modul kalkulus lanjut.1
TRANSCRIPT
MODUL MATA KULIAH
KALKULUS LANJUT
OLEH :
1. Rizqi Tresnaningsih2. Swasti Maharani
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI MADIUN
2010
Modul Kalkulus Lanjut 1
A. INTEGRAL RNGKAP 2
1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang
Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak
peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap.
Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada
selang tertutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah
fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan kita bahas tentang
integral lipat dua juga integral lipat tiga.
Gambar 1.1
Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu
koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : }. Bentuk suatu partisi dengan cara
membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang
kecil yang jumlahnya n buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan dan
Modul Kalkulus Lanjut 2
x
b
a
dc
kR),( kk yx
z
y
adalah panjang sisi-sisi dan = . adalah luas. Pada ambil sebuah titik misal
dan bentuk penjumlahan Riemann .
Definisi :
Integral lipat dua
Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R,
jika :
ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut ,
yang disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh
=
Sifat-sifat Integral Lipat Dua :
1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:
2.
3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka :
Modul Kalkulus Lanjut 3
Perhitungan Integral Lipat dua
Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral lipat dua
merupakan luas R.
=
= k.A(R)
Contoh Soal
1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :
f(x,y) =
hitung dengan R = {
jawab :
misal persegi panjang R1, R2, R3
R1 = {
R2 = {
R3 = { , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua,
sehingga :
+ +
= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)
= 1.3 + 2.3 + 3.3
= 18
2. Hampiri dengan ,
Modul Kalkulus Lanjut 4
R = { . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann!
Jawab :
Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang sama
dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-
nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :
= (1,1), f =
= (1,3), f =
= (1,5), f =
= (1,7), f =
= (3,1), f =
= (3,3), f =
= (3,5), f =
= (3,7), f =
Jadi karena = 4, = = 2.2 = 4
Modul Kalkulus Lanjut 5
4
8
(4,8)
(0,8,8)
(4,8,6)
(4,0,2)
(0,0,4)
x
y
z
≈
=
=
= 138
Integral Lipat
Jika pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1
V = , R = { .
Gambar 1.2
Iris : Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 2a)
Modul Kalkulus Lanjut 6
b
a
a b
R
z
Gb. 1
LATIHAN SOAL 1LATIHAN SOAL 1
Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y)
Volume dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh ≈ A(y) , diintegralkan ,
V = , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :
A(y) = , sehingga : V = …….. (2)
Dari (1) dan (2) :
= begitu juga =
Perhitungan Integral Lipat
Modul Kalkulus Lanjut 7
LA(y)
x
y
y Gb. 1.3
Gb. 2b
Permasalahan :
Hitung :
a.
b.
c.
Jawab :
a.
............................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
b.
............................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 8
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
c.
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Perhitungan Volume
Contoh soal :
Modul Kalkulus Lanjut 9
Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan dibawah persegi
panjang R = {
Jawab :
Jawab :
V =
= =
= =
= satuan volum
Modul Kalkulus Lanjut 10
1
2
(1,2)
(0,0,4)
(1,0,3)(1,2,1)
(0,2,2)
y
z
x
AYO DISKUSI KELOMPOK...AYO DISKUSI KELOMPOK...
Kerjakan permasalahan berikut, diskusikan dengan anggota kelompokmu!
Permasalahan :
1. Andai R = { .
, , , ,
Hitung !
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2. Andai R = , }
, }
, }
Jika = 3, =5, = 2, tentukan :
a.
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 11
b.
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
c.
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
3. Hitung :
a.
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 12
b.
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
4. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z = x+y+1
diatas R = { !
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 13
KUISKUIS
Kerjakan soal berikut dengan benar!
1. Hitung jika R = { !
2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z = 2x + 3y atas
R = { !
2. Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang
Modul Kalkulus Lanjut 14
Gb.1 Gb.2 Gb.3
S S
f(x,y)=0
z = f(x,y)
S
Gambar 2.1
Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh suatu persegi
panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2). andai f(x,y) terdefinisi pada S
dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R diluar S (Gb.3), f dapat diintegralkan pada S jika
dapat diintegralkan pada R.
=
Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum
Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu dan
pada [a,b] sedemikian sehingga :
Modul Kalkulus Lanjut 15
S
d
x= x=y y=(x)
y= (x)x
y
0
S
Gb.2.2 Gb. 2.3 Sebuah himpunan y sederhana sebuah himpunan x sederhana
Bukan himpunan x sederhana
Atau y sederhana
Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu dan
pada [a,b] sedemikian sehingga : . Sedangkan suatu
himpunan S adalah x sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu dan pada
[c,d] sedemikian sehingga : . Jika kita ingin
menghintung integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S yang y
sederhana. Kita lingkungi S di dalam suatu persegi panjang R (gb.6) dan membuat f(x,y)=0 di
luar S, maka :
= =
Modul Kalkulus Lanjut 16
ba
cx
0
S
y= (x)
y= (x)
x
y
0
S
R
xa b
Gb.2.4
= , secara ringkas
=
Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu adalah
sepanjang garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan luas A(x) dari gambar
tersebut, akhirnya A(x) diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika himpunan S adalah x
sederhana, maka
=
Kerjakan soal berikut!
1. Hitung :
Modul Kalkulus Lanjut 17
a
b
A(x)
z=f(x,y)
Gb.2.5
y= (x) y= (x)x
z
y
LATIHAN 3LATIHAN 3
a.
b.
Jawab :
a.
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
b.
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
1. Cari volume benda di oktan I, oleh silinder , !
Modul Kalkulus Lanjut 18
AYO DISKUSI KELOMPOK...AYO DISKUSI KELOMPOK...
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
2. Dengan menggunakan double integral, buktikan rumus luas lingkaran dengan
persamaan ! Buktikan dengan bentuk integral berikut: dan !
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 19
.................................................................................................................................................
3. Hitung isi benda yang dibatasi oleh tabung (silinder) , z = 0, dan bidang z - y = 0!
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Kerjakan soal-soal berikut ini!
Modul Kalkulus Lanjut 20
KUISKUIS
1. Hitung isi benda yang dibatasi oleh bidang z =0, permukaan dan tabung
!
2. Hitung isi benda yang terjadi oleh pemotongan kedua silinder dan !
3.
a.
b.
c.
d. Luas daerah yang dibatasi kurva dan y = x
e. Luas daerah yang dibatasi kurva dan y = 2x +3
3. Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub
Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan
tak negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan ini dan diatas R adalah
V = ...... (1)
Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk : R = {
Modul Kalkulus Lanjut 21
Dengan dan . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai
z = f(x,y) =
Modul Kalkulus Lanjut 22
R
z=f(x,y)=F(r, )
x
y
z
r=a
r=b
R
Rk
Rk
R
k
Partisi R dalam persegi panjang kutub yang
lebih kecil R1, R2
, …. Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub
pada gambar diatas luas A(Rk) dapat ditulis :
dengan adalah radius
rata-rata Rk. Jadi V
Gb.2.6
Gb.2.7
Sehingga :
V = ........ (2)
Dari (1) dan (2) :
=
Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari yang lalu kita
mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana, pada pengintegralan
kutub ini, kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana dan himpunan sederhana.
Himpunan r sederhana berbentuk dan disebut
sederhana jika berbentuk :
Modul Kalkulus Lanjut 23
Gb.2.8
S
r=
r=
S
=
=
r=a r=b
Kerjakan soal-soal berikut ini diskusikan dengan temanmu!
1. Hitung dengan s adalah daerah di kuadran 1 yang berada di luar lingkaran r =2
dan di dalam kardioid
Jawab
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 24
Gb.2.9Himpunan r sederhana
Gb.2.10Himpunan sederhana
LATIHAN 3LATIHAN 3
.................................................................................................................................................
2. Tentukan volume benda pejal di bawah permukaan ,diatas bidang x,y dan di
dalam tabung
Jawab
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
3. Hitung luas daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam kardioid
Jawab
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 25
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
4. Penerapan Integral 2
Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan lain yaitu
mencari massa, pusat massa dan momen inersia.
a. Massa
Modul Kalkulus Lanjut 26
Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan (massa/ satuan
luas) di (x,y) dinyatakan oleh . Partisikan s dalam persegi panjang kecil
Ambil titik ( pada . Massa secara hampiran dan
massa total lamina secara hampiran
Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi
mendekati nol, sehingga :
Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2:
b. Pusat Massa
Jika adalah kumpulan titik massa yang masing-masing ditempatkan di (
,( ,.......,( pada bidang maka momen total terhadap sumbu y dan
sumbu x. , . Koordinat ( dari pusat massa:
Koordinat ( dari pusat massa.
dan
Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama), tapi jika
kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:
dan
Modul Kalkulus Lanjut 27
c. Momen Inersia
Definisi:
Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat jarak terpendek
dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan r adalah jarak, sehingga :
Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan yang mencakup suatu daerah s
dari bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri momen inersia tiap
keping , ambil limit dan dbawa ke rumus diatas, sehingga momen inersia terhadap
sumbu x, y dan z adalah , , dan
Cotoh soal:
Sebuah lamina dengan kerpatan dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva .
Tentukan :
a. Massa
b. Pusat massa
Modul Kalkulus Lanjut 28
c. Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z
Jawab :
a.
=
=
=
=
Kerjakan soal-soal berikut ini diskusikan dengan temanmu!
1. Tentukan letak titik berat dari bidang datar yang dibatasi oleh parabola dan
garis x = 1, jika kerapatan k di titik adalah !
Jawab
Modul Kalkulus Lanjut 29
LATIHAN 4LATIHAN 4
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
2. Hitung momen inersia terhadap sumbu koordinat dan titik O, dari bidang datar yang
dibatasi oleh parabola dan garis x + y = 0, dengan kerapatan k di titik (x,y)
adalah k = x + y!
Jawab
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 30
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
3. Hitung momen inersia Ix, Iy, Iz dari bidang datar yang terletak pada kuadran I dalam
lingkaran dan diluar lingkaran r = a !
Jawab
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
B. INTEGRAL RANGKAP 3
1. Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius
Modul Kalkulus Lanjut 31
y
z
Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk
balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu partisi P dari B dengan
meletakkn bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam
balok-balok bagian, yaitu: . Pada , ambil satu titik contoh
dan dengan penjumlahan Riemann diperoleh:
Dengan = adalah volum . Jika P adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut:
Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat tiga
mempunyai urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua. Sehingga integral
lipat di fungsi f(x,y,z) atas daerah B ditulis sebagai berikut:
, misalnya kita tuliskan , yang mempunyai arti:
a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z sebagai
konstanta
b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z sebagai konstanta
c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z.
Modul Kalkulus Lanjut 32
x
∆y
∆z
∆x
B
BkGb. 3.1
Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan pengintegralannya
menyesuaikan.
Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup maka untuk
menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali, demikian pula untuk
menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f kontinu. Sehingga bila B balok
persegi panjang yang dibatasi. }
Bila }, maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B adalah:
}
Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.
2. Perhitungan dan Penerapan Integral Rangkap 3
Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S himpunan z
sederhana dan adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy, untuk lebih jelasnya
perhatikan gambar berikut:
Modul Kalkulus Lanjut 33
x
z
y
b
dc
a
e
f
Gb. 3.2
z
Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh:
Dimana adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya jika Sxy
daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar 3.4 . yang dibatai
oleh: , sehingga dengan integral berulang diperoleh:
=
Modul Kalkulus Lanjut 34
Sxy
x
y
Sxy
y
x
Gb. 3.3
Gb. 3.4
Sxy
Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan urutan-
urutan pengintegralannya.
1. Hitung
Jawab
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
2. Hitung
Jawab
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 35
LATIHAN 4LATIHAN 4
Kerjakan soal berikut diskusikan dengan teman kelompokmu!
1. Hitung , bila , bila diambil
pendekatan dV=dx dy dz !
Jawab
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 36
AYO DISKUSI KELOMPOK...AYO DISKUSI KELOMPOK...
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
2. Hitung , jika f(x,y,z) = xz . S adalah benda pejal yang dibatasi silinder
paraboloid , bidang x + y =4, y = x, x = 0, y = 0. !
Jawab
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Modul Kalkulus Lanjut 37
3. Hitung volume benda pejal dibawah bidang y + z = 4 dan dibatasi silinder paraboloid
, , bidang-bidang x = 0 dan z = 0 !
Jawab
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
Kerjakan soal-soal berikut ini!
1. Hitung volume benda pejal di bawah permukaan paraboloid dibatasi , x +
y = 2, z = 0, x = 0 !
2. Hitung isi benda yang dibatasi bidang z = 0, permukaan dan tabung
!
Modul Kalkulus Lanjut 38
KUISKUIS
Modul Kalkulus Lanjut 39
Modul Kalkulus Lanjut 40