MEKANIKA

KELOMPOK III

Di Susun Oleh :

Rhistanto F (140710130019) Adhiawa Alif Archiafinno (140710130020) Teguh Fitra M (140710130021 Sarah Dhiba N.S (140710130023) Astri Fitriani M (1407101300240) Fizar Firdaus (140710130025)

PROGRAM STUDI GEOFISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PADJADJARAN

2014

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami ucapkan atas kehadirat Allah SWT, karena dengan rahmat

dan karunianya kita masih diberi kesempatan untuk menyelesaikan makalah

ini.Tidak lupa kami ucapkan kepada dosen pembimbing dan teman-teman yang

telah memberikan dukungan dalam menyelesaikan makalah ini.Kami menyadari

bahwa dalam penulisan makalah ini masih banyak kekurangan, oleh sebabiti

penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun.Semoga dengan

selesainya makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan teman-teman.

DAFTAR ISI

Kata pengantar ..................................................................... 1

Daftar Isi ..................................................................... 2

BAB I

Pendahuluan ..................................................................... 3

Rumusan masalah ..................................................................... 4

Tujuan ..................................................................... 4

BAB II

Hukum Kepler

Hukum I Kepler ..................................................................... 5

Hukum II Kepler ..................................................................... 6

Hukum III Kepler ..................................................................... 6

Hubungan antara α dengan Ψ ..................................................................... 7

Simulasi Orbit Bumi ..................................................................... 8

BAB III

Kesimpulan ................................................................... 13

DAFTAR PUSTAKA ................................................................... 14

BAB I

PENDAHULUAN

Simulasi tentang gerak planet bumi merupakan suatu persoalan yang

menarik untuk dilakukan. Simulasi ini akan menggambarkan gerak yang

dihasilkan oleh planet bumi pada posisi setiap saat yang dialami bumi. Posisi ini

yang akan disimulasikan adalah waktu pada posisi yang akan disimulasikan

adalah pada posisi pada vernal equinox, Autumn equinox, winter solstice, dan

solar solstice.

Dalam kajian Astronomi, Equinox adalah titik perpotongan antara

lingkaran Equatorial dengan lingkaran ekliptika. Titik perpotongan ini dinamakan

equinox, karena pada saat matahari berada di titik ini bumi bagian utara dan

selatan mengalami lama siang dan malam yang sama masing-masing 12 jam.

Istilah Equinox diambil dari bahasa Latin aequus (sama) dan nox (malam). Dalam

setahun matahari melintasi titik equinox 2 kali, yaitu (kira-kira) pada tanggal 21

Maret dan 22 September.

Dalam hukum Kepler ke II untuk kasus orbit berbentuk ellips, karena

dalam kenyataannya orbit ellips inilahbentuk dari orbit planet yang mengitari

matahari.

Di dalam suatu ilmu astronomi , tiga hukum Kepler tentang gerak planet

adalah (1) Setiap planet bergerak dengan lintasan ellips dan matahari berada di

salah satu fokusnya, (2) Luas daerah yang disapu pada selang waktu yang sama

akan selalu sama dan (3) Periode kuadrat suatu planet berbanding dengan pangkat

ti jarak rata-ratanya dari matahari.

Ketiga hukum di atas dikemukakan oleh seorang ahli matematika dan

astronomi yang bernama Johanes Kepler (1571-1630) berasal dari Jerman yang

menjelaskan tentang planet didalam tata surya. Hukum di atas menjelaskan

tentang gerakan dari dua buah benda yang saling mengorbit.

Hukum Kepler mempertanyakan kebenaran astronomi dan fisika warisan

zaman Aristoteles dan Ptolomeus. Ungkapan Kepler bahwa bumi beredar

sekeliling berbentuk ellips dan bukan epycile dan membuktikan bahwa kecepatan

gerak planet bervariasi, mengubah astronomi dan fisika.

Pada era modern, hukum Kepler digunakan untuk aproksimasi orbit satelit

dan benda-benda yang mengorbit matahari. Hukum-hukum ini menjelakan

gerakan dua benda yang mengorbit satu sama lainnya. Massa dari kedua benda ini

hampir sama.

Dalam semua contoh di atas kedua benda mengorbit mengelilingi satu

pusat massa ( barycenter ) dan tidak satupun berdiri secara sepenuhnya di atas

fokus ellips. Namun kedua orbit itu adalah ellips dengan satu titik fokus di

barycenter.

A. Rumusan Masalah

Bagaimana menentukan waktu dari posisi vernal equinox, Autumn

equinox, winter solstice, dan solar solstice.

B. Tujuan

Menentukan waktu dari posisi vernal equinox, Autumn equinox, winter

solstice, dan solar solstic dengan menggunakan pendekatan pada hukum Kepler.

BAB II

PEMBAHASAN

Hasil karya kepler yang di hasilkan dari data hasil pengamatan yang

dikumpulkan Tricho Brahe mengenai posisi setiap planet dalam pergerakannya di

dalam tata surya. Hukum ini telah dikemukakan oleh Kepler setengah abad

sebelum Newton mengmukakan ketiga hukumnya tentang gerak dan grafitasi

universal. Di anatara karya Kepler, terdpat tiga penemuan yang sekarang kita

kenal dengan “ Hukum Kepler Tentang Gerak Planet”.

A. Hukum Kepler

1. Hukum 1 Kepler

Hukum 1 Kepler berbunyi “Lintasan planet ketika mengelilingi

matahari berbentuk ellips, dimana matahari terletak pada salah satu

fokusnya”

Gambar 1. Posisi matahari dan planet dalam lingkaran ellips

2. Hukum II Kepler

Hukum II Kepler berbunyi “ Luas daerah yang disapu oleh garis

antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu

sama”.

g

Gambar 2. Luas daerah yang disapu oleh garis

antara matahari dengan planet

3. Hukum III KeplerHukum III Kepler berbunyi “ Kuadrat waktu yang diperlukan oleh

planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat

tiga jarak rata-rata planet-plenet tersebut dari matahari”.

Jika T1 dan T2 menyatakan periode dua planet, dan r1 dan r2

menyatakan jarak rata-rata dari matahari, maka

(T1

T2)

2

=( r1

r2)

3

Persamaan ini dapat ditulis kembali menjadi

r 13

T12 =

r 23

T22

(a-ea)

B. Hubungan antara α dengan Ψ

Pertama, harus mencari tahu hubungan antara α dengan Ψ, karena

dalam perhitungan selanjutnya akan menggunakan hubungan tersebut

untuk mencari nilai Δt.

TL

TL = titik pusat lingkaran

Tf = titik fokus elips

Data literatur:

Yang berhimpit diasumsikan datar

Orbit bumi sekarang eksitrinsitasnya 0,0167 (elips)

Orbit bumi berbentuk lingkaran nilai eksentrisnya 0,0005

Jika melihat pada gambar, dapat diasumsikan bahwa lintasan orbit

bumi pada antara bulan Desember sampai Januari berimpit dengan

orbit bumi berbentuk lingkaran.

Jika diperbesar segitiganya :

a

II p I

Ψ α

ea a-ea

a

a a Januari

DesemberTf

Jika a = jari-jari lingkaran, maka p adalah jarak perihelion atau bisa

dikatakan p = (a-ea).

Sehingga untuk mencari hubungan antara α dengan Ψ bisa

menggunakan aturan sinus.

Ltotal=L I+ L2

12

a ∙a sin Ψ=12

ea⋅ a ⋅sin Ψ + 12

a2 (1−e )2 sin α

a2sin Ψ =¿a2 e sin Ψ +a2 (1−e )2 sinα ¿

sin Ψ −¿e sin Ψ =(1−e )2 sinα ¿

sin Ψ (1−e )= (1−e )2sin α

sin Ψ =(1−0,0167 )sin α

sin Ψ =0,09833 sin α..................(1)

Selanjutnya, substitusikan persamaan (1) ke persamaan Kepler

sehingga mendapatkan persamaan berikut :

φ−e sinφ=2πτ

(t−t 0 )

φ−¿

C. Simulasi Orbit Bumi

a. Langkah menentukan waktu

1. Tentukan α. (α adalah sudut yang dibentuk antara titik acuan

dengan titik yang ditentukan).

2. Mencari nilai Ψ dan sin Ψ dari persamaan (1).

3. Setelah didapat nilai Ψ dan sin Ψ, substitusikan kedalam

persamaan Kepler, sehingga mendapatkan nilai Δt.

4. Δt merupakan selang hari dari waktu awal (atau waktu yang

dijadikan acuan) sampai titik yang ditentukan (t-t0).

b. Perhitungan menentukan waktu

Berdasarkan dari data literatur winter solstice terjadi pada 21

Desember, kemudian α mempunyai nilai sebesar 1,010 (berdasarkan

perbandingan antara periode bumi dengan jarak penuh suatu orbit)

perharinya. Acuan pada perhitungan kali ini adalah pada tanggal 1

Januari. Maka, kita dapat menentukan nilai α dari 21 Desember sampai

1 Januari, yaitu sebesar 11,10.

Maka Ψ dapat ditentukan :

Sin Ψ = 0,9833 sin (11,1o)

= 0,0605 π

Substitusikan Ψ dan sin Ψ pada persamaan Kepler :

0.0605π – (0,0167)(0,09833) sin(11,1) = 6,28

362,5∆ t

Δt = 10,86 hari = 11 hari.

Maret

Januari

Desember (ws)

Jika Desember ke Januari = 11,1o maka dari Januari sampai

kemaret adalah 78,89o.

Maka nilai Ψ dan sin Ψ :

Sin Ψ = 0,9833 sin (78,89o)

= 0,96487

Ψ = 0,4667

Substitusikan ke persamaan Kepler :

φ−e sinφ=2πτ

(t−t 0 )

0,4667 ⋅3,14−(0,0167 ) ( 0,9833 )sin 78,89 °=¿ 6,28365,25

∆ t ¿

Δt = 80,64 hari

11,1o

Jika menambahkan Δt dari 1 Januari, maka vernal equinox akan

terjadi pada tanggal 24 Maret.

Kemudian antara vernal equinox dengan solar solstice mempunyai

nilai α = 90o

Maret (se)

Juni (ss)

Sehingga sin Ψ = sin α

φ−e sinφ=2 πτ

(t−t 0 )

0,5 π−0,0167 (1 )sin 90 °= 6,28365,25

Δt

Δt = 90,34 hari.

Jika menambahkan Δt dari 18 Maret, maka solar solstice terjadi

pada 18 Maret + Δt = 20 Juni.

Kemudian untuk autumn equinox. Jika kita lihat pada gambar orbit

dengan vernal equinox

VE

SS WS

AE

Maka dapat menentukan nilai α = 180o dari VE ke AE, maka Ψ = π

dan sin α = sin Ψ. Sehingga jika kita substitusikan ke persamaan Kepler :

φ−e sinφ=2 πτ

(t−t 0 )

π−e sin π=2 πτ

∆ t

π−0=2 πτ

∆ t

π=2 πτ

∆ t

∆ t=182,625 hari

Maka jika ditambahkan Δt dari vernal equinox, maka autumn

equinox akan terjadi pada 20 September.

Kemudian, jika ingin mengetahui kapan terjadi kembali winter

solstice, kembali pada persamaan :

φ−e sinφ=2πτ

(t−t 0 )

Dengan α = 90o

Sin Ψ = 0,9833 sin 90o

= 0,9833 (1)

Ψ = 0,4837π

Substitusikan ke persamaan Kepler

φ−e sinφ=2 πτ

(t−t 0 )

0,4667 π− (0,0167 ) (0,9833 )=2πτ

Δt

0,4667 ∙ 3,14−(0,01667 ) (0,9822 )=2 πτ

∆ t

∆ t=87,4hari

Maka winter solstice pada tanggal 16 Desember.

Sehingga VE (21 maret)

SS

20 juni

AE (20 sept)

WS (21 Desember)

WS (16 Desember)

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Dari hasil simulasi diatas, maka didapat beberapa kesimpulan sebagai

berikut :

1. Hukum yang digunakan adalah Hukum Kepler I, II dan III tentang gerak

planet.

2. Hubungan antara α dengan Ψ adalah sin Ψ = 0,9833 sin α

3. Dengan menggunakan persamaan Kepler, dapat diketahui waktu dari

setiap posisi Bumi, yaitu :

a. Vernal Equinox = 21 Maret

b. Solar Solstice = 20 Juni

c. Autumn Equinox = 20 September

d. Winter Solstice = 16 Desember

DAFTAR PUSTAKA

Supardi M,Si. Simulasi Gerak Planet dalam Tata Surya. Yogyakarta. Penerbit :

Universitas Negeri Yogyakarta.

http://id.wikipedia.org/wiki/Orbit

http://syauqingisab.blogspot.com/2012/03/menghitung-saat-matahari-berada-

di.html