�

MIKROEKONOMIJAIvan Pavić, Đuro Benić, Iraj Hashi

Split, 2006.

2 �

1Uvod u mikroekonomiju

1.1. TEMElJNA MIKROEKONOMsKA pITANJA

�.�.a. Oskudica kao središnji ekonomski problem

�.�.b. Izbor između alternativa ili trgovina ciljevima

�.�.c. Izbor i oportunitetni trošak

�.�.d. Racionalni izbor ili analiza troškova i koristi

1.2. EKONOMsKI pRIsTUp

�.2.a. Modeli u ekonomiji

�.2.b. Pozitivna i normativna analiza

�.2.c. Stupice u ekonomskom zaključivanju

1.3. GRAfOvI U MIKROEKONOMIJI

�.�.a. Vrste grafova

�.�.b. Zavisne i nezavisne varijable

�.�.c. Veze između varijabla

1.4. KONsTRUIRANJE GRAfOvA

�.4.a. Izvođenja grafa iz tablice

�.4.b. Interpretiranje točke na grafu

1.5. NAGIbI

�.5.a. Pozitivni i negativni nagib

�.5.b. Određivanje nagiba

�.5.c. Jednadžbe

1.6. KvANTITATIvNE vEzE I OdNOsI

�.6.a. Matematika i mikroekonomija

�.6.b. Ukupna, prosječna i granična veličina

�.6.c. Grafičko objašnjenje ukupne, prosječne

i granične veličine

�.6.d. Izvođenje krivulje granične veličine pomoću

krivulje prosječne veličine

1.7. MAKROEKONOMIJA I MIKROEKONOMIJA

�.7.a. Makroekonomija

�.7.b. Mikroekonomija

sAžETAK

KlJUčNE RIJEčI

pITANJA zA RAspRAvU

Temeljna pitanja:

�. Koja su osnovni izvori i što izučava mikroekonomija?2. Na koji način mikroekonomija pristupa predmetu svojega izučavanja?�. Koji se alati koriste u razmatranju mikroekonomskih pitanja?

UVOD U EKONOMIJU

4

TEMELJNA MIKROEKONOMSKA PITANJA

5

Temeljna mikroekonomska pitanja svoje porijeklo nalaze u činjenici da je svijet tržišnog gospodarstva svijet oskudice. Zbog oskudice proizvođači, jednako kao i potrošači, primo-rani su raspoložive resurse upotrijebiti tako da u najmanjoj mogućoj mjeri osjete oskudicu. U ovome smislu proizvođači i potrošači nastoje između mogućih alternativa izabrati onu alternativu koja će im osigurati najveću moguću korist u odnosu na resurse kojima raspola-žu. Njihov se izbor temelji na nalazi troškova i koristi koje uz sebe vezuje pojedina alterna-tiva. Stoga se oskudica, izbor i analiza troškova i koristi smatraju temeljnim mikroekonom-skim pitanjima. Njihovo razumijevanje važno je za razumijevanje svih ostalih pitanja koje proučava mikroekonomija.

Raspoloživi resursi, kao što su vrijeme, dohodak, prirodni izvori i slično, nisu neograniče-ne veličine. S problemom ograničenih resursa suočava se pojedinac, jednako kao što se suočava poduzeće ili neki veći kolektivitet. Stoga svi oni, bilo da su bogati ili siromašni, svakodnevno moraju birati kako bi raspoložive resurse mogli upotrijebiti na način koji će najbolje zadovoljiti njihove želje. U uvjetima neograničenih želja, s jedne strane, i ograni-čenih resursa, s druge strane, govorimo o oskudici.

U najopćenitijem smislu pod pojmom oskudice razumijeva se da je raspoloživa koli-čina nekog dobra manja od količine koja je potrebna da bi se zadovoljilo svakog onog tko želi takvo dobro. Drugim riječima, oskudica znači da je pri nultoj cijeni raspoloživa količi-na promatranog dobra manja od željene količine. Svako dobro koje zadovoljava ovaj uvjet naziva se ekonomskim dobrom. Ako je raspoloživa količina nekog dobra dovoljna da pri nultoj cijeni zadovolji sve želje takvo se dobro naziva besplatnim dobrom.

Primjera za ekonomsko dobro, koje se može javiti kao fizički proizvod, kao što su, pri-mjerice, automobil, knjiga ili kuća, odnosno usluga, kao što su taksi usluga, usluga frizera ili medicinska usluga, daleko je više nego za besplatno dobro. Čak kada bi se za neko dobro moglo kazati da spada u skupinu besplatnih dobra, kao što je, primjerice, zrak koji udiše-mo, javlja se pitanje što je s troškovima koji nastaju pri kupnji uređaja za kontrolu zagađe-nosti ili uređaja za pročišćavanje zraka.

Sve naše odluke podrazumijevaju izbor između alternativa odnosno izbor jednog dobra ili aktivnosti nasuprot drugom dobru ili aktivnosti. Pojedinci nakon srednje škole odlučuju hoće li studirati ili će se zaposliti. Oni koji su odlučili nastaviti školovanje trebaju odlučiti hoće li se upisati na sveučilište koje preferira rad u manjim skupinama ili na sveučilište koje organizira predavanja za veći broj studenata. Studenti odlučuju hoće li stanovito vrijeme provesti u učenju ili će raditi nešto drugo, jednako kao što odlučuju hoće li svoj džeparac potrošiti na večernji izlazak ili će kupiti neku knjigu.

Potrošači su suočeni s problemom izbora kada idu u supermarket i kada moraju iza-brati između različitih dobara ili različitih košarica dobara. U ovome smislu potrošač se susreće s problemom izbora treba odlučiti hoće li kupiti automobil s većim prtljažnikom ili

1.1. Temeljna mikroekonomska pitanja

1.1.a.Oskudica kao središnji

ekonomski problem

automobil s naglašenim sportskim karakteristikama, jednako kao što treba odlučiti između automobila kojemu je osnovna karakteristika brzina i automobila koji je poznat po maloj potrošnji goriva. Poduzeća također moraju birati kao u primjeru da li upotrijebiti jednu ili drugu metodu proizvodnje ili, primjerice, da li proizvesti jednu ili drugu kombinaciju out-puta. Vlade također stalno vrše izbor kao u primjeru izbora između različitih načina troše-nja njihovih poreznih prihoda na, primjerice, škole, bolnice, vlakove, ceste, policiju.

Dakle, u svakoj sferi ljudskog života, bilo da je riječ o privatnom ili poslovnom životu, svaka pojedinačna odluka podrazumijeva izbor jednog dobra ili aktivnosti umjesto nekog drugog dobra ili aktivnosti. Izborom jednog dobra ili aktivnosti donositelj odluke se odriče drugog dobra ili aktivnosti. Odluka koja podrazumijeva žrtvovanje ili odricanje od jednog dobra ili aktivnosti s ciljem da se dobije neko drugo dobro ili aktivnost naziva se izborom između alternativa ili trgovina ciljevima.

U primjeru studenta koji treba odlučiti hoće li studirati na sveučilištu koje preferira rad u manjim skupinama ili na sveučilištu koje je orijentirano na rad u većim skupinama u sre-dištu pozornosti je izbor između dviju mogućnosti odnosno između koristi i troškova jed-ne alternative i koristi i troškova druge alternative. Izborom sveučilišta koje radi u manjim skupinama studentu se pružaju bolji uvjeti za rad i mogućnost da nauči mnogo više nego u slučaju da odabere sveučilište koje radi u većim skupinama. Promatrano sa pedagoškog stajališta prednost bi trebalo dati prvom sveučilištu. Međutim, postavlja se pitanje zašto mnoga sveučilišta izvode nastavu u predavaonicama sa stotinu ili više studenata.

Objašnjenje se nalazi u činjenici da su troškovi studija po studentu veći ako se radi u manjim nego u većim skupinama. Stoga su troškovi studija i do nekoliko puta veći na onim sveučilištima koji preferiraju rad u manjim skupinama, ali koja studentima istodob-no pružaju bolje uvjete za rad i mogućnost da dođu do diplome koja podrazumijeva veća znanja. Promatrano sa stajališta studenta koji treba odlučiti na koje se sveučilište upisati u pitanju je klasična trgovina ciljevima. Ako se odluči za sveučilište koje radi u većim skupinama platit će manju školarinu, što je dobro za studenta, ali će zato imati sla-biju kvalitetu studija, što je loše za studenta. Ako se, pak, odluči za sveučilište koje radi u manjim skupinama platit će veću školarinu, što je loše za studenta, ali će zato imati bolju kvalitetu studija, što je dobro za studenta.

Izbor između različitih alternativa ili aktivnosti posljedica je oskudice s kojom se suočava donositelj odluke. Ako, primjerice, neka osoba odluči studirati na kvalitetnijem fakultetu platit će veću školarinu, ali će zato imati manje novca koji će moći potrošiti na druga dobra. Jednako tako u primjeru odluke nekog pojedinca ili neke države da, primjerice, proizvode više pšenice promatrani pojedinac ili odnosna država imat će manju obradivu površinu za proizvodnju neke druge poljoprivredne kulture. Drugim riječima, veća potrošnja raspoloži-vih resursa na jednu alternativu ili aktivnost automatski podrazumijeva manje resursa od-nosno odustajanje od ostalih alternativa.

Donositelj odluke koji prihvaća jednu alternativu ili aktivnost mora se odreći druge al-ternative ili aktivnosti. Alternativa ili aktivnost koje se donositelj odluke odriče da bi imao neku drugu alternativu ili aktivnost naziva se oportunitetnim troškom njegova izbora. Dru-gim riječima, oportunitetni trošak predstavlja vrijednost sljedeće najbolje alternative ili ak-tivnosti odnosno on je jednak trošku propuštene prilike.

Koncept oportunitetnog troška primjenjiv je u svim situacijama u kojima se odlučuje između dviju ili više alternativa ili aktivnosti. Ovaj koncept može se, dakle, primijeniti u

1.1.b.Izbor između

alternativa ili trgovina ciljevima

1.1.c.Izbor i oportunitetni trošak

OskudicaStanje u kojem je raspoloživa koli-čina nekog dobra manja od količi-ne koja je potrebna da bi se zado-voljila potražnja svakog onog koji želi takvo dobro.

Ekonomsko dobroSvako ono dobro za kojim je potra-žnja pri nultoj cijeni veća od raspo-ložive količine.

Besplatno dobroDobro čija je raspoloživa količina dovoljna da pri nultoj cijeni zado-volji cjelokupnu potražnju.

Trgovina ciljevimaOdluka koja podrazumijeva žrtvo-vanje ili odricanje od jednog dobra ili aktivnosti s ciljem da se dobije neko drugo dobro ili aktivnost.

Oportunitetni trošakTrošak propuštene prilike i odgo-vara vrijednosti najbolje alternative koje se donositelj odluke odrekao izborom neke druge alternative ili aktivnosti.

UVOD U EKONOMIJU

6

TEMELJNA MIKROEKONOMSKA PITANJA

7

slučaju kada pojedinac treba odlučiti hoće li studirati na kvalitetnijem sveučilištu ili će se opredijeliti za jeftinije sveučilište kako bi tijekom studija mogao imati osobni automobil. Opredjeljujući se za skuplje sveučilište donositelj odluke se je morao odreći osobnog au-tomobila. Oportunitetni trošak ovog izbora je jednak cijeni osobnog automobila od kojega je donositelj odluke odustao.

Jednako tako će se oportunitetni trošak definirati u primjeru odluke nekog potrošača da između različitih vrsta pića bira između čaše vina i čaše piva. Ako potrošač odluči kupiti čašu vina, oportunitetni trošak jednak je cijeni čaše piva. Ako je vino dvostruko skuplje od piva tada je oportunitetni trošak kupovine čaše vina dvije čaše piva.

U primjeru studenta koji treba odlučiti hoće li se upisati na sveučilište koje preferira rad u manjim skupinama ili na sveučilište koje nastavu izvodi u većim skupinama u pitanju je odluka između alternativa koje uz sebe vezuju jednu dobru i jednu lošu stranu. Izborom prvog sveučilišta student će uživati u koristima koje pruža rad u manjim skupinama, ali će zato platiti veću školarinu. Izborom drugog sveučilišta student će platiti manju školarinu, ali će zato morati prihvatiti nižu kvalitetu studija.

U jednom drugom primjeru donositelj odluke treba odlučiti koliko će naručiti dnevno reklamnih spotova na lokalnoj televiziji. Veći broj reklamnih spotova rezultirat će porastom prodaje odnosno prihoda od reklamiranog proizvoda, ali što istodobno povećava izdatke za reklamu. U obrnutom slučaju izdaci za reklamu će biti manji, ali će zato biti manja i prodaja odnosno prihod od prodaje. U ovim primjerima, jednako kao u svim drugim slič-nim slučajevima, postavlja se pitanje koju alternativu izabrati odnosno što bi bilo najbolje za donositelja odluke.

Ekonomisti ovaj problem izbora rješavaju pomoću analize troškova i koristi. Analiza troškova i koristi je metoda koja polazi od toga da bi neku alternativu ili aktivnost trebalo izabrati ako, i samo ako, njene koristi nadmašuju njene troškove. Pretpostavimo da se u primjeru broja reklamnih spotova ukupna korist iskazana kao prihod od prodaje reklamira-nog dobra i ukupni trošak za pojedini broj reklamnih spotova kreću u visini kako se navodi u tablici 1. Vidimo da s porastom broja reklamnih spotova ukupna korist raste, ali jednako tako rastu i izdaci za reklamu. Međutim, ovdje treba zapaziti da prihod od prodaje raste degresivno, tj. svaki novi reklamni spot povećava prihod za manji iznos od prethodnog re-klamnog spota, dok ukupni trošak, s obzirom da svaki reklamni spot jednako košta, raste

1.1.d.Racionalni izbor

ili analiza troškovai koristi

linearno. Da bi se donijela odluka u smislu analize troškova i koristi potrebno je usporediti graničnu korist i granični trošak odnosno neto korist kao razliku između ukupne koristi i ukupnog troška.

U nastavku naprijed citirane tablice prikazane su granična korist i granični trošak od-nosno neto korist. Granična korist prikazuje porast ukupne koristi ako se broj reklamnih spotova poveća za jedan. Tako, primjerice, povećanje broja reklamnih spotova s jednog na dva spota ukupna korist se povećava sa 10 na 70 jedinica, što znači da na ovoj razini pove-ćanja broja reklamnih spotova granična korist iznosi 60 jedinica. Ako se, pak, odluči umje-sto pet naručiti šest reklamnih spotova, ukupna korist će se povećati sa 160 na 177 jedinica, odakle slijedi da će na ovoj razini povećanja granična korist iznositi 17 jedinica.

Granični trošak prikazuje za koliki će se iznos povećati ukupni trošak ako se broj re-klamnih spotova poveća za jedan. Jedan reklamni spot dnevno košta 22 novčane jedinice, dok dva spota treba platiti 44 novčane jedinice, što znači da je u ovom slučaju granični trošak 22 novčane jedinice. S obzirom da je cijena reklamnog spota ista bez obzira na broj spotova slijedi da je granični trošak isti bez obzira koliko se dnevno pušta reklamnih spoto-va. U posljednjem stupcu promatrane tablice prikazana je neto korist, koja predstavlja ra-zliku između ukupne koristi i ukupnog troška na razini pojedinog broja reklamnih spotova. Najveća neto korist će se ostvariti ako se ugovori puštanje pet reklamnih spotova dnevno, što, kao što se zorno može vidjeti na slici 1, odgovara broju reklamnih spotova pri kojem su jednaki granična korist i granični trošak.

Broj spotova

Ukupna korist

Ukupni trošak

Granična korist

Granični trošak

Neto korist

1 10 22 - - -12

2 70 44 60 22 26

3 110 66 40 22 44

4 138 88 28 22 50

5 160 110 22 22 50

6 177 132 17 22 45

7 189 154 12 22 35

8 200 176 11 22 24

Tablica 1: Korist i troškovi reklamiranja nekog proizvoda

na lokalnoj televiziji

Analiza troškova i koristiMetoda koja zagovara izbor neke aktivnosti ako, i samo ako, njezina korisnost nadmašuje njezine troš-kove.

Slika 1: Krivulje granične koristi i graničnog troška reklamiranja nekog proizvoda na lokalnoj televiziji.

Granična korist prikazuje za koliko će se povećati ukupna korist ako se poveća broj reklamnih spotova za jedan. Krivulja granične koristi u ovom primjeru je opadajuća, što znači da s povećanjem dnevnog broja reklamnih spotova korist se povećava sporije od porasta broja spotova. Granični trošak mjeri za koliko će porasti ukupni trošak ako se također poveća dnevni broj reklamnih spoto-va za jedan. Granični trošak je u ovom primjeru konstantan, pa je krivulja graničnog troška paralelna s horizontalnom osi. Krivulje se presijecaju u točki E odnosno pri pet reklamnih spotova dnevno, što odgovara maksimalnoj neto koristi utvrđenoj u tablici 1.br. reklamnih spotova

granična korist

granični trošak

60

50

40

30

20

10

gr. koristgr. trošak

0 1 2 3 4 5 6 7

UVOD U EKONOMIJU

�

EKONOMSKI PRISTUP

�

U mikroekonomiji koristimo modele da bi analizirali proces donošenja odluke različitih jedini-ca ili agenata. Matematički model je grafičko ili matematičko oruđe za objašnjenje fenomena ili ponašanja ekonomskog agenta ili posebne varijable. To je okvir koji identificira sve ili samo neke utjecajne faktore. Primjerice model ponude i potražnje za automobilima (koji mogu biti prikazani dijagramima ili setom algebarskih jednadžbi) pomaže nam identificirati faktore koji utječu na ponudu i potražnju automobila. To također objašnjava determinante cijene.

Daleko najvažnija je činjenica da nam model omogućava prognozirati ili predvidje-ti ponašanje ekonomskih agenata ili kako se varijable mijenjaju tijekom vremena. Ovo se postiže prije svega korištenjem prethodnog iskustva u identificiranju ili formuliranju faktora koji utječu na varijable da bi potom pomoću odgovarajućih tehnika procijenili kako će se varijable mijenjati u budućnosti.

Realnost je općenito vrlo složene, posebice kada to uključuje pojedince s različitim mo-tivacijama i ciljevima, neke koji su svjesni a neke koji su nesvjesni. U bilo kojem realnom životu na fenomen utječe vrlo veliki broj faktora. Model koji pokušava uzeti u obzir sve rele-vantne varijable bio bi vrlo kompliciran. Stoga je potrebno iz velikog broja različitih faktora izvući one najvažnije i na njima temeljiti model; model će stoga biti apstraktan reprezentant stvarnosti ali ne i sama stvarnost. Razmotrimo, primjerice, simulator letenja ili test simulator vožnje. Ova oprema pokušava reproducirati realne uvjete letenja zrakoplova odnosno vožnje automobila. Simulator letenja je model, sličan realnom letenju ali nije i sama realnost.

U postupku izrade jednostavnog i upravljivog modela, mi pravimo pojednostavljene pretpostavke. U slučaju simulatora letenja, to se temelji na posebnim pretpostavkama o po-našanju drugih pilota i kontrolora zračnog prometa, brzine vjetra, mogućnosti zrakoplova i slično. Ove pretpostavke pojednostavnjuju model. To omogućuje promjenu pretpostavki ili uvođenje novih da bi ih potom promatrali na simulatoru.

U ekonomskim modelima pokušavamo rasvijetliti većinu najznačajnijih faktora koji utječu na varijable koje su obuhvaćene studijom te formulirati pojednostavljene pretpo-stavke o drugim varijablama. Primjerice, pretpostavljamo da su druge varijable konstantne (poznata pretpostavka ceteris paribus). Kada upotrebljavamo grafički model, ograničavamo se na dvije ili najviše na tri dimenzije, jer ako je broj utjecajnih faktora koji utječe na varija-blu veći od tri, nije moguće prikazivanje na grafu. Mi moramo također pretpostaviti da se, primjerice, njihova vrijednost neće mijenjati dok studiramo utjecaj drugih faktora.

Sa matematičkim modelima nismo ograničeni na dvije ili tri dimenzije kao u grafičkom prikazivanju. U matematički model možemo, barem teorijski, uključiti mnogo više varija-bla. Ali čak ni tada nije moguće uključiti sve faktore. Što je najvažnije, model je moguće testirati, možemo kazati je li model dobar reprezentant stvarnosti. Za testiranje različitih modela koriste se ekonometrijske metode (primjene statističkih tehnika u ekonomskim problemima).

Često čujemo od ljudi ili čitamo u novinama da se vlada mora upustiti u nešto da bi polučila korisne efekte ili da se ne bi trebala odlučiti na određenu politiku da ne bi proizvela nepo-voljne efekte. Ovdje se miješaju dva tipa analize. Kada govorimo o politici kao što je pove-

1.2. Ekonomski pristup

1.2.a.Modeli u ekonomiji

1.2.b. Pozitivna

i normativna analiza

1.2.c.Stupice uekonomskom razmišljanju i zaključivanju

ćanje izdataka na obrazovanje, moramo razlučiti dvije stvari: prvo, što je mjera utjecaja ove politike na različite indikatore ekonomskog učinka, i, drugo, je li ovo dobra politika u smislu da to u cijelosti proizvodi pozitivne učinke. Mjera utjecaja politike na različite indikatore ekonomskog učinka je činjenica, koja se označava pojmom pozitivne ekonomije. Pozitivna ekonomija, dakle, analizira stvari kakve jesu odnosno opisuje činjenice i ponašanja.

Ekonomska teorija opskrbljuje nas oruđima pomoću kojih možemo odrediti utjecaj porasta izdataka na obrazovanje. Međutim, ekonomska analiza nas ne opskrbljuje oruđem pomoću kojega bi trebali odlučiti je li ili nije ovo dobro. Osim toga, politika može rezultira-ti korisnim učincima za jedan segment populacije i negativnim učincima za drugi segment populacije. Pozitivna ekonomija ne može uspoređivati poboljšanje blagostanja jednog se-gmenta sa pogoršanjem blagostanja drugog segmenta. Sud o tome što jeste dobro a što nije dobro je u području normativne ekonomije. Vlade biraju građani na temelju prosudbe što je najbolje za većinu populacije, naravno ne ignorirajući u potpunosti manjinu. Ako većina misli da im vladina politika ne donosi korist, biračka većina ima mogućnost takvu vladu zamijeniti na sljedećim izborima.

Ukratko, pozitivna ekonomija analizira stvari kakve jesu i kakav je utjecaj politike, dok normativna ekonomija analizira kakve bi stvari trebale biti i što bi vlada trebala učiniti. Pozi-tivna ekonomija opisuje, dakle, činjenice i ponašanja, dok normativna ekonomija podrazu-mijeva etičke propise i sudove o vrijednosti. Stoga ne iznenađuje što se ekonomisti puno više slažu u pitanjima iz sfere pozitivne nego normativne ekonomije odnosno mikroekonomije.

U ekonomiji, jednako kao i u drugim znanstvenim područjima, zaključci se izvode na temelju određenih spoznaja, načela ili principa, pri čemu se nerijetko izvode pogrešni zaključci zbog pogrešnih polazišta. U ovome smislu posebice se često izvode pogreš-ni zaključci zbog interpretacije povezanosti kao uzroka odnosno tzv. post hoc pogreške, nemogućnosti da se ostale utjecajne varijable održe jednake odnosno tzv. ceteris paribus pogreške, pretpostavke da ono što vrijedi za pojedinca vrijedi i za cjelinu odnosno tzv. po-greške poopćavanja.

Post hoc pogreška jedna je od najčešćih pogrešaka u ekonomskom zaključivanju. Mnogim događajima prethode neki drugi događaji, pri čemu u nekim slučajevima prethod-ni događaji ne moraju biti ni u kakvoj vezi sa sljedećim događajima. Dakle, činjenica da se neki događaj dogodio prije nekog drugog događaja ne bi trebalo istodobno značiti da je prethodni događaj uzrokovao sljedeći događaj. Očite post hoc pogreške, kao u primjeru vjerovanja primitivnih društava u vračeve poruke, relativno se lako uočavaju, međutim, u ekonomskim pojavama i odnosima relativno je teško uočiti post hoc pogrešku. Kao primjer navodimo zaključak kako je porast potrošnje čaja u nekom planinskom izletištu posljedica sniženja cijene, a zapravo je do porasta potražnje u najvećoj mjeri došlo zbog pada tem-perature zraka.

Prethodni primjer potražnje za čajem može biti vrlo ilustrativan u objašnjenju pogreš-ke koja nastaje zbog toga stoga što se ostale utjecajne veličine ne mogu održati nepro-mijenjene. To je tzv. ceteris paribus pogreška, koja, kao u primjeru potražnje za čajem, označava nemogućnost da se sve ostale utjecajne varijable uključujući i temperaturu zra-ka drže konstantnima dok se promatra utjecaj promjene cijena na potražnju za čajem. Da bi se došlo do ispravna zaključka potrebno je, dakle, u analizu uključiti ne samo utjecaj promjene temperature zraka već i ostalih utjecajnih varijabla kao što su cijene supstituta i komplementarnih dobara.

Matematički modelGrafičko ili matematičko oruđe koje identificirajući sve ili samo neke utjecajne faktore omogućuje prognoziranje ili predviđanje pona-šanja ekonomskih entiteta (indivi-dua, poduzeća, države)

Pozitivna ekonomijaAnaliza koja opisuje stvari onakvi-ma kakve jesu, bez donošenja suda o tome što je dobro, a što nije.

Normativna ekonomijaAnaliza koja razmatra kakve bi stvari trebale biti u odnosu na etič-ke propise i sudove o vrijednosti.

Post hoc pogreškaPogreška u ekonomskom zaključi-vanju nastala zbog pogrešnog tu-mačenja uzročno-posljedičnih po-vezanosti dvaju događaja.

Ceteris paribus pogreškaPogreška u ekonomskom zaključi-vanju nastala uslijed nemogućno-stida se sve utjecajne varijable. Izu-zev varijable koja se promatra, drže konstantnima

UVOD U EKONOMIJU

�0

GRAFOVI U MIKROEKONOMIJI

��

Pogreška poopćavanja javlja se u slučaju zaključivanja da ono što je dobro ili korisno za pojedinca ili dio istodobno dobro ili korisno za mnoge odnosno za cjelinu. U svakod-nevnom životu često se može uočiti ponašanje sukladno pogreški poopćavanja, kao pri-mjerice na nogometnoj utakmici kada se pojedinci počnu ustajati sa svojih sjedišta da bi bolje vidjeli neki prizor. Sve dok se svi gledatelji ne ustanu sa svojih sjedišta pojedinac ili manji broj gledatelja koji su na nogama bolje vide, ali kada svi gledatelji ustanu nastaje si-tuacija koja jednaka onoj koja je bila prije njihova ustajanja, tj. jednako vide kao da ostanu sjediti. Dakle, nakon što je prvi gledatelj ustao svi ostali su slijedili njegovo ponašanje krivo shvaćajući da ono što je dobro za pojedinca ujedno prihvatljivo i za cjelinu.

U ekonomiji je posebno česta ova vrsta pogreške. U primjeru proizvodnje povrća u izrazito sušnim krajevima uzgajivač koji prvi uvede sustav za navodnjavanje povećat će urod, a time i prihode. Ako bi svi ostali uzgajivači povrća uveli sustav za navodnjavanje to bi dovelo do porasta ponude i snižavanja cijena te pada ukupnog prihoda svakog pojedi-nog uzgajivača povrća. Ako netko tko želi kupiti stan usije dobiti stambeni kredit uz nižu kamatu on će profitirati u odnosu na sve druge koji će uzeti stambeni kredit uz standardnu kamatu. Međutim, ako svima na nekom tržištu postane dostupan stambeni kredit za očeki-vati je da će potražnja porasti, što će u odnosu na standardnu ponudu stanova u kratkom roku dovesti do porasta cijene. Ako će porast cijene stanova biti veći od snižene kamate svi će kupci stanova biti u stanovitom gubitku. Dakle, u jednom i drugom primjeru vidimo da ono što je dobro za pojedinca nije ujedno dobro za skupinu.

Ljudi vrlo često posežu za slikom da bi izrazili svoje zapažanje i osjećaje ili da bi prikazali neku pojavu ili odnose među pojavama. Sklonost ljudi izražavanju pomoću slike odavno je opisana riječima kako slika govori više nego tisuću riječi. Ekonomisti su također prihvatili sliku kao jezik prikazivanja pojava i odnosa u ekonomiji.

Slike koje koriste ekonomisti nazivaju se grafovima. Grafovi se obično javljaju kao linijski grafovi, površinski grafovi i kartogrami. U ekonomiji i mikroekonomiji obično se koriste po-jedine vrste linijskih i površinskih grafova.

Linijski graf svakako je jedan od grafova koji se najčešće nalazi u upotrebi. Obično se koristi kada se želi izraziti kretanje neke pojave tijekom vremena, kao, primjerice, kretanje cijena nafte na svjetskom tržištu, kretanje tečaja važnijih svjetskih valuta, kretanje prodaje piva tijekom godine, kretanje prodaje putničkih automobila na hrvatskom tržištu. Slika 2 zorno ilustrira pogodnost i informativnost linijskog grafa u prikazivanju kretanja neke po-jave tijekom vremena.

U ekonomiji odnosno mikroekonomiji često se također koristi grafičko prikazivanje pojava u obliku površinskih grafova. Površinski grafovi su vrsta grafičkog prikaza neke po-jave površinama geometrijskih likova, najčešće u obliku stupaca ili strukturnih krugova. Površinski grafovi u obliku stupaca javljaju se u obliku jednostavnih stupaca, dvostrukih stupaca, strukturnih stupaca i spojenih stupaca.

Grafovi u obliku stupaca posebice su pogodno oruđe u prikazivanju sličnosti i razlika između pojava koje se žele uspoređivati. Najjednostavniji graf u obliku stupaca je prikaz neke pojave u obliku jednostavnih stupaca. Stupac je pravokutnik čija je površina jednaka umnošku baze i visine. Ako je baza jednaka jedinici, što je daleko najčešći slučaj u praksi, tada je površina stupca određena njegovom visinom. U takvom prikazu kvantitativni od-nosi se uspoređuju na temelju usporedbe visine stupaca. Slika 3 ilustrira primjenu grafova u obliku stupaca u prikazivanju ekonomskih pojava.

1.3. Grafovi u mikroekonomiji

1.3.a.Vrste grafova

Pogreška poopćavanjaPogreška u slučaju zaključivanja da je ono što je dobro ili korisno za pojedinca ili dio istodobno dobro ili korisno za mnoge, odnosno za cjelinu.

GrafoviNačin prikazivanja ekonomskih pojava i odnosa u ekonomiji.

Linijski grafGrafički prikaz najčešće korišten za izražavanje kretanja neke pojave ti-jekom vremena.

Površinski grafoviVrsta grafičko prikaza neke pojave korištenjem površina geometrijskih likova.

Grafovi u obliku stupacaGrafički prikazi koji sličnosti ili ra-zlike između promatranih pojava baziraju na usporednoj visini stu-paca.

Slika 2: Linijski graf kao sredstvo prikazivanja ekonom-skih pojava: Kretanje cijene brazilske kave u razdoblju ��65-2000.

Linijski grafovi vrlo se često koriste za prikazivanje kretanja neke pojave tijekom nekog vremena. Njihova popularnost se nalazi u njihovoj informativnosti, ponajprije u pogledu vi-sine pojave u određenom vremenskom trenutku, ali još više u pogledu oscilacija promatrane pojave tijekom vremena. U ovome smislu posebno može biti zanimljivo pitanje jesu li oscilacije slučajnog ili cikličnog karaktera. U primjeru na sli-ci se vidi da cijena promatranog dobra oscilirala u vrlo širo-kom rasponu, pri čemu se ne uočava nikakva cikličnost.

2,50

2,00

1,50

1,00

0,50

0

cijena (P)

1960 1970 1980 1990 2000

UVOD U EKONOMIJU

�2

GRAFOVI U MIKROEKONOMIJI

��

1.3.b.Zavisne i nezavisne varijable

1.3.c.Veze između varijablaStrukturni krugovi vrsta su grafa koji ukupnu pojavu prikazuje krugom, dok isječci kru-

ga prikazuju dijelove promatrane cjeline. Graf u obliku strukturnih krugova često se koristi za prikazivanje ekonomskih pojava, posebice ako se želi vizualno naglasiti razliku između jednog dijela u odnosu na ostale dijelove iste cjeline. Tako će se, primjerice, kao na slici 4, strukturni krugovi upotrijebiti za prikaz udjela pojedine države u ukupnoj proizvodnji au-tomobila na sjevernoameričkom kontinentu odnosno udjeli vodećih proizvođača mobitela na svjetskom tržištu mobitela.

Linijski i grafovi u obliku histograma, kakvi su prikazani na slici 3, sadrže dvije varijable, od kojih je, s obzirom na njihovu međuzavisnost, jedna nezavisna varijabla a druga zavi-

sna varijabla. Pod pojmom nezavisne varijable razumijeva se ona varijabla čija vrijednost ne zavisi o vrijednosti druge varijable. S druge strane, pod pojmom zavisne varijable ra-zumijeva se ona varijabla čija vrijednost zavisi o vrijednosti druge varijable. Vrijednost zavisne varijable može se, dakle, odrediti nakon što je određena vrijednost nezavisne varijable.

U primjeru visine potražnje za nekim modelom Opelova automobila na hrvatskom tr-žištu na razini svake moguće cijene promatranog modela automobila nezavisna varijabla je cijena automobila, dok je zavisna varijabla količina potražnje. Količina potražnje je zavisna varijabla jer količina potražnje zavisi o cijeni automobila odnosno potražnja za promatra-nim modelom Opelova automobila na hrvatskom tržištu bit će poznata tek kada se defini-ra njegova cijena. Iz iskustva nam je poznata sklonost potrošača da po nižoj cijeni kupuju veću količinu promatranog dobra, pa stoga i u ovom primjeru možemo pretpostaviti da će se na hrvatskom tržištu prodati veći broj promatranog modela automobila ako će njegova cijena biti niža. Naravno vrijedi i obrat, tj. možemo pretpostaviti da će se po višoj cijeni prodati manji broj automobila.

Cijena i količina potražnje u naprijed navedenom primjeru nalaze se u obrnuto propor-cionalnom odnosu, tj. ako cijena raste količina potražnje pada odnosno ako cijena pada količina potražnje raste. Kada se vrijednosti povezanih varijabla kreću u obrnutom smjeru govorimo o inverznoj ili negativnoj povezanosti varijabla.

Za razliku od ovakve vrste povezanosti promatranih varijabla, u stvarnosti također egzistiraju veze koje se očituju u istosmjernom kretanju vrijednosti povezanih varijabla. Primjer za to je potražnja za automobilskim gorivom u odnosu na broj automobila na pro-matranom tržištu. Porastom broja automobila na nekom tržištu povećavat će se i potrošnja automobilskog goriva na tom tržištu. Jednako tako se može pretpostaviti da će se smanji-vati potrošnja automobilskog goriva ako se smanjuje broj automobila. Kada se vrijednost povezanih varijabla kreće u istom smjeru govorimo o direktnoj ili pozitivnoj povezanosti varijabla.

Strukturni krugoviVrsta grafa koji ukupnu pojavu pri-kazuje krugom, dok isječci kruga prikazuju dijelove promatrane cje-line.

Nezavisna varijablaPod pojmom nezavisne varijable razumijeva se ona varijabla čija vrijednost ne zavisi od vrijednosti druge varijable.

Zavisna varijablaPod pojmom zavisne varijable ra-zumijeva se ona varijabla čija vri-jednost zavisi od vrijednosti druge varijable.

Negativna povezanost varijablaKretanje vrijednosti povezanih vari-jabla u obrnutom smjeru.

Pozitivna povezanost varijablaKretanje vrijednosti povezanih vari-jabla u istom smjeru.

Ukupna svjetska proizvodnja automobila u 2002. godini iznosila je 46,340 milijuna jedinica. Naj-više automobila, kao što prikazuje slika (a), proizvedeno je u Zapadnoj Europi (15,250 milijuna), a potom u Aziji (14,158 milijuna), dok treću poziciju drži Sjeverna Amerika (12,474 milijuna). Na slici (b) prikazana je visina proizvodnje četiriju najvećih svjetskih proizvođača automobila u 2001. i 2002. godini. Tri proizvođača su zabilježila porast a jedan pad proizvodnje u 2002. u odnosu na prethodnu godinu.

Slika 3: Graf u obliku stupaca kao sredstvo prikazivanja ekonomskih pojava: (a) Proizvodnja automobila u 2002. godini po kontinentima, (b) Kretanje proizvodnje pet najvećih svjetskih proizvođača automobila.

Strukturni krugovi prikazuju koliki je udio pojedinog dijela u ukupnoj pojavi koja se obično prika-zuje kao 100%. Na slici (a) prikazan je udio SAD, Kanade i Meksika u ukupnoj proizvodnji auto-mobila na Sjevernoameričkom kontinentu. Ukupna proizvodnja u 2002. godini iznosila je 12,474 milijuna automobila, od čeka na Sad odlazi 72,86%, Kanadu 17,05% i Meksiko 10,09%. Na slici (b) prikazan je udio vodećih svjetskih proizvođača mobitela u ukupnoj svjetskoj proizvodnji. U trećem kvartalu 2001. godine proizvedeno je ukupno 94,4 milijuna jedinica sa raspodjelom udje-la prema kojoj vodeću poziciju sa 33% zauzima Nokia. Svaka od ove dvije slike zorno prikazuje udjele, omogućavajući istodobno izvođenje različitih zaključaka.

Slika 4: Strukturni krugovi kao sred-stvo prikazivanja ekonomskih poja-va: (a) Udjeli u ukupnoj proizvodnji automobila na sjevernoameričkom kontinentu, (b) Tržišni udio vodećih svjetskih proizvođača mobitela.

KanadaMeksiko

SAD 72,86%

10,09% 17,05%

(a)

Ostali

Nokia

Motorola

Ericsson

SiemensSamson

(b)

33%

28%

8% 8%8%

16%

15

12

9

6

3

0

proizvodnja(u mil.)

GM Ford Toyota VAG

7,2

5

7,6

2

5,4

9

5,6

5

4,7

5

5,0

7

4,7

3

4,6

9

2001.2002.

(b)

15

12

9

6

3

0

proizvodnja(u mil.)

15,25 2,26 14,16 12,47 2,20

Za

pa

dna

Euro

pa

Isto

čna

Euro

pa

Azi

ja

Sjev

ern

a A

mer

ika

Južn

a A

mer

ika

, A

frik

a, A

ust

ralij

a

(a)

UVOD U EKONOMIJU

�4

KONSTRUIRANJE GRAFOVA

�5

Prikazivanje pojava i odnosa pomoću grafa u prvom redu pretpostavlja da se raspolaže od-govarajućim podacima za koje se drži da se mogu prikazati grafom. Podaci za prikazivanje grafom u pravilu se smještaju u odgovarajuću tablicu iz koje je vidljivo kako se povezuju odnosno u kojem su odnosi vrijednosti jedne varijable s pripadajućom vrijednosti druge varijable.

Na temelju tabličnih podataka, posebice ako je u pitanju određena krivulja kao naj-češći oblik korištenja grafova u mikroekonomiji, konstruira se koordinatni sustav odnosno horizontalna i vertikalna os s odgovarajućim vrijednostima. U većini slučajeva na horizon-talnoj osi se prikazuje nezavisna varijabla a na vertikalnoj zavisna varijabla. U mikroekono-miji, međutim, često se postupa obratno, tj. nezavisna varijabla se prikazuje na vertikalnoj a zavisna na horizontalnoj osi.

Postupak konstruiranja grafa iz tablice objasnit ćemo na konkretnom primjeru. Pretpostavi-mo da se količina potražnje i ponude za jednim modelom osobnog automobila u odnosu na njegovu cijenu na nekom tržištu kreće kao što prikazuje tablica 2. Cijene su hipotetič-ne, tj. ne odražavaju stvarno stanje na automobilskom tržištu. Vidimo da prva u nizu od 11 kombinacija znači da će pri cijeni od 10 tisuća novčanih jedinica potražnja biti jedna-ka nuli. Druga kombinacija pretpostavlja da će se na promatranom tržištu pri cijeni od 9 tisuća novčanih jedinica potraživati tisuću osobnih automobila. Posljednja kombinacija u nizu pokazuje da će pri cijeni od 0 novčanih jedinica potražnja iznositi 10 tisuća osobnih automobila.

Vidimo, što je itekako razumljivo, da s padom cijene raste količina potražnje. S druge strane, kada je u pitanju ponuda, jednako tako iz razumljivih razloga, s padom cijene pada i ponuda. Pri najvišoj mogućoj cijeni ponuda je najveća, dok je pri nultoj cijeni ponuda također jednaka nuli. U svakom slučaju, bilo da je u pitanju potražnja ili ponuda, zaključu-jemo da je cijena nezavisna varijabla, dok je količina potražnje odnosno ponude zavisna varijabla, jer tek nakon što je definirana cijena moguće je definirati količinu potražnje ili

1.4. Konstruiranje grafova

1.4.a.Izvođenja

grafa iz tablice

Potražnja Ponuda

Kombinacija Cijena Količina Kombinacija Cijena Količina

A 5 0 G 0 0

B 4 1 H 1 1

C 3 2 I 2 2

D 2 3 J 3 3

E 1 4 K 4 4

F 0 5 L 5 5

Tablica 2: Potražnja i ponuda osobnih automobila na razini

mogućih cijena

ponude. Prema tome, vertikalna os koordinatnog sustava na kojemu će se prikazati jedna odnosno druga krivulja namijenjena je cijeni, dok se horizontalna os rezervira za količinu potražnje odnosno ponude.

Podaci sadržani u tablici 2 prikazani su na slici 5. Vertikalna os u primjeru potražnje i ponude označava cijenu, koja se u ovom slučaju proteže u rasponu od 0 do 5 tisuća nov-čanih jedinica, dok horizontalna os, također u primjeru potražnje i ponude, označava ko-ličinu koja se u ovom slučaju također proteže u rasponu od 0 do 5 tisuća. Vrijednosti na vertikalnoj osi rastu od dolje prema gore, pri čemu je svaki segment jednak i iznosi tisuću novčanih jedinica. Vrijednosti na horizontalnoj osi rastu sa lijeva na desno, s time da je u ovom slučaju također izabran segment veličine tisuću jedinica promatranog dobra. Ishodi-šte jedne i druge osi je u nuli i kreće se isključivo u pravcu pozitivnih vrijednosti jer u ovom primjeru ne postoje negativne vrijednosti, a niti bi, kada je riječ o ponudi i potražnji, imale ikakvu praktičnu vrijednost.

Kombinacije cijena i količina potražnje sadržane u tablici 2 prikazane su na slici 5a. Na ovoj slici pojedina točka predstavlja pojedinu kombinaciju cijene količine. Pojedina točka je locirana na mjestu u kojem se presijecaju cijena i količina koje odgovaraju poje-dinoj kombinaciji. Kombinacija A iz tablice na slici se predočava kao točka A, a nalazi se na mjestu označava potražnju od 0 jedinica promatranog dobra pri cijeni od 5 novčanih jedinica, dok kombinacija u točki B znači da će se pri cijeni od 4 novčane jedinice potraži-vati odnosno prodati 1 jedinica promatranog dobra. Krajnja točka u razmatranom primjeru potražnje za osobnim automobilima znači da će se pri nultoj cijeni potraživati 5 jedinica promatranog dobra.

Na strani ponude postupa se na isti način, tj. pojedina kombinacija sadržana u tablici na grafu se predočava točkom. Točka G na slici 5b podrazumijeva da će se pri cijeni 0 nov-

Slika 5: Kombinacije cijena i količi-na na tržištu osobnih automobila: (a) potražnja automobila, (b) ponuda automobila.

Pojedina točka na prikazanim grafovima prikazuje kombinaciju cijene i količine iz tablice 1. Kom-binacije A do F prikazuju potražnju za automobilima na razini pojedine cijene, dok se kombina-cije G do L odnose na ponudu automobila na razini pojedine cijene. Prenošenjem kombinacija iz tablice na graf dolazi se do točaka koje označavaju količinu potražnje odnosno ponude na razini pojedine cijene. Povezivanjem ovih točka ucrtava se krivulja potražnje (slika a) odnosno krivulja ponude (slika b). Krivulja potražnje je nagnuta prema dolje, što znači da će s porastom cijene po-tražnja padati i obratno, dok je krivulja ponude nagnuta prema gore, što znači da će s porastom cijene ponuda rasti i obratno.

(a) (b)

količina (Q)

5

4

3

2

1

cijena (P)

0 1 2 3 4 5

H

I

J

K

L

G

količina (Q)

A5

4

3

2

1

cijena (P)

0 1 2 3 4 5

B

C

D

E

F

UVOD U EKONOMIJU

�6

NAGIBI

�7

1.4.b.Interpretiranjetočke na grafu

čanih jedinica tržištu nuditi 0 jedinica promatranog dobra. Pri cijeni od 1 novčane jedinice ponuda će iznositi 1 jedinicu dobra. Pri najvišoj razmatranoj cijeni ponuda će narasti na 5 jedinica promatranog dobra.

U posljednjem koraku, povezivanjem točaka kompletira se grafički prikaz odnosa ci-jena i količina sadržanih u tablici 2. Slika 5a, jednako kao i slika 5b, zorno prikazuju u kakvom se odnosu nalaze cijene i količine. U prvom redu lako je uočiti da se u primjeru potražnje cijena i količina nalaze u obrnuto proporcionalnom odnosu, tj. s padom cijene potraživana količina raste, dok, s druge strane, kada je u pitanju ponuda, da su cijena i ko-ličina upravo proporcionalne, tj. da s porastom cijene raste ponuda.

Na slikama 5a odnosno 5b prikazane se krivulje potražnje odnosno ponude. Svaka od ovih krivulja predstavlja, u stvari, geometrijsko mjesto točaka, pri čemu su na slikama posebno prikazane neke točke. Svaka točka prikazuje određenu kombinaciju cijene i količine. Po-stavlja se pitanje kako interpretirati pojedinu točku na ovim grafovima, kao što su, primje-rice točka C na jednoj i točka J na drugoj slici. Ove točke pretpostavljaju da je promatrana cijena 3 novčane jedinice, pa se postavlja se pitanje kolika će količina potraživati a kolika nuditi pri ovoj cijeni.

Povlačenjem okomice iz točke C odnosno točke J na vertikalnu os identificira se cije-na, a potom povlačenjem okomice iz ovih točaka na horizontalnu os saznaje se količina koju su kupci pri odnosnoj cijeni spremni kupiti a prodavatelji voljni prodati. U konkretnom slučaju okomica povučena na vertikalnu os u jednom i drugom primjeru označava cijenu od 3 novčane jedinice, dok se povlačenjem okomice na horizontalnu os identificira pripa-dajuća količina. Ako se iz točke C poviče okomica dolazi se do spoznaje da je su cijeni od 3 novčanih jedinica kupci spremni kupiti 2 količinske jedinice, a povlačenjem okomice iz točke J slijedi da je prodavatelj spreman tržištu ponuditi 3 količinske jedinice.

Za ekonomsku je analizu vrlo bitan nagib krivulje. Nagib krivulje se izražava kao broj koji mjeri promjenu jedne varijable pri jediničnoj promjeni neke druge varijable. Nagib krivulje pokazuje je li odnos ili nagib između promatranih varijabla usporedan ili pozitivan odno-sno obratan ili negativan.

Usporedan odnos odnosno pozitivan nagib postoji u slučaju kad se varijable kreću u istom pravcu, tj. kad porast jedne varijable rezultira porastom druge varijable ili obratno. Primjer usporednog odnosa odnosno pozitivnog nagiba nalazimo u slučaju porasta cijene nekog dobra koji dovodi do porasta njegove ponude odnosno u slučaju pada cijene nekog dobra koji dovodi do pada njegove ponude.

Obratan odnos odnosno negativan nagib postoji kad se promatrane varijable kreću u suprotnom pravcu, tj. kad porast jedne varijable dovodi do pada druge varijable i obratno. Primjer obrnutog odnosa nalazimo u slučaju potražnje za nekim dobrom, s obzirom da po-rast cijene dovodi do pada potražnje a pad cijene do porasta potražnje za nekim dobrom.

Posebno je važno pitanje kako utvrditi nagib krivulje, bez obzira je li u pitanju krivulja obli-ka pravca ili je u pitanju neki drugi oblik krivulje. Ovdje ćemo prikazati dva načina utvrđi-vanja nagiba krivulje.

1.5. Nagibi

1.5.a.Pozitivnii negativni nagib

1.5.b.Određivanje nagiba

Nagib krivuljeVrijednost koja pokazuje promjenu jedne varijable pri jediničnoj pro-mjeni neke druge varijable.

Pozitivan nagib krivuljePrimjer kada porast jedne varijable rezultira porastom druge varijable.

Negativan nagib krivuljePrimjer kada porast jedne varijable dovodi do pada druge varijable.

Slika 6: Nagib linearne krivulje: (a) krivulja pozitivnog nagiba, (b) krivulja negativnog nagiba.

Najjednostavniji način mjerenja nagiba poznat je kao uspon u određenom prostoru odnosno kao rast iznad tijeka. Pod pojmom rasta označava se vertikalni razmak odnosno razmak između B i C, koji na slikama (a) i (b) iznosi z. Pod pojmom tijeka označava se horizontalni razmak između A i C, koji je na prikazanim krivuljama označen vrijednosti 1. Numerička vrijednost nagiba jednaka je odnosu rasta i tijeka tj. BC/AB=z/1=z. Na slici (a) rast BC je negativan a na slici (b) pozitivan, pa, s obzirom da je na obje slike tijek pozitivan, slijedi da je krivulja na slici (a) negativnog a na slici (b) pozitivnog nagiba. To znači da u primjeru krivulje negativnog nagiba povećanje varijable x uzrokuje smanjenje varijable y i obrnuto, a u primjeru krivulje pozitivnog nagiba povećanje va-rijable x uzrokuje povećanje varijable y i obrnuto. Nagib linearne krivulje jednak je u svakoj točki na krivulji.

(a)x

y

0(b)

x

y

0

negativannagib

pozitivninagib

rasttijek

=(+)(+)

=rasttijek

=(–)(+)

=

AB

C

1

zA

B

C

1

z

UVOD U EKONOMIJU

��

NAGIBI

��

Prema prvom načinu mjerenje nagiba poznato je kao uspon u određenom prostoru od-nosno kao rast iznad tijeka. U potonjem nazivu pod pojmom tijeka podrazumijeva se pro-mjena varijable na horizontalnoj osi, dok se pod pojmom rasta podrazumijeva promjena varijable na vertikalnoj osi.

U primjeru linearnih krivulja, kakve su prikazane na slici 6, želi se izmjeriti nagib izme-đu točaka A i C. Promjena varijable na horizontalnoj osi predstavlja razmak između točaka A i B, koji je na slikama označen kao jedinična promjena varijable. Razmak između A i B

označen je kao jedinična promjena radi lakšeg računanja, premda se jednako tako može postupati i s promjenama bilo koje veličine. Promjena varijable na vertikalnoj osi predstav-lja razmak između točaka B i C, koji je na slikama označen kao z.

Numerička vrijednost nagiba krivulja na slici 6 jednaka je odnosu rasta i tijeka tj. BC/AB=z/1=z. Na slici (a) rast BC je negativan a na slici (b) pozitivan, odakle slijedi, s obzirom da je i na jednoj i na drugoj slici tijek AB pozitivan, da je krivulja na slici (a) negativnog a na slici (b) pozitivnog nagiba. To u smislu ranijih objašnjenja znači da promjena bilo koje va-rijable u primjeru krivulje negativnog nagiba dovodi do suprotne promjene druge varijable. U konkretnom primjeru to znači da će povećanje varijable x za jednu jedinicu rezultirati smanjenjem varijable y za z jedinica. U primjeru krivulje pozitivnog nagiba promjena jedne varijable dovodi do istosmjerne promjene druge varijable. U konkretnom primjeru porast varijable x za jednu jedinicu rezultira porastom varijable y za z jedinica.

Nagib nelinearne krivulje određuje se slično nagibu linearne krivulje. Naime, da bi se utvrdio nagib nelinearne krivulje u nekoj točki na krivulji potrebno je kroz tu točku povu-ći pravac koji zadovoljava uvjete tangentnosti, tj. pravac koji dodiruje promatranu krivulju samo u točki u kojoj se želi utvrditi nagib krivulje. S obzirom da je nagib krivulje određen nagibom pravca koji je tangenta krivulje u željenoj točki, u daljnjem postupku izračuna na-giba nelinearne krivulje postupa se kao u primjeru linearne krivulje.

Da bi, primjerice, utvrdili nagib krivulje u točki C na slikama 7a i 7b potrebno je prvo ucrtati pravac koji je tangenta krivulje u promatranoj točki. Potom se proizvoljno odrede dvije točke na tangenti koje će poslužiti za izračun nagiba krivulje u točki C. Na promatra-nim slikama to su točke F i H odnosno duljina FH. S obzirom da je nagib jednak odnosu rasta i tijeka slijedi da je nagib promatranih krivulja u točki C jednak odnosu GH/FG od-nosno GH/FG=z/1=z. Na slici (a) rast GH je negativan a na slici (b) pozitivan, tako da je nagib prve krivulje u promatranoj točki negativan a druge pozitivan. S obzirom da krivulja na slici (a) stalno opada negativan bi nagib imala i svaka druga točka na ovoj krivulji. Jed-nako tako, s obzirom da krivulja na slici (b) stalno raste pozitivan bi nagib imala i svaka druga točka na ovoj krivulji.

Drugi način izračuna nagiba linearne krivulje zasniva se na jednadžbi pravca. Jednadž-ba pravca u eksplicitnom obliku glasi:

y = ax + b

gdje parametar a geometrijski znači koeficijent smjera odnosno nagib pravca a b segment ili odsječak na osi y.

Koeficijent smjera ili gradijent pravca, kao što prikazuje slika 8, određen je tangensom kuta α što ga pravac zatvara s pozitivnim smjerom osi x (a = tg α ), dok je b segment ili od-

sječak na osi y pozitivan prema gore a negativan prema dolje. Na slici 8b prikazani su pravci pozitivnog i negativnog nagiba iste veličine. Naime, kod

pravca y = x + 2 nagib je jednak tg 450 = 1, dok je kod pravca y = - x + 2 jednak tg 1350. Kako je 180 - 45 =135, a tg(180 - α) = - tg α, to je i tg(180 - 45)= - tg 450, a to je -1.

Slika 7: Nagib nelinearne krivulje: (a) krivulja pozitivnog nagiba, (b) krivulja negativnog nagiba.

Nelinearna krivulja je ona vrsta krivulje kojoj se nagib mijenja od točke do točke na krivulji, što znači da nagib treba računati posebno za svaku točku na krivulji. Nagib krivulje u nekoj točki dan je nagibom tangente u toj točki. Nagib tangente izračunava se na isti način kao i nagib linearne krivulje. Nagib krivulje u točki C na slikama (a) i (b) utvrđen je povlačenjem pravca koji je tangen-ta krivulje u promatranoj točki. Nagib je jednak odnosu rasta i tijeka tj. GH/FG=z/1=z. Na slici (a) rast GH je negativan a na slici (b) pozitivan, tako da je nagib prve krivulje u promatranoj točki negativan a druge pozitivan. S obzirom da krivulja na slici (a) stalno opada negativan bi nagib ima-la i svaka druga točka na ovoj krivulji. Jednako tako, s obzirom da krivulja na slici (b) stalno raste pozitivan bi nagib imala i svaka druga točka na ovoj krivulji.

Slika 8: Nagib pravca: (a) pravac oblika y=ax+b, (b) pravac oblika y = x + 2 odnosno y =- x + 2.

Slika (a) ilustrira izračun nagiba linearne krivulje koja se zasniva jednadžbi pravca koja u eksplicit-nom obliku glasi y = ax + b, gdje parametar a geometrijski znači koeficijent smjera odnosno nagib pravca a b segment ili odsječak na osi y. Na slici (b) prikazani su pravci pozitivnog i negativnog nagiba, s time da je veličina nagiba ovih pravaca jednaka. Nagib pravca y=x+2 koji se prikazuje na lijevoj jednak je tg 450 =1. Na desnoj slici nagib pravca y=-x+2 jednak je tg 1350. Međutim kako je 180-45=135, a tg (180- α) = - tg α, to je i tg(180 - 45)= - tg 450 =-1.

(a)x

y

0(b)

x

y

0

negativannagib

rasttijek

=(+)(+)

=pozitivni

nagibrasttijek

=(+)(+)

=

H

G

B

C

D

F1

H

G

B

C

D

F1

z

z

(a)x

y

(b)x

y

-2 -1 0 1 2

y = ax + ba < 0

y = ax + ba > 0

0-b/a -b/a

y = -x + 2 y = x + 2

5

4

3

2

1

45° ��5°

b

UVOD U EKONOMIJU

20

NAGIBI

2�

Kao što je naprijed istaknuto, za razliku od pravca, nagib krivulje različit je u različitim točkama na krivulji. Nagib krivulje u nekoj njezinoj točki jednak je nagibu njezine tangente u promatranoj točki, odnosno tangensu kuta koji tangenta zatvara s pozitivnim smjerom osi x. Nagib tangente jednak je vrijednosti prve derivacije promatrane funkcije u istoj točki.

Koliki je nagib krivulje u točki T na slici 9? Ako se na krivulji y = f(x) prijeđe s točke T na točku T1 na apscisa je došlo do prirasta Δx koji je rezultirao prirastom funkcije Δy,

Δy = f(x + Δx) - f(x) .

Kvocijent zove se još i kvocijent diferencija, jer je u brojniku

razlika (diferencija) ordinata, a u nazivniku razlika apscisa točaka T1 i T. Također je jasno da je Δy/Δx = tg α1, a to je koeficijent smjera sekante TT1, odnosno srednji tangens smjera luka TT1 krivulje. Da bi se dobio pravi smjer, odnosno nagib krivulje u točki T, treba uzeti da Δx teži nuli, pa se dobiva

a on je jednak tgα, odnosno tangensu kuta koji zatvara tangenta s osi x, povučena na kri-vulju u točki T.

Izraz zove se derivacija (izvod) funkcije y = f(x) i bilježi se simbolički

sa y’(x) ili y’ ili Dxy(x) (što se čita derivacija y po x, ili y crtano, ili derivacija y od x po x) ili jednostavno ỷ.

Znači, derivacija je granična vrijednost kojoj teži kvocijent diferencija funkcije i neza-visne varijable, kad prirast nezavisne varijable teži nuli. Isto tako može se reći da je deri-vacija nagib tangente povučene na krivulju u zadanoj točki, odnosno da je jednaka nagibu krivulje u toj točki. Prema tome, nagib krivulje u nekoj točki izračunava se kao tangens kuta koji s osi x zatvara tangenta povučena na tu točku krivulje.

Veze između pojava, jednako kao i kretanje neke pojave, mogu se izraziti deskriptivno, grafički ili jednadžbom. Naravno da treba posegnuti za onim načinom koji će na najjedno-stavniji način omogućiti dovoljno precizno zaključivanje o vezi između pojava ili njihovu kretanju. U mnogim primjerima koriste se istodobno sva tri načina, međutim, ako se želi na sažet i precizan način opisati veza između pojava ili kretanje pojava prednost treba dati jednadžbi. Posebice to vrijedi u slučaju različitih izračuna koji se temelje na nekoj pola-znoj jednadžbi.

U primjeru deskriptivnog izražavanja veze između cijene i količine potražnje nekog dobra kazat će se da s padom cijene raste količina potražnje odnosno da pri cijeni od 8 novčanih jedinica potražnja iznosi 50 jedinica dobra, dok pri cijeni od 2 novčane jedinice potražnja iznosi 200 jedinica dobra. Znači, smanjenje cijene s 8 na 2 novčane jedinice do-velo je do porasta potražnje od 150 količinskih jedinica, iz čega se izvodi zaključak kako je veza između cijene i količine obrnuto proporcionalna.

Premda bi jedan ili drugi način mogli bi biti dovoljno jasni ili ilustrativni, posebice ako se željelo načelno objasniti u kakvoj su vezi cijena i količina potražnje, ipak u ovom pri-mjeru daleko veće mogućnosti pruža jednadžba kao način objašnjenja veze između cijene i količine potražnje.

Jednadžba je matematički izraz koji opisuje vezu između dviju ili više varijabla. Jed-nadžba pravca u eksplicitnom obliku, kao što smo ranije kazali, glasi y=ax+b, gdje je y zavisna varijabla, x nezavisna varijabla, dok a označava koeficijent smjera ili nagib pravca a b vrijednost zavisne varijable kada je nezavisna varijabla jednaka nuli odnosno odsječak na osi y. Ako je a negativan, pravac je opadajući, a ako je a pozitivna vrijednost pravac je rastući.

Prevedeno na konkretan primjer potražnje to bi značilo da je količina potražnje zavi-sna a cijena nezavisna varijabla, tj. potraživan količina zavisi o cijeni. Izraženo jednadž-bom, u kojoj je količina potražnje kao zavisna varijabla definirana kao Q a cijena kao ne-zavisna varijabla kao P, potražnja se predočava kao Q=aP+b.

U nekom konkretnom primjeru veza između cijene i količine potražnje glasi: Q=-25P+250. To znači da će se na promatranom tržištu potraživati 250 količinskih jedini-ca kada je cijena jednaka nuli, što je ujedno odsječak na osi na kojoj se prikazuje zavisna

1.5.c.Jednadžbe

Slika 10: Grafički prikaz funkcije potražnje oblika Q=-25P+250.

Krivulja potražnje prikazuje visinu potražnje za promatranim dobrom na razini pojedine cijene. Konkretnu funkciju treba razumjeti prije sve-ga u njenoj osnovnoj poruci u odnosu na koeficijent smjera i odsje-čak na osi na kojoj se prikazuje zavisna varijabla odnosno za koliko se smanjuje potražnja ako se cijena poveća za jedinicu te kolika će biti potražnja pri nultoj cijeni. Vrijednost parametra koji prikazuje vrijed-nost promjene potražnje kada se mijenja cijena za jedinicu je a=-25, dok pri nultoj cijeni potražnja iznosi b=250 količinskih jedinica (točka K). Porastom cijene količina će se postupno smanjivati, da bi se svela na nuli pri cijeni od 10 novčanih jedinica (točka M). Na taj način su određene točke u kojima krivulja potražnje siječe horizontalnu odno-sno vertikalnu os, dok se ostale točke na krivulji dobiju uvrštavanjem ostalih cijena u funkciju potražnje.

Derivacija (izvod) funkcijeGranična vrijednost kojoj teži kvo-cijent derivacija funkcije i nezavi-sne varijable kada prirast nezavisne varijable teži nuli.

JednadžbaMatematički izraz koji opisuje vezu između dviju ili više varijabla.

Slika 9: Određivanje nagiba nelinearne krivulje

Nagib nelinearne krivulje različit je u različitim točkama na krivulji. Na-gib krivulje u nekoj njezinoj točki jednak je nagibu njezine tangente u promatranoj točki odnosno tangensu kuta koji tangenta zatvara s pozi-tivnim smjerom osi x. Nagib tangente jednak je vrijednosti prve deriva-cije funkcije u promatranoj točki. Ako se na krivulji y=f(x) prijeđe s toč-ke T na T1 varijabla x će porasti za Δx, što istodobno dovodi do porasta funkcije za Δy. Odnos Δy/ Δx=tgα1, što je koeficijent smjera sekante TT1 odnosno smjera luka TT1 krivulje. Da bi se odredio nagib krivulje u točki T potrebno je uzeti u obzir da Δx teži nuli, odakle proizlazi da je nagib krivulje u promatranoj točki jednak tgα odnosno tangensu kuta koji tangenta zatvara s pozitivnim smjerom osi x, što odgovara deriva-cije funkcije u točki T.

T

x

Δx

y

0 x x + Δx

Δy = ƒ(x + Δx) - ƒ(x)

y

y = ƒ(x)t sT1

�

M

K

10

8

6

4

2

količina (Q)

cije

na

(P)

0 50 100 150 200 250

ΔP

= 4

ΔQ = 100

a = - ΔQΔP

-1004

-25= =

UVOD U EKONOMIJU

22

KVANTITATIVNE VEZE I ODNOSI

2�

varijabla. S obzirom da je koeficijent smjera -25 to znači da će svaki porast cijene za jed-nu novčanu jedinicu potražnju smanjiti za 25 količinskih jedinica. Odatle slijedi zaključak kako će potražnja biti jednaka nuli pri cijeni od 10 novčanih jedinica.

Ova jednadžba može poslužiti za izračun potraživane količine na razini bilo koje moguće cijene. Tako će pri cijeni od 8 novčanih jedinica potraživana količina iznositi Q=-25(8)+250=50, dok će, primjerice, pri cijeni od 2 novčane jedinice potražnja iznositi Q=-25(2)+250=200 količinskih jedinica. Promatrana funkcija potražnje grafički je prika-zana na slici 10.

Mikroekonomija je jedan od subjekata koji ekstenzivno koristi matematiku. Mnogi mate-matički koncepti imaju izravno značenje i primjenu u mikroekonomiji. Mikroekonomija se može studirati na različitim razinama složenosti. Mnoge mikroekonomske ideje mogu se objasniti riječima ali one mogu dovesti u pitanje preciznost. Možemo kazati, primjerice, da će cijene nafte rasti ako u Perzijskom zaljevu bjesni rat. Riječima objašnjavamo što dovodi do porasta cijena, ali riječima ne možemo objasniti visinu porasta cijena. Međutim, potreb-na nam je daleko preciznija informacija.

Grafički i matematički pristup će nam pomoći da budemo daleko precizniji od konsta-tacije da će cijena nafte porasti. Ako točno znamo potražnju za naftom i ponudu nafte, mo-žemo točno predvidjeti utjecaj rata na cijenu nafte. Ovaj udžbenik prvo pokušava riječima objasniti sve pojmove, zatim grafički a potom matematičkim jednadžbama.

Dvije temeljne ideje iz područja matematike su uglavnom vrlo korisne u mikroekono-miji i može biti korisno ako ih ovdje ukratko objasnimo. Jedan od najčešće korištenih kon-cepata u mikroekonomiji je koncept granične veličine: kako se stvari mijenjaju na granici. U ovome smislu koristi se različiti pokazatelji, pa tako korist koju ćemo polučiti konzumi-rajući jednu dodatnu jedinicu dobra naziva se graničnom korisnošću; porast outputa do kojeg dolazi zapošljavanjem jedne dodatne jedinice rada naziva se graničnim proizvodom rada, porast troškova proizvodnje do kojih dolazi zbog jedne dodatne jedinice outputa na-ziva se graničnim troškom.

U ekonomskoj raščlambi često su u uporabi kategorije ukupne, prosječne i granične veliči-ne. Njihove međusobne veze i odnosi uvijek su isti bez obzira na to kakva im je konkretna ekonomska interpretacija. Prema tome, utvrđeni odnosi između ukupnih, prosječnih i gra-ničnih veličina vrijede bez obzira izražavaju li veličine prihoda, troškova, proizvodnje, ili bilo kojih drugih varijabli kod kojih se mogu definirati prosječne i granične veličine.

Ukupnu, prosječnu i graničnu veličinu najlakše je definirati preko numeričkog primjera. Tako se u tablici 3. daje primjer ukupnog, prosječnog i graničnog proizvoda koji se dobiva na određenoj površini obradive zemlje, ulaganjem različite veličine rada i broja radnika.

1.6. Kvantitativne veze i odnosi

1.6.a.Matematikai mikroekonomija

1.6.b.Ukupna, prosječnai granična veličina

Broj radnika (x)Ukupni

proizvod (TP)Prosječni

proizvod (AP)Granični

proizvod (MP)

0 0 0 0

1 10 10 10

2 30 15 20

3 60 20 30

4 80 20 20

5 90 18 10

6 96 16 6 Tablica 3: Ukupni, prosječni i granični proizvod

UVOD U EKONOMIJU

24

KVANTITATIVNE VEZE I ODNOSI

25

Prva dva stupca pokazuju koliku će proizvodnju dati različiti broj angažiranih radnika na određenoj površini obradive zemlje. Stupac prosječan proizvod (AP) jednostavno se dobiva dijeljenjem stupca ukupni proizvod (TP) sa stupcem broj radnika (x), pa označava ostvarenu proizvodnju po radniku i dobiva se matematičkim izrazom

Stupac granični proizvod dobiva se oduzimanjem prethodnog od sljedećeg suk-

cesivnog člana iz stupca ukupan proizvod, što znači da granični proizvod (MP) pokazuje za koliko svaki dodatni radnik povećava proizvodnju. Granični proizvod definira se izra-zom

kako ukupan proizvod predstavlja funkciju broja radnika, u kontinuiranom slučaju TP=f(x), to se granični proizvod definira kao prvi izvod te funkcije po članu x:

O odnosima između ukupne, prosječne i granične veličine postoji šest osnovnih

stavova: (1) ukupna, prosječna i granična veličina uvijek su jednake u prvom sloju (za prvu jedinicu), (2) ukupna veličina uvijek je zbroj dotadašnjih graničnih veličina, (3) ako prosječ-na veličina raste, granična veličina veća je od prosječne, (4) ako prosječna veličina opada, granična veličina manja je od prosječne, (5) kad prosječna veličina dostiže maksimalnu ili minimalnu vrijednost, granična veličina jednaka je prosječnoj, (6) dodatak neke fiksne vri-jednosti ukupnoj veličini ne utječe na graničnu veličinu.

Odnosi između prosječne i granične veličine dani stavovima 3., 4. i 5. mogu se grafički ilustrirati kao što je prikazano na slici 11. Dok god prosječan proizvod raste, granični je proizvod veći od njega i obrnuto, kad pada, granični je proizvod manji od prosječnog. Prosječan proizvod dostiže maksimalnu vrijednost kad je jednak graničnom proizvodu ( u točki D).

Na slici je također moguće sagledati i određivanje veličine ukupnog proizvoda pre-ko krivulje prosječnog proizvoda ili krivulje graničnog proizvoda. Naime, kako se ukupna veličina dobiva umnoškom prosječne veličine i broja radnika (TP=AP·x), to je u bilo kojoj točki prosječne veličine ukupna veličina jednaka površini pravokutnika određenoj okomi-cama na koordinate povučenim iz te točke (npr. u točki B na krivulji prosječnog proizvoda, ukupan proizvod jednak je površini 0ABQ, jer je TP = AP·x = 0A·0Q).

S druge strane, slijedom stava 2., ukupna je veličina uvijek jednaka zbroju dotadašnjih graničnih veličina, pa je ukupna veličina pri bilo kojoj točki na krivulji granične veličine jednaka površini koju omeđuju krivulja granične veličine, i to od ishodišta do odnosne toč-ke, okomica spuštena iz te točke na apscisu i odgovarajući dio apscise (primjerice na slici 11 veličini graničnog proizvoda QC odgovara veličina ukupnog proizvoda površine 0CQ).

1.6.c.Grafičko objašnjenje

ukupne, prosječnei granične veličine

Slika 11: Odnosi između prosječne i granične veličine na primjeru proizvodne funkcije s jednim varijabilnim inputom.

Slika prikazuje elemente za raščlambu odnosa između prosječne i gra-nične veličine na primjeru proizvodne funkcije koja prikazuje kretanje prosječnog i graničnog proizvoda u odnosu na količinu inputa. Pro-sječna i granična veličina nalaze se u određenom odnosu od kojih su najvažnija četiri sljedeća odnosa: (1) sve dok prosječna veličina raste granična veličina je veća od prosječne veličine, (2) sve dok prosječna veličina pada granična veličina je manja od prosječne veličine, (3) u točki maksimuma prosječne veličine granična veličina je jednaka pro-sječnoj veličini (isti odnos postoji i u slučaju minimuma), (4) prosječna i granična veličina uvijek su jednake u provom sloju.

Na slici 12 dani su elementi za raščlambu odnosa između ukupnog, prosječnog i gra-ničnog proizvoda. Na slici je prikazana krivulja ukupnog proizvoda činitelja x i u bilo kojoj točki te krivulje ukupan je proizvod prikazan ordinatom te točke, a odgovarajući broj rad-nika njezinom apscisom (primjerice u točki A, ukupan proizvod je 0A’, a broj radnika 0A’’). Upravo zato odnos ordinate i apscise predstavlja prosječan proizvod, a geometrijski je to nagib radijus-vektora koji iz ishodišta prolazi kroz točku A, odnosno tangens kuta α.

Poznato je da je nagib neke krivulje u nekoj točki jednak nagibu njezine tangente u toj točki, a taj je nagib jednak vrijednosti prve derivacije te funkcije u istoj točki. Otud je granični proizvod za veličinu OA’’ varijable x jednak nagibu tangente u točki A, odnosno tangens kuta α. U skladu s tim u točki A prosječan proizvod je AP=tgα, a granični proizvod je MP=tgα.

Kako je u točki A nagib tangente strmiji od nagiba radijus-vektora to znači da je pro-sječan proizvod rastući da je MP>AP. U cijelom segmentu A-B, krećući se od točke A prema točki B, radijus vektori sve su većeg nagiba, što znači da je u tom dijelu AP rastu-ća funkcija. U tom istom intervalu nagibi tangente su stalno veći od nagiba radijus vek-

Slika 11: Odnosi između prosječne i granične veličine na primjeru proizvodne funkcije s jednim varijabilnim inputom.

Slika prikazuje elemente za izvođenje prosječne i granične veličine iz ukupne veličine. Ukupna veličina prikazuje kretanje ukupnog proizvo-da odnosno outputa (TP) u odnosu na kretanje inputa (x). U bilo kojoj točki na krivulji TP ukupni proizvod je prikazan ordinatom te točke a odgovarajući input njezinom apscisom. U točki A ukupni proizvod je određen ka OA’ a input kao OA’’. Odnos ovih veličina predstavlja pro-sječni proizvod, a geometrijski je to nagib radijus-vektora koji iz isho-dišta prolazi kroz točku A odnosno tangens kuta α. Granični proizvod za veličinu OA’’ jednak je nagibu tangente u točki A odnosno tangensu kuta β. Ako je u nekoj točki nagib tangente strmiji (veći) od nagiba ra-dijus-vektora to znači da je MP>AP, a ako je manje strm (manji) tada je MP<AP.

MPP

unos (X)

pro

sječ

na

(APP

) i g

ran

ičn

a(M

PP) fi

zičk

a p

roiz

vod

nos

t

AB

C

D

APP

TPP

unos (X)

B

outp

ut

(TPP

)

A’

A’’0

A

C

UVOD U EKONOMIJU

26

KVANTITATIVNE VEZE I ODNOSI

27

tora, ali se razlike između njih postupno smanjuju. U točki B radijus-vektor se poklapa s tangentom, pa se u toj točki prosječan i graničan proizvod izjednačuju, što znači da u toj točki prosječan proizvod dostiže maksimalnu vrijednost. Od točke B pa dalje, nagibi radijus vektora sustavno se smanjuju, a nagib tangente manji je od nagiba radijus-vek-tora. To znači da prosječan proizvod opada a granični je proizvod manji od prosječnog proizvoda.

U skladu sa stavovima o odnosima ukupne, prosječne i granične veličine moguće je po-moću pravca prosječne veličine dobiti odgovarajuća granična veličina. Postupak izvođenja krivulje granične veličine pomoću krivulje prosječne veličine izložit ćemo na primjeru kre-tanje prosječne veličine prikazane na slici 13 odnosno 14.

Na slici 13 krivulja prosječne veličine je linearnog odnosno oblika pravca. U prvom koraku iz pravca AW izvuku se horizontale s apscisom i povuče se pravac iz ishodišta kroz točke koje označuju njihove polovice. Naime, da bi površine OADE (to je ukupna veličina preko prosječne veličine) i OCE (i to je ukupna veličina ali preko granične veličine) bile jednake ukupne veličine, to i površine trokuta OAB i BCD moraju biti jednake, a to je mo-guće samo u slučaju da pravac MW presijeca horizontalu AD u točki B koja je na njezinoj polovici (AB = BD, kutovi AB0 i CBD su jednaki, a kako su u pitanju pravokutni trokuti, iste su površine).

Ako se kretanje prosječne i granične veličine grafički prikaže oblikom krivulje, s pomo-ću krivulje prosječne veličine dolazi se do odgovarajuće krivulje granične veličine postup-kom u četiri faze kako je prikazano na slici 14.

U prvom koraku, u nekoj točki, primjerice točki A, povuče se tangenta i nađe se nje-zino sjecište s ordinatom G. Potom se iz točke A spuste okomice na apscisu i ordinatu i dobiju se dužine AI i AB. Kroz sredinu dužine AB, kroz točku C, povuče se pravac iz točke G. Točke sjecišta pravca povučenog kroz točke G i C s dužinom AI, tj. točka A’, jest točka koja prikazuje graničnu veličinu koja odgovara prosječnoj veličini iz točke A.

1.6.d.Izvođenje krivulje granične veličine pomoću krivulje

prosječne veličine

Slika 13: Izvođenje granične veličine iz prosječne veličine linearnog oblika odnosno oblika pravca.

Iz točke D na krivulji prosječne veličine povuče se okomica na verti-kalnu os. Ova okomica presijeca vertikalnu os u točki A. Povlačenjem pravca iz ishodišta kroz geometrijsko središte dužine AD (točka B) do-lazi se do krivulje granične veličine. Na isti način bi se postupilo ako bi se umjesto točke D na krivulji prosječne veličine ucrtala bilo koja točka.

Postupak se može ponoviti za više točaka na krivulji prosječne veličine, npr. za točku D, pa se spajanjem točaka A’ i D’ dobiva krivulja granične veličine MW koja odgovara da-noj krivulji prosječne veličine AW.

Slika 14: Izvođenje granične veličine iz prosječne veličine neline-arnog oblika.

U prvom koraku povlači se pravac koji je tangenta krivulje prosječ-ne veličine u točki A. Ova tangenta siječe okomitu os u točki G. U drugom koraku iz točke A spuštaju se okomice na vertikalnu i horizontalnu os, čime se dobiju dužine AI i AB. U trećem koraku iz točke G kroz geometrijsko središte dužine AB (točka C) povlači se pravac, koji u točki presijecanja dužine AI (točka A’) prikazu-je graničnu veličinu kojoj odgovara prosječna veličina iz točke A. Ponavljanjem postupka, kao primjerice za točku D, te spajanjem točaka koje označavaju graničnu veličinu dolazi se do krivulje gra-nične veličine koja odgovara zadanoj krivulji ukupne veličine.

količina (Q)

pro

sječ

na

(AW

)i g

ran

ičn

a ve

ličin

a (M

W)

A

0

graničnaveličina prosječna

veličina

BD

C

E

količina (Q)

pro

sječ

na

(AW

)i g

ran

ičn

a ve

ličin

a (M

W)

E

0

prosječna veličina

I J

B

A’

A

G

C

D

D’

F

granična veličina

UVOD U EKONOMIJU

2�

MAKROEKONOMIJA I MIKROEKONOMIJA

2�

Ekonomija, kao znanost koja proučava način na koji društva upotrebljavaju ograničene resurse za proizvodnju korisnih dobara i kako ih raspodjeljuju između različitih skupina, obično se dijeli na mikroekonomiju i makroekonomiju.

Mikroekonomija se definira kao studij ponašanja ekonomskih jedinica i donošenja njihovih odluka. Ekonomske jedinice su pojedinačni potrošač i pojedinačni proizvođač odnosno pojedinačno kućanstvo i pojedinačno poduzeće. Promatrano na razini ukupne potražnje i ukupne proizvodnje, kućanstva i poduzeća su dva relativno samostalna ekonomska entite-ta čije se aktivnosti usklađuju posredovanjem tržišta.

Kućanstvo se na tržištu pojavljuju kao nositelj potražnje za određenim skupom dobara i usluga, nastojeći raspoloživim dohotkom maksimizirati korisnost. Stoga se može kazati da kućanstvo određuje što treba proizvoditi. Poduzeće se, s druge strane, pojavljuje kao nositelj proizvodnje određenih dobara i usluga, nastojeći proizvesti one skupine dobara i usluga za koje pretpostavlja da će mu maksimizirati korisnost izraženu veličinom profita ili nekom drugom mjerom korisnosti.

Makroekonomija se definira kao studij ponašanja gospodarstva kao cjeline, tako da su u središtu pozornosti makroekonomije varijable kao što su proizvodnja, zaposlenost, investi-cije, cijene, gospodarski rast i slično na državnoj razini. Drugim riječima, makroekonomija proučava ponašanje cjelokupne narodne privrede, pri čemu su osnova za njeno proučava-nje agregatne veličine.

Kade se ističe da makroekonomija proučava narodnu privredu kao cjelinu kroz njene najvažnije agregate to ne znači da se i mikroekonomija ne bavi cjelinama kao što je, primje-rice, potražnja za automobilima na nekom tržištu. Bitna je razlika u tome što su mikroeko-nomske cjeline izvedene iz individualnih izbora, nasuprot makroekonomiji koja se na bavi individualnim izborima. Također, kada je riječ o potražnji, važna je razlika u činjenici što se u mikroekonomiji proučavaju cjeline homogenih ili sličnih proizvoda, dok se u makroe-konomiji promatra nacionalni proizvod koji se sastoji od mnogo različitih proizvoda.

Jednako tako možemo istaknuti razliku između mikroekonomije i makroekonomije na primjeru cijena ili kamatnih stopa. U ovome smislu važno je uočiti da mikroekonomi-ja proučava reakcije potrošača i proizvođača na promjene u odnosima cijena, primjerice, domaćih i uvoznih jabuka ili odnosima cijena goveđeg i pilećeg mesa. S druge strane, ma-kroekonomija razmatra samo promjene u razini cijena, jednako kao što se zanima za opću razinu kamatnih stopa a ne za pojedinačne kamatne stope.

Međutim, makroekonomija i mikroekonomija nisu dva nepovezana odnosno autono-mna pogleda. U prvom redu zbog činjenice što makroekonomija razmatra veličine koje predstavljaju agregat mikroekonomskih veličina, ali još više u smislu što makroekonomija predstavlja kontinuitet ekonomskog rezoniranja i ekonomskih načela koji se rabe u objaš-njenju ponašanja ekonomskih cjelina koje proučava mikroekonomija. Stoga se može za-

1.7. Mikroekonomija i makroekonomija

1.7.a.Mikroekonomija

1.7.b.Makroekonomija

ključno kazati su makroekonomija i mikroekonomija toliko povezani i uvjetovani da nije moguće razumjeti makroekonomsko ponašanje i djelovanje ako se ne razumije mikroeko-nomija.

MikroekonomijaDio ekonomske znanosti koja pro-učava ponašanje ekonomskih je-dinica (individua i poduzeća) kao i posljedicama njihovih odluka na funkcioniranje tržišta i ekonomije općenito.

MikroekonomijaDio ekonomske znanosti koji se bavi analizom ponašanja gospo-darstva kao cjeline i u čijem sredi-štu pozornosti se nalaze agregatne varijable kao što su proizvodnja, zaposlenost, investicije, cijene, gospodarski rast i slično.

UVOD U EKONOMIJU

�0

SAŽETAK

��

1.1. Oskudica je središnji ekonomski problem, jer raspoloživi resursi, kao što su vrijeme, dohodak, prirodni izvori i slično, nisu neograničene veličine. U uvjetima oskudice pojedi-nac, poduzeće ili širi kolektivitet primorani su donositi racionalne odluke, jer se izborom jedne alternative ili koristi moraju odreći neke druge alternative ili aktivnosti. Alternativa ili aktivnost koje se netko odriče da bi imao neku drugu alternativu ili aktivnost naziva se oportunitetnim troškom njegova izbora. Osnova za donošenje racionalne odluke je princip troškova i koristi. Ovaj princip podrazumijeva da će se neka alternativa ili aktivnost izabrati ako, i samo ako, korist od takve alternative ili aktivnosti je barem toliko velika koliko i njeni troškovi. ako se bira broj jedinica neke alternative ili aktivnosti osnova za donošenje odlu-ke je granični trošak i granična korist u smislu da će se broj jedinica povećavati sve dok je granična korist veća od graničnog troška.

1.2. Mikroekonomija koristi modele kao grafičko ili matematičko oruđe za objašnjenje odre-đenih fenomena ili ponašanje ekonomskog agenta ili posebne varijable. Model je, s obzirom da se usredotočuje na najvažnije utjecajne faktore, apstraktan reprezentant stvarnosti ali ne i sama stvarnost. Ekonomija odnosno mikroekonomija se koristi dvjema vrstama analize. Pozi-tivna ekonomija analizira stvari kakve jesu odnosno opisuje činjenice i ponašanja, a norma-tivna ekonomija analizira kakve bi stvari trebale biti odnosno u razmatranje uključuje etičke propise i sudove vrijednosti. U ekonomskom razmišljanju i zaključivanju nerijetko se izvode pogrešni zaključci zbog pogrešnih polazišta. Ovo se događa u prvom redu zbog interpretaci-je povezanosti kao uzroka odnosno tzv. post hoc pogreške, nemogućnosti da se ostale utje-cajne varijable održe jednakima odnosno tzv. ceteris paribus pogreške, pretpostavke da ono što vrijedi za pojedinca vrijedi i za cjelinu odnosno tzv. pogreške poopćavanja.

1.3. Ekonomisti često koriste sliku kao jezik prikazivanja pojava i odnosa u ekonomiji. Slike koje koriste ekonomisti nazivaju se grafovima. U ekonomiji odnosno mikroekonomiji najčešće se koriste linijski i površinski grafovi. Bilo da se veze i odnosi prikazuje grafovima ili na neki drugi način, međuzavisnost dviju pojava odnosno varijabla može se javiti u vidu nezavisne ili zavisne varijable. Nezavisna je ona pojava ili varijabla čija vrijednost ne zavisi o vrijednosti druge pojave ili varijable, dok je zavisna ona pojava ili varijabla koja zavisi o vrijednosti druge pojave ili varijable. Kada se vrijednosti povezanih pojava ili varijabla kre-ću u istom smjeru govorimo o direktnoj ili pozitivnoj povezanosti, a kada se kreću u obr-nutom smjeru govorimo o inverznoj ili negativnoj povezanosti.

1.4. Pojave i odnosi među njima obično se u mikroekonomiji prikazuju pomoću koor-dinatnog sustava koji se sastoji od horizontalne i vertikalne osi s odgovarajućim vrijedno-stima. U pravilu se na horizontalnoj osi prikazuje nezavisna a na vertikalnoj osi zavisna

sažetakvarijabla, međutim, u mikroekonomiji obično se postupa obratno, tj. nezavisna varijabla prikazuje se na vertikalnoj a zavisna na horizontalnoj osi. Pojedina točka na grafu prikazu-je pojedinu vrijednost nezavisne varijable i pripadajuću vrijednost zavisne varijable. Spaja-njem ovih točaka dobije se krivulja koja zorno pokazuje tijek veze s promjenama u vrijed-nosti nezavisne varijable.

1.5. Nagib krivulje važna je mjera u mikroekonomiji, jer izražava za koliko će se promije-niti jedna varijabla ako se neka druga varijabla promijeni za jedinicu. Nagib krivulje može biti pozitivan i negativan. Pozitivan je kada se varijable kreću u istom smjeru, a negativan kada se kreću u obrnutom smjeru. Nagib se može odredit metodom uspona u određenom prostoru odnosno kao rast iznad tijeka, pri čemu tijek označava promjenu varijable na ho-rizontalnoj a rast na vertikalnoj osi. Veze između pojava, jednako kao i kretanje neke poja-ve, može se izraziti jednadžbom. Jednadžba je matematički izraz koji opisuje vezu između dviju ili više varijabla.

1.6. U ekonomskoj raščlambi često su u uporabi kategorije ukupne, prosječne i granične veličine. Veze i odnosi između ukupne, prosječne i granične veličine uvijek su isti bez ob-zira kakva im je konkretna ekonomska interpretacija, tj. odnose li se na proizvodnju, pri-hode ili troškove. Ukupna, prosječna i granična veličina nalaze se u određenim odnosima od kojih su najvažniji sljedeći: (1) ukupna, prosječna i granična veličina uvijek su jednake u prvom sloju (za prvu jedinicu), (2) ukupna veličina uvijek je zbroj dotadašnjih graničnih veličina, (3) ako prosječna veličina raste, granična veličina veća je od prosječne, (4) ako prosječna veličina opada, granična veličina manja je od prosječne, (5) kad prosječna veliči-na dostiže maksimalnu ili minimalnu vrijednost, granična veličina jednaka je prosječnoj, (6) dodatak neke fiksne vrijednosti ukupnoj veličini ne utječe na graničnu veličinu.

1.7. Ekonomija se dijeli na mikroekonomiju i makroekonomiju. Mikroekonomija se defini-ra kao studij ponašanja ekonomskih jedinica i donošenja njihovih odluka. Ekonomske je-dinice su pojedinačni potrošač i pojedinačni proizvođač odnosno pojedinačno kućanstvo i pojedinačno poduzeće. Makroekonomija se definira kao studij ponašanja gospodarstva kao cjeline, tako da su u središtu pozornosti makroekonomije varijable kao što su proizvod-nja, zaposlenost, investicije, cijene, gospodarski rast i slično na državnoj razini. Makroeko-nomija proučava, dakle, ponašanje cjelokupne narodne privrede, pri čemu su osnova za njeno proučavanje agregatne veličine.

Ključne riječi

Oskudica

Ekonomsko dobro

Besplatno dobro

Oportunitetni trošak

Granična korist

Granični trošak

Matematički model

Pozitivna ekonomija

Normativna ekonomija

Post hoc pogreška

Ceteris paribus pogreška

Pogreška poopćavanja

Linijski graf

Površinski graf

Nezavisna varijabla

Zavisna varijabla

Inverzna veza

Direktna veza

Pozitivan nagib

Negativan nagib

Derivacija

Jednadžba

Ukupna veličina

Prosječna veličina

Granična veličina

Mikroekonomija

Makroekonomija

UVOD U EKONOMIJU

�2

PITANJA ZA RASPRAVU

��

pitanja za raspravu

1. Pod pojmom oskudice razumijeva se da je raspoloživa količina nekog dobra manja od količine koja je potrebna da bi se zadovoljilo svakog onog tko želi takvo dobro. Kada će se kazati da neko dobro spada u skupinu besplatnih dobra? Može li se u izvjesnim okolnosti-ma kazati da su zrak ili voda također dobro koje ne spada u ovu skupinu dobara?

2. Izborom jednog dobra ili aktivnosti donositelj odluke se odriče nekog drugog dobra ili aktivnosti. Kako se naziva odluka koja podrazumijeva žrtvovanje ili odricanje od jednog dobra ili aktivnosti da bi se dobilo neko drugo dobro ili aktivnost? Zašto mnoga sveučilišta izvode nastavu odnosno rade s velikim umjesto s malim skupinama studenata?

3. Veća potrošnja raspoloživih resursa na jednu alternativu automatski podrazumijeva ma-nje resursa ili potpuno odustajanje od druge alternative. Što predstavlja alternativa koje se donositelj odluke odriče u odnosu na odabranu alternativu? Objasnite ovaj pojam na pri-mjeru odluke potrošača da kupi kilogram jabuka umjesto kilograma jagoda koje su dvo-struko skuplje.

4. Analiza troškova i koristi polazi od toga da bi neku alternativu trebalo izabrati ako, i samo ako, njene koristi nadmašuju njene troškove. Ako u primjeru broja reklamnih spotova raste ukupna korist izražena prihodom od prodaje reklamiranog dobra, koliko bi najviše spotova trebalo dogovoriti?

5. Zašto služe ekonomski modeli? Zašto su matematički modeli prihvatljiviji od grafičkog prikaza neke pojave? Zašto je model apstraktan reprezentant stvarnosti ali ne i sam stvar-nost? Objasnite to na primjeru simulatora letenja ili ponude i potražnje nekog proizvoda.

6. Što analizira pozitivna a što normativna ekonomija? Što u primjeru da na količinu potra-žnje utječe cijena promatranog dobra odnosno da je cijena promatranog dobra previsoka u odnosu na standard potrošača spada u pozitivnu a što u normativnu ekonomiju? Zašto se ekonomisti puno više slažu u pitanjima iz pozitivne nego normativne ekonomije?

7. U ekonomiji se, jednako kao i u drugim znanstvenim područjima, zaključci izvode na temelju određenih spoznaja, načela ili principa, pri čemu se nerijetko izvode pogrešni za-ključci zbog pogrešnih polazišta. Kakvu vrstu pogreške čine gledatelji na nekoj nogomet-noj utakmici ako slijede primjer gledatelja koji je ustao da bi bolje vidio?

8. Što se razumijeva pod pojmom zavisne a što pod pojmom nezavisne varijable? Što je u primjeru potražnje za automobilima na razini pojedine cijene zavisna a što nezavisna varijabla?

9. Povezanost varijabla može biti inverzna ili negativna odnosno direktna ili pozitivna. Kada je riječ o jednoj a kada o drugoj vrsti veze? U kakvom su odnosu cijena i količina po-tražnje, a u kakvom dohodak potrošača i potražnja za nekim dobrom?

10. U grafičkom prikazivanju pomoću koordinatnog sustava vertikalna os u pravilu se ko-risti za prikaz zavisne a horizontalna os za prikaz nezavisne varijable, dok se u mikroeko-nomiji postupa obratno. Ima li to kakvog odraza na oblik krivulje?

11. Nagib krivulje izražava se kao broj koji mjeri promjenu jedne varijable pri jediničnoj promjeni neke druge varijable. Kakav sve može biti nagib neke krivulje? Kakav bi trebao biti nagib krivulje potražnje za jagodama u odnosu na njihovu cijenu? Kako se mjeri nagib krivulje? Jesu li nagib i nakošenost krivulje isti pojmovi?

12. Veza između pojava, jednako kao i kretanje neke pojave, može se izraziti deskriptiv-no, grafički ili jednadžbom. Jednadžba pravca u eksplicitnom obliku glasi y=ax+b. Kada će pravac biti opadajući a kada rastući?

13. Ukupna, prosječna i granična veličina se nalaze određenom odnosu bez obzira je li u pitanju proizvodnja, prihod, trošak ili neka druga ekonomska veličina. Koji su to odnosi? Utječi li dodatak neke fiksne veličine ukupnoj veličini na graničnu veličinu?

14. Ekonomija, kao znanost koja proučava način na koji društva upotrebljavaju ograniče-ne resurse za proizvodnju korisnih dobara i kako ih raspodjeljuju između različitih skupina, obično se dijeli na mikroekonomiju i makroekonomiju. Što izučava mikroekonomija a što makroekonomija? Spada li pitanje ponašanja potrošača na promjene odnosa cijena doma-ćih i uvoznih jabuka u domenu mikroekonomije ili makroekonomije?

�4 �5

3procjenjivanje potražnje

3.1. pROblEM IdENTIfIKAcIJE KRIvUlJE pOTRAžNJE

3.2. MARKETINšKE TEhNIKE pROcJENJIvANJA pOTRAžNJE

�.2.a. Ankete o potrošnji

�.2.b. Tržišni eksperimenti

3.3. pROcJENJIvANJE pOTRAžNJE REGREsIJsKOM ANAlIzOM

�.�.a. Identifikacija varijabla

�.�.b. Prikupljanje podataka o varijablama

�.�.c. Specifikacija oblika funkcije potražnje

�.�.d. Analiza regresijske jednadžbe

3.4. JEdNOsTAvNI REGREsIJsKI MOdEl pOTRAžNJE

�.4.a. Analiza regresijske jednadžbe

Izračun vrijednosti parametara

Preciznost procjene parametara

Interval pouzdanosti procjene koeficijenta regresije

Preciznost procjene regresijske jednadžbe

�.4.b. Primjer analize jednostavnog linearnog modela

�.4.c. Primjer analize jednostavnog nelinearnog modela

3.5. vIšEsTRUKI REGREsIJsKI MOdEl pOTRAžNJE

�.5.a. Analiza regresijske jednadžbe

�.5.b. Primjer analize višestrukog linearnog modela

�.5.c. Primjer analize višestrukog nelinearnog modela

3.6. pROblEMI U REGREsIJsKOJ ANAlIzI

�.6.a. Specificiranje oblika funkcije potražnje

�.6.b. Multikolinearnost

�.6.c. Heteroskedastičnost

�.6.d. Autokorelacija

sAžETAK

KlJUčNE RIJEčI

pITANJA zA RAspRAvU

Temeljna pitanja:

�. Koji je stvarni odnos između potražnje i činitelja potražnje odnosno za koliko će se promijeniti potražnja ako se mijenja vrijednost pojedinog činitelja potražnje?2. Koje se tehnike koriste za procjenjivanja potražnje i koje se njihove osnovne karakteristike?�. Kako upotrijebiti regresijsku analizu za procjenjivanje kvantitativne veze između količine potražnje za nekim dobrom i jedne ili više nezavisnih varijabli?

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

�6

PROBLEM IDENTIFIKACIJE KRIVULJE POTRAŽNJE

�7

Teorija potražnje obično razmatra pojam potražnje i zakon potražnje, cjenovne i necje-novne činitelje potražnje, elastičnost potražnje te način izvođenja krivulje potražnje. Me-đutim, da bi primijenili teoriju u praksi, menedžeri moraju znati stvarni odnos između potražnje i činitelja koji na nju utječu. Imajući u vidu ključnu ulogu koju potražnja ima u većini poslovnih odluka, te činjenicu da je u nekim slučajevima krajnje teško dobiti podat-ke potrebne za kratkoročno, a poglavito za dugoročno predviđanje potražnje, ili pak za utvrđivanje kako promjene pojedinih činitelja utječu na potražnju, potrebno je sagledati mogućnosti odnosno tehnike procjenjivanja potražnje.

Jedan od razloga zašto je teško dobiti točnu procjenu odnosa u potražnji nalazi se u či-njenici da su vrlo često bliski međusobni odnosi između većine ekonomskih varijabla. Tako se krivulja potražnje uobičajeno ocjenjuje na osnovi podataka o prodanoj količini dobra pri različitim cijenama na određenom tržištu u određenom vremenskom razdoblju. Međutim, krivulja potražnje ne može se dobiti jednostavnim povezivanjem točaka koje odgovaraju pojedinim odnosima cijene i potraživane količine, jer je svaka takva točka određena sje-cištem različitih krivulja ponude i potražnje za promatranim dobrom. Razmotrimo primjer prikazan na slikama 1 i 2.

Na slici 1 prikazane su četiri kombinacije cijene i potraživane količine nekog dobra u određenom vremenskom razdoblju na određenom tržištu. Krivulja D koja spaja točke tih kombinacija negativnog je nagiba i pokazuje obratan odnos između cijene koja se mijenja i potraživane količine. Postavlja se pitanje je li ova krivulja ujedno krivulja potražnje za promatranim dobrom? Kažimo odmah da su raspoloživi podaci nedovoljni za zaključak da je krivulja D ujedno krivulja potražnje za promatranim dobrom, što proizlazi iz činjenice da se ravnotežna cijena ne bi mijenjala kad se ne bi pomicale krivulje ponude i potražnje.

3.1. problem identifikacije krivulje potražnje

Slika 1: Krivulja potražnje kao poveznica različitih kombinacija cijene i količine.

Slika prikazuje četiri različite kombinacije cijene i potraživane ko-ličine za nekim dobrom u određenom vremenskom razdoblju na određenom tržištu, označene kao E1, E2, E3 i E4. Spajanjem ovih to-čaka dobije se krivulja D za koju se postavlja pitanje je li ujedno krivulja potražnje za promatranim dobrom.

Međutim, u različitim vremenskim razdobljima ili na različitim tržištima krivulja potražnja za nekim dobrom se pomiče ako se mijenja vrijednost utjecajnih činitelja, kao što su doho-dak potrošača, cijena povezanih dobara ili pak ukusi potrošača. Jednako tako se pomiče i krivulja ponude ako se mijenja vrijednost činitelja koji utječu na pomake krivulje ponude, kao što su cijena činitelja proizvodnje, tehnologija ili neki drugi utjecajni činitelj.

Prema tome, točke R1, R2, R3 i R4 označavaju presjecišta različitih krivulja ponude i potražnje odnosno u pitanju su točke koje ne pripadaju istoj krivulji potražnje. Drugim ri-ječima, do krivulje potražnje nije moguće doći jednostavnim povezivanjem promatranih kombinacija cijene i potraživane količine. Stoga krivulja D na slici 1 nije krivulja potražnje za promatranim dobrom jer nije jednoznačno određena i otud proizlazi problem identifi-kacije odnosno poteškoća izvođenja krivulje potražnje za dobrom iz opaženih točaka koje se izvode iz sjecišta različitih i neopaženih krivulja ponude i potražnje. Kad poduzeće o ovom ne bi vodilo računa napravilo bi pogrešku smatrajući da će se sniženjem cijene sa P1 na P2 povećati potraživana količina sa Q1 na Q2, dok bi takvo sniženje cijene sigurno ima-lo za rezultat puno manje povećanje potraživane količine jer je stvarna krivulja potražnje znatno neelastičnija od krivulje D.

Postavlja se sada pitanje može li i kada može krivulja D biti krivulja potražnje za pro-matranim dobrom, odnosno mogu li se i kada se mogu pokazatelji cijene i količine koristiti za procjenjivanje potražnje. Mogu se koristiti pod sljedećim uvjetima: (1) ako se nije pomi-cala krivulja potražnje odnosno ako su utjecajni činitelji na potražnju stabilni, a pomicala se krivulja ponude, ili (2) ako postoji dovoljno informacija koje određuju kako se svaka od krivulja pomicala u promatranom razdoblju.

Prema tome, kad se krivulja potražnje pomiče, da bi se dobila krivulja potražnje tre-ba utvrditi učinke promjena utjecajnih činitelja na potražnju koji uzrokuju pomake krivulje potražnje za promatranim dobrom, ispraviti pomake krivulje potražnje i tako dobiti izravnu vezu između cijene i potraživane količine koja daje stvarnu krivulju potražnje za dobrom. Krivulju ponude ne treba ispravljati, jer upravo neispravljeni pomaci krivulje ponude uz ispravljenu krivulju potražnje omogućuju dobivanje stvarne krivulje potražnje.

Slika 2: Različite kombinacije cijene i potraživane količine i pro-blem identifikacije.

Krivulja koja spaja točke u kojima se presijecaju krivulje ponude i potražnje nije ujedno i stvarna krivulja potražnje za promatranim dobrom. Razlog tomu je što je svaka kombinacija cijene i količine određena kao presjecište raznih krivulja ponude i potražnje. Na sli-ci su prikazane četiri kombinacije cijene i količine, označene kao E1, E2, E3 i E4, koje se, međutim, ne mogu spojiti da bi se dobila kri-vulja potražnje, jer svaka kombinacija leži na različitim krivuljama ponude i potražnje. U točki E2 presijecaju se krivulje D2 i S2

x

y

0

x

y

0

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

��

MARKETINŠKE TEHNIKE PROCJENJEVANJA POTRAŽNJE

��

Marketinške tehnike su nakon regresijske analize, koja je daleko najkvalitetnija i najkori-štenija tehnika, uobičajeno sredstvo za procjenjivanje potražnje. Ankete o potrošnji i tržiš-ni eksperimenti su dvije najčešće korištene tehnike procjenjivanja potražnje, a koriste se obično ako se ne raspolaže potrebnim podacima koji omogućavaju korištenje regresijske analize.

Prikupljanje podataka ispitivanjem postojećih ili mogućih potrošača o tome kako bi reagi-rali na promjene cijene proizvoda, dohotka, cijena povezanih dobara, troškove oglašavanja i drugih varijabla u funkciji potražnje naziva se anketom o potrošnji ili intervjuom potroša-ča. Prema načinu uspostavljanja kontakta s ispitanicima razlikuju se osobna anketa, anketa telefonom i anketa poštom.

Osobna anketa najviše se koristi i provodi se izravnim kontaktom anketara i ispitanika. Anketa telefonom uglavnom se rabi kad se u kratkom roku nastoje dobiti podaci na temelju malog broja precizno definiranih, kratkih i jasnih pitanja. Za razliku od toga u anketi po-štom ispitanicima se šalju precizno sročeni upitnici s uputstvom za ispunjavanje a primje-njuje se kad se pretpostavlja da će ispitanici radije dati tražene podatke bez prisustva an-ketara ili kad je teritorijalna rasprostranjenost ispitanika od posebnog značenja. Ankete se mogu provoditi na slučajnom uzorku, kao što je, primjerice, osobna anketa u supermarketu ili posebno odabranom uzorku potrošača , kao što je, primjerice, slanje poštom upitnika određenom segmentu potrošača.

Iako se anketom mogu dobiti mnogi korisni podaci koji agregiranjem omogućuju po-duzeću predviđanje potražnje ili čak procjenjivanje određenih parametara u funkciji po-tražnje za nekim dobrom, u zbilji su podaci često nepouzdani zbog toga što ispitanici ne mogu ili ne žele dati precizne odgovore. Naime, tri su zamke u intervjuima potrošača, i to: (1) pogrešan uzorak - anketari pitaju pogrešne ljude, što je posebice moguće kod slučajnog uzorka; (2) pogrešan odgovor - ispitanici odgovaraju onako kako vjeruju da anketar želi čuti (“odličan vam je proizvod i u svakom slučaju nastavit ću ga kupovati”) ili odgovorom poku-šavaju utjecati na donošenje odluke (“ako podignete cijene neću kupovati vaš proizvod”); (3) točnost odgovora - mogućim je potrošačima zbog apstrakcije teško odgovoriti na pita-nja tipa “što-ako”, odnosno teško je odgovoriti, primjerice, na pitanje kako ćeš reagirati na povećanje cijene nekog proizvoda ako taj proizvod ne kupuješ.

Isto tako, kao poteškoća u provođenju ankete o potrošnji potrebito je istaći troškove. Iako postoje specijalizirana poduzeća za provođenje i obradu anketa, ankete na velikom uzorku i s velikim brojem pitanja vrlo su skupe pa je kao i u donošenju bilo koje druge od-luke potrebito uzeti u obzir troškove i koristi dodatne informacije.

Navedene zamke i poteškoće nikako ne znače da ankete o potrošnji nemaju vrijed-nosti ili da su nepotrebne. Tako primjerice ako se anketom utvrdi da većina potrošača ne zna za razliku između cijene proizvoda poduzeća i konkurentskih proizvoda to može biti pokazatelj da je potražnja cjenovno neelastična pa poduzeće neće pokušati povećati po-tražnju, odnosno ukupan prihod smanjivanjem cijene jer će pad cijene dovesti do sma-njivanja ukupnog prihoda. Osim toga nekad su ankete o potrošnji nezamjenljive kad je

3.2. problem identifikacije krivulje potražnje

3.2.a.Ankete o potrošnji

u pitanju dobivanje podataka o mogućoj reakciji potrošača. Tako je primjerice u kratko-ročnom predviđanju potražnje anketa nezamjenljiva u dobivanju podataka o stavovima i očekivanjima potrošača glede budućih uvjeta kupnje ili pak u slučaju uvođenja novog proizvoda ili inovacije postojećeg, anketa je jedini način na koji se mogu doznati buduće reakcije potrošača.

Ako okolnosti dopuštaju često se umjesto anketa o potrošnji rabe tržišni eksperimenti kao tehnika procjenjivanja potražnje koja daje daleko točnije podatke o stvarnom ponašanju potrošača. Tržišni eksperimenti je tehnika procjenjivanja potražnje za nekim dobrom na zbiljskom tržištu ili u laboratorijskim uvjetima, tako da se do procjene potražnje dolazi va-rirajući cijenu i druge determinante potražnje.

Osnovna karakteristika tržišnog eksperimenta koji se poduzima na zbiljskom tržištu sastoji se u odabiru jednog ili više tržišta sa sličnim socioekonomskim obilježjima na ko-jima se prate reakcije kupaca na promjene cijene, ambalaže, oglašavanja i drugih varija-bla u funkcije potražnje. U primjeru ispitivanja utjecaja cijene postupa se na način da se određuju se različite cijene promatranom dobru u različitim vremenskim razdobljima ili se određuju različite cijene promatranom dobru na različitim lokacijama prodavaonica i prate se eventualne razlike u prodaji.

Prednosti ovakvog eksperimenta su u tome što se mogu izvoditi na velikom uzorku te što potrošači i ne znaju da sudjeluju u eksperimentu pa je pouzdanost dobivenih rezulta-ta veća. S druge strane nedostaci su što se uobičajeno izvodi u kratkom vremenskom raz-doblju zbog visokih troškova odakle proizlazi problem kratkoročnih nasuprot dugoročnih efekata, te u poteškoćama koje proizlaze iz nekontroliranih dijelova eksperimenta. Tako promjene ekonomskih uvjeta za vrijeme eksperimenta, kao primjerice otpuštanje radnika većeg poslodavca na području gdje se izvodi eksperiment ili mogućnost konkurencije da ometa eksperiment promjenom cijena svojih proizvoda, mogu umanjiti rezultate, jednako što na rezultate mogu utjecati, primjerice, loši vremenski uvjeti. Osim toga ako poduzeće eksperimentira s visokim cijenama može izgubiti dio kupaca. Ipak tržišni eksperimenti če-sto se rabe kao podloga za vođenje uspješne politike cijena poduzeća.

Drugi tržišni eksperiment je kontrolirani laboratorijski eksperiment gdje je potrošači-ma, koji se odabiru tako da predstavljaju socioekonomsko obilježje promatranog tržišta, na raspolaganju određeni iznos novca i moraju ga u cijelosti potrošiti u simuliranoj proda-vaonici, a uobičajeno je da mogu zadržati dobra koja kupe tijekom eksperimenta. Na taj način pokušavaju se dobiti stvarne reakcije kupaca na promjene cijena, ambalaže i dugih činitelja potražnje.

Ovakav eksperiment ima prednost nad eksperimentom koji se provodi na zbiljskom tržištu zbog veće kontrole mogućih vanjskih utjecaja, te nižih troškova ali ima i nedostata-ka. Najveći je što sudionici u eksperimentu znaju da su dio eksperimenta što može utjecati na njihovo ponašanje pa mogu npr. pokazati veću osjetljivost na promjene cijena nego u svakodnevnoj kupovini. Osim toga zbog visokih troškova ovakvih eksperimenata oni se uobičajeno izvode na manjem uzorku potrošača što smanjuje mogućnost uopćavanja do-bivenih podataka.

3.2.b.Tržišni eksperimenti

Anketa o potrošnjiPrikupljanje podataka ispitivanjem potrošača o tome kako bi reagira-li na promjene pojedinih determi-nanta u funkciji potražnje za odre-đenim dobrom.

Tržišni eksperimentTehnika procjenjivanja potražnje za nekim dobrom na zbiljskom tr-žištu ili u laboratorijskim uvjetima variranjem cijene dobra i drugih determinanta potražnje.

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

40

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE REGRESIJSKOM ANALIZOM

4�

Marketinške tehnike procjenjivanje potražnje, kao što su ankete o potrošnji i tržišni ekspe-rimenti, mogu vrlo korisno poslužiti u procjenjivanju potražnje. Međutim, ako se raspo-laže odgovarajućim podacima prednost bi trebalo dati procjenjivanju potražnje pomoću regresijske analize. Razlog tomu je što regresijska analiza daje objektivniju i pouzdaniju procjenu, a uz to je jeftinija od marketinških tehnika procjenjivanja potražnje. Regresijska analiza je statistička tehnika za ocjenjivanje kvantitativne veze između varijable koju želi-mo objasniti odnosno zavisne varijable, s jedne strane, i jedne ili više nezavisnih varijabla, s druge strane.

Procjenjivanje potražnje regresijskom analizom predstavlja standardizirani postupak koji se izvodi kroz nekoliko koraka. U prvom koraku identificiraju se varijable za koje se pretpostavlja da određuju potražnju za nekim dobrom. Zadaća je drugog koraka prikupiti podatke o varijablama koje su se identificirale u prvom koraku. U trećem koraku specificira se oblik funkcije potražnje za promatranim dobrom. Četvrti korak odnosi se na testiranje ekonometrijskih rezultata odnosno služi za izračun parametara, testiranje signifikantnosti, izračun intervala pouzdanosti te objašnjenje cijele regresije. Nakon toga rezultati se mogu rabiti kao podloga za donošenje poslovnih odluka.

Identifikacija varijabla koje determiniraju potražnju prvi je korak u procjenjivanju potražnje regresijskom analizom. Cilj je ovog koraka otkriti varijable za koje se pretpostavlja da utje-ču na potražnju za promatranim dobrom. U prvom redu pozornost bi trebalo obratiti na varijable koje standardno utječu na potražnju, kao što su cijena promatranog dobra, doho-dak potrošača, cijene povezanih dobara, ukusi potrošača i slično.

Pored standardnih varijabla, posebnu pozornost treba obratiti na specifične varijable kao što su izdaci za oglašavanje, uvjeti kreditiranja, očekivanja potrošača u pogledu kretanja ci-jena u budućnosti, servisna mreža i slično. U primjeru potražnje za automobilima u odnosu na potražnju za obućom posebno važna varijabla bi mogla biti uvjeti kreditiranja odnosno dostupnost kredita. Jednako tako poput snabdjevenosti tržišta rezervnim dijelovima znatno će biti važnija u primjeru potražnje za automobilima nego, primjerice, za namještajem.

U svakom slučaju važnost ove faze procjenjivanja potražnje regresijskom analizom ogleda se u činjenici da svako izostavljanje važne varijable rezultira značajnim pogreška-ma u procjeni potražnje za promatranim dobrom. Jednako tako ne bi trebalo pretjerivati s varijablama u smislu njihova broja, jer preveliki broj varijabli u pravilu dovodi do različitih računskih poteškoća, posebice onih koje se vezuju uz pitanje multikolinearnosti. Smatra se da funkcije potražnje sa četiri do pet nezavisnih varijabli omogućavaju procjenu potražnje bez naročitih ekonometrijskih problema.

Prikupljanje podataka o identificiranim varijablama drugi je korak u procjenjivanju potra-žnje ekonometrijskom analizom. Ovaj je korak iznimno važan, jer od kvalitete prikupljenih podataka i njihove dostupnosti ovisi kvaliteta procjene odnosno njena objektivnost i pouz-

3.3. procjenjivanje potražnje regresijskom analizom

3.3.a.Identifikacija varijabla

danost. Podaci o pojedinoj varijabli mogu se prikupiti u obliku vremenske serije ili kao vre-menski presjek. O podacima u obliku vremenske serije govorimo u slučaju ako se podaci odnose na varijable u vremenu odnosno godišnjem, kvartalnom, mjesečnom ili tjednom vremenskom razdoblju. Podaci izraženi kao vremenski presjek odnose se na različite eko-nomske jedinice, poput pojedinca ili kućanstva, u određenom vremenskom razdoblju kao što su godina, kvartal, mjesec ili tjedan.

Važno je napomenuti da se brojem varijabla ne bi trebalo pretjerivati, jer uvrštavanje velikog broja nezavisnih varijabla, obično više od pet, može imati za posljedicu probleme u izračunavanju. Međutim, iz razmatranja ne smiju izostaviti važne varijable, jer u protiv-nom dobiveni rezultati ne bi odgovarali zbilji. U slučaju da se za neku od varijabli ne mogu prikupiti odgovarajući podaci, uključivši i podatke iz odgovarajućih statističkih publikacija, istraživač se mora poslužiti zamjenskom varijablom odnosno varijablom koja će na dovolj-no dobar način supstituirati osnovnu varijablu. Ankete o potrošnji i tržišni eksperimenti, premda u analizu unose subjektivnost ili mogućnost pogrešnog podatka, mogu biti dovolj-no prihvatljivo sredstvo za spoznaju o varijablama za koje se ne raspolaže odgovarajućim podacima.

Prikupljeni podaci o varijablama za koje se pretpostavlja da utječu na potražnju za pro-matranim dobrom osnova su za određenje funkcije potražnje. U istraživanjima ove vrste obično se koristi linearni ili nelinearni regresijski model potražnje. Linearni model regresije koristi se u slučaju ako se veza između promatranih varijabla može predočiti pravcem. Ne-linearni model regresije primjenjuje se u slučaju ako se veza između promatranih varijabla prikazuje krivolinijski. Koji će se od ova dva modela potražnje bolje odgovarati prikuplje-nim podacima najlakše će se utvrditi na temelju dijagrama rasipanja.

Dijagram rasipanja je grafički prikaz koji se konstruira u pravokutnom koordinatnom sustavu gdje apscisa mjeri nezavisnu a ordinata zavisnu varijablu, pa se unošenjem poda-taka dobivaju točke na temelju čijeg se rasporeda donosi se sud o mogućem obliku funk-cije. Ako su točke takvog raspoređene oko zamišljenog pravca, kao na slici 3a, potražnja se može izraziti linearnom regresijom, a ako su raspoređene oko zamišljene krivulje potra-žnja, kao na slici 3b, potražnja se može izraziti krivolinijskom regresijom. Ako ne postoji

3.3.b.Prikupljanje podataka

o varijablama

3.3.c.Specifikacija oblika funkcije potražnje

Slika 3: Dijagram rasipanja: (a) negativna linearna regresija, (b) pozitivna linearna regresija

Na slici (a) točke su raspoređene oko zamišljenog pravca, pa se u ovom primjeru potražnja može izraziti linearnom regresijom. Veza između promatranih varijabla je negativna, što znači da svaka pro-mjena varijable X dovodi do suprotne promjene varijable Y. Na slici (b) točke su također raspoređene oko zamišljenog pravca, pa se i u ovom primjeru potražnja može izraziti linearnom regresijom. Veza između promatranih varijabla je pozitivna, što znači da svaka promjena varijable X dovodi do istosmjerne promjene varijable Y.

Regresijska analizaStatistička tehnika za ocjenjivanje kvantitativne veze između varijable koju želimo objasniti, odnosno za-visne varijable i jedne ili više neza-visnih varijabla.

Vremenska serijaSet podataka - vrijednosti koje neka varijabla poprima tijekom određe-nog vremenskog razdoblja.

Vremenski presjekPodatci prikupljeni u određenoj je-dinici vremena koji se mogu odno-siti na različite ekonomske subjekte poput pojedinca, kućanstva i dr.

Linearni model regresijeModel koji podrazumijeva posto-janje linearne veze između proma-tranih varijabla.

Nelinearni model regresijeModel koji se primjenjuje kada je veza između analiziranih varijabla nelinearnog karaktera.

Dijagram rasipanjaGrafički prikaz koji položajem to-čaka ukazuje na oblik zavisnosti koji postoji između dviju analizira-nih varijabla.

x

y

0

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

42

JEDNOSTAVNI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

4�

sustavan raspored točaka u dijagramu ne postoji niti korelacija između varijabla, a što je udaljenost točaka od zamišljenog pravca ili krivulje manja korelacija je veća i obratno. Kri-vulja koja se najbolje prilagođava točkama na dijagramu rasipanja zove se linija regresije.

Jedan i drugi model regresije može se pojaviti kao jednostavni i višestruki regresij-ski model. Jednostavni regresijski model podrazumijeva utjecaj samo jedne varijable na potražnju za promatranim dobrom. Primjer za to je potražnja za određenim modelom osobnog automobila na određenom tržištu u ovisnosti od cijene promatranog dobra ili, primjerice, potrošnja paste za zube na različitim razinama dohotka potrošača. Višestruki regresijski model analizira utjecaj na potražnju za određenim dobrom u ovisnosti od utje-caja dviju ili više nezavisnih varijabla. Kao višestruki regresijski model može se analizirati potražnja za određenim modelom osobnog automobila u ovisnosti od cijene promatranog osobnog automobila i cijene benzina, jednako kao i potražnja za pastom za zube u slučaju da je potražnja funkcija cijene i dohotka potrošača.

U završnom, četvrtom, koraku testiraju se ekonometrijski rezultati odnosno analizira se regresijska jednadžba. To podrazumijeva izračun vrijednosti parametara, testiranje signifi-kantnosti, utvrđivanje intervala pouzdanosti te uspješnost objašnjenja cijele regresije. Kada je riječ o vrijednosti parametara posebno je važno imati u vidu da predznak mora odgova-rati teorijskom objašnjenju. Test signifikantnosti je važan kako bi se odredio stupanj povje-renja u procijenjene vrijednosti pojedinog parametra.

Uspješnost objašnjenja cijele regresije između ostalog obuhvaća provjeru u kojoj mje-ri procijenjena funkcija potražnje zadovoljava i druge statističke kriterije. U ovome smislu posebno je važno provjeriti prisustvo multikolinearnosti, heteroskedastičnosti i autokore-lacije. Heteroskedastičnost se češće javlja u slučaju procjenjivanja potražnje na temelju podataka vremenskog presjeka, a autokorelacija na temelju podataka vremenskih serija. U slučaju prisustva bilo koje statistički neprihvatljive pojave, potrebno je u ponovljenom po-stupku izvršiti nužne korekcije.

3.3.d.Analiza regresijske

jednadžbe

Postupak procjenjivanja potražnje regresijskom analizom započinje identifikacijom i prikupljanjem podataka o varijablama te specificiranjem oblika funkcije potražnje. U na-stavku se potom analizira regresijska jednadžba, što u prvom redu podrazumijeva izračun vrijednosti parametara, da bi se potom provela odgovarajuća ekonometrijska testiranja. Potonje obuhvaća izračun preciznosti procjene parametara, procjenu uspješnosti cijele re-gresije te procjenu intervala stvarne vrijednosti potražnje.

Na temelju dijagrama rasipanja moguće je odrediti liniju regresije odnosno oblik funkcije potražnje koja se najbolje prilagođava empirijskim podacima. Pretpostavimo da se empirij-skim podacima najbolje odgovara linija regresije oblika pravca odnosno linearna funkcija potražnje oblika Y=a+bX.

U ovom primjeru potrebno je izračunati vrijednost parametara a i b. Vrijednost para-metra a definira vrijednost odsječka na osi Y odnosno količinu potražnje kad je vrijednost nezavisne odnosno varijable X jednaka nuli. Vrijednost parametra b predstavlja koeficijent nagiba pravca odnosno kazuje za koliko će se promijeniti zavisna odnosno varijabla Y ako se nezavisna odnosno varijabla X promijeni za jednu jedinicu.

Spajanjem točke koja označava količinu potražnje kad je vrijednost nezavisne varijable jednaka nuli sa točkom koja označava količinu potražnje kad je vrijednost nezavisne vari-jable jednaka jedinici ili s točkom koja označava bilo koju drugu vrijednost nezavisne vari-jable dobije se regresijski pravac. Drugačiji oblik funkcije potražnje rezultirao bi, naravno, drugačijim oblikom regresijskog pravca odnosno svako proizvoljno ucrtavanje regresijskog pravca moglo bi rezultirati drugačijim regresijskim pravcem. Međutim, ako se pravac utvr-di kao regresijski pravac na način da je suma kvadriranih okomitih odstupanja svake točke od pravca regresije minimalna tada će svako istraživanje rezultirati potpuno istim pravcem. Metoda kojom se određuje minimum sume kvadriranih okomitih odstupanja naziva se me-todom najmanjih kvadrata.

Okomito odstupanje između stvarne (Yi) i procijenjene potražnje (Ŷi) na razini pojedi-nog promatranja predstavlja pogrešku u procjeni (ei) ili simbolički

(1)

Na temelju definicije metode najmanjih kvadrata zaključujemo kako je cilj procjene da bude što manja suma odstupanja definirana izrazom

(2)

odnosno da bude minimalan zbroj kvadriranih odstupanja, što se izražava na sljedeći način:

(3)

3.4. Jednostavni regresijski model potražnje

3.4.a.Analiza regresijske jednadžbe

Izračun vrijednosti parametara

Linija regresijeKrivulja koja se najbolje prilago-đava točkama na dijagramu rasi-panja.

Jednostavni regresijski modelRegresijski model koji podrazumi-jeva utjecaj samo jedne nezavisne varijable na promjenu zavisne va-rijable.

Višestruki regresijski modelRegresijski model koji koristi dvije ili više nezavisnih varijabla u objaš-njavanju varijacije zavisne varija-ble.

Metoda najmanjih kvadrataMetoda kojom se određuje mini-mum sume kvadrata odstupanja svake opažene točke od pravca re-gresije.

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

44

JEDNOSTAVNI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

45

Minimalizacijom prethodne jednadžbe procijenjene su vrijednosti parametara a i b. Vrijednost parametra izračunava se pomoću sljedećeg izraza:

(4)

gdje su i prosječne vrijednosti Xi i Yi tj. ∑xi=∑(Xi- ), ∑yi=∑(Yi- ) te ∑(Xi- )2.

Parametar zove se koeficijent regresije. Vrijednost parametra kazuje za koliko će se u prosjeku promijeniti zavisna varijabla Y ako se nezavisna varijabla X promijeni za jednu jedinicu odnosno mjeri stopu po kojoj se mijenja Y u odnosu na promjenu X (ΔY/ΔX). Koe-ficijent regresije može imati pozitivni i negativni predznak, pa se još naziva i koeficijentom smjera ili parametrom nagiba.

Parametar â zove se parametar odsječka. Vrijednost parametra â označava vrijednost zavisne varijable kad je nezavisna varijabla jednaka nuli odnosno daje vrijednost Y u točki u kojoj regresijska linija presijeca os Y. Parametar â izračunava se pomoću izraza

(5)

Procjena parametara metodom najmanjih kvadrata i tako dobiveni regresijski pravac ima određena svojstva od kojih se posebice ističe da, promatrano u grafičkom prikazu, re-gresijski pravac prolazi kroz točku koja označava srednju vrijednost Y i X, zatim da se sred-nja vrijednost procijenjene zavisne varijable (=Ŷi) jednaka srednjoj vrijednosti originalne zavisne varijable, tj. te da je srednja vrijednost reziduala ei jednaka nuli.

Iz jednadžbi za izračun vrijednosti parametara evidentno je da je procjena metodom naj-manjih kvadrata funkcija podataka iz izabranog uzorka. Ako bi se za izračun koristio neki drugi uzorak dobile bi se drugačije vrijednosti parametara. Stoga je potrebno ispitati hipo-tezu o postojanju statistički značajnog odnosa između promatranih varijabla.

U postupku testiranja potrebno je prvo izračunati standardnu pogrešku procijenjenih pa-rametara. Standardna greška procjene mjeri preciznost procjene procijenjenih parametra.

Standardna greška pojedinog procijenjenog parametra izračunava se pomoću izraza:

(6)

odnosno izraza

(7)

gdje je n broj promatranja odnosno točaka ili parova vrijednosti korištenih pri procjeni regresijskog pravca, a k broj procijenjenih parametara ili koeficijenata regresije. Vrijed-nost n-k označava stupnjeve slobode (df ). U jednostavnoj regresijskoj analizi vrijednost k je uvijek 2, pa u ovom slučaju izraz za izračun stupnjeva slobode glasi df=n-2.

Preciznost procjene parametara

Standardna pogreška mjeri preciznost procjene. Međutim, da bi eventualno konstati-rali postojanje statistički značajnog odnosa između promatranih varijabla potrebno je po-služiti se t-testom, tj. testom čiji je cilj testirati hipotezu da je stvarna vrijednost parametra jednaka nekom posebnom broju, obično nuli. Kao t-test statističke pouzdanosti koristi se izraz čija se numerička vrijednost naziva t-pokazateljem, a predstavlja odnos procijenjene vrijednosti promatranog parametra i vrijednosti njegove standardne pogreške.

Izraženo simbolički vrijednost t-pokazatelja izračunava pomoću sljedećeg izraza:

(8)

Numerička vrijednost t-pokazatelja koristi se za testiranje hipoteze da je stvarna vri-jednost promatranog parametra jednaka nuli. Veća apsolutna vrijednost t-pokazatelja obič-no ukazuje na veću vjerojatnost da stvarna vrijednost nije jednaka nuli. Međutim, da bi se testirala postavljena hipoteza potrebno je izračunatu vrijednost t-pokazatelja usporediti sa kritičnom t vrijednošću. Kritična t vrijednost označava vrijednost koju t-pokazatelj mora, na razini određenog broja stupnjeva slobode i signifikantnosti, nadmašiti da bi se odbacila hipoteza da je vrijednost promatranog parametra jednaka nuli.

Ako je izračunata vrijednost t-pokazatelja veća od kritične t vrijednosti, koja se očitava iz tablice t-distribucije za određeni broj stupnjeva slobode i određenu razinu signifikantno-sti, tada se odbacuje hipoteza da je vrijednost promatranog parametra jednaka nuli u korist alternativne hipoteze da je vrijednost promatranog parametra različita od nule. Drugim ri-ječima, kad je izračunata t vrijednost veća od kritične t vrijednosti, tada je vrijednost pro-matranog parametra jednaka nuli signifikantno različita od nule, pa se zaključuje da postoji statistički značajan odnos između promatranih varijabla.

Prilikom testiranja uvijek postoji rizik da će test pokazati da je vrijednost promatranog parametra različita od nule iako je stvarna vrijednost jednaka nuli. Razina rizika označava vjerojatnost da će statistički test odbaciti hipotezu iako je hipoteza korektna. Drugim rije-čima, razina rizika označava vjerojatnost da će test ukazati da je vrijednost promatranog parametra različita od nule kad je stvarno jednaka nuli. U regresijskoj analizi testiranje se provodi na 1, 5 ili 10-postotnoj razini rizika.

U uskoj vezi s razinom rizika je razina pouzdanosti. Razina pouzdanosti označava vjerojatnost da će statistički test odbaciti hipotezu kad je hipoteza nekorektna. Razina po-uzdanosti jednaka je, prema tome, jedan minus razina rizika. To znači, ako se, primjerice, testiranje provodi na 5 postotnoj razini rizika, da postoji 95% pouzdanost da je vrijednost t-pokazatelja dovoljno velika da se može biti 95% siguran da stvarna vrijednost nije jed-naka nuli.

Parametar ili koeficijent regresije b kazuje za koliko će promijeniti zavisna varijabla ako se nezavisna varijabla promijeni za jednu jedinicu. Međutim, ako se želi izračunati interval pouzdanosti procjene koeficijenta regresije, to se može učiniti pomoću t-distribucije. Inter-val procjene koeficijenta regresije osnovnog skupa definira se izrazima

(9)

(10)

Interval pouzdanosti procjene koeficijenta regresije

Koeficijent regresijeOcijenjeni parametar regresije koji pokazuje za koliko će se u prosje-ku promijeniti zavisna varijabla ako se nezavisna varijabla promijeni za jednu jedinicu.

Parametar nagibaAlternativan naziv za koeficijent re-gresije.

Standardna greška procjeneMjera preciznosti procjene procije-njenih parametara.

Stupnjevi slobodeTip korekcije izračuna standardne greške pojedinog procijenjenog parametra u regresijskoj analizi koji uzima u obzir broj promatranja te broj procijenjenih parametara ili koeficijenata regresije.

t-testStatistički test koji se koristi za te-stiranje hipoteze da je stvarna vri-jednost parametra jednaka nekom posebnom broju, najčešće nuli.

t-pokazateljOmjer procijenjene vrijednosti promatranog parametra i vrijedno-sti njegove standardne pogreške, a njegova numerička vrijednost nazi-va se t-pokazateljem.

Kritična t vrijednostVrijednost koju t-omjer mora (na razini određenog broja stupnjeva slobode i signifikantnosti) nadma-šiti kako bi se odbacila hipoteza da je vrijednost promatranog parame-tra jednaka nuli.

Razina rizikaVjerojatnost da će statistički test odbaciti hipotezu iako je hipoteza korektna

Razina pouzdanostiVjerojatnost da će statistički test odbaciti hipotezu kada je hipoteza nekorektna.

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

46

JEDNOSTAVNI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

47

Širina intervala u kojem bi trebalo očekivati vrijednost stvarnog parametra ovisi o vri-jednosti t pokazatelja i vrijednosti standardne pogreške procijenjenog parametra. Vrijed-nost t pokazatelja se očitava iz tablice površine na krajevima t distribucije, ovisno o broju stupnjeva slobode i vjerojatnosti izračuna stvarnog parametra.

Pretpostavljajući da se želi 95% sigurnost, kao kritična vrijednost za t pokazatelj uzet će se ona vrijednost koja odgovara broju stupnjeva slobode u stupcu za 5% vjerojatnost. U tom slučaju dobit će se interval koji se nalazi lijevo i desno od vrijednosti procijenjenog parametra za iznos umnoška t pokazatelja i standardne pogreške. Stvarna vrijednost para-metra b će se nalaziti u izračunatom intervalu uz 95% sigurnost. Naravno, izračun intervala pouzdanosti je moguć i za bilo koju drugu vjerojatnost, uvrštavajući u izraz (8) odnosno (9) odgovarajuću vrijednost t pokazatelja iz tablice površine na krajevima t distribucije.

Analiza regresije osim analize procjene parametara također podrazumijeva analizu procje-ne regresije u cjelini odnosno analizu prilagođenosti regresijskog pravca podacima iz kojih je utvrđen. U ovome smislu analiza se provodi pomoću standardne pogreške regresije, ko-eficijenta determinacije i F pokazatelja.

Jedan od uobičajenih pokazatelja prilagođavanja regresijske krivulje je standardna po-greška regresije (seŷ). Standardna pogreška regresije procjenjuje standardnu devijaciju re-gresijske pogreške. Standardna pogreška regresije izračunava se pomoću sljedećeg izraza:

(11)

gdje n označava broj opažanja odnosno parova vrijednosti cijene i količine, a k broj varija-bli uključenih u regresijski model.

Standardna pogreška regresije jednaka je nuli ako sve točke koje označavaju cijene i pri-padajuće količine na dijagramu rasipanja leže na regresijskoj krivulji. Veća standardna pogreš-ka regresije ukazuje da se regresijska krivulja slabije prilagođava podacima iz kojih je utvrđe-na. Da bi se odlučilo je li standardna pogreška regresije velika ili mala, potrebna je usporedba sa srednjom vrijednosti zavisne varijable. Ova usporedba omogućava da se izmjeri relativna veličina standardne pogreške regresije, što je korisniji podatak od njene apsolutne veličine.

Koeficijent determinacije (r2) je relativna mjera koja kazuje koliko se dobro regresij-ski pravac prilagođava podacima. Ako bi između promatranih varijabla veza bila potpuna ili funkcionalna, sve bi originalne vrijednosti zavisne varijable bile jednake vrijednostima regresijskog pravca. U grafičkom prikazu odnosno u prikazu pomoću dijagrama rasipanja bilo bi vidljivo da se sve točke nalaze na regresijskom pravcu. U izračunu bi se također ustanovilo da nema nikakva odstupanja stvarnih vrijednosti zavisne varijable od pravca re-gresije tj. svaka bi pojedina vrijednost ei bila jednaka nuli.

U slučaju da ne postoji nikakvo odstupanje stvarnih vrijednosti zavisne varijable od pravca regresije vrijednost koeficijenta determinacije jednaka je jedinici. U suprotnom slu-čaju, tj. ako između promatranih varijabla ne postoji nikakva veza, koeficijent determina-cije jednak je nuli. Između ovih krajnjih slučajeva nalaze se svi ostali slučajevi čiji se koefi-cijent determinacije približava jedinici što je veza jača odnosno približava nuli što je veza između promatranih varijabla slabija.

U grafičkom prikazu poznatom kao Vennov dijagram, kojega ilustrira slika 4, pojedini krug prikazuje varijacije pojedine varijable. Preklapanje dvaju krugova, na slici prikazano

kao osjenčano područje, indicira širinu u kojoj se varijacije zavisne varijable objašnjavaju varijacijama nezavisne varijable. Što je veći stupanj preklapanja ovih krugova to su u većem stupnju varijacije zavisne varijable objašnjene varijacijama nezavisne varijable. Kad nema preklapanja r2 je jednak nuli, a kad je preklapanje kompletno r2 je jednak jedinici, dok u primjeru djelomičnog preklapanja r2 veći od nule a manji od jedinice.

Da bi razumjeli izračun koeficijenta determinacije potrebno je poći od izraza koji kaže da je pojedina stvarna vrijednost zavisne varijable (Yi) jednaka zbroju odgovarajuće proci-jenjene vrijednosti (Ŷi) i vrijednosti odstupanja procijenjene od stvarne vrijednosti (ei) od-nosno Yi=Ŷi+ei ili yi= . Kvadriranjem lijeve i desne strane potonjeg izraza i sumiranjem uzorka, dobije se sljedeći izraz:

S obzirom da je te prethodni izraz se modificira i glasi

Različite sume kvadrata sadržanih u prethodnom izrazu mogu se opisati na slje-deći način: predstavlja ukupnu sumu kvadrata odstupanja (TSS),

označava objašnjenu suma kvadrata odstupanja (ESS) te definira rezidualnu ili neobjašnjenu sumu kvadrata odstupanja (RSS). Odatle slijedi da je ukupna suma kvadrata odstupanja stvarne od procijenjene vrijednosti zavisne varijable jed-naka zbroju kvadrata objašnjene i neobjašnjene sume kvadrata odstupanja ili TSS= ESS+ RSS. Grafički se odstupanje Yi razlaže na sastavne komponente kao na slici 5.

Ukupna suma kvadrata odstupanja izražava se kao zbroj kvadrata odstupanja pojedine stvarne vrijednosti zavisne varijable od njene prosječne vrijednosti. Objašnjena suma kva-drata odstupanja predstavlja zbroj kvadrata odstupanja pojedine procijenjene vrijednosti zavisne varijable od njene prosječne vrijednosti. Prema tome, koeficijent determinacije se definira na sljedeći način.

Preciznost procjene regresijske jednadžbe

Slika 4: Vennov dijagram kao grafički prikaz koeficijenta determinacije

Koeficijent determinacije je sumarna mjera koja objašnjava koliko se dobro regresijska linija prilagođava podacima. Na slici pojedini krug prikazuje varijacije pojedine varijable. Osjenčeno područje označava površinu preklapanje dvaju krugova, a ukazuje na širinu u kojoj se varijacije zavisne varijable objašnjavaju varijacijama ne-zavisne varijable. Na slici (a) krugovi se uopće ne preklapaju, što znači da varijacije zavisne varijable nisu ni u kakvoj vezi s varija-cijama nezavisne varijable (r2=0). Na slici (b) krugovi se djelomice preklapaju, odakle slijedi da su varijacije zavisne varijable djelomi-ce pod utjecajem nezavisne varijable (0>r2<1). Na slici (c) krugovi se u cijelosti preklapaju, što znači da se varijacije zavisne varijable u cijelosti objašnjavaju varijacijama nezavisne varijable (r2=1).

Standardna pogreška regresijeProcjenjuje standardnu pogreš-ku zavisne varijable s regresijskog pravca. Manja vrijednost standar-dne pogreške regresije ukazuje na bolje prilagođavanje regresijskog pravca promatranim točkama uzor-ka.

Koeficijent determinacijeRelativna mjera koja kazuje koliko se dobro regresijski pravac prilago-đava podatcima.

x

y

0

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

4�

JEDNOSTAVNI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

4�

(12)

Koeficijent determinacije je nenegativna veličina, koja se kreće u rasponu 0 ≤ r2 ≤ 1. Vrijednost koeficijenta determinacije jednaka jedinici znači savršeno prilagođavanje, a jed-naka nuli znači da ne postoji veza između zavisne i nezavisne varijable.

Na kraju kažimo da je u kvantitativnom pogledu koeficijent determinacije blizak, ali konceptualno vrlo različit, koeficijentu korelacije. Koeficijent korelacije mjeri stupanj po-vezanosti između dviju varijabla. Izračunava se pomoću izraza

(13)

Glavna svojstva koeficijenta korelacije sastoje se u sljedećem: (1) koeficijent korelacije može biti pozitivan ili negativan, pri čemu pozitivna vrijednost znači da promjena neza-visne varijable izaziva istosmjernu promjenu zavisne varijable, (2) vrijednost koeficijenta korelacije se može protezati između -1 i +1 tj. -1 ≤ r ≤ 1, (3) koeficijent korelacije je sime-tričan u smislu da je koeficijent korelacije između X i Y (rXY ) jednak koeficijentu korelacije između Y i X (rYX ), (4) ako su X i Y statistički nezavisni, koeficijent korelacije između njih je nula, međutim ako je r=0 to ne znači da su promatrane varijable nezavisne tj. koeficijent korelacije jednak nuli nužno ne implicira nezavisnost.

U regresijskom kontekstu koeficijent determinacije je značajnija mjera od koefi-cijenta korelacije, jer koeficijent determinacije, za razliku od koeficijenta korelacije, objaš-njava u kojoj mjeri varijacija u jednoj varijabli određuje varijaciju u drugoj varijabli. Štoviše, regresijska analiza podrazumijeva da promjene zavisne varijable potječu od promjena ne-zavisne varijable, dok korelacijska analiza mjeri samo stupanj povezanosti između proma-tranih varijabla, bez nakane da ukaže na kauzalitet ili ovisnost. Drugim riječima, regresijska se analiza provodi samo ako teorija ukazuje na kauzalitet odnosno da možemo očekivati kako promjena nezavisne varijable rezultira promjenom zavisne varijable.

Ukupna uspješnost objašnjenja regresije može se ispitati pomoću F-pokazatelja. F-pokazatelj se koristi da bi se ispitala hipoteza u kojoj mjeri objašnjena suma kvadrata tu-

Slika 5: Razlaganje varijacije Yi na dvije komponente.

Na slici je na primjeru jedne točke grafički objašnjen pojam uku-pne (TSS), objašnjene (ESS) i rezidualne ili neobjašnjene (RSS) sume kvadrate odstupanja. Ukupno odstupanje jednako je okomi-toj razlici stvarne i prosječne vrijednosti. Objašnjeno odstupanje dio je ukupne varijacije kojega čini razlika procijenjene i prosječne vrijednosti zavisne varijable. Neobjašnjeno odstupanje predstavlja razliku između procijenjene i prosječne vrijednosti zavisne varija-ble odnosno.

mači rezidualnu sumu kvadrata. Drugim riječima, F-pokazatelj se koristi kako bi se ispitala hipoteza da su svi koeficijenti regresije jednaki nuli odnosno, nasuprot alternativnoj hipo-tezi, da svi nisu jednaki nuli. Izraz za izračun vrijednosti F-pokazatelja glasi:

(14)

gdje je n broj promatranja odnosno parova vrijednosti zavisne i nezavisne varijable, a k broj procijenjenih parametara ili koeficijenata regresije.

Da bi se odgovorilo na pitanje jesu li svi koeficijenti regresije jednaki nuli potrebno je usporediti izračunatu ili regresijsku vrijednost F-pokazatelja s kritičnom vrijednosti iz ta-blice F-razdiobe koja se nalazi na kraju knjige. Kritična vrijednost se očitava iz tablice za odgovarajuću razinu signifikantnosti te broj stupnjeva slobode u brojniku (k-1) i nazivniku (n-k). Ako je izračunata vrijednost F-pokazatelja veća od kritične vrijednosti odbacuje se hipoteza da su svi koeficijenti regresije jednaki nuli odnosno da nema statistički signifikan-tnog odnosa između promatranih varijabla.

S obzirom da se u ovom tekstu uglavnom pozornost usredotočuje na linearne modele, važ-no je znati što stvarno znači termin linearan. Ovaj pojam se u odnosu na regresijski model može interpretirati na dva različita načina. Jednom u odnosu na pitanje linearnosti parame-tara sadržanih u regresijskom modelu, a drugi put u odnosu na pitanje linearnosti varijabla koje obuhvaća regresijski model.

O linearnosti varijabla se govori u slučaju ako je zavisna varijabla linearna funkcija nezavisne varijable, kao, primjerice, u slučaju regresijske funkcije oblika Y=a+bX. Geo-metrijski promatrano, u ovom primjeru regresijska krivulja je oblika pravca. Nasuprot ovoj regresijskoj funkciji, regresijska funkcija oblika Y=a+bX2 nije linearna funkcija zato što se varijabla X pojavljuje sa potencijom ili eksponentom 2.

Linearnost parametara je prisutna ako je zavisna varijabla linearna funkcija njenih pa-rametara, pri čemu linearnost varijabla ne mora nužno biti osigurana. Regresijska funkcija oblika Y=a+bX2 je linearna u njenim parametrima, dok funkcija oblika Y=a+ X to nije.

Od dvije interpretacije linearnosti, relevantna je linearnost parametara. Stoga u na-stavku izlaganja o regresijskoj analizi, pojam linearnosti treba razumjeti kao linearnost parametara, tj. parametri se promatraju isključivo na prvu potenciju. Zaključno se može kazati da regresijska funkcija oblika Y=a+bX, jednako kao i Y=a+bX2, zadovoljava ovaj uvjet, uz razliku da je prva funkcija linearna u parametrima i varijabli, a druga samo u pa-rametrima.

Primjenu jednostavne regresijske analize ilustriramo na primjeru potražnje za jednim dobrom u odnosu na kretanje njegove cijene. Analiza se temelji na 10 promatranja odnosa cijene i količine potražnje, koja se daje u tablici 2. Konačni cilj analize je utvrditi postoji li između promatranih varijabla statistički značajna veza. Do odgovora na ovo pitanje dolazi se pomoću analize koja se izvodi u nekoliko koraka. U prvom koraku cilj je pomoću dija-grama rasipanja utvrditi oblik veze između promatranih varijabla, da bi se potom, u dru-gom koraku, izračunala vrijednost parametara odnosno u trećem koraku obavila potrebna testiranja parametara i regresijske jednadžbe u cjelini.

3.4.b.Primjer analize jednostavnog linearnog modela potražnjeKoeficijent korelacije

Koeficijent koji mjeri stupanj pove-zanosti između dviju varijabla.

F-testStatistički test koji se koristi kako bi se ispitala hipoteza u kojoj mje-ri objašnjena suma kvadrata tumači rezidualnu sumu kvadrata.

x

y

0

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

50

JEDNOSTAVNI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

5�

Na temelju podataka o potražnji (Yi) i cijeni promatranog dobra (Xi) sadržanih u tablici 2 konstruiran je dijagram rasipanja kojega prikazuje slika 6. Na temelju dijagrama rasipanja procijenjeno je da bi se između promatranih varijabla kao odgovarajuća mogla testirati li-nearna veza oblika Y=a+bX.

Polazeći od pretpostavke o linearnoj povezanosti potražnje za promatranim dobrom kao zavisne varijable i cijene promatranog dobra kao nezavisne varijable, na temelju poda-taka sadržanih u tablici 2, izvršeni su odgovarajući izračuni koji su potrebni za regresijsku analizu. Rezultati potonjih izračuna daju se u tablici 3.

Uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti iz tablice 3 u izraz (7) dolazi se do vrijednosti parametra , koji u konkretnom primjeru iznosi

Jednako tako uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti iz tablice 3 u izraz (8) izračunava se vrijednost parametra â, koji u analiziranom primjeru iznosi

S obzirom na odabranu regresijsku funkciju, u konkretnom slučaju jednadžba pravca regresije glasi

Iz naprijed navedene jednadžbe zaključujemo da će pri nultoj cijeni potražnja proma-tranog dobra iznositi 191,277 jedinica, dok će se za svaku jedinicu promjene cijene potra-žnja promijeniti u suprotnom smjeru od promjene cijene za 9,423 jedinica. Pomoću regre-sijske jednadžbe moguće je procijeniti vrijednost zavisne varijable za bilo koju vrijednost nezavisne varijable. U stupcu (7) u tablici 3 upisane su vrijednosti procijenjene potražnje na razini promatranih cijena. Kao što se može vidjeti u tablici, zbroj procijenjenih vrijedno-sti jednak je zbroju originalnih vrijednosti, što je inače obvezujuće pravilo.

Na temelju dobivene jednadžbe odnosno vrijednosti sadržanih u stupcu (7) tablice 3, na slici 7 prikazan je regresijski pravac. Na ovoj slici također su ucrtane dvije okomi-ce, jedna na horizontalnu os i označava prosječnu vrijednost nezavisne varijable, a druga na vertikalnu os, koja označava prosječnu vrijednost zavisne varijable. Regresijski pravac mora prolaziti kroz točku u kojoj se sijeku ove dvije okomice. Zaključno kažimo da bi sva-ki drugi regresijski pravac bio lošija aproksimacija stvarnih vrijednosti odnosno rezultirao bi većom sumom kvadriranih okomitih odstupanja originalnih vrijednosti od regresijskog pravca.

Potražnja (Yi) Cijena (Xi)

95 10,0

60 15,0

75 12,0

90 10,5

85 11,0

70 12,5

55 13,0

65 14,0

100 9,5

120 9,0

∑-815 ∑-116,5Tablica 2: Potražnja za dobrom na razini promatranih cijena

Slika 6: Dijagram rasipanja - potražnja za dobrom na razini promatra-nih cijena.

Dijagram rasipanja prikazuje parove vrijednosti cijene i količine u pro-storu kojega omeđuje horizontalna os koja prikazuje cijenu i vertikalna os koja prikazuje potražnju za promatranim dobrom. Na temelju ras-poreda točaka procjenjuje se da bi se podacima najbolje prilagođavala linearna krivulja oblika Y=a+bX.

Tablica 3: Izračun pojedinih vrijed-nosti koje se koriste u regresijskoj analizi

XiYi

yi=Yi-Y

xi=XiX

xiyi yi2 xi

2 Yi

ei= Yi-Yi

Yiei ei2 yi

2= (Yi-Y)2

950 13,5 -1,65 -22,275 182,25 2,7225 97,0478 -2,048 -198,73 4,19 240,25

900 -21,5 3,35 -72,025 462,25 11,2225 49,9333 10,067 502,66 101,34 998,56

900 -6,5 0,35 -2,275 42,25 0,1225 78,2020 -3,202 -250,40 10,25 10,89

945 8,5 -1,15 -9,775 72,25 1,3225 92,3364 -2,336 -215,73 5,46 116,64

935 3,5 -0,65 -2,275 12,25 0,4225 87,6249 -2,625 -230,01 6,89 37,21

875 -11,5 0,85 -9,775 132,25 0,7225 73,4906 -3,491 -256,52 12,18 64,00

715 -26,5 1,35 -35,775 702,25 1,8225 68,7791 -13,779 -947,71 189,86 161,29

910 -16,5 2,35 -38,775 272,25 5,5225 59,3562 5,644 334,99 31,85 488,41

950 18,5 -2,15 -39,775 342,25 4,6225 101,7593 -1,759 -179,02 3,09 412,09

1080 38,5 -2,65 -102,025 1482,25 7,0225 106,4707 13,529 1440,47 183,04 625,00

9160 0,0 0,00 -334,750 3702,50 35,5250 815,0002 0,000 0,00 548,17 3154,34

x

y

0

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

52

JEDNOSTAVNI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

5�

Slika 7: Pravac regresije oblika Yi=���,277-�,42�Xi

Na slici je prikazan regresijski pravac čiji su parametri ocijenjeni meto-dom najmanjih kvadrata. Vrijednost parametra â=191,277 i označava vrijednost pri kojoj regresijski pravac presijeca vertikalnu os odnosno visinu potražnje pri nultoj cijeni. Parametar b, čija je vrijednost -9,423, označava nagib regresijskog pravca odnosno za koliko se promijeni potražnja ako se cijena promijeni za jednu jedinicu. Ucrtani regresijski pravac udovoljava i pravilu da mora prolaziti kroz točku u kojoj se sije-ku okomice koje označavaju prosječnu cijenu i prosječnu potražnju.

Na temelju dobivene jednadžbe odnosno vrijednosti sadržanih u stupcu (7) tablice 3, na slici 7 prikazan je regresijski pravac. Na ovoj slici također su ucrtane dvije okomi-ce, jedna na horizontalnu os i označava prosječnu vrijednost nezavisne varijable, a druga na vertikalnu os, koja označava prosječnu vrijednost zavisne varijable. Regresijski pravac mora prolaziti kroz točku u kojoj se sijeku ove dvije okomice. Zaključno kažimo da bi sva-ki drugi regresijski pravac bio lošija aproksimacija stvarnih vrijednosti odnosno rezultirao bi većom sumom kvadriranih okomitih odstupanja originalnih vrijednosti od regresijskog pravca.

Međutim, dobivena regresijska jednadžba se treba analizirati sa stajališta signifikantno-sti njezinih parametara i regresije u cjelini. U prvom redu je potrebno izračunati standardnu pogrešku parametra . Da bi se izračunala standardna pogreška parametra prema izrazu (9) potrebno je prethodno izračunati ei

2 te sumu kvadrata odstupanja odnosno . Uvrštavanjem odgovarajućih podataka u izraz (9) slijedi da je

Da bi se testirala statistička signifikantnost parametra potrebno je izračunati njegovu vrijednost t-pokazatelja. Vrijednost t-pokazatelja se izražava kao omjer vrijednosti procije-njenog parametra i standardne pogreške, odnosno

Na razini 95% pouzdanosti odnosno 5% rizika te 10 promatranja i 10-2=8 stupnjeva slobode, kritična vrijednost t-pokazatelja očitana iz tablice na kraju knjige iznosi 2,306. Izračunata vrijednost t-pokazatelja je veća od 2,306, što znači da je signifikantno različit od nule.

U postupku vrednovanja regresijske jednadžbe prvo je potrebno izračunati standardnu pogrešku ili devijaciju regresije, koja mjeri razliku između stvarnih i procijenjenih vrijedno-sti zavisne varijable. U analiziranom primjeru standardna pogreška regresije iznosi

Izračunata vrijednost standardne devijacije regresije precizira koliko jedinica u prosje-ku procijenjene vrijednosti odstupaju stvarnih vrijednosti.

Koeficijent determinacije (r2) mjeri, kao što je naprijed kazano, koliki je udio objašnje-ne u ukupnoj sumi kvadrata odstupanja zavisne varijable od njene prosječne vrijednosti. Uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti u izraz (11) slijedi da je

Izračunata vrijednost koeficijenta determinacije znači da je u ukupnoj sumi kvadrata odstupanja zavisne varijable od njene prosječne vrijednosti objašnjeno 85,2% odstupanja.

U vrednovanju regresijske jednadžbe pored koeficijenta determinacije može se, kao što je naprijed istaknuto, kao pokazatelj koristiti i prilagođeni koeficijent determinacije . Prilagođeni koeficijent determinacije izračunava se prema izrazu. U analiziranom primjeru njegova je vrijednost

F-pokazatelj se koristi da bi se ispitalo u kojoj mjeri objašnjena suma kvadrata tumači rezidualnu sumu kvadrata odstupanja stvarnih vrijednosti od procijenjenih vrijednosti od-nosno koristi se s ciljem da se ispita hipoteza da su svi koeficijenti regresije jednaki nuli, nasuprot alternativnoj hipotezi da svi nisu jednaki nuli. Uvrštavanjem u izraz slijedi da je vrijednost ovog pokazatelja jednaka

Usporedbom izračunate ili regresijske vrijednosti F-pokazatelja sa kritičnom vrijedno-sti iz tablice koja se daje na kraju knjige donosi se zaključak o prihvaćanju nulte odnosno alternativne hipoteze. U tablici za razinu signifikantnosti od 5% te 1 stupanj slobode za brojnik i 8 stupnjeva slobode za nazivnik kritična vrijednost F-pokazatelja iznosi 5,32. S obzirom da je izračunata vrijednost F-pokazatelja veća od tablične vrijednosti zaključuje-mo kako treba odbaciti nultu hipotezu koja je pretpostavila da ne postoji statistički signifi-kantan odnos između promatranih varijabla.

S obzirom na izračunatu i tabličnu vrijednost F-pokazatelja dolazi u obzir postavljenu hipotezu testirati i na razini 1% signifikantnosti. Na razini signifikantnosti od 1% tablična vrijednost F-pokazatelja iznosi 11,3. Izračunata vrijednost je još uvijek veća od tablične, pa se zaključuje kako treba odbaciti nultu hipotezu i na razini signifikantnosti od 1%.

x

y

0

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

54

JEDNOSTAVNI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

55

3.4.cPrimjer analize

jednostavnog nelinearnog modela

potražnje

Pretpostavimo da se funkcija potražnje za nekim dobrom želi istražiti kao eksponencijalna funkcija oblika

Logaritmiranjem lijeve i desne strane izraz se transformira u linearnu funkciju oblika

Ova funkcija potražnje može poslužiti za izračunavanje parametara a i b, te za potreb-na testiranja, s time da se u odgovarajuće izraze umjesto varijabla Y i X uvrštavaju njihove logaritamske vrijednosti odnosno log Y i log X.

U tome se slučaju izraz (7) za izračun vrijednosti parametra modificira i glasi:

Za izračun vrijednosti parametra â, koja se u linearnom modelu izračunava pomoću izraza (8), upotrijebit će se sljedeći izraz:

Nadalje, standardnu pogrešku procijenjenog parametra b, koja se u linearnom modelu izračunava pomoću izraza (9), u nelinearnom modelu izračunat će se pomoću sljedećeg izraza:

Podaci za izračun vrijednosti parametra â i na primjeru podataka koji su korišteni u linearnoj regresijskoj analizi sadržani su u tablici 4.

Procijenjenu vrijednost regresijskog parametra b dobije se uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti iz tablice 4 u izraz, odakle slijedi da je

Uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti iz tablice 4 u izraz dobije se procijenjena vri-jednost regresijskog parametra a, odnosno

U postupku regresijske analize, nakon izračuna regresijskih parametara, potrebno je provesti odgovarajuća testiranja. U prvom redu je potrebno izračunati standardnu pogreš-ku ovih parametara, a potom provesti i njihovo testiranje. Podaci za ovaj dio regresijske analize sadržani su u tablici 3 odnosno 4.

Standardna pogreška regresijskog parametra b izračunava se pomoću izraza. U kon-kretnom primjeru standardna pogreška iznosi

Standardna pogreška mjeri preciznost procjene, međutim, da bi provjerili postojanje statistički značajnog odnosa između promatranih varijabla potrebno je izračunati vrijed-nost t-pokazatelja. U konkretnom primjeru vrijednost ovog pokazatelja iznosi

Na temelju usporedbe izračunate i kritične t-vrijednosti donosi se zaključak o prihvaća-nju ili odbacivanju hipoteze da je vrijednost parametra b jednaka nuli. Kritična t-vrijednost se očitava iz tablice t-distribucije i, na razini dva stupnja slobode i 95% pouzdanosti, iznosi 4,303. S obzirom da je izračunata t-vrijednost veća od tablične zaključuje se da je b signifi-kantno različit od nule odnosno da između promatranih varijabla postoji značajan odnos.

Nakon analize procijenjenih vrijednosti parametara potrebno je analizirati regresiju u cjelini. Ova analiza ima za cilj utvrditi koliko se dobro regresijski pravac prilagođava poda-cima iz kojih je utvrđen. Prilagođenost regresijskog pravca izražava se pomoću koeficijenta determinacije.

Koeficijent determinacije izračunava uvrštavanjem odgovarajućih podataka iz tablice 5 u izraz odnosno

Tablica 4: Izračun pojedinih vrijed-nosti koje se koriste u regresijskoj analizi

Yi Xi log Yi log Xi yi2 xi =

log Xi-log Xi

xi = log Yi-log Yi

xi2 log Yi

95 10,0 1,9777 1,0000 0,0785 -0,0607 -0,0048 0,0037 1,9830

60 15,0 1,7782 1,1761 -0,1211 0,1154 -0,0140 0,0133 1,7411

75 12,0 1,8751 1,0792 -0,0241 0,0185 -0,0004 0,0003 1,8742

90 10,5 1,9542 1,0212 0,0550 -0,0395 -0,0022 0,0016 1,9539

85 11,0 1,9294 1,0414 0,0302 -0,0193 -0,0006 0,0004 1,9261

70 12,5 1,8451 1,0969 -0,0541 0,0362 -0,0020 0,0013 1,8498

55 13,0 1,7404 1,1139 -0,1588 0,0533 -0,0085 0,0028 1,8264

65 14,0 1,8129 1,1461 -0,0863 0,0855 -0,0074 0,0073 1,7822

100 9,5 2,0000 0,9777 0,1008 -0,0830 -0,0084 0,0069 2,0136

120 9,0 2,0792 0,9542 0,1800 -0,1064 -0,0192 0,0113 2,0459

815 116,5 18,9922 10,6068 0,0000 0,0000 -0,0673 0,0489 18,9963

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

56

VIŠESTRUKI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

57

Izračunata vrijednost koeficijenta determinacije kazuje da je u ukupnoj sumi kvadrata odstupanja zavisne varijable od njene prosječne vrijednosti objašnjeno 89,4% odstupanja. U usporedbi s koeficijentom determinacije u linearnom obliku regresijske jednadžbe, koji je iznosio 0,852, testirani nelinearni model se bolje prilagođava empirijskim podacima.

Pored koeficijenta determinacije za vrednovanje odabrane regresijske jednadžbe mo-guće je koristiti i prilagođenim koeficijentom determinacije ( ). U analiziranom regresij-skom modelu prilagođeni koeficijent determinacije iznosi

Pored koeficijenta determinacije i prilagođenog koeficijenta determinacije vrlo važan pokazatelj u regresijskoj analizi je F-pokazatelj. U konkretnom primjeru vrijednost ovog pokazatelja iznosi

Kritična vrijednost F-pokazatelja koja se navadi u tablici na razini 5% signifikantnosti te 1 stupanj slobode za brojnik i 8 stupnjeva slobode za nazivnik iznosi 5,32. S obzirom da je izračunata vrijednost F-pokazatelja veća od tablične zaključujemo kako treba prihvatiti alternativnu hipotezu koja je pretpostavila da između promatranih varijabla postoji stati-stički signifikantan odnos. Jednako tako se može konstatirati statistički signifikantan odnos i na razini 1% signifikantnosti.

Konačno, s obzirom na rezultate testiranja, zaključujemo kako se dobiveni regresijski model može upotrijebiti za procjenjivanje potražnje. Procijenjene vrijednosti parametara su =3,3567 odnosno =-1,37413, odakle slijedi da je jednadžaba regresije slijedećeg oblika:

Tablica 5: Izračun pojedinih vrijed-nosti koje se koriste u regresijskoj analizi

ei = log Yi-log Yi

ei2 yi =

log Yi-log Yiyi

2 yi2 log Yi Yi

-0,0053 0,000017061 0,0838 0,007019 0,0061654 1,9830 96,1612

0,0371 0,001109274 -0,1582 0,025017 0,0146531 1,7411 55,0935

0,0009 0,000185306 -0,0250 0,000626 0,0005827 1,8742 74,8514

0,0004 0,000942037 0,0547 0,002988 0,0030294 1,9539 89,9291

0,0033 0,007410875 0,0269 0,000724 0,0009132 1,9261 84,3529

-0,0047 0,000022521 -0,0494 0,002438 0,0029268 1,8498 70,7620

-0,0861 0,000010823 -0,0728 0,005296 0,0252301 1,8264 67,0502

0,0307 0,000000126 -0,1170 0,013690 0,0074460 1,7822 60,5620

-0,0136 0,000000728 0,1144 0,013086 0,0101606 2,0136 103,1811

0,0333 0,001376236 0,1467 0,021507 0,0323928 2,0459 111,1476

-0,0041 0,000027878 0,0041 0,092391 0,1035002 - -

U stvarnom ekonomskom životu jednostavni regresijski model može se primijeniti u mno-gim primjerima, međutim, jednako tako postoje mnogi slučajevi u kojima varijacije zavisne varijable ovise o dvije ili više nezavisnih ili eksplanatornih varijabla. Višestruki regresijski model je vrsta regresijskog modela koji koristi više od jedne nezavisne ili eksplanatorne varijable u objašnjavanju varijacije zavisne varijable. Višestruki regresijski model potražnje mjeri za koliko će se promijeniti zavisna varijabla ako se svaka pojedina nezavisna varija-bla u funkciji potražnje promjeni za jednu jedinicu, držeći ostale nezavisne varijable ne-promijenjenim.

Za koliko će se promijeniti zavisna varijabla, jednako kao u jednostavnom regresij-skom modelu potražnje, kazuje pojedini regresijski parametar koje se vezuje uz pojedinu nezavisnu varijablu. To znači da regresijski parametar uz pojedinu nezavisnu varijablu ka-zuje za koliko će promijeniti zavisna varijabla ako se pojedina nezavisna varijabla uz koju se vezuje promatrani regresijski parametar promijeni za jednu jedinicu, držeći ostale neza-visne varijable nepromijenjenim.

U višestrukom linearnom modelu potražnje oblika Q = a + bP + cA + dI , gdje Q predstavlja potraživanu količinu odnosnog dobra, P cijenu dobra, A troškove ili izdatke za oglašavanje, a I raspoloživi dohodak, parametar b, c i d mjeri promjenu zavisne varijable do koje dolazi ako se pripadajuća nezavisna varijabla promijeni za jedinicu, držeći ostale varijable konstantnim. Ako je, primjerice, b=-2, tada povećanje P rezultira smanjenjem po-tražnje za 2 jedinice, držeći A i I konstantnim. Ako je, primjerice, c=0,5, tada će povećanje izdataka za oglašavanje za jednu jedinicu prouzročiti povećanje potraživane količine za pola jedinice promatranog dobra, držeći nepromijenjenim P i I.

Analiza regresijske jednadžbe u modelu višestruke regresije, slično analizi u modelu jedno-stavne regresije, podrazumijeva izračun vrijednosti parametara, testiranje preciznosti pro-cjene parametara, uspješnost objašnjenja regresije te procjenu intervala stvarne vrijednosti potražnje.

Procjena vrijednosti parametara jednadžbe višestruke regresije u osnovi je isti kao u primjeru jednostavne regresije. U numeričkom primjeru koji se daje na kraju izlaganja o višestrukoj regresiji prikazan je izračun vrijednosti parametara na klasičan način. Međutim, s obzirom da je postupak izračuna u primjeru višestruke regresije složeniji, nezaobilazna je pomoć elektroničnog računala koji u ispisu standardno navodi standardnu pogrešku i t-po-kazatelj procijenjenih regresijskih parametara, zatim prilagođeni i neprilagođeni koeficijent determinacije, F-pokazatelj te još neke pokazatelje koji se koriste u analizi.

Preciznost procjene pojedinog parametra, jednako kao u primjeru jednostavne regre-sije, mjeri se pomoću standardne pogreške. U računalnom ispisu, kao što je naprijed ista-knuto, navodi se vrijednost standardne pogreške pojedinog parametra. Uz ovu vrijednost također se daje i vrijednost t-pokazatelj procijenjenih regresijskih parametara.

Uspješnost objašnjenja regresije u primjeru višestruke regresijske analize procjenjuje se pomoću koeficijenta determinacije (r2) i prilagođenog r2. Koeficijent determinacije se koristi i ima isto značenje kao u jednostavnoj regresijskoj analizi. Pored koeficijenta deter-

3.5. višestruki regresijski model potražnje

3.5.a.Analiza regresijske jednadžbe

Višestruki regresijski modelRegresijski model koji koristi dvije ili više nezavisnih varijabla u objaš-njavanju varijacije zavisne varija-ble.

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

5�

VIŠESTRUKI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

5�

minacije u primjeru višestruke regresije potrebno je, stoga što broj stupnjeva slobode opada kako se u regresiju uključuju dodatne nezavisne varijable, izračunati i prilagođeni koefici-jent determinacije ( ). Prilagođeni koeficijent determinacije kazuje kolika je objašnjena suma kvadrata odstupanja u ukupnoj sumi kvadrata odstupanja na razini određenog broj stupnjeva slobode. Prilagođeni koeficijent determinacije izračunava se pomoću sljedećeg izraza:

(15)

gdje n označava broj promatranja ili parova vrijednosti a k broj procijenjenih parametara ili koeficijenata regresije. S obzirom da se uvođenjem dodatnih varijabla u regresijski model smanjuje broj stupnjeva slobode, smanjuje se i postotak ukupne sume kvadrata odstupanja koji je protumačen objašnjenom sumom kvadrata. Drugim riječima, koeficijent determina-cije uvijek je veći od prilagođenog koeficijenta determinacije.

Međutim, nijedan od ovih koeficijenata ili pokazatelja ne daje odgovor na pitanje kada je prilagođenost dovoljno dobra odnosno što je dovoljno dobro u smislu potrebe za određenom razinom prilagođenosti. Odgovor na ovo pitanje daje F-omjer ili F-pokazatelj. F-pokazatelj predstavlja omjer objašnjene sume kvadrata odstupanja (ESS) podijeljen s k-1 stupnjeva slobode i neobjašnjene ili rezidualne sume kvadrata odstupanja (RSS) podijeljene s n-k stupnjeva slobode, tj.

(16)

(17)

gdje k označava broj procijenjenih parametara, a n broj promatranja ili parova vrijednosti.Vrijednost F-pokazatelja utvrđena izrazom (11) uspoređuje se s kritičnom vrijednosti

koja se daje u F-tablici na kraju knjige. Kritična F-vrijednost se definira za dva posebna pokazatelja stupnjeva slobode, k-1 i n-k, te razinu povjerenja. Ako je izračunata vrijednost F-pokazatelja iznad kritične F-vrijednosti, regresijska jednadžba je statistički signifikantna na specificiranoj razini povjerenja.

Svi pokazatelji koji su potrebni u regresijskoj analizi, kao što su procjena parametara, standardna greška, koeficijent determinacije i F-omjer, mogu se automatski dobiti pomoću bilo kojeg od brojnih računalnih programa. U nastavku će se prikazati postupak regresijske analize, pri čemu ovaj prikaz ima dvojaki cilj - upoznati s postupkom izračuna i interpre-tacijom rezultata.

Konačno, na temelju poznatih vrijednosti parametara moguće je procijeniti vrijednost zavisne varijable odnosno potražnje na pojedinim razinama nezavisnih varijabla. Tako će, primjerice, za jednadžbu regresije oblika Yi=15,25+1,5X1+1,75X2 procijenjena vrijednost potražnje na razini X1=5 i X2=8 iznositi

Na promatranoj razini vrijednosti nezavisnih varijabla procjenjuje se da će potražnja iznositi 36,75 jedinica promatranog dobra. Na isti način bi se postupilo u slučaju da se želi procijeniti potražnja za promatranim dobrom na bilo kojoj drugoj razini vrijednosti nezavi-snih varijabla. Međutim, u navedenom primjeru, jednako kao i u svakom drugom primjeru, utvrđena vrijednost predstavlja procijenjenu vrijednost, dok će se stvarna vrijednost kretati oko procijenjene vrijednosti.

U kojem će se intervalu kretati stvarna vrijednost potražnje ovisi o standardnoj pogreš-ki cijele regresije. Što je manja vrijednost standardne pogreške cijele regresije to će biti uži interval u kojem će se kretati stvarna vrijednost potražnje, a to ujedno znači da se regre-sijski pravac bolje prilagođava točkama iz uzorka. Procjena intervala na razini određene pouzdanosti definira se izrazom

(18)

gdje označava procijenjenu vrijednost potražnje, z predstavlja parametar koji se očitava iz tablice površina ispod krivulje normalne distribucije za odgovarajuću vjerojatnost, dok

označava standardnu pogrešku cijele regresije.Interval u kojem bi se trebala kretati stvarna vrijednost potražnje za naprijed navedenu

jednadžbu regresije, pretpostavljajući da je standardna pogreška cijele regresije 3,45 te da se želi izračun uz 95% pouzdanost, iznosio bi

odnosno

Drugim riječima, stvarna vrijednost potražnje bi se uz 95% sigurnost trebala kretati iz-među 29,85 i 43,65 jedinica promatranog dobra.

Na primjeru podatka iz tablice 6 prikazat će se postupak izračuna odnosno procjene re-gresijskih parametara te interpretirati dobiveni rezultat. Premda se izračun s lakoćom može obaviti pomoću brojnih računalnih programa s ispisom vrijednosti procijenjenih parame-tara, standardne greške i t-omjera ili pokazatelja te koeficijenta determinacije i F-omjera, u nastavku će se prikazati postupak izračuna na klasičan način, a nakon toga interpretirati dobiveni rezultat.

Uvrštavajući podatke iz tablice 6 u relaciju (22) dobiva se

Rješenje gornjih jednadžbi daje vrijednosti koeficijenata. U zbilji se višestruka regresij-ska analiza uobičajeno provodi jednim od brojnih statističkih računalskih programa pa će se tako i ovdje postupiti, korištenjem programa SPSS.

3.5.b.Primjer analize višestrukog linearnog modela potražnje

Prilagođeni koeficijent determinacijeKoeficijent koji pokazuje kolika je objašnjena suma kvadrata odstu-panja u ukupnoj sumi kvadrata od-stupanja na razini određenog broja stupnjeva slobode.

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

60

VIŠESTRUKI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

6�

Na temelju vrijednosti regresijskih koeficijenata sadržanih u tablici 7 može se napisati sljedeća jednadžba regresije:

odnosno

gdje je Q potraživana količina u stotinama komada, P cijena proizvoda u promatranim novčanim jedinicama, A troškovi oglašavanja u tisućama promatranih novčanih jedinica, dok su ispod pojedine regresijskog koeficijenta pojedine nezavisne varijable navedene pri-padajuće t vrijednosti.

Analiza regresijske jednadžbe u prvom redu podrazumijeva analizu predznaka pojedi-nog koeficijenata regresije. Cijena ima negativan koeficijent što pokazuje da će se, ako su troškovi oglašavanja konstantni, potraživana količina smanjiti za 6,1 stotinu komada ako se cijena proizvoda poveća za 1 novčanu jedinicu. Isto tako, koeficijent oglašavanja pokazuje

da oglašavanje ima utjecaj na potraživanu količinu te da će se, ako je cijena konstantna, potraživana količina povećati za 6,4 stotine komada ako se troškovi oglašavanja povećaju za tisuću novčanih jedinica.

Za primijetiti je da uključivanje oglašavanja u model ima utjecaj i na koeficijent regre-sije uz cijenu kao nezavisnu varijablu. U jednostavnoj linearnoj regresiji ovaj je koeficijent bio -9,4 dok je u višestrukoj -6,1. To znači da je u jednostavnoj regresiji bila precijenjena veličina učinka cijene.

Dalje, koeficijent determinacije r2 pokazuje veliku vrijednost (r2=0,922) što znači da se 92% variranja potražnje može objasniti simultanim variranjem cijene i oglašavanja s tim da prilagođeni koeficijent determinacije ima vrijednost 0,90.

Standardna greška procjene (Se) ima vrijednost 6,42. Kako je uzorak mali, interval predviđanja mjeri se s ±tSe. Za razinu signifikancije 5% i sedam stupnjeva slobode

tSe = 2,365(6,42) = 15,2 stotine komada.

Računalni ispis pokazuje da su vrijednosti t (u apsolutnom iznosu) veće od kritične vri-jednosti (t=2,365) pa su koeficijenti regresije signifikantni. Isto tako, p vrijednost pokazuje kolika je vjerojatnost da koeficijent bude jednak nula. Niske vrijednosti u ispisu (za cijenu 0,0091, a za oglašavanje 0,0403) znače da su koeficijenti signifikantni.

Cjelokupnu signifikantnost modela pokazuje F-pokazatelj. Računalni ispis pokazuje vrijednost F u visini 41,453. Za stupanj signifikancije 5% i k-1=2 u brojniku, te n-3=7 u nazivniku, kritična vrijednost F koja se dobiva iz tablice jest 4,74. Prema tome, višestruka regresija potražnje u cjelini je statistički prihvatljiva.

U modelu višestruke regresije multikolinearnost označava da su dvije ili više nezavi-snih varijabli u uskoj korelaciji. U ovom primjeru multikolinearnost ne postoji jer su: (1) re-zultati prošli i F-test i t-test i (2) element korelacijske matrice (Pearson test) između cijene i oglašavanja je -0,7760 manji je od r (r = √r2 = √0,92 = 0,96).

Autokorelacija označava postojanje korelacije između uzastopnih pogrešaka ili odstu-panja a ispituje se Durbin-Watsonovim testom, odnosno pokazateljem d koji je jednak

(19)

gdje je e procijenjeni rezidual regresije. Ako je vrijednost d oko 2 nema autokorelacije, ali ako je znatno iznad ili ispod 2 rabe se tablice u kojima su dane gornja i donja granica vri-jednosti. Ako je dobiveni d veći od gornje granice nema autokorelacije, ako je manji od donje granice postoji autokorelacija, a ako je između donje i gornje granice test ne dovo-di do zaključka. U ovom primjeru tablična donja granica je 0,697, a gornja 1,641. Kako je iskazani d u ispisu 1,9796 nema autokorelacije.

Heteroscedastičnost je problem u regresijskoj analizi koji se javlja kad varijanca po-greške nije konstantna za sve vrijednosti nezavisnih varijabli. U tom slučaju na dijagramu rasipanja (slika 6.) s povećanjem regresijskih vrijednosti povećavaju se i rezidualna odstu-panja pa raspored dobiva oblik megafona. U razmatranom primjeru dijagram rasipanja re-zidualnih odstupanja i regresije (slika 7.) pokazuje da nema heteroscedastičnosti.

Kako je vrednovanje pokazalo da je model signifikantan po svim kriterijima može se rabiti za predviđanje potraživane količine. Tako je za cijenu 11,5 kn i troškove oglašavanja 8000 kn procijenjena potražnja

Tablica 6: Izračun pojedinih vrijed-nosti koje se koriste u regresijskoj analizi

Y X1 YX1 X12 X2 YX2 X2

2 X1X2 Y2

95 10,0 950 100,00 9 855 81 90,0 9025

60 15,0 900 225,00 8 480 64 120,0 3600

75 12,0 900 144,00 8 600 64 96,0 5625

90 10,5 945 110,25 9 810 81 94,5 8100

85 11,0 935 121,00 8 680 64 88,0 7225

70 12,5 875 156,25 7 490 49 87,5 4900

55 13,0 715 169,00 6 330 36 78,0 3025

65 14,0 910 196,00 6 390 36 84,0 4225

100 9,5 950 90,25 9 900 81 85,5 10000

120 9,0 1080 81,00 10 1200 100 90,0 14400

∑=815 ∑=116,5 ∑=9160 ∑=1392,75 ∑=80 ∑=6735 ∑=656 ∑=913,5 ∑=70125

Tablica 7: Rezultati regresijske analize pomoću računala

Zavisna varijabla: Y r2: 0,922 r2: 0,900

Broj promatranja: 30 F-pokazatelj: 41,182 : 6,41729

Varijabla KoeficijentStandardna

pogreška t-pokazatelj

Konstanta 101,396 37,967 2,671

X1 -6,096 1,707 -3,571

X2 6,390 2,543 2,512

MultikolinearnostPojava koja u modelu višestruke regresije označava situaciju u kojoj su dvije ili više nezavisnih varijabla u uskoj korelaciji.

AutokorelacijaPojam koji označava postojanje korelacije između uzastopnih po-grešaka ili odstupanja.

HeteroscedastičnostProblem u regresijskoj analizi koji se javlja kad varijanca pogreške nije konstantna za sve vrijednosti nezavisnih varijabla.

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

62

VIŠESTRUKI REGRESIJSKI MODEL POTRAŽNJE

6�

Q = 101,4 - 6,4(11,5) + 6,4(8) = 82,45 stotina komada proizvoda,

odnosno

Qf = 82,45 ± 15,2 stotine komada proizvoda.

Interval predviđanja je relativno velik, pa bi bilo uputno problem istražiti kao višestru-ki nelinearni regresijski model. Za očekivati je da bi višestruki nelinearni regresijski model više odgovarao podacima.

Ako je analiza potražnje kao višestrukog linearnog regresijskog modela utvrdila da je inter-val procjene potražnje relativno velik, procjenu potražnje treba obaviti pomoću višestru-kog nelinearnog regresijskog modela potražnje. Pretpostavimo da bi između različitih neli-nearnih oblika mogla odgovarati eksponencijalna funkcija potražnje oblika

(20)

Logaritmiranjem lijeve i desne strane, (25) se transformira u linearnu funkciju oblika

(21)

Računalni ispis ovog modela pokazuje rješenje koeficijenata (log a = 2,5422; log b1 = -1,0011; log b2 = 0,46679) i kriterij za statističku signifikanciju. Dobivena regresija potra-žnje je

Međutim, kako je izračunata vrijednost t za koeficijent oglašavanja (2,15) manja od kritične vrijednosti t koja se dobiva iz tablica (2,365) koeficijent nije signifikantan. Zato se izabire drugi nelinearni oblik funkcije potražnje pa se tako može izabrati eksponencijalna funkcija oblika

(22)

Logaritmiranjem lijeve i desne strane, izraz (27) se transformira u linearnu funkciju oblika

(23)

Prema računalnom ispisu regresija potražnje je

Testiranja nadalje pokazuju da je model signifikantan jer su dobivene visoke vrijed-nosti koeficijenta determinacije (r2 = 0,93) i prilagođenog koeficijenta determinacije (=0,91), te stoga što ne postoji multikolinearnost (rezultati prolaze F-test, t-test i Pearson

test) autokorelacija (prema Durbin-Watsonovom testu) i heteroskedastičnost (prema dija-gramu rasipanja rezidualnih odstupanja i regresije). O multikolinearnosti, autokorelaciji i heteroskedastičnosti opširnije se izlaže u sljedećoj točki.

Pri cijeni od 1,5 kn i uz troškove oglašavanja 8000 kn procijenjena potražnja je logY =2,02-0,033021(11,5)+0,032987(8)=1,90416. Antilogaritmiranjem dobivene vrijednosti logY slijedi da bi na razini pretpostavljenih vrijednosti nezavisnih varijabla procijenjena potražnja trebala iznositi 80,19 stotina komada proizvoda, pa je Qf = 80,19 ± 2,54 stotine komada proizvoda.

Dobiveni rezultat u odnosu na linearni model pokazuje bolje rezultate, jer je manji in-terval predviđanja, pa se, uz pretpostavku da nema jednadžbe koja bolje odgovara podaci-ma, ovaj model može koristiti kao podloga menedžeru za donošenje odluke.

3.5.cPrimjer analize

višestrukog nelinearnog modela

potražnje

Durbin-Watsonov testStatistička metoda kojom se ispitu-je prisutnost autokorelacije.

PROCJENJIVANJE POTRAŽNJE

64

PROBLEMI U REGRESIJSKOJ ANALIZI

65

Regresijska analiza može vrlo uspješno identificirati utjecaje ključnih činitelja na zavisne varijable, međutim, kako se vidi iz provedbe raščlambe, u regresijskoj analizi mogući su ozbiljni problemi kao što su specificiranje oblika funkcije, multikolinearnost, heterosceda-stičnost i autokorelacija.

U procjenjivanju potražnje regresijskom analizom rijetko možemo biti potpuno sigurni da smo odredili točan oblik jednadžbe. U primjeru koji smo razmotrili prvo smo pretpostavili linearni oblik jednadžbe. Međutim, u stvarnosti odnosi nisu uvijek linearni i ne slijede pra-vac pa izabiranje linearnog oblika jednadžbe nosi mogućnost pogreške što se u našem pri-mjeru pokazalo točnim i stoga je uzet nelinearni oblik koji se pokazao primjerenijim. Otud u specificiranju oblika funkcije treba biti fleksibilan i testirati više različitih oblika.

Isto tako postoji problem izostavljanja varijabli. Neuzimanje u obzir ključnih varijabli neizbježno pogoršava predviđanje. Naime, izostavljanje ključnih varijabli u biti znači da je njihov koeficijent jednak nuli te da ne utječu na potražnju. Međutim višestruka regresijska analiza jasno pokazuje da to nije točno te da izostavljene varijable također utječu i na ko-eficijent uključene varijable.

Multikolinearnost se pojavljuje kad se dvije ili više nezavisnih varijabli nalaze u uskoj ko-relaciji. Može se otkriti ispitivanjem koeficijenta korelacije (r) između varijabli za koje se pretpostavlja da su usko povezane. Multikolinearnost postaje problem ako je vrijednost ko-eficijenta blizu 1 ili -1. Isto tako, ako je visoka vrijednost r2 i rezultati prođu F-test (mjerenje sveukupne signifikancije regresijske jednadžbe) a ne prođu t-test za svaki pojedini koefici-jent regresije, to je uobičajeno znak postojanja multikolinearnosti.

Pretpostavimo da menedžer vjeruje kako potražnja ovisi o cijeni proizvoda i oglašava-nju ali nije siguran koliki je utjecaj svakog od ta dva činitelja. Promatrajući podatke uočava sljedeće. Prodaja se povećava kad god poduzeće snižava cijenu i vrši agresivno oglašava-nje a opada kad se cijena povećava i smanjuju troškovi oglašavanja. Postavlja se pitanje: je su li promjene u prodaji rezultat promjene cijene ili oglašavanja? Regresijska analiza ne može odvojiti efekte varijabli koje se istodobno mijenjaju pa je nemoguće odgovoriti na to pitanje. Ako se analiza radi pomoću računala u slučaju savršene korelacije između ci-jene i oglašavanja dobit će se poruka o pogrešci, a u slučaju povezanog kretanja cijene i oglašavanja program će omogućiti procjenu potražnje ali će procjena biti vrlo neprecizna (standardna greška ocjene bit će velika a vrijednosti t-testa vrlo male). Sada se postavlja pitanje: može li poduzeće koristiti postavljenu jednadžbu regresije? Može ako će i dalje snižavati cijenu uvijek kad povećava oglašavanje. Međutim, ako poduzeće namjerava sni-ziti cijenu bez oglašavanja ili oglašavati bez snižavanja cijene, bit će nepouzdano predvi-đanje potražnje.

Problem multikolinearnosti može se prevladati ili smanjiti proširenjem veličine uzorka, korištenjem a priori informacija, pretvaranjem funkcijskog odnosa i posebice izostavlja-

3.6. problemi u regresijskoj analizi

3.6.a.Specificiranje oblika

funkcije

3.6.b.Multikolinearnost

njem jedne od varijabli u uskoj korelacijskoj svezi. U slučaju izostavljanja jedne od varijabli mora se voditi računa da se ne izostavi varijabla koja teorijski mora biti uključena u model jer bi njezino izostavljanje dovelo do pristranog tumačenja regresije.

Heteroskedastičnost je problem u regresijskoj analizi koji se javlja kad varijanca pogreške nije konstantna za sve vrijednosti nezavisne varijable. U tom slučaju na dijagramu rasipa-nja (slika 6.) s povećanjem regresijskih vrijednosti povećavaju se i rezidualna odstupanja pa raspored dobiva oblik megafona. Vrlo je česta u podacima vremenskog presjeka gdje veličina pogreške raste, što je češći slučaj, ili pada, što je rjeđi slučaj, s veličinom nezavisne varijable. Heteroskedastičnost ima za posljedicu pristrane standardne pogreške i netočne statističke testove. Postoje računalski programi za njezino otkrivanje npr. Spearmanov, Par-kov, Glejserov ili Goldfeld-Quandtov test.

Problem se može prevladati transformiranjem varijable regresije u oblik logaritma ili omjera prije procjenjivanja, ili uporabom složenije regresijske metode vaganih najmanjih kvadrata, tj. dijeljenjem zavisne i svih nezavisnih varijabli s varijablom koja uzrokuje hete-roskedastičnost te regresijskom analizom tih transformiranih varijabli.

Autokorelacija ili serijska korelacija označava postojanje korelacije između uzastopnih po-grešaka ili odstupanja. To je čest problem kod podataka vremenskih serija a može biti po-sljedica trendova u varijablama, nelinearnosti podataka ili izostavljanja ključne varijable iz regresije. U regresijskoj analizi potražnje često je uzrokuje sporo mijenjanje cijena, dohot-ka ili ukusa. Kad uzastopne greške imaju isti predznak radi se o pozitivnoj autokorelaciji a kad često mijenjaju predznak u pitanju je negativna autokorelacija. Pozitivna autokorelacija je češća od negativne.

U slučaju autokorelacije procijenjeni parametri nisu pristrani ali su pristrane njihove standardne pogreške pa je vrijednost t-testa preuveličana. Prisutnost autokorelacije ispituje se Durbin-Watsonovim testom. Durbin-Watsonov test provodi se pomoću izraza

gdje je et procijenjeni rezidual regresije u razdoblju t, a et-1 u prethodnom vremenskom razdoblju. Ako je vrijednost d oko 2 nema autokorelacije, ali ako je znatno iznad ili ispod 2 rabe se tablice u kojima su dane gornja i donja granica vrijednosti. Ako je dobiveni d veći od gornje granice nema autokorelacije, ako je manji od donje granice postoji autokorelaci-ja, a ako je između donje i gornje granice test ne dovodi do zaključka.

Efekti autokorelacije mogu se ublažiti uključivanjem ključne varijable koja nedostaje, postavljanjem nelinearne regresijske jednadžbe ili specificiranjem modela potražnje pomo-ću promjena svake varijable u uzastopnim vremenskim razdobljima.

3.6.c.Multikolinearnost

3.6.d.Autokorelacija

UVOD U EKONOMIJU

66

SAŽETAK

67

3.1. Kako potražnja ima ključnu ulogu u većini poslovnih odluka, menedžeri moraju znati stvarni odnos između potražnje i činitelja koji na nju utječu. Problem identifikacije potra-žnje proizlazi iz toga što se krivulja potražnje ne može dobiti jednostavnim povezivanjem točaka koje odgovaraju pojedinim odnosima cijene i potraživane količine, jer je svaka ta točka određena sjecištem različitih krivulja ponude i potražnje dobra.

3.2. Krivulja potražnje može se dobiti jednostavnim povezivanjem točaka koje povezuju pojedinu cijenu i pripadajuću količinu pod uvjetom da se zbog stabilnih utjecajnih činitelja krivulja potražnje nije pomicala za razliku od krivulje ponude, ili kad postoji dovoljno in-formacija koje određuju kako se u promatranom razdoblju pomicala svaka od krivulja.

3.3. Ako postoje podaci o utjecajnim činiteljima na potražnju, za izvođenje krivulje i pro-cjenu potražnje rabi se regresijska analiza, a ako se problem identifikacije ne može riješiti na taj način koriste se marketinške tehnike procjenjivanja potražnje kao što su ankete o po-trošnji i tržišni eksperimenti.

3.4. Anketa o potrošnji je marketinška tehnika kojom se prikupljaju podaci o ponašanju potrošača. Ova tehnika svodi se na ispitivanje određenog uzorka potrošača s ciljem da se utvrde njihove reakcije na promjenu cijene ili druge determinante potražnje. Iako su u zbilji dobiveni podaci često nepouzdani, anketa o potrošnji je u nekim slučajevima nezamjenlji-va a posebice u kratkoročnom procjenjivanju potražnje.

3.5. Tržišnim eksperimentima moguće je dobiti točnije podatke o stvarnom ponašanju po-trošača. Mogu se provoditi na zbiljskom tržištu ili u simuliranoj prodavaonici na način da se sudionicima u eksperimentu daje određeni svota novca koju u cijelosti trebaju potrošiti na kupovinu željenih dobara. Nedostaci eksperimenta su poteškoće koje mogu izazvati ne-kontrolirani dijelovi eksperimenta i smanjena mogućnost uopćavanja dobivenih rezultata što je posljedica visokih troškova i stoga malog uzorka potrošača.

3.6. Regresijska analiza je statistička tehnika za ocjenjivanje kvantitativne veze između varija-ble koju želimo objasniti - zavisne varijable - i jedne ili više nezavisnih varijabli. To je najrašire-nija metoda procjenjivanja potražnje, a njezina metodologija sastoji se od specificiranja odno-sno utvrđivanja oblika funkcije potražnje, procjenjivanja parametara i vrednovanja rezultata.

sažetak

Ključne riječi

Problem identifikacije

Ankete o potrošnji

Tržišni eksperimenti

Regresijska analiza

Vremenske serije

Vremenski presjek

Linearni model regresije

Nelinearni model regresije

Dijagram rasipanja

Linija regresija

Jednostavni regresijski

model

Višestruki regresijski model

Metoda najmanjih kvadrata

Koeficijent regresije

Parametar nagiba

Parametar odsječka

Standardna greška procjene

Stupnjevi slobode

T-test

T-pokazatelj

Kritična t-vrijednost

Razina rizika

Razina pouzdanosti

Standardna greška regresije

Koeficijent determinacije

Koeficijent korelacije

F-pokazatelj

Prilagođeni koeficijent

determinacije

Multikolinearnost

Autokorelacija

Heteroskedastičnost

Durbin-Watsonov test

3.7. Jednostavna regresijska analiza rabi se u primjeru ispitivanja odnosa između potražnje i jednog činitelja koji na nju utječe, dok se višestruka regresijska analiza koristi u slučaju ako se analizira odnos između potražnje i dva ili više utjecajnih činitelja. Jednostavni i vi-šestruki regresijski model potražnje može se analizirati kao linearni i nelinearni. Dijagram rasipanja, kao grafički prikaz točaka ili parova vrijednosti povezanih varijabla pomaže da se utvrdi tip veze tj. postoji li linearna ili bi više odgovarala nelinearna veza.

3.8. Cilj je regresijske analize, bez obzira je li u pitanju jednostavna ili višestruka odnosno linearna ili nelinearna, procijeniti regresijske koeficijente, kako one koji se predstavljaju kao konstanta odnosno kao regresijski koeficijent uz određenu nezavisnu varijablu. Regresijske konstante označavaju odsječak na okomitoj osi i kazuju kolika bi mogla biti potražnja za promatranim dobrom ako je nezavisna varijabla jednaka nuli. Koeficijenti uz određenu ne-zavisnu varijablu kazuju za koliko će se promijeniti potražnja ako se vrijednost nezavisne varijable promijeni za jednu jedinicu.

3.9. Posebnu pozornost potrebito je dati vrednovanju zbog problema koji mogu nastati kao posljedica specificiranja oblika funkcije potražnje, multikolinearnosti, heteroscedastič-nosti i autokorelacije. O multikolinearnosti se govori u slučaju ako su dvije ili više nezavi-snih varijabli u regresiji visoko korelirane. Heteroscedastičnost se javlja kad se zanemari pretpostavka da je varijanca pogreške konstantna za vrijednosti nezavisnih varijabla, što je čest slučaj u primjeru podataka vremenskog presjeka. Autokorelacija se javlja kad se uza-stopne pogreške ili odstupanja nalaze u korelaciji. Uzastopne pogreške ili odstupanja koja imaju isti predznak upućuju na pozitivnu a koja mijenjaju predznak na negativnu korelaci-ju. Autokorelacija se može otkriti Durbin-Watsonovim testom.

UVOD U EKONOMIJU

6�

PITANJA ZA RASPRAVU

6�

pitanja za raspravu

1. Zašto krivulja koja spaja opažene kombinacije cijena i pripadajućih količina ne pred-stavlja krivulju potražnje za promatranim dobrom?

2. U kojem bi se slučaju krivulja potražnje mogla dobiti spajanjem opaženih kombinacija cijena i pripadajućih količina?

3. Koje se marketinške tehnike koriste za procjenjivanje potražnje? Koje su njihove karak-teristike?

4. U kojim slučajevima se koristi regresijska analiza za procjenjivanje potražnje. Koje su prednosti ove tehnike u odnosu na marketinške tehnike?

5. Od koliko se koraka sastoji postupaka ocjenjivanja funkcije potražnje regresijskom ana-lizom? Koji su to koraci?

6. U kojem slučaju se koristi jednostavna a u kojem višestruka regresijska analiza u pro-cjenjivanju potražnje?

7. Na temelju čega se najlakše može otkriti koji oblik funkcije potražnje najbolje odgovara podacima? Koja je razlika između linearnog i nelinearnog oblika funkcije potražnje?

8. Što označava parametar a ili regresijska konstanta, a što parametar b ili koeficijent smjera?

9. Na temelju kojih se pokazatelja mjeri kvaliteta rezultata regresije? Koji su to pokazatelji i što svaki od njih pojedinačno pokazuje?

10. Što označava multikolinearnost u regresijskoj analizi? Kako se može otkriti i riješiti problem multikolinearnosti?

11. Što označava autokorelacija u regresijskoj analizi? Kako se može otkriti i riješiti pro-blem autokorelacije?