mekanika iii agus 071624

Teknik sipil untirta

BAB 7

DISTRIBUSI MOMEN

A.Pendahuluan

Cara distribusi momen merupakan salah satu cara menghitung momen – momen di

dalam struktur balok dengan beberapa bentang dengan perletakan menerus atau

portal.cara ini di usulkan pertama kali oleh Prof.hardy cross dari universitas Illinois pada

tahun 1930,dengan artikelnya berjudul “analysis of contionuous frame by disrtibusing fixed

and momens “cara ini bila dibandingkan dengan cara – cara lain yang lebih eksak memeng

tampak sedik kurang teliti,namun karna sederhana,mudah dipahami ,serta relative lebih

mudah untuk di hafakan,maka menjadi sangat popular(sebelum cara matriks yang dihitung

dengan bantuan computer).Di Indonesia,cara ini sudah lama dikenal luas dengan istilah cara

“cross”

B.Prisip Kerja

Pada prinsipnya,cara ini menggunakan keseimbangan momen pada suatu titik

bahul(titik pertemuan batang),dan momen indiakasi terhadap titik bahul

didekatnya,sebagaimana diuraikan sebagai berikut.

Di tinjau sruktur dengan 4 balokyang bertemu pada titik bahul A seperti berikut:

C

Ma

B A D

E

Dengan menganggap bahwa balok-balok tidak mengalami perubahan panjang

maka titik A tidak dapat berpindah tempat ,kecuali hanyaberrotasi saja.

Apabial pada titik A diberikan momen luar ML,a maka titik buhul A akan berrotasi sebesar ѳ

sebagai mana Nampak pada gambar berikut ini:

Mekanika struktur III


Pada rotasi tersebut,semua ujungb batang di A berotasi sama beras sehingga masing

– masing balok menerima momen distribusi yang jumlah besar momennya sama besar

dengan momen luar di A

ML,a =Mab +Mac +Mad+M ae

Momen disrtibusi diujung balok – balok tampak seperti pada gambar berikut ini:

Mac

Mab Mad

Mae

Sesuai dengan uraian pada halaman 65 maka besar momen disrtibusi pada masing – masing

balok sebanding dengan kekeuatan rotasinya,yaitu:



Mab : Mac : : M ae= Kab : Kac : Kad : K ae

Analisis rotasi di bahul A,batang – batang tersebut ,yaitu batang AB,AC,AD, dan AE berubah

bentuk menjadi sebagai berikut(pada gambar berikut hanya batang AD saja yang di

gambar,3 batang yang lain tidak digambar):

Dari gambar diatas Nampak ,bahwa akibat perubahan sudut sebesar ѳ diujung A

maka diujung lainnya (untuk balok D adalah dibatang D)timbul momen sebesar Mad yaitu:

Mad Mad

dengan memperhatihan gaya kerja diatas ,maka tampak bahwa teori yang diusulkan cross

amatlah sederhana ,dan mudah diikuti.

Dalam praktek,dari langkah diatas terdapat beberapa istilah yang perlu diikuti :

a) Momen luar ,ialah momen dari luar struktur yang berusaha memutar titik buhul

sehingga beerotasi

b) Momen distribusi ,ialah momen diujung – ujung balok yang bertemu diujung titik

buhul tersebut ,sebagai akibat titik buhul tersebut ,sebagai akibat dari titik buhul itu

berotasi , besarnya momen distribusi pada masing – masing balok sebanding dengan

kekakuan masing – masing baloknya,adapun jumlah momen distribusi harus sama

dengan momen luar .

c) Momen induksi,ialah momen yang timbul ujung yang lain dari masing – masing

balok .besarnya momen induksi ini dari setengah momen distribusi yang timbul di

ujung balok yang bertemu di titik bahul.



C. MOmen Distribusi Kekakuan Batang,factor disrtibusi ,dan momen induksi

Diperhatikan balok dengan perleakan rol – jepit seperti berikut:

Balok dengan bahan reaksi diatas ,untuk menyelesaikannya dijadikan 2 tahap,sebagai

berikut:

1) Tahap 1 :balok dengan sendi perletakan roll akibat momen di A

Akibat momen di A yang mengakibatkan perubahan sudut ѳad,1 maka diujung D juga

terjadi perubahan sudut sebesar ѳad,1 hubungan antara dim omen A ,perubahan sudut

di A dan perubahan sudut di D dapat dihitung dengan cara luas diagram momen

berikut:



L

Ma

L

ѳad,1

ѳad,1

2) Tahap II.balok dengan sendi perletakanrol dengan momen di D agar perubahan

sudut D menjadi nol lagi



Md

L

ѳad,2

ѳad,2

tahap I dan tahap II menghasilkan rotasi di D kembali menjadi nol,sehingga :

ѳad,1= ѳad,

Jadi : Md Ma

jadi ,akibat rotasi sebesar ѳ di A maka timbul momen diujung A balok AD sebesar :

αad =αad.1 + αad.2=(Ma)(L/(3.E.I)) –(Md )(L/(6.E.I))

αad =(Ma).(L/(3.E.I)) –(½).(Mda).(L/(6.E.I))

αad=(4/12).(Ma).(L/(E.I)) –(½).(Ma).(L/(E.I))



αad=(3/12).(Ma).(L/(E.I))

αad=(¼).(Ma).(L/(E.I))

Ma= ѳad.

Ditinjau dari titik buhul tempat bertemunya beberapa balok seperti gambar

diatas .pada gambar tersebut ,tampak bahwa akibat momen luar dititik buhul A ,maka

masing – masing ujung balok di pertemuan tersebut .

Akibat samanya rotasi di sudut A ,maka pada masing – masing ujung balok di A akan timbul

momen masing – masing sebesar :

M1=. untuk balok 1

M2= untuk balok 2



M3= untuk balok 3

M4= untuk balok 4

Dengan catatan bahwa selalu jumlahnya sama dengan momoen luar ,yaitu:

M1+M2+M3+M4=Mluar

Tampak juga karna perubahan sudutnya sama,maka proporsi besarnya M1,M2,M3 dan M4

harus sebanding dengan nilai EI/L Masing – masing ,atau :

M1:M2:M3:M4 = := := :=

=k1:k2:k3:k4(dimana k+nilai kekakuan rotasi)

Adapun di ujung batang yang lain ,yaitu yang jauh dari titik pertemuan ,timbul momen

sebesar :

M’1 M1

M’2 M2

M’3 M3

M’4 M4

Kesimpulan :

a. Akibat momen luar pada titik bahul (titik petemuan ujung – ujung batang )maka

terjadi momen distribusi ditiap ujung batangnya dan momen dari ujung batang yang

jauh dari titkik buhul (selanjutnya disebut :momen induksi )

b. Momen distribusi pada masing – masing batang ,dengan jumlah semua momen

distribusi sama dengan momen luar (Σ Mdisribusi = M luar)



c. Factor disrtibusi kepada masing – msing ujung batang ,besarnya sebanding dengan

kekakuan rotasi masing – masing batang (kekakuan=k=EI /L)sehingga masing –

masing untuk ujung batang adealah sebesar :fd,i=k4/( Σ k)

d. Momen induksi pada masing – masing batang besarnya sama dengan minus

setengah momen distribusi (Minduksi = ½ M disrtibusi)

Keadaan khusus:

Apabila ujung balok yang jauh dari titik buhul tidak terjepit,misalnya sendi atau

rol ,seperti pada gambar berikut ,maka kekakuan batang yang bersangkutan besarnya agak

berbeda

Dengan memperhatikan rumus di depan ,tampak bahwa besarnya momen di ujung balok AD

sebesar :

αad,1

Ma= αad,1

Ma= αad,1 . k



Dimana K =

Atau k sendi =¾.k jepit ada pun momen induksi di ujung batang yang tidak terjepit

besarnya nol.

D.penerapan teori distribusi momen pada balok dengan perletakan menerus

Balok tiga bentang dengan E dan I sama besar seperti pada gambar berikut:

Penyelesaian dilakukan dengan langkah – langkah berikut :

1. Dihitung dulu titik buhul B

2. Dihitung factor distribusi masing – masing batang yang bertemu di titik buhul B

Fd,ba= fd,bc=

3. Dihitung momen luar (biasa di sebut momen primer)pada tahap ini masing –

masing



balok dianggap terjepit pada kedua pperletakan nya pada hitungan ini,momen

primer adalah momen yang diadakan oleh ujung batang terhadap jepitan di

kanan dan kiri titik buhul .tanda posiif dan negative sesui dengan arah jarum

jam.besarnya momen primer dapat dilihat –pada bab III.E halaman 51 butir 13

4. Dihitung momen distribusi diujung batang yang bertemu di titik buhul B

Md,ba = - fd,ba .(Mp,ba + Mp,bc)

Md,bc = - fd,bc .(Mp,ba + Mp,bc)

5. Dihitung momen induksi di ujung lain batang yang bertemu dititk buhul B

Mi,ab= .Md,ba

Mi,bc= .Md,cb

II.dihitungtitik buhul C



1. Dihitung “kekekuan”masing – masing batang yang bertemu ditik buhul C

2. Dihitung factor distribusi masing – masing batang yang bertemu dititik buhul C

Fd,ba= fd,bc=

3. Dihitung momen luar (momen primer)pada batang BC dan CB seperti titik

buhul B ,masing – masing balok sianggap terjepit pada dua perletakannya

momen primer batang BC adalah dihitung pada tahap I,sehingga tidak pelu

dihitung lagi .jadi tinggal menghitung momen luar pada batang CD.

4. Hitung momen distribusi diujung batang yang bertemu dititik buhul C

Md,bc = - fd,bc .(Mp,bc + Mp,cd)

Md,cd = - fd,cd .(Mp,bc + Mp,cd)s



5. Hitung momen induksi diujung batang yang bertemu dititik buhul C

Mi,bc= .Md,cb

Mi,cd= .Md,cd

III.Dihitung titik buhul B (ulangi, putaran kedua)

Pada ulangan ini ,sebagai momen luar(momen primer)adalah momen induksi dari

hitungan langkah ii(karna pada langkah I titik buhul B sudah seimbang)

1. Dihitung “kekakuan “masing – masing batang yang bertemu dititik buhul B

2. Dihitung fakror distribusi masing – masing batang yang bertemu dititik buhul B

3. Dihitung momen luar (momen induksi dari langkah ii)

Mp,bc= .Md,cb

4. Dihitung momen distribusi di ujung batang yang bertemu dititik buhul B

5. Dihitung momen induksi di ujung lain batang yang bertemu dititik buhul B

Keterangan :hitungan no 2 dan no 3 tidak di hitung pada langkah I,sehingga

hitungan pada no 4 dan no 5 saja yang di laksanakan

IV.Dihitung titik buhul C (ulangi putaran ke 2)

1. Dihitung “kekakuan “masing – masing batang yang bertemu dititik

buhul C

2. Dihitung fakror distribusi masing – masing batang yang bertemu dititik

buhul C

3. Dihitung momen luar (momen induksi dari langkah III)

Mp,cb=Mi,cb(Mi,cb adalah momen induksi dari langkah III)

4. Dihitung momen distribusi di ujung batang yang bertemu dititik buhul

C

5. Dihitung momen induksi di ujung lain batang yang bertemu dititik

buhul C



Keterangan :hitungan no 2 dan no 3 tidak di hitung pada langkah

I,sehingga hitungan pada no 4 dan no 5 saja yang di laksanakan

V.berikutnya dihitung titik buhul B( ulangan putaran ke 3)

IV. berikutnya dihitung titik buhul C( ulangan putaran ke 3)

II.Hitungan tahap akhir

Pada tahap akhir ini analisis hitungan hanya berupa penjumlahan dari semua momen dari

awal sampai akhir (momen luar,momen distribusi dan momen induksi masing – masing

ujung batang dijumlahkan ).hasil penjumlahan ini adalah momen akhir ,yaitu momen yang

terjadi akibat pembebanan (beban luar)

Misalnya akan di hitung Mbc akibat beban di atas:

Langkah II

Dihitung factor disribusi masing – masing balok (disini hanya ada satu titik buhul B)

Mbc =Mp.bc(dari langkah I ) +Md.bc(dari langkah I)+Mi.bc(dari langkah II)+Mb.bc (dari

langkah III)+Mi.bc (dari langkah ke VI)+Mi.bc(dari langkah ke:…)dan seterusnya

Contoh 6.1



Balook 2 batang dengan tiga perletakan sederhana (sendi – roll)menerima beban terbagi

rata .balok mempunyai E dan I sama sepanjang batang

Langkah I

Dihitung kekakuan balok :

K1 =( ¾) =

K2=( ¾) =

Langkah II

Dihitung faktor distribusi masing – masing balok (disini hanya ada satu titik buhul B)

Langkah ke III

Dihitung momen luar (momen primer)

Pada balok ini,perketakan A dan C karna di tepi tetap berupa sendi dan rol.

Dengan perletakan B karna dititik buhul maka dianggap jepit dulu.rumus

Momen di perletakan jepitnya lihat di bab III.E tipe nomor 8 .halaman 341



Langkah IV

Dihitung momen distribusi di buhul B

Md.ba = .(31.25 +20) =-5 KNm

Md.ba = .(31.25 +20) =+6.25 KNm

Langkah V

Dihitung momen induksi

Karna ujung yang lain semua berupa sndimaka tidak ada momen onduksi.

Langkah VI

Dijumlah semua momen – momen yang ada

Mab = 0

Mba = 20 +6,25=26,25

Mbc = 20 +6,25=26,25

Mcb =0

Hasilnya digambarkan:

Mab = 0

Mba =31.25 +5=26,25

Mbc = 20 +6,25=26,25

Mcb =0

Hasilnya di gambar :



Momen di temgah bentang : M1 = .10.52 =31.25 kNm

M2 = .10.42 =20 kNm

Gambar diagram momen kuga dapat di lihat sebagai berikut:


mekanika iii agus 071624

Documents