Mempelajari Tensor (range dua) Oleh : Moh. Rosyid Mahmudi Syafwa Oktawandi Fabian Rinaldi Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor 2009 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi2 KATA PENGANTAR SegalapujibagiAllahSWTatassemuakarunia-Nya.Solawatdansalam ditujukan kepada Rasul SAW yang memberikan warisan ilmu agama dan ilmu kehidupan sehingga dunia menjadi terang-benderang. DenganpenuhsyukurAlhamdulillah,kamiakhirnyamampumenyelesaikan tulisan ini. Sebagai sebuah tugas semester tujuh dari mata kuliah zat padat di departemen fisika.TerimakasihkamiucapkankepadaDr.Ir.Irzaman,M.Si,selakudosenmata kuliahfisikazatpadaini.Beliaulahyangmemilikiideagartulisaninidibuat.Agar menjadibahanpembejaranyanglebihterstrukturdandapatdiwariskanuntukangkatan berikutnya.Akantetapibanyaksekalikekuranganyangadadalamtulisan.Kritikdan saran untuk perbaikan tulisan ini sangat diharapkan. Penulis 2009 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi3 DAFTAR ISI I.Pengertian Tensor............................................................................................... 4 II.Nilai Eigen dan Vektor Eigen............................................................................. 5 III.Jenis jenis Tensor............................................................................................. 10 IV.Tensor Simetris dan Anti simetris.......................................................................13 V.Penerapan Tensor................................................................................................ 15 VI.Sumber.............................................................................................................17 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi4 I.PENGERTIAN TENSOR Katatensordiperkenalkanpadatahun1846olehWilliamRowanHamiltonuntuk menggambarkanoperasinormadalamsuatusistemaljabarjenis(akhirnyadikenalsebagai aljabarClifford).KatatensordigunakandalamartisepertisaatiniolehWoldemarVoigt pada 1898 Tensor adalah entitas geometri yang diperkenalkan ke dalam matematika dan fisika untuk memperluas pengertian skalar, (geometris) vektor, dan matriks.Dalamfisikasemuabesaranadalahtensor.Tensormempunyairange.Rangepada tensor akan menunjukkan jumlah komponennya. Jumlah komponen dari sebuah tensor adalah 3n, dengan n menyatakan range tensor tersebut.1.Skalarmerupakantensorrangenol(n=0).Mempunyai1komponen.Contoh: Kelajuan (v), Jarak (s), dan Energi (E). 2.Vektormerupakantensorrange1(n=1).Mempunyai3komponenyaitu komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z pada koordinat kartesian. Dan tetap mempunyai 3 komponen untuk sistem koordinat yang lain.Contoh : Posisi (r) , terdiri dari rx , ry , rz , kecepatan (v), dan gaya (F). 3.Sedangkan Tensor itu sendiri merupakan tensor range lebih dari 1 (n>1). Range 2 (n=2) . Mempunyai 9 komponen. ContohTensor Green|||.|

\|=zz zy zxyz yy yxxz xy xxBG G GG G GG G Gr r G ) ' , ( Tensor Stress Tensor yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah tensor range dua. Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi5 II.NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Nilai eigen suatu nilai yang menyatakan diri sendiri dari suatu matrik tersebut. Nilai eigen merupakan nilai yang khusus (khas) yang hanya dimiliki oleh matrik tersebut.Nilai eigen dapat dinyatakan sebagai berikut :

denganAdanradalahmatriksembarang.Dan adalahnilaieigenyang dimaksudkan. ||.|

\|=d cb aAdan||.|

\|=yxr ||.|

\|=||.|

\|||.|

\|= + = += + = +||.|

\|=||.|

\|++||.|

\|=||.|

\|||.|

\|000 ) (0 ) (yxd cb amakay d cx y dy cxby x a x by axsehinggayxdy cxby axyxyxd cb a Nilai matrik x , y tidak mungkin bernilai nol karena itu penyebab nol adalah matrik pertama. Sehingga nilai determinannya adalah nol. ( )( ) { } 0 0 = =bc d ad cb a Cara ini berlaku sama untuk matrik yang berukuran lebih dari 2 x 2. Dengan memasukkan nilai eigenyang telah didapatkan maka akan didapatkan vektor eigennya.VektoreigenditunjukkanolehF=(x,y)atauF=||.|

\|yx. Selainituadavektor eigen ternormalisasi F=||.|

\|+ +2 2 2 2,y xyy xx A r = r Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi6 Contoh soal: Tentukanlah nilai eigen dan vektor eigen dari matrik berikut: i. ||.|

\|2 22 5 ii. |||.|

\|1 0 00 2 30 3 2 Jawab : i. ||.|

\|2 22 5 Untuk matrik 2 x 2 kita sudah mendapatkan perumusannya di atas 610 ) 1 )( 6 (0 6 7 0 4 10 70 } 4 ) 2 )( 5 {( 0 } ) )( {(212 2=== = + = + = = makasehinggabc d a Merupakan nilai eigen dari matrik di atas. Menghitung vektor eigen Untuk11 = x yy xy xy xy xy xy x20 20 2 40 ) 1 2 ( 20 2 ) 1 5 (0 ) 2 ( 20 2 ) 5 (= = + = = + = = + = Sehingga vektor eigen adalah Adalah vektor eigen ||||.|

\| =5251)52,51( ) (1 T F Vektor eigen ternormalisasi ||.|

\| == === =21) 2 , 1 () 2 , 1 ( ) 2 , (2) , (111Fmakas s s Fs ys xmisal y x F Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi7 Untuk62 = y xy xy xy xy xy xy x20 4 20 20 ) 6 2 ( 20 2 ) 6 5 (0 ) 2 ( 20 2 ) 5 ( = = = = + = = + = Sehingga vektor eigen adalah||.|

\| = = == = =12) 1 , 2 () 1 , 2 ( ) , 2 (2) , (222Fmakas s s Fs xs ymisal y x F Adalah vektor eigen ||||.|

\|=5152)51,52( ) (2T FVektor eigen ternormalisasi ii.A= |||.|

\|1 0 00 2 30 3 2r = |||.|

\|zyxy A r = r maka |||.|

\|=|||.|

\||||.|

\|zyxzyx1 0 00 2 30 3 2 eigen makasehinggazyxzy xy xz zy y xx y xzyxzy xy x== == + = = + = = = =|||.|

\||||.|

\|= = += + == += +|||.|

\|=|||.|

\|++5110 ) 1 )( 5 )( 1 ( 0 } 5 4 ){ 1 (0 } 9 4 4 ){ 1 ( 0 } 9 ) 2 )( 2 ){( 1 (0 } 9 ) 1 {( )} 1 )( 2 )( 2 {(01 0 00 2 30 3 201 0 00 2 30 3 20 ) 1 (0 ) 2 ( 30 3 ) 2 (2 33 22 33 232122 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi8 Menghitung vektor eigen Untuk11 = 00 20 3 30 3 30 ) 1 1 (0 ) 1 2 ( 30 3 ) 1 2 (0 ) 1 (0 ) 2 ( 30 3 ) 2 (= == = += += += + += + += = += + zy xzy xy xzy xy xzy xy x Sehingga vektor eigen adalah |||.|

\| = = == == =011) 0 , 1 , 1 () 0 , 1 , 1 ( ) 0 , , (0) , , (111Fmakas s s Fzs ys xmisal z y x F Adalah vektor eigen |||||||.|

\|=02121) 0 ,21,21( ) (1 T F Vektor eigen ternormalisasi Untuk12 = ,....} 3 , 2 , 1 , 0 {00 ) 0 (0 30 30 ) 1 1 (0 ) 1 2 ( 30 3 ) 1 2 (0 ) 1 (0 ) 2 ( 30 3 ) 2 (== === += += = += + = = += + zy xzy xy xzy xy xzy xy x Untukkasussecaraumumdalamhaliniz=1,karenazbernilaibebas.Sehingga vektor eigen adalah |||.|

\| ===100) 1 , 0 , 0 () 1 , 0 , 0 () , , (222FmakaFz y x F Adalah Vektor eigen Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi9 |||.|

\| =100) 1 , 0 , 0 ( ) (2T FVektor eigen ternormalisasi Untuk53 = 00 40 3 30 3 30 ) 5 1 (0 ) 5 2 ( 30 3 ) 5 2 (0 ) 1 (0 ) 2 ( 30 3 ) 2 (=== = = + = = += + = = += + zy xzy xy xzy xy xzy xy x Sehingga vektor eigen adalah |||.|

\| == ==== =011) 0 , 1 , 1 () 0 , 1 , 1 ( ) 0 , , (0) , , (333Fmakas s s Fzs ys xmisal z y x F Adalah Vektor eigen |||||||.|

\| =02121) 0 ,21,21( ) (3T F Vektor eigen ternormalisasi Latihan latihan : Tentukanlah nilai eigen dan vektor eigen dari matrik berikut: 1. ||.|

\|2 23 1 2. |||.|

\|4 0 00 2 20 8 2 3. |||.|

\| 2 0 30 2 13 1 1 4. |||.|

\|1 8 23 1 22 2 3 5. |||.|

\| 3 0 10 3 21 2 1 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi10 III.JENIS JENIS TENSOR Ada tiga jenis Tensor : 1.Tensor kovarian Memenuhi sifat cccc=klkljlikijAxxxxA'2.Tensor kontravarianMemenuhi sifatcccc=klklljki ijAxxxxA '3.Tensor campuran Memenuhi sifatcccc=klkljkli ijAxxxxA 'Denganadanyadefenisitensordalamtigabuahjenistensordiatasmakajikapada suatumatrikpersegitidakmemilikisalahsatudarisifattigajenistensordiatas,matrik tersebut bukanlah tensor. Untuk memperlihatkan sifat tiga tensor diatas, kita harus mendefenisikan matrik baru yangmerupakantransformasikoordinatdaritensortersebut.Kemudianmenggunakansifat tensoruntukmembuktikanapakahmatriktersebuttensoratautidaksekaligusmenentukan jenis tensornya. Contoh :Buktikanlah apakah matrik di bawah termasuk tensor dan tentukan jenisnya. Sebuah tensor ||.|

\| =xy xy xyT22 matrik koordinat dari tensor tersebut adalah ||.|

\| =' ' '' ' ''22y x xy y xTJawab : ||.|

\| =||.|

\|=xy xy xyT TT TT2222 2112 11 dan ||.|

\| =||.|

\|=' ' '' ' '' '' ''2222 2112 11y x xy y xT TT TTsecara umum transformasi koordinat dibentuk oleh sebuah matrik sebagai berikut : ||.|

\|=||.|

\|= cos sinsin cos22 2112 11a aa aa sehingga cos sin 'sin cos 'y x yy x x+ =+ = Kemudiankitagunakansifatpadajenistensor.jikasifatnyasesuaimakamatrik tersebut termasuk tensor jenis tersebut. Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi11 Kita coba untuk tensor kontravarian yang memenuhi sifat = cccc=klkljl ikijklklljki ijT a a T TxxxxT ' 'Maka kita uraikan : 2212 122111 121212 111111 11 1 111' T a a T a a T a a T a a T a a Tklkll k+ + + = = Gantikan dengan nilai pada matrik yang ada ) ( sin ) ( cos sin ) ( cos sin ) ( cos ) cos sin )( sin cos () ( sin sin ) ( cos sin ) ( sin cos ) ( cos cos ' '2 2 2 22 2xy x y xy y x y xxy x y xy y x + + + = + + + + + = ruas kiri kita selesaikan dulu = + + + = + ) ( sin ) ( cos sin ) ( cos sin ) ( cossin cos sin cos sin cos2 2 2 22 2 2 2xy x y xyy xy xy x Memenuhi syarat karena ruas kiri sama dengan ruas kanan. 2222 122121 121222 111121 11 2 112' T a a T a a T a a T a a T a a Tklkll k+ + + = = Gantikan dengan nilai pada matrik yang ada ) ( cos sin 2 ) ( cos ) ( sin ) cos sin )( cos sin () ( cos sin ) )( sin ( sin ) ( cos cos ) )( sin ( cos '2 2 2 22 2 2xy y x y x y xxy x y xy y + + = + + + + + = Selesaikan ruas kiri = + + = + ) ( cos sin 2 ) ( cos ) ( sin) cos sin 2 cos sin (2 2 2 22 2 2 2xy y xxy y x Memenuhi syarat karena ruas kiri sama dengan ruas kanan. 2212 222111 221212 211111 21 1 221' T a a T a a T a a T a a T a a Tklkll k+ + + = = Gantikan dengan nilai pada matrik yang ada cos sin 2 sin cos cos sin 2 sin coscos sin 2 sin cos ) sin cos )( sin cos () ( sin cos ) ( cos cos ) ( sin ) sin ( ) ( cos ) sin ( '2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 2 2xy y x xy y xxy y x y x y xxy x y xy x+ + = + ++ + = + ++ + + = Memenuhi syarat karena ruas kiri sama dengan ruas kanan. 2222 222121 221222 211121 21 2 222' T a a T a a T a a T a a T a a Tklkll k+ + + = = Gantikan dengan nilai pada matrik yang ada cos sin sin cos cos sin ) cos sin )( sin cos () ( cos cos ) )( sin ( cos ) ( cos ) sin ( ) )( sin )( sin ( ' '2 2 2 22 2y xy xy x y x y xxy x y xy y x+ + = + ++ + + = Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi12 Selesaikan ruas kiri = + + cos sin sin cos cos sin2 2 2 2y xy xy xMemenuhi syarat karena ruas kiri sama dengan ruas kanan. Darikeempatempatnyamemenuhisyaratmakamatriktersebutadalahtensor kontravarian. Latihan latihan : Denganmenggunakansifattensortentukanlahapakahmatrikberikutadalahtensor dan apakah jenisnya. 1. ||.|

\|=xy yxy yA222. ||.|

\|=xy yx xyB22 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi13 IV.TENSOR SIMETRIS DAN ANTISIMETRIS Operasi pada tensor : skalar + skalar = skalar skalar + vektor = (tidak ada) vektor + vektor = vektor skalar x skalar = skalar skalar x vektor = vektor vektor (perkalian) vektor = 1.skalar vektor vektor = - (dot product) 2.vektor vektor vektor = (cross product) tensor (range >1) 1.- V (divergensi) 2. V (curl)

z y x cc+cc+cc= VSemua tensor mulai dari range 2 merupakan tensor yang dapat dipecah menjadi tensor simetris dan antisimetris. Tensor simetris adalah tensor yang komponen (i,j) = komponen (j,i).Contoh:|||.|

\|c f ef b de d a Tensorantisimetrisadalahtensoryangkomponen(i,j)=(-)negatifkomponen(j,i). Contoh:|||.|

\|c f ef b de d a Cara menentukan tensor simetris dan antisimetris dari sebuah tensor. is antisimetrA AsimetrisA AA A A A Aji ij ji ijji ji ij ij ij) (21) (21) (21) (21++= + + =Contoh soal : Tentukanlah tensor simetris dan antisimetris dari tensor berikut. |||.|

\|2 8 60 4 44 4 2 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi14 Jawab : |||.|

\| =2 8 60 4 44 4 2ijA dan|||.|

\| =2 0 48 4 46 4 2jiA|||.|

\|+|||.|

\| =|||.|

\|+|||.|

\| =)`|||.|

\| |||.|

\| +)`|||.|

\| +|||.|

\| = + + =0 4 14 0 01 0 02 4 54 4 45 4 20 8 28 0 02 0 0214 8 108 8 810 8 4212 0 48 4 46 4 22 8 60 4 44 4 2212 0 48 4 46 4 22 8 60 4 44 4 221) (21) (21ijijji ij ji ij ijAAA A A A A Tensor simetrisnya adalah|||.|

\| 2 4 54 4 45 4 2 Tensor antisimetrisnya adalah|||.|

\|0 4 14 0 01 0 0 Latihan latihan : Tentukanlah tensor simetris dan antisimetris dari tensor berikut ini : 1. ||||||||.|

\| 9 12 1 0 7 012 3 8 3 8 48 0 3 9 3 33 2 8 10 10 22 8 3 12 1 40 1 2 11 2 6 2. |||||||||||.|

\| 6 0 3 22 2 0 5 03 2 7 9 3 3 0 50 3 6 7 4 3 4 111 4 10 0 5 2 2 88 1 5 12 6 2 7 913 1 2 11 2 0 8 62 8 4 1 4 9 9 42 9 5 10 8 0 17 1 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi15 V.PENERAPAN TENSOR Dalamfisikatensorsangatlahpenting.Khususuntuktensorrangemulaidaridua banyaksekaliditemui.Akandalampenyelesaiannyatensortidaklahmudah.Berikutakan dibahas sebuah penerapan tensor dalam kelistrikan. Salah satu tensor dalam kelistrikan adalah momen quadrupol potensial listrik. Secara umum potensial listrik dinyatakan sebagai : ==Ni iiRqr1 04) (tc|Dengan ilustrasi gambar. ( )2 / 12 2 2 22 2 2cos 2 cos 2cos 2i i i i i i ii i i irr r r rr r r Rrr r r Ru uu + = + = + = Kita gantikan R untuk persamaan umum diatas ( )= +=Nii i iirr r rqr12 / 12 20cos 2 4) (u tc|Untuk memudahkan perhitungan kita gunakanderet berikut : ( )....... ..........16583211113 22 / 1+ + =t t tt Kita bentuk R kedalam (1+t)1/2 ( )( )ii iii i i irrrrt dengan t r Rrr r r Ruucos 2 1cos 222 / 12 / 12 2|.|

\||.|

\|= + = + = Maka deret diatas menjadi ( )...... cos 283cos 2211cos 2 11....... ..........165832111122 22 / 123 22 / 1||.|

\||.|

\||.|

\|+||.|

\||.|

\||.|

\| =||.|

\|||.|

\||.|

\||.|

\|++ + =ii iii iii irrrrrrrrrrrrt t ttu uu

Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi16 Kita perhatikan ruas kanan. ( ){ } ( ) ... ..........83cos231 cos 321cos 1.... .......... ..........83cos23cos2321cos 2211... .......... cos 483cos 48383cos 2212114 3224 322 2322 4 2+)`|.|

\|+)`|.|

\| +)`|.|

\|+)`|.|

\|+ =|.|

\|+|.|

\||.|

\|+|.|

\||.|

\|+ =|.|

\| +|.|

\|+|.|

\|+|.|

\|+|.|

\| =rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrriiiiiiiiiiii iiiiiii iii iu u uu u uu u u Suku suku dibentuk atas urutan pangkatnya yang menunjukkan range tensornya. Kita kembalikan pada persamaan umum potensial ( ) ( ) == = =||.|

\|||.|

\||.|

\||.|

\|+=+=+= =Niii iiNiiNiiNi iirrrrqrrtqr t rqr Rqr12 / 12012 / 10 12 / 101 0cos 2 141) (1 411 4 4) (utc|tc tc tc| .......... .......... ) 1 cos 3 (81cos4141) (12 230 120 1 0+ + + = = = =Nii i iNii i iNiir qrr qrqrr utcutc tc|PadakasusQuadrupoltensoryangdipakaiadalahrange2.Sehinggakitacukup memperhitungkan yang memiliki pangkat 2. Jadi potensial listrik untuk Quadrupol adalah ( )|||.|

\|=== = = ===zz zy zxyz yy yxxz xy xxjkNijkjk i i i i jkNii i i QQ Q QQ Q QQ Q QQk jk jkronez y x k jdengan r k j q QTensor r qrr1212 230, 0, 1ker, , ,3) 1 cos 3 (81) (ooutc| Menentukan 9 komponen tensor ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) = == == == = == = == = =Nii i i zx xzNii i i zzNii i i zy yzNii i i yyNii i i yx xyNii i i xxz x q Q Q r z q Qz y q Q Q r y q Qy x q Q Q r x q Q1 12 21 12 21 12 23 33 33 3 Mempelajari Tensor Moh. Rosyid Mahmudi, Safwa Oktawandi, dan Fabian Rinaldi17 VI.SUMBER -Catatan Pribadi Dr. Ir. Irzaman, M.Si -Tesis Hendradi Hardhienata, M.Si -http://www.wikipedia.org -http://www.elearning.gunadarma.ac.id