i

MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN

RANDOM WALK DAN GERAK BROWN

S K R I P S I

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

GEORGE RIDHO SETYAWAN

NIM : 053114010

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2009

ii

MODEL OF STOCK PRICE MOVEMENT USING

RANDOM WALK AND BROWNIAN MOTION

T H E S I S

Presented As a Partial Fulfillment of The Requirements

to Obtain The Sarjana Sains Degree

In Mathematics

by :

GEORGE RIDHO SETYAWAN

Student Number : 053114010

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTEMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2009

iii

S K R I P S I

MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN

RANDOM WALK DAN GERAK BROWN

Oleh:

George Ridho Setyawan

NIM : 053114010

Telah disetujui oleh:

Pembimbing

Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. Tanggal 25 Juni 2009

iv

S K R I P S I

MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN RANDOM WALK DAN GERAK BROWN

Dipersiapkan dan ditulis oleh:

George Ridho Setyawan

NIM : 053114010

Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji

Pada tanggal 15 Juli 2009

dan dinyatakan memenuhi syarat

Susunan Panitia Penguji

Ketua Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.

Sekertaris Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si.

Anggota Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si.

Yogyakarta, 15 Juli 2009

Fakultas Sains Dan Teknologi

Universitas Sanata Dharma

Dekan

Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T.

v

Pernyataan Keaslian Karya

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak

memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam

kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 25 Juni 2009

Penulis

George Ridho Setyawan

vi

I asked for strength

And God gave me difficulties to make me strong

I asked for wisdom

And God gave me problems to solve

I asked for prosperity

And God gave me a brain and brawn to work

I asked for courage

And God gave me dangers to overcome

I asked for love

And God gave me opportunities

I received nothing I wanted

I received everything I needed

My prayer has been answered

vii

ABSTRAK

Random walk merupakan sebuah teori dalam probabilitas yang menyatakan

bahwa pergerakkan sebuah partikel bersifat random. Dalam random walk,

probabilitas untuk bergerak naik maupun turun adalah sama. Random walk yang

simetrik merupakan random walk yang mempunyai probabilitas yang sama untuk

dua nilai yang berbeda. Random walk termasuk suatu proses stokastik yang

bersifat diskret.

Gerak brown merupakan sebuah proses stokastik yang bersifat kontinu dan

sering disebut sebagai Proses Wiener. Gerak brown dapat dibentuk dari sebuah

random walk yang simetrik yaitu dengan mencari nilai limit dari distribusi

random walk tersebut.

Random walk dan gerak brown dapat dipakai untuk memodelkan pergerakkan

harga saham. Model pergerakkan harga saham dengan kedua teori tersebut dapat

memberikan gambaran yang mendekati kenyataannya.

viii

ABSTRACT

The purpose of this study is to compare two models of probability theory;

Random Walk and Brownian motion. According to random walk theory, a

particle movement is random in nature. This movement whether up or down for

two different values has an equal probability called symmetric random walk.

Random walk is an example of discrete stochastic process.

On the other hand, Brownian motion is an example of continuous stochastic

process which also known as Wiener process. Brownian motion can be formed

from a symmetric random walk by counting the limit of its distribution.

Both Random Walk and Brownian motion can be used to predict the

movement of stock price. The result shows that both models could predict close to

actual stock price.

ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur dan terima kasih kepada Tuhan Yesus Kristus penolong dan

juruselamat dalam hidupku yang oleh karena anugerah dan kemurahanNya

sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini ditulis untuk

memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Program Studi

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta.

Skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik atas bantuan, gagasan, dan

dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini

perkenankanlah penulis menghaturkan terima kasih kepada :

1. Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si. selaku dosen pembimbing yang

telah banyak meluangkan waktu dan dengan penuh kesabaran

membimbing penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan

baik.

2. Yosef Agung Cahyanta, S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi.

3. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi

Matematika yang telah banyak membantu.

4. Ir. Ignatius Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku penguji yang telah banyak

membantu dan memberi masukan kepada penulis.

5. Prof. Frans Susilo, S.J., selaku dosen pembimbing akademik.

6. Sudi Mungkasi, S.Si., M.Sc., dan Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., yang

pernah menjadi dosen pembimbing akademik bagi penulis.

7. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M.Si., yang memberikan banyak

ilmu serta keramahan yang diberikan selama kuliah.

8. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah

memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

x

9. Bapak Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan

administrasi selama penulis kuliah.

10. Perpustakaan USD yang memberikan fasilitas dan kemudahan kepada

penulis.

11. Kedua orang tuaku serta adik dan kakakku yang selalu memberikan

dukungan kepadaku.

12. Eko Budi Santoso, S.E., M.Si. dan Irma Dhearni Saragih, S.E. yang

sudah banyak membantu penulis serta memberikan dukungan selama

penulis menyelesaikan skripsi ini.

13. Keluarga besar Jehovah Nissi dan Full Blast yang sudah memberikan

semangat kepada penulis.

14. Teman-teman matematika angkatan 2005 : Ratna, Chris, Luis, Puput,

Tyas, Nanin, Priskila,Vincent, Sisiria, Ine, Devi, Septi, Wuri, Susi,

Echy, Dedy, Zetho, Yudhi, Sella, Vira.

15. Keluarga besar PMK Oikumene.

16. Keluarga besar Center City on A Hill.

17. Semua pihak yang telah ikut membantu penulis dalam menyelesaikan

skripsi ini.

Walaupun penulis telah berusaha menyelesaikan skripsi ini dengan sebaik-

baiknya, namun penulis menyadari bahwa dalam skripsi ini masih terdapat

kekurangan dan kekeliruan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan saran

dan kritik yang dapat membangun dan menyempurnakan skripsi ini.

Akhirnya, semoga skripsi ini dapat memberikan wawasan dan pengetahuan

bagi pembaca demi perkembangan ilmu pengetahuan, khususnya matematika.

Yogyakarta, 15 Juli 2009

Penulis

xi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma :

Nama : George Ridho Setyawan

NIM : 053114010

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma, Karya Ilmiah saya yang berjudul :

MODEL PERGERAKKAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN RANDOM WALK DAN GERAK BROWN

beserta perangkat-perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya

memberikan kepada Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,

mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan

data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di internet atau

media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta ijin dari saya

maupun member royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya

sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal : 15 Juli 2009

Yang menyatakan

(George Ridho Setyawan)

xii

Daftar Isi

HALAMAN JUDUL i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING iii

HALAMAN PENGESAHAN iv

HALAMAN KEASLIAAN KARYA v

HALAMAN PERSEMBAHAN vi

ABSTRAK vii

ABSTRACT viii

KATA PENGANTAR ix

DAFTAR ISI xii

DAFTAR TABEL xiv

DAFTAR GAMBAR xv

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah 1

B. Perumusan Masalah 3

C. Pembatasan Masalah 3

D. Tujuan Penulisan 3

E. Metode Penulisan 4

F. Manfaat Penulisan 4

G. Sistematika Penulisan 4

BAB II LANDASAN TEORI

A. Probabilitas 6

B. Variabel Random dan Distribusinya 9

C. Distribusi Bernoulli dan Binomial 24

D. Distribusi Normal 31

xiii

BAB III RANDOM WALK DAN GERAK BROWN

A. Random Walk 38

B. Gerak Brown 65

C. Konstruksi Gerak Brown Menggunakan Random Walk Simetrik 70

D. Ito’s Lemma 77

BAB IV MODEL PERGERAKKAN HARGA SAHAM

A. Model Random Walk 81

B. Model Gerak Brown 83

C. Perbandingan Model Random walk dengan Model Gerak Brown 88

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan 91

B. Saran 92

DAFTAR PUSTAKA 93

LAMPIRAN 94

xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 14

Tabel 3.1 61

Tabel 3.2 65

Tabel 4.1 86

Tabel 4.2 86

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 32

Gambar 2.2 37

Gambar 3.1 39

Gambar 3.2 46

Gambar 3.3 71

Gambar 3.4 73

Gambar 4.1 82

Gambar 4.2 83

Gambar 4.3 87

Gambar 4.4 88

Gambar 4.5 90

Gambar 4.6 90

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Dalam bidang ekonomi saham merupakan suatu hal yang sering dibahas dan

diperbicangkan. Saham adalah surat tanda kepemilikan terhadap sebuah

perusahaan. Saham ditransaksikan di sebuah bursa efek melalui proses IPO

(Initial Public Offering). Dengan menerbitkan saham, yang berarti menjual

sebagian kepemilikan perusahaan kepada publik, perusahaan mendapatkan dana

segar yang dapat digunakan untuk tujuan ekspansi, operasional atau yang lainnya.

Dengan menerbitkan saham, nilai sebuah perusahaan menjadi lebih mudah untuk

diukur.

Saham termasuk instrumen investasi yang memiliki resiko tinggi karena

pergerakan harganya yang cepat. Pergerakan harga dari sebuah perusahaan

dipengaruhi oleh banyak hal seperti kinerja perusahaan, laporan keuangan

perusahaan, kondisi ekonomi, estimasi bisnis di masa yang akan datang, dan

banyak lainnya. Hal ini membuat harga saham berfluktuasi secara acak.

Pada interval diskret (misalnya pengamatan per detik), harga dari saham tersebut

diasumsikan dapat berubah menjadi lebih tinggi (meningkat) ataupun lebih

rendah (menurun) satu unit dari harga saham sebelumnya . Dengan kata lain jika

harga saham pada detik ke n adalah , maka harga saham pada detik ke n+1

adalah 1 1 atau 1 1.

2

Seiring dengan perkembangan zaman, pergerakan harga saham tersebut

kemudian dibawa ke dalam bentuk sebuah model matematika yang dapat

menggambarkan pola pergerakan harga saham tersebut. Salah satu model yang

dikembangkan adalah model random walk dan model gerak Brown.

Secara sederhana, random walk dapat digambarkan sebagai suatu

percobaan dimana perpindahan posisi seseorang ditentukan dengan pelemparan

sebuah koin. Bayangkan seseorang berdiri tepat pada titik asal (titik nol) pada

sebuah garis bilangan real. Orang tersebut akan berpindah tempat berdasarkan

hasil pelemparan sebuah koin yang akan dilemparkan sebanyak n kali

pelemparan. Jika hasil pelemparan koin adalah gambar (k), maka orang tersebut

akan bergerak ke arah kanan (arah positif). Demikian juga sebaliknya, jika hasil

pelemparan koin adalah angka (n-k), maka orang tersebut akan bergerak ke arah

kiri (arah negatif). Apabila peluang orang tersebut untuk berpindah ke arah kanan

adalah p dan peluang orang tersebut berpindah ke arah kiri adalah q, maka

diperoleh persamaan berikut

dan 1

Dalam percobaan tersebut, peluang seseorang bergerak ke kanan akan sama

besarnya dengan peluang orang tersebut bergerak ke kiri. Hal ini menunjukkan

bahwa pergerakan orang tersebut merupakan proses stokastik yang sederhana dan

bersifat random.

Gerak Brown pertama kali ditemukan oleh seorang ahli tanaman dari

Skotlandia yaitu Robert Brown. Gerak Brown merupakan suatu kejadian khusus

dari random walk. Gerak Brown dapat dibentuk dari sebuah random walk yang

3

simetrik. Proses gerak Brown sering kali disebut proses Wiener, yaitu salah satu

proses stokastik yang sangat berguna dalam aplikasi teori probabilitas.

B. Rumusan Masalah

1. Apa yang dimaksud dengan Random Walk ?

2. Apa yang dimaksud dengan Gerak Brown ?

3. Bagaimana Random Walk dan Gerak Brown digunakan untuk

memodelkan pergerakan harga saham ?

C. Batasan Masalah

1. Random walk dan gerak Brown yang dibahas hanya yang berdimensi

Satu

2. Deret Taylor dan Maclaurin tidak dibahas secara mendalam

3. Eliminasi Gauss tidak dibahas secara mendalam

4. Sifat spatial homogeneity dari random walk tidak dibahas dan dibuktikan

5. Teorema 2.4.1 tidak dibuktikan

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat untuk

memperoleh gelar Sarjana Sains dalam matemetika. Selain itu penulisan skripsi

ini juga bertujuan :

1. Mempelajari dan memahami Random Walk.

2. Mempelajari dan memahami Gerak Brown.

3. Mempelajari Ito’s Lemma.

4

4. Mempelajari hubungan antara random walk dan gerak Brown dalam

model pergerakan harga saham.

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diperoleh dari penulisan skripsi ini adalah dapat memahami

teori Random Walk dan Gerak Brown serta penggunaanya dalam model harga

saham.

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penyusunan skripsi ini adalah

metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal ilmiah, dan

karangan ilmiah yang telah dipublikasikan. Oleh karena itu dalam karya ilmiah ini

tidak disajikan hal baru dalam bidang matematika. Juga akan digunakan program

Excel, Matlab dan SPSS.

G. Sistematika Penulisan

BAB I: PENDAHULUAN

Dalam bab I dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah,

pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat

penulisan, dan sistematika penulisan.

5

BAB II LANDASAN TEORI

Dalam bab II dibahas tentang probabilitas, variabel random, fungsi

distribusi probabilitas, nilai harapan dan variansi, fungsi

pembangkit momen, distribusi Bernoulli, distribusi binomial,

distribusi normal serta pendekatan normal terhadap binomial.

BAB III RANDOM WALK dan GERAK BROWN

Dalam Bab III dibahas tentang random walk, gerak Brown, dan

Ito’s Lemma.

BAB IV MODEL PERGERAKAN HARGA SAHAM

Dalam Bab IV dibahas tentang model pergerakan harga saham

menggunakan random walk dan gerak Brown.

BAB V PENUTUP

Dalam Bab V akan diberikan kesimpulan dan saran.

6

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Probabilitas

Ruang sampel (S) adalah himpunan yang unsur-unsurnya menyatakan semua

kemungkinan hasil suatu percobaan. Setiap unsur dari ruang sampel disebut titik

sampel. Kejadian (event) adalah himpunan bagian dari ruang sampel S.

Definisi 2.1.1

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk

A, sehingga

0 1 , 0 , dan 1

Definisi 2.1.2 Probabilitas klasik

Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N titik sampel yang berbeda dan

masing-masing berkemungkinan sama untuk terjadi, dan jika tepat ada sebanyak n

dari titik-titik sampel tersebut merupakan unsur dari kejadian A, maka probabilitas

kejadian A adalah :

P

Teorema 2.1.1 (Aturan Penjumlahan)

Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka probabilitas terjadinya kejadian A

atau B adalah

(2.1)

7

Bukti :

Pendekatan yang akan digunakan adalah mengekspresikan kejadian dan A

sebagai gabungan dari kejadian yang saling lepas

′

′

dengan demikian

′

′

Sehingga

′

Jika A dan B adalah kejadian yang saling asing dengan 0, maka

aturan penjumlahan menjadi semakin sederhana yaitu

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah

terjadi disebut probabilitas bersyarat dan dinyatakan dengan | . Lambang

| biasanya dibaca ‘probabilitas kejadian B terjadi bila diketahui kejadian A

terjadi’ atau lebih sederhana lagi ‘probabilitas B, bila A diketahui’.

8

Definisi 2.1.3

Probabilitas bersyarat B bila A diketahui, dinyatakan dengan | , ditentukan

oleh

| P A BP A

dengan 0 (2.2)

Contoh 2.1.1

Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu

0,83 ; peluang sampai tepat waktu 0,82 dan peluang berangkat

dan sampai tepat waktu 0,78. Cari peluang bahwa a). pesawat sampai

tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu, dan b). Pesawat berangkat tepat

waktu jika diketahui sampai tepat waktu.

Jawab :

a) Peluang pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu

| ,,

0,94

b) Peluang pesawat berangkat tepat waktu bila diketahui sampai tepat waktu

| ,,

0,95

Teorema 2.1.2 (Aturan Perkalian)

Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka

| (2.3)

9

Bukti :

Bukti teorema ini akan diturunkan dari definisi probabilitas bersyarat (2.1.3)

| P A BP A

|

Definisi 2.1.4

Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika

B. Variabel Random dan Distribusinya

Gagasan untuk mendefinisikan sebuah fungsi yang dikenal dengan variabel

random timbul karena model-model matematika diekspresikan dalam bentuk

nilai-nilai numeris dari pada hasil percobaan asli seperti sisi, warna, atau yang

lain.

Definisi 2.2.1

Variabel random, misalnya X adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel

S, yang memetakan setiap elemen e∈S ke bilangan real.

Notasi : SexeX ∈= ,)(

x R∈

Untuk lambang variabel random digunakan huruf-huruf kapital X, Y, Z,

sedangkan untuk melambangkan nilai variabel random yang mungkin, digunakan

huruf-huruf kecil yang bersesuaian seperti x, y, z.

10

Contoh 2.2.1

Jika seseorang melempar dua buah dadu secara bersamaan maka,

ruang sampel S = (i,j)| i,j∈1, 2, 3, 4, 5, 6.

Variabel random X menyatakan jumlah bilangan yang muncul pada kedua buah

dadu maka X(i,j) = i + j, sehingga X(3,5) = 3 + 5 = 8

X(5,2) = 5 + 2 = 7

Konsep variabel random dapat dipahami sebagai sebuah pemetaan dari

himpunan S ke himpunan bilangan real. Kemudian konsep ini dipakai untuk

menghitung peluang timbulnya suatu kejadian.

Dengan mengambil contoh 2.2.1, didefinisikan kejadian memperoleh jumlah

bilangan maksimal adalah 3. Titik-titik sampel kejadian ini dapat dituliskan

sebagai 3,2∈Y atau dapat pula dinyatakan dalam interval 3| ≤= yyY .

Dengan probabilitas :

121

363))1,2(),2,1(),1,1(()3( ===≤ PYP .

Variabel random diskret adalah variabel random yang didefinisikan pada

ruang sampel diskret dan nilainya berhingga atau tak berhingga terbilang.

Contoh 2.2.2

variabel random diskret :

o X = Banyaknya bayi yang lahir dalam waktu satu tahun di Yogyakarta.

o S = Frekuensi denyut jantung permenit.

11

Variabel random kontinu adalah variabel random yang didefinisikan pada

ruang sampel kontinu.

Contoh 2.2.3

Contoh variabel random kontinu adalah M = lamanya permainan catur dalam satu

babak. Meskipun dalam kenyataannya biasa diukur waktu hanya dengan satuan

terdekat seperti menit atau detik, secara teoritik dapat diukur waktu dengan

sembarang satuan kecil.

Definisi 2.2.2

Fungsi f(x) disebut sebagai fungsi probabilitas diskret X bila dan hanya bila

memenuhi syarat :

( i ) f(x)≥ 0 , untuk semua nilai x real

( ii ) ∑ 1

Definisi 2.2.3

Fungsi f(x) disebut fungsi densitas bagi variabel random kontinu X bila dan hanya

bila memenuhi syarat :

( i ) f(x)≥ 0 untuk semua nilai x real

( ii ) ∫∞

∞−

=1)( dxxf

Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret

Definisi 2.2.4

Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret X didefinisikan sebagai

12

F(x) = P(X≤ x) untuk semua nilai real x.

Kadang-kadang fungsi F(x) disebut juga fungsi distribusi.

Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu

Definisi 2.2.5

Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random X, dengan fungsi densitas f(x)

didefinisikan sebagai :

F(x) = ∫∞−

x

dttf )(

Fungsi densitas f(x) merupakan derivatif dari F(x).

Fungsi Distribusi Kumulatif Diskret Bersama

Definisi 2.2.6

Jika X dan Y adalah variabel random diskret yang didefinisikan pada ruang

probabilitas maka fungsi distribusi bersama X dan Y didefinisikan sebagai

FXY x, y P X x, Y y

Fungsi Distribusi Probabilitas Kontinu Bersama

Definisi 2.2.7

Vektor variabel random berdimensi k, X X , X , … , X dikatakan kontinu jika

ada fungsi f X , X , … , X , yang disebut fungsi densitas bersama dari X

sedemikian rupa sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan

13

x , x , … , x … f t , … , t d

X

t , … , dt

Untuk semua x x , x , … , x

Definisi 2.2.8 Variabel-variabel random saling bebas

Variabel-variabel random X , X , … , X dikatakan saling bebas bila untuk setiap

berlaku

P a X b , … , a X b P a X b

Nilai Harapan dan Variansi

Konsep nilai harapan memegang peranan yang sangat penting dalam

statistika. Contoh yang paling mudah adalah mean dan variansi suatu variabel

random. Keduanya adalah parameter-parameter yang hampir selalu muncul dalam

teknik-teknik analisis statistika elementer maupun lanjut. Nilai harapan

dinyatakan dalam definisi berikut

Definisi 2.2.9

, jika x diskret dengan fungsi probabilitas

∞

∞

, jika x kontinu dengan fungsi densitas

14

Ditinjau dari segi variabel random yang diskret, maka nilai harapan E(X)

merupakan suatu nilai fungsi linear dari semua unsur di dalam domain fungsi

dengan peluang yang bersesuaian sebagai faktor pembobot.

Contoh 2.2.4

Dalam pelemparan sebuah mata dadu setimbang sebanyak satu kali, kita akan

menerima uang sebanyak titik pada sisi yang tampak. Untuk bermain satu kali

lemparan kita harus membayar c rupiah. Pertama-tama kita perhatikan bahwa

hadiah yang kita terima tiap permainan adalah variabel random dengan distribusi

probabilitas sebagai berikut :

Tabel 2.1 Tabel distribusi probabilitas

Hadiah X 1 2 3 4 5 6

P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

E(X) = 1.1/6 + 2. 1/6 + 3. 1/6 + 4. 1/6 +5. 1/6 + 6. 1/6 = 3,5 rupiah

Berapa rupiah yang harus kita bayar agar permainan tersebut adil ?

Permainan disebut adil jika 3,5 rupiah. Dengan demikian rata-rata hadiah

yang kita terima sama dengan banyaknya uang yang kita bayarkan untuk bermain.

Nilai harapan 3,5 dapat diinterprestasikan sebagai berikut : “ jika

permainan itu dapat diulang sebanyak-banyaknya, maka perbandingan antara

jumlah hadiah dengan banyaknya kali permainan adalah 3, 5”.

15

Sifat-sifat Nilai Harapan

Definisi 2.2.10

Jika X adalah variabel random dan g(x) adalah fungsi dari variabel random X

maka,

E[g(X)] = ⎪⎩

⎪⎨⎧∑

∫=∞

∞−

n

iii xpxpxg

xfdxxfxg

1

)(asprobabilitfungsidengandiskretXjika),()(

)(densitasfungsidengankontinuXjika,)()(

Teorema 2.2.1

Jika X adalah variabel random dengan fungsi densitas f(x), a dan b konstanta, g(x)

dan h(x) fungsi-fungsi variabel random berharga real, maka

E[ag(x) + bh(x)] = a E[(g(x)] + b E[h(x)]

Bukti

Jika X adalah variabel random kontinu maka menurut definisi nilai harapan

E[ag(x)+bh(x)] = ∫∞

∞−

+ dxxfxbhxag )()]()([

= a ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

+ dxxfxhbdxxfxg )()()()(

= aE[g(x)] + bE[h(x)]

Sifat-sifat lain nilai harapan

Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku

1. E(a) = a

2. E(bX) = b E(X)

16

3. E(X + a) = E(X) + a

4. E(bX + a) = b E(X) + a

Bukti:

1. E(a) = a

Misalkan , maka

2. E(bX) = b E(X)

3. E(X + a) = E(X) + a

4. E(bX + a) = b E(X) + a

17

Teorema 2.2.2

Apabila , , … , merupakan variabel random yang saling bebas maka

E X X … X E X E X … E X

Bukti:

Teorema di atas akan dibuktikan menggunakan induksi matematika.

1. Rumus benar untuk 1

Akan ditunjukkan benar untuk 2,

dan merupakan variabel random yang saling bebas dengan dengan fungsi

distribusi gabungan P X , X . Karena variabel random tersebut saling bebas

maka dapat ditulis P X , X P P , sehingga

X ,X

P X , X

P P

P P

2. Diandaikan bahwa rumus benar untuk dimana 2

3. Akan ditunjukkan bahwa rumus benar untuk

… …

…

18

Definisi 2.2.11

Variansi variabel random X adalah :

Var X E X E X (2.4)

Teorema 2.2.3

Apabila X merupakan sebuah variabel random maka variansi dari X adalah

Var X E X E X

Bukti :

Berdasarkan definisi

2

2

2

Sifat-sifat lain variansi

Untuk a dan b bilangan konstan maka berlaku

1. Var(X + a) = Var(X)

2. Var(bX) = b2 Var(X)

3. Var(bX + a) = b2 Var(X)

Bukti :

1. Var(X + a) = Var(X)

19

2 2

2

2

2 2

2. Var(bX) = b2 Var(X)

3. Var(bX + a) = b2 Var(X)

20

2

2

2

2

2 2

Teorema 2.2.4

Apabila , , … , merupakan variabel random yang saling bebas maka

Var X X X Var X Var X Var X

Bukti :

Persamaan di atas benar untuk 1. Selanjutnya akan dibahas untuk 2,

berdasarkan definisi maka diperoleh

Var (X1 + X2) = E [((X1 + X2) - E [X1 + X2])2]

= E [ ( (X1+ X2 ) – E[X1 ] - E [X2 ] )2]

= E [((X1 - E [X1]) + (X2 - E [X2]))2]

= E [(X1- E [X1]) + (X2 - E [X2])2 +2(X1-E[X1])( X2-E[X2 ] )]

= E [(X1 - E [X1])2] + E [(X2 - E [X2])2] +

2E[(X1-E[X1])( X2-E[X2] )]

21

= Var (X1) + Var (X2) + 2E [(X1 - E [X1])( X2 - E [X2])]

Karena dan merupakan variabel random yang saling bebas maka

berdasarkan Definisi 2.2.8 diperoleh

E [(X1 - E [X1])( X2 - E [X2])] = E [X1 - E [X1]] E [X2 - E [X2]]

= (E[X1]-E[X1])(E[X2]-E[X2 ])

= 0 Sehingga,

Var (X1 + X2) = Var (X1) + Var (X2)

Diasumsikan bahwa rumus benar untuk k. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa

rumus benar untuk 1.

Var (X1 + … + Xk-1+ Xk ) = Var (X1 + … + Xk-1) + Var (Xk)

= Var (X1) + … + Var (Xk-1)+ Var (Xk)

Kovariansi

Definisi 2.2.12

Kovariansi antara dua variabel random adalah ukuran sifat asosiasi (hubungan)

antara keduanya. Jika X dan Y merupakan dua variabel random maka kovariansi

dari X dan Y didefinisikan sebagai

Cov X, Y E X E X Y E Y

Sifat-sifat kovariansi

1. Cov X, X Var X

2. Cov X, Y Cov Y, X

3. Cov X Y, Z Cov X, Z Cov Y, Z

22

Bukti :

1. Cov X, X Var X

Cov X, X E X E X X E X

E X E X

Var X

2. Cov X, Y Cov Y, X

Cov X, Y E X E X Y E Y

E XY XE Y YE X E X E Y

E YX YE X XE Y E Y E X

E Y E Y X E X

Cov Y, X

3. Cov X Y, Z Cov X, Z Cov Y, Z

Cov X Y, Z E X Y Z E X Y E Z

E XZ E YZ E X E Z E Y E Z

E XZ E X E Z E YZ E Y E Z

Cov X, Z Cov Y, Z

Definisi 2.2.13

Korelasi dari dua variabel random X dan Y ditulis , dan didefinisikan

sebagai

,Cov X, Y

Var X Var Y

23

Fungsi Pembangkit Momen

Salah satu nilai harapan khusus yang sangat berguna dalam teori

probabilitas dan statistika adalah konsep fungsi pembangkit momen.

Definisi 2.2.14

Jika X adalah variabel random, maka nilai harapan disebut

fungsi pembangkit momen dari X jika nilai harapan tersebut ada untuk semua t

dalam interval –h < t < h, untuk h > 0.

Teorema 2.2.5

Andaikan Y1,Y2,...,Yn adalah variabel random yang saling bebas dengan fungsi

pembangkit momen berturut MY1(t), MY2(t),...,MYn(t). Bila

maka fungsi pembangkit momen dari U adalah …

∏ (2.5)

Bukti :

… karena Yi saling bebas maka

…

…

∏

24

C. Distribusi Bernoulli dan Distribusi Binomial

Distribusi Bernoulli didasarkan atas ruang sampel yang dibangkitkan dari

percobaan Bernoulli. Ruang sampel percobaan ini terdiri atas dua unsur yang

biasanya disimbolkan dengan sukses dan gagal masing-masing dengan peluang

timbulnya p dan 1 . Bila sukses disimbolkan dengan 1 dan gagal dengan

0, maka fungsi probabilitas Bernoulli dapat didefinisikan sebagai berikut :

Definisi 2.3.1

Bila X adalah variabel random Bernoulli maka distribusi probabilitas X adalah

x = 0,1 (2.6)

Dari fungsi probabilitas di atas dapat ditentukan nilai harapan dan variansi serta

fungsi pembangkit momen variabel random yang berdistribusi Bernoulli.

Nilai harapan dari distribusi Bernoulli dapat dicari dengan menggunakan Definisi

2.2.6 untuk variabel random yang diskret karena distribusi Bernoulli merupakan

distribusi probabilitas yang diskret.

∑

∑ 1

0 1 1 1

Jadi nilai harapan dari distribusi Bernoulli adalah p. Selanjutnya dengan

menggunakan Definisi 2.2.8 akan dicari variansi dari distribusi Bernoulli yaitu

1 .

25

Var (X) = E[x2] – (E[x])2

∑

∑ 1

0 1 1 1

0

Var (X) = E[x2] – (E[x])2

1

Selanjutnya untuk mencari Fungsi Pembangkit Momen (FPM) maka akan

digunakan Definisi 2.2.9.

Mx(t) = E[etx]

∑

∑ 1

1 1

1

1 1

Jadi FPM dari distribusi Bernoulli adalah 1 1 .

Distribusi Binomial

Suatu percobaan sering terdiri atas beberapa usaha, tiap usaha dengan dua

kemungkinan hasil yang dapat diberi nama sukses atau gagal. Hal ini dapat

terjadi, misalnya pada pengujian barang hasil produksi, dengan tiap pengujian

26

atau usaha dapat menunjukkan apakah suatu barang cacat atau tidak cacat. Dapat

ditentukan atau dipilih salah satu hasil sebagai sukses. Hal ini juga benar bila

kartu ditarik secara berturutan dari sekotak kartu bridge dan tiap penarikan

disebut sukses atau gagal tergantung pada apakah kartu merah atau hitam yang

terambil. Proses seperti ini disebut proses Bernoulli.

Percobaan binomial merupakan percobaan yang terdiri atas ulangan-

ulangan percobaan Bernoulli. Percobaan binomial adalah percobaan yang

memiliki ciri-ciri berikut:

1. Percobaan terdiri atas n ulangan.

2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai sukses atau gagal.

3. Peluang sukses, yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah

sama, tidak berubah-ubah.

4. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas satu sama lain.

Banyaknya X yang sukses dalam n usaha bernoulli disebut peubah acak

binomial. Distribusi peluang peubah acak diskret ini disebut distribusi binomial

dan akan dinyatakan dengan ; , , karena nilainya tergantung pada

banyaknya usaha (n) dan peluang sukses dalam suatu usaha (p). Akan dicari

rumus yang akan memberikan peluang x sukses dalam n usaha suatu prcobaan

binomial. Pertama, pandang peluang sukses x dan gagal n-x dalam suatu urutan

tertentu. Karena usaha semuanya bebas maka peluang tiap hasil yang berbeda

dapat diperkalikan. Tiap sukses terjadi dengan peluang p dan tiap kegagalan

dengan peluang 1 . Jadi peluang untuk urutan tersebut adalah .

27

Sekarang harus ditentukan banyaknya semua titik sampel dalam percobaan

tersebut yang menghasilkan x yang sukses dan n-x yang gagal. Banyaknya ini

sama dengan banyaknya cara memisahkan n hasil menjadi dua kelompok

sehingga x hasil berada pada kelompok pertama dan sisanya n-x hasil pada

kelompok kedua. Jumlah ini dapat dinyatakan dengan .

Definisi 2.3.2

Apabila X1,...,Xn masing-masing merupakan variabel random yang saling bebas

dan berdistribusi Bernoulli, maka ∑ merupakan variabel random yang

berdistribusi Binomial yaitu :

; , , x = 0,1,2,...,n (2.7)

Contoh 2.3.1

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan tertentu dengan peluang ¾.

Hitunglah peluang bahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak akan rusak.

Jawab:

Misalkan tiap pengujian bebas, jadi pengujian yang satu tidak mempengaruhi atau

dipengaruhi yang berikutnya. Jadi, 34 untuk tiap keempat pengujian,

sehingga

2; 4,

!! !

Dari fungsi probabilitas di atas dapat ditentukan nilai harapan dan variansi serta

fungsi pembangkit momen variabel random yang berdistribusi Binomial.

28

Nilai harapan dari distribusi binomial dapat dicari dengan menggunakan Definisi

2.2.6 untuk variabel random yang diskret karena distribusi binomial merupakan

distribusi probabilitas yang diskret.

E x ∑ p x

x !! !

!! !

n 1

Jadi nilai harapan dari distribusi binomial adalah np.

Selanjutnya untuk mencari variansi dari distribusi binomial akan digunakan

definisi 2.2.8

E x x 1 1 p x

1

x x 1 !! !

!! !

1 2

29

1

1

Var (x) = E[x2] – (E[x])2

1

Variansi dari distribusi binomial adalah .

Selanjutnya untuk mencari Fungsi Pembangkit Momen (FPM) maka akan

digunakan Definisi 2.2.9.

Mx(t) = E[etx]

∑

∑

∑

1 1

FPM dari distribusi binomial adalah 1 1 .

30

Contoh 2.3.2

Buktikan jika 1,2, … , merupakan variabel-variabel random yang

saling bebas dan berdistribusi Bernoulli, maka

merupakan variabel random yang berdistribusi binomial!

Jawab :

Untuk membuktikan bahwa Y berdistribusi binomial maka akan diguakan sebuah

metode dalam menentukan fungsi distribusi variabel random yaitu metode fungsi

pembangkit momen.

Jika berdistribusi bernoulli maka fungsi pembangkit momenya adalah

1 1

, maka fungsi pembangkit momenya adalah

…

…

1 1 1 1 … 1 1

1 1

Jika diperhatikan, persamaan terakhir yang diperoleh merupakan fungsi

pembangkit momen bagi variabel random Binomial. Jadi terbukti bahwa jika

1,2, … , merupakan variabel-variabel random yang saling bebas

dan berdistribusi Bernoulli, maka merupakan variabel

random yang berdistribusi binomial.

31

Definisi 2.3.3

Fungsi Gamma ditulis )(kΓ , untuk semua k>0 didefinisikan sebagai

dtetk tk∫∞

−−=Γ0

1)( (2.8)

Fungsi Gamma memenuhi sifat-sifat :

π=Γ

−=Γ−Γ−=Γ

)2/1(

)!1()()1()1()(

nnkkk

k>1, dan n = 1, 2, .. (2.9)

D. Distribusi Normal

Distribusi normal sangat penting baik dalam statistika teori maupun

terapan. Distribusi ini pertama kali dipelajari pada abad kedelapan belas, ketika

orang mengamati galat pengukuran berdistribusi simetrik dan berbentuk bel. De

Moivre mengembangkan bentuk matematik distribusi ini pada tahun 1733,

sebagai bentuk limit distribusi binomial. Laplace juga telah mengenal distribusi

ini sebelum tahun 1775. Gauss menurunkan persamaan distribusi ini dari suatu

studi tentang galat dalam pengukuran yang berulang-ulang dari kuantitas yang

sama, dan mempublikasikannya pada tahun 1809. Untuk menghormatinya

distribusi normal juga dikenal sebagai distribusi Gauss. Pada abad kedelapan

belas dan sembilan belas, berbagai usaha telah dilakukan untuk membuat

distribusi ini sebagai hukum probabilitas yang mendasari semua variabel kontinu,

maka digunakan nama distribusi normal.

32

Definisi 2.4.1

Suatu variabel random kontinu X dikatakan berdistribusi normal dengan mean µ

dan variansi σ2, apabila variabel itu mempunyai fungsi probabilitas yang

berbentuk

f(x) = 2

2)(

21

21 μ

σ

πσ

−− xe (2.10)

dengan

∞<<∞− X 0>σ

∞<<∞− μ 718,214,3 == edanπ .

Jika fungsi probabilitas itu digambar, maka kita peroleh grafik seperti dalam

gambar dibawah ini dan dinamakan kurva normal.

Gambar 2.1 : kurva normal dengan mean µ dan variansi σ2

Berikut ini akan ditunjukkan bahwa distribusi normal memenuhi siat-sifat fungsi

densitas.

µ

33

Pertama, harus ditunjukkan bahwa integral dari fungsi densitas normal adalah 1.

Kedua, harus ditunjukkan bahwa µ dan σ2 adalah mean dan variansi dari X.

Dengan mensubstitusikan σμ−

=xz dan dx = σdz, didapat :

I = dzedzedxxf zz 2/

0

2/ 22

212

21),;( −

∞−

∞

∞−

∞

∞−∫∫ ∫ ==

ππσμ

Bila dimisalkan w = z2/2, maka z = w2 dan dz = (w-1/2/ 2 )dw, sehingga

I = dwew w−∞ −

∫0

2/1

π

Dengan menggunakan fungsi Gamma didapat,

I 1)2/1(=

Γ=

π

Integran yang diperoleh dengan mensubstitusikan σμ−

=xz memegang peranan

yang sangat penting dalam menentukan probabilitas variabel random normal.

Perhitungan menjadi lebih sederhana karena nilai probabilitas telah ditabelkan.

Fungsi densitas hasil transformasi dari X ke Z disebut Distribusi normal standar

yang fungsinya,

φ ∞<<∞−= − zez z ,21)(

2

π (2.11)

Berikut ini dengan menggunakan Definisi 2.4.1 akan dicari nilai harapan dan

variansi dari variabel random X yang berdistribusi normal.

E(X) = dxxx⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−∫∞

∞−

2

21exp

21

σμ

πσ

34

Misal z = σμ−x maka x = σz + µ dan dx = σdz sehingga diperoleh

E(X) = dzexzσ

πσ

2

21

21 −

∞

∞−∫

= dzexz 2

21

21 −

∞

∞−∫ π

= dzezz 2

21

21)(

−∞

∞−∫ +

πμσ

= dzedzezzz

∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

+22

21

21

21 μπ

σ

= 121 2

21

⋅+−

∞

∞−∫ μ

πσ dzez

z

jika dimisalkan, -1/2z2 = w maka z = w2 dan z dz = -dw

atau dz = z

dw = w

dw2

sehingga diperoleh

E(X) = μπ

σ +−

∞

∞−∫ dzez

z 2

21

21

= μπ

σ +− ∫∞

∞−

dwew

21

= μπ

σ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− ∫ ∫

∞−

∞0

02dwedwe ww

= ] ] μπ

σ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− ∞−

∞−

−

021

021 22

2zz

ee

= ( ) μπ

σ+−+−− ∞−∞− )()(

200 eeee

35

= 0 + µ

= µ

E(X2) = dxxx⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−∫∞

∞−

22

21exp

21

σμ

πσ

Misal, z = σμ−x maka x = σz + µ dan σdz = dx sehingga diperoleh

E(X2) = dzexz

∫∞

∞−

−σ

πσ

2

21

2

21

= dzez z

∫∞

∞−

−+ 2

212

2)(

πμσ

= dzezz z 2

21222

2)2( −

∞

∞−∫

++π

μμσσ

= ∫∫∫∞

∞−

−−∞

∞−

−∞

∞−

++ dzedzezdzez zzz 222

212

21

2122

222

2 πμ

πμσ

πσ

= 102

22122 2

⋅++−

∞

∞−∫ μ

πσ dzez z

= ∫∞

∞−

−+ 22

12

2 2

2μ

πσ dzez

z

misal ½ z2 = w maka z = w2 dan z dz = dw sehingga diperoleh

E(X2) = w

dwew w

22

2

2

∫∞

∞−

−

πσ + µ2

= dwew w∫∞

∞−

−212

πσ + µ2

36

= dwew w∫∞

−

0

2122

πσ + µ2

dengan menggunakan persamaan (2.8) dan (2.9) didapatkan

E(X2) = dwew w∫∞

−

0

2122

πσ + µ2

= )2/3(2 2

Γπσ + µ2

= )2/1(212 2

Γπσ + µ2

= ππσ

212 2

+ µ2

= 2σ + µ2. (2.12)

Dengan menggunakan persamaan (2.4) maka

Var(X) = E(X2) – [E(X)]2

= ( 22 μσ + ) - µ2 = σ2 (2.13)

Hampiran Normal Terhadap Binomial

Peluang yang berkaitan dengan percobaan binomial dengan langsung

dapat diperoleh dari rumus distribusi binomial ; , atau dari tabel distribusi

bila n kecil. Bila n tidak ada dalam daftar tabel yang tersedia, maka peluang

binomial terpaksa dihitung dengan cara hampiran.

Distribusi normal sering merupakan hampiran yang baik terhadap

distribusi diskret. Distribusi normal merupakan distribusi hampiran yang

memudahkan karena fungsi distribusi tumpukannya (kumulatif) mudah

37

ditabelkan. Distribusi binomial dihampiri dengan baik oleh distribusi normal

dalam praktek bila digunakan fungsi distribusi kumulatif. Berikut ini akan

diberikan sebuah teorema yang memungkinkan penggunaan luas di bawah kurva

normal untuk menghampiri peluang binomial bila n cukup besar.

Teorema 2.4.1

Bila X peubah acak binomial dengan rataan dan variansi maka

bentuk limit distribusi

bila ∞ , adalah distribusi normal standar N z; 0,1 .

Gambar 2.2 : hampiran Normal terhadap Binomial

38

BAB III

RANDOM WALK dan GERAK BROWN

Suatu proses stokastik , merupakan kumpulan dari variabel-

variabel random. Jadi untuk setiap , merupakan variabel random.

Indeks t seringkali menggambarkan waktu dan lebih mengarah kepada hasil

atau keadaan dari proses tersebut pada waktu t.

Dalam bab III ini akan dibahas mengenai Random Walk dan Gerak Brown.

Random walk dan gerak Brown merupakan contoh dari suatu proses stokastik

dan sering digunakan dalam memodelkan pergerakan harga saham. Selain itu juga

akan dibahas mengenai Ito’s Lemma yang juga merupakan lemma yang cukup

penting dan sering digunakan dalam proses stokastik.

A. Random Walk

Secara harafiah random walk berarti langkah random. Suatu percobaan

sederhana dapat menggambarkan dengan jelas mengenai konsep dasar dari

random walk, yaitu pelemparan sebuah mata uang dua sisi. Bayangkan seseorang

yang berada pada titik nol (origin) pada sebuah garis bilangan real dan orang

tersebut akan melemparkan sebuah mata uang dua sisi yang seimbang . Apabila

dalam setiap kali pelemparan mata uang tersebut, muncul sisi gambar maka orang

tersebut akan berpindah satu unit langkah ke arah kanan ( positive direction) dan

jika muncul sisi angka maka orang tersebut akan berpindah satu unit langkah ke

arah kiri (negative direction).

39

Kejadian di atas merupakan suatu hal yang mengandung suatu ketidakpastian,

yaitu dalam hal ini peluang memegang peranan yang cukup penting. Bukan

sesuatu hal yang mudah dalam menentukan dengan tepat dan benar apakah orang

tersebut akan bergerak ke arah kanan ataupun sebaliknya, karena dalam situasi ini

orang tersebut mempunyai peluang yang sama besar untuk bergerak ke arah kanan

maupun kiri. Hal ini membuat orang tersebut akan bergerak secara acak

berdasarkan hasil pelemparan sebuah mata uang.

Dapat dikatakan bahwa kejadian perpindahan orang tersebut sebagai sebuah

random walk sederhana atau suatu sistem dinamis stokastik yang diskret yang

akan berkembang menjadi random walk.

Gambar 3.1 gambar random walk pada garis bilangan real

Definisi 3.1.1

Misalkan , , … , merupakan variabel random yang bernilai real dan

0 sehingga,

0 ∑

‐10

‐5

0

5

10

15

1 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57

S(n)

S(n)

n

40

maka barisan variabel random ∞ disebut sebagai random walk dengan

0 merupakan keadaan awal.

Apabila definisi ini dipersempit dengan mengasumsikan bahwa hanya bernilai

1 atau -1 dengan peluang yang sama, maka barisan variabel random ∞

disebut sebagai random walk sederhana.

Pembahasan selanjutnya mengenai random walk akan diawali dengan sebuah

aplikasi. Sebuah aplikasi yang cukup sederhana dari random walk adalah dalam

dunia ekonomi, dalam hal ini harga saham, yaitu situasi dimana seseorang yang

mempunyai saham dengan harga tertentu yang dilambangkan dengan S. Pada

interval diskret (misalnya pengamatan per detik), harga dari saham tersebut

diasumsikan dapat berubah menjadi lebih tinggi (meningkat) ataupun lebih

rendah (menurun) satu unit dari harga saham sebelumnya . Dengan kata lain jika

harga saham pada detik ke n adalah , maka harga saham pada detik ke n+1

adalah 1 1 atau 1 1. Sama seperti pada

pembahasan sebelumnya bahwa peluang harga saham tersebut untuk meningkat

akan sama besar dengan peluang harga saham tersebut untuk menurun. Asumsi ini

menghasilkan sebuah sifat yaitu sifat simetrik bagi random walk.

Definisi 3.1.2

Jika distribusi dari random walk mempunyai 1 1 , maka

random walk tersebut disebut sebagai random walk yang simetrik, dan

mempunyai beberapa sifat dasar yaitu:

41

i. | 0 | 0 untuk setiap

, , , ( Spatial Homogeneity/ kesamaan tempat).

ii. | 0 | untuk setiap

, , , (Temporal Homogeneity/ kesamaan waktu).

Berdasarkan pembahasan di atas, apabila merupakan sebuah variabel

random yang dapat bernilai 1 atau -1 dengan nilai probabilitas yang sama dan

untuk 0, maka dapat dikatakan bahwa random walk dengan sejumlah n

langkah yang telah diambil sebagai jumlahan parsial dan ditulis

0 (3.1)

Variabel random merupakan bentuk umum dari variabel random

Bernoulli, karena merupakan sebuah variabel random yang menggambarkan

sebuah kejadian dengan dua kemungkinan hasil yaitu 1 dan -1. Apabila

merupakan variabel yang menyatakan harga saham pada hari ke-n dan 1

untuk harga saham pada hari sebelumnya, maka dan 1 dapat

dikurangkan dan diperoleh

0

1 0

1

Secara induksi rumus untuk mencari nilai dari variabel dapat didefinisikan

dengan menggunakan rumus 1 untuk 0, dimana 0

merupakan keadaan awal random walk.

42

Apabila keadaan awal dari random walk adalah 0 dan jumlah langkah

yang telah ditempuh sebanyak 0, dimana 0 adalah banyaknya langkah ke

arah kanan (positif) dan 0 adalah banyaknya langkah ke arah kiri

(negatif) maka dapat dicari probabilitas bagi yang menyatakan keadaan atau

posisi dari sebuah random walk setelah menempuh sejumlah n langkah.

0 0 2

Jika diperhatikan dengan baik, 2 merupakan jumlahan dari variabel random

Xi yang saling bebas dan berdistribusi Bernoulli sehingga mengakibatkan variabel

0 berdistribusi binomial (Definisi 2.5.1). Untuk menyatakan posisi

atau tempat dari random walk setelah n langkah ditempuh dapat menggunakan

persamaan 0 2 , dan karena variabel 0 berdistribusi

binomial maka akan dicari peluang k sukses dari n langkah yang ada sehingga

dapat ditulis bahwa

0 2

(3.2)

Jika 0 0 maka variabel 0 dapat ditulis menjadi sebuah

variabel random yang baru yaitu 0 untuk 0,1, … sehingga

diperoleh suatu hubungan yaitu 0 0.

2

43

Lemma 3.1.1

Jika random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan

keadaan awal S 0 0, maka

1) 0 jika |m| ,

2) 0 jika n m gasal,

3) ⁄ , selainya.

Bukti :

1) 0

, 0 0

Jika merupakan variabel random yang dapat bernilai 1 atau -1 dengan

peluang yang sama, maka . Dengan demikian sebagai

jumlahan parsial untuk 0 tidak dapat mencapai nilai apabila

| | . Sehingga terbukti benar bahwa

0 | |

2) Berdasarkan Persamaan (3.2) dan 0 0, maka diperoleh 2

sehingga 2 . Hal ini menunjukan bahwa genap dan

kontradiksi dengan asumsi bahwa gasal. Jadi terbukti bahwa

0

3) Diasumsikan bahwa 2 dan genap. Dari asumsi tersebut diperoleh

kemudian dengan menggunakan rumus sebelumnya(Persamaan 3.2)

maka

0 2 2

44

Pada pembahasan sebelumnya, random walk dapat secara bebas bergerak ke

arah kiri maupun kanan berdasarkan jumlah langkah yang ada. Misalkan sebuah

batas diletakan pada jalur dari random walk. Diasumsikan bahwa keadaan awal

dari random walk adalah positif yaitu 0 0 dan diasumsikan juga bahwa

batas bawah dari random walk adalah 0. Apabila random walk mencapai nilai

batas tersebut dalam jumlah langkah yang berhingga, maka random walk akan

berada pada nilai batas tersebut. Dalam random walk keadaan seperti ini dikenal

sebagai kondisi penyerapan nilai batas ( Absorbing Boundary Condition ).

Sangat perlu untuk diperhatikan setiap nilai terkecil yang dicapai oleh

karena nilai batas pada 0 yang bersifat menyerap (absorbing). Oleh sebab itu

didefinisikan : 0 . Jika j adalah bilangan bulat positif

terkecil sedemikian hingga 0 0 , maka berdasarkan sifat

penyerapan nilai batas 0 untuk semua .

Lemma 3.1.2

Misalkan random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan

untuk 1,2, … , merupakan variabel random yang saling bebas dan identik

secara distribusi yang dapat bernilai 1 dengan probabilitas . Misalkan juga

45

bahwa nilai batas pada 0 bersifat menyerap (absorbing). Jika , 0, | |

dan genap juga genap maka

∧ 0 | 0 ⁄ ⁄ (3.3)

Bukti :

Untuk membuktikan lemma di atas akan diawali dengan pembahasan mengenai

random walk tanpa nilai batas, yaitu variabel random yang mempunyai

keadaan awal 0 0 dan yang dapat bernilai negatif karena tidak

adanya batas. Dalam situasi ini dengan menggunakan aturan penjumlahan

diperoleh

| 0

∧ 0 0 ∧ 0 0 (3.4)

Berdasarkan sifat kesamaan tempat (spatial homogeneity) dari random walk,

maka di dapat

| 0 | 0 0

Menggunakan Lemma 3.1.1 bagian (iii) dengan | | karena akibat dari

| | dan genap maka rumus probabilitas di atas dapat ditulis

menjadi

| 0 0 ⁄ (3.5)

sekarang sifat simetrik dari random walk akan digunakan untuk random walk

yang tidak dibatasi

| 0 0 | 0 0

46

Seperti yang tampak pada Gambar 3.2, realisasi dari random walk yang

memotong sumbu x pada dapat direfleksikan di sekitar sumbu x. Random

walk yang tidak mempunyai batas mengakibatkan bahwa ada kemungkinan untuk

random walk tersebut mencapai daerah bagian bawah yaitu nilai negatif. Garis

putus-putus pada gambar di bawah ini menyatakan bahwa random walk mencapai

nilai negatif dan dapat direfleksikan di sekitar sumbu x sehingga diperoleh

gambar dari random walk yang selalu berada diatas sumbu x meskipun tidak

mempunyai batas.

Gambar 3.2 random walk yang simetri dengan keadaan awal 0

Nilai probabilitas dari random walk di atas sama dengan nilai dari setiap jalur

yang dicapai. Oleh karena itu berdasarkan sifat refleksif dari gambar di atas dan

dengan mengingat syarat bahwa | | dan genap, maka

∧ 0 | 0 | 0

| 0 0

jj

j

47

⁄ (3.6)

Berdasarkan hal ini, untuk membuktikan lemma di atas menjadi sedikit lebih

mudah yaitu dengan mensubtitusikan Persamaan 3.6 dan Persamaan 3.5 ke dalam

Persamaan 3.4 sehingga diperoleh

∧ 0 | 0

⁄ ⁄

Contoh 3.1.1

Sebuah random walk yang simetrik dengan keadaan awal 0 10, berapakah

probabilitas bahwa 50 16 dan 0 0,1, … ,50 ?

Jawab :

Diketahui bahwa 50, 16, dan 10.

Untuk menghitung probabilitas di atas maka akan digunakan rumus

∧ 0 | 0

⁄ ⁄

⁄ ⁄

2

0.0787178

Mengingat bahwa notasi yang digunakan sangat panjang, maka dengan tujuan

mempermudah penulisan maka akan didefinisikan sebuah fungsi baru yaitu

, ⁄ ⁄

48

Sebuah variabel random baru yaitu Ω akan didefinisikan sebagai waktu

penghentian ( stopping time ) jika nilai dari sebuah random walk sama dengan A

dalam kesempatan yang pertama. Selanjutnya akan dibahas mengenai probabilitas

bahwa Ω mempunyai nilai berupa bilangan asli dengan keadaan awal yang

diberikan 0 0 dengan parameter 0 dan nilai batas pada 0 bersifat

menyerap (absorbing). Andaikan bahwa keadaan awal dari random walk adalah

0 0, dengan menggunakan sifat kesamaan tempat (spatial

homegeneity) dari random walk maka diperoleh

0

0 0 0

Misalkan Ω menyatakan bahwa random walk pada langkah ke n mencapai

nilai 0 pada kesempatan yang pertama sehingga jika Ω berarti 0.

Ω jika dan hanya jika 1 1 , 0 dan 1, dimana

1 dan 1 1 , 0 merupakan kejadian yang saling bebas,

sehingga

Ω | 0

1 1 1 0 | 0

1| 0 1 1 0 | 0

1 1 0 | 0

, 1

Sehingga Ω | 0 , 1

49

Didefinisikan sebuah simbol baru yaitu yang menyatakan sembarang

jalur dalam interval diskret [0,A] dari 0 menuju A dan menjauhi 0. Sedangkan

merupakan sebuah simbol untuk menyatakan probabilitas dari sebuah

random walk yang berawal dari 0 dan melalui jalur . Akhirnya simbol

akan digunakan untuk menyatakan probabilitas dari random walk yang

berawal pada 0 dan akan mencapai nilai dengan menjauhi keadaan

0. Dengan menggunakan aturan penjumlahan pada prinsip probabilitas maka

diperoleh

Setiap pergerakan dari random walk untuk bergerak ke kanan ataupun ke kiri

adalah bebas dan tidak bergantung pada pergerakan sebelumnya, sehingga

keadaan awal 0 dari random walk tersebut dapat dibentuk menjadi dua

keadaan yaitu 1 1 dengan probabilitas dan 1 1 dengan

probabilitas sehingga rumus probabilitas di atas dapat ditulis menjadi

∑

1 1

0 1 2 1 (3.7)

Pada pembahasan sebelumnya dikatakan bahwa random walk hanya

mempunyai satu nilai batas yang bersifat menyerap yaitu 0. Selanjutnya random

walk yang akan dibicarakan adalah random walk dengan dua nilai batas yang

50

bersifat menyerap yaitu 0 dan A. Karena kedua nilai batas tersebut bersifat

menyerap maka diperoleh 0 0 dan 1.

Teorema 3.1.1

Misalkan random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan

untuk 1,2, … , merupakan variabel random yang saling bebas dan identik

secara distribusi yang dapat bernilai 1 dengan probabilitas . Misalkan juga

bahwa nilai batas pada titik 0 dan A bersifat menyerap. Jika 0 0

maka

1. Probabilitas random walk mencapai nilai A tanpa harus mencapai nilai 0

adalah ⁄ ,

2. Probabilitas random walk mencapai nilai 0 tanpa harus mencapai nilai A

adalah 1 ⁄ .

Bukti

Pembuktian teorema di atas akan dilakukan dengan mencari solusi dari persamaan

linear (Persamaan 3.7).

Persamaan 3.7 di atas merupakan suatu sistem persamaan linear yang mempuyai

solusi yang juga merupakan nilai bagi untuk 1,2, … , 1 dengan nilai

0 0 dan 1. Jika ditulis dalam bentuk matriks maka diperoleh :

1 0 0 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 0 00 1 2 1 0 0 0 00 0 1 2 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 2 10 0 0 0 0 0 0 1

0123

1

0000

01

51

Untuk mempermudah menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut akan

dibentuk matriks segitiga atas dengan menggunakan eliminasi Gauss. Eliminasi

Gauss bekerja dengan menambahkan perkalian skalar dengan baris pada baris

dibawahnya yang pada akhirnya akan menghasilkan matris segitiga atas yaitu

matriks dengan semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

10

0000

1000000012100000

00012100000012100000012100000001

M

L

L

M

L

L

L

L

Dengan mengalikan -1 pada baris pertama dan kemudian ditambahkan pada baris

kedua diperoleh

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

10

0000

1000000012100000

00012100000012100000012000000001

M

L

L

M

L

L

L

L

Selanjutnya baris kedua dikalikan dengan kemudian ditambahkan pada baris

ketiga

52

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

10

0000

1000000012100000

0001210000001000000012000000001

23

M

L

L

M

L

L

L

L

Langkah selanjutnya adalah dengan mengalikan pada baris ketiga dan

menjumlahkannya pada baris keempat dan diperoleh

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

10

0000

1000000012100000

000100000001000000012000000001

34

23

M

L

L

M

L

L

L

L

Misalkan bahwa eliminasi Gauss telah dikerjakan sampai pada baris ke i sehingga

bentuk dari matriks tersebut pada baris ke i dan i+1 adalah

00

0012100000100 1

LL

LL

−−−i

i

Sekali lagi eliminasi Gauss dioperasikan yaitu dengan mengalikan 1 1 ⁄

pada baris ke i kemudian dijumlahkan pada baris ke i+1 sehingga diperoleh

00

001000000100

)1(1

LL

LL

ii

ii

+−−−

Apabila eliminasi Gauss dikerjakan terus hingga pada baris ke A maka akan

terbentuk matriks segitiga atas seperti di bawah ini

53

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

−

10

0000

100000001000000

000100000001000000012000000001

1

34

23

M

L

L

M

L

L

L

L

AA

Apabila matriks segitiga atas ini ditulis kembali berdasarkan sistem persamaan

linearnya maka diperoleh

1 0 0 0 0 0 0 00 2 1 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1

0123

1

0000

01

Sistem persamaan linear yang baru ini akan sedikit mempermudah dalam mencari

semua nilai solusi yang mungkin bagi sistem persamaan linear tersebut. Apabila

nilai diketahui maka untuk menentukan nilai 1 dapat ditentukan

dengan menggunakan persamaan berikut

1 0

1 (3.8)

Misalkan diambil , seperti diketahui bahwa nilai batas pada A bersifat

menyerap sehingga 1, kemudian disubstitusikan pada Persamaan 3.8

11

54

Misalkan bahwa nilai diketahui, maka dengan mengambil

dan mensubtitusikannya pada Persamaan 3.8 diperoleh

1

1 (3.9)

Berdasarkan hasil yang sudah diperoleh maka dalam kasus yang lebih umum

dapat dikatakan bahwa . Apabila diambil maka

. Nilai dari solusi ini dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut ini

01

1

0

1

Variabel menyatakan probabilitas dari sebuah random walk dengan

keadaan awal 0 akan mencapai titik 0 dan menjauhi titik .

Dengan mengganti variabel A pada Persamaan 3.7 dengan 0 maka diperoleh

sebuah persamaan

0 1 2 1 (3.10)

Untuk menyelesaikan sistem persamaan di atas dapat dilakukan sama seperti yang

sebelumnya dilakukan tetapi akan sedikit sulit. Oleh sebab itu akan digunakan

cara yang lebih mudah yaitu dengan menggunakan sifat simetrik dari random

walk. Seperti yang diketahui bahwa peluang sebuah random walk untuk bergerak

55

ke atas akan sama dengan ketika bergerak ke bawah. Mengingat bahwa kedua

nilai batas (0 dan A) bersifat menyerap sehingga mengakibatkan 0 1 dan

0. Berdasarkan hal tersebut dan konsep mengenai probabilitas dari

semua kemungkinan kejadian yang terjadi adalah 1, maka dapat ditulis

1

1

1

Berdasarkan hasil terakhir yang diperoleh maka dapat ditulis semua nilai bagi

untuk 1,2, … , 1 dalam sebuah matriks di bawah ini

01

1

1

0

Sehingga diperoleh sebuah kesimpulan yaitu

dan 1 untuk 1,2, … , 1

Misalkan 0, merupakan himpunan nilai batas yang bersifat menyerap dari

random walk berdimensi satu, maka dapat didefinisikan sebuah simbol yang

menyatakan nilai harapan untuk waktu penghentian bagi random walk yang

mencapai titik A.

56

: waktu untuk random walk bergerak dari 0 untuk 0 ke B

dan mengikuti jalur .

Ω : nilai harapan .

Berdasarkan definisi nilai harapan maka diperoleh

Ω

Apabila random walk bergerak mulai dari nilai batas 0 maka nilai

harapannya adalah 0, sehingga Ω 0 Ω 0. Jalur dari dapat

dibentuk menjadi jalur yang berbentuk 1 atau 1 dengan

penambahan satu langkah, sehingga diperoleh

Ω ∑ 1 1

∑ ∑

∑

Ω 1 Ω 1 1

2 Ω 1 2Ω Ω 1 (3.11)

Teorema 3.1.2

Misalkan random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan

untuk 1,2, … , merupakan variabel random yang saling bebas dan identik

secara distribusi yang dapat bernilai 1 dengan probabilitas . Misalkan juga

bahwa nilai batas pada 0 dan A bersifat menyerap, maka jika 0 0

57

random walk memotong nilai batas ( S = 0 atau S = A) setelah sejumlah langkah

yang telah ditempuh diberikan oleh rumus

Ω

Bukti

Pembuktian teorema ini akan dilakukan dengan mencari solusi dari persamaan

linear (3.11).

Persamaan 3.11 sering kali disebut sebagai Persamaan Poisson untuk waktu

penghentian. Dari persamaan Poisson ini dapat dibentuk sebuah sistem persamaan

linear untuk waktu penghentian dan ditulis dalam bentuk matriks berikut ini

( )( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ω−Ω

ΩΩΩ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

02

22

0

1

210

10000001210000

000121000001210000001

MM

L

L

M

L

L

L

AA

B

B

B

B

B

Matriks yang dibentuk dari Persamaan Poisson dikenal sebagai matriks

tridiagonal. Jika diperhatikan seluruh entri pada matriks tersebut bernilai nol

kecuali entri-entri pada diagonal utama, sub-diagonal, dan super diagonal. Banyak

metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear,

tetapi metode yang akan digunakan adalah sama dengan yang sudah digunakan di

depan yaitu eliminasi Gauss. Operasi pertama yang dilakukan adalah

memperbesar matriks dengan menambah sebuah kolom pada sisi bagian kanan

matriks tersebut dan ditulis menjadi

58

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

−−

02

22

0

10000001210000

000121000001210000001

M

L

L

M

L

L

L

Apabila baris pertama dikalikan dengan -1 dan kemudian dijumlahkan dengan

baris kedua maka diperoleh

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

−−

02

22

0

10000001210000

000121000001200000001

M

L

L

M

L

L

L

Perhatikan sekarang bahwa semua entri pada kolom pertama sudah bernilai nol

kecuali entri pada diagonal utama. Selanjutnya hal yang sama akan dilakukan

untuk kolom yang kedua dengan mengalikan pada baris kedua dan

menjumlahkanya dengan baris ketiga sehingga menjadi

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

−−

02

32

0

10000001210000

00010000001200000001

23

M

L

L

M

L

L

L

Langkah selanjutnya adalah dengan mengalikan pada baris ketiga dan

menjumlahkannya pada baris keempat dan diperoleh

59

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

−−

−

10

432

0

1000000012100000

000100000001000000012000000001

34

23

M

L

L

M

L

L

L

L

Operasi baris elementer ini harus terus dilakukan sampai dua baris terakhir.

Andaikan eliminasi Gauss telah dioperasikan pada baris ke i pada matriks yang

diperbesar tersebut sehingga baris ke i dan i+1 dari matriks tersebut menjadi

seperti berikut

20012100000100 1

−−

−−− ii

i

LL

LL

Dengan mengalikan baris ke i dengan 1 1 ⁄ kemudian dijumlahkan dengan

baris i+1 dan menghasilkan

)1(001000000100

)1(1

+−−

+−−−

ii

ii

ii

LL

LL

Terlihat bahwa dengan melakukan eliminasi Gauss maka matriks yang diperbesar

ini menjadi matriks segitiga atas dan ditulis

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

−−

−

0

32

0

1000000100000

00010000001200000001

1

23

AAA

M

L

L

M

L

L

L

60

Proses eliminasi Gauss sama halnya dengan menjumlahkan hasil kali persamaan

linear dengan persamaan linear yang lainya. Jika matriks segitiga atas tersebut

ditulis kembali berdasarkan Persamaan 3.11 maka diperoleh

( )( )( )

( )( ) ⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ω−Ω

ΩΩΩ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−

0

32

0

1

210

1000000100000

00010000001200000001

1

23

AA

A

B

B

B

B

B

AA

MM

L

L

M

L

L

L

(3.12)

Sekarang sistem persamaan linear ini sudah dapat digunakan untuk mencari solusi

bagi nilai Ω untuk 1,2, … , 1.

Apabila nilai dari Ω diketahui maka dapat ditentukan nilai bagi Ω 1

dengan menggunakan persamaan

Ω 1 Ω

Ω 1 1 Ω (3.13)

Berdasarkan (3.12) nilai Ω 0, nilai ini akan digunakan sebagai substitusi

dalam Persamaan 3.13. Misalkan diambil dan dimasukkan ke dalam

persamaan 3.13, maka

Ω 1 1 Ω

1 0

1

Selanjutnya apabila diambil 1 dan disubstitusikan pada Persamaan 3.13

maka diperoleh

61

Ω 2 2 Ω 1

2 1

2 2

Dengan menggunakan induksi maka dapat dicari solusi yang lain. Misalkan

Ω diketahui, maka dengan mengambil kemudian

disubstitusikan ke dalam Persamaan 3.11

Ω 1 11

1 1

1

Ω 1 1 1 (3.14)

Sehingga dalam kasus yang lebih umum Ω . Dengan

mensubtitusikan ke dalam Persamaan 3.12 maka diperoleh

Ω

Contoh 3.1.2

Misalkan sebuah random walk simetrik berada dalam interval diskret 0,1,2,3,4

dimana nilai batas pada 0 dan 4 bersifat menyerap. Jika 0 maka nilai

harapan untuk waktu penghentian dari random walk tersebut adalah

Tabel 3.1 nilai harapan dari waktu penghentian random walk

62

Dalam Teorema 3.2 dijelaskan mengenai jumlah langkah rata-rata yang

diperlukan oleh sebuah random walk simetrik untuk mencapai kedua titik batas

pada interval [0,A] berdasarkan titik awal atau keadaan awal. Selanjutnya akan

dibahas mengenai waktu untuk random walk bergerak bersyarat. Hal tersebut

adalah rata-rata jumlah langkah yang diperlukan sebuah random walk simetrik

untuk mencapai nilai batas pada titik A yang menjauhi nilai batas yang lain yaitu

0. Simbol Ω menyatakan waktu untuk random walk bergerak bersyarat pada

keadaan awal 0 yang mencapai nilai batas A dan menjauhi nilai batas 0,

sehingga waktu untuk random walk bergerak bersyarat ini dapat dirumuskan

sebagai berikut :

Ω∑

∑∑

Perhatikan bahwa jumlahan di atas terjadi pada semua kemungkinan jalur yang

berawal pada 0 dan berakhir pada titik A dan menjauhi titik 0 sehingga

hal ini mengakibatkan bahwa waktu untuk random walk bergerak bersyarat dan

probabilitas jalur tersebut saling berhubungan berdasarkan persamaan berikut :

Ω ∑ (3.15)

Sisi bagian kanan dari Persamaan 3.15 akan didekomposisikan menjadi dua

bagian sama seperti hal sebelumnya yang telah dilakukan sehingga diperoleh

Ω

∑ 1 1

1 Ω 1 1 Ω 1

2 1 Ω 1 2 Ω 1 Ω 1 (3.16)

63

Sistem persamaan linear di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan aljabar

matriks elementer. Penyelesaian dari sitem persamaan linear tersebut berupa hasil

perkalian vektor Ω untuk 0,1,2, … , . Dengan tujuan agar tidak

memakan banyak tempat dan mempersingkat notasi maka akan didefinisikan

sebuah simbol baru yaitu Ω . Pada nilai batas dimana 0, 0

karena 0 0 dan juga berlaku 0 karena Ω 0. Sehingga dengan

menggunakan Teorema 3.1.1 dan semua informasi yang ada maka Persamaan

3.16 apabila dituliskan dalam bentuk matriks menjadi seperti dibawah ini

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

0

0

10000001210000

000121000001210000001

)1(2

4

2

1

2

1

0

AA

A

A

A

A

zz

zzz

MM

L

L

M

L

L

L

(3.17)

Teorema 3.1.3

Misalkan random walk yang didefinisikan seperti pada Persamaan (3.1) dengan

untuk 1,2, … , merupakan variabel random yang saling bebas dan identik

secara distribusi yang dapat bernilai 1 dengan probabilitas . Misalkan juga

bahwa nilai batas pada 0 bersifat menyerap. Random walk akan berhenti pada

waktu yang pertama dimana . Misalkan , , … , merupakan

solusi dari matriks (Persamaan 3.17), maka nilai harapan dari waktu penghentian

diberikan oleh

Ω untuk 1,2, … ,

64

Bukti

Pembuktian teorema di atas akan dilakukan dengan cara induksi.

Ω dan seperti yang diketahui bersama bahwa nilai 0 0 dan

Ω 0 dikarenakan nilai batas pada A bersifat menyerap.

1. Akan dibuktikan rumus benar untuk 1

Ω 1 .

1 Ω 1

Ω 1

Ω 1

Rumus benar untuk 1

2. Diandaikan rumus benar untuk

3. Akan dibuktikan rumus benar untuk 1

Ω 1

Ω

Ω 1

Ω 1

Rumus benar untuk 1.

65

Contoh 3.1.3

Misalkan sebuah random walk yang simetrik terjadi pada garis bilangan bulat.

Andaikan bahwa nilai batas pada 0 bersifat menyerap. Jika 0 0 5

waktu penghentian bagi random walk ketika mencapai nilai 5 adalah

Tabel 3.2 waktu penghentian dari random walk

B. Gerak Brown

Gerak Brown pertama kali ditemukan oleh seorang ahli tanaman

berkebangsaan Scotlandia yaitu Robert Brown pada tahun 1827 melalui

eksperimennya terhadap pergerakan serbuk sari tanaman dalam zat cair yang

bergerak secara tak beraturan. Sekitar tahun 1900 Louis Bachelier seorang

mahasiswa matematika di Paris mempelajari sifat-sifat dari harga saham dan dia

menemukan adanya pergerakan yang tak beraturan dan kemudian

mengembangkan apa yang ditemukan oleh Brown secara matematis dan

menggunakannya sebagai model untuk pergerakan harga saham. Pada tahun 1920

Norbert Wiener mengembangkan kerangka model tersebut secara probabilistik.

Pergerakan ini kemudian dikenal sebagai Gerak Brown atau Proses Wiener.

66

Definisi 3.2.1

Sebuah proses stokastik , 0 disebut sebagai Gerak Brown jika

i. 0 0 dan kenaikannya bersifat kontinu.

ii. Pergerakan atau kenaikan pada interval waktu merupakan variabel random

yang saling bebas.

iii. Pergerakan atau kenaikan yang terjadi pada interval waktu dengan panjang

interval u dari waktu t ke berdistribusi normal dengan mean 0 dan

variansi sama dengan panjang interval waktu tersebut.

Fungsi densitas dari variabel random yang berdistribusi normal dengan mean µ

dan variansi adalah

1√2

exp12

µσ

Dengan mengacu pada definisi 3.2.1 bagian iii maka kenaikan dari sebuah

gerak Brown pada interval , berdistribusi normal dengan mean 0 dan

variansi sama dengan panjang interval. Fungsi distribusi dari kenaikan tersebut

ditulis sebagai berikut

P B t u B t a1

√u√2πexp

12

x√u

dx

Dengan memperhatikan definisi di atas bahwa nilai dari 0 0 maka

berdasarkan (i) dan (iii) maka fungsi densitas dari gerak Brown pada akhir periode

waktu 0, didapat dengan mengganti nilai μ 0 dan √

67

√ √

exp√

(3.18)

Dapat dikatakan bahwa untuk 0, berdistribusi normal dengan mean 0

dan variansi t.

Kovarians dari gerak Brown pada waktu s dan t dimana merupakan

nilai harapan dari variabel random tersebut, yaitu

, Ε Ε Ε

Berdasarkan definisi 3.2.1 nilai Ε dan Ε adalah 0, sehingga

, Ε

Dengan sedikit modifikasi pada maka dapat ditulis

maka

Ε Ε B s

Ε B s Ε

Ε B s Ε Ε

00

Apabila maka Ε . Jadi untuk sembarang waktu s dan t

Ε min , (3.19)

Misalkan bahwa dan merupakan dua gerak Brown yang saling bebas

dan juga diberikan sebuah bilangan 1 1. Untuk interval waktu 0

didefinisikan sebuah proses baru yaitu

68

1

Untuk setiap waktu t, proses tersebut merupakan kombinasi linear dari

variabel random normal yang saling bebas sehingga berdistribusi normal.

Hal pertama yang akan dibahas adalah menunjukkan bahwa Z merupakan gerak

Brown dengan jalan memodifikasi nilai harapan dan variansinya pada waktu t dan

variansinya pada semua interval waktu. Hal ini akan menunjukkan bahwa Z dan B

mempunyai korelasi atau hubungan.

Nilai harapan dari adalah

E E 1

E 1 E

0 1 0

0

dan variansinya adalah

1

1

1

1

Selanjutnya perhatikan proses berikut

1

1

69

1

merupakan kenaikan yang bersifat random dari gerak Brown B

dalam interval waktu u dan merupakan kenaikan yang bersifat

random dari gerak Brown dalam interval waktu u. Kedua hal ini merupakan

kejadian yang saling bebas satu sama lain, sama halnya jika dikalikan dengan

sebuah konstanta maka variansi dari jumlah sama dengan jumlah variansi dan

ditulis

1

1

1

Nilai dari variansi ini tidak bergantung pada waktu awal t dalam interval u, dan

sama dengan panjang interval tersebut. Z mempunyai sifat-sifat yang sama

dengan gerak Brown dan variansinya adalah

2 ,

2 ,

2

70

Sekarang akan dilihat hubungan antara Z dan B pada waktu t. Hal ini

didefinisikan sebagai kovariansi diantara dan yang diukur oleh hasil

kali dari standar deviasi antara dan yaitu :

,,

Akan dikerjakan bagian pembilang terlebih dahulu

, 1 ,

, 1 ,

, 1 ,

, 1 0

Dengan memasukkan nilai dari variansi dan yaitu t, maka diperoleh

,√ √

(3.20)

Gerak Brown B dan Z mempunyai korelasi untuk semua waktu t.

C. Konstruksi Gerak Brown Menggunakan Random Walk Simetrik

Gerak Brown dapat dibentuk dari sebuah random walk, yaitu dengan

mencari limit dari distribusi random walk tersebut. Random walk yang simetrik

adalah random walk yang mempunyai probabilitas yang sama untuk dua nilai

yang berebeda. Misalkan diambil sebuah interval 0, dan kemudian dipartisi

menjadi n subinterval yang sama besar dengan panjang interval ∆ ⁄ .

Interval-interval ini mempunyai titik akhir ∆ , 0, … , .

71

Sebuah partikel yang bergerak di dalam dan sepanjang interval waktu

tersebut akan bergerak naik ataupun turun dengan probabilitas yang sama. Partikel

tersebut akan mulai bergerak pada waktu 0 dengan nilai (posisi) 0 juga. Besar

pergerakan partikel tersebut adalah √∆ .

Pada titik waktu 1 posisi partikel tersebut dapat berada pada level √∆

atau √∆ . Apabila pada waktu 1 partikel tersebut berada pada level √∆

maka pada titik waktu 2 posisi partikel tersebut dapat berada pada level

√∆ √∆ 2√∆ ataupun √∆ √∆ 0. Sama halnya jika pada titik waktu

1 partikel tersebut berada pada level √∆ maka pada titik waktu 2

posisi partikel tersebut dapat berada pada level √∆ √∆ 0 ataupun

√∆ √∆ 2√∆ .

Apabila setiap posisi partikel tersebut dihubungkan satu dengan yang

lainnya maka akan diperoleh sebuah jalur yang kontinu. Terdapat sejumlah jalur

yang berbeda yang dapat dilewati oleh partikel tersebut. Apabila diambil titik

waktu sejumlah 6, maka dapat diterangkan bahwa untuk setiap titik akhir

atau terminal dari setiap jalur memiliki sejumlah j pergerakan ke atas (kenaikan)

yang diberi label (n,j) seperti pada gambar di bawah ini

Gambar 3.3 diagram pohon yang simetrik untuk random walk

72

Apabila terdapat sejumlah k interval, maka akan ada 1 terminal pada

waktu T, dan diberi label yaitu , 0 sampai , . Juga terdapat sebanyak 2

jalur yang berbeda menuju ke terminal tersebut. Setiap jalur tersebut mempunyai

probabilitas . Hal ini diperoleh dari penjabaran rumus berikut

Berdasarkan Definisi 2.1.4 dengan 1 dan 2 , dimana A menyatakan

sebuah jalur maka

12

12

Jumlah dari semua probabilitas setiap jalur tersebut adalah sama dengan

banyaknya jalur yang ada dikali dengan yang sama dengan 1. Misalkan

bahwa y merupakan jumlahan dari probabilitas setiap jalur yang ada sehingga

ditulis

212 1

Banyaknya jalur tersebut dapat digambarkan sebagai sebuah segitiga pascal

berikut

73

Gambar 3.4 segitiga pascal untuk jalur random walk

Pembahasan selanjutnya adalah nilai harapan dan variansi dari random walk

yang simetrik. Misalkan bahwa kenaikan atau pergerakan posisi random walk dari

waktu hingga dinotasikan oleh sebuah variabel random diskret yang

memiliki dua nilai yang berbeda. Nilai harapan dan variansi dari adalah

Ε12 √Δ

12 √Δ 0

Ε Ε

Ε

√Δ √Δ

Δ

Posisi dari partikel tersebut pada waktu T merupakan jumlahan dari n buah

variabel random yang saling bebas dan identik secara distribusi. Didefinisikan

bahwa , maka nilai harapan dan variansi dari adalah

Ε Ε

Ε Ε Ε

0

0 (3.21)

74

Karena merupakan variabel random yang saling bebas (Teorema 2.2.4) maka

variansi dapat ditulis menjadi ∑ , selain itu juga identik

secara distribusi sehingga mempunyai variansi yang sama yaitu Δ , sehingga

dapat ditulis

Δ (3.22)

Fungsi distribusi probabilitas dari dapat ditentukan dengan menggunakan

fungsi pembangkit momen yaitu Ε exp , yang merupakan fungsi dari dan

akan disimbolkan dengan .

Ε exp

Ε exp

Ε exp … exp

Sebagaimana X , … , X merupakan variabel random yang saling bebas, maka

variabel random exp , … , exp juga saling bebas sehingga menurut

Teorema 2.4.2, nilai harapan dari hasil kali variabel random tersebut dapat ditulis

sebagai hasil kali dari nilai harapan dari setiap variabel random tersebut

Ε exp Ε exp … Ε exp

Ε exp

75

Sama seperti yang identik secara distribusi, maka semua Ε exp

mempunyai nilai yang sama sehingga diperoleh

Ε exp (3.23)

Mengingat bahwa merupakan variabel random yang bernilai √Δ atau √Δ

dengan probabilitas yang sama yaitu , maka sama halnya dengan hal tersebut

bahwa Ε exp exp √∆ exp √∆ .

Untuk nilai Δ yang kecil, dapat digunakan ekspansi deret pangkat untuk bentuk

exponen (exp) dan hal ini dapat didekati oleh deret Maclaurin dan diperoleh

exp √Δ 1 √Δ!

Δ!

Δ

exp √Δ 1 √Δ!

Δ!

Δ

Sehingga

Ε exp12 1 √Δ

12 Δ

12 1 √Δ

12 Δ

1 Δ

dan

1 Δ (3.24)

Untuk menentukan limit dari m dengan ∞ adalah dengan mengubahnya

dalam bentuk logaritma natural (ln)

ln ln 112 Δ

Dengan memperhatikan ekspansi deret Maclaurin untuk fungsi ln 1

ln 1 2! 3! 4!

76

Sehingga dapat menggunakan sifat ln 1 untuk nilai y yang kecil, maka

diperoleh

ln 12 Δ

dengan ∆

ln12

12 T

sehingga

ln12 T

exp (3.25)

Ini merupakan fungsi pembangkit momen bagi yang berdistribusi normal

dengan mean 0 dan variansi T. Jika dibawa dalam waktu yang kontinu yang

merupakan limit dari waktu diskret, fungsi densitasnya menjadi

√ √

exp√

(3.26)

dengan x merupakan nilai dari variabel random .

Persamaan (3.26) merupakan hasil dari penurunan limit dari distribusi sebuah

random walk yang simetrik yang sudah dikerjakan sebelumnya. Apabila

persamaan (3.18) dan (3.26) dibandingkan maka akan diketahui bahwa kedua

persamaan ini sama. Dengan kata lain gerak Brown dapat dibentuk dari sebuah

random walk yang simetrik.

77

D. Ito’s Lemma

Pembahasan mengenai Ito’s lemma ini akan diawali dengan pembahasan

mengenai ekspansi deret Taylor untuk sebuah fungsi yang berturunan

1 kali pada suatu interval terbuka yang memuat titik . Fungsi tersebut

dapat ditulis sebagai berikut

!

! ! (3.27)

Suku terakhir dari rumus di atas adalah bentuk dari deret Taylor dengan

suku sisa dan dinotasikan dengan . Mengingat bahwa f merupakan fungsi

dengan satu variabel maka Dengan mengambil 0 maka deret Taylor (3.27)

di atas dapat ditulis menjadi

0 0 0 (3.28)

Selanjutnya, ekspansi dari deret Taylor dengan satu variabel ini akan digunakan

untuk fungsi dengan dua variabel.

Misalkan bahwa fungsi , mempunyai turunan parsial sampai suku

ketiga pada interval terbuka yang memuat titik dengan koordinat , .

Didefinisikan sebuah fungsi , dimana h dan k

merupakan bilangan-bilangan yang cukup kecil sehingga berada di sekitar

, . Dengan menggunakan aturan rantai untuk fungsi dua variabel maka

diperoleh turunan pertama dan kedua dari fungsi ,

dengan 0,

0 , , (3.29)

78

0 , 2 , , (3.30)

Persamaan 3.28 dapat ditulis menjadi

0 0 0

0 0 0 (3.31)

Apabila Persamaan (3.29) dan (3.30) disubstitusikan pada Persamaan (3.31)

dengan 1 , maka diperoleh

∆ 1 0

, , (3.32)

12 , 2 , ,

Persamaan (3.32) ini akan digunakan untuk menurunkan Ito’s Lemma.

Lemma 3.3.1 Ito’s Lemma

Misalkan bahwa variabel random X digambarkan oleh sebuah proses Ito

, , (3.33)

dengan merupakan variabel random normal. Misalkan bahwa ,

merupakan sebuah variabel random. Variabel random Y dapat digambarkan atau

dijelaskan berdasarkan proses Ito di bawah ini

, , , (3.34)

Bukti :

Misalkan X merupakan sebuah variabel random yang digambarkan melalui

sebuah proses Ito dengan bentuk

79

, ,

dengan merupakan variabel random normal dan a dan b merupakan fungsi

dari X dan t. Misalkan didefinisikan sebuah variabel random yang lain yaitu

, yang merupakan sebuah fungsi dari X dan t. Proses Ito yang

menggambarkan variabel random X akan digunakan untuk menentukan proses Ito

yang menggambarkan variabel random Y. Dengan meggunakan ekspansi deret

Taylor untuk Y seperti pada Persamaan (3.32) diperoleh

∆ ∆ ∆12 ∆ ∆ ∆

12 ∆

∆ ∆12 ∆

∆ ∆12 ∆

Suku sisa dari deret Taylor yaitu memuat semua suku dari ∆ untuk 2

(nilai ∆ mendekati 0 ).Sebagaimana nilai ∆ menjadi semakin kecil maka

∆ ∆ ∆12!

Seperti yang diketahui bahwa merupakan variabel random normal dengan

nilai harapan 0 dan variansi ∆ . Berdasarkan definisi, maka

∆ 0

∆

Hasil yang diperoleh di atas yaitu ∆ akan digunakan sebagai

nilai pendekatan bagi sehingga dapat ditulis

80

∆ ∆ ∆!

∆ (3.35)

Contoh 3.3.1

Misalkan bahwa variabel random P ditentukan oleh sebuah proses stokastik

berikut

Carilah sebuah proses stokastik yang dapat menentukan Y jika diberikan

a)

b) ln

Jawab :

Dengan menggunakan Ito lemma

a)

, dan , untuk , maka

12 1

12

b) ln

, dan , untuk ln , maka

1 12

1 1

2

81

BAB IV

MODEL PRGERAKAN HARGA SAHAM

A. Model Random Walk

Dalam pembahasan mengenai random walk, dimisalkan bahwa harga saham

dapat bergerak naik ataupun turun dengan probabilitas yang sama. Ini merupakan

random walk yang simetrik. Dalam random walk yang sederhana, variabel

random Bernoulli digunakan sebagai nilai untuk mengukur besarnya perubahan

atau kenaikan yang terjadi pada waktu t.

Dalam model random walk, besarnya perubahan harga saham untuk

meningkat maupun menurun adalah sama dengan probabilitas yang sama.

Berdasarkan Definisi 3.3.1 dan asumsi dalam random walk yang simetrik maka

model untuk pergerakan harga saham dengan random walk adalah

∑ (4.1)

Dengan merupakan harga saham awal ( 0) dan merupakan variabel

random Bernoulli yang bernilai 1 dan -1.

Pada umumnya besarnya pergerakan atau perubahan harga saham untuk naik

dan turun tidaklah sama. Oleh sebab itu perlu dicari sebuah nilai yang dapat

mewakili besarnya pergerakan harga saham tersebut sehingga asumsi dari random

walk yaitu besar pergerakan harga saham untuk naik ataupun turun adalah sama

dengan probabilitas yang sama dipenuhi. Nilai yang dapat mewakili pergerakan

82

tersebut adalah rata-rata dari pergerakan harga saham ( ) yaitu .

Sehingga Persamaan 4.1 dapat diubah menjadi

∑ (4.2)

(4.3)

Dalam pembahasan aplikasi model random walk ini akan digunakan data harga

saham dari PT. Bank Rakyat Indonesia Tbk, periode 1 Mei 2009 - 16 Juni 2009

(data 1) dan PT. Indosiar Karya Mandiri Tbk, periode 16 Oktober – 28 November

2009 (data 2).

Nilai dari variabel random adalah bilangan random random Bernoulli

yang dibangkitkan dengan menggunakan bantuan Program SPSS. Dengan bantuan

Excel maka diperoleh nilai 185,483 dan dibulatkan menjadi 185 untuk

data 1 dan 8,225 dan dibulatkan menjadi 9. Apabila semua nilai

tersebut dimasukkan ke dalam persamaan 4.3 maka diperoleh gambar seperti

dibawah ini

Gambar 4.1 data harga saham PT.BRI vs Random walk model dengan Excel

5000

5500

6000

6500

7000

7500

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

actual Vs Predict

Actual Predict

83

Gambar 4.2 data harga saham PT.Indosiar vs Random walk model dengan Excel

B. Model Gerak Brown

Gerak Brown muncul dalam perkembangan model pergerakan harga saham

atau yang sering disebut sebagai dinamika harga saham. Misalkan ∆ merupakan

sebuah interval waktu, dan ∆ merupakan harga saham sekarang pada

waktu dan waktu yang akan datang ∆ , dan ∆ merupakan kenaikan dari

gerak Brown setelah ∆ waktu. Perluasan dari model yang diadopsi dari dinamika

harga saham dan dalam interval waktu yang bersifat diskret adalah

∆ ∆ ∆ (4.4)

Dengan dan merupakan konstanta. Ini merupakan persamaan diferensial

stokastik yang berarti bahwa perubahan harga saham relatif pada nilai harga

saham pada waktu t, ∆ ⁄ yang bergerak naik atau bertumbuh

pada per unit waktu yang merupakan elemen non-random pada model tersebut

220240260280300320340360

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Data vs Predict

Data Predict

84

dan juga terdapat parameter yang merupakan unsur atau elemen yang bersifat

random yang juga mempengaruhi pergerakan atau kenaikkan dari gerak Brown

setelah ∆ waktu.

Model pergerakan harga saham di atas merupakan model yang bersifat

diskret. Apabila model tersebut dibawa dalam bentuk model yang bersifat kontinu

maka model tersebut akan menjadi sebuah persamaan diferensial stokastik berikut

atau

(4.5)

Misalkan diambil sebuah fungsi , ln dan dengan menggunakan

Ito’s lemma maka Persamaan 4.5 menjadi

ln

ln

Apabila kedua ruas diintegralkan maka diperoleh

ln12

ln ln 012

ln 012

0 exp12

0 exp12

85

Jadi solusi atau penyelesaian dari Persamaan (4.2) adalah

0 exp (4.6)

Dalam pembahasan aplikasi model pada harga saham akan digunakan

model pergerakan harga saham menggunakan gerak Brown (4.6) yaitu

0 exp

dengan dan merupakan konstanta yang diperoleh dari mean dan standar

deviasi dari return harga saham. Return merupakan hasil yang diperoleh dari

investasi yang digunakan untuk mengukur perubahan kemakmuran yaitu

perubahan kekayaan pada waktu tertentu. Perubahan kemakmuran ini

menunjukkan tambahan kekayaan dari kekayaan sebelumnya.

dengan )( itS dan )( 1+itS adalah harga saham ti dan ti+1.

Data return harga saham yang akan digunakan harus berdistribusi normal.

Setiap data return harga saham akan diuji terlebih dahulu apakah berditribusi

normal atau tidak. Untuk menguji normalitas data maka akan digunakan Uji

Kolmogorov Smirnov dalam SPSS.

Data harga saham yang akan digunakan dalam aplikasi kali ini adalah data

harga saham dari PT. Bank Rakyat Indonesia Tbk, periode 1 Mei 2009 sampai 16

Juni 2009 (data1) dan PT. Indosiar Karya Mandiri Tbk, periode 16 Oktober 2009

sampai 28 November 2009 (data 2).

)()()( 1

i

iihariani tS

tStSr −= +

86

Selanjutnya return dari data harga saham tersebut akan diuji apakah data

tersebut berdistribusi normal atau tidak dengan menggunakan Kolmogorov

Smirnov pada SPSS dan hasilnya adalah

Tabel 4.1. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorov Smirnov(data1)

data N 31

Normal Parameters(a,b) Mean ,0031323 Std. Deviation ,04000729

Most Extreme Differences

Absolute ,125 Positive ,125 Negative -,082

Kolmogorov-Smirnov Z ,696 Asymp. Sig. (2-tailed) ,718 a. Test distribution is Normal. b. Calculated from data.

Dari hasil di atas karena nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return dari data

harga saham tersebut berdistribusi normal.

Tabel 4.2. Tabel uji normalitas dengan Kolmogorov Smirnov(data2)

Dari hasil di atas karena nilai Asymp. Sig. (2-tailed) > 0,05 maka return dari data

harga saham tersebut berdistribusi normal.

One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

31-,004227

********,170,170

-,137,946,333

NMeanStd. Deviation

Normal Parametersa,b

AbsolutePositiveNegative

Most ExtremeDifferences

Kolmogorov-Smirnov ZAsymp. Sig. (2-tailed)

data

Test distribution is Normal.a.

Calculated from data.b.

87

Selanjutnya model tersebut akan digunakan untuk memodelkan

pergerakan harga saham. Dengan mensubtitusi nilai untuk 0,0031323 ,

0,04000729, 0,00423 dan 0,042267 serta membangkitkan

bilangan random normal sebagai nilai untuk , maka diperoleh gambar

sebagai berikut

Gambar 4.3 data aktual harga saham PT.BRI beserta prediksinya menggunakan

model gerak Brown

5000

5500

6000

6500

7000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

actual vs predict

actual Predict

88

Gambar 4.4 data aktual harga saham PT.Indosiar beserta prediksinya

menggunakan model gerak Brown

C. Perbandingan Model Random Walk dengan Model Gerak Brown

Pembahasan kali ini mengenai perbandingan dua buah model yang sudah

dibahas sebelumnya yaitu model random walk dan model gerak Brown. Seperti

yang diketahui bahwa tujuan dari pembuatan sebuah model adalah untuk

mendekati nilai yang sesungguhnya, sehingga wajar kalau hasil yang diperoleh

dari model yang ada tidak sama persis atau hanya mendekati nilai sebenarnya.

Besar kesalahan sebuah model untuk mendekati nilai yang sebenarnya disebut

sebagai nilai error, yang didefinisikan sebagai berikut

ErrSQ S S

Err_Diff = BM_ErrSQ – RW_ErrSQ

Nilai kuadrat error ini akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan

kedua model tersebut. Model yang mempunyai jumlah nilai kuadrat error yang

lebih kecil dianggap sebagai model yang lebih baik dalam memprediksikan

220

240

260

280

300

320

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Data vs Predict

Data Predict

89

pergerakan harga saham. Apabila jumlah dari Err_Diff yang bernilai negatif lebih

dari atau sama dengan 2 maka model gerak Brown memuat nilai error lebih

sedikit dibandingkan dengan model random walk.

Setelah dilakukan perhitungan untuk data1 dengan 32 (lihat lampiran

tabel 1 ), diperoleh bahwa jumlah Err_Diff yang bernilai negatif adalah 18 yang

berarti bahwa model gerak Brown memuat nilai error lebih sedikit. Juga diperoleh

jumlah kuadrat eror dari model random walk adalah 9466500 dan model gerak

Brown adalah 3445731. Berdasarkan jumlah kuadrat eror dan jumlah Err_Diff

maka dapat disimpulkan bahwa untuk contoh data harga saham dari PT. BRI ,

model gerak Brown lebih baik dari model random walk.

Selanjutnya untuk data 2, setelah dilakukan perhitungan dengan 32,

(lihat lampiran tabel 2 ) diperoleh bahwa jumlah Err_Diff yang bernilai negatif

adalah 29 yang berarti bahwa model gerak Brown memuat nilai error lebih

sedikit. Juga diperoleh jumlah kuadrat eror dari model random walk adalah 62510

dan model gerak Brown adalah 9826,501. Berdasarkan jumlah kuadrat eror dan

jumlah Err_Diff maka dapat disimpulkan bahwa untuk contoh data harga saham

dari PT. Indosiar , model gerak Brown lebih baik dari model random walk.

90

Gambar 4.5 nilai eror_RW dan eror_GB pada data harga saham PT.BRI

Gambar 4.6 nilai eror_RW dan eror_GB pada data harga saham PT.Indosiar

Dari Gambar 4.5 dan 4.6 memberikan gambaran bahwa model random walk

memiliki nilai eror yang lebih besar dari model gerak Brown. Hal ini berarti

bahwa model gerak Brown dapat dikatakan lebih baik dari model random walk.

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Eror_RW vs Eror_GB

Err_RW Err_GB

01000200030004000500060007000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

Eror_RW vs Eror_GB

Eror_RW Eror_GB

91

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Random walk merupakan sebuah pergerakan atau perpindahan dari suatu

partikel atau benda yang bersifat random dimana setiap nilai yang dicapai

ditentukan dengan teori probabilitas. Random walk yang simetrik merupakan

random walk yang mempunyai probabilitas yang sama untuk dua nilai yang

berbeda.

Gerak Brown atau juga yang biasa disebut sebagai proses Wienner

merupakan unsur yang cukup penting dalam model harga saham. Gerak Brown

dapat dibentuk dengan menggunakan random walk yang simetrik, yaitu dengan

mencari limit dari distribusi random walk yang simetrik tersebut.

Random walk dan gerak Brown mempunyai peranan masing-masing dalam

model pergerakan harga saham. Apabila kedua model ini dibandingkan maka

model gerak Brown akan cenderung lebih baik karena nilai pendekatan yang

diberikan lebih mendekati nilai sebenarnya dengan nilai eror yang kecil. Hal ini

juga disebabkan oleh asumsi pada random walk yang menyatakan bahwa besarnya

pergerakan untuk meningkat dan menurun adalah sama, tetapi pada kenyataannya

tidak seperti itu.

92

B. Saran

Random walkm dan gerak Brown yang dibahas dalam skripsi ini terbatas

pada random walk dan gerak Brown yang berdimensi satu. Akan lebih baik jika

skripsi ini bisa dikembangkan dalam pembahasan mengenai random walk dan

gerak Brown dalam dimensi dua, tiga atau juga bahkan dalam dimensi fraktal.

Juga aplikasi pada bidang kehidupan yang lain sehingga dapat bermanfaat bagi

banyak pihak dan kemajuan ilmu pengetahuan.

93

DAFTAR PUSTAKA

Buchanan, J. Robert. (2005). An Undergraduate Introduction to Financial

Mathemamtics . Singapore : World Scientific Publishing Co. Pto. Ltd.

Ross, Sheldon M. (1997). Introduction To Probability Models. Sixth Edition.

San Diego: Academic Press.

Rudnick, Joseph and Gaspari, George. (2004). Elements of The Random Walk .

Cambridge : Cambridge University Press.

Taylor, A. E. and Mann, W. R. (1983). Advanced Calculus, 3rd edition, John

Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA.

Walpole, R. E. (1995). Pengantar Statistika. Edisi ke-Tiga.

Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama.

Wiersema, Ubbo F. (1988). Brownian Calculus, John Wiley & Sons, Inc., New

York, NY, USA.

94

LAMPIRAN

Data harga saham PT. Bank Rakyat Indonesia Tbk, periode 1 Mei 2009

sampai 16 Juni 2009.

Date Close 16/06/2009 5900 15/06/2009 6300 12/06/2009 6000 11/06/2009 5800 10/06/2009 5950 09/06/2009 6000 08/06/2009 5900 05/06/2009 5850 04/06/2009 6000 03/06/2009 5800 02/06/2009 5600 01/06/2009 5950 29/05/2009 6650 28/05/2009 6300 27/05/2009 6050 26/05/2009 6100 25/05/2009 6150 22/05/2009 6150 20/05/2009 6100 19/05/2009 6250 18/05/2009 6400 15/05/2009 6700 14/05/2009 6650 13/05/2009 6650 12/05/2009 6800 11/05/2009 6450 08/05/2009 6500 07/05/2009 6500 06/05/2009 6350 05/05/2009 6300 04/05/2009 6700 01/05/2009 6350

95

Data harga Saham PT. Indosiar Karya Mandiri Tbk, periode 16 Oktober

sampai 28 November 2008.

Tanggal Harga 12/19/2008 250 11/7/2008 265 12/18/2008 250 11/6/2008 275 12/17/2008 250 11/5/2008 280 12/16/2008 250 11/4/2008 280 12/15/2008 250 11/3/2008 280 12/12/2008 250 10/31/2008 285 12/11/2008 250 10/30/2008 290 12/10/2008 250 10/29/2008 290

12/9/2008 250 10/28/2008 260 12/5/2008 240 10/27/2008 275 12/4/2008 250 10/24/2008 280 12/3/2008 250 10/23/2008 280 12/2/2008 250 10/22/2008 300 12/1/2008 255 10/21/2008 280

11/28/2008 250 10/20/2008 285 11/27/2008 245 10/17/2008 280 11/26/2008 245 10/16/2008 285 11/25/2008 240 11/24/2008 250 11/21/2008 250 11/20/2008 240 11/19/2008 260 11/18/2008 265 11/17/2008 280 11/14/2008 275 11/13/2008 270 11/12/2008 285 11/11/2008 285 11/10/2008 290

96

Tabel 1: hasil perbandingan model random walk dan model gerak Brown pada

data harga saham PT. Bank Rakyat Indonesia Tbk,

DATA Predict_RW Predict_GB ErorrDiff

5900 5900 5900 06300 6085 5825,872 178571,96000 6270 5558,409 122102,95800 6455 5985,214 ‐3947215950 6640 6038,291 ‐4683056000 6455 5714,888 ‐1257365900 6640 6289,734 ‐3957085850 6825 6303,988 ‐7445206000 7010 6016,066 ‐1019842

5800 6825 6118,787 ‐9490005600 6640 6095,718 ‐8358645950 6455 6022,267 ‐2498036650 6270 6260,761 7106,776300 6455 5953,982 95703,166050 6640 6667,676 33424,136100 6825 6090,943 ‐5255436150 6640 6166,605 ‐2398246150 6455 6421,186 ‐19483,46100 6640 6181,911 ‐2848916250 6825 6158,062 ‐3221726400 6640 5993,171 107909,96700 6455 6284,135 112918,46650 6640 5901,016 560876,96650 6455 6420,466 14661,066800 6640 6673,875 ‐9692,596450 6455 6097,63 124139,46500 6270 6502,813 ‐52892,16500 6455 6622,078 12878,156350 6270 5922,822 176080,86300 6085 5973,027 60686,236700 5900 6488,839 ‐5954116350 5715 6256,173 ‐394421

97

Tabel 2: hasil perbandingan model random walk dan model gerak Brown pada

data harga saham PT. Indosiar Karya Mandiri Tbk,

DATA Predict_RW Predict_GB ErorrDiff285 285 285 0280 294 278,16 ‐192,606285 303 262,45 184,5536280 312 281,39 ‐1022,07300 321 281,63 ‐103,432280 312 263,47 ‐750,829280 321 289,09 ‐1598,44275 330 287,33 ‐2872,93260 339 271,18 ‐6116,1290 330 273,74 ‐1335,58290 321 270,35 ‐574,735285 312 264,65 ‐314,966280 303 273,41 ‐485,558280 312 257,09 ‐498,929280 321 287,3 ‐1627,67275 330 258,91 ‐2766,08265 321 260,09 ‐3111,92290 312 269,16 ‐49,6173285 321 256,39 ‐477,452285 330 253,19 ‐1013,04270 321 243,95 ‐1922,61275 312 254,32 ‐941,262280 321 235,96 258,7974265 312 255,78 ‐2123,91260 321 264,2 ‐3703,33240 312 238,13 ‐5180,52250 303 252,73 ‐2801,54250 312 255,46 ‐3814,24240 303 225,13 ‐3747,8245 294 225,23 ‐2009,99245 285 243,75 ‐1598,43250 276 232,54 ‐371,253