modul praktikum materi derivatif

Modul Praktikum Materi Derivatif

MODUL DERIVATIF

A. KONSEP DASAR TURUNANTurunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungandengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Turunan diperolehdengan menentukan limit dari hasil bagi diferensi, dimana : x 0.

y

Jika y = f ( x ), maka

y = f ( xo + ∆x ) - f ( xo )

x

x

y / x merupakan hasil bagi perbedaan atau koefisien diferensi dan menggambarkantingkat perubahan variabel terikat dari fungsi y = f ( x ), dirumuskan : y = f (x) = lim y/x = lim f (x + x) – f (x) x 0 x 0 x

Berikut ini kaidah diferensiasi dalam berbagai bentuk fungsi :1. Diferensiasi fungsi konstantaJika y = k, dimana k adalah konstanta, maka y = 0Contoh : y = 3 maka y’ = 02. Diferensiasi fungsi linierJika y = a + bx, dimana a adalah konstanta, maka y = bContoh : y = 24 + 16x maka y’ = 163. Diferensiasi fungsi pangkatnn –1

Jika y = ax , dimana a adalah konstanta, maka y = n.a x4

4-13

Contoh : y = 4xmaka y’ = 4.4x=16x

Periode ATAMATEK 2Hal. 1

Modul Praktikum Materi Derivatif

4. Diferensiasi penjumlahan ( pengurangan ) fungsi Jika y = u v , dimana u = g (x) dan v = n (x), maka y = u v 322

Contoh : y = 8x – 8x maka y’ = 24x – 16x5. Diferensiasi perkaliana. Perkalian fungsi dan konstantaJika y = k.u , dimana u = g (x), maka y = k.u2

Contoh : y = 4.4x maka y’ = 4.8x = 32xb. Perkalian fungsiJika y = u.v , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v + u.v63

Contoh : y = ( 2x – 1 )( 2x – 5 ) maka 5362852

y’ = (12x )(2x – 5) + (2x – 1)(6x ) = 36x – 60x – 6x 6. Diferensiasi hasil bagi fungsi Jika y = u , dimana u = g (x) dan v = h (x), maka y = u.v – u.v2

V 653

62

Contoh : y = (2x – 1) maka y’ = (12x )(2x – 5) – (2x – 1)(6x )332

(2x – 5)

(2x – 5) 852

y’ = 36x – 60x – 6x 32

(2x – 5) 7. Diferensiasi fungsi komposisi ( dalil rantai )Jika y = f (u) sedangkan u = g (x) , dengan kata lain y = f [ g (x) ], maka

dy = dy . dudx du . dx22

contoh : y = ( 3x + 2 ) 22

misalkan : u = 3x +2 , sehingga y = u du / dx = 6x dy / du = 2u 23

maka dy = dy . du = 2u . 6x = 2 (3x + 2)(6x) = 36x + 12x

dx du . dx8. Derivatif tingkat tinggiDerivatif ke-n dari fungsi y = f (k) diperoleh dengan mendiferensiasikan sebanyak nkali.

Periode ATAMATEK 2Hal. 2Modul Praktikum Materi Derivatif

nnn

Derivatif ke-n dilambangkan : d yatau f (x) atau d (y)n

dx

dx5432

Contoh : y = 5x + 4x + 3x + 2x +x maka 432

y’ atau dy / dx = 25x + 16x + 9x + 4x + 12232

y’’atau d y/d y = 100x + 48x + 18x + 4 ………..dst9. Diferensiasi implisifAdalah suatu metode diferensiasi dengan mendiferensiasikan f (x,y) = 0 suku demi sukudengan memandang y sebagai fungsi x, kemudian dari persamaan tersebut ditentukannilai dy/dx .22

Contoh : xy - x + y = 0 didiferensiasikan terhadap x, maka :

1.y2 + x.2y dy/dx – 2x + dy / dx = 02

( 2xy + 1 ) dy/dx = - y + 2x 2

dy/dx = - y + 2x

2xy + 110. Derivatif fungsi logaritmik y = ln x dy/dx = 1/x

y = ln u , dimana u = g (x)dy = du . 1 = udx dx u u y = log x aa

dy/dx = 1/ ln aContoh : jika y = ln ( 3 – 3x2 ) maka tentukan dy / dxu = 3 – 3x2

du / dx = u’ = -6x dy = u’ = -6xdx u 3 – 3x2

11. Derivatif fungsi eksponensialxx

y = e dy/dx = e xx

y = a dy/dx = a ln a


12. Derivatif fungsi trigonometrikBeberapa turunan fungsi trigonometrik yang penting adalah : y = sin x dy/dx = cos x y = cos x dy/dx = - sin x2

y = tg x dy/dx = sec x2

y = ctg x dy/dx = - cosec x y = sec x dy/dx = sec x . tg x y = cosec x dy/dx = - cosec x . ctg x Catatan : sec x = 1 / cos xcos x = 1 / sin x

B. HUBUNGAN ANTARA FUNGSI DAN DERIVATIFNYA1. Menentukan persamaan Garis singgung dan Garis NormalLangkah – langkah untuk mencari Garis singgung dan Garis normal adalah :1. Tentukanlah titik singgung ( Xo , Yo )2. Cari koefisien arah m = f ‘ (x)3. Cari Garis singgung dengan rumus :y

-

yo = m (x–

xo)

4. Cari Garis Normal dengan rumus :y

- yo = -1 (x–

xo )

m Catatan : Garis Normal adalah garis yang tegak lurus pada Garis

Singgung kurva

2. Menentukan Keadaan Fungsi Menaik dan Fungsi Menurun

1. Fungsi y = f (x) monoton naik jika f (x) > 0

2. Fungsi y = f (x) monoton turun jika f (x) < 03.Nilaistasioner

Jika diketahui y = f (x) , maka pada f (x) = 0 , titik (x , y) merupakan Nilai Stasioner


Jenis–

jenis Jika f (x) > 0, maka (x , y) merupakan titik balik minimumTitik Stasioneradalah :

Jika f (x) < 0, maka (x , y) merupakan titik balik maksimum Jika f (x) = 0, maka (x , y) merupakan titik balik belok2

Contoh : Diketahui TR = 30Q - Q , tentukanlah nilai maksimum atau minimum dari fungsi tsb !Jawab : TR = 0 TR’ = 30 – 2Q = 0

2Q = 30 maka Q = 15

TR = -2 (TR < 0, merupakan titik balik maksimum)2

Nilai Minimum TR = 30Q - Q 2

= 30(15) - (15)

= 225

C. APLIKASI DERIVATIF DALAM BISNIS DAN EKONOMI

1. ELASTISITASa. Elastisitas HargaAdalah perbandingan antara perubahan relatif dari jumlah dengan perubahan relatif dariharga. Untuk menentukan elastisitas harga, ada dua macam cara yang digunakan, yaitu :1. Elastisitas Titik ( Point Elasticity ) = Q/Q = Q . P P/P P Q

2. Elastisitas Busur ( Arc Elasticity )

Merupakan elastisitas pada dua titik atau elastisitas pada busur kurva.Kelemahannya : timbulnya tafsiran ganda. =P1 . Q

Q1 P =P2 . Q

Q2 P


=P1 + P2 . Q

Q1 + Q2 P

Elastisitas Titik dan Busur dipakai untuk menghitung :a. Elastisitas harga Permintaan, d < 0 (negatif)b. Elastisitas harga Penawaran, s > 0 (positif)Dari hasil perhitungan, nilai elastisitas akan menunjukkan : > 1

Elastis < 1 Inelastis

atau 0<n<1(elastis sebagian) = 1

Unitary Elastis (elastis sempurna)

b. Elastisitas PermintaanAdalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya jumlah barang yang diminta akibatadanya perubahan harga. Jika fungsi permintaan dinyatakan dengan Qd = f ( P ), makaelastisitas permintaannya d = Qd . P Qd

2

Contoh :Fs. permintaan Qd = 25 – 3P . tentukan elastisitas pada P = 5

Qd’ = -6P

2

Maka d = Qd . P = (-6P ) . P = -6P 22

Qd

(25–

3P

) (25–

3P)

c. Elastisitas PenawaranAdalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah barang yangditawarkan berkenaan adanya perubahan harga. Jika fungsi penawaran dinyatakandengan Qs = f ( P ), maka elastisitas penawarannya :s = Qs . P Qs

Periode ATAMATEK 2

Hal. 6Modul Praktikum Materi Derivatif

2

Contoh :Fs Penawaran Qs = 7P – 200. Hitunglah elastisitas pada P = 10

Qs’ = 14P2

s = Qs . P = 14P . P = 14P 22

Qs 7P – 200 7P – 200 2

P= 10maka

s

= 14(10) = 2,8

2

7(10) – 200d. Elastisitas Produksi

Adalah suatu koefisien yang menjelaskan besarnya perubahan jumlah keluaran ( output )yang dihasilkan akibat adanya perubahan jumlah masukan ( input ) yang digunakan. Jikafungsi produksi dinyatakan dengan P = f ( x ), maka elastisitas produksinya :p = P . X P

23

Contoh : Fs Produksi P = 6x – x . Hitunglah elastisitas pada x = 52

P’ = 12x – 3x 223

p = P . X = ( 12x – 3x ) . X = 12x – 3x 23 23

P 6x

–

x 6x–

x

23

X = 5 maka p =

12(5) – 3(5) = -323

6(5) – (5) 2. BIAYAo Biaya Total(TC )

Adalah seluruh biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi atau memasarkansejumlah barang atau jasa, baik yang merupakan biaya tetap atau biaya variabel.

TC = f (Q) atau TC = FC + VC

(Q)

Dimana : TC = Total cost

VC = Variabel cost

FC = Fixed cost

Q = KuantitasPeriode ATAMATEK 2Hal. 7Modul Praktikum Materi Derivatif

o Biaya Rata–

rata (AC )

Adalah biaya per unit yang dibutuhkan untuk memproduksi suatu barang atau jasapada tingkat produksi total.

AC = TC / Q

o Biaya Marginal(MC )

Adalah besarnya pertambahan biaya total yang dibutuhkan akibat pertambahanhasil produksi satu unit pada suatu tungkat produksi tertentu.

MC = TC = dTC / dQ

Contoh :2

Diketahui TC = 150 + 15Q , Tentukan AC dan MC pada Q = 20 ? AC = TC / Q = 150 / Q + 15Q = 150 / 20 + 15 (20) = 307,5 MC = TC = 30Q = 30 (20) = 600

3. PENERIMAANo Penerimaan Total(TR )

Adalah total hasil penerimaan penjualan dari produk yang diproduksi.

TR = f (Q) = P . Q

o Penerimaan Rata-

rata (AR )

Adalah hasil dari penerimaan per unit yang diperoleh dari penjualan suatu barang /jasa pada kuantitas tertentu. Fungsi Average Revenue sama dengan fungsi permintaandari harga barang tersebut.

AR = TR / Q = (P.Q) / Q = P

o Penerimaan Marginal (MR )

Adalah pertambahan hasil penerimaan yang diperoleh akibat pertambahan penjualansatu unit barang / jasa pada suatu kuantitas tertentu.

MR = TR = dTR / dQ


Contoh : 2

Diketahui TR = Q+ 14Q + 1000, tentukan AR dan MR pada Q = 50 !Jawaban :AR = TR / Q = Q + 14 + 1000 / Q = 50 + 14 + 1000 / 50 = 84

MR = TR = 2Q + 14 = 2 (50) + 14 = 114

Contoh Soal :2

1. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Qd = 50 - 2P. Tentukanelastisitas permintaan pada saat harga Rp 6 / unit. Bagaimana sifat elastis permintaantersebut, analisislah !2

Dik : Qd = 50 - 2P Qd = -4P P = Rp 6 / unitJawab : d = Qd . P

Qd

= -4P . P2

50 - 2P

= -4 (6) . 62

50 - 2 (6) = -144 = 6,5 Elastis

-22 Analisis : Jadi Elastisitas Permintaan sebesar 6,5 pada saat harga produk sebesar Rp 6 danjika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang diminta akan turun sebanyak 6,5 %.Periode ATAMATEK 2Hal. 9Modul Praktikum Materi Derivatif

2

2. Fungsi Penawaran suatu barang ditunjukkan oleh persamaan P = 80 + Qs . Tentukanelastisitas penawaran pada saat harga Rp 4 / unit. Bagaimana sifat elastisitas penawarantersebut, analisislah !22

Dik : P = 80 + Qs Qs = P - 80 Qs = 2P P = Rp 4 / unitJawab : s= Qs . P

Qs

= 2P . P2

P - 80

= 2 (4) . 42

(4) - 80= 32 = - 0,5 Inelastis

- 64

Analisis : Jadi Elastisitas Penawaran sebesar 0,5 pada saat harga produk sebesar Rp 4 danjika harga tersebut naik sebesar 1 % maka barang yang ditawarkan akan bertambahsebanyak 0,5 %. 3. Fungsi Permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan 2P = 60 - Q . Tentukanlahtingkat penjualan yang menghasilkan penerimaan total, carilah harga jualnya, hitunglahpenerimaan jika terjual 10 unit, analisislah !Dik : 2P = 60 - Qd P = 30 - 0,5 QdJawab : TR= P . Q

= (30 – 0,5Q) . Q2

= 30Q - 0,5Q TR max, TR = 0

30 – Q = 0

Q = 30 unitTR jika Q

= 30 unit2

TR max= 30Q - 0,5Q 2

= 30(30) - 0,5(30) = 900 – 450 = Rp. 450,-


* P max= TRmax

Qmax

= 450= Rp. 15,-

30* TR jika Q= 10 unit2

TR

= 30Q - 0,5Q 2

= 30(10) - 0,5(10) = 300 – 50 = Rp. 250,-Analisis : Berawal dari tingkat penjualan sebesar 30 unit dan diperoleh penerimaanmaksimal sebesar Rp.450,- dengan harga maksimal Rp.15,-, jika barang yang dijualsebanyak 10 unit, maka penerimaan total yang diperoleh sebesar Rp.250,-.

Daftar Pustaka :

Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, 1995.

Periode ATAMATEK 2Hal. 11Modul Praktikum Materi Integral Tak Tentu

INTEGRAL TAK TENTU

I. KONSEP DASAR INTEGRALDalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan prosespenemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dariderivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ).

A. INTEGRAL TAK TENTUMengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunanantinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilaikonstantanya.Bentuk umum :

∫ f(x) dx

= F(x) + c

n+1

∫ un. du

= U

n +1+ c,

n≠ -1

Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu.Contoh : f(x)dx∫ f(x) dx 12x

Bila c = 4, maka F(x) = 3x + 3x – x – 2x + 4 + 9x –

= F(x)= F(x) + c=

+ c

∫323+12+11+1

2x+ 2 dx

12x 3+1= 3x

+ 3x

+ 9x 2+1

– x - – 1+1 2x2x

–

2x+c

∫

+ c432

432

II. PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMIPenerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabelekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnyamerupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicarifungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).

Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi :A. Fungsi BiayaBiaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :

Periode ATAMATEK 2 Hal. 12 Modul Praktikum Materi Integral Tak Tentu

F(Q) = ∫ f (Q) dQ

TC = ∫ MC dQ

Dan Biaya rata-rata (AC) :

AC = TC / Q

Contoh: 2

Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q , maka carilah fungsibiaya total dan biaya rata-rata dimana c ( konstanta ) sebesar 4 ? TC = ∫ MC dQ2

= ∫ 12Q - 9Q dQ 23

= 6Q – 3Q + cJika c = 4 23

TC = 6Q – 3Q + 42

AC = TC / Q = 6Q – 3Q + 4/Q Analisa : dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC232

= 6Q – 3Q + 4 dan fungsi biya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q – 3Q +4/Q.B. Fungsi PenerimaanPenerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).

F(Q) = ∫ f(Q) dQ

TR = ∫ MR dQ

Contoh : 2

Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR),jika c = 0 ?TR = ∫ MR dQ2

= ∫ 15Q + 10Q – 5 dQ32

= 5Q + 5Q – 5Q + cjika c = 032

TR = 5Q + 5Q – 5Q

C. Fungsi Produksia. Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan Q = masukanb. Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q)c. Produk Total adalah integral dari produk marginal.Periode ATAMATEK 2 Hal. 13 Modul Praktikum Materi Integral Tak Tentu

P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ

Contoh : 2

Diketahui produk marginalnya 2Q + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?2

P = ∫ MP dQ = ∫ 2Q + 4 3

= 2/3 Q + 4Q + c3

jika c = 0, P = 2/3 Q + 4QAnalisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P =3

2/3 Q + 4Q D. Fungsi Konsumsi dan Fungsi TabunganDalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadappendapatan nasional (Y).

C = f(Y) = a + bY

MPC = C’ = dC/dY = f’(Y) = b = turunan dari C

S = g(Y) = -a + (1-b)Y

MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1-b) = turunan dari S

Y = C + S

Y = [ a + bY ] + [ -a + (1-b)Y ]

MPC + MPS = 1

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalahintegral dari MPS.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + c

S = ∫ MPS dY = G(Y) + c

a. k = a = Autonomous Consumption :konsumsiotonommenunjukkanbesarnyakonsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol b. k = a = Autonomous Saving :Tabunganotonommenunjukkanbesarnyatabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).c. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahankonsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanyaperubahan konsumsi tersebut.Periode ATAMATEK 2 Hal. 14 Modul Praktikum Materi Integral Tak Tentu

d. MPS (Marginal Propensity to Saving) :Perbandinganantarabesarnyaperubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkanadanya perubahan konsumsi tersebut.

1 > MPC > ½

Keterangan :MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan untukmenambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah kecilmerupakan tambahan tabungan.MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk konsumsi.MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

Contoh :Dimana C = ∫ MPC dY = ½ dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah… Jawab :C = ∫ MPC dY = ∫½ dY = ½Y + 50

S = Y – ( ½ Y + 50 ) = Y – 50 - ½Y

S = ½ Y – 50Atau S = Y – CS = ∫ MPS dY = ∫ ½ dY = ½Y – 50Y = C + SY = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 ) Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = ½Y +50, fungsi tabungan adalah S = ½ Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnyaadalah Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 ).

Daftar Pustaka :Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta, 1995.

Periode ATAMATEK 2 Hal. 15 Modul Praktikum Materi Integral Tertentu

MODUL INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luassuatu area yang batasan-batasan (limit) nya sudah ditentukan.Rumus Integral tertentu :

b

ba

f x dx F x F b F a a

Keterangan :a = x = batas minimum b = x = batas maksimumdimana a < bcontoh : Hitunglah luas daerah persamaan 2x + 5 dibatasi oleh a=2 dan b=5 !Jawab 2

5 5x]2

2 x 5 dx [ x

22

[5 5(5)] [2 5(2)] 36

Penerapan Integral Tertentu Dalam Ekonomi A. Surplus KonsumenYaitu cerminan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh konsumen tertentu berkenaandengan tingkat harga pasar suatu barang. Besarnya surplus konsumen (Cs) ditunjukkan oleh luasarea dibawah kurva permintaan (P=f(Q)) tetapi diatas tingkat harga pasar (Pe).

QeP

Cs f (Q) dQ QePef (P) dP

0Pe

Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan dipasar

Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

P

= Tingkat harga pada saat Q=0

Periode ATAMATEK 2 Hal. 16

Modul Praktikum Materi Integral Tertentu

contoh :1. Jika fungsi permintaan P = 8 - Q dan tingkat kuantitas keseimbangan pasarnya adalah 2,hitunglah surplus konsumennya dan analisislah! Qe 2 Pe 8 (2) 6 Qe

Cs f (Q) dQ Qe Pe

02

8 QdQ 2 6

0

2

0,5Q 0

820.52800.5012

8Q

1222

14 0 12 2Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar 2 karena konsumen dapat membeli barangtersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi.

2. Fungsi permintaan suatu barang ditunjukkan oleh persamaan Q = 6 - P. Hitunglahsurplus konsumen jika tingkat harga keseimbangan pasarnya 4 !Pe 4 Qe 6 (4) 2 P 0Q 6

Q 0P 6 P

P

Cs

f PdP

Pe6

6 PdP

4

6P 0.5P 26 42

660.56640.542

18 16 2Analisis : Konsumen memperoleh surplus sebesar 2 karena konsumen dapat membeli barangtersebut dengan harga 6 padahal mereka sanggup membayar lebih tinggi.Periode ATAMATEK 2 Hal. 17


B. Surplus ProdusenYaitu mencerminkan suatu keuntungan lebih/surplus yang dinikmati oleh produsen tertentuberkenaan dengan pasar dari barang yang ditawarkan. Besarnya surplus produsen (Ps) ditunjukkanoleh luas area diatas kurva penawaran (P = f(Q)) tetapi dibawah tingkat harga pasar (Pe) rentangwilayahnya dibatasi oleh Q = 0 sebagai batas bawah dan Q = Qe sebagai batas atas.

QePe

Ps QePef (Q) dQ f (P) dP

0

P

Dimana : Qe = Tingkat kuantitas keseimbangan di pasar

Pe = Tingkat Harga keseimbangan di pasar

P

= Tingkat harga pada saat Q=0Contoh1. Bila diketahui fungsi penawaran P = 2Q + 2 dan fungsi permintaan P = 8 - Q. Carilah surplusprodusen dengan dua cara dan analisislah!Cara 1 :Pd Ps2Q 2 8 Q 3Q 8 2 Qe 2

P 222 Pe 6

Qe

Ps Qe Pe

f QdQ

02

2 6 2Q 2dQ

0

12 Q 2Q22 0

12 22202022

12 8 0 4



Cara 2 :P 2Q 2 2Q P 2Q 0.5P 1P 0Q 1

Q 0P 2 PPe

Ps

f PdP

P 6

0.5P 1dP

2

0.25P P26 2

0.25660.252222

3 14

Analisa : Produsen memperoleh keuntungan sebesar 4 dikarenakan perusahaan dapat menjualbarang dengan harga 6 padahal sebenarnya ia bersedia menjual dengan harga yanglebih rendah.


Modul Praktikum Materi Fungsi Transendental

MODUL FUNGSI TRANSENDENTAL

Merupakan suatu hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan. Berguna untuk menentukan tingkat pertumbuhan pada periode yang akan datang.

Termasuk dalam fungsi transendental adalah fungsi eksponensial, fungsi logaritmik, fungsitrigonometrik, fungsi siklometrik, dan fungsi berpangkat irrasional. Tetapi pokok pembahasan di sini hanya pada fungsi eksponensial dan fungsi logaritmik.

A. Fungsi Eksponensial

Adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat variabel bebas. Bentuk Fungsi Eksponensial yang paling sederhana adalah : x di manan > 0 y = n

Bentuk Fungsi Eksponensial yang lebih umum adalah :di manan 0 kx

y = ne + c

e = 2,71828

k , c merupakan konstantaContoh Soal : 0.5x

Tentukan titik potong kurva eksponensial y = e - 1 , pada masing-masingsumbu dan hitunglah f (2) !Jawab : Padasumbux;y= 0

0.5x

e = 1

0.5x

Ln e = Ln 10.5x Ln e= Ln 1 Ln e = 10,5x

= 0

Ln 1 = 0

x= 0Titik potongnya( 0 ; 0 )

MATEK 2 Hal. 20 Periode ATAModul Praktikum Materi Fungsi Transendental

Padasumbuy;x= 0

0.5x

y = e - 1 0.5 (0)

y = e - 1 0

y = e - 1

y = 1 - 1y = 0Titik potongnya ( 0 ; 0 )

Untuk x = 2

0.5x

y = e - 1 0.5 (2)

y = e - 1 1

y = e – 1y = 2,72 – 1y = 1,72Titik potongnya ( 2 ; 1,72 )

Grafik 1Kurva Eksponensial 0.5x

pada y = e

-

1

B. Fungsi Logaritmik

Adalah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma. Bentuk Fungsi logaritmik yang paling sederhana adalah :

dimana

n > 0

n

y = log x

n 1


Bentuk fungsi logaritmik yang lebih umum adalah :di manax > -1y = a ln (1 + x) + b

Contoh soal :

Tentukan titik potong kurva logaritmik y = - 0,5 Ln (1 + x) –1, pada masing-masingsumbu dan hitunglah f (3) !Jawab : Padasumbu x ; y = 0

-0,5 Ln (1 + x) = 1Ln (1 + x) = -2 –2

1 + x = e1 + x = 0,14

x = - 0.86Titik potongnya (-0,86 ; 0 )

Padasumbuy ; x = 0

y = -0,5 Ln (1 + x) –1y = -0,5 Ln (1 + 0) –1y = -0,5 Ln 1 –1y = -0,5 .0 – 1y = –1Titik potongnya ( 0 ; -1 )

Untuk x = 3

y = -0,5 Ln (1 + x) –1y = -0,5 Ln (1 + 3) –1y = -0,5 Ln 4 –1y = -0,69 –1y = -1,69Titik potongnya( 3 ; -1,69 )


Grafik 2 Kurva Logaritmik pada y = - 0.5 Ln (1 + x) = 1

C. Penerapan EkonomiBanyak model-model bisnis dan ekonomi sangat relevan ditelaah dengan fungsieksponensial dan fungsi logaritmik, khususnya model-model yang berkenaan dengan aspek

pertumbuhan. Model-model yang menerapkan fungsi eksponensial dan fungsi logaritmiktersebut antara lain :

1. Model Bunga MajemukModel ini digunakan untuk menghitung jumlah di masa datang dari jumlahsekarang suatu pinjaman atau tabungan. Model bunga majemuk ini tidak lainmerupakan bentuk fungsi eksponensial.

Fn = P(1 +i

n

Fn = P(1 + i) m.n

)

atau m

di mana : Fn= Jumlah pinjaman atau tabungan setelah n tahun. P = Jumlah sekarang (tahun ke-0). i= Tingkat bunga pertahun. m = Frekuensi pembayaran bunga dalam setahun. n = Jumlah tahun

Di sini Fn sebagai variabel terikat (dependent variable) dan n sebagai variabelbebas (independent variable). Dengan demikian prinsip-prinsip penyelesaian persamaaneksponensial relevan diterapkan atas model ini.MATEK 2 Hal. 23 Periode ATAModul Praktikum Materi Fungsi Transendental

Jika m sangat besar, bunga diperhitungkan sangat sering (terus-menerus) dalamsetahun sehingga jumlah di masa datang tersebut dapat diperoleh dengan cara :

dimana e

= 2,71828

m

Fn ≈ Pe

Contoh Soal :Seorang pengusaha muda sedang melakukan pengembangan usaha, modal yangdibutuhkan sekitar Rp 10.000.000,-. Untuk itu, ia meminjam modal ke BankKonvensional dengan bunga pinjaman 10 % pertahun dan diperhitungkan secarabulanan (1 tahun = 12 bulan) untuk jangka waktu 5 tahun. Hitunglah jumlah yangharus dibayarkan oleh pengusaha muda tersebut pada saat pinjamannya jatuh tempo !Jawab:A. Dengan Rumus Bunga Majemuk Biasa1). Tanpa Menggunakan Logaritma

Fn = P(1 +imm.n

)

0.1012.5

F5 = 10.000.000 . (1 + 12F5 = 10.000.000 . (1.008) )60

F5 = 10.000.000 . (1.613)F5 = 16.130.000,-

2). Dengan Menggunakan Logaritma60

F5 = 10.000.000 . (1.008) Log F5 = log 10.000.000 + 60 log 1.613 Log F5 = 7 + 0.208 Log F5 = 7.208 F5

= 16.130.000,-


B. Dengan Rumus Bunga Majemuk Sinambung 1). Tanpa Menggunakan Logaritma

i.m

Fn ≈ Pe

0.10 . 5

F5 ≈ 10.000.000. e0.5

F5 ≈ 10.000.000. e ≈ 10.000.000. (1.65) ≈ 16.500.000,-

2). Dengan Menggunakan Logaritma050

F5 ≈ 10.000.000. e

Ln F5 ≈ Ln 10.000.000 + 0.5 Ln e Ln e = 1

Ln F5 ≈16.12 + 0.5

Ln F5 ≈16.52 ≈ 16.500.000,- Analisis :

“Jumlah uang yang harus dibayar oleh pengusaha muda tersebut saat jatuh tempoadalah sebesar Rp 16.130.000,-. Hal ini berarti bunga pinjaman dalam jangka waktu 5tahun yang harus dibayar adalah sebesar Rp 6.130.000,-.”

2. Model Pertumbuhan

Model pertumbuhan juga merupakan salah satu bentuk eksponensial. Modelsemacam ini tidak saja relevan bagi penaksiran variabel kependudukan, tetapi dapat juga diterapkan untuk menaksir variabel – variabel lain, berkenaan denganpertumbuhannya dan dapat dirumuskan sebagai berikut :

t-1

Pt = P1. R R = 1 + r di mana :

Pt = Jumlah penduduk pada tahun ke-t. t = Jumlah tahun.


P1 = Jumlah penduduk sekarang. r = Tingkat pertumbuhan

Agar model di atas dapat diterapkan secara umum terhadap segala macam variable dantidak semata-mata hanya terpaku pada masalah kependudukan, maka persamaan diatas dapat ubah bentuknya menjadi :

t-1

Nt = N1.R R = 1 + r

di mana : N = Variabel yang diamati. r = Persentase pertumbuhannya persatuan waktu. t = Indeks waktu.

Contoh Soal :Mulia Sejahtera Networking (MS Net) merupakan salah satu perusahaan yangbergerak dalam bidang MLM (Multilevel Marketing) di Indonesia, mulai beroperasi tahun2003. Pada awal usahanya, perusahaan ini menggunakan Personal Marketing / salessebanyak 100 orang untuk seluruh Indonesia. Dan diperkirakan pertumbuhan PersonalMarketingnya sebesar 15 % pertahun. Hitunglah berapa jumlah Personal Marketingdalam jaringan MS Net pada tahun 2010 ? dan analisislah !Jawab : Diketahui : N = 100 orang t = 8 tahun R = 1 + 0.15 r = 0.15 Ditanya: N8 = ….. ?t-1

: Nt =N1.

R Jawab N8

-1

8

= 100 . (1.15) N8 = 100 . (2.66)N8 = 266 orang


Analisis :“ Dalam kurun waktu 8 tahun ke depan diperkirakan jumlah Personil Marketing (sales)akan meningkat menjadi 266 orang, dengan peningkatan sebesar 166 orang.Peningkatan ini tergolong kecil atau belum optimal peningkatannya.”

3. Kurva GompertzMetode ini digunakan untuk menganalisis variabel yang meningkat secaraeksponensial selama jangka waktu tertentu, tetapi sesudah itu peningkatannya sangatkecil atau bahkan tidak berarti meskipun waktu terus berjalan.

t

N = c a r

di mana: N = Jumlah variabel yang diamati. c= Batas jenuh pertumbuhan. a = Proporsi pertumbuhan awal. r = Tingkat pertumbuhan rata-rata (0 < r <1). t = Indeks waktu.

Contoh Soal :

Perusahaan “MQ Enterprise” merupakan produsen produk VCD penyejuk Qolbuyang sudah beroperasi selama 3 tahun. Produksi awal perusahaan sebanyak 7.500buah, terjual laris di pasar . jika tingkat rata-rata pertumbuhannya pertahun sekitar 20%, dengan batas maksimum produksi sebanyak 30.000 buah, hitunglah berapa jumlahproduksi VCD pada tahun ketiga dan analisislah !Jawab :Diketahui : C = 30.000 buah

r = 0.20

A = X = 7.500 = 0.25t = 3

C 30.000Ditanya : N untuk tahun ke–3 atau N3 = …….?


Jawab : Untuk t = 30.20 ^ 3

N = 30.000. ( 0.25 )

Log N = log log 30.000 + 0.20 3 log 0.25

Log N = 4.477 + 0.008 . ( -0.602 )

Log N = 4.477 – 0.0048

Log N = 4.4722

N = 29.661 buah

Analisis : “ Dengan produksi awal sebesar 7.500 buah. Ditambah rata - rata pertumbuhan sekitar20 % pertahun didapatkan jumlah produksi tahun ke – 3 sebesar 29.661 buah. Jumlahproduksi tahun ke- 3 masih dibawah produksi maksimum perusahaan yaitu 30.000buah”. 4. Kurva Belajar ( Learning Curve)Metode ini lebih banyak digunakan ke dalam penerapan ekonomi untukmenggambarkan prilaku produksi dan biaya dalam hubungannya dengan variabelwaktu. Bentuk dasar :-kx

y = m - se k, m, s > 0

Konstanta m melambangkan batas jenuh y, atau y tertinggi yang dapat tercapai. Prilaku Produksi :- r. t

P = Pm - Ps . e

di mana : P = Produksi persatuan waktu setelah t satuan waktu. Pm = Kapasitas produksi maksimum persatuan waktu. Ps = Sisa kapasitas produksi pada permulaan kegiatan produksi (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Tingkat pertumbuhan produksi.


Prilaku Biaya :

- r. t

C = Cm - Cs . e

di mana : C = Biaya total persatuan waktu. Cm =Biaya maksimum yang diperkenankan (anggaran yang disediakan) persatuanwaktu. Cs = Sisa anggaran pada permulaan periode (pada t = 0). t = Indeks waktu. r = Persentase kenaikan biaya persatuan waktu.

Contoh Soal :Percetakan “Adil Sejahtera” mempunyai mesin cetak yang dapat memproduksihingga 10.000 cetakan (produksi maksimum). Pada awal produksi, optimalisasi(pemanfaatan) produksi diperkirakan baru sekitar 60 % dari kapasitas yang tersedia.Namun, manajer operasional yakin bahwa produksi dapat ditingkatkan sekitar 5 %setiap bulannya. Maka :a. Bentuklah persamaan prilaku produksi bulanan percetakan tersebut !b. Berapa jumlah cetakan / produksi perdananya !c. Berapa cetakan yang dapat dioptimalkan / dimanfaatkan perbulannya setelah pabrik beroperasi selama 1 tahun (12 bulan) !d. Analisislah ! Jawab : Diketahui P:m = 10.000

r = 0.05 Ps = 40 % (10.000) = 4.000

t = 1 tahun (12 bulan)a. Persamaan Prilaku Produksi Cetakan.- r. t

P = Pm - Ps . e – 0.05. t

P = 10.000 – 4.000 . e


b. Jumlah perdana cetakan / produksi.

60 % x 10.000 = 6.000 cetakanc. Jumlah cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan).– 0.05. t

P = 10.000 – 4.000 . e– 0.05. 12

= 10.000 – 4.000 . e = 10.000 – 4.000 . ( 0.549 ) = 10.000 – 2196 P = 7.804 cetakan. Analisis :“Hasil cetakan yang dapat dioptimalkan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah sebanyak7804 cetakan, di mana dari 6000 cetakan pada awal produksi. Hal ini berarti adapeningkatan dalam optimalisasi cetakan selama 1 tahun (12 bulan) sebesar 1804cetakan.”

MATEK 2 Hal. 30 Periode ATAModul Praktikum Materi Break Even Point

MODUL BREAK EVEN POINT

A.FUNGSI BIAYABiaya dalam pengertian ekonomi adalah semua barang yang harus dibayarkan produsen untuk

menghasilkan barang atau jasa tersebut siap dikonsumsi konsumen. Oleh karena itu, besarkecilnya biaya yang dikeluarkan tergantung kepada besar kecilnya barang atau jasa yangdihasilkan. Dalam matematika dapat dikatakan bahwa biaya merupakan fungsi dari jumlahproduksi. Secara rumus dapat ditulis :

TC = a + f (Q)

Dimana TC = Total Cost ( jumlah biaya ), sedangkan Q = jumlah produksi.Jadi fungsi biaya adalah suatu fungsi yang menunjukkan hubungan antara biaya dan jumlahbarang yang diproduksi. Fungsi biaya dapat digambarkan dalam bentuk kurva. Maka yangdimaksud dengan kurva biaya adalah suatu kurva yang menggambarkan titik – titikkemungkinan besarnya biaya di berbagai tingkat produksi.

Elemen – elemen fungsi biaya

Menurut analisa jangka pendek, pengertian biaya ini dapat dibedakan menjadi beberapa macam, yaitu :

TC = Total Cost ( JUmlah biaya keseluruhan )TFC= Total Fixed Cost ( Jumlah Biaya tetap )TVC= Total Variabel Cost ( Jumlah biaya variable cost )VC = Variabel Cost ( Biaya variable yang digunakan perusahaan )AC = Average Cost ( Biaya Rata – rata )MC = Marginal Cost (perubahan biaya karena adanya perubahan produksi perunit)


Bentuk umum rumus fungsi biaya :

TC

= TFC + TVC

TVC

MCAC= TFC + VC ( Q ) = VC / unit X Q= TC / Q=

TC / Q P

TC

VC

FC

QContoh :Jika diketahui suatu perusahaan “RAIHAN” yang bergerak dalam bidang penjualan pakaianmuslim mempunyai biaya tetap 400.000, biaya variabel 20.000 dengan Quantitas 20 unit.Berapa TC dan AC ?Diketahui : FC = 400.000

VC = 20.000

Q = 20 Unit

Ditanya :TC serta AC . . . . . . . . . . . . ?

Jawab:TC = TFC + VC ( Q )

= 400.000 + 20.000 ( 20 ) = 800.000

AC= TC / Q= 800.000 / 20= 40.000


P

TC

VC

400.000

FC

Q

B.FUNGSI PENERIMAANApabila barang hasil produksi dijual dipasar, maka uang hasil penjualan barang tersebutdinamakan jumlah pendapatan dan dapat pula disebut “Total Revenue”. Oleh karena itu,besarnya Total Revenue sama dengan harga perunit dikalikan jumlah unit yang terjual. Secaramatematika dapat dirumuskan :

TR = P X Q

Elemen – elemen fungsi penerimaan :

TR = Total Revenue (jumlah pendapatan yang diterima secara keseluruhan)AR = Average Revenue (Rata – rata penerimaan)P= Price ( Harga per unit barang )MR= Marginal Cost ( Perubahan penerimaan karena adanya perubahan produksi perunit )

P

TR

Q


Contoh Soal :Perusahaan “BENAYU” menjual produknya dengan harga sebesar 40.000. Berapa besarnya TRdan AR ?

Diketahui : Q = 20 unit P = 40.000

Ditanya : TR serta AR . . . . . . . . . ?

Jawab :TR = P X Q

= 40.000 X 20= 800.000

AR= TR / Q

= 800.000 / 20= 40.000

P

TR

40.000

20 Q


C.BREAK EVEN POINTBerdasarkan TR dan TC diatas, dapatlah ditemukan bahwa pada suatu saat perusahaan beradadisalah satu kemungkinan dari ketiga kemungkinan dibawah ini :TR

<

TC

--------------

Rugi

TR=TC -------------- BEP

TR>TC-------------- Laba

Bentuk umum BEP

BEP Dalam unit :

BEP Dalam rupiah :

TRP X

Q

==

TC TFC

+

TVC FC

Q =

P – VC FC

P =

1 – VC / P

TRTC

P

VC

FC

Q


Contoh :Qiqi Butik memproduksi jaket trendy dengan harga jual Rp 60.000,- per jaket. Diketahui biaytetap dan biaya varibelnya masing-masing adalah Rp 3.000.000,- dan Rp 40.000,- per jaket.Hitunglah :a) Berapa unit dan rupiahnya agar perusahaan tidak mengalami untung maupun rugi !b) Kenaikan BBM mengakibatkan kenaikan untuk biaya variabel per jaket sebesar Rp10.000,-. Berapa BEP unit dan BEP rupiah setelah kenaikan BBM !c) Gambar grafik dan analisa !

Jawab :

Dik : P = Rp 60.000,- per jaket FC = Rp 3.000.000,- VC= Rp 40.000,- per jaket

Dit : a) BEP dalam Unit

b) BEP dalam Unit setelah adanya keaikan VC sebesar Rp. 10.000

Jawaban ;

a) BEP dalam Unit

Q = = 150

3000.000

60.000-40.000b) BEP setelah ada kenaikan VC sebesar Rp 10.000 3000.000

Q = = 300

60.000-50.000


D.PENJUALAN MINIMAL ( MINIMAL SALES )Dalam penjualan minimal ini perusahaan ingin mengetahui berapa unit yang harus dijual jikaperusahaa mentargetkan laba yang harus dicapai.Bentuk umum untuk penjualan minimal :

=

FC + laba

Q

P – VC

Contoh :Jika perusahaan “RABBANI” mentargetkan laba sebesar 100.000 maka berapakah penjualanminimal perusahaan tersebut ?Diketahui : FC= 400.000

P = 800.000

VC = 40.000

Laba = 400.000

Ditanya :Berapa penjualan minimal . . . . . . . . . . . ?Jawab :

Jika perusahaan “RABBANI” ingin mencapai target maka penjualan minimal adalah 25 unit.

Q

Q

=

FC + Laba

P – VC

400.000 + 100.000=

40.000 – 20.000

= 25 unit MATEK 2 Hal. 37 Periode ATA

modul praktikum materi derivatif

Documents