merentang (spanning) tugas matrikulasi aljabar linear

14
1 TUGAS MATRIKULASI ALJABAR LINEAR MERENTANG (SPANNING) (Disusun dalam rangka memenuhi tugas akhir matrikulasi mata kuliah Aljabar Linear di Universitas Negeri Makassar) Disusun Oleh: Kelompok I Kelas E/05 1. MUH. ALFIANSYAH 2. SUHARYADI SUWAKBUR 3. IWAN SETIAWAN 4. ASMAUN 5. DARWAN 6. FITRI NUR ANINGSIH PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR MAKASSAR 2016

Upload: muhammad-alfiansyah

Post on 15-Apr-2017

100 views

Category:

Education


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

1

TUGAS MATRIKULASI

ALJABAR LINEAR

MERENTANG (SPANNING)

(Disusun dalam rangka memenuhi tugas akhir matrikulasi mata kuliah

Aljabar Linear di Universitas Negeri Makassar)

Disusun Oleh:

Kelompok I

Kelas E/05

1. MUH. ALFIANSYAH

2. SUHARYADI SUWAKBUR

3. IWAN SETIAWAN

4. ASMAUN

5. DARWAN

6. FITRI NUR ANINGSIH

PENDIDIKAN MATEMATIKA

PROGRAM PASCASARJANA

UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR

MAKASSAR

2016

Page 2: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

2

MERENTANG (SPANNING)

A. Definisi

Definisi 1

Misalkan adalah ruang vektor di dan adalah subset dari .

merentang suatu himpunan di jika setiap vektor di dapat ditulis sebagai

kombinasi linear dari vektor-vektor di . Hal ini disebut merentang ( spans

.

Definisi 2

Misalkan adalah ruang vektor di dan adalah subset dari .

Ruang yang direntang dari adalah himpunan semua kombinasi linear dari

vektor-vektor di (misalkan himpunan tersebut adalah ).

(

1. Rentang dinotasikan oleh ( atau

2. Jika ( maka dikatakan sebagai ruang yang direntang oleh

atau merentang .

Definisi 3

Jika adalah himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor

, maka subruang dari yang terdiri dari semua kombinasi linear vektor-

vektor pada disebut sebagai ruang yang direntang (space spanned) oleh

, dan merentang (span) . Untuk menyatakan adalah

ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan di

kita menuliskan:

(

Page 3: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

3

B. Contoh

1. Himpunan vektor yang merentang di

Contoh soal:

a. ( (

b. ( (

Solusi:

a. Misalkan ( (

Misalkan

Ambil sebarang skalar

Ambil sebarang

Pandang (

Akan dibuktikan merentang

Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa

membentuk kombinasi linear.

Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-

komponennya diperoleh:

( ( (

( ( (

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh

... (i)

... (ii)

Dari persamaan (ii) diperoleh

Subtitusi ke persamaan (i)

(

Diperoleh dan

( tunggal atau konsisten,

sedemikian sehingga

( ( [

( ] (

Membentuk kombinasi liner, artinya merentang

Page 4: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

4

b. Misalkan ( (

Misalkan

Ambil sebarang skalar

Ambil sebarang

Pandang (

Akan dibuktikan merentang

Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa

membentuk kombinasi linear.

Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-

komponennya diperoleh:

( ( (

( ( (

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh

... (i)

... (ii)

Dari persamaan (ii) diperoleh ... (iii)

Subtitusi ke persamaan (i)

(

(

Subtitusi

( ke persamaan (iii)

[

( ]

Diperoleh

dan

( tunggal atau

konsisten, sedemikian sehingga

( (

) ( [

( ] (

Membentuk kombinasi liner, artinya merentang

Page 5: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

5

2. Himpunan vektor yang merentang di

Contoh soal:

a. (1,0,0), (2,2,0), (3,3,3)

b. (3,1,-4), (2,5,6), (7,4,8)

Solusi:

a. Misalkan ( ( (

Misalkan

Ambil sebarang skalar

Ambil sebarang

Pandang (

Akan dibuktikan merentang

Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa

membentuk kombinasi linear.

Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-

komponennya diperoleh:

( ( ( (

( ( ( (

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh

... (i)

... (ii)

... (iii)

Dari persamaan (iii) diperoleh

Subtitusi

ke persamaan (ii)

(

)

(

Subtitusi

( dan

ke persamaan (i)

[

( ] [

]

Page 6: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

6

Diperoleh ,

( dan

tunggal atau

konsisten, sedemikian sehingga

( ( ( [

( ] ( (

) (

Membentuk kombinasi liner, artinya merentang

b. Misalkan ( ( (

Misalkan

Ambil sebarang skalar

Ambil sebarang

Pandang (

Akan dibuktikan merentang

Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa

membentuk kombinasi linear.

Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-

komponennya diperoleh:

( ( ( (

( ( ( (

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh

... (i)

... (ii)

... (iii)

Akan diselesaikan menggunakan OBE (eliminasi gauss)

(

)

(

)

(

)

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh

... (i)

... (ii)

... (iii)

Page 7: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

7

Dari persamaan (iii) diperoleh

Subtitusi

ke persamaan (ii)

(

)

Subtitusi

dan

ke

persamaan (i)

(

) (

)

Diperoleh

,

dan

tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga

( (

) (

(

) ( (

) (

Membentuk kombinasi liner, artinya merentang

3. Himpunan polinomial yang merentang di

Contoh soal:

a.

b.

Solusi:

a. Misalkan

Misalkan

Ambil sebarang skalar

Ambil sebarang

Pandang

Akan dibuktikan merentang

Page 8: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

8

Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa

membentuk kombinasi linear.

Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-

komponennya diperoleh:

( ( ( (

( ( ( (

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh

... (i)

... (ii)

... (iii)

Dari persamaan (i) diperoleh

Subtitusi ke persamaan (ii)

Subtitusi dan ke persamaan (iii)

Diperoleh , dan tunggal atau konsisten,

sedemikian sehingga

( ( ( ( ( (

Membentuk kombinasi liner, artinya merentang

4. Matriks yang merentang

Contoh Soal:

(

) (

) (

) (

)

Solusi:

Misalkan: (

) (

) (

) (

)

Misalkan

Ambil sebarang skalar

Ambil sebarang

Page 9: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

9

Pandang (

)

Akan dibuktikan merentang

Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa

membentuk kombinasi linear.

Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-komponennya

diperoleh:

(

) (

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

) (

)

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh

... (i)

... (ii)

... (iii)

... (iv)

Akan diselesaikan menggunakan OBE

(

)

(

)

(

)

(

)

Diperoleh:

... (i)

... (ii)

... (iii)

... (iv)

Dari persamaan (iii) diperoleh

(

Page 10: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

10

Dari persamaan (iv) diperoleh

(

Subtitusi

( &

( ke persamaan (ii)

[

( ] [

( ]

Subtitusi

( ke persamaan (i)

(

Diperoleh

,

,

( dan

( tunggal atau konsisten, sedemikian

sehingga

(

) (

) (

) (

) (

)

Membentuk kombinasi liner, artinya merentang

C. Bukan Contoh

1. Himpunan vektor yang tidak merentang di

Contoh soal:

a. ( (

b. ( (

Solusi:

2. Himpunan vektor yang tidak merentang di

Contoh soal:

a. (2,-3,1), (4,1,1), (0,-7,1)

b. (1,6,4), (2,4,-1), (-1,2,5)

Solusi:

3. Himpunan polinomial yang tidak merentang di

Contoh soal:

a.

Page 11: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

11

b.

Solusi:

b. Misalkan

Misalkan

Ambil sebarang skalar

Ambil sebarang

Pandang

Akan dibuktikan merentang

Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa

membentuk kombinasi linear.

Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-

komponennya diperoleh:

( ( ( (

( ( ( (

Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh

... (i)

... (ii)

... (iii)

matriks koefisiennya adalah (

)

Akan ditentukan determinannya menggunakan OBE

|

|

|

| ( ( (

Diperoleh determinan matriks koefisiennya adalah 0 akibatnya tidak

merentang di .

4. Matriks yang tidak merentang

Contoh Soal:

(

) (

) (

)

Solusi:

Page 12: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

12

D. Teorema

Jika dan adalah dua himpunan vektor-

vektor pada suatu ruang vektor , maka

Jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari

vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari

vektor-vektor pada .

Proof:

Diketahui: ruang vektor, dan

dan

sehinggga

akan ditunjukkkan adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan

setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari

vektor-vektor pada .

Bukti :

Berdasarkan definisi merentang yakni:

karena

maka

akibatnya

(

Hal tersebut menunjukkan bahwa setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linear dari vektor-vektor pada .

Page 13: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

13

Begitupun sebaliknya

(

Hal tersebut menunjukkan bahwa setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai

kombinasi linear dari vektor-vektor pada .

Jadi, Jika maka

setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan

setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada ....

terbukti.

Diketahui: ruang vektor, dan

dan

sehinggga adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap

vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada .

akan ditunjukkkan

Bukti :

Jika setiap vektor adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada maka

( (

dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada .

Maka

( (

dan akibatnya

( (

Akan ditunjukkan menggunakan kontradiksi

Misalkan setiap vektor di tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari vektor-vektor di , sedemikian sehinggga

Jika

maka ( tetapi ( akibatnya ( (

oleh sebab itu jika

Page 14: Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

14

maka harus ( dan ( sedemikian sehingga (

(

begitupun sebaliknya

Misalkan setiap vektor di tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear

dari vektor-vektor di , sedemikian sehinggga

Jika

maka ( tetapi ( akibatnya ( (

oleh sebab itu jika

maka harus ( dan ( sedemikian sehingga (

( .

Jadi, jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-

vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari

vektor-vektor pada maka

.... terbukti.

Jadi, Jika dan adalah dua himpunan

vektor-vektor pada suatu ruang vektor , maka

Jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu

kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu

kombinasi linear dari vektor-vektor pada .