STATIKA I

MODUL 4BALOK MENGANJUR (OVERHANG) DIATAS

DUA PERLETAKAN

Materi Pembelajaran :1. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Terpusat.2. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Terbagi Rata Penuh.3. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Campuran.4. Balok Menganjur Pada Kedua Belah Sisi Perletakan memikul Beban Terpusat.5. Balok Menganjur Pada Kedua Belah Sisi Perletakan Memikul Beban Terbagi Rata.WORKSHOP/PELATIHAN

Tujuan Pembelajaran : Mahasiswa memahami dan mengetahui tentang gaya-gaya dalam dari

struktur balok menganjur (overhang) terletak diatas dua perletakan dengan beban-beban terpusat, beban terbagi rata dan muatan campuran, dan mampu melakukan perhitungan gaya-gaya dalam (M,D) dan mampu menggambarkannya.

1

BALOK MENGANJUR DIATAS DUA PERLETAKAN

1. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Terpusat.

a = 2 m

P1 = 10 ton

b = 4 m

P2 = 4 ton

c = 1 m

A C D B

Bidang gaya lintang

RAV RBVL = 6 m

DA-C = + RAV +P1 DBD

–

+

DBC

P2RBV

Bidang momen

Bidang momen

Penyelesaian :a. Reaksi Perletakan.

MB = 0,

a/L . (P2 . c)

P1.a.b/L

+

+

–

P2 . c

–

P2 . c

superposisi

RAV . L – P1 . b + P2 . c = 0RAV = P1 . b/L – P2 . c/L

= 10 x 4/6 – 4 x 1/6RAV = + 6,0 ton ()

MA = 0,- RBV . L + P2 . (c + L) + P1 . a = 0RBV = P1 . a/L + P2 .(c + L)/LRBV = 10 x 2/6 + 4 x (1 + 6)/6RBV = + 8,0 ton ().

Kontrol : V = 0,RAV + RBV – P1 – P2 = 06,0 t + 8,0 t – 10 t – 4 t = 0

2

14 t – 14 t = 0 …..(memenuhi)

3

b. Gaya lintang.DA-C = + RAV = + 6,0 ton.DC-B = DC-A – P1 = 6,0 – 10 = – 4,0 ton.DB-D = DC-B + RBV = – 4,0 + 8 = + 4 ton.DB-D = + P2

c. M o m e n .MA = 0MC = + RAV . a = + 6,0 t x 2 m = + 12,0 ton.m’.MB = + RAV . L – P2 . b = 6 x 6 – 10 x 4 = – 4 t.m’, atauMB = – P2 . c = – 4 x 1 = – 4 t.m’.

2. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Terbagi Rata Penuh.

q = 3 t/m’

AX

RAV

C B

RBV

Bidang gaya lintang

x L - x

L = 6 m

Dx = 0

a = 2 m

q a

RAV +

Mx

Bidang momen

- 1/8 q L2

RBV +

–

Bidang momen

Mmaks–

- 1/2 q a2

- 1/2 q a2

superposisi

Penyelesaian :a. Reaksi Perletakan.

MB = 0,RAV . L – q . L . ½ L + q . a . ½ a = 0RAV = ½ q . {L2 – a2}/L RAV = ½ . (3) . {62 – 22}/6RAV = + 8 ton ()

MA = 0,

4

– RBV . L + q . L . ½ L + q . a . (½ a + L) = 0, atau

5

– RBV . L + q . (L + a) . ½ . (a + L) = 0RBV = ½ q . (L + a)2/L RBV = ½ . (3) . (6 +2)2/6RBV = + 16 ton ()

Kontrol : V = 0,RAV + RBV – q . {L + a} = 08 + 16 – 3 . {6 +2} = 024 t – 24 t = 0 ……(memenuhi)

b. Gaya lintang.DA-B = + RAV = + 8 ton.DB-A = + RAV – q . L = 8 – 3 x 6 = – 10 ton.DB-C = DB-A + RBV = – 10 + 16 = + 6 ton.

c. M o m e n .MB = – ½ q . a2 = – ½ .(3) . (2)2

= – 6 t.m’.

Tinjau tampang X, terletak sejauh x dari perletakan A, besar momen pada titik ini, Mx = RAV . x – ½ q . x2

Momen maksimum terjadi pada titik dimana gaya lintang sama dengan nol,

Dx = d(Mx)/dx = d(RAV . x – ½ q . x2)/dxDx = RAV – q . xDx = 0RAV – q . x = 0x = RAV/q = (8 t)/(3 t/m’)

= 2,667 m (dari perletakan A).

Maka momen maksimum,

Mx=2,667 m = (8) . (2,667) – ½ . (3) . (2,667)2 = + 10.667 t.m’.

Titik dimana momen sama dengan nol,

Mx = RAV . x – ½ q . x2 = 0RAV – ½ q . x = 0x = 2 . RAV/q = 2 . (8)/(3)

= 5,333 m (dari perletakan A)

6

3. Balok Menganjur Sebelah Memikul Muatan Campuran.

q = 2 t/m’P = 6 ton

A

RAV

C D B

RBV

a = 4 m b = 2 m c = 1 m

L = 6 m

Bidang gaya lintang

RAV

RBV +

–

P = 6 ton

Bidang momen

RAV . a–

P . c

Penyelesaian :a. Reaksi Perletakan.

MB = 0,RAV . L – q . b . ½ b + P . c = 0RAV = ½ q b2 /L – P . c/L

= ½ x 2 x 22/6 – 6 x 1/6 = 4/6 – 1 = – 2/6RAV = – 0,333 ton () .

MA = 0,- RBV . L + q . b . (½ b + a) + P . (c + L) = 0RBV = q . b . (½ b + a)/L + P . (c + L)/LRBV = 2 x 2 x (½ x 2 + 4)/6 + 6 x (1 + 6)/6 = 20/6 + 7RBV = + 10,333 ton ().

Kontrol : V = 0,RAV + RBV – q . b – P = 0– 0,333 t + 10,333 t – 2 x 2 t – 6 t = 010 t – 10 t = 0 …..(memenuhi)

b. Gaya lintang.DA-C = – RAV = – 0,333 ton. DC-A = DA-C = – 0,333 ton. DC-B = DC-A = – 0,333 ton.

7

DB-C = DC-B – q . b = – 0,333 – 2 x 2 = – 4,333 ton.

8

DB-D = DB-C + RBV = – 4,333 + 10,333 = + 6 ton. DB-D = P = + 6 ton.

c. M o m e n .MA = 0MC = + RAV . a = – 0,333 x 4 = – 1,333 ton.m’.MB = + RAV . L – q . b . ½ b = – 0,333 x 6 – 2 x 2 x ½ x 2 = – 6 t.m’, atauMB = – P . c = – 6 x 1 = – 6 t.m’.

4. Balok Menganjur Pada Kedua Belah Sisi Perletakan memikul Beban Terpusat.

P1 P2 P3

CA

RAV

c

E

a b

L

P2 . a . b/L

B D

RBV

d

Bidang momen

+

P1 . a(P1 . a) . b/L + (P3 . b) . a/L

–

P3 . d

Bidang momen superposisi+

– –P1 . a

Bidang gaya lintang

P1

P3 . d

P3

RBV

Penyelesaian :a. Reaksi Perletakan.

MB = 0,RAV . L – P1 . (L + c) – P2 . (b) + P3 . (d) = 0RAV = P1 . {(L + c)/L} + P2 . (b/L) – P3 . (d/L)

MA = 0,– RBV . L – P1 . (c) + P2 . (a) + P3 . (d + L) = 0RBV = – P1 . (c/L) + P2 . (a/L) + P3 . {(d + L)/L} = 0

+RAV +

– P2 –

9

Kontrol : V = 0,RAV + RBV – P1 – P2 – P3 = 0

b. Gaya lintang.DC-A = – P1.DA-E = DC-A + RAV = – P1 + RAV .DE-B = DA-E – P2 = – P1 + RAV – P2DB-D = DE-B + RBV = P3

c. M o m e n .MA = – P1 . cME = RAV . a – P1 . (c + a)MB = + RAV . L – P1 . (c + L) – P2 . b = – P3 . d

5. Balok Menganjur Pada Kedua Belah Sisi Perletakan Memikul Beban Terbagi Rata.

q t/m’

CA X

B D

RAVx RBV

a L b

1/8 q L2

Bidang momen+

1/2q.a2

Bidang momenMmaks

–

1/2q.b2

M=0+ M=0 superposisi

– 1/2q.a2 –

1/2q.b2

Bidang gaya lintang

RAV

+

–q . a

D=0 RBV

–

q . b+

Penyelesaian :a. Reaksi Perletakan.

MB = 0,

10

RAV . L – q . (L + a) . ½(L + a) + q . (b) . ½(b) = 0RAV = ½ q . (L + a)2/L + ½ q . (b)2/L

11

MA = 0,– RAB . L + q . (L + b) . ½(L + b) – q . (a) . ½(a) = 0RAB = ½ q . (L + b)2/L – ½ q . (a)2/L

Kontrol : V = 0,RAV + RBV – q . L = 0

b. Gaya lintang.DC-A = – q . a.DA-B = DC-A + RAV = – q . a + RAV .DB-A = DA-B – q . (L + a)DB-D = DB-A + RBV

c. M o m e n .MA = – q . (a) . ½(a) = – ½ q . (a)2. MB = – q . (b) . ½(b) = – ½ q . (b)2.

Momen pada tampang X,Mx = RAV . (x) – q . (a + x) . ½(a + x) = RAV . (x) – ½ q . (a + x)2.

Gaya lintang pada tampang X,Dx = d(Mx)/dx = RAV – q . (a + x).

Momen maksimum terdapat pada titik dimana gaya lintang sama dengan nol (D = 0), yaitu,Dx = RAV – q . (a + x) = 0,x = (RAV – q . a)/q

Maka momen maksimum,Mmaks = RAV . (x) – ½ q . (a + x)2.

= RAV . {(RAV – q . a)/q} – ½ q . [a + {(RAV – q . a)/q}]2

12

WORKSHOP/PELATIHAN

P1 P2q t/m’

CA

RAV

X Eq.a

x

B D

RBV

a = 0,6 L bc L d

Diketahui : Struktur gelagar seperti tergambar, memikul muatan terpusat dan terbagi rata dengan ukuran-ukuran sebagai berikut,P1 = (1 + X/4) ton ; P2 = (2 + X/4) ton ; q = (2 + X/4) t/m’. L = (5 + X/4) meter ; c = 1 meter ; d = 2 meter.

Diminta : Gambarkanlah bidang momen dan gaya lintang pada seluruh bentang.

Penyelesaian :a). DATA-DATA.

Misal X = -1 (tanda minus jangan ditiru).P1 = 1 + (-1)/4 = 1 – 0,25 = 0,75 ton. P2 = 2 + (-1)/4 = 2 – 0,25 = 1,75 ton. q = 2 + (-1)/4 = 2 – 0,25 = 1,75 t/m’. L = 5 + (-1)/4 = 5 – 0,25 = 4,75 m.a = 0,6 L = 0,6 . (4,75 m) = 2,85 m. b = L – a = 4,75 – 2,85 = 1,90 m.c = 1 m ; d = 2 m.

b). ANALISA STRUKTUR. b1). Reaksi perletakan.

MB = 0,RAV . L – P1 . (c + L) – q . a . (1/2a + b) + P2 . d = 0RAV = P1 . (c + L)/L + q . a (1/2a + b)/L – P2 . (d)/L

= (0,75 t) . (1 + 4,75)/(4,75) + (1,75 t/m’) . (2,85) . (1/2 . 2,85 + 1,90)/(4,75) –(1,75 t) . (2/4,75)

= 0,908 t + 3,491 – 0,737RAV = + 3,662 t (positip ke atas).

MA = 0,– RBV . L – P1 . (c) – q . (a) . (1/2a) + P2 . (d + L) = 0RBV = – P1 . (c)/L + 1/2 q . a2/L + P2 . (d + L)/L

= – (0,75 t) . (1/4,75) + 0,5 . (1,75 t/m’) . (2,852)/(4,75) +(1,75 t) . (2 + 4,75)/(4,75)

= – 0,158 t + 1,496 t + 2,488 tRBV = + 3,825 t (positip ke atas).

13

Kontrol, V = 0,RAV + RBV = P1 + P2 + q . a3,662 t + 3,825 t = 0,75 t + 1,75 t + (1,75 t/m’) . (2,85 m)

` 7,488 ton = 7,488 ton (memenuhi).

b2). Gaya Lintang.DC-A = – P1 = – 0,75 t.DAE = DC-A + RAV = – 0,75 t + 3,662 t = + 2,912 tDE-B = DAE – q . a = 2,912 – (1,75 t/m’) . (2,85 m) = – 2,075 t.DB-D = DE-B + RBV = – 2,075 t + 3,825 t = + 1,75 t = P2 (memenuhi).

b3). M o m e n.MA = – P1 . c = – (0,75 t) . (1 m) = – 0,750 t.m’. ME = RAV . a – P1 . (c + a) – q . a . 1/2a

= (3,662 t) . (2,85 m) – (0,75 t) .(1 m + 2,85 m) – (1,75 t/m’) . ½ . (2,85)2

= + 0,443 t.m’.MB = + RAV . L – P1 . (c + L) – q . a . 1/2a = – P2 . d = – (1,75 t) . (2 m)

= – 3,50 t.m’.

Momen maksimum terdapat pada titik dimana gaya lintang sama dengan nol (D = 0), momen pada tampang X,

Mx = – P1 . (c + x) + RAV . x – ½ q x2

Gaya lintang pada tampang X,Dx = d(Mx)/dx = – P1 + RAV – q x

Dx = 0,– P1 + RAV – q x = 0x = (– P1 + RAV)/q = (– 0,75 t + 3,662 t)/(1,75 t/m’) = 1,664 m (dari titik A).

Maka momen maksimum,Mmaks = – (0,75 t).(1 m + 1,664 m) + (3,662 t).(1,664 m) – ½ . (1,75 t/m’).(2,85 t)2

Mmaks = + 1,673 t.m’.

Titik dimana momen Mx = 0, dicari sebagai berikut, Mx = – P1 . (c + x) + RAV . x – ½ q x2 = 0½ q x2 + P1 . (c + x) – RAV . x = 0x2 + (P1 – RAV )/(1/2 q) . x + (P1 . c)/(1/2 q) = 0

dimana,(P1 – RAV )/(1/2 q) = (0,75t – 3,662 t)/(1/2 . 1,75 t/m’) = – 3,328 m’. (P1 . c)/(1/2 q) = (0,75 t . 1 m’)/(1/2 . 1,75 t/m’) = 0,857 m2.

Maka,x2 – 3,328.x + 0,857 = 0

x1,23,328

(3,328) 2

2

4. (0,857)

x1 = 0,281 m dari Ax2 = 3,047 m dari A

1

c). GAMBAR BIDANG MOMEN DAN GAYA LINTANG

P1 P2q t/m’

CA

RAV

X Eq.a

x

B D

RBV

a = 0,6 L bc L d

Bidang momen

–

Mx = 01,673 t.m

+ Mx = 0

- 0,75 t.m –

Bidang gaya lintang- 3,5 t.m

1,75 t

3,662 t + D = 0 3,826 t+

0,75 t – –2,075 t

2

K un ci j a w a b a n

NO. STB.

Lm

a m

b m

c m

d m

P1

tonP2

tonq

t/mRAV

tonRBV

tonP1+P2+q

tonRAV+RBV

ton-1 4.75 2.85 1.90 1.00 2.00 0.750 1.750 1.750 3.662 3.825 7.488 7.4880 5.00 3.00 2.00 1.00 2.00 1.000 2.000 2.000 4.600 4.400 9.000 9.0001 5.25 3.15 2.10 1.00 2.00 1.250 2.250 2.250 5.592 4.995 10.588 10.5882 5.50 3.30 2.20 1.00 2.00 1.500 2.500 2.500 6.639 5.611 12.250 12.2503 5.75 3.45 2.30 1.00 2.00 1.750 2.750 2.750 7.739 6.248 13.988 13.9884 6.00 3.60 2.40 1.00 2.00 2.000 3.000 3.000 8.893 6.907 15.800 15.8005 6.25 3.75 2.50 1.00 2.00 2.250 3.250 3.250 10.101 7.586 17.688 17.6886 6.50 3.90 2.60 1.00 2.00 2.500 3.500 3.500 11.363 8.287 19.650 19.6507 6.75 4.05 2.70 1.00 2.00 2.750 3.750 3.750 12.678 9.010 21.688 21.6888 7.00 4.20 2.80 1.00 2.00 3.000 4.000 4.000 14.046 9.754 23.800 23.8009 7.25 4.35 2.90 1.00 2.00 3.250 4.250 4.250 15.467 10.520 25.988 25.988

NO. STB.

DC-A

ton

DAE

ton

DE-B

ton

DB-D

ton

MA

t.m'

ME

t.m'

xm

Mmaks

t.m'MB

t.m'

x1

m

x2

m-1 -0.750 2.912 -2.075 1.750 -0.750 0.443 1.664 1.673 -3.500 0.281 3.0470 -1.000 3.600 -2.400 2.000 -1.000 0.800 1.800 2.240 -4.000 0.303 3.2971 -1.250 4.342 -2.745 2.250 -1.250 1.265 1.930 2.940 -4.500 0.313 3.5462 -1.500 5.139 -3.111 2.500 -1.500 1.845 2.055 3.781 -5.000 0.316 3.7953 -1.750 5.989 -3.498 2.750 -1.750 2.546 2.178 4.772 -5.500 0.315 4.0414 -2.000 6.893 -3.907 3.000 -2.000 3.376 2.298 5.920 -6.000 0.311 4.2845 -2.250 7.851 -4.336 3.250 -2.250 4.341 2.416 7.233 -6.500 0.306 4.5266 -2.500 8.863 -4.787 3.500 -2.500 5.447 2.532 8.721 -7.000 0.300 4.7657 -2.750 9.928 -5.260 3.750 -2.750 6.702 2.647 10.391 -7.500 0.293 5.0018 -3.000 11.046 -5.754 4.000 -3.000 8.112 2.761 12.251 -8.000 0.286 5.2369 -3.250 12.217 -6.270 4.250 -3.250 9.684 2.875 14.310 -8.500 0.280 5.470