metode cross asli.doc

Upload: yudi-arifin

Post on 07-Jan-2016

118 views

Category:

Documents


5 download

TRANSCRIPT

BAB

BAB. I

METODA DISTRIBUSI MOMEN

1.1 PENDAHULUAN

Metoda distribusi momen (Cross) oleh Prof. Hardy Cross dapat digunakan untuk menganalisa balok dan portal statis tak tentu. Untuk menyelesaikan konstruksi statis tak tentu dengan menggunakan metoda cross diperlukan data sebagai berikut :

1. Angka Induksi / Koefisien Transfer (,)

Yaitu angka perbandingan antara momen yang timbul pada ujung batang yang terjepit (MB) dengan momen yang mengakibatkan (MA), seperti gambar 1.1 berikut :

Gambar. 1.1B = 0 dan B,A + B,B = 0, sehingga : MA . L / 6 EI = MB . L / 3 EIJika EI Konstan, Maka MB/MA = Jadi angka induksi untuk perletakan sendi - jepit adalah = = MB/MA =

Angka induksi perletakan sendi sendi adalah = = = MB/MA = 0

2. Angka Kekakuan, k ( Stiffness Factor )Adalah besarnya momen yang diperlukan oleh ujung batang/balok atau kolom untuk mendapatkan rotasi/putaran sudut sebesar satu radian pada ujung tersebut, bila pada ujung yang lainnya terjepit.Seperti diperlihatkan pada gambar 1.2 sebagai berikut :

Gambar. 1.2

A = 1 dan A,A + A,B = 1, sehingga : K . L / 3 EI - K . L / 12 EI = 1 ===( K = 4 EI / L

Apabila titik B merupakan perletakan sendi, seperti diperlihatkan pada gambar 1.3 sebagai berikut :

Untuk A,A = 1, maka :

Gambar 1.33. Perjanjian Tanda

Pada setiap metoda perhitungan, perjanjian tanda tentang arah momen sangat diperlukan. Momen titik dan momen batang, keduanya merupakan momen ujung dengan arah yang saling berlawanan seperti diperlihatkan pada gambar 1.4 berikut :a. Momen titik, Momen ujung terhadap titik hubung :+ apabila momen berputar ke kanan

- apabila momen berputar ke kiri

b. Momen batang, momen ujung terhadap batang :

+ apabila momen berputar ke kiri

- apabila momen berputar ke kanan

gambar 1.44. Koefisien Distribusi ()

Koefisien distribusi adalah perbandingan kakakuan suatu batang dengan jumlah kekakuan batang pada suatu titik hubung. Untuk jelasnya kita tinjau gambar 1.5 berikut :Gambar 1.5 aDengan bekerjanya momen sebesar Mo arah ke kanan, maka akan terjadi putaran sudut sebesar 1, 2 dan 3 seperti diperlihatkan pada gambar 1.5 b sebagai berikut :Gambar 1.5 bJika kita tinjau batang 1 atau perletakan 1 :

1 = 0,0 + 0,1 = M01 . L / 4 EI ====( M01 = 1 . K01Jika kita tinjau batang 3 atau perletakan 3 :

====( M03 = 1 . K03Oleh karena titik hubung O bersifat kaku, maka besarnya putaran sudut yang terjadi pada titik O adalah tetap (sama), sehingga :1 = 2 = 3 = 0 M01 = 0 . K01M02 = 0 . K02M03 = 0 . K03Berdasarkan syarat keseimbangan titik hubung, besarnya M0 yang bekerja adalah :M0 = M01 + M02 + M03 = 0 . K01 + 0 . K02 + 0 . K03 = 0 ( K01 + K02 + K03 ) ======(

Dengan demikian persamaan dapat dituliskan sebagai berikut :M01 = 01 . M0M02 = 02 . M0M03 = 03 . M0Jadi besarnya angka koefisien distribusi ( 0i ) adalah : Catatan :Jumlah angka koefisien distribusi () pada satu titik sama dengan satu ( 1 )5. Momen Primer ( Mo )Momen primer adalah momen-momen ujung suatu batang atau elemen-elemen dari suatu batang struktur terhadap titik hubungnya. Penentuan besarnya nilai momen primer untuk setiap titik hubung yang menerus selalu dianggap perletakan jepit. Besarnya momen primer berbagai jenis perletakan dapat ditentukan melalui table momen yang tersedia.Apabila tidak tersedia table momen primer, maka untuk menentukan besarnya nilai momen primer dapat menggunakan analisa-anlisa perhitungan yang lain, antara lain menggunakan metoda konsisten deformasi, metoda perhitungan lendutan dan lain sebagainya.

6. Distribusi Momen

Distribusi/perataan momen dimaksudkan untuk mendapatkan nilai dari momen desain yang terjadi pada batang suatu struktur. Perataan momen dilakukan sampai nilai akhir dari momen ujung-ujung batang mendekati nol atau 0,0004 tm. Jumlah momen akhir pada suatu titik kumpul haruslah seimbang ( M = 0 ). Jika M 0, maka pada titik tersebut perlu dilakukan koreksi momen. Koreksi momen akibat adanya kelebihan momen pada suatu titik dilakukan pada batang sebanding dengan kekakuannya.MX,Y = MXY - xy . MMx,y : Momen ujung batang setelah terkoreksi

MXY : Momen ujung batang sebelum koreksi

1.2 BALOK MENERUS DAN PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG TETAPYang dimaksud dengan portal titik hubung tetap adalah suatu portal dimana pada tiap titik kumpulnya (titik hubung) hanya terjadi putaran sudut tanpa mengalami pergeseran titik kumpul (titik hubung). Sebagai contoh : Portal dimana struktur dan pembebanannya simetris

Portal dimana baik pada struktur balok maupun kolom-kolomnya disokong oleh suatu perletakan.

Berbagai macam struktur dengan titik hubung yang tidak bergerak/tetap. Struktur dapat berupa balok menerus, portal ataupun gabungan keduanya. Gambar 1.7 berikut ini memperlihatkan contoh struktur dengan titik hubung tetap.

Gambar 1.7Langkah langkah penyelesaian perhitungan momen momen ujung batang untuk struktur dengan titik hubung tetap dengan cara cross adalah sebagai berikut :1) Hitung angka kekakuan masing-masing batang/elemen (K.)2) Hitung nilai koefisien distribusi masing-masing batang/elemen (.)3) Hitung besarnya momen primer masing-masing ujung batang/elemen (Mo .)

4) Distribusi momen sampai diperoleh nilai mendekati nol atau 0,0004 tm.5) Koreksi momen akhir pada masing-masing titik hubung sampai M = 0Contoh 1 Perhitungan dengan cara crossSuatu struktur balok menerus seperti pada gambar di bawah ini :Diketahui :

P1 = 4 t

L1 = 4 m

a1 = 3 m

EIAB = 1 P2 = 5 t

L2 = 5 m

b1 = 1 m

EIBC = 1 q = 3 t/m

L3 = 4 m

a2 = 3 m

EICD = 1

b2 = 1 m

Penyelesaian : Soal 11. Angka Kekakuan Batang :

2. Koefisien Distribusi : (.)KAB = 3 EI / L1 = 0,7500

BA = KBA / (KBA + KBC ) = 0,4839KBC = 4 EI / L2 = 0,8000

BC = KBC / (KBA + KBC ) = 0,5161KCD = 3 EI / L3 = 0,7500

CB = KCB / (KCB + KCD ) = 0,5161KAB = KAB , KBC = KCB

CD = KCD / (KCB + KCD ) = 0,48393. Menghitung Momen PrimerMoAB = 0 tmMoBA = -( q L12 + P1 a1 b1 (L1 + a1) / (2 L12 )) = - 8,6250 tm

MoBC = + 1/12 q L22

= 6,2500 tm

MoCB = - 1/12 q L22

= - 6,2500 tmMoCD = ( q L32 + P2 a2 b2 (L3 + a2) / (2 L32 )) = 9,2813 tm

MoDC = 0 tm

4. Distribusi MomenJoint/titikABCD

BatangABBABCCBCDDC

Koef.Dist0,00000,48390,51610,51610,48390,0000

M.Primer0,0000- 8,62506,2500- 6,25009,28130,0000

Balance

C.Over0,0000

0,00001,1492

0,00001,2258

-0,7823-1,5645

0,6129- 1,4667

0,00000,0000

0,0000

Balance

C.Over0,0000

0,00000,37850,00000,4037-0,1582-0,31630,2019- 0,29660,00000,0000

0,0000

Balance

C.Over0,0000

0,00000,0765

0,00000,0816

-0,0521-0,1042

0,0408- 0,0977

0,00000,0000

0,0000

Balance

C.Over0,0000

0,00000,0252

0,00000,0269

-0,0105-0,0211

0,0134- 0,0198

0,00000,0000

0,0000

Balance

C.Over0,0000

0,00000,0051

0,00000,0054

-0,0035-0,0069

0,0027- 0,0065

0,00000,0000

0,0000

Balance

C.Over0,0000

0,00000,00170,00000,0018

-0,0007-0,00140,0009- 0,00130,00000,0000

0,0000

Balance

0,00000,00030,0004-0,0005- 0,00040,0000

Jumlah0,0000-6,98846,9884-7,39237,39230,0000

Arah Momen

0,0004=stopDiagram Free Body

5. Menghitung Reaksi perletakanUntuk menghitung besarnya reaksi perletakan struktur, sebaiknya ditinjau free Body masing-masing batang. Besarnya nilai momen ujung batang pada diagram tersebut sudah disesuaikan dengan arahnya ( bernilai positif ).a. Tinjau Batang ABMB = 0

MA = 0RAB . L1 qL12 P1 . b1 + MBA = 0

-RBA . L1 + qL12 + P1 . a1 + MBA = 0

RAB . 4 3. 42 4 . 1 + 6,9884 = 0

-RBA . 4 + 3 . 42 + 4 .3 + 6,9884 = 0

=======( RAB = 5,2529 t

=======( RBA = 10,7471 tb. Tinjau Batang BC

MC = 0

MB = 0

RBC . L2 qL22 MBC + MCB = 0

-RCB . L2 + qL22 - MBC + MCB = 0

RBC . 5 3 . 52 6,9884 + 7,3923 = 0RCB . 5 + 3 . 52 6,9884 + 7,3923 = 0

=======( RBC = 7,4192 t

=======( RBA = 7,5808 t

c. Tinjau Batang CD

MD = 0

MC = 0RCD . L3 qL32 P2 . a2 - MCD = 0

-RDC . L3 + qL32 + P2 . b2 - MCD = 0

RCD . 4 3. 42 5 . 3 7,3923 = 0

-RDC . 4 + 3 . 42 + 5 . 1 7,3923 = 0

=======( RCD = 11,5981 t

=======( RDC = 5,4019 t

Nilai masing-masing Reaksi perletakan adalah :RA = RAB = 5,2529 t

RB = RBA + RBC = 10,7471 + 7,4192 = 18,1663 t

RC = RBC + RCD = 7,5808 + 11,5981 = 19,1789 t

RD = RDC = 5,4019 t

Kontrol =====( V = 0RA + RB + RC + RD P1 - P2 q ( L1 + L2 + L3) = 05,2529 + 18,1663 + 19,1789 + 5,4019 4 - 5 3 ( 4 + 5 + 4) = 0

0 = 0 -----( Ok6. Menghitung Gaya-gaya Dalama) Gaya Lintang (D)DA = RA = 5,2529 tDP1 kiri = RA q.a1 = 5,2529 3 . 3 = - 3,7471 tDP1 kanan = RA q.a1 P1 = 5,2529 3 . 3 4 = - 7,7471 t

DB kiri = RA q.L1 P1 = 5,2529 3 . 4 4 = - 10,7471 t

DB kanan = RA q.L1 P1 + RB = 5,2529 3 . 4 4 + 18,1663 = 7,4192 t

DC kiri = DB kanan - q.L2 = 74192 3 . 5 = - 7,5808 t

DC kanan = DC kiri + RC = - 7,5808 + 19,1789 = 11,5981 t

DP2 kiri = DC kanan q . b2 = 11,5981 3 . 1 = 8,5981 t

DP2 kanan = DP2 kiri P2 = 8,5981 5 = 3,5981 t

DD kiri = DP2 kanan q . a2 = 3,5981 3 . 3 = -5,4019 t

DD kanan = DD kiri + RD = -5,4019 + 5,4019 = 0 t

b) Momen (M)

MA = 0MP1 = RA . a1 q . a12 = 5,2529 . 3 3 . 32 = 2,2587 tmMB = RA . L1 q . L12 P1 . b1 = 5,2529 . 4 3 . 42 4 . 1 = - 6,9884 tm

MC = RA (L1 + L2) - q (L1 + L2)2 P1 (b1 + L2) + RB . L2 = 5,2529 . 9 3 . 92 4 . 6 + 18,1663 . 5 = - 7,3923 tm ( = MCB)MP2 = RA(L1+ b2) - q(L1+ L2+ b2)2 P1(b1+ L2+ b2) + RB(L2+ b2) + RC . b2 = 5,2529 . 10 3 . 102 4 . 7 + 18,1663 . 6 + 19,1789 . 1 = 2,7075 tm

MD = 0Momen Lapangan maksimum ===( gaya lintang D=0 =====( Dx = 0Dari hasil perhitungan nilai D=0, berada antara titik A dan P1 untuk bentang AB, antara titik B dan C untuk bentang BC dan antara titik P2 dan D untuk bentang CD.Untuk bentang AB :RA q . x = 0 ===( 5,2529 3 . x = 0 ====( x = 1,751 mMLap.Maks = RA . x q . x2 = 5,2529 . 1,751 . 3 . 1,7512 = 4,5988 tmUntuk bentang BC :

RBC q . x = 0 ===( 7,4129 3 . x = 0 ====( x = 2,4731 m

MLap.Maks=RBC. x q. x2 -MBC = 7,4172. 2,4731 .3. 2,47312 6,9884 = 2,1857 tm

Untuk bentang CD :

RCD q . x P2 = 0 ===( 11,5981 3 . x - 5 = 0 ====( x = 2,1994 m

MLap.Maks=RCD. x q. x2 P2.(x-b2)- MCD = 11,5981. 2,1994 .3. 2,19942 5(2,1994-1) - 7,3923 = 4,8635 tm11,5981

7,4192

5,2529

8,5981

3,5981 A

B

C

D 3,7471

5,40197,7471

7,5808

10,7471

6,9884

7,3923 A

B

C

D

2,18574,5988

4,8635Gb. Diagram Bidang Lintang dan Momen Soal 1Contoh 2 Perhitungan dengan cara cross

Suatu struktur balok menerus seperti pada gambar di bawah ini :

Diketahui :

P1 = 4 t

L1 = 4 m

a1 = 3 m

EIAB = 1 P2 = 5 t

L2 = 5 m

b1 = 1 m

EIBC = 1 q = 3 t/m

L3 = 4 m

a2 = 3 m

EICD = 1

b2 = 1 m

Penyelesaian : Soal 2

1. Angka Kekakuan Batang :

2. Koefisien Distribusi : (.)KAB = 3 EI / L1 = 0,7500

BA = KBA / (KBA + KBC ) = 0,4839

KBC = 4 EI / L2 = 0,8000

BC = KBC / (KBA + KBC ) = 0,5161

KCD = 4 EI / L3 = 1,0000

CB = KCB / (KCB + KCD ) = 0,4444KAB = KAB , KBC = KCB

CD = KCD / (KCB + KCD ) = 0,55563. Menghitung Momen PrimerMoAB = 0 tm

MoBA = -( q L12 + P a1 b1 (L1 + a1) / (2 L12 )) = - 8,6250 tm

MoBC = - 1/12 q L22

= 6,2500 tm

MoCB = - 1/12 q L22

= - 6,2500 tmMoCD = 1/12 q L32 + (P a22 b2 / L32 )

= 6,8125 tm

MoDC = - (1/12 q L32 + (P a2 b22 / L32 )

= -4,9375 tm

4. Distribusi Momen

JointABCD

BatangABBABCCBCDDC

Koef.Dist0,00000,48390,51610,44440,55560,0000

M.Primer0,0000- 8,62506,2500- 6,25006,8125-4,9375

Balance

C.Over0,0000

0,00001,1492

0,00001,2258

-0,1250-0,25000,6129- 0,31250,00000,0000

-0,1563

Balance

C.Over0,0000

0,00000,06050,00000,0645-0,1362-0,27240,0323- 0,34050,00000,0000

-0,1703

Balance

C.Over0,0000

0,00000,06590,00000,0703-0,0072-0,01430,0351- 0,01790,00000,0000

-0,0090

Balance

C.Over0,0000

0,00000,00350,00000,0037-0,0078-0,01560,0018- 0,01950,00000,0000

-0,0098

Balance

C.Over0,0000

0,00000,00380,00000,0040-0,0004-0,00080,0020- 0,00100,00000,0000

-0,0005

Balance

C.Over0,0000

0,00000,00020,00000,0002-0,0004-0,00090,0001- 0,00110,00000,0000

-0,0006

Balance

0,00000,00020,0002-0,0000- 0,00010,0000

Jumlah0,0000-7,34187,3418-6,11986,1198-5,2838

Arah Momen

Diagram Free Body

5. Menghitung Reaksi perletakanBesarnya reaksi perletakan struktur, analog dengan perhitungan pada soal 1. Hasil perhitungan diperlihatkan sebagi berikut

Reaksi Perletakan. RA = RAB = 5,16455 t

RB = RBA + RBC = 10,83545 + 7,7444 = 18,57985 t

RC = RBC + RCD = 7,2556 + 9,959 = 17,2146 t

RD = RDC = 7,041 t

6. Gaya-gaya Dalam

a) Gaya Lintang (D)

DA = 516455 t DP1 kiri = - 3,83545 t

DP1 kanan = - 7,83545 tDB kiri = -10,83545 t DB kanan = 7,7444 t

DC kiri = - 7,2556 t

DC kanan = 9,959 t DP2 kiri = 6,959 t

DP2 kanan = 1,959 t

DD kiri = -7,041 t DD kanan = 0 t

b) Momen (M)

MA = 0

Mlap AB = 4,44543 tm MP1 = 1,99365 tm

MB = - 7,3418 tm MLap BC = 2,654156 tm MC = -6,1198 tmMP2 = -2,3392 tm MLap CD = 2,978814 tm MD = -5,2838 tm

9,959

5,216455

7,7444

6,959

1,959 A

B

C

D 3,83545

7,041 7,83545

7,2556

10,835457,3418

6,1198 5,2838 A

B

C

D

2,6541564,44543

2,978814Gb. Diagram Bidang Lintang dan Momen Soal 2Contoh 3 Perhitungan dengan cara cross

Suatu struktur balok portal seperti pada gambar di bawah ini :

Diketahui :

P1 = 5 ta = 2 m L = a + b + c = 5 m P2 = 5 tb = 1 mH = 4 mq = 3 t/mc = 2 m EIAC = EIBD = 1, EICD = 2

Penyelesaian :

1. Kekakuan Batang.

KCA = KDB = 4 EI/H = 1,0000

KCD = KDC = 4 (2EI)/L = 1,60002. Koefisien Distribusi. CA = KCA/( KCA+ KCD) = 0,3846 CD = KCD/( KCA+ KCD) = 0,6154 DC = KDC/( KDC+ KDB) = 0,6154 DB = KDB/( KDC+ KDB) = 0,3846

AC = BD = 0

3. Momen Primer. MAC = MCA = MDB = MBD = 0 tmMCD = (1/12.q.L2) + (P1.a(b+c)2/L2) + (P2.(a+b)c2/L2) = 12,2500 tmMDC = - 12,2500 tm4. Distribusi Momen

JointACDB

BatangACCACDDCDBBD

Koef.Dist/0,00000,38460,61540,61540,38460,0000

M.Primer0,00000,000012,2500- 12,25000,00000,0000

Balance

C.Over0,0000

-2,3558-4,71150,0000-7,53853,76927,5382-3,76924,71150,00000,0000

2,3558

Balance

C.Over0,0000

-0,7249-1,44970,0000-2,31951,15982,3195-1,15981,44970,00000,0000

0,7249

Balance

C.Over0,0000

-0,2230-0,44610,0000-0,71370,35690,7137-0,35690,44610,00000,0000

0,2230

Balance

C.OverDan seterusnya, dengan cara yang sama sehingga diperoleh hasil dengan jumlah momen akhir sebagai berikut :

Balance

C.Over

Balance

Jumlah-3,4027-6,80556,8055-6,80556,80553,4027

Arah Momen

Diagram Free Body

4m

5. Reaksi Perletakan.Dengan memanfaatkan persamaan keseimbangan pada masing masing batang, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut :HAC = HCA = 2,55205 t

HBD = HDB = 2,55205 t

VCD = VDC = 12,5000 t

VAC = VCA = VCD = 12,5000 t

VBD = VDB = VDC = 12,5000 t

6. Gaya-gaya Dalam.

Gaya Lintang (D)DA-C = -HAC = -2,55205 t

DC = -VCD = 12,5000 t DC-P1 = 6,5000 t

DP1-P2 = -1,5000 t

DP2-D = -12,5000 t DDB = HDB 2,55205 t

Gaya Normal (N)NA-C = -VAC = -12,5000 t

NB-D = -VBD = -12,5000 t

NC-D = -HCD = -2,55205 t

Momen (M)MA = 3,4027 tm

MCA = 6,8055 tmMCD= - 6,8055 tmMP1= 12,1945 tm

MP2 = 12,1945 tmMlap.maks = 12,5695 tm ( Tengah bentang CD ) 12,50 6,50 1,50 2,55205 1,50

2,55205 6,50

12,50Diagram Lintang (D) 2,55205

2,552052,55205

2,5520512,50

12,50Diagram Normal (N) 12,50

12,506,8055

6,8055

6,8055

6,8055Diagram Momen (M) 3,4027

3,4027Gb. Diagram Gaya-gaya Dalam1.3 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG BERGERAKStruktur dengan titik hubung yang bergerak dalam analisa cross disebut dengan pergoyangan. Sturktur dapat bergerak dalam satu arah (pergoyangan tunggal)maupun dua arah (pergoyangan ganda).Pemakaian metoda distribusi momen untuk menganalisa portal statis taktentu yang mengalami pergoyangan dapat dilakukan sebagai berikut :1. Semua joint ditahan terhadap pergoyangan. Momen-momen primer (Fixed End Momen) ditimbulkan oleh beban-beban luar didistribusikan sehingga akan diperoleh suatu kelompok momen yang telah seimbang (kelompok pertama).Portal tanpa beban dianggap mengalami suatu pergoyangan sehingga timbul satu satuan momen primer (Fixed End Momen). Momen primer ini kemudian didistribusikan sehingga akan diperoleh suatu kelompok momen yang seimbang (Kelompok kedua)

2. Nilai nilai momen yang sebenarnya dapat diperoleh dengan menjumlahkan momen pada kelompok pertama dengan momen pada kelompok kedua.

Untuk analisa lebih lanjut khususnya analisa pergoyangan pada struktur yang mengalami pergoyangan, baik tunggal maupun ganda, dapat dianalisa bahwa akibat adanya goyangan pada struktur akan timbul momen-momen akibat goyangan baik dalam arah horizontal maupun dalam arah vertical.Akibat adanya muatan/beban dalam arah goyangan akan memberikan koreksi terhadap masing-masing perataan momen jika seandainya pad astruktur dipasang pendel penahan terjadinya goyangan seperti gambar 1.8 sebagai berikut :

Cara perataan (distribusi momen) adalah sama seperti struktur yang tidak mengalami pergoyangan, hanya saja diperlukan analisa/langkah perataan momen sebagai berikut :1. Distribusi momen akibat adanya beban luar, dimana pendel penahan dianggap terpasang pada struktur ( gambar 1.8a ).2. Distribusi momen akibat gayangan, pendel penahan dilepas (gambar 1.8b)

Pada gambar 1.8b, nilai-nilai X1 dan X2 merupakan momen primer yang timbul pada masing-masing batang (batang AC dan BD) akibat adanya suatu goyangan. Besarnya nilai X1 dan X2 ditentukan berdasarkan rumus lendutan sebagai berikut :

= 1/EI (Mh . h - Mh . h) = Mh2/6EI = 1 satuan

M = 6EI /h2 -----------( pers. a )

= 1/EI ( Mh . h )

= Mh2/3EI = 1 satuan

M = 3EI /h2 -----------( pers. b )

Dari hasil perhitungan lendutan dia atas, kita dapatkan besarnya nilai X1 dan X2 sebagai berikut :X1 = 6EI hC/h2 ---( ( dari pers. a ) dan X2 = 3EI hD/h2 ---( ( dari pers. b ) Berdasarkan hal tersebut di atas, maka perbandingan nilai X1 dan X2 adalah 6 dan 3 sehingga untuk kondisi secara umum dapat diperoleh bahwa :

Langkah perhitungan metoda distribusi momen pada pergoyangan sebagai berikut :

A 1. Tentukan jumlah pendel dan letak pendel penahan goyangan pada struktur

Jumlah Pendel = 2 x joint (2 x Perletakan jepit + 2 x Perletakan sendi + jumlah Batang)

Dimana joint adalah titik kumpul, termasuk titik perletakan.2. Hitung kekakuan dan koefisien distribusi masing-masing titik kumpul.B 1. Distribusi momen akibat beban luar (pendel penahan goyangan terpasang).a. Hitung momen primer tiap batang akibat beban luar.b. Distribusi momen sampai terjadi keseimbangan pada masing-masing titik kumpul

c. Hitung besarnya reaksi pada pendel penahan goyangan

======( Reaksi pendel Hp0 = .

B 2. Distribusi momen akibat goyangan (pendel penahan goyangan dilepas).

a. Hitung momen primer tiap batang akibat goyangan.

b. Distribusi momen sampai terjadi keseimbangan pada masing-masing titik kumpul dan hasilnya dinyatakan dalam variable X

c. Hitung besarnya reaksi pada pendel penahan goyangan

======( Reaksi pendel HpX = .

C. Mencari nilai variable X dan momen akhir dari struktur.Kenyataannya pada struktur sebenarnya tidak ada pendel sehingga gaya yang terjadi pada pendel adalah = 0, sehingga ======( Hp0 + HpX = 0 ------( X akan diperoleh.

Momen akhir dari struktur adalah penjulahan dari :

Momen akibat beban luar dan momen akibat goyangan.

Contoh 4 Perhitungan dengan cara cross

Suatu struktur balok portal seperti pada gambar di bawah ini :

Diketahui :

P1 = 4 ta = 2 m L = a + b + c = 5 m P2 = 5 tb = 1 mH = 4 m

q = 3 t/mc = 2 m EIAC = EIBD = 1, EICD = 2

= 1,60002. Koefisien Distribusi.

CA = KCA/( KCA+ KCD) = 0,3846

CD = KCD/( KCA+ KCD) = 0,6154

DC = KDC/( KDC+ KDB) = 0,6154

DB = KDB/( KDC+ KDB) = 0,3846

A. 1 Jumlah pendel = 1 bh, dipasang pada titik C

A. 2 Kekakuan, koef. Distribusi, Momen primer

1. Kekakuan Batang.

KCA = KDB = 4 EI/H = 1,0000

KCD = 4 (2EI)/L = 1,60002. Koefisien Distribusi.

CA = KCA/( KCA+ KCD) = 0,3846

CD = KCD/( KCA+ KCD) = 0,6154

DC = KDC/( KDC+ KDB) = 0,6154

DB = KDB/( KDC+ KDB) = 0,3846

3. Momen Primer. MAC = MCA = MDB = MBD = 0 tm

MCD = (1/12.q.L2) + (P1.a(b+c)2/L2) + (P2.(a+b)c2/L2) = 11,5300 tmMDC = (1/12.q.L2) + (P1.a2(b+c)/L2) + (P2.(a+b)2c/L2) = -11,7700 tm4. Distribusi Momen Akibat Beban LuarJointACDB

BatangACCACDDCDBBD

Koef.Dist0,00000,438460,61540,61540,438460,0000

M.Primer0,00000,000011,5300- 11,77000,00000,0000

Balance

C.Over0,0000

-2,2173-4,43460,0000-7,09543,62157,2431-3,54774,52690,00000,0000

2,2635

Balance

C.Over0,0000

-0,6964-1,39290,0000-2,22861,09162,1832-1,11431,36450,00000,0000

0,6822

Balance

C.Over0,0000

-0,2099-0,41980,0000-0,67180,34290,6857-0,33590,42860,00000,0000

0,2143

Balance

C.OverDan seterusnya, dengan cara yang sama sehingga diperoleh hasil

dengan jumlah momen akhir sebagai berikut :

Balance

C.Over

Balance

Jumlah-3,2184-6,43696,4369-6,50756,50753,2537

Arah Momen

Diagram Free Body

5. Menghitung gaya/reaksi pendel penahan.

Tinjau Batang AC

Tinjau Batang BD

MC = 0

MD = 0

- HAC . 4 MAC + MCA = 0

HBD . 4 - MDB + MBD = 0

- HAC . 4 + 3,2148 + 6,4369 = 0

HBD . 4 6,5075 - 3,2537 = 0

=======( HAC = 2,4138 t( )=======( HBD = 2,4403 t ( )H = 0 diperoleh reaksi pendel pada titik C yaitu Hpo = 0,0265 t ( )A. 3 Distribusi Momen Akibat Goyangan ( pendel penahan dilepas ) C C

D D

1. Momen Primer MoCA

MoDBMoAC = MoCA = 6 (1EI ) / 42 =0,3750 EI

MoDB = MoBD = 6 (1EI ) / 42 =0,3750 EI

Dengan suatu perbandingan, diambil :

MoAC = MoCA =MoDB = MoBD = 1 MoAC

MoBD

A

B2. Distribusi Momen Akibat GoyanganJointACDB

BatangACCACDDCDBBD

Koef.Dist0,00000,438460,61540,61540,438460,0000

M.Primer1,00001,00000,00000,00001,00001,0000

Balance

C.Over0,0000

-0,1923-0,3846

0,0000-0,6154

-0,3077-0,6154

-0,3077-0,3846

0,00000,0000

-0,1923

Balance

C.Over0,0000

0,05920,1183

0,00000,1894

0,09470,1894

0,09470,1183

0,00000,0000

0,0592

Balance

C.Over0,0000

-0,0182 -0,0364

0,0000-0,0583

-0,0291-0,0583

-0,0291 -0,0364

0,00000,0000

-0,0182

Balance

C.OverDan seterusnya, dengan cara yang sama sehingga diperoleh hasil

dengan jumlah momen akhir sebagai berikut :

Balance

C.Over

Balance

Jumlah0,85290,7059-0,7059-0,70590,70590,8529

Arah Momen

Diagram Free Body

3. Menghitung Gaya Pendel PenahanTinjau Batang AC

Tinjau Batang BDMC = 0

MD = 0HAC . 4 MAC - MCA = 0

HBD . 4 - MDB - MBD = 0

HAC . 4 + 0,8529 - 0,7059 = 0

HBD . 4 0,7059 - 0,8529 = 0

===( HAC = 0,3897 t ( )

===( HBD = 0,3897 t ( )

H = 0

diperoleh reaksi pendel pada titik C yaitu Hpx = 0,7794 x ( )

A. 4 Nilai Variabel dan Momen AkhirJumlah gaya penahan pendel = 0

Hpo + Hpx = 0 ===( 0,0265 + 0,7794 x = 0 ===( x = - 0,0340 Momen Akhir Struktur = M akibat beban luar + M akibat goyanganJointACDB

BatangACCACDDCDBBD

M akibat beban luar

M Akhir-3,2184-6,43696,4369-6,50756,50753,2537

M akibat goyangan

M Akhir0,8529 x0,7059 x- 0,7059 x- 0,7059 x0,7059 x0,8529 x

- 0,0290- 0,02400,02400,0240- 0,0240- 0,0290

Momen Akhir Struktur

Jumlah-3,2474-6,46096,4609-6,48356,48353,2247

Arah Momen

Diagram Free Body

5. Menghitung Reaksi Perletakan Tinjau Batang AC

Tinjau Batang BDMC = 0

MD = 0HAC . 4 MAC - MCA = 0

HBD . 4 - MDB - MBD = 0

HAC . 4 - 3,2474 - 6,4609 = 0

HBD . 4 6,4835 - 3,2247 = 0

===( HAC = 2,4271 t ( )

===( HBD = 2,4271 t ( )

Berdasarkan persamaan keseimbangan pada masing masing batang pada gambar diagram free body, maka akan diperoleh hasil sebagai berikut :

RA = RAC = VAC = VCD = 11,89548 t

RB = RBD = VBD = VDC = 12,10452 t

6. Perhitungan gaya-gaya Dalam Batang a). Gaya LintangDAC = - HAC = - 2,4271 t

DP1-P2 = DP1 q.1 = -1,10452 tDC = VCD = 11,89548 t

DP2 = DP1-P2 P2 = -6,10542 tDC-P1 = VCD q.2 = 11,89548 3 . 2 = 5,89548 tDP2-D = DP2 q.2 = -12,10542 tDP1 = DC-P1 P1 = 1,89548 t

DD-B = HDB = 2,4271 t b). Gaya NormalNAC = VAC = - 11,89548 tNB-D = VBD = -12,10452 tNCD = -2,4271 t c). MomenMA = 3,2474 tm

MDC = MDB = -6,4835 tmMCA = MCD = -6,4609 tm

MBD= 3,2247 tmMP1 = 11,3301 tm

MP2 = 11,72554 tmMLap Maks ===( Gaya Lintang D = 0 Pada jarak x = 2,6318 m dari titik C

MLap Maks = 11,92887 tm 11,89548 5,89548 1,895482,42711,10452

2,42716,1054212,10452Diagram Lintang (D)

2,4271

2,42712,4271

2,427111,89548

12,10452Diagram Normal (N)

11,89548

12,10452

6,4609

6,4835 6,4609

6,4835

11,3301 11,27554 11,92887 4Diagram Momen (M)

3,2474

3,2247Gb. Diagram Gaya-gaya Dalam

1.4 RANGKUMAN1). Perhitungan Distribusi momen untuk titik hubung tetap.Langkah perhitungan momen-momen ujung batang untuk struktur dengan titik hubung tetap dengan cara cross adalah sebagai berikut :

a) Hitung angka kekakuan masing-masing elemen/batang ( K )

b) Hitung koefisien distribusi masing-masing elemen/batang ( )c) Hitung momen primer masing-masing elemen/batang ( Mo . )

d) Distribusi momen sampai diperoleh nilai 0,0004 kg

e) Koreksi momen masing-masing titik kumpul sampai M = 0

Momen ujung hasil koreksi adalah momen ujung elemen/batang

2). Perhitungan Distribusi momen untuk titik hubung bergerak.

Langkah perhitungan momen-momen ujung batang untuk struktur dengan titik hubung bergerak dengan cara cross adalah sebagai berikut :

A 1. Tentukan jumlah pendel penahan goyangan pada struktur.

pendel = 2 x joint ( 2 x perletakan jepit + 2 x perletakan sendi + Batang )

2. Hitung kekakuan dan koefisien distribusi pada masing-masing titik kumpulB 1. Distribusi momen akibat beban luar

a) Hitung momen primer masing-masing elemen/batang ( Mo . )

b) Distribusi momen sampai diperoleh nilai 0,0004 kg

c) Koreksi momen masing-masing titik kumpul sampai M = 0

d) Hitung besarnya reaksi pendel penahan goyangan

====( Reaksi pendel = HP0 = ..B 2. Distribusi momen akibat goyangan ( pendel penahan dilepas )a) Hitung momen primer masing-masing elemen/batang yang dinyatakan dalam X1, X2 dst atau M1, M2 . Dst b) Distribusi momen sampai diperoleh nilai 0,0004 kg

c) Koreksi momen masing-masing titik kumpul sampai M = 0

d) Hitung besarnya reaksi pendel penahan goyangan

====( Reaksi pendel = HPX = .. ( dalam variable X )C. Mencari harga/Nilai dari variable X dan Momen akhir dari strukturPada kenyataannya suatu struktur tidak ada terpasang pendel penahan goyangan, sehingga gaya yang timbul/terjadi pada pendel tersebut adalah = 0, sehingga, ====( Reaksi pendel = HP = HP0 + HPX = 0 sehingga nilai X akan diperoleh.Besarny anilai momen akhir dari struktur adalah hasil penjumlahan dari momen hasil distribusi akibat beban luar + momen hasil distribusi akibat goyangan setelah dikalikan varibael X. sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :===( M Akhir = M akibat beban luar + M akibat goyangan x variable X

MB

= =

MA

P2

a

c

b

B

KL/2EI

A

A

B

C

D

B

A

MB

MA

B

A

MA/EI

MA

B,A

A

B

A

MB/EI

B,B

MB

L

L

1

MA . L

L

2EI

B,A = = MA L / 6 EI

L

2

+

-

L

L

P1

q

MB . L

L

2EI

B,B = = MB L / 3 EI

L

+

+

A,A

B

K

K

A

B

B

A,A

A

K

A

B

A,B

A

B

K

K/EI

+

L

L

K/2EI

L

L

K . L

L

2EI

A,A = = K . L / 3 EI

L

K . L

L

4EI

A,B = = K . L / 12 EI

L

+

+

-

K

A=1

L

L

+

K/EI

3

2

K . L

= 1 ====( K = 3EI / L

3EI

K . L

L

2EI

A,A = = K . L / 3 EI

L

1

Momen titik

Momen batang

Mo

3

Mo

M02

1

MCD

D

3

1

M01

0

M01

+

2

M03

3

2

M01

1

1

M01

1

0,0

1

0,1

+

L

L

M01/EI

L

L

+

M01/2EI

M01 . L

L

2EI

0,0= = M01 . L / 3 EI

L

M01 . L

L

4EI

0,1= = M01 . L / 12 EI

L

L

L

+

M03/EI

3

3

M03

M0

0=

K01 + K02 + K03

M03 . L

L

2EI

3= = M03 . L / 3 EI

L

K01

M01= x M0

K01 + K02 + K03

K01

= 01

K01 + K02 + K03

K0i

0i =

K0-n

C

L1

q

A

P2

L2

P1

B

L3

b2

a2

a1

b1

P1

q

MBA

MBC

L2

RAB

RBA

b1

a1

b2

a2

P2

q

RDC

RCD

C

D

MCB

q

RCB

RBC

A

B

P2

q

P1

L3

L2

L1

a1

a2

b2

b1

P1

q

MBA

P2

MCD

q

q

MBC

MCB

RAB

RBA

RCD

RDC

RCB

RBC

b2

a2

L2

b1

a1

D

MDC

C

A

B

P2

P1

a

c

b

MBD

VBD

HBD

P1

P2

b

c

a

VCD

MCD

HCD

q

q

VDC

MDC

HDC

HDB

MDB

VDB

VCA

MCA

HCA

VAC

MAC

HAC

B

C

B

A

D

C

D

D

C

A

( a )

X2

X1

( b )

h

h

Gambar 1.8

Mh

M

M

2/3 h

Mh

1/3 h

Mh

2/3 h

1/3 h

Faktor X1 = 6 ========( untuk keadaan struktur jepit jepit

Factor X2 = 3 ========( untuk keadaan struktur jepit - sendi

D

C

A

B

b

c

a

q

P2

P1

MCD

MDC

HDC

HCD

VCA

VDB

VDC

VCD

MCA

HCA

HDB

MDB

b

c

a

MAC

HAC

MBD

HBD

VAC

VBD

P1

P2

q

MCD

MDC

HDC

HCD

VCA

VDB

VDC

VCD

MCA

HCA

HDB

MDB

b

c

a

MAC

HAC

MBD

HBD

VAC

VBD

MCD

MDC

HDC

HCD

VCA

VDB

VDC

VCD

MCA

HCA

HDB

MDB

b

c

a

MAC

HAC

MBD

HBD

VAC

VBD