Matematika 1Matematika 1

Pertemuan 1Pertemuan 1

HimpunanHimpunan

PembahasanPembahasan

Kontrak PerkuliahanKontrak Perkuliahan Pemahaman Tujuan PerkuliahanPemahaman Tujuan Perkuliahan

Himpunan Himpunan Pengertian himpunanPengertian himpunan

Diagram VennDiagram Venn Operasi antar HimpunanOperasi antar Himpunan

Kontrak PerkuliahanKontrak Perkuliahan

Kontrak kuliah Mtk.docGBPP.doc

Berisi:Berisi:

-Materi kuliah-Materi kuliah

-aturan perkuliahan-aturan perkuliahan

-aturan penilaian-aturan penilaian

-daftar pustaka-daftar pustaka

HimpunanHimpunan

Georg Cantor Georg Cantor dianggap sebagai bapak teori dianggap sebagai bapak teori himpunan. himpunan.

Himpunan adalah sekumpulan objek yang Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. mempunyai syarat tertentu dan jelas.

Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. sebagainya.

Objek ini selanjutnya dinamakan anggota Objek ini selanjutnya dinamakan anggota atau elemen dari suatu himpunan . atau elemen dari suatu himpunan .

Suatu himpunan dikatakan baik Suatu himpunan dikatakan baik (well-(well-defined set) defined set) jika mempunyai syarat jika mempunyai syarat tertentu dan jelas dalam menentukan tertentu dan jelas dalam menentukan anggota suatu himpunan, ini sangat anggota suatu himpunan, ini sangat penting karena untuk membedakan mana penting karena untuk membedakan mana yang menjadi anggota himpunan dan yang menjadi anggota himpunan dan mana yang bukan merupakan anggota mana yang bukan merupakan anggota himpunanhimpunan

Notasi HimpunanNotasi Himpunan Dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K , dsbDinyatakan dengan huruf besar A, B, C, H, K , dsb Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan

simbol “{….}”. simbol “{….}”. Untuk melambangkan anggota himpunan Untuk melambangkan anggota himpunan

biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y , biasanya menggunakan huruf kecil a, b, c, x, y , dsbdsb

Untuk menyatakan anggota suatu himpunan Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “€” (baca: anggota) digunakan lambang “€” (baca: anggota)

Untuk menyatakan bukan anggota suatu Untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang “€” (baca: bukan himpunan digunakan lambang “€” (baca: bukan anggota).anggota).

Pendefinisian HimpunanPendefinisian Himpunan

Mendaftarkan semua anggotanya.Mendaftarkan semua anggotanya.Ex: A = {a,e,i,o,u}Ex: A = {a,e,i,o,u}

B = {2,3,5,7,11,13,17,19}B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanyaMenyatakan sifat yang dimiliki anggotanyaEx: A = Himpunan vokal dalam abjad latinEx: A = Himpunan vokal dalam abjad latin

B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

Menyatakan sifat dengan polaMenyatakan sifat dengan polaEx: Ex: P = {0,2,4,8,10,…,48}P = {0,2,4,8,10,…,48}

Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Menggunakan notasi pembentuk himpunanMenggunakan notasi pembentuk himpunanEx: Ex: P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}dan 15}

(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14})

Q = { t | t bilangan asli}Q = { t | t bilangan asli}

(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,(Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…}…}

Macam-macam Macam-macam HimpunanHimpunan

Himpunan SemestaHimpunan Semesta

adalah himpunan yang anggotanya semua adalah himpunan yang anggotanya semua objek pembicaraan. objek pembicaraan.

Dilambangkan dengan S atau U.Dilambangkan dengan S atau U.

Himpunan Kosong.Himpunan Kosong.

adalah himpunan yang tidak mempunyai adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dilambangkan dengan “Ø” atau anggota. Dilambangkan dengan “Ø” atau { }{ }

Himpunan Bagian Himpunan Bagian

Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap Diberikan himpunan A dan B. Jika setiap anggota A merupakan anggota B maka anggota A merupakan anggota B maka dikatakan A merupakan himpunan bagian dikatakan A merupakan himpunan bagian (subset) dari B atau dikatakan B memuat A(subset) dari B atau dikatakan B memuat A

Dilambangkan dengan ADilambangkan dengan AB. B.

Jadi AJadi AB jika dan hanya jika B jika dan hanya jika

xxA xA xBB Jika ada anggota dari A yang bukan Jika ada anggota dari A yang bukan

merupakan anggota B maka A bukan merupakan anggota B maka A bukan himpunan bagian dari B, himpunan bagian dari B,

Dilambangkan dengan ADilambangkan dengan AB.B.

Diagram VennDiagram Venn Diagram venn adalah suatu cara Diagram venn adalah suatu cara

menyatakan himpunan dengan menyatakan himpunan dengan menggunakan gambar.menggunakan gambar.

Diperkenalkan oleh John venn (inggris).Diperkenalkan oleh John venn (inggris).

Salah satu cara merepresentasikan himpunanSalah satu cara merepresentasikan himpunan

Contoh : S = { a, e, i, o, u }Contoh : S = { a, e, i, o, u }

U = himpunan semua huruf U = himpunan semua huruf

S a e

i o u

U

Operasi HimpunanOperasi Himpunan Gabungan (Union)Gabungan (Union) Diberikan himpunan A dan B. Diberikan himpunan A dan B. Gabungan himpunan A dan B ditulis Gabungan himpunan A dan B ditulis

dengan Adengan AB adalah suatu himpunan yang B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A atau berada di B.anggotanya berada di A atau berada di B.

Jadi AJadi AB = { x | xB = { x | xA atau xA atau xB }B } Contoh: Contoh:

A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}.

Maka AMaka AB = {a,b,c,d,e,f,1,2}B = {a,b,c,d,e,f,1,2}

Irisan (Intersection)Irisan (Intersection) Diberikan himpunan A dan B. Diberikan himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B ditulis dengan Irisan himpunan A dan B ditulis dengan

AAB adalah suatu himpunan yang B adalah suatu himpunan yang anggotanya berada di A dan juga berada anggotanya berada di A dan juga berada di B.di B.

Jadi AJadi AB = { x | xB = { x | xA dan xA dan xB }B } Contoh: Contoh: • A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}. A = {a,b,c,1,2} dan B = {c,d,e,f}.

Maka AMaka AB = {c}B = {c}• P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}. P = {a,b,c,1,2} dan Q = {d,e,f}.

Maka AMaka AB = ØB = Ø

KomplemenKomplemen Diberikan suatu himpunan A. Diberikan suatu himpunan A. Komplemen dari A ditulis dengan “ AKomplemen dari A ditulis dengan “ Acc“ “

adalah himpunan yang anggotanya berada adalah himpunan yang anggotanya berada dalam himpunan semesta tetapi bukan dalam himpunan semesta tetapi bukan berada di A.berada di A.

Jadi AJadi Acc= { x | x= { x | xS, xS, xA } A } Contoh:Contoh:

Diberikan semesta himpunan bilangan asli. Diberikan semesta himpunan bilangan asli.

Jika A = {0,2,4,6,…} maka AJika A = {0,2,4,6,…} maka Ac c = {1,3,5,…}= {1,3,5,…}

Power SetPower Set S adalah himpunan berhingga dengan n S adalah himpunan berhingga dengan n

anggotaanggota Maka power set dari S -dinotasikan P(S)- Maka power set dari S -dinotasikan P(S)-

adalah himpunan dari semua subset dari S adalah himpunan dari semua subset dari S dan |P(S)| = 2dan |P(S)| = 2nn

Contoh: S = { a, b, c}Contoh: S = { a, b, c}

P(S) = { P(S) = { , {a}, {b}, {c}, {a, , {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }

Sifat-sifat operasiSifat-sifat operasi

KomutatifKomutatif

Diberikan himpunan A dan B. Diberikan himpunan A dan B.

Maka berlaku A Maka berlaku A B = B B = B A dan juga A A dan juga A B B = B = B A A

AsosiatifAsosiatif

Diberikan himpunan A, B dan C. Diberikan himpunan A, B dan C.

Maka berlaku (A Maka berlaku (A B) B) C = A C = A (B (B C) dan C) dan

juga (A juga (A B) B) C= A C= A (B (B C). C).

IdempotenIdempoten

Diberikan suatu himpunan A. Diberikan suatu himpunan A.

Maka berlaku A Maka berlaku A A=A dan juga A A=A dan juga A A=A A=A

IdentitasIdentitas

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S.

Maka A Maka A S=A dan juga A S=A dan juga A S=A S=A

DistributifDistributif

Diberikan himpunan A,B dan C. Diberikan himpunan A,B dan C.

Maka A Maka A (B (B C) = (A C) = (A B) B) (A (A C) dan C) dan

juga A juga A (B (B C)=(A C)=(A B) B) (A (A C) C)

KomplementerKomplementer

Diberikan suatu himpunan A dalam semesta Diberikan suatu himpunan A dalam semesta S. Maka A S. Maka A A Acc= S dan A = S dan A A Ac c = Ø= Ø

Dalil De MorganDalil De Morgan

Diberikan himpunan A dan B. Diberikan himpunan A dan B. Maka (A Maka (A B) B)cc = A = Acc B Bcc

dan (A dan (A B) B)cc= A= Acc B Bcc

Prinsip inklusi-eksklusiPrinsip inklusi-eksklusi

Contoh Contoh Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil Dari survei terhadap 270 orang didapatkan hasil

sbb.:sbb.: 64 suka 64 suka brussels sproutsbrussels sprouts, , 94 suka 94 suka broccolibroccoli, , 58 suka 58 suka cauliflowercauliflower, , 26 suka 26 suka brussels sproutsbrussels sprouts dan dan broccolibroccoli, , 28 suka 28 suka brussels sproutsbrussels sprouts dan dan cauliflowercauliflower, , 22 suka 22 suka broccolibroccoli dan dan cauliflowercauliflower,, 14 suka ketiga jenis sayur tersebut.14 suka ketiga jenis sayur tersebut.

Berapa orang tidak suka makan semua jenis sayur Berapa orang tidak suka makan semua jenis sayur yang disebutkan di atas ?yang disebutkan di atas ?

JawabanJawaban

• A = {orang yang suka A = {orang yang suka brussels sprouts brussels sprouts }}• B = {orang yang suka B = {orang yang suka broccoli broccoli }}• C = {orang yang suka C = {orang yang suka cauliflowercauliflower } }• |A |A B B C| C| = |A| + |B| + |C| - |A = |A| + |B| + |C| - |A B| - B| -

|A |A C| - |B C| - |B C| C| + |A + |A B B C| C| • = 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154= 64 + 94 + 58 – 26 – 28 – 22 + 14 = 154

• Jadi mereka yang Jadi mereka yang tidak tidak suka ketiga jenis suka ketiga jenis sayur tersebut ada sebanyak 270 – 154 = sayur tersebut ada sebanyak 270 – 154 = 116 orang 116 orang

Latihan SoalLatihan Soal Buktikan bahwa (ABuktikan bahwa (AB)B)AA Tentukan Power Set dari himpunan dibawah ini:Tentukan Power Set dari himpunan dibawah ini:

{a}{a} {a,b}{a,b} {{, {, {}}}}

Diketahui A={1,2,3,4,5} dan B={0,3,6}. Tentukan:Diketahui A={1,2,3,4,5} dan B={0,3,6}. Tentukan: A A B B A – BA – B A A B B B – AB – A