MEKANIKA KLASIK

Obyek yang dikaji dalam mekanika klasik dapat digolongkan menjadi tiga

jenis. Ketiga jenis obyek tersebut adalah (1) partikel tunggal; (2) banyak partikel

yang bersifat diskrit, baik partikel bebas maupun terikat (tegar); (3) banyak partikel

yang bersifat kontinyu/malar, sebagai contoh adalah fluida dan benda tegar. Ketiga

obyek tersebut dikaji dengan menggunakan tiga metoda yaitu (1) Newton, (2)

Lagrange, (3) Hamilton.

Selain obyek dan metoda juga terdapat perangkat pembahasan atau konsep-

konsep. Konsep-konsep tersebut adalah konsep dasar dan konsep turunan. Konsep

dasar dibagi menjadi tiga yaitu ruang, waktu, dan massa. Ruang, waktu dan massa

disebut sebagai konsep dasar karena ketiganya dapat berdiri sendiri tidak bergantung

dengan yang lain. Selain konsep dasar disebut sebagai konsep turunan, dan

berikutnya disebut sebagai besaran. Contoh konsep turunan adalah vektor posisi (),

kecepatan (), energi kinetik

=

, dan masih banyak lagi konsep-

konsep turunan yang lain.

PARTIKEL TUNGGAL

Keberadaan partikel dalam ruang dinyatakan dengan vektor posisi yang terjadi

pada saat . Fungsi vektor posisi ada dua yaitu (1) memastikan posisi partikel, (2)

menyatakan posisi partikel secara kuantitatif. Untuk menyatakan vektor posisi

diperlukan suatu kerangka acuan

dalam bentuk sistem koordinat.

Sebagai contoh dalam ruang tiga

dimensi dikenal sistem koordinat

kartesius. Posisi partikel terhadap

pusat koordinat pada saat dapat

dinyatakan sebagai vektor posisi

seperti tampak pada gambar di

samping.

Konsep dasar ruang

menuntun munculnya vektor

posisi . Konsep dasar waktu menuntun munculnya waktu . Akibatnya keberadaan

partikel pada suatu tempat dan saat tertentu dapat dituliskan sebagai (). Posisi

benda sebagai fungsi waktu () disebut sebagai gerak. Oleh karena itu = ()

disebut sebagai persamaan gerak partikel. Persamaan gerak partikel jika dinyatakan

dalam komponen-komponennya maka dapat dituliskan sebagai berikut.

Di ruang 1 dimensi ( 1)

() = ()

Persamaan gerak tersebut adalah persamaan gerak lurus.

Di ruang 2 dimensi( 2)

() = ()+ ()

Di ruang 3 dimensi( 3)

() = ()+ ()+ ()

Persamaan gerak benda = () mengindikasikan bahwa posisi partikel setiap

saat berubah-ubah. Dari perubahan posisi tersebut dapat diketahui laju perubahan

posisi yang dituliskan sebagai

()

() disebut sebagai kecepatan sesaat. Jika dinyatakan dalam komponen-

komponenya maka () dapat dituliskan sebagai berikut

() =

() =

(()+ ()+ ())

() =()

+

()

+

()

() = ()+ ()+ ()

Karena kecepatan sebagai fungsi waktu maka kecepatan tersebut akan berubah-ubah

seiring dengan berjalannya waktu . Laju perubahan kecepatan dinyatakan sebagai

=

()

() disebut sebagai percepatan sesaat. Jika dinyatakan dalam komponen-

komponenya maka () dapat dituliskan sebagai berikut

() =

() =

(()+ ()+ ())

() =()

+

()

+

()

() = ()+ ()+ ()

Jika diketahui () maka dapat dicari persamaan () dengan menggunakan

persamaan berikut ini.

() =

() =

Ruas kiri diintegralkan terhadap sedangkan ruas kanan diintegralkan terhadap

()

=

()

()

()

= | () ()

()

= () (0)

() = ()

+ (0)

atau

() = (0) + ()

Jika diketahui () maka dapat dicari persamaan () dengan menggunakan

persamaan berikut ini.

() =

() =

Ruas kiri diintegralkan terhadap sedangkan ruas kanan diintegralkan terhadap

()

=

()

()

()

= |()()

()

= () (0)

() = ()

+ (0)

atau

() = (0) + ()

Semua aspek tersebut (), (), () dibahas dalam kinematika, dan besaran-

besarannya disebut sebagai besaran kinematika.

Fakta di alam menunjukkan bahwa benda-benda bergerak dengan style

berbeda-beda. Perbedaan tersebut disebabkan oleh resultan gaya yang bekerja pada

benda. Akibatnya dalam pembahasannya memerlukan konsep dasar massa ().

Pembahasan ini masuk ke dalam aspek dinamika.

Persamaan gerak benda ditentukan oleh resultan gaya dan massa benda. Kaitan

antara resultan gaya dan persamaan gerak tunduk pada hukum II Newton yaitu

=

Untuk partikel tunggal maka massa adalah konstan. Persamaan di atas merupakan

persamaan differensial yang harus dicari persamaan geraknya (), dimana ()

yang diperoleh tergantung pada resultan gaya . Jadi setiap ada ketentuan mengenai

maka dapat ditentukan persamaan gerak (). Secara umum adalah fungsi dari

posisi, kecepatan dan waktu yaitu = , , . Pada ruang satu dimensi maka

= , , .

Persamaan Hukum Newton pada Ruang Satu Dimensi

Persamaan hukum Neewton pada ruang satu dimensi dapat dituliskan sebagai

berikut.

=

dimana adalah massa partikel/benda, adalah resultan gaya yang bekerja pada

benda bermassa . Berbagai kemungkinan gaya yang bekerja pada benda adalah

sebagai berikut.

1. Resultan gaya nol ( = 0)

2. Resultan gaya konstan ( = 0)

3. Resultan gaya sebagai fungsi posisi = ()

4. Resultan gaya sebagai fungsi kecepatan = ()

5. Resultan gaya sebagai fungsi waktu = ()

6. Resultan gaya sebagai fungsi posisi dan kecepatan = (, )

7. Resultan gaya sebagai fungsi posisi dan waktu = (, )

8. Resultan gaya sebagai fungsi kecepatan dan waktu = (, )

9. Resultan gaya sebagai fungsi posisi, kecepatan dan waktu = (, , )

Resultan gaya nol ( = 0)

Jika resultan gaya adalah nol ( = 0), maka persamaan hukum Newton dapat

dituliskan sebagai berikut.

=

= 0

= 0

Karena

= 0 maka harus konstan. Jadi benda yang mengalami resultan gaya nol

maka benda akan bergerak dengan kecepatan konstan atau yang sering disebut

sebagai gerak lurus beraturan. Karena konstan maka persamaan posisi benda dapat

dinyatakan sebagai berikut.

=

=

=

()

()

| = |()

()

( 0) = () (0)

() = (0) +

Berdasarkan persamaan posisi () tersebut tampak bahwa posisi benda berubah

terhadap waktu secara linear. Gambar berikut adalah grafik hubungan antara

kecepatan dan waktu serta posisi dan waktu.

Resultan Gaya Konstan ( = = )

Jika benda mengalami resultan gaya konstan ( = = ), maka

persamaan hukum Newton dapat dituliskan sebagai berikut.

=

Dari persamaan tersebut dapat diperoleh persamaan berikut

=

Sebagaimana yang telah diketahui bahwa

adalah percepatan benda. Karena massa

benda dan resultan gaya adalah konstan, maka

juga merupakan sebuah nilai

yang konstan. Jadi benda yang mengalami resultan gaya konstan akan mengalami

percepatan konstan. Jika dinyatakan

dalam grafik hubungan antara

percepatan dan waktu adalah

sebagai berikut.

Dari persamaan hukum Newton di atas dapat ditentukan persamaan kecepatan

benda sebagai berikut.

=

=

Dimana dan adalah konstan.

=

()

()

=

()

()

=

|()()

=

|

() (0) =

( 0)

() = (0) +

Persamaan kecepatan benda tersebut

menunjukkan bahwa kecepatan benda

yang mengalami gaya konstan

merupakan fungsi linear dari waktu .

Berdasarkan persamaan kecepatan di

atas maka dapat dibuat grafik

hubungan antara kecepatan dan waktu

seperti tampak pada gambar.

Persamaan kecepatan di atas

dapat digunakan untuk mencari persamaan posisi benda. Berikut adalah langkah

untuk menemukan persamaan posisi benda dari persamaan kecepatan ().

() = (0) +

= (0) +

= (0) +

()

()

= (0) +

|()()

= (0) +1

2

() (0) = (0) +1

2

(0)0 +1

2

0

() (0) = (0) +1

2

() = (0) + (0) +1

2

Berdasarkan persamaan tersebut tampak bahwa posisi benda merupakan fungsi

kuadrat dari waktu , sehingga grafik hubungan antara posisi dan waktu dapat

digambarkan sebagai berikut.

Resultan Gaya sebagai Fungsi Waktu = ()

Benda yang mengalami resultan gaya sebagai fungsi waktu, maka persamaan

hukum Newtonnya adalah sebagai berikut.

= ()

= ()

Dari persamaan tersebut dapat diperoleh beberapa besaran yang terkait dengan gerak

benda. Berikut adalah besaran-besaran yang dimaksud.

= ()

()

= ()

Besaran disebut sebagai momentum linear .

= ()

= ()

()

()

= ()

|()()

= ()

() (0) = ()

() (0) = ()

()

Pada persamaan tersebut tampak bahwa di ruas kiri adalah perubahan momentum

linear, sedangkan di ruas kanan adalah impuls gaya yang bekerja pada benda/partikel

selama . Jadi adanya impuls yang bekerja pada benda menyebabkan terjadinya

perubahan momentum linear benda.

Persamaan kecepatan benda sebagai fungsi waktu dapat ditentukan dengan

langkah-langkah berikut.

= ()

=

1

()

=1

()

()

()

= 1

()

|()()

=1

()

() (0) =1

()

() = (0) +1

()

Persamaan kecepatan tersebut bergantung pada bentuk persamaan resultan gaya

sebagai fungsi waktu (). Jika bentuk dari () diketahui maka dapat dtentukan

integralnya.

Setelah diketahui persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu, maka dapat

ditentukan pula persamaan posisi benda sebagai fungsi waktu. Berikut adalah

persamaan posisi sebagai fungsi waktu yang diperoleh dari persamaan kecepatan.

() = (0) +1

()

= (0) +

1

()

= (0) +1

()

()

()

= (0) +1

()

|()()

= (0) +1

()

() (0) = (0) +1

()

() = (0) + (0) +1

()

Seperti halnya dengan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu di atas, maka

persamaan posisi sebagai fungsi waktu juga sangat bergantung pada bentuk

persamaan resultan gaya (). Jika () diketahui maka () dapat ditentukan.

Contoh :

Benda bermassa 2 kg mengalami gaya () = 2 selama 4 sekon. Tentukanlah :

a. Kecepatan benda

b. Posisi benda

c. Momentum benda

Jika (i) (0) = (0) = 0, (ii) (0) = 2, (0) = 1

Jawab :

a. Kecepatan benda

= ()

= 2

=1

2

()

()

=1

2

|()()

=1

|

() (0) =1

( 0)

() = (0) +1

Jika (0) = (0) = 0 maka pada saat = 4 s

(4) = 0 +1

24

(4) = 8 m/s

Jika (0) = 2, (0) = 1 maka pada saat = 4 s

(4) = 1 +1

24

(4) = 9 m/s

b. Posisi benda

Persamaan posisi benda dapat diperoleh dari persamaan kecepatan sebagai

fungsi waktu.

() = (0) +1

= (0) +

1

= (0) +1

()

()

= (0) +1

|()()

= (0) +1

1

3

() (0) = (0) +1

3 (0)0 +

1

30

() = (0) + (0) +1

3 2

() = (0) + (0) +1

6

Jika (0) = (0) = 0 maka pada saat = 4 s

(4) = 0 + 0 4 +1

64

(4) =64

6=

32

3m

Jika (0) = 2, (0) = 1 maka pada saat = 4 s

(4) = 2 + 1 4 +1

64

(4) = 6 +64

6=

100

6=

50

3m

c. Momentum benda

() = ()

Jika (0) = (0) = 0 maka pada saat = 4 s

(4) = (4)

(4) = 2 8

(4) = 16 kgm/s

Jika (0) = 2, (0) = 1 maka pada saat = 4 s

(4) = (4)

(4) = 2 9

(4) = 18 kgm/s

Resultan Gaya sebagai Fungsi Posisi = ()

Persamaan hukum Newton bagi benda yang mengalami resultan gaya sebagai

fungsi kecepatan adalah sebagai berikut.

= ()

= ()

= ()

= ()

= ()

1

2

()

= ()

1

2() = ()

1

2 = ()

= ()

Di ruas kiri persamaan di atas adalah perubahan tenaga kinetik . Di ruas kanan

() adalah usaha yang dilakukan oleh gaya sebagai fungsi posisi () pada

benda sehingga benda berpindah sejauh . Karena gaya merupakan fungsi posisi,

maka besarnya gaya yang bekerja pada benda selalu berubah-ubah seiring perubahan

posisinya. Contoh gaya yang berubah terhadap posisi adalah gaya gravitasi antara

dua benda, dimana gaya gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak kedua

benda.

Andaikan suatu benda bermassa diletakkan sejauh dari permukaan bumi,

maka benda tersebut mengalami gaya gravitasi sebesar

() =

() =

() = ()

dengan arah gaya menuju ke pusat bumi. Untuk memindahkan benda tersebut

menuju ke tempat yang jaraknya dari permukaan bumi + maka diperlukan

gaya luar () yang arahnya berlawanan dengan arah gaya gravitasi atau dapat

dituliskan () = (). Akibat gaya luar () benda mengalami perpindahan

dari menjadi + , sehingga usaha yang dilakukan oleh gaya () terhadapa

benda adalah

()([ + ] ) = ()([ + ] )

()[ + ] () = ()([ + ] )

() + () () = (()[ + ] ())

() = (() + () ())

() = ()

Suku di ruas kanan persamaan tersebut adalah perubahan tenaga potensial, sehingga

persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

() = ()

Kembali ke persamaan = (), maka akan diperoleh persamaan berikut.

=

+ = 0

( + ) = 0

= 0

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa tenaga total benda () adalah konstan.

Dengan demikian gaya () disebut sebagai gaya konservatif karena tidak

mengubah tenaga total benda.

Bagaimanakah bentuk persamaan gerak kecepatan dan posisi benda?

Persamaan kecepatan benda yang mengalami resultan gaya sebagai fungsi posisi

() dapat diturunkan sebagai berikut.

= ()

= ()

= ()

= ()

=1

()

()

()

=1

()

()

()

1

2|()

()=

1

()

()

()

() (0) =2

()

()

()

() = (0) +2

()

()

()

() = (0) +2

()

()

()

Persamaan posisi benda sebagai fungsi waktu adalah sebagai berikut.

() = (0) +2

()

()

()

= (0) +

2

()

()

()

=

(0) +2

()

()

()

()

()

=

(0) +2

()

()

()

|()()

=

(0) +2

()

()

()

() (0) =

(0) +2

()

()

()

() = (0) +

(0) +2

()

()

()

Persamaan kecepatan sebagai fungsi posisi dapat diperoleh dengan

mendifferensialkan persamaan posisi di atas.

() =()

() =

(0) +

(0) +2

()

()

()

Sedangkan persamaan percepatannya adalah

() =()

() =

(0) +

(0) +2

()

()

()

Pada ruang tiga dimensi maka tenaga potensial = (, , ) sehingga

berlaku persamaan

=

=

=

Sehingga secara keseluruhan menjadi

= + +

=

=

+

+

=

Jika diketahui maka dapat dicari tenaga potensilanya, begitu juga sebaliknya jika

tenaga potensial diketahui maka dapat dicari gayanya.

Contoh

Jika diketahui = 2 maka tentukan persamaan untuk gaya !

Jawab

=

= (2)

+

(2)

+

(2)

= 2 + 6 + 4

Jika diketahui = + 6 + 4 maka tentukan persamaan tenaga

potensialnya!

Jawab

() = 2

() = 2 + (, )

() = 6

() = 2 + (, )

() = 4

() = 2 + (, )

Maka persamaan untuk tenaga potensialnya adalah = 2 (setiap suku yang

muncul hanya diambil satu kali)

Jika diketahui = + maka tentukan persamaan gaya sebagai fungsi

posisi!

Jawab

=

= ( + )

+

( + )

+

( + )

= ( ) + ( + ) + ( )

= ( ) ( + ) + ( )

Jika diketahui = ( ) ( + ) + ( ), maka tentukn persamaan tenaga

potensialnya!

Jawab

() = ( )

() = + (, )

() = + +

() = ( + )

() = + + (, )

() = + + +

() = ( )

() = + (, )

() = + +

Sehingga = + +

Persamaan = berlaku untuk gaya yang konservatif. Gaya konservatif

adalah gaya yang tidak menyebabkan perubahan pada energi total sistem. Akibat dari

gaya konservatif ini adalah usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut tidak

bergantung pada lintasannya, melainkan bergantung pada perpindahan. Secara

matematis dapat dinyatakan sebagai

()

=

Jika = berarti lintasan yang bentuk adalah lintasan tertutup, sehingga

perpindahannya adalah nol. Jika perpindahan benda akibat gaya konservatif adalah

nol, maka usaha yang dilakukan oleh gaya tersebut juga nol. Jika diungkapkan secara

matematis adalah sebagai berikut.

()

= ()

0 = ()

() = 0

Jadi cara untuk menguji gaya itu koservatif atau tidak adalah dengan melakukan

rotasi pada gaya. Jika hasil rotasi adalah nol, maka gaya tersebut adalah gaya

konservatif, sedangkan jika hasil rotasinya tidak nol maka gaya tersebut tidak

konservatif.

Contoh

Dengan menggunakan integral lintasan tunjukkan apakah gaya berikut konservatif

atau tidak.

a. = +

b. =

Gunakan lintasan berikut.

Jawab

a. = +

Lintasan

=

+

Dimana = sehingga =

=

+

= 2

= 2.1

2|

= 1

Lintasan

=

+

Pada lintasan maka = 0 sehingga = 0, pada lintasan maka

= 1 maka = 0 sehingga

=

+

+

+

=

+ 0

+ 0 +

=1

2|

+1

2|

=1

2+

1

2

= 1

b. =

Lintasan

=

Dimana = sehingga =

=

= 0

Lintasan

=

+

Pada lintasan maka = 0 sehingga = 0, pada lintasan maka

= 1 maka = 0 sehingga

=

+

= [0 0] + 0 1

= |

= 1

Karena hasilnya berbeda maka = tidak konservatif.

Resultan Gaya sebagai Fungsi Kecepatan = ()

Contoh kasus benda yang mengalami resultan gaya

sebagai fungsi kecepatan adalah ketika sebuah bola besi

dimasukkan ke dalam fluida yang memiliki viskositas

(kekentalan) sehingga bola besi tersebut mengalami gaya

gesek yang besarnya sebanding dengan kecepatan benda.

Persamaan hukum Newton untuk keadaan tersebut adalah

sebagai berikut ini.

() =

=

=

()

()

=

1

ln( )

()

()

= |

ln () ln (0) =

ln ()

(0) =

()

(0)=

() = [ (0)]

() = + (0)

() =

+ (0)

() =

1

+ (0)

Dari persamaan kecepatan tersebut, jika = maka

0 sehingga kecepatan

benda akan konstan. Kecepatan ini disebut sebagai kecepatan terminal.

() =

Setelah diperoleh persamaan kecepatan benda, maka dapat juga diturunkan

persamaan posisi benda. Berikut adalah penurunan untuk menentukan persamaan

posisi benda.

() =

1

+ (0)

=

1

+ (0)

=

1

+ (0)

()

()

=

+ (0)

|()()

=

+

(0)

() (0) =

+

(0)

0 +

(0)

() (0) =

+

(0)

+

(0)

() (0) =

+

(0)

+

(0)

() = (0) +

+

+

(0)

1

Contoh :

Perahu bergerak dari pantai menuju ke tengah laut dengan kecepatan . Setelah

menempuh jarak tertentu, mesin perahu dimatikan dan perahu mengalami gaya gesek

dengan air laut dengan persamaan = . Tentukanlah :

a. Persamaan kecepatan perahu

b. Persamaan posisi perahu

Jawab :

a. Persamaan kecepatan perahu

=

=

=

()

=

[ln ]()

=

|

ln () ln =

( 0)

ln ()

=

()

=

() =

Dari persamaan tersebut nampak bahwa kecepatan perahu menurun secara

eksponensial. Berikut adalah grafik yang menggambarkan hubungan antara

kevepatan dan waktu.

b. Persamaan posisi perahu

() =

=

=

()

=

|()

=

() =

() = +

1

Berikut adalah grafik hubungan posisi dan waktu.

GETARAN SELARAS SEDERHANA

Sistem benda yang mengalami resultan gaya () = adalah sistem yang

mengalami getaran selaras sederhana. Resultan gaya tersebut merupakan fungsi dari

posisi dengan adalah tetapan gaya. Karena resultan gaya sebagai fungsi posisi,

maka adalah gaya konservatif, sehingga terdapat hubungan

=

=

=

=1

2

Persamaan tersebut adalah persamaan untuk tenaga potensial getaran selaras

sederhana.

Benda yang mengalami gaya konservatif maka total tenaganya konstan

sehingga berlaku.

=1

2

+1

2

Dimana adalah kecepatan benda saat simpangannya sebesar . Ketika benda

berada di titik setimbang ( = 0) maka resultan gayanya adalah nol sehingga

persamaan tenaganya adalah.

=1

2

Pada saat simpangannya maksimum maka kecepatan benda adalah nol sehingga

tenaga totalnya sama dengan tenaga potensialnya. Simpangan maksimum benda

yang bergetar harmonis sederhana disebut sebagai amplitudo (), sehingga

persamaan tenagany menjadi.

=1

2

Dari ketiga persamaan tenaga di atas semuan memiliki besar yang sama, sehingga

dapat dituliskan sebagai

=1

2

+1

2 =

1

2

=1

2 = konstan

Jika dinyatakan dalam grafik, maka tenaga total, tenaga kinetik dan tenaga

potensialnya adalah sebagai berikut.

Hubungan antara tenaga saat simpangan maksimum dan saat di titik setimbang

dapat digunakan untuk menentukan kecepatan benda saat dititik setimbang.

1

2

=1

2

=

=

=

=

adalah kecepatan sudut yang dinyatakan sebagai = 2 = 2

dengan adalah

frekuensi sedangkan adalah periode. Ternyata tampak seperti gerak melingkar

beraturan, dan memang getaran selaras sederhana adalah poryeksi dari benda yang

mengalami gerak melingkar beraturan dengan jari-jari dan kecepatan sudut .

Berdasarkan ilustrasi di atas jelas bahwa benda yang bergetar selaras sederhana

identik dengan titik yang bergerak melingkar beraturan. Pada persamaan

sebelumnya telah dituliskan bahwa

=

Karena = 2 =

maka besarnya frekuensi dan periode dapat diperoleh dengan

persamaan

2 =

=1

2

dan

2

=

= 2

Ketiga besaran tersebut (, dan ) disebut sebagai bersaran-besaran identik,

karena jika salah satu besaran diketahui maka besaran yang lain dapat diketahui.

Besaran (, , ) disebut sabagai parameter getaran selaras sederhana. Dari ketiga

besaran tersebut (, , ) dapat diperoleh beberapa hubungan sebagai berikut.

Hubungan antara dan

=

Hubungan antara dan

1

2 =

= 2

Hubungan antara dan

1

2

=

= 2

Besaran , , disebut sebagai karakter getaran selaras sederhana.

Dari persamaan resultan gaya () = dapat diturunkan persamaan gerak

bagi getaran selaras sederhana. Berikut ini adalah penurunan persamaan tersebut.

() =

=

=

+

= 0

Solusi bagi persamaan diferensial tersebut adalah

() = cos( + )

() = cos

+

Persamaan tersebut adalah persamaan gerak bagi getaran selaras sederhana. dan

adalah tetapan tetapan integrasi yang nilainya ditentukan oleh syarat awal

fisisnya. Persamaan kecepatan getaran adalah sebagai berikut.

() =()

() =

( cos( + ))

() = sin( + )

Dimana adalah besarnya kecepatan maksimumnya. Percepatan getaran dapat

diperoleh dengan menurunkan persamaan kecepatan di atas terhadp waktu.

() =()

() =

( sin( + ))

() = cos( + )

() = cos( + )

() = ()

Jika dihubungkan dengan resultan gaya, maka diperoleh

=

= ()

Dimana = sehingga

= ()

Jika sudut fase awal = 0 maka persamaan gerak bagi getaran selaras

sederhana menjadi berikut.

() = cos()

() = sin()

() = cos()

Jika dinyatakan dalam grafik akan tampak sebagai berikut.

GETARAN SELARAS TEREDAM

Sebuah sistem yang mengalami resultan gaya (, ) = adalah

sebuah sistem yang mengalami getaran dengan redaman. Suku adalah suku

yang berfungsi untuk mempercepat atau memperlambat gerakan sistem. Sedangkan

suku adalah suku yang selalu memperlambat atau dengan kata lain mengurangi

tenaga dari sistem.

Gambar di sebelah kiri adalah sistem yang sedang bergerak ke kanan dengan

kecepatan . Sistem tersebut mengalami perlambatan oleh gaya yang besarnya

dan . Jadi kedua gaya tersebut bersifat memperlambat. Gambar sebelah kanan,

sistem sedang bergerak ke kiri dengan kecepatan . Pada gambar tampak bahwa

gaya searah dengan kecepatan sistem sehingga gaya ini mempercepat gerakan

sistem. Gaya arahnya berlawanan dengan arah kecepatan sistem, hal ini berarti

bersifat memperlambat sistem.

Gejala semacam ini dapat diamati pada sistem yang mengalami getaran selaras

teredam. Parameter redaman dalam sistem dengan resultan gaya (, ) =

adalah . Persamaan resultan gaya tersebut jika diuraikan ke dalam bentuk

persamaan diferensial adalah sebagai berikut.

=

=

+

+ = 0

Dimana , , adalah parameter-parameter sistem yang menentukan karakter sistem

tersebut. Bagaimanakah solusi persamaan gerak pada sistem semacam ini? solusi

yang paling memungkinkan adalah dalam bentuk eksponensial.

Andaikan ditentukan fungsi coba () = dengan adalah suatu tetapan.

Persamaan untuk kecepatan dan percepatannya adalah sebagai berikut.

() =()

() =()

() =

dan

() =()

() =()

() =

Sehingga persamaan diferensial di atas menjadi

+ + = 0

( + + ) = 0

Karena tidak mungkin nol maka

+ + = 0

Persamaannya menjadi persamaan kuadrat yang akar-akarnya dapat ditentukan

dengan cara berikut.

, = 4

2

Akar-akar persamaan kuardat tersebut , sangat bergantung pada

4 . ada tiga kemungkinan nilai dari 4, yaitu positif, nol atau negatif.

1) 4 > 0

Jika 4 > 0 maka

, = 4

2

, =

2

4

Suku

adalah frekuensi sudut dari getaran selaras tidak teredam . Dengan

demikian solusi umumnya adalah

() = +

() =

+

Tetapan dan pada persamaan di tersebut adalah tetapan integrasi yang

ditentukan oleh keadaan/syarat awal sistem fisinya. Berdasarkan persamaan

tersebut jelas bahwa semakin besar waktunya maka simpangannya akan

menuju ke nol, dan tidak ada getarannya. Tidak munculnya getaran adalah

karena besarnya faktor redaman karena

4 > 0

> 4

Jika simpangan pada keadaan teredam kuat digrafikkan, maka akan diperoleh

grafik seperti tampak pada gambar.

Tampak jelas bahwa sistem tidak melalui titik setimbang, sehingga dapat

dikatakan bahwa sistem tidak mengalami getaran.

2) 4 = 0

Jika 4 = 0 maka akar-akar bagi persamaan kuadrat di atas menjadi

, = 4

2

, =

2

Akar-akarnya ternyata sama/kembar sehingga solusi umumnya adalah

() =

Berdasarkan persamaan solusi tersebut maka dapat disimpulkan bahwa

simpangan sistem meluruh secara eksponensial dan tidak melewati titk

setimbang karena

tidak mungkin negatif. Jadi keadaannya hampir

sama dengan kasus teredam kuat, hanya saja untuk kasus ini sistem akan

mencapai titik setimbang dalam waktu yang lebih cepat. Kasus semacam ini

disebut sebagai sistem teredam kritis.

Grafik tersebut tampak bahwa simpangannya meluruh lebih curam jika

dibandingkan dengan keadaan teredam kuat yang berarti waktunya lebih

singkat.

3) 4 < 0

Jika 4 < 0 maka < 4 sehingga

4 = ( 1)(4 )

4 = (4 )

Sehingga akar-akar dari persamaan kuadrat di atas adalah

, = 4

2

, =

2

4

Maka solusi umum bagi gerak sistem adalah

() = +

() =

+

() =

+

Andaikan

= adalahfaktor redaman,

= adalah kecepatan sudut

tanpa redaman, maka persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi

() =

+

() = cos + sin

+ cos sin

Dimana = yaitu kecepatan sudut getaran teredam

() =

cos( + )

Berdasarkan persamaan tersebut tampak bahwa amplitudo getarannya meluruh

secara eksponensial mengikuti persamaan . Pada saat = 0 maka

simpangannya maksimum sebesar . Sedangkan suku cos( + )

menunjukkan adanya getaran dengan kecepatan sudut < . Agar pada

saat = 0 simpangannya , maka

cos( + ) = 1

cos(0 + ) = cos 0

= 0

Jika digrafikkan akan tampak seperti berikut.

Dari persamaan peluruhan amplitudo , maka =

adalah tetapan

peluruhan amplitudo. Dari grafik di atas dapat dibandingkan dua amplitudo

yang berdekatan. Waktu dari satu amplitudo ke amplitudo yang berdekatan

adalah satu periode , dimana

=2

=2

Maka

() = cos( + )

() =

dan

() = cos( + )

() =

Dimana = + sehingga perbandingannya adalah

()

()=

()

()=

()

()

()=

()

()=

1