e (3.35)]<

ε

2+ε

2= ε ,

mostrando que limn→∞(an + bn) = a+ b ou, equivalentemente,

limn→∞(an + bn) = lim

n→∞an + limn→∞bn ,

mostrando a validade da identidade (3.26).

A demonstrac~ao de (3.27) e analoga e sera deixada como exerccio para para leitor.

Demonstrac~ao da indentidade (3.28):

Vamos supor que

a = 0

Como as sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N s~ao convergentes, pela Proposic~ao (3.3.2),

elas ser~ao sequencias numericas limitadas, em particular, a sequencia (bn)n∈N e uma sequencia

numerica limtada.

Logo devera existir M > 0, tal que

|bn| ≤M, para todo n ∈ N . (3.38)

Dado ε > 0, como as sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N s~ao convergentes, podemos

encontrar N1 , N2 ∈ N, tais que:

se n ≥ N1 , teremos: |an − a| <ε

2M, (3.39)

se n ≥ N2 , teremos |bn − b| <ε

2 |a|︸︷︷︸>0

. (3.40)

Seja

No.= maxN1 ,N2 . (3.41)

Observemos que

se n ≥ No , segue, de (3.41), que n ≥ N1 e n ≥ N2 . (3.42)

logo

|(an bn) − (ab)| = |(an − a)bn + (bn − b)a|

≤ |an − a| |bn|+ |bn − b| |a|

(3.38)< |an − a|M+ |bn − b| |a|

(3.42) implca que vale (3.39) e (3.40)<

ε

2MM+

ε

2 |a||a|

=ε

2+ε

2= ε ,


mostrando que

limn→∞(an bn) = ab

ou, equivalentemente,

limn→∞(an bn) = lim

n→∞an limn→∞bn ,

isto e, a validade de (3.28).

Se

b = 0 ,

podemos fazer uma demonstrac~ao semelhante e esta sera deixada como exerccio para o leitor.

Se

a = b = 0 ,

ent~ao temos que dado ε > 0, como as sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N s~ao convergen-

tes, podemos encontrar N1 , N2 ∈ N, tais que:

se n ≥ N1 , teremos: |an|a=0= |an − 0| <

√ε , (3.43)

se n ≥ N2 , teremos: |bn|b=0= |bn − 0| <

√ε . (3.44)

Seja

No.= maxN1 ,N2 . (3.45)

Observemos que

se n ≥ No , de (3.45), segue que n ≥ N1 e n ≥ N2 . (3.46)

Neste caso teremos:

|(an bn) − ab|a=b=0= |an bn|

= |an| |bn|

(3.46), implica na validade de: (3.43) e (3.44)<

√ε√ε = ε ,

mostrando que

limn→∞(an bn) = 0

ou, equivalentemente,

limn→∞(an bn) = lim

n→∞an limn→∞bn ,

isto e, a validade de (3.28).

A demonstrac~ao de (3.29) e semelhante e sera deixada como exerccio.

De 2.:

Suponhamos, por absurdo, que

a > b , isto e, limn→∞an > lim

n→∞bn .Logo,

a− b > 0 ,


dado

ε.=a− b

2> 0 , (3.47)

como as sequencias numericas (an)n∈N e (bn)n∈N s~ao convergentes, podemos encontrarN1 ,N2 ∈N, de modo que

se n ≥ N1 , teremos |an − a| < ε ,

ou seja, − ε < an − a < ε ,

isto e, − ε+ a < an < ε+ a ,

que, de (3.47), e o mesmo que: −a− b

2+ a︸︷︷︸

=a+b2

< an <a− b

2+ a ,

em particular, teremos:a+ b

2< an . (3.48)

e

se n ≥ N2 , teremos |bn − b| < ε ,

ou seja, − ε < bn − b < ε ,

isto e, − ε+ b < bn < ε+ b ,

que, de (3.47), e o mesmo que: −a− b

2+ b < bn <

a− b

2+ b︸︷︷︸

=a+b2

,

em particular, teremos: bn <a+ b

2. (3.49)

Logo,

se n ≥ maxN1 , N2 , teremos n ≥ N1 e n ≥ N2 , (3.50)

assim

bn(3.50) implica na validade de (3.50)

<a+ b

2

(3.48) implica na validade de (3.50)< an,

isto e,

bn < an , se n ≥ maxN1 ,N2,

o que e um absurdo pois, por hipotese,

an ≤ bn , para todo n ∈ N ,

isto e, vale (3.30).

De 3.:

Como a sequencia numerica (bn)n∈N e uma sequencia numerica limitada, podemos encon-

trar M > 0, tal que

|bn| ≤M, para todo n ∈ N . (3.51)

Por outro lado, como a sequencia numerica (an)n∈N e uma sequencia numerica convergente

para zero, dado ε > 0, podemos encontrar No ∈ N, tal que

se n ≥ No teremos: |an| = |an − 0| <ε

M. (3.52)


Logo, dado dado ε > 0, se n ≥ No, teremos

|an bn − 0| = |an| |bn|

(3.51) e (3.52)

≤ ε

MM < ε ,

mostrando que

limn→∞(an bn) = 0 ,

ou seja, a validade de (3.31).

De 4.:

Como as sequencias (an)n∈N e (bn)n∈N s~ao convergentes para l, dado ε > 0, podemos

encontrar N1 , N2 ∈ N, tais que:

se n ≥ N1 , teremos: |an − l| < ε ,

que implicara em: − ε(∗)< an − l < ε , (3.53)

se n ≥ N2 , teremos: |bn − l| < ε ,

que implicara em − ε < bn − l(∗∗)< ε (3.54)

Logo denido-se

No = maxN1 ,N2 , (3.55)

para n ≥ No, teremos que n ≥ N1 e n ≥ N2, assim

− ε(∗) em (3.53)

< an − lan

(3.32)

≤ cn

≤ cn − lcn

(3.32)

≤ bn

≤ bn − l(∗∗) em (3.54)

< ε ,

ou seja, − ε < cn − l < ε ,

ou, equivalentemente, |cn − l| < ε ,

mostrando que

limn→∞ cn = l ,

isto e, a validade de (3.33), completando a demonstrac~ao do resultado.

Observacao 3.3.5

1. O item 2. do Teorema (3.3.1) acima, e conhecido como o Teorema da Compa

racao para sequencias numericas.

2. Uma sequencia numerica que tem limite zero sera dita infinitesimo.

Com isto o item 3. do Teorema (3.3.1) acima, pode ser resumido como: "o produto

de uma sequencia numerica que e um innitesimo, por uma sequencia numerica

limitada e uma sequencia numerica que e um innitesimo".

3. O item 4. do Teorema (3.3.1) acima, e conhecido como o Teorema do sanduiche

ou do confronto para sequencias numericas.


Apliquemos os resultados acima ao:

Exemplo 3.3.4 Mostre que

limn→∞

1

n2+

1

(n+ 1)2+ · · ·+ 1

(2n)2︸︷︷︸(n+1)−parcelas

= 0 .

Resolucao:

Para isto observemos que

an.= 0 ≤

.=cn︷︸︸︷

1

n2+

1

(n+ 1)2+ · · ·+ 1


n+ 1 ≥ nn+ 2 ≥ n

. . .

2 n ≥ n

≤ 1

n2+1

n2+ · · ·+ 1

n2︸︷︷︸(n+1)−parcelas

=n+ 1

n2

=1

n+1

n2.= bn ,

para cada n ∈ N.Notemos que:

limn→∞an an=0= 0 , (3.56)

e do Exemplo (3.3.1) e do item 1. do Teorema (3.3.1), segue qe

limn→∞bn = lim

n→∞(1

n+1

n2

)(3.26) e (3.28)

= limn→∞

1

n+

(limn→∞

1

n

) (limn→∞

1

n

)(3.10)= 0+ 0 · 0 = 0 , (3.57)

ou seja, de (3.56) e (3.57), teremos:

limn→∞an = 0︸︷︷︸

.=l

= limn→∞bn .

Logo, do item 4. do Teorema (3.3.1) (isto e, do Teorema do sanduiche), segue que

limn→∞

1

n2+

1

(n+ 1)2+ · · ·+ 1


= liman = limbn(3.57)= 0 .


Observacao 3.3.6 Vale observar que no Exemplo (3.3.4) acima, nao podemos aplicar

a propriedade de soma de limites, isto e, limite da soma e a soma dos limites, pois o

numero de parcelas de an aumenta, quando n aumenta.

Observemos que para:

n = 1 (duas parcelas), temos que: a1 =1

12+1

22

n = 2 (tres parcelas), temos que: a2 =1

22+1

32+1

42

n = 3 (quatro parcelas), temos que: a3 =1

32+1

42+1

52+1

62

e assim por diante.

Um resultado bastante importante no estudo da convergencia de sequencias numericas e

o que relaciona limites de sequencias numericas com limites, no innito, de func~oes a valores

reais, de uma variavel real (estudado no Calculo 1) , a saber:

Teorema 3.3.2 Seja f : [1 ,∞) → R uma func~ao e suponhamos que

limx→∞ f(x) = l ∈ R . (3.58)

Ent~ao a sequencia numerica (an)n∈N, onde

an.= f(n) , para n ∈ N , (3.59)

e convergente para l, isto e,

limn→∞an = lim

x→∞ f(x) . (3.60)

Demonstracao:

Dado ε > 0, como

limx→∞ f(x) = l ∈ R ,

dado R > 0, de modo que

se x ≥ R , teremos: |f(x) − l| < ε . (3.61)

Seja No ∈ N, de modo que

No ≥ R . (3.62)

Logo

se n ≥ No

(3.62)

≥ R , teremos, por (3.61), que: | f(n)︸︷︷︸(3.59)= an

−l| < ε ,

ou seja,

se n ≥ No , teremos: |an − l| < ε ,

mostrando que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para l, ou seja, vale (3.60), com-

pletando a demonstrac~ao.


Observacao 3.3.7 Observemos que NAO podemos aplicar as regras de L'Hospital para

sequencias numericas (an)n∈N.

Porem, podemos utilizar o resultado acima para estudar o limite de func~oes a valores

reais, de uma variavel real, no innito (utilizando, se possvel, a regra de L'Hospital), e

assim tirar conclus~oes para o limite da sequencias numericas associada, como veremos

em alguns exemplos a seguir.


limn→∞

1− n

n2 + 1= 0 . (3.63)

Resolucao:

Para isto, consideremos a fumc~ao f : [1 ,∞) → R dada por

f(x).=1− x

x2 + 1, para cada x ∈ [1∞) . (3.64)

Notemos que:

limx→∞ f(x) = lim

x→∞1− x

x2 + 1

do tipo: −∞∞ , por L'Hospital= lim

x→∞d

dx[1− x]

d

dx

[x2 + 1

]= lim

x→∞−1

2 xExerccio de Calculo 1

= 0 .

Notemos que

an.=1− n

n2 + 1(3.64)= f(n) , para cada n ∈ N .

Logo, do Teorema (3.3.2) acima, segue que a sequencia numerica

(an)nn∈N =

(1− n

n2 + 1

)n∈N

e convegente para l = 0, ou seja,

limn→∞

1− n

n2= lim

n→∞an= lim

x→∞ f(x)= 0 ,

ou ainda,

limn→∞

1− n

n2 + 1= 0 ,

como armamos.


Exemplo 3.3.6 Estudemos a convergencia da sequencia numerica (an)nn∈N, onde

an.=n

en, para cada n ∈ N . (3.65)

Resolucao:

Denamos a func~ao f : [1 ,∞) → R dada por

f(x).=x

ex, para cada x ∈ [1 ,∞). (3.66)

Notemos que:


x→∞x

ex

∞∞ , por L'Hospital= lim

x→∞d

dxx

d

dxex

= limx→∞

1

ex

Exerccio de Calculo 1= 0 , (3.67)

onde estamos utilizando o fato que ultimo limite foi tratado na disciplina Calculo I.

De (3.65), temos que

an(3.65)=

n

en

(3.66)= f(n) , para cada n ∈ N .

Assim, do Teorema (3.3.2) acima, segue que

limn→∞

n

en= lim

n→∞an= lim

x→∞ f(x)(3.67)= 0 ,

ou seja,

limn→∞

n

en= 0 ,

ou seja, sequencia numerica

(an)nn∈N =( nen

)n∈N

e convegente para l = 0, completando a resoluc~ao.

Exemplo 3.3.7 A sequencia numerica (an)nn∈N, onde

an.=

(1+

1

n

)n, para cada n ∈ N , (3.68)

e convergente para e (ou seja, o numero de Euler).


Resolucao:

Consideremos a func~ao f : [1 ,∞) → R dada por

f(x).=

(1+

1

x

)x, para cada x ∈ [1 ,∞) . (3.69)

Ent~ao, do 2.o limite fundamental (estudado em Calculo 1), segue que

limx→∞ f(x) = e . (3.70)

Notemos que

an(3.68)=

(1+

1

n

)n(3.69)= f(n) , para cada n ∈ N . (3.71)

Assim segue, do Teorema (3.3.2) acima, que

limn→∞an

(3.68)= lim

n→∞(1+

1

n

)n(3.71)= lim

x→∞ f(x)(3.70)= e ,

ou seja,

limn→∞

(1+

1

n

)n= e ,

ou ainda, a sequencia numerica

(an)nn∈N =

((1+

1

n

)n)n∈N

e convegente para e, como queramos mostrar.

Exemplo 3.3.8 Seja r ∈ (0 ,∞) xado. Ent~ao a sequencia numerica (an)n∈ n∈N, onde

an.= rn , para cada n ∈ N , (3.72)

e convergente para 0 , se r ∈ (0 , 1) ,

1 , se r = 1 ,

n~ao sera convergente, se r ∈ (1 ,∞)

.


Resolucao:

Notemos que, se

r = 0 ,

teremos que

an(3.72)= rn

r=0= 0n

= 0 , para cada n ∈ N ,

e assim a a sequencia numerica

(an)n∈ n∈N = (rn)n∈N

sera convergente para 0.

Se

r = 1 ,

teremos que

an(3.72)= rn

r=1= 1n


e assim a a sequencia numerica

(an)n∈ n∈N = (rn)n∈N

sera convergente para 1.

Por outro lado, se

r ∈ (0 , 1) ∪ (1 ,∞) ,

temos que

an(3.72)= rn

= en ln r , para cada n ∈ N . (3.73)

Portanto, se

r ∈ (0 , 1] , teremos que ln r < 0 ,

e assim a sequencia numerica (an)n∈ n∈N e convergente para zero, pois

limx→∞ ex ln r Exerccio de Calculo 1

= 0 , para cada r ∈ (0 , 1] .

Se

r ∈ (1 ,∞) , teremos ln r > 0 ,

logo a sequencia numerica (an)n∈ n∈N n~ao sera convergente pois, neste caso

limx→∞ ex ln r Exerccios de Calculo 1

= ∞ , para cada r ∈ (1 ,∞) ,

completando a resoluc~ao.


Observacao 3.3.8

1. Vale observar, uma vez mais, que NAO podemos aplicar a Regra de L'Hospital,

diretamente, as sequencias numericas.

2. O Teorema (3.3.2) acima nao garante que se o limite limx→∞ f(x) nao existe, ent~ao

o limite limn→∞an tambem n~ao existira, onde

an.= f(n) , para cada n ∈ N ,

como mostra o seguinte exemplo:

Consideremos a func~ao f : R → R dada por

f(x) = sen(πx) , para cada x ∈ R . (3.74)

Notemos que o limite

limx→∞ f(x)

n~ao existe (Exerccio de Calculo 1) porem, considerando-se a sequencia numerica

(an)n∈N, onde

an.= f(n)

(3.74)= sen(πn)

= 0 , para n ∈ N ,

teremos

limn→∞an = 0 ,

ou seja, a sequencia numerica (an)n∈N sera convergente (para 0).

3. Todos os resultados apresentado acima permanecem verdadeiros se substituirmos

a hipotese

n ∈ N , por n ≥ No ,

para algum No ∈ N xado.

Por exemplo, no item 2. do Teorema (3.3.1), se trocarmos a hipotese:

an ≤ bn , para cada n ∈ N , por an ≤ bn , para cada n ≥ No ,

a conclus~ao continuara valida, isto e,

limn→∞an ≤ lim

n→∞bn .Observacao 3.3.9 Como vimos anteriormente (veja a Proposic~ao (3.3.2)) toda sequencia

numerica convergente e limitada, mas nao vale a recproca (veja o Exemplo (3.3.3)).

A quest~ao que poderamos colocar e a seguinte: alem de ser limitada, que proprie-

dade(s) uma sequencia numerica poderia ter, para que pudessemos garantir que ela

sera convergente ?

A seguir introduziremos uma nova classe de sequencias numericas que nos ajudar~ao

a responder essa pergunta.

3.4. SEQUENCIAS MONOTONAS 41

3.4 Sequencias numericas monotonas

Definicao 3.4.1 Diremos que uma sequencia numerica (an)n∈N e:

1. crescente se:

an+1 ≥ an , para cada n ∈ N . (3.75)

2. decrescente se:

an+1 ≤ an , para cada n ∈ N . (3.76)

3. estritamente crescente se:

an+1 > an , para cada n ∈ N . (3.77)

4. estritamente decrescente se

an+1 < an , para cada n ∈ N . (3.78)

Se a sequencia numerica (an)n∈N for de um dos tipos acima ela sera dita monotona.

Exemplo 3.4.1 A sequencia numerica (an)n∈N, onde

an.= n , para cada n ∈ N , (3.79)

e estritamente crescente (portanto monotona)

Resolucao:

De fato, pois

an+1(3.79)= n+ 1

> n

(3.79)= an , para cada n ∈ N ,

mostrando que a equencia numerica

(an)n∈N = (n)n∈N

e estritamente crescente.

Exemplo 3.4.2 A sequencia numerica (an)n∈N, onde por

an.=1

n, para cada n ∈ N , (3.80)

e estritamente decrescente (portanto monotona).


Resolucao:

De fato, pois

an+1(3.80)=

1

n+ 1n+1>n<

1

n(3.80)= an

para cada n ∈ N, mostrando que a equencia numerica

(an)n∈N =

(1

n

)n∈N

e estritamente decrescente.

Exemplo 3.4.3 A sequencia numerica (an)n∈N, onde por

an.= cos(nπ) , para cada n ∈ N , (3.81)

nao e monotona.

Resolucao:

Notemos que

an(3.81)= cos(nπ)

= (−1)n , para cada n ∈ N ,

que mostra que nenhuma das condic~oes da Denic~ao (3.4.1) ocorrera.


an.=1

2n, para cada n ∈ N , (3.82)

e estritamente decrescente (portanto monotona).

Resolucao:

De fato, pois, como

2n+1 > 2n , para cada n ∈ N ,

segue que

an+1(3.82)=

1

2n+1

<1

2n

(3.82)= an ,


para cada n ∈ N, mostrando que a sequencia numerica

(an)n∈N =

(1

2n

)n∈N


5.03.2015 - 4.a aula

Observacao 3.4.1

1. Podemos estudar a monotonicidade de uma sequencia numerica (an)n∈N, estudando-

se o comportamento da sequencia numerica dada por:(an+1

an

)nn∈N

,

se an = 0, para cada n ∈ N.

Para ilustrar, suponhamos que

an > 0 , para cada n ∈ N .

Com isto teremos que:

an+1

an≥ 1 , para cada n ∈ N

se, e somente se a sequencia numerica (an)n∈N e crescente.

2. Podemos obter um resultado analogo ao citado acima, trocando-se o sinal

≥ , pelo sinal: >

e a palavra

crescente , pela palavra: estritamente crescente .

3. Notemos tambem que, se

an > 0 , para cada n ∈ N ,

temos quean+1

an≤ 1 , para cada n ∈ N

se, e somente se a sequencia numerica (an)n∈N e decrescente.

4. Podemos obter um resultado analogo ao citado acima, trocando-se o sinal

≤ , pelo sinal: <

e a palavra

decrescente , pela palavra: estritamente decrescente .


5. Podemos obter resultado analogos aos acima, para o caso que

an < 0 , para cada n ∈ N ,

trocando-se as palavras

crescente , pela palavra: decrescente .

e vice-versa.

Conclusao: supondo que

an > 0 (ou an < 0) , para cada n ∈ N ,

a sequencia numerica (an)n∈N sera monotona se, e somente se, ou

an+1

an≥ 1

(ou

an+1

an≤ 1), para cada n ∈ N .

6. Podemos, quando possvel, estudar a monotonicidade de uma sequencia numerica

(an)n∈N estudando-se a monotonicidade de uma func~ao f : [1 ,∞) → R, onde

an.= f(n) , para cada n ∈ N .

Por exemplo, se a func~ao f e crescente (respectivamente, estritamente crescente,

decrescente, estritamente decrescente), isto e,

f(x) ≥ f(y) (respectivamente, > , ≤ , <) , para cada x ≥ y ≥ 1 ,

ent~ao a sequencia numerica (an)n∈N,

an.= f(n) , para cada n ∈ N

sera crescente (respectivamente, estritamente crescente, decrescente, estritamente

decrescente).

7. Lembremos que, quando possvel (ou seja, se a func~ao f : [1 ,∞) → R for dife-

renciavel em [1 ,∞)), poderemos estudar a monotonicidade da func~ao f acima,

estudando o sinal de sua derivada , mais precisamente:

se f ′(x) ≥ 0 , para todo x ∈ [1 ,∞) ,

a func~ao f sera crescente em [1 ,∞) ,

se f ′(x) > 0 , para todo x ∈ [1 ,∞) ,

a func~ao f sera estritamente crescente em [1 ,∞) ,

se f ′(x) ≤ 0 , para todo x ∈ [1 ,∞) ,

a func~ao f sera decrescente em [1 ,∞) ,

se f ′(x) < 0 , para todo x ∈ [1 ,∞) ,

a func~ao f sera estritamente decrescente em [1 ,∞) .


8. Pode ocorrer da func~ao f : [1 ,∞) → R nao ser uma func~ao monotona, mas a

sequencia numerica (an)n∈N, onde

an.= f(n) , para cada n ∈ N

ser monotona, como mostra o seguinte exemplo:


f(x).= sen(πx) , para cada x ∈ [1 ,∞) .

Ent~ao a func~ao f n~ao e monotona, mas a sequencia numerica (an)n∈N, onde

an.= f(n)

= sen(πn)


e uma sequencia numerica monotona, pois

an+1 = 0 ≥ 0 = an , para cada n ∈ N .

Apliquemos as ideias acima aos:


an.=

−n

n+ 1, para cada n ∈ N , (3.83)


Resolucao:

De fato, pois

an+1

an

(3.83)=

−(n+ 1)

(n+ 1) + 1−n

n+ 1

=n+ 1

n+ 2

n+ 1

n

=n2 + 2n+ 1

n2 + 2n

= 1+1

n2 + 2︸︷︷︸>0

> 1 . (3.84)

para cada n ∈ N.Como

an(3.83)< 0 , para n ∈ N ,


para cada n ∈ N, multiplicando-se (3.84) por an, segue que

an+1 < an , para cada n ∈ N ,

ou seja, a sequencia numerica (an)n∈N e estritamente decrescente, em particular, sera uma

sequencia numerica monotona.


an.=

2n

3n+ 2, para cada n ∈ N , (3.85)

e estritamente crescente.

Resolucao:

De fato, pois

an+1

an

(3.85)=

2 (n+ 1)

3 (n+ 1) + 22n

3n+ 2

=2n+ 2

3n+ 5

3n+ 2

2n

=6n2 + 10n+ 4

6n2 + 10n

= 1+4

6n2 + 10n︸︷︷︸>0

> 1 , (3.86)

para cada n ∈ N.Como

an(3.85)< 0 , para cada n ∈ N ,


an+1 > an , para cada n ∈ N ,

ou seja, a sequencia numerica (an)n∈N e estritamente crescente, em particular, sera sequencia

numerica monotona.


an.=

ln(n+ 2)

n+ 2, para cada n ∈ N , (3.87)



Resolucao:

De fato, consideremos a func~ao f : [1 ,∞) → R, dada por

f(x).=

ln(x+ 2)

x+ 2, para cada x ∈ [1 ,∞) . (3.88)

Notemos que

an(3.87)=

ln(n+ 2)

n+ 2(3.88)= f(n) , para cada n ∈ N . (3.89)

Por outro lado, notemos que a func~ao f e diferenciavel em [1 ,∞) e

f ′(x)(3.88)=

d

dx

[ln(x+ 2)

x+ 2

]regras de derivac~ao

=

1

x+ 2(x+ 2) − ln(x+ 2) · 1

(x+ 2)2

=1− ln(x+ 2)

(x+ 2)2< 0

para x ∈ [1 ,∞).

De fato, pois se

x ∈ [1 ,∞) ,

teremos x+ 2 > e ,

logo, ln(x+ 2) > 1 ,

ou seja, 1− ln(x+ 2) < 0 .

Logo, como

f ′(x) < 0 , para x ∈ [1 ,∞) ,

segue, do item 7. da Observac~ao (3.4.1), que a func~ao f sera estritamente decrescente e assim,

pelo item 6. da mesma Observac~ao, teremos que a sequencia numerica (an)n∈N tambem sera

estritamente decrescente (pois an(3.89)= f(n), para cada n ∈ N).

Observacao 3.4.2 Sabemos que toda sequencia numerica convergente e limitada (veja

a Proposic~ao (3.3.2)), mas nem toda sequencia numerica limitada e convergente (veja

o Exemplo (3.3.3)).

A pergunta que podemos formular e a seguinte: que outra propriedade a sequencia

numerica podera ter (alem de ser limitada), para que possamos garantir que ela seja

converente ?

A resposta sera dada no resultado a seguir:

Teorema 3.4.1 Toda sequencia numerica limitada e monotona sera convergente em R.


Demonstracao:

Faremos a demonstrac~ao para o caso em que a sequencia numerica (an)N∈N seja crescente.

Os outros casos ser~ao deixados como exerccio para o leitor.

Como a sequencia numerica (an)N∈N e limitada temos que existe M > 0, de modo que

|an| ≤M, para cada n ∈ N.

Logo o conjunto

A.= an ; n ∈ N

sera limitado em R.Portanto existe

L.= supan : n ∈ N ⊆ R .

Armamos que

limn→∞an = L .

De fato, dado ε > 0, da denic~ao de supremo, como

L.= supan : n ∈ N ∈ R ,

podemos encontrar No ∈ N, de modo que

L− ε < aNo≤ L . (3.90)

Como a sequencia numerica (an)N∈N e crescente temos, para n ≥ No, que

L− ε(3.90)< aNo

≤ anL e limitante superior do conjunto A

≤ L < L+ ε , (3.91)

ou seja, para n ≥ No, teremos

L− ε < an < L+ ε ,

ou ainda

|an − L| < ε , para n ≥ No ,

mostrando que

limn→∞an = L = supan ; n ∈ N ,


Observacao 3.4.3

1. O Teorema (3.4.1) acima nos diz que se uma sequencia (an)n∈N e monotona e

limitada, ent~ao ela sera convergente para algum L ∈ R e, alem disso,

limn→∞an = L = supan ; n ∈ N . (3.92)


2. Se no Teorema (3.4.1) acima, a sequencia numerica (an)N∈N for decrescente (e

limitada), ent~ao, de modo semelhante, pode-se mostrar que

limn→∞an = L = infan ; n ∈ N . (3.93)

3. O resultado acima nos da uma condic~ao suciente (mas nao necessaria) para que

uma sequencia numerica limitada, seja convergente em R, a saber, que ela seja

monotona.

Deixaremos como exerccio para o leitor uma sequencia numerica que seja limi-

tada, n~ao seja monotona, mas e convergente em R.


Exemplo 3.4.8 Mostre que a sequencia numerica (an)n∈N, onde

an.=2n

n!, para cada n ∈ N , (3.94)

e convergente para zero, isto e,

limn→∞

2n

n!= 0 .

Resolucao:

Para garantir a convergencia em R, da sequencia numerica (an)n∈N, mostremos que ela e

uma sequencia numerica limitada e monotona.

Logo, pelo Teorema (3.4.1), segue que ela sera convergente em R.Apos isto, mostraremos que o valor do seu limite e zero.

(i) Mostremos que a sequencia numerica (an)n∈N e decrescente.

De fato, notemos que, para cada n ∈ N, temos:

an+1

an

(3.94)=

2n+1

(n+ 1)!2n

n!

=2n+1 n!

2n (n+ 1)!

= 21

n+ 1n+1≥2≤ 2

1

2= 1 . (3.95)

Como


para cada n ∈ N, mutiplicando (3.95) por an, segue que

an+1 ≤ an , para cada n ∈ N , (3.96)


ou seja, a sequencia numerica e decrescente (em particular, monotona).

(ii) Mostremos que a sequencia numerica (an)n∈N e limitada.

Do item (i) temos que a sequencia numerica (an)n∈N e decrescente.

Por outro lado,

an(3.94)> 0 , para cada n ∈ N ,

seque que

−2 ≤ 0 < an(3.96)

≤ a1 = 2 , para cada n ∈ N ,

em particular,

|an| ≤ 2 , para cada n ∈ N .

Portanto a sequencia numerica (an)n∈N e limitada.

Logo, do Teorema (3.4.1), segue que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente em R,ou seja, existe L ∈ R tal que

L.= lim

n→∞an . (3.97)

Portanto, teremos

L = limn→∞an

(3.94)= lim

n→∞2n

n!

= limn→∞

[2

n

2n−1

(n− 1)!

]= lim

n→∞[2

nan−1

]. (3.98)

Mas

limn→∞an−1 = L e lim

n→∞2

n= 0 . (3.99)

Logo, de (3.99) e (3.98), segue que

L =

[limn→∞

2

n

] [limn→∞an−1

](3.99) e (3.98)

= 0 · L= 0 ,

ou seja,

L = 0 , ou ainda, limn→∞

2n

n!= 0 ,

mostrando que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para zero, completando a re-

soluc~ao.



a1.=

√2 , a2

.=

√2√2 , · · · , an

.=√2an−1 , para cada n ∈ N , (3.100)


limn→∞an = 2 .

Resolucao:



Logo, pelo Teorema (3.4.1), segue que ela sera convergente em R.Apos isto, mostraremos que o valor do seu limite e igual a 2.

(i) Mostremos que a sequencia numerica (an)n∈N e limitada.

Na verdade, mostraremos que

0 < an ≤ 2 , para cada n ∈ N , (3.101)

que implicara, em particular, que

|an| ≤ 2 , para cada n ∈ N ,

ou seja, a sequencia numerica (an)n∈N sera limitada.

Para (3.101), utilizaremos inducao matematica, isto e, precisaremos mostrar que:

(a) a propriedade (3.101) e valida para n = 1;

e

(b) se a propriedade (3.101) for valida para n = k− 1, ela sera valida para n = k.

Notemos que a propriedade (3.101) e valida para n = 1, pois

0 < a1(3.100)=

√2 ≤ 2 ,

ou seja, vale (a).

Alem disso, se a propriedade (3.101) for valida para n = k− 1, teremos:

0 < ak−1 ≤ 2 (3.102)

Mas

0 < ak(3.100)=

√√√√2 ak−1︸︷︷︸(3.102)

≤ 2

≤√2 · 2 = 2 ,

mostrando a propriedade (3.101) sera valida para n = k, isto e, vale (b).

Assim segue, da induc~ao matematica, que (3.101) e verdadeira para todo n ∈ N, emparticular, a sequencia numerica (an)n∈N e limitada.

(ii) Mostremos que a sequencia numerica (an)n∈N e crescente.


Para isto observemos que, para cada n ∈ N, teremos:

an+1

an

(3.100)

≤√2an

an

=

√2√an

(√an)

2

=

√2

√an

(3.101)

≥ 1 , (3.103)

Como



an+1 ≥ an , para cada n ∈ N ,

ou seja, a sequencia numerica (an)n∈N e crescente (em particular, monotona).

Logo, do Teorema (3.4.1), segue que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente em R.Seja

L.= lim

n→∞an . (3.104)

Ent~ao

L = limn→∞an

(3.100)= lim

n→∞√2an−1

propriedades de limite=

√2 limn→∞an−1

(3.104)=

√2 L ,

ou seja, L2 = 2 L .

Com isto poderemos ter as seguintes possibildades:

L = 0 , ou L = 2 .

Notemos que

L = 0 ,

n~ao podera ocorrer pois a sequencia numerica (an)n∈N e crescente e

an ≥ a1 =√2 > 0 .

Portanto deveremos ter

L = 2 ,

isto e,

limn→∞an = 2 ,

mostrando que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para 2, completando a resoluc~ao.


Observacao 3.4.4 Observemos que na sequencia numerica do Exemplo (3.4.9) acima,

temos

a1 = 212 , a2 = 2

12 · 2

14 = 2

12+ 1

4 , a3 = 212 · 2

14 · 2

18 = 2

12+ 1

4+ 1

8 , · · · , an = 212+ 1

4+···+ 1

2n ,

par cada n ∈ N.Como

1

2+1

4+1

8+ · · ·

e uma P.G. (progress~ao geometrica) de raz~ao

r.=1

2,

cujo primeiro termo e

a1.=1

2,

sabemos que a soma da mesma sera igual a

a1

1− r=

1

2

1−1

2

= 1 .

Logo e natural acharmos que

limn→∞an = 21 = 2 .

Exemplo 3.4.10 Mostremos que a sequencia numerica (an)n∈N, onde

a1.=

√2 , a2

.=

√2+

√2 , · · · , an

.=√2+ an−1 , para cada n ∈ N , (3.105)


limn→∞an = 2 .

Resolucao:



Logo, pelo Teorema (3.4.1), segue que ela sera convergente em R.Apos isto, mostraremos que o valor do seu limite e igual a 2.

(i) Mostremos que a sequencia numerica (an)n∈N e crescente, isto e,

an ≤ an+1 , para cada n ∈ N . (3.106)

Para isso usaremos induc~ao matematica, ou seja, mostraremos que:

(a) a propriedade e valida para n = 1

e

(b) se a propriedade for valida para n = k− 1, ent~ao ela tambem sera valida para n = k.


Notemos que

a1(3.105)=

√22≤2+

√2 e

√e ↑

≤√2+

√2

(3.105)= a2 ,

portanto: a1 ≤ a2 ,

ou seja, vale a propriedade (3.106) para n = 1, isto vale (a).

Suponhamos que a propriedade for valida para n = k− 1, isto e,

ak−1 ≤ ak . (3.107)

Com isto, teremos:

ak(3.105)=

√√√√2+ ak−1︸︷︷︸(3.107)

≤ ak

√e ↑≤

√2+ ak

(3.105)= ak+1 ,

mostrando que a propriedade sera valida para n = k.

Assim, segue da induc~ao matematica, que (3.106) vale para todo nN, ou seja, a sequencia

numerica (an)n∈N e crescente.

(ii) Mostremos que a sequencia numerica (an)n∈N satisfaz

0 < an ≤ 2 , para cada n ∈ N , (3.108)

em particular, a sequencia numerica (an)n∈N sera limitada.

Para isso usaremos, novamente, induc~ao matematica para mostrar (3.108), ou seja, mos-

tremos que

(a) a propriedade e valida para n = 1.

e

(b) se a propriedade for valida para n = k− 1, ent~ao ela sera valida para n = k.

Notemos que a propriedade e valida para n = 1, pois

0 < a1(3.105)=

√2 ≤ 2 .

Observemos tambem que, se a propriedade for valida para n = k− 1, isto e, se

0 < ak−1 ≤ 2 , (3.109)

ent~ao ela sera valida para n = k.

De fato, pois

ak(3.105)=

√2+ ak−1

(3.109) e√

e ↑≤

√2+ 2

= 2 ,

3.5. SEQUENCIAS DIVERGENTES 55

mostrando que a propriedade e valida para n = k, ou seja, vale (b).

Assim, do processo de induc~ao matematica, segue que vale (3.108), em particular, a

sequencia numerica (an)n∈N e limitada.

Logo, do Teorema (3.4.1), segue que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente em R.Seja

L.= lim

n→∞an . (3.110)

Ent~ao

L = limn→∞an

(3.105)= lim

n→∞√2+ an−1

propriedades de limite=

√√√√2+ limn→∞an−1︸︷︷︸

(3.110)= L

=√2+ L ,

ou seja, L2 = 2+ L ,

ou seja, temos as seguintes possibilidades:

L = −1 , ou L = 2 .

Observemos que

L = −1

n~ao podera ocorrer, pois a sequencia numerica (an)n∈N e crescente, assim

an ≥ a1 =√2 > 0 .

Portanto, deveremos ter

L = 2 ,

ou seja,

limn→∞an = 2 ,

mostrando que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para 2, completando a resoluc~ao.

10.03.2015 - 5.a aula

Alguns tipos de a sequencias numericas que s~ao divergentes podem ser importantes como

veremos a seguir.

3.5 Sequencias numericas divergentes

Definicao 3.5.1 Diremos que uma sequencia numerica (an)n∈N divergente para +∞(respectivamente, −∞) se dado K > 0, podemos encontrar No ∈ N, de modo que, para

n ≥ No , temos an ≥ K (respectivamente, an ≤ −K). (3.111)

Neste caso escreveremos

limn→∞an = ∞ (respectivamente, −∞) .


Com isto temos os:


an.= n , para cada n ∈ N (3.112)

e uma sequencia numerica divergente para ∞, isto e,

limn→∞n = ∞ . (3.113)

Resolucao:

De fato, dado K > 0, consideremos No ∈ N tal que

No > K .

Logo,

para n ≥ No , (3.114)

teremos an(3.112)= n

(3.114)

≥ No ≥ K ,

mostrando, pela Denic~ao (3.5.1), que

limn→∞an = ∞ ,

isto e, (3.113).


an.=1− n3

1+ n2, para cada n ∈ N (3.115)

e uma sequencia numerica divergente para −∞, isto e,

limn→∞

1− n3

1+ n2= −∞ , (3.116)

Resolucao:

De fato, dado K > 0, conisderemos No ∈ N, tal que

No > K+ 1 . (3.117)


Assim,

para n ≥ No (3.118)

teremos an =1− n3

1+ n2

1≤n2

<n2 − n3

1+ n2

n2+1≥n2≥1<

n2 − n3

n2

n2 =0< 1− n

(3.118)< 1−No

(3.117)< −K,

(3.119)


limn→∞an = −∞ ,

isto e, (3.116).

Semelhantemente com o caso de convergencia, podemos estudar a divergencia de uma

sequencia numerica para ∞ (respectivamente, para −∞), estudando o comportamento de

uma func~ao de uma variavel real, a valores reais, que a dene.

Mais claramente temos:

Proposicao 3.5.1 Suponhamos que a func~ao f : (0 ,∞) (respectivamente, (−∞ , 0)) → Re tal que

limx→∞ f(x) = ∞ (respectivamente, −∞) , (3.120)

Ent~ao a sequencia numerica (an)n∈N, onde

an.= f(n) , para cada n ∈ N (3.121)

e uma sequencia numerica divergente para ∞ (respectivamente, para −∞), isto e,

limn→∞an = ∞ (respectivamente, −∞) . (3.122)

Demonstracao:

Sera deixada como exerccio para o leitor.



an.=1− n3

1+ n2, para cada n ∈ N (3.123)


uma sequencia numerica divergente para −∞, isto e,

limn→∞

1− n3

1+ n2= −∞ . (3.124)

Resolucao:

Notemos que este Exemplo e igual ao Exemplo (3.5.2).

Observemos que se denirmos a func~ao f : (0 ,∞) → R, dada por

f(x).=1− x3

1+ x2, para cada x ∈ (0 ,∞) , (3.125)

teremos que


x→∞1− x3

1+ x2

tipo: −∞∞ , aplicamos L'Hospital= lim

x→∞d

dx

[1− x3

]d

dx

[1+ x2

]= lim

x→∞−3 x2

2 x

x=0= lim

x→∞−3 x2

2Exerccio de Calculo 1

= −∞ . (3.126)

Como, para cada n ∈ N, temos

an(3.123)=

1− n3

1+ n2

(3.125)= f(n) ,

pela Proposic~ao (3.5.1) acima, segue que

limn→∞an = lim

x→∞ f(x)(3.126)= −∞ ,

completando a demonstrac~ao da identidade (3.124).


an.=3n

n3, para cada n ∈ N (3.127)

e uma sequencia numerica divergente para ∞, isto e,

limn→∞

3n

n3= ∞ . (3.128)


Resolucao:

De fato, consideremos a func~ao f : (0 ,∞) → R, dada por

f(x).=3x

x3, para cada x ∈ (0 ,∞) . (3.129)

Notemos que

limx→∞ f(x)

(3.129)= lim

x→∞3x

x3

tipo ∞∞ aplicando L'Hospital= lim

x→∞d

dx[3x]

d

dx

[x3]

= limx→∞

3x ln(3)

3 x2


x→∞d

dx[3x ln(3)]

d

dx

[3 x2]

= limx→∞

3x (ln 3)2

6 x


x→∞d

dx[3x (ln 3)2]

d

dx[6 x]

= limx→∞

3x (ln 3)3

6Exerccio de Calculo 1

= ∞ . (∗)

Como

an(3.127)= =

3n

n3

(3.129)= f(n) ,

pela Proposic~ao (3.5.1) acima, segue que

limn→∞an = lim

x→∞ f(x)(∗)= ∞ ,


Observacao 3.5.1

1. Se a sequencia numerica (an)n∈N e crescente (respectivamente, decrescente) e n~ao

e limitada, ent~ao ela sera divergente para ∞ (respectivamante, −∞), isto e,

limn→∞an = ∞ (respectivamente, −∞) .


2. Outra classe de a sequencias numericas que n~ao ser~ao alvo de nosso estudo

e a classe formada pelas sequencias numericas que s~ao oscilatorias, ou seja,

sequencias numericas que n~ao s~ao sequencias numericas convergentes, nem di-

vergentes para ∞ ou −∞.

Por exemplo, a sequencia numerica (an)n∈N, onde

an.= (−1)n , para cada n ∈ N ,

n~ao convergente, nem divergente para ∞ ou −∞, ou seja, e uma sequencia numerica

oscilatoria.

Temos um teorema da comparac~ao para sequencia numerica divergentes para ∞ (respec-

tivamente, −∞), a saber:

Teorema 3.5.1 Suponhamos que as a sequencias numericas (an)n∈N, (bn)n∈N satisfazem:

an ≤ bn , para cada n ∈ N . (3.130)

Ent~ao:

1. Se

limn→∞an = ∞ , deveremos ter lim

n→∞bn = ∞ . (3.131)

2.

limn→∞bn = −∞ , deveremos ter lim

n→∞an = −∞ . (3.132)

Demonstracao:

De 1.:

Como

limn→∞an = ∞ ,

ent~ao dado K > 0, podemos encontrar No ∈ N, tal que para

n ≥ No teremos an ≥ K . (3.133)

Assim, se n ≥ No, segue que

bn(3.130)

≥ an(3.133)

≥ K ,

mostrando que

limn→∞bn = ∞ ,

completando a demonstrac~ao do item 1. .

De modo analogo mostra-se o item 2. .

Os detalhes da demonstrac~ao do mesmo ser~ao deixados como exerccio para o leitor.

Apliquemos isto ao (compare com o Exemplo (3.3.4)):


Exemplo 3.5.5 Mostre que a sequencia numerica (bn)n∈N, onde

bn.=

1√n+

1√n+ 1

+ · · ·+ 1√2n︸︷︷︸

(n+1)−parcelas

, para cada n ∈ N (3.134)

e uma sequencia numerica e divergente para ∞, isto e,

limn→∞

1√n+

1√n+ 1

+ · · ·+ 1√2n︸︷︷︸

(n+1)−parcelas

= ∞ . (3.135)

Resolucao:

Para isto, observemos que, para cada n ∈ N teremos:

bn =1√n+

1√n+ 1

+ · · ·+ 1√2n︸︷︷︸

(n+1)−parcelas

1 ≤ n ≤ 2n1 ≤ n+ 1 ≤ 2n

...

1 ≤ 2n− 1 ≤ 2n

≥ 1√

2n+

1√2n

+ · · ·+ 1√2n︸︷︷︸

(n+1)−parcelas

=n+ 1√2n

=

√n√2+

1√2n

.= an ,

isto e,

an ≤ bn , para cada n ∈ N . (3.136)

Mas

limn→∞an = lim

n→∞√n√2+

1√2n

Exerccio= ∞ .

Logo, pelo item 1. do Teorema (3.5.1) acima, segue que

limn→∞

1√n+

1√n+ 1

+ · · ·+ 1√2n︸︷︷︸

(n+1)−parcelas

(3.134)= lim

n→∞bn = ∞ ,

mostrando (3.135).


3.6 Subsequencias de uma sequencia numerica

Definicao 3.6.1 Seja (an)n∈N uma sequencia numerica e A.= n1, n2, · · · subconjunto

innito dos numeros naturais, satisfazendo

n1 < n2 < n3 < · · · .

Como isto podemos construir a sequencia numerica (ani)i∈N (isto e, consideramos a

restric~ao a|A : A ⊆ N → R).Tal sequencia numerica sera denominada subsequencia da sequencia numerica (an)n∈N.

Observacao 3.6.1 Um outro modo de denir subsequencia de uma sequencia numerica

(an)n∈N seria a seguinte:

Considere uma func~ao f : N → N que seja estritamente crescente.

A sequencia numerica(af(n)

)n∈N

sera dita subsequencia da sequencia numerica (an)n∈N.

Temos os:

Exemplo 3.6.1 Consideremos a sequencia numerica (an)n∈N, onde

an = sen(nπ

2

), para cada n ∈ N . (3.137)

Se considerarmos somente os ndices mpares, isto e

ni.= 2 i+ 1 , para cada i ∈ N ,

obteremos a subsequencia (a2 i+1)i∈N, da sequencia numerica (an)n∈N, onde

a2 i+1(3.137)= sen

[(2 i+ 1)

π

2

]= (−1)i , para cada i ∈ N ,

ou seja, a subsequencia (a2 i+1)i∈N, da sequencia numerica (an)n∈N, sera a sequencia:

−1 , 1 ,−1 , 1 , · · ·

Se considerarmos somente os ndices pares, isto e,

ni.= 2 i , para cada i ∈ N ,

obteremos a subsequencia (a2 i)i∈N, da sequencia numerica (an)n∈N, onde

a2 n(3.137)= sen(2 i π)

= 0 , para cada i ∈ N ,

ou seja, a subsequencia (a2 i)i∈N, da sequencia numerica (an)n∈N, sera a sequencia:

0 , 0 , 0 , · · · .

3.6. SUBSEQUENCIAS 63


an = n , para cada n ∈ N . (3.138)

Ent~ao se considerarmos somente os ndices mpares, isto e,

ni.= 2 i+ 1 , para cada i ∈ N ,

obteremos a subsequencia (a2 i+1)i∈N, da sequencia numerica (an)n∈N, onde

a2 i+1(3.138)= 2 i+ 1 , para cada n ∈ N ,

ou seja, a subsequencia (a2 i+1)i∈N, da sequencia numerica (an)n∈N, sera a sequencia

1 , 3 , 5 , 7 , · · ·

Se considerarmos somente os ndices pares, isto e,

ni.= 2 i , para cada i ∈ N ,

obteremos a subsequencia (a2 i)i∈N, da sequencia numerica (an)n∈N , onde

a2 i(3.138)= 2 i , para cada n ∈ N ,

ou seja, a subsequencia (a2 i+1)i∈N, da sequencia numerica (an)n∈N, sera a sequencia

2 , 4 , 6 , · · ·

Um resultado importante no estudo da convergencia de sequencias numericas, utilizandos-

e subsequencias da mesma, e dado pelo:

Teorema 3.6.1

1. Se a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para a, ent~ao toda subsequencia

da mesma, sera convergente para a.

Em particular, se a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para a, ent~ao para

cada ko ∈ N, a subsequencia (an+ko)n∈N, da sequencia numerica (an)n∈N, sera con-

vergente para a.

2. Se toda subsequencia da sequencia numerica (an)n∈N e convergente para a, ent~ao

a sequencia numerica (an)n∈N sera convergente para a.

3. Toda sequencia numerica (an)n∈N, possui uma subsequencia monotona.

4. Toda sequencia numerica (an)n∈N limitada, possui uma subsequencia que e con-

vergente.


Demonstracao:

De 1. :

Se

limn→∞an = a ,

ent~ao dado ε > 0, podemos encontrar No ∈ N, tal que se

n ≥ No , temos que |an − a| < ε . (3.139)

Logo, para ni ≥ No temos que

|ani− a|

(3.139)< ε ,

mostrando que

limi→∞ani

= a ,


Observemos que para cada ko ∈ N xado, tem que a sequencia (an+ko)n∈N sera uma

subsequencia da sequencia numerica (an)n∈N.

Como a sequencia (an)n∈N e convergente para a segue, do que acabamos de mostrar, que

a subsequencia (an+ko)n∈N sera convergente para a, completando a demonstrac~ao do item 1.

.

De 2. :

Observemos que para cada ko ∈ N xado, a sequencia (an+ko)n∈N sera subsequencia da

sequencia numerica (an)n∈N.

Logo, por hipotese, sera convergente para a, ou seja, dado ε > 0, podemos encontrar

N1 ∈ N, tal que sen ≥ N1 , temos que |an+ko − a| < ε ,

que e equivalente a escrever

|an − a| < ε , para cada n ≥ No.= N1 + ko ,

mostrando que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para a, completando a demons-

trac~ao do item 2. .

De 3. :

Consideremos os seguintes subconjuntos:

A .= p ∈ N ; podemos encontrar n > p , de modo que an ≥ ap ,

B .= q ∈ N ; podemos encontrar n > q , de modo que an ≤ aq , (∗)

Notemos que

N = A ∪ B .

Logo, se o conjunto A for nito, teremos que o conjunto B sera innito, ou seja, existira

uma subsequencia da sequencia (an)n∈N que e decrescente.

3.7. SEQUENCIAS DE CAUCHY 65

De fato, como o conjunto B e innito e contido em N, temos que;

B = qi ; i ∈ N ,

onde

pi < pi+1 , para cada i ∈ N .

Da denic~ao de B (isto e, de (*)), segue que

aqi+1≤ aqi , para cada i ∈ N ,

ou ainda, a subsequencia (aqi)i∈N, da sequencia (an)n∈N, sera decrescente.

Por outro lado, se o conjunto B for nito, teremos que o conjunto A sera innito, ou seja,

existira uma subsequencia da sequencia (an)n∈N que e crescente.

A vericac~ao deste fato, sera deixada como exerccio para o leitor.

De 4. :

Notemos que toda subsequencia de uma sequencia numerica limitada (an)n∈N sera limi-

tada.

Por outro lado, do item 3. acima, a sequencia numerica (an)n∈N possui uma subsequencia

monotona, que indicaremos por (ani)i∈N.

Assim, a subsequencia (ani)i∈N sera monotona e limitada.

Portanto, do Teorema (3.4.1), segue que a subsequencia (ani)i∈N sera convergente, com-

pletando a demonstrac~ao do item 4. e do resultado.

3.7 Sequenci80gas numericas de Cauchy

A seguir introduziremos uma nova classe de sequencias numericas, a saber:

Definicao 3.7.1 Diremos que uma sequencia numerica (an)n∈N sera dita uma sequencia

numerica de Cauchy, se dado ε > 0, podemos encontrar No ∈ N, de modo

para n ,m ≥ No , deveremos ter |an − am| < ε . (3.140)

Observacao 3.7.1 Uma sequencia numerica (an)n∈N e uma sequencia numerica de Cau-

chy se a diferenca, em modulo, entre dois termos da mesma for arbitrariamente pe-

quena, para ndices sucientemente grandes.

Temos os:


an.=1

n, para cada n ∈ N (3.141)

e uma sequencia numerica de Cauchy.


Resolucao:

De fato pois, dado ε > 0, considerarmos No ∈ N, tal que

No >2

ε, ou seja,

2

No

< ε . (3.142)

Logo, para n ,m ≥ No, segue1

n,1

m<

1

No

, (3.143)

e assim, teremos:

|an − am|(3.141)=

∣∣∣∣ 1n −1

m

∣∣∣∣<1

n+1

m(3.143)<

1

No

+1

No

=2

No

(3.142)< ε , (3.144)

ou seja, a sequencia numerica (an)n∈N e sequencia numerica de Cauchy.

12.03.2015 - 6.a aula

Observemos que a sequencia numerica do Exemplo (3.7.1) acima e convergente em R.Isto e, no caso acima, a sequencia numerica (an)n∈N e convergente em R e e uma sequencia

numerica de Cauchy.

Isto ocorre em geral, como mostra o:

Teorema 3.7.1 Toda sequencia numerica convergente e uma sequencia numerica de

Cauchy.

Demonstracao:

De fato, se a sequencia numerica (an)n∈N e convergente para a, ent~ao dado ε > 0, podemos

encontrar No ∈ N, de modo que

para n ≥ No , teremos |an − a| <ε

2. (3.145)

Logo, para n ,m ≥ No, segue que

|an − am| = |an − a+ a− am|

= |(an − a) + (a− am)|

desigualdade triangular

≤ |an − a|+ |a− am|︸︷︷︸=|am−a|

(3.145)

≤ ε

2+ε

2= ε ,


mostrando que a sequencia numerica (an)n∈N e uma sequencia numerica de Cauchy, comple-

tando a demonstrac~ao.

A seguir trataremos do seguinte importante exemplo:

Exemplo 3.7.2 Consideremos a sequencia numerica (Sn)n∈N, onde

S1.= 1

S2.= 1+

1

2

S3.= 1+

1

2+1

3

· · ·

Sn.= 1+

1

2+1

3+ · · ·+ 1

n, para cada n ∈ N . (3.146)

Mostre que a sequencia numerica (Sn)n∈N , e divergente para +∞, ou seja,

limn→∞Sn = +∞ .

Resolucao:

Mostraremos que a sequencia numerica (Sn)n∈N nao e uma sequencia numerica de Cauchy.

De fato, para k ∈ N, temos que

|S2 k − Sk|(3.146)=

∣∣∣∣(1+ 1

2+1

3+ · · ·+ 1

k+

1

k+ 1+ · · ·+ 1

2 k

)−

(1+

1

2+1

3+ · · ·+ 1

k

)∣∣∣∣=

1

k+ 1+ · · ·+ 1

2 k︸︷︷︸k−parcelas

k+ 1 ≤ 2 kk+ 2 ≤ 2 k...

2 k− 1 ≤ 2 k≥ 1

2 k+ · · ·+ 1

2 k︸︷︷︸k−parcelas

= k1

2 k

=1

2,

ou seja,

|S2 k − Sk| ≥1

2, para cada k ∈ N.

Logo dado, por exemplo,

ε.=1

3> 0 , (3.147)


segue que nao podemos encontrar No ∈ N, de modo para n ,m ≥ No, tenhamos

|Sn − Sm| < ε =1

3.

De fato, pois para cada No ∈ N, se tomarmos m ≥ No, ent~ao para

n.= 2m ≥ No

(com isto teremos que n ,m ≥ No) segue que

|Sn − Sm| = |S2m − Sm|

≥ 1

2

>1

3(3.147)= ε ,

ou seja, (Sn)n∈N nao e uma sequencia numerica de Cauchy.

Logo, do Teorema (3.7.1), segue que numerica (Sn)n∈N n~ao podera ser convergente em R.Para nalizar, observemos que a sequencia numerica (Sn)n∈N acima e estritamente cres-

cente, pois, para cada n ∈ N, teremos:

Sn+1(3.146)= 1+

1

2+1

3+ · · ·+ 1

n︸︷︷︸(3.146)

= sn

+1

n+ 1

= Sn +1

n+ 1︸︷︷︸>0

> Sn .

Como a sequencia numerica (Sn)n∈N e estritamente crescente e n~ao e convergente em R,ela n~ao podera ser limitada (pois se fosse, seria monotona e limitada, portanto, do Teorema

(3.4.1), deveria ser convergente em R).Portanto deveremos ter

limn→∞Sn = +∞ ,


Observacao 3.7.2

1. O Exemplo (3.7.2) acima, sera muito importante ao longo do proximo captulo,

que tratara das series numericas.

2. Com isto surge a pergunta: "vale a recproca do Teorema (3.7.1) acima? ".

A resposta sera positiva, se considerarmos a sequencia numerica tomando valores

sobre o todo o conjunto dos numeros reais, ou seja, em R.

Para mostrar isso precisaremos de alguns resultados que ser~ao exibidos a seguir.


Proposicao 3.7.1 Toda sequencia numerica de Cauchy e uma sequencia numerica li-

mitada.

Demonstracao:

De fato, se a sequencia numerica (an)n∈N e sequencia numerica de Cauchy, ent~ao dado

ε.= 1 ,


para n ,m ≥ No , teremos |an − am| < ε = 1 ,

em particular, |an − aNo| < 1 , para cada n ≥ No . (3.148)

Logo, para n ≥ No, teremos:

|an|− |aNo|desigualdade triangular

≤ |an − aNo|(3.148)< 1 ,

ou seja, |an| ≤ |aNo|+ 1 . (3.149)

Consideremos

M.= max|a1| , |a2| , · · · , |aNo−1| , |aNo

|+ 1 . (3.150)

Ent~ao, para cada n ∈ N de (3.149) e (3.150), segue que

|an| ≤M,

mostrando que a sequencia numerica (an)n∈N e limitada, completando a demonstrac~ao.

Observacao 3.7.3 A recproca do resultado acima nao e verdadeira, isto e, nem toda

sequencia numerica limitada e uma sequencia numerica de Cauchy, como mostra o

seguinte exemplo:

Consideremos a sequencia numerica (an)n∈N, onde

an.= (−1)n , para cada n ∈ N . (3.151)

A sequencia numerica (an)n∈N e uma sequencia numerica limitada mas nao e uma

sequencia numerica de Cauchy.

De fato, se considerarmos, por exemplo,

ε.=1

2> 0 , (3.152)

segue que, para n ∈ N, teremos

|an − an+1|(3.151)= |(−1)n − (−1)n+1|

= |(−1)n [1− (−1)]|

= |(−1)n| |1+ 1|

= 2

>1

2

(3.152)= ε ,

mostrando que a sequencia numerica (an)n∈N nao e uma sequencia numerica de Cauchy.


Temos tambem o:

Proposicao 3.7.2 Se a sequencia numerica (an)n∈N e uma sequencia de Cauchy e pos-

sui uma subsequencia convergente para a, ent~ao a sequencia numerica (an)n∈N sera

convergente para a.

Demonstracao:

De fato, suponhamos que (an)n∈N e uma sequencia numerica de Cauchy, de modo que

uma subsequencia numerica da mesma, que indicaremos por (ani)i∈N, seja convergente para

a.

Como sequencia numerica (ani)i∈N (que e uma subsequencia numerica da sequencia numerica

(an)n∈N), e convergente para a, dado ε > 0, podemos encontrar N1 ∈ N, de modo que

para ni ≥ N1 , teremos |ani− a| <

ε

2. (3.153)

Como a sequencia numerica (an)n∈N e uma sequencia numerica de Cauchy, podemos en-

contrar N2 ∈ N, de modo

para n ,m ≥ N2 teremos |an − am| <ε

2. (3.154)

Seja

No.= maxN1 ,N2 . (3.155)

Portanto, para

n ≥ No , ou seja, n ≥ N1 e n ≥ N2 ,

teremos

|an − a| = |an − aNo+ aNo

− a|

= |(an − aNo) + (aNo

− a)|


≤ |an − aNo|+ |aNo

− a|

(3.154) e (3.153)<

ε

2+ε

2= ε ,

mostrando que a sequencia numerica e convergente para a, completando a demonstrac~ao.

Com isto podemos enunciar e demonstrar o:

Teorema 3.7.2 (criterio de Cauchy para convergencia de sequencias numericas)

Um sequencia numerica e convergente em R se, e somente se, ela e uma sequencia

numerica de Cauchy.

Demonstracao:

Seja (an)n∈N uma sequencia numerica em R.O Teorema (3.7.1) arma que se a sequencia numerica (an)n∈N for convergente, ela devera

ser uma sequencia numerica de Cauchy.


Por outro lado, se a sequencia numerica (an)n∈N e uma sequencia numerica de Cauchy

ent~ao, da Proposic~ao (3.7.1), segue que ela sera uma sequencia numerica limitada.

Mas, do item 3. do Teorema (3.6.1), temos que toda sequencia numerica (an)n∈N possui

uma subsequencia que e monotona, que indicaremos por (ani)i∈N.

Como a sequencia numerica (an)n∈N e limitada, seque que a subsequencia numerica

monotona (ani)i∈N tambem sera limitada e assim, do Teorema (3.7.1), segue que a sub-

sequencia numerica (ani)i∈N devera ser convergente em R.

Portanto a sequencia numerica (an)n∈N possui uma subsequencia convergente em R.Logo, da Proposic~ao (3.7.2) acima, segue que a sequencia numerica (an)n∈N sera conver-

gente em R, completando a demonstrac~ao do resultado.

Observacao 3.7.4 O Teorema (3.7.2) acima, n~ao nos diz para que valor a sequencia

numerica de Cauchy converge em R.

Apliquemos as ideias acima ao:

Exemplo 3.7.3 Seja (an)n∈N uma sequencia numerica que tem a seguinte propriedade:

|an+1 − an| ≤1

2n, para cada n ∈ N . (3.156)

Armamos que (an)n∈N e convergente em R.

Resolucao:

De fato, se considerarmos n ,m ∈ N, com n ≤ m, ou seja,

m = n+ k , para algum k ∈ N ,

segue que

|an − am| = |an − an+k|

= |an − an+1 + an+1 − an+2 + an+2 + · · ·− an+k|= |(an − an+1) + (an+1 − an+2) + (an+2 + · · ·− an+k)|desigualdade triangular

≤ |an − an+1|+ |an+1 − an+2|+ |an+2 − an+3|+ · · ·+ |an+k−1 − an+k|

(3.156)

≤ 1

2n+

1

2n+1+

1

2n+2+ · · ·+ 1

2n+k−1

=1

2n

1+ 1

2+1

24+ · · ·+ 1

2k−1︸︷︷︸k−parcelas

(3.157)

≤ 1

2n−1

pois,

1+1

2+1

24+ · · ·+ 1

2k−1≤ 2 , para cada n ∈ N . (3.157)


Portanto

|an − am| ≤1

2n−1, para m ≥ n . (3.158)

Logo, dado ε > 0, considerando-se

No > 1+ log21

ε, (3.159)

para

m ≥ n ≥ No , (3.160)

segue que

|an − am|(3.158)

≤ 1

2n−1

(3.160)

≤ 1

2No−1

(3.159)

≤ ε ,

mostrando que a sequencia numerica e uma sequencia numerica de Cauchy em R.Logo, do Teorema (3.7.2), segue que a sequencia numerica (an)n∈N sera convergente em

R, completando a resoluc~ao.

Uma generalizac~ao do exemplo acima e dado pelo:

Exercıcio 3.7.1 Seja (an)n∈N uma sequencia numerica que tem a seguinte propriedade:

|an+1 − an| ≤ rn , para cada n ∈ N , (3.161)

onde r ∈ [0 , 1) esta xado.

Armamos que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente em R.

Resolucao:

De modo analogo a resoluc~ao do Exemplo (3.7.3) podemos mostrar que a sequencia

numerica acima e uma sequencia numerica de Cauchy em R logo, pelo Teorema (3.7.2),

devera ser convergente em R.Para mostrarmos que a sequencia numerica acima e uma sequencia numerica de Cauchy

precisaremos mostrar que

|an − am| ≤rn

1− r, para m ≥ n .

Deixaremos os detalhes da vericc~ao deste fato como exerccio para o leitor.

Com isto podemos resolver o:

3.8. EXERCICIOS 73


a1.= 1 ,

a2.= 1+

1

3,

· · ·

an = 1+1

3+1

9+ · · ·+ 1

3n−1(3.162)

e uma sequencia numerica convergente em R.

Resolucao:

Notemos que, para cada n ∈ N, teremos

|an+1 − an|(3.162)=

∣∣∣∣(1+ 1

3+1

9+ · · ·+ 1

3n−1+1

3n

)−

(1+

1

3+1

9+ · · ·+ 1

3n−1

)∣∣∣∣=1

3n

= rn , onde r.=1

3.

Logo, do Exemplo (3.7.1) acima, segue que a sequencia numerica (an)n∈N e convergente

em R.

3.8 Exercıcios

Capıtulo 4

Series Numericas

4.1 Definicoes

A seguir trataremos de uma classe especial de sequencias numericas, denominadas series

numericas, a saber:

Definicao 4.1.1 Dada a sequencia numerica (an)n∈N, podemos considerar uma outra

sequencia numerica, que indicaremos por (Sn)n∈N, cujos termos s~ao denidos da se-

guinte forma:

S1.= a1 ,

S2.= a1 + a2 ,

S3.= a1 + a2 + a3 ,

...

Sn.= a1 + a2 + · · ·+ an =

n∑i=1

ai , (4.1)

para cada n ∈ N, que sera denominada de serie numerica, denida pela sequencia

numerica (an)n∈N ou, simplesmente, serie dos an.

Para cada n ∈ N, o numero real (ou complexo) an sera denominado termo da serie

numerica (ou n-esimo termo da) (Sn)n∈N.

Para cada n ∈ N, o termo Sn da sequencia (Sn)n∈N (ou seja, da serie numerica) sera

denominado n-esima soma parcial, ou soma parcial de ordem n, ou reduzida de or-

dem n da serie numerica (Sn)n∈N .

Denotaremos a serie numerica acima por

∞∑n=1

an , ou∑

an , ou ainda∞∑1

an . (4.2)

Observacao 4.1.1 Observemos que (4.2) denotam a sequencia numerica (Sn)n∈N onde,

cada termo desta sequencia numerica e dada por (4.1).

75

76 CAPITULO 4. SERIES NUMERICAS

A sequencia numerica (Sn)n∈N (ou seja, a serie numerica∞∑n=1

an) tambem podera ser

chamada de sequencia numerica das somas parciais da serie numerica∞∑n=1

an.


an.= (−1)n , para cada n ∈ N . (4.3)

Com isto temos que serie numerica, associada a esta sequencia numerica (an)n∈N,

que denotaremos por (Sn)n∈N, tera os seguintes termos:

S1.= a1(4.3)= (−1)1

= −1 ,

S2.= a1 + a2(4.3)= (−1)1 + (−1)2

= −1+ 1 = 0 ,

S3.= a1 + a2 + a3(4.3)= (−1)1 + (−1)2 + (−1)3

= −1+ 1− 1 = −1 ,

...

Sn.= a1 + a2 + · · ·+ an

=

n∑i=1

ai

=

n∑i=1

(−1)i

Exerccio=

−1+ (−1)n

2, (4.4)

para cada n ∈ N.

Observacao 4.1.2 Observemos que a sequencia numerica (Sn)n∈N (ou seja, a serie numerica∞∑n=1

an) e divergente.

De fato, pois a subsequencia, da sequencia numerica (Sn)n∈N, cujos ndices s~ao pares,

converge para 0, pois

S2 n(4.4)= 0 , para cada n ∈ N

4.1. DEFINIC ~OES 77

e a subsequencia, da sequencia numerica (Sn)n∈N, cujos ndices s~ao mpares, converge

para −1, pois

S2 n+1(4.4)= −1 , para cada n ∈ N .

Portanto, pelo item 1. do Teorema (3.6.1), segue que a sequencia numerica (Sn)n∈Ne divergente.

Exemplo 4.1.2 Considereremos a sequencia (an)n∈N, onde

an.=1

n, para cada n ∈ N . (4.5)

A serie numerica∞∑n=1

an, associada a esta sequencia numerica (an)n∈N, que denota-

remos por (Sn)n∈N, tera os seguintes termos:

S1.= a1

(4.5)=1

1

= 1 ,

S2.= a1 + a2

(4.5)=1

1+1

2

= 1+1

2,

S3.= a1 + a2 + a3

(4.5)=1

1+1

2+1

3

= 1+1

2+1

3,

S4.= a1 + a2 + a3 + a4

(4.5)=1

1+1

2+1

3+1

4

= 1+1

2+1

3+1

4,

...

Sn.= a1 + a2 + · · ·+ an(4.5)=1

1+1

2+ · · ·+ 1

n

= 1+1

2+ · · ·+ 1

n, (4.6)

para cada n ∈ N.


Observacao 4.1.3 Vimos, no Exemplo (3.7.2), que a sequencia numerica (Sn)n∈N e di-

vergente para +∞, isto e

limn→∞Sn = +∞ . (4.7)


a1.= 1 ,

a2.= −1 ,

a3.=1

2,

a4.= −

1

2,

a5.=1

3,

...

a2 n−1.=1

n, (4.8)

a2 n.= −

1

n, (4.9)

· · ·


an, associada a esta sequencia numerica (an)n∈N, que indica-

remos por (Sn)n∈N, tera os seguinte termos:

S1.= a1

n=1 em (4.8)=

1

1

= 1 ,

S2.= a1 + a2

n=1 em (4.8) e (4.9)=

1

1−1

1

= 0 ,

S3.= a1 + a2 + a3

n=1 em (4.8),(4.9) e n=2 em (4.8)=

1

1−1

1+1

2

=1

2,

S4.= a1 + a2 + a3 + a4

n=1 em (4.8),(4.9) e n=2 em (4.8),(4.9)=

1

1−1

1+1

2−1

2

= 0 ,

...

Sn.= a1 + a2 + · · ·+ an

4.1. DEFINIC ~OES 79

=

n∑i=1

ai

=

0 , para n e par2

n+ 1, para n e mpar

, (4.10)

para cada n ∈ N.

Observacao 4.1.4 Observemos que a sequencia numerica (Sn)n∈N e convergente para

zero, isto e

limn→∞Sn = 0 . (4.11)

Exemplo 4.1.4 Consideremos a sequencia numerica (an)n∈N onde

an = c , para cada n ∈ N , (4.12)

(a sequencia numerica constante) onde c ∈ R e xado.


an, associada a esta sequencia numerica (an)n∈N, que denota-

remos por (Sn)n∈N, tera os seguinte termos:

S1.= a1(4.12)= c ,

S2.= a1 + a2(4.12)= c+ c

= 2 c,

S3.= a1 + a2 + a3(4.12)= c+ c+ c

= 3 c,

...

Sn.= a1 + a2 + · · ·+ an(4.12)= c+ c+ · · ·+ c︸︷︷︸

n−parcelas

= nc , (4.13)

para cada n ∈ N.


Observacao 4.1.5 Logo, de (4.13), segue que a sequencia numerica (Sn)n∈N e conver-

gente (para zero) se, e somente se, c = 0.

Na verdade

a sequencia numerica (Sn)n∈N sera:

divergente para +∞ , para c > 0 ,

divergente para −∞ , para c < 0 ,

convergente para 0 , para c = 0 .

(4.14)

A vericac~ao destes fatos ser~ao deixados como exerccio para o leitor.

4.2 Operacoes com series numericas

Podemos operar com series numericas usando as operac~oes de sequencias numericas introdu-

zidas na Denic~ao (3.2.1), ou ainda:

Definicao 4.2.1 Dadas as series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn e α ∈ R (ou C), podemos

denir:

i. a soma das series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn, indicada por

∞∑n=1

an +

∞∑n=1

bn ,

como sendo a serie numerica:

∞∑n=1

an +

∞∑n=1

bn.=

∞∑n=1

(an + bn) . (4.15)

ii. a diferenca das series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn, indicada por

∞∑n=1

an −

∞∑n=1

bn ,


∞∑n=1

an −

∞∑n=1

bn.=

∞∑n=1

(an − bn) . (4.16)

iii. a multiplicacao da serie numerica∞∑n=1

an pelo um numero real (ou complexo) α,

indicada por

α

∞∑n=1

an ,

4.2. OPERAC ~OES COM SERIES NUMERICAS 81


α

∞∑n=1

an.=

∞∑n=1

(αan) . (4.17)

iiv. o produto das series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn, sera indicada por

∞∑n=1

an ·∞∑n=1

bn ,

e a serie numerica∞∑n=1

cn, onde

cn.=

n∑k=1

ak bn−k

= a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · ·+ an−2 b2 + an−1 b1 , (4.18)

para cada n ∈ N.

Observacao 4.2.1

1. No caso das series numericas serem do tipo

∞∑n=0

an e∞∑n=0

bn ,

a serie produto ∞∑n=0

an ·∞∑n=0

bn ,


cn, onde

cn.=

n∑k=0

akbn−k

= ao bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · ·+ an−2 b2 + an−1 b1 + an bo , (4.19)

para cada n ∈ N ∪ 0.

2. O quociente das series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn, que sera indicado por

∞∑n=1

an

∞∑n=1

bn

ou∞∑n=1

an /

∞∑n=1

bn ,


pode tambem ser denido, porem isto e um pouco mais delicado e sera deixado

para outra ocasi~ao.

Os interessados em ver como e denida a serie quociente pode ver o item 9.

(pagina 73) das Referencias (9.5).

Com isto temos o:

Exercıcio 4.2.1 Considerando as seguintes series numericas:

∞∑n=1

1

ne

∞∑n=1

1

n2, (4.20)

ent~ao podemos considerar as seguintes series numericas:

∞∑n=1

an +

∞∑n=1

bn(4.20) e (4.15)

=

∞∑n=1

(1

n+1

n2

)=

∞∑n=1

(n+ 1

n2

),

10

∞∑n=1

an(4.20) e (4.17)

=

∞∑n=1

10

n

∞∑n=1

an −

∞∑n=1

bn(4.20) e (4.16)

=

∞∑n=1

(1

n−1

n2

)=

∞∑n=1

n− 1

n2.

17.03.2015 - 7.a aula

4.3 Convergencia de series numericas

Como vimos nos Exemplo (4.1.1), (4.1.2), (4.1.3) e (4.1.4) da sec~ao (4.1), algumas das

sequencias numericas das somas parciais consideradas (ou sejam, das series numericas consi-

deradas) s~ao convergentes, outras n~ao.

Baseado nisto, introduziremos a:

Definicao 4.3.1 Diremos que a serie numerica∞∑n=1

an e convergente, se a sequencia

numerica das somas parciais, isto e, a sequencia numerica (Sn)n∈N (que e a propria

serie numerica), for convergente.

Nesta situac~ao, se a sequencia numerica das somas parciais (Sn)n∈N converge para

S ∈ R, isto e, se

limn→∞Sn = S ,

4.3. CONVERGENCIA DE SERIES NUMERICAS 83

diremos que o numero real (ou complexo) S e a soma da serie numerica∞∑n=1

an.

Neste caso escreveremos ∞∑n=1

an.= S . (4.21)

Se a serie numerica∞∑n=1

an, n~ao for convergente, diremos que ela e divergente.

Observacao 4.3.1

1. Observemos que se serie numerica∞∑n=1

an e convergente, com soma S, ent~ao

∞∑n=1

an = S

(4.21)= lim

n→∞Sn(4.1)= lim

n→∞(

n∑i=1

ai

),

ou seja,∞∑n=1

an = limn→∞

n∑i=1

ai . (4.22)

2. Vale observar que smbolo∞∑n=1

an denota duas coisas diferentes.

Masi precisamente: por um lado, denota a serie numerica, isto e, a sequencia

numerica das somas parciais (Sn)n∈N e, por outro lado, sua soma S, ou seja, o

limite da sequencia numerica (Sn)n∈N, se ele existir.

3. A serie numerica∞∑n=1

an sera convergente em R, como soma igual a S ∈ R se, e

somente se, a sequencia das somas parciais (Sn)n∈N for convergente para S, em

R que, pela Denic~ao (3.3.1), e equivalente a dizer que, dado ε > 0, podemos

encontrar No ∈ N, de modo que,

para n ≥ No , deveremos ter |Sn − S| < ε . (4.23)

Consideremos alguns exemplos:

Exemplo 4.3.1 A serie numerica ∞∑n=1

(−1)n (4.24)

e divergente.


Resolucao:

De fato pois, como vimos no Exemplo (4.1.1) da sec~ao (4.1), a sequencia numerica das

somas parciais (Sn)n∈N e divergente.

Portanto, pela Denic~ao (4.3.1), temos que a serie numerica∞∑n=1

(−1)n e divergente.

Exemplo 4.3.2 A serie numerica∞∑n=1

an, onde

a2 n+1.=1

ne a2 n

.= −

1

n, para cada n ∈ N ,

e convergente para zero.

Em particular, a soma da serie numerica∞∑n=1

an e igual a zero, ou seja,

∞∑n=1

an = 0 .

Resolucao:


somas parciais (Sn)n∈N e convergente para zero.


an e convergente, com

soma igual a zero, ou seja, ∞∑n=1

an = 0 .

Exemplo 4.3.3 A serie numerica∞∑n=1

an, onde

an.= c , para cada n ∈ N ,

sera divergente, se c = 0, e sera convergente para zero, se c = 0.

Resolucao:


somas parciais (Sn)n∈N sera divergente se c = 0, e sera convergente para zero, se c = 0.


an e convergente, com

soma igual a zero, se c = 0, ou seja, ∞∑n=1

0 = 0

e sera a serie numerica∞∑n=1

an e divergente, se c = 0.


Exemplo 4.3.4 Mostre a serie numerica

∞∑n=1

1

n (n+ 1)(4.25)

e convergente, com soma igual a 1, ou seja,

∞∑n=1

1

n (n+ 1)= 1 . (4.26)

Resolucao:

Para cada n ∈ N, denamos

an.=

1

n (n+ 1), (4.27)

assim ∞∑n=1

an =

∞∑n=1

1

n (n+ 1).

Observemos que, para cada n ∈ N, teremos:

Sn =

n∑i=1

ai

= a1 + a2 + a3 + a4 + · · ·+ an(4.27)=

1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ · · ·+ 1

n (n+ 1)

=

(1−

1

2

)+

(1

2−1

3

)+

(1

3−1

4

)+ · · ·+

(1

n− 1+1

n

)+

(1

n−

1

n+ 1

)= 1−

1

n+ 1. (4.28)

Logo,

limn→∞Sn

(4.28)= lim

n→∞(1−

1

n+ 1

)sec~ao (3.3)

= 1 ,

ou seja, pela Denic~ao (4.3.1), a serie numerica∞∑n=1

1

n (n+ 1)e convergente, com soma igual

a 1, isto e, ∞∑n=1

1

n (n+ 1)= 1 ,

ou seja, (4.27) e verdadeira.



cn (4.29)

e convergente, se c ∈ [0 , 1), e divergente para +∞, se c ∈ [1 ,∞).

Alem disso, no caso convergente, isto e, se

c ∈ [0 , 1)

a serie numerica∞∑n=1

cn, tera soma igual ac

1− c, isto e,

∞∑n=1

cn =c

1− c. (4.30)

Resolucao:


an.= cn , (4.31)

assim ∞∑n=1

an =

∞∑n=1

cn .

Observemos primeiramente que, para cada r ∈ [0 ,∞) e k ∈ N, teremos

1+ r+ r2 · · ·+ rk = 1− rk+1

1− r. (4.32)

Para mostrar isto, basta notarmos que

(1− r)(1+ r+ r2 · · ·+ rk

)= 1− rk+1 .

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor.

Assim, temos que

S1.= a1(4.31)= c ,

S2.= a1 + a2(4.31)= c+ c2 ,

S3.= a1 + a2 + a3(4.31)= c+ c3 + c3 ,

...

Sn.= a1 + a2 + · · ·+ an ,(4.31)= c+ c2 + · · ·+ cn ,

= c(1+ c+ · · ·+ cn−1

)(4.32)= = c

1− cn

1− c, (4.33)


para cada n ∈ N.Logo, se c ∈ [0 , 1), segue que

limn→∞ cn = lim

n→∞ en ln cln(c)<0= 0 .

Assim

limn→∞Sn

(4.33)= lim

n→∞(c1− cn

1− c

)= lim

n→∞(c

1

1− c− c

cn

1− c

)=

c

1− c.

Logo, pela Denic~ao (4.3.1), temos que a serie numerica∞∑n=1

cn e convergente, se c ∈ [0 , 1)

e sua soma sera igual ac

1− c, isto e

∞∑n=1

cn = limn→∞Sn

=c

1− c.

Por outro lado, se c = 1, a serie numerica∞∑n=1

cn sera divergente (veja o Exemplo (4.3.3)).

Para nalizar, notemos que para c ∈ (1 ,∞), segue que

limn→∞ cn = lim

n→∞ en ln cln(c)>0= ∞ ,

assim

limn→∞Sn = lim

n→∞(c1− cn

1− c

)= lim

n→∞(c

1

1− c− c

cn

1− c

)c>1>0= ∞ ,

portanto, para cada c ∈ (1 ,∞), pela Denic~ao (4.3.1), temos que a serie numerica∞∑n=1

cn sera

divergente, para +∞, completando a demonstrac~ao da armac~ao.


Observacao 4.3.2 Como vimos anteriormente no Exemplo (3.7.2), a serie numerica∞∑n=1

1

ne divergente.

A seguir exibiremos uma outra maneira de mostrar isto.


1

n(4.34)

e divergente.

Resolucao:


an.=1

n, (4.35)

assim ∞∑n=1

an =

∞∑n=1

1

n.

Mostraremos que sequencia das somas parciais da serie numerica∞∑n=1

1

nn~ao e limitada

logo, pela Proposic~ao (3.3.2), segue que ela n~ao podera ser convergente, ou seja, a serie

numerica∞∑n=1

1

ne divergente.

Para tanto, observemos que,

S1.= a1

(4.35)= 1

= (2+ 0)1

2,

isto e, S20 ≥ (2+ 0)1

2,

S2.= a1 + a2

(4.35)= 1+

1

2

= (2+ 1)1

2,

isto e, S21 ≥ (2+ 1)1

2,

S4.= a1 + a2 + a3 + a4

(4.35)= 1+

1

2+1

3+1

4

= 1+13

12> (2+ 2)

1

2,

isto e, S22 ≥ (2+ 2)1

2.


Pode-se mostrar, por induc~ao, que :

S2n.= a1 + a2 + · · ·+ a2n

≥ (2+ n)1

2.

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio exerccio para o leitor.

Logo a subsequencia (S2n)n∈N n~ao sera limitada.

De fato, como

limn→∞(2+ n)

1

2= ∞ ,

da desigualdade acima e do item 1. do Teorema (3.5.1), segue que

limn→∞S2n = ∞ .

Como consequencia temos que a sequencia numerica (Sn)n∈N n~ao podera ser limitada, e

assim, pela Proposic~ao (3.3.2), teremos que a serie numerica∞∑n=1

1

nsera divergente, comple-

tando a resoluc~ao.

Observacao 4.3.3

1. A serie numerica (4.34) sera denominada serie harmonica.

Segue do Exemplo (3.7.2) ou do Exemplo (4.3.6), que a serie harmonica e uma

serie numerica divergente.

2. A serie numerica∞∑n=1

cn sera denominada serie geometrica de raz~ao c ∈ R.

Do Exemplo (4.3.5) acima, sabemos que a serie geometrica de raz~ao c e uma serie

numerica convergente, se c ∈ [0 , 1), cuja soma sera igual ac

1− c, isto e,

∞∑n=1

cn =c

1− c

e divergente, para +∞, se c ∈ [1 ,∞).

Valem as propriedades basicas de convergencia para a convergencia de series numericas,

a saber:

Proposicao 4.3.1 Sejam∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn duas series numericas convergentes, cujas so-

mas s~ao a e b, respectivamente e α ∈ R.Ent~ao as series numericas

∞∑n=1

an ±∞∑n=1

bn e α

∞∑n=1

an


ser~ao convergentes, com somas a± b e αa, respectivamente, isto e,

∞∑n=1

(an ± bn) =∞∑n=1

an ±∞∑n=1

bn , (4.36)

∞∑n=1

(αan) = α

∞∑n=1

an . (4.37)

Demonstracao:

Como as series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn s~ao convergentes, com somas a e b, respectiva-

mente, ent~ao, considerando-se as sequencias numericas (Sn)n∈N e (Rn)n∈N , onde

Sn.=

n∑i=1

ai e Rn =

n∑i=1

bi , para cada n ∈ N (4.38)

temos, pela Denic~ao (4.3.1), que que

limn→∞Sn = a e lim

n→∞Rn = b . (4.39)

Denindo-se a sequencia numerica (Tn)n∈N onde, para cada n ∈ N, temos

Tn.= (a1 + · · ·+ an) + (b1 + · · ·+ bn)

=

n∑i=1

ai +

n∑i=1

bi

soma nita=

n∑i=1

(ai + bi) , (4.40)

segue que

limn→∞ Tn

(4.40)= lim

n→∞[

n∑i=1

(ai + bi)

]

= limn→∞

n∑i=1

ai︸︷︷︸(4.38)= Sn

+

n∑i=1

bi︸︷︷︸(4.38)= Rn

= lim

n→∞Sn + limn→∞Rn

(4.39)= a+ b .

Notemos que a sequencia numerica (Tn)n∈N e a serie numerica∞∑n=1

an+

∞∑n=1

bn, ou seja, da

Denic~ao (4.3.1), acabamos de mostrar que a serie numerica∞∑n=1

an +

∞∑n=1

bn e convergente,

com soma a+ b.


De modo analogo, pode-se mostrar o caso correspondente para a serie numerica∞∑n=1

an −

∞∑n=1

bn.


Para a outra situac~ao, como

limn→∞Sn = a , (4.41)

ent~ao denido-se a sequencia numerica (Un)n∈N onde, para cada n ∈ N, temos

Un.=

n∑i=1

(αai) , (4.42)

segue que

limn→∞Un

(4.42)= lim

n→∞n∑i=1

(αai)

= limn→∞

αn∑i=1

ai︸︷︷︸=Sn

= lim

n→∞ (αSn)

= α limn→∞Sn

(4.42)= αa .

Notemos que a sequencia numerica (Un)n∈N e a serie α∞∑n=1

an, ou seja, da Denic~ao (4.3.1),

acabamos de mostrar que a serie numerica α∞∑n=1

an e convergente, com soma igual a αa,



Exemplo 4.3.7 Expressar o numero real

0, 333 · · ·

na forma de um numero racional, isto e, na forma

p

q, onde p , q ∈ Z ,

com q = 0.


Resolucao:

Para isto observemos que denido-se a sequencia numerica (an)n∈N, onde

a1.= 0, 3

= 3 · 10−1 , (4.43)

a2.= 0, 03

= 3 · 10−2 , (4.44)

a3.= 0, 003

= 3 · 10−3 , (4.45)

...

an.= 0,00 · · · 3︸︷︷︸

n−posic~oes

= 3 · 10−n , para cada n ∈ N , (4.46)

temos que a serie numerica∞∑n=1

an associada a sequencia numerica (an)n∈N, ou seja, a sequencia

numerica (Sn)n∈N, tera seus termos dados por:

S1 = a1(4.43)= 3 · 10−1 ,

S2 = a1 + a2 (4.47)

(4.43) e (4.44)= 3 · 10−1 + 3 · 10−2

= 3

(1

10+

1

102

),

S3 = a1 + a2 + a3 (4.48)

(4.43),(4.44) e (4.45)= 3 · 10−1 + 3 · 10−2 + 3 · 10−3

= 3

(1

10+

1

102+

1

103

),

...

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an(4.46)= 3 · 10−1 + 3 · 10−2 + 3 · 10−3 + · · ·+ 3 · 10−n

= 3

n∑i=1

(1

10

)i, para cada n ∈ N . (4.49)

Notemos que a serie numerica∞∑n=1

an e convergente para 0, 333 · · · .


Mas ∞∑n=1

an(4.46)=

∞∑n=1

3 · 10−n

Prop. (4.3.1)= 3

∞∑n=1

1

10n

Exemplo (4.3.5) com c.= 1

10< 1

= 3

1

10

1−1

10

=3

9=1

3,

que mostra como surge a formula aprendida no colegio, que diz que para transformar um

numero que e uma dzima periodica para forma de um quociente entre numeros inteiros,

basta colocar no numerador o perodo e no denominador tantos 9 quantos forem o numero

de dgitos do perodo.

No caso acima o perodo e 3, logo tem apenas um dgito assim, na forma de frac~ao, teremos

0, 333 · · · = 3

9=1

3.

Deixaremos para o leitor o:

Exercıcio 4.3.1 Expressar o numero real

0, 272727 · · ·

na forma de um numero racional, isto e, na formap

q, onde p , q ∈ Z ,

com q = 0.

Resolucao:

Para isto observemos que denindo-se a sequencia numerica (an)n∈N, onde

a1.= 0, 27

= 27 · 10−2 , (4.50)

a2.= 0, 0027

= 27.10−4 , (4.51)

a3 = 0, 000027

= 27 · 10−6 , (4.52)

...

an.= 0,00 · · · 27︸︷︷︸

(2n−2)−posic~oes

= 27 · 10−2n , para cada n ∈ N, (4.53)



an associada a sequencia numerica (an)n∈N, ou seja, a sequencia

numerica (Sn)n∈N, tera como termos:

S1 = a1(4.50)= 27 · 10−2 ,

S2 = a1 + a2(4.50) e (4.51)

= 27 · 10−2 + 27 · 10−4

= 27

(1

102+

1

104

),

S3 = a1 + a2 + a3(4.50),(4.51) e (4.52)

= 27 · 10−2 + 27 · 10−4 + 27 · 10−6

= 27

(1

102+

1

104+

1

106

),

...

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an(4.53)= 27 · 10−2 + 27 · 10−4 + 27 · 10−6 + · · ·+ 27 · 10−2 n

= 27

n∑i=1

(1

10

)2 i, para cada n ∈ N . (4.54)

Observemos que a serie numerica∞∑n=1

an e convergente para 0, 272727 · · · .

Mas ∞∑n=1

an(4.53)=

∞∑n=1

27 · 10−2 n

Prop. (4.3.1)= 27

∞∑n=1

1

102 n

Exemplo (4.3.5), com c.= 1

102= 27

1

102

1−1

102

=27

99=3

11,

que tambem pode ser reobtida pelo processo aprendido no 2.o grau.

A seguir daremos outros dois exemplos importantes de series numericas convergentes.


1

n2. (4.55)


e convergente.

Resolucao:

Denamos a sequencia numerica (an)n∈N, cujos termos s~ao dados por

an.=1

n2, (4.56)

para cada n ∈ N.Notemos que sequencia numerica das somas parciais (Sn)n∈N, associada a serie numerica∞∑

n=1

an, e uma sequencia numerica limitada.

De fato, pois

Sn ≥ 0 , para cada n ∈ N

e temos que:

|Sn| = Sn

= a1 + a2 + · · ·+ an(4.56)=

1

12+

1

2 · 2+

1

3 · 3+ · · ·+ 1

n · n

2 ≥ 13 ≥ 2...

n ≥ n− 1≤ 1+

1

1 · 2+

1

2 · 3+ · · ·+ 1

(n− 1) · n

= 1+

(1−

1

2

)+

(1

2−1

3

)+ · · ·+

(1

n− 1−1

n

)soma telescopica

= 1+

(1−

1

n

)= 2−

1

n

≤ 2 ,

para cada n ∈ N, ou seja,

|Sn| ≤ 2 , para cada n ∈ N .

Como

an(4.56)=

1

n2> 0 , para cada n ∈ N ,

temos que

Sn+1denic~ao= Sn + an+1︸︷︷︸

>0

> Sn

para todo n ∈ N.


Logo a sequencia numerica das somas parciais (Sn)n∈N (ou seja, a serie numerica∞∑n=1

an)

e estritamente crescente, em particular, sera um sequencia numerica monotona.

Como ela tambem e uma sequencia numerica limitada, segue, do Teorema (3.4.1), que ela

sera convergente em R, ou seja, da Denic~ao (4.3.1), a serie numerica∞∑n=1

1

n2e convergente

em R.

Observacao 4.3.4 Curiosidades:

1. Pode-se mostrar que a serie numerica∞∑n=1

1

n2tem soma igual a

π2

6, ou seja,

∞∑n=1

1

n2=π2

6,

como veremos mais adiante (chamado de problema de Basel).

Na verdade Leonard Euler mostrou em 1735, essa relac~ao.

2. A serie numerica acima e um caso particular (tomando-se s = 2) da funcao zeta de

Riemann, a saber, a func~ao

ζ : A .= s = x+ i y ; x > 1 ⊆ C → C ,

dada por

ζ(s).=

∞∑n=1

1

ns,

para cada s ∈ A.

19.03.2015 - 8.a aula


1

n!(4.57)

e convergente.

Resolucao:

Denamos a sequencia numerica (an)n∈N, cujos termos s~ao dados por

an.=1

n!, (4.58)

para cada n ∈ N ∪ 0.


Observemos que a sequencia numerica das somas parciais (Sn)n∈N∪0 e limitada pois, como

Sn ≥ 0 , para cada n ∈ N ∪ 0 ,

temos que:

|Sn| = Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·an(4.58)=

1

0!+1

1!+1

2!+1

3!+1

4!+ · · ·+ 1

n!

= 1+ 1+1

2+

1

2 · 3+

1

2 · 3 · 4+ · · ·+ 1

2 · 3 · · ·n︸︷︷︸(n−1)−fatores

3 ≥ 24 ≥ 2...

n ≥ 2≤ 1+ 1+

1

2+

1

2 · 2+

1

2 · 2 · 2+ · · ·+ 1

2 · 2 · · · 2︸︷︷︸(n−1)−fatores

(4.59)

≤ 1+ 1+1

22++

1

23+1

23+ · · ·+ 1

2n−1︸︷︷︸soma dos n primeiros termos de uma PG, de raz~ao igual a 1

2

= 1+1−

1

2n

1

2︸︷︷︸≤2

≤ 3, para cada n ∈ N ∪ 0 ,

ou seja,

|Sn| ≤ 3 para todo n ∈ N ∪ 0 .

Como

an(4.58)=

1

n!> 0 , para cada n ∈ N ∪ 0 ,

temos que

Sn+1 = Sn + an+1︸︷︷︸>0

> Sn , para cada n ∈ N ∪ 0 ,

assim a sequencia numerica das somas parciais (Sn)n∈N∪0 e estritamente crescente, em par-

ticular, sera uma sequencia numerica monotona.

Como ela tambem e limitada, segue, do Teorema (3.4.1), que ela sera convergente em R,

ou seja, da Denic~ao (4.3.1), a serie numerica∞∑n=0

1

n!e convergente em R.


Observacao 4.3.5 Pode-se mostrar que a soma da serie numerica∞∑n=0

1

n!e igual a e,

ou seja, ∞∑n=0

1

n!= e ,

como veremos mais adiante.

A seguir daremos alguns resultados de convergencia para series numericas.

4.4 Resultados de Convergencia de Series Numericas

Comecaremos com dois resultados simples que podem ser uteis no estudo de convergencia de

series numericas, a saber:

Proposicao 4.4.1 Suponhamos que as series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn s~ao tais que

b2 n = an e b2 n−1 = 0 , para cada n ∈ N . (4.60)

Ent~ao a serie numerica∞∑n=1

an converge se, e somente se, a serie numerica∞∑n=1

bn

converge.

Neste caso a soma das series numericas coincidem, isto e,

∞∑n=1

an =

∞∑n=1

bn . (4.61)

Demonstracao:

Para cada n ∈ N, denido-se

Sn.=

∞∑n=1

an e Tn.=

∞∑n=1

bn (4.62)

segue que

Tn =

Sn

2, se n e par

Sn+12, se n e mpar

, para cada n ∈ N ,

logo, da Denic~ao (4.3.1), a serie numerica∞∑n=1

an sera convergente se, e somente se, a seria

numerica∞∑n=1

bn for convergente e, neste caso, as somas das respectivas series numericas ser~ao

iguais, completando a demonstrac~ao do resultado.

4.4. RESULTADOS GERAIS 99

Observacao 4.4.1 Podemos generalizar este resultado considerando a sequencia numerica

(bn)n∈N, constituda dos termos da sequencia numerica (an)n∈N, introduzindo-se zeros

a mesma em posic~oes aleatorias.

No caso da Proposic~ao (4.4.1) acima, a sequencia numerica (bn)n∈N e obtida da a

sequencia numerica (an)n∈N, intercalando-se zeros entre os temos da sequencia (an)n∈N,

a saber, a sequencia numerica (bn)n∈N sera:

0 , a1 , 0 , a2 , 0 , a3 , 0 , · · · .

Outro resultado e dado pela:

Proposicao 4.4.2 Consideremos a serie numerica∞∑n=1

an e p ∈ N xado.

Ent~ao, a serie numerica∞∑n=1

an converge, com soma a, se, e somente se, a serie

numerica∞∑n=p

an converge, com soma b = a− a1 − a2 − · · ·− ap−1, ou seja,

se∞∑n=1

an = a , ent~ao∞∑n=p

an = a− a1 − a2 − · · ·− ap−1 . (4.63)

Demonstracao:

Denotemos a sequencia numerica das somas parciais da serie numerica∞∑n=1

an por (Sn)n∈N

e a sequencia numerica das somas parciais da serie numerica∞∑n=p

an por (Tn)n∈N.

Logo deveremos ter:

Tn = Sn+p, n ∈ N . (4.64)

Logo

limn→∞Sn = a

se, e somente se,

limn→∞ Tn = a− a1 + a2 − · · ·− ap

isto e, da Denic~ao (4.3.1), a serie numerica∞∑n=1

an converge, com soma a, se, e somente se,

a serie numerica∞∑n=p

an converge, com soma b = a − a1 − a2 − · · · − ap−1, completando a

demonstrac~ao do resultado.

Observacao 4.4.2 A Proposic~ao (4.4.2) acima nos diz que podemos desprezar um numero

finito de termos de uma serie numerica que isso n~ao alterara o estudo da convergencia

da mesma.

Podera alterar o valor da sua soma da serie numerica obtida.


Podemos aplicar este resultado ao:

Exercıcio 4.4.1 Mostre que a serie numerica

∞∑n=1

1

(n+ 5) (n+ 6)(4.65)

e convergente.

Encontre o valor de sua soma.

Resolucao:

De fato, do Exemplo (4.3.4), sabemos que a serie numerica∞∑m=1

1

m (m+ 1)e convergente

com soma igual a a.= 1.

Logo, pela Proposic~ao (4.4.2) acima, a serie numerica

∞∑m=6

1

m (m+ 1)

tambem sera convergente com soma igual a:

a− (a1 + a2 + a3 + a4 + a5) = 1−

(1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+

1

3 · 4+

1

4 · 5+

1

5 · 6

)Exerccio

=1

6.

Para nalizar, notemos que:

∞∑n=1

1

(n+ 5) (n+ 6)

m=n+5=

∞∑m=6

1

m (m+ 1),

logo a serie numerica∞∑n=1

1

(n+ 5) (n+ 6)e convergente e sua soma sera igual a

1

6, ou seja, a

serie numerica ∞∑n=1

1

(n+ 5) (n+ 6)=1

6.

O primeiro resultado geral importante para convergencia de series numericas e dado pelo:

Teorema 4.4.1 (criterio de Cauchy para convergencia de series numericas).


an converge em R se, e somente se, dado ε > 0 existe No ∈ N

de modo que, para n ≥ No e p ∈ N qualquer, temos

|an+1 + an+2 + · · ·+ an+p| < ε . (4.66)

4.4. RESULTADOS GERAIS 101

Demonstracao:

Lembremos que, da Denic~ao (4.3.1), a serie numerica∞∑n=1

an converge em R se, e somente

se, a sequencia numerica das somas parciais (Sn)n∈N for convergente em R.Por outro lado, uma sequencia numerica e convergente em R se, e somente se, ela for uma

sequencia numerica de Cauchy em R, isto e, dado ε > 0 existe No ∈ N, tal que

se n ,m ≥ No , deveremos ter |Sm − Sn| < ε . (4.67)

Observemos que se

m > n , ent~ao m = n+ p , para algum p ∈ N ,

assim

Sm − Sn =

m∑i=1

ai −

n∑i=1

ai

=

n+p∑i=n+1

ai

= an+1 + an+2 + · · ·+ an+p . (4.68)

Logo, da Denic~ao (4.3.1), a serie numerica∞∑n=1

an converge em R se, e somente se, ela

for uma sequencia numerica de Cauchy, isto e, dado ε > 0, podemos encontrar No ∈ N, talque, para n ≥ No e p ∈ N qualquer, temos

|an+1 + an+2 + · · ·+ an+p|(4.68)= |Sm − Sn|

(4.67)= ε ,

como queramos mostrar.

Observacao 4.4.3 Nos Exemplos (4.3.4), (4.3.5), (4.3.8), (4.3.9) da sec~ao (4.3), exibimos

series numerica que s~ao convergentes.

Observemos que, em todos estes Exemplos, as sequencias numericas que as denem,

convergem para zero (verique!),isto e,

limn→∞an = 0 .

Isto e um fato geral, como arma o:

Teorema 4.4.2 (criterio da divergencia para series numericas)

Suponhamos que a serie numerica∞∑n=1

an e convergente.

Ent~ao deveremos ter

limn→∞an = 0 . (4.69)


Demonstracao:


an e convergente com soma igual a S ent~ao, da Denic~ao (4.3.1),

temos que

limn→∞Sn = S ,

onde, para cada n ∈ N, temos que

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an . (4.70)

Logo, da Denic~ao (4.3.1), dado ε > 0, podemos encontrar No ∈ N, tal que se n ≥ No,

deveremos ter

|Sn−1 − S| <ε

2. (4.71)

Logo, para n > No (ou seja n− 1 ≥ No), segue que:

|an − 0|(4.70)= |Sn − Sn−1|

= |Sn − S+ S− Sn−1|

desigualdade triabgular

≤ |Sn − S|+ |S− Sn−1|

(4.71)<

ε

2+ε

2= ε ,


limn→∞an = 0 ,

nalizando a demonstrac~ao.

Observacao 4.4.4

1. Nao vale a recproca do Teorema (4.5.2) acima, isto e, existe uma (na verdade

existem varias) sequencia numerica (an)n∈N que e convergente para zero, e cuja

serie numerica associada a ela, isto e,∞∑n=1

an, nao e convergente.

Por exemplo, a serie harmonica,

∞∑n=1

an =

∞∑n=1

1

n

e um serie numerica divergente (veja o Exemplo (4.3.6)) e

limn→∞an = lim

n→∞1

n= 0 .

4.5. CRITERIOS DE CONVERGENCIA 103

2. Na verdade o Teorema (4.5.2) acima nos da uma condic~ao necessaria (mas nao su-

ficiente) para que uma serie numerica seja convergente, a saber, que os termos

da serie numerica sejam convergentes para zero.

Podemos usar Teorema (4.5.2) como um criterio de divergencia, dai o nome, ou

seja, se

limn→∞an = 0 ,

ent~ao a serie numerica∞∑n=1

an sera divergente (pois se fosse convergente, pelo

Teorema (4.5.2), deveramos ter limn→∞an = 0).

Apliquemos o Teorema (4.5.2) ao:

Exemplo 4.4.1 Mostre que a serie numerica

∞∑n=1

(1+

1

n2

)(4.72)

e divergente.

Resolucao:


an.= 1+

1

n2. (4.73)

Como

limn→∞an

(4.73)= lim

n→∞ 1+1

n2= 1 = 0 ,

do criterio da divergencia (isto e, do Teorema (4.5.2)), segue que a serie numerica

∞∑n=1

(1+

1

n2

)=

∞∑n=1

an

sera divergente.

4.5 Criterios de Convergencia para Series Numericas com

Termos Nao-negativos

Observacao 4.5.1 Nos Exemplos (4.3.8) e (4.3.9) mostramos que as series numericas

∞∑n=1

1

n2e

∞∑n=1

1

n!,

cujos termos s~ao n~ao-negativos (pois an ≥ 0, para todo n ∈ N) s~ao convergentes,

utilizando-se do fato que as respectivas sequencias numericas das somas parciais (Sn)n∈N(ou seja, as proprias series numericas) eram limitadas.

Isto ocorre em geral, para series numericas cujos termos sao nao-negativos, a sa-

ber:


Teorema 4.5.1 Seja (an)n∈N sequencia numerica cujos termos s~ao n~ao-negativos, isto

e,

an ≥ 0 , para cada n ∈ N . (4.74)


an e convergente em R se, e somente se, a sequencia numerica

das somas parciais e limitada, isto e, a sequencia numerica (Sn)n∈N e uma sequencia

numerica limitada, onde, para cada n ∈ N, temos que

Sn.= a1 + a2 + · · ·+ an .

Demonstracao:


an e convergente em R, ou seja, da Denic~ao (4.3.1),

a sequencia numerica (Sn)n∈N e convergente em R.Logo, da Proposic~ao (3.3.2), segue que a sequencia numerica (Sn)n∈N e limitada.

Por outro lado, se sequencia numerica (Sn)n∈N e limitada, como

an ≥ 0 , para cada n ∈ N ,

temos que a sequencia numerica (Sn)n∈N sera crescente, pois

Sn+1 = Sn + an+1︸︷︷︸≥0

≥ Sn , para cada n ∈ N .

Assim (Sn)n∈N e monotona e limitada, , do Teorema (3.4.1), ela sera convergente, ou seja,


an sera convergente em R, completando a demonstrac~ao do resultado.

Apliquemos o resultado acima aos:

Exemplo 4.5.1 Verique se as series numericas abaixo s~ao convergentes ou divergen-

tes.

1.∞∑n=1

1

n2(4.75)

2.∞∑n=1

1

n!(4.76)

3.∞∑n=1

1

n (n+ 1)(4.77)

4.1√n

(4.78)

Resolucao:

1.:


No Exemplo (4.3.8) foi mostrado que a serie numerica∞∑n=1

1

n2e convergente em R, utili-

zando o Teorema (3.4.1).

2.:

No Exemplo (4.3.9) foi mostrado que a serie numerica∞∑n=1

1

n!e convergente em R, utili-

zando o Teorema (3.4.1).

3.:


1

n (n+ 1)e convergente em R.

De fato, para cada n ∈ N, denamos

an =1

n (n+ 1)≥ 0 . (4.79)

Logo a sequencia numerica (Sn)n∈N e monotona (na verdade e estritamente crescente).

Vimos no Exemplo (4.3.4) (veja (4.28)) que

Sn = 1−1

n+ 1≤ 1 , para cada n ∈ N ,

logo a sequencia numerica (Sn)n∈N e limitada.

Logo, do Teorema (4.5.1) acima, segue que serie numerica∞∑n=1

1

n (n+ 1)e convergente em

R.4.:


1√ne divergente.

De fato, para cada n ∈ N, denamos

an.=

1√n

≥ 0 , para cada n ∈ N . (4.80)

Logo a sequencia numerica (Sn)n∈N e monotona (na verdade estritamente crescente).

Mas,

Sn = a1 + a2 + a3 + · · ·+ an(4.80)= 1+

1√2+ · · ·+ 1√

n− 1+

1√n

1 ≤√n

√2 ≤

√n

...√n− 1 ≤

√n

≥ 1√n+

1√n+ · · ·+ 1√

n︸︷︷︸n−parcelas

=n√n

=√n ,


ou seja,

Sn ≥√n , para cada n ∈ N . (4.81)

Portanto a a sequencia numerica (Sn)n∈N n~ao e limitada, pois

limn→∞

√n = ∞ e temos (4.81) .

Logo, do Teorema (4.5.1) acima, a serie numerica∞∑n=1

1√n

sera divergente (para +∞).

Outro criterio importante para o estudo da convergencia de series numericas cujos termos

sao nao-negativos e o:

Teorema 4.5.2 (criterio da comparac~ao para series numericas)

Sejam∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn duas series numericas de tal modo que seus termos satisfazem

a seguinte condic~ao:

0 ≤ an ≤ bn , para cada n ∈ N . (4.82)

1. Se a serie numerica∞∑n=1

bn e convergente, ent~ao a serie numerica∞∑n=1

an sera

convergente.

Alem disso,

0 ≤∞∑n=1

an ≤∞∑n=1

bn . (4.83)


an e divergente, ent~ao a serie numerica∞∑n=1

bn sera diver-

gente.

Demonstracao:


Sn.= a1 + a2 + · · ·+ an e Tn

.= b1 + b2 + · · ·+ bn (4.84)

as somas parciais de ordem n, das series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn, respectivamente.

Como temos (4.82) segue, de (4.84), que

0 ≤ Sn ≤ Tn , para cada n ∈ N . (4.85)

De 1.:


bn e convergente, ent~ao a sequencia numerica (Tn)n∈N sera conver-

gente em R.


Logo, da Proposic~ao (3.3.2), a sequencia numerica (Tn)n∈N limitada, ou seja existeM ≥ 0,tal que

|Tn| ≤M, para cada n ∈ N , (4.86)

Logo, de (4.86) e (4.85), segue que a sequencia numerica (Sn)n∈N sera limitada.

Mas, como an ≥ 0, para cada n ∈ N, temos que a sequencia numerica (Sn)n∈N sera

monotona (na verdade crescente).

Portanto, do Teorema (3.4.1), segue que a sequencia numerica (Sn)n∈N sera convergente

em R, ou seja, da Denic~ao (4.3.1), temos que a serie numerica∞∑n=1

an sera convergente em

R.Alem disso, seque do item 2. do Teorema (3.3.1) (ou seja, do criterio da comparacao para

sequencias numericas), que

0 ≤ limn→∞Sn ≤ lim

n→∞ Tn ,isto e, ∞∑

n=1

an ≤∞∑n=1

bn ,

completando a demonstrac~ao do item 1. .

De 2.:


an e divergente ent~ao, da Proposic~ao (3.3.2), a sequencia numerica

(Sn)n∈N n~ao sera limitada.

De fato, como ela e monotona crescente, se fosse limitada, do Teorema (3.4.1), ela teria

que ser convergente em R, o que seria um absurado.

Assim, como an ≥ 0 para todo n ∈ N, segue que

limn→∞Sn = ∞ .

Logo, de (4.85) e do item 1. do Teorema (3.5.1), segue que

limn→∞ Tn = ∞ ,

isto e, a sequencia numerica (Tn)n∈N tambem n~ao sera limitada.

Portanto n~ao podera ser convergente em R, ou seja, da Denic~ao (4.3.1), a serie numerica∞∑n=1

bn sera divergente, completando a demonstrac~ao do item 2. e do resultado.


Exemplo 4.5.2 Estudar a convergencia de cada uma das series numericas a seguir:

1.∞∑n=1

1

3n + 1(4.87)

2.∞∑n=3

1

ln(n)(4.88)


Resolucao:

1.:


1

3n + 1e convergente .


an.=

1

3n + 1(4.89)

e

bn.=1

3n. (4.90)

Notemos que, para cada n ∈ N, temos:

0 ≤ an(4.89)=

1

3n + 13n+1>3n

≤ 1

3n

(4.89)= bn .

Observemos que a serie numerica

∞∑n=1

bn(4.90)=

∞∑n=1

1

3n

e convergente em R, pois trata-se de uma serie geometrica de raz~ao c.=1

3< 1 , que, pelo

Exemplo (4.3.5), com c.=1

3, e convergente em R.

Ent~ao do item 1. do criterio da comparac~ao para series numericas (isto e, do item 1. do

Teorema (4.5.2)) segue que a serie numerica

∞∑n=1

an =

∞∑n=1

1

3n + 1

sera convergente em R.2.:


1

ln(n)e divergente.

Antes de mais nada vale salientar que, para cada n ≥ 3, temos que

0 ≤ ln(n) ≤ n . (4.91)

De fato, se considerarmos a func~ao f : [e ,∞) → R dada por

f(x).=

ln(x)

x, para cada x ∈ [e ,∞) , (4.92)


segue que a func~ao f e diferenciavel em [e ,∞) e, alem disso,

f ′(x)(4.92)=

1− ln(x)

x2≤ 0 , para cada x ∈ [e ,∞),

ou seja, a func~ao f e decrescente em [e ,∞).

Como

f(e) =1

e< 1 ,

segue que f(x) < 1 , para cada x ∈ [e ,∞) ,

ou seja, f(x) =ln(x)

x< 1 , para cada x ∈ [e ,∞) ,

ou ainda, ln(x) < x , para cada x ∈ [e ,∞) ,

em particular, vale a armac~ao (4.91) .

Logo se, para cada n ≥ 3, denirmos

bn.=

1

ln(n)(4.93)

e

an.=1

n, (4.94)

segue

0 ≤ an(4.93)=

1

n(4.91)=

1

ln(n)(4.94)= bn , para cada n ∈ N . (4.95)

Mas a serie numerica ∞∑n=1

an =

∞∑n=1

1

n

e divergente (e a serie harmonica, veja o Exemplo (4.3.6)).

Ent~ao, do item 2. do criterio da comparac~ao para series numericas (isto e, do item 2. do

Teorema (4.5.2)), segue que a serie numerica

∞∑n=1

bn =

∞∑n=1

1

ln(n)

sera divergente, completando a resoluc~ao.

Antes de exibirmos outro exemplo, vale fazer a seguinte observac~ao:


Observacao 4.5.2 O Teorema (4.5.2) acima permanece valido se trocarmos a hipotese

" 0 ≤ an ≤ bn , para cada n ∈ N "

por

" 0 ≤ an ≤ bn , para cada n ≥ No " ,

ou seja, temos o:

Corolario 4.5.1 (criterio da comparac~ao para series numericas estendido)

Sejam∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn duas series numericas de tal modo que seus termos satisfazerm

a seguinte condic~ao:

0 ≤ an ≤ bn , para cada n ≥ No .



an sera

convergente.


an e divergente, ent~ao a serie numerica∞∑n=1

bn sera diver-

gente.

Demonstracao:

A demonstrac~ao e semelhante a do criterio da comparac~ao para series numericas (isto e

do Teorema (4.5.2)) e sera deixada como exerccio para o leitor.

Podemos aplicar esse resultado a seguinte serie numerica:

Exemplo 4.5.3 Estudar a serie numerica

∞∑n=1

n+ 1

nn(4.96)

Resolucao:

Para cada n ∈ N, denamos:

an.=n+ 1

nne bn

.=1

n2. (4.97)

Armamos que:

0 ≤ an ≤ bn , para cada n ≥ 4 . (4.98)

Mostrar a desigualdade (4.98) acima, e equivalente a mostrar

n2(n+ 1) ≤ nn , para cada n ≥ 4 . (4.99)

Na verdade mostraremos a seguinte desigualdade:

n2 (n+ 1) ≤ n4 , para cada n ≥ 4 (4.100)


e notando que

n4 ≤ nn , para cada n ≥ 4

teremos a armac~ao (4.99).

Notemos que (4.100) e equivalente a:

n2 − n− 1 ≥ 0 , para cada n ≥ 4 . (4.101)

Por outro lado, observemos que que

x2 − x− 1 = 0 se, e somente se, x =1±

√5

2< 4 .

Como

x2 − x− 1

e um trinomio do 2.o grau, cujo coeciente do termo de 2.o grau e maior que zero (no caso e

igual a 1), segue que (veja a gura abaixo)

x2 − x− 1 ≥ 0 , para cada x ≥ 4 .

6

-

y = x2 − x − 1

++

−−4

6

1+√

52

Em particular valera (4.101), ou ainda, (4.99).

Notemos que a serie numerica ∞∑n=4

bn =

∞∑n=4

1

n2

e convergente, pois do Exemplo (4.3.8) a serie numerica∞∑n=1

1

n2e convergente e assim, da

Propsic~ao (4.4.2), a serie numerica acima sera convergente.

Portanto, de (4.98) e do item 1. do criterio da comparac~ao para series numericas estendido

(isto e, do item 1. do Corolario (4.5.1)) segue que a serie numerica

∞∑n=1

n+ 1

nn

sera convergente, completando a resoluc~ao.

Outro criterio importante para o estudar da convergencia de series numericas cujos termos

s~ao n~ao-negativos, e dado pelo:


Teorema 4.5.3 (criterio da comparac~ao para series numericas, por limites)

Sejam∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn duas series numericas, cujos termos satisfazem:

0 ≤ an e 0 < bn , para cada n ∈ N . (4.102)

Consideremos

c.= lim

n→∞an

bn. (4.103)

1. Se

c ∈ (0 ,∞) , (4.104)


an sera convergente se, e somente se, a serie numerica

∞∑n=1

bn for convergente.

2. Se

c = 0 (4.105)


bn for convergente, ent~ao a serie numerica∞∑n=1

an sera

convergente.

3. Se

c = ∞ (4.106)


bn for divergente, ent~ao a serie numerica∞∑n=1

an sera di-

vergente.

Demonstracao:

De 1. :

Suponhamos que

c = limn→∞

an

bn∈ (0 ,∞) . (4.107)

Logo, dado

ε.=c

2> 0 ,

podemos encontrar No ∈ N, tal que

se n ≥ No teremos

∣∣∣∣anbn − c

∣∣∣∣ < ε = c

2,

ou seja, −c

2<an

bn− c <

c

2,

ou ainda,c

2<an

bn<3c

2. (4.108)


Como

bn > 0 , para cada n ∈ N , (4.109)

segue, de (4.108), que

0(4.109)

≤ c

2bn

(I)< an

(II)<3c

2bn , para cada n ≥ No . (4.110)


an seja convergente.

Ent~ao de (I) em (4.110) e do item 1. do criterio da comparac~ao para series numericas

estendido (isto e, do item 1. do Corolario (4.5.1)), segue que a serie numerica∞∑n=1

(c2bn

)sera convergente.

Como c > 0, isto implicara que a serie numerica∞∑n=1

bn sera convergente.

Por outro lado, se a serie numerica∞∑n=1


(3 c

2bn

)sera convergente.

Logo de (II) em (4.110) do item 1. do criterio da comparac~ao para series numericas

estendido (isto e, do item 1. do Corolario (4.5.1)) segue que a serie numerica∞∑n=1

an sera

convergente, completando a demonstrac~ao do item 1 .

De 2. :

Suponhamos que

c = limn→∞

an

bn= 0 . (4.111)

Logo, dado

ε.= 1 ,

podemos encpontrar No ∈ N tal que

se n ≥ No , teremos

∣∣∣∣anbn − c

∣∣∣∣ < ε = 1 ,ou seja, − 1 <

an

bn< 1 ,

e como bn > 0, para n ∈ N teremos, 0 ≤ an < bn , para cada n ≥ No. (4.112)

Como a serie numerica∞∑n=1

bn e convergente, do item 1. do criterio da comparac~ao para

series numericas estendido (isto e, do item 1. do Corolario (4.5.1)), segue que a serie∞∑n=1

an

sera convergente, completando a demonstrac~ao do item 2. .

De 3. :

Suponhamos que

c = limn→∞

an

bn= ∞ . (4.113)


Logo, dado

K.= 1 ,

podemos encontrr No ∈ N tal que

se n ≥ No teremosan

bn> K = 1 ,

ou seja, an > bn ≥ 0 , para cada n ≥ No . (4.114)


bn e divergente ent~ao, do item 2. do criterio da comparac~ao

para series numericas estendido (isto e, do item 2. do Corolario (4.5.1)), segue que a serie

numerica∞∑n=1

an sera divergente, completando a demonstrac~ao do item 3 .


Exemplo 4.5.4 Estudar a convergencia das series numericas abaixo:

1.∞∑n=1

3n+ 5

n 2n(4.115)

2.∞∑n=1

sen

(1

n

)(4.116)

3.∞∑n=1

n3

n!(4.117)

Resolucao:

1.:

A serie∞∑n=1

3n+ 5

n 2ne convergente.

Observemos que, para cada n ∈ N, denido-se

an.=3n+ 5

n 2n(4.118)

que s~ao n~ao-negativos e

bn.=1

2n, (4.119)

teremos que

limn→∞

an

bn

(4.118) e (4.119)= lim

n→∞3n+ 5

n 2n

1

2n

= limn→∞

3n+ 5

nExerccio

= 3 ∈ (0 ,∞) .


Notemos que a serie numerica

∞∑n=1

bn(4.119)=

∞∑n=1

1

2n

e convergente, pois e uma serie geometrica de raz~ao c.=1

2< 1 (veja o Exemplo (4.3.5),

com c.=1

3).

Logo, do item 1. do criterio da comparac~ao para series numericas, por limites (ou seja,

do item 1. do Teorema (4.5.3)), segue que a serie numerica

∞∑n=1

an =

∞∑n=1

3n+ 5

n 2n

tambem sera convergente.

2.:


sen

(1

n

)e divergente.

De fato, para cada n ∈ N, consideremos

an.= sen

(1

n

)e bn

.=1

n, (4.120)

que s~ao ambos n~ao-negativos.

Observemos que

limn→∞

an

bn

(4.120)= lim

n→∞sen

(1

n

)1

n1o. limite fundamental

= 1 ∈ (0 ,∞) .

Como a serie numerica ∞∑n=1

bn =

∞∑n=1

1

n

e divergente (e a serie harmonica, veja o Exemplo (4.3.6)) segue, do item 1. do criterio

da comparac~ao para series numericas, por limites (ou seja, do item 1. do Teorema

(4.5.3)), que a serie numerica

∞∑n=1

an(4.120)=

∞∑n=1

sen

(1

n

)e divergente.


3.:


n3

n!e convergente.

Notemos que se tentarmos aplicar, diretamente, o item 1. do criterio da comparac~ao

para series numericas, por limites item i. (ou seja, do item 1. do Teorema (4.5.3)) n~ao

dara certo.

Observemos que se, para cada n ∈ N, considerarmos

an.=n3

n!e bn

.=1

n!, (4.121)

que s~ao n~ao-negativos, ent~ao

limn→∞

an

bn

(4.121)= lim

n→∞n3

n!1

n!

= limn→∞n3

= ∞ .

Logo nao podemos aplicar nenhum dos itens do criterio da comparac~ao para series

numericas, por limites (ou seja, qualquer um dos itens do Teorema (4.5.3)), nesta

situac~ao.

Para resolver esse problema, agiremos da seguinte forma:

Notemos que

∞∑n=4

n3

n!

m.=n−3=

∞∑m=1

(m+ 3)3

(m+ 3)!

=

∞∑n=1

(n+ 3)3

(n+ 3)!. (4.122)

Se, para cada n ∈ N, denirmos

an.=

(n+ 3)3

(n+ 3)!e bn =

1

n!, (4.123)

que s~ao n~ao-negativos, ent~ao teremos

limn→∞

an

bn

(4.124)= lim

n→∞(n+ 3)3

(n+ 3)!1

n!

= limn→∞

(n+ 3)3

(n+ 3) (n+ 2) (n+ 1)Exerccio

= 1 ∈ (0 ,∞) .



bn =

∞∑n=1

1

n!

e convergente (veja o Exemplo (4.3.9)) segue, do item 1. do criterio da comparac~ao

para series numericas, por limites (ou seja, do item 1. do Teorema (4.5.3)), que a serie

numerica ∞∑n=1

an =

∞∑n=1

(n+ 3)3

(n+ 3)!

tambem sera convergente, completando a resoluc~ao.

Portanto, da Proposic~ao (4.4.2), segue que a serie numerica

∞∑n=1

n3

n!

tambem sera convergente, completando a resuluc~ao.

Outro criterio muito util e dado pelo:

Teorema 4.5.4 (criterio da raz~ao para series numericas)

Consideremos a serie numerica∞∑n=1

an, onde

0 < an , para cada n ∈ N . (4.124)

1. Se existir

r ∈ (0 , 1) , tal quean+1

an≤ r , para cada n ∈ N , (4.125)


an sera convergente.

2. Se existir

r ∈ [1 ,∞) , tal quean+1

an≥ r , para cada n ∈ N , (4.126)


an sera divergente.

Demonstracao:

De 1.:

Suponhamos que exista

r ∈ (0 , 1) ,

tal quean+1

an≤ r , para cada n ∈ N .


Logo deveremos ter

an+1 ≤ r an , para cada n ∈ N . (4.127)

Armamos que isto implicara que

an+1 ≤ rn a1 , para cada n ∈ N . (4.128)

A prova de (4.128) sera por induc~ao sobre n.

Para isto, notemos que:

(i) Vale para n = 1, segue de (4.127) que

a2 ≤ r a1 ,

ou seja, vale (4.128) par n = 1.

(ii) Suponhamos que (4.128) vale para n = k ≥ 2, isto e, que

ak+1 ≤ rk a1 (4.129)

e mostremos que isto implicara que (4.128) valera para k = n+ 1.

Para isto, observemos que,

ak+2(4.127)

≤ r ak+1

hipotese de induc~ao, isot e, (4.129)

≤ r(rk a1

)= rk+1 a1 ,

ou seja, (4.128) valera para k = n+ 1, nalizando a prova por induc~ao.


bn.= rn a1 . (4.130)


∞∑n=1

bn(4.130)=

∞∑n=1

rn a1

= a1

∞∑n=1

rn

e uma serie numerica convergente, pois e um multiplo de uma serie geometrica de raz~ao

r ∈ (0 , 1), logo sera convergente (veja o o Exemplo (4.3.5), com c.= r ∈ (0 , 1)).

De (4.129) e (4.130), segue que

0 ≤ an ≤ bn , para cada n ∈ N .

Logo, do item 1. do criterio da comparac~ao para series numericas (ou seja, do item 1. do

Teorema (4.5.2)) segue que a serie numerica∞∑n=1


De 2. :


Se existir r ∈ [1 ,∞) tal que

an+1

an≥ r , para cada n ∈ N

ent~ao

an+1 ≥ r an , para cada n ∈ N . (4.131)

De modo semelhante a demosntrac~ao do item 1., pode-se mostrar que

an+1 ≥ rn a1 , para cada n ∈ N .


Para cada n ∈ N, denido-sebn

.= rn a1 , (4.132)

temos que a serie numerica

∞∑n=1

bn(4.131)=

∞∑n=1

rn a1

= a1

∞∑n=1

rn

e divergente, pois e um multiplo, n~ao nulo, da serie geometrica de raz~ao r ∈ [1 ,∞) (veja o

Exemplo (4.3.5), com c.= r ∈ [1 ,∞)), logo sera divergente.

De (4.131) e (4.132), segue que

0 ≤ bn ≤ an , para cada n ∈ N . (4.133)

Logo, do item 2. do criterio da comparac~ao para series numericas (ou seja, do item

2. do Teorema (4.5.2)), segue que a serie numerica∞∑n=1

an sera divergente, completando a

demonstrac~ao do resultado.

Observacao 4.5.3 O Teorema (4.5.4) acima, permanece valido se trocarmos a hipotese

′′ an+1

an≤ r , para cada n ∈ N ′′

por′′ an+1

an≤ r , para cada n ≥ No

′′

no item i., ou a hipotese

′′ an+1

an≥ r , para cada n ∈ N ′′

por′′ an+1

an≥ r , para cada n ≥ No

′′

no item ii., mais precisamente:


Corolario 4.5.2 (criterio da raz~ao para series numericas estendido)

Consideremos No ∈ N e a serie numerica∞∑n=1

an, de modo que

0 < an , para cada n ≥ No . (4.134)

1. Se existir

r ∈ (0 , 1) , tal quean+1

an≤ r , para cada n ≥ No , (4.135)


an e convergente.

2. Se existir

r ∈ [1 ,∞) , tal quean+1

an≥ r , para cada n ≥ No , (4.136)


an e divergente.

Demonstracao:

A demonstrac~ao e semelhante a do criterio da raz~ao e sera deixada como exerccio para o

leitor.

Como consequencia do criterio da raz~ao temos o:

Teorema 4.5.5 (criterio da raz~ao par series numericas, por limites)

Consideremos a serie numerica∞∑n=1

an, onde

0 < an , para cada n ∈ N (4.137)

e

l.= lim

n→∞an+1

an. (4.138)

1. Se

l ∈ [0 , 1) , (4.139)


an e convergente.

2. Se

l ∈ (1 ,∞) (4.140)


an e divergente.


3. Se

l = 1 ,

nada podemos armar.

Demonstracao:

De 1 .:

Como , por hipotese,

l.= lim

n→∞an+1

an< 1 , (4.141)

dado

ε.=1− l

2> 0 , (4.142)

podemos encontrar No ∈ N, tal que, para n ≥ No, teremos:∣∣∣∣an+1an− l

∣∣∣∣ < ε (3.139)=

1− l

2,

ou, equivalentemente, −1− l

2<an+1

an− l

(I)<1− l

2,

implicando que: 0an≥0≤ an+1

an

por (I)<

1− l

2+ l

=1

2+l

2=1+ l

2

.= r

l(3.139)< 1< 1 . (4.143)

Logo, do item 1. do criterio da raz~ao para series numericas estendido (isto e, do item

1. do Corolario (4.5.2)), segue que a serie numerica∞∑n=1

an e convergente, completando a

demonstrac~ao do item 1. .

De 2. :

Como, por hipotese,

l.= lim

n→∞an+1

an> 1 , (4.144)

dado

ε.=l− 1

2> 0 , (4.145)

podemos encontrar No ∈ N tal que, se n ≥ No, segue que∣∣∣∣an+1an− l

∣∣∣∣ < ε (4.145)=

l− 1

2,

ou, equivalentemente, −l− 1

2︸︷︷︸1−l2

(II)<an+1

an− l <

l− 1

2,

implicando que:an+1

an

por (II)> l+

1− l

2

=l

2+1

2

.= r

l(4.144)> 1> 1 . (4.146)


Logo, do item 2. do criterio da raz~ao para series numericas estendido (isto e, do item


an e divergente, completando a


De iii.:

Exibiremos dois exemplos onde

l = limn→∞

an+1

an= 1

e no primeiro exemplo a serie numerica converge e no segundo exemplo a serie numerica

diverge.

Sabemos que a serie numerica∞∑n=1

1

n2︸︷︷︸.=an

e convergente (veja o Exemplo (4.3.8)).

Notemos que

l1 = limn→∞

an+1

an

= limn→∞

1

(n+ 1)2

1

n2

= limn→∞

(n+ 1

n

)2Exerccio

= 1 .

Por outro lado, a serie numerica∞∑n=1

1

n︸︷︷︸.=bn

e divergente (veja o Exemplo (4.3.6)).

Observemos que, neste caso:

l2 = limn→∞

bn+1

bn

= limn→∞

1

n+ 11

n

= limn→∞

n+ 1

nExerccio

= 1 .

Esses dois exemplos mostram que se

l1 = l2 = 1 ,

nada podemos armar, ou seja, a serie numerica podera ser convergente ou divergente, com-

pletando a vericac~ao do item 3. e do resultado.



Exemplo 4.5.5 Analise a convergencia da serie numerica:

para cada xo ∈ [0,∞) xado e∞∑n=1

xon

n!. (4.147)

Resolucao:

Para cada xo ∈ [0 ,∞) xado e cada n ∈ N, denamos

an.=xon

n!. (4.148)

Logo

limn→∞

an+1

an

(4.148)= lim

n→∞xon+1

(n+ 1)!xon

n!

= limn→∞

x

n+ 1Exerccio

= 0.= l < 1 .

Ent~ao, do item 1. criterio da raz~ao para series numericas, por limites (ou seja, do item 1.

do Teorema (4.5.5)), segue que a serie numerica∞∑n=1

xon

n!e convergente, para cada x ∈ [0 ,∞)

xado.

Exemplo 4.5.6 Analise a convergencia da serie numerica abaixo:

∞∑n=1

1

n 2n(4.149)

Resolucao:


an.=

1

n 2n. (4.150)

Logo

limn→∞

an+1

an

(4.150)= lim

n→∞1

(n+ 1) 2n+1

1

n 2n

= limn→∞

n

2 (n+ 1)

Exerccio=

1

2

.= l < 1.



1

n 2ne convergente.



∞∑n=1

nn

n!. (4.151)

Resolucao:


an.=nn

n!. (4.152)

Logo

limn→∞

an+1

an

(4.152)= lim

n→∞(n+ 1)n+1

(n+ 1)!nn

n!

= limn→∞

(n+ 1

n

)n= lim

n→∞(1+

1

n

)nExerccio

= e.= l > 1 .



nn

n!e divergente.


∞∑n=1

1

2n+ 1. (4.153)

Resolucao:


an.=

1

2n+ 1. (4.154)

Notemos que

limn→∞

an+1

an

(4.154)= lim

n→∞1

2 (n+ 1) + 11

2n+ 1

= limn→∞

2n+ 1

2n+ 3Exerccio

= 1 ,

n~ao podemos aplicar o criterio da raz~ao por limites (veja o item 3. do Teorema (4.5.5)).


Porem, se denirmos, para cada n ∈ N,

bn.=1

n(4.155)

ent~ao

limn→∞

an

bn

(4.154) e (4.155)= lim

n→∞1

2n+ 11

n

= limn→∞

n

2 (n+ 1)

Exerccio=

1

2> 0 .


bn =

∞∑n=1

1

n

e divergente (e a serie harmonica, veja o Exemplo (4.3.6)) segue, do item 1. do teste da

comparac~ao para series numericas, por limites (ou seja, do item 1. do Teorema (4.5.3)), que

a serie numerica ∞∑n=1

an =

∞∑n=1

1

2n+ 1

sera divergente.

Um outro criterio importante para o estudo da convergencia de series numericas e dado

pelo:

Teorema 4.5.6 (criterio da raiz para series numericas) Consideremos a serie numerica∞∑n=1

an, onde

0 ≤ an , para cada n ∈ N . (4.156)

1. Se existir

r ∈ [0 , 1) (4.157)

de modo que

(an)1n︸︷︷︸

= n√an

≤ r , para cada n ∈ N , (4.158)



2. Se existir

r ∈ [1 ,∞) (4.159)

de modo que

(an)1n ≥ r , para cada n ∈ N , (4.160)



an sera divergente.

Demonstracao:

De 1. :

Por hipotese, temos que

(an)1n ≤ r , para cada n ∈ N ,

onde

0 ≤ r < 1 ,

ou seja,

0 ≤ an ≤ rn , para cada n ∈ N .


rn e convergente, pois e uma serie geomerica de

raz~ao r ∈ [0 , 1) (veja Exemplo (4.3.5), com c.= r ∈ [0 , 1)).


Teorema (4.5.2)), segue que a serie∞∑n=1

an sera convergente, completando a demonstrac~ao do

item 1. .

De 2. :


(an)1n ≥ r , para cada n ∈ N ,

onde r ∈ (1 ,∞), ou seja,

an ≥ rn , para cada ∈ N .


rn e divergente r ∈ [1 ,∞) (veja Exemplo (4.3.5),

com c.= r ∈ [1 ,∞)).


Teorema (4.5.2)), segue que a serie∞∑n=1

an sera divergente, completando a demonstrac~ao do

item 2. e do resultado.

Observacao 4.5.4 O Teorema (4.5.6) acima, permanece valido se trocarmos a hipotese

′′ (an)1n ≤ r , para cada n ∈ N com r ∈ [0 , 1) ′′

por′′ (an)

1n ≤ r , para cada n ≥ No , com r ∈ [0 , 1) ′′

no item i., ou a hipotese

′′ (an)1n ≥ r , para cada n ∈ N , com r ∈ [1 ,∞) ′′


por′′ (an)

1n ≥ r , para cada n ≥ No , com r ∈ [1 ,∞) ′′

no item ii., ou seja:

Corolario 4.5.3 (criterio da raiz para series numericas, estendido)

Consideremos No ∈ N e a serie numerica∞∑n=1

an, onde

0 ≤ an , para cada n ≥ No . (4.161)

1. Se existir

r ∈ [0 , 1) (4.162)

de modo que

(an)1n ≤ r , para cada n ≥ No , (4.163)



2. Se existir

r ∈ [1 ,∞) (4.164)

de modo que

(an)1n ≥ r , para cada n ≥ No , (4.165)


an sera divergente.

Demonstracao:

A demonstrac~ao e semelhante a do criterio da raiz (ou seja, do Teorema (4.5.6)) e sera

deixada como exerccio para o leitor.

Como consequencia temos o:

Teorema 4.5.7 (criterio da raiz para series numericas, por limites) Consideremos a

serie numerica∞∑n=1

an, onde

0 ≤ an , para cada n ∈ N (4.166)

e denamos

l.= lim

n→∞(an)1n . (4.167)

1. Se

l ∈ [0 , 1) , (4.168)




2. Se

l ∈ (1 ,∞) , (4.169)


an sera divergente.

3. Se

l = 1 , (4.170)

nada podemos armar.

Demonstracao:

De 1. :


l.= lim

n→∞(an)1n < 1 . (4.171)

Logo, dado

ε.=1− l

2> 0 , (4.172)

podemos encontrar No ∈ N, tal que se n ≥ No, teremos∣∣∣(an) 1n − l

∣∣∣ < ε (4.172)=

1− l

2,

isto e, −1− l

2< (an)

1n − l <

1− l

2,

ou, equivalentemente, l−1− l

2< (an)

1n

(I)< l+

1− l

2.

Em particular,

0 ≤ (an)1n

por (I)< l+

1− l

2

=l

2+1

2

.= r

l(4.171)< 1< 1 ,

para cada n ≥ No.

Logo, do item 1. do criterio da raiz para series numericass, estendido (ou seja, do item


an sera convergente, completando a


De 2. :

Por hipotese temos que

l.= lim

n→∞(an)1n > 1 . (4.173)

Logo, dado

ε =l− 1

2> 0 , (4.174)


podemos encontrar No ∈ N, tal que se n ≥ No, teremos:

∣∣∣(an) 1n − l

∣∣∣ < ε (4.174)=

l− 1

2,

isto e, −l− 1

2< (an)

1n − l <

l− 1

2,

ou, equivalentemente, l−l− 1

2

(II)< (an)

1n < l+

l− 1

2

Em particular,

(an)1n

por (II)> l−

l− 1

2

=l

2+1

2

.= r

l(4.173)> 1> 1 ,

para cada n ≥ No.

Logo, do item 2. do criterio da raiz para series numericass, estendido (ou seja, do item


an sera divergente, completando a


De iii.:

Notemos que se

limn→∞(an)

1n = 1 ,

nada podemos armar com relac~ao a convergencia da serie numerica∞∑n=1

an, como veremos

nos dois exemplos a seguir:

Observemos que

limn→∞n

1n = lim

n→∞ e1nlnn

= limn→∞ e

lnnn

= limn→∞ exp

[lnn

n

]. (4.175)


Mas

limn→∞

lnn

n= lim

x→∞ln x

x

∞∞ : L'Hospital= lim

x→∞1

x1= 0 ,

logo: limn→∞n

1n = lim

n→∞ exp

[lnn

n

]expencial e contnua em 0

= exp

[limn→∞

(lnn

n

)](4.176)= e0

= 1 , (4.176)

ou seja,

limn→∞n

1n

(4.175) e (4.176)= 1 . (4.177)


1

n︸︷︷︸.=an

e divergente (e a serie harmonica, veja o Exemplo

(4.3.6)).

Notemos que, neste caso,

l1.= limn→∞(an)

1n

= limn→∞

(1

n

) 1n

= limn→∞

(1

n1n

)(4.178)

=1

limn→∞n

1n

(4.177)= 1 .

Por outro lado, sabemos que a serie numerica∞∑n=1

1

n2︸︷︷︸.=bn

e convergente (veja o Exemplo

(4.3.8)).

Neste caso, teremos:

l2.= lim

n→∞(bn)1n

= limn→∞

(1

n2

) 1n

=

1

limn→∞n

1n

2

(4.177)= 1 ,


Esses dois exemplos mostram que se

l1 = l2 = 1 ,

nada podemos armar, ou seja, a serie numerica podera ser convergente ou divergente, com-

pletando a vericac~ao do item 3. e do resultado.


Exemplo 4.5.9 Analizar a convergencia da serie numerica:

∞∑n=1

1

nn. (4.179)

Resolucao:


an.=1

nn. (4.180)

Notemos que

an(4.180)

≥ 0 , para cada n ∈ N

e l.= lim

n→∞(an)1n

(4.180)= lim

n→∞(1

nn

) 1n

= limn→∞

1

n= 0 < 1 .

Logo, do criterio da raiz no limite item i. (ou seja, do Teorema (4.5.7) item i.), segue que


an =

∞∑n=1

1

nn

e convergente.


Exemplo 4.5.10 Analizar a convergencia da serie numerica:

∞∑n=1

1

n 2n. (4.181)

Resolucao:


an.=

1

n 2n. (4.182)


an(4.182)

≥ 0 , para cada n ∈ N

e l.= lim

n→∞(an)1n

(4.182)= lim

n→∞(1

n2n

)1/n= lim

n→∞1

2n1n

(4.177)=

1

2< 1 .

Logo, do item 1. do criterio da raiz para series numericas, no limite (ou seja, do item 1.

do Teorema (4.5.7)), segue que a serie numerica

∞∑n=1

an =

∞∑n=1

1

n 2n

sera convergente.

O ultimo criterio para convergencia de series numerica, cujos os termos s~ao nao-negativos,

que exibiremos e o:

Teorema 4.5.8 (criterio da integral ou de Cauchy para series numericas)

Suponhamos que a func~ao f : [0 ,∞) → R e n~ao-negativa (isto e f(x) ≥ 0 para

x ∈ [0 ,∞)), decrescente, contnua em [0 ,∞) e que a sequencia numerica (an)n∈N seja

dada por

an.= f(n) , para cada n ∈ N . (4.183)


an sera convergente se, e somente se, a integral impropria

de 1.a especie

∫∞1

f(t)dt for convergente converge.

Demonstracao:

Notemos que como a func~ao f e contnua em [0 ,∞) segue que ela sera Riemann integravel

no intervalor [k , k+ 1], para cada k ∈ N.


an e convergente.

Observemos que, (veja a gura abaixo), para cada k ∈ N, teremos:

ak(4.183)= f(k) , e a area do retangulo que tem base [k , k+ 1] e altura f(k) . (4.184)


6

-

a1 = f(1)

a2 = f(2)

a3 = f(3)

1 2 3 4 5 6 7

U

f

Por outro lado, como a func~ao f e decrescente em [0 ,∞), para cada k ∈ N, temos que

0 ≤ f(x)f e decrescente

≤ f(k)

(4.183)= ak para cada x ∈ [k , k+ 1] . (4.185)

Logo, para cada k ∈ N, das propriedades da integral de Riemann, de (4.185), segue que∫ k+1k

f(x)dx(4.185)

≤ f(k)[(k+ 1) − k︸︷︷︸=1

]

= f(k)

(4.184)= ak . (4.186)

Portanto, para cada k ∈ N, segue que

00≤f(x)≤

∫k1

f(x)dx

k≤k+1 e 0≤f(x)≤

∫k+11

f(x)dx

[1 ,k+1]=[1 ,2]∪[2 ,3]∪···[k ,k+1]=

∫ 21

f(x)dx+

∫ 32

f(x)dx+ · · ·+∫kk−1

f(x)dx+

∫ k+1k

f(x)dx

(4.186)

≤ a1 + a2 + · · ·+ ak−1 + ak ,

ou seja,

0 ≤∫k1

f(x)dx

≤k∑j=1

aj

= Sk (= soma parcial de ordem k da serie∞∑n=1

an). (4.187)


Portanto, como a serie numerica∞∑n=1

an e convergente, segue que a sequencia numerica

(Sn)n∈N sera convergente.

Logo, de (4.187), segue que a integral impropria de 1.a especie

∫∞1

f(x) dx sera convergente.

Suponhamos que a integral impropria de 1.a especie

∫∞1

f(x) dx seja convergente.

Observemos que (veja a gura abaixo), para cada k ∈ N, temos que

ak = area do retangulo de base [k− 1, k] e altura f(k) . (4.188)

6

-

a1 = f(1)

a2 = f(2)

a3 = f(3)

1 2 3 4 5 6 7

Como a func~ao f e decrescente em [0 ,∞), para cada k ∈ N, temos que

f(x)f e decrescente

≥ f(k)

(4.183)= ak para cada x ∈ [k− 1 , k] . (4.189)

Logo, para cada k ∈ N, das propriedades da integral de Riemann, de (4.189), segue que∫kk−1

f(x)dx(4.189)

≥ f(k)[(k− (k− 1)︸︷︷︸=1

]

= f(k)

(4.183)= ak . (4.190)

Portanto, para cada k ∈ 2 , 3 , · · · , teremos:∫k1

f(x)dx[1 ,k]=[1 ,2]∪[2 ,3]∪···[k−1 ,k]

=

∫ 21

f(x)dx+

∫ 32

f(x)dx+ · · ·+∫kk−1

f(x)dx

(4.190)

≥ a2 + a3 + · · ·+ ak , (4.191)

ou ainda, para cada k ∈ 2 , 3 , · · · , segue que

a1 +

∫k1

f(x)dx(4.191)

≥k∑j=1

aj.= Sk , (4.192)


ou seja, a soma parcial, de ordem k, da serie numerica∞∑n=1

an .

Assim, se a integral impropria de 1.a especie

∫∞1

f(x) dx e convergente, de (4.192), segue

que a sequencia numerica das somas parciais (Sn)n∈N, associada a a serie numerica∞∑n=1

an,

sera limitada, mais precisamente,

00≤an≤ Sk

(4.192)

≤ a1 +

∫k1

f(x)dx

0≤f(x)≤ a1 +

∫∞1

f(x)dx <∞ .

Mas como

an ≥ 0 , para cada n ∈ N ,

temos que a sequencia numerica (Sn)n∈N sera monotona (crescente).

Portanto a sequencia numerica (Sn)n∈N e monotona e limitada em R.

Do Teorema (4.5.1), segue que ela sera convergente em R, isto e, a serie numerica∞∑n=1

an

e convergente em R, completando a demonstrac~ao.

Observacao 4.5.5 O Teorema (4.5.8) acima permanece valido se trocarmos o intervalo

[0 ,∞), pelo intervalo [a ,∞], com a ≥ 1 xado, ou seja vale o:

Corolario 4.5.4 (criterio da integral ou de Cauchy para series numericas, estendido)

Sejam a ≥ 1 e No ∈ N, tal que No ≥ a.Suponhamos que a func~ao f : [a ,∞) → R e n~ao-negativa (isto e f(x) ≥ 0 para

x ∈ [a ,∞)) decrescente, contnua em [a ,∞) e que a sequencia numerica (an)n∈N seja

dada por

an.= f(n) , para cada n ≥ No . (4.193)


an sera convergente se, somente se, a integral impropria

de 1.a especie

∫∞a

f(t)dt for converge.

Demonstracao:

A demonstrac~ao e semelhante a do Teorema (4.5.8) acima e sera deixada como exerccio

para o leitor.



Exemplo 4.5.11 Analizar a convergencia da serie numerica

∞∑n=1

1

n(4.194)

Resolucao:


an.=1

n. (4.195)


f(x).=1

x, para cada x ∈ [1 ,∞) . (4.196)

Notemos que

a func~ao f, dada por (4.196), e contnua em [1 ,∞);

a func~ao f, dada por (4.196), e n~ao-negativa em [1 ,∞), pois

f(x)(4.196)=

1

x> 0 , para cada x ∈ [1 ,∞) ;

a func~ao f, dada por (4.196), e decrescente em [1 ,∞), pois se x , y ∈ [1 ,∞) satisfazendo

x ≤ y ,

ent~ao: f(x)(4.196)=

1

x1≤x≤y≤ 1

y(4.196)= f(y) .

para cada n ∈ N, temos

f(n)(4.196)=

1

n(4.195)= an . (4.197)

Observemos que a integral impropria de 1.a especie:∫∞1

f(x)dx(4.196)=

∫∞1

1

xdx

= limb→∞

[∫b1

1

xdx

]Teor. Fund. Calculo

= limb→∞

[ln(x)

∣∣∣∣x=bx=1

]= lim

b→∞[ln(b) − ln(1)︸︷︷︸=0

]

Exerccio Calculo 1= ∞ ,


isto e, a integral impropria de 1.a especie

∫∞1

f(x)dx e divergente.

Assim, do criterio da integral para series numericas (ou seja, do Teorema (4.5.8)), segue

que a serie ∞∑n=1

an =

∞∑n=1

1

n

e divergente (caso contrario a integral impropria deveria ser convergente, o que seria um

absurdo).


∞∑n=1

1

np, para cada p ∈ R xado . (4.198)

Resolucao:

Para p ∈ R xado e para cada n ∈ N, denamos

an.=1

np. (4.199)


f(x).=1

xp, para cada x ∈ [1 ,∞) . (4.200)

Notemos que, se

p = 0 ,

a serie numerica dada por (4.198), sera a serie numerica

∞∑n=1

1

que e divergente, pois

limn→∞an an=1= lim

n→∞ 1= 1 = 0 ,

e assim do criterio da divergencia pars series numericas (isto e, do Teorema (4.4.2)) segue a

armac~ao.

Se

p < 0 ,


an =

∞∑n=1

1

np

=

∞∑n=1

n−p (4.201)


sera divergente, pois −p > 0, logo

limn→∞n−p = ∞ = 0

e assim, novamente, do criterio da divergencia (isto e, do Teorema (4.4.2)) segue a armac~ao.

Se

p = 1 ,


an =

∞∑n=1

1

n

tambem sera divergente (e a serie serie harmonica, mostramos no item 1., que e divergente).

Consideremos o caso em que

p ∈ (0 ,∞) \ 1 .

Notemos que:

a func~ao f, dada por (4.200), e contnua em [1 ,∞);

a func~ao f, dada por (4.200), e n~ao-negativa em [1 ,∞), pois

f(x)(4.200)=

1

xp> 0 , para cada x ∈ [1 ,∞) ;

a func~ao f, dada por (4.200), e decrescente em [1 ,∞), pois se x , y ∈ [1∞) satisfazendo

x ≤ y ,

ent~ao f(x)(4.200)=

1

xp

1≤x≤y≤ 1

yp

(4.200)= f(y) ;


f(n)(4.200)=

1

np

(4.199)= an . (4.202)


Observemos que a integral impropria de 1.a especie∫∞1

f(x)dx(4.200)=

∫∞1

1

xpdx

= limb→∞

[∫b1

1

xpdx


= limb→∞

[1

(1− p) xp−1]

∣∣∣∣x=bx=1

]=

1

1− plimb→∞[b1−p − 1]

=

converge (para 1

p−1), se p ∈ (1 ,∞)

diverge (para +∞), se p ∈ (0 , 1).

Logo, do criterio da integral (ou seja, do Teorema (4.5.8)), segue que a serie numerica

∞∑n=1

1

npsera:

convergente, se p ∈ (1 ,∞)


Juntando todos os casos tratados teremos:

∞∑n=1

1

npsera:


diverge (para +∞), se p ∈ (−∞ , 1]. (4.203)

Observacao 4.5.6 Para cada p ∈ R, a serie numerica

∞∑n=1

1

np, (4.204)

sera denominada p-serie.

Logo, o Exemplo (4.5.12) acima, nos diz que uma p-serie e convergente se, e somente

se,

p ∈ (1 ,∞) . (4.205)


∞∑n=3

1

n lnp(n), para cada p ∈ R xado . (4.206)

Resolucao:

Para p ∈ R xado e para cada n ∈ 3 , 4 , 5 , · · · , denamos

an.=

1

n lnp(n). (4.207)


Consideremos a func~ao f : [e ,∞) → R dada por

f(x).=

1

x lnp(x), para cada x ∈ [e ,∞) . (4.208)

Notemos que, se

p = 0 ,

teremos a serie numerica∞∑n=3

1

nque e, essencialmente a serie harmonica (desprezando-se os

dois primeiros termos da mesma), portanto sera divergente.

Se

p = 1 ,

teremos temos, por (4.207) e (4.208), que

an.=

1

n ln(n), para cada n ∈ 3 , 4 , 5 , · · · . (4.209)

f(x).=

1

x ln(x), para cada x ≥ e . (4.210)

Notemos que:

a func~ao f, dada por (4.210), e contnua em [e ,∞);

a func~ao f, dada por (4.210), e n~ao-negativa em [e ,∞), pois

f(x)(4.210)=

1

x ln(x)> 0 , para cada x ∈ [e ,∞) ;

a func~ao f, dada por (4.210), e decrescente em [e ,∞), pois se x , y ∈ [e∞) satisfazendo

x ≤ y ,

ent~ao: f(x)(4.210)=

1

x ln(x)e≤x≤y≤ 1

y ln(y)(4.210)= f(y) ;


f(n)(4.210)=

1

n ln(n)(4.209)= an . (4.211)


Observemos que a integral impropria de 1.a especie∫∞e

f(x)dx(4.210)=

∫∞e

1

x ln(x)dx

= limb→∞

[∫be

1

x ln(x)dx

].

Mas:

∫be

1

x ln(x)dx =

u = ln(x) ⇒ du =

1

xdx

x = e⇒ u = 1

x = b⇒ u = ln(b)

=

∫ ln(b)1

1

udu

Teor. Fund. Calculo= ln(u)

∣∣∣∣u=ln(b)u=1

= ln [ln(b)] .

Logo,

∫∞e

f(x)dx = limb→∞

∫be

1

x ln(x)dx

= limb→∞ ln [ln(b)]

Exerccio de Calculo 1= ∞ .

Portanto a integral impropria

∫∞e

1

x ln(x)dx e divergente.

Logo, pelo criterio da integral para series numericas (ou seja, do Teorema (4.5.8)), segue

que a serie numerica∞∑n=3

1

n ln(n)sera divergente.

Consideremos agora o caso em que

p ∈ (0 ,∞) \ 1 .

Notemos que:

a func~ao f, dada por (4.208), e contnua em [e ,∞);

a func~ao f, dada por (4.208), e n~ao-negativa em [e ,∞), pois

f(x)(4.208)=

1

x lnp(x)> 0 , para cada x ∈ [e ,∞) ;

a func~ao f, dada por (4.208), e decrescente em [e ,∞), pois se x , y ∈ [e∞) satisfazendo

x ≤ y ,

ent~ao: f(x)(4.208)=

1

x lnp(x)e≤x≤y≤ 1

y lnp(y)(4.208)= f(y) ;



f(n)(4.208)=

1

n lnp(n)

(4.207)= an . (4.212)

Observemos que a integral impropria de 1.a especie:∫∞e

f(x)dx =

∫∞e

1

x lnp(x)dx

= limb→∞

[∫be

1

x lnp(x)dx

]. (4.213)

Mas,

∫b1

1

x lnp(x)dx =

u = ln x⇒ du =

1

xdx

x = e⇒ u = 1

x = b⇒ u = ln(b)

=

∫ ln(b)1

1

updu

Teor. Fund. Calculo=

1

(1− p)up−1

∣∣∣∣u=ln(b)u=1

=1

(1− p)

[(ln(b))1−p − 1

]. (4.214)

Assim ∫∞e

f(x)dx(4.213)= lim

b→∞∫be

1

x lnp(x)dx

(4.214)= lim

n→∞1

(1− p)

[(ln(b))1−p − 1

]Exerccio

=

converge (para 1

p−1), se p ∈ (1 ,∞)

diverge (para ∞), se p ∈ (0 , 1)

Logo, do criterio da integral (ou seja, do Teorema (4.5.8)), segue que, a serie numerica

∞∑n=1

1

n lnp(n)sera:



Logo, juntando todos o casos tratados do criterio da integral (ou seja, do Teorema (4.5.8)),

segue que, a serie numerica

∞∑n=1

1

n lnp(n)sera:


diverge (para +∞), se p ∈ (−∞ , 1]. (4.215)

4.6 Convergencia de Series Alternadas

Observacao 4.6.1

4.6. CONVERGENCIA DE SERIES ALTERNADAS 143

1. Observemos que os criterios estabelecidos na sec~ao 4.5 anterior, so podem ser

aplicados para series numericas que tenham somente um numero finito de termos

negativos, ou seja, so aplicam-se para series numericas

∞∑n=1

an ,

onde

an ≥ 0 , para cada n ≥ No .

2. Se a serie numerica possui somente um numero finito de termos positivos, po-

demos aplicar os criterios desevolvidos na sec~ao 4.5 anterior, trocando-se o sinal

dos termos da serie numerica dada inicialmente, ou seja, em vez de estudarmos

a convergencia da serie numerica

∞∑n=1

an ,

onde

an < 0 , para cada n ≥ No ,

poderemos estudar a convergencia da serie numerica

∞∑n=1

(−an) ,

e, neste caso, teremos

−an > 0 , para cada n ≥ No .

Deste modo, a serie numerica obtida, cara com somente um numero finito de

termos negativos e assim poderemos tentar aplicar os resultados da sec~ao 4.5 a

esta nova serie numerica.

3. Baseado nestas observac~oes, falta um resultado que trate de series numericas que

tenham infinitos termos positivos e negativos, o que chamaremos de:

Definicao 4.6.1 Diremos que uma serie numerica e um serie numerica alternada se

ela puder ser colocada na seguinte forma:

∞∑n=1

(−1)n+1an (4.216)

onde

an ≥ 0 , para cada n ∈ N . (4.217)

Temos os:


Exemplo 4.6.1 As series numericas abaixo s~ao series numericas alternadas:

1.∞∑n=1

(−1)n

Neste caso,

an.= 1 , para cada n ∈ N . (4.218)

2.∞∑n=1

(−1)n+11

n

Neste caso,

an.=1

n, para cada n ∈ N . (4.219)

3.∞∑n=1

(−1)n+11

2n− 1

Neste caso,

an.=

1

2n− 1, para cada n ∈ N . (4.220)

Com isto temos o seguinte criterio para o estudo da convergencia de series numericas

alternadas:

Teorema 4.6.1 (criterio da serie numerica alternada ou de Leibnitz)

Suponhamos que (an)n∈N e uma sequencia numerica que satisfaz:

i. an ≥ 0 , para cada n ∈ N ; (4.221)

ii. (an)n∈N e uma sequencia numerica decrescente; (4.222)

iii. limn→∞an = 0 . (4.223)


(−1)n+1an sera convergente.

Alem disso, se a soma da serie numerica∞∑n=1

(−1)n+1an for denotada por S, ent~ao

|S− Sn| ≤ an+1 , para cada n ∈ N . (4.224)

Demonstracao:

Denotemos por (Sn)n∈N a sequencia numerica das somas parciais da serie numerica∞∑n=1

an,

ou seja,

Sn.=

n∑k=1

(−1)k+1 ak , para cada n ∈ N . (4.225)

Armamos que:

S2 n ≤ S2 n+2 , para cada n ∈ N . (4.226)


De fato pois, para cada n ∈ N, temos:

S2 n+2(4.225)= S2 n +

=−1︷︸︸︷(−1)2 n+1 a2 n+1 +

=1︷︸︸︷(−1)2 n+2 a2 n+2

= S2 n + a2 n+1 − a2 n+2︸︷︷︸a2n+1

(4.222)≥ a2n+2≥ 0

≥S2 n .

Temos tambem:

S2 n−1 ≤ S2 n+1 , para cada n ∈ N . (4.227)

De fato pois, para cada n ∈ N, termos:

S2n+1(4.225)= S2 n−1 +

=1︷︸︸︷(−1)2 n a2 n +

=−1︷︸︸︷(−1)2 n+1 a2 n+1

= S2 n−1 + a2 n − a2 n+1︸︷︷︸a2n

(4.222)≤ a2n+1≤ 0

≤S2 n−1 .

0 ≤ S2 n ≤ a1 , para cada n ∈ N . (4.228)

De fato pois, para cada n ∈ N, termos:

0 ≤ S2n(4.225)=

=1︷︸︸︷(−1)1+1 a1 +

=−1︷︸︸︷(−1)2+1 a2 + · · ·+

=1︷︸︸︷(−1)(2 n−1) +1 a2n−1 +

=−1︷︸︸︷(−1)(2 n) +1 a2n

= a1 − a2 + a3 + · · ·− a2n−2 + a2n−1 − a2n= a1 + (−a2 + a3)︸︷︷︸

a3

(4.222)≤ a2≤ 0

+ · · ·+ (−a2n−2 + a2n−1)︸︷︷︸a2n−1

(4.222)≤ a2n−2≤ 0

+(−a2n)︸︷︷︸≤0

≤ a1 .

De (4.226) e (4.228), segue que a sequencia numerica (S2 n)n∈N e monotona e limitada.

Logo, do Teorema (3.4.1), a sequencia numerica (S2 n)n∈N sera convergente em R.Seja

S.= lim

n→∞S2 n . (4.229)

Observemos que, para cada n ∈ N, temos:

S2n+1(4.225)= S2 n +

=1︷︸︸︷(−1)(2 n+1)+1 a2 n+1

= S2 n + a2 n+1 . (4.230)


Como, de (4.223), temos que

limn→∞an = 0 , (4.231)

segue que

limn→∞S2 n+1

(4.230)= lim

n→∞ (S2 n + a2 n+1)

= limn→∞S2 n + lim

n→∞a2 n+1(4.229) e (4.231)

= S+ 0 = S .

Ou seja, a sequencia numerica (S2 n+1)n∈N tambem sera convergente para S.

Com isto podemos mostrar que a sequencia numerica (Sn)n∈N sera convergente para S.


Portanto a serie numerica∞∑n=1

(−1)n+1an e convergente e sua soma sera igual a S.

Notemos que, de (4.226), seque que a sequencia numerica (S2 n)n∈N e crescente e como

limn→∞Sn = S ,

segue que que

S2 n ≤ S , para cada n ∈ N . (4.232)

Por outro lado, de (4.227), temos que a sequencia numerica (S2 n+1)n∈N e decrescente e

como

limn→∞Sn = S ,

deveremos ter segue que

S ≤ S2n+1 , para cada n ∈ N . (4.233)

Como isto, para cada n ∈ N, teremos

S2 n(4.232)

≤ S(4.233)

≤ S2n+1 . (4.234)

Portanto, para cada n ∈ N, segue que

0(4.232)

≤ S− S2 n(4.233)

≤ S2 n+1 − S2 n

=

=1︷︸︸︷(−1)(2 n+1)+1 a2 n+1

= a2 n+1 ,

isto e, |S− S2 n|(4.232)= S− S2 n

≤ a2 n+1 . (4.235)


Por outro lado, para cada n ∈ N, temos:

0(4.233)

≤ S2 n+1 − S

(4.232)

≤ S2 n+1 − S2 n+2

= −[

=−1︷︸︸︷(−1)(2 n+2)+1 a2 n+2]

= a2 n+2 ,

isto e, |S− S2 n+1|(4.233)

≤ S2 n+1 − S

≤ a2 n+2 . (4.236)

Portanto, de (4.236) e (4.236), segue que

|S− Sn| ≤ an+1 , para cada n ∈ N



Exemplo 4.6.2 Verique se a serie numerica abaixo convege ou diverge, justicando

sua resposta. ∞∑n=1

(−1)n+1

n(4.237)

Resolucao:

Notemos que serie numerica (4.237) e uma serie alternada, onde

an.=1

n, para cada n ∈ N . (4.238)

Observemos que a sequencia numerica (an)n∈N:

n~ao negativa, pois

an(4.238)=

1

n> 0 , para cada n ∈ N ;

e decrescente, pois se n ,m ∈ N satisfazem n ≤ m, segue que

am(4.238)=

1

m

n≤m≤ 1

n= an ;

e

limn→∞an = lim

n→∞1

n= 0 .

Logo pelo criterio da serie alternada (ou seja, do Teorema (4.6.1)) segue que a serie

numerica∞∑n=1

(−1)n+1

ne convergente.


Observacao 4.6.2 A serie numerica (4.237) acima sera denominada serie harmonica

alternada.

Veremos, mais adiante, que esta serie alternada tem soma igual a ln(2), ou seja,

∞∑n=1

(−1)n+1

n= ln(2) . (4.239)

Exemplo 4.6.3 Verique se a serie numerica abaixo convege ou diverge, justicando

sua resposta. ∞∑n=1

(−1)n+1

2n− 1(4.240)

Resolucao:

Notemos que serie numerica (4.240) e uma serie alternada, onde

an.=

1

2n− 1, para cada n ∈ N . (4.241)

Observemos que a sequencia numerica (an)n∈N e:

n~ao negativa, pois

an(4.241)=

1

2n− 1> 0 , para cada n ∈ N ;

e decrescente, pois se n ,m ∈ N satisfazem n ≤ m, segue que

am(4.241)=

1

2m− 1

n≤m≤ 1

2n− 1= an ;

e

limn→∞an = lim

n→∞1

2n− 1= 0 .

Logo, pelo criterio da serie alternada (ou seja, do Teorema (4.6.1)), segue que a serie

numerica∞∑n=1

(−1)n+1

2n− 1e convergente.

Observacao 4.6.3 Veremos, mais adiante, que a soma desta serie numerica sera igualπ

4, ou seja,

∞∑n=1

(−1)n+1

2n− 1=π

4. (4.242)

Observacao 4.6.4


1. O Teorema (4.6.1) pode ser aplicado a serie numerica

∞∑n=1

(−1)n an , (4.243)

mais precisamente: se a sequencia numerica (an)n∈N e n~ao negativa, decrescente

e tem limite zero, ent~ao a serie numerica∞∑n=1

(−1)nan sera convergente.

Para ver isto basta observar que serie numerica

∞∑n=1

(−1)n an = (−1)

∞∑n=1

(−1)n+1 an .

2. A condic~ao′′ (an)n∈N decrescente ′′

necessaria para obtermos a conclus~ao no Teorema (4.6.1), como mostra o seguinte

exemplo:

Considere a serie numerica

∞∑n=1

(−1)n+1an = 1−1

2+1

2−1

22+1

3−1

23+1

4−1

24+ · · ·

Observemos que ela e uma serie numerica divergente.

De fato, pois a serie numerica

∞∑n=1

a2n+1 =

∞∑n=1

1

2n+ 1

e divergente (verique!) e a serie numerica

∞∑n=1

a2n =

∞∑n=1

1

2n

e convergente (serie geometrica de raz~ao 0 ≤ c .= 1

2< 1) e temos:

∞∑n=1

(−1)n+1an =

∞∑n=1

a2n+1 −

∞∑n=1

a2n ,

logo ela sera divergente.

Observemos que

an ≥ 0 , para cada n ∈ N e limn→∞an = 0 ,

mas a sequencia (an)n∈N nao e decrescente (verique!).


Podemos aplicar as ideias desenvolvidas nesta sec~ao ao:

Exemplo 4.6.4 Mostremos que a serie numerica

∞∑n=3

(−1)n+1ln(n)

n(4.244)

e convergente.

Resolucao:

Notemos que a serie numerica (4.244) e um serie alternada, onde

an.=

ln(n)

n, para cada n ≥ 3 . (4.245)

Notemos que:

(i) A sequencia numerica (an)n∈N e n~ao negativa, pois

an(4.245)=

lnn

n≥ 0 , para cada n ≥ 3 > 1 ;

(i). A sequencia numerica (an)n∈N e decrescente.

De fato pois considerando-se a func~ao f : [e ,∞) → R dada por

f(x).=

ln(x)

x, para cada x ∈ [e ,∞) , (4.246)

segue que a func~ao f e diferenciavel em [e ,∞) e, alem disso, das regras de derivac~ao,

teremos

f ′(x)(4.246)=

1− ln(x)

x2≤ 0 , para cada x ∈ [e ,∞) .

Logo a func~ao f e decrescente em [e ,∞) e como

f(n)(4.246)=

ln(n)

n(4.245)= an ,

segue que a sequencia numerica (an)n∈N tambem sera decrescente;

(iii) e

limn→∞an

(4.245)= lim

n→∞ln(n)

nObs. (3.4.1) item 2.

= limn→∞

ln(x)

x

∞∞ : L'Hospital= lim

n→∞ 1x1

= 0 ,

ou seja, limn→∞an = 0 .


Logo segue, do criterio da serie alternada (ou seja, do Teorema (4.6.1)), que a serie

numerica∞∑n=3

(−1)n+1ln(n)

ne convergente.

Como exerccio deixaremos o:

Exercıcio 4.6.1 Mostre que a serie numerica

∞∑n=1

(−1)n+11

n2(4.247)

e convergente e determine sua soma, com erro menor ou igual 0, 02, em valor absoluto.

Resolucao:

Notemos que a serie numerica (4.247) e um serie alternada, onde

an.=1

n2, para cada n ∈ N . (4.248)

Deixaremos, como exerccio parfa o leitor, mostrar que a serie numerica (4.247) e conver-

gente (use o criterio da seria alternada, ou seja, o Teorema (4.6.1)).

Denotemos por S a soma da serie∞∑n=1

(−1)n+11

n2, ou seja,

S.=

∞∑n=1

(−1)n+11

n2

e por Sn a soma parcial de ordem n da serie∞∑n=1

(−1)n+11

n2, ou seja, para cada n ≥ 3, temos

que

Sn.=

n∑k=1

(−1)k+1 ak

(4.248)=

n∑k=1

(−1)k+11

k2. (4.249)

Do criterio da serie alternada (ou seja, de (4.224) do Teorema (4.6.1)) segue que

|Sn − S| ≤ an+1 , para cada n ∈ N .

Como limn→∞an = 0, podemos escolher No ∈ N, de mdo que

aNo+1 =1

No2

≤ 0, 02

= 21

100

=1

50.


Notemos que, se No.= 9 teremos

a9+1 = a10

(4.248)=

1

102

=1

1000

<1

50.

Portanto, de (4.224), segue que

|S9 − S| ≤ a10< 0, 02 ,

assim

S9(4.249)= a1 − a2 + a3 + · · ·− a9

(4.248)= 1−

1

4+1

9− · · ·+ 1

81

e uma aproximac~ao de S, com erro menor que 0, 02 .

4.7 Reagrupamento de Series Numericas

Definicao 4.7.1 Dada uma serie numerica∞∑n=1

an, diremos que a serie numerica∞∑n=1

bn

e um reagrupamento da serie numerica∞∑n=1

an , se os termos da 2.a serie numerica

forem os termos da 1.a serie numerica, tomados em outra ordem, isto e, para cada

n ∈ N, temos

bn = ain , (4.250)

para algum in ∈ N e para cada m ∈ N, temos

am = bjm , (4.251)

para algum jm ∈ N.

Para ilustrar, temos o:

Exemplo 4.7.1 A serie numerica

1+1

3−1

2+1

5+1

7−1

4−1

6+ · · ·

4.7. REAGRUPAMENTO DE SERIES NUMERICAS 153

e um reagrupamento da da serie harmomica alternada, isto e, da serie numerica:

∞∑n=1

(−1)n+11

n. (4.252)

Neste caso, temos que:

b1 = a1 , b2 = a3 , b3 = a5 , · · · .

Para reagrupamento de series numericas, cujos termos s~ao n~ao-negativos, temos o seguinte

resultado:

Teorema 4.7.1 Suponhamos que a serie numerica∞∑n=1

an seja convergente e

an ≥ 0 , para cada n ∈ N . (4.253)

Ent~ao qualquer reagrupamento, que denotaremos por∞∑n=1

bn, da serie numerica

∞∑n=1


Alem disso, se a soma da serie numerica∞∑n=1

an e igual a S, ent~ao a soma de do

reagrupamento∞∑n=1

bn tambem sera igual a S, isto e,

se∞∑n=1

an = S , ent~ao∞∑n=1

bn = S . (4.254)

Demonstracao:

Sejam (Sn)n∈N e (Tn)n∈N as sequencias numericas das somas parciais das series∞∑n=1

an e

∞∑n=1

bn, respectivamente, isto e, para cada n ∈ N, temos:

Sn.=

n∑i=1

ai , (4.255)

Tn.=

n∑k=1

bk . (4.256)



bn e um reagrupamento da serie numerica∞∑n=1

an, segue que,

para cada k ∈ N, existem i1 , i2 · · · de modo que

bk = aik ,

ou seja, Tn(4.256)=

n∑i=k

bk

=

n∑i=k

aik

= ai1 + ai2 + · · ·+ ain . (4.257)


an e convergente, segue que sequencia numerica (Sn)n∈N e

convergente.

Logo, da Proposic~ao (3.3.2), segue que a sequencia numerica (Sn)n∈N sera limitada, isto

e, podemos encontrar M ≥ 0, tal que

0 ≤ Sn(4.255)=

n∑i=1

ai

an≥0= |Sn| ≤M, para cada n ∈ N . (4.258)

Como

an(4.253)

≥ 0 , para cada n ∈ N ,

segue que a sequencia numerica (Sn)n∈N sera crescente.


Tn(4.256)= b1 + b2 + · · ·+ bn

(4.257)= ai1 + ai2 + · · ·+ ain

k.=maxi1,i2,··· ,in e aj≥0

≤ a1 + a2 + · · ·+ ak(4.255)= Si

(4.258)

≤ M, (4.259)

ou seja, a sequencia numerica (Tn)n∈N e limitada.

Observemos que ela tambem e crescente

bnexiste in∈N= ain

(4.253)

≥ 0 , para cada n ∈ N .

Logo, do Teorema (3.4.1), segue que a sequencia numerica (Tn)n∈N sera convergente em

R, ou seja, a serie∞∑n=1

bn e convergente em R.

Denotemos por T a soma da serie numerica∞∑n=1

bn.

4.7. REAGRUPAMENTO DE SERIES NUMERICAS 155

Observemos que, para cada n ∈ N, de (4.259), temos que

Tn ≤ Sk(Sn)n∈N e crescente

≤ S ,

para

k.= maxi1 , i2 , · · · , in ,

que implicara em

T ≤ S . (4.260)

De modo analogo, considerando-se a serie numerica∞∑n=1

an como um reagrupamento da

serie numerica∞∑n=1

bn, segue que

0 ≤ S ≤ T , (4.261)

e assim, (4.260) e (4.261), implicar~ao que

T = S ,

ou seja, a soma das series numericas∞∑n=1

an e∞∑n=1

bn s~ao iguais, completando a demonstrac~ao

do resultado.

Observacao 4.7.1 A condic~ao

′′ an ≥ 0 , para cada n ∈ N ′′

no Teorema (4.7.1) e necessaria para a validade do resultado, como mostra o exemplo

a seguir:

Considere a serie harmonica alternada∞∑n=1

(−1)n+11

n= 1−

1

2+1

3−1

4+1

5−1

6+1

7−1

8+ · · · , (4.262)

que e convergente, com soma igual a S > 0 (que mostraremos, mais adiante, que

S = ln(2)), ou seja,

S =

∞∑n=1

(−1)n+11

n

= 1−1

2+1

3−1

4+1

5−1

6+1

7−1

8+ · · · . (4.263)

Logo

1

2S =

1

2

∞∑n=1

(−1)n+11

2n

=1

2−1

4+1

6−1

8+ · · ·

= 0+1

2+ 0−

1

4+ 0+

1

6− 0+

1

8+ · · · . (4.264)


Somando-se as series numericas (4.263) e (4.264), obteremos:

3

2S = 1+

1

3−1

2+1

5+1

7−1

4· · · ,

que e um reagrupamento da serie harmonica alternada (4.262), e cuja soma (que e3

2S) e uma valor diferente de S, ou seja, um reagrupamento de uma serie numerica∞∑

n=1

(−1)n+11

n, que converge, mas que o valor de sua soma e diferente !

Ao nal deste captulo apresentaremos um resultado que mostrara que para series

numericas do "tipo alternada", podemos ter reagrupamentos convergindo para qualquer

numero real, ou ate mesmo divergindo para +∞ ou −∞ (veja o Teorema (4.9.1)).

4.8 Series Absolutamente Convergentes

Comecaremos pela


an e absolutamente convergente se


|an| (4.265)

for convergente.

Para ilustrar, consideremos o:

Exemplo 4.8.1 Verique se a serie numerica abaixo e absolutamente convergente:

Seja c ∈ (−1 , 1) xado e∞∑n=1

cn . (4.266)

Resolucao:

A serie numerica (4.266) e uma serie geometrica de rac~ao c.


|cn| = |c|n . (4.267)

Como |c| ∈ [0 , 1), temos que a serie numerica

∞∑n=1

|cn|(4.267)=

∞∑n=1

|c|n

sera convergente (veja o Exemplo (4.3.5)).

Portanto a serie numerica (4.266) e absolutamente convergente.

4.8. SERIES ABSOLUTAMENTE CONVERGENTES 157

Exemplo 4.8.2 Verique se a serie numerica abaixo e absolutamente convergente:

∞∑n=1

(−1)n+11

n. (4.268)

Resolucao:

Notemos que a serie numerica (4.268) e a serie harmonica alternada.

Observemos que, para cada n ∈ N, temos:∣∣∣∣(−1)n+1 1n∣∣∣∣ = 1

n.


1

n

e divergente (e a serie harmonica, veja o Exemplo (4.34)), segue que a serie numerica (4.268)

n~ao e absolutamente convergente, ou ainda, a serie harmonica alternada n~ao e absolutamente

convergente.

Para series numericas absolutamente convergentes, temos o :

Teorema 4.8.1 Se a serie numerica∞∑n=1

an e absolutamente convergente, ent~ao a serie

numerica∞∑n=1

an e convergente, isto e, se a serie numerica

∞∑n=1

|an|

e convergente, ent~ao a serie numerica

∞∑n=1

an


Demonstracao:

Observemos que, para cada n ∈ N, segue que

− |an| ≤ an ≤ |an| ,

logo 0 ≤ an + |an| ≤ 2 |an| . (4.269)


|an| e convergente, segue que a serie numerica∞∑n=1

(2 |an|)



Logo, do criterio da comparac~ao para series numericas (ou seja, o Teorema (4.5.2)), segue

que serie numerica∞∑n=1

(an + |an|) sera convergente.

Mas

an = (an + |an|) − |an| , para cada n ∈ N ,

Como as series numericas∞∑n=1

(an+ |an|) e∞∑n=1

|an| s~ao convergentes, das propriedade basica

de subtrac~ao de series numericas (veja a Proposic~ao (4.3.1)), segue que a serie numerica∞∑n=1

an

tambem sera (pois e diferenca de duas convergentes), completando a demonstrac~ao.

Observacao 4.8.1 A recproca do Teorema (4.8.1) acima e falsa, isto e, existem series

numericas que s~ao convergentes mas nao s~ao absolutamente convergentes.

Para ver isto temos a serie numerica

∞∑n=1

(−1)n+11

n

e convergente (pois e a serie harmonica alternada, veja o Exemplo (4.6.2)) mas n~ao e

absolutamente convergente.

De fato, pois ∞∑n=1

|(−1)n+11

n| =

∞∑n=1

1

n

que e a serie harmonica que sabemos ser divergente (veja o Exemplo (4.34)).


Exemplo 4.8.3 Estudar a convergencia da serie numerica

∞∑n=1

(−1)n+11

n2. (4.270)

Resolucao:

Notemos que, ∞∑n=1

∣∣∣∣(−1)n+1 1n2∣∣∣∣ = ∞∑

n=1

1

n2

e esta serie numerica a direita e convergente (e uma p-serie, com p > 1, veja o Exemplo

(4.5.12), ou ainda, (4.203)).

Ent~ao a serie numerica (4.270) e absolutamente convergente.

Observemos que, do Teorema (4.8.1), segue que a serie numerica∞∑n=1

(−1)n+11

n2tambem

sera convergente.

4.9. SERIES CONDICIONALMENTE CONVERGENTES 159

Exemplo 4.8.4 Estudar a convergencia da serie numerica∞∑n=1

sen(n)

n!(4.271)

Resolucao:


an.=

sen(n)

n!. (4.272)

Notemos que, para cada n ∈ N, teremos:

0 ≤ |an|

(4.272)=

∣∣∣∣ sen(n)n!

∣∣∣∣≤ 1

n!. (4.273)

Mas as serie numerica∞∑n=1

1

n!e convergente (veja o Exemplo (4.5.5), ou ainda, (4.147),

com x = 1).

Logo do criterio da comparac~ao para series numericas (ou seja, do Teorema (4.5.2)) segue

que a serie numerica∞∑n=1

∣∣∣∣ sen(n)n!

∣∣∣∣ sera convergente, ou seja, a serie numerica∞∑n=1

sen(n)

n!e

absolutamente convergente.

Alem disso, do Teorema (4.8.1), segue que a serie numerica∞∑n=1

sen(n)

n!e convergente.

4.9 Series Condicionalmente Convergentes


an e condicionalmente convergente

se a serie numerica∞∑n=1

an for convergente, mas n~ao for absolutamente convergente, isto

e, se a serie numerica∞∑n=1

an e uma serie numerica convergente, mas a serie numerica

∞∑n=1

|an| e uma serie numerica divergente.

Para ilustrar temos o:

Exemplo 4.9.1 A series numerica ∞∑n=1

(−1)n+11

n, (4.274)

e condicionalmente convergente ?


Resolucao:

A serie numerica (4.274) e a serie harmonica alternada que e uma serie numerica condi-

cionalmente convergente, pois ela converge, mas n~ao converge absolutamente, isto e, a serie

numerica ∞∑n=1

(−1)n+11

n

e convergente (veja o Exemplo (4.6.2)), mas a serie numerica

∞∑n=1

∣∣∣∣(−1)n+1 1n∣∣∣∣ = ∞∑

n=1

1

n

e divergente (veja o Exemplo (4.34)).

Exemplo 4.9.2 A series numerica

∞∑n=1

(−1)n+11

n2, (4.275)

e condicionalmente convergente ?

Resolucao:

A serie numerica (4.275) nao e uma serie numerica condicionalmente convergente, pois

ela converge absolutamente (veja o Exemplo (4.8.3)).

Para nalizar exibiremos um resultado sobre reagrupamento de series numericas condici-

onalmente convergentes, a saber:

Teorema 4.9.1 Suponhamos que serie numerica∞∑n=1

an e condicionalmente convergente.

Ent~ao dado

−∞ < L <∞ , (4.276)

podemos encontrar um reagrupamento da serie numerica∞∑n=1

an, que e convergente e

cuja soma e igual a L .

Alem disso, se

L = ∞ ou L = −∞ , respectivamente

podemos encontrar reagrupamento da serie numerica∞∑n=1

an que diverge para L = +∞,

ou L = −∞, respectivamente.

Demonstracao:

Daremos, a seguir, uma ideia da demonstrac~ao para o caso em que

0 < L <∞ .

4.10. EXERCICIOS 161

Os outros casos s~ao semelhantes e suas demonstrac~oes ser~ao deixadas como exerccio para

o leitor.

Como ela e condicionalmente convergente temos que∞∑n=1

an converge e∞∑n=1

|an| diverge.

Considere

A.= n ∈ N ; an ≥ 0 = n1 , n2 n3 , · · ·

e

B.= n ∈ N ; an < 0 = m1 ,m2 ,m3 , · · · .

Armamos que A e B s~ao innitos.

De fato, se um dos dois fosse nito, por exemplo o conjunto B fosse nito, teramos

somente um numero nito de termos negativos (ou, positivos, se o conjunto A fosse nito)

fosse nito).

Como a serie e convergente ela tambem seria absolutamente convergente o que seria um

absurdo, pois ela e condicionalmente convergente.

Logo podemos produzir um reagrupamento,∞∑n=1

bm, da serie numerica∞∑n=1

an da seguinte

forma:

b1.= an1

,

b2 =

an2

, se b1 < L

am1, se b1 ≥ L

,

b3 =

an3

, se b1 + b2 < L

am2, se b1 + b2 ≥ L

,

b4 =

an4

, se b1 + b2 + b3 < L

am3, se b1 + b2 + b3 ≥ L

,

e assim por diante.

Como

limn→∞an = 0 ,

pois a serie numerica∞∑n=1

an e convergente (criterio da divergencia, ou seja, o Teorema (4.4.2))

podemos mostrar que que a sequencia numerica das somas parciais da serie numerica∞∑n=1

bm

sera convergente para L.

4.10 Exercıcios

Capıtulo 5

Sequencia de Funcoes

aqui

O objetivo deste captulo e introduzir alguns conceitos de convergencia de sequencias de

func~oes, suas propriedades e aplicac~oes.

5.1 Definicoes

Observacao 5.1.1 Seja A um subconjunto de R, n~ao vazio.

Denotaremos por F(A ; R) o conjunto formado por todas as func~oes f : A→ R, istoe,

F(A ; R) .= f ; f : A→ R e uma func~ao . (5.1)

Comecemos pela

Definicao 5.1.1 A aplicac~ao que, a cada natural n, zermos corresponder uma func~ao

fn : A→ R, isto e,N → F(A ; R)n 7→ fn

,

sera dita sequencia de funcoes denidas em A.

Para cada n ∈ N, a func~ao fn : A→ R sera dita termo da sequencia de funcoes ou

ainda n-esimo termos da sequencia de funcoes .

Notacao 5.1.1 A sequencia de func~oes acima sera indicada por:

(fn)n∈N , fnn∈N (fn) ou fn . (5.2)

Consideremos os

Exemplo 5.1.1 Seja A.= [0,∞) e consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N, onde,

apra cada n ∈ N, temos que a func~ao fn : A→ R e dada por

fn(x).=x

n, para cada x ∈ R . (5.3)

Os gracos dos quatro primeiros termos da sequenicia de func~oes (fn)n∈N, est~ao

representados, geometricamente, na gura abaixo.

163

164 CAPITULO 5. SEQUENCIA DE FUNC ~OES

xo

y

x

f4(x) = x4

f3(x) = x3

f2(x) = x2

f1(x) = x

-

6

Exemplo 5.1.2 Seja A.= R e consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N, onde, para

cada n ∈ N, a func~ao fn : R → R e dada por

fn(x).= xn , para cada x ∈ R . (5.4)

Os gracos dos tres primeiros termos da sequenicia de func~oes (fn)n∈N, est~ao repre-

sentados, geometricamente, na gura abaixo.

1

1

y

x

f3(x) = x3

f2(x) = x2

f1(x) = x

-

6

5.2 Convergencia Pontual de Sequencias de Funcoes

Observacao 5.2.1 Dada uma sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N,temos que a func~ao fn : A → R, xando-se xo ∈ A obtemos uma sequencia numerica

(fn(xo))n∈N que pode ou n~ao ser uma sequencia numerica convergente.

Baseado nisto temos a seguinte denic~ao:

5.2. CONVERGENCIA PONTUAL DE SEQUENCIAS DE FUNC ~OES 165

Definicao 5.2.1 Dada a sequencia de func~oes (fn)n∈N como acima e xo ∈ A.Diremos que a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge em xo, se a sequencia numerica

(fn(xo))n∈N for convergente, isto e, se existe

limn→∞ fn(xo) .

Se para cada x ∈ A, a sequencia numerica (fn(x))n∈N for convergente para f(x),

onde f : A → R e uma func~ao, ent~ao diremos que a sequencia de func~oes (fn)n∈Nconverge pontualmente (ou ponto a ponto) para a func~ao f, no conjunto A , isto e,

se

f(x) = limn→∞ fn(x) , para cada x ∈ A . (5.5)


fnp→ f , em A ou lim

n→∞ fn = f , pontualmente no conjunto A. (5.6)

Observacao 5.2.2

1. Observemos que a func~ao f : A → R esta univocamente determinada, isto e, e de

fato uma func~ao.

2. Da Denic~ao de convergencia de sequencias numerica (isto e, da Denic~ao (3.3.1))

temos:

fnp→ f , em A

se, e somente se, dado ε > 0, para cada x ∈ A, existe No ∈ N, como

No = No(ε, x) , (5.7)

de modo que para

n ≥ No , teremos |fn(x) − f(x)| < ε . (5.8)

3. Este tipo de convergencia de sequencia de func~oes e chamada de convergencia pon-

tual ou convergencia ponto a ponto.

Para ilustrar temos os:

Exemplo 5.2.1 Estudar a convergencia pontual das sequintes sequencias de func~oes

(fn)n∈N:

1. A.= R , para cada n ∈ N, temos fn : R → R , dada por

fn(x).=x

n, para cada x ∈ R. (5.9)

2. A.= [0 , 1] , para cada n ∈ N, temos fn : [0 , 1] → R , dada por

fn(x).= xn , para cada x ∈ [0 , 1] . (5.10)


fn(x).=x2 + nx

n=x2

n+ x , para cada x ∈ R . (5.11)


fn(x).=

sen(nx+ n)



Resolucao:

1.

Notemos que, para cada xo ∈ R xado, temos que

limn→∞ fn(xo)

(5.9)= lim

n→∞xo

n= 0 .

Logo, denido-se a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= 0 , para cada x ∈ R , (5.13)

segue que

fnp→ f , em A = R (5.14)

isto e, a sequencia (fn)n∈N converge pontualmente para f, no conjunto A.

A gura abaixo ilustra a situac~ao descrita acima:

f(x) = 0

f1(x) = x

-

6

f2(x) = x2

f3(x) = x3

f4(x) = x4

x

y

xo

2.


(i). Se xo = 1, temos que:

limn→∞ fn(1)

(5.10)= lim

n→∞ 1n = 1 .

(ii). Se xo ∈ [0 , 1), temos que

limn→∞ fn(xo)

(5.10)= lim

n→∞ xonxo∈[0 ,1)= 0 .

Logo, denido-se a func~ao f : [0 , 1] → R, dada por

f(x).=

0 , para x ∈ [0 , 1)

1 , para x = 1, (5.15)

5.2. CONVERGENCIA PONTUAL DE SEQUENCIAS DE FUNC ~OES 167

segue, dos itens (i). e (ii). acima, que

fnp→ f em A = [0, 1] (5.16)

isto e, a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge pontualmente para a func~ao f, no con-

junto em A.

A gura abaixo ilustra a situac~ao acima:

xo

f1(x) = x

f2(x) = x2

f3(x) = x3

y

x1

1

-

6

3.


limn→∞ fn(xo)

(5.11)= lim

n→∞xo2

n+ xo = xo .

Logo, denindo-se a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= x , para cada x ∈ R , (5.17)

segue que

fnp→ f , em A = R (5.18)

a sequencia de func~oes (fn)n∈N, converge pontualmente para a func~ao f, no conjunto em

A


xo

f2(x) = x2+2 x2

f1(x) = x2 + x

f(x) = x

y

x-

6


4.


limn→∞ fn(xo)

(5.12)= lim

n→∞sen(nxo + n)

n| sen(nxo+n)|≤1 e limn→∞ 1

n=0

= 0 .

Logo, denido-se a func~ao f : R → R dada por

f(x).= 0 , para cada x ∈ R , (5.19)

segue que

fnp→ f , em A = R (5.20)

a sequencia de func~oes (fn)n∈N, converge pontualmente para a func~ao f, no conjunto em

A.


xo x

f3(x) = 13sen(3x + 3)

f2(x) = 12sen(2x + 2)

f1(x) = sen(x + 1)

f(x) = 0 -

Observacao 5.2.3 Na Denic~ao da convergencia pontual (isto e, na Denic~ao (5.2.1)),

podemos observar que, dado ε > 0 e xo ∈ A, o numero natural No a ser encontrar

depende, em geral, de

ε e do ponto xo . (5.21)

Sera que n~ao podemos eliminar a dependencia do No em relac~ao ao ponto xo ?

A resposta em geral e nao, como mostra o Exemplo (5.3.1) abaixo.

5.3 Convergencia Uniforme de Sequencias de Funcoes

Quando pudermos encontrar um numero natural No que independente do ponto xo, na De-

nic~ao (5.2.1) teremos a:

5.3. CONVERGENCIA UNIFORME DE SEQUENCIAS DE FUNC ~OES 169

Definicao 5.3.1 Diremos que uma sequencia de func~oes (fn)n∈N, denidas em A ⊆ R(isto e, fn : A→ R) converge uniformente, no conjunto A para uma func~ao f : A→ R,se dado ε > 0, podemos encontrar

No = No(ε) ∈ N , (5.22)

de modo

se n ≥ No , teremos |fn(x) − f(x)| < ε , para todo x ∈ A . (5.23)


fnu→ f , em A . (5.24)

Observacao 5.3.1

1. Notemos que escrever

|fn(x) − f(x)| < ε , para todo x ∈ A

e equivalente a escrever

−ε < fn(x) − f(x) < ε , para todo x ∈ A

ou ainda,

f(x) − ε < fn(x) < f(x) + ε , para todo x ∈ A .

Assim, a sequencia de func~oes (fn)n∈N satisfaz a condic~ao (5.23) se, e somente se,

seu graco esta contido no " tubinho", de raio ε, em torno do graco da func~ao f

A gura abaixo ilustra a situac~ao acima.

ε

ϵ

fn

f

y

x

6

?6

?

-

6

Logo, do ponto de vista acima,

fn → f , uniformemente no conjunto A


se dado ε > 0, podemos encontrar um No = No(ε) ∈ N, de modo que, para todo

n ≥ No, a representac~ao geometrica do graco das func~oes fn, estar~ao contidas

no "tubinho"de raio ε em torno da representac~ao geometrica do graco da func~ao

f, denido acima.

2. Segue imediatamente da Denic~oes (5.2.1) e (5.3.1), que convergencia uniforme

de uma sequencia de func~oes em um conjunto, implicara na convergencia pon-

tual dessa sequencia de func~oes no mesmo conjunto, isto e, se uma sequencia

de func~oes (fn)n∈N converge uniformemente em A, para uma func~ao f, ent~ao a

sequencia de func~oes (fn)n∈N converge pontualmente para a func~oes fm no con-

junto A, ou ainda,

se fnu→ f em A , ent~ao fn

p→ f em A . (5.25)

A recproca e falsa, isto e, existem sequencias de func~oes (fn)n∈N que conver-

gem pontualmente para uma func~ao f, em um conjunto A, mas a convergencia

sequencias de func~oes (fn)n∈N nao sera uniforme, como mostram os Exemplos

(5.3.1), (5.3.3) e (5.3.1), que exibiremos a seguir.

Exemplo 5.3.1 Mostre que a sequencia de func~oes (fn)n∈N, onde para cada n ∈ N, temos

qua a func~ao fn : R → R e dada por

fn(x).=x

n, para cada x ∈ R , (5.26)

converge pontualmente para a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= 0 , para cada x ∈ R , (5.27)

mas NAO converge uniformemente em R.

Resolucao:

Notemos que, do Exemplo (5.2.1) item 1. (veja (5.9)) temos que

fnp→ f, , em R .

isto e, a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge pontualmente para a func~ao f em R.A convergencia da sequencia de func~oes (fn)n∈N NAO e uniforme em R.De fato, suponhamos, por absurdo, que a

fnu→ f , em R .

Ent~ao, dado

ε = 1 ,

deveria existir um No = No(ε) ∈ N, de que se

n ≥ No , deveramos ter

∣∣∣∣∣∣∣∣fn(x)︸︷︷︸(5.27)= x

n

−0

∣∣∣∣∣∣∣∣ < 1 , para todo x ∈ R .


Em particular, deveramos ter∣∣∣∣ xNo

∣∣∣∣ < 1 , para todo x ∈ R ,

ou, equivalentemente

|x| < No, para todo x ∈ R ,

o que e um absurdo, pois escolhendo x ∈ R, tal que

x ≥ No ,

a desigualdade acima sera falsa !

Portanto nao existe No ∈ N, de modo que

|fn(x) − f(x)| < ε = 1, para todo x ∈ R .

Logo a sequencia (fn)n∈N converge pontualmente para a func~ao f, em R, mas nao converge

uniforme para a func~ao f, em RA gura abaixo ilustra a situac~ao acima.

x

ε

εxoε

6?

?6

fn(x) = xn

f2(x) = x2

f1(x) = xy

-

6

Observacao 5.3.2 Observe que se no Exemplo (5.3.1) acima, considerarmos

A.= [a , b] ,

ent~ao a convergencia da sequencia (fn)n∈N sera uniforme em A = [a , b], como mostra

o exemplo a seguir, no caso de

a.= 0 e b

.= 10 .

Exemplo 5.3.2 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N, onde A.= [0 , 10] e para

cada n ∈ N, a func~ao fn : A→ R e dada por

fn(x).=x

n, para cada x ∈ [0 , 10] . (5.28)


Mostre que a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge uniformemente para a func~ao

f : [0 , 10] → R, dada por

f(x).= 0 , para cada x ∈ [0 , 10] . (5.29)

Resolucao:

Observe que, como vimos no Exemplo (5.3.1)

fnp→ f , em A = [0 , 10] .

Analisemos se a convergencia e uniforme.

Notemos que, dado ε > 0, se consideraros No ∈ N de modo que

No >10

ε, (5.30)

ent~ao, para

n ≥ No (5.31)

teremos:

|fn(x) − f(x)|(5.28) e (5.29)

=∣∣∣ xn− 0∣∣∣

≤ 10

n(5.31)

≤ 10

No

(5.30)

≤ ε ,

para todo x ∈ A, mostrando que

fnu→ f , em A = [0 , 10]

isto e, a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge uniformemente para a func~ao f, no conjunto

A.

A gura abaixo ilustra a situacao acima.

x

ε

ε10

6?

?6

fn(x) = xn3

f3(x) = x3

f2(x) = x2

f1(x) = x

y

-

6


Observacao 5.3.3 No Exemplo (5.3.2) acima, poderamos desenvolver o mesmo ra-

ciocnio, considerando o intervalo A = [a , b].

Deixaremos a resoluc~oes deste caso como exerccio para o leitor.

Exemplo 5.3.3 Consideremos a sequencia (fn)n∈N, onde para cada n ∈ N, a func~ao

fn : A→ R e dada por

fn(x).= xn , para cada x ∈ R (5.32)

Mostre que a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge pontualmente para a func~ao f,

no conjunto A.= [0 , 1], onde a func~ao f : [0 , 1] → R, dada por

f(x).=

0 , para x ∈ [0 , 1)

1 , para x = 1. (5.33)

mas a convergencia da sequencia de func~oes (fn)n∈N NAO converge uniformente para

a func~ao f, no conjunto A.= [0 , 1].

Resolucao:

Como vimos no Exemplo (5.2.1) item 2. (veja (5.10)), que

fnp→ f , em A = [0 , 1] ,

porem a convergencia NAO sera uniforme em [0 , 1].

De fato, suponhamos, por absurdo, que a convergencia seja uniforme em A = [0 , 1], isto

e,

fnu→ f , em A = [0 , 1] .

Consideremos

ε =1

3. (5.34)

Ent~ao, deveria existir No ∈ N, de modo que se

n ≥ No , deveramos ter |fn(x) − f(x)| < ε =1

3, para todo x ∈ A = [0 , 1] . (5.35)

Observemos que para cada n ∈ N, podemos encontrar xo ∈ [0 , 1), de modo que

xo ∈ ( ε1n︸︷︷︸

(5.34)= 1

31n

, 1) , (5.36)

pois1

31n

< 1 .

Assim, para

xo ∈(1

31n

, 1

), (5.37)


teremos

|fn(xo) − f(xo)|(5.32)= |xo

n − 0|

xo>0= xon

(5.37)>

(1

3n

)n=1

3

(5.34)= ε .

Portanto, a convergencia da sequencia de func~oes (fn)n∈N nao podera ser uniforme, no

conjunto em A = [0 , 1].

A gura abaixo ilustra a situac~ao descrita acima.

fn(x) = xn

xoε1/n

?

6ε

?6

ε-

61

1 x

y

Mais adiante veremos novamente, usando outro procedimento, que esta convergencia da

sequencia de func~oes (fn)n∈N, do Exemplo (5.3.3) acima, n~ao podera ser uniforme em [0 , 1].

Deixaremos como exerccio para o leitor o:

Exercıcio 5.3.1 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N e, para cada n ∈ N, afunc~ao fn : R → R e dada por

fn(x).=x2 + nx


e f : R → R denida por

f(x).= x, x ∈ R.

No Exemplo (5.2.1) item 3. (veja (5.11)) vimos que

fnp→ f , em R ,

onde func~ao f : R → R e dada por

f(x).= x , para cada x ∈ R . (5.39)

Mostre que a convergencia sequencia de func~oes (fn)n∈N nao e uniformemente em

R.

Resolucao:

A demonstrac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor.



xo

f1(x) = x2 + xfn(x) = x2+nx

n

f(x) = x

y

x

?

?

66

ε

ε

-

6

Temos tambem o:

Exercıcio 5.3.2 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N,a func~ao fn : R → R e dada por

fn(x).=1

nsen(nx+ n) , para cada x ∈ R . (5.40)

Mostre que

fnu→ f , em A

.= R , (5.41)

isto e, a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge uniformemente para a func~ao f, no

conjunto AR , onde a func~ao f : R → R e denida por

f(x).= 0 , para cada x ∈ R . (5.42)

Resolucao:

Deixaremos como exerccio para o leitor a vericac~ao do fato acima.

Sugestao: para cada n ∈ N, temos:∣∣∣∣ 1n sen(nx+ n)

∣∣∣∣ ≤ 1

n, para cada x ∈ R .


x

fn(x) =sen(nx+n)

n

f2(x) =sen(2x+2)

2

f1(x) = sen(x + 1)

6

?6

?

ε

ε

-f(x) = 0


Temos tambem o:

Exercıcio 5.3.3 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N,a func~ao fn : [0 ,∞) → R e dada pela representac~ao geometrica do seu graco, como na

gura abaixo e a func~ao f : [0 ,∞) → R e denida por

f(x).=

0 , para x ∈ (0 ,∞)

1 , para x = 0, para cada x ∈ [0 ,∞) . (5.43)

Mostre que a

fnp→ f , em A

.= [0 ,∞) , (5.44)

mas a convergencia nao e uniforme em A = [0 ,∞), ou seja, a sequencia de func~oes

(fn)n∈N converge pontualmente para a func~ao f, em A = [0 ,∞), mas nao e uniforme-

mente em em A = [0 ,∞).

Resolucao:

Deixaremos a vericac~ao deste fato a cargo do leitor.


1

xo

f

x

y

ε

ε

?

6?

6

f3

f2

f1

6

-11

213

Podemos tratar do:

Exercıcio 5.3.4 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N,a func~ao fn : R → R e dada por:

fn(x).=

1−1

n|x| , para x ∈ (−n ,n)

0 , para x ∈ (−∞ , n] ∪ [n ,∞), para cada x ∈ R (5.45)

e a func~ao f : R → R dada por

f(x) = 1 , para cada x ∈ R . (5.46)


Mostre que a

fnp→ f , em A

.= R , (5.47)

mas a convergencia nao e uniforme em A = R, ou seja, a sequencia de func~oes (fn)n∈Nconverge pontualmente para a func~ao f, em A = R, mas nao e uniformemente em em

A = R.

Resolucao:

Deixaremos como exerccio para o leitor a vercac~ao deste fato.


−n −2 −1

1

n21

fnf2f1

y

x

ε

6?6?

ε

xo

f

6

-

Para nalizar temos o:

Exemplo 5.3.4 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N, afunc~ao fn : (0 , 1] → R e dada por

fn(x).=

1

nx, para cada x ∈ (0 , 1] (5.48)

e a func~ao f : (0 , 1] → R e denida por

f(x).= 0 , para cada x ∈ A . (5.49)

Mostre que a

fnp→ f , em A

.= [0 , 1) , (5.50)

mas a convergencia nao e uniforme em A = [0 , 1), ou seja, a sequencia de func~oes

(fn)n∈N converge pontualmente para a func~ao f, em A = [0 , 1), mas nao e uniformemente

em em A = [0 , 1).

Resolucao:

Deixaremos como exerccio para o leitor a vericac~ao da convergencia pontual, ou seja,

(5.50).

Suponhamos, por absurdo, que a convergencia da sequencia de func~oes (fn)n∈N fosse uni-

forme em A = [0 , 1).

Deste dado, dado

ε.=1

2> 0 , (5.51)


devereiamos poder encontrar No ∈ N, de modo que

se n ≥ No ,

deveramos ter: |fn(x) − f(x)| < ε(5.51)=

1

2, para todo x ∈ A = (0 , 1] ,

isto e (de (5.48) e (5.49)),

∣∣∣∣ 1nx − 0

∣∣∣∣ < 1

2, para todo x ∈ A = (0 , 1] ,

em particular, vale para n = No:

∣∣∣∣ 1

No x

∣∣∣∣ < 1

2, para todo x ∈ A = (0 , 1] ,

como x > 0 e No ∈ N, e o mesmo que: 0 <1

x<No

2, para todo x ∈ A = (0 , 1] , (5.52)

o que e um absurdo, pois

limx→0+

1

x= ∞ .

Logo n~ao existe tal No ∈ N, isto e, a convergencia a convergencia da sequencia de func~oes(fn)n∈N n~ao pode ser uniforme em A = (0 , 1].


1

f

xo

6?6

?ε

ε

x

fn

f2

f1

y

-

6

5.4 Sequencias de Funcoes de Cauchy

Em analogia com sequencias numericas temos a noc~ao de sequencias de Cauchy para sequencias

de func~oes, a saber:

Definicao 5.4.1 Diremos que uma sequencias de func~oes (fn)n∈N e uma sequencia de

Cauhy em A ⊆ R, se dado ε > 0, podemos encontrar

No = No(ε) ∈ N , (5.53)

de modo que

se n ,m ≥ No , teremos |fn(x) − fm(x)| < ε , para todo x ∈ A . (5.54)

5.4. SEQUENCIAS DE FUNC ~OES DE CAUCHY 179

Temos o:

Exemplo 5.4.1 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N, afunc~ao fn : R → R e dada por

fn(x) =sen(nx)


Mostre que a sequencia de func~oes (fn)n∈N e uma seuencia de func~oes de Cauchy

em R.

Resolucao:

Notemos que, dado ε > 0, se consderarmos

No >ε

2(5.56)

para

n ,m ≥ No , (5.57)

segue que

|fn(x) − fm(x)|(5.55)=

∣∣∣∣ sen(nx)n−

sen(mx)

m

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣ sen(nx)n

∣∣∣∣︸︷︷︸=

| sen(nx)|n

| sen(nx)|≤1

≤ 1n

+

∣∣∣∣ sen(mx)m

∣∣∣∣︸︷︷︸=

| sen(mx)|m

| sen(mx)|≤1

≤ 1m

≤ 1

n+1

m(5.57)

≤ 1

No

+1

No

(5.56)<

ε

2+ε

2= ε ,

mostrando, pela Denic~ao (5.4.1), que a sequencia de func~oes (fn)n∈N e uma seuencia de

func~oes de Cauchy em R.

Um resultado importante que relaciona noc~ao de convergencia uniforme em um conjunto

de uma sequencia de func~oes com a noc~ao de sequencia de func~oes ser de Caunhy no mesmo

conjunto, e dado pelo seguinte:

Teorema 5.4.1 (Criterio de Cauchy para a convergencia uniforme de uma sequencia

de func~oes) Seja (fn)n∈N uma sequencia de func~oes onde, para cada n ∈ N, temos que

fn : A ⊆ R → R.A sequencia de func~oes (fn)n∈N converge uniformemente no conjunto A se, e somente

se, a sequencia de func~oes (fn)n∈N for uma sequencia de Cauchy no conjunto A.


Demonstracao:

Suponhamos que

fnu→ f , em A .

Ent~ao, dado ε > 0, podemos encontrar No = No(ε) ∈ N, de modo

se n ≥ No , teremos |fn(x) − f(x)| <ε

2para todo x ∈ A . (5.58)

Logo para

n ,m ≥ No , (5.59)

segue que

|fn(x) − fm(x)| = |[fn(x) − f(x)] + [f(x) − fm(x)]|


≤ |fn(x) − f(x)|+ |f(x) − fm(x)|

(5.59) e (5.58)<

ε

2+ε

2= ε ,

(5.60)

para todo x ∈ A, mostrando que a sequencia de func~oes (fn)n∈N e uma sequencia de Cauchy

no conjunto A.

Por outro lado, se sequencia de func~oes (fn)n∈N e uma sequencia de Cauchy no conjunto

A, ent~ao para cada x ∈ A, a sequencia numerica (fn(x))n∈N sera uma sequencia numerica de

Cauchy em R.Logo, do Teroema (3.7.2), a sequencia numnerica (fn(x))n∈N sera convergente em R, isto

e, para cada x ∈ A, fn(x) → f(x), ou seja,

fnp→ f , em A . (5.61)

Precisamos mostrar que a convergencia acima (que e pontual) e uniforme no conjunto A.

Como a sequencia de func~oes (fn(x))n∈N e uma sequencia de Cauchy no conjunto A, dado

ε > 0, podemos encontra No = No(ε) ∈ N, de modo que

se n ,m ≥ No , teremos |fn(x) − fm(x)| < ε para todo x ∈ A . (5.62)

Passando-se o limite em (5.62), quando m→ ∞, obteremos

|fn(x) − f(x)| < ε para todo x ∈ A,

ou seja,

fnu→ f , em A ,



5.5. PROPRIEDADES DA CONVERGENCIA UNIFORME 181

Exemplo 5.4.2 Mostre que a sequencia de func~oes (fn)n∈N do Exemplo (5.4.1), converge

uniformemente para a func~ao f, onde a func~ao f : R → R e dada por

f(x) = 0 , para cada x ∈ R . (5.63)

Resolucao:

Notemos que, para cada x ∈ R temos que

limn→∞ fn(x)

(5.55)= lim

n→∞sen(nx)

n|sen(nx)|≤1 e limn→∞ 1

n=0

= 0

ou seja, a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge pontualmente para f em R.Como vimos no Exemplo (5.4.1), a sequencia de func~oes (fn)n∈N e de Cauchy em R.Logo, do Teorema (5.4.1) segue que (fn)n∈N converge uniformemente para f em R.

5.5 Propriedades da Convergencia Uniforme de Sequencias

de Funcoes

A seguir daremos algumas aplicac~oes importantes da convergencia uniforme de sequencias de

func~oes.

Comecaremos observando que, no Exemplo (5.4.2) acima (e o Exemplo (5.4.1)) , temos

que

fnu→ f , em A ,

as func~oes fn s~ao contnuas em R (veja (5.55)) e a func~ao f, tambem e contnua em R (veja

(5.63)).

Isto ocorre em geral, como arma o resultado a seguir:

Teorema 5.5.1 Suponhamos que (fn)n∈N seja uma sequencia de func~oes onde, para cada

n ∈ N, temos que a func~ao fn : A ⊆ R → R e uma func~ao contnua no conjunto A e que

a sequencia de func~oes (fn)n∈N converge uniformemente para f, no conjunto A.

Ent~ao a func~ao f sera contnua no conjunto A.

Isto e, para cada xo ∈ A, temos

limx→xo f(x) = f(xo) (5.64)

ou ainda:

limx→xo

[limn→∞ fn(x)

]= lim

n→∞[limx→xo fn(x)

], para cada xo ∈ A . (5.65)

Demonstracao:

Precisamos mostrar que a func~ao f e contnua para cada xo ∈ A.Faremos a demonstrac~ao quando

xo ∈A .


Para o caso do ponto xo pertencer a fronteira do conjunto A, fazemos algumas adaptac~oes

do processo abaixo para mostrar a conclus~ao.

Deixaremos os detalhes deste caso como exerccio para o leitor.

Dado ε > 0, do fato que

fnu→ f , em A ,

segue que podemos encontrar

No = No(ε) ∈ N,

de modo que

se n ≥ No , (5.66)

teremos |fn(y) − f(y)| <ε

3para todo y ∈ A ,

em particular, |fNo(y) − f(y)| <

ε

3para todo y ∈ A . (5.67)

Como, por hipotese, a func~ao fNoe contnua em xo, podemos encontrar δ > 0, tal que

se |x− xo| < δ , segue que |fNo(x) − fNo

(xo)| <ε

3. (5.68)

Assim, se

|x− xo| < δ , (5.69)

teremos:

|f(x) − f(xo)| = |f(x) − fNo(x) + fNo

(x) − fNo(xo) + fNo

(xo) − f(xo)|

des. triagular

≤ |f(x) − fNo(x)|︸︷︷︸

(5.66) e (5.67)< ε

3

+ |fNo(x) − fNo

(xo)|︸︷︷︸(5.69) e (5.68)

< ε3

+ |fNo(xo) − f(xo)|︸︷︷︸

(5.66) e (5.67)< ε

3

<ε

3+ε

3+ε

3= ε.

Portanto,

limx→xo f(x) = f(xo),

isto e, a func~ao f e contnua em xo ∈ A.A identidade (5.64) pode ser obtida da seguinte maneira: se xo ∈ A, teremos:

limx→xo

[limn→∞ fn(x)

]fn

u→f= lim

x→xo f(x)

f e contnua em xo= f(xo)

fnu→f= lim

n→∞ fn(xo)fn e contnua em xo

= limn→∞

[limx→xo fn(x)

],


obtendo a identidade (5.64) e completando a demonstrac~ao do resultado.

Uma outra aplicac~ao importante da convergencia uniforme de sequencia de func~oes e dado

pelo:

Teorema 5.5.2 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N a

func~ao fn : [a , b] ⊆ R seja contnua em [a , b] e que que a sequencia de func~oes (fn)n∈Nconverge uniformemente para f, no conjunto [a , b].

Ent~ao ∫ba

f(x)dx = limn→∞

∫ba

fn(x)dx , (5.70)

ou seja, ∫ba

[limn→∞ fn(x)

]dx = lim

n→∞[∫ba

fn(x)dx

]. (5.71)

Demonstracao:

Como sequencia de func~oes (fn)n∈N converge uniformemente para f, no conjunto [a , b] e,

para cada n ∈ N, a func~ao fn e contnuas em [a , b] segue, do Teorema (??) acima, que a

func~ao f sera contnua em [a , b].

Logo, por um resultado do Calculo 1, segue que a func~ao f sera integravel em [a , b].

Como

fnu→ f , em [a , b] ,

dado ε > 0, podemos encontrarNo = No(ε) ∈ N, de modo que

se n ≥ No , teremos |fn(x) − f(x)| <ε

b− a, para todo x ∈ [a , b] . (5.72)

Logo, para

n ≥ No , (5.73)

teremos: ∣∣∣∣∫ba

fn(x)dx−

∫ba

f(x)dx

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∫ba

(fn(x) − f(x))dx

∣∣∣∣propriedades da integral de Riemann

≤∫ba

|fn(x) − f(x)|dx

(5.73) e (5.72)

≤∫ba

ε

b− adx

=ε

b− a(b− a) = ε ,

isto e, a sequencia numerica

(∫ba

fn(x)dx

)n∈N

converge para

∫ba

f(x)dx, ou seja,

limn→∞

[∫ba

fn(x)dx

]=

∫ba

f(x)dx ,

isto e, vale (5.70).


A identidade (5.71) pode ser obtida da seguinte maneira:∫ba

[limn→∞ fn(x)

]dx

fnu→f=

∫ba

f(x)dx

(5.70)= lim

n→∞[∫ba

fn(x)dx

],

obtendo a identidade (5.71) e completando a demonstrac~ao do resultado.

Observacao 5.5.1

1. O Teorema (5.5.2) acima nos da condicoes suficientes, para podermos trocar um

limite com uma integral denida (que e o que diz a identidade (5.71)).

2. Podemos provar um resultado analogo ao acima substituindo-se a hipotese de

continuidade dos termos da seuencia de func~oes, por integrabilidade das mesmas.

3. A conclus~ao do resultado pode bf n~ao ser verdadeira se retirarmos a hipotese da

convergencia ser uniforme da sequencia de func~oes, como mostra o exemplo a

seguir:

Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N, onde para cada n ∈ N, a func~ao

fn : [0 , 1] → R e dada por sua representac~ao geometrica, como na gura abaixo.

-

6

f1

1

1

1

2

-

62

112

f2

-

63

1

f3

13

Observemos que

fnp→ f , em [0 , 1] ,

onde a func~ao f : [0 , 1] → R e dada por

f(x).= 0 , para cada x ∈ [0, 1] , (5.74)

mas nao converge uniformemente para a func~ao f, no conjunto [0 , 1].

De fato, pois ∫ 10

f(x)dx = 0 , (5.75)

mas, para cada n ∈ N, temos que∫ 10

fn(x)dx =1

2, (5.76)


pois a area da regi~ao delimitada pelo graco das func~oes, n~ao-negativa, fn sera

igual a1

2(veja as guras acima).

Portanto

limn→∞

∫ 10

fn(x)dx(5.76)=

1

2= 0 (5.75)

=

∫ 10

f(x)dx ,

mostrando, pelo Teorema (5.5.2), que a sequencia de func~oes (fn)N∈N n~ao podera

convergir uniformente para a func~ao f, no conjunto [0 , 1].

Observacao 5.5.2

Tendo em vista os Teoremas (5.5.1) e (5.5.2) exibidos acima, podemos pensar se algo

semelhante podera ocorrer para a diferenciac~ao de sequencias de func~oes.

Isto e: se uma uma sequencia de func~oes (fn)n∈N converge uniformemente para

f : (a , b) → R, em [a, b] onde, para cada n ∈ N, a func~ao fn : (a , b) → R e diferenciavel

em xo ∈ (a , b) implcara que a func~ao f e diferenciavel em xo e valera a identidade

f ′ = limn→∞ fn′ ?

Infelizmente isto nao e verdade em geral, como mostram os exemplos abaixo.

Exemplo 5.5.1 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N, cujas representac~oes geometricas

dos gracos dos seus termos s~ao dadas pelos seus gracos abaixo, denidas em R e a

func~oa f : R → R dada por

f(x).= |x| , para cada x ∈ R .

y

x

f

ε

ε 6

?6

?

fn

f3

f2

f1

-

6

Mostre que

fnu→ f , em R ,

par cada n ∈ N, a func~ao fn e diferenciaveis em x = 0, mas a func~ao f nao e dife-

renciavel em x = 0.


Resolucao:

Deixaremos como exerccio para o leitor vericar que

fnu→ f , em R .

Notemos que, para cada n ∈ N, temos que a func~ao fn e diferenciavel em x = 0 (a

representac~ao geometrica do graco de fn n~ao tem "bicos"), mas a func~ao f nao e diferenciavel

em x = 0 (visto no Calculo 1).

Exemplo 5.5.2 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N, afunc~ao fn : R → R e dada por

fn(x).=1

nsen(n2 x

), para cada x ∈ R (5.77)

e a funcao f : R → R denida por

f(x).= 0 , para cada x ∈ R . (5.78)

Mostre que

fnu→ f , em R ,

par cada n ∈ N, a func~ao fn e diferenciaveis em R, a func~ao f e diferenciavel em Rmas nao vale a identidade

f ′(x) = limn→∞ fn′(x) , para cada x ∈ R .

Resolucao:

Deixaremos como exerccio para o leitor vericar que

fnu→ f , em R .

Notemos tambem que a func~oa f e diferenciavel em R e

f ′(x) = 0 , para cada x ∈ R . (5.79)

Por outro lado, para cada n ∈ N e x ∈ R temos

fn′(x)

(5.77)= n cos(n2 x)

e assim, o limite

limn→∞ fn′(x) = lim

n→∞n cos(n2 x)nem sempre existira, por exemplo, ele n~ao existe se x = 0 .



fn

y

ε

ε

?

6?

6

f2

f1

x-f

6

Para resolver este problema temos o:

Teorema 5.5.3 Suponhamos que (fn)n∈N seja uma sequencia de func~oes continuamente

diferenciaveis em [a , b] tal que, para algum xo ∈ [a, b], a sequencia numerica (fn(xo))n∈Nconverge.

Se a sequencia de func~oes (fn′) converge uniformemente para alguma func~ao g,

em [a, b], ent~ao a sequencia de func~oes (fn) sera uniformemente convegente para uma

func~ao f, em [a, b], onde a func~ao f : [a , , b] → R sera continuamente diferenciavel em

[a , b] e

f ′(x) = g(x) , para cada x ∈ [a , b] , (5.80)

isto e: [limn→∞ fn

]′(x) = lim

n→∞ [fn′(x)] , para cada x ∈ [a , b] . (5.81)

Demonstracao:

Como

fn′ u→ g , em [a, b]

e, para cada n ∈ N, a func~ao fn e contnua em [a , b] segue, do Teorema (5.5.1), temos que a

func~ao g sera contnua em [a , b].

Como a sequencia numerica (fn(xo)) converge para algum numero real, que denotaremos

por c ∈ R ent~ao, dado ε > 0, podemos encontrar N1 ∈ N, de modo que

se n ≥ N1 , teremos |fn(xo) − c| <ε

2. (5.82)

Denamos a func~ao f : [a, b] → R, dada por

f(x).= c+

∫ xxo

g(t)dt , para cada x ∈ [a , b]. (5.83)


Como a func~ao g e contnua em [a , b], segue (do Calculo 1) que ela sera uma func~ao

integravel em [a , b], ou ainda, para cada x ∈ [a , b], temos que existe a integral denida∫ xxo

g(t), ou seja, a func~ao f esta bem denida.

Do Teorema Fundamental do Calculo (visto no Calculo 1), segue que a func~ao f sera

continuamente diferenciavel em [a , b] e, alem disso,

f ′(x) = g(x) , para cada x ∈ [a, b], (5.84)

pois a func~ao g e contnua em [a , b].

Mostremos que

fn → f , uniformemente em [a , b] .

Para isto, notemos que , por hipotese,

fn′ → g , uniformemente em [a , b] ,

logo, dado ε > 0, podemos encontrar

N2 = N2(ε) ∈ N,

de modo que

se n ≥ N2 , segue que |fn′(x) − g(x)| <

ε

2(b− a), para todo x ∈ [a , b] . (5.85)

Logo, se

n ≥ max(N1 ,N2) , (5.86)

segue que:

|fn(x) − f(x)|(5.83)=

∣∣∣∣fn(x) − [c+ ∫ xxo

g(t)dt

]∣∣∣∣Teor. Fund. do Calculo

=

∣∣∣∣[fn(xo) + ∫ xxo

fn′(t)dt

]− c−

∫ xxo

g(t)dt

∣∣∣∣=

∣∣∣∣[fn(xo) − c] + [∫ xxo

fn′(t)dt−

∫ xxo

g(t)dt

]∣∣∣∣desigualdade triangular

≤ |fn(xo) − c|+ |

∫ xxo

f′n(t)dt−

∫ xxo

g(t)dt|

≤ |fn(xo) − c|+

∫ba

|fn′ − g(t)|dt

n≥N ,N2 logo, valera (5.82) e (5.85)<

ε

2+

ε

2 (b− a)(b− a) = ε ,

mostrando que

fn → f , uniformemente em [a , b]

completando a demonstarac~ao.


Observacao 5.5.3 Podemos provar um resultado analogo ao Teorema (5.5.3), trocando-

se a hipotese da sequencia de func~oes (fn)n∈N ser continuamente diferenciavel em [a , b],

para ser diferenciaveis em [a , b] e de modo que as derivadas sejam integraveis em [a , b].

Deixaremos a elaborac~ao desta situac~ao como exerccio para o leitor.

Para nalizar o captulo temos o:

Exemplo 5.5.3 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N, afunc~ao fn : [0 , 2 π] → R e dada por

fn(x).=

sen(nx)

n2, para cada x ∈ [0, 2π] . (5.87)

Mostre que

fn→f , uniformemente em [0 , 2 π] , (5.88)

onde a func~ao f : [0 , 2 π] → R e continuamente diferenciavel em [0 , 2 π] e

f(x) = 0 , para cada x ∈ [0 , 2 π] .

Resolucao:

Observemos que, para cada n ∈ N, a func~ao fn e continuamente diferenciavel em [0 , 2 π]

(na verdade ela pertence a C∞([0 , 2 π] ; R)).Alem disso, , para cada n ∈ N,, temos que

fn′(x)

(5.87)=

cos(nx)

n, para cada x ∈ [0, 2 π] . (5.89)

Se denirmos a func~ao g : [0 , 2 π] → R por

g(x).= 0 , para cada x ∈ [0 , 2 π] , (5.90)

utilizando o criterio de Cauchy par sequencias de func~oes (isto e, o Teorema (5.4.1) ), podemos

mostrar que

fn′ u→ g , em [0 , 2 π] .


Como

fn(0)(5.87)=

sen(n0)

n2= 0 , para cada n ∈ N ,

temos que a sequencia numerica (fn(0))n∈N sera convergente (para zero).

Logo o Teorema (5.5.3) acima, segue que

fnu→ f , em [0 , 2 π] ,

e, alem disso segue que

f ′(x) = g(x) = 0 , para cada x ∈ [0 , 2 π] ,

assim a func~ao f sera constante em [0 , 2 π].

Mas

f(0) = limn→∞ fn(0)

(5.87)= 0 ,

portanto f(x) = 0, para todo x ∈ [0 , 2 π], completando a resoluc~ao.


5.6 Exercıcios

Capıtulo 6

Series de Funcoes

6.1 Series de Funcoes

Comecaremos introduzindo a:

Definicao 6.1.1 Dada uma sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N, temos

que a func~ao fn : A ⊆ R → R, podemos construir uma outra sequencia de func~oes,

(Sn)n∈N onde, para cada n ∈ N, a func~ao Sn : A ⊆ R → R sera dada por

Sn(x).= f1(x) + · · ·+ fn(x)

=

n∑k=1

fk(x) , para cada x ∈ A . (6.1)

Tal sequencia e denominada serie de funcoes associada a sequencia (fn)n∈N e in-

dicada por∞∑n=1

fn ou, por simplicade,∑n

fn.

Observacao 6.1.1

1. Observemos que a serie de func~oes∞∑n=1

fn pode ser olhada como uma soma innita

de func~oes, isto e,

∞∑n=1

fn(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x) + · · · , para cada x ∈ A .

2. A sequencia de func~oes (Sn)n∈N (que e a serie de func~oes) tambem sera denomin-

dada de sequencia das somas parciais associada a serie∞∑n=1

fn.

Cada termo dessa sequencia de func~oes (ou da serie de func~oes) a saber, Sn, sera

dito soma parcial de ordem n da serie de funcoes∞∑n=1

fn.

Para cada n ∈ N, a func~ao fn sera dita termo da serie∞∑n=1

fn .

191

192 CAPITULO 6. SERIES DE FUNC ~OES

Consideremos os seguintes exemplos:

Exemplo 6.1.1 Seja a sequencia de func~oes (fn)n∈N, onde para cada n ∈ N a func~ao

fn : R → R e dada por

fn(x).= xn , para cada x ∈ (−1 , 1) . (6.2)

Encontre a serie de func~oes∞∑n=1

fn.

Resolucao:

Notemos que serie de func~oes, isto e, a sequencia de func~oes (Sn)n∈N, tera como termos,

as seguintes func~oes:

S1(x)(6.1)= f1(x)

(6.2)= x ,

S2(x)(6.1)= f1(x) + f2(x)

(6.2)= x+ x2 ,

S3(x)(6.1)= f1(x) + f2(x) + f3(x)

(6.2)= x+ x2 + x3 ,

...

Sn(x)(6.2)= f1(x) + f2(x) + f3(x) + · · ·+ fn(x)(6.2)= x+ x2 + x3 + · · ·+ xn ,...

para cada x ∈ (−1 , 1), ou seja,

∞∑n=1

fn =

∞∑n=1

xn

= x+ x2 + x3 + · · · , para cada x ∈ (−1 , 1) . (6.3)

Exemplo 6.1.2 Seja a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N, a func~ao


fn(x).=x



fn.

6.1. SERIES DE FUNC ~OES 193

Resolucao:

Notemos que serie de func~oes, isto e, a sequencia de func~oes (Sn)n∈N, tera como termos,

as seguintes func~oes:

S1(x)(6.1)= f1(x)

(6.4)= x ,

S2(x)(6.1)= f1(x) + f2(x)

(6.4)= x+

x

2,

S3(x)(6.1)= f1(x) + f2(x) + f3(x)

(6.4)= x+

x

2+x

3,

...,

Sn(x)(6.1)= f1(x) + f2(x) + f3(x) + · · ·+ fn(x)(6.4)= x+

x

2+x

3+ · · ·+ x

n,

...,

para cada x ∈ R, ou seja,

∞∑n=1

fn =

∞∑n=1

xn

= x+x

2+x

3+ · · ·

= x

∞∑n=1

1


Exemplo 6.1.3 Seja a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N ∪ 0, a

func~ao fn : R → R e dada por

fn(x).=xn

n!, para cada x ∈ R . (6.6)


fn.

Resolucao:


Ent~ao a serie de func~oes (Sn)n∈N tera como termos:

So(x)(6.1)= fo(x)

(6.6)= = 1 ,

S1(x)(6.1)= fo(x) + f1(x)

(6.6)= 1+ x ,

S2(x)(6.1)= fo(x) + f1(x) + f2(x)

(6.6)= 1+ x+

x2

2!,

S3(x)(6.1)= fo(x) + f1(x) + f2(x) + f3(x)

(6.6)= x+

x2

2!+x3

3!,

...,

Sn(x)(6.1)= fo(x) + f1(x) + f2(x) + f3(x) + · · ·+ fn(x)(6.6)= = 1+ x+

x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n!,

...,

para cada x ∈ R, ou seja,

∞∑n=0

fn(x) = 1+ x+x2

2!+x3

3!+ · · ·

=

∞∑n=0

xn

n!, para cada x ∈ R . (6.7)

Observacao 6.1.2 Para cada xo ∈ A a serie (Sn(xo)) sera uma serie numerica.

Logo podemos vericar se esta serie numerica e convergente ou n~ao, como veremos

na proxima sec~ao.

6.2 Convergencia Pontual de Series de Funcoes

Lembremos que podemos estudar a convergencia de uma sequencias de func~oes de, pelo

menos, dois modos diferentes, a saber

convergencia pontual e/ou convergencia uniforme.

Como uma serie de func~oes e uma sequencia de func~oes "especial" podemos estudar

sua convergencia tamem desses dois sentidos.

Mais especicamente, temos:

6.2. CONVERGENCIA PONTUAL DE SERIES DE FUNC ~OES 195

Definicao 6.2.1 Considere a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ N a

func~ao fn : A ⊆ R → R.

Diremos que a serie de func~oes∞∑n=1

fn converge pontualmente para a funcao f, em

A, se a sequencia de func~oes (Sn)n∈N converge pontualmente para f no conjunto A, isto

e, se para cada x ∈ A a serie numerica∞∑n=1

fn(x) converge para f(x), em R.

Neste caso diremos que

f(x).=

∞∑n=1

fn(x) , para cada x ∈ A (6.8)

e a soma da serie de funcoes∞∑n=1

fn e denotaremos

∞∑n=1

fn.= f , em A . (6.9)

Observacao 6.2.1 Como no caso de series numericas, o smbolo

∞∑n=1

fn ,

denotara duas coisas diferentes, a saber: a serie de func~oes (Sn)n∈N, isto e, a sequencia

das somas parciais associada a mesma e a func~ao que e a sua soma, ou seja, o limite

da sequencia das somas parciais, caso exista.

Consideremos os seguitnes exemplos:

Exemplo 6.2.1 Seja a sequencia de func~oes (fn)n∈0∪N onde, para cada n ∈ 0 ∪ N, afunc~ao fn : [0 , 1) → R e dada por

fn(x).= xn , para cada x ∈ [0 , 1) . (6.10)

Mostre que a serie de func~oes∞∑n=0

fn converge pontualmente para a func~ao f : [0 , 1) →R dada por

f(x).=

1

1− x, para cada x ∈ [0 , 1) . (6.11)

Resolucao:

Notemos que, para cada xo ∈ [0 , 1) xado, a serie numerica

∞∑n=0

xon

e uma serie geometrica de raz~ao xo ∈ [0 , 1), portanto convergente (veja o Exemplo (4.3.5)).


Alem disso, sabemos que, neste caso (veja o Exemplo (4.3.5))

∞∑n=0

xn =1

1− x, x ∈ [0, 1),

ou seja, a soma da serie sera a func~ao

f(x) =1

1− x, para cada x ∈ [0 , 1) .

Portanto ∞∑n=0

xn = f(x) , para cada x ∈ [0 , 1) ,

onde a convergencia e pontual em [0 , 1).

Observacao 6.2.2 A serie de func~oes do Exemplo (6.2.1) acima nao e pontualmente

convergente em x = 1.

De fato, pois a serie geometrica n~ao e convergente ,se a raz~ao for igual a 1 (veja o

Exemplo (4.3.5)).

Exemplo 6.2.2 Seja a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ 0 ∪ N, a

func~ao fn : R → R e dada por

fn(x).=x



fn n~ao converge pontualmente em R \ 0.

Resolucao:

Notemos que, se xo = 0, temos que a serie numerica

∞∑n=1

xo

n

n~ao sera convergente pois: ∞∑n=1

xo

n= xo

∞∑n=1

1

n

e sabemos que a serie numerica∞∑n=1

1

ne divergente (serie harmonica, veja o Exemplo (4.3.6)).

Logo a serie de func~oes∞∑n=1

x

nso converge em x = 0.

6.2. CONVERGENCIA PONTUAL DE SERIES DE FUNC ~OES 197

Exemplo 6.2.3 Consideremos a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ 0∪N, a func~ao fn : R → R e dada por

fn(x).=xn

n!, para cada x ∈ R . (6.13)


fn e convergente pontualmente em R.

Resolucao:

De fato, se xo ∈ [0 ,∞) ent~ao denindo-se

an.=xon

n!, para cada n ∈ 0 ∪ N , (6.14)

teremos que

limn→∞

an+1

an

(6.14)= lim

n→∞xon+1

(n+ 1)!xon

n!

= limn→∞

xo

n+ 1= 0 < 1.

Logo, do criterio da raz~ao, por limites, para series numericas cujos termos s~ao n~ao-

negativos (veja o Teorema (4.5.5) item i.), segue que a serie numerica

∞∑n=0

xon

n!

sera convergente, para cada xo ∈ [0 ,∞).

Se xo ∈ R, a serie numerica ∞∑n=0

xon

n!

sera absolutamente convergente.

De fato, pois ∣∣∣∣xonn!∣∣∣∣ = |xo|

n

n!, para cada n ∈ 0 ∪ N . (6.15)

Como |xo| ∈ [0 ,∞), segue, da 1.a parte, que a serie numerica

∞∑n=0

|xo|n

n!

sera convergente.

Mas se uma serie numerica e absolutamente convergente ela sera convergente (criterio da

convergencia absoluta de series numericas, veja o Teorema (4.8.1)).

Portanto a serie de func~oes ∞∑n=0

xn

n!

converge pontualmente em R.


Observacao 6.2.3 Veremos mais adiante que a soma dessa serie de func~oes sera a

func~ao ex, isto e,

ex =

∞∑n=0

xn

n!, para cada x ∈ R , (6.16)

em particular, fazendo x = 1, obteremos

e =

∞∑n=0

1

n!(6.17)

6.3 Convergencia Uniforme de Series de Funcoes

Definicao 6.3.1 Diremos que a serie de func~oes∞∑n=1

fn converge uniformemente para

a func~ao f, no conjunto A, se a sequencia de func~oes (Sn)n∈N converge uniformemente

para a func~ao f, em A.

Observacao 6.3.1 Logo, das Denic~oes (6.3.1) e (5.3.1), a serie de func~oes∞∑n=1

fn con-

verge uniformemente para func~ao a f, no conjunto A se, e somente se, dado ε > 0,


se n ≥ No , deveremos ter |Sn(x) − f(x)| < ε , para todo x ∈ A , (6.18)

onde, par cada n ∈ N, a func~ao Sn : A → R e a soma parcial de ordem n associada a

serie de func~oes∞∑n=1

fn (veja a (6.1))

Antes de exibirmos mais alguns exemplos de convergencia de series de func~oes, daremos

alguns resultados que ser~ao uteis em varias situac~oes.

O primeiro deles e consequencia imediata dos resultados vistos sobre convergencia uni-

forme de sequencias de func~oes, a saber:

Corolario 6.3.1 Suponhamos que a serie de func~oes∞∑n=1

fn, onde para cada n ∈ N,

temso que fn : [a , b] → R, seja uniformemente convergente para a func~ao f : [a , b] → R,

em [a , b], isto e, f =∞∑n=1

fn onde a convergencia da series de func~oes e uniforme em

[a , b] .

1. Se, para cada n ∈ N, a func~ao fn for contnua em [a , b], ent~ao a func~ao f sera

contnua em [a , b], isto e,

limx→xo f(x) = f(xo) , (6.19)

ou ainda,

limx→xo

[ ∞∑n=1

fn(x)

]=

∞∑n=1

[limx→xo fn(x)

]. (6.20)

6.3. CONVERGENCIA UNIFORME DE SERIES DE FUNC ~OES 199

2. Se, para cada n ∈ N, a func~ao fn for contnuas em [a , b], ent~ao∫ba

f(t)dt =

∞∑n=1

∫ba

fn(t)dt (6.21)

isto e, ∫ba

[ ∞∑n=1

fn(t)

]dt =

∞∑n=1

[∫ba

fn(t)dt

], (6.22)

ou ainda, a serie de func~oes∞∑n=1

fn(x), pode ser integrada termo a termo em [ab].

3. Se, para cada n ∈ N, a func~ao fn e continuamente diferenciaveis em [a , b], para

algum xo ∈ [a, b], a serie numerica∞∑n=1

fn(xo) converge em R, a serie de func~oes

∞∑n=1

fn′ converge uniformemente para uma func~ao g : [a , b] → R, em [a , b], ent~ao

a serie de func~oes∞∑n=1

fn converge uniformemente para uma func~ao f : [a , b] → R,

em [a , b], onde a func~ao f sera continuamente diferenciavel em [a , b] e

f ′(x) = g(x) , para cada x ∈ [a , b] , (6.23)

isto e,

f ′(x) =

∞∑n=1

fn (x) (6.24)

ou ainda,

d

dx

[ ∞∑n=1

fn(x)

]=

∞∑n=1

[d fn

dx(x)

], para cada x ∈ [a , b] , (6.25)

ou seja, a serie de func~oes∞∑n=1

fn(x),, pode ser derivada termo a termo, e [a , b].

Demonstracao:

De 1.:

Como, para cada n ∈ N, a func~ao fn e contnua em [a , b], temos que, para cada n ∈ N, afunc~ao Sn : [a, b] → R dada por

Sn(x).= f1(x) + · · ·+ fn(x)

=

n∑k=1

fk(x) , para cada x ∈ [a , b] ,

tambem sera uma funcao contnua em [a , b] (pois e uma soma nita de func~oes contnuas).


Mas, por hipotese,, a sequencia de func~oes (Sn)n∈N converge uniformemente para a func~ao

f em [a , b].

Logo, do Teorema (5.5.1), segue que a func~ao f sera contnua em [a , b].

De 2.:

Da Denic~ao (6.3.1), dizer que a serie de func~oes∞∑n=1

fn converge uniformemente para

a func~ao f, em [a , b], e o mesmo que dizer que a sequencia de func~oes (Sn)n∈N converge

uniformemente para a func~ao f, em [a , b].

Ent~ao segue, do Teorema (5.5.2), que

∫ba

f(t)dt =

∫ba

∞∑n=1

fn(t)dt

=

∫ba

limk→∞Sk(t)dt

=

∫ba

limk→∞

k∑n=1

fn(t)dt

Teor (5.5.2)= lim

k→∞∫ba

k∑n=1

fn(t)dt

= limk→∞

k∑n=1

∫ba

fn(t)dt

=

∞∑n=1

∫ba

fn(t)dt ,


De 3.:

Lembremos que, da Denic~ao (6.2.1), dizer que a serie de func~oes∞∑n=1

fn converge em

xo ∈ [a , b], e o mesmo que dizer que a sequencia numerica (Sn(xo))n∈N converge em R.

Alem disso, por hipotese, temos que a serie de func~oes∞∑n=1

fn′ converge uniformemente

para a funcao g, em [a , b], ou seja, (da Denic~ao (6.3.1)) temos que a sequencia de func~oes

(S′n)n∈N converge uniformemente para a func~ao g, em [aa, , b], pois

Sn′(x) =

dSn

dx(x)

(6.1)=

d

dx

[n∑k=1

fk(x)

]soma nita

=

n∑k=1

fk′(x) , para cada x ∈ [a , b] .


Logo, do Teorema (5.5.3), segue que a sequencia de func~oes (Sn)n∈N converge uniforme-

mente para uma func~ao f, em [a , b] e, alem disso,

f ′(x) = g(x) , para cada x ∈ [a , b] ,

isto e, ( ∞∑n=1

fn

)′

(x) =

∞∑n=1

fn′(x) , para cada x ∈ [a , b] ,

completando a demonstracao do resultado.

Observacao 6.3.2

1. O Corolario (6.3.1) acima, trata de algumas consequencias da convergencia uni-

forme de series de func~oes.

Sem a presenca da convergencia uniforme as conclus~oes do resultado podem n~ao

ocorrer.

2. No item 2. do Corolario (6.3.1) acima, basta que as func~oes fn e f sejam in-

tegraveis em [a , b].

No item 3. basta que as func~oes fn sejam diferenciaveis em [a, b].

3. As conclus~oes do Corolario (6.3.1) permanecem validas para func~oes de varias

variaveis reias, a valores reias (ou complexos).

Deixaremos a elaborac~ao e demonstrac~ao deste como exerccio para o leitor.

Um resultado extremamente importante, que nos da condic~oes sucientes para assegurar

a convergencia uniforme de series de func~oes, e o:

Teorema 6.3.1 (criterio de Weierstrass ou Teste M. de Weierstrass) Seja (fn)n∈Numa sequencia de func~oes onde, para cada n ∈ N, fn : A ⊆ R → R.

Suponhamos que exista uma sequencia numerica (Mn)n∈N, tal que, para cada n ∈ N,temos que

|fn(x)| ≤Mn , para cada x ∈ A . (6.26)


Mn for convergente em R, ent~ao a serie de func~oes∞∑n=1

fn

converge uniformemente e absolutamente para uma func~ao f : A→ R, em A.

Demonstracao:


Mn converge em R, segue de (6.26) e do criterio da comparac~ao

para series numericas cujos termos s~ao n~ao-negativos (veja o item i. do Teorema (4.5.2)), que

para cada x ∈ A, a serie numerica ∞∑n=1

|fn(x)|


converge em R.

Logo, a serie de func~oes∞∑n=1

fn sera absolutamente convergente para uma func~ao f : A→ R,

no conjunto A, isto e,

f(x) =

∞∑n=1

fn(x) , para cada x ∈ A . (6.27)

Para cada N ∈ N, denamos a func~ao SN : A→ R, dada por

SN(x).=

N∑n=1

fn(x) , para cada x ∈ A , (6.28)

ou seja, a soma parcial de ordem N da serie de func~oes∞∑n=1

fn.

Notemos que, para cada x ∈ A, temos:

|f(x) − SN(x)|(6.27) e (6.28)

=

∣∣∣∣∣∞∑n=1

fn(x) −

N∑n=1

fn(x)

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

fn(x)

∣∣∣∣∣"des. triagular"

≤∞∑

n=N+1

|fn(x)|

(6.26)

≤∞∑

n=N+1

Mn . (6.29)


Mn converge, denotando-se sua soma por M, do item 3. da

Observac~ao (4.3.1), teremos que, dado ε > 0, podemos encontrarNo ∈ N, de modo seN ≥ No,

teremos ∣∣∣∣∣M−

N∑n=1

Mn

∣∣∣∣∣ < ε . (6.30)

Notemos que ∣∣∣∣∣M−

N∑n=1

Mn

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣

∞∑n=1

Mn −

N∑n=1

Mn

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

Mn

∣∣∣∣∣Mn≥0=

∞∑n=N+1

Mn , (6.31)

logo, de (6.30) e (6.31), segue que ∞∑n=N+1

Mn < ε . (6.32)


Assim, se n ≥ No, segue que

|f(x) − SN(x)|(6.29)

≤∞∑

n=N+1

Mn

(6.32)< ε ,

para todo x ∈ A, que, pela Observac~ao (6.3.1), e o mesmo que dizer que a serie de func~oes∞∑n=1

fn converge uniformemente para a func~ao f, no conjunto A, completando a demonstrac~ao

do resultado.

Observacao 6.3.3 Vale um resulado analogo ao acima para func~oes de varias variaveis

reais, a valores reais (ou complexos).

Deixaremos a elaborac~ao e sua respectiva demonstrac~ao como exerccio para o leitor.

A seguir aplicaremos os resultados acima, para estudar a convergencia pontual e uniforme

de algumas series de func~oes.

Exemplo 6.3.1 Consideremos a serie de func~oes∞∑n=0

fn onde, para cada n ∈ 0 ∪ N, a

func~ao fn : [−1 , 1] → R e dada por

fn(x).=xn

2n, para cada x ∈ R . (6.33)


fn converge uniformemente, em [−1 , 1], para a

func~ao f : [−1 , 1] → R dada por

f(x).=

2

2− x, para cada x ∈ [−1 , 1] . (6.34)

Resolucao:

Observemos que, para cada x ∈ [−1 , 1] e n ∈ 0 ∪ N, temos que

|fn(x)|(6.33)=

∣∣∣∣xn2n∣∣∣∣

=|xn|

2n

=|x|n

2n

x∈[−1 ,1] isto e, |x|≤1≤ 1

2n.=Mn . (6.35)


∞∑n=0

1

2n, converge em R . (6.36)


pois e uma serie geometrica de raz~ao1

2∈ [0 , 1) (veja o Exemplo (4.3.5)).

Ent~ao , de (6.35), (6.36) e do criterio deWeierstrass (isto e, do Teorema (6.3.1), considerando-

se Mn.=1

2n, para cada n ∈ 0 ∪ N), segue que a serie de func~oes

∞∑n=0

fn converge uniforme-

mente e absolutamente, em [−1 , 1], para uma func~ao f : [−1 , 1] → R.Notemos que, neste caso, podemos obter a func~ao f : [−1 , 1] → R explicitamente.

Para isto, observemos que, para cada x ∈ [−1 , 1], teremos:

∞∑n=0

fn(x)(6.33)=

∞∑n=0

xn

2n

=

∞∑n=0

(x2

)nserie geometrica de raz~ao x

2∈ [0 , 1) - veja Exemplo (4.3.5)=

1

1−x

2

=2

2− x,

isto e, a soma da serie de funcoes∞∑n=0

fn sera a func~ao

f(x) =2

2− x, para cada x ∈ [−1 , 1] .

Observacao 6.3.4

1. Notemos que, mesmo que n~ao conhececemos a func~ao soma da serie∞∑n=0

fn, po-

deramos concluir que ela sera uma func~ao contnua em [−1 , 1].

Para ver isto, basta notarmos que, para cada n ∈ 0 ∪ N, a func~ao fn e contnua

em [−1 , 1] (veja (6.33)) e a convergencia da serie de func~oes∞∑n=0

fn e uniforme em

[−1 , 1].

Logo segue, do item 1. do Corolario (6.3.1), que a func~ao f sera contnua em

[−1 , 1].

2. Na verdade, podemos mostrar que a serie de func~oes∞∑n=0

xn

2nconverge para f(x) =

2

2− x, pontualmente em x ∈ (−2 , 2), e a convergencia sera uniforme em qualquer

intervalo

[a , b] ⊆ (−2 , 2) ,



Exemplo 6.3.2 Seja a > 0 xado e consideremos a serie de func~oes∞∑n=0

fn onde, para

cada n ∈ 0 ∪ N, a func~ao fn : [−a , a] → R e dada por

fn(x).=xn

n!, para cada x ∈ [−a , a] . (6.37)


fn converge uniformemente, em [−a , a], para umaa

func~ao f : [−a , a] → R.

Resolucao:

Observemos que, para cada x ∈ [−a , a] e n ∈ 0 ∪ N, temos que

|fn(x)|(6.37)=

∣∣∣∣xnn!∣∣∣∣

=|xn|

n!

=|x|n

n!x∈[−a ,a] , ou seja, |x|≤a)

≤ an

n!. (6.38)

Do Exemplo (6.2.3) (com x = a), segue que a serie numerica

∞∑n=0

an

n!, converge em R . (6.39)

Ent~ao , de (6.38), (6.39) e do criterio de Weierstrass (isto e, do Teorema (6.3.1), considerando-

se Mn.=an

n!, para cada n ∈ 0 ∪ N), segue que a serie de func~oes

∞∑n=0

fn converge uniforme-

mente e absolutamente, em [−a , a], para uma func~ao f : [−a , a] → R.

Observacao 6.3.5

1. Notemos que, para cada n ∈ 0∪N, a func~ao fn e contnua em [−a , a] (veja (6.37))

e a convergencia da serie de func~oes∞∑n=0

fn e uniforme em [−a , a].

Logo, doitem 1. do Corolario (6.3.1), segue que a func~ao f sera contnua em

[−a , a].

2. Mostraremos que a serie de func~oes∞∑n=0

xn

n!converge para a func~ao f : R → R, dada

por

f(x).= ex , para cada ∈ R ,


pontualmente em R, e a convergencia sera uniforme em qualquer intervalo

[a , b] ⊆ R ,



fn onde, para cada n ∈ N, a func~ao


fn(x).=

sen(nx)

3n, para cada x ∈ R . (6.40)


fn converge uniformemente, em R, para uma

func~ao contnua f : R → R .

Resolucao:

Observemos que, para cada x ∈ R e n ∈ N, temos que

|fn(x)|(6.40)=

∣∣∣∣ sen(nx)3n

∣∣∣∣=

| sen(nx)|

3n

| sen(nx)|≤1 , para x∈R≤ 1

3n. (6.41)


∞∑n=1

1

3n, converge em R . (6.42)

pois e uma serie geometrica de raz~ao1

3∈ [0 , 1) (veja o Exemplo (4.3.5)).

Ent~ao , de (6.41), (6.42) e do criterio deWeierstrass (isto e, do Teorema (6.3.1), considerando-

se Mn.=1

3n, para cada n ∈ N), segue que a serie de func~oes

∞∑n=0

fn converge uniformemente

e absolutamente, em R, para uma func~ao f : R → R.Notemos que, para cada n ∈ N, a func~ao fn e contnua em R (veja (6.40)) e a convergencia

da serie de func~oes∞∑n=1

fn e uniforme em R.

Logo, do item 1. do Corolario (6.3.1)), segue que a func~ao f sera contnua em R.


fn onde, para cada n ∈ N, a func~ao


fn(x).=

sen(nx)

n3, para cada x ∈ R . (6.43)


Mostrar que a serie de func~oes∞∑n=1

fn pode ser derivada, termo a termo, em R.

Encontre uma express~ao para f ′(x), para x ∈ R, onde

f(x).=

∞∑n=1

fn(x) , para cada x ∈ R . (6.44)

Resolucao:

Notemos que a serie numerica∞∑n=1

fn(0) converge para 0, pois

fn(0)(6.43)=

sen(n0)

n3= 0 , para cada n ∈ N .

Observemos que, para cada n ∈ N, a fn e continuamente diferenciaveis em R (veja (6.43))

e, alem disso, para cada x ∈ R, temos:

fn′(x)

(6.43)=

d

dx

[sen(nx)

n3

]regra da cadeia

=cos(nx)n

n3

=cos(nx)

n2. (6.45)

Por outro lado, para cada x ∈ R e n ∈ N, temos que

|fn′(x)|

(6.45)=

∣∣∣∣−cos(nx)

n2

∣∣∣∣=

| cos(nx)|

n2

(| cos(nx)|≤1 , para x∈R≤ ≤ 1

n2. (6.46)

Observemos que a serie numerica

∞∑n=1

1

n2converge em R , (6.47)

pois e uma p-serie, com p.= 2 ∈ (1∞) (veja (4.203)).


se Mn.=1

n2, para cada n ∈ N), segue que a serie de func~oes

∞∑n=0

fn′ converge uniformemente,

em R, para uma func~ao g : R → R.

Portanto, do item 3. do Corolario (6.3.1)., segue que a serie de func~oes∞∑n=1

fn converge

uniformemente para uma func~ao f : R → R, que e continuamente diferenciavel em R, emparticular,

f(x).=

∞∑n=1

fn , para cada x ∈ R (6.48)


e satisfaz

f ′ = g .

Isto e, a serie de func~oes∞∑n=1

fn pode ser derivada termo a termo, em R, ou seja, para cada

x ∈ R, teremos:

f ′(x)(6.48)=

d

dx

( ∞∑n=1

cos(nx)

n3

)(6.25)=

∞∑n=1

d

dx

[cos(nx)

n3

]= −

∞∑n=1

sen(nx)

n2.

Exemplo 6.3.5 Calcule, se existir ∫ 10

∞∑n=1

sen(nx)

n2dx . (6.49)

Resolucao:

Para cada n ∈ N, denamos a func~ao fn : [0 , 1] → R, dada por

fn(x).=

sen(nx)

n2, para cada x ∈ [0 , 1] . (6.50)

Armamos que a serie de func~oes∞∑n=1

fn e uniformente convergente em [0 , 1].

De fato, pois para cada n ∈ N e x ∈ [0 , 1], temos:

|fn(x)|(6.50)=

∣∣∣∣ sen(nx)n2

∣∣∣∣=

| sen(nx)|

n2

| sen(nx)|≤1 , para x∈[0 ,1]≤ 1

n2(6.51)

Notemos que, a serie numerica

∞∑n=1

1

n2converge , (6.52)

pois e uma p-serie, com p.= 2 ∈ (1∞) (veja (4.203)).



se Mn.=1

n2, para cada n ∈ N), segue que a serie de func~oes

∞∑n=0

fn converge uniformemente,

em [0 , 1], para uma func~ao f : [0 , 1] → R, em particular, teremos

f(x).=

∞∑n=1

fn , para cada x ∈ [0 , 1] . (6.53)

Como, para cada n ∈ N, a func~ao fn e contnua em [0 , 1] (veja (6.50)) segue do item 2.

do Corolario (6.3.1)., segue que a serie de func~oes∞∑n=1

fn pode ser integrada, termo a termo,

em [0 , 1], ou seja,∫ 10

f(x)dx(6.53)=

∫ 10

∞∑n=1

fn(x)dx

(6.22)=

∞∑n=1

∫ 10

fn(x)dx

(6.50)=

∞∑n=1

∫ 10

[sen(nx)

n2dx

]Teorema Fund. do Calculo para cada n ∈ N

=

∞∑n=1

[− cos(nx)

n3

∣∣∣∣x=1x=0

]

=

∞∑n=1

1− cos(n)

n3,

ou seja, ∫ 10

∞∑n=1

sen(nx)

n2dx =

∞∑n=1

1− cos(n)

n3.

Exemplo 6.3.6 Encontre, se existir, a func~ao g : (−1 , 1) → R dada por

g(x).=

∫ x0

∞∑n=1

(−1)n t2 ndt , para cada x ∈ (−1 , 1) . (6.54)

Resolucao:

Para cada n ∈ N, consideremos a func~ao fn : (−1 , 1) → R, dada por

fn(x).=

∞∑n=1

(−1)n x2 n , para cada x ∈ (−1 , 1) . (6.55)

Pode-se mostrar (utilizando-se o teste M. de Weierstrass (isto e, do Teorema (6.3.1)) que a

serie de func~oes∞∑n=1

fn converge uniformemente para uma func~ao f : [−a , a] → R, em [−a , a]


para todo a ∈ [0 , 1) xado, em particular, teremos

f(x).=

∞∑n=1

fn(x) , para cada x ∈ [−a , a] , (6.56)

para cada a ∈ [0 , 1) xado.

Deixaremos a vericac~ao deste fato como exerccio para o leitor.

Logo, deste fato e do item 2. do Corolario (6.3.1), segue que a serie de func~oes∞∑n=1

fn

pode ser integrada, termo a termo, em qualquer intervalo contido no intervalo [−a , a], ou

seja, para cada x ∈ (−1 , 1), temos que∫ 10

f(t)dt(6.56)=

∫ 10

∞∑n=1

fn(t)dt

(6.22)=

∞∑n=1

∫ x0

fn(t)dt

(6.55)=

∞∑n=1

[∫ 10

(−1)n t2 n dt

]Teorema Fund. do Calculo para cada n ∈ N

=

∞∑n=1

[(−1)n

t2 n+1

2n+ 1

∣∣∣∣t=xt=0

]

=

∞∑n=1

(−1)nx2 n+1

2n+ 1,

ou ainda, para cada x ∈ (−1 , 1), teremos:∫ 10

∞∑n=1

(−1)n t2 n dt =

∞∑n=1

(−1)nx2 n+1

2n+ 1. (6.57)

Observacao 6.3.6

1. Observemos que para cada x ∈ (1 , 1), teremos

∞∑n=1

(−1)n t2 n =

∞∑n=1

(−t2)n

serie geom. de raz~ao c.= −t2 ∈ [0 , 1) - veja (4.30)=

1

1+ t2. (6.58)

Logo, para cada x ∈ (−1 , 1) temos que∫ x0

∞∑n=1

(−1)n t2 n dt(6.58)=

∫ x0

1

1+ t2dt

visto no Calculo 1= arctg(x) , (6.59)


isto e, para cada x ∈ (−1 , 1), teremos

arctg(x)(6.59)=

∫ x0

∞∑n=1

(−1)n t2 n dt

(6.57)=

∞∑n=1

(−1)nx2n+1

2n+ 1,

ou ainda,

f(x).= arctg(x) =

∞∑n=1

(−1)nx2 n+1

2n+ 1, para cada x ∈ (−1 , 1) . (6.60)

2. Observemos que a func~ao f denida (6.60) acima, e uma func~ao mpar, ou seja,

f(−x) = −f(x) , para cada x ∈ (−1, 1)

e a serie de func~oes em (6.60), cuja soma e a funcao f, so possui potencias ımpares

de x.

Como veremos, no proximo captulo, isso ocorre em geral, isto e, se uma func~ao

for mpar (respectivamente, par) e possuir uma representac~ao em serie de funcoes

do tipo acima (que sera denominada serie de potencias de x) ent~ao a serie de

funcoes (isto e, de potencias de x) so possuira potencias mpares (respectivamente,

pares), ou seja, os coecientes das potencias pares (respectivamente, mpares)

ser~ao iguais a zero.

3. Notemos tambem que se pudermos fazer x = 1 em (6.60), obteremos:

π

4= arctg(1)

(6.60)=

∞∑n=1

(−1)n12 n+1

2n+ 1

1−1

3+1

4−1

5+ · · ·

=

∞∑n=1

(−1)n

2n− 1,

como havamos armado anteriormente (veja (4.242)).


ex =

∞∑n=0

xn

n!, para cada x ∈ R . (6.61)

Resolucao:


Para cada n ∈ 0 ∪ N denamos a func~ao fn : R → R, dada por

fn(x) =xn

n!, para cada x ∈ R . (6.62)

Com isto, para cada n ∈ N, a func~ao fn sera continuamente diferenciavel em R.Alem disso, para cada x ∈ R e n ∈ 0 ∪ N, teremos

d

dxfn(x)

(6.62)=

d

dx

[xn

n!

]Calculo 1

=xn−1

(n− 1)!(6.63)

Fixando-se a ∈ [0 ,∞), para cada x ∈ [−a , a] e n ∈ 0 ∪ N, temos que

|fn′(x)|

(6.63)=

∣∣∣∣ xn−1

(n− 1)!

∣∣∣∣=

∣∣xn−1∣∣(n− 1)!

=|x|n−1

(n− 1)!x∈[−a ,a] , isto e, |x|≤a

≤ an−1

(n− 1)!(6.64)

Notemos que (veja o Exemplo (6.3.2), com n = n− 1) a serie numerica

∞∑n=1

an−1

(n− 1)!, converge . (6.65)

Portanto, de (6.64), (6.65) e do teste M. de Weierstrass (isto e, do Teorema (6.3.1)), segue

que a serie de func~oes ∞∑n=1

fn′

e uniformemente convergente em [−a , a], para cada a ∈ [0 ,∞).


fn(0)(6.62)= 1+

∞∑n=1

0n

n!

converge (com soma igual a 1) segue, do item 3. do Corolario (6.3.1), que a serie de func~oes∞∑n=0

fn converge uniformente, em [−a , a], para uma func~ao f : [−a , a] → R, ou seja

f(x).=

∞∑n=0

fn(x) , para cada x ∈ [−a , a] . (6.66)


e podera ser derivada, termo a termo, em [−a , a], para cada a ∈ [0 ,∞), isto e, para

x ∈ [−a , a], temos que

f ′(x)(6.66)=

d

dx

[ ∞∑n=0

fn(x)

](6.25)=

∞∑n=1

d fn

dx(x)

=

∞∑n=1

d

dx

[xn

n!

]=

∞∑n=1

xn−1

(n− 1)!

m.=n−1=

∞∑m=0

xm

m!

(6.62)=

∞∑m=0

fm(x)

(6.66)= f(x) , (6.67)

ou seja, a func~ao f, dada por

f(x).=

∞∑m=0

xm

m!, para cada x ∈ [−a , a] , (6.68)

deve satisfazer a equac~ao diferencial ordinaria

f ′(x) = f(x) , para cada x ∈ [−a , a] , (6.69)

para cada a ∈ [0 ,∞).

Do Calculo I, sabemos que uma func~ao que satisfaz (6.69), devera ser a func~ao

f(x).= c ex , para cada x ∈ R , (6.70)

para algum c ∈ R.Notemos que

c(6.70) com x=0

= f(0)

(6.69) com x=0= 1+

∞∑n=1

0n

n!= 1 ,

logo, deveremos ter c = 1 ,

portanto, de (6.70), teremos: f(x) = ex , para cada x ∈ R

ou seja

ex =

∞∑n=0

xn

n!, para cada x ∈ R ,


como quramos mostrar.

Observacao 6.3.7 Em particular, fazendo x = 1 em (6.61), obtemos

e =

∞∑n=0

1

n!

como havamos armado anteriormente (veja a Observac~ao (6.2.3)).

Topicos adicionais, bem como outros exemplos e resultados podem ser encontrados na biblio-

graa mencionada no m destas notas.

6.4 Exercıcios

Capıtulo 7

Series de Potencias

Neste captulo estudaremos uma classe especial de series de func~oes, denominadas series

de potencias.

As perguntas que ser~ao respondidas aqui estar~ao relacionadas com os seguintes topicos:

1. Quando podemos aproximar uma func~ao "bem comportada"(por exemplo de classe C∞)por um polinomio em algum intervalo [a , b]?

2. Como obter esse polinomio (seus coecientes)?

Como veremos, a noc~ao de "estar proximo de" estara intimamente ligada a noc~ao de

convergencia de sequencia (mais expecicamente, series) de func~oes, tratada no captulo

anterior.

Comecaremos com a introduc~ao do objeto principal do estudo desse captulo, a saber:

7.1 Definicoes

Definicao 7.1.1 Um serie de func~oes do tipo

∞∑n=0

an xn = ao + a1 x+ a2 x

2 + · · · (7.1)

onde

an ∈ R , para cada n ∈ 0 , 1 , 2 , · · · ,

sera denominada serie de potencias de x (ou centrada em x = 0) .

Mas geralmente, uma serie do tipo

∞∑n=0

an (x− c)n = ao + a1 (x− c) + a2 (x− c)

2 + · · · (7.2)

onde

an ∈ R , para cada n ∈ 0 , 1 , 2 , · · · ,

sera denominada serie de potenciasde (x− c) (ou centrada em x = c) .

215

216 CAPITULO 7. SERIES DE POTENCIAS

Os numeros reais

an ∈ R , para cada n ∈ 0 , 1 , 2 , · · · ,

ser~ao ditos coeficientes da serie de potencia.

Observacao 7.1.1 Uma serie de potencias centrada em x = 0, respectivamente em x =

c, e um caso particular de serie de func~oes.

De fato, basta considerar a sequencia de func~oes (fn)n∈N onde, para cada n ∈ 0∪N,a func~ao fn : (a , b) → R e dadas por

fn(x).= an x

n , para cada x ∈ (a , b) , (7.3)

respectivamente

fn(x).= an (x− c)

n , para cada x ∈ (a , b) . (7.4)

A seguir exibiremos alguns exemplos de series de potencias:

Exemplo 7.1.1 A serie de func~oes

∞∑n=0

xn

n!, para cada x ∈ R (7.5)

e uma serie de potencias de x (ou centrada em x = 0).

Resolucao:

De fato, a serie de func~oes (7.5) pode ser colocada na forma (7.1), bastando, para cada

n ∈ 0 ∪ N, denirmos o n-esimo coeciente da mesma, ou seja,

an.=1

n!(7.6)

e assim

∞∑n=0

xn

n!=

∞∑n=0

1

n!xn

(7.6)=

∞∑n=0

an xn , para cada x ∈ R .


∞∑n=0

(x− 1)2 n

n+ 1, para cada x ∈ R (7.7)

e uma serie de potencias de (x− 1) (ou centrada em x = 1).

7.2. CONVERGENCIA PONTUAL DE SERIES DE POTENCIAS 217

Resolucao:

De fato, a serie de func~oes (7.7) pode ser colocada na forma (7.1), bastando, para cada

n ∈ 0 ∪ N, denirmos o n-esimo coeciente da mesma, ou seja,

a2 n+1.= 0 e a2 n

.=

1

n+ 1. (7.8)

e assim

∞∑n=0

(x− 1)2 n

(n+ 1)=

∞∑n=0

1

(n+ 1)(x− 1)2 n

(7.8)=

∞∑n=0

an (x− 1)n , para cada x ∈ R .


∞∑n=0

sen(nx)

n+ 1, para cada x ∈ R (7.9)

nao e uma serie de potencias.

Resolucao:

A serie de func~oes (7.9) n~ao pode ser colocada na forma (7.1) ou (7.2).

Logo n~ao sera uma serie de potencias.

7.2 Convergencia Pontual de Series de Potencias

A seguir passaremos a estudar a convergencia das series de potencias.

Observacao 7.2.1 Observemos que uma serie de potencias de x, isto e,

∞∑n=0

an xn ,

sempre converge (com soma igual a ao) quando x = 0.

De fato, pois ∞∑n=0

an 0n = ao + a1 0+ a2 0

2 + · · · = ao .

De modo analogo, uma serie de potencias de (x− c), isto e,

∞∑n=0

an (x− c)n ,


sempre converge (com soma igual a ao) quando x = c.

De fato, pois

∞∑n=0

an (c− c)n = ao + a1 (c− c) + a2 (c− c)

2 + · · · = ao .

Comecaremos estudando as series de potencias de x (isto e, centradas em x = 0), a serie

de func~oes (7.1).

Mais tarde trataremos do caso das series de potencias de (x − c) (isto e centradas em

x = c), a serie de func~oes (7.2).

Um primeiro resultado importante e o,

Teorema 7.2.1 Sejam

xo , x1 = 0 (7.10)

e consideremos a series de potencias

∞∑n=0

an xn . (7.11)

1. Se a serie numerica ∞∑n=0

an xon (7.12)

for convergente, ent~ao a serie de potencias (7.11) sera absolutamente convergente

para

x ∈ (−|xo| , |xo|) , isto e |x| < |xo| . (7.13)


an x1n for divergente, ent~ao a serie de potencias

∞∑n=0

an xn

sera divergente para

(−∞ , |x1|) ∪ (|x1| ,∞) , isto e, |x| > |x1| . (7.14)

Demonstracao:

De 1.:


an xon e convergente e xo = 0 logo, do criterio da

divergencia (veja o Teorema (4.4.2)) segue que

limn→∞an xon = 0 .

Assim a sequencia numerica (an xovn)n∈N sera limitada, ou seja existe M ∈ R tal que

|an xon| ≤M, para todo n ∈ 0 ∪ N . (7.15)


Notemos que xado

x ∈ (−|xo| , |xo|) (7.16)

ent~ao, para cada n ∈ 0 ∪ N, teremos:

|an xn|xo =0= |an xo

n|

∣∣∣∣ xnxon∣∣∣∣≤M

∣∣∣∣ xxo∣∣∣∣n =Mrn , (7.17)

onde

r.=

∣∣∣∣ xxo∣∣∣∣ < 1 , (7.18)

pois

x ∈ (−|xo| , |xo|) ,

logo |x| < |xo| ,

implicando que|x|

|xo|︸︷︷︸=| x

xo|

< 1 .

Como r ∈ [0 , 1), segue que a serie numerica

∞∑n=0

Mrn =M

∞∑n=0

rn converge ,

pois e uma serie geometrica de raz~ao r ∈ [0 , 1) (veja o Exemplo (4.3.5)).

Logo, do criterio da comparac~ao para series numerica cujos termos s~ao n~ao-negativos

(isto e, o item i. do Teorema (4.5.2)) segue que para cada x ∈ (−|xo| , |xo|), a serie numerica∞∑n=0

|an xn| sera convergente.

Portanto a serie de potencias∞∑n=0

an xn sera absolutamente convergente para

x ∈ (−|xo| , |xo|) ,


De 2.:

Sabemos que a serie numerica ∞∑n=0

an x1n

e divergente.

Suponhamos, por absurdo, que exista

x2 ∈ (−∞ , |x1|) ∪ (|x1| ,∞)


de modo que serie numerica ∞∑n=0

an x2n

seja convergente.

Ent~ao do item 1., segue que a serie

∞∑n=0

an xn

sera convergente em (−|x2| , |x2|), o que e um absurdo, pois como x2 ∈ (−∞ , |x1|) ∪ (|x1| ,∞)

segue que

x1(−|x2| , |x2|) ,

isto e a serie numerica∞∑n=0

an x1n seria convergente, o que contraira a hipotese que a serie

numerica∞∑n=0

an x1n e divergente.

Portanto a serie de potencias∞∑n=0

an xn sera divergente em

(−∞ , |x1|) ∪ (|x1| ,∞) ,


Observacao 7.2.2

1. Para o caso que

xo > 0 ,

a gura abaixo ilustra a situac~ao do item 1. do Teorema (7.2.1):

-0 xo−xo

a serie de potencias converge em x = xo

︸︷︷︸o item 1. do Teorema (7.2.1) implicara que ela convergira para x ∈ (−xo , xo)

2. Para o caso que

x1 > 0 ,

a gura abaixo ilustra a situac~ao do item 2. do Teorema (7.2.1):


-0

a serie de potencias diverge em x = x1

x1

−x1︸︷︷︸︸︷︷︸o item 2. do Teorema (7.2.1) implicara que ela sera divergente para x ∈ (−∞ ,−x1) ∪ (x1 ,∞)

I >

3. O item 1. do Teorema (7.2.1) acima, nos diz que se uma serie de potencias

converge num ponto (diferente de zero) ent~ao ela convergira, pontualmente, em

todo ponto do intervalo simetrico em relac~ao a origem, aberto e de amplitutide

igual ao valor absoluto do ponto onde ela converge.

Isso e uma propriedade intrnseca das series de potencias.

4. Series de func~oes em geral n~ao a propriedade acima, como por exemplo, a serie

de func~oes (que nao e uma serie de potencias)

∞∑n=1

sen(nx)

so converge nos pontos

x = kπ , para cada k ∈ Z .

Com isto temos os:

Exemplo 7.2.1 Aplique o Teorema (7.2.1) acima, para estudar a convergencia da serie

de potencias ∞∑n=0

1

n!xn (7.19)

no intervalo (−1 , 1).

Resolucao:

Notemos que a serie de potencias (7.19) e convergente em

xo = 1 . (7.20)

De fato, pois a serie numerica

∞∑n=0

1

n!xon (7.20)

=

∞∑n=0

1

n!

e convergente (veja o Exemplo (7.1.1) com x = 1).

Logo, do item 1. do Teorema (7.2.1) acima, segue que a serie de potencias (7.19) sera

absolutamente convergente para

x ∈ (−|xo| , |xo|)(7.20)= (−1 , 1) .



-0 1−1

a serie de pontencias converge em x = 1

︸︷︷︸pelo item 1. do Teorema (7.2.1), convergira para x ∈ (−1 , 1)

Exemplo 7.2.2 Aplique o Teorema (7.2.1) acima, para estudar a convergencia da serie


(−1)n x2 n (7.21)

no intervalo (−a , a), para cada a ∈ [0 , 1).

Resolucao:

Notemos que para cada

a ∈ [0 , 1) , (7.22)

a serie de potencias∞∑n=0

(−1)n x2 n e convergente em xo = a.

De fato pois, ∞∑n=0

(−1)n xo2n =

∞∑n=0

(−1)n(xo2)n. (7.23)

para cada n ∈ 0 ∪ N, temos que:

∣∣(−1)n xo2∣∣ = xo2 = a2︸︷︷︸.=r

(7.22)< 1 .

Mas serie numerica∞∑n=0

rn e convergente, pois e uma serie geometrica de raz~ao (veja o

Exemplo (4.3.5))

r = a2(7.22)∈ [0 , 1) .

Logo, do Teorema da comparac~ao para series numericas cujos termos s~ao n~ao-negativos

(isto e, do item i. do Teorema (4.5.2)) segue que a serie numerica∞∑n=0

(−1)nx2 no sera conver-

gente.

Logo, do item 1. do Teorema (7.2.1) acima, segue que a serie de potencias∞∑n=0

(−1)n x2 n

sera absolutamente convergente para cada

x ∈ (−|xo| , |xo|) = (−a , a) , para todo a ∈ [0 , 1), ou seja, para x ∈ (−1 , 1).



-0 1−1︸︷︷︸

pelo item 1. do Teorema (7.2.1), sera convegente para |x| < 1

Por outro lado, a serie de potencias∞∑n=0

(−1)n x2 n e divergente em x1 = 1.

De fato, pois a serie numerica∞∑n=0

(−1)n e divergente, pelo criterio da divergencia (veja o

Teorema (4.4.2)).

Logo, o item 2. do Teorema (7.2.1), implicara que a serie de potencias (7.21) sera diver-

gente em

(−∞ ,−|x1|) ∪ (|x1| ,∞) = (−∞ ,−1) ∪ (1 ,∞) , isto e, para |x| > 1 .


-0

a serie de potencias diverge em x = 1

1

−1︸︷︷︸︸︷︷︸pelo item 2. do Teorema (7.2.1), sera divergente para |x| > 1

I >

Para nalizar, notemos que a serie de potencias (7.21) e divergente em x1 = −1.


Com isto, do ponto de vista da convergencia/divergencia, para a serie de potencias∞∑n=0

(−1)nx2n, teremos a seguinte situac~ao, ilustrada na gura abaixo:

-0

︷︸︸︷a serie de potencias (7.10) converge, para |x| < 1

a serie de potencias (7.10) diverge, para |x| ≥ 1

1︸︷︷︸︸︷︷︸−1

I >

Em geral temos a seguinte situac~ao:

Teorema 7.2.2 Dada a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.24)

uma, e somente uma, das situac~oes abaixo ocorre:


1. a serie de potencias (7.24) so converge em x = 0;

2. a serie de potencias (7.24) converge absolutamente em R;

3. existe R > 0, de modo que a serie de potencias (7.24) e absolutamente

convergente em (−R , R) e divergente em (−∞ ,−R) ∪ (R ,∞) , (7.25)

ou ainda,

convergente para |x| < R e divergente para |x| > R . (7.26)

Demonstracao:

Notemos que se o item 1. ocorrer, os itens 2. e 3. n~ao ocorrer~ao.

Vamos supor que o item 1. n~ao ocorre, ou seja existe xo = 0 tal que a serie numerica

∞∑n=0

an xon

seja convergente.

Logo do item 1. do Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencias∞∑n=0

an xn sera conver-

gira absolutamente para

|x| < |xo|.= ro .

Denotemos por S, o subconjunto dos numeros reais, formado por todos os r > 0 que tem

a propriedade acima, isto e, a serie de potencias∞∑n=0

an xn converge absolutamente em

|x| < r .

Observemos que o conjunto S e n~ao vazio, pois

ro ∈ S .

Se o conjunto S n~ao for limitado ent~ao o item 3. ocorrera, ou seja a serie de potencias

(7.24) sera convergente em R.Se o conjunto S for um subconjunto limitado de R, armamos que o item 2. ocorrera.

De fato, so conjunto S for um subconjunto limitado de R, como ele e n~ao vazio, ent~ao

existe

R.= supS ∈ (0 ,∞) .

Armamos que R ∈ (0 ,∞) satisfaz o item 3. .

De fato, seja

r ∈ S , tal que r ∈ (0 , R)

e

xo ∈ R , tal que |xo| < r .


Como

r ∈ S e |xo| < r ,


an xon sera convergente.

Logo, do item 1. do Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencias∞∑n=0

an xn sera abso-

lutamente convergente para |x| < r.

Como consequencia teremos que a serie de potencias∞∑n=0

an xn sera absolutamente con-

vergente para |x| < R.

Armamos que se

x1 ∈ (−∞ , R) ∪ (R ,∞) ou seja, |x1| > R ,


an x1n sera divergente.

De fato, suponhamos, por absurdo, que a serie numerica∞∑n=0

an x1n seja convergente.

Ent~ao, pelo item 1. do Teorema (7.2.1), teremos que a serie de potencias∞∑n=0

an xn devera

ser convente para

x ∈ (−|x1| , |x1|) , ou seja, |x1| ∈ S ,

o que e um absurdo pois

|x1| > R = supS .

Portanto a serie de potencia∞∑n=0

an xn sera diverge em

(−∞ , R) ∪ (R ,∞) ,

mostrando que R ∈ (0 ,∞) satisfaz o item 2., completando a demonstrac~ao do resultado

Observacao 7.2.3

1. O Teorema (7.2.2) acima nos diz que uma, e somente uma, das possibilidades

abaixo, para uma serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.27)

podera ocorrer:

1.1 ou

R = 0 ; (7.28)

A gura abaixo ilustra essa situac~ao:


-0

a serie de potencias (7.27) so converge em x = 0

1.2 ou

R = ∞ ; (7.29)


-0

a serie de potencias (7.27) converge em R

1.3 ou

R ∈ ( ,∞) . (7.30)


-0

︷︸︸︷a serie de potencias (7.27) para |x| < R

a serie de potencias (7.27) diverge para |x| > R

R︸︷︷︸︸︷︷︸−R

I >

Neste ultimo caso, podem ocorrer todo tipo de situac~ao em relac~ao a con-

vergencia da serie de potencias (7.27) nos pontos

x = −R e x = R ,

como veremos em exemplos a seguir.

2. O numero real

R ∈ (0 ,∞) , (7.31)

obtido no item 3. do Teorema (7.2.2) acima, tera uma importancia muito grande

no estudo das series de potencias, como veremos mais adiante.

Baseado nos fatos acima, podemos introduzir a seguinte:

Definicao 7.2.1 Deniremos raio de convergencia da serie de potencias∞∑n=0

an xn como

sendo R ∈ [0 ,∞], obtido no Teorema (7.2.2) acima

O conjunto formado por todos os x ∈ R, onde a serie de potencias∞∑n=0

an xn e con-

vergente sera dito intervalo de convergencia da serie de potencias∞∑n=0

an xn .


Observacao 7.2.4

1. Do Teorema (7.2.2) acima, segue que que toda serie de potencias tem um (unico)

raio de convergencia e portanto um (unico) intervalo de convergencia.

2. O raio de convergencia de uma serie de potencias pode ser igual a

0 , isto e, R = 0

e portanto o intervalo de convergencia da serie de potencias sera

I = 0 ,

ou seja, o conjunto formado por um ponto, que na verdade nao e um intervalo,

como mostra o Exemplo (7.2.3) a seguir.

3. O raio de convergencia associado a uma serie de potencias pode ser innito, ou

seja,

R = ∞ ,

e assim o intervalo de convergencia sera

I = R ,

como mostra o Exemplo (7.2.4) a seguir.

4. Se

R ∈ (0 ,∞) ,

a priori, nenhuma conclus~ao podemos tirar sobre o comportamento da serie de

potencia nos pontos

x = −R e x = R .

Podemos ter situac~oes, como veremos, que a serie de potencias converge em um

dos pontos e diverge no outro, ou diverge nos dois ou ainda converge nos dois.

Um desses casos e mostrado no Exemplo (7.2.5) a seguir

A seguir consideraremos alguns exemplos onde aplicaremos as ideias desenvolvidas acima.

Exemplo 7.2.3 Consideremos a serie de potencias

∞∑n=0

nn xn . (7.32)

Mostre que

R = 0 e I = 0 . (7.33)


Resolucao:

Observemos que para todo xo > 0 xado que a serie numerica∞∑n=0

nnxn e divergente.

De fato, para cada xo > 0 xado temos que

limn→∞ (nn xo

n)1n = lim

n→∞ (nxo)

xo>0= ∞ > 1 .

(7.34)

Logo, do criterio da raiz, por limites, para series numerica cujos termos s~ao n~ao-negativos

(isto e, o item i. do Teorema (4.5.7)) segue quea serie numerica

∞∑n=0

nnxon

e divergente.

Assim, a serie de potencias∞∑n=0

nnxn so converge quando x = 0, isto e,

R = 0

e assim, o intervalo de convergencia da serie de potencias e

I = 0 .


-0



∞∑n=0

xn

n!. (7.35)

Mostre que

R = ∞ e I = R . (7.36)

Resolucao:

Observemos que para cada xo > 0 xado, temos que a serie numerica∞∑n=0

xon

n!e convergente.


De fato, popis

limn→∞

xon+1

(n+ 1)!xon

n!

= limn→∞

xo

n+ 1= 0 < 1,

Logo, do criterio da raz~ao, por limites, para series numerica cujos termos s~ao n~ao-negativos

(isto e, o item i. do Teorema (4.5.5)), segue que a serie numerica∞∑n=0

xon

n!e convergente para

cada xo ∈ (0 ,∞).

Assim, segue do item 1. do Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencias∞∑n=0

xn

n!converge

em R, isto e,R = ∞ ,

e o intervalo de convergencia da serie de potencias e

I = R ,



-0



∞∑n=0

(−1)n

nxn . (7.37)

Mostre que

R = 1 e I = (−1 , 1] . (7.38)

Resolucao:

Observemos que a serie de potencias (7.37), converge em

xo = 1 ,

pois a serie numerica∞∑n=0

(−1)n

ne convergente (e a serie harmonica alternada - veja o Exemplo

(4.6.2)).

Logo, do item 1. do Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencias converge em

(−1 , 1) .


Por outro lado, a serie de potencias (7.37), diverge em

x1 = −1 ,

pois ela sera igula a serie numerica∞∑n=0

1

nque e divergente (e a serie harmonica - veja o

Exemplo (3.7.2)).

Logo, do item 2. do Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencias diverge em

(−∞ ,−1) ∪ (1 ,∞) .

Com isto temos que o raio de convergencia da serie de potencias (7.37) sera

R = 1 ,

e o intervalo de convergencia e

I = (−1,−1] ,

ou seja, a serie de potencia converge (7.37) em

x = R = 1

e diverge em

x = −R = −1 .


-0

︷︸︸︷a serie de potencias (7.37) converge se x ∈ (−1 , 1]

a serie de potencias (7.37) diverge se x ∈ (−∞ ,−1] ∪ (1 ,∞)

1︸︷︷︸︸︷︷︸−1

I >

Exemplo 7.2.6 Encontre o raio de convergencia e o intervalo de convergencia da serie

de potencias abaixo. ∞∑n=0

n! xn (7.39)

Resolucao:

Notemos que, se xo > 0, temos que a serie numerica

∞∑n=0

n! xon


sera divergente pois, para cada n ∈ 0 ∪ N, denido-se

An.= n! xo

n >xo>0> 0 , (7.40)

teremos

limn→∞

An+1

An

(7.44)= lim

n→∞(n+ 1)! xo

n+1

n! xon

= limn→∞(n+ 1) xo

xo>0= ∞ > 1 .


(isto e, o item ii. do Teorema (4.5.5)), segue que a serie numerica∞∑n=0

n! xon e divergente,

para cada xo > 0.

Portanto, do item 2. Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencia so converge em x = 0,

isto e, o raio de convergencia e

R = 0


I = 0 .


-0



de potencias abaixo.

∞∑n=0

n

n!xn . (7.41)

Resolucao:


∞∑n=0

n

n!xon

sera convergente pois, para cada n ∈ 0 ∪ N, denido-se

An.=n

n!xon xo>0> 0 , (7.42)


teremos

limn→∞

An+1

An

(7.45)= lim

n→∞n+ 1

(n+ 1)!xon+1

n

n!xon

= limn→∞

xo

n= 0 < 1 .

Logo, do criterio da raz~ao segue que para todo xo > 0 a serie numerica∞∑n=0

n

n!xon e

convergente.

Portanto, do item 1. do Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencia (7.41) converge

em R, isto e, o raio de convergencia e

R = ∞e o intervalo de convergencia e

I = R .


-0

a serie de potencia (7.41) converge em R


de potencias abaixo.

∞∑n=1

1

n2xn (7.43)

Resolucao:

De 1.:


∞∑n=0

n! xon

sera divergente pois, para cada n ∈ 0 ∪ N, denido-se

An.= n! xo

n >xo>0> 0 , (7.44)

teremos

limn→∞

An+1

An

(7.44)= lim

n→∞(n+ 1)! xo

n+1

n! xon

= limn→∞(n+ 1) xo

xo>0= ∞ > 1 .



(isto e, o item ii. do Teorema (4.5.5)), segue que a serie numerica∞∑n=0

n! xon e divergente,

para cada xo > 0.

Portanto, do item 2. Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencia so converge em x = 0,

isto e, o raio de convergencia e

R = 0


I = 0 .


-0


De 2.:


∞∑n=0

n

n!xon


An.=n

n!xon xo>0> 0 , (7.45)

teremos

limn→∞

An+1

An

(7.45)= lim

n→∞n+ 1

(n+ 1)!xon+1

n

n!xon

= limn→∞

xo

n= 0 < 1 .

Logo, do criterio da raz~ao segue que para todo xo > 0 a serie numerica∞∑n=0

n

n!xon e

convergente.

Portanto, do item 1. do Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencia (7.41) converge

em R, isto e, o raio de convergencia e

R = ∞e o intervalo de convergencia e

I = R .



-0

a serie de potencia (7.41) converge em R

De 3.:


∞∑n=0

1

n2xon


An.=1

n2xon xo>0> 0 , (7.46)

teremos

limn→∞

An+1

An

(7.46)= lim

n→∞1

(n+ 1)2xn+1o

1

n2xno

= limn→∞

[n2

(n+ 1)2xo

]Exerccio

= xo .

Logo, para

xo ∈ [0 , 1) ,

do criterio da raz~ao, por limites, para series numerica cujos termos s~ao n~ao-negativos (isto e,

itens i. e ii. do Teorema (4.5.5)), segue que a serie numerica∞∑n=0

1

n2xon sera convergente e

para

xo ∈ (1 ,∞)

sera divergente.

Portanto, dos itens 1. e 2. do Teorema (7.2.1), segue que a serie de potencia (7.43) sera

convergente em

(−1 , 1)

e diverge em

(−∞ ,−1) ∪ (1 ,∞)

isto e, o raio de convergencia sera

R = 1 . (7.47)

Para encontrarmos o intervalo de convergencia, precisaremos estudar o que ocorrre com

a serie de potencias (7.43) para x = −1 e para x = 1.

Notemos que em

x = −1


a serie de potencias (7.43) sera a serie numerica

∞∑n=0

(−1)n

n2,

que e convergente pelo criterio da serie alternada (veja o Teorema (4.6.1)).

Deixaremos como exerccio para o leitor a vericac~ao deste fato.

Observemos em

x = 1

a serie de potencias (7.43) sera a serie numerica

∞∑n=0

1

n2,

que e convergente, pois e uma p-serie, com p = 2 ∈ (1 ,∞) (veja o (4.203)).

Portanto o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.43) sera

I = [−1 , 1] . (7.48)


-0

︷︸︸︷a serie de potencia (7.43) converge em [−1 , 1]

a serie de potencia (7.43) diverge em (−∞ ,−1) ∪ (1 ,∞)

1︸︷︷︸︸︷︷︸−1

I >

A seguir daremos um processo mais simples para encontrar o raio de convergencia de uma

serie de potencias dada, a saber:

Teorema 7.2.3 Dada uma serie de potencias

∞∑n=0

anxn , (7.49)

consideremos

ρ.= lim

n→∞∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣ , (7.50)

quando existir.

Ent~ao:

1. se

ρ = 0 , (7.51)

segue que o raio de convergencia da serie de potencias (7.49) sera

R = ∞ . (7.52)


2. se

ρ = ∞ , (7.53)


R = 0 . (7.54)

3. se

ρ ∈ (0 ,∞) , (7.55)


R =1

ρ. (7.56)

Demonstracao:

Fixemos xo = 0 e apliquemos o criterio da raz~ao, por limites para a serie numerica

∞∑n=0

|an xon| .

Para cada n ∈ 0 ∪ N, denamos

AN.= |an xo

n| ≤ 0 . (7.57)

Com isto teremos:

limn→∞

An+1

An

(7.57)= lim

n→∞∣∣an+1 xon+1∣∣|an xo

n|

= limn→∞

∣∣∣∣an+1anxo

∣∣∣∣= |xo| lim

n→∞|an+1|

|an|

(7.50)= |xo| ρ . (7.58)

Logo, do criterio da raz~ao, por limtes para series numericas cujos termos s~ao n~ao-negativos

(isto e, o item i. do Teorema (4.5.5)), segue que se

ρ |xo| < 1 ,


|an xon| sera convergente e se

ρ |xo| > 1 ,


|an xon| sera divergente.

Baseado nisso temos:


1. Se

ρ = 0 teremos ρ|xo| = 0 < 1 ,

logo a serie de potencias (7.49) sera convergente em R, isto e, o raio de convergencia daserie de potencias (7.49) sera

R = ∞ .


-0


2. Se

ρ = ∞ , ent~ao para xo = 0 teremos ρ |xo| = ∞ > 1 ,

logo a serie de potencias (7.49) sera divergente,exceto quando xo = 0, isto e, o raio de

convergencia da serie de potencias (7.49) sera

R = 0 .


-0


3. Se

ρ ∈ (0 ,∞) , para ρ |xo| < 1

ou seja,

|xo| <1

ρ,

a serie de potencias (7.49) sera convergente e para

ρ |xo| > 1 ,

ou seja,

|xo| >1

ρ,

a serie de potencias (7.49) sera divergente, isto e, o raio de convergencia da serie de

potencias e (7.49) sera

R =1

ρ.



-0

︷︸︸︷(7.49) a serie de potencias converge em(− 1

ρ, 1ρ

)

(7.49) a serie de potencias diverge em(−∞ ,− 1

ρ

)∪

(1ρ

,∞)

1ρ︸︷︷︸︸︷︷︸− 1

ρ

I >

Aplicaremos o resultado acima para os seguintes exemplos:

Exemplo 7.2.9 Encontrar o raio de convergencia e o intervalo de convergencia da serie

de potencia abaixo: ∞∑n=1

1

nxn . (7.59)

Resolucao:

Para cada n ∈ N, deninamos

an.=1

n. (7.60)

Com isto teremos:

ρ(7.50)= lim

n→∞|an+1|

|an|

(7.60)= lim

n→∞1

n+ 11

n

= limn→∞

n

n+ 1

Exerccio= 1 . (7.61)

Logo, do Teorema (7.2.3) acima, segue que o raio de convergencia da serie de potencias

(7.59) sera

R =1

ρ

(7.50)= 1 . (7.62)

Portanto, dos item 3. do Teorema (7.2.2), podemos garantir que a serie de potencias

(7.59) convergente em (−1 , 1) e divergente em (−∞ ,−1) ∪ (1 ,∞).

Para completar o estudo dessa serie de potencias (7.59), precisamos analizar o que ocorre

nos pontos

x = −1 e x = 1 .

Notemos que, em

x = 1 ,

a serie de potencias (7.59) sera a serie numerica∞∑n=1

1

nque e divergente (pois e a serie

harmonica - veja o Exemplo (4.3.6)).

Por outro lado, em

x = −1 ,


a serie de potencias (7.59) sera serie numerica∞∑n=1

(−1)n

nque e convergente (e a serie harmonica

alternada - veja o Exemplo (4.6.2)).

Portanto o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.59) e

I = [−1 , 1) . (7.63)

Exemplo 7.2.10 Encontrar o raio de convergencia e o intervalo de convergencia da

serie de potencia abaixo: ∞∑n=1

1

n2xn . (7.64)

Resolucao:

Para cada n ∈ N, deninamos

an.=1

n2. (7.65)

Com isto teremos:

ρ(7.50)= lim

n→∞|an+1|

|an|

(7.65)= lim

n→∞|an+1|

|an|= lim

n→∞

∣∣∣∣ 1

(n+ 1)2

∣∣∣∣∣∣∣∣ 1n2∣∣∣∣

= limn→∞

n2

(n+ 1)2Exerccio

= 1 . (7.66)

Logo, do Teorema (7.2.3) acima, segue que o raio de convergencia da serie de potencias

(7.64) sera

R =1

ρ

(7.50)= 1 .

Portanto podemos garantir que a serie de potencias∞∑n=1

1

n2xn converge e (−1 , 1) e diverge

em (−∞ ,−1) ∪ (1 ,∞).

Para completar o estudo dessa serie de potencias (7.64), precisamos analizar o que ocorre

nos pontos

x = −1 e x = 1 .

Notemos que em

x = 1 ,

a serie de potencias (7.64) sera a serie numerica sera serie numerica∞∑n=1

1

n2que e convergente,

pois e uma p-serie, com p = 2 ∈ (1 ,∞) (veja (4.203)).


Por outro lado, em

x = −1 ,

a serie de potencias (7.64) sera a serie numerica sera serie numerica∞∑n=1

(−1)n

n2que tambem

e convergente (veja o Exemplo (4.8.3)).

Portanto o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.64) sera

I = [−1, 1] .

Observacao 7.2.5 Os Teoremas (7.2.1), (7.2.2) e (7.2.3) acima podem ser adaptados

para series de potencias em (x − c), isto e, centradas em x = c, ou seja, a serie de

potencias do tipo: ∞∑n=1

an (x− c)n . (7.67)

Para ver isto basta observar que se denirmos

y.= x− c (7.68)

ent~ao a serie de potencias (7.67) acima tornar-se-a a seguinte serie de potencias:

∞∑n=1

an yn . (7.69)

Para esta ultima, podemos aplicar os Teoremas (7.2.1), (7.2.2) e (7.2.3) e depois

voltarmos com a mudanca de variaveis que zemos (7.68), ou seja,

x = y+ c , (7.70)

para obter todas as informac~oes que queremos sobre a serie de potencias (7.67).

Para ilustrar, suponhamos que a serie de potencias (7.69) tenha raio de convergencia

R e seu intervalo de convergencia seja

[−R , R) ,

isto e, a serie de potencias (7.69) converge se, e somente se,

y ∈ [−R , R) . (7.71)

Logo, considerando-se (7.68), segue que a serie de potencias (7.67) converge se, e

somente se,

x− c(7.68)= y ∈ [−R , R) , ou seja, x ∈ [c− R , c+ R) . (7.72)

Logo o intervalo

I.= [c− R , c+ R)

sera o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.67), ou seja, da serie de

potencias∞∑n=1

an (x− c)n.


Baseado nas considerac~oes acima, podemos introduzir a:

Definicao 7.2.2 Denimos

R ∈ [0 ,∞] ,

obtido na Observac~ao (7.2.5) acima, como sendo o raio de convergencia da serie de

potencias∞∑n=1

an (x− c)n.

O maior subconjunto de R onde a serie de potencias∞∑n=1

an(x − c)n e convergente

sera denominado intervalo de convergencia da serie de potencias∞∑n=1

an(x− c)n.



serie de potencias: ∞∑n=1

(x− 2)n

n2. (7.73)

Resolucao:

Denamos

y.= x− 2 . (7.74)

Logo a serie de potencias (7.73) tornar-se-a a seguinte serie de potencias:

∞∑n=0

yn

n2=

∞∑n=0

1

n2yn . (7.75)

A serie de potencias (7.75) foi estudada no Exemplo (7.2.8), e vimos que seu raio de

convergencia e igual a (veja (7.47))

R = 1

e seu intervalo de convergencia e (veja (7.48))

Io.= [−1 , 1] . (7.76)

Ent~ao, da Observac~ao (7.2.5) acima, segue que o raio de convergencia da serie de potencias

(7.73) sera igual a

R = 1

Notemos que, de (7.76), a serie de potencias (7.73) sera convergente, se, e somente se

x− 2 ∈ [−1 , 1] , isto e, x ∈= [1 , 3] .

Portanto o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.73), ou seja, da serie de

potencias∞∑n=1

(x− 2)n

n2, sera:

I1.= [1 , 3] .



-2

︷︸︸︷a serie de potencias (7.73) em [1 , 3]

a serie de potencias (7.73) diverge em (−∞ , 1) ∪ (3 ,∞)

3︸︷︷︸︸︷︷︸1

I >



(x+ 5)n

n. (7.77)

Resolucao:

Denamos

y.= x+ 5 . (7.78)

Com isto teremos que serie de potencias (7.77) acima tornar-se-a a seguinte serie de

potencias ∞∑n=0

yn

n. (7.79)

Observemos que a serie de potencias (7.79) foi estudada no Exemplo (7.2.9) e, como vimos,

seu raio de convergencia sera igual a (veja (7.62))

R = 1

e seu intervalo de convergencia sera (veja (7.63))

Io.= [−1 , 1) . (7.80)


(7.77) sera igual a

R = 1

Notemos que, de (7.78), a serie de potencias (7.77) sera convergente, se, e somente se

x+ 5(7.78)= y ∈ [−1 , 1) , isto e, x ∈ [−6 ,−4) .


potencias∞∑n=1

(x+ 5)n

n, sera:

I1.= [−6 ,−4) .



-−5

︷︸︸︷a serie de potencias (7.73) converge em [−6 ,−4)

a serie de potencias (7.73) diverge em (−∞ ,−6) ∪ [−4 ,∞)

−4︸︷︷︸︸︷︷︸−6

I >



(x− 2)n

n!. (7.81)

Resolucao:

Denamos

y.= x− 2 (7.82)

Com isto teremos que serie de potencias (7.81) acima tornar-se-a a seguinte serie de

potencias ∞∑n=0

yn

n!=

∞∑n=0

1

n!yn . (7.83)

Observemos que a serie de potencias (7.83) foi estudada no Exemplo (7.2.4) e, como vimos,

seu raio de convergencia sera igual a (veja (7.36))

R = ∞e seu intervalo de convergencia sera (veja (7.36))

Io.= R . (7.84)


(7.81) sera igual a

R = ∞Notemos que, de (7.82), a serie de potencias (7.77) sera convergente, se, e somente se

x− 2(7.82)= y ∈ R , isto e, x ∈ R .


potencias∞∑n=1

(x− 2)n

n!, sera:

I1.= R .



-0


Para nalizar esta sec~ao temos o seguinte exerccio resolvido:

Exercıcio 7.2.1 Estudar a serie de potencias

∞∑n=0

2n

ln(n+ 3)xn . (7.85)

Resolucao:


an.=

2n

ln(n+ 3). (7.86)

Deste modo, teremos:

ρ = limn→∞

|an+1|

|an|

(7.86)= lim

n→∞ |

∣∣∣∣ 2n+1

ln(n+ 4)

∣∣∣∣∣∣∣∣ 2n

ln(n+ 3)

∣∣∣∣Exerccio

= 2 . (7.87)

Logo, do item 3. do Teorema (7.2.3), segue que o raio de convergencia da serie de potencias

sera igual a

R(7.56)=

1

ρ

(7.87)=

1

2.

Para nalizar precisaremos estudar a convergencia da serie de potencias (7.85) nos pontos

x =1

2e x =

−1

2.

Notemos que em x =1

2a serie de potencias (7.85) sera a serie numerica

∞∑n=0

2n

ln(n+ 3)

(1

2

)n=

∞∑n=0

1

ln(n+ 3). (7.88)

Armamos que

n+ 3 ≥ ln(n+ 3) , para cada n ∈ 0 ∪ N .


Como consequencia teremos

0 ≤ 1

n+ 3≤ 1

ln(n+ 3), para cada n ∈ 0 ∪ N .

7.3. CONVERGENCIA UNIFORME DE SERIES DE POTENCIAS 245


1

n+ 3

e divergente (e a serie harmonica, translada de 3 - veja o Exemplo (4.3.6)) segue, do criterio

da comparac~ao para series numericas, cujos termos s~ao n~ao-negativos (ou seja, o item i. do

Teorema (4.5.2)), que a serie numerica (7.88) sera divergente, ou seja, a serie de potencias

(7.85) sera divergente em x =1

2.

Notemos que em x = −1

2a serie de potencias (7.85) sera a serie numerica temos a serie

numerica ∞∑n=0

2n

ln(n+ 3)

(−1

2

)n=

∞∑n=0

(−1)n

ln(n+ 3). (7.89)

Aplicando o criterio da serie alternada (veja o Teorema ??), pode-se mostrare que a serie

numerica (7.89) e convergente.


Logo a serie de potencias (7.85) sera convergente em x = −1

2.

Logo, das informacoes obtidas acima, podemos conclui que o intervalo de convergencia da

serie de potencias (7.85) sera

I.=

[−1

2,1

2

).

-0

︷︸︸︷serie de potencias (7.85) converge em

[−

1

2,1

2

)

serie de potencias (7.85) diverge em(−∞ ,− 1

2

)∪

[12

,∞)

12︸︷︷︸︸︷︷︸− 1

2

I >

7.3 Convergencia Uniforme de Series de Potencias

Comecaremos esta sec~ao com a seguinte importante observac~ao:

Observacao 7.3.1 Suponhamos que a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.90)

converge em xo = 0.Com isto podemos armar que a serie de potencias convergira absolutamente uni-

formemente para

x ∈ [−a , a] , para cadaa ∈ (0 , |xo|) . (7.91)


De fato, se a serie numerica∞∑n=0

anxon e convergente ent~ao, do criterio da divergencia

(isto e, do Teorema (4.4.2)) segue que

limn→∞ (an xo

n) = 0 .

Logo a sequencia numerica (anxon)n∈N sera limitada, isto e, podemos encontrar M ∈

R de modo que

|an xon| ≤M, para cada n ∈ 0 ∪ N . (7.92)

Logo, para cada

a ∈ (0 , |xo|) xado,

isto e, 0 < a|xo| ,

ou seja,a

|xo|< 1 , (7.93)

segue que, se

x ∈ [−a , a]

teremos que

|an xn|xo =0= |an xo

n|

∣∣∣∣ xnxon∣∣∣∣

(7.92)

≤ M

∣∣∣∣ anxon∣∣∣∣

=M

∣∣∣∣ axo∣∣∣∣n

=Mrn , (7.94)

onde

r.=

∣∣∣∣ axo∣∣∣∣ (7.93)< 1 . (7.95)


∞∑n=0

Mrn =M

∞∑n=0

rn

e convergente (e uma serie geometrica cuja raz~ao r, de (7.95), satisfaz r ∈ [0 , 1) - veja

o Exemplo (4.3.5))..

Logo, do teste M. de Weierstrass (isto e, o Teorema (6.3.1)) , segue que a serie

de potencias∞∑n=0

an xn sera absolutamente uniformemente convergente em [−a , a], para

cada a ∈ [0 , |xo|) xado.


7.3. CONVERGENCIA UNIFORME DE SERIES DE POTENCIAS 247

0−R Ra xo−xo −a︸︷︷︸a serie de potencias (7.90) converge pontualmente em (−|xo| , |xo|)

︷︸︸︷a serie de potencias (7.90) converge uniformemente em [−a , a]

Em geral temos o:

Teorema 7.3.1 Consideremos a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.96)

cujo raio de convergencia e R ∈ (0 ,∞).

Ent~ao a serie de potencias (7.96) sera absolutamente uniformemente em qualquer

intervalo fechado e limitado contido dentro do intervalo (−R , R), isto e, em

[a , b] ⊆ (−R , R) . (7.97)

Demonstracao:

Seja

[a , b] ⊆ (−R , R) .

Podemos supor, sem perda de generalidade que

|a| < |b| .

O caso em isso n~ao ocorre sera deixado como exerccio para o leitor.

Deste modo, segue que

[a , b] ⊆ (−|b| , |b|) . (7.98)

A gura abaixo ilustra a situacao acima para o caso que |b| = b > 0:

−|b| |b| = ba

Observemos que podemos encontrar

xo ∈ (0 , R) , de modo que − xo < −|b| < |b| < xo .

A gura abaixo ilustra a situacao acima

0−R R|b| |xo|−|xo| −|b|


Como xo ∈ (−R , R) temos que a serie numerica∞∑n=0

anxon sera convergente.

Logo da Observac~ao (7.3.1) acima, podemos concluir que a serie de potencias∞∑n=0

an xn

convergira absolutamente uniformemente em [−|b| , |b|)

Portanto, de (7.98), a serie de potencias∞∑n=0

an xn convergira absolutamente uniforme-

mente em intervalo, [a , b], como queramos demonstrar.

Como consequencia do Teorema (7.3.1) acima, temos o:

Corolario 7.3.1 Suponhamos que a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.99)

tenha raio de convergencia igual a R ∈ (0 ,∞).

Considere a func~ao f : (−R , R) → R dada por

f(x).=

∞∑n=0

an xn , para cada x ∈ (−R , R) . (7.100)

Ent~ao a func~ao f sera contnua em (−R , R).

Demonstracao:

Mostremos que a func~ao f e contnua em xo ∈ (−R , R).

Para isto consideremos a e b tal que

−R < a ≤ xo < b < R ,

que sempre existem pois

−R < xo < R .

Do Teorema (7.3.1) acima, sabemos que a serie de potencias (7.99) converge absolutamente

uniformemente em [a , b].

Notemos que, para cada n ∈ N, a func~ao fn : R → R dada por

fn(x).= anx

n , para cada x ∈ R (7.101)

e contnuas em R, em particular, sera contnua no intervalo [a , b].

Logo, do item 1. do Corolario (6.3.1), segue que a func~ao f sera contnua em [a, b], em

particular em xo ∈ [a , b] ⊆ (−R , R).

Portano a func~ao f sera contnua em (−R , R), completando a demonstrac~ao do resultado.

7.4. INTEGRAC ~AO SERIES DE POTENCIAS 249

Observacao 7.3.2 Todas as series de potencias estudadas nas sec~oes anteriores, con-

vergem absolutamente uniformemente em intervalos fechados e limitados [a , b], que

est~ao contidos no interior dos intervalos de convergencia das respectivas series de

potencias.

Logo suas func~oes somas denem, func~oes contnuas nos respectivos interiores dos

intervalos de convergencia das series de potencias.

7.4 Integracao Series de Potencias

Para integrar uma serie de potencias temos o seguinte resultado:

Teorema 7.4.1 Suponhamos que a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.102)

tenha raio de convergencia R ∈ (0 ,∞].

Ent~ao, para todo cada x ∈ (−R , R) xado, a soma da serie de potencias (7.102) e

uma func~ao integravel em [0 , x], x ∈ (0 ,∞) ou em [x , 0], se x ∈ (−∞ , 0) e a integral da

mesma pode ser obtida integrando-se a serie de potencias (7.102), termo a termo, no

intervalo [0 , x], x ∈ (0 ,∞) ou em [x , 0], se x ∈ (−∞ , 0), ou seja,∫ x0

f(t)dt =

∞∑n=0

an

n+ 1xn+1

= ao x+a1

2x2 +

a2

3x3 + · · ·+ an

n+ 1xn+1 · · · , (7.103)

ou ainda, ∫ x0

[ ∞∑n=0

an tn

]dt =

∞∑n=0

an

[∫ x0

tn dt

], (7.104)

ou seja, ∫ x0

[ ∞∑n=0

an tn

]dt =

∞∑n=0

an

n+ 1xn+1 . (7.105)

Demonstracao:

Suponhamos que x ∈ (0 ,∞).

A demonstrac~ao do caso x ∈ (−∞ , 0) e semelhante a que faremos e sera deixada como

exerccio para o leitor.

Para cada x ∈ (−R , R), temos que

[0 , x] ⊆ (−R , R) .

Logo, do Teorema (7.3.1), segue que a serie de potencias (7.102) sera uniformemente

convergente em [0 , x].


Portanto, do item 2. do Corolario (6.3.1), segue que a serie de potencias (7.102) pode ser

integrada termo a termo, isto e,∫ x0

[ ∞∑n=0

an tn

]dt

(6.22)=

∞∑n=0

[∫ x0

an tn dt

]Teor. Fundamental do Calculo

=

∞∑n=0

[an

n+ 1tn+1

∣∣∣∣t=xt=0

].

=

∞∑n=0

an

n+ 1xn+1 ,


A seguir faremos mais algumas considerac~oes importantes sobre o comportamento de uma

serie de potecnias:

Observacao 7.4.1

1. Suponhamos que a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.106)

tenha raio de convergencia R ∈ (0 ,∞] e x ∈ (−R , R).

Seja

ρo(7.50)= lim

n→∞∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣ , (7.107)

obtido pelo Teorema (7.2.3).

Notemos que, tambem pelo Teorema (7.4.1), a serie de potencias (7.106), pode

ser integrada, termo a termo, no intervalo [0 , x], se x ∈ (0 ,∞), ou [x , 0], se

x ∈ (−∞ , 0), e o resultado produzira uma outra serie de potencias de potencias,

que e a serie de potencias dada por (7.105), isto e, a serie de potencias

∞∑n=0

an

n+ 1xn+1 , (7.108)

para x ∈ (−R , R).

Neste caso os coecientes da serie de potencias (7.108) ser~ao dados por

An.=

an

n+ 1, n ∈ 0 ∪ N . (7.109)

Encontremos o raio de convergencia desta serie de potencias (7.108).


Para isto, basta calcularmos:

ρ1

(7.50).= lim

n→∞∣∣∣∣An+1An

∣∣∣∣(7.109)= lim

∣∣∣∣∣∣∣an+1

n+ 2an

n+ 1

∣∣∣∣∣∣∣= lim

n→∞∣∣∣∣n+ 1

n+ 2

an+1

an

∣∣∣∣=

[limn→∞

n+ 1

n+ 2

]︸︷︷︸

Exerccio= 1

[limn→∞

∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣]

= limn→∞

∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣ (7.107)= ρo ,

ou seja, as duas series de potencias (7.106) e (7.108) (a original e a integrada,

termo a termo) tem o mesmo raio de convergencia, pois

ρ1 = ρo . (7.110)

2. De modo semelhante, a serie de potencias (7.108), ou seja,

∞∑n=0

an

n+ 1xn+1 ,

por ser uma serie de potencias com raio de convergencia R ∈ (0 ,∞] (que e igual ao

da serie de potencias original, isto e, (7.106)), para cada x ∈ (−R , R), podera ser

integrada, termo a termo, no intervalo [0 , x], se x ∈ (0 ,∞), ou no intervalo [x , 0],

se x ∈ (−∞ , 0), obtendo-se, deste modo, uma nova serie de potencia, a saber

∞∑n=0

an

(n+ 1) (n+ 2)xn+2 ,

que tera o mesmo raio de convergencia R ∈ (0 ,∞], da serie original, isto e, da

serie de potencias (7.106).

Podemos repetir esse processo indenidamente obtendo-se, em cada passo do pro-

cesso, uma nova serie de potencias, que tera o mesmo raio de convergencia da

serie de potencias a qual iniciamos o processo, , isto e, da serie de potencias

(7.106).

Conclusao: se R ∈ (0 ,∞] e o raio de convergencia de uma serie de potencias, para

caca x ∈ (−R , R), integrando-se a serie de potencias no [0 , x], se x ∈ (0 ,∞), ou no

intervalo [x , 0], se x ∈ (−∞ , 0), obteremos uma nova serie de potencias, cujo raio

de convergencia sera igual a R, ou seja, sera o mesmo da serie de potencias que

iniciamos .


Como veremos, em alguns exemplos a seguir, os intervalos de convergencia nao

precisar~ao necessariamente serem iguais, isto e, os raios de convergencia das

series de potecias acima consideradas s~ao iguais mas os respectivos intervalos de

convergencia poderao ser diferentes.

1. Se denotarmos por Io, o intervalo de convergencia da serie potencias (7.106) e por

I1, o intervalo de convergencia da serie potencias (7.108), em geral, teremos:

Io ⊆ I1 , (7.111)

ou seja, o intervalo de convergencia da serie de potencias obtida da integrac~ao de

uma serie de potencias dada pode, eventualmente, "aumentar" .

Veremos, adiante, exemplos onde isto ocorrera (veja o Exemplo (7.4.1)).

3. Notemos que podemos demonstrar um resultado analogo ao Teorema (7.4.1), trocando-

se o intervalo [0 , x], para x ∈ (0 ,∞), por um intervalo

[b , c] ⊆ (−R , R) ,

ou seja, podemos mostrar que∫ cb

∞∑n=0

antn dt

analogo a (7.104)=

∞∑n=0

[∫ cb

an tn dt


=

∞∑n=0

[an

n+ 1tn+1

∣∣∣∣t=ct=b

]

=

∞∑n=0

an

n+ 1

(cn+1 − bn+1

)as series numericas s~ao convergentes

=

∞∑n=0

an

n+ 1cn+1 −

∞∑n=0

an

n+ 1bn+1 . (7.112)


Exemplo 7.4.1 Considere a serie de potencias

∞∑n=0

(−1)n xn . (7.113)

Encontre os raios de convergencia e o intervalo de convergencia da serie de potencias

e da serie de potencias integrada, associada a mesma.

Resolucao:


an.= (−1)n . (7.114)


Notemos que

ρo(7.50)= lim

n→∞∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣(7.114)= lim

n→∞∣∣∣∣(−1)n+1(−1)n

∣∣∣∣ = 1 , (7.115)

logo, do item 3. Teorema (7.2.3), segue que o raio de convergencia da serie de potencias

(7.113) sera

Ro.=1

ρo

(7.115)= 1 . (7.116)

Observemos que, para

x = 1 ,

a serie de potencias (7.113), tornar-se-a a serie numerica

∞∑n=0

(−1)n1n =

∞∑n=0

(−1)n

que, pelo criterio da divergencia (isto e, o Teorema (4.4.2)) e uma serie numerica divergente.

De mod semelhante, notemos que, para

x = −1 ,

a serie de potencias (7.113), tornar-se-a a serie numerica

∞∑n=0

(−1)n(−1)n =

∞∑n=0

1

que, pelo criterio da divergencia (isto e, o Teorema (4.4.2)) e uma serie numerica divergente.

Portanto intervalo de convergencia da serie de potencias (7.113) sera

Io.= (−1 , 1) . (7.117)

Alem disso, a soma da serie de potencias (7.113), sera a func~ao f : (−1 , 1) → R, dada por

f(x).=

∞∑n=0

(−1)n xn =1

1+ x, para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.118)

Lembremos que, para cada x ∈ (−1 , 1) xado, a serie de potencias (7.113) tornar-se-a uma

serie geometrica raz~ao −x, com |x| < 1, logo convergente e sua soma sera dada por (7.116)

(veja o Exemplo (4.3.5)).

Notemos agora que, do Teorema (7.4.1) acima, segue que a serie de potencias (7.113) pode

ser integrada, termo a termo, em qualquer intervalo fechado e limitado contido dentro do seu

intervalo de convergencia, ou seja em [a , b] onde [a , b] ⊆ (−1 , 1) .


Assim, se x ∈ (−1 , 1), aplicando-se o argumento acima, ao intervalo [0 , x], se x ∈ (0 ,∞),

ou ao intervalo [x , 0], se x ∈ (−∞ , 0), segue que:∫ x0

f(t)dt(7.108)=

∫ x0

[ ∞∑n=0

(−1)n xn dt

](7.104)=

∞∑n=0

[∫ x0

(−1)ntn dt


=

∞∑n=0

[(−1)n

n+ 1tn∣∣∣∣t=xt=0

]

=

∞∑n=0

(−1)n

n+ 1xn+1

m.=n+1=

∞∑m=1

(−1)m−1

mxm

=

∞∑n=1

(−1)n−1

nxn . (7.119)

Notemos que a serie de potencias (7.119) e convergente em x = 1.

De fato, pois a serie de potencias (7.119) em x = 1 tornar-se-a a serie numerica

∞∑n=1

(−1)n−1

n

que a serie harmonica alternada que, como vimos (veja o Exemplo (4.6.2)), e convergente.

Notemos que a serie de potencias (7.119) e divergente em x = −1.

De fato, pois a serie de potencias (7.119) em x = −1 tornar-se-a a serie numerica

∞∑n=1

(−1)n−1

n(−1)n =

∞∑n=1

1

n

que a serie harmonica que, como vimos (veja o Exemplo (4.3.6)), e divergente.

Logo o raio de convergencia da serie de potencias (7.119) (que a serie de potencias inte-

grada da serie de potencias (7.113)) sera igual a

R1.= 1 (7.120)

e o intervalo de convergencia da serie (7.119) integrada (que a serie de potencias integrada

da serie de potencias (7.113)) sera igual a

I1.= (−1 , 1] . (7.121)

Logo, neste exemplo, de (7.116), (7.117), (7.120) e (7.121), segue que

R1(7.116)= 1

(7.120)= Ro e Io

(7.117)= (−1 , 1) ⊆ (−1 , 1]

(7.120)= I1 , com Io =I1 (7.122)


Observacao 7.4.2

1. Um outro modo de obtermos a express~ao da func~ao que nos fornece soma da serie

de potencias (7.113), ou seja, (7.118), e o seguinte:

Para x ∈ (−1 , 1) temos que :

f(x).=

∞∑n=0

(−1)n xn

= 1− x+ x2 − x3 + x4 + · · ·= 1− x

(1− x+ x2 − x3 + x4 + · · ·

)︸︷︷︸(7.118)

= f(x)

= 1− x f(x) .

Logo

f(x) = 1− x f(x) ,

portanto f(x) =1

1+ x, para cada |x| < 1 ,

como apresentado em (7.118).

2. Notemos que, para cada x ∈ (−1 , 1), temos que∫ x0

f(t)dt =

∫ x0

1

1+ tdt


[ln(1+ t)

∣∣∣∣t=xt=0

]= ln(1+ x) ,

logo

ln(1+ x) =∞∑n=1

(−1)n−1

nxn , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.123)

Fazendo x = 1 na identidade (7.120) acima, obteremso

ln(2) =∞∑n=1

(−1)n−1

n, (7.124)

como havamos armado anteriormente (veja a Obsevac~ao (4.6.2)).

Temos tambem o:


Exemplo 7.4.2 Considere a serie de potencias

∞∑n=0

(−1)n x2 n =

∞∑n=0

(−x2

)n(7.125)



Resolucao:

Notemos que, dendo

y.= −x2 , (7.126)

a serie de potencias (7.125) torna-se-a a serie de potencias

∞∑n=0

yn . (7.127)

Notemos que, para cada y ∈ R xado, a serie de potencias (7.127) e uma serie geometrica,

cuja raz~ao e igual a y.

Logo, do Exemplo (4.3.5) e o Teorema (4.8.1), segue que ela sera convergente se, e somente

se,

y ∈ (−1 , 1) . (7.128)

Alem disso, para cada y ∈ (−1 , 1) xado, a soma da serie numerica (7.127), sera (veja

(4.30)) dada por ∞∑n=0

yn =1

1− y. (7.129)

Logo, de (7.126) e (7.128), segue que a serie de potencias (7.125) sera convergente se, e

somente se,

−x2(7.126)= y ∈ (−1 , 1) , ou seja, x ∈ (−1 , 1) .

Portanto, o raio de convergencia da serie de potencias (7.125) sera

Ro.= 1 (7.130)

e o intervalo de convergencia serie de potencias (7.125) sera

Io.= (−1 , 1) . (7.131)

Alem disso, de (7.126) e (7.129), segue que a func~ao soma da serie de potencias (7.125),

sera a func~ao f : (−1 , 1) → R dada por

f(x)(7.126) e (7.129)

.=

1

1−(−x2

) =1

1+ x2, para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.132)

Logo, para cada x ∈ (−1 , 1) temos:

f(x) =

∞∑n=0

(−1)n , x2 n = 1− x2 + x4 − x6 + x8 + · · · (7.133)






ou ao intervalo [x , 0], se x ∈ (−∞ , 0), segue que:∫ x0

f(t)dt(7.12)=

∫ x0

[ ∞∑n=0

(−1)n t2 n dt

](7.104)=

∞∑n=0

[∫ x0

(−1)n t2n dt


=

∞∑n=0

[(−1)n

2n+ 1t2 n+1

∣∣∣∣t=xt=0

]

=

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1x2 n+1 . (7.134)

Notemos que o raio de convergencia da serie de potencias (7.134) (isto e, da serie de

potencias integrada da serie de potencias (7.115)) e

R1.= 1 . (7.135)

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor

Encontremos o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.134) (isto e, da serie de

potencias integrada da serie de potencias (7.115)).

Para isto notemos que se zermos x = 1 na serie de potencias (7.134), obteremos a serie

numerica ∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1(−1)n︸︷︷︸

=1

=

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1

que, pelo criterio da serie alternada (veja o Teorema (4.6.1) ou o Exemplo (4.6.3), fazendo

m.= n− 1 naquela), temos que ela sera convergente.

Por outro lado, se zermos x = −1 na serie de potencias (7.134), obteremos a serie

numerica ∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1(−1)2 n+1︸︷︷︸

=−1

= −

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1

que, como vimos acima, e convergente.

Logo, o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.134) (isto e, da serie de potencias

integrada da serie de potencias (7.115)), sera

I1.= [−1 , 1] . (7.136)


R1(7.135)= 1

(7.130)= Ro e Io

(7.131)= (−1 , 1) ⊆ (−1 , 1]

(7.136)= I1 , com Io =I1 (7.137)


Observacao 7.4.3 Notemos que, no Exemplo (7.4.2) acima, para cada x ∈ [−1 , 1], tere-

mos ∫ x0

f(t)dt(7.132)=

∫ x0

1

1+ t2dt


[arctg(x)

∣∣∣∣t=xt=0

]= arctg(x) ,

logo, de (7.134), segue que

arctg(x) =∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1x2 n+1 , para cada x ∈ [−1 , 1] . (7.138)

Em particular, se zermos x = 1, temos que

π

4= arctg(1)

(7.138)=

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1

= 1−1

3+1

5−1

7+ · · · , (7.139)

como armamos anteriromente (veja o Exemplo (4.6.3), na verdade (4.242), fazendo

m = n− 1).

Temos tambem o exerccio resolvido:

Exercıcio 7.4.1 Considere a serie de potencias

∞∑n=0

xn (7.140)



Resolucao:

Notemos que, para cada x ∈ R xado, a serie de potencias (7.140) e uma serie geometrica,

cuja raz~ao e igual a x.

Logo, do Exemplo (4.3.5) e o Teorema (4.8.1), segue que ela sera convergente se, e somente

se,

x ∈ (−1 , 1) . (7.141)

Alem disso, para cada x ∈ (−1 , 1) xado, a soma da serie numerica (7.140), sera (veja

(4.30)) dada por ∞∑n=0

xn =1

1− x. (7.142)


Portanto, o raio de convergencia da serie de potencias (7.140) sera

Ro.= 1 (7.143)

e o intervalo de convergencia serie de potencias (7.140) sera

Io.= (−1 , 1) . (7.144)

A func~ao soma da serie de potencias (7.140), sera a func~ao f : (−1 , 1) → R dada por

f(x).=

1

1− x, para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.145)





ou ao intervalo [x , 0], se x ∈ (−∞ , 0), segue que:

∫ x0

f(t)dt(7.12)=

∫ x0

[ ∞∑n=0

tn dt

](7.104)=

∞∑n=0

[∫ x0

tn dt


=

∞∑n=0

[1

n+ 1tn+1

∣∣∣∣t=xt=0

]

=

∞∑n=0

1

n+ 1xn+1 . (7.146)

Notemos que o raio de convergencia da serie de potencias (7.146) (isto e, da serie de

potencias integrada da serie de potencias (7.140)) e

R1.= 1 . (7.147)

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor

Encontremos o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.146) (isto e, da serie de

potencias intergrada da serie de potencias (7.140)).

Para isto notemos que se zermos x = 1 na serie de potencias (7.146), obteremos a serie

numerica ∞∑n=0

1

n+ 11n︸︷︷︸=1

=

∞∑n=0

1

2n+ 1

que e uma serie divergente (veja o Exemplo (4.5.8)).


Por outro lado, se zermos x = −1 na serie de potencias (7.134), obteremos a serie

numerica

∞∑n=0

1

n+ 1(−1)n =

∞∑n=0

(−1)n

n+ 1

m=n+1=

∞∑n=1

(−1)m−1

m

=

∞∑n=1

(−1)m+1

m

que, pelo criterio da serie alternada (veja o Teorema (4.6.1) ou o Exemplo (4.6.2)) temos que

ela sera convergente.

Logo, o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.146) (isto e, da serie de potencias

integrada da serie de potencias (7.140)), sera

I1.= [−1 , 1) . (7.148)


R1(7.143)= 1

(7.147)= Ro e Io

(7.144)= (−1 , 1) ⊆ (−1 , 1]

(7.148)= I1 , com Io =I1 (7.149)

Observacao 7.4.4 Notemos que, no Exemplo (7.140) acima, para cada x ∈ [−1 , 1),

teremos ∫ x0

f(t)dt(7.132)=

∫ x0

1

1− tdt


[− ln(1− x)

∣∣∣∣t=xt=0

]= − ln(1− x) + ln(1) = − ln(1− x) ,

de (7.146), segue que ln(1− x) =∞∑n=0

1

n+ 1xn+1 , para cada x ∈ [−1 , 1) . (7.150)

Em particular, se zermos x = −1 em (7.150), obteremos

ln(2)(7.150) com x=−1

=

∞∑n=0

(−1)n+1

n+ 1

= −1+1

2−1

3+1

4− · · · . (7.151)

7.5 Derivacao de Series de Potencias

Para derivar series de potencias, termoa termo, temos o seguinte resultado:

7.5. DERIVAC ~AO DE SERIES DE POTENCIAS 261

Teorema 7.5.1 Suponhamos que a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.152)

tenha raio de convergencia igual a R ∈ (0 ,∞].

Ent~ao a func~ao soma da serie de potencias (7.152), isto e, a func~ao f : (−R , R) → Rdada por

f(x).=

∞∑n=0

an xn , para cada x ∈ (−R , R) , (7.153)

sera uma func~ao diferenciavel em (−R , R) e, alem disso, a serie de potencia (7.152)

pode ser derivada, termo a termo, em (−R , R), isto e,

f ′(x) =

∞∑n=1

nan xn−1 , (7.154)

ou seja,d

dx

[ ∞∑n=0

an xn

]=

∞∑n=1

d

dx[an x

n] (7.155)

ou ainda,d

dx

[ ∞∑n=0

an xn

]=

∞∑n=1

nan xn−1 , para cada x ∈ (−R , R) . (7.156)

Demonstracao:

Seja

ρo(7.50)= lim

n→∞∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣ , (7.157)

obtido pelo Teorema (7.2.3).

Encontremos o raio de convergencia da serie de potencias

∞∑n=1

nan xn−1 . (7.158)

Para isto, para cada n ∈ N, denamos

An.= nan (7.159)


e calculemos

ρ ′(7.50).= lim

n→∞∣∣∣∣An+1An

∣∣∣∣(7.159)= lim

n→∞∣∣∣∣(n+ 1)an+1

nan

∣∣∣∣= lim

n→∞[n+ 1

n

∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣]

=

limn→∞

n+ 1

n︸︷︷︸Exerccio

= 1

[limn→∞

∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣]

= limn→∞

∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣ (7.157)= ρo . (7.160)

Como

ρ ′ = ρo ,

segue que, do Teorema (7.2.3), que os raios de convergencia das serie de potencias (7.158) e

(7.152) s~ao iguais.

Em particular, a serie de potencias (7.158) sera uniformemente convergente em qualquer

intervalo fechado e limitado, contido no intervalo (−R , R), isto e, em [a , b] ⊆ (−R , R).

Logo, do item 3. do Teorema (6.3.1), segue que a func~ao soma da serie de potencias

(7.152) (isto e, a func~ao f dada por (7.153)) sera uma func~ao diferenciavel em (−R , R) e,

alem disso, a a serie de potencias (7.152) podera ser derivada, termo a termo, no intervalo

(−R, R), ou seja, para x ∈ (−R , R), teremos:

f ′(x)(7.152)=

d

dx

[ ∞∑n=0

an xn

]

=

∞∑n=1

[d

dx(an x

n)

]Calcilo 1=

∞∑n=1

nan xn−1 ,

como queramos mostrar.

Observacao 7.5.1

1. O Teorema (7.5.1) acima nos diz que a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.161)

pode ser derivada, termo a termo, no intervalo (−R, R).


Alem disso, sua derivada, ∞∑n=1

nan xn−1 (7.162)

tambem sera uma serie de potencias, cujo raio de convergencia e igual ao da serie

de potencias original, isto e, sera igual ao da serie de potencias (7.161).

Vale observar que os respecivos intervalos de convergencia podem, em geral, ser

diferentes, como sera tratado no item 1. da Observac~ao (7.5.2), que vira a seguir

2. Notemos tambem que (7.162) e uma serie de potencias.

Logo podemos aplicar Teorema (7.5.1) acima a ela propria.

Com isto a func~ao f, dada por (7.153), sera duas vezes diferenciavel em (−R , R)

e, alem disso, podemos derivar a serie de potencais (7.162), termo a termo, em

(−R , R), e assim obter uma nova serie de potencias, ou ainda,

f ′′(x) =d

dx[f ′(x)]

(7.162)=

d

dx

[ ∞∑n=1

nan xn−1

](7.155)=

∞∑n=2

d

dx

[nan x

n−1]

Exerccio=

∞∑n=2

n (n− 1)an xn−2 . (7.163)

Notemos que, pelo Teorema (7.5.1) acima, a serie de potencias (7.163) tera o raio

de convergencia da serie de potencias (7.162) que, por sua vez, tem o mesmo

raio de convergencia da da serie de potencias inical, isto e, da serie de potencais

(7.161).

Podemos repetir o processo indenidamente e assim obter a seguinte consequencia

do Teorema (7.5.1) acima:

Corolario 7.5.1 Suponhamos que a serie de potencias

∞∑n=0

an xn (7.164)

tenha raio de convergencia igual a R ∈ (0 ,∞].

Ent~ao a func~ao soma da serie de potencias (7.164), isto e, a func~ao f : (−R , R) → Rdada por

f(x).=

∞∑n=0

an xn , para cada x ∈ (−R , R) , (7.165)

pertencera C∞ ((−R , R) ; R).


Alem disso, para cada k ∈ N, a serie de potencia (7.164), pode ser derivada k-vezes,

termo a termo em (−R , R), isto e, para x ∈ (−R , R) teremos:

f(k)(x) =

∞∑n=k

n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k+ 1)an xn−k . (7.166)

Demonstracao:

Consequencia do Teorema (7.5.1) acima.

Para obter (7.166), basta notarmos que, para cada x ∈ (−R , R), de (7.155) e induc~ao,

sobre a ordem de derivac~ao, segue que

f(k)(x) =dk

dxkf(x)

(7.165)=

dk

dxk

[ ∞∑n=0

an xn

](7.155)=

∞∑n=k

dk

dxk[an x

n]

Calculo 1. e induc~ao=

∞∑n=k

n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k+ 1)an xn−k ,

completando a demonstrac~ao

Observacao 7.5.2

1. Como resumo, temos que uma serie de potencias, cujo raio de convergencia e igual

a R ∈ (0 ,∞], representa uma func~ao que possui derivada, de qualquer ordem, no

intervalo (−R , R).

O raio de convergencia de qualquer uma das series de potencias obtidas da serie

de potencias inicial, derivando-se termo a termo, continua o mesmo.

O intervalo de convergencia de uma serie de potencias obtida da derivac~ao de

uma dada pode mudar.

Em geral, temos

I ′ ⊆ I , (7.167)

onde I e I ′ denotam os intervalos de convergencia da serie de potencias inicial e

da serie de potencias derivada termo a termo, respectivamente.

Pode ocorrer situac~oes em que

I ′ = I . (7.168)

Um caso em que isto ocorre e no Exemplo (7.4.2) olhado da seguinte forma:

Vimos, no Exemplo (7.4.2), que a serie de potencias

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1x2 n+1 (7.169)


tem como intervalo de convergencia o intervalo

I.= [−1 , 1] (7.170)

Notemos que, a serie de potencias obtida derivando-se a serie de potencias (7.169),

termo a termo, sera a serie de potencias

∞∑n=0

(−1)n x2 n (7.171)

que tem como intervalo de convergencia

I ′.= (−1 , 1) ,

ou seja, o intervalo de convergencia I ′, da serie de potencias obtida por derivac~ao

da serie de potencias (7.169), esta contido, propriamente, o intervalo de con-

vergencia I da serie de potencias (7.169).

2. As propriedade obtidasd nos resultado acima, s~ao intrsecas de series de potencias,

ou seja, isto pode nao ocorrer, em geral, para series de func~oes, como mostra o

seguinte exemplo:

A serie de func~oes ∞∑n=1

sen(nx)

n2

(que nao e uma serie de potencias) e uniformemente convergente na reta R, como

vimos no Exemplo (6.3.5).

Notmes que, se derivarmos a serie de func~oes acima, termo a termo, obteremos

a seguinte serie de func~oes ∞∑n=1

cos(nx)

n,

que nao converge em, por exemplo,

x = 0 ,

na verdade, n~ao converge em cada x = 2 kπ, para todo k ∈ N.

3. Para a ∈ R xado, vale o analogo do Corolario (7.5.1) acima, para a serie de

potencias ∞∑n=0

an (x− a)n (7.172)

no intervalo (a − R , a + R), onde R ∈ (0 ,∞] e o raio de convergencia da serie de

potencias (7.172).


Mais precisamente, a func~ao f : (a− R , a+ R) → R, dada por

f(x).=

∞∑n=0

an (x− a)n , para cada x ∈ (a− R , a+ R) , (7.173)

pertencera C∞ ((a− R , a+ R) ; R).

Alem disso, para cada k ∈ N, a serie de potencia (7.172), pode ser derivada k-vezes,

termo a termo em (a− R , a+ R), isto e, para x ∈ (a− R , a+ R) teremos:

f(k)(x) =

∞∑n=k

n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k+ 1)an (x− a)n−k . (7.174)

Deixaremos a demonstrac~ao do mesmo como exerccio para o leitor.

Podemos utilizar a representac~ao em series de potencia de func~oes conhecidas para obter

uma representac~ao em serie de potencias para outras func~oes, como mostram os exemplos

aseguir:

Exemplo 7.5.1 Considere a func~ao f : (−1 , 1) → R dada por

f(x) =1

(1− x)2, para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.175)

Obter uma representac~ao em serie de potencias para a func~ao f, no intervalo (−1 , 1).

Resolucao:

Observemos que, para cada x ∈ (−1 , 1), teremos:

d

dx

[1

1− x

]= (−1)

1

(1− x)2(−1)

=1

(1− x)2

(7.175)= f(x) . (7.176)

Como vimos no Exemplo (7.4.1) (ou ainda, (7.142)),

1

1− x=

∞∑n=0

xn , para cada x ∈ (−1 , 1) , (7.177)

que e uma serie de potencias cujo raio de convergencia e R = 1.


Logo, do Teorema (7.5.1) acima, segue que a serie de potencias em (7.177) pode ser

derivada, termo a termo, no intervalo (−1 , 1) ou seja, para cada x ∈ (−1 , 1), teremos:

f(x)(7.176)=

d

dx

[1

1− x

](7.177)=

d

dx

[ ∞∑n=0

xn

](7.155)=

∞∑n=1

[d

dxxn]

=

∞∑n=1

nxn−1 . (7.178)

Portanto,1

(1− x)2=

∞∑n=1

nxn−1 , para cada x ∈ (−1 , 1) , (7.179)

sera a representac~ao da func~ao f, dada por (7.175), em series de potencias, no intervalo

(−1 , 1), completando a resoluc~ao.


∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2 n . (7.180)

Mostre que a o intervalo deconvergencia da serie de potencias (7.180) e igual a R.Alem disso, se func~ao soma da serie de potencias (7.117), que denotaremos por

f : R → R, dada por

f(x).=

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2 n , para cada x ∈ R , (7.181)

mostre que

f(x) = cos(x) , para cada x ∈ R . (7.182)

Resolucao:

Notemos que

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2 n =

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!

(x2)n. (7.183)

Logo, denido-se

y.= x2 , para cada x ∈ R , (7.184)

segue que basta estudarmos a serie de potencias

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!yn . (7.185)



An.=

−(1)n

(2n)!. (7.186)

Calculemos:

ρo.= lim

n→∞∣∣∣∣An+1An

∣∣∣∣(7.186)= lim

n→∞

∣∣∣∣∣∣∣∣−(1)n+1

[2 (n+ 1)]!

−(1)n

(2n)!

∣∣∣∣∣∣∣∣= lim

n→∞1

(2n+ 2) (2n+ 1)

Exerccio= 0 .

Logo, do item 1. do Teorema (7.2.3), segue que o raio de convergencia da serie de potencias

(7.185) sera

R = ∞ ,

ou seja, a serie de potencias (7.185) converge em R, ou ainda, o intervalo de convergencia da

serie de potncias (7.185) sera

Io.= R .

Logo, de (7.184), temos que a serie de potencias (7.180) tera intervalo de convergencia

igual a

Io.= R .

Em particular, do Corolario (7.5.1), segue que a func~ao soma da serie de potencias (7.117),

isto e, a func~ao f : R → R, dada por (7.181), pertencera a C∞(R ; R) e a serie de potencias

(7.180) podera ser derivada, termo a termo, a qualquer ordem.

Logo, para cada x ∈ R, teremos

f ′(x)(7.181)=

d

dx

[ ∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2 n

]

=

∞∑n=1

d

dx

[(−1)n

(2n)!x2 n]

=

∞∑n=1

(−1)n(2n)

(2n)!x2 n−1

=

∞∑n=1

(−1)n

(2n− 1)!x2 n−1

m.=n−1=

∞∑m=0

(−1)m+1

[2 (m+ 1) − 1]!x2 (m+1)−1

=

∞∑m=0

(−1)m+1

(2m+ 1)!x2m+1 ,


ou seja,

f ′(x) =

∞∑n=0

(−1)n+1

(2n+ 1)!x2 n+1 (7.187)

= −x+x3

3!−x5

5!+ · · · , para cada x ∈ R .

Derivando mais uma vez, termo a termo, obtemos:

f ′′(x)(7.187)=

d

dx

[ ∞∑n=0

(−1)n+1

(2n+ 1)!

]x2n+1

=

∞∑n=0

d

dx

[(−1)n+1

(2n+ 1)!x2 n+1

]=

∞∑n=0

(−1)n+1(2n+ 1)

(2n+ 1)!x2n

=

∞∑n=0

(−1)n+1

(2n)!x2 n

= −

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2 n

(7.181)= −f(x) ,

ou seja,

f ′′(x) = −f(x) , para cada x ∈ R . (7.188)

Notemos que

f(0)x=0 em (7.181)

=

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!02 n = 1 (7.189)

e

f ′(0)x=0 em (7.187)

=

∞∑n=0

(−1)m+1

(2m+ 1)!02m+1 = 0, (7.190)

isto e, a func~ao f satisfaz ao seguinte PVIf ′′(x) = −f(x) , para cada x ∈ R,f(0) = 1,

f ′(0) = 0

.

Na disciplina de Equac~oes Diferencias Ordinarias, foi mostrado que existe uma unica

func~ao que tem essas tres propriedades e, esta func~ao e a func~ao cosseno, ou seja,

f(x) = cos(x) , para cada x ∈ R.


Portanto

cos(x) =∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2 n

= 1−x

2!+x4

4!−x6

6!+ · · · , para cada x ∈ R , (7.191)


Como consequencia, temos o:


sen(x) =∞∑n=1

(−1)n+1

(2n− 1)!x2 n−1

= x−x3

3!+x5

5!−x7

7!+ · · · , para cada x ∈ R . (7.192)

Resolucao:

Notemos que, para cada x ∈ R, temos:

d

dxcos(x) = − sen(x) .

Logo podemos obter uma representac~ao em serie de potencias para a func~ao seno utilizando-

se representac~ao em serie de potencias para a func~ao cosseno, masi precisamente, para cada

x ∈ R, temos

sen(x) = −d

dxcos(x)

(7.191)= −

d

dx

[ ∞∑n=0

−(1)n

(2n)!x2 n

]Teorema (7.5.1)

= −

∞∑n=1

d

dx

[(−1)n

(2n)!x2 n]

= −

∞∑n=1

(−1)n(2n)

(2n)!x2 n−1

=

∞∑n=1

(−1)n+1

(2n− 1)!x2 n−1

= x−x3

3!+x5

5!+ · · · ,

ou seja,

sen(x) =∞∑n=1

(−1)n+1

(2n− 1)!x2 n−1

= x−x3

3!+x5

5!−x7

7!+ · · · , para cada x ∈ R ,



A seguir temos os seguintes exerccios resolvidos:

Exercıcio 7.5.1 Encontrar uma aproximac~ao de

e−1 ,

com um erro menor que 10−4, ou seja, tres casas decimais exatas.

Resolucao:

Do Exemplo (6.3.7) segue que

ex =

∞∑n=1

1

n!xn , para cada x ∈ R. (7.193)

Logo

e−x(7.193)=

∞∑n=1

1

n!(−x)n

=

∞∑n=1

(−1)n

n!xn , para cada x ∈ R. (7.194)

Notemos que, para cada xo ∈ (0 ,∞), teremos que a serie numerica

e−xo =

∞∑n=1

(−1)n

n!xon

e uma serie alternada, que satisfaz do criterio da serie alternada (veja o Teorema (4.6.1)).

Logo deste, segue que

|e−xo − Sn(xo)| ≤ an+1(xo) ,

onde, para cada n ∈ 0 ∪ N, denimos

an(xo).=xon

n!(7.195)

e Sn(xo) denota a soma parcial de ordem n da serie numerica acima, isto e,∣∣∣∣∣e−xo −n∑k=0

(−1)k

kxok

∣∣∣∣∣ ≤ xon+1

(n+ 1)!. (7.196)

Isto pode nos ser util para obter aproximac~oes de e−xo , para cada xo ∈ (0 ,∞), por meio

das somas parciais da serie numerica∞∑n=1

(−1)n

n!xon, sabendo-se que o erro sera menor ou igual

axon

n!.


Com isto, fazendo xo = 1 em (7.196), obteremos, para cada n ∈ 0 ∪ N, que:∣∣∣∣∣e−1 −n∑k=0

(−1)k

k

∣∣∣∣∣ ≤ 1

(n+ 1)!. (7.197)

Observemos que para que

1

(n+ 1)!< 10−4 se, e somente se, (n+ 1)! > 104,

que ocorre quando

n > 7 ,

pois

8! = 40320 > 104 .

Logo, de (7.197), segue que∣∣∣∣∣e−1 −7∑k=0

(−1)k

k

∣∣∣∣∣ ≤ 1

8!< 10−4 .

Notemos que

S7(1) =

7∑k=0

(−1)k

k∼ 0, 36786

e uma aproximac~ao de e−1, com erro inferior a 10−4, completando a resoluc~ao.

Exercıcio 7.5.2 Calcule um valor aproximado de∫ 10

e−x2

dx (7.198)

com um erro inferior a 10−4, ou seja, tres casas decimais exatas.

Resolucao:

Do Exemplo (6.3.7) segue que

ey =

∞∑n=1

1

n!yn , para cada y ∈ R. (7.199)

Logo, fazendo y.= −x2 em (7.199), obteremos

e−x2

=

∞∑n=1

1

n!

(−x2

)n=

∞∑n=0

(−1)n

n!x2 n , para cada x ∈ R . (7.200)


Portanto, do Teorema (7.4.1), a serie de potencia (7.200) acima, pode ser integrada, termo

a termo, no intervalo [0, 1], ou seja,

∫ 10

e−x2

dx(7.200)=

∫ 10

[ ∞∑n=0

(−1)n

n!x2n

]dx

(7.104)=

∞∑n=0

[∫ 10

(−1)n

n!x2 n]dx


∞∑n=0

[(−1)n

n! (2n+ 1)x2 n+1

∣∣∣∣x=1x=0

]

=

∞∑n=0

(−1)n

n! (2n+ 1). (7.201)

Observemos que a serie numerica acima e uma serie alternada que satisfaz do criterio da

serie alternada (veja o Teorema (4.6.1)).

Assim, do criterio da serie alternada, segue que∣∣∣∣∫ 10

e−x2

dx− Sn

∣∣∣∣ ≤ an+1 , (7.202)

onde, para cada n ∈ 0 ∪ N, denimos

an.=

1

n! (2n+ 1)(7.203)

e Sn(xo) denota a soma parcial de ordem n da serie numerica acima, isto e,∣∣∣∣∣∫ 10

e−x2

dx−

n∑k=0

(−1)k

k! (2 k+ 1)

∣∣∣∣∣ ≤ 1

(n+ 1)! (2n+ 3). (7.204)

Observemos que para que

1

(n+ 1)! (2n+ 3)< 10−4 se, e somente se (n+ 1)! (2n+ 3) > 104 ,

que ocorrera, por exemplo, se

n > 5 ,

pois

6! 15 = 10800 > 104 .

Logo ∣∣∣∣∣∫ 10

e−x2

dx−

5∑k=0

(−1)k

k!(2k+ 1)

∣∣∣∣∣ ≤ 1

6!15< 10−4 .

Notemos que

S5 =

5∑k=0

(−1)n

n! (2n+ 1)∼ 0, 74684

sera uma aproximac~ao de e−1, com erro inferior a 10−4, completando a resoluc~ao.


7.6 Serie de Taylor e de McLaurin

Lembraremos de um resultado importante do Calculo I, que nos sera muito util logo a frente,

a saber o Teorema do Valor Medio:

Teorema 7.6.1 Seja f : [a , b] → R uma func~ao contnua em [a , b] e diferenciavel em

(a , b).

Ent~ao podemos encontrar c ∈ (a , b) tal que

f ′(c) =f(b) − f(a)

b− a,

ou equivalentemente, f(b) = f(a) + f ′(c) (b− a) . (7.205)

Geometricamente, temos a seguinte situac~ao:

-

6

a

bx

y

c

?

(x, f(x))(b, f(b))

(a, f(a))

Observacao 7.6.1

1. O Teorema (7.6.1) acima nos diz que podemos determinar o valor da func~ao f em

x = b (isto e, f(b)) conhencdo-se o valor da f em x = aa (isto e, f(a)) e o valor

da derivada da func~ao f em um ponto intermediario c, que esta entre a e b (isto

e, f ′(c), para algum c ∈ (a , b)).

2. Se para cada x ∈ [0 , b], a func~ao f e contnua em [0 , x] e diferenciavel em (0, x)

ent~ao, do Teorema (7.6.1) acima (aplicado no intervalo [0 , x]), segue que podemos

encontrar cx ∈ (0 , x) tal que

f(x) = f(0) + f ′ (cx)x . (7.206)

Como consequencia deste temos o Teorema de Rolle (tambem visto no Calculo 1):

Teorema 7.6.2 Seja f : [a , b] → R uma func~ao contnua em [a , b], diferenciavel em

(a , b) e satisfazendo

f(a) = f(b) = 0 . (7.207)

Ent~ao podemos encontrar c ∈ (a , b), tal que

f ′(c) = 0 . (7.208)

Geometricamente temos a seguinte situac~ao:

7.6. SERIE DE TAYLOR E DE MCLAURIN 275

-

6

xa bc

(c, f(c))

y

Demonstracao:

Aplicando o Teorema (7.6.1), a segue que podemos encopntrar c ∈ (a , b), de modo que

f ′(c) =f(b) − f(a)

b− a

(7.207)= 0 ,

concluindo a demonstrac~ao do resultado.

Podemos estender o Teorema do Valor Medio (isto e, o Teorema (7.6.1)), como mostra o:

Teorema 7.6.3 (Teorema de Taylor) Sejam n ∈ N e f : [a , b] → R uma func~ao tal que

a func~ao f(n) e contnua em [a , b] e diferenciavel em (a , b) (isto e, existe f(n+1) em

(a ,b)).

Ent~ao podemos encontrar um c ∈ (a , b), de modo que

f(b) = f(a) +f ′(a)

1!(b− a) +

f ′′(a)

2!(b− a)2 +

f ′′′(a)

3!(b− a)3 + · · ·

+f(n)(a)

n!(b− a)n −

f(n+1)(c)

(n+ 1)!(b− a)n+1 . (7.209)

Demonstracao:

Consideremos a func~ao F : [a , b] → R, dada por:

F(x).= f(b) − f(x) −

f ′(x)

1!(b− x) −

f ′′(x)

2!(b− x)2 −

f ′′′(x)

3!(b− x)3 − · · ·

−f(n)(x)

n!(b− x)n −

k

(n+ 1)!(b− x)n+1 , (7.210)

onde k ∈ R e esoclhido de modo que

F(a) = 0 , (7.211)

isto e,

k.=

[f(b) − f(a) −

f ′(a)

1!(b− a) −

f ′′(a)

2!(b− a)2 −

f ′′′(a)

3!(b− a)3 − · · ·

−f(n)(a)

n!(b− a)n

](n+ 1)!

(b− a)n+1. (7.212)


Notemos tambem que:

F(b).= f(b) − f(b) −

f ′(b)

1!(b− b) −

f ′′(b)

2!(b− b2 −

f ′′′(b)

3!(b− b)3 − · · ·

−f(n)(b)

n!(b− b)n −

k

(n+ 1)!(b− b)n+1

= 0 , (7.213)

Como a func~ao f(n) e contnua em [a , b] e diferenciavel em (a , b), segue que a func~ao F

sera contnua em [a , b] e diferenciavel em (a , b).

Para caa x ∈ (a , b), temos que:

F ′(x)(7.210)= 0− f ′(x) −

[f ′′(x)

1!(b− x) +

f ′(x)

1!(−1)

]−

[f ′′′(x)

2!(b− x)2 +

f ′′(x)

2!2 (b− x) (−1)

]−

[f ′′′(x)

3!(b− x)3 +

f(4)(x)

3!(b− x)3 +

f ′′′(x)

3!3 (b− x)2 (−1)

]− · · ·

−

[f(n+1)(x)

n!(b− x)n +

f(n)(x)

n!n (b− x)n−1 (−1)

]−

k

(n+ 1)!(b− x)n (−1)

=k− f(n+1)(x)

n!(b− x)n . (7.214)

Como

F(b)(7.213)= 0

(7.211)= F(a) ,

segue do Teorema de Rolle (isto e, o Teorema (7.6.2)), que podemos encontrar c ∈ (a, b) tal

que

F ′(c) = 0 ,

que, de (7.214), implcara em: f(n+1)(c) = k . (7.215)

Assim

0(7.211)= F(a)

(7.210)= f(b) − f(a) −

f ′(a)

1!(b− a) +

f ′′(a)

2!(b− a)2 −

f ′′′(a)

3!(b− a)3 − · · ·− f(n)(a)

n!(b− a)n

−k

(n+ 1)!(b− a)n+1

(7.215)= f(b) − f(a) −

f ′(a)

1!(b− a) −

f ′′(a)

2!(b− a)2 −

f ′′′(a)

3!(b− a)3 − · · ·− f(n)(a)

n!(b− a)n

−f(n+1)(c)

(n+ 1)!(b− a)n+1 ,

isto e,

f(b) = f(a) +f ′(a)

1!(b− a) +

f ′′(a)

2!(b− a)2 +

f ′′′(a)

3!(b− a)3 + · · ·

+f(n)(a)

n!(b− a)n +

f(n+1)(c)

(n+ 1)!(b− a)n+1 ,



Observacao 7.6.2

1. O Teorema (7.6.3) acima tambem e conhecido como Formula de Taylor com resto de

Lagrange.

2. Com as hipoteses do Teorema (7.6.3) satisfeitas, para cada x ∈ [a , b], se aplicar-

mos o Teorema de Taylor ao intervalo [a , x] (isto e, o Teorema (7.6.3) no intervalo

[a , x]), obteremos a seguinte express~ao:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·

+f(n)(a)

n!(x− a)n +

f(n+1)(cx)

(n+ 1)!(x− a)n+1 , (7.216)

onde cx ∈ (a , x), que sera denominada Formula de Taylor associada a funcao f,

em x = a .

3. Na situac~ao acima, (7.216), pode ser reescrita na forma

f(x) = Pn(x) + Rn(x) , (7.217)

onde

Pn(x).= f(a) +

f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·

+f(n)(a)

n!(x− a)n (7.218)

sera dito polinomio de Taylor, de grau n, associado a funcao f, em x = a e

Rn(x).=f(n+1)(cx)

(n+ 1)!, (x− a)n+1 , (7.219)

sera dito resto de Taylor, de grau n, associado a funcao f, em x = a.

Neste caso, (7.219) sera dito resto de Taylor na forma de Lagrange (1783-1813).

4. Na situac~ao acima, se consideramros

a = 0 , (7.220)

de (7.216), segue que

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn

+f(n+1)(cx)

(n+ 1)!xn+1, (7.221)

onde cx ∈ (0 , x), que sera dita formula de McLaurin associada a funcao f.


5. Na situac~ao acima, (7.221), pode ser reescrita na forma

f(x) = Pn(x) + Rn(x) , (7.222)

onde

Pn(x).= f(0) +

f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn (7.223)

sera dito polinomio de McLaurin, de grau n, associado a funcao f, em x = a e

Rn(x).=f(n+1)(cx)

(n+ 1)!xn+1 , (7.224)

sera dito resto de McLaurin, de grau n, associado a funcao f.

6. A formula de Taylor, isto e, (7.216) (ou a formula de McLaurin, ou seja, (7.221)),

pode ser usada para aproximar uma func~ao f "bem comportada", por um po-

linomio, que e o polinomio de Taylor associado a func~ao f, isto e ,(7.218) (ou

o polinomio de McLaurin, ou seja, (7.223)), se soubermos controlar o resto de

Taylor, isto e, (7.219) (ou o resto de McLaurin, ou seja, (7.224)).

7. Suponhamos que f ∈ C∞([a , b] ; R), e que podemos encontrar um limitante ε > 0,

para o resto de Taylor associado a func~ao f (isto e, (7.219)), mais precisamente,

|Rn(x)| < ε , para cada x ∈ [a , b] , (7.225)

Neste caso, teremos

|f(x) − Pn(x)|(7.217)= |Rn(x)|

(7.225)< ε , para cada x ∈ [a, b] ,

ou seja, f(x) − ε < Pn(x) < f(x) + ε , para cada x ∈ [a , b] . (7.226)

Portanto se, dado ε > 0, podemos entonctrar n ∈ N de modo que (7.23) ocorra,

teremos que (7.226) tambem ocorrera, ou seja, a sequencia de func~oes formada

pelos polinomios de Taylor de ordem n (isto a a sequencia de func~oes polinomiais

(Pn)n∈N) ira convergir uniformemente, no intervalo [a , b], para a func~ao f, ou

ainda

Pnu→ f , em [a , b] , (7.227)

onde, para cada n ∈ 0 ∪ N, a func~ao polinomial Pn e dada por (7.218).

6. A express~ao da formula de Taylor, isto e, (7.216) (ou da formula de McLaurin, ou

seja, (7.221)) tambem e conhecida como desenvolvimento de Taylor (respectiva-

mente, de McLaurin), de ordem n, da funcao f, em torno de x = a .



Exemplo 7.6.1 Encontrar a formula de McLaurin, de ordem n ≥ 5, para a func~ao

f : R → R dada por

f(x).= x4 − 2 x3 + 2 x− 1 , para cada x ∈ R . (7.228)

Resolucao:

Observemos que a func~ao f tem derivada de qualquer ordem em R (pois e uma func~ao

polinomial).

Logo podemos aplicar o Teorema de Taylor (isto e, o Teorema (7.6.3)) em qualquer intevalo

[a , b] ⊆ R.Em particular, se aplicarmos para

a = 0 e b = x ,

ou seja, aplicaremos formula de McLaurin (veja o item 4. da Observac~ao (7.6.2)) que nos

garante a existencia de c ∈ (0 , x), se x ∈ (0 ,∞), ou c ∈ (x , 0), se x ∈ (−∞ , 0), de modo que:

f(x)(7.221)= f(0) +

f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn +

f(n+1)(c)

(n+ 1)!xn+1. (7.229)

Mas,

f(x) = x4 − 2 x3 + 2 x− 1 , logo: f(0) = −1 ;

f ′(x) = 4 x3 − 6 x2 + 2 , logo: f ′(0) = 2 ;

f ′′(x) = 12 x2 − 12 x , logo: f ′′(0) = 0 ;

f ′′′(x) = 24 x− 12 , logo: f ′′′(0) = 24;

f(4)(x) = 24 , logo: f(4)(0) = 24 ;

f(n)(x) = 0 , para todo n ≥ 5 , logo: f(n)(0) = 24 n ≥ 5 . (7.230)

Sustituindo (7.230) em (7.229), obteremos

f(x)(7.221)= f(0) +

f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 +

f(4)(0)

n!x4 +

f(5)(c)

(n+ 1)!xn+1

(7.230)= −1+

2

1!x+

0

2!x2 +

24

3!x3 +

24

4!x4 +

0

5!x5

= x4 − 2 x3 + 2 x− 1 ,

para todo x ∈ R, isto e, a propria func~ao (que e um polinomio!).

Exemplo 7.6.2 Encontrar a formula de McLaurin, de ordem n ∈ N, da func~ao f : R → Rdada por

f(x).= sen(x) , para cada x ∈ R . (7.231)


Resolucao:

Observemos que a func~ao f tem derivada de qualquer ordem em R.Logo podemos aplicar o Teorema de Taylor (isto e, o Teorema (7.6.3)) em qualquer intevalo

[a , b] ⊆ R.Em particular, se aplicarmos para

a = 0 e b = x ,

ou seja, aplicaremos formula de McLaurin (veja o item 4. da Observac~ao (7.6.2)), que nos

garante a existencia de c ∈ (0 , x), se x ∈ (0 ,∞), ou c ∈ (x , 0), se x ∈ (−∞ , 0), de modo que:

f(x)(7.221)= f(0) +

f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn +

f(n+1)(c)

(n+ 1)!xn+1. (7.232)

Notemos que

f(x) = sen(x) , logo: f(0) = 0 ;

f ′(x) = cos(x) , logo: f ′(0) = 1 ;

f ′′(x) = sen(x) , logo: f ′′(0) = 0 ;

f ′′′(x) = − cos(x) , logo: f ′′′(0) = −1 ;

f(4)(x) = sen(x) , logo: f(4)(0) = 0 . (7.233)

Em geral,

f(2n)(x) = 0 e f(2n+1)(x) = ±1,ou ainda

f(n)(0) =

0, se n e par;

(−1)n+32 , se n e mpar

. (7.234)

Susbtituindo (7.234) em (7.232), obteremos:

f(x)(7.221)= f(0) +

f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 +

f(4)(0)

n!x4 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn +

f(n+1)(c)

(n+ 1)!, xn+1

(7.234)= 0+

1

1!x+

0

2!x2 −

1

3!x3 +

0

4!x4 +

1

5!x5 + · · ·+ f(n)(0)

n!+f(n+1)(c)

(n+ 1)!xn+1

= x−x3

3!+x5

5!+ · · ·+ f(n)(0)

n!+f(n+1)(c)

(n+ 1)!,

para todo x ∈ R.

Observacao 7.6.3 Observemos que o resto de McLaurin de ordem (n+ 1), associado a

func~ao f do Exemplo (7.6.2) acima (veja (7.224)), tera a seguinte propriedade:

|Rn(x)|(7.224)=

∣∣∣∣f(n+1)(c)(n+ 1)!xn+1

∣∣∣∣=

∣∣f(n+1)(c)∣∣(n+ 1)!

|x|n+1

(7.236)

≤ 1

(n+ 1)!|x|n+1, (7.235)


pois

f(n+1)(c) = ± sen(c) ou f(n+1)(c) = ± cos(c) ,

implicando que ∣∣f(n+1)(c)∣∣ ≤ 1 , para cada c ∈ R e n ∈ N .. (7.236)

Assim, se

|x| ≤ b ,segue, de (7.236), que

|Rn(x)| ≤1

(n+ 1)!bn+1 . (7.237)


∞∑n=0

1

(n+ 1)!bn+1

e convergente.

Para vericar este fato, basta aplivar o Criterio da raz~ao por limites para series

numericas cujos termos s~ao n~ao-negativos (isto e, o item 1. do Teorema (4.5.5)).

Deixaremos os detalhes da vericac~ao deste fato como exerccio para o leitro.

Logo , do criterio da divergencia para series numericas (isto e, o Teorema (4.4.2)),

segue que

limn→∞

1

(n+ 1)!bn+1 = 0 ,

ou seja, dado ε > 0, podemos encontrar No ∈ N, de modo que se n ≥ No temos

|Rn(x)| < ε , para todo x ∈ [−b , b] .

Portanto, se n ≥ No, o polinomio de McLaurin, calculado em x ∈ [−b , b], associado

a func~ao f, apromar-se-a do valor da func~ao f em x (ou seja, de f(x) = sen(x)), com

erro menor que ε > 0 (o erro sera o resto de McLaurin).

Com isto podemos concluir que a sequencia de func~oes formada pelos polinomios

de McLaurin, (Pn)n∈N, converge uniformemente para a func~ao f, em cada intervalo

limitado e fechado da reta R.Acabamos de exibir um modo de aproximar uma func~ao f, por um polinomio (no

caso, por meio da formula de McLaurin).

Podemos obter uma outra express~ao para o resto de Taylor de ordem (n + 1), asso-

ciado a uma func~ao f, em x = a, isto e, Rn = Rn(x), dado por (7.219), chamado de

resto de Taylor na forma integral:

Teorema 7.6.4 Sejam n ∈ N e f : [a , b] → R uma func~ao de modo que f(n+1) e uma

func~ao contnua em [a , b], Pn e Rn s~ao o polinomio de Taylor de ordem n, associado a

func~ao f, em x = a, e o resto de Taylor de ordem n, , associado a func~ao f, em x = a,

respectivamente, dados por (7.218) e (7.219).

Ent~ao

Rn(x) =1

n!

∫ xa

(x− t)n f(n+1)(t)dt , para cada x ∈ [a , b] . (7.238)


Demonstracao:

A demonstrac~ao e feita por induc~ao.

Daremos a seguir uma ideia da demonstrac~ao.

Do Teorema Fundamental do Calculo segue que:

f(x) − f(a) =

∫ xa

f ′(t)dt ,

ou seja, f(x) = f(a) +

∫ xa

f ′(t)dt , (7.239)

ou ainda, f(x) = Po(x) + Ro(x) ,

onde

Po(x).= f(a) e Ro(x)

.=

∫ xa

f ′(t)dt .

Com isto mostramos que o resultado e valido para n = 0.

Utilizando (7.239) e integrac~ao por partes na integral denida, teremos:

f(x)(7.239)= f(a) +

∫ xa

f ′(t)︸︷︷︸=u

dt︸︷︷︸=dv⟨

u.= f ′(t) , logo: du = f ′′(t)dt

dv.= dt , logo: v = t− x

⟩= f(a) +

[(t− x) f ′(t)

∣∣∣∣t=xt=a

]−

∫ xa

(t− x) f ′′(t)dt

= f(a) + (x− x) f ′(x) − (a− x) f ′(a) −

∫ xa

(t− x) f ′′(t)dt

= f(a) + f ′(a) (x− a) +

∫ xa

(x− t) f ′′(t)dt (7.240)

= P1(x) + R1(x) ,

onde

P1(x).= f(a) + f ′(a) (x− a) e R1(x)

.=

∫ xa

(x− t) f ′′(t)dt .


Utilizando (7.240) e integrac~ao por partes na integral denida, teremos:

f(x)(7.240)= f(a) + f ′(a) (x− a) +

∫ xa

(x− t) f ′′(t)dt⟨u.= f ′′(t) , logo: du = f ′′′(t)dt

dv.= (x− t)dt , logo: v = −

(x− t)2

2

⟩

= f(a) + f ′(a) (x− a) −

[(x− t)2

2f ′′(t)

∣∣∣∣t=xt=a

]+

∫ xa

(t− x)2

2f ′′′(t)dt

= f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 ++

∫ xa

(t− x)2

2f ′′′(t)dt

= P2(x) + R2(x) ,


onde

P2(x).= f(a) +

f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 e R2(x)

.=

∫ xa

(t− x)2

2f ′′′(t) .


Podemos prosseguir utilizando integrac~ao por partes uma vez mais.

A prova pode ser completada utilizando-se induc~ao matematica e esses detalhes ser~ao

deixados como exerccio para o leitor.

Exemplo 7.6.3 Encontrar o desenvolvimento de McLaurin de ordem n, para a func~ao

f : R → R dada por

f(x).= ex , para cada x ∈ R . (7.241)

Resolucao:

Notemos que f ∈ C∞(R ; R) e, para cada n ∈ N, temos que

f(n)(x) = ex , para cada x ∈ R , (7.242)

em particular

f(n)(0) = 1 , para cada ≥ 0 . (7.243)

Assim, da formula de MacLaurin (isto e, (7.221)), segue que, existe cx ∈ (0 , x), se x ∈(0 ,∞), ou cx ∈ (x , 0), se x ∈ (−∞ , 0), tal que:

f(x)(7.221)= f(0) +

f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn +

f(n+1)(cx)

(n+ 1)!xn+1

(7.243)= 1+ x+

1

2!x2 +

1

3!x3 + · · ·+ 1

n!xn +

ecx

(n+ 1)!xn+1 . (7.244)

Neste caso, o polinomio de McLaurin de ordem n, associados a func~ao f, sera dado por:

Pn(x).= 1+ x+

1

2!x2 +

1

3!x3 + · · ·+ 1

n!xn , para cada x ∈ R (7.245)

e o resto de McLaurin de ordem n+ 1, associados a func~ao f, sera dado por:

Rn(x).=

ecx

(n+ 1)!xn+1 , para cada x ∈ R , (7.246)

ou seja, (7.244), (7.245) e (7.246), teremos:

ex(7.241)= f(x) = Pn(x) + Rn(x) , para cada x ∈ R . (7.247)


Observacao 7.6.4 Observemos que, se

x ∈ [a , b] ,

podemos encontrar M ∈ (0 ,∞), de modo que

[a , b] ⊆ [−M,M] ,

e assim, teremos

|Rn(x)|(7.246)=

∣∣∣∣ ec

(n+ 1)!xn+1

∣∣∣∣ecx

(n+ 1)!|x|n+1

cx∈(−M,M) e exponencial e crescente:

≤ eM

(n+ 1)!|x|n+1

|x|≤M≤ eM

(n+ 1)!Mn+1 veja (7.237) do Exemplo (7.6.2)→ 0 , (7.248)

quando n→ ∞.

Ou seja, a sequencia de func~oes formada pelos polinomios de McLaurin, associados

a func~ao f, isto e, a sequencia de func~oes (Pn)n∈N, onde, para cada n ∈ 0∪N, a func~ao

polinomial Pn e dada por (7.245), converge uniformemente para f, no intervalo fechado

e limitado [a , b] ⊆ R.Como, para cada n ∈ N, a funcao Pn e a soma parcial de ordem n, associada a serie


f(n)(0)

n!xn , (7.249)

das discuss~oes acima (isto e, de (7.247) e (7.248)), podemos concuir que a serie de

potencias (7.249) converge uniformemente para a func~ao f, em [a , b].

Em particular, teremos

ex =

∞∑n=1

1

n!xn , para cada x ∈ R . (7.250)

Exemplo 7.6.4 Encontrar o desenvolvimento de McLaurin para a func~ao f : R → Rdada por

f(x).= cos(x) , para cada x ∈ R. (7.251)

Resolucao:

Notemos que f ∈ C∞(R ; R) e, para cada n ∈ N, temos que temos:

f(x) = cos(x) , logo: f(0) = cos(0) = 1 ,

f ′(x) = − sen(x) , logo: f ′(0) = − sen(0) = 0 ,

f ′′(x) = − cos(x) , logo: f ′′(0) = − cos(0) = −1 ,

f ′′′(x) = sen(x) , logo: f ′′′(0) = sen(0) = 0 ,

f(4)(x) = cos(x) , logo: f(4)(0) = cos(0) = 1 . (7.252)


Cm isto teremos que:

f(n)(0) =

0 , se n e mpar

(−1)n2 , se n e par

.

Assim, da formula de MacLaurin (isto e, (7.221)), segue que, existe cx ∈ (0 , x), se x ∈(0 ,∞), ou cx ∈ (x , 0), se x ∈ (−∞ , 0), tal que:

f(x)(7.221)= f(0) +

f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·++

f(n)(0)

n!xn +

f(n+1)(cx)

(n+ 1)!xn+1

(7.252)= 1−

1

2!x2 +

1

4!x4 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn +

f(n+1)(cc)

(n+ 1)!xn+1 . (7.253)

Neste caso, o polinomio de McLaurin de ordem n, associados a func~ao f, sera dado por:

Pn(x).= 1−

1

2!x2 +

1

4!x4 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn , para cada x ∈ R (7.254)

e o resto de McLaurin de ordem n+ 1, associados a func~ao f, sera dado por:

Rn(x) =f(n+1)(c)

(n+ 1)!xn+1 , (7.255)

ou seja, (7.253), (7.254) e (7.255), teremos:

cos(x)(7.251)= f(x) = Pn(x) + Rn(x) , para cada x ∈ R . (7.256)

Observacao 7.6.5 Observemos que, se

x ∈ [a , b] ,

podemos encontrar M ∈ (0 ,∞), de modo que

[a , b] ⊆ [−M,M] ,

e assim, teremos

|Rn(x)|(7.255)=

∣∣∣∣f(n+1)(c)(n+ 1)!xn+1

∣∣∣∣|f(n+1)(c)|

(7.252)

≤ 1

≤ 1

(n+ 1)!|x|n+1

|x|≤M≤ 1

(n+ 1)!Mn+1

veja (7.237) do Exemplo (7.6.2)→ 0 , (7.257)

quando n→ ∞.


Ou seja, a sequencia de func~oes formada pelos polinomios de McLaurin, associados

a func~ao f, isto e, a sequencia de func~oes (Pn)n∈N, onde, para cada n ∈ 0∪N, a func~ao

polinomial Pn e dada por (7.254), converge uniformemente para f, no intervalo fechado

e limitado [a , b] ⊆ R.Como, para cada n ∈ N, a funcao Pn e a soma parcial de ordem n, associada a serie


f(n)(0)

n!xn , (7.258)

das discuss~oes acima (isto e, de (7.256) e (7.257)), podemos concuir que a serie de

potencias (7.258) converge uniformemente para a func~ao f, em [a , b].


cos(x) =

∞∑n=1

(−1)n

n!x2 n , para cada x ∈ R , (7.259)

7.7 Representacao de Funcoes em Series de Potencias

Como vimos no Corolario (7.5.1), podemos utilizar uma serie de potencias para denir uma

func~ao, cujo domnio sera o intervalo de convergencia da serie de potencias.

Lembremos que (veja o Corolario (7.5.1)), se R ∈ (0 ,∞] e o raio de convergencia da serie

de potencias∞∑n=0

anxn, ent~ao a func~ao f : (−R ,R) → R dada por

f(x).=

∞∑n=0

anxn

= ao + a1 x+ a2 x2 + a3 x

3 + · · · , para cada x ∈ (−R , R) , (7.260)

esta bem denida e pertencera a C∞((−R , R) ; R).

Definicao 7.7.1 Na situac~ao acima, diremos que a serie de potencias∞∑n=0

an xn e uma

representacao da funcao f, por meio de uma serie de potencias, ou ainda, que a func~ao

f pode ser representada pela serie de potencias∞∑n=0

anxn.

Para ilustrar temos o:

Exemplo 7.7.1 Representar a func~ao f : (−1 , 1) → R dada por

f(x).=

1

1+ x, para cada x ∈ (−1 , 1) , (7.261)

em serie de potencias de x, em (−1 , 1).

Resolucao:

7.7. REPRESENTAC ~AO DE FUNC ~OES EM SERIES DE POTENCIAS 287

Observemos que (veja (7.177), trocado-se x por −x) a serie de potencias

f(x)(7.261)=

1

1+ x

(7.177)=

∞∑n=0

(−1)n xn , para cada x ∈ (−1 , 1) , (7.262)

pode ser derivada termo a termo, para x ∈ (−1 , 1), quantas vezes quisermos.

Para cada n ∈ 0 ∪N, denamos

an.= (−1)n . (7.263)

Deste modo, temos que

f(x)(7.261)=

∞∑n=0

(−1)n xn

(7.263)=

∞∑n=0

an xn , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.264)

Notemos que

f(0)(7.261)= 1

(7.263)= ao = ao 0! .

Observemos tambem que, para x ∈ (−1 , 1), temos:

f ′(x)(7.262)=

d

dx

[ ∞∑n=0

(−1)n xn

]Teorema (7.5.1)

=

∞∑n=1

(−1)n[d

dxxn]

=

∞∑n=1

(−1)n nxn−1 , (7.265)

em particular, f ′(0)(7.265) com x=0

= −1(7.263)= a1 1! .

De modo semelhante, temos

f ′′(x) =d

dx[f ′(x)]

(7.265)=

d

dx

[ ∞∑n=1

(−1)n nxn−1

]Teorema (7.5.1)

=

∞∑n=1

(−1)n n

[d

dxxn−1

]=

∞∑n=2

(−1)n n (n− 1) xn−2 , (7.266)

em particular, f ′′(0)(7.266) com x=0

= 2(7.263)= a2 2! .


Podemos repetir o procedimento e assim, obter

f ′′′(x) =d

dx[f ′′(x)]

(7.266)=

d

dx

[ ∞∑n=2

(−1)n n (n− 1) xn−1

]Teorema (7.5.1)

=

∞∑n=2

(−1)n n (n− 1)d

dx

[xn−1

]=

∞∑n=3

(−1)n n (n− 1) (n− 2) xn−3 , (7.267)

em particular, f ′′′(0)(7.267) com x=0

= −6(7.263)= a3 3! .

Assim, neste exemplo, podemos mostrar (por induc~ao) que

f(n)(0) = an n! , para cada n ∈ 0 ∪ N ,

isto e,

f(x) = f(0) +f ′(0)

1!x+

f ′′(0)

2!x2 +

f ′′′(0)

3!x3 + · · ·+ f(n)(0)

n!xn + · · · .

Como veremos, no resultado a seguir, isto ocorre em geral, a saber, temos o:

Teorema 7.7.1 Consideremos a ∈ R e suponhamos que a func~ao f : (a− R , a+ R) → Rseja uma func~ao dada por uma serie de potencias, centrada em x = a, ou seja,

f(x).=

∞∑n=0

an (x− a)n, x ∈ (a− R , a+ R) . (7.268)

Ent~ao f ∈ C∞((a− R , a+ R) ; R) com e, alem disso, teremos:

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·

+f(n)(a)

n!(x− a)n + · · · (7.269)

ou seja, para cada n ∈ 0 ∪ N, temos que

an =f(n)(a)

n!. (7.270)

Demonstracao:

Como a serie de potencias (7.268) converge para x ∈ (a − R , a + R) segue que sua soma

dene uma func~ao, f : (a − R , a + R) → R que, do item 3. da Observac~ao (7.5.2), segue que

a func~ao f pertencera a C∞((a− R , a+ R) ; R).


Alem disso, a serie de potencias (7.268) pode ser derivada, termo a termo, no intervalo

(a− R , a+ R), a qualquer ordem e, alem disso, teremos:

f(x)(7.268)=

∞∑n=0

an (x− a)n ,

logo: f(a) =

∞∑n=0

an (a− a)n = ao 0!;

f ′(x)(7.174) com k=1

=

∞∑n=1

an n (x− a)n−1 ,

logo: f ′(a) =

∞∑n=1

an n (a− a)n−1 = a1 1! ;

f ′′(x) =

∞∑n=2

an n (n− 1) (x− a)n−2 ,

logo: f ′′(a) =

∞∑n=2

an n (n− 1) (a− a)n−2 = a2 · 2 · 1 = a2 2! ; ,

f ′′′(x) =

∞∑n=3

an n (n− 1) (n− 2) (x− a)n−3 ,

logo: f ′′′(a) =

∞∑n=3

an n (n− 1) (n− 2) (a− a)n−3 = a3 · 3 · 2 · 1 = a3 3! ,

e assim, por induc~ao, podemos mostrar que

f(k)(x) =

∞∑n=k

an n (n− 1) (n− 2) · · · (n− k+ 1) (x− a)n−k ,

para cada k ∈ 0 ∪ N e x ∈ (a− R , a+ R).Deixaremos como exerccio para o leitor a vericac~ao deste fato.

Em particular, segue que:

f(k)(a) =

∞∑n=k

ann(n− 1)(n− 2) · · · (n− k+ 1)(a− a)n−k

= ak · k · (k− 1) · · · 3 · 2 · 1= ak k! . (7.271)


an =f(n)(a)

n!,

para n ∈ 0 ∪ N, comletando a demonstrac~ao

Observacao 7.7.1


1. A serie de potencias (7.268), sera denominada serie de Taylor da funcao f, em

x = a.

Para cada n ∈ 0 ∪ N o numero real an, dado por (7.270), sera denominado

coeficiente de Taylor, de ordem n, da funcao f, em x = a ou n-eismo coeficien-

te de Taylor da funcao f, em x = a .

2. Se no Teorema (7.7.1) acima,

a = 0 ,

a serie de potencias obtida sera denominada serie de McLaurin da funcao f, isto

e, se a serie de potencias ∞∑n=1

an xn (7.272)

e converge em (−R , R), ent~ao a func~ao soma da serie de potencias (7.272), que

indicaremos por f : (−R , R) → R, tera a seguinte representac~ao:

f(x) = f(0) + f ′(0) x+ · · ·+ f(n)(0)

n!xn + · · · , para cada x ∈ (−R , R) , (7.273)

isto e,

an =f(n)(0)

n!, para cada n ∈ 0 ∪ N , (7.274)

que sera denominado coeficiente de MacLaurin, de ordem n, da funcao f ou n-

esimo coeficiente de MacLaurin, da funcao f, em x = a .

3. O Teorema (7.7.1) acima nos diz que se uma func~ao f : (a− R , a+ R) → R possui

representac~ao em serie de potencias de (x−a) (ou seja, centrada em x = a), ent~ao

esta serie de potencias devera ser a serie de Taylor da func~ao f, em x = a, ou

seja, temos a unicidade de representac~ao em series de potencias.

4. O Teorema (7.7.1) acima nao nos fornece condic~oes sucientes para garantir a

existencia de uma representac~ao em series de potencias para uma dada func~ao f.

Para isto tratar desta quest~ao, temos o:

Teorema 7.7.2 Suponhamos que a func~ao f : (b , d) → R tem derivada de qualquer

ordem em (b , d), isto e, f ∈ C∞((b , d)) ; R) e a ∈ (b , d).

Suponhamos que

limn→∞Rn(x) = 0 , (7.275)

para cada x ∈ (b , d) onde, para cada n ∈ 0 ∪ N, Rn = Rn(x) e o resto de Taylor, de

ordem n, associado a func~ao f, em x = a, ou ainda

Rn(x).=f(n+1)(cx)

(n+ 1)!(x− a)n+1 , para cada x ∈ (a− δ , a+ δ) ⊆ (b , d) , (7.276)

para algum cx ∈ (a− δ , a+ δ), para δ > 0, sucientemente pequeno.


Ent~ao a func~ao f pode ser representada em serie de Taylor em x = a, isto e,

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n + · · ·

=

∞∑n=0

f(n)(a)

n!(x− a)n , para cada x ∈ (a− δ , a+ δ) . (7.277)

Demonstracao:

Observemos que, para cada n ∈ 0 ∪ N, temos que o polinomio de Taylor, de ordem n,

associado a func~ao f, em x = a, sera dado por (veja (7.218))

Pn(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n

=

∞∑n=0

f(n)(a)

n!(x− a)n

que coincide com a soma parcial, de ordem n, da serie de potencias

∞∑n=0

f(n)(a)

n!(x− a)n

ou seja, as somas parciais da serie de potencias associada a func~ao f, em (x − a), s~ao os

polinomios de Taylor, associados a func~ao f, em x = a.

Mas

|f(x) − Pn(x)|(7.217)= |Rn(x)|

p→ 0 ,

para cada x ∈ (a− δ , a+ δ), por hipotese.

Logo, da Denic~ao (5.2.1), segue que

f(x) = f(a) +f ′(a)

1!(x− a) +

f ′′(a)

2!(x− a)2 +

f ′′′(a)

3!(x− a)3 + · · ·+ f(n)(a)

n!(x− a)n + · · ·

=

∞∑n=0

f(n)(a)

n!(x− a)n , para cada x ∈ (a− δ , a+ δ) ,


Observacao 7.7.2

1. Para cada a ∈ (b , d), a convergencia da serie de potencias (7.277) acima, sera

uniforme em qualquer intervalo fechado e limitado contido em dentro do interior

do seu intervalo de convergencia.

De fato, pois uma serie de potencias converge uniformemente em qualquer inter-

valo limitado e fechado contido no intervalo de convergencia da serie de potencias.

2. O resultado nos da condic~oes suficientes sobre uma func~ao f, para que ela possua

uma representac~ao em series de Taylor, em x = a.


3. Exitem func~oes f ∈ C∞((b , d) ; R), cuja serie de Taylor (ou de McLaurin) nao

converge para a func~ao, como mostra o exemplo a seguir:

Considere f : R → R dada por

f(x) =

e− 1

x2 , para x = 00 , para x = 0

. (7.278)

Armamos que f ∈ C∞(R ; R) e que

f(n)(0) = 0 , para cada n ∈ 0∪N . (7.279)

Observemos que para x = 0, da regra da cadeia, a func~ao f, tem derivada de

qualquer ordem.

O problema e no ponto x = 0, que passaremos a estudar a seguir.

Mostremos que a func~ao f e contnua em x = 0.

Para isto notemos que

limx→0 f(x)

x =0 em (7.278)= lim

x→0 e−1

x2

limx→0(− 1

x2)=−∞

= 0

x=0 em (7.278)= f(0).

Portanto, a func~ao f e contnua em x = 0.

Mostremos que a func~ao f e diferenciavel em x = 0.

Para isto calculemos:

limh→0

x =0 em (7.278)= e

− 1

h2︷︸︸︷f(h) −

x=0 em (7.278)= 0︷︸︸︷f(0)

h= lim

h→0e− 1

h2

hExerccio

= 0 .

Com isto mostramos que a func~ao f e diferenciavel em x = 0 e

f ′(0) = 0 . (7.280)

Assim, da regra da cadeia (para x = 0) e de (7.280), segue que a func~ao f ′ : R → Rsera dada

f ′(x) =

2

x3e− 1

x2 , para x = 00 , para x = 0

. (7.281)

Pode-se mostrar que a func~ao f ′ e contnua em R.


Como a composta de func~oes contnuas e uma func~ao contnua, segue que a func~ao

f ′ e contnua em R \ 0.

Deixaremos como exerccio para o leitor, mostrar que a f ′ e contnua em x = 0.

Prosseguindo, por induc~ao, podemos mostrar que f ∈ C∞(R) e que

f(n)(0) = 0 , para cada n ∈ 0 ∪ N .

Deixaremos como exerccio para o leitor a vericac~ao deste fato.

Portanto a serie de McLaurin associada a func~ao f, sera dada por

∞∑n=0

(7.279)= 0

f(n)(0)︸︷︷︸n!

xn = 0 = f(x) ,

para x = 0, isto e, a serie de McLaurin associada a func~ao f, nao converge para

a propria func~ao associada a func~ao f (exceto se x = 0).

Introduziremos agora a:

Definicao 7.7.2 Seja I, e um intervalo aberto da reta R.Diremos que uma func~ao f : I → R e analıtica (real) em I se para cada a ∈ I,

podemos encontrar δ = δ(a) > 0, de modo que a serie de Taylor associada a func~ao f,

em x = a, isto e, a serie de potencias

∞∑n=0

f(n)(a)

n!(x− a)n ,

for converge para f(x), para cada x ∈ (a− δ , a+ δ), isto e,

f(x) =

∞∑n=0

f(n)(a)

n!(x− a)n , para cada x ∈ (a− δ , a+ δ) . (7.282)

Uma func~ao f : R → R sera dita funcao inteira se ela for analtica em qualquer

intervalo aberto.

A seguir daremos algumas func~oes e suas respectivas representac~oes em serie de potencias

(de McLaurin):

Exemplo 7.7.2 Do Exemplo (7.6.3), temos que a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= ex , para cada x ∈ R , (7.283)

possui representac~ao em serie de McLaurin na reta R dada por

ex(7.250)=

∞∑n=0

1

n!xn , para cada x ∈ R . (7.284)


Exemplo 7.7.3 Como consequencia do Exemplo (7.6.2) e da Observac~ao (7.6.3), segue

que a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= sen(x) , para cada x ∈ R , (7.285)

possui representac~ao em serie de McLaurin na reta R, dada por

sen(x) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2 n+1 , para cada x ∈ R . (7.286)

Exemplo 7.7.4 Do Exemplo (7.6.4), segue que a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= cos(x) , para cada x ∈ R , (7.287)

possui representac~ao em serie de McLaurin na reta R, dada por

cos(x)(7.259)=

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2 n , para cada x ∈ R . (7.288)

Exemplo 7.7.5 De (7.177), segue que a func~ao f : (−1 , 1) → R, dada por

f(x).=

1

1− x, para cada x ∈ (−1 , 1) , (7.289)

possui representac~ao em serie de McLaurin em (−1 , 1). dada por

1

1− x

(7.177)=

∞∑n=0

xn , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.290)

Exemplo 7.7.6 Da Observac~ao (7.123), segue que a func~ao f : (−1 , 1) → R, dada por

f(x) = arctg(x) , para cada x ∈ (−1 , 1) , (7.291)

possui representac~ao em serie de McLaurin em (−1 , 1), dada por

arctg(x)(7.138)=

∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1x2 n+1 , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.292)

Exemplo 7.7.7 Do item 2. da Observec~ao (7.4.2) , segue que a func~ao f : (−1 , 1) → R,dada por

f(x).= ln(x+ 1) , para cada x ∈ (−1 , 1) , (7.293)

possui representac~ao em serie de McLaurin em (−1 , 1), dada por

ln(x+ 1)(7.123)=

∞∑n=1

(−1)n−1

nxn , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.294)

A seguir vamos obter uma representac~ao em serie de Taylor para:


Exemplo 7.7.8 Considere a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= sen(x) , para cada x ∈ R . (7.295)

Obter uma representac~ao da func~ao f em serie de Taylor, em x =π

6.

Resolucao:

Observemos que f ∈ C∞(R ; R).Alem disso, par δ > 0 xado, para cada∣∣∣x− π

6

∣∣∣ < δ , (7.296)

temos que o resto de Taylor, de ordem n, associado a func~ao f, em x =π

6, satisfaz:

|Rn(x)|(7.276)=

∣∣∣∣f(n+1)(cx)(n+ 1)!

(x−

π

6

)n∣∣∣∣|f(k)(x)|≤1

≤

∣∣∣x− π

6

∣∣∣n(n+ 1)!

(7.296)=

Mn+1

(n+ 1)!

Exemplo (7.6.2)→ 0 , quando n→ ∞ .

Ou seja,

limn→∞Rn(x) = 0 , para cada

∣∣∣x− π

6

∣∣∣ < M.

Logo, do Teorema (7.7.2) acima (com a.=π

6), segue que

f(x) =

∞∑n=0

f(n)(π6

)n!

(x−

π

6

)n, para cada x ∈ R . (7.297)

Mas,

f(k)(x) =

sen(x) , k = 4m , para m ∈ 0 ∪ N ,cos(x) , k = 4m+ 1 , para m ∈ 0 ∪ N ,− sen(x) , k = 4m+ 2 , para m ∈ 0 ∪ N− cos(x) , k = 4m+ 3 , para m ∈ 0 ∪ N

.

Logo

f(k)(π6

)=

1

2, k = 4m , para m ∈ 0 ∪ N

√3

2, k = 4m+ 1 , para m ∈ 0 ∪ N

−1

2, k = 4m+ 2 , para m ∈ 0 ∪ N

−

√3

2, k = 4m+ 3 , para m ∈ 0 ∪ N

. (7.298)


Assim, substituindo (7.298) em (7.297), obteremos:

f(x) =

∞∑n=0

f(n)(π6

)n!

(x−

π

6

)n=1

2+

√3

2 · 1!

(x−

π

6

)−

1

2 · 2!

(x−

π

6

)2−

√3

2 · 3!

(x−

π

6

)3+ · · · , para cada x ∈ R .

Observemos que a convergencia da serie de potencias acima sera uniforme, em cada in-

tervalo [a , b] ⊆ R.

Observacao 7.7.3

1. Todas as func~oes dos Exemplos acima s~ao analticas nos seus respectivos domnios.


2. Lembremos que se 0 ∈ (−a , a) e f : (−a , a) → R e uma func~ao mpar ent~ao

f(0) = 0 . (7.299)

De fato, pois

f(−x) = f(x) , para cada x ∈ (−a , a) .

Logo −x ∈ (−a , a) e assim

f(−0) = −f(0) = f(0) , ou seja, 2 f(0) = 0 , assim f(0) = 0 ,

como armamos.

2. Seja R ∈ (0 ,∞].

Observemos que se uma func~ao f : (−R , R) → R possui representac~ao em serie de

McLaurin no intervalo (−R , R) e ela e uma func~ao par, isto e,

f(−x) = f(x) , para cada x ∈ (−a , a) ,

ent~ao sua serie de McLaurin so apresentara potencias pares (isto e, do tipo x2 n),

ou seja, os coecientes das potencias mpares (isto e, de x2 n+1) ser~ao iguais a

zero.

Lembremos que a func~ao f, em particular, devera ter derivada de qualquer ordem

em (−R , R).

De fato, pois se a func~ao f e uma func~ao par ent~ao, da regra da cadeia, segue que

sua func~ao derivada, isto e, a func~ao f ′ : (−R , R) → R, sera uma func~ao mpar.

A veriacac~ao deste dao sera deixado como exerccio para o leitor.


f ′(0) = 0 . (7.300)


Suponhamos que a func~ao f ′ e uma func~ao mpar ent~ao, da regra da cadeia, segue

que sua func~ao derivada segunda, isto e, f ′′ : (−R , R) → R sera uma func~ao par.

Logo, novamente, da regra da cadeia, segue que sua func~ao derivada terceira, isto

e, f ′′′ : (−R , R) → R sera uma func~ao mpar e assim, de (7.299), deveremos ter:

f ′′′(0) = 0 . (7.301)

Prosseguindo o racioccio, por induc~ao, podemos mostrar que todas as derivadas

de ordem mpar, isto e, f(2n+1), ser~ao func~oes mpares.

Logo deveremos ter

f(2 n+1)(0) = 0 , para cada n ∈ 0 ∪ N . (7.302)

Portanto a serie de McLaurin associada a func~ao f (veja (7.273)) tornar-se-a:

f(x)(7.273)=

∞∑n=0

f(n)(0)

n!xn

(7.302)=

∞∑n=0

f(2 n)(0)

(2n)!x2n , para cada x ∈ (−R , R) .

3. Seja R ∈ (0 ,∞].

De modo analogo, se uma func~ao f : (−R , R) → R possui representac~ao em serie

de McLaurin (−R , R) e ela e uma func~ao mpar, isto e,

f(−x) = −f(x) , para cada x ∈ (−R , R) ,

ent~ao sua serie de McLaurin so apresentara potencias mpares (isto e, tipo x2 n+1),

ou seja, os coecientes das potencias pares (isto e, de x2 n) ser~ao iguais a zero, ou

seja,

f(x)(7.273)=

∞∑n=0

f(n)(0)

n!xn

=

∞∑n=0

f(2n+1)(0)

(2n+ 1)!x2 n+1 , para cada x ∈ (−R , R) .

Para msotrar a armac~ao acima, basta observar que se uma func~ao e mpar e e

diferenciavel em um intervalo aberto simetrico em relac~ao a origem, ent~ao sua

derivada sera uma func~ao par nesse intervalo aberto.

Assim, de (7.299)), segue que

f(2 n)(0) = 0 , para cada n ∈ 0 ∪ N . (7.303)

Um resultado nal sobre a convergencia de series de Taylor e dado pelo:


Teorema 7.7.3 Sejam a ∈ R, R ∈ (0 ,∞] e a func~ao f : (a−R , a+R) → R tal que a func~ao

f tenha derivada de quacquer ordem em (a−R , a+R) (isto e, f ∈ C∞((a−R , a+R) ; R)).Alem disso, suponhamos que existe M > 0, de modo que∣∣f(n)(x)∣∣ ≤M para todo n ∈ 0 ∪N e x ∈ (a− R , a+ R) . (7.304)

Ent~ao a func~ao f pode ser representada em serie de Taylor, em x = a, isto e,

f(x) =

∞∑n=0

f(n)(a)

n!(x− a)n , para cada x ∈ (a− R , a+ R) . (7.305)

Demonstracao:

Observemos que se

x ∈ (a− R , a+ R) ou seja, |x− a| < R , (7.306)

temos que o resto de Taylor, de ordem n, associado a func~ao f, em x = a, vai satisfazer:

|Rn(x)|(7.276)=

∣∣∣∣f(n+1)(c)(n+ 1)!(x− a)n+1

∣∣∣∣≤∣∣f(n+1)(c)∣∣(n+ 1)!

| |x− a|n+1

(7.305) e (7.306)

≤ M

(n+ 1)!Rn+1

Exemplo (7.6.2)→ 0 , quando n→ ∞ .

Logo, do Teorema (7.7.2), segue que

f(x) =

∞∑n=0

f(n)(a)

n!(x− a)n , para cada x ∈ (a− R , a+ R) ,


Apliquemos o resultado acima ao:

Exemplo 7.7.9 Considere a func~ao f : R → R dada por

f(x) = sen(x) , para cada x ∈ R . (7.307)

Mostre que

f(x) =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2 n+1 , para cada x ∈ R . (7.308)

Resolucao:



|f(n)(x)| =

| sen(x)| , para n e par

| cos(x)| , para n e mpar,

ou seja, ∣∣f(n)(x)∣∣ ≤ 1 , para x ∈ R .

Portanto, pelo Teorema (7.7.3) acima, segue que serie de MacLurin, associada a func~ao f,

converge para a func~ao f, em R, ou seja, vale (7.308).


f(x) = cos(x) , para cada x ∈ R . (7.309)

Mostre que

f(x) =

∞∑n=0

(−1)n

(2n)!x2 n , para cada x ∈ R . (7.310)


|f(n)(x)| =

| cos(x)| , para n e par

| sen(x)| , para n e mpar,

ou seja,

|f(n)(x)| ≤ 1 , para x ∈ R .

Portanto, pelo Teorema (7.7.3) acima, segue que serie de MacLurin, associada a func~ao f,

converge para a func~ao f, em R, ou seja, vale (7.310).

Observacao 7.7.4 Podemos mostrar que as func~oes dos dois exemplos acima s~ao func~oes

inteiras.


Com isto podemos resolver o:

Exemplo 7.7.11 Encontre uma serie numerica convergente cuja soma e igual a∫ 10

sen(x)

xdx . (7.311)

Resolucao:

Do Exemplo (7.7.9) acima, temos que (veja (7.308)):

sen(x) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2 n+1

= x−x3

3!−x5

5!+x7

7!+ · · ·+ (−1)n

(2n+ 1)!x2 n+1 + · · · , para cada x ∈ R . (7.312)


Notemos que, se x = 0, segue que

sen(x)

x

(7.312)=

1

x

[ ∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2 n+1

]∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2 n

= 1−x2

3!−x4

5!+x6

7!+ · · ·+ (−1)n

(2n)!x2 n+1 + · · · . (7.313)

Observemos que em

x = 0 ,

a serie de potencias em (7.313), converge para 1.

Observacao 7.7.5 Isto nada mais e que uma outra demonstrac~ao do primeiro limite

fundamental, a saber, que

limx→0

sen(x)

x= 1 .

Podemos mostrar que o raio de convergencia da serie de potencias (7.313) e R = ∞.

Em particular, do Teorema (7.3.1), a serie de potencias (7.313), converge uniformemente

em [0 , 1].


Logo podemos integrar a serie de potencias (7.313), termo a termo, em [0 , 1], isto e,∫ 10

sen(x)

xdx

(7.313)=

∫ 10

[ ∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!x2 n dx

](7.105)=

∞∑n=0

[∫ 10

(−1)n

(2n+ 1)!x2 n dx

]Teor. Fund. Caclulo

=

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!(2n+ 1)

[x2n+1

∣∣∣∣x=1x=0

]

=

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!(2n+ 1), (7.314)

nalizando o exerccio.

Observacao 7.7.6 A serie numerica (7.314) e uma serie alternada, que satisfaz as

condic~oes do Teorema da serie alternada (veja o Teorema (4.6.1)).

Logo podemos concluir deste resultado que (na verdade de (4.224)), para cada n ∈0 ∪ N, teremos ∣∣∣∣∫ 1

0

sen(x)

xdx− Sn

∣∣∣∣ ≤ an+1 ,

7.8. SERIE BINOMIAL 301

onde,

Sn.=

n∑k=0

(−1)k

(2 k+ 1)!(2 k+ 1),

isto e, Sn e soma parcial de ordem n da serie numerica (7.314) e

an.=

1

(2n+ 1)!(2n+ 1),

ou seja, ∣∣∣∣∣∫ 10

sen(x)

xdx−

n∑k=0

(−1)k

(2 k+ 1)!(2 k+ 1)

∣∣∣∣∣ ≤ 1

(2n+ 3)!(2 k+ 3). (7.315)

Deste modo poderemos obter uma aproximac~ao para o valor da integral

∫ 10

sen(x)

xdx

utlizando-se (7.315).

7.8 Serie Binomial

Do Binomio de Newton, segue o:

Teorema 7.8.1 Se a, b ∈ R e m ∈ N ent~ao

(a+ b)m =

m∑n=0

(m

n

)an bm−n , (7.316)

onde (m

n

).=

m!

(m− n)!n!. (7.317)

Demonstracao:

A demonstrac~ao desse fato sera deixada como exerccio para o leitor.

Observacao 7.8.1

1. Tomando-se

a = 1 e b = x ,

na express~ao (7.316) acima, obteremos:

(1+ x)m(7.316)=

m∑n=0

(m

n

)xm−n

= 1+mx+m (m− 1)

2!x2 +

m (m− 1) (m− 2)

3!x3

+ · · ·+

k−fatores︷︸︸︷m (m− 1) · · · [m− (k− 1)]

k!xk + · · ·+ xm ,


2. A express~ao acima coincide com a soma da serie de McLaurin da func~ao f : R → R,dada por

f(x).= (1+ x)m , para cada x ∈ R (7.318)

onde m ∈ N esta xado.

3. Observemos que para m ∈ R xado, a serie de potencias

1+mx+m (m− 1)

2!x2 +

m (m− 1) (m− 2)

3!x3 + · · ·

+

k−fatores︷︸︸︷m (m− 1) · · · [m− (k− 1)]

k!xk + · · · , (7.319)

e a soma da serie de McLaurin que representa a func~ao f : I ⊆ R → R, dada por

f(x).= (1+ x)m , para cada x ∈ I , (7.320)

onde I e o intervalo de convergencia da serie de potencias (7.319).

A demonstrac~ao deste fato sera deixado como exerccio para o leitor.

Definicao 7.8.1 A serie de potencias (7.319) sera denominada serie binomial.

Observacao 7.8.2

1. Determinemos o raio de convergencia da serie binomial (7.319).

Para isto, observamos que, para cada m ∈ R \ N xado, e para cada n ∈ 0 ∪ N,denamos:

an.=m (m− 1) · · · [m− (n− 1)]

n!

=m (m− 1) · · · (m− n+ 1)

n!. (7.321)

Com isto, teremos:

limn→∞

∣∣∣∣an+1an

∣∣∣∣ (7.321)= limn→∞

∣∣∣∣∣∣∣∣m (m− 1) · · · (m− n+ 1) (m− n)

(n+ 1)!

m (m− 1) · · · (m− n+ 1)

n!

∣∣∣∣∣∣∣∣= lim

n→∞|m− n|

n+ 1

= limn→∞

∣∣∣∣ m

n+ 1−

n

n+ 1

∣∣∣∣ = 1 .Portanto, do Teorema (7.2.3) (ou de (7.50)) o raio de convergencia da serie bino-

mial (7.319) sera igual a

R = 1 ,

ou seja, a serie binomial (7.319)

converge em (−1 , 1) e diverge em (−∞ ,−1) ∪ (1 ,∞) . (7.322)


2. Se m ∈ N esta xado, temos que a serie binomial (7.319), tornar-se-a:

(1+ x)m =

∞∑n=0

an , xn , (7.323)

onde

a1 = 1 ,

an =m (m− 1) · · · [m− (n− 1)]

n!, para cada n ∈ 2 , 3 , · · · ,m ,

an = 0 para n ∈ m+ 1 ,m+ 2 ,m+ 3 , · · · .


Exemplo 7.8.1 Considere a func~ao f : (−1 , 1) → R, dada por

f(x).=

1√1+ x

= (1+ x)−12 , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.324)

Encontrar uma em serie de potencias de x, que represente a func~ao f em (−1 , 1).

Resolucao:

Tomando-se

m = −1

2,

na express~ao da serie binomial (7.319), obteremos:

(1+ x)−12 =

∞∑n=0

anxn ,

onde ao = 1 ,

an =

n-fatores︷︸︸︷−1

2

(−1

2− 1

)· · ·[−1

2− (n− 1)

]n!

, para cada n ∈ N . (7.325)


Ou seja,

ao = 1,

a1n=1 em (7.325)

=−1

21!

= −1

2,

a2n=2 em (7.325)

=

−1

2

(−1

2− 1

)2!

=

3

42!

=3

22 2!,

a3n=3 em (7.325)

=

−1

2

(−1

2− 1

)(−1

2− 2

)3!

=−1 · 3 · 523 3!

,

...

anpor induc~ao

=1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) (−1)n

2n n!, para cada n ∈ N , (7.326)

ou ainda,

1√1+ x

= (1+ x)−12

(7.326)= 1−

1

2x+

1 · 322 2!

x2 −1 · 3 · 523 3!

x3 + · · ·+ 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) (−1)n

2n n!xn + · · · , (7.327)

para cada x ∈ (−1 , 1).

Como exerccio para o leitor temos os

Exercıcio 7.8.1 Encontrar o desenvolvimnto em serie de McLaurin da func~ao f : (−1, 1) →R dada por

f(x).=

1√1− x2

=(1− x2

)− 12 , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.328)

Resolucao:

Como vimos no Exemplo (7.8.1) acima (na verdade em (7.328)), a serie de McLaurin da

func~ao g : (−1, 1) → R dada por

g(y).= (1+ y)−

12 , para cada y ∈ (−1 , 1) ,


e dada por:

g(y) = (1+ y)−12

= 1−1

2y+

1 · 322 2!

y2 −1 · 3 · 523 3!

y3 + · · ·+ 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) (−1)n

2n n!yn + · · · , (7.329)

para cada y ∈ (−1 , 1).

Logo, se x ∈ (−1 , 1) segue que y.= x2 ∈ (−1 , 1), assim, de (7.329), teremos:

(1− x2

)− 12 = 1−

1

2

(−x2

)+1 · 322 2!

(−x2

)2−1 · 3 · 523 3!

(−x2

)3+ · · ·

+1 · 3 · 5 · · · (2n− 1) (−1)n

2n n!

(−x2

)n+ · · ·

= 1− (−1)1

2x2 +

1 · 322 2!

x4 − (−1)1 · 3 · 523 3!

x6 + · · ·

+1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)(−1)n(−1)n

2n n!x2 n + · · ·

= 1+1

2x2 +

1 · 322 2!

x4 +1 · 3 · 523 3!

x6 + · · ·+ 1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2n n!x2 n + · · · , (7.330)

para cada x ∈ (−1 , 1).

Exercıcio 7.8.2 Encontrar a serie de McLaurin que represente a func~ao f : (−1, 1) → Rdada por

f(x).= arcsen(x) , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.331)

Resolucao:

Observemos que, do Calculo 1, sabemos que, para cada x ∈ (−1 , 1), teremos:

arcsen(x) =

∫ x0

1√1− t2

dt

=

∫ x0

1(1− t2

) 12

dt . (7.332)

Do Exerccio (7.8.1) acima, temos uma representac~ao da func~ao do integrando de (7.332)

em serie de potencias.

Sabemos, pelo Teorema (7.4.1), que a serie de potencias (7.330) pode ser integrada, termo

a termo, no intervalo [0 , x] se x ∈ [0 , 1) ou [x , 0]) se x ∈ (−1 , 0).


Com isto obteremos:

arcsen(x)(7.332)=

∫ x0

1(1− t2

) 12

dt

(7.330)=

∫ x0

[ ∞∑n=0

an t2 n dt

](7.105)=

∞∑n=0

an

[∫ x0

t2 n dt

]Calculo 1

=

∞∑n=0

an

[1

2n+ 1t2 n

∣∣∣∣t=xt=0

]

=

∞∑n=0

an

2n+ 1x2 n+1

= x+

∞∑n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2n n! (2n+ 1)x2 n+1 ,

para cada x ∈ (−1 , 1), ou seja,

arcsen(x) = x+∞∑n=1

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2n n! (2n+ 1)x2n+1 , para cada x ∈ (−1 , 1) . (7.333)

7.9 Resolucao de PVI’s associados a EDO’s via Series de

Potencias

A seguir daremos um metodo para encontrar soluc~ao para o problema de valor inicial (PVI)

associado a uma Equac~ao Diferencial Ordinaria (EDO), utilizando-se series de potencias.

Para o desenvolvimento do metodo precisamos supor que a soluc~ao do PVI pode ser

representada em serie de potencias.

A vericac~ao dessa condic~ao sera estudada no curso de Equac~oes Diferenciais Ordinarias.

Para exemplicarmos o metodo, consideraremos o seguinte exemplo, que sicamente cor-

responde ao movimento de um sistema massa-mola, com uma forca externa agindo no sistema:

Exemplo 7.9.1 Encontrar uma func~ao x : (−R , R) → R que possua representac~ao em

serie de McLaurin, isto e,

x(t).=

∞∑n=0

an tn , para cada t ∈ (−R , R) (7.334)

que satisfaca o seguinte problema:x ′′(t) + x(t) = sen(t) , para cada t ∈ (−R , R)

x(0) = 0

x ′(0) = 1

. (7.335)

7.9. APLICAC ~AO DE SERIES DE POTENCIAS 307

Resolucao:

Suponhamos que (7.334) seja a representac~ao da soluc~ao do PVI (7.335), no intervalo

(−R , R), para algum R ∈ (0 ,∞].

Do Teorema (7.5.1), temos que a serie de potencias (7.334) pode ser derivada, termo a

termo, em [a , b] ⊆ (−R, R), segue que

x ′(t) =d

dt

[ ∞∑n=0

an tn

](7.155)=

∞∑n=1

d

dt[an t

n]

(7.155)=

∞∑n=1

an n tn−1 (7.336)

assim: x ′′(t) = (x ′) ′(t)(7.136)=

d

dt

[ ∞∑n=1

an n tn−1

](7.155)=

∞∑n=2

d

dt

[an n t

n−1]

=

∞∑n=2

an n (n− 1) tn−2 , (7.337)

para cada t ∈ (−R , R).

Do Exemplo (7.7.9) temos que (veja (7.308)):

sen(t) =∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!t2 n+1 , para cada t ∈ R. (7.338)

Logo substituindo (7.334), (7.337) e (7.338) na EDO de (7.335), obteremos, para cada

t ∈ (−R , R), :

∞∑n=2

an n (n− 1) tn−2︸︷︷︸.=I

+

∞∑n=0

an tn =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!t2 n+1 . (7.339)

Fazendo

m.= n− 2

na serie de potencias I, (7.339) tornar-se-a:

∞∑m=0

am+2 (m+ 2) (m+ 1) tm +

∞∑n=0

antn =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!t2n+1,

ou seja (fazendo m.= n):

∞∑n=0

[an+2 (n+ 2) (n+ 1) + an] tn =

∞∑n=0

(−1)n

(2n+ 1)!t2 n+1 , (7.340)


para cadat ∈ (−R , R).

Identicando os correspondentes termos nas duas series de potencias de (7.340), segue

que (observemos que os coecientes dos termos das potencias de ordem par, s~ao todos iguais

a zero), para cada n ∈ 0 ∪ N, teremos:

a2 n+2 (2n+ 2) (2n+ 1) + a2 n = 0 (7.341)

a[(2 n+1)+2] [(2n+ 1) + 2] [(2n+ 1) + 1] + a2 n+1 =(−1)n

(2n+ 1)!

ou seja, a2 n+3 (2n+ 3) (2n+ 2) + a2 n+1 =(−1)n

(2n+ 1)!(7.342)

Notemos que, em (7.341), fazendo:

n = 0 : a2 · 2+ ao = 0

a2 = −ao

2(7.343)

n = 1 : a4 · 4 · 3+ a2 = 0

a4 = −a2

4 · 3(7.343)=

ao

4 · 3 · 2(7.344)

n = 2 : a6 · 6 · 5+ a4 = 0

a6 = −a4

6 · 5(7.344)= −

ao

6 · 5 · 4 · 3 · 2.

Por induc~ao, pode-se mostrar que

a2 n =(−1)n

(2n)!ao , para cada n ∈ N . (7.345)


Por outro lado, em (7.342), fazendo:

n = 0 : a3 · 3 · 2+ a1 = 1

a3 =1− a13 · 2

(7.346)

n = 1 : a5 · 5 · 4+ a3 = −1

3!

a5 =−1

3!− a3

5 · 4(7.346)=

−2+ a15!

(7.347)

n = 2 : a7 · 7 · 6+ a5 =1

5!

a7 =

1

5!− a5

7 · 6(7.347)=

3− a17!

.

Por induc~ao, pode-se mostrar que:

a2n+1 = (−1)n+1n− a1

(2n+ 1)!, para cada n ∈ N . (7.348)

7.9. APLICAC ~AO DE SERIES DE POTENCIAS 309


Deste modo obtemos os coecientes

an , para cada n ∈ 0 ∪ N

e portanto a func~ao x = x(t), dada por (7.334), candidata a soluc~ao do PVI (7.335).

Notemos que deveremos ter

0 = x(0)t=0 em (7.334)

= ao ,

ou seja, de (7.345), segue que

a2 n = 0 , para cada n ∈ N . (7.349)

Por outro lado

1 = x ′(0)t=0 em (7.334)

= a1

ou seja, de (7.348), segue que

a2 n+1 = (−1)n+1n− 1

(2n+ 1)!, para cada n ∈ N (7.350)

Logo, substituindo (7.349) e (7.350) em (7.334), obteremos

x(t) =

∞∑n=0

(−1)n+1 (n− 1)

(2n+ 1)!t2 n+1 , para cada t ∈ (−R , R) , (7.351)

sera uma representac~ao em serie de MacLurin da soluc~ao do PVI (7.335) em (−R , R).

Observacao 7.9.1

1. Notemos que a serie de potencias (7.351) pode ser reescrita na seguinte forma:

x(t) = t

∞∑n=0

(−1)n+1 (n− 1)

(2n+ 1)!

(t2)n, para cada t ∈ (−R , R) , (7.352)

2. Para cada n ∈ N, denamos

An.=

(−1)n+1 (n− 1)

(2n+ 1)!. (7.353)


Observemos que, que

ρ = limn→∞

∣∣∣∣An+1An

∣∣∣∣(7.353)= lim

n→∞

∣∣∣∣(−1)(n+1)+1[(n+ 1) − 1]|

[(2n+ 1) + 1]!

∣∣∣∣∣∣∣∣(−1)n+1(n− 1)

(2n+ 1)!

∣∣∣∣= lim

n→∞

∣∣∣∣(−1)n+2 n|(2n+ 2)!

∣∣∣∣∣∣∣∣(−1)n+1 (n− 1)

(2n+ 1)!

∣∣∣∣= lim

n→∞n (2n+ 1)!

(2n+ 3)! (n− 1)

Exerccio= 0 .

Portanto, do Teorema (7.2.3) (ou de (7.50)), segue que o raio de convergencia da

serie de potencias e

R = ∞ ,

isto e, a serie de potencias converge em R, ou seja, a soluc~ao do PVI dada pela

serie de potencias (7.351) pertencera a C∞(R, ; R).

3. Notemos que na soluc~ao obtida em Exemplo (7.9.1) acima (isto e, em (7.351)) ,

se zermos

t→ ∞ ,

teremos que

x(t) → ∞ .


No curso Equac~oes Diferencias Ordinarias sera desenvolvido a teoria e outros exemplos

associados a problemas do tipo acima.

7.10 Exercıcios

Capıtulo 8

Series de Fourier

8.1 Introducao

Nas proximas sec~oes estudaremos uma outra classe especial de series de func~oes, denominadas

series de Fourier.

O objetivo e representar func~oes f : R → R que sejam periodicas (por exemplo, 2 π-

periodicas) na forma de uma serie de func~oes que envolvem somente senos e cossenos.

Mais precisamente, para o caso 2π-periodico, corresponderia a representar uma func~ao

f : R → R, que e 2π-periodica "bem comportada"(que sera explicitado no decorrer das notas)

da seguinte forma:

f(x) =ao

2+

∞∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)] , para cada x ∈ R . (8.1)

As perguntas que ser~ao respondidas estar~ao relacionadas com os seguintes topicos:

1. Se a func~ao f puder ser representada na forma (8.1) acima, quem ser~ao os coecientes

an , para cada n ∈ 0 ∪ Ne os coecientes bn , para cada n ∈ N ? (8.2)

2. Que propriedades a func~ao f deve ter para pode ser representada na forma (8.1) acima?

3. Em que sentido a serie de func~oes (8.1) converge pontualmente, uniformemente, em

algum subconjunto de R ?

Na verdade estudaremos uma situac~ao um pouco mais geral, a saber, para o caso em que

a func~ao f : R → R e 2 L-periodicas e a representac~ao que procuraremos, para a func~ao f, sera

da forma

f(x) =ao

2+

∞∑n=1

[an cos

(nπLx)+ bn sen

(nπLx)], para cada x ∈ I ⊆ R (8.3)

311

312 CAPITULO 8. SERIES DE FOURIER

Observacao 8.1.1 Notemos que no caso em que

L = π

temos que (8.3) tornar-se-a a express~ao a(8.1) acima.

Para motivar o estudo das series de func~oes do tipo (8.3), introduziremos um metodo

(denominado metodo da separacao de variaveis) que, como consequencia, nos levara a

necessidade de estudarmos func~oes que possuam representac~ao em serie de Fourier do tipo

(8.3).

8.2 Metodo das Separacao de Variaveis

Para motivar os topicos que ser~ao desenvolvidos nas proximas sec~oes vamos introduzir um

metodo para encontrar soluc~ao para uma Equac~ao Diferencial Parcial (EDP) importante nas

aplicac~oes, denominada Equacao do Calor.

Tal metodo, que pode ser aplicado a outors problemas relacionados com outras EDP's, por

exemplo, a Equac~ao da Onda, a Equac~ao de Laplace e e denominado Metodo da Separacao

de Variaveis.

Como dito acima, aplicaremos o metodo para encontrar (ou tentar encontrar) uma soluc~ao

para o problema da distribuic~ao de calor, em um o nito, de comprimento L ∈ (0 ,∞), para

os quais conhecemos a temperatura em cada ponto do mesmo, no instante inicial, ou seja,

t = 0, que esta isolado termicamente, por exemplo, o o esta dentro de um isopor, e cujas

extremidades s~ao mantidas temperatuda 0oC, ao longo de todo o processo.

Vamos imaginar que o o e o intervalo

[0, L] ⊆ R

e que

u = u(t, x) ,

nos fornece a temperatura no ponto x ∈ [0 , L] do o, no instante t ∈ [0 ,∞).

0 Lx

?

Tempertatura no instante t no ponto x do o e: u(t, x)

Matematicamente, o problema acima corresponde a encontrar um func~ao

u = u(t, x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] ,

que venha satisfazer o seguinte problema:

∂u

∂t(t , x) = α2

∂2 u

∂x2(t , x) , para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) (8.4)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] , (8.5)

u(t , 0) = u(t , L) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) . (8.6)

8.2. METODO DAS SEPARAC ~AO DE VARI AVEIS 313

A condic~ao (8.4) nos diz que, no instante inicial, isto e, t = 0, a temperatura no ponto

x ∈ [0 , L] do o e igual a f(x) oC.

A condic~ao (8.5) nos diz que a temperatura nos extremos do o igual a 0 oC, ao longo de

todo o processo, isto e, para t ∈ [0 ,∞).

A Equac~ao Diferencial Parcial (8.4) e denominada Equacao do Calor.

A constante

α ∈ (0 ,∞) ,

esta relacionada com a condutibilidade termica do o, isto e, depende do material que o o

e feito.

No nosso caso, vamos supor que

α = 1 .

O caso geral sera tratado mais adiante.

O metodo que desenvolveremos a seguir e simples e o proprio nome ja nos diz o que

faremos.

Observemos, inicialmente que, por quest~oes de compatibilidade, deveremos ter:

f(0)x=0 em (8.5)

= u(0 , 0)

t=0 em (8.6)= 0

t=0 em (8.6)= u(0 , L)

x=L em (8.5)= f(L) ,

ou seja, f(0) = f(L) = 0 . (8.7)

Do ponto de vista matematico e razoavel, a primeira vista, procurarmos soluc~oes u =

u(t, x) na seguinte classe:

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , L) ; R) (8.8)

o que implicara, por (8.5), que

f(·) (8.5)= u(0 , ·)

(8.9)∈ C([0 , L] ; R) , (8.9)

A EDP

eqrefE1 e uma equac~ao importante que ocorre em muitas aplicac~oes e tambem e um exemplo

importante das EDP's lineares de tipo parabolico.

Um dos primeiros a estudar, de modo sistematico, o problema da conduc~ao de calor foi

Joseph B. Fourier (1768-1830).

Ele desenvolveu o metodo que trataremos a seguir, dito Metodo de Fourier.

O metodo consiste em procurar soluc~oes do problema acima do tipo

u(t , x) = ψ(t)ϕ(x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× ∈ [0 , L] , (8.10)

isto e, soluc~oes do tipo variaveis separadas, dai o nome do metodo.


Comecaremos tentando soluc~oes do tipo acima para (8.4), (8.6) e, posteriormente, uti-

lizaremos (8.5).

De (8.8) e (8.10) segue que

ψ ∈ C([0 ,∞) ; R) ∩ C2((0 ,∞) ; R) e ϕ ∈ C([0 , L] ; R) ∩ C2((0 , L) ; R) . (8.11)

Na verdade estaremos interessados em soluc~oes n~ao nulas, isto e,

u(t , x) = 0 , para algum (t , x) ∈ [0 ,∞)× x ∈ [0 , L] ,

o que implicara que

ψ(t) , ϕ(x) = 0 , para algum t ∈ [0 ,∞) e x ∈ [0 , L] . (8.12)

Supondo que as func~oes ψ = ψ(t) e ϕ = ϕ(x) satisfacam (8.11), de (8.10), para cada

(t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L), teremos:

∂u

∂t(t , x)

(8.10)=

∂

∂t[ψ(t)ϕ(x)]

= ψ ′(t)ϕ(x) (8.13)

e

∂2 u

∂x2(t , x)

(8.10)=

∂2

∂x2[ψ(t)ϕ(x)]

= ψ(t)ϕ ′′(x) . (8.14)

Substituindo (8.13) e (8.14) em (8.4), obteremos

ψ ′(t)ϕ(x) = ψ(t)ϕ ′′(x) , para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) .

Dividindo a igualdade acima por ψ(t)ϕ(x) (nos pontos onde ψ(t)ϕ(x) = 0), obteremos

a seguinte identidade:

ψ ′(t)ϕ(x)

ψ(t)ϕ(x)=ψ(t)ϕ ′′(x)

ψ(t)ϕ(x), para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) .

Como ψ(t), ϕ(x) = 0, teremos:

ψ ′(t)

ψ(t)=ϕ ′′(x)

ϕ(x), para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) . (8.15)

Notemos que o lado direito da identidade (8.15) acima, e uma func~ao que depende de x,

enquanto o lado esquerdo da mesma e uma func~ao que depende de t.

Logo ambos dever~ao ser iguais a uma constante, que chamaremos de

− λ . (8.16)

O motivo do sinal sera justicado mais adiante.



ψ ′(t)

ψ(t)= −λ =

ϕ ′′(x)

ϕ(x), para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) ,

que dar~ao origem a duas Equac~oes Diferencias Ordinarias (EDO), a saber:

ψ ′(t) = −λψ(t) , para cada t ∈ (0 ,∞) , (8.17)

ϕ ′′(x) = −λϕ(x) , para cada x ∈ (0 , L) . (8.18)

Impondo a condic~ao (8.6), devermos ter:

ψ(t)ϕ(0)t=0 em (8.10)

= u(t , 0)

(8.6)= 0

(8.6)= u(t , L)

t=L em (8.10)= ψ(t)ϕ(L)

ou seja, ψ(t)ϕ(0) = ψ(t)ϕ(L) , para cada t ∈ [0 ,∞) . (8.19)

Como

ψ(t) = 0 , para algum t ∈ (0 ,∞) ,

dividindo ambos os membros da identidade (8.19) por ψ(t), obteremos

ϕ(0) = 0 = ϕ(L) , (8.20)

Portanto, de (8.18), (8.20) e (8.11), segue que a func~ao ϕ = ϕ(x) devera satisfazer o

seguinte problema de valor de contorno:

ϕ ′′(x) = −λϕ(x) , para cada x ∈ (0 , L) (8.21)

ϕ(0) = ϕ(L) = 0 (8.22)

ϕ ∈ C([0 , L] ; R) ∩ C2((0 , L) ; R) . (8.23)

Observacao 8.2.1

1. Um valor λ, para os quais (8.21)-(8.22) admite soluc~ao, n~ao nula, na classe (8.23)

sera dito autovalor do problema (8.21), e as soluc~oes n~ao triviais da equac~ao

(8.21), na classe

eqrefE8 ser~ao ditas autofuncoes correspondentes ao autovalor λ.

2. Como estamos procurando soluc~oes reais, isto e,

u(t , x) ∈ R , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] ,

so nos interessara o caso em que

λ ∈ R .

O item a seguir mostrara que λ devera ser um numero real maior do que zero,

isto e, que

λ ∈ (0 ,∞) .


3. Armamos que

λ ∈ (0 ,∞) (8.24)

(em particular, λ ∈ R).

De fato, suponhamos que a func~ao ϕ = ϕ(x) satisfaz (8.21), (8.22) e (8.23), em

[0 , L], para algum λ ∈ C.

Armamos que existem os limites laterias

ϕ ′′(0+) e ϕ ′′(L−) .

De fato pois:

ϕ ′′(0+) = limx→0+ϕ ′′(x)

(8.21)= −λ lim

x→0+ϕ(x)(8.23)= −λϕ(0)

(8.22)= 0 (8.25)

ϕ ′′(L−) = limx→L−ϕ ′′(x)

(8.21)= −λ lim

x→L−ϕ(x)(8.23)= −λϕ(L)

(8.22)= 0 , (8.26)

ou seja, de (8.25) e (8.26), segue que

ϕ ′′(0+) = 0 = ϕ ′′(L−) . (8.27)

Por outro lado, como ϕ ∈ C([0 , L] ; R) ∩ C2((0 , L) ; R), para x ∈ (0 , L), teremos:

−λ

∫ x0

ϕ(y)dy = lima→0+

[∫ xa

−λϕ(y)dy

](8.21)= lim

a→0+[∫ xa

ϕ ′′(y)dy


= lima→0+ [ϕ ′(x) − ϕ ′(a)]

= ϕ ′(x) −[lima→0+ϕ ′(a)

], (8.28)

−λ

∫Lx

ϕ(y)dy = limb→L−

[∫bx

−λϕ(y)dy

](8.21)= lim

b→L−[∫bx

ϕ ′′(y)dy


= limb→L− [ϕ ′(b) − ϕ ′(x)]

=[limb→L−ϕ ′(b)

]− ϕ ′(x) , (8.29)


portanto, de (8.28) e (8.29), segue que existem os limites lateriais

ϕ ′(0+).= lim

a→0+ϕ ′(a) e ϕ ′(L−).= lim

b→L−ϕ ′(b) . (8.30)

Logo podemos integrar as func~oes ϕ ′ e ϕ ′′, no intervalo [0 , L], o que permite

fazermos os seguintes calculos a seguir.

Observemos que

λ

∫L0

|ϕ(x)|2 dx|z|2=zz= λ

∫L0

ϕ(x)ϕ(x)dx

=

∫L0

[λϕ(x)] ϕ(x)dx

(8.21)= −

∫L0

ϕ ′′(x)ϕ(x)dx

= − lima→ 0+

b→ L−

[∫ba

ϕ ′′(x)ϕ(x)dx

]

Integrac~ao por Partes= − lim

a→ 0+

b→ L−

[ϕ ′(x)ϕ(x)

∣∣∣∣x=bx=a

]−

∫ba

ϕ ′(x)ϕ ′(x)dx

= − lima→ 0+

b→ L−

[ϕ ′(b)ϕ(b) − ϕ ′(a)ϕ(a)

]−

∫L0

|ϕ ′(x)|2dx

(8.30)= −

ϕ ′(L−) ϕ(L)︸︷︷︸(8.22)= =0

− ϕ ′(0+)ϕ(0)︸︷︷︸(8.22)= 0

−

∫L0

|ϕ ′(x)|2 dx

=

∫L0

|ϕ ′(x)|2︸︷︷︸≥0

dx ≥ 0 . (8.31)

Armamos que ∫L0

|ϕ ′(x)|2 dx > 0 . (8.32)

De fato, suponhamos, por absurdo que∫L0

|ϕ ′(x)|2 dx = 0 .

Como a func~ao ϕ ′ e contnua em (0 , L) (veja (8.23)), teramos que ter

ϕ ′(x) = 0 , para cada x ∈ (0 , L)


ou seja , a funcao ϕ seria constante em (0 , L).

Mas a func~ao ϕ e contnua em [0 , L] (veja (8.23)) e, de (8.22), teramos

ϕ(x) = 0 , para cada x ∈ [0 , L] ,

que n~ao nos interessa pois neste caso

u(t , x) = ψ(t)ϕ(x) = 0 , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] .

Assim

λ

∫L0

|ϕ(x)|2︸︷︷︸∈(0 ,∞)

dx(8.31)=

∫L0

|ϕ ′(x)|2 dx(8.32)> 0 ,

mostrando que λ > 0 (em particular, λ ∈ R), como havamos armado.

4. Observemos que se

λ1 , λ2 ∈ (0 ,∞)

s~ao autovalores distintos do problema (8.21)-(8.23) e a func~oes

ϕ1 = ϕ(x) e ϕ2 = ϕ2(x)

s~ao suas correspondentes autofunc~oes, ent~ao:

λ1

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx =

∫L0

[λ1ϕ1(x)]ϕ2(x)dx

(8.21)=

∫L0

[−ϕ1′′(x)] ϕ2(x)dx

Integrac~ao por Partes= −

[ϕ1

′(x)ϕ2(x)

∣∣∣∣x=Lx=0

]−

∫L0

ϕ1′(x)ϕ2

′(x)dx

−

ϕ1 ′(L) ϕ2(L)︸︷︷︸

(8.22)= 0

−ϕ1′(0) ϕ2(0)︸︷︷︸

(8.22)= 0

−

∫L0

ϕ1′(x)ϕ2

′(x)dx

(8.22)=

∫L0

ϕ1′(x)ϕ2

′(x)dx

Integrac~ao por Partes=

[ϕ1(x)ϕ2

′(x)

∣∣∣∣x=Lx=0

]−

∫ L0

ϕ1(x)ϕ2′′(x)dx

=

ϕ1(L)︸︷︷︸(8.22)= 0

ϕ2′(L) − ϕ1(0)︸︷︷︸

(8.22)= 0

ϕ2′(0)

−

∫L0


= −

∫L0


(8.21)= −

∫L0

ϕ1(x)[−λ2ϕ2(x)

]dx

λ2∈R= λ2

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx ,


ou seja,

λ1

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx = −λ2

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx,

ou ainda ,

(λ1 − λ2)

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx = 0 . (8.33)

Como

λ1 = λ2 ,

de (8.33), segue que ∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx = 0 ,

ou seja, as func~oes ϕ1 = ϕ1(x) e ϕ2 = ϕ2(x) s~ao ortogonais, relativamente, ao

produto interno de C([0 , L] ; C) denido por:

(f , g) =

∫ L0

f(x)g(x)dx ,

para f , g ∈ C([0 , L] ; C).

5. Como

λ > 0 ,

temos que a soluc~ao geral da EDO (8.21) e dada por:

ϕ(x) = a cos(√λ x)+ b sen

(√λ x), para cada x ∈ [0 , L] , (8.34)

onde a e b s~ao constantes.

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor (visto na disci-

plina de EDO).

Mas a func~ao ϕ = ϕ(x), deve satisfazer as condic~oes (8.22), ou seja:

a(8.34)= ϕ(0)

(8.22)= 0 ,

logo , ϕ(x)a=0 em (8.34)

= b sen(√λ x), (8.35)

b sen(√λ L)

(8.35)= ϕ(L)

(8.22)= 0 . (8.36)

Como

ϕ(x) = 0 , para cada x ∈ [0 , L] ,

segue que deveremos ter

b = 0 ,


pois a = 0.

Assim, da identidade (8.36) acima, segue que

sen(√λ L)= 0 ,

ou seja,√λ L = nπ , para cada n ∈ N ,

isto e,

λ = λn =n2 π2

L2, para cada n ∈ N , (8.37)

e assim, para cada n ∈ N, de (8.36) e (8.37), teremos que:

ϕ(x) = ϕn(x) = sen

√n2 π2L2

x

= sen

(nπLx), para cada x ∈ [0 , L] . (8.38)

6. Resolvendo a EDO (8.17) com

λ = λn =n2π2

L2, para cada n ∈ N ,

obtemos, para cada n ∈ N, que

ψ(t) = ψn(t) = e−n2π2

L2t, para cada t ∈ [0 ,∞) . (8.39)

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor (visto na disciplina

de EDO)

Podemos resumir tudo nisso no seguinte resultado, cuja demonstrac~ao foi feita na Ob-

servac~ao (8.2.1) acima:

Proposicao 8.2.1

1. Se λ ∈ C e um autovalor a func~ao ϕ = ϕ(x) e autofunc~ao associada a λ, para os

problemas (8.21)-(8.23), ent~ao

λ = λn =n2 π2

L2,

isto e, λ = λn ∈ R+ e

ϕ(x) = ϕn(x) = sen(nπLx), para cada x ∈ [0 , L] .

Alem disso, toda soluc~ao de (8.21)-(8.23) e combinac~ao linear nita das func~oes

abaixo:

ϕn(x) = sen(nπLx), (8.40)

para cada x ∈ [0 , L] e n ∈ N.


2. Toda soluc~ao de (8.17) com

λ = λn =n2 π2

L2, para cada n ∈ N

e combinac~ao linear nita das func~oes abaixo:

ψn(t) = e−n2 π2

L2t, (8.41)

para cada t ∈ [0 ,∞) e n ∈ N.

Observacao 8.2.2

1. Obtivemos, agindo segundo a Observac~ao (8.2.1), para cada n ∈ N, soluc~oes de

(8.4) e (8.6) da forma:

un(t , x)(8.10)= ψn(t)ϕn(x)

(8.40) e (8.41)= e

−n2π2

L2t sen

(nπLx), (8.42)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L].

Utilizando o princpio da superposic~ao (innita), tentaremos encontrar soluc~oes

do problema (8.4), (8.5), (8.6) da forma

u(t , x) =

∞∑n=1

bn un(t , x)

(8.42)=

∞∑n=1

bnψn(t)ϕn(x)

(8.40) e (8.41)=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx), (8.43)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× ∈ [0 , L].

Observemos que se soubermos que a serie de func~oes (8.43) acima, pode ser deri-

vada, termo a termo, uma vez, em relac~ao a t e duas vezes, em relac~ao a x, em

(t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L), ent~ao a func~ao u = u(t , x), dada por (8.43), ira satisfazer

(8.4) e (8.6).

Isto ocorrera porque, para cada n ∈ N, a func~ao

un(t, x) = ψn(t)ϕn(x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× ∈ [0 , L] ,

tem essa propriedade, por construca~ao.



Para que a func~ao u = u(t , x), dada por (8.43), venha satisfazer a condic~ao (8.5),

deveremos ter:

f(x)(8.5)= u(0 , x)

t=0 em (8.43)=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L20︸︷︷︸

=1

sen(nπLx)

=

∞∑n=1

bn sen(nπLx), (8.44)

para cada x ∈ [0 , L].

Ou seja, devemos saber expressar a func~ao f = f(x), como uma serie do tipo (8.44),

isto e, uma serie de senos.

2. Podemos aplicar as mesmas ideias acima a seguinte situac~ao:

Vamos imaginar que o o do problema anterior, esta isolado termicamente e que

suas extremidades n~ao troquem calor com o meio ambiente.

Matematicamente, o problema acima corresponde a encontrar uma func~ao

u = u(t , x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] ,

que satisfaz as seguintes condic~oes:

∂u

∂t(t , x) =

∂2 u

∂x2, para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) (8.45)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] , (8.46)

∂u

∂x(t , 0) =

∂u

∂x(t , L) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) . (8.47)

A condic~ao (8.45) nos diz que a temperatura no ponto x ∈ [0 , L] do o e igual a

f(x)oC.

A condic~ao (8.45) nos diz que os extremos n~ao trocam calor com o meio ambiente.


Observemos, inicialmente que, por quest~oes de compatibilidade, deveremos ter:

f ′(0)ddx

(8.46) com x=0=

∂u

∂x(0 , 0)

(8.47), com t=0= 0

(8.47), com t=0=

∂u

∂x(0 , L)

ddx

(8.46), com x=L= f ′(L) ,

ou seja, f ′(0) = f ′(L) = 0 . (8.48)


Do ponto de vista aplicado e razoavel procurarmos soluc~oes u = u(t, x) na seguinte

classe

u ∈ C1([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , L) ; R) , (8.49)

o que implicara que

f(8.46)= u(0 , .) ∈ C1([0 , L] ; R) .

Como no caso tratado anteriormente (veja (8.10)), procuraremos soluc~oes do pro-

blema do tipo

u(t , x).= ψ(t)ϕ(x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] , (8.50)

isto e, soluc~oes do tipo variaveis separadas.

Comecaremos tentando soluc~oes do tipo acima para (8.45), (8.47) e posteriormente

utilizaremos (8.46).

De (8.49) e (8.50) segue que

ψ ∈ C1([0 ,∞) ; R) ∩ C2((0 ,∞) ; R) e ϕ ∈ C1([0 , L] ; R) ∩ C2((0 , L) ; R) . (8.51)

Estaremos interessados em soluc~oes n~ao constantes, isto e,

u(t , x) = C , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L]

o que implicara que

ψ(t) , ϕ(x) = C , para algum t ∈ [0 ,∞) e x ∈ [0 , L] , (8.52)

para qualquer C ∈ R xado.

Supondo que as func~oes ψ = ψ(t) e ϕ = ϕ(x) satisfacam (8.51), de (8.50), para

cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L), teremos:

∂u

∂t(t , x)

(8.10)=

∂

∂t[ψ(t)ϕ(x)]

= ψ ′(t)ϕ(x) (8.53)

e

∂2 u

∂x2(t , x)

(8.10)=

∂2

∂x2[ψ(t)ϕ(x)]

= ψ(t)ϕ ′′(x) . (8.54)

Substituindo (8.53) e (8.54) em (8.45), obteremos

ψ ′(t)ϕ(x) = ψ(t)ϕ ′′(x) , para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) .


Dividindo a identidade acima por ψ(t)ϕ(x), nos pontos de [0 ,∞)× [0 , L] onde este

e diferente se zero, obteremos:

ψ ′(t)ϕ(x)

ψ(t)ϕ(x)=ψ(t)ϕ ′′(x)

ψ(t)ϕ(x), para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) .

Como ψ(t) , ϕ(x) = 0, em algun ponto de [0 ,∞)× [0 , L], segue que

ψ ′(t)

ψ(t)=ϕ ′′(x)

ϕ(x), para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) . (8.55)

Como no caso tratado anteriormente (veja (8.15)), o lado direito da identidade

(8.55), e uma func~ao de x, enquanto o lado esquerdo da mesma, e uma func~ao de

t.

Logo ambos os lados da identidade (8.55) dever~ao ser iguais a uma constante que

chamaremos de −λ.

O motivo do sinal negativo sera tratado a seguir, como no caso anterior (veja

(8.16)).

Portanto

ψ ′(t)

ψ(t)= −λ =

ϕ ′′(x)

ϕ(x), para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) .

Com isto obtemos duas Equac~oes Diferencias Ordinarias (EDO), a saber:

ψ ′(t) = −λψ(t) , para cada t ∈ (0 ,∞) (8.56)


Impondo as condic~oes (8.47), teremos:

ψ(t)ϕ ′(0)(8.50)=

∂u

∂x(t , 0)

(8.47)= 0

(8.47)=

∂u

∂x(t , L)

(8.50)= ψ(t)ϕ ′(L) , para cada t ∈ [0 ,∞) . (8.58)

Como

ψ(t) = 0 ,

dividindo ambos os membros da identidade (8.58), por ψ(t), obteremos

ϕ ′(0) = 0 = ϕ ′(L) , (8.59)


ou seja, a func~ao ϕ = ϕ(x), devera satisfazer o seguinte problema de valor de

contorno:


ϕ ′(0) = ϕ ′(L) = 0 (8.61)

ϕ ∈ C1([0 , L) ; R) ∩ C1([0 , L] ; R) . (8.62)

3. Armamos que

λ ∈ (0 ,∞) (8.63)

(em particular, λ ∈ R).

De fato, suponhamos que a func~ao ϕ = ϕ(x) satisfaz (8.60), (8.61), (8.62), para

algum λ ∈ C.

Observemos que existem os limites laterias:

ϕ ′′(0+) e ϕ ′′(L−) .

De fato, notemos que

ϕ ′′(0+) = limx→0+ϕ ′′(x)

(8.60)= lim

x→0+ [−λϕ(x)]= −λ lim

x→0+ϕ(x)ϕ e contnua em x = 0 - veja (8.62)

= −λϕ(0) ,

ϕ ′′(L−) = limx→L−ϕ ′′(x)

(8.60)= lim

x→L− [−λϕ(x)]= −λ lim

x→L−ϕ(x)ϕ e contnua em x = 0 - veja (8.62)

= −λϕ(L) .

Logo podemos fazer os seguintes calculos:

λ

∫L0

ϕ(x)ϕ(x)dx =

∫L0

[λϕ(x)] ϕ(x)dx

(8.60)=

∫L0

[−ϕ ′′(x)] ϕ(x)dx

= −

∫L0

ϕ ′′(x)ϕ(x)dx

integrac~ao por partes= = −

[ϕ ′(x)ϕ(x)

∣∣∣∣x=Lx=0

]−

∫ba

ϕ ′(x)ϕ ′(x)dx


= −

ϕ ′(L)︸︷︷︸

(8.61)= 0

ϕ(L) − ϕ ′(0)︸︷︷︸(8.61)= 0

ϕ(0)

−

∫L0

|ϕ ′(x)|2 dx

=

∫L0

|ϕ ′(x)|2 dx ≥ 0 . (8.64)

Armamos que ∫L0

|ϕ ′(x)|2 dx > 0 . (8.65)

De fato, suponhamos, por absurdo que∫L0

|ϕ ′(x)|2 dx = 0 .

Como ϕ ∈ C1([0 , L] ; R) segue que

ϕ ′(x) = 0 , para cada x ∈ [0 , L] ,

ou seja, a func~ao ϕ = ϕ(x) deveria ser constante, o que contraria (8.52).

Assim

λ

∫L0

|ϕ(x)|2 dx(8.64)=

∫ L0

|ϕ ′(x)|2 dx(8.65)> 0

implicando que

λ > 0 ,

como armamos.

Em particular, λ ∈ R.

4. Observemos ainda que se

λ1 e λ2

satisfazem o problema (8.60), (8.61), (8.62) e as func~oes

ϕ1 = ϕ1(x) e ϕ2 = ϕ2(x)

s~ao duas correspondentes soluc~oes do problema acima, ent~ao:

λ1

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx =

∫L0

[λ1ϕ1(x)]ϕ2(x)dx

(8.60)=

∫L0

[−ϕ1′′(x)] ϕ2(x)dx

= −

∫L0

ϕ1′′(x)ϕ2(x)dx

integrac~ao por partes= −

[ϕ1

′(x)ϕ2(x)

∣∣∣∣x=Lx=0

]−

∫L0

ϕ1′(x)ϕ2

′(x)dx

= −

ϕ1 ′(L)︸︷︷︸

(8.61)= 0

ϕ2(L) − ϕ1′(0)︸︷︷︸

(8.61)= 0

ϕ2(0)

−

∫L0

ϕ1′(x)ϕ2 ′(x)dx


=

∫ L0

ϕ1′(x)ϕ2 ′(x)dx

integrac~ao por partes=

[ϕ1(x)ϕ2 ′(x)

∣∣∣∣x=Lx=0

]−

∫L0

ϕ1(x)ϕ2 ′′(x)dx

=

ϕ1(L) ϕ2 ′(L)︸︷︷︸(8.61)= 0

−ϕ1(0) ϕ2 ′(0)︸︷︷︸(8.61)= 0

−

∫ L0


= −

∫L0


(8.60)= −

∫L0

ϕ1(x) [−λ2ϕ2(x)]dx

λ2∈R= λ2

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx . (8.66)

Logo:

λ1

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx(8.66)= λ2

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx ,

ou seja, (λ1 − λ2)

∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx = 0 . (8.67)

Logo, se

λ1 = λ2 ,

de (8.67), segue que ∫L0

ϕ1(x)ϕ2(x)dx = 0 ,

ou seja, a sfunc~oes ϕ1 = ϕ1(x) e ϕ2 = ϕ2(x) s~ao ortogonais, relativamente, ao

produto interno de C([0 , L] ; C) denido por:

(f , g) =

∫ L0

f(x)g(x)dx ,

para f , g ∈ C([0 , L] ; C).

5. Como

λ > 0 ,

temos que a soluc~ao geral da EDO (8.60) e dada por:

ϕ(x) = a cos(√λ x)+ b sen

(√λ x), para cada x ∈ [0 , L] , (8.68)

onde a e b s~ao constantes reais.


A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor (visto na disci-

plina de EDO)

Com isto, segue que

ϕ ′(x)(8.68)= −a

√λ sen

(√λ x)+ b

√λ cos

(√λ x), (8.69)


Mas a func~ao ϕ = ϕ(x), deve satisfazer:

b√λ

(8.69)= ϕ ′(0)

(8.61)= 0 ,

como√λ > 0, teremos: b = 0

ϕ(x)b=0 em (8.68)

= a cos(√λ x)

(8.70)

logo, − a√λ sen

(√λ L)

(8.69)= ϕ ′(L)

(8.61)= 0 . (8.71)

Como

ϕ(x) = C

segue que

a = 0 ,

pois b = 0.

Assim, de (8.71), segue que

sen(√λ L)= 0 ,

ou seja,√λ L = nπ , para cada n ∈ N

isto e,

λ = λn =n2 π2

L2, para cada n ∈ N , (8.72)

e assim, de (8.70) e (8.72), segue que

ϕ(x) = ϕn(x)

= cos

√n2 π2L2

x

= cos

(nπLx), para cada x ∈ [0 , L] e n ∈ N . (8.73)

6. Para cada n ∈ N, resolvendo a EDO (8.56), com (8.72), obteremos

ψ(t) = ψn(t) = e−n2 π2

L2t, para cada t ∈ [0 ,∞) . (8.74)


7. Obtivemos, para cada n ∈ N, agindo da forma acima, soluc~oes de (8.45) e (8.47),

da forma:

un(t , x)(8.50)= ψn(t)ϕn(x)

(8.74) e (8.73)= e

−n2 π2

L2t cos

(nπLx), (8.75)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L].

Utilizando o princpio da superposic~ao (innita), tentaremos encontrar soluc~oes

do problema (8.45), (8.41), (8.47), da forma:

u(t , x) =ao

2+

∞∑n=1

an un(t , x)

(8.50)=

ao

2+

∞∑n=1

anψn(t)ϕn(x)

(8.74) e (8.73)=

ao

2+

∞∑n=1

an e−n2 π2

L2t cos

(nπLx), (8.76)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L].

Observemos que se soubermos que a serie de func~oes acima puder se derivada

parcialmente, termo a termo, uma vez em relac~ao t e duas vezes, em relac~ao a x,

a funcao u = u(t , x), dada por (8.76), ira satisfazer (8.45) e (8.47).


Finalmente, para satisfazer (8.46), deveremos ter:

f(x)(8.46)= u(0 , x)

(8.76)=

ao

2+

∞∑n=1

an e−n2 π2

L20 cos

(nπLx)

=ao

2+

∞∑n=1

an cos(nπLx), (8.77)


Ou seja, devemos saber expressar a func~ao f = f(x) como uma serie do tipo (8.77),

isto e, uma serie de cossenos.

8. Uma outra situac~ao, e o estudo da temperatura em um o, cujo uxo de calor nas

extremidades do o seja proporcional a temperatura nas extremidades do mesmo.

Matematicamente, em uma vers~ao simplicada, o problema acima corresponde a

encontrar um afunc~ao

u = u(t , x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L]


que satisfaca:

∂u

∂t(t , x) =

∂2u

∂x2(t , x) , para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) (8.78)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] (8.79)

∂u

∂x(t , 0) + u(t , 0) = 0 =

∂u

∂x(t , L) + u(t , L) , para cada t ∈ [0 ,∞) . (8.80)

Agindo como nos dois casos anteriores, ou seja, aplicando o metodo da separac~ao

de variaveis, podemos mostrar que, neste caso chegaremos a seguinte express~ao

para as soluc~oes do problema (8.78), (8.79), (8.80):

u(t , x) =ao

2+

∞∑n=1

e−n2 π2

L2t[an cos

(nπLx)+ bn sen

(nπLx)], (8.81)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L].

Observemos que se soubermos que a serie de func~oes acima puder se derivada

parcialamente, termo a termo, uma vez, em relac~ao a underlinet, e duas vezes,

em relac~ao a x, em (0 ,∞) × (0 , L), ent~ao a func~ao u = u(t , x), dada por (8.81),

ira satisfazer (8.78) e

eqrefE24.

Para satisfazer (8.79) deveremos ter:

f(x)(8.79)= u(0 , x)

t=0 em (8.81)=

ao

2+

∞∑n=1

e−n2 π2

L20[an cos

(nπLx)+ bn sen

(nπLx)]

=ao

2+

∞∑n=1

[an cos

(nπLx)+ bn sen

(nπLx)], (8.82)


Ou seja, devemos saber expressar a func~ao f = f(x) em uma serie do tipo (8.82),

isto e, uma serie de senos e cossenos tambem denominada de serie de Fourier da

funcao f.

Isto nos motiva a estudar as func~oes que podem ser representadas nesse tipo de

series de func~oes.

9. Podemos aplicar o metodo da separc~ao de variaveis para estudar outros tipos

de problemas, como por exemplo, o problema da corda de comprimento L > 0,

vibrante num plano com as extremidades presas.

Suponhamos que a corda acima, esteja estendida sobre o eixo dos Ox e que seus

extremos sejam

x = 0 e x = L .


Neste caso, a func~ao, que denotaremos por

u = u(t , x) ,

que nos fornece a de ex~ao da corda, em relac~ao a posic~ao de repouso, sendo

f = f(x) e g = g(x) , para cada x ∈ [0 , L] ,

a posic~ao inicial da corda e a velocidade inicial de vibrac~ao da corda, respec-

tivamente, ent~ao, matematicamente, a func~ao u = u(t , x), devera satisfazer ao

seguinte problema:

∂2u

∂t2(t , x) − c2

∂2u

∂x2(t , x) = 0 , para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) (8.83)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] (8.84)

∂u

∂t(0 , x) = g(x) , para cada x ∈ [0 , L] (8.85)

u(t , 0) = u(t , L) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) . (8.86)

Notemos que, (8.84) nos diz que a posic~ao da corda, no ponto x ∈ [0 , L], sera igula

a f(x), e (8.85), nos diz que e velocidade inicial, no ponto x ∈ [0 , L], sera igual a

g(x), respectivamente.

Alem disso, (8.86) nos diz que as extremidades da corda est~ao xas.

A cosntante c > 0 depende do material com que a corda e feita.


-

6

x

u(t , x)

6

?L

u(0 , x) = f(x)

6

??

∂u

∂t(0 , x) = g(x)

A EDP (8.83) acima e conhecida como Equacao da Onda.

Essa equac~ao e um exemplo importante de EDP's do tipo hiperbolico.

10. Podemos considerar outros tipos de problemas relacionados com a corda vibrante.

Eles aparecer~ao nas listas exerccios.


11. Outro problema importante que podemos aplicar o metodo da separac~ao de variaveis

e para encontrar uma func~ao

u = u(x , y) , para cada (x , y) ∈ Ωaberto⊆ R2 ,

que satisfaz as seguinte condic~oes:

∂2u

∂x2(x , y) +

∂2u

∂y2(x , y) = 0 , para cada (x , y) ∈ Ω (8.87)

u|∂Ω = f (8.88)

onde ∂Ω e a fronteira do conjunto Ω, em R2.

O problema acima e conhecido como Problema de Dirichlet.

Tambem podemos considerar problema de encontrar uma func~ao

u = u(x , y) , para cada (x , y) ∈ Ω ⊆ R2 ,

que satisfaz as seguinte condic~oes:

∂2u

∂x2(x , y) +

∂2u

∂y2(x , y) = 0 , para cada (x , y) ∈ Ω (8.89)

∂

∂νu|∂Ω = f, (8.90)

onde∂

∂νdenota a derivada direcional na direc~ao do vetor normal unitario exterior

da fronteira de Ω, em R2, que e conhecido como Problema de Newman.

12. Esses dois ultimos problemas, aparecer~ao nas listas de exerccios para serem tra-

tados nos casos em que

Ω = (a , b)× (c , d) ,

ou seja,o interior de um retangulo em R2, e no caso em que

Ω.=

(x , y) ; x2 + y2 ≤ R2

,

ou seja, o interior da circunferencia de centro na origem (0 , 0) e tem raio igual

a R ∈ (0 ,∞) xado, em R2, respectivamente.

Passaremos, a seguir, a estudar as func~oes que possuem represent~ao na forma (8.82).

8.3 Os Coeficientes de Fourier

Comecaremos tentanto responder a 2.a quest~ao colocada no incio do captulo (veja (8.2)),

isto e, sabendo-se que a func~ao f pode ser representada por uma serie de func~oes do tipo

(8.3), como dever~ao ser os coecientes am e bn, para cada m ∈ 0 ∪ N e n ∈ N ?

Para isto, introduziremos uma classe de func~oes que nos ajudara a tratar da resposta a

essa pergunta.

8.3. OS COEFICIENTES DE FOURIER 333

Definicao 8.3.1 Dado c ∈ R, diremos que uma func~ao real (ou complexa) de variavel

real f : I\c → R (ou C), onde I e um intervalo de R tem uma descontinuidade de 1.a es-

pecie em x = c, se a func~ao f n~ao for contnua em x = c, mas existem e s~ao nitos os

limites lateriais

limx→c+ f(x) e lim

x→c− f(x) .Neste caso, denotaremos por

f (c+).= lim

x→c+ f(x)e f(c−)

.= lim

x→c− f(x) . (8.91)

A gura abaixo ilustra a situac~ao acima, para o caso da func~ao ser a valores reais

(isto e, f : I \ c → R).

6

-

f

c

-

f(c−

)

f(c+

)

Diremos que a func~ao f e contınua por partes em I (ou seccionalmente contınua

em I), se em cada intervalo (a , b), contido em I, a func~ao f, tem, no maximo, um

numero nito de pontos de descontinuidade de 1.a especie.

A gura abaixo ilustra a situac~ao acima, para o caso da func~ao ser a valores reais.

-

6

f

c1

c2

c3

O conjunto formado por todas as func~oes a valores reais (respectivamente, com-

plexos), contnuas por partes (ou seccionalmente contnuas) em I ⊆ R, sera indicado

por

SC(I ; R) (respectivamente, SC(I ; C)) . (8.92)

Observacao 8.3.1

1. Do ponto de vista geometrico, dizer que uma func~ao f tem uma descontinuidade

de 1.a especie em x = c e equivalente a dizer que a representac~ao geometrica do

seu graco tem um salto nito, em x = c.


2. Do ponto de vista geometrico, dizer que uma func~ao f e contnua por partes em I e

equivalente a dizer que a representac~ao geometrica do seu graco tem um numero

nito de saltos, em cada intervalo (a , b) contido em I.

3. Se f, g ∈ SC(I ; R) (respectivamente, SC(I ; C)) e α ∈ R (respectivamente, C) ent~ao(f+ g) , (α f) ∈ SC(I ; ,R) (respectivamente, SC(I ; C)), isto e,

SC(I ; R) (respectivamente, SC(I ; C))

e um espaco vetorial sobre R (respectivamente, C).

A seguir exibiremos alguns exemplos importantes de seccionalmente contnuas denidas

em I.= R.


f(x).=

1 , para x ∈ [0 , π)

−1 , para x ∈ [−π , 0)

f(x+ 2π) = f(x) , para cada x ∈ R. (8.93)

Mostre que a funcao f e seccionalmente contnua (ou contnua por partes) em R.

Resolucao:

Notemos que os pontos de descontinuidade da func~ao f ser~ao somente os pontos da forma


Observemos que em cada um desse pontos a func~ao f tem um ponto de descotinuidade

de 1.a especie pois, para cada k ∈ Z, existem os limites laterais

limx→(k π)+

f(x) e limx→(k π)−

f(x) .

De fato, se k ∈ Z for par, isto e,

k = 2m para algum m ∈ Z ,

teremos que:

limx→(k π)+

f(x) = limx→(2mπ)+

f(x)

x∈(2mπ ,2 (m+1)π) , logo, (8.93)= 1

limx→(k π)−

f(x) = limx→(2mπ)−

f(x)

x∈((2m−1)π ,2mπ) , logo, (8.93)= −1 .

Por outro lado, se k ∈ Z for mpar, isto e,

k = 2m+ 1 para algum m ∈ Z ,


teremos que:

limx→(k π)+

f(x) = limx→[(2m+1)π]+

f(x)

x∈(2m+1 π ,2 (m+1)π) , logo, (8.93)= −1 ,

limx→(k π)−

f(x) = limx→[(2m+1)π]−

f(x)

x∈((2m)π ,(2m+1)π) , logo, (8.93)= 1 ,

mostrando que a func~ao f tem um ponto de descontinuidade de 1.a especie no ponto x = kπ,

para cada k ∈ Z.Logo em qualquer intervalo limitado [a , b], a func~ao f tera, no maximo, um numero nito

de pontos de descotinuidade de 1.a especie, pois em cada intevalo [a , b] existe, no maximo,

um numero nito de pontos do tipo x = kπ, para cada k ∈ Z.

Observacao 8.3.2 A func~ao f do Exemplo (8.3.1) sera denominda onda quadrada.

A representac~ao geometrica do graco da func~ao f do Exemplo (8.3.1) e dada pela

gura abaixo.

-

6

x

y

π 2π 3π−π−2π−3π

Onda Quadrada

Outro exemplo importante e:


f(x) =

x , para x ∈ [−π , π)

f(x+ 2π) = f(x) , para cada x ∈ R. (8.94)

Mostre que a func~ao f e seccionalmente contnua (ou contnua por partes) em R.

Resolucao:

Notemos que os pontos de descontinuidade da func~ao f ser~ao somente os pontos da forma

x = (2 k+ 1)π , para cada k ∈ Z .


Observemos que em cada um desse pontos a func~ao f tem um ponto de descotinuidade

de 1.a especie pois, para cada k ∈ Z, existem os limites laterais

limx→[(2 k+1)π]+

f(x) e limx→[(2 k+1)π]−

f(x) .

Como a func~ao f e 2π-periodica basta estudarmos os pontos de descontinuidade da func~ao

no intervalo [−π , π], ou seja, nos pontos

−π e π .

Notemos que

se x ∈ (π , 3 π) , segue que: f(x)(8.93)= x− 2π (8.95)

se x ∈ (−3π ,−π) , segue que: f(x)(8.93)= x+ 2π (8.96)

Logo

limx→π+ f(x)

x∈(π ,3 π) , logo, (8.95)= lim

x→π+(x− 2 π)= −π ,

limx→π− f(x)

x∈(−π ,π) , logo, (8.93)= lim

x→π− x= π ,

e

limx→−π+

f(x)x∈(−π ,π) , logo, (8.93)

= limx→−π+

x

= −π ,

limx→−π−

f(x)x∈(−3 π ,−π) , logo, (8.96)

= limx→π−(x+ 2π)

= π ,

mostrando que a func~ao f tem um ponto de descontinuidade de 1.a especie no ponto x =

(2 k+ 1)π, para cada k ∈ Z.Logo em qualquer intervalo limitado [a , b], a func~ao f tera, no maximo, um numero nito

de pontos de descotinuidade de 1.a especie, pois em cada intevalo [a , b] existe, no maximo,

um numero nito de pontos do tipo x = (2 k+ 1)π, para cada k ∈ Z.

Observacao 8.3.3 A func~ao f do Exemplo (8.3.2) sera denominda onda dente de serra.

A representac~ao geometrica do graco da func~ao f do Exemplo (8.3.2) e dada pela

gura abaixo.


-

6

x

y

π 3π−π−3π

Onda Dente de Serra

Temos tambem o


f(x).=

1

x, para x ∈ (0 ,∞)

0 , para x ∈ (−∞ , 0]

. (8.97)

Mostre que a func~ao f nao e seccionalmente contnua (ou contnua por partes) em

R.

Resolucao:

De fato, a func~ao f tem um, unico ponto de descontnuidade, que e o ponto x = 0.

Notemos que no ponto x = 0 a func~ao f tem uma descotinuidade que nao e de 1.a especie,

pois n~ao existe

limx→0+ f(x) = lim

x→0+1

x(= +∞) .

A gura abaixo nos fornece a representac~ao geometrica do graco da func~ao f.

6

-x

y

f(x).= 1

x

Observacao 8.3.4

1. Notemos que, uma func~ao seccionalmente contnua em [a , b] nao precisa, neces-

sariamente, estar denida em todo o intervalo [a , b] mas apenas em uma reuni~ao

nita, do tipoN∪j=0

(xj, xj−1) ,


onde xj ∈ [a , b], para cada j ∈ 1 , 2 , · · · ,N.

Alem disso, para cada j ∈ 1 , 2 , · · · ,N, devera ser uma func~ao contnua em

(xj, xj−1) e existirem e serem nitso, os limites laterais

limx→xj+ f(x) e lim

x→xj− f(x) .

Essas observac~ao ser~ao importantes para incluirmos as derivadas de func~oes (a

valores reais ou compexos) cujas representac~oes geometricas dos gracos s~ao for-

madas por poligonais.

A gura abaixo ilustra a situac~ao acima, para o caso da func~ao considerada ser

a valores reais.

-

6

a = xo x1 x2 x3 x4 b = x5

2. Observemos tambem que, toda func~ao f secionalmente contnua em [a , b] e uma

func~ao limitada em [a , b], isto e, existe M ∈ (0 ,∞) tal que

|f(x)| ≤M, para cada x ∈ [a , b] . (8.98)

De fato, como a func~ao f e secionalmente contnua em [a , b] segue que existem, no

maximo, um numero nito de pontos xj ∈ [a , b], para j ∈ 0 , 1 , 2 , · · · ,N, de modo

que a func~ao f e contnua emN∪j=1

(xj−1 , xj) e, alem disso, existem, e s~ao nitos, os

limites laterais

limx→xj+ f(x) e lim

x→xj− f(x) ,excetuando-se, eventualmente, se xo

.= a e xN

.= b que, neste caso, seriam consi-

derados, nos extremos do intervalo [a , b], os limites laterias

limx→a+ f(x) e lim

x→b− f(x)


serem nitos.

Assim, para cada j ∈ 1 , 2 , · · · ,N, a restric~ao da func~ao f a cada um dos intervalos

abertos (xj−1 , xj), que denotaremos por

F.= f|(xj−1 ,xj)

,

pode ser estendida a uma func~ao contnua no intervalo [xj−1, xj], denido-se

F(xj−1).= lim

x→xj+ f(x) e F(xj+1).= lim

x→xj+1−f(x) ,

e portanto esta sera uma func~ao limitada nesse intervalo, implicando que a func~ao

f tambem sera uma func~ao limitada nesse intervalo.

Como temos somente N intervalos desse tipo, segue que a func~ao f sera uma

func~ao limitada em [a , b].

3. Notemos tambem que toda func~ao f : I ⊆ R → R (respectivamente C) contnua em

I sera uma func~ao seccionalmente contnua em I, ou seja,

C(I ; R) ⊆ SC(I ; R) (respectivamente, C(I ; C) ⊆ SC(I ; C)) .


4. Para nalizar temos que toda func~ao f : [a , b] → R (respectivamente, C) que e

seccionalmente contnua em [a , b] e uma func~ao integravel em [a , b]

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor (visto em Calculo

1).

Definicao 8.3.2 Dadas as func~oes f , g : [a , b] → R, seccionalmente contnuas em [a , b]

(isto e, a valores reais), deniremos

⟨f , g⟩ .=∫ba

f(x)g(x)dx ∈ R , (8.99)

ou seja,

⟨ , ⟩ : SC([a , b] ; R)× SC([a , b] ; R) → R ,

dada por (8.99).

Se as func~oes f , g : [a , b] → C s~ao seccionalmente contnuas em [a , b] (isto e, a

valores complexos), deniremos

⟨f , g⟩ .=∫ba

f(x)g(x)dx ∈ C , (8.100)

onde, se

Z = A+ i B ∈ C ,

com A ,B ∈ R, ent~ao denimos

Z.= A− B i , (8.101)


dito conjugado do numero complexo Z, ou seja,

⟨ , ⟩ : SC([a , b] ; C)× SC([a , b] ; C) → C ,

dada por (8.100).

Com isto temos as seguints propriedades de < , >:

Proposicao 8.3.1 A func~ao ⟨ , ⟩ : SC([a , b] ; R)× SC([a , b] ; R) → R (respectivamente,

⟨ , ⟩ : SC([a , b] ; C)× SC([a , b] ; C) → C) tem as seguintes propriedades:

Se f, g, h ∈ SC([a , b] ; R) (respectivamente, SC([a , b] ; C)) e α ∈ R (respectivamente

C), temos que:

1. ⟨α f+ g , h⟩ = α ⟨f , h⟩+ ⟨g , h⟩ , (8.102)

2. ⟨f , g⟩ = ⟨g , f⟩ (respectivamente, ⟨f , g⟩ = ⟨g , f⟩) , (8.103)

3. ⟨f , f⟩ ≥ 0 . (8.104)

Demonstracao:

Faremos a demonstrac~ao para o caso ⟨ , ⟩ : SC([a , b] ; R)× SC([a , b] ; R) → R.O caso de func~oes a valores complexo, sera deixado como exerccio para o leitor.

De 1.:

Notemos que:

⟨α f+ g , h⟩ (8.99)=

∫ba

(α f+ g) (x)h(x)dx

=

∫ba

[α f(x) + g(x)] h(x)dx

propriedades da integral denida= α

∫ba

f(x)h(x)dx+

∫ba

g(x)h(x)dx

(8.99)= α ⟨f , h⟩+ ⟨g , h⟩ ,


De 2.:

Observmeos que

⟨f , g⟩ (8.99)=

∫ba

f(x)g(x)dx

propriedades de R=

∫ba

g(x) f(x)dx

(8.99)= ⟨g , f⟩ ,



De 3.:

Notemos que:

⟨f , f⟩ (8.99)=

∫ba

f(x) f(x)dx

=

∫ba

f 2(x)︸︷︷︸≥0

dxpropriedades da integral denida

≥ 0 ,

mostrando a validade da identidade (8.104), completando a demonstrac~ao do resultado.

Observacao 8.3.5

1. A func~ao

⟨ , ⟩ : SC([a , b] ; R)× SC([a , b] ; R) → R ,

dada por (8.99) (respectivamente, ⟨ , ⟩ : SC([a , b] ; C) × SC([a , b] ; C) → C, dadapor (8.100) e quase um produto interno no espaco vetorial real (respectivamente,

complexo) (SC([a , b] ; R) ,+ , ·) (respectivamente, (SC([a , b] ; C) ,+ , ·)), onde + de-

nota a operac~ao usual de adic~ao de func~oes e · denota a operac~ao multiplicac~ao

de numero real (respectivamente, complexo) por uma func~ao.

Para a func~ao ⟨ , ⟩ ser um produto interno no respectivo espaco vetorial, ela teria

que satisfazer, alem das propriedades da Proposic~ao (8.3.1) (ou seja, 1., 2. e 3.),

tambem deveria satisfazer a seguinte propriedade:

se f ∈ SC([a , b] ; R) ent~ao ⟨f , f⟩ = 0 se, e somente se, f = O ,

(respectivamente, em SC([a , b] ; C)).

Mas essa propriedade nao vale em SC([a , b] ; R), como mostra o seguinte exemplo:

Considere a func~ao f : [0 , 1] → R, dada por

f(x) =

0 , para x ∈ (0 , 1]

1 , para x = 0. (8.105)

Observemos que f ∈ SC([0 , 1] ; R) e

⟨f , f⟩ (8.99) com a=0 e b=1=

∫ 10

f 2(x)dxExerccio

= 0 ,

mas

f = O .

Mesmo assim, a func~ao ⟨ , ⟩, dada por (8.99) (respectivamente, (8.100)) desem-

penhara um papel inportante na determinac~ao dos coecientes

am e bn , para m ∈ 0 ∪ N e n ∈ N ,

da expans~ao (8.3), associada a func~ao f, como veremos mais adiante.


2. Notemos que a func~ao ⟨ , ⟩, dada por (8.99) (respectivamente, (8.100)) satisfaz a

desiguladade de Cauchy-Schwartz, isto e,

Dadas f , g ∈ SC([a , b] : ,R) (respectivamente, SC([a , b] : ,C)), segue que

| ⟨f , g⟩ | ≤ ∥f∥ ∥g∥ , (8.106)

onde

∥f∥ .=√

⟨f , f⟩ , (8.107)

que sera denominada semi-norma da funcao f.

Faremos a demonstrac~ao da desigualdade acima para o caso de func~oes a valores

reais, isto e, em SC([a , b] : ,R).

O caso de func~oes a valores complexo, isto e, em SC([a , b] : ,C), sera deixado com


Notemos que, dada λ ∈ R \ 0, sabemos que

0(8.104)

≤ ⟨λ f+ g , λ f+ g⟩(8.102)= λ2 ⟨f , f⟩+ λ ⟨f , g⟩+ λ ⟨g , f⟩︸︷︷︸

(8.103) caso real= ⟨f ,g⟩

+ ⟨g , g⟩

= λ2 ⟨f , f⟩+ 2 λ ⟨f , g⟩+ ⟨g , g⟩(8.107)= ∥f∥ 2 λ 2 + 2 ⟨f , g⟩ λ+ ∥g∥ 2 . (8.108)

Logo o trinomio do 2.o grau a direita devera ser n~ao negativo, para todo λ ∈R \ 0, para que isto aconteca e necessario e suciente, que o discriminante, que

indicaremos por ∆, do trinomio do 2.o grau a direita devera ser n~ao positivo, isto

e

∆ ≤ 0 ,

ou seja,

0 ≥ ∆ (8.108)= 4 ⟨f , g⟩2 − 4 ∥f∥ 2 ∥g∥2 ,

que dividindo por 4, implicara em

| ⟨f , g⟩ | ≤ ∥f∥ ∥g∥,


3. Como consequencia de (8.106), temos que a func~ao ∥ ∥ : SC([a , b] : ,R) → R (res-

pectivamente, ∥ ∥ : SC([a , b] : ,C) → R) satisfaz a, assim denominada, desigualda-

de triangular , ou seja:

∥f+ g∥ ≤ ∥f∥+ ∥g∥ (8.109)

onde f , g ∈ SC([a , b] ; R) (respectivamente, SC([a , b] ; C)).



∥f+ g∥2 (8.107)= ⟨f+ g , f+ g⟩

(8.102)= ⟨f , f⟩+ ⟨f , g⟩+ ⟨g , f⟩︸︷︷︸


+ ⟨g , g⟩

(8.107)= ∥f∥ 2 + 2 ⟨f , g⟩+ ∥g∥ 2

≤ ∥f∥ 2 + 2 |⟨f , g⟩|+ ∥g∥ 2

(8.106))

≤ ∥f∥ 2 + 2 ∥f∥ ∥g∥+ ∥g∥ 2

= (∥f∥+ ∥g∥)2 ,

mostrando que

∥f+ g∥ ≤ ∥f∥+ ∥g∥ ,


4. Alem disso vale, o assim denominado Teorema de Pitagoras, ou seja, se f , g ∈SC([a , b] ; R) (respectivamente, SC([a , b] ; C)), ent~ao

⟨f , g⟩ = 0 se, e somente se, ∥f+ g∥ 2 = ∥f∥ 2 + ∥g∥ 2 (8.110)

∥f+ g∥2 = ∥f∥2 + ∥g∥2 (8.111)


∥f+ g∥2 (8.107)= ⟨f+ g , g+ g⟩

(8.102)= ⟨f , f⟩+ ⟨f , g⟩+ ⟨g , f⟩︸︷︷︸


+ ⟨g , g⟩

(8.107)= ∥f∥ 2 + 2 ⟨f , g⟩+ ∥g∥ 2 (8.112)


⟨f , g⟩ = 0 se, e somente se, ∥f+ g∥ 2 = ∥f∥ 2 + ∥g∥ 2


A segui exibiremos algumas propriedades gerais de integrais denidas de algumas classes

de func~oes especiais, que ser~ao importantes no calculo dos coecientes

an e bn , para m ∈ 0 ∪ N e m ∈ N

na express~ao (8.3).


Observacao 8.3.6 Seja L ∈ (0 ,∞) xado.

Observemos que:

1. Se a func~ao f : R → R (respectivamente, f : R → C) e 2 L− periodica, ou seja,

f(x+ 2 L) = f(x) , para cada x ∈ R , (8.113)

e e integravel em [−L , L], segue que∫ 2 L0

f(x)dx =

∫L−L

f(x)dx. (8.114)

Em geral, para cada xo ∈ R xado, temos:∫ xo+Lxo−L

f(x)dx =

∫L−L

f(x)dx . (8.115)

De fato, notemos que∫L−L

f(x)dxpropriedades da integral denida

=

∫ 0−L

f(x)dx+

∫ 2 L0

f(x)dx+

∫L2 L

f(x)dx . (8.116)

Aplcando mudanca de variaveis na integral denida, obteremos:

∫L2 L

f(x)dx =

⟨ y = x− 2 L , logo: dy = dx

assim x = y+ 2 L

x = 2 L , logo: y = 0

x = L , logo: y = −L

⟩=

∫−L

0

f(y+ 2 L)dy

(8.113)=

∫−L

0

f(y)dy

= −

∫ 0−L

f(y)dy . (8.117)

Substituindo (8.117) em (8.116), obteremos∫ L−L

f(x)dx =

∫ 0−L

f(x)dx+

∫ 2 L0

f(x)dx−

∫ 0−L

f(x)dx

=

∫ 2 L0

f(x)dx , (8.118)


A vericac~ao da identidade (8.115)) sera deixada como exerccio para o leitor.

2. Suponhamos que a func~ao f : [−L , L] → R (respectivamente, f : [−L , L] → C) e uma

func~ao par, isto e,

f(−x) = f(x) , para cada x ∈ [−L , L] . (8.119)


e integravel em [−L , L].

Ent~ao teremos ∫L−L

f(x)dx = 2

∫ L0

f(x)dx . (8.120)

De fato, notemos que∫L−L


=

∫ 0−L

f(x)dx+

∫ L0

f(x)dx . (8.121)

Mas, de uma mudanca de variaveis na integral denida, obteremos:

∫ 0−L

f(x)dx =

⟨ y = −x , logo : dy = −dx

assim : x = −y

x = −L , logo : y = L

x = 0 , logo : y = 0

⟩=

∫ 0L

f(−y) (−dy)

(8.119)= −

∫ 0L

f(y)dy

propriedade da integral denida=

∫L0

f(y)dy , (8.122)

ou seja, ∫ 0−L

f(x)dx =

∫L0

f(x)dx . (8.123)

Portanto, substituindo (8.123) em (8.121), teremos∫L−L

f(x)dx =

∫L0

f(x)dx+

∫L0

f(x)dx

= 2

∫L0

f(x)dx ,


3. Suponhamos que a func~ao f : [−L , L] → R (respectivamente, f : [−L , L] → C) seja

uma func~ao mpar, isto e,

f(−x) = −f(x) , para cada x ∈ [−L , L] , (8.124)

e integravel em [−L , L].

Ent~ao, teremos ∫L−L

f(x)dx = 0 . (8.125)

De fato, observemos que∫L−L


=

∫ 0−L

f(x)dx+

∫ L0

f(x)dx . (8.126)


Mas, de uma mudanca de variaveis na integral denida, obteremos:

∫ 0−L

f(x)dx =

⟨ y = −x , logo: dy = −dx

assim: x = −y

x = −L , logo: y = L

x = 0 , logo: y = 0

⟩=

∫ 0L

f(−y) (−dy)

(8.124)= −

∫L0

f(y)dy ,

ou seja, ∫ 0−L

f(x)dx = −

∫L0

f(x)dx . (8.127)

Portanto, substituindo (8.127) em (8.126), teremos∫L−L

f(x)dx = −

∫ L0

f(x)dx+

∫L0

f(x)dx

= 0 ,


4. Lembremos que se f , g : [−L , L] → R (respectivamente, f , g : [−L , L] → C) s~ao

func~oes pares, ent~ao as funcoes

f · g , f+ g , f− g , ef

g

(na ultima, onde ela estiver denida) tambem ser~ao func~oes pares.

Por outro lado, se as func~ao f , g : [−L , L] → R (respectivamente, f , g : [−L , L] → C)forem func~oes mpares, ent~ao as func~oes

f · g ef

g

(esta ultima, onde estiver denida) ser~ao func~oes pares e as func~oes

f+ g e f− g

ser~ao func~oes mpares.

Por m se a func~ao f : [−L , L] → R for uma func~ao par e a func~ao g : [−L , L] → Rfor uma func~ao mpar (respectivamente, f , g : [−L , L] → C) ent~ao as func~oes

f · g ef

g

(esta ultima, onde estiver denida) ser~ao func~oes mpares.

As demonstrac~oes destes fatos ser~ao deixadas como exerccio para o leitor.


5. No resultado que vem a seguir, precisaremos das seguintes relac~oes trigonometricas:

cos(a+ b) = cos(a) cos(b) − sen(a) sen(b) (8.128)

cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b) (8.129)

Notemos que, somando-se (8.128) com (8.129), obteremos

cos(a) cos(b) =cos(a+ b) + cos(a− b)

2(8.130)

e subtraindo-se (8.128) de (8.129), teremos

sen(a) sen(b) =cos(a− b) − cos(a+ b)

2. (8.131)

Alem disso,

sen(a+ b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) (8.132)

sen(a− b) = sen(a) cos(b) − sen(b) cos(a) (8.133)

Notemos que, somando-se (8.132) com (8.133), obteremos

sen(a) cos(b) =sen(a+ b) + sen(a− b)

2. (8.134)

A seguir deniremos duas famlias de func~oes que ser~ao muito importantes no estudo das

func~oes que podem ser expandidas em uma serie de func~oes do tipo (8.3).

Definicao 8.3.3 Para cada n ∈ N, deniremos a func~ao ϕn : R → R, dada por

ϕn(x).= sen

(nπLx), para cada x ∈ R , (8.135)

e para cada m ∈ 0 ∪ N, deniremos a func~ao ψm : R → R, dada por

ψm(x).= cos

(mπLx), para cada x ∈ R . (8.136)

Estas duas famlias de func~oes tem as seguintes propriedades:

Proposicao 8.3.2

1. Para cada n ,m ∈ N as func~oes ψm e ϕn s~ao2 L

n-periodicas.

Em particular, todas elas ser~ao 2 L-periodicas;

2. Para cada n ∈ N, a func~aos ϕn e uma func~ao mpar;

3. Para cada m ∈ N, a func~ao ψm e uma func~ao par;


4. Valem as seguintes identidades:

⟨ψk , ψm⟩ =

0 , para k ,m ∈ 0 ∪ N , com k = mL , para k = m ∈ N2 L , para k = m = 0

; (8.137)

⟨ψm , ϕn⟩ = 0 , para m ∈ 0 ∪ N e n ∈ N ; (8.138)

⟨ϕn , ϕj⟩ =

0 , para n , j ∈ N com n = jL , para n = j ∈ N

. (8.139)

Demonstracao:

De 1.:

Seja n = m ∈ N e consideremos

T.=2 L

n. (8.140)

Para a func~ao ϕn teremos:

Para cada x ∈ R, temos que

ϕn(x+ T)(8.135)= sen

[nπL

(x+ T)]

(8.140)= sen

[nπ

L

(x+

2 L

n

)]= sen

(nπLx+ 2π

)sen e 2 π-periodica

= sen(nπLx)

(8.135)= ϕn(x) .

Logo o numero real T , dado por (8.140), e um perodo para a func~ao ϕn.

Por outro lado, notemos que se T ′ ∈ (0 ,∞) e um outro perodo para a func~ao ϕn ent~ao,

para cada x ∈ R, deveremos ter

ϕn(x+ T′) = ϕn(x) ,

de (8.135), teremos sen[nπL

(x+ T ′)]= sen

(nπLx),

de (8.132), segue que sen(nπLx)cos(nπLT ′)

+ cos(nπLx)

sen(nπLT ′)= sen

(nπLx). (8.141)

Tomando-se

x =L

2n,


na identidade (8.141), obteremos:

sen(π2

)︸︷︷︸

=0

cos(nπLT ′)+ cos

(π2

)︸︷︷︸

=1

sen(nπLT ′)= sen

(π2

)︸︷︷︸

=0

,

isto e, cos(nπLT ′)= 1 ,

logo,nπ

LT ′ = 2 kπ ,

para algum k ∈ Z.

Portanto

T ′ = k2 L

n

(8.140)= k T ,

para algum k ∈ Z, mostrando que T , dado por (8.140), e o perodo fundamental da

func~ao ϕn, para cada n ∈ N.

Para a func~ao ψm:

Para cada x ∈ R, temos que

ψm(x+ T)(8.136)= cos

[mπL

(x+ T)]

(8.140)= cos

[mπ

L

(x+

2 L

m

)]= cos

(mπLx+ 2π

)cos e 2π-periodica

= cos(mπLx)

(8.136)= ψm(x) .

Por outro lado se T ′ ∈ (0 ,∞) e um outro perodo para a func~ao ψm ent~ao, para cada

x ∈ R, deveremos ter

ψm(x+ T′) = ψm(x) ,

de (8.136), teremos cos[mπL

(x+ T ′)]= cos

(mπLx),

de (8.128), segue que cos(mπLx)cos(mπLT ′)

+ sen(mπLx)

sen(mπLT ′)= cos

(mπLx). (8.142)

Tomando-se

x =L

m

na identidade (8.142), obteremos:

cos(π)︸︷︷︸=−1

cos(mπLT ′)+ sen(π)︸︷︷︸

=0

sen(mπLT ′)= cos(π)︸︷︷︸

=−1

,

isto e, cos(mπLT ′)= 1 ,

logo,mπ

LT ′ = 2 kπ ,


para algum k ∈ Z.

Portanto

T ′ = k2 L

n

(8.140)= k T ,

mostrando que T , dado por (8.140), e o perodo fundamental da func~ao ψm, para cada

m ∈ N.

De 2.:

Observemos que, para cada n ∈ N e x ∈ R, temos que:

ϕn(−x)(8.135)= sen

[nπL

(−x)]

sen e uma func~ao mpar= − sen

(nπLx)

(8.135)= −ϕn(x) ,

mostrando que a func~ao ϕn e uma func~ao mpar.

De 3.:

Observemos que, para cada m ∈ N e x ∈ R, temos que:

ψm(−x)(8.136)= cos

[mπL

(−x)]

cos e uma func~ao par= cos

(mπLx)

(8.136)= ψm(x) ,

mostrando que a func~ao ψm e uma func~ao par.

De 4.:

Notemos que, para k ,m ∈ N, teremos:

⟨ψk , ψm⟩(8.99)=

∫L−L

ψk(x)ψm(x)dx

(8.136)=

∫L−L

cos

(kπ

Lx

)cos(mπLx)dx

(8.130))=

∫L−L

1

2

[cos

(kπ

Lx+

mπ

Lx

)+ cos

(kπ

Lx−

mπ

Lx

)]dx

=1

2

∫L−L

[cos

((k+m)π

Lx

)+ cos

((k−m)π

Lx

)]dx . (8.143)


Logo, se k = m, segue que:

⟨ψk , ψm⟩(8.143)=

1

2

∫L−L

[cos

((k+m)π

Lx

)+ cos

((k−m)π

Lx

)]dx

Teorema Fundamental do Calculo=

1

2

sen

[(k+m)π

Lx

]L

(k+m)π

∣∣∣∣L−L

+ sen

[(k−m)π

Lx

]L

(k−m)π

∣∣∣∣x=Lx=−L

=1

2

L

(k+m)π sen[(n+m)π] − sen[(k+m) (−π)]

+L

(k−m)π sen[(k−m)π) − sen[(k−m) (−π)])

= 0 . (8.144)

Se k = m ∈ N, teremos:

⟨ψm , ψm⟩(8.143)=

1

2

∫L−L

cos((k+m)π

Lx

)+ cos

=0︷︸︸︷

(k− k) π

Lx

︸︷︷︸

=1

dx

=1

2

∫L−L

[cos(

2nπ

Lx) + 1

]dx


1

2

[sen

(2mπ

Lx

)L

2mπ+ x

] ∣∣∣∣x=Lx=−L

=1

2

L

2mπsen(2mπ)︸︷︷︸

=0

+L−

L

2mπsen(−2mπ)︸︷︷︸

=0

−L

= L .

Se k = m = 0, teremos:

⟨ψo , ψo⟩(8.136)=

1

2

∫ L−L

2 dx

= 2 L ,

com isto completamos a demonstrac~ao de (8.137).


Por outro lado se n , j ∈ N, teremos:

⟨ϕn , ϕj⟩(8.99)=

∫L−L

ϕn(x)ϕj(x)dx

(8.135)=

1

2

∫L−L

[sen(nπLx)

sen

(j π

Lx

)]dx

(8.131)=

1

2

∫L−L

[cos

((n− j)π

Lx

)− cos

((n+ j)π

Lx

)]. (8.145)

Se j = n ∈ N, teremos:

(ϕn, ϕn)(8.145)=

1

2

∫ L−L

cos

=0︷︸︸︷(n− n) π

Lx

︸︷︷︸

=1

− cos

((n+ n)π

Lx

)

=1

2

∫L−L

[1− cos

((n+ n)π

Lx

)]Teorema Fundamental do Calculo

=1

2

[x− cos

(2nπ

Lx

)L

2nπ

] ∣∣∣∣x=Lx−L

=1

2

[L− cos

(2nπ

LL

)L

2nπ

]−

[(−L) − cos

(2nπ

(−L)

)L

2nπ

]

=1

2

[L− cos (2nπ)

L

2nπ

]−

−L− cos (−2nπ)︸︷︷︸=cos(2 nπ)

L

2nπ

=1

2

L− cos (2nπ)︸︷︷︸

=1

L

2nπ

−

−L− cos (−2nπ)︸︷︷︸=1

L

2nπ

=1

2

[L−

L

2nπ

]−

[−L−

L

2nπ

]= L ,

mostrando (8.139).

Por outro lado j = n, teremos:

⟨ϕn , ϕj⟩(8.145)=

1

2

∫L−L

[cos

((n− j)π

Lx

)− cos

((n+ j)π

Lx

)]= 0 .

A vericac~ao da ultima igualdade acima e semelhante ao que zemos em (8.144) e assim,

deixaremos os detalhes como exerccio para o leitor.


aq ALem disso, se n ∈ 0 ∪N e m ∈ N, segue que

⟨ψn , ϕm⟩(8.99)=

∫L−L

ψn(x)ϕm(x)dx

(8.136) e (8.135)=

∫L−L

cos(nπLx)

sen(mπLx)dx

(8.134)=

∫ L−L

1

2[ sen(

nπ

Lx+

mπ

Lx) + sen(

nπ

Lx−

mπ

Lx)]dx

=1

2

∫L−L

sen

[(n+m)π

Lx

]+ sen

[(n−m)π

Lx

]dx . (8.146)

Se n = m, segue que:

⟨ψn , ϕm⟩(8.146)=

1

2

∫L−L

sen

[(n+m)π

Lx

]+ sen

[(n−m)π

Lx

]dx


1

2

− cos

[(n+m)π

Lx

]L

(n+m)π

∣∣∣∣x=Lx=−L

− cos

[(n−m)π

Lx

)L

(n−m)π

∣∣∣∣x=Lx=−L

Exerccio

= 0

e, nalmente, para n = m ∈ N, teremos:

⟨ψn , ϕn⟩1

2

∫L−L

sen

[(n+ n)π

Lx

]+ sen

=0︷︸︸︷

(n− n) π

Lx

︸︷︷︸

=0

dx

(8.146)=

1

2

∫ L−L

sen

(2nπ

Lx

)dx

Teorema Fundamental do Calculo= −

1

2cos

(2nπ

Lx

)L

2nπ

∣∣∣∣x=Lx=−L

Exerccio= 0 ,

mostrando (8.138) e completando a demonstracao do resultado.

Observacao 8.3.7

1. Suponhamos que a func~ao f : [−L , L] → R pode ser representada por uma serie de

func~oes do tipo

f(x) =ao

2+

∞∑n=1

[an cos

(nπLx)+ bn sen

(nπLx)], (8.147)


para cada x ∈ [−L , L], que, de (8.136) e (8.135), e o mesmo que escrever

f(x) =ao

2ψo(x) +

∞∑n=1

[anψn(x) + bnϕn(x)] . (8.148)

Formalmente, notemos que:

⟨f , ψo⟩(8.148)=

⟨ao

2ψo +

∞∑n=1

[anψn + bnϕn] , ψo

⟩

todo cuidado!=

ao

2⟨ψo , ψo⟩︸︷︷︸(8.137)

= 2 L

+

∞∑n=1

an ⟨ψn , ψo⟩︸︷︷︸(8.137)

= 0

+bn ⟨ϕn , ψo⟩︸︷︷︸(8.138)

= 0

=ao

22 L

= ao L . (8.149)

ou seja,

ao(8.149)=

1

L⟨f , ψo⟩

(8.99)=

1

L

∫ L−L

f(x)ψo(x)dx

=1

L

∫L−L

f(x)dx (8.150)

De modo analogo, se m = 0, temos:

⟨f , ψm⟩ =

⟨ao

2ψo +

∞∑n=1

[anψn + bnϕn] , ψm

⟩

todo cuidado!=

ao

2⟨ψo , ψm⟩︸︷︷︸

(8.137) com m=0= 0

+

∞∑n=1

an ⟨ψn , ψm⟩︸︷︷︸

(8.137) com n ,m =0=

0 , se n = mL , se n = m

+bn ⟨ϕn , ψm⟩︸︷︷︸(8.138)

= 0

= am L , (8.151)

ou seja, para m ∈ N, teremos

am(8.151)=

1

L⟨f , ψm⟩

(8.99)=

1

L

∫L−L

f(x)ψm(x)dx

(8.136)=

1

L

∫ L−L

f(x) cos(mπLx)dx . (8.152)


Finalmente, para k ∈ N, temos:

⟨f , ϕk⟩ =

⟨ao

2ψo +

∞∑n=1

[anψn + bnϕn] , ϕk

⟩todo cuidado!

=ao

2⟨ψo , ϕk⟩︸︷︷︸

(8.138)= 0

+

∞∑n=1

[an ⟨ψn , ϕk⟩︸︷︷︸(8.138)

= 0

+bn ⟨ϕn , ϕk⟩︸︷︷︸(8.139)

=

0 , se n = kL , se n = m

]

= bk L , (8.153)

ou seja, para k ∈ N, teremos

bk(8.153)=

1

L⟨f , ϕk⟩

(8.99)=

1

L

∫L−L

f(x)ϕk(x)dx

(8.135)=

1

L

∫L−L

f(x) sen

(kπ

Lx

)dx . (8.154)

Conclus~ao, de (8.149), (8.152) e (8.154), segue que os coecientes da serie de

func~oes (8.147) (ou (8.148)) ser~ao dados por:

am.=1

L

∫L−L

f(x) cos(mπLx)dx , para cada m ∈ 0 ∪N (8.155)

e

bk.=1

L

∫L−L

f(x) sen

(kπ

Lx

)dx , para cada k ∈ N . (8.156)

2. A obtenc~ao de (8.155) e (8.156) foi formal, isto e, sem o rigor matematico ne-

cessario com relac~ao a convergencia das series de func~oes envolvidas.

Na verdade precisaramos justicar o "todo cuidado!" nos caculos acima.

3. Dada uma func~ao f : [−L , L] → R que seja integravel em [−L , L], ou seja, os

coecientes (8.155) e (8.156) existem, podemos formar a serie de func~oes, que

denotaremos por S[f]:

S[f](x).=ao

2+

∞∑n=1

[an cos

(nπLx)+ bn sen

(nπLx)], (8.157)

ou ainda,

S[f].=ao

2ψo +

∞∑n=1

[anψn + bnϕn] , (8.158)

onde, para cada m ∈ 0 ∪ N, o coeciente am sera dado por (8.155) e, para cada

k ∈ N, o coecnete bk sera dado por (8.156), e assim podemos pensar estudar a

convergencia da serie de func~oes (8.157) (ou (8.158)).


A formulas (8.155) e (8.156), que nos fornecem express~oes para os coecientes na

serie de func~oes (8.157) (ou (8.158)), s~ao denominadas formulas de Euler-Fourier.

Com isto podemos introduzir a:

Definicao 8.3.4 Sejam L > 0 xado e f : [−L , L] → R uma func~ao integravel em [−L , L].

A serie de func~oes (8.157) (ou (8.158)), onde os coecientes am e bk s~ao dados por

(8.155) e (8.156), respectivamente, sera denominada serie de Fourier associada a fun-

cao f.

Os coecientes am e bk, dados por (8.155) e (8.156), respectivamente, ser~ao ditos

coeficientes de Fourier associados a funcao f.

A seguir faremos algumas observc~oes sobre as considerac~oes acima.

Observacao 8.3.8

1. Se f ∈ SC([−L , L] ; R), logo sera uma func~ao integravel em [−L , L]).

Portanto, existem os coecientes de Fourier associados a func~ao f, ou seja, os

coecientes am e bk, para cada m ∈ 0 ∪ N e k ∈ N.

2. Do item 1. da Proposic~ao (8.3.2), segue que cada termo da serie de func~oes (8.157)

(ou (8.158)) s~ao func~oes 2 L-periodicas.

Logo se a serie de func~oes (8.157) (ou (8.158)) for convergente, ela sera conver-

gente para uma func~ao que devera ser 2 L-periodica em R.

Em particular, se a func~ao f ∈ SC([−L , L] ; R) tem a propriedade

f(−L) = f(L) , (8.159)

n~ao poderemos esperar que a serie de Fourier associada a func~ao f, ou sej, (8.157)

(ou (8.158)), venha a convergir para a func~ao f, em [−L , L], pois a f deveria possuir

uma extens~ao 2 L-periodica a R, que denotatemos por F : R → R, e esta deveria

satisfazer

f(−L)F e extens~ao de f

= F(−L)

F e 2 L-periodica= F(−L+ 2L)

= F(L)

F e extens~ao de f= = f(L) ,

contrariando (8.159).

Portanto, e natural estudarmos as series de Fourier associadas a func~oes que est~ao

denidas em R e que sejam 2 L-periodicas, ou ainda, se a func~ao f : [−L , L] → R,ent~ao deveremos ter

f(−L) = f(L) (8.160)


e assim, se a serie de Fourier associada a func~ao f, ou seja, S[f], for convergente

para a func~ao f, em [−L , L], ent~ao a serie de func~oes S[f] ira convergir para uma

func~ao F : R → R, de modo que a func~ao F sera a extens~ao 2 L-periodica da func~ao

f a R.

3. Observemos que se a func~ao f : [−L , L] → R e uma func~ao integravel em [−L , L] e

for uma func~ao par ent~ao, para cada m ∈ 0 ∪ N, temos que a func~ao

x 7→ f(x) cos(mπLx)

tambem sera uma func~ao par e, para cada k ∈ N, a func~ao

x 7→ f(x) sen

(kπ

Lx

)sera uma func~ao mpar.

Logo, dos itens 2. e 3. da Observac~ao (8.3.6), para cada m ∈ 0 ∪ N, teremos:

am(8.155)=

1

L

∫L−L

f(x) cos(mπLx)

︸︷︷︸func~ao par

dx

(8.120)=

2

L

∫L0

f(x) cos(mπLx)dx (8.161)

e, para cada k ∈ N, segue que

bk(8.156)=

1

L

∫L−L

f(x) sen

(kπ

Lx

)︸︷︷︸

func~ao mpar

dx

(8.125)= 0 . (8.162)

4. Observemos que se a func~ao f : [−L , L] → R e uma func~ao integravel em [−L , L] e

for uma func~ao mpar ent~ao, para cada m ∈ 0 ∪ N, a funcao

x 7→ f(x) cos(mπLx)

sera uma func~ao mpar e, para cada k ∈ N, a func~ao

x 7→ f(x) sen

(kπ

Lx

)sera uma func~ao par.

Logo, dos itens 2. e 3. da Observac~ao (8.3.6), para cada m ∈ 0 ∪ N, teremos:

am(8.155)=

1

L

∫L−L

f(x) cos(mπLx)

︸︷︷︸func~ao mpar

dx

(8.125)= 0 (8.163)


e, para cada k ∈ N, segue que

bk(8.156)=

1

L

∫L−L

f(x) sen

(kπ

Lx

)︸︷︷︸

func~ao par

dx

(8.120)=

2

L

∫L0

f(x) sen

(kπ

Lx

)dx . (8.164)

Apliquemos os conceitos desenvolvidos acima nos seguintes exemplos:

Exemplo 8.3.4 Encontrar a serie de Fourier, qua denotaremos por S[f], associada a

func~ao f : [−1 , 1] → R, dada por

f(x) =

−x , para cada x ∈ [−1 , 0)

x , para cada x ∈ [0 , 1]. (8.165)

Resolucao:

A representac~ao geometrica do graco da func~ao f e dada pela gura abaixo.

-

6

−1 1

Onda Dente de Serra

Notemos que, neste caso, temos que

L.= 1

e a func~ao f e contnua e par em [−1 , 1].


Logo

ao(8.155) com m=0

=1

L

∫L−L

f(x)dx

=

∫ 1−1

f(x)dx

f e par, (8.161) com m = 0= 2

∫ 10

f(x)dx

(8.165)= 2

∫ 10

xdx

Teor. Fund. Calculo= 2

[x2

2

∣∣∣∣x=1x=0

]Exerccio

= 1 . (8.166)

Por outro lado, m ∈ N temos:

am(8.155) com m∈N

=

∫ L−L

f(x) cos(mπLx)dx

L=1=

∫ 1−1

f(x) cos(mπx)dx

f e cos s~ao pares, (8.161) com m ∈ N= 2

∫ 10

f(x) cos(mπx)dx

(8.165)= 2

∫ 10

x cos(mπx)dx⟨u.= x , logo, du = dx

dv.= cos(mπx)dx , logo, v =

sen(mπx)mπ

⟩

= 2

[xsen(mπx)

mπ

∣∣∣∣x=1x=0

−

∫ 10

sen(mnπx)

mπdx

]

Teor. Fund. Calculo= 2

=0︷︸︸︷sen(mπ)

mπ−

=0︷︸︸︷sen(mπ0)

mπ

+cos(mπx)

(mπ)2

∣∣∣∣x=1x=0

=

=(−1)m︷︸︸︷cos(mπ)

(mπ)2−

=1︷︸︸︷cos(mπ0)

(mπ)2

=2

m2 π2[(−1)m − 1]

=

−4m2 π2

, para cada m mpar

0 , para cada m par

. (8.167)


e, para cada k ∈ N, teremos

bk(8.156) com k∈N

=

∫L−L

f(x) sen

(kπ

Lx

)dx

L=1=

∫ 1−1

f(x) sen(kπ x)dx

f e par e sen e mpar - (8.162)= 0 . (8.168)

Portanto, de (8.166), (8.167) e (8.168), segue que

S[f](x)(8.157) com L=1

=ao

2+

∞∑n=1

[an cos(nπx) + bn sen(nπx)]

(8.166) e (8.168)=

1

2+

∞∑n=1

an cos(nπx)

(8.167)=

1

2−4

π2

∞∑n=1

1

(2n− 1)2cos[(2n− 1)πx)] . (8.169)

Exemplo 8.3.5 Encontrar a serie de Fourier, que denotaremos por S[f], associada a

func~ao f : [−π , π] → R, dada por

f(x) =

0 , para cada x ∈ [−π , 0) ou x = π

π , para cada x ∈ [0 , π). (8.170)

Resolucao:

A representac~ao geometrica do graco da func~ao f e dado pela gura abaixo.

-

6

π−π

π

Onda Quadrada

Notemos que, neste caso

L = π


e a func~ao f e seccionalmente contnua em [−π , π], logo e uma func~ao integravel em [−π , π].

Assim temos que

ao(8.155) com m=0

=1

L

∫L−L

f(x)dx

L=π=1

π

∫π−π

f(x)dx

=1

π

[∫ 0−π

f(x)dx+

∫π0

f(x)dx

](8.170)=

1

π

∫π0

πdx


[x

∣∣∣∣x=πx=0

]= π . (8.171)

Por outro lado, para cada m ∈ N, temos:

am(8.155) com m∈N

=1

L

∫L−L

f(x) cos(mπLx)dx

L=π=1

π

∫π−π

f(x) cos(mx)dx

=1

π

[∫ 0−π

f(x) cos(mx)dx+

∫π0

f(x) cos(mx)dx

](8.170)=

1

π

∫π0

π cos(mx)dx


[sen(mx)

πm

∣∣∣∣x=πx=0

]Exerccio

= 0 . (8.172)

Finalmente, para cada k ∈ N, teremos:

bk(8.156) com k∈N

=1

L

∫L−L

f(x) sen

(kπ

Lx

)dx

L=π=1

π

∫π−π

f(x) sen(k x)dx

=1

π

[∫ 0−π

f(x) sen(k x)dx+

∫π0

f(x) sen(k x)dx

](8.170)=

1

π

∫π0

π sen(k x)dx


[−cos(k x)

k

∣∣∣∣x=πx=0

]

=1

k[−

=(−1)k︷︸︸︷cos(kπ)+1]


=1

k[1− (−1)k]

2

k, para cada k mpar

0 , para cada k par. (8.173)

Portanto, de (8.171), (8.172) e (8.173), segue que:

S[f](x)(8.157) com L=π

=ao

2+

∞∑n=1

[an cos(nx) + bn sen(nx)]

(8.172)=

ao

2+

∞∑n=1

bn sen(nx)

(8.171) e (8.173)=

π

2+

∞∑n=1

2

2n− 1sen[(2n− 1)x)] . (8.174)

Antes de prosseguirmos faremos algumas consideracoes que ser~ao importantes no estudo

da convergencia de series de Fourier associadas a certas func~oes.

Observacao 8.3.9

1. Utilizando variaveis complexas, vamos encontrar as express~oes para os coecientes

de Fourier am e bk, dados por (8.155) e (8.156), em uma forma diferente.

Para isto lembremos que

ei x = cos(x) + i sen(x) , para cada x ∈ R , (8.175)

onde i2.= −1.

Logo

e−i x = cos(−x) + i sen(−x)

= cos(x) − i sen(x) , para cada x ∈ R . (8.176)

Somando-se (8.175) com (8.176), obteremos

cos(x) =ei x + e−i x

2, para cada x ∈ R , (8.177)

e subtraindo-se (8.176) de (8.175), obteremos

sen(x) =ei x − e−i x

2 i, para cada x ∈ R . (8.178)

Em particular, para cada m ∈ N, teremos:

cos(nπLx)=ei

nπLx + e−i

nπLx

2, para cada x ∈ R, (8.179)


e, para cada kINN, segue que

sen

(kπ

Lx

)=ei

kπLx − e−i

kπLx

2 i

= ie−i

kπLx − ei

kπLx

2, para cada x ∈ R . (8.180)

Com isto, para cada x ∈ R, temos que

S[f](x)(8.157)=

ao

2+

∞∑n=1

[an cos

(nπLx)+ bn sen

(nπLx)]

(8.179) e (8.180)=

ao

2+

∞∑n=1

[anei

nπLx + e−i

nπLx

2+ bn i

e−inπLx − ei

nπLx

2

]=ao

2+

∞∑n=1

[an − i bn

2ei

nπLx +

an + i bn2

e−inπLx

]. (8.181)

Deninamos a func~ao f : Z → R, dada por

f (0).=ao

2, (8.182)

e f (n).=an − i bn

2(8.183)

f (−n).=an + i bn

2, para cada n ∈ N , (8.184)

segue, de (8.181) e (8.183), que

S[f](x) = f (0) +

∞∑n=1

[f (n) ei

nπLx + f (−n) e−i

nπLx]

= f (0) +

∞∑n=1

[f (n) ei

nπLx + f (−n) ei

(−n)πL

x]

=

∞∑m=−∞ f (m) ei

mπLx , (8.185)

onde a ultima serie de func~oes considerada em (8.185), sera encarada como uma

serie do tipo valor principal, isto e, para cada x ∈ R, denimos

∞∑m=−∞ f (m)ei

mπLx .= lim

N→∞N∑

m=−N

f (m) eimπLx . (8.186)

Para cada m ∈ Z, o coeciente f (m), n ∈ Z, dado por (8.183), sera denominado

m-esimo -coeficiente de Fourier na forma complexa, associados a funcao f.

A serie de func~oes (8.185) sera denominada serie de Fourier na forma complexa,

associada a funcao f.


2. Estudar a convergencia da serie de Fourier associada a func~ao f : [−L , L] → R na

forma (8.181) e equivalente a estudar a convergencia da serie de Fourier, na foma

comexa, isto e, na forma (8.185), associada a func~ao f (no sentido (8.186)).

3. Observemos que, para cada n ∈ N, teremos:

f (0)(8.182)=

ao

2

(8.155) com m=0=

1

L

∫L−L

f(x)dx

=1

L

∫L−L

f(x)

=1︷︸︸︷e−i

0 πLx dx , (8.187)

f (n)(8.183)=

an − i bn2

(8.155) e (8.156)=

1

2

[1

L

∫L−L

f(x) cos(nπLx)dx− i

1

L

∫L−L

f(x) sen(nπLx)dx

]=1

2 L

∫L−L

f(x)[cos(nπLx)− i sen

(nπLx)]dx,

(8.179) e (8.180)=

1

2L

∫L−L

f(x)

[ei

nπLx + e−i

nπLx

2− i

einπLx − e−i

nπLx

2 i

]dx

Exerccio=

1

2L

∫L−L

f(x)e−inπLx dx , (8.188)

f (−n)(8.184)=

an + i bn2

(8.155) e (8.156)=

1

2

[1

L

∫L−L

f(x) cos(nπLx)dx+ i

1

L

∫L−L

f(x) sen(nπLx)dx

]=1

2L

∫L−L

f(x)[cos(nπLx)+ i sen

(nπLx)]dx

(8.179) e (8.180)=

1

2L

∫L−L

f(x)

[ei

nπLx + e−i

nπLx

2+ i

einπLx − e−i

nπLx

2 i

]dx

Exerccio=

1

2 L

∫L−L

f(x) einπLx dx

=1

2 L

∫L−L

f(x) e−i(−n)π

Lx dx . (8.189)


f (m) =1

2 L

∫L−L

f(x) e−imπLx dx , para cada m ∈ Z . (8.190)

4. Mesmo para func~oes a valores reais, isto e, func~oes f : [−L , L] → R (que foi o

caso que estavamos tratando no problema da conduc~ao de calor no o no incio

8.4. INTERPRETAC ~AO GEOMETRICA DOS COEFICIENTES DE FOURIER 365

do captulo), os coecientes de Fourier, na forma complexa, associados a func~ao

f s~ao, em geral, numeros complexos e n~ao reais, excetuando-se o caso em que os

bn = 0 , para cada n ∈ N ,

isto e, o caso que func~ao f e uma func~ao par (veja o item 3. da Observac~ao

(8.3.8), ou ainda (8.162)).

8.4 Interpretacao Geometrica dos Coeficientes de Fou-

rier

Observemos que a maneira como obtivemos os coecientes de Fourier associados a uma func~ao

f : [−L , L] → R (isto e, am, para m ∈ 0 ∪ N e bk, para k ∈ N, dados por (8.155) e (8.156),respectivamente) e bastante natural se olharmos os mesmo do modo que faremos a seguir.

Consideremos, no espaco vetorial real (Rn ,+ , ·) (onde + e a operac~ao de adic~ao usual de

n-uplas e · e a mulplicac~ao usual de numero real por n-uplas), o produto interno usual, a

saber:

(x , y) =

n∑j=1

xj yj , (8.191)

onde o u , v ∈ Rn, s~ao dados por

x = (x1 , x2 , · · · , xn) e y = (y1 , y2 , · · · , yn) . (8.192)

Para cada i ∈ 1 , 2 , · · · , n, denamos o seguinte vetor de Rn:

ei.= (0 , · · · , 0 ,

i-esima posic~ao↓1 , 0 , · · · , 0) . (8.193)

Como foi visto na disciplina de ALgebra Linear, segue que o conjunto

e1 , e2 , · · · , en

e uma base ortonormal do espaco vetorial real (Rn ,+ , ·), relativamente ao produto interno

(8.191).

Tal base e denominada base canonica de (Rn ,+ , ·), ou seja, para i , j ∈ 1 , 2 , · · · , n,teremos:

(ei , ej) =

1 , se i = j

0 , se i = j . (8.194)


Notemos que, x ∈ Rn e dado por (8.192), segue que

x = (x1 , x2 , · · · , xn)= (x1 , 0 , · · · , 0) + (0 , x2 , 0 , · · · , 0) + · · ·+ (0 , , · · · , 0 , xn)= x1 · (1 , 0 , · · · , 0) + x2 · (0 , 1 , 0 , · · · , 0) + · · ·+ xn · (0 , , · · · , 0 , 1)= x1 · e1 + x2 · e2 + · · ·+ xnen

=

n∑j=1

xj · ej . (8.195)

Com isto, para cada i ∈ 1 , 2 , · · · , n, teremos:

(x , ei)(8.195)=

(n∑j=1

xj · ej , ei

)propriedades de produto interno

=

n∑j=1

xj (ej , ei)

(8.194)= xi ,

ou seja, xi · ei = (x , ei) · ei ,

o que signica dizer que, geometricamente, para cada i ∈ 1 , 2 , · · · , n, temos que o vetor

xi · ei

e a projec~ao ortogonal do vetor x, na direc~ao do vetor (unitario) ei.


-

>

-ei

x

xi · ei

Apliquemos as ideias acima para o caso de series de Fourier:

Observacao 8.4.1

1. Notemos que

C([−L , L] ; R) ,

o conjunto formado por todas as func~oes contnuas, a valores reais, denidas em

[−L , L], e um espaco vetorial sobre R.



Tal espaco vetorial real, pode ser munido do seguinte produto interno

⟨f , g⟩ .=∫ L−L

f(x)g(x)dx , (8.196)

onde f , g ∈ C([−L , L] ; R).


2. Da Proposic~ao (8.3.2), segue que o conjunto

ψm ; m ∈ 0 ∪ N ∪ ϕk ; k ∈ N (8.197)

e um subconjunto de C([−L , L] ; R), que e ortogonal, relativamente ao produto

interno (8.196) (veja (8.137), (8.138) e (8.139)).

Notemos que o conjunto (8.197) sera ortonormal, relativamente ao produto interno

(8.196), se

L = 1 ,

excetuando-se o caso de m = 0 (veja (8.137), (8.138) e (8.139)).

Embora o conjunto (8.197) nao seja uma base para o espaco vetorial C([−L , L] ; R) ,+ , ·)no sentido algebrico, se uma func~ao f ∈ C([−L , L] ; R) puder ser expandida em serie

de Fourier (associada a mesma), se a serie convergir para a func~ao f, em [−L , L],

e se a serie de Fourier puder ser integrada, termo a termo, (por exemplo, se a

convergencia da serie de Fourier for uniforme, em [−L , L], veja o item 2. do

Corolario (6.3.1), ent~ao podemos justicar as contas formais (onde se ve: todo

cuidado!) feitas na Observac~ao (8.3.7), para obter as formulas de Euler-Fourier

(8.155), (8.156) .

3. Para ilustrar consideraremos o caso em que L = 1, ou seja, o conjunto (8.197) e um

conjunto ortonormal, , relativamente ao produto interno (8.196), exceto quando

m = 0.

Neste caso, para cada m ∈ 0 ∪ N e n ∈ N, teremos:

am(8.155)=

1

L

∫L−L

f(x) cos(mπLx)dx

(8.136)=

1

L

∫L−L

f(x)ψm(x)dx

L=1=

∫ 1−1

f(x)ψm(x)dx

(8.196)= ⟨f , ψm⟩ ,


bn(8.156)=

1

L

∫L−L

f(x) sen(nπLx)dx

(8.135)=

1

L

∫L−L

f(x)ϕn(x)dx

L=1=

∫ 1−1

f(x)ϕn(x)dx

(8.196)= ⟨f , ϕn⟩ ,

ou seja, para cada m ∈ N e n ∈ N, os vetores

am ·ψm e bn · ϕn

ser~ao as projec~oes ortogonais da func~ao f, na direc~ao dos vetores (neste caso

unitarios) ψm e ϕn, respectivamente, relativamente ao produto interno (8.196).

4. Observemos que se L = 1 ent~ao, para cada m ∈ 0 ∪ N e n ∈ N, trocando-se as

func~oes

ϕm e ϕn

pelas func~oes

Ψm e Φn ,

respectivamente, dadas por:

Ψn(x).=ψn(x)

∥ψn∥e Φn(x)

.=ϕn(x)

∥ϕn∥, para cada x ∈ R , (8.198)

onde, para cada f ∈ C([−L , L] ; R), denimos

∥f∥ .=√

⟨f , f⟩ (8.196)=

(∫L−L

f 2(x)

) 12

, (8.199)

(que e uma norma no espaco vetorial real (C([−L , L] ; R) ,+ , ·)), ent~ao o conjunto

Ψm ; m ∈ 0 ∪N ∪ Φn ; n ∈ N (8.200)

sera um conjunto ortonormal, relativamente ao produto interno (8.196), e pode-

remos aplicar as mesma ideias acima utilizando o conjunto (8.200), para concluir

que, para cada m ∈ 0 ∪N e n ∈ N, os vetores

am · Ψm e bn ·Φn

ser~ao as projec~oes ortogonais da func~ao f, na direc~ao dos vetores (unitarios) Ψme Φn, respectivamente, relativamente ao produto interno (8.196).


Notemos que, neste caso, teremos:

am(8.155)=

1

L

∫L−L

f(x) cos(mπLx)dx

(8.136) e (8.99)=

1

L⟨f , ψm⟩ ,

1

L⟨f , ψm⟩ , (8.201)

bn(8.156)=

1

L

∫L−L

f(x) sen(mπLx)dx

(8.135) e (8.99)=

1

L⟨f , ψn⟩ , (8.202)

para cada m ∈ 0 ∪ N e n ∈ N.

Utilizaremos algumas das ideias acima para obter algumas propriedades da series de Fou-

rier associada a uma f : [−L , L] → R, que e func~ao integravel em [−L , L].

Consideraremos o espaco vetorial real (SC([−L , L] ,+ , ·) em vez do espaco vetorial rela

(C([−L , L] ,+ , ·) para o que faremos a seguir.

O primeiro resultado interessante e dado pela:

Proposicao 8.4.1 Para f ∈ SC([−L , L] ; R) consideremos a serie de Fourier associada a

func~ao f, isto e, (8.157) (ou (8.158)).

Ent~ao para M ∈ 0 ∪ N e N ∈ N xados, se considerarmos

cm , dn ∈ R , para cada m ∈ 0 , 1 , · · · ,M e n ∈ 1 , 2 , · · · ,N (8.203)

temos que:∥∥∥∥∥f−[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

]∥∥∥∥∥ ≤

∥∥∥∥∥f−[co

2ψo +

M∑m=1

cmψm +

N∑n=1

dnϕn,

]∥∥∥∥∥ ,(8.204)

onde as func~oes ψm e ϕn s~ao dadas por (8.136) e (8.135), respectivamente.

Alem disso, a ocorrera igualdade em (8.204) se, e somente se,

cm = am e dn = bn , para cada m ∈ 0 , 1 , · · · ,M e n ∈ 1 , 2 , · · · ,N. (8.205)

Demonstracao:

Dado M,N ∈ N denamos o conjunto SMN, como sendo o seguinte subconjunto de

SC([−L , L] ; R):

SMN.= ψm ; m ∈ 0 , 1 , · · · ,M ∪ ϕn ; n ∈ 1 , 2 , · · · ,N . (8.206)

Observemos que o conjunto SMN e um conjunto nito de vetores de L.I., do espaco vetorial

real (SC([−L , L] ; R) ,+ , ·).


De fato, pois da Proposic~ao (8.3.2) (veja (8.137), (8.138) e (8.139)), segue que o conjunto

SMN um conjunto ortogonal, relativamente ao produto interno (8.99), e formado por vetores

n~ao nulos,.

Consideremos o subespaco vetorial gerado pelo conjunto SMN, do espaco vetorial real

(SC([−L , L] ; R) ,+ , ·), que indicaremos por [SMN], isto e, o conjunto formado por todas as

combinc~oes lineares de elementos de SMN, do espaco vetorial real (SC([−L , L] ; R) ,+ , ·).Mais precisamente:

[SMN].=

co

2ψo +

M∑m=1

cmψm +

N∑n=1

dnϕn ; cm , dn ∈ R ,

para cada m ∈ 0 , 1 , · · · ,M e n ∈ 1 , · · · ,N . (8.207)

Denamos a func~ao g : [−L , L] → R por

g(x).= f(x) −

[ao

2ψo(x) +

M∑m=1

amψm(x) +

N∑n=1

bnϕn(x)

], (8.208)

para cada x ∈ [−L , L].

Assim temos:

⟨g ,ψo⟩(8.208)=

⟨f−

[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

], ψo

⟩item 1. da Proposic~ao (8.3.1)

= ⟨f , ψo⟩︸︷︷︸(8.201) com m=0

= L ao

−ao

2⟨ψo , ψo⟩︸︷︷︸

(8.137) com m=0= 2 L

−

N∑n=1

an ⟨ψn , ψo⟩︸︷︷︸(8.137)

= 0

+

M∑m=1

bm ⟨ϕm , ψo⟩︸︷︷︸(8.139)

= 0

= Lao −ao

22 L

= 0 .

Por outro lado, para k ∈ N xado, teremos:

⟨g ,ψk⟩ =

⟨f−

[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

], ψk

⟩


item 1. da Proposic~ao (8.3.1)= ⟨f , ψk⟩︸︷︷︸

(8.201)= L ak

−ao

2⟨ψo, ψk⟩︸︷︷︸

(8.137) com k=1= 0

−

M∑m=1

am ⟨ψm , ψk⟩︸︷︷︸(8.139)

=

0 , se m = kL , se n = k

+

N∑n=1

bn ⟨ϕn , ψk⟩︸︷︷︸(8.137)

= 0

= Lak − Lak

= 0 ,

e

⟨g ,ϕk⟩ =

⟨f−

[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

], ϕk


= ⟨f , ϕk⟩︸︷︷︸(8.202)

= L bk

−ao

2⟨ψo , ϕk⟩︸︷︷︸

(8.137) com k =1= 0

−

M∑n=1

am ⟨ψm, ϕk⟩︸︷︷︸(8.139)

= 0

+

N∑n=1

bn ⟨ϕn , ϕk⟩︸︷︷︸(8.139)

=

0 , se m = kL , se n = k

= Lbk − Lbk

= 0 ,

isto e, a func~ao g, dada por (8.208), e ortogonal a cada um dos elementos do conjunto SMN.

Logo, como os elementos do conjunto SMN s~ao geradores do subsepaco vetorial do conjunto

SMN, segue que a func~ao g sera ortogonal a todos elementos do subespaco vetorial [SNM] (a

ortogonalidade e relativa ao produto intermo (8.99), isto e,

g ⊥ [SMN] . (8.209)

Denamos a func~ao h : [−L , L] → R, dada por

h(x).=ao − co2

ψo(x) +

M∑m=1

(am − cm)ψm(x) +

N∑n=1

(bn − dn)ϕn(x) , (8.210)

para cada x ∈ [−L , L].

Notemos que a func~ao h e uma combinac~ao linear dos elementos do conjunto SMN, ou

seja,

h ∈ [SNM] . (8.211)

Logo, de (8.209) e (8.211), segue que a func~ao g sera ortogonal a func~ao h, relativamente

ao produto intermo (8.99), ou seja,

g ⊥ h . (8.212)


Portanto, pelo Teorema de Pitagoras (isto e, o item 4. da Observac~ao (8.3.5), ou ainda,

(8.110)), segue que∥∥∥∥∥f−[co

2ψo +

M∑m=1

cmψm +

N∑n=1

dnϕn

]∥∥∥∥∥2

=

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥f−

[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

]︸︷︷︸

(8.208)= g

+

[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

]

−

[co

2ψo +

M∑m=1

cmψm +

N∑n=1

dnϕn

]∥∥∥∥∥2

=

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥g+

ao − co2

ψo +

M∑m=1

(am − cm)ψm +

N∑n=1

(bn − dn)ϕn︸︷︷︸(8.210)

= h

∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥∥

2

= ∥g+ h∥2

g⊥h e (8.110)= ∥g∥2 + ∥h∥2

(∗)≥ ∥g∥2 (8.213)

(8.208)=

∥∥∥∥∥f−[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

]∥∥∥∥∥2

,

isto e,∥∥∥∥∥f−[co

2ψo +

M∑m=1

cmψm +

N∑n=1

dnϕn

]∥∥∥∥∥2

≤

∥∥∥∥∥f−[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

]∥∥∥∥∥2

mostrando a desigualdade (8.204).

Observemos que se

cm = am e dn = bn , para cada m ∈ 0 , 1 , · · · ,M e n ∈ 1 , 2 , · · · , N

ent~ao vale a igualdade em (8.204).

Reciprocamente, se vale a igualdade em (8.204)), de (*) em (8.213),

∥g+ h∥2 = ∥g∥2 ,

ou seja,

∥h∥2 = 0 ,

isto e, de (8.99), teremos:

∫L−L

|h(x)|2 dx = 0 . (8.214)


Como a func~ao h e uma func~ao contnua em [−L , L] (veja (8.210)) e

|h(x)| ≥ 0 , para cada x ∈ [−L , L] e vale (8.214) ,

segue que que

h(x) = 0 , para cada x[−L , L] ,

que, de (8.210), e equivalente a:

ao − co2

ψo +

M∑m=1

(am − cm)ψm +

N∑n=1

(bn − dn)ϕn = 0 , em [−L , L] . (8.215)

Como o conjunto SMN e um conjunto L.I. no espaco vetorial real (SC([−L , L] ; R) ,+ , ·),segue que todos os coecientes da combinac~ao linear (8.215) devem ser todos iguais a zero,

ou seja,

cm = am e dn = bn ,

para m ∈ 0 , 1 , · · · ,N e m ∈ 1 , 2 , · · · ,M, completando a demonstrac~ao do resultado.

Observacao 8.4.2 A Proposic~ao (8.4.1) acima, nos diz que a soma parcial da serie de

Fourier de uma func~ao que pertence a SC([−L , L] ; R) nos da a melhor aproximac~ao

possvel entre as aproximac~oes por combinac~oes lineares envolvendo senos e cossenos,

relativamente a norma que provem do produto interno (8.99).

Uma outra propriedade importante das series de Fourier associada a uma func~ao "bem

comportada", e dado pela

Proposicao 8.4.2 (Desigualdade de Bessel (caso real)

Seja f ∈ SC([−L , L] ; R) e consideremos a serie de Fourier associada a func~ao f, isto

e, (8.157) (ou (8.158)).

Ent~ao as series numericas

∞∑m=1

am2 e

∞∑n=1

bm2 ,

s~ao convergentes e alem disso, vale

L

(ao2

2+

∞∑m=1

am2 +

∞∑n=1

bn2

)≤ ∥f∥2 , (8.216)

onde

∥f∥ .=[∫L

−L

|f(x)|2 dx

] 12

(8.217)

e a semi-norma que provem do "quase" produto interno (8.99).


Demonstracao:

Notemos que, para cada M,N ∈ N, teremos

0 ≤

∥∥∥∥∥f−[ao

2ψo +

M∑m=1

amψm +

N∑n=1

bnϕn

]∥∥∥∥∥2

(8.107)=

⟨f−

ao

2ψo −

M∑k=1

akψk −

N∑l=1

blϕl , f−ao

2ψo −

M∑m=1

amψm −

N∑n=1

bn , ϕn


= ⟨f , f⟩︸︷︷︸(8.217)

= ∥f∥2

−ao

2⟨f , ψo⟩︸︷︷︸

(8.201) com m=0= L ao

−

M∑m=1

am ⟨f , ψm⟩︸︷︷︸(8.201) com m=0

= L am

−

N∑n=1

bn ⟨f , ϕn⟩︸︷︷︸(8.202)

= L bn

−ao

2⟨ψo , f⟩︸︷︷︸

(8.201) com m=0= L ao

+ao2

4⟨ψo , ψo⟩︸︷︷︸

(8.137) com k=m=0= 2 L

+

M∑m=1

ao

2am ⟨ψo , ψm⟩︸︷︷︸

(8.137) com m=0= 0

+

N∑n=1

ao

2bn ⟨ψo , ϕn⟩︸︷︷︸

(8.138)= 0

−

M∑k=1

ak ⟨ψk , f⟩︸︷︷︸(8.201)

= L ak

+

M∑k=1

akao

2⟨ψk , ψo⟩︸︷︷︸

(8.137) com k =0= 0

+

M∑k=1

M∑m=1

ak am ⟨ψk , ψm⟩︸︷︷︸(8.137)

=

0 , se m = kL , se m = k

+

M∑k=1

N∑n=1

ak bn ⟨ψk , ϕn⟩︸︷︷︸(8.138)

= 0

−

N∑l=1

bl ⟨ϕl , f⟩︸︷︷︸(8.202)

= L bl

+

N∑l=1

blao

2⟨ϕl , ψo⟩︸︷︷︸

(8.138)= 0

+

N∑l=1

M∑m=1

bl am ⟨ϕl , ψm⟩︸︷︷︸(8.138)

= 0

+

N∑l=1

N∑n=1

bl bn ⟨ϕl , ϕn⟩︸︷︷︸(8.137)

=

0 , se n = lL , se n = l

= ∥f∥2 − L

2ao2 − L

M∑m=1

am2 − L

N∑n=1

bn2 −

L

2ao2 +

L

2ao2 − L

M∑k=1

ak2 + L

M∑k=1

ak2

− L

N∑l=1

bl2 + L

N∑l=1

bl2

= ∥f∥2 − L

(ao2

2+

M∑m=1

am2 +

N∑n=1

bn2

), (8.218)

isto e,

0 ≤ ∥f∥2 − L

(ao2

2+

M∑m=1

am2 +

N∑n=1

bn2

),

ou seja,

0 ≤ ao2

2+

M∑m=1

am2 +

N∑n=1

bn2 ≤ 1

L∥f∥2 , (8.219)

para todo M,N ∈ N xado.


Assim, segue de (8.219), que as sequencias das somas parcias das series numericas

∞∑m=1

am2 e

∞∑n=1

bn2 , (8.220)

s~ao limitadas em R.Como

am2, bn

2 ≥ 0 , para cada n ,m ∈ N,

segue que a sequencias das somas parcias das series numericas (8.220) tambem ser~ao crescentes

em R.

Logo elas s~ao monotonas (crescentes) e limitadas em R logo, do Teorema (3.4.1), segue

que elas ser~ao convergentes em R.Portanto passando os limites quando

M,N→ ∞em (8.219), obteremos a desigualdade (8.216), completando a demosntrac~ao do resultado.

Temos uma vers~ao na forma complexa para ao resultado acima, a saber:

Corolario 8.4.1 (Desigualdade de Bessel (caso complexo)

Suponhamos que f ∈ SC([−L , L] ; C) e

S[f](x) =

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx , para cada x ∈ [−L , L] , (8.221)

onde, para cada n ∈ Z, f (n) e o n-esimo coeciente de Fourier na forma complexa,

dado por (8.190).

Ent~ao a serie numerica ∞∑n=1

∣∣∣f (n)∣∣∣2sera convergente e vale ∞∑

n=∞∣∣∣f (n)∣∣∣2 ≤ 1

2 L∥f∥2 , (8.222)

onde

∥f∥ .=[∫L

−L

|f(x)|2 dx

] 12

(8.223)

e a semi-norma que provem do "quase" produto interno (8.100).

Demonstracao:


Segue, de (8.182), (8.183) e (8.184), que:∣∣∣f (0)∣∣∣2 (8.182)=

ao2

4(8.224)∣∣∣f (n)∣∣∣2 (8.183)

=

∣∣∣∣an − i bn2

∣∣∣∣2=1

4

(an2 + bn

2), para cada n ∈ N (8.225)∣∣∣f (−n)∣∣∣2 (8.184)

=

∣∣∣∣an + i bn2

∣∣∣∣2=1

4

(an2 + bn

2), para cada n ∈ N . (8.226)

Logo, para cada N ∈ N temos

N∑n=−N

∣∣∣f (n)∣∣∣2 = ∣∣∣f (0)∣∣∣2 + N∑n=1

∣∣∣f (−n)∣∣∣2 + N∑n=1

∣∣∣f (n)∣∣∣2=ao2

4+1

4

N∑n=1

(an2 + bn

2)+1

4

N∑n=1

(an2 + bn

2)

=ao2

4+1

2

(N∑n=1

an2 +

N∑n=1

bn2

)

=1

2

(ao2

2+

N∑n=1

an2 +

N∑n=1

bn2

). (8.227)

Logo, de um criterio da comparac~ao, na vers~ao complexa (isto e, o Teorema (4.5.2) para o

caso complexo) e da Proposic~ao (8.4.2), segue que a serie numerica∞∑n=1

∣∣∣f (n)∣∣∣2 e convergente.Lembremos que o sentido da convergencia da serie acima sera

∞∑n=−∞

∣∣∣f (n)∣∣∣2 = limN→∞

N∑n=−N

∣∣∣f (n)∣∣∣2 .Alem disso, passando o limite, quando

N→ ∞em (8.227), obteremos:

∞∑n=∞

∣∣∣f (n)∣∣∣2 = limN→∞

N∑n=−N

∣∣∣f (n)∣∣∣2(8.227)= lim

N→∞[1

2

(ao2

2+

N∑n=1

an2 +

N∑n=1

bn2

)]

=1

2

(ao2

2+

∞∑n=1

an2 +

∞∑n=1

bn2

)(8.216))

≤ 1

2 L∥f∥2 ,


completando a demonstrac~ao.

Observacao 8.4.3

1. Seja f ∈ SC([−L , L] ; R) ent~ao

f (0)(8.183)=

ao

2a∈R=ao

2(8.183)= f (−0) .

Se n ∈ N, teremos:

f (n)(8.183)=

an − i bn2

=an − i bn

2

=an − i bn

2an ,bn∈R=

an + i bn2

(8.183)= f (−n) ;

f (−n)(8.183)=

an + i bn2

=an + i bn

2

=an + i bn

2an ,bn∈R=

an − i bn2

(8.183)= f (n)

= f [−(−n)] ,

ou seja

f (n) = f (−n) , para cada n ∈ Z . (8.228)

2. Seja f ∈ SC(R ; R) uma func~ao 2 L-periodica e consideremos a func~ao h : R → R,dada por

h(x).= f(−x) , para cada x ∈ R . (8.229)

Ent~ao, teremos que h ∈ SC(R ; R) e tambem sera uma func~ao 2 L-periodica.


Alem disso, para n ∈ Z, temos que:

h (n)(8.190)=

1

2 L

∫L−L

h(x) e−inπLx dx

(8.229)=

1

2 L

∫L−L

f(−x) e−inπLx dx⟨ y = −x , logo: dy = −dx

x = −L , logo: y = L

x = L , logo: y = −L

⟩=1

2 L

∫−L

L

f(y) e−inπL

(−y) (−dy)

=1

2 L

∫L−L

f(y) e−i(−n)π

Lydy

(8.190)= f (−n) ,

isto e,

h (n) = f (−n) , para cada n ∈ Z . (8.230)

3. As cinclus~oes do Corolario (8.4.1)) permanece valido se a func~ao f e a valores

complexos, isto e, se f ∈ SC([−L , L] ; C).

De fato, se f : [−L , L] → C e seccionalmente contnua em [−L , L], ent~ao existem

func~oes u , v ∈ SC([−L , L] ; R), de modo que

f(x) = u(x) + i v(x) , para cada x ∈ [−L , L] . (8.231)

Com isto, para n ∈ Z, segue que:

f (n)(8.190)=

1

2 L

∫ L−L

f(x)e−inπLx dx

(8.231)=

1

2 L

∫ L−L

[u(x) + i v(x)] e−inπLx dx

propriedade da integral denida=

1

2 L

∫L−L

u(x) e−inπLx dx+ i

1

2 L

∫L−L

v(x) e−inπLx dx

(8.190)= u (n) + i v (n) . (8.232)

Logo, para cada n ∈ Z, temos:∣∣∣f (n)∣∣∣2 = f (n) f (n)(8.231)= [u (n) + i v (n)] ,

[u (n) + i v (n)

]= [u (n) + i v (n)]

[u (n) + i v (n)

]= [u (n) + i v (n)]

[u (n) + i v (n)

]


(8.228)= [u (n) + i v (n)]

[u (n) − i v (−n)

]= u (n) u (−n) − i u (n) v (−n)) + i v (n) u (−n) + v (n) v (−n)

(8.228)= u (n) u (n) + i [u (−n) v (n) − u (n) v (−n)] + v (n) v (n)

= |u (n)|2 + i [u (−n) v (n) − u (n) v (−n)] + |v (n)|2 . (8.233)

Portanto, para N ∈ N, segue que

N∑n=−N

∣∣∣f (n)∣∣∣2 (8.233)=

N∑n=−N

|u (n)|2 + |v (n)|2 + i [u (−n) v (n) − u (n) v (−n)]

somas nitas

=

N∑n=−N

[|u (n)|2 + |v (n)|2

]+ i

N∑n=−N

[u (−n) v (n) − u (n) v (−n)]

=

N∑n=−N

[|u (n)|2 + |v (n)|2

]+ i

N∑

n=−N

u (−n) v (n) −

(∗)︷︸︸︷N∑

n=−N

u (n) v (−n)

m = −n, em (*)

=

N∑n=−N

[|u (n)|2 + |v (n)|2

]+ i

[N∑

n=−N

u (−n) v (n) −

N∑m=−N

u (−m) v (m)

]

=

N∑n=−N

[|u (n)|2 + |v (n)|2

]. (8.234)

Como, u , v ∈ SC([−L , L] ; R), do Corolario (8.4.1), segue que as series numericas

∞∑n−∞ |u (n)|2 e

∞∑n−∞ |v (n)|2

ser~ao convergentes.

Logo, deste fato e de (8.234), segue que a serie numerica

∞∑n−∞

∣∣∣f (n)∣∣∣2e convergente e, alem disso:

∞∑n−∞

∣∣∣f (n)∣∣∣2 (8.234)=

∞∑n=−∞

[|u (n)|2 + |v (n)|2

](8.222) para u e v)

≤ 1

2 L

(∥u∥2 + ∥v∥2

)(8.231)=

1

2 L∥f∥2 ,


ou seja, vale uma desigualdade de Bessel para o caso da func~ao f ser a valores

complexos, isto e, se f ∈ SC([−L , L] ; C), temos que:

∞∑n−∞

∣∣∣f (n)∣∣∣2 ≤ 1

2 L∥f∥2 , (8.235)

Como consequencia da desiguladade de Bessel temos o:

Corolario 8.4.2 (Lema de Riemann-Lebesgue) Seja f ∈ SC[−L , L] ; R) e consideremos

a serie de Fourier associada a func~ao f, isto e, (8.157) (ou (8.158)).

Ent~ao:

limm→∞am = lim

n→∞bn = 0 , (8.236)

onde, para cada m ∈ 0∪N e n ∈ N, os numeros reais am e bn s~ao dados por (8.155) e

(8.156), respectivamente.

Demonstracao:

Notemos que, da Proposic~ao (8.4.2)), segue que as series numerica

∞∑m=1

am2 e

∞∑n=1

bm2

s~ao convergentes.

Logo, do criterio da divergencia par series numericas (isto e, o Teorema (4.4.2)), segue

que

limm→∞am2 = lim

n→∞bn2 = 0 ,o que implicara que:

limm→∞am = lim

n→∞bn = 0 ,


Na forma complexa o resultado acima torna-se-a:

Corolario 8.4.3 Lema de Riemann-Lebesgue forma complexa)

Seja f ∈ SC([−L , L] ; C, e consideremos a serie de Fourier associada a func~ao f, na

forma complexa, isto e, (8.221).

Ent~ao

lim|n|→∞ f (n) = 0 , (8.237)

ou seja,

limn→∞ f (n) = lim

n→−∞ f (n) = 0 . (8.238)


Demonstracao:

Observemos que, do item 2. da Observac~ao (8.4.3), temos que as series numerica

∞∑n=−∞

∣∣∣f (n)∣∣∣2e convergente .

Logo, como consequencia do criterio da divergencia par series numericas (isto e, como

consequencia do Teorema (4.4.2), segue que

limn→∞ f (n) = lim

n→−∞ f (n) = 0 ,como queramos demonstrar.

Observacao 8.4.4

1. Denamos o conjunto

l2(R) .=

(an)n∈N ;

∞∑n=1

an2 <∞

, (8.239)

isto e, o conjunto formado pelas sequencias reais, cuja serie formada pelos qua-

drados dos seus termos, seja convergente.

Com as operac~oes usuais de soma de sequencia numericas, que denotaremos por

+, e multiplicac~ao de numero real por uma sequencia numerica, que denotaremos

por ·, tem segue que(l2(R) ,+ , ·

)e um espaco vetorial sobre R.


2. Alem disso,a func~ao

∥ · ∥l2(R) : l2(R) → R ,

dada por

∥(an)n∈N∥l2(R).=

√√√√ ∞∑n=1

an2 , (8.240)

para (an)n∈N ∈ L2(R), sera uma norma no espaco vetorial real(l2(R) ,+ , ·

).


3. Na verdade a norma denida em (8.240), provem do seguinte produto interno no

espaco vetorial real(l2(R) ,+ , ·

):

Consideremos a func~ao

⟨ , ⟩ : l2(R)× l2(R) → R ,


dada por:

⟨(an)n∈N , (bn)n∈N⟩.=

∞∑n=1

an bn , (8.241)

para (an)n∈N , (bn)n∈N ∈ L2(R),Notemos que a func~ao acima bem denida no espaco vetorial real

(l2(R) ,+ , ·

)e

e realmente um produto interno no espaco vetorial real(l2(R) ,+ , ·

).

A demonstrac~ao destes fatos ser~ao deixadas como exerccio para o leitor.

Notemos que

∥(an)n∈N∥(8.240)=

√√√√ ∞∑n=1

an2

(8.241)=

√⟨(an)n∈N , (an)n∈N⟩ , (8.242)

para cada (an)n∈N ∈ l2(R), ou seja, a norma, denida por (8.240), provem do

produto interno, denido por (8.241), no espaco vetorial real(l2(R) ,+ , ·

)4. Logo, com as notac~oes acima segue, do Corolario (8.4.1), que a aplicac~ao

^ : SC([−L , L] ; R) → l2(R)f 7→ f

esta bem denida.

5. Observemos que se f , g ∈ SC([−L , L] ; R) e α ∈ R ent~ao, para cada n ∈ Z, teremos:

(α f+ g)(n) (8.190)=

1

2 L

∫L−L

(α f+ g)(x) e−inπLx dx

=1

2 L

∫L−L

[α f(x) + g(x)] e−inπLx dx

propriedades da integral denida= α

[1

2 L

∫L−L

f(x) e−inπLx dx

]+1

2 L

∫L−L

g(x) e−inπLx dx

(8.190)= α f (n) + g (n) , (8.243)

ou seja, a aplicac~ao

^ : SC([−L , L] ; R) → l2(R)e uma transformac~ao linear de (SC([−L , L] ; R) ,+ , ·) em (l2(R) ,+ , ·) (onde + e ·s~ao as respectivas operac~oes nos respectivos espacos vetoriais reais).

5. Notemos tambem que, se f , g ∈ SC([−L , L] ; R), ent~ao:∥∥∥f − g∥∥∥2l2(R)

(8.243) com α=1=

∥∥∥ f− g∥∥∥2(8.240)=

∞∑n=1

∣∣∣ (f− g) (n)∣∣∣2(8.222)

≤ 1

2 L∥f− g∥2L2([−L ,L] ,R) ,

8.5. CONVERGENCIA PONTUAL DA SERIE DE FOURIER 383

onde

∥f∥L2([−L ,L] ;R).=

√∫L−L

|f(x)|2 dx , (8.244)

com F ∈ SC([−L , L] ; R).Com isto, teremos ∥∥∥f − g∥∥∥

l2(R)≤ 1√

2 L∥f− g∥L2([−L ,L] ;R). (8.245)

Logo, (8.243) e (8.245), segue que a aplicac~ao

^ : SC([−L, L]) → l2(R)f 7→ f

e uma transformac~ao linear que e contnua do espaco vetorial real

(SC([−L , L] ; R) ,+ , ·) ,

no espaco vetorial real

(l2(R) ,+ , ·) ,

munidos das respectivas normas (8.244) e (8.240).

Notemos que, na verdade, (8.244) n~ao e uma norma no espaco vetorial real

(SC([−L , L] ; R) ,+ , ·) ,

mas sim, uma semi-norma.


8.5 Convergencia Pontual da Serie de Fourier

A seguir iniciaremos o estudo da convergencia da serie de Fourier associada a uma func~ao

f ∈ SC([−L , L] ; R).Nesta sec~ao estudaremos a convergencia pontual da serie de Fourier e na proxima sec~ao a

convergencia uniforme.

Antes porem, vale observar que dada uma func~ao f ∈ SC([−L , L] ; R), que satisfaz

f(−L) = f(L) ,

podemos estende-la a uma func~ao F : R → R, que e 2 L-periodica e que seja seccionalmente

contnua em cada intervalo [a , b] ⊆ R, da seguinte forma:

Consideremos F : R → R dada por

F(x) = f(x− 2 k L), (8.246)

onde

x− 2 k L ∈ [−L , L] ,

para algum k ∈ Z.


-x−L Lx − 2kL

︷︸︸︷Domnio de f

Com isto temos a:

Definicao 8.5.1 Denamos

SCper(2L).= F : R → R ; F e 2 L-periodica e seccional/e contnua em qualquer [a , b] ⊆ R

e

Cper(2L).= F : R → R ; F e 2 L-periodica e contnua R .

Observacao 8.5.1

1. Observemos que os conjunto

SCper(2 L) e Cper(2 L)

tornam-se espacos vetorias sobre R, quando munido das operac~oes usuais de soma

de func~oes e multiplicac~ao de numero real por uma func~ao.

A vericac~ao destes fatos sera deixada como exerccio para o leitor.

2. Se f ∈ SCper(2L), para cada xo ∈ R, denotaremos por

f (x+o ).= lim

x→x+o f(x) e f (x−o ).= lim

x→x−o f(x) . (8.247)

3. Podemos indenticar de maneira natural, o espaco vetorial SC([−L , L] ; R) com

SCper(2 L).

Para isto dado f ∈ SC([−L , L] ; R), redenimos , se necessario,

f(L).= f(−L) ,

para que a func~ao f assuma o mesmo valor nos extremos do intervalo [−L , L].

Com isto podemos considerar sua extens~ao 2 L-periodica a R, que pertencera a

SCper(2 L), como vimos em (8.246).

Analogamente, se F ∈ SCper(2 L), ent~ao sua restric~ao ao intervelo [−L , L], perten-

cera a SC([−L , L] ; R).

4. Se f ∈ SCper(2 L), ent~ao a serie de Fourier de f estara bem denida (ou seja, os

coecientes de Fourier estar~ao bem denidos).


Logo,

S[f](x) =ao

2+

∞∑n=1

an cos(nπLx)+ bn sen

(nπLx), (8.248)

onde

an =1

L

∫L−L

f(x) cos(nπLx)dx (8.249)

bn =1

L

∫L−L

f(x) sen(nπLx)dx , para cada n ∈ N , (8.250)

ou

S[f](x) =

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx , (8.251)

onde

f(n) =1

2 L

∫L−L

f(x) e−inπLx dx , para cada n ∈ Z . (8.252)

Iniciaremos o nosso estudo da convergencia pontual da serie de Fourirer estabelecendo o

seguinte resultado:

Lema 8.5.1 Seja f ∈ SCper(2 L), diferenciavel em [−L , L], exceto em um numero nito

de pontos, e de modo que que f ′ ∈ SCper(2 L).Suponhamos tambem que a func~ao f seja contnua em x = 0 e que

f(0) = 0 . (8.253)

Ent~ao a serie de Fourier da func~ao f, converge para 0, no ponto x = 0, isto e,

fazendo x = 0 em (8.248), respectivamente (8.251), teremos:

ao

2+

∞∑n=1

an = 0 = f(0) , (8.254)

respectivamente,∞∑

n=−∞ f (n) = 0 = f(0) . (8.255)

Demonstracao:

Demonstraremos a identidade para a forma complexa da serie de Fourier, isto e, provare-

mos que

∞∑n=−∞ f (n) = lim

N→∞N∑

n=−N

f (n) = 0 .

Para isto consideremos a func~ao g : R → R, dada por

g(x) =

f(x)

eiπLx − 1

, para x ∈ [−L , 0) ∪ (0 , L]

−i Lf ′(0+)

π, para x = 0

(8.256)


e de modo que

g(x+ 2 L) = g(x) , para cada x ∈ R . (8.257)

Observemos que existem

g (0+) e g (0−) .

De fato, pois:

g (0+)(8.247)= lim

x→0+ g(x)x =0 e (8.256)

= limx→0+

f(x)

eiπLx − 1

f(0)(8.253)

= 0= lim

x→0+f(x) − f(0)x− 0

1

eiπLx − 1

x− 0

. (8.258)

Notemos que

limx→0+

f(x) − f(0)

x− 0

(8.247)= f ′(0+) , que existe pois f ′ ∈ SC−per(2 L) (8.259)

e

limx→0+

1

eiπLx − 1

x− 0

=1

d

dx

[ei

πLx

∣∣∣∣x=0

]=L

i π. (8.260)

Logo, de (8.259), (8.260) e (8.258), segue que

g(0+) = f ′(0+)L

i π

= −iL

πf ′(0+)

(8.256)= g(0) ,

portanto existe g(0+) e e igual a g(0).

De modo semelhante, teremos:

g (0−)(8.247)= lim

x→0− g(x)(8.257)= lim

x→0− g(x+ 2 L)x+2 L∈(−L ,L) e (8.256)

= limx→0−

f(x+ 2L)

eiπL(x+2 L) − 1

f(x+2L)=f(x)= lim

x→0−f(x)

eiπLx ei 2 π − 1

ei 2 π=1= lim

x→0−f(x)

eiπLx − 1


= limx→0−

f(x) − f(0)x− 0

1

eiπLx − 1

x− 0

(8.259) e (8.260)

= f ′(0−)L

i π

= −iL

i πf ′(0−) ,

isto e, existe g(0−).

Observemos que f ∈ SCper(2 L) e a func~ao

x→ eiπLx − 1

e contnua e 2 L-periodica em R, e so se anula em x = 0, no intervalo [−L , L].

Armamos que g ∈ SCper(2 L).De fato, pois, devido a observac~ao acima, alem dos pontos onde a func~ao f tem uam

descontinuidade de 1.a especie em [−L , L] (que s~ao, no maximo, um numero de pontos do

intervalo [−L , L]), o unico "problema" da func~ao g no intervalo [−L , L] seria x = 0, mas nesse

ponto existem os limites laterais, como vimos acima.

Logo, do Lema de Riemman-Lebesgue, na forma complexa, (isto e, do Corolario 8.4.3))

segue que

limn→∞ g (n) = lim

n→−∞ g (n) = 0 . (8.261)

Por outro lado, para cada n ∈ Z, temos que:

f (n)(8.252)=

1

2 L

∫L−L

f(x) e−inπLx dx

(8.256)=

1

2L

∫L−L

g(x)(ei

πLx − 1

)e−i

nπLx dx

propriedades da integral denida=

1

2 L

∫L−L

g(x) e−i(n−1)π

Lx dx−

1

2 L

∫L−L

g(x) e−inπLx dx

(8.252) com n−1 e n= g (n− 1) − g (n) . (8.262)

Logo, para cada N ∈ N, teremos:

N∑n=−N

f (n) = f (−N) + f (−N+ 1) + · · ·+ f (N− 1) + f (N)

(8.262)= [g (−N− 1) − g (−N)] + [g (−N) − g (−N+ 1)] + · · ·

+ [g (N− 2) − g (N− 1)] + [g (N− 1) − g (N)]

= g (−N− 1) − g (N) . (8.263)


Portanto,

∞∑n=−∞ f (n) = lim

N→∞N∑

n=−N

f (n)

(8.263)= lim

n→∞ [g (−N− 1) − g (N)](8.261)= 0 ,

ou seja, ∞∑n=−∞ f (n) = 0

(8.253)= f(0).

Portanto a serie de Fourier associada a func~ao f, em x = 0, converge para 0 = f(0), como

queramos demonstrar.

Observacao 8.5.2

1. A demonstrac~ao do Lema (8.5.1) acima mostra, na verdade, que a convergencia

da serie de Fourier, na forma complex,a∞∑

n=−∞ f (n), ocorre em um sentido mais

forte, a saber,

limN→∞M→∞

M∑n=−N

f (n) = 0

e n~ao apenas no sentido de valor principal, isto e,

limN→∞

N∑n=−N

f (n) = 0 .

De fato, pelo que vimos da demonstrac~ao do Lema (8.5.1) acima (veja a identidade

(8.263)) temos que:

M∑n=−N

f (n) = f (−N) + f (−N+ 1) + · · ·+ f (M− 1) + f (M)

(8.262)= [g (−N− 1) − g (−N)] + [g (−N) − g (−N+ 1)] + · · ·

+ [g (M− 2) − g (M− 1)] + [g (M− 1) − g (M)]

= g (−N− 1) − g (M)

N→∞M→∞→ 0, devido a (8.261). (8.264)


limN→∞M→∞

M∑n=−N

f (n) = 0 .


2. A soma (8.263) e dita soma telescopica.

Podemos agora tratar do resultado principal, a saber:

Teorema 8.5.1 Suponhamos que f ∈ SCper(2 L) e uma func~ao diferenciavel em [−L , L],

exceto em um numero nito de pontos, que f ′ ∈ SCper(2 L) e xo ∈ R.

Ent~ao a serie de Fourier associada a func~ao f, em xo, converge, paraf (x+o ) + f (x

−o )

2,

isto e,

f (x+o ) + f (x−o )

2=ao

2+

∞∑n=1

an cos(nπLxo

)+ bn sen

(nπLxo

), (8.265)

onde,

an =1

L

∫L−L

f(x) cos(nπLx)dx ,

bn =1

L

∫L−L

f(x) sen(nπLx)dx , para cada n ∈ N ,

ou

f (x+o ) + f (x−o )

2=

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLxo , (8.266)

onde,

f (n) =1

2 L

∫L−L


Demonstracao:

Consideremos a transformac~ao T : R2 → R2, dada por

T(x , y).=

(x− xo , y−

f (x+o ) + f (x−o )

2

), para cada (x , y) ∈ R2 . (8.268)

Observemos que

T

(xo ,

f (x+o ) + f (x−o )

2

)(8.268)=

(xo − xo ,

f (x+o ) + f (x−o )

2−f (x+o ) + f (x

−o )

2

)= (0 , 0) e

T(x , f(x))(8.268)=

(x− xo , f(x) −

f(x+o ) + f(x−o )

2

).

Denamos a func~ao g : R → R, dada por

g(x).= f(x+ xo) −

f(x+o ) + f(x−o )

2, para cada x ∈ R . (8.269)


Ent~ao os pontos do graco da func~ao g, s~ao da forma:

(x , g(x))(8.269)=

(x , f(x+ xo) −

f(x+o ) + f(x−o )

2

)z.=x+xo=

(z− xo , f(z) −

f(x+o ) + f(x−o )

2

)(8.268)= T(z , f(z))

z=x+xo= T(x+ xo, f(x+ xo)) , (8.270)

para cada x ∈ R.Observemos que

g(0+) = limx→0+ g(x)

(8.269)= lim

x→0+[f(x+ xo) −

f(x+o ) + f(x−o )

2

]= f(x+o ) −

f(x+o ) + f(x−o )

2

=f(x+o ) − f(x

−o )

2, (8.271)

g(0−) = limx→0− g(x)

(8.269)= = lim

x→0−[f(x+ xo) −

f(x+o ) + f(x−o )

2

]= f(x−o ) −

f(x+o ) + f(x−o )

2

=f(x−o ) − f(x

+o )

2. (8.272)


g(0+) + g(0−)

2=1

2

[f(x+o ) − f(x

−o )

2+f(x−o ) − f(x

+o )

2

]=1

4[f(x+o ) − f(x

−o ) + f(x

−o ) − f(x

+o )]

= 0 . (8.273)

Observemos que como f , f ′ ∈ SCper(2 L), de (8.269), segue que g , g ′ ∈ SCper(2 L).A vericac~ao destes fatos ser~ao deixados como exerccio para o leitor.

Denamos a func~ao h : R → R, dada por

h(x).=

g(x) + g(−x)

2, para x ∈ [−L 0) ∪ (0 , L]

0 , para x = 0, (8.274)

e

h(x+ 2 L) = h(x) , para cada x ∈ R .


Com isto teremos que h , h ′ ∈ SCper(2 L).A vericac~ao destes fatos ser~ao deixados como exerccio para o leitor.

Alem disso, a func~ao h e contnua em x = 0.

De fato, pois

limx→0+ h(x)

x=0 e (8.274)= lim

x→0+g(x) + g(−x)

2

=g(0+) + g(0−)

2(8.273)= 0

(8.274)= h(0) ;

limx→0− h(x)

x=0 e (8.274)= lim

x→0−g(x) + g(−x)

2

=g(0−) + g(0+)

2(8.273)= 0

(8.274)= h(0) .

Logo

limx→0h(x) = 0

(8.274)= h(0) ,

mostrando a continuidade da func~ao h, em x = 0.

Aplicando o Lema (8.5.1) para a func~ao h (notemos que a func~ao h satisfaz todas as

hipotese do Lema, verique!), teremos que

∞∑n=−∞ h (n) = lim

N→∞N∑

n=−N

f (n)

= 0 = h(0). (8.275)

Mas, para cada n ∈ Z, temos que:

h (n)(8.243) e (8.230)

=g (n) + g (−n)

2, para cada n ∈ Z . (8.276)

Logo, para cada N ∈ N, xado, teremos

N∑n=−N

h (n)(8.276)=

N∑n=−N

g (n) + g (−n)

2

=

N∑n=−N

g (n)

2+

N∑n=−N

g (−n)

2⟨temos que:

N∑n=−N

g (n) =

N∑n=−N

g (−n)

⟩

=

N∑n=−N

g (n) . (8.277)


Por outro lado, para cada n ∈ Z, segue que:

g (n)(8.267)=

1

2 L

∫L−L

g(x) e−inπLx dx

(8.269)=

1

2 L

∫L−L

[f(x+ xo) −

f(x+o ) + f(x−o )

2

]e−i

nπLx dx

propriedades da integral denida=

1

2 L

∫L−L

f(x+ xo) e−i nπ

Lx dx−

1

2 L

∫L−L

f(x+o ) + f(x−o )

2e−i

nπLx dx

=

⟨na 1.a integral fazendo:

y = x+ xo , logo: dy = dx

x = −L , logo: y = −L+ xox = L , logo: y = L+ xo

⟩=

=1

2 L

∫ L+xo−L+xo

f(y) e−inπL

(y−xo) dx−1

2 L

f(x+o ) + f(x−o )

2

∫ L−L

e−inπLx dx

y7→f(y) e−i n πL

(y−xo) e 2 L-per, e (8.115)=

1

2L

∫L−L

f(y) e−inπLy ei

nπLxo dx

−1

2 L

f(x+o ) + f(x−o )

2

∫L−L

e−inπLx dx

= einπLxo

[1

2L

∫ L−L

f(y) e−inπLy dx

]−1

2 L

f(x+o ) + f(x−o )

2

∫L−L

e−inπLx dx

(8.267)= f (n) ei

nπLxo −

1

2 L

f(x+o ) + f(x−o )

2

∫L−L

e−inπLx dx . (8.278)

Observemos que, para cada n ∈ Z xado, temos que:

∫ L−L

e−inπLx dx =

2 L , para n = 0

e−inπLx

−i nπL

∣∣∣∣x=L

x=−L

=L

−i nπ[e−i n π − e+i n π]︸︷︷︸

=0

= 0 , para n = 0 . (8.279)

Assim, para cada n ∈ Z, de (8.278) e (8.279), segue que

g (n) =

f (0) −f(x+o ) + f(x

−o )

2, para = 0

f(n) einπLxo , para n = 0.

(8.280)

Logo

N∑n=−N

f (n) einπLxo −

f(x+o ) + f(x−o )

2=

N∑n=−N ,N =0

f (n) einπLxo︸︷︷︸

(8.280) com n=0= g (0)

+ f (0) −f(x+o ) + f(x

−o )

2︸︷︷︸(8.280) com n =0

= g (n)

(8.280)=

N∑n=−N

g (n)

(8.277)=

N∑n=−N

h (n)N→∞→ 0,


devido a (8.275), ou seja

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLxo =

f(x+o ) + f(x−o )

2,


Observacao 8.5.3

1. A demonstrac~ao do Teorema (8.5.1) acima e devido a P.R.Cherno (1980).

2. O Teorema (8.5.1) acima, nos diz que nas hipotese do Teorema (8.5.1), a serie de

Fourier associada a func~ao f, converge para a media do valor do salto da func~ao

f, em xo.

3. Se alem de satisfazer as hipoteses do Teorema (8.5.1) acima, a func~ao f for

contnua em xo, ent~ao teremos que

f(x+o ) = f(x−o ) = f(xo) .

Logo, de (8.265), respectivamente, (8.266), segue que

f(xo) =ao

2+

∞∑n=1

an cos(nπLxo

)+ bn sen

(nπLxo

), (8.281)

ou

f(xo) =

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLxo . (8.282)

onde,

am =1

L

∫L−L

f(x) cos(mπLx)dx , , para cada m ∈ 0 ∪ N , (8.283)

bk =1

L

∫L−L

f(x) sen

(kπ

Lx

)dx , para cada k ∈ N , (8.284)

ou

f (x+o ) + f (x−o )

2=

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLxo , (8.285)

onde,

f (n) =1

2 L

∫L−L



4. Em particular, se f ∈ C1(R ; R) e uma func~ao 2 L-periodica ent~ao, do Teorema

(8.5.1) acima, a serie de Fourier associada a func~ao f converge, pontualmente,

para a func~ao f, em R, isto e, para cada x ∈ R, teremos

f(x) =ao

2+

∞∑n=1


(nπLx), (8.287)

ou

f(x) =

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx , (8.288)

onde, para cada m ∈ 0 ∪ N, k ∈ N e n ∈ Z, os coecientes am, bk e f (n), s~ao

dados por (8.283), (8.285) e (8.286), respectivamente.

Aplicaremos, a seguir, as ideias e resultados acima a dois exemplos os quais ja foram

calculados os coecientes de Fourier anteriormente.

Exemplo 8.5.1 Consideremos a func~ao f : R → R, dada por

f(x) =

−x , para x ∈ [−1 , 0)

x , para x ∈ [0 , 1), (8.289)

satisfazendo

f(x+ 2) = f(x) , para cada x ∈ R . (8.290)

Estude a convergencia da serie de Fourier associada a func~ao f.

Resolucao:

Neste caso, temos

L = 1

e

f(x) = |x| , para cada x ∈ [−1 , 1]

e satisfaz (8.290).

A representac~ao geometrica do graco da func~ao f, e dada pela gura abaixo.

-

6

−1 1

Onda Dente de Serra


Vimos, no Exemplo (8.3.4), para cada n ∈ N, vimos que

bn(8.168)= 0 ,

ao(8.167)=

1

2,

a2 n(8.167)= 0 ,

a2 n+1(8.167)=

−4

(2n+ 1)2 π2,

ou seja, a serie de Fourier associada a func~ao f sera dada por:

S[f](x) =1

2−4

π2

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2cos [(2n+ 1)πx] . (8.291)

Observemos que f ∈ Cper(2) e a func~ao f ′ e seccionalmente contnua em qualquer intervalo

[a , b] ⊆ R, pois, de (8.289), temos que

f ′(x) = −1 , para cada x ∈ (−1 , 0) e f ′(x) = 1 , para cada x ∈ (0 , 1) .

Logo, do Teorema (8.5.1) e do item 2. da Observac~ao (8.5.3), segue que a serie de Fourier

associada a func~ao f (isto e, (8.291)) converge para a func~ao f, pontualmente em R, isto e,

f(x) =1

2−4

π2

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2cos [(2n+ 1)πx] , para cada x ∈ R . (8.292)

Observacao 8.5.4 Em particular, segue que

0(8.289)= f(0)

(8.292) com x=0=

1

2−4

π2

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2cos [(2n+ 1)π · 0]︸︷︷︸

=1 , para todo n∈N

=1

2−4

π2

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2,

isto e,∞∑n=0

1

(2n+ 1)2=π2

8.

Exemplo 8.5.2 Conisderemos a func~ao f : R → R, dada por

f(x) =

0 , para cada x ∈ [π , 0) ou x = π

π , para cada x ∈ [0 , π), (8.293)

satisfazendo

f(x+ 2π) = f(x) , para cada x ∈ R . (8.294)


Estude a convergencia da serie de Fourier associada a func~ao f.

Resolucao:

Neste caso, temos que

L = π .

A representac~ao geometrica do graco da func~ao f, e dada pela gura abaixo.

-

6

π−π

π

Onda Quadrada

−2 π 2 π

Vimos, no Eexemplo (8.3.5), que a serie de Fourier associada a func~ao f e dada por:

S[f](x) =π

2+

∞∑n=0

2

2n+ 1sen [(2n+ 1) x)] . (8.295)

Observemos que f ∈ SCper(2π) e a func~ao f ′ e seccionalmente contnua em qualquer

intervalo [a , b] ⊆ R.De fato, pois

f ′(x) = 0 , para cada x ∈ (−π , 0) ∪ (0 , π) .

Logo, do Teorema (8.5.1) e do item 3. da Observac~ao (8.5.3), segue que a serie de

Fourier associada a func~ao f, converge para func~ao f, pontualmente em R, exceto nos

pontos da forma

x = kπ , para cada ∈ Z ,

pois a func~ao f n~ao e contnua, somente, neste pontos de R, ou seja,

f(x) =π

2+

∞∑n=0

2

2n+ 1sen[(2n+ 1) x)] , (8.296)

para cada x ∈ R com x = kπ, para cada k ∈ Z.


Notemos que, do Teorema (8.5.1), em x = 0 teremos:

π

2

(8.293)=

f(0+) + f(0−)

2

(8.265) e (8.295)=

π

2+

∞∑n=0

2

2n+ 1sen[(2n+ 1) · 0]︸︷︷︸=0 , para todo n∈N

=π

2.

Notemos que, do Teorema (8.5.1), em x = π teremos:

π

2

(8.293)=

f (π+) + f (π−)

2

(8.265) e (8.295)=

π

2+

∞∑n=0

2

2n+ 1sen[(2n+ 1)π]︸︷︷︸=0 , para todo n∈N

=π

2.

Notemos que, do Teorema (8.5.1), em x = −π teremos:

π

2

(8.293)=

f (−π+) + f (−π−)

2

(8.265) e (8.295)=

π

2+

∞∑n=0

2

2n+ 1sen[(2n+ 1) (−π)]︸︷︷︸

=0 , para todo n∈N

=π

2.

Como a func~ao f e contnua em x =π

2, pelo do Teorema (8.5.1) e do item 3. da

Observac~ao (8.5.3), temos que a serie de Fourier associada a func~ao f sera convergente

para f(π2

), isto e,

π(8.293)= f

(π2

)(8.265) e (8.295)

=π

2+

∞∑n=0

2

2n+ 1sen[(2n+ 1)

π

2)]

︸︷︷︸=(−1)n , para todo n∈N

=π

2+

∞∑n=0

2

2n+ 1(−1)n

=π

2+

∞∑n=0

2 (−1)n

2n+ 1,

ou seja, ∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1=π

4.


8.6 Convergencia Uniforme da Serie de Fourier

O objetivo desta sec~ao e apresentar um resultado que garanta a convergencia uniforme da

serie de Fourier associada a uma func~ao periodica "bem comportada".

Para a demonstrac~ao desse resultado precisaremos de alguns outros, entre eles da:

Proposicao 8.6.1 Consideremos f ∈ SCper(2 L) que seja uma func~ao diferenciavel em

[−L , L], exceto em um numero nito de pontos, e de modo que f ′ ∈ SCper(2 L).Ent~ao os coecientes de Fourier, na forma complexa, da func~ao f e da func~ao f ′,

se relacionam da seguinte forma:

f ′(n) =i nπ

Lf (n) , para cada n ∈ Z, (8.297)

ou seja, se

S[f](x) =

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx (8.298)

ent~ao

S [f ′] (x) =

∞∑n=−∞

i nπ

Lf (n) ei

nπLx . (8.299)

Em relac~ao aos coecientes de Fourier, na forma real, associados a func~ao f, tere-

mos que:

ao′ = 0 ,

an′ =

nπ

Lbn ,

bn′ = −

nπ

Lan , para cada n ∈ N, ; (8.300)

onde

S[f] =ao

2ψo +

∞∑n=1

anψn + bnϕn

S[f ′] =ao

′

2ψo +

∞∑n=1

an′ψn + bn

′ϕn ,

com, para cada m ∈ 0 ∪ N e n ∈ N, as func~oes ψm e ϕn, dadas por (8.136) e (8.135),

respectivamente.

Demonstracao:

Observemos que se a identidade (8.297) ocorrer, ent~ao as identidades em (8.300), tambem

ocorrer~ao.

8.6. CONVERGENCIA UNIFORME DA SERIE DE FOURIER 399

De fato, pois:

ao′ (8.182)= 2 f ′ (0)

(8.297) com n=0)= 2

(0 · f (0)

)= 0 ,

an′ − i bn

′

2

(8.183)= f ′ (n)

(8.297)=

i nπ

Lf (n)

(8.183)=

i nπ

L

(an − i bn

2

)

=

nπ

Lbn + i

nπ

Lan

2, para cada n ∈ N ,

ou seja,

an′ =

nπ

Lbn e bn

′ = −nπ

Lan , para cada n ∈ N,

isto e, vale as identidades em (8.300).

Mostremos que a identidade (8.297) ocorre.

Para isto notemos que, para cada n ∈ Z, teremos, por integrac~ao por partes para a integral

denida, que:

f ′ (n)(8.286)=

1

2 L

∫L−L

f ′(x) e−inπLx dx⟨

u.= e−i

nπLx , logo: du = −inπ

Le−i

nπLx dx

dv.= f ′(x)dx , logo: v = f(x)

⟩

=1

2 L

f(x) e−inπLx

∣∣∣∣x=Lx=−L︸︷︷︸

f(·) e e−i n π

L·s~ao 2 L-periodicas= 0

−

∫L−L

f(x)(−inπ

Le−i

nπLx)dx

= i

nπ

L

[1

2 L

∫L−L

f(x) e−inπLx)dx

](8.286)= i

nπ

Lf (n) ,


Observacao 8.6.1

1. Observemos que a identidade (8.297), nos diz que quanto mais derivadas a func~ao

f tiver, mais rapido a sequencia dos coecientes de Fourier decai a zerom quando


n, tende a +∞ (ou quando n, tende a ±∞ para os coecientes complexos de

Fourier associados A func~ao f).

Para ver isto, observemos que se a func~ao f : R → R for uma func~ao 2 L-periodica

que e duas vezes diferenciavel, exceto em um numero nito de pontos do intervalo

[−L , L], e f ′′ ∈ SCper(2 L) ent~ao, para cada n ∈ Z, teremos:

f ′′ (n) = (f ′) ′ (n)

(8.297)=

i nπ

Lf ′ (n)

(8.297)=

(i nπ)2

L2f (n) . (8.301)

Em geral, para k ∈ N xado, se a func~ao f : R → R for uma func~ao 2 L-periodica

e k-vezes diferenciavel e f(k) ∈ SCper(2 L), podemos mostrar, por induc~ao, que que

f(k) (n) =

(i nπ

L

)kf (n) , para cada n ∈ Z .


2. Observemos que se f, f ′ ∈ Cper(2 L) e f ′′ existe, exceto em um numero nito de

pontos de [−L , L], e satisfas f ′′ ∈ SCper(2 L) ent~ao, podemos armar que a serie de

Fourier associada a func~ao f, converge uniformemente para a func~ao f, em R.

De fato, do Lema de Riemann-Lebesgue (isto e, do Corolario (8.4.2)) aplicado a

func~ao f ′′, segue que

lim|n|→∞ f ′′ (n) = 0 .

Logo, da Proposic~ao (3.3.2), segue que a sequencia numerica(f ′′ (n)

)n∈Z

sera

limitada, ou seja, exite M > 0 tal que∣∣∣f ′′ (n)∣∣∣ ≤M, para cada n ∈ Z . (8.302)

Mas, para cada n ∈ Z, com n = 0, temos que:∣∣∣f (n) ei nπLx∣∣∣ = ∣∣∣f (n)∣∣∣ ∣∣ei nπ

Lx∣∣︸︷︷︸

=1

(8.301)=

∣∣∣∣∣(

L

inπ

)2f ′′ (n)

∣∣∣∣∣=

L2

π2 n2

∣∣∣f ′′ (n)∣∣∣

(8.302)

≤ ML2

π21

n2, para todo x ∈ R . (8.303)



1

n2e convergente (e uma p-serie, com p > 1 - veja

(4.203)) segue, de (8.303) e do Teste M.de Weierstrass (isto e, do Teorema (6.3.1)),

que a serie de func~oes ∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx

(a serie de Fourier, na forma complexa, associada a func~ao f) sera uniformemente

convergente, em R para alguma func~ao g : R → R.

Notemos que, do Teorema (8.281), segue que a serie de Fourier associada a func~ao

f converge pontualmente para afunc~ao f, em R, pois a func~ao f e contnua em R.

Portanto, das duas conclus~oes acima segue que

f(x) =

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx , (8.304)

para x ∈ R, onde a convergencia da serie de func~oes (8.304), sera a uniforme em

R, isto e,N∑

n=−N

f (n) einπLx N→∞−→ f(x) , unifomemente em R. (8.305)

Na verdade temos um resultado um pouco mais geral, a saber:

Teorema 8.6.1 Consideremos f ∈ Cper(2 L) que seja uma func~ao diferenciavel em [−L , L],

exceto em um numero nito de pontos deste intervalo, e satisfazendo f ′ ∈ SCper(2 L).Ent~ao a serie de Fourier associada a func~ao f, converge uniformemente para a

func~ao f, em R, isto e,

limN→∞

[ao

2+

N∑n=1


(nπLx)]

= f(x) , uniformemente em R , (8.306)

onde, para cada m ∈ 0 ∪ N e k ∈ N, temos que:

am.=1

L

∫ L−L

f(x) cos(mπLx)dx , e bk

.=1

L

∫L−L

f(x) sen

(kπ

Lx

)dx , (8.307)

ou

limN→∞

N∑n=−N

f (n) einπLx = f(x) , uniformemente em R , (8.308)

onde, para cada n ∈ Z, temos que:

f (n).=1

2 L

∫L−L

f(x) e−inπLx dx . (8.309)

Demonstracao:

Faremos a demonstrac~ao de (8.308).


A demonstrac~ao de (8.306) e consequencia da demonstrac~ao de (8.308) e seus detalhes

ser~ao deixados como exerccio para o leitor.

Notemos que, para cada N ∈ N, temos:

N∑n=−N

∣∣∣f (n)∣∣∣ = ∣∣∣f (0)∣∣∣+ ∑1≤|n|≤N

∣∣∣f (n)∣∣∣(8.297)=

∣∣∣f (0)∣∣∣+ ∑1≤|n|≤N

∣∣∣∣ Linπ f ′ (n)

∣∣∣∣|i|=1=∣∣∣f (0)∣∣∣+ L

π

∑1≤|n|≤N

1

|n|

∣∣∣f ′ (n)∣∣∣

(8.106)

≤∣∣∣f (0)∣∣∣+ L

π

∑1≤|n|≤N

1

|n|2

12 ∑1≤|n|≤N

∣∣∣f ′ (n)∣∣∣2 1

2

≤∣∣∣f (0)∣∣∣+ L

π

∑1≤|n|≤N

1

|n|2

12 ( ∞∑

n=−∞∣∣∣f ′ (n)

∣∣∣2) 12

f ′∈SCper(2 L) e Corolario (8.4.1) - veja (8.222)

≤∣∣∣f (0)∣∣∣+ L

π

∑1≤|n|≤N

1

|n|2

12

1

2 L∥f ′∥

≤∣∣∣f (0)∣∣∣+ √

L√2π

(2

∞∑n=1

1

n2

) 12

∥f ′∥

=∣∣∣f (0)∣∣∣+ √

L

π

( ∞∑n=1

1

n2

) 12

∥f ′∥ . (8.310)

Como f ′ ∈ SCper(2 L) segue

∥f ′∥ =

(∫L−L

f(x)dx

) 12

<∞ . (8.311)

Logo, de (8.310) e (8.311) segue que a sequencia das somas parciais(N∑

n=−N

∣∣∣f (n)∣∣∣)N∈N

e limitada.

Como ela tambem e monotona, do Teorema (3.4.1), segue que sera convergente, ou seja,

existe ∞∑n=−∞

∣∣∣f (n)∣∣∣ = limN→∞

N∑n=−N

∣∣∣f (n)∣∣∣ .


Como a serie numerica∞∑

n=−∞∣∣∣f (n)∣∣∣ e convergente segue, do Teste M.de Weierstrass (isto

e, do Teorema (6.3.1), que a serie de func~oes

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx

(a serie de Fourier, na forma complexa, associada a func~ao f) sera uniformemente convergente

para uma func~ao g : R → R, em R.Notemos que, do Teorema (8.281), temos que a serie de Fourier associada a func~ao f,

converge para a func~ao f, pontualmente em R, pois a func~ao f e contnua em R.Portanto, das conclus~oes acima, segue que

f(x) =

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx, (8.312)

para x ∈ R, onde a convergencia da serie de func~oes (8.312), sera a uniforme em R, isto e,

N∑n=−N

f (n) einπLx N→∞−→ f(x) , unifomemente em R, ,

completando a demonstrac~ao.

Nas condic~oes do Teorema (8.6.1), podemos mostrar que a desigualdade de Bessel, isot e,

(8.4.1) e, na verdade, uma igualdade, isto e:

Teorema 8.6.2 Consideremos f , g ∈ Cper(2 L) daus func~oes que s~ao diferenciaveis em

[−L , L], exceto em um numero nito de pontos deste intevalo, satisfazenod f ′ , g ′ ∈SCper(2 L).

Ent~ao

1

2 L⟨f , g⟩ =

∞∑n=−∞ f (n) g (n) . (8.313)

Em particular

1

2 L∥f∥2 =

∞∑n=−∞

∣∣∣f (n)∣∣∣2 , (8.314)

que e conhecida como a Identidade de Parseval.

Demonstracao:

Notemos que, do Teorema (8.6.1), segue que sa series de Fourier associadas as func~oes f

e g, convergem uniformemente para a func~ao f e g, em R, respectivamente.



f(x) =

∞∑n=−∞ f (n) e

i nπLx (8.315)

e

g(x) =

∞∑n=−∞ g (n) ei

nπLx , (8.316)

para x ∈ R.Logo, do item 2. do Corolario (6.3.1), segue que:

1

2 L⟨f , g⟩ (8.100)

=1

2 L

∫L−L

f(x)g(x)dx

(8.315)=

1

2 L

∫ L−L

[ ∞∑n−∞ f (n) e

i nπLx

]g(x)dx

convergencia uniforme de (8.315) e o item 2. do Corolario (6.3.1))=

1

2 L

∞∑n−∞

[∫L−L

f (n) einπLx g(x)dx

]

=

∞∑n−∞ f(n)

1

2L

∫L−L

einπLxg(x)dx

∞∑n−∞ f (n)

[1

2 L

∫L−L

g(x) e−inπLx dx

]

=

∞∑n−∞ f (n)

[1

2 L

∫L−L

g(x) e−inπLx dx

](8.309) com f

.=g

=

∞∑n−∞ f (n) g (n) ,


Para obtermos a identidade (8.314), basta considerarmos g.= f em (8.313) e obteremos a

mesma, completando a demonstrac~ao do resultado.

Observacao 8.6.2

1. O Teorema (8.6.2) pode ser generalizado para situac~oes mais gerais, como por

exemplo, se f , g ∈ SCper(2 L), ou ate f ∈ L2([−L , L] ; R), o conjunto formado pelas

func~oes denidas em [−L , L], a valores reais (ou complexos) que tenham quadrado

Lebesgue-integravel em [−L , L].

2. Em termos dos coecientes de Fourier, na forma real, associados a uam func~ao f

que satisfaca as hipotese do Teorema (8.6.2), as relac~oes (8.313) e (8.314) tornar-


se-~ao:

1

L⟨f , g⟩ = aoAo

2+

∞∑n=1

(anAn + bn Bn) (8.317)

e1

L∥f∥2 = ao

2

2+

∞∑n=1

(an2 + bn

2), (8.318)

onde

S[f] =ao

2ψo +

∞∑n=1

anψn + bnϕn

e S[g] =Ao

2ψo +

∞∑n=1

Anψn + Bnϕn ,

onde, para cada m ∈ 0∪N e k ∈ N, as func~oes ψm e ϕk, s~ao dadas por (8.136) e

(8.135), respectivamente.

Para mostrar isso basta notar que, para:

n = 0 : f (0) g (0)(8.182)=

ao

2

Ao

2Ao∈R=

aoAo

4; (8.319)

n ∈ N : f (n) g (n)(8.183)=

an − i bn2

An − i Bn2

An ,Bn∈R=an − i bn

2

An + i Bn2

=1

4[anAn + bn Bn + i (an Bn − bnAn)] ; (8.320)

n ∈ N : f (−n) g (−n)(8.184)=

an + i bn2

An + i Bn2

An,Bn∈R=an + i bn

2

An − i Bn2

=1

4[anAn + bn Bn + i (−an Bn + bnAn)] . (8.321)

Logo

1

L⟨f , g⟩ (8.313)

= 2

∞∑n=−∞ f (n) g (n)

= 2 limN→∞

N∑n=−N

f (n) g (n)

= 2 limN→∞

[f (0)g (0) +

N∑n=1

f (−n)g (−n) +

N∑n=1

f (n) g (n)

]


(8.319) ,(8.320) e (8.321)= 2 lim

N→∞aoAo

4+

N∑n=1

1

4[anAn + bn Bn + i (−an Bn + bnAn)]

+

N∑n=1

1

4[anAn + bn Bn + i (an Bn − bnAn)]

=aoAo

2+ limN→∞

N∑n=1

(anAn + bn Bn)

=aoAo

2+

∞∑n=1

(anAn + bn Bn) ,


3. No caso real, a indentidade de Parseval, tornar-se-a:

1

L∥f∥2 = ao

2

2+

∞∑n=1

(an2 + bn

2). (8.322)

4. A identidade de Parseval pode ser muito util, tanto na forma complexa, isto e,

(8.314), como na forma real, o seja, (8.322), para, por exemplo, encontrarmos a

soma de certas series numericas que sabemos s~ao convergentes, como veremos em

alguns exemplos a seguir.

Apliquemos as ideias acima aos seguintes exemplos:

Exemplo 8.6.1 Consideremos a func~ao f : R → R, dada por e

f(x).=

−x , para cada x ∈ [−1 , 0)

x , para cada x ∈ [0 , 1), (8.323)

satisfazendo

f(x+ 2) = f(x) , para cada x ∈ R .

Estudar a convergencia da serie de Fourier associada a func~ao f.

Resolucao:

Vimos no Exemplo (8.5.1), que

f(x)(8.291)=

1

2−4

π2

∞∑n=0

1

(2n+ 1)2cos[(2n+ 1)πx)] , para cada x ∈ R ,

onde a conververgencia da serie de func~oes acima e pontual em R.Em particular, para cada n ∈ N, vimos que

bn(8.168)= 0 ,

ao(8.166)= 1 ,

a2 n(8.167)= 0 ,

a2 n+1(8.167)=

−4

(2n+ 1)2 π2. (8.324)


Como f ∈ Cper(2π) e f ′ ∈ SCper(2π) segue, do Teorema (8.6.1), que a convergencia da

serie de Fourier associada a func~ao f, sera uniforme em R.Logo, da identidade de Parseval, para o caso real, (isto e, do item 2. da Observac~ao

(8.6.2)), segue que (com L = 1):

12

2+

∞∑n=1

[−4

(2n+ 1)2 π2

]2(8.324)=

ao2

2+

∞∑n=1

(an2 + bn

2)

(8.318)= ∥f∥2∫ 1

−1

f(x)2 dx

f e func~ao par= 2

∫ 1−1

f(x)2 dx

(8.323)= 2

∫ 10

x2 dx

= 2

[x3

3

∣∣∣∣x=1x=0

]=2

3,

ou seja,

∞∑n=1

1

(2n+ 1)4=π4

96.

Exemplo 8.6.2 Consideremos a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= sen(10 x) + 5 cos(5 x) − 2 sen(20 x) − 4 cos(11 x) , (8.325)

para cada x ∈ [−π , π), e satisfazendo

f(x+ 2π) = f(x) , para cada x ∈ R .

Estudar a serie de Fourier associada a func~ao f.

Resolucao:

Observemos que, neste caso,

L = π .

Notemos que cada func~oes que s~ao as parcelas da func~ao f tem 2 π como um de seus

perodos.


Com isto segue que

f(x) = sen(10 x) + 5 cos(5 x) − 2 sen(20 x) − 4 cos(11 x) , para cada x ∈ R .


Logo teremos f ∈ C∞per(2π) e, do Teorema (8.6.1), segue que a serie de Fourier associada

a func~ao f ira convergir uniformemente para a func~ao f em R, isto e,

sen(10 x) + 5 cos(5 x) − 2 sen(20 x) − 4 cos(11 x)(8.325)= f(x)

(8.306) com L=π=

ao

2+

∞∑n=1

an cos(nx) + bn sen(nx) , (8.326)

para x ∈ R, onde a convergencia da serie de func~oes acima e uniformemente em R.Comparando, na identidade (8.326), o lado direito como o lado esquerdo, observamos que:

bn = 0 para n = 10 , 20 ,b10 = 1 , b20 = −2 ,

an = 0 , para n = 5 , 11 ,a5 = 5 , para a11 = −4 ,

isto e, S[f](x) = sen(10 x) + 5 cos(5 x) − 2 sen(20 x) − 4 cos(11 x) , , para cada x ∈ R ,

ou seja, e a expresss~ao da func~ao f e a expans~ao da func~ao f em serie de Fourier, em [−π , π].

Temos o seguinte exerccio resolvido:

Exercıcio 8.6.1 Consideremos a func~ao f : R → R, dada por

f(x).= x , para cada x ∈ [−π , π) , (8.327)

satisfazendo

f(x+ 2 π) = f(x) , para cada x ∈ R .

Estude a serie de Fourier associada a func~ao f.

Resolucao:

Notemos que, neste caso,

L = π .

A representac~ao geometrica do graco da func~ao f, no perodo fundamental, e dado pela

gura abaixo.

-

6

iπ

π x

y

y = x

−π

π


Notemos que f ∈ SCper(2π) e a func~ao f ′ e seccionalmente contnua em qualquer intervalo

[a , b] ⊆ R.Observemos que

f ′(x) = 1 , para cada x ∈ (−π , π) .

Logo, teremos que f ′ ∈ SCper(2π) e assim, do Teorema (8.5.1), segue que a serie de Fourier

associada a func~ao f, converge pontualemnte, para

f(x+) + f(x−)

2,

para cada x ∈ R.Notemos que a func~ao f e uma func~ao mpar em (−π , π).

Logo, do item 4. da Observac~ao (8.3.8) (veja (8.163)), segue que

an = 0 , para cada n =∈ 0 ∪ N . (8.328)

Por outro lado, para cada n ∈ N, teremos:

bn(8.156) com L=π

=1

π

∫π−π

f(x) sen (nx) dx

f e func~ao mpar=

2

π

∫π0

x sen(nx)dx⟨u = x , logo du = dx

dv = sen(nx) , logo v = −cos(nx)

n

⟩

=2

π

[−x

cos(nx)

n

∣∣∣∣x=πx=0

−

∫π0

−cos(nx)

ndx

]

=2

π

−π=(−1)n para cada n∈N︷︸︸︷

cos(nπ)

n+

=0 para todo n∈N︷︸︸︷sen(nx)

n2

∣∣∣∣x=πx=0

= (−1)n+1

2

n. (8.329)

Portanto, substituindo (8.329) em (8.328), obteremos:

f (x+) + f (x−)

2=

∞∑n=1

(−1)n+1 2

nsen(nx) , para cada x ∈ R .

Observemos que se

xo = kπ , para cada k ∈ Z ,

ent~ao a func~ao f sera contnua em xo.


Logo, nesses pontos, a serie de Fourier associada a func~ao f, no ponto xo, convergira para

a f(xo), isto e

f(xo) =

∞∑n=1

(−1)n+1 2

nsen(nxo) .

8.7 Notas Historicas

A seguir vamos fornecer um breve relato do desenvolvimento da teria associada as series de

Fourier.

1. d'Almbert (1747) e Euler (1748) encontraram soluc~ao geral para a equac~ao da onda em

R2:∂2 u

∂t2(t , x) −

∂2 u

∂x2(t , x) = 0 , para cada (t , x) ∈ R2 , (8.330)

dada por:

u(t , x).= F(x+ t) +G(x− t) , para cada (t , x) ∈ R2 , (8.331)

onde F ,G ∈ C2(R ; R).

2. D.Bernoulli (1753) armou que a equac~ao da onda (8.330), deveria ter soluc~ao da forma

(caso L.= π) :

u(t , x).=

∞∑n=1

an sen(nx) cos(n t) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , π] . (8.332)

3. Lagrange (1759) armou que a equac~ao da onda em [0 , 1] (caso L.= 1), com dado inicial

dado pela func~ao f, e velocidade inicial dada pela func~ao g, deveria ser dada por:

u(t , x) = 2

∫ 10

∞∑n=1

[sen(nπy) sen(nπx) cos(nπ t)

]f(y)dy

+ 2

∫ 10

∞∑n=1

[1

nsen(nπy) sen(nπx) sen(nπ t)

]g(y)dy , (8.333)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , 1].

Ovservacao:

8.7. NOTAS HIST ORICAS 411

Se zermos t = 0 em (8.333) e trocarmos a integral com a serie de func~oes (precisaramos

garantir que podemos fazer isso), obteremos:

f(x) = u(0 , x)t=0 em (8.333)

= 2 ,

∫ 10

∞∑n=1

sen(nπy) sen(nπx)

=1 , para todo n∈N︷︸︸︷cos(nπ0)

f(y)dy+ 2

∫ 10

∞∑n=1

1n

sen(nπy) sen(nπx) sen(nπ0)︸︷︷︸=0 , para todo n∈N

g(y)dy= 2

∫ 10

∞∑n=1

[sen(nπy) sen(nπx

]f(y)dy

∫ 10

∞∑n=1

=

∞∑n=1

∫ 10

= 2

∞∑n=1

∫ 10

sen(nπy) f(y)dy︸︷︷︸n-esimo coeciente de Fourier

sen(nπx) ,

para cada x ∈ [0 , 1].

4. Fourier (1811) obteve os coecientes de Fourier associado a algumas func~oes e escreveu

as series de senos e cossenos de varias func~oes.

Segundo consta, ele dizia que qualquer func~ao periodica poderia ser expressa por uma

tal serie.

Mais tarde foi mostrado que isso, em geral, nao e verdade !

5. Dirichlet (1829 e 1837) foi um dos primeiros a reconhecer que nem toda func~ao periodica

poderia ser representada por uma serie de Fourier.

Produziu os primeiros criterios de convergencia das series de Fourier.

6. Riemann (seculo XIX) propos econtrar condic~oes necessarias e sucientes para que uma

func~ao pudesse ser representada por uma serie de Fourier.

Como estas quest~oes estavam ligadas a integrac~ao de func~oes, neste instante, comeca o

desenvolvimento mais profundo da teoria de integrac~ao de Riemann.

7. de Bois e Reymond (1876) construiram uma func~ao contnua, cuja serie de Fourier

divergia em um ponto.

Mais tarde, construiram uma outra para o qual a serie de Fourier divergia num conjunto

denso de R.

Fejer (1909) exibiu exemplos, relacionados o problema acima, mais simples.

8. Dini (1880) obteve criterios para a convergencia da serie de Fourier, conhecio como

teste ou criterio de Dini.


9. Jordan (1881) demostrou outro criterio de convergencia da serie de Fourier, denominado

teste ou criterio de Jordan.

Observacao: Todos estes trabalhos, e muitos outros, conduziram a uma melhor com-

preens~ao das func~oes descontnuas e propiciaram os trabalhos de Harnack, Hankel, Borel

e Lebesgue, culminando com a introduc~ao de um novo conceito de integrac~ao, a saber,

a integral de Lebesgue.

Assim comeca a teoria moderna das series de Fourier.

10. Riesz e Fischer (1907) mostraram a convergencia da seire de Fourier na norma ∥ · ∥2,para func~oes, cujo modulo, ao quadrado, s~ao Lebesgue-integraveis em [0 , L].

11. Carleson (1966) mostrou que para uma func~ao, cujo modulo ao quadrado e Lebesgue-

integravel em [0 , L], a serie de Fourier associadada a mesma converge, exceto num

conjunto de medida de Lebesgue zero, para a propria func~ao.

8.8 Exercıcios

Capıtulo 9

Aplicacao de Serie de Fourier as EDP’s

Faremos uso da teoria das series de Fourier desenvolvida no captulo anterior, para resolver

alguns problemas aplicados relacionados com algumas EDP's importantes.

Na verdade trataremos de alguns problemas fsicos que envolvem EDP's (Equac~oes Dife-

renciais Parciais).

9.1 O Problema da Conducao do Calor em um Fio

O objetivo e encontrar a temperatura em cada ponto de um o nito, cujo comprimento e

igual

L ∈ (0 ,∞) ,

os quais conhecemos a temperatura em cada ponto do mesmo no instante inicial t = 0, sendo

o que o o esta isolado termicamente (imagine que o o esta dentro de um isopor) e cujas

extremidades s~ao mantidas a 0oC, ao longo de todo o processo.

Se imaginarmos que o o e o intervalo

[0 , L] ⊆ R

e que u = u(t , x), nos fornece a temperatura no ponto x do o, no instante t, para cada

x ∈ [0 , L] e t ∈ [0 ,∞), ent~ao, matematicamente, o problema acima corresponde a encontrar

uma func~ao

u = u(t , x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] ,

que satisfaz:

Matematicamente, o problema acima corresponde a encontrar um func~ao

u = u(t, x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] ,

que venha satisfazer o seguinte problema:

∂u

∂t(t , x) = α2

∂2 u

∂x2(t , x) , para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) (9.1)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] , (9.2)

u(t , 0) = u(t , L) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) . (9.3)

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , L) ; R) . (9.4)

413

414 CAPITULO 9. APLICAC ~AO DE SERIE DE FOURIER AS EDP'S

A condic~ao (9.1) nos diz que, no instante inicial, isto e, t = 0, a temperatura no ponto

x ∈ [0 , L] do o e igual a f(x) oC.

A condic~ao (9.2) nos diz que a temperatura nos extremos do o igual a 0 oC, ao longo de

todo o processo, isto e, para t ∈ [0 ,∞).

A Equac~ao Diferencial Parcial (9.1) e denominada Equacao do Calor.

A constante α ∈ (0 ,∞) esta relacionada com a condutibilidade termica do o, isto e,

depende do material que o o e feito.


α = 1 ,

para facilitarmos as contas que iremos tratar.

Aplicando o metodo da separac~ao de variaveis desenvolvido no incio do Captulo anterior

(veja (8.10)) obtemos que a func~ao u = u(t , x), devera ter a seguinte forma (veja (8.43)):

u(t , x) =

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx), (9.5)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L].

Fazendo t = 0 em (9.5) e utilizando (9.2), obteremos:

f(x)(9.2)= u(0 , x)

(9.5) com t=0=

∞∑n=1


para cada x ∈ [0 , L], isto e, precisamos saber expandir a func~ao f (o dado inicial) em uma

serie de Fourier (em senos), em [0 , L].

Observemos que o lado direito de (9.6) (ou seja, a serie de Fourier), caso seja convergente,

denira uma func~ao mpar e 2 L-periodica.

Logo, precisamos estender a func~ao f, de modo mpar e 2 L-periodicamente, a R.Notemos que para estender, de modo mpar, a func~ao f ao intervalo [−L , L], basta consi-

derarmos a func~ao, que denotaremos por, F : [−L , L] → R, dada por:

F(x).=

f(x) , para cada x ∈ [0 , L]

−f(−x) , para cada x ∈ [−L , 0]. (9.7)

Notemos que (condic~oes de compatibilidade):

f(0)x=0 em (9.2)

= u(0 , 0)

t=0 em (9.3)= 0

t=0 em (9.3)= u(0 , L)

x=L em (9.2)= f(L) ,

ou seja,

f(0) = f(L) = 0 . (9.8)

9.1. O PROBLEMA DA CONDUC ~AO DO CALOR EM UM FIO 415

Logo como a func~ao f e contnua em [0 , L] e satisfaz (9.8), temos que a extens~ao mpar

da mesma ao intervalo [−L , L], isto e, a func~ao F, dada por (9.7), sera uma func~ao contnua

em [−L , L].A esquerda, na gura abaixo, temos ilustrado a representac~ao geometrica do graco da

func~ao f, e a direitatemos ilustrado a representac~ao geometrica do graco da func~ao F.

-

6

−L L

y = f(x)

?

x

y

-

6

L?

y = F(x)

x

y

−L

Notemos que

F(−L)(9.7)= −f[−(−L)]

= −f(L)

(9.7)= F(L) .

Logo

F(−L) = F(L)

(9.7)= f(L)

(9.8)= 0 ,

ou seja,

F(−L) = F(L) = 0 . (9.9)

Portanto, de (9.9), podemos considerar uma extens~ao (na verdade, sera unica) 2 L−periodica

da func~ao F a R, que indicaremos tambem por F, ou seja, F : R → R, sera dada por

F(x) = F(x+ 2 k L) , (9.10)

onde k ∈ Z e escolhido de modo que

x+ 2 k L ∈ [−L , L] . (9.11)

Como f ∈ C([0 , L] ; R) e satisfaz (9.8), ent~ao teremos que sua extens~ao mpar e 2 L-

periodica a R, isto e, a func~ao F, denida por (9.7) e (9.10), satisfaz F ∈ Cper(2 L ; R) e serauma func~ao mpar.



Logo a serie de Fourier associada a func~ao F (e portanto da func~ao f) tera a seguinte

forma:

S[f](x) =ao

2+

∞∑n=1


(nπLx), (9.12)

onde

am = 0 , para cada m ∈ 0 ∪ N ,

pois a func~ao F e uma func~ao mpar (veja o item 4. da Observac~ao (8.3.8), ou ainda, (8.163)

e, para cada n ∈ N, teremos:

bn(8.156)=

1

L

∫L−L

F(x) sen(nπLx)dx

=1

L

∫L−L

e F(x)︸︷︷︸e mpar

sen(nπLx)

︸︷︷︸e mpar︸︷︷︸

sera par

dx

item 4. da Observac~ao (8.3.8), ou ainda, (8.164)=

2

L

∫L0

F(x) sen(nπLx)dx

(9.7)=

2

L

∫L0

f(x) sen(nπLx)dx ,

ou seja,

am = 0 , para cada m ∈ 0 ∪ N , (9.13)

bn =2

L

∫ L0

f(x) sen(nπLx)dx , para cada n ∈ N (9.14)

Logo, substituindo (9.13) em (9.12), segue que a serie de Fourier, associada a func~ao f,

tera a seguinte forma:

S[f](x) =

∞∑n=1


onde, para cada n ∈ N, temos que o coecientes bn sera dado por (9.14).

Portanto, voltando a (9.5), segue que, uma candidata a soluc~ao do problema (9.1), (9.2),

(9.3), (9.4), sera dada por:

u(t , x).=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx), (9.16)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L], onde, para cada n ∈ N, temos que

bn.=2

L

∫L0

f(x) sen(nπLx)dx . (9.17)

Para completar precisamos mostrar que a func~ao u = u(t , x), dada por (9.16), e realmente

soluc~ao do problema (9.1), (9.2), (9.3), (9.4), isto e:


i. a serie de func~oes (9.16) converge, para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] ;

ii. a serie de func~oes (9.16) pode ser derivada, termo a termo, duas vezes em relac~ao a x e

uma vez, relac~ao a t, em (0 ,∞)× (0 , L) ;

iii. a func~ao u = u(t , x), dada por (9.16), satisfaz (9.1), (9.2), (9.3) e (9.4).

Na verdade mostraremos que

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C∞((0 ,∞)× [0 , L] ; R)

e que a serie de func~oes (9.16), pode ser derivada, termo a termo, quantas vezes precisarmos,

tanto em relac~ao a t, quanto em relac~ao a x, em

(0 ,∞)× [0 , L] ,

se f ∈ C([0 , L)] ; ) satisfaz (9.8), e diferenciavel em [0 , L], exceto em um numero nito de

pontos de [0 , L], de modo que f ′ ∈ SC([0 , L] ; R).Notemos que, neste caso, a extens~ao mpar e 2 L-periodica da func~ao f, a R, isto e, func~ao

F, dada por (9.7) e (9.10), ira satisfazer as seguintes condic~oes: F ∈ Cper(2 L) e diferenciavelem R, exceto um numero nito de pontos de [a , b] ⊆ R, e F ′ ∈ SCper(2 L).

Mais especicamente, provaremos o seguinte resultado:

Teorema 9.1.1 Suponhamos que f ∈ C([0 , L)] ; R), satisfaz (9.8), e diferenciavel em

[0 , L], exceto um numero nito de pontos de [0 , L], e f ′ ∈ SC([0 , L] ; R).Ent~ao a serie de func~oes (9.16), converge uniformemente em [0,∞)×[0, L], para uma

func~ao u, de modo que

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C∞((0 ,∞)× [0 , L] ; R) , (9.18)

e e soluc~ao de (9.1), (9.2), (9.3)) onde, para cada n ∈ N, o coeciente bn, sera dado por

(9.17)) , ou seja,

u(t , x).=2

L

∞∑n=1

[∫L0

f(y) sen(nπLy)dy

]e−n2 π2

L2t sen

(nπLx), (9.19)

Demonstracao:

Mostremos, primeiramente que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)) converge uniforme-

mente em [0 ,∞)× [0 , L].

Para isto, observemos que, do Teorema (8.6.1), segue que a serie de Fourier associada a

func~ao f (na verdade, a sua extens~ao mpar e 2L-periodica a R), converge uniformemente

para a funcao f, isto e,

f(x) =

∞∑n=1

bn sen(nπLx), uniformemente em R,

onde, para cada n ∈ N, o coeciente bn e dados por (9.17).


Logo, fazendo t = 0 em (9.16), segue que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)) converge

uniformemente para a func~ao f em R, em particular,

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] ,

ou seja, a func~ao u, dada por (9.16) (ou (9.19)), satisfaz (9.2).

Notemos tambem que, do Lema de Riemann-Lebesgue (isto e, do Corolario (8.4.2)) segue

que

limn→∞bn = 0 .

Em particular, (veja a Proposic~ao (3.3.2)) a sequencia numerica (bn)n∈N sera limitada,

isto e, existe M ∈ R tal que

|bn| ≤M, para cada n ∈ N . (9.20)

Para cada to ∈ (0 ,∞) xado, mostremos que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)), converge

uniformemente em

[to ,∞)× [0 , L] .

Para isso, observemos que para

(t , x) ∈ [to ,∞)× [0 , L]

temos: ∣∣∣∣bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)∣∣∣∣ = |bn|︸︷︷︸

(9.20)

≤ M

e−n2 π2

L2t︸︷︷︸

≤e−n2 π2

L2to

∣∣∣ sen(nπLx)∣∣∣︸︷︷︸

≤1 , para todo x∈R

≤Me−n2 π2

L2to . (9.21)


cn.=Me

−n2 π2

L2to > 0 . (9.22)

Armamos que a serie numerica

∞∑n=1

cn =

∞∑n=1

Me−n2 π2

L2to (9.23)

e convergente em R.De fato, considerando-se a sequencia numerica (dn)n∈N, onde

dn.=1

n2, para cada n ∈ N (9.24)

temos que:

limn→∞

cn

dn

(9.22) e (9.24)= lim

n→∞Me

−n2 π2

L2to

1

n2

=M limn→∞

n2

en2 π2

L2to


Teorema (3.3.2)= M lim

x→∞x2

ex2 π2

L2to

L'Hopital, caso ∞∞= M limx→∞

d

dxx2

d

dxe

x2 π2

L2to

=M limx→∞

2 x

2 xπ2

L2to e

x2 π2

L2to

=ML2

2 π2limx→∞

1

ex2 π2

L2to

= 0 .


1

n2e convergente em R (veja o Exemplo (4.5.12) , ou ainda,

(4.203)) segue, do criterio da raz~ao por limites, para series numericas cujos termos s~ao n~ao

negativos (veja o Teorema (4.5.5)), segue que serie numerica (9.23) e convergente em R.Logo, (9.21), (9.23) e do teste M.de Weierstrass (na verdade da Observac~ao (6.3.3)), segue

que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)), converge uniformemente em

[to ,∞)× [0 , L] ,

para cada to ∈ (0 ,∞) xado.

Notemos que, para cada n ∈ N, a func~ao

(t , x) 7→ bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)

e contnua em [0 ,∞)× [0 , L].

Logo, do item 1. do Corolario (6.3.1) (na verdade, do item 3. da Observac~ao (6.3.2)),

segue que, que

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) . (9.25)

Armamos que

u ∈ C∞((0 ,∞)× [0 , L] ; R)

e que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)), pode ser derivada parcialmente (a qualquer ordem),

em relac~ao a t ou, em relac~ao a x, termo a termo, em

(0 ,∞)× [0 , L] .

Para isto, notemos que para to ∈ (0 ,∞) xado, e para cada n ∈ N, denamos a func~ao

un : [to ,∞)× [0 , L] → R, dada por

un(t , x).= bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx), (9.26)

para cada (t , x) ∈ [to ,∞)× [0 , L].


Com isto temos que, para cada n ∈ N, segue que

un ∈ C∞([to ,∞)× [0 , L] ; R) .

Observemos tambem que:

∂un

∂t(t , x)

(9.26)=

∂

∂t

[bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

= bn

(−n2 π2

L2

)e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)

= −n2 π2

L2bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx), (9.27)

para cada (t , x) ∈ [to ,∞)× [0 , L].

Logo, para cada n ∈ N xado, e (t , x) ∈ [to ,∞)× [0 , L], teremos:∣∣∣∣∂un∂t (t , x)

∣∣∣∣ (9.27)=

∣∣∣∣−n2 π2L2bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)∣∣∣∣

=n2 π2

L2|bn|︸︷︷︸

(9.20)

≤ M

e−n2 π2

L2t︸︷︷︸

≤e−n2 π2

L2to, para todo t∈[to ,∞)

∣∣∣ sen(nπLx)∣∣∣︸︷︷︸


≤M n2 π2

L2e−n2 π2

L2to = sn , (9.28)

onde, para cada n ∈ N, denimos

sn.=M

n2 π2

L2e−n2 π2

L2to . (9.29)

Notemos que

limn→∞

sn

dn

(9.29) e (9.24)= lim

n→∞Mn2 π2

L2e−n2 π2

L2to

1

n2

=M limn→∞

n2n2 π2

L2

en2 π2

L2to

=Mπ2

L2limn→∞

n4

en2 π2

L2to

Teorema (3.3.2)=

Mπ2

L2limx→∞

x4

ex2 π2

L2to

L'Hopital, caso ∞∞ :=

Mπ2

L2limx→∞

d

dxx4

d

dxe

x2 π2

L2to

=Mπ2

L2limx→∞

3 x3

2 xπ2

L2to e

x2 π2

L2to

(9.30)


=3M

2 tolimx→∞

x2

ex2 π2

L2to


3M

2 tolimx→∞

d

dxx2

d

dxe

x2 π2

L2to

=3M

2 tolimx→∞

2 x

2 xπ2

L2to e

x2 π2

L2to

=3ML2

2π2 to2limx→∞

1

ex2 π2

L2to

Exerccio= 0 .


1

n2e convergente (veja o Exemplo (4.5.12) , ou ainda, (4.203))

segue, do criterio da raz~ao por limites, para series numericas cujos termos s~ao n~ao negativos

(veja o Teorema (4.5.5)), que serie numerica

∞∑n=1

sn(9.29)=

∞∑n=1

Mn2 π2

L2e−n2 π2

L2to (9.31)

e convergente em R.Logo, de (9.28), (9.31) e do teste M.de Weierstrass (na verdade da Observac~ao (6.3.3)),

segue que a serie de func~oes

∞∑n=1

∂un

∂t(t , x)

(9.27)=

∞∑n=1

−n2 π2

L2bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)

converge uniformemente em

[to ,∞)× [0 , L] .

Como a serie de func~oes

∞∑n=1

un(t , x) =

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)

converge em cada ponto de [0 ,∞)× [0 , L] segue, do item 3. do Corolario (6.3.1) (na verdade,

do item 3. da Observac~ao (6.3.2)), que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)), pode ser derivada

parcialmente, em relac~ao a t, termo a termo, em [to ,∞)× [0 , L], ou seja:

∂u

∂t(t , x)

(9.16)=

∂

∂t

[ ∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

(6.25)=

∞∑n=1

∂

∂t

[bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

=

∞∑n=1

(−n2 π2

L2

)bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)


= −π2

L2

∞∑n=1

n2 bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx), (9.32)

para cada (t , x) ∈ [to ,∞)× [0 , L].

Em particular, notemos que, (9.32), implicara que a func~ao∂u

∂te contnua em [to ,∞)×

[0 , L], para cada to ∈ (0 ,∞), ou seja,

∂u

∂t∈ C((0 ,∞)× [0 , L] ; R) . (9.33)

De modo semelhante, para cada n ∈ N xado e (t , x) ∈ [to ,∞)× [0 , L], temos [to ,∞)×[0 , L], para cada to ∈ (0 ,∞), temos que

∂un

∂x(t , x)

(9.26)=

∂

∂x

[bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

= bn

(nπL

)e−n2 π2

L2t cos

(nπLx)

=nπ

Lbn e

−n2 π2

L2t cos

(nπLx), (9.34)

assim ∣∣∣∣∂un∂x (t , x)

∣∣∣∣ (9.34)=

∣∣∣∣−nπL bn e−n2 π2

L2t cos

(nπLx)∣∣∣∣

=nπ

L|bn|︸︷︷︸

(9.20)

≤ M

e−n2 π2

L2t︸︷︷︸

≤e−n2 π2

L2to

∣∣∣cos(nπLx)∣∣∣︸︷︷︸


≤ Mπn

Le−n2 π2

L2to = rn , (9.35)

onde, para cada n ∈ N, denimos

rn.=Mπn

Le−n2 π2

L2to . (9.36)

Mas

limn→∞

rn

dn

(9.36) e (9.24)= lim

n→∞Mπn

Le−n2 π2

L2to

1

n2

=Mπ

Llimn→∞

n3

en2 π2

L2to

Teorema (3.3.2)=

Mπ

Llimx→∞

x3

ex2 π2

L2to


Mπ

Llimx→∞

d

dxx3

d

dxe

x2 π2

L2to


=Mπ

Llimx→∞

3 x2

2 xπ2

L2to e

x2 π2

L2to

=3ML

2π tolimx→∞

x

ex2 π2

L2to

L'Hopital, caso ∞∞ := =

3ML

2π tolimx→∞

d

dxx

d

dxe

x2 π2

L2to

=3ML

2π tolimx→∞

1

2 x π2

L2to e

x2 π2

L2to

=3ML3

4π3 to2limx→∞

1

x ex2 π2

L2to

Exerccio= = 0 .


1

n2e convergente segue, do criterio da raz~ao por limites, para

series numericas cujos termos s~ao n~ao negativos (veja o Teorema (4.5.5)), segue que serie

numerica ∞∑n=1

Mnπ

Le−n2π2

L2to

e convergente em R.Logo, do teste M.de Weierstrass (na verdade da Observac~ao (6.3.3)), segue que a serie de

func~oes ∞∑n=1

∂un

∂x(t , x)

(9.34)=

∞∑n=1

nπ

Lbn e

−n2 π2

L2t cos

(nπLx)

converge uniformemente em

[to ,∞)× [0 , L] .

Como a serie de func~oes

∞∑n=1

un(t , x) =

∞∑n=1

bne−n2π2

L2t sen(

nπ

Lx)

converge em [0 ,∞) × [0 , L] segue, do item do Corolario (6.3.1) (na verdade, do item 3. da

Observac~ao (6.3.2)), que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)), pode ser derivada parcial, em

relac~ao a x , termo a termo, em [to ,∞)× [0 , L], ou seja:

∂u

∂x(t , x)

(9.16)=

∂

∂x

[ ∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

(6.25)=

∞∑n=1

∂

∂x

[bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]


=

∞∑n=1

nπ

Lbn e

−n2 π2

L2t cos

(nπLx), (9.37)

para cada (t , x) ∈ (to ,∞)× [0 , L].

Em particular, notemos que, (9.37), implicara que a func~ao∂u

∂xe contnua em [to ,∞)×

[0 , L], para cada to ∈ (0 ,∞), ou seja,

∂u

∂x∈ C((0 ,∞)× [0 , L] ; R) . (9.38)

Logo, de (9.25), (9.33) e (9.38) , segue que

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C1((0 ,∞)× [0 , L] ; R) (9.39)

e que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)), pode ser derivada parcialmente, em relac~ao a t

ou, em relac~ao a x, termo a termo, em

(0 ,∞)× [0 , L] .

De modo analogo mostra-se que

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C∞((0 ,∞)× [0 , L] ; R)

e que a serie de func~oes (9.16) (ou (9.19)), pode ser derivada parcialmente, em relac~ao a t

ou, em relac~ao a x, a qualquer ordem, termo a termo, em

(0 ,∞)× [0 , L] ,

isto e:

∂k+m u

∂tk xm(t , x)

(9.16)=

∂k+m u

∂tk xm

[ ∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

∞∑n=1

∂k+m

∂tk xm

[bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)],

para (t , x) ∈ (0 ,∞)× [0 , L] e k ,m ∈ N.A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor.

Finalmente, para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× [0 , L], temos que:

∂2 u

∂x2(t , x)

(9.16)=

∂2

∂x2

[ ∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

=

∞∑n=1

∂2

∂x2

[bn e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

=

∞∑n=1

∂

∂x2

[bn e

−n2 π2

L2t(nπL

)cos(nπLx)]

=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t(nπL

)2 [− sen

(nπLx)]

= −π2

L2

∞∑n=1

bn n2 e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx). (9.40)


Utilizando-se (9.32) e (9.40), obteremos:

∂u

∂t(t , x) −

∂2 u

∂x2(t , x)

(9.32) e (9.40)= −

π2

L2

∞∑n=1

bn n2 e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)

−

[−π2

L2

∞∑n=1

bn n2 e

−n2 π2

L2t sen

(nπLx)]

= 0 ,

para cada (t , x) ∈ (0 ,∞) × [0 , L], isto e, a func~ao u : [0 ,∞) × [0 , L] → R, dada por (9.16)

(ou (9.19)), satisfaz a EDP (9.1), em (0 ,∞)× [0 , L].

Alem disso, para cada t ∈ [0 ,∞), temos:

u(t , 0)(9.16)) com x=0

=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπL0)

︸︷︷︸=0

= 0

=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLL)

︸︷︷︸=0

(9.16)) com x=L= u(t, L) ,

isto e, a func~ao u = u(t , x), dada por (9.16) (ou (9.19)), satisfaz a condic~ao (9.3)).

Conclusao: A func~ao u : [0 ,∞)× [0 , L] → R, dada por

u(t , x).=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx), para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] (9.41)

e uma soluc~ao do problema (9.1), (9.2), (9.3) e, alem disso,

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C∞((0 ,∞)× [0 , L] ; R) ,

onde os coecientes

bn , para cada n ∈ N ,

s~ao os coecientes de Fourier da expans~ao mpar e 2 L-periodica da func~ao f a R.

Observacao 9.1.1

1. Pode-se mostrar que a soluc~ao, dada por (9.41), e a unica soluc~ao do problema

na classe (9.4).

2. De modo semelhante podemos tratar do problema de encontrar a temperatura em

cada ponto de um o nito, de comprimento

L ∈ (0 ,∞) ,


os quais conhecemos a temperatura em cada ponto do mesmo, no instante inicial,

isto e, quando t = 0, supondo que as extremidades do mesmo n~ao trocam calor

com o meio ambiente, ao longo de todo o processo.

Se imaginarmos que o o e o intervalo [0 , L] ⊆ R e que a func~ao u = u(t , x) nos

fornece a temperatura no ponto x do o, no instante t ∈ (0 ,∞) ent~ao, matemati-

camente, o problema acima corresponde a encontrar uma func~ao u = u(t , x), para

(t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L], que satisfaca:

∂u

∂t(t , x) = α2

∂2u

∂x2(t, x) , para cada (t x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L) , (9.42)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] , (9.43)

∂u

∂x(t , 0) =

∂u

∂x(t , L) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) , (9.44)

u ∈ C1([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , L) ; R) . (9.45)

A condic~ao (9.43) nos diz que a temperatura no ponto x ∈ [0 , L] do o e igual a

f(x)oC.

A condic~ao (9.44) nos diz que os extremos n~ao trocam calor com o meio ambiente.



α = 1 ,

para facilitarmos as contas.

Aplicando o metodo da separac~ao de variaveis (como zemos no item 2. da Ob-

servac~ao (8.2.2) - veja (8.76)), podemos mostrar que uma candidata a soluc~ao do

problema acima e a func~ao u : [0 ,∞)× [0 , L] → R, dada por

u(t , x).=ao

2+

∞∑n=1

an e−n2 π2

L2t cos

(nπLx)

(9.46)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L], onde

an , para cada n ∈ 0 ∪ N

s~ao os coecientes da extens~ao par, 2 L-periodica da func~ao f a R.

Neste caso, para cada n ∈ 0 ∪ N, teremos (veja o item 2 da Observac~ao (8.3.8),

ou ainda, (8.161)):

an =2

L

∫ L0

f(x) cos(nπLx)dx . (9.47)

Com isto podemos provar o seguinte resultado, cuja demosntrac~ao e analoga ao

caso tratado acima e sera deixada como exerccio para o leitor.


Teorema 9.1.2 Suponhamos que f ∈ C([0 , L)] ; R) e uma func~ao diferenciavel, exceto

um numero nito de pontos [0 , L], e alem disso f ′ ∈ SC([0 , L] ; R).Ent~ao a serie de func~oes (9.46) converge uniformemente em

[0 ,∞)× [0 , L]

para uma func~ao

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C∞((0 ,∞)× [0 , L] ; R)

que e soluc~ao de (9.42), (9.43), (9.44), onde os coecientes

an , para cada n ∈ 0 ∪ N ,

s~ao dados por (9.47).

Observacao 9.1.2 Pode-se mostrar que, como no caso anterior, que a soluc~ao (9.46) e

unica.

A seguir aplicaremos as ideias acima a um exemplo onde a temperatura inicial no o, f,

e dada.

Exemplo 9.1.1 Determine uma soluc~ao u = u(t , x) do problema:

∂u

∂t(t , x) =

∂2u

∂x2(t , x), (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , π) , (9.48)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , π] , (9.49)

u(t , 0) = u(t , π) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) , (9.50)

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , π] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , π) ; R) , (9.51)

onde f : [0 , π] → R e dada por

f(x).=

x , para cada x ∈

[0 ,π

2

]π− x , para cada x ∈

(π2, π] . (9.52)

Resolucao:

Neste caso temos que

L.= π .



-

6

ππ2

π2

x

y

Consideremos a func~ao F : R → R, como sendo a extens~ao mpar, 2π-periodica da func~ao

f a R.Como

f(0) = f(π) = 0 ,

das observac~oes feitas anteriormente (veja (9.7) e o que segue a esta) segue que a func~ao F

sera contnua R.Observemos que a func~ao F : R → R, sera dada por:

F(x) =

−x− π , para cada x ∈[−π ,−

π

2

]−x , para cada x ∈

[−π

2, 0)

x , para cada x ∈[0 ,π

2


[π2, π)

(9.53)

e satisfazendo F(x+ 2π) = F(x) para cada x ∈ R.A representac~ao geometrica do graco da func~ao F, no perodo fundamental [π , π], e dada

pela gura abaixo.

-

6

ππ2

π2

x

y

−π

−π2


Como vimos anteriormente (veja (9.41)), uma candidata a soluc~ao a func~ao u : [0 ,∞) ×[0 , L] → R, dada por:

u(t , x).=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

L2t sen

(nπLx)

L=π=

∞∑n=1

bn e−n2 π2

π2t sen

(nππx)

=

∞∑n=1

bn e−n2 t sen(nx) , (9.54)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] onde, para cada n ∈ N, temos que:

bn(9.17)=

2

L

∫L0

f(x) sen(nπLx)dx

L=π=2

π

∫π0

f(x) sen(nππx)dx

=2

π

∫π0

f(x) sen(nx)dx

0

[∫ π2

0

f(x) sen(nx)dx+

∫ππ2

f(x) sen(nx)dx

](9.52)=

2

π

[∫ π2

0

x sen(nx)dx+

∫ππ2

(π− x) sen(nx)dx

]

=2

π

[∫ π2

0

x sen(nx)dx+ π

∫ππ2

sen(nx)dx−

∫ππ2

x sen(nx)dx

]. (9.55)

Notemos que, para cada n ∈ N, temos que:

∫x sen(nx)dx


⟨u = x , logo: du = dx

dv = sen(nx)dx , logo: v = − cos(nx)n

⟩

= −xcos(nx)

n−

∫−cos(nx)

ndx

= −xcos(nx)

n+

sen(nx)

n2. (9.56)


Logo, do Teorema fundamental do Calculo, segue que:

bn(9.55)=

2

π

[∫ π2

0

x sen(nx)dx+ π

∫ππ2

sen(nx)dx−

∫ππ2

x sen(nx)dx

](9.56)=

2

π

[−x

cos(nx)

n+

sen(nx)

n2

] ∣∣∣∣x=π2

x=0

+

[−π

cos(nx)

n

] ∣∣∣∣x=πx=π

2

+

[−x

cos(nx)

n+

sen(nx)

n2

] ∣∣∣∣x=πx=π

2

=2

π

−π

2

cos(nπ

2

)n

+sen(nπ

2

)n2

−

[−0

cos(n0)

n+

sen(n0)

n2

]−π

cos(nπ)n

−cos(nπ

2

)n

+

−π cos(nπ)

n+

sen(nπ)

n2−

−π2

cos(nπ

2

)n

+sen(nπ

2

)n2

=2

π

−π

cos(nπ)n

−cos(nπ

2

)n

− πcos(nπ)

n

=2

n

−2 (−1)n + cos

(nπ

2

). (9.57)

Observemos que:

cos(nπ

2

)=

(−1)

n2 , para cada n par

0 , para cada n mpar. (9.58)

Assim, para cada n ∈ N, de (9.57) e (9.58), segue que

b2 n =1

n[−2− (−1)n]

b2 n+1 =4

n. (9.59)

Com isto, segue que uma candidata a soluc~ao do problema (9.48), (9.49), (9.50) e (9.51),

sera:

u(t , x).=

∞∑n=1

bn e−n2 t sen(nx) (9.60)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L], onde os coecientes bn s~ao dados por (9.59).

Observemos que f ∈ C([0 , π] ; R) e uam func~ao diferenciavel, exceto um numero nito de

pontos de [0 , L] e que f ′ ∈ SC([0 , π] ; R), pois

f ′(x) =

1 , para cada x ∈

(0 ,π

2

)−1 , para cada x ∈

(π2, 0)


e

f(0) = f(π) = 0 .

Logo, do Teorema (9.1.1), segue que a func~ao u = u(t, x), dada por (9.60), sera a (unica)

soluc~ao do problema (9.48), (9.49), (9.50) e (9.51).

Temos o seguinte exerccio resolvido:

Exercıcio 9.1.1 Determine uma func~ao u : [0 ,∞) × [0 , π] → R que seja soluc~ao do

problema:

∂u

∂t(t , x) =

∂2u

∂x2(t , x) , para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , π) , (9.61)

u(0 , x) = x , para cada x ∈ [0 , π] , (9.62)

∂u

∂x(t , 0) =

∂u

∂x(t , π) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) , (9.63)

u ∈ C1([0 ,∞)× [0 , π] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , π) ; R) . (9.64)

Resolucao:

Neste caso, temos que

L.= π .

Notemos que o dado incial (veja (9.62), sera a func~ao f : [0 , π] → R dada por

f(x).= x , para cada x ∈ [0 , π] . (9.65)


-

6

π

π

x

y

Consideremos a func~ao F : R → R como sendo a extens~ao par, 2π-periodica da func~ao f a

R.Logo, das observac~oes feitas anteriormente (veja (9.7) e o que segue a esta) segue que a

func~ao F sera contnua R.Observemos que a func~ao F : R → R, sera dada por:


F(x) = |x| , para cada x ∈ [−π , π] , (9.66)

satisfazendo

F(x+ 2π) = F(x) , para cada x ∈ R .

A representac~ao geometrica do graco da func~ao F, no perodo fundamental [π , π], e dada

pela gura abaixo.

-

6

π x

y

π

−π

Como vimos anteriormente (veja (9.46)), uma candidata a soluc~ao a func~ao u : [0 ,∞) ×[0 , L] → R, dada por:

u(t , x) =ao

2+

∞∑n=1

an e−n2 π2

L2t cos

(nπLx)

L=π=ao

2+

∞∑n=1

an e−n2 π2

π2t cos

(nππx)

=ao

2+

∞∑n=1

an e−n2 t cos(nx) , (9.67)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , π], onde, para cada n ∈ 0 ∪N, an e o n-eismo coeciente da

extens~ao par, 2π-periodica da func~ao f a R, ou seja, da func~ao F.

Logo para cada n ∈ 0 ∪ N, teremos:

an(9.47)=

2

L

∫L0

f(x) cos(nπLx)dx

L=π=2

π

∫π0

f(x) cos(nππx)dx

(9.65)=

2

π

∫π0

x cos(nx)dx . (9.68)


Notemos que, para cada n ∈ 0 ∪ N, segue que:∫x cos(nx)dx


⟨u = x , logo: du = dx

dv = cos(nx)dx , logo: v = sen(nx)n

⟩

= xsen(nx)

n−

∫sen(nx)

ndx

= xsen(nx)

n+cos(nx)

n2. (9.69)

Logo, de (9.68), (9.69) e do Teorema Fundamental do Calculo, teremos:

an =2

π

∫π0

x cos(nx)dx

(9.69)=

2

π

[xsen(nx)

n+cos(nx)

n2

] ∣∣∣∣x=πx=0

=2

π

π=0 para todo n∈0∪N︷︸︸︷

sen(nπ)

n+cos(nπ)

n2−

0=0 para todo n∈0∪N︷︸︸︷

sen(n0)

n+

=1 para todo n∈0∪N︷︸︸︷cos(n0)

n2

=2

π

=(−1)n︷︸︸︷

cos(nπ)

n2−1

n2

=2 [(−1)n − 1]

n2 π. (9.70)

Substituindo (9.70) em (9.67), obteremos

u(t, x) =

∞∑n=1

2

0 , para n par e −2 , para n mpar︷︸︸︷(−1)n − 1

n2 π

e−n2 t cos(nx)

=

∞∑m=1

−4

(2m+ 1)2 πe−(2m+1)2 t cos[(2m+ 1) x] , (9.71)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , π].

Observemos que f ∈ C([0 , π] ; R) e uma func~ao diferenciavel em (0 , π), pois

f ′(x) = 1 , para cada x ∈ (0 , π) ,

logo f ′ ∈ SC([0 , π] ; R).Logo, do Teorema (9.1.1), segue que a func~ao u : [0 ,∞) × [0 , π] → R, dada por (9.71) e

a (unica) soluc~ao do nosso problema (9.61), (9.62), (9.63) e (9.64).

Na verdade

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ∩ C∞((0 ,∞)× [0 , L] ; R) ,como arma (9.18).


9.2 O Problema da Corda Vibrante

Consideraremos dois problemas associados as vibrac~oes de uma corda nita num plano, a

saber:

9.2.0.1 Corda Vibrante com as Extremidades Fixas

Trataremos a seguir do problema de encontrar a posic~ao, em cada instante, de cada ponto

de uma corda de comprimento L, que vibra num plano, cujas extremidades da mesma est~ao

presas.

Denotemos a amplitude da vibrac~ao em cada instante, t ∈ [0 ,∞), em cada ponto, x ∈[0 , L], da corda por u = u(t, x).


-

6 Perl da Corda no Instante t ≥ 0

u(t, x)

x L

6

?

x

y

Ent~ao, um modelo matematico que esta associado a esse problema sera o de encontrar

uma func~ao u : [0 ,∞)× [0 , L] → R que satisfaca:

∂2u

∂t2(t , x) = c2

∂2u

∂x2(t, x) , para cada (t x) ∈ (0 ,∞)× [0 , L] , (9.72)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] , (9.73)

∂u

∂t(0 , x) = g(x) , para cada x ∈ [0 , L] , (9.74)

u(t , 0) = u(t , L) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) , (9.75)

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , π] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , π) ; R) , (9.76)

onde a constante c2, e uma constante que esta relacionada com a tens~ao e a densidade da

corda.

A condic~ao (9.73) nos diz que, no instante inicial, isto e, t = 0, o deslocamento do ponto

x ∈ [0 , L] do o e igual a f(x).

A condic~ao (9.74) nos diz que, no instante inicial, isto e, t = 0, a velocidade do desloca-

mento do ponto x ∈ [0 , L] do o e igual a g(x).

A condic~ao (9.75) nos diz que as extremidades do o igual est~ao presas, ao longo de todo

o processo, isto e, para t ∈ [0 ,∞).

A Equac~ao Diferencial Parcial (9.72) e denominada Equacao da Onda.

9.2. O PROBLEMA DA CORDA VIBRANTE 435

Esta equac~ao e um exemplo importante de uma classe de EDP's do tipo hiperbolica.

Para simplicarmos as contas, consideraremos o caso em que

c = 1 .

O caso geral sera deixado como exerccio para o leitor.

Aplicaremos o metodo da separac~ao de variaveis ao problema (9.72)), (9.73), (9.74), (9.75)

e (9.76), isto e, tentaremos soluc~oes de (9.72), (9.73), (9.74) e (9.75) e (9.76), do tipo

u(t , x) = ψ(t)ϕ(x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] , (9.77)

onde ψ : [0 ,∞) → R e ϕ : [0 , L] → R.Notemos que, supondo que as func~oes ψ e ϕ s~ao duas vezes diferenciaveis em (0 ,∞) e

(0 , L), respectivamente, ent~ao, para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L), teremos:

∂u

∂t(t , x)

(9.77)=

∂

∂t[ψ(t)ϕ(x)]

= ψ ′(t)ϕ(x) , (9.78)

∂2u

∂t2(t , x) =

∂

∂t

[∂u

∂t(t , x)

](9.78)=

∂

∂t[ψ ′(t)ϕ(x)]

= ψ ′′(t)ϕ(x) , (9.79)

∂u

∂x(t , x)

(9.77)=

∂

∂x[ψ(t)ϕ(x)]

= ψ(t)ϕ ′(x) , (9.80)

∂2u

∂x2(t , x) =

∂

∂x

[∂u

∂x(t , x)

](9.80)=

∂

∂x[ψ(t)ϕ ′(x)]

= ψ(t)ϕ ′′(x) , (9.81)

Substituindo (9.79) e (9.81) em (9.72), obteremos:

0 =∂2u

∂t2(t , x) −

∂2u

∂x2(t , x)

(9.79) e (9.81)= ψ ′′(t)ϕ(x) −ψ(t)ϕ ′′(x) , (9.82)

para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L).

Supondo que

u = O ,

ou seja, a soluc~ao trivial n~ao nos interessara, deveremos ter

ψ(t) , ϕ(x) = 0 ,

para algum (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L).


Logo, dividindo (9.82), por

ψ(t)ϕ(x) ,

obteremos:

ψ ′′(t)ϕ(x) −ψ(t)ϕ ′′(x)

ψ(t)ϕ(x)= 0

ou seja,ψ ′′(t)

ψ(t)−ϕ ′′(x)

ϕ(x)= 0 ,

ou ainda,ψ ′′(t)

ψ(t)=ϕ ′′(x)

ϕ(x).

Portanto, deveremos ter:ψ ′′(t)

ψ(t)= −λ =

ϕ ′′(x)

ϕ(x)

para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L), ou seja, teremos:

ψ ′′(t) = −λψ(t) , para cada t ∈ (0 ,∞) , (9.83)


Notemos que, para cada t ∈ [0 ,∞), de (9.75), segue:

ψ(t)ϕ(0)(9.77)= u(t , 0)

(9.74)= 0

(9.74)= u(t , L)

(9.77)= ψ(t)ϕ(L) , (9.85)

Como ψ(t) = 0, para algum t ∈ [0 ,∞) (pois caso contrario, teramos u(t , x) = 0, para

todo (t , x) ∈ [0 ,∞)× ∈ [0 , L]), dividindo ambos os membros da identidade (9.85), por ψ(t),

obteremos

ϕ(0) = 0 = ϕ(L) . (9.86)

Portanto, de (9.84) e (9.86), segue quea func~ao ϕ, devera satisfazer o seguinte problema

(dito problema de valor de contorno):


ϕ(0) = ϕ(L) = 0 , (9.88)

ϕ ∈ C([0 , L] ; R) ∩ C2((0 , L) ; R) , (9.89)

que ja foi tratado anteriormente (veja (8.21), (8.22) e (8.23)).

Vimos que, para cada n ∈ N,

λ = λn.=n2 π2

L2


e que

ϕ(x) = ϕn(x) = sen(nπLx), (9.90)


Temos tambem que, a soluc~ao geral da EDO (9.83) (com λ = λn.=n2 π2

L2) sera dada por

ψn(t) = A cos(nπLt)+ B sen

(nπLt)

(9.91)

para cada t ∈ [0 ,∞).

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor (veja (8.34), com x = t

e λ como acima).

Assim, do metodo da separac~ao de variaveis, para cada n ∈ N, , de (9.91) e (9.90), temos

que a func~ao un : [0 ,∞)× [0 , L] → R, dada por

un(t , x).= ψn(t)ϕn(x) ,

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] sera da forma:

un(t, x) = ψn(t)ϕn(x)

(9.91) e (9.90)=

[An cos

(nπLt)+ Bn sen

(nπLt)]

sen(nπLx)

= An cos(nπLt)

sen(nπLx)+ Bn sen

(nπLt)

sen(nπLx), (9.92)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L], sera um soluc~ao de (9.72) e (9.75).

Logo, formalmente, temos que a func~ao u : [0 ,∞)× [0 , L] → R, dada por:

u(t, x).=

∞∑n=1

un(t , x)

=

∞∑n=1

ψn(t)ϕn(x)

(9.92)=

∞∑n=1

[An cos

(nπLt)

sen(nπLx)+ Bn sen

(nπLt)

sen(nπLx)], (9.93)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞) × [0 , L], sera uma candidata a soluc~ao para o problema (9.72),

(9.73), (9.74) e (9.75)) e (9.76).

Para que a func~ao u, dada por (9.93), seja soluc~ao do problema, ela devera satisfazer a

condic~ao (9.73)), ou seja:

f(x) = u(0 , x)

t=0 em (9.93)=

∞∑n=1

An

=1 , para todo n∈N︷︸︸︷cos(nπL0)

sen(nπLx)+An

=0 , para todo n∈N︷︸︸︷sen(nπL0)

sen(nπLx)

=

∞∑n=1

An sen(nπLx),


para cada x ∈ [0 , L], isto e, a func~ao f (ou melhor, sua extens~ao mpar e 2 L-periodica a R)devera possuir uma expans~ao em serie de Fourier (no caso, uma serie em senos), ou seja:

An(8.164)=

2

L

∫L0

f(x) sen(nπLx)dx , para cada n ∈ N . (9.94)

Por outro lado, para a func~ao u, dada por (9.93), satisfazer (9.74) (supondo que possamos

derivar parcialmente, a serie de func~oes, termo a termo, em relac~ao a t), deveremos ter:

g(x)(9.74)=

∂u

∂t(0 , x)

(9.93)=

∂

∂t

∞∑n=1

[An cos

(nπLt)

sen(nπLx)+ Bn sen

(nπLt)

sen(nπLx)] ∣∣∣∣

t=0

cuidado !=

∞∑n=1

∂

∂t

[An cos

(nπLt)

sen(nπLx)+ Bn sen

(nπLt)

sen(nπLx)] ∣∣∣∣

t=0

=

∞∑n=1

[−An sen

(nπLt) nπL

]sen(nπLx)+ Bn

[cos(nπLt) nπL

]sen(nπLx)

=

∞∑n=1

−An=0 , para todo n∈N︷︸︸︷sen(nπL0) nπ

Lsen(nπLx)+ Bn

=1 , para todo n∈N︷︸︸︷cos(nπL0) nπ

Lsen(nπLx)

=

∞∑n=1

Bnnπ

Lsen(nπLx), (9.95)

para cada x ∈ [0 , L], isto e, a func~ao g (ou melhor, sua extens~ao mpar e 2 L-periodica a R)devera possuir uma expans~ao em serie de Fourier (no caso, uma serie em senos), ou seja, para

cada n ∈ N, deveremos ter:

Bnnπ

L

(8.164)=

2

L

∫ L0

g(x) sen(nπLx)dx ,

ou seja,

Bn =2 L

Lnπ

∫ L0

g(x) sen(nπLx)dx

=2

nπ

∫L0

g(x) sen(nπLx)dx , (9.96)

para cada n ∈ NPortanto uma candidata u : [0 ,∞)× [0 , L] → R, a soluc~ao do problema dado inicialmente,

sera:

u(t , x).=

∞∑n=1

[An cos

(nπLt)

sen(nπLx)+ Bn sen

(nπLt)

sen(nπLx)], (9.97)


para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] onde, para cada n ∈ N, temos que os coecientes An e Bn,

s~ao dados por:

An.=2

L

∫ L0

f(x) sen(nπLx)dx . (9.98)

Bn.=

2

nπ

∫ L0

g(x) sen(nπLx)dx , (9.99)

Com isto podemos enunciar o seguinte resultado, cuja demostrac~ao sera deixada como

exerccio para o leitor:

Teorema 9.2.1 Suponhamos que f ∈ C2([0 , L] ; R) e g ∈ C1([0 , L] ; R),

f(0) = f(L) = f ′′(0) = f ′′(L) = g(0) = g(L) = 0 . (9.100)

Ent~ao a serie de func~oes (9.97), converge uniformemente em [0 ,∞)×[0 , L] para uma

func~ao

u ∈ C2([0 ,∞)× [0 , L] ; R) ,

que e soluc~ao de (9.72), (9.73), (9.74) (9.75) onde, para cada n ∈ N, os coecientes Ane Bn, s~ao dados por (9.98) e (9.99), respectivamente .

Observacao 9.2.1 Pode-se mostrar que a soluc~ao, dada por (9.97)), acima e unica na

classe (9.76).

9.2.0.2 Corda Vibrante com as Extremidades num Trilho Vertical

Podemos tratar, de modo semelhante, o problema de encontrar a posic~ao, em cada instante,

de uma corda de comprimento L, que vibra num plano, cujas extremidades est~ao variando

em um trilho vertical.

A gura abaixo ilustra a situac~ao descrita acima

-

6

Corda Vibrante com as Extremidades sobre um Trilho Vertical

u(t, x)

x L

6

?

x

y

Se denotarmos a amplitude da vibrac~ao em cada instante t ∈ [0 ,∞), em cada ponto

x ∈ [0 , L] da corda pela func~ao u : [0 ,∞) × [0 , L] → R (veja a gura aciam), ent~ao um


modelo matematico que esta associado a esse problema e que a func~ao u que satisfaca as

seguinte condic~oes:

∂2u

∂t2(t , x) = c2

∂2u

∂x2(t , x) , para cada [0 ,∞)× [0 , L] , (9.101)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , L] , (9.102)

∂u

∂t(0 , x) = g(x) , para cada x ∈ [0 , L] , (9.103)

∂u

∂x(t , 0) =

∂u

∂x(t , L) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) , (9.104)

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , π] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , π) ; R) , (9.105)

onde c2 e uma constante que esta relacionada com a tens~ao e a densidade da corda.

A condic~ao (9.102) nos diz que, no instante inicial, isto e, t = 0, o deslocamento do ponto

x ∈ [0 , L] do o e igual a f(x).

A condic~ao (9.103) nos diz que, no instante inicial, isto e, t = 0, a velocidade do desloca-

mento do ponto x ∈ [0 , L] do o e igual a g(x).

A condic~ao (9.129) nos diz que as extremidades do o igual est~ao variando em um trilho

vertical, ao longo de todo o processo, isto e, para t ∈ [0 ,∞).

Trataremos, como anteriormente, o caso em que

c = 1 .

O caso geral sera deixado como exerccio pra o leitor.

Aplicaremos o metodo da separac~ao de variaveis ao problema (9.101), (9.102), (9.103),

(9.129) e (9.105), isto e, tentaremos soluc~oes de (9.101), (9.102), (9.103) e (9.129) e (9.105),

do tipo

u(t , x) = ψ(t)ϕ(x) , para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] , (9.106)

onde ψ : [0 ,∞) → R e ϕ : [0 , L] → R.

Notemos que, supondo que as func~oes ψ e ϕ s~ao duas vezes diferenciaveis em (0 ,∞) e


(0 , L), respectivamente, ent~ao, para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L), teremos:

∂u

∂t(t , x)

(9.106)=

∂

∂t[ψ(t)ϕ(x)]

= ψ ′(t)ϕ(x) , (9.107)

∂2u

∂t2(t , x) =

∂

∂t

[∂u

∂t(t , x)

](9.107)=

∂

∂t[ψ ′(t)ϕ(x)]

= ψ ′′(t)ϕ(x) , (9.108)

∂u

∂x(t , x)

(9.106)=

∂

∂x[ψ(t)ϕ(x)]

= ψ(t)ϕ ′(x) , (9.109)

∂2u

∂x2(t , x) =

∂

∂x

[∂u

∂x(t , x)

](9.109)=

∂

∂x[ψ(t)ϕ ′(x)]

= ψ(t)ϕ ′′(x) , (9.110)

Substituindo (9.108) e (9.110) em (9.101), obteremos:

0 =∂2u

∂t2(t , x) −

∂2u

∂x2(t , x)

(9.108) e (9.110)= ψ ′′(t)ϕ(x) −ψ(t)ϕ ′′(x) , (9.111)

para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L).

Supondo que

u = O ,

ou seja, a soluc~ao trivial n~ao nos interessara, deveremos ter

ψ(t) , ϕ(x) = 0 ,

para algum (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L).


ψ(t)ϕ(x) ,

obteremos:

ψ ′′(t)ϕ(x) −ψ(t)ϕ ′′(x)

ψ(t)ϕ(x)= 0

ou seja,ψ ′′(t)

ψ(t)−ϕ ′′(x)

ϕ(x)= 0 ,

ou ainda,ψ ′′(t)

ψ(t)=ϕ ′′(x)

ϕ(x).


Portanto, deveremos ter:ψ ′′(t)

ψ(t)= −λ =

ϕ ′′(x)

ϕ(x)

para cada (t , x) ∈ (0 ,∞)× (0 , L), ou seja, teremos:

ψ ′′(t) = −λψ(t) , para cada t ∈ (0 ,∞) , (9.112)


Notemos que, para cada t ∈ [0 ,∞), de (9.108), segue:

ψ(t)ϕ ′(0)(9.109)=

∂u

∂x(t , 0)

(9.129)= 0

(9.129)=

∂u

∂x(t , L)

(9.109)= ψ(t)ϕ ′(L) . (9.114)

Como ψ(t) = 0, para algum t ∈ [0 ,∞), (pois caso contrario, teramos u(t , x) = 0, para

todo (t , x) ∈ [0 ,∞)× ∈ [0 , L]), dividindo ambos os membros da identidade (9.114), por ψ(t),

obteremos

ϕ ′(0) = 0 = ϕ ′(L) ,

ou seja, ϕ : [0 , L] → R, devera satisfazer o seguinte problema de valor de contorno:


ϕ ′(0) = ϕ ′(L) = 0 , (9.116)

ϕ ∈ C([0 , L] ; R) ∩ C2((0 , L) ; R) . (9.117)

cuja soluc~ao sera, para cada n ∈ 0 ∪ N, dada por (teremos λ = λn = n2 π2

L2):

ϕ(x) = ϕn(x)

= cos(nπLx), para cada x ∈ [0 , L] . (9.118)

A vericacao destes fatos sera diexada como exerccio para o leitor.

Como no caso anterior (veja (9.91)), a soluc~ao geral da EDO (9.112) sera :

ψn(t) = A cos(nπLt)+ B sen

(nπLt)

(9.119)

para cada t ∈ [0 ,∞).

Assim, para cada n ∈ N, temos que a func~ao un : [0 ,∞)× [0 L] → R, dada por

un(t, x).= ψn(t)ϕn(x)

(9.118) e (9.119)= An cos

(nπLt)cos(nπLx)+ Bn sen

(nπLt)cos(nπLx)

(9.120)


para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 L], sera uam soluc~ao de (9.101) e (9.129).

Logo, formalmente, a func~ao u : [0 ,∞)× [0 L] → R, dada por

u(t , x).=

∞∑n=1

un(t , x)

=

∞∑n=1

ψn(t)ϕn(x)

(9.118) e (9.119)=

∞∑n=1

[An cos

(nπLt)cos(nπLx)

+Bn sen(nπLt)cos(nπLx)], (9.121)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)×[0 L], sera a candidata a soluc~ao para o problema dado inicialmente.

Suponnhamos que a serie de func~oes em (9.121) seja convergente, ou seja, que a func~ao

u, dada por (9.121), esteja bem denida.

Para que a func~ao u, dada por (9.121), seja soluc~ao do problema dado inicialmente, ela

devera satisfazer (9.102), ou seja:

f(x)(9.102)= u(0 , x)

t=0 em (9.121)=

∞∑n=1

An

=1 , para todo n∈N︷︸︸︷cos(nπL0)

cos(nπLx)+ Bn

=0 , para todo n∈N︷︸︸︷sen(nπL0)

cos(nπLx)

=

∞∑n=1

An cos(nπLx), para cada x ∈ [0 , L] ,

isto e, a func~ao f (ou melhor, sua extens~ao par e 2 L-periodica a R) devera possuir uma

expans~ao em serie de Fourier (no caso, uma serie em cossenos), ou seja:

An(8.161)=

2

L

∫L0

f(x) cos(nπLx)dx , para cada n ∈ N . (9.122)

Por outro lado, para que a func~ao u, dada por (9.121), satisfaca a condic~ao (9.103),

deveremos ter (derivando parcialmente a serie de func~oes , termo a termo, em relac~ao a t):

g(x)(9.103)=

∂u

∂t(0 , x)

(9.121)=

∂

∂t

∞∑n=1

[An cos


(nπLt)cos(nπLx)] ∣∣∣∣

t=0

cuidado!=

∞∑n=1

∂

∂t

[An cos


(nπLt)cos(nπLx)] ∣∣∣∣

t=0

=

∞∑n=1

−An=0 , para todo n∈N︷︸︸︷sen(nπL0) nπ

L

cos(nπLx)+ Bn

=1 , para todo n∈N︷︸︸︷cos(nπL0) nπ

L

cos(nπLx)

=

∞∑n=1

Bnnπ

Lcos(nπLx), para cada x ∈ [0 , L] ,


isto e, a func~ao g (ou melhor, sua extens~ao par e 2 L-periodica a R) devera possuir uma

expans~ao em serie de Fourier (no caso, uma serie em cossenos), ou seja, para cada n ∈ N,deveremos ter:

Bnnπ

L

(8.161)=

2

L

∫L0

g(x) cos(nπLx)dx ,

isto e,

Bn =2 L

Lnπ

∫L0

g(x) cos(nπLx)dx

=2

nπ

∫ L0

g(x) cos(nπLx)dx . (9.123)

Portanto, uma candidata a soluc~ao do problema sera a func~ao u, dada por:

u(t , x).=

∞∑n=1

[An cos


(nπLt)cos(nπLx)]

(9.124)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , L] onde, para cada n ∈ N, os coecientes An e Bn ser~ao dados

por (9.122) e (9.123), respectivamente.

Com isto podemos enunciar o seguinte resultado, cuja demonstrac~ao sera deixada como


Teorema 9.2.2 Suponhamos que f ∈ C2([0 , L] ; R) e g ∈ C1([0 , L]) ; R satisfcacam

f ′(0) = f ′(L) = g ′(0) = g ′(L) = 0 . (9.125)

Ent~ao a serie de func~oes (9.124) converge uniformemente em [0 ,∞) × [0 , L], para

uma func~ao u ∈ C2([0 ,∞)× [0 , L] ; R) que e soluc~ao de (9.101), (9.102), (9.103), (9.129)

onde, para cada n ∈ N, os coecientes An e Bn ser~ao dados por (9.122) e (9.123),

respectivamente.

Observacao 9.2.2 Pode-se mostrar que a soluc~ao, dada por (9.124), e unica na classe

C2([0 ,∞)× [0 , L] ; R).

Para ilustrar, temos os seguintes exerccios resolvidos:

Exercıcio 9.2.1 Determine uma func~ao u : [0 ,∞) × [0 , π] → R, que seja soluc~ao do

problema:

∂2u

∂t2(t , x) = c2

∂2u

∂x2(t , x) , para cada [0 ,∞)× (0 , π] , (9.126)

u(0 , x) = f(x) , para cada x ∈ [0 , π] , (9.127)

∂u

∂t(0 , x) = g(x) , para cada x ∈ [0 , π] , (9.128)

u(t , 0) = u(t , π) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) , (9.129)

u ∈ C([0 ,∞)× [0 , π] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , π) ; R) , (9.130)


onde as func~oes f , g : [0 , π] → R s~ao dadas por

f(x).=

x , para cada x ∈

[0 ,π

2


(π2, π) (9.131)

g(x).= 2 sen(3 x) − 9 sen(5 x) , para cada x ∈ [0 , π] . (9.132)

Resolucao:

Observemos que

L = π ,

e a extens~ao mpar, 2π-periodica da func~ao f e a func~ao F : R → R obtida no Exemplo (9.1.1)

(veja (9.52)), que e uma func~ao que pertence a Cper(2π) ∩ SC2per(2 π).Na verdade a func~ao F tem derivada de qualquer ordem, exceto nos pontos da forma (veja

(9.53))


A representac~ao geometrica do graco da func~ao F, no perodo fundamental [π , π], e dada

pela gura abaixo.

-

6

ππ2

π2

x

y

−π

−π2

De modo analogo, a func~ao g, dada por (9.132), possui uma (unica) extens~ao mpar,

2π-periodica a R, que sera a func~ao G : R → R, dada por

G(x).= 2 sen(3 x) − 9 sen(5 x)pcx ∈ R , (9.133)

(a mesma express~ao da func~ao g), portanto pertencera aC∞per(2π).

A candidata a soluc~ao do problema e dada por (9.97), ou seja:

u(t , x)(9.72)=

∞∑n=1

[An cos

(nπLt)

sen(nπLx)+ Bn sen

(nπLt)

sen(nπLx)]

L=π=

∞∑n=1

[An cos

(nππt)

sen(nππx)+ Bn sen

(nππt)

sen(nππx)]

=

∞∑n=1

[An cos(n t) sen(nx) + Bn sen(nt) sen(nx)]


para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , π] onde, para cada n ∈ N, os coecientes An e Bn ser~ao dados

por (9.98) e (9.99), respectivamente, isto e:

An(9.98)=

2

L

∫L0

f(x) sen(nπLx)dx

L=π=2

π

∫π0

f(x) sen(nππx)dx

=2

π

∫π0

f(x) sen(nx)dx

(9.59)=

A2 n =[−2− (−1)n]

n

A2 n+1 =4

n

, para cada n ∈ N , (9.134)

Bn =

2 , para cada n = 3

−9 , para cada n = 5

0 , para cada n = 3 , 5(9.135)

pois a extens~ao mpar, 2π-periodica da func~ao g ja esta representada por sua serie de Fourier,

com L = π.

Portanto, a candidata a soluc~ao do problema sera dada por:

u(t , x) =

∞∑n=1

[An cos(n t) sen(nx) + Bn sen(n t) sen(nx)]

(9.134)=

∞∑n=1

A2 n cos(2n t) sen(2n x) +∞∑n=1

A2 n+1 cos[(2n+ 1) t] sen[(2n+ 1) x]

+ B3 sen(3 t) sen(3 x) + B5 sen(5 t) sen(5 x)

(9.134) e (9.135)=

∞∑n=1

[−2− (−1)n]

ncos(2nt) sen(2n x) +

∞∑n=1

4

ncos[(2n+ 1) t] sen[(2n+ 1) x]

+ 2 sen(3 t) sen(3 x) − 9 sen(5 t) sen(5 x) (9.136)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , π].

Observacao 9.2.3 Pode-se mostrar que a func~ao u, dada por (9.136), satisfaz nosso

problema, exceto sobre os segmentos de retas:

x+ t =π

2e x− t =

π

2.

Ao longo desses segmentos de retas a func~ao u n~ao sera diferenciavel.


Vale observar que n~ao podemos aplicar o Teorema (9.2.1), pois a func~ao f nao

satisfaz as hipotese (ela n~ao e duas vezes continuamente diferenciavel em [0 , π]).


Exercıcio 9.2.2 Determine uma func~ao u : [0 ,∞) × [0 , π] → R, que seja soluc~ao do

problema:

∂2u

∂t2(t , x) =

∂2u

∂x2(t , x) , para cada (0 ,∞)× [0 , π] , (9.137)

u(0 , x) = x , para cada x ∈ [0 , π] , (9.138)

∂u

∂t(0 , x) = cos(3 x) − cos(5 x) + cos(6 x) , para cada x ∈ [0 , π] , (9.139)

∂u

∂x(t , 0) =

∂u

∂x(t , π) = 0 , para cada t ∈ [0 ,∞) , (9.140)

u ∈ C1([0 ,∞)× [0 , π] ; R) ∩ C2((0 ,∞)× (0 , π) ; R) . (9.141)

Resolucao:

Observemos que

L = π .

Neste caso, temos que as func~oes f , g : [0π] → R ser~ao dadas por

f(x).= x , (9.142)

g(x).= cos(3 x) − cos(5 x) + cos(6 x) , para cada x ∈ [0 , π] . (9.143)

Como no Exemplo (9.1.1), considerando a func~ao F : R → R, a extens~ao par 2π-periodicada func~ao f a R, teremos que a func~ao F sera contnua em R, mas n~ao sera diferenciavel nos

pontos


Como vimos em (9.66), a func~ao F, sera dada por:

F(x).= |x| , para cada x ∈ [−π , π] , (9.144)

satisfazendo

F(x+ 2π) = F(x) , para cada x ∈ R .

A representacao geometrica do graco da func~ao F e dada pela gura abaixo.

-

6

π x

y

π

−π


Observemos que a extens~ao par, 2π-periodica da func~ao g a R, sera a func~ao G : R → R,dada por

G(x).= cos(3 x) − cos(5 x) + cos(6 x) , para cada x ∈ R . (9.145)

Notemos que e a mesma express~ao que dene a func~ao g.

Uma candidata a soluc~ao do problema acima, sera dada por (9.124), ou seja:

u(t , x)(9.124)=

∞∑n=1

[An cos


(nπLt)cos(nπLx)]

L=π=

∞∑n=1

[An cos

(nππt)cos(nππx)+ Bn sen

(nππt)cos(nππx)]

=

∞∑n=1

[An cos(n t) cos(nx) + Bn sen(n t) cos(nx)] (9.146)

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , π] onde, para cada n ∈ N, os coecientes An e Bn, s~ao dados

por (9.122) e (9.123), respectivamente, ou seja:

An(9.122)=

2

L

∫L0

f(x) cos(nπLx)

L=π=2

π

∫π0

f(x) cos(nππx)dx

=2

π

∫π0

f(x) cos (nx) dx

(9.70)=

2 [(−1)n − 1]

n2 π(9.147)

Bn =

1 , para cada n = 3

−1 , para cada n = 5

1 , para cada n = 6

0 , para cada n = 3 , 5 , 6

. (9.148)

pois a extens~ao mpar, 2π-periodica da func~ao g ja esta representada por sua serie de Fourier,

com L = π.

Portanto, a candidata a soluc~ao do problema sera dada por:

u(t , x)(9.146)=

∞∑n=1

[An cos(n t) cos(nx) + Bn sen(n t) cos(nx)]

(9.147) e (9.148)=

∞∑n=1

2 [(−1)n − 1]

n2 πcos(n t) cos(nx)

+ sen(3 t) cos(3 x) − sen(5 t) cos(5 x) + sen(6 t) cos(6 x)

=

∞∑n=1

−4

(2n+ 1)2 πcos[(2n+ 1)n t] cos[(2n+ 1)nx]

+ sen(3 t) cos(3 x) − sen(5 t) cos(5 x) + sen(6 t) cos(6 x) (9.149)

9.3. A EQUAC ~AO DE LAPLACE 449

para cada (t , x) ∈ [0 ,∞)× [0 , π]

Observacao 9.2.4 Pode-se mostrar que a func~ao u, dada por (9.149), satisfaz nosso

problema, exceto sobre os segmentos de retas:

x+ t = 0 e x− t = π.

Ao longo desses segmentos de retas a func~ao u, dada por (9.149), nao sera dife-

renciavel.

A vericac~ao destes fatos sera deixada como exerccio para o leitor.

Vale observar que nao podemos aplicar o Teorema (9.2.2), pois a func~ao f n~ao

satisfaz as hipotese (ela n~ao e duas vezes continuamente diferenciavel em [0 , π]).

9.3 A Equacao de Laplace

O ultimo problema que trataremos associado estara associado a uma EDP importante deno-

minada Equacao de Laplace.

Esta EDP e um exemplo importante de uma classe de EDP's denominadas Elıpticas.

Trataremos de dois problemas relacionados a Equac~ao de Laplace, a saber: o problema

de Dirichlet em um retangulo e em u crculo contidos em R2.

9.3.0.3 O Problema de Dirichlet num Retangulo

Esse problema consiste em encontrar uma func~ao u : [a ,A]× [b , B] → R que venha satisfazer

as seguintes condic~oes:

∂2u

∂x2(x , y) +

∂2u

∂y2(x , y) = 0 , para cada (x , y) ∈ (a ,A)× (b , B) , (9.150)

u(A ,y) = f1(y) , para cada y ∈ [b , B] , (9.151)

u(a , y) = f2(y) , para cada y ∈ [b , B] , (9.152)

u(x , b) = f3(x) , para cada x ∈ [a ,A] , (9.153)

u(x , B) = f4(x) , para cada x ∈ [a ,A] , (9.154)

u ∈ C([a ,A]× [b , B] ; R) ∩ C2((a ,A)× (b , B) ; R) . (9.155)

A gura abaixo ilustra as condic~oes (9.151), (9.152), (9.154), (9.153), no retangulo ⊆ R2.


6

-a A

b

B

f2 f1

f3

f4

x

y

Observacao 9.3.1 Se o conjunto Ω e um subconjunto aberto de R2 o operador linear

∆ : C∞(Ω ; R) → C∞(Ω ; R), dada por

(∆h) (x , y).=∂2h

∂x2(x , y) +

∂2h

∂y2(x , y) , (9.156)

para cada (x , y) ∈ Ω, como h ∈ C∞(Ω ; R), sera denominado operador Laplaciano, em Ω.

Vamos considerar o caso em que

a = b = 0 ,

o problema de encontrar uma func~ao u : [0 ,A]× [0 , B] → R que venha satisfazer as seguintes

condic~oes:

∂2u

∂x2(x , y) +

∂2u

∂y2(x , y) = 0 , para cada (x , y) ∈ (0 ,A)× (0 , B) ,

u(A ,y) = f1(y) , para cada y ∈ [0 , B] ,

u(a , y) = f2(y) , para cada y ∈ [0 , B] ,

u(x , b) = f3(x) , para cada x ∈ [0 ,A] ,

u(x , B) = f4(x) , para cada x ∈ [0 ,A] ,

u ∈ C([0 ,A]× [0 , B] ; R) ∩ C2((0 ,A)× (0 , B) ; R) .

O caso geral sera deixado como exerccio para o leitor, bastando fazer uma translac~ao

especial.

Alem disso, consideraremos o caso em que

f1(y) = f2(y).= 0 , para cada y ∈ [0 , B] (9.157)

f4(x).= 0 , para cada x ∈ [0 ,A] . (9.158)

A gura abaixo ilustra as restric~oes acima para as condic~oes (9.151), (9.152), (9.154),

(9.153), no retangulo de R2.


Soluc~ao u1(x, y):

6

-x

y

A

B

f2(y) = 0 f1(y) = 0

f3

f4(x) = 0

Suponhamos que saibamos encontrar uma func~ao u = u(x , y), denida em Ω.= [a ,A]×

[b , B], satisfazendo as condic~oes (9.150), (9.151),(9.152), (9.154) e (9.155), com as func~oes f1,

f2, sastisfazendo (9.157) e a func~ao f4 satisfazendo (9.158).

Com isto poderemos obter a soluc~ao do problema que iniciamos (com a = b = 0),

somando-se as soluc~oes de cada um dos problemas abaixo.

Soluc~ao u2(x, y):

6

-x

y

A

B

f2 f1(y) = 0

f3(x) = 0

f4(x) = 0

Soluc~ao u3(x, y):

6

-x

y

A

B

f2(y) = 0 f1

f3(x) = 0

f4(x) = 0


Soluc~ao u4(x, y):

6

-x

y

A

B

f2(y) = 0 f1(y) = 0

f3(x) = 0

f4

ou seja, a a func~ao u : [0 ,A]× [0 , B] → R, dada por:

u(x , y).= u1(x , y) + u2(x , y) + u3(x , y) + u4(x , y) ,

para cada (x , y) ∈ [0 ,A]× [0 , B], sera a soluc~ao do problema (9.150), (9.151),(9.152), (9.154)

e (9.155) que iniciamos (com a = b = 0).

Assim basta tratar do problema de encontrar uma func~ao u1 : [0 ,A] × [0 , B] → R, quevenha satisfaz as seguinte condic~oes:

∂2u1

∂x2(x , y) +

∂2u1

∂y2(x , y) = 0 , para cada (x , y) ∈ (0 ,A)× (0 , B) ,

u1(A ,y) = 0 , para cada y ∈ [0 , B] ,

u1(a , y) = 0) , para cada y ∈ [0 , B] ,

u1(x , b) = f3(x) , para cada x ∈ [0 ,A] ,

u1(x , B) = 0 , para cada x ∈ [0 ,A] ,

u1 ∈ C([0 ,A]× [0 , B] ; R) ∩ C2((0 ,A)× (0 , B) ; R) ,

ou seja, simplicando a notac~ao, encontrar uma func~ao u : [0 ,A] × [0 , B] → R, que venha

satisfaz as seguinte condic~oes:

∂2u

∂x2(x , y) +

∂2u

∂y2(x , y) = 0 , para cada (x , y) ∈ (0 ,A)× (0 , B) , (9.159)

u(0 , y) = u(A ,y) = 0 , para cada y ∈ [0 , B] , (9.160)

u(x , B) = 0 , para cada x ∈ [0 ,A] , (9.161)

u(x , 0) = f(x) , para cada x ∈ [0 ,A] , (9.162)

u ∈ C([0 ,A]× [0 , B] ; R) ∩ C2((0 ,A)× (0 , B) ; R) . (9.163)

Observemos que, de (9.160), com y = 0 e y = B, e (9.162), com x = 0 e x = A, teremos

que a func~ao f devera satisfazer as seguintes restric~oes (condic~oes de compatibilidade):

f(0)(9.162) , com x=0

= = u(0 , 0)

(9.160) , com y=0= 0 ,

f(A)(9.162) , com x=A

= = u(A , 0)

(9.160) , com y=0= 0


Tentaremos encontrar uma func~ao u = u(x , y) que satisfaca (9.159), (9.160), (9.161)

e (9.163), do tipo variaveis separadas (aplicaremos, novamente, o metodo da separac~ao de

variaveis), ou seja, tentaremos encontrar uma soluc~ao u = u(x , y), do tipo:

u(x , y).= ψ(x)ϕ(y) , (9.164)

para cada (x , y) ∈ [0 ,A]× [0 , B].

Estaremos procurando soluc~oes u n~ao nulas, isto e, de modo que

u = O . (9.165)

Notemos que, supondo que as func~oes ψ e ϕ s~ao duas vezes diferenciaveis em (0 ,A) e

(0 , B), respectivamente, ent~ao, para cada (x , y) ∈ (0 ,A)× (0 , B), teremos:

∂u

∂x(x , y)

(9.164)=

∂

∂x[ψ(x)ϕ(y)]

= ψ ′(x)ϕ(y) , (9.166)

∂2u

∂x2(x , y) =

∂

∂x

[∂u

∂x(x , y)

](9.166)=

∂

∂x[ψ ′(x)ϕ(y)]

= ψ ′′(x)ϕ(y) , (9.167)

∂u

∂y(x , y)

(9.164)=

∂

∂y[ψ(x)ϕ(y)]

= ψ(t)ϕ ′(y) , (9.168)

∂2u

∂y2(x , y) =

∂

∂y

[∂u

∂y(x , y)

]

(9.168)=

∂

∂y[ψ(x)ϕ ′(y)]

= ψ(x)ϕ ′′(y) , (9.169)

Substituindo (9.167) e (9.169) na EDP (9.159), para (x , y) ∈ (0 ,A)×(0 , B), teremos que:

ψ ′′(x)ϕ(y) +ψ(x)ϕ ′′(y) = 0

ou seja, ψ ′′(x)ϕ(y) = −ψ(x)ϕ ′′(y) (9.170)

Como (9.165), deveremos ter

ψ(x) , ϕ(y) = 0 ,

para algum (x , y) ∈ [0 ,A]× [0 , B].


ψ(x)ϕ(y) ,


obteremos:

ψ ′′(x)ϕ(y)

ψ(x)ϕ(y)= −

ψ(x)ϕ ′′(y)

ψ(x)ϕ(y)

isto e,ψ ′′(x)

ψ(x)= −

ϕ ′′(y)

ϕ(y)= constante

.= λ ,

para cada (x , y) ∈ (0 ,A)× (0 , B), ou seja, teremos as seguintes duas EDO's:

ϕ ′′(x) = −λϕ(x) , para cada x ∈ (0 ,A) , (9.171)

ψ ′′(y) = λψ(y) , para cada y ∈ (0 , B) . (9.172)

Alem disso, deveremos ter:

0(9.160)= u(0 , y)

(9.164)= ϕ(0) , ψ(y) ,

ψ(y) = 0 para algum y ∈ [0 , B] , implicara: ϕ(0) = 0 , (9.173)

0(9.160)= u(A ,y)

(9.164)= ϕ(A) , ψ(y) ,

ψ(y) = 0 para algum y ∈ [0 , B] , implicara: ϕ(A) = 0 , (9.174)

0(9.161)= u(x , B)

=(9.164)= ϕ(x)ψ(B)

ϕ(x) = 0 para algum x ∈ [0 ,A] , implicara: ψ(B) = 0 . (9.175)

Logo, de (9.171), (9.172), (9.173), (9.174), (9.175), as func~oes ϕ : [0 ,A] → R e ψ : [0 , B] →R dever~ao satisfazer as seguintes condic~oes:

ϕ ′′(x) = −λϕ(x) , para cada x ∈ (0 ,A) , (9.176)

ϕ(0) = ϕ(A) = 0 , (9.177)

ϕ ∈ C([0 ,A] ; R) ∩ C2((0 ,A) ; R) (9.178)

e

ψ ′′(y) = λψ(y) , para cada y ∈ (0 , B) , (9.179)

ψ(B) = 0 , (9.180)

ψ ∈ C([0 , B] ; R) ∩ C2((0 , B) ; R) . (9.181)

Encontrar uma soluc~ao para o problema (9.176), (9.177) e (9.178) foi tratado anterior-

mente (veja (8.21) , (8.22) e (8.23), ou ainda, (8.38), com L.= A), para cada n ∈ N, teremos:

λ = λn.=n2 π2

A2,

ϕ(x) = ϕn(x).= sen

(nπAx), para cada x ∈ [0 ,A] . (9.182)


Assim, o problema (9.179), (9.180) e (9.181), tornar-se-a:

ψ ′′(y) =n2 π2

A2ψ(y) , para cada y ∈ (0 , B) , (9.183)

ψ(B) = 0 , (9.184)

ψ ∈ C([0 , B] ; R) ∩ C2((0 , B) ; R) . (9.185)

Para cada n ∈ N, a soluc~ao geral da EDO (9.183), sera:

ψn(y).= Ce

nπAy +De−

nπAy , para cada y ∈ [0 , B] . (9.186)

A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitor (visto na disciplina de

EDO).

Como

0(9.184)= ψ(B)

(9.186), com y=B= Ce

nπAB +De−

nπAB

ou seja, CenπAB = −De−

nπAB ,

ou ainda, C = −De−2nπB

A . (9.187)

Substituindo (9.187) em (9.186), obteremos:

ψn(y) = −De−2nπB

A enπAy +De−

nπAy

= −De−nπBA

[e

nπA

(y−B) − e−nπA

(y−B)]

= −2 ,De−nπBA

[e

nπA

(y−B) − e−nπA

(y−B)]

2

= −2De−nπBA senh

[nπA

(y− B)], para cada y ∈ [0 , B] ,

ou seja, para cada n ∈ N, temos que ψ : [0 , B] → R e dada por:

ψn(y).= e−

nπBA senh

[nπA

(y− B)], para cada y ∈ [0 , B] . (9.188)


un(x , y)(9.164)= ϕn(x)ψn(y)

(9.182) e (9.188)=

sen(nπAx)

e−nπBA senh

[nπA

(y− B)]

= e−nπBA sen

(nπAx)

senh[nπA

(y− B)], (9.189)

para cada (x , y) ∈ [0 ,A]× [0 , B].


Consideremos, formalmente, a soluc~ao do nosso problema, como sendo u : [0 ,A]×[0 , B] →R, dada por

u(x , y) =

∞∑n=1

un(x , y)

(9.164)=

∞∑n=1

ϕ(x)ψn(y)

(9.189)=

∞∑n=1

bn e−nπ

AB sen

(nπAx)

senh[nπA

(y− B)], (9.190)

para cada (x , y) ∈ [0 ,A]× [0 , B].

Notemos que, impondo a condic~ao (9.162), obteremos:

f(x)(9.162)= u(x , 0)

(9.190), com y=0=

∞∑n=1

bn e−nπB

A sen(nπAx)

senh[nπA

(0− B)]

︸︷︷︸= senh[−nπ

AB]

senh e mpar= − senh[nπ

AB]

=

∞∑n=1

bn e−nπB

A

[− senh

(nπB

A

)]sen(nπAx)

=

∞∑n=1

[(−bn) e

−nπBA senh

(nπB

A

)]sen(nπAx),

para cada x ∈ [0 ,A], ou seja, a extens~ao, que indicaremos por F : R → R, mpar e 2A-

periodica da func~ao f a R, devera possuir uma representac~ao em serie de Fourier (no caso

uma serie em senos).

Portanto, para cada n ∈ N, deveremos ter:

−bn e−nπB

A senh

(nπB

A

)(8.164), com L

.=A

=2

A

∫A0

f(x) sen(nπAx)dx ,

ou seja,

bn = −2 e

nπBA

A senh(nπBA

) ∫A0

f(x) sen(nπAx)dx . (9.191)

Com isto podemos enunciar o seguinte resultado, cuja demonstrac~ao sera deixada como


Teorema 9.3.1 Suponhamos que f ∈ C2([0 ,A] ; R) satisfazendo

f(0) = f(A) = f ′′(0) = f ′′(A) = 0 . (9.192)

Ent~ao a serie de func~oes (9.190) converge uniformemente em [0 ,A] × [0 , B] para

uma func~ao u ∈ C2([0 ,A]× [0 , B] ; R), que e soluc~ao de (9.159), (9.160), (9.161), (9.162)

e (9.163) onde, para cada n ∈ N, o coeciente bn, sera dado por (9.191).

Observacao 9.3.2 Pode-se mostrar que a func~ao u, dada por (9.190), e a unica soluc~ao

do problema acima.


9.3.0.4 O Problema de Dirichlet num Cırculo

Para R ∈ (0 ,∞) xado, este problema consiste em encontrar aum func~ao u : Ω → R, quesatisfazas seguintes condic~oes:

∂2u

∂x2(x , y) +

∂2u

∂y2(x , y) = 0 , para cada (x , y) ∈ Ω, (9.193)

u∂Ω = f , (9.194)

u ∈ C(Ω ; R

)∩ C2 (Ω ; R) , (9.195)

onde

Ω.=

(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 = R2

, (9.196)

Ω.=

(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 ≤ R2

, (9.197)

ou seja, o fecho do conjunto Ω em R2, e

∂Ω.=

(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 < R2

(9.198)

isto e, a fronteria do conjunto Ω em R2.Notemos que o conjunto Ω e o interior da circunferencia de de centro no ponto (0 , 0) e

raio R e ∂Ω e a circunferencia de centro no ponto (0 , 0) e raio R.

A gura abaixo nos fornede a representac~ao geometrica do graco dos conjuntos Ω e ∂Ω

6

-

s

R

Ω

)

∂Ω

x

y

Vamos tratar, com detalhes, o caso em que

R = 1 .

O caso geral, isto e, R = 1, pode ser obtido de modo semelhante e sera deixado como


Neste caso podemos descrever o crculo Ω, dado por (9.197), em coordenadas polares,

utilizando a seguinte mudanca de coordenadas:

x = x(r , θ).= r cos(θ) , (9.199)

y = y(r , θ).= r sen(θ) , (9.200)


para cada (r , θ) ∈ [0 , 1]× [0 , 2π).

A gura abaixo ilustra o que a transformac~ao T : [0 , 1]× [0 , 2 π) → R2, dada por

T(x , y).= (r cos(θ) , r sen(θ)) , (9.201)

para cada (r , θ) ∈ [0 , 1]× [0 , 2 π), faz com a regi~ao [0 , 1]× [0 , 2π).

-

6

r

θ

10

2 π

-

6

x

yx2 + y2 ≤ 1

Notemos que, neste caso, teremos:

x2 + y2(9.199) e (9.200)

= [r cos(θ)]2 + [r sen(θ)]2

= r2[cos2(θ) + sen2(θ)

]= r2 ,

ou seja, r =

√x2 + y2 . (9.202)

Notemos tambem que se x = 0 e y = 0 e , teremos que

θ =π

2. (9.203)

Por outro lado, se y = 0, de (9.202), teremos que r > 0 e, alem disso,

y

x

(9.199) e (9.200)=

r sen(θ)

r cos(θ)

=sen(θ)

cos(θ)

tg(θ) . (9.204)


r =

√x2 + y2 . (9.205)

θ =

arctg

(yx

), para y = 0

π

2, para y = 0

. (9.206)

Denamos a func~ao v : [0 , 1]× R → R, dada por

v(r , θ).= u [T(x , y)]

(9.201)= u[x(r , θ) , y(r , θ)]

(9.199) e (9.200)= u [r cos(θ) , r sen(θ)] , (9.207)


para cada (r , θ) ∈ [0 , 1]× R.

Observemos que, como a transformac~ao T pertence a C∞(Ω ; R2), segue que

u ∈ C(Ω ; R

)∩C2 (Ω ; R) se, e somente se, v ∈ C ([0 , 1]× [0 , 2π) ; R)∩C2 ([0 , 1)× [0 , 2 π) ; R) .

Notemos tambem que

∂x

∂r

(9.199)=

∂

∂r[r cos(θ)]

= cos(θ) , (9.208)

∂x

∂θ

(9.199)=

∂

∂θ[r cos(θ)]

= r [− sen(θ)]

= −r sen(θ) , (9.209)

∂y

∂r

(9.200)=

∂

∂r[r sen(θ)]

= sen(θ) , (9.210)

∂y

∂θ

(9.200)=

∂

∂θ[r sen(θ)]

= r cos(θ) , (9.211)

Para simplicar a notac~ao nos calculo abaixo, denoteremos

x(r , θ) = x e y(r , θ) = y .


Utilizando-se da Regra da Cadeia, para func~oes reais de duas variaveis reais, segue que

∂v

∂r(r , θ) =

[∂u

∂x

∂x

∂r+∂u

∂y

∂y

∂r

](r , θ)

(9.208) e (9.210)= cos(θ)

∂u

∂x(x , y) + sen(θ)

∂u

∂y(x , y) (9.212)

∂v

∂θ(r , θ) =

[∂u

∂x

∂x

∂θ+∂u

∂y

∂y

∂θ

](r , θ)

(9.209) e (9.211)= −r sen(θ)

∂u

∂x(x , y) + r cos(θ)

∂u

∂y(x , y) (9.213)

∂2v

∂r2(r , θ) =

∂

∂r

[∂v

∂r(r , θ)

](9.212)=

∂

∂r

[cos(θ)

∂u

∂x[x(r , θ) , y(r , θ)] + sen(θ)

∂u

∂y[x(r , θ) , y(r , θ)]

]= cos(θ)

[∂2u

∂x2∂x

∂r+∂2u

∂y∂x

∂y

∂r

](r , θ) + sen(θ)

[∂2u

∂y∂x

∂x

∂r+∂2u

∂y2∂y

∂r

](r , θ)

(9.208) e (9.210)= cos(θ)

[∂2u

∂x2(x , y) cos(θ) +

∂2u

∂y∂x(x , y) sen(θ)

]+ sen(θ)

[∂2u

∂y∂x(x , y) , cos(θ) +

∂2u

∂y2(x, , y) sen(θ)

]Teor. Schwarz: ∂2u

∂y ∂x= ∂2u

∂x ∂y= cos2(θ)

∂2u

∂x2(x , y) + 2 sen(θ) cos(θ)

∂2u

∂y∂x(xy)

+ sen2(θ)∂2u

∂y2(x , y) , (9.214)

∂2v

∂θ2(r , θ)

∂

∂θ

[∂v

∂θ(r , θ)

](9.213)=

∂

∂θ

[−r sen(θ)

∂u

∂x+ r cos(θ)

∂u

∂y

](r , θ)

=

−r cos(θ)

∂u

∂x− r sen(θ)

[∂2u

∂x2∂x

∂θ+∂2u

∂y∂x

∂y

∂θ

](r , θ)

+

−r sen(θ)

∂u

∂y+ r cos(θ)

[∂2u

∂x∂y

∂x

∂θ+∂2u

∂y2∂y

∂θ

](r , θ)

(9.209) e (9.211)=

−r cos(θ)

∂u

∂x(x , y) − r sen(θ)

[[−r sen(θ)]

∂2u

∂x2(x , y)

+[r cos(θ)]∂2u

∂y∂x(x , y)

]+

−r sen(θ)

∂u

∂y(x , y) + r cos(θ)

[[−r sen(θ)]

∂2u

∂x∂y(x , y)

+r cos(θ)∂2u

∂y2(x , y)

]= −r cos(θ)

∂u


∂u

∂y(x , y) + r2 sen2(θ)

∂2u

∂x2(x , y)

− r2 sen(θ) cos(θ)∂2u

∂y∂x(x, , y)


− r2 cos(θ) sen(θ)∂2u

∂x∂y(x , y) + r2 cos2(θ)

∂2u

∂y2(x , y)

Teor. de Schwarz= −r cos(θ)

∂u


∂u

∂y(x , y) + r2 sen2(θ)

∂2u

∂x2(x , y)

− 2 r2 sen(θ) cos(θ)∂2u

∂y∂x(x , y) + r2 cos2(θ)

∂2u

∂y2(x , y) , (9.215)

para cada (r , θ) ∈ [0 , 1)× R.Logo a func~ao u = u(x , y) sera soluc~ao da equac~ao de Laplace (9.193) em Ω (o interior

da circunferencia unitaria, centrada na origem de R2) se, e somente se, a func~ao v = v(r , θ)

satisfaz

∂2v

∂r2(r , θ) +

1

r

∂v

∂r(r , θ) +

1

r2∂2v

∂θ2(r , θ)

(9.214),(9.212),(9.215)= cos2(θ)

∂2u

∂x(x , y)

+ 2 sen(θ) cos(θ)∂2u

∂y∂x(x , y) + sen2(θ)

∂2u

∂y2)(x , y)

+1

r

[cos(θ)

∂u

∂x(x , y) + sen(θ)

∂u

∂y(x , y)

]+1

r2

[−r cos(θ)

∂u


∂u

∂y(x , y) + r2 sen2(θ)

∂2u

∂x2(x , y)

−2 r2 sen(θ) cos(θ)∂2u

∂y∂x(x , y) + r2 cos2(θ)

∂2u

∂y2(x , y)

]=∂2u

∂x2(x , y) +

∂2u

∂y2(x , y)

(9.193)= 0 ,

para cada (r , θ) ∈ [0 , 1)× R.Alem disso a condic~ao (9.194)) tornar-se-a:

v(1 , θ)(9.207)= u[x(1 , θ) , y(1 , θ)]

(9.199) e (9.200)= u[cos(θ) , sen(θ)]

(9.194)= f[cos(θ), sen(θ)] , (9.216)

para cada θ ∈ R.Logo denido-se a func~ao g : R → R, dada por

g(θ).= f[cos(θ), sen(θ)] , para cada θ ∈ R , (9.217)

logo a condic~ao (9.216) pode ser reescrita como

v(1 , θ) = g(θ) , para cada θ ∈ R . (9.218)

Observemos que, para cada r ∈ [0 , 1) xado, a func~ao

θ 7→ v(r , θ)

e 2π-periodica em R.


De fato, pois

v(r , θ+ 2π)(9.207)= u [r cos(θ+ 2π) , r sen(θ+ 2π)]

= u [r cos(θ) , r sen(θ)]

(9.207)= v(r, θ)

para cada (r , θ) ∈ [0 , 1)× R.Portanto a func~ao v = v(r , θ) devera satisfazer as seguintes condic~oes:

r2∂2v

∂r2(r , θ) + r

∂v

∂r(r , θ) +

∂2v

∂θ2(r , θ) = 0 , para cada (r , θ) ∈ [0 , 1)× R , (9.219)

v(r , θ+ 2π) = v(r , θ) , para cada (r , θ) ∈ [0 , 1)× R , (9.220)

v(1 , θ) = g(θ) , para cada θ ∈ [0 , 2 π) , (9.221)

v ∈ C[0 , 1]× R ; R) ∩ C2([0 , 1)× R ; R) . (9.222)

Tentaremos soluc~ao n~ao triviais, isto e,

v(r , θ) = 0 , para cada (r , θ) ∈ [0 , 1)× R . (9.223)

Aplicaremos o metodo da separac~ao de variaveis para obter uma candidata a soluc~ao envol-

vendo, inicialmente, as condic~oes (9.219), (9.220) e (9.222), ou seja, tentaremos encontrar uma

soluc~ao do tipo

v(r , θ).= ϕ(r)ψ(θ) , para cada (r , θ) ∈ [0 , 1]× R . (9.224)

De (9.223) segue que para algum (r , θ) ∈ [0 , 1)× R tac que

ψ(r)ϕ(θ) = 0 . (9.225)

Supondo que as func~oes ψ e ϕ s~ao duas vezes diferenciaveis em [0 , 1) e R, respectivamente,

ent~ao, para cada (r , θ) ∈ [0 , 1)× R, teremos:

∂v

∂r(r , θ)

(9.224)=

∂

∂r[ψ(r)ϕ(θ)]

= ψ ′(r)ϕ(θ) , (9.226)

∂2v

∂r2(r , θ) =

∂

∂r

[∂v

∂r(r , θ)

](9.226)=

∂

∂r[ψ ′(r)ϕ(θ)]

= ψ ′′(r)ϕ(θ) , (9.227)

∂v

∂θ(r , θ)

(9.224)=

∂

∂θ[ψ(r)ϕ(θ)]

= ψ(r)ϕ ′(θ) , (9.228)

∂2v

∂θ2(r , θ) =

∂

∂θ

[∂v

∂θ(r , θ)

](9.228)=

∂

∂θ[ψ(r)ϕ ′(θ)]

= ψ(r)ϕ ′′(θ) , (9.229)


Sustituindo (9.226), (9.227) e (9.229) em (9.219), obteremos:

r2 [ψ ′′(r)ϕ(θ)] + r [ψ ′(r)ϕ(θ)] + [ψ(r)ϕ ′′(θ)] = 0

Devidindo a identidade acima por

ψ(r) , ϕ(θ)(9.225)

= 0 ,

bteremos

r2ψ ′′(r)ϕ(θ) + rψ ′(r)ϕ(θ) +ψ(r)ϕ ′′(θ)

ψ(r)ϕ(θ)= 0

ou seja,r2ψ ′′(r) + rψ ′(r)

ψ(r)= −

ϕ ′′(θ)

ϕ(θ)= constante = λ ,

isto e,

ϕ ′′(θ) + λϕ(θ) = 0 , para cada θ ∈ R , (9.230)

ϕ(θ+ 2π) = ϕ(θ) , para cada θ ∈ R , (9.231)

ϕ ∈ C2(R ; R) (9.232)

e

r2ψ ′′(r) + rψ ′(r) − λψ(r) = 0 , para cada r ∈ [0 , 1) , (9.233)

ψ ∈ C([0 , 1] ; R) ∩ C2([0 , 1) ; R) . (9.234)

Observacao 9.3.3 Notemos que, se a func~ao ϕ e 2π-periodica e diferenciavel em R,ent~ao, da regra da cadeia, segue que a func~ao ϕ ′ tambem sera 2π-periodica.


Observemos que se a func~ao ϕ = ϕ(θ) for uma soluc~ao, eventualmente complexa, de

(9.230), deveremos ter:

λ

∫ 2 π0

|ϕ(θ)|2 dθ︸︷︷︸≥0

= λ

∫ 2 π0

ϕ(θ)ϕ(θ)dθ

=

∫ 2 π0

[λϕ(θ)]ϕ(θ)dθ

(9.230) e (9.232)=

∫ 2 π0

[−ϕ ′′(θ)] ϕ(θ)dθ⟨u = ϕ(θ) , logo: du = ϕ ′(θ)

dv = ϕ ′′(θ) , logo: v = ϕ ′(θ)

⟩

=[−ϕ ′(θ)ϕ(θ)

] ∣∣∣∣t=2 πt=0

+

∫ 2 π0

ϕ ′(θ)ϕ ′(θ)dt

= −[ϕ ′(2π)ϕ(2 π) − ϕ ′(0)ϕ(0)

]+

∫ 2 π0

ϕ ′(θ)ϕ ′(θ)dθ

de (9.231) ϕ,ϕ ′ s~ao 2 π-periodoca=

∫ 2 π0

ϕ ′(θ)ϕ ′(θ)dt


=

∫ 2 π0

|ϕ ′(θ)|2dθ︸︷︷︸

≥0

. (9.235)

Da identidade acima segue que λ ∈ R, ou melhor,

λ ≥ 0 (9.236)

Observemos que se λ = 0 ent~ao, da identidade (9.235), deveramos ter

0 =

∫ 2 π0

|ϕ ′(θ)|2dθ . (9.237)

Como a func~ao ϕ ′ e contnua em R (veja (9.232)) segue, de (9.237), que

|ϕ ′(θ)|2= 0 , para cada θ ∈ R ,

ou seja, ϕ ′(θ) = 0 , para cada θ ∈ R ,

implicando que a func~ao ϕ devera ser constante em R, ou seja,

ϕ(θ) = c , para cada θ ∈ R . (9.238)

Se λ > 0, ent~ao a soluc~ao geral da EDO (9.230) sera dada por

ϕ(θ).= Aλ cos

(√λ θ)+ Bλ sen

(√λ θ), (9.239)

para cada θ ∈ R.A vericac~ao deste fato sera deixada como exerccio para o leitos (visto na disciplina de

EDO).

Mas, de (9.231), devemos ter

Aλ cos(√λ θ)+ Bλ sen

(√λ θ)

(9.239)= ϕ(θ)

(9.231)= ϕ(θ+ 2π)

(9.239)= Aλ cos

[√λ (θ+ 2π)

]+ Bλ sen

[√λ (θ+ 2π)

]= Aλ cos

[√λ (θ+ 2π)

]+ Bλ sen

[√λ (θ+ 2π)

]= Aλ

[cos(√λ θ)cos(√λ 2π

)− sen

(√λ θ)

sen(√λ 2π

)]+ Bλ

[sen(√λ θ)cos(√λ 2π

)+ cos

(√λ θ)

sen(√λ 2π

)]=[Aλ cos

(√λ 2π

)+ Bλ sen

(√λ 2π

)]cos(√λ θ)

+[Bλ cos

(√λ 2π

)−Aλ sen

(√λ 2π

)]sen(√λ θ), (9.240)

para cada θ ∈ R.


Fazendo:

θ = 0 , em (9.240),

obteremos: Aλ = Aλ cos(√λ 2π

)+ Bλ sen

(√λ 2π

)(9.241)

θ =π

2√λ, em (9.240),

obteremos: Bλ = Bλ cos(√λ 2π

)−Aλ sen

(√λ 2π

). (9.242)

Multiplicando a identidade (9.241) por Aλ e a identidade (9.242) por Bλ e somando-se os

resultados, obteremos:

Aλ2 + Bλ

2 = Aλ2 cos

(√λ 2π

)+Aλ Bλ sen

(√λ 2π

)+ Bλ

2 cos(√λ 2π

)− BλAλ sen

(√λ 2π

),

em particular, devermos ter: cos(√λ 2π

)= 1 ,

logo,√λ 2π = 2 kπ , para cada k ∈ N ,

ou seja,√λ = k , para cada k ∈ N ,

ou ainda, λ = k2 , para cada k ∈ N . (9.243)

Logo, para cada k ∈ N, a identidade (9.239), tornar-se-a:

ϕ(θ) = Aλ cos(√λ θ)+ Bλ sen

(√λ θ)

(9.243)=

= Aλ cos(√

k2 θ)+ Bλ sen

(√k2 θ

)√k2=|k|=k∈N

= Ak cos(kθ) + Bk sen(kθ) ,

Para cada k ∈ N, denamos a func~ao ϕk : R → R, dada por

ϕk(θ).= Ak cos(kθ) + Bk sen(kθ) , (9.244)

para cada θ ∈ R.Notemos que k = 0 daria origem a func~ao ϕo constante, que ja foi tratada no caso λ = 0

(veja (9.238).

Por outro lado, para cada k ∈ N, temos que

λ = k2 ,

assim o problema (9.233), tornar-se-a:

r2ψ ′′(r) + rψ ′(r) − k2ψ(r) = 0 , para cada r ∈ [0 , 1) , (9.245)

que e a equacao de Euler de 2.a ordem.

Neste caso, procuraremos soluc~oes da forma

ψ(r).= rα , para cada r ∈ I ⊆ R . (9.246)


Para cada k ∈ N, substituindo a express~ao (9.246) na equac~ao de Euler (9.245), obteremos:

0 = r2[α(α− 1) rα−2

]+ r

[α rα−1

]− k2 rα

=[α (α− 1) + α− k2

]rα

=[α2 − k2

]rα︸︷︷︸=0

,

ou seja, α2 − k2 = 0 ,

ou ainda , (α− k) , (α+ k) = 0 ,

isto e, α = ±k . (9.247)

Portanto, para cada k ∈ N, de (9.247), a soluc~ao da geral da equac~ao de Euler (9.245)

sera dada por :

ψk(r).= Ck r

k +Dk r−k , para cada r ∈ I ⊆ R . (9.248)

Para cada k ∈ N, como estamos procurando uma func~ao ψk que deva satisfazer (9.234), ela

devera, em particular, ser uma func~ao contnua em [0 , 1], ou ainda , ser uma func~ao contnua

em r = 0.

Portanto, de (9.248), deveremos ter

Dk = 0 . (9.249)

Logo, para cada k ∈ N, a soluc~ao da equac~ao de Euler (9.245), que nos interessara, sera

dada por:

ψk(r).= Ck r

k , para cada r ∈ [0 , 1] . (9.250)

Assim, para cada k ∈ 0 ∪ N, de (9.244), (9.250) e (9.224), segue que

vk(r, θ)(9.224)= ψk(r)ϕk(θ)

(9.244) e (9.250)= rk [Ak cos(kθ) + Bk sen(k θ)] , (9.251)

para cada (r , θ) ∈ [0 , 1]× R.Logo tentaremos uma soluc~ao (formalmente) de (9.219), (9.220), (9.221), (9.222) da forma:

v(r , θ).=

∞∑k=0

vk(r , θ)

(9.224)=

∞∑k=0

ψk(r)ϕk(θ)

(9.251)=

∞∑k=0

rk [Ak cos(kθ) + Bk sen(k θ)] , (9.252)

para cada (r , θ) ∈ [0 , 1]× R, ou ainda, na forma complexa, sera dada por:

v(r , θ) =

∞∑k=−∞Ck e

i k θ r|k| , (9.253)


para cada (r , θ) ∈ [0 , 1]× R onde

Co.=Ao

2,

Ck.=Ak − i Bk

2,

C−k.=Ak + i Bk

2,

Lembremos que

cos(kθ) =ei k θ + e−i k θ

2e sen(kθ) =

ei k θ − e−i k θ

2 i.

Impodo a condic~ao inicial, isto e, (9.221), obteremos:

g(θ)(9.221)= v(1 , θ)

(9.253) , com r=1=

∞∑k=0

Ck ei k θ ,

para θ ∈ R.Logo, para cada k ∈ Z, o coeciente Ck devera ser o k-eismo coeciente de Fourier

associado a func~ao g, na forma complexa, ou seja,

Ck = g (k)(8.190) , com L=π

=1

2π

∫π−π

g(t) e−i k t dt . (9.254)

Utilizando (9.254) podemos obter, formalmente, uma candidata a soluc~ao para (9.219),

(9.220), (9.221) e (9.222), a saber:

v(r , θ).=

∞∑k=0

Ck ei k θ r|k|

=1

2π

∞∑k=0

[∫π−π

g(t) e−i k t dt

]ei k θ r|k| , (9.255)

para cada (r , θ) ∈ [0 , 1]× R.Pode-se mostrar que a serie de func~oes (9.255) converge uniformemente em [0 , 1]×R, que

pode ser derivada parcialmente, termo a termo, duas vezes em relac~ao a r e em relac~ao a θ,

em [0 , 1)× R e portanto ira satisfazer ao problema (9.219), (9.220), (9.221) e (9.222).

A demostrac~ao desse fato sera deixada como exerccio para o leitor.

Com isto podemos obter a funcao

u(x , y) = v(r , θ)

(veja (9.207)) uma soluc~ao do problema (9.193), (9.194) e (9.195), em

Ω.=

(x , y) ∈ R2 ; x2 + y2 < 1

e assim provar o:


Teorema 9.3.2 Sejam Ω ⊆ R2, como acima, e f ∈ C(∂Ω ; R).Se a func~ao v : [0 , 1] × R → R e dada por (9.255), ent~ao a func~ao u : Ω → R dada

por:

u(x , y).=

v(r , θ) , onde x = r cos(θ) e y = r sen(θ) , para (r , θ) ∈ [0 , 1)× Rf(x , y) , se x2 + y2 = 1

,

(9.256)

para cada (x , y) ∈ Ω, e uma soluc~ao do problema (9.193), (9.194)e (9.195).

Observacao 9.3.4 Pode-se mostrar que a soluc~ao (9.256) e unica.

9.4 Exercıcios

9.5 Referencias

1. Boyce, E.W. e Diprima, R.C. -Equac~oes diferenciais elementares e problemas de

valores de contorno, ed. Rio de Janieor, 2002.

2. Butkov, E. - Fsica Matematica, Rio de Janeiro: Guanabara 2, 1988.

3. Churchill, R. e Brown, J. - Fourier series and boundary value problems, 4 ed. New

York: McGraw-Hill, 1987.

4. Figueiredo, D.G. - Analise I, IMPA, CNPq, 1977.

5. Figueiredo, D.G. - Analise Fourier e Equac~oes Diferenciais Parciais, Projeto Eucli-

des, IMPA, CNPq, 1975.

6. Iorio, V.M. - EDP - Um Curso de Graduac~ao, Colec~ao Matematica Universitaria,

IMPA, CNPq, 1991.

7. Lima, E.L. - Espacos Metricos, Projeto Euclides, IMPA, RJ, CNPq.

8. Lima, E.L. - Curso de Analise, volume 1, Projeto Euclides, IMPA, CNPq, 1976.

9. Rudin, W. - Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, 1976.

10. Simmons, G.F. - Calculo com Geometria Analtica, volume 2, Rio de Janeiro: Mc

Graw-Hill, 1987.

11. Stewart, J. - Calculo, volumes 1 e 2, 4 ed., S~ao Paulo:Pioneira, 2001.

12. Swokowski, E.W. - Calculo com Geometria Analtica, volume 2, 2 ed., Rio de Janeiro:

Makron-Books, 1995.

9.5. REFERENCIAS 469

13. Thomas, G.B. - Calculo, volume 2, Addison Wesley, 2003

14. Tolstov, G.P. - Fourier Series, New York: Dover, 1976.

Indice Remissivo

p-serie, 136, 138, 139

n-eismo coeciente de MacLaurin

de uma func~ao, 288

n-esimo coeciente de Taylor

de uma func~ao, 288

base

canonica de um espaco euclideano, 363

Bessel

desigualdade, 378

Bessel (caso complexo)

desigualdade, 373

Bessel (caso real)

desigualdade, 371

calor

equac~ao do, 310, 311, 412

Cauchy-Schwartz

desigualdade de, 340

coeciente de Fourier

na forma complexa, 361

coeciente de MacLaurin,

de ordem n, de uma func~ao, 288

coeciente de Taylor,

de ordem n, de uma func~ao, 288

coecientes de Fourier

associados a uma func~ao, 354

contorno

problema de valor de , 434

convergente

sequencia monotona e limitada e, 47

unicidade do limite de uma sequencia, 23

convergentes

propriedades basicas de sequencias, 28

teorema da comparac~ao para sequencias,

29

teorema do sanduiche ou do confronto para

sequencias, 29

criterio

da serie numerica alternada ou de Libnitz,

143

criterio de Weierstrass

para convegencia uniforme de series de func~oes,

199

descontinuidade

de 1.a especie para uma func~ao, em um

ponto, 331

desenvolvimento de McLaurin

de ordem n, da func~ao f, 276

desenvolvimento de Taylor

de ordem n, da func~ao f, em torno de x =

a, 276

desigualdade

triangular, 340

Dirichlet

problema de, 330

divergentes

teorema da comparac~ao para sequencias,

60

elptico

EDP do tipo, 447

Equac~ao

da onda, 329

Euler

equac~ao de, 463

Euler-Fourier

formulas de, 354

formula de McLaurin

associada a func~ao f, 275

formula de Taylor

470

INDICE REMISSIVO 471

associada a func~ao f, em x = a, 275

Fourier

metodo de, 311

func~ao

contnua por partes, 331

seccionalmente contnua, 331

func~ao analtica (real)

denic~ao de, 291

func~ao inteira

denic~ao de, 291

hiperbolica

EDP do tipo, 329, 433

Lagrange

formula de Taylor com resto de, 275

Laplace

equac~ao da, 310

equac~ao de , 447

Laplaciano

operador, 448

matematica

induc~ao, 51

numero complexo

conugado de um, 338

Newman

problema de, 330

onda

dente de serra, 334

equac~ao da, 310

equac~ao do, 432

quadrada, 333

parabolica

EDP, 311

Parseval

identidade de, 401

Pitagoras

teorema de, 341

polinomio de McLaurin

de grau n associado a func~ao f, 276

polinomio de Taylor

de grau n associado a func~ao f, em x = a,

275

resto de McLaurin

de grau n, associado a func~ao f, 276

resto de Taylor

de grau n, associado a func~ao f, em x = a,

275

na forma de Lagrange, 275

na forma integral, 279

Riemann-Lebesgue

lema, na forma complexa, de, 378

lema, na forma real, de, 378

Rolle

Teorema de, 272

serie

de cossenos, 327

de Fourier, 309, 328

de senos, 320

de senos e cossenos, 328

geometrica de raz~ao c, 86, 89

harmonica, 88, 89

harmonica alternada, 146, 147

serie de Fourier

associada a uma func~ao, 354

na forma complexa, 361

serie de func~oes

convergencia pontual de uma, 193

convergencia uniforme de uma, 196

denic~ao, 189

sequencia das somas parciaias da, 189

soma de uma, 193

soma parcial de ordem n da, 189

termo da, 189

serie de MacLaurin

de uma func~ao, 288

serie de potencias

binomial, 300

centrada x = 0, 213

centrada x = c, 213

coecientes de uma, 214

de (x− c), 213

472 INDICE REMISSIVO

de x, 213

func~ao representada em, 284

intervalo de convegencia de uma, 239

intervalo de convergencia de uma, 224

raio de convegencia de uma, 239

raio de convergencia de uma, 224

representac~ao de uma func~ao em, 284

serie de Taylor

de uma func~ao, em x = a, 288

serie numerica, 75

n-esimo termo da, 75

n-esima soma parcial, 75

absolutamente convergente, 155

alternada, 143

condicionalmente convergente, 158

convergente, 82

divergente, 83

do tipo valor principal, 361

reagrupamento de uma, 151

reduzida de ordem n, 75

soma de uma, 83

soma parcial de ordem n, 75

termo da, 75

serie numerica alternada

criterio de Leibnitz para convergencia de

uma, 143

series numericas

adic~ao de, 80

com termos n~ao-negativos, 103

criterio da divergencia de, 101

criterio da integral, ou de Cauchy, esten-

dido para convergencia de, 135

criterio da integral, ou de Cauchy, para

convergencia de, 132

criterio da raiz estendido para convergencia

de, 127

criterio da raiz para convergencia de, 125

criterio da raiz, por limites, para convergencia

de, 127

criterio da raz~ao estendido para convergencia

de, 119

criterio da raz~ao para convergencia de, 117

criterio da raz~ao, por limites, para con-

vergencia de, 120

criterio de Cauchy para convergencia de,

100

criterio para comparac~ao estendido para


criterio para comparac~ao para convergencia

de, 106

criterio para comparac~ao, por limites, para


diferenca de, 80

multiplicac~ao de um numero real por uma,

80

propriedades basicas de convergencia de,

89

semi-norma

de uma func~ao, 340

separac~ao de variaves

metodo da, 311

sequencia de func~oes

n-esimo termo de uma, 161

criterio de Cauchy para a convergencia uni-

forme de uma, 177

convergencia pontual de uma, 163

convergencia uniforme, em um conjunto,

de uma, 167

convergencia, ponto a ponto, de uma, 163

convergente em um ponto, 163

convergente, ponto a ponto, em um con-

junto, 163

de Cauchy, 176

denic~ao, 161

pontualmente convergente em um conjunto,

163

termo de uma, 161

sequencia numerica, 17

conjunto dos valores de uma, 17

convergencia de uma, 22

convergente, 22

crescente, 41

das somas parciais, 76

de Cauchy, 65

INDICE REMISSIVO 473

decrescente, 41

divergente para ±∞, 55

estritamente crescente, 41

estritamente decrescente, 41

limitada, 27

monotona, 41

oscilatoria, 60

produto de um numero por uma, 19

subsequencia de uma, 62

termos de uma, 17

sequencias numericas

criterio de Cauchy para convergencia de,

70

initesimo, 33

initesimais, 33

produto de duas, 19

quociente de duas, 19

soma de duas, 19

teorema da comparac~ao para, 33

teorema do sanduiche ou do confronto para,

33

Taylor

teorema de, 273

telescopica

soma, 387

teste M de Weierstrass

para convegencia uniforme de series de func~oes,

199

valor medio

teorema do, 272

variaveis

metodo da separac~ao de, 310, 321, 412,

424, 433, 435, 438, 451, 460

notas de aula calc iv

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