metode numerik ringkasan kuliah 2

Upload: khoirul-fahmi

Post on 17-Jul-2015

278 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

Metode Numerik(Ringkasan Kuliah)Disiapkan Oleh:

SAJIHARJO IRMA W.K.

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN2.1. Pendahuluan Ada beberapa metode untuk mencari akarakar suatu persamaan. Untuk polinomial derajad dua, persamaan dapat diselesaikan dengan rumus sederhana. Misalnya bentuk dapat dicari akar-akarnya secara analitis dengan rumus:

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN

(PENDAHULUAN... LANJUTAN)

Untuk polinomial derajad tiga atau empat, rumus-rumus yang ada sangat kompleks dan jarang sekali digunakan. Sedang untuk persamaan-persamaan dengan derajad yang lebih tinggi tidak ada rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikannya. Bentuk persamaan tersebut misalnya adalah:

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN

(PENDAHULUAN... LANJUTAN)

Bentuk persamaan-persamaan seperti tersebut di atas sulit atau tidak mungkin diselesaikan secara eksplisit. Metode numerik memberikan beberapa cara untuk menyelesaikan bentuk persamaan tersebut secara perkiraan sampai diperoleh hasil yang mendekati penyelesaian eksak. Penyelesaian numerik dilakukan dengan perkiraan berulang yang berurutan (iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalah lebih teliti dari perkiraan sebelumnya.

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN

(PENDAHULUAN... LANJUTAN)

Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya diperoleh hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan. Salah satu cara yang yang paling sederhana adalah menggambarkan fungsi tersebut dan kemudian dicari titik potongnya dengan sumbu x yang menunjukkan akar dari persamaan tersebut.

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN

(PENDAHULUAN... LANJUTAN)

Tetapi cara ini hanya memberikan hasil yang sangat kasar, karena sulit untuk menetapkan nilai sampai beberapa digit di belakang koma hanya dengan membaca gambar. Metode lain adalah cara coba-banding, yaitu dengan mencoba nilai x sembarang kemudian dievaluasi apakah f(x) = 0. Jika nilai f(x) tidak sama dengan nol, kemudian dicoba nilai x yang lain. Prosedur ini diulang terus sampai akhirnya diperoleh nilai f(x) = 0, untuk suatu nilai x tertentu, yang merupakan akar dari persamaan yang diselesaikan.

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN

(PENDAHULUAN... LANJUTAN)

Kedua cara tersebut adalah tidak efisien dan tidak sistematis. Ada beberapa metode yang juga merupakan penyelesaian perkiraan, tetapi lebih sistematis untuk menghitung akar-akar persamaan. y F(x)

x Akar persamaan Gambar 2.1 Akar persamaan

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN2.2. Metode Setengah Interval Metode Setengah Interval merupakan metode yang paling sederhana di antara beberapa metode yang ada. Langkah-langkahnya sebagai berikut. 1. Hitung fungsi pada interval yang sama dari x sampai pada perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1), yaitu apabila f(xn) x f(xn+1) < 0. 2. Estimasi pertama dari akar xt dihitung dengan

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN3.

(METODE SETENGAH INTERVAL.....LANJUTAN)

Buat evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval mana akar persamaan berada: a) Jika f(xn) x f(xt) < 0, akar persamaan berada pada sub interval pertama, kemudian tetapkan xn+1 = xt dan lanjutkan pada langkah ke 4. b) Jika f(xn) x f(xt) > 0, akar persamaan berada pada sub interval kedua, kemudian tetapkan xn = xt dan lanjutkan pada langkah ke 4.

2. AKAR-AKAR PERSAMAANc) 4.

(METODE SETENGAH INTERVAL.....LANJUTAN)

Jika f(xn) x f(xt) = 0, akar persamaan adalah xt dan hitungan selesai.

Hitung perkiraan baru dari akar dengan,

5.

Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan), maka hitungan selesai, dan xt adalah akarpersamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembali ke langkah 3.

2. AKAR-AKAR PERSAMAANHitung fungsi untuk interval x yang sama sehingga diperoleh f(xn) dan f(xn+1) dengan tanda berbeda

(METODE SETENGAH INTERVAL.....LANJUTAN)Hitung

xn = Xt f(xn) = f(xt)

Ya

Apakah f(xt) dan f(xn) bertanda sama? Tidak

TidakApakah f(xt) kecil? Gambar 2.2 Bagan Alir Metode Setengah Interval

xn+1 = Xt f(xn+1) = f(xt)

Ya

Selesai

2. AKAR-AKAR PERSAMAANy

(METODE SETENGAH INTERVAL.....LANJUTAN)

F(x) x1 x3 x3 x3 x3 x5 x5 x 4 x4 x4 x2

x

x1

x2 x2

Gambar 2.3 Prosedur Hitungan Metode Setengah Interval

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN2.3. Metode Interpolasi Linier Metode Interpolasi Linier dikenal juga dengan metode false position, relatif lebih cepat memperoleh nilai akar-akar persamaan . Metode ini didasarkan pada interpolasi antara dua nilai dari fungsi yang mempunyai tanda berlawanan. Mula-mula dicari nilai fungsi untuk setiap interval x yang sama sampai akhirnya diperoleh dua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) berurutan yang mempunyai tanda berlawanan.

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN(2.3. Metode Interpolasi Linier ...lanjutan) Dari kedua nilai fungsi f(xn) dan f(xn+1) ditarik garis lurus sehingga terbentuk suatu segitiga. Dengan menggunakan sifat segitiga sebangun, diperoleh persamaan berikut.

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN(2.3. Metode Interpolasi Linier ...lanjutan) y f(x) f(xn+1) X* Xn+1 X f(xn+1) - f(xn)

xn

Xn+1 X*Xn+1 - Xn

Gambar 2.4. Metode Interpolasi Linier

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN(2.3. Metode Interpolasi Linier ...lanjutan) Nilai tersebut digunakan untuk menghitung nilai f(x*), yang kemudian digunakan lagi untuk interpolasi linier dengan nilai f(xn) atau f(xn+1) sedemikian sehingga kedua fungsi mempunyai tanda berbeda. Prosedur ini diulang lagi sampai diperoleh nilai f(x*) mendekati nol. Gambar 2.5. menunjukkan logika prosedur hitungan dari metode interpolasi linier.

2. AKAR-AKAR PERSAMAANHitung fungsi untuk interval x yang sama sehingga diperoleh f(xn) dan f(xn+1) dengan tanda berbeda

(METODE INTERPOLASI LINIER ...LANJUTAN)Hitung x* dan f(x*)

Xn+1 = X* f(xn+1) = f(x*)

Ya

Apakah f(x*) dan f(xn) bertanda sama? Tidak

TidakApakah f(x*) kecil? Gambar 2.5 Bagan Alir Metode Interpolasi Linier

xn = x* f(xn) = f(x*)

Ya

Selesai

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN2.4. Metode Newton-Raphson Metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar dari suatu persamaan . Jika perkiraan awal dari akar adalah xi, suatu garis singgung dapat dibuat dari titik (xi, f(xi)). Titik di mana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN(2.4. Metode Newton-Raphson...lanjutan) y f(xi)B Xi+1 A Garis singgung di A

f(xi) - 0Xi

X

f(x)

Xi Xi+1

Gambar 2.6. Prosedur Metode Newton secara grafis

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN(2.4. Metode Newton-Raphson...lanjutan) Seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.6., turunan pertama pada xi adalah ekivalen dengan kemiringan.

atau

2. AKAR-AKAR PERSAMAANPilih nilai awal xn sembarang

(2.4. METODE NEWTON-RAPHSON...LANJUTAN)Hitung xn+1 dan f(xn+1)

Xn = Xn+1

Tidak

Apakah f(xn+1) kecil?

Ya

Gambar 2.7 Bagan Alir Metode Newton

Selesai

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN2.5. Metode Secant Kekurangan metode Newton-Raphson adalah diperlukannya turunan pertama (diferensial) dari f(x) dalam hitungan. Kadang-kadang sulit untuk mendiferensialkan persamaan yang diselesaikan. Untuk itu maka bentuk diferensial didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga.

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN(2.5. Metode Secant...lanjutan) y f(xi)A

f(xi-1)

B Xi-1 Xi

f(x)

X

Xi Xi-1

Gambar 2.8. Metode Secant

2. AKAR-AKAR PERSAMAAN(2.4. Metode Secant...lanjutan) Seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.8., garis singgung di titik xi didekati dengan bentuk sebagai berikut.

atau