modul kalkulus lanjut.1

70
MODUL MATA KULIAH KALKULUS LANJUT OLEH : 1. Rizqi Tresnaningsih 2. Swasti Maharani Modul Kalkulus Lanjut 1

Upload: jon-haidir-a-angkat

Post on 30-Dec-2015

82 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Page 1: MODUL Kalkulus Lanjut.1

MODUL MATA KULIAH

KALKULUS LANJUT

OLEH :

1. Rizqi Tresnaningsih2. Swasti Maharani

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

IKIP PGRI MADIUN

2010

Modul Kalkulus Lanjut 1

Page 2: MODUL Kalkulus Lanjut.1

A. INTEGRAL RNGKAP 2

1. Integral Lipat Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk fungsi banyak

peubah. Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap.

Pada integral lipat satu, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada

selang tertutup di R1. Untuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah , pembatasannya adalah

fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut akan kita bahas tentang

integral lipat dua juga integral lipat tiga.

Gambar 1.1

Tetapkan R berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu

koordinat, yakni misal : R : {(x,y) : }. Bentuk suatu partisi dengan cara

membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini membagi R menjadi beberapa persegi panjang

kecil yang jumlahnya n buah, yang ditunjukkan dengan k = 1,2,...n. Tetapkan dan

Modul Kalkulus Lanjut 2

x

b

a

dc

kR),( kk yx

z

y

Page 3: MODUL Kalkulus Lanjut.1

adalah panjang sisi-sisi dan = . adalah luas. Pada ambil sebuah titik misal

dan bentuk penjumlahan Riemann .

Definisi :

Integral lipat dua

Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi panjang tertutup R,

jika :

ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut ,

yang disebut integral lipat dua dan pada R diberikan oleh

=

Sifat-sifat Integral Lipat Dua :

1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:

2.

3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y) g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka :

Modul Kalkulus Lanjut 3

Page 4: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Perhitungan Integral Lipat dua

Jika f(x,y) =1 pada R, maka integral lipat dua merupakan luas R, maka integral lipat dua

merupakan luas R.

=

= k.A(R)

Contoh Soal

1. Andai f sebuah fungsi tangga yakni :

f(x,y) =

hitung dengan R = {

jawab :

misal persegi panjang R1, R2, R3

R1 = {

R2 = {

R3 = { , lalu gunakan sifat penjumlahan di integral lipat dua,

sehingga :

+ +

= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)

= 1.3 + 2.3 + 3.3

= 18

2. Hampiri dengan ,

Modul Kalkulus Lanjut 4

Page 5: MODUL Kalkulus Lanjut.1

R = { . Kerjakan dengan menghitung penjumlahan Riemann!

Jawab :

Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar yang sama

dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-

nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :

= (1,1), f =

= (1,3), f =

= (1,5), f =

= (1,7), f =

= (3,1), f =

= (3,3), f =

= (3,5), f =

= (3,7), f =

Jadi karena = 4, = = 2.2 = 4

Modul Kalkulus Lanjut 5

4

8

(4,8)

(0,8,8)

(4,8,6)

(4,0,2)

(0,0,4)

x

y

z

Page 6: MODUL Kalkulus Lanjut.1

=

=

= 138

Integral Lipat

Jika pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1

V = , R = { .

Gambar 1.2

Iris : Iris benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar terhadap bidang xz (gb. 2a)

Modul Kalkulus Lanjut 6

b

a

a b

R

z

Gb. 1

Page 7: MODUL Kalkulus Lanjut.1

LATIHAN SOAL 1LATIHAN SOAL 1

Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y)

Volume dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh ≈ A(y) , diintegralkan ,

V = , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :

A(y) = , sehingga : V = …….. (2)

Dari (1) dan (2) :

= begitu juga =

Perhitungan Integral Lipat

Modul Kalkulus Lanjut 7

LA(y)

x

y

y Gb. 1.3

Gb. 2b

Page 8: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Permasalahan :

Hitung :

a.

b.

c.

Jawab :

a.

............................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

b.

............................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 8

Page 9: MODUL Kalkulus Lanjut.1

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

c.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Perhitungan Volume

Contoh soal :

Modul Kalkulus Lanjut 9

Page 10: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan dibawah persegi

panjang R = {

Jawab :

Jawab :

V =

= =

= =

= satuan volum

Modul Kalkulus Lanjut 10

1

2

(1,2)

(0,0,4)

(1,0,3)(1,2,1)

(0,2,2)

y

z

x

AYO DISKUSI KELOMPOK...AYO DISKUSI KELOMPOK...

Page 11: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Kerjakan permasalahan berikut, diskusikan dengan anggota kelompokmu!

Permasalahan :

1. Andai R = { .

, , , ,

Hitung !

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

2. Andai R = , }

, }

, }

Jika = 3, =5, = 2, tentukan :

a.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 11

Page 12: MODUL Kalkulus Lanjut.1

b.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

c.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

3. Hitung :

a.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 12

Page 13: MODUL Kalkulus Lanjut.1

b.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

4. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z = x+y+1

diatas R = { !

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 13

KUISKUIS

Page 14: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Kerjakan soal berikut dengan benar!

1. Hitung jika R = { !

2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z = 2x + 3y atas

R = { !

2. Integral Lipat Dua Atas Daearah Bukan Persegi Panjang

Modul Kalkulus Lanjut 14

Gb.1 Gb.2 Gb.3

S S

f(x,y)=0

z = f(x,y)

S

Page 15: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Gambar 2.1

Himpunan S terrtutup dan terbatas di bidang (Gb.1) keliling S oleh suatu persegi

panjang R dan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gb.2). andai f(x,y) terdefinisi pada S

dan didefinisikan f(x,y)=0 pada bagian R diluar S (Gb.3), f dapat diintegralkan pada S jika

dapat diintegralkan pada R.

=

Perhitungan Integral Lipat Dua Atas Himpunan-himpunan Umum

Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu dan

pada [a,b] sedemikian sehingga :

Modul Kalkulus Lanjut 15

S

d

x= x=y y=(x)

y= (x)x

y

0

S

Page 16: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Gb.2.2 Gb. 2.3 Sebuah himpunan y sederhana sebuah himpunan x sederhana

Bukan himpunan x sederhana

Atau y sederhana

Suatu himpunan S adalah y sederhana (gb.4) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu dan

pada [a,b] sedemikian sehingga : . Sedangkan suatu

himpunan S adalah x sederhana (gb.5) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu dan pada

[c,d] sedemikian sehingga : . Jika kita ingin

menghintung integral lipat dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S yang y

sederhana. Kita lingkungi S di dalam suatu persegi panjang R (gb.6) dan membuat f(x,y)=0 di

luar S, maka :

= =

Modul Kalkulus Lanjut 16

ba

cx

0

S

y= (x)

y= (x)

x

y

0

S

R

xa b

Gb.2.4

Page 17: MODUL Kalkulus Lanjut.1

= , secara ringkas

=

Dalam integral sebelah dalam, x dipertahankan tetap. Pengintegralan itu adalah

sepanjang garis tebal dari gambar 6. pengintegralan menghasilkan luas A(x) dari gambar

tersebut, akhirnya A(x) diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika himpunan S adalah x

sederhana, maka

=

Kerjakan soal berikut!

1. Hitung :

Modul Kalkulus Lanjut 17

a

b

A(x)

z=f(x,y)

Gb.2.5

y= (x) y= (x)x

z

y

LATIHAN 3LATIHAN 3

Page 18: MODUL Kalkulus Lanjut.1

a.

b.

Jawab :

a.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

b.

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

1. Cari volume benda di oktan I, oleh silinder , !

Modul Kalkulus Lanjut 18

AYO DISKUSI KELOMPOK...AYO DISKUSI KELOMPOK...

Page 19: MODUL Kalkulus Lanjut.1

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

2. Dengan menggunakan double integral, buktikan rumus luas lingkaran dengan

persamaan ! Buktikan dengan bentuk integral berikut: dan !

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 19

Page 20: MODUL Kalkulus Lanjut.1

.................................................................................................................................................

3. Hitung isi benda yang dibatasi oleh tabung (silinder) , z = 0, dan bidang z - y = 0!

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

Kerjakan soal-soal berikut ini!

Modul Kalkulus Lanjut 20

KUISKUIS

Page 21: MODUL Kalkulus Lanjut.1

1. Hitung isi benda yang dibatasi oleh bidang z =0, permukaan dan tabung

!

2. Hitung isi benda yang terjadi oleh pemotongan kedua silinder dan !

3.

a.

b.

c.

d. Luas daerah yang dibatasi kurva dan y = x

e. Luas daerah yang dibatasi kurva dan y = 2x +3

3. Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Kutub

Jika z = f(x,y) menentukan suatu permukaan atas R dan andaikan f adalah kontinu dan

tak negatif, maka volume V dari benda pejal dibawah permukaan ini dan diatas R adalah

V = ...... (1)

Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub R berbentuk : R = {

Modul Kalkulus Lanjut 21

Page 22: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Dengan dan . Persamaan permukaan diatas dapat ditulis sebagai

z = f(x,y) =

Modul Kalkulus Lanjut 22

R

z=f(x,y)=F(r, )

x

y

z

r=a

r=b

R

Rk

Rk

R

k

Partisi R dalam persegi panjang kutub yang

lebih kecil R1, R2

, …. Rn. dengan menggunakan suatu kisi kutub

pada gambar diatas luas A(Rk) dapat ditulis :

dengan adalah radius

rata-rata Rk. Jadi V

Gb.2.6

Gb.2.7

Page 23: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Sehingga :

V = ........ (2)

Dari (1) dan (2) :

=

Jika pada integral lipat dua diatas daerah bidang yang telah kita pelajari yang lalu kita

mengenal istilah himpunan x sederhana dan himpunan y sederhana, pada pengintegralan

kutub ini, kita mengenal istilah istilah himpunan r sederhana dan himpunan sederhana.

Himpunan r sederhana berbentuk dan disebut

sederhana jika berbentuk :

Modul Kalkulus Lanjut 23

Gb.2.8

S

r=

r=

S

=

=

r=a r=b

Page 24: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Kerjakan soal-soal berikut ini diskusikan dengan temanmu!

1. Hitung dengan s adalah daerah di kuadran 1 yang berada di luar lingkaran r =2

dan di dalam kardioid

Jawab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 24

Gb.2.9Himpunan r sederhana

Gb.2.10Himpunan sederhana

LATIHAN 3LATIHAN 3

Page 25: MODUL Kalkulus Lanjut.1

.................................................................................................................................................

2. Tentukan volume benda pejal di bawah permukaan ,diatas bidang x,y dan di

dalam tabung

Jawab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

3. Hitung luas daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam kardioid

Jawab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 25

Page 26: MODUL Kalkulus Lanjut.1

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

4. Penerapan Integral 2

Penerapan integral dua selain untuk mencari volume benda pejal, penerapan lain yaitu

mencari massa, pusat massa dan momen inersia.

a. Massa

Modul Kalkulus Lanjut 26

Page 27: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Andai suatu lamina mencakup daerah s di bidang xy dan jika kerapatan (massa/ satuan

luas) di (x,y) dinyatakan oleh . Partisikan s dalam persegi panjang kecil

Ambil titik ( pada . Massa secara hampiran dan

massa total lamina secara hampiran

Massa (m) diperoleh dengan mengambil limit rumus diatas untuk norma partisi

mendekati nol, sehingga :

Limit jumlah tersebut membentuk integral rangkap 2:

b. Pusat Massa

Jika adalah kumpulan titik massa yang masing-masing ditempatkan di (

,( ,.......,( pada bidang maka momen total terhadap sumbu y dan

sumbu x. , . Koordinat ( dari pusat massa:

Koordinat ( dari pusat massa.

dan

Pusat massa diatas jika lamina tersebut tak homogen (kerapatan tak sama), tapi jika

kerapatannya sama (homogen), maka pusat massa menjadi:

dan

Modul Kalkulus Lanjut 27

Page 28: MODUL Kalkulus Lanjut.1

c. Momen Inersia

Definisi:

Momen inersia dari suatu partikel adalah hasil kali massa dan kuadrat jarak terpendek

dari partikel terhadap sumbu. Jika m adalah massa dan r adalah jarak, sehingga :

Suatu lamina tak homogen dengan kerapatan yang mencakup suatu daerah s

dari bidang xy, lalu dipartisi seperti pada gambar 1, hampiri momen inersia tiap

keping , ambil limit dan dbawa ke rumus diatas, sehingga momen inersia terhadap

sumbu x, y dan z adalah , , dan

Cotoh soal:

Sebuah lamina dengan kerpatan dibatas sumbu x, garis x =8 , kurva .

Tentukan :

a. Massa

b. Pusat massa

Modul Kalkulus Lanjut 28

Page 29: MODUL Kalkulus Lanjut.1

c. Momen inersia terhadap sumbu x, y dan z

Jawab :

a.

=

=

=

=

Kerjakan soal-soal berikut ini diskusikan dengan temanmu!

1. Tentukan letak titik berat dari bidang datar yang dibatasi oleh parabola dan

garis x = 1, jika kerapatan k di titik adalah !

Jawab

Modul Kalkulus Lanjut 29

LATIHAN 4LATIHAN 4

Page 30: MODUL Kalkulus Lanjut.1

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

2. Hitung momen inersia terhadap sumbu koordinat dan titik O, dari bidang datar yang

dibatasi oleh parabola dan garis x + y = 0, dengan kerapatan k di titik (x,y)

adalah k = x + y!

Jawab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 30

Page 31: MODUL Kalkulus Lanjut.1

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

3. Hitung momen inersia Ix, Iy, Iz dari bidang datar yang terletak pada kuadran I dalam

lingkaran dan diluar lingkaran r = a !

Jawab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

B. INTEGRAL RANGKAP 3

1. Integral Rangkap Tiga Pada Koordinat Kartesius

Modul Kalkulus Lanjut 31

y

z

Page 32: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Perhatikan suatu fungsi f tiga peubah yang didefinisikan atas suatu daerah berbentuk

balok B dengan sisi-sisi sejajar sumbu-sumbu koordinat. Bentuk suatu partisi P dari B dengan

meletakkn bidang-bidang melalui B sejajar bidang koordinat, jadi memotong B ke dalam

balok-balok bagian, yaitu: . Pada , ambil satu titik contoh

dan dengan penjumlahan Riemann diperoleh:

Dengan = adalah volum . Jika P adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap balok bagian, maka kita definisikan integral lipat tiga sebagai berikut:

Jika limitnya ada, seperti halnya pada integral lipat dua. Pengertian integral lipat tiga

mempunyai urutan pengintegralan serupa seperti pada integral lipat dua. Sehingga integral

lipat di fungsi f(x,y,z) atas daerah B ditulis sebagai berikut:

, misalnya kita tuliskan , yang mempunyai arti:

a. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap x dengan menganggap y dan z sebagai

konstanta

b. Pengintegralan pertama dilakukan terhadap y dengan menganggap z sebagai konstanta

c. Terakhir, hasil dari b, diintegrasikan terhadap z.

Modul Kalkulus Lanjut 32

x

∆y

∆z

∆x

B

BkGb. 3.1

Page 33: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Begitu juga jika pengintegralannya ditulis dalam bentuk yang lain ururtan pengintegralannya

menyesuaikan.

Sebagaimana pada integral lipat dua, jika f adalah fungsi pada daerah tertutup maka untuk

menghitung integral tentu digunakan integral berulang dua kali, demikian pula untuk

menghitung integral lipat tiga, digunakan tiga kali, asalkan f kontinu. Sehingga bila B balok

persegi panjang yang dibatasi. }

Bila }, maka untuk menghitung integral lipat tiga atas benda B adalah:

}

Merupakan bentuk perhitungan integral lipat tiga.

2. Perhitungan dan Penerapan Integral Rangkap 3

Andai f(x,y,z) terdefinisi pada S dan f(x,y,z) bernilai nol, bila diluar S. Andai S himpunan z

sederhana dan adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy, untuk lebih jelasnya

perhatikan gambar berikut:

Modul Kalkulus Lanjut 33

x

z

y

b

dc

a

e

f

Gb. 3.2

z

Page 34: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Bila f kontinu dan terintegral pada benda pejal S, maka diperoleh:

Dimana adalah proyeksi permukaan benda S pada bidang xy. Selanjutnya jika Sxy

daerah pada bidang xy yang berbentuk y sederhana, seperti pada gambar 3.4 . yang dibatai

oleh: , sehingga dengan integral berulang diperoleh:

=

Modul Kalkulus Lanjut 34

Sxy

x

y

Sxy

y

x

Gb. 3.3

Gb. 3.4

Sxy

Page 35: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Dari rumus di atas perlu diperhatikan bahwa batasan integrasi harus sesuai dengan urutan-

urutan pengintegralannya.

1. Hitung

Jawab

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

2. Hitung

Jawab

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

...........................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 35

LATIHAN 4LATIHAN 4

Page 36: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Kerjakan soal berikut diskusikan dengan teman kelompokmu!

1. Hitung , bila , bila diambil

pendekatan dV=dx dy dz !

Jawab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 36

AYO DISKUSI KELOMPOK...AYO DISKUSI KELOMPOK...

Page 37: MODUL Kalkulus Lanjut.1

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

2. Hitung , jika f(x,y,z) = xz . S adalah benda pejal yang dibatasi silinder

paraboloid , bidang x + y =4, y = x, x = 0, y = 0. !

Jawab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

Modul Kalkulus Lanjut 37

Page 38: MODUL Kalkulus Lanjut.1

3. Hitung volume benda pejal dibawah bidang y + z = 4 dan dibatasi silinder paraboloid

, , bidang-bidang x = 0 dan z = 0 !

Jawab

.................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................

Kerjakan soal-soal berikut ini!

1. Hitung volume benda pejal di bawah permukaan paraboloid dibatasi , x +

y = 2, z = 0, x = 0 !

2. Hitung isi benda yang dibatasi bidang z = 0, permukaan dan tabung

!

Modul Kalkulus Lanjut 38

KUISKUIS

Page 39: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Modul Kalkulus Lanjut 39

Page 40: MODUL Kalkulus Lanjut.1

Modul Kalkulus Lanjut 40