Prosiding Pertemuan Ilmiah Sains Materi 1996

MODEL ELASTOPLASnC MATERIAL METALIK1

Agus Hadi Santosa Wargadipura2

ABSTRAKMODEL ELASTOPLASTIC MATERIAL METALIK. Sifat elastoplastik dari materiallogam merupakan faktor yang

penting dalam rancang bangun suatu komponen struktur yang dibuat dari material metalik. Hal ini mengingat bahwa akibat suatutingkat pembebanan tertentu, suatu material metalik dapat mengalami delonnasi elastik dan plastik (elastoplastik). Tulisan inimembahas suatu model elastoplastik yang dapat digunakan untuk melakukan prediksi kekuatan batas dari suatu komponen metalik.Kiriteria batas leleh material didasarkan pada hukum Van Mises yang mendekati sifat plastisitas dari material metalik. Metoda elemenhingga digunakan untuk melakukan diskritisasi geometri dari material yang dianalisa. Elemen yang digunakan dapat merupakanelemen-elemen plane stress, plane strain dan aksial-simetris. Fonnulasi model defonnasi elastoplastik yang diperoleh berbentukpersamaan non-linear yang diselesaikan dengan teknik iterasi Newton-Rhapson yang memerlukan evaluasi matriks kekakuantangensial. Prosedur inkrementasi pembebanan digunakan untuk memprediksi beban batas yang dapat bekelja. Pada akhir tulisandibahas aplikasi model yang dikembangkan untuk memprediksi penyebaran defonnasi plastis dan kekuatan batas dari komponenmetalik.

ABSTRACTTHE ELASTOPLASTIC MODEL OF METALLIC MATERIALS. Elastoplastic behaviour of metallic material is an

important factor to be considered in designing structural components made of metallic material. This is due to the fact that under acertain loading conditions, the material could undergo elastic and plastic (elastoplastic) defonnations. This paper discusses elastoplasticmodels that can be used to predict the IIltimate load for metallic components. Yon Mises yield criteria which closely approximate metalplasticity behaviour is employed herein. The finite element method is used to discretized the geometry of material analyzed. The elementtype includes plane stress, plane strain and axisymmetric elements. The formulation of elastoplastic deformation model obtained is in theform of nonlinear equation and it is solved using Newton-Rhapson iteration technique which necessitates the tangential stiffiless matricesto be evaluated. The loading incrementation procedures is used to progress the ultimate loading condition. In the final part of the paper,the application of elastoplastic model developed herein is discussed to predict the spreading of plastic deformations and ultimate strength

of metallic material components.

PENDAHULUANPerilaku dari suatu struktur solid

akibat suatu beban luar terutama bergantungpada sifat-sifat mekanis dari material yangmeyusun struktur tersebut. Sifat-sifatsesungguhnya dari material sangatlahkompleks dan berbagai model dapat digunakanuntuk mensimuiasikan sifat yang komplekstersebut. Salah satu pendekatan yang banyakdigunakan dalam perhitungan mekanikarekayasa adalah pendekatan continuum. Padamodel continuum, variabel keadaan dinyatakanoleh fungsi yang kontinyu dari koordinat titikpada material. Sifat-sifat mekanis materialdengan pendekatan continuum ini dapatdinyatakan dengan menggunakah modelmaterial yang dikembangkan berdasarkaneksperimen yang sederhana, seperti: uji tank,uji tekan, uji lentur roomeD ataupun uji torsi.Berbagai model material dapat dikembangkanuntuk memodelkan satu atau beberapa sifatmaterial. Pemilihan model yang tepatbergantung pada jenis material yang ditinjau,masalah yang akan diselesaikan, tingkatketelitian yang diperlukan dan juga fasilitaskomputasi yang tersedia. Sebagai contoh,

perancangan suatu struktur 'hi-tech'memerlukan evaluasi dan prediksi kekuatanbatasnya apabila dihadapkan pada suatukondisi operasional yang kritis dan untukmelakukan evaluasi ini dapat digunakan suatumodel material untuk melakukan prediksiperilaku st.ruktur pada kondisi dimana materialmengalami baik deforrnasi yang elastis maupundeforrnasi plastis. Contoh lainnya yangmemerlukan pengetahuan sifat material padadaerah plastis adalah perancangan prosespembentukan komponen struktur automotifdengan proses deep-drawing [1].

Model material biasanya dinyatakandengan hubungan tegangan dan reganganselarna pembebanan. Secara umum, diagramyang menggambarkan hubungan tegangan-regangan mempunyai bentuk yang non-linearsehingga cukup kompleks untuk diselesaikandengan suatu komputasi secara praktis. Untukmengatasi hal ini, penyederhanaan denganmelakukan linearisasi dari hubungan tegangandengan regangan dapat dilakukan danmenghasilkan suatu model material yanglinear. Dengan mengabaikan efek lajuregangan dan temperatur pada daerah elastis

I Paper dipresentasikan pada Pertemuan llmiahSains Materi '96, Pusat Penelitian gains Materi BATAN, Serpong,

22-23 Oktober 19962 Peneliti di Badan Pengkajian dan Penerapan Teknologi, Jl. M.H. Thamrin No.8 Jakarta

209

0" = E I , untuk I 0"1 < 0"0 (1)

dimana E dan 0"0 masing-masing adalahmodulus Young dan tegangan leleh (yieldstress) dari material, sedangkan If adalahregangan elastik. Hubungan ini dinyatakandengan garis lurus OA pada Gambar I. sebagaiberikut:

dan plastis, maka didapat berbagai modelmaterial, yaitu material linearly elastic,material rigid-perfectly plastic, material rigid-plastic hardening, material linearly elastic-perfectly plastic dan material linearly elastic-plastic hardening [2].

Disamping berbagai kemungkinanjells model material yang dapat digunakan,analisa elasto-plastik material dihadapkankepada berbagai jells kriteria batas plastis(yield) dari material, yaitu kriteria yangberdasarkan hukum dari Tresca, Yon Mises,Mohr-Coulomb dan Drucker-Prager [2,3].Kriteria yield yang berdasarkan Tresca danYon Mises sangat mendekati sifat plastisitasdari material metalik/logam, sedangkan kriteriayield Mohr-Coulomb dan Drucker-Prager dapatditerapkan untuk model plastisitas beton,batuan dan tanah [2,3,4]. Dalam tulisan illkriteria dari Von-Mises digunakan untukmemodelkan plastisitas materila metal/logam.Untuk dapat melakukan analisa suatu bentukstruktur yang kompleks, maka model materialyang dipilih perin dipetakan pada modeldeformasi dan kinematika dari elemen strukturdan dalam hat ini digunakan elemen strukturplane stress, plane strain dan aksi-simetris.Formulasi elemen-elemen struktur tersebutdilakukan dengan menggunakan metodaelemen hingga yang menghasilkan persamaansimultan yang non-linear. Teknik solusi iteratifNewton-Rhapson [5,6,7] digunakan untukmenyelesaikan sistem persamaan non-lineartersebut dan untuk dapat memprediksikonfigurasi beban batas yang dapat bekerjapada struktur digunakan prosedur inkrementasipembebanan. Formulasi numerik yangdiperoleh diimplementasikan pada suatuprogram komputer, sehingga memungkinkanberbagai bentuk komponen struktur dianalisa.

Hubungan Tegangan-Reganganuntuk model material linearlyelastic-perfectly plastic

Gambar

Apabila pada material dilakukanregangan lebih lanjut dan tegangannyamencapai tegangan leleh (yield stress), yaituI 0" I =0-0 daD tegangan dijaga pada tingkat ini,maka material dapat mengalami deformasiplastis tanpa barns pada tegangan konstansebesar 0"0 daD selama deformasi iniinkrementasi tegangan dO" hams sama denganDol, sehingga tidak diperoleh lagi hubungansatu-satu antara regangan dengan tegangan.Dengan demikian inkrementasi reganganplastik dEP harns sarna dengan arab daritegangan, yang dapat dituliskan sebagai berikut

[2,3]:

TEORIModel Deformasi Plastis

Pada dasamya teori matematis dariplastisitas meropakan uraian teoritis tentanghubungan antara tegangan dan regangan darimaterial yang memperlihatkan suatu responselasto-plastik. Dalam tulisan ini pembahasanakan difokuskan pada model material linearlyelastic-perfectly plastic. Dengan anggapanbahwa tegangan initial sama dengan Dol danpembebanan masih berada pada daerah elastik,maka hukum Hooke [2,3] untuk material dapatdituliskan sebagai berikut:

CKit!?; 0, untuk I aI =O"odan do=O (2)

Deformasi plastik pada tegangan yangkonstan 0"0 pada Gambar 1. dinyatakan dengangaris AB. Apabila beban ditiadakan setelahterjadi deformasi plastis AB, maka materialakan mengalami deformasi elastik murni yangdinyatakan oleh garis BD yang sejajar dengangaris AB dan material akan mengalami

210

deformasi plastis yang permanen sebesar gP.Dengan demikian pada waktu unloading inidiperoleh hubungan satu-satu hanya akandiperoleh antara inkrementasi tegangan danregangan, yang dapat dituliskan sebagaiberikut:

f < 0 , material pada daerah elastikf= 0 , material pada daerah plastik (7)

Kondisi dimana fungsi leleh f > 0 secara fisiktidak dimungkinkan. Ketidaksamaan padapersamaan (7) tetap berlaku untuk kondisi lelehmaterial pada keadaan tegangan multi-aksial,hanya saja fungsi leleh f mempunyai bentukyang lebih kompleks. Apabila diambil materialisotropik, dimana sifat-sifat material adalahsama untuk setiap arab, maka konstantamaterial tidak bergantung kepada transformasikoordinat. Sebagai akibatnya, fungsi lelehdapat dinyatakan secara sederhana sebagaifungsi daTi invariant dari tensor teganganataupun fungsi dari tegangan-tegangan utama,sebagai berikut [2,3,4]:

dE! = do-IE dan dtf = 0

untuk I uI ~ Uo daD adu<O (3)

Jadi pembebanan sembarang, dimana daerahplastik telah tercapai, maka regangan total padamaterial merupakan jumlah regangan elastikdengan regangan plastik dapat ditulis sebagaiberikut :

&= b-'+ti'= atE + ti' (4)f= f(J} ,J2, J3) a/au

f= f(O"}} ,0"22,0"33) (8)dimana If adalah regangan elastik yang akanhilang apabila beban ditiadakan dan If adalahregangan plastik yang permanen apabila bebanditiadakan.

Pengamatan eksperimental yangdilakukan oleh Bridgeman [8] memperlihatkanbahwa deformasi plastik dari material metaliktidak bergantung kepada tekanan hidrostatik,sehingga fungsi leleh pada persamaan (5) dapatdituliskan lebih sedehana sebagai:

Kriteria Leleh (Yield Criterion)Pada model material elasto-plastik,

berlakunya hukum Hooke dibatasi oleh adanyadefonnasi plastik. Hukum Hooke tidak dapatlagi digunakan dan hams digantikan denganpersamaan konstitutif material plastis apabilamaterial mulai memasuki daerah leleh (yield).Kriteria yang menentukan tingkat tegangandimana deformasi plastik mulai berlaku dikenaldengan kriteria leleh (yield criterion). Secaraumum kriteria leleh untuk suatu material dapatdituliskan sebagai berikut [2,3,4]:

(9)f(J2 .J3) = k (IC)

dirnana J] dan J3 masing-masing invariantkedua dan ketiga dari tegangan-tegangandeviatorik,

0" if = 0" ij -(1/3)Oy 0" kk (10)

Berbagai kriteria leleh (yield) untuk materialmetalik telah diajukan, tetapi banyak teori yangdiajukan tersebut berlawanan dengan prediksieksperimental. Hanya dua kriteria leleh yangpaling mendekati dengan sifat plastisitas darimetal, yaitu kriteria leleh menurut Tresca danYon Mises. Dalam tulisan ini kriteria leleh(yield) Yon Mises digunakan untukmemodelkan plastisitas dari material metalik.Hal ini mengingat untuk kebanyakan materialmetalik, kriteria leleh Yon Mises lebih cocokdengan data ekperimental dibandingkandengan kriteria Tresca [8,9).

(5)f(uij)=k(K,

dimana f adalah suatu fungsi dan k adalahsuatu parameter material yang ~itentukansecara eksperimen. Suku k dapat merupakanfungsi dari suatu parameter hardening K darimaterial. Sebagai contoh untuk kondisitegangan uniaxial, fungsi f dapat didefnisikandengan mudah dengan menggunakan fungsileleh (yieldfunction)fsebagai berikut:

f=

0-2 -0-02 (6)

dimana a dan ao masing-masing adalahtegangan saat ini dan tegangan leleh darimaterial. Kondisi leleh uniaxial tersebut dapatdinyatakan dengan ketidaksamaan berikut:

Kriteria leleh (yield) Yon MisesYon Mises mengajukan suatu model

yang menyatakan bahwa leleh (yielding) akanterjadi apabila deviatorik kedua dari teganganmencapai nilai kritikalnya [2,3], yaitu:

211

0"] +0"2+0"3=0) merupakan suatu lingkarandengan radius "'(2) k. Interpretasi fisik daTikonstanta k bergantung dari keadaan tegangan.Misalnya untuk masalah yang sederhana,tegangan pada tarik uni-aksial (0"2=0"3= 0), nilai"'(3) k merupakan tegangan leleh uniaksial.

Untuk dapat melakukan analisaelastoplastik komponen struktur dengangeometri dan pembebanan yang biasa dijumpai

dalam rancang bangun komponen rekayasa,maka formulasi deformasi elastoplastik diatasdimasukan kedalam rumusan untuk analisakekuatan struktur, yang dalam tulisan inidigunakan metoda elemen hingga. Analisaelastoplastik dilakukan dengan prosedur atautara inkremental. Elemen struktur yangdibahas dalam tulisan ini adalah elemenstruktur plane-stress, plane-strain dan aksi-simetris.

(J2 )=k(K) (11)

dirnana

J2 = Y2 0" ';j 0" ij = 1/6 [(0"1 -0"2Y +

(0"2- 0"3Y + (0"3- O"IY] (12.a)atauJ2 = Y2 [U'x2 + U'y2 + U'z2] + 'txy 2

+ 'tyz2 + 'txz 2(12.b)

Kriteriayield Von-Mises pada persamaan (11)dapat Iebih Ianjut dituliskan sebagai berikut[2,3]:

0" = "" 3(J2 )\4 = ",,3 k (I3.a)

atau:u = .oJ (3/2) {U 'ij U ij } 'h (13.b)

dan u dinamakan tegangan efektif atautegangan ekuivalen. Interpretasi dari kondisileleh Yon Mises diberikan oleh Nadai (1937)dengan memperkenalkan tegangan geseroktahedral "oct, yang merupakan tegangangeser pada bidang oktahedral yang pusatbidang tersebut berimpit dengan sumbu-sumbutegangan utama dan nilai dari "oct merupakanfungsi dari J] sebagai berikut [2,3]:

CARA KERJADalam tulisan ini metoda elemen

hingga digunakan untuk melakukan diskritisasidomain ruang .0.. Formulasi elemen hinggadilakukan untuk tegangan dalam elemenkuadratik segiempat delapan titik pacta kondisiplane-stress, plane-strain dan aksi-simetrik[ID,II]. Sifat non-linear materialdiintegrasikan melalui matriks konstitutir(matriks elastisitas dan elastoplastik).Persamaan deformasi elastoplastik diselesaikandengan metoda inkrementasi pembebanan.Persamaan yang diperoleh berbentuk sistempersamaan aljabar non-linear. Persamaan non-linear ini diselesaikan dengan menggunakanmetoda iterasi Newton-Rhapson [6,7].

'rOC! = ";(2 J2 /3) (14)

Kondisi leleh Yon Mises terjadi apabila 'roctmencapai nilai kritis atau apabila energi elastikmencapai suatu nilai kritis. Interpretasigeometris dari kriteria leleh Yon Mises padabidang 2-dimensi dapat dilihat pada Gambar 2.

Analisa Elastoplastik InkrementalTinjau fungsi leleh yang dituliskan

pada persamaan (5), dengan memasukanpengertian matriks ataupun vektor, makapersamaan (5) tersebut dapat dituliskankembali sebagai [11]:

(15)f(a) = k (K)

dimana 0" adalah vektor tegangan dan K adalahparameter hardening yang mengatur ekspansidari permukaan leleh. Persamaan (15), yangmenyatakan fungsi leleh, dapat dituliskankembali sebagai:

Gambar 2. Bidang 7[: kriteria lelehYon Mises

Seperti dapat dilihat pada Gambar 2.,permukaan leleh (yield surface) Yon Misesmempakan suatu silinder lingkaran yangproyeksinya pada bidang 7t (bidang dengan

F(O",K) = fro) -k(K) = 0 (16)

Dengan melakukan diferensiasi persamaan(16), maka diperoleh:

212

dF = (OF/ou) du + (OF/oK) dK = 0

atau(17) (86'*T 0" -8U*T b) dO -8d*T f = 0 (22)

()

Dengan melakukan diskritisasi elemen hingga,vektor perpindahan virtual dan reganganvirtual dalam setiap elemen, masing-masingdapat dituliskan sebagai [10,11]:

aT dO" -A dA = 0

dimana:(18.a)

aT = OF/ou= [(OF/oux ),(oF/ouy ),(OF/ouJ,

(OF/atyz ),(OF/atzx), (OF/atX)')] (I8.b)dan

8u*=N 8d* 8i::*=B8d* (23.a,b)

dimana N daD B masing-masing adalahmatriks fungsi bentuk daD matriks reganganelastik. Kemudian dengan melakukan prosesperakitan elemen, diperoleh [10,11]:

A = -(1/ dA) (oF/oK) dK (IS.c)

Vektor a adalah vektor aliran. Secara umum,persamaan inkremental antara tegangandengan regangan untuk deformasi elastoplastikdapat dituliskan sebagai [11 ]:

8d*T (BTa -NT b) do. -8d*T f = 0(1

dimana integrasi volume solid adalah jurnlahdaTi kontribusi masing-masing individualelemen. Mengingat persamaan (24) diatasberlaku untuk setiap nilai perpindahan virtual8d*, rnaka diperoleh:

de= [D]-1 dO" + dA (OF/au) (19)

dimana n adalah matriks konstanta elastisitas.Perkalian awal untuk kedua sisi dari persamaan(19) dengan dOT = aTn dan eleminasi aTdu

dengan menggunakan persamaan (18.a), makadiperoleh multiplier plastik dA sebagai:

dA. = {1/(A+ aTDa)} aTdDd& (20)

Subsitusi persamaan (20) kedalam persamaan(19), maka akan diperoleh hubungan teganganregangan inkremental elastoplastik, sebagai: 'II = I BTa dO. -(f+I NT b dO.) * 0

Q Q(26)

do-=D., dE (21.a) dimana 'II adalah vektor gaya residual. Untukkasus analisa dengan model materialelastoplastik, matriks kekakuan material selaluberubah secara kontinyu pada setiap tahapkomputasi dan pada suatu waktu hubungantegangan-regangan inkremental diberikan padapersamaan (21.a,b dan c). Dengan demikianmatriks kekakuan tangensial KT pada setiaptahap dapat dievaluasi dengan menggunakanbentuk inkremental dari persamaan (26) diatas.Jadi pada suatu inkremen pembebanan dapatdiperoleh:

dimana;

Dep =D -{(dodoT) I (A+dTa)} (21.b)

dD = Da (21.c)

Diskritisasi Elemen HinggaBentuk dasar diskritisasi elemen

hingga yang diperlukan untuk menyelesaikanpersamaan kekuatan struktur dapat dirumuskandengan menggunakan prinsip kerja semu(principle of virtual work). Tinjau suatu solidyang berada dalam keseimbangan, dengantegangan dalam solid 0" , beban terbagi rata perunit volume solid b dan gaya luar yang bekerjapada solid f Untuk mengalami suatuperpindahan virtual sembarang 8d* denganregangan yang kompatibel 81i* danperpindahan 8u*, maka prinsip kerja semu(virtual) memenuhi persamaan sebagai berikut[10,11]:

A'V = I BT Aa dQ -(Af + I NT Ab dQ)Q Q

Subsitusi nilai AD" dari persamaan (21) padapersamaan (26) diatas diperoleh:A'll = KT d -(Af + J NT Ab dQ) (27)

n

kekakuan tangensialdimana matrikselastoplastik KT adalahKT = J BTDepB dO

n(28)

213

aT = [(OF/oUx ),(OF/ocry ),(oF/mxy),

(OF/ou. )]

Formulasi Elemen StrukturAnggapan dasar dan hubungan antara

tegangan-regangan untuk elemen-elemenstruktur plane-stress, plane-strain dan aksi-simetrik akan ditinjau dalam tulisan ill.Formulasi untuk kondisi plastik telah dibahaspada bagian sebelumnya dan pada bagian illformulasi ditujukan untuk kondisi elastikSecara umum hubungan tegangan danregangan dapat dituliskan sebagai [11]:

dan menggantikan subskrip x, y dan z masing-masing dengan r, z dan 8, maka akan diperolehvektor aliran aT untuk elemen aksi-simetrik.

Prosedur Komputasi ElastoplastikProsedur komputasi untuk analisa

tegangan dengan model material elastoplastikdapat dirumuskan sebagai berikut:u=De (29)

dimana u, 6" dan D masing-masing adalahvektor tegangan dan regangan serta matrikskonstitutif (elastisitas) material. Untuk kondisielastik dan berbagai formulasi tegangan-regangan elemen struktur, maka nilai darivektor daD matriks tersebut mempunyai bentuksebagai berikut [ 11]:

Elemen Plane-stress:0-= [CTx .cry .Txy ]T

1v0

D=E/(I-v

Untuk elemenplane-stress 0". = 0

Elemen Plane-strain0-= [ax .cry .Txy ]T ; 10 = [lOx. lOy .rxy]T

Step I. Set Variabel PerhitunganStep 2. Baca data masukanStep 3. Evaluasi beban titik ekivalenStep 4. Set nilai variabel akumulatif= 0Step 5. Loop inkrementasi bebanStep 6. Loop Iterasi Non-linear

6.a Hitung kekakuan elemen untuksifat material elastik & elastoplastik

6.b Solusi persamaan aljabar simultan6.c Hitung vektor gaya residu 'P6.d Evaluasi tingkat tegangan efektif6.e Hitung vektor aliran plastis

Step 7. Periksa Konvergensi Gaya Residu7.a Apabila solusi belum konvergen

ulangi langkah-langkah Step 6.7.b Apabila solusi konvergen lakukan

langkah pada step 8Step 8. Output basil untuk inkremen

pembebanan yang dihitungStep 9. Ulangi Step 5 dan apabila

inkrementasi beban selesai, makaproses dihentikan.v

10

D = E I (l+v) (1-2v1v

0

Untuk elemen plane-strain &: = 0 dan 0": = v( O"x

+ CTy ).

BASIL DAN PEMBAHASANAnalisa Elastoplasik Pipa Silinder

Masalah yang ditinjau disini adalahanalisa elastoplastik struktur pipa silinder tebalyang dibebani oleh tekanan yang secarabertahap meningkat pada dinding sebelahdalam dari pipa tebal tersebut. Diameter luarpipa adalah 200 mm daD diameter dalam pipaadalah 100 mm (tebal dinding pipa = 100 mm).Sifat-sifat material adalah sebagai berikutmodulus elastisitas E=2.1x 104 dN/mm2, nilaiPoisson's ratio v = 0,3 , tegangan lelehuniaksial cry = 24 dN/mm2, parameterhardening regangan = O. Dalam kasus ini,

kriteria leleh dari Yon Mises digunakan untukperhitungan pada kondisi plastis. Mengingatgeometri dan pembebanan yang simetris, hanyasatu kuadran dari domain komputasi yangdianalisa. Diskritisasi domain komputasidilakukan dengan menggunakan 12(dua-belas)

Elemen Aksi-simetrik:u= [0; , uo. uz, 'l"rz)T;E= [Er ,EO, Ez. ,"ZIT

00

(1-2v)/2

(I-v) vv (I-v)

0 0

D = E / (l+v) (1-2v

Vektor aliran plastis pada persamaan (IS.b)untuk elemen plane-stress dan plane-straindapat dituliskan sebagai:

214

0

J(1~V)/2

elernen segiernpat kuadratik dengan 8(delapan)titik per elernen. Beban tekanan pada ruanganpipa rnerupakan beban yang rneningkat secaralinier Geornetri dan diskritisasi elernen hinggadapat dilihat pada Garnbar 3. Hasil kornputasidengan rnenggunakan prosedur elastoplastikyang telah dibahas pada bagian sebelurnnyadapat dilihat pada Garnbar 4. Seperti dapatdilihat pada Garnbar 4. tersebut, denganrneningkatnya beban tekanan pada pipa,perturnbuhan daerah plastik bergerak secararadial dari perrnukaan bagian dalarn pipasilinder ke arab radial ketebalan pipa silindertersebut.

Analisa Elastoplasik Pel at Berlubang.Masalah yang dibahas dalam bagian

ini adalah pembebanan tarik pada tepi pelatyang berlubang. Sifat-sifat material adalahsebagai berikut modulus elastisitas E=2.1x 106kg/cm2, nilai Poisson's ratio v = 0,3 , teganganleleh material O"y = 2400 kg/cm2, parameterhardening regangan = O. Mengingat sifatsimetri dari pembebanan dan geometripermasalahan, analisa dilakukan hanya untuksatu kuadran dari pelat berlubang tersebut.Geometri pelat clan pembebanan yang bekerjapada pelat dapat dilihat pada Garnbar 5. Hasilkomputasi elemen hingga memperlihatkanadanya konsentrasi tegangan pada daerahlubang pelat. Apabila inkremen pembebanandilanjutkan, maka pada pembebanan tarik yangmeningkat terlihat pertumbuhan dan pola alirdari sifat plastis material disekitar lubang.Pertumbuhan daerah plastik berkembang daridaerah dengan konsentrasi pembebanan yangtinggi dan arab aliran plastik menjalar padaarab transversal dari pelat yang pada akhimyamencapai tepi transversal dari pelat. Distribusitegangan ekivalen pada pelat sebagai fungsidari inkrementasi pembebanan yang bekerjasecara linear dapat dilihat pada Gambar 6.

dirurnuskan dalam bentuk matriks elastoplastikyang dipetakan pada elemen-elemen hinggauntuk mendapatkan kondisi tegangan-reganganmulti-aksial. Rumusan elemen hingga yangdiperoleh membentuk sistem persamaan aljabarsimultan non-linear. Sistem persamaannonlinear ini diselesaikan denganmenggunakan metoda solusi non-linearNewton-Rhapson. Metoda inkrementasi bebandigunakan untuk memprediksi pertumbuhanarab aliran zona plastik dari material.

Penerapan dari model materialelastoplastik ini dilakukan pada analisaelastoplastik pipa silinder tebal dan pelat yangberlubang dengan beban tekanan yangmeningkat intensitasnya secara linear. Darikedua contoh penerapan tersebut dapatdiprediksi bahwa zona plastik akanberkembang pada daerah dengan tingkatkonsentrasi tegangan yang tinggi. Arahpenyebaran deformasi pastik (aliran plastik)dari material sangat dipengaruhi oleh bentukgeometri komponen yang dianalisa dan arabpembebanan yang bekerja pada komponen.Selain penerapannya untuk memprediksipenyebaran deformasi plastis pada komponenyang dianalisa, basil komputasi elastoplastikdengan menggunakan metoda clemen hinggaini dapat juga digunakan untuk memprediksitingkat pembebanan maksimum (kekuatanbarns) dari komponen. Pada dasamya apabilaaliran plastis dari material telah terjadi secaradominan, maka komponen telah mencapaikekuatan batasnya. Dalam sturn numerik inidiamati bahwa kesulitan konvergensi dalamprosedur iterasi dijumpai apabila zona plastistelah mendominasi domain komputasi(komponen) dan hal ini dapat diartikan bahwamaterial telah mencapai kekuatan batasnya,sehingga inkremen beban pada kondisi iniperlu diperkecil untuk mendapatkan solusiyang akurat disekitar daerah runtuh.

Sebagai penutup, perlu dicatat disinibahwa biasanya deformasi pada daerah plastismerupakan deformasi yang cukup besar,sehingga perilaku non-liinear tidak hanyaberasal dari sifat material saja, tetapi akandipengaruhi juga oleh perilaku nonlinear darigeometrikal. Dari prosedur solusi terlihatbahwa analisa elastoplastik jauh lebih sulitdibandingkan dengan solusi masalah elastikyang linear.

KESIMPULANDalam tulisan ini telah dibahas model

elastoplastik yang dapat digunakan untukmaterial metalik/logam. Model elastoplastikyang digunakan didasarkan pada teoriplastisitas dari Van Mises yang mendekati sifatplastisitas metal/logam. Formulasi sifatmaterial, yang merupakan kombinasi antarasifat elastik dengan plastik, diintegrasikankedalam hubungan tegangan-regangan darimaterial pada kondisi uniaksial. Konstantahubungan tegangan-regangan ini .1ebih lanjut

215

7. A. RALSTON,'Afirstcourse in NumericalAnalysis', First Edition, McGraw HillBook Company, 1965,332-334.

8. P.W. BRIGDEMAN, 'Studies in LargePlastic flow and Fracture', McGraw-Hill,New York, 1953.

9. P.G. HODGE dan G.N. WHITE, 'Aquantitative comparison of flow anddeformation theories of plasticity', Journalof Applied Mechanics, Vol. 17, 1950, 180-184.

10. E. ffiNTON dan D.R.J. OWEN, 'AnIntroduction to Finite ElementComputation', Pineridge Press Ltd.,Swansea, United Kingdom, 1979.

11. O.C. ZIENKIEWICZ dan R.L. TAYLOR,'The Finite Element Methods', FourthEds., Vol.2, McGraw-Hill Book Company,London, 1991,228- 250.

DAFTARPUSTAKA1. N.M. WANG dan N. SOMARATNA,

'Numerical Simulation of Industrial SheetForming Processes', Proc. of the third Int.Conf. on Numerical Methods in IndustrialForming Processes, Colorado StateUniversity, Fort Collins, Colorado, USA,June 1989, 75- 84

2. S. KALISZKY, 'Plasticity: Theory andEngineering Application', ElsevierPublisher, Amsterdam, 1989

3. R.D COOK dan W.C. YOUNG, 'AdvancedMechanics of Materials', Collier-Macmillan Publisher, New York, 1989.

4. R. HILL, 'The Mathematical Theory ofPlasticity', Oxford University Press, 1950.

5. L. LAPIDUS dan G.F. PINDER,'Numerical Solution of Partial DifferentialEquation in Science and Engineering',John Wiley and Sons, New York, 1982.

6. W.H. PRESS et. al., 'Numerical Recipes,The Art of Scientific Computing',Cambridge University Press, 1988, 121-125.

Garnbar 3.Geometri, Mesh Elemen Hingga dan Beban Tekanan PipaSilinder Tebal.

Gambar 4b.Distribusi Tegangan ekivalen pacta Inkremen No.8

Gambar 4a.Distribusi Tegangan ekivalen pada Inkremen No.1 Gambar 4b.

Distribusi Tegangan ekivalen pada Inkremen No.lO

216

Gambar 5.Geometri, Mesh Elemen Hingga dan Pembebanan Pelatdengan Lubang

Gambar §.c.Distribusi Tegangan ekivalen pm Inkremen beban No.21

Gambar 6a.Oistribusi Tegangan ekivalen pada Inkremen beban No.1

Gambar 6d.Distribusi Tegangan ekivalen pada Inkremen beban No.23

Gambar 6e.Distribusi Tegangan ekivalen pada Inkremen beban No.24

Gambar 6b.Distribusi Tegangan ekivalen pada Inkremen beban No.16

217