MATRIKS DAN DETERMINAN

5.1UMUMMisalkan seorang tata usaha jurusan Fisika dimintai mencatat prestasi akademis empat mahasiswa A, B, C dan D untuk memberikan gambaran mengenai korelasi matakuliah Fisika-Matematika sebagai penunjang matakuliah Medan Elektromagnet, dan Mekanika Kuantum. Dari data nilai yang tersedia, ia menyusun tabel prestasi, dalam skala 100, sebagai berikut :Fisika MatematikaMedan EMMekanika Kuantum

Mahasiswa AMahasiswa BMahasiswa CMahasiswa D808090808090807590859080

Susunan bilangan dalam tabel prestasi keempat mahasiswa di atas, dapat disusun ulang secara abstrak, tanpa informasi, sebagai berikut :(1)Susunan petak bilangan ini disebut matriks, yang dilambangkan dengan huruf A. Ia disebut berukuran 4 kali 3 atau dituliskan (4x3), untuk menunjukkan bahwa ia memiliki 3 buah baris (lajur datar) dan 3 buah kolom (lajur tegak). Tiap bilangan dalam matriks A disebut elemen matriks. Jadi, angka 85 adalah salah satu elemen matriks A pada baris ke-2, dan kolom ke-3.

5.2DEFINISI DAN NOTASIDefinisi matriks yang lebih pasti dan umum adalah sebagai berikut.DEFINISI ISebuah matriks A berukuran (m x n) adalah suatu susunan petak bilangan yang memiliki m baris dan n kolom, dengan elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j, atau petak (i,j) dilambangkan dengan aij, yakni :Kolom jA= Indeks i berjalan dari i hingga m ; sedangkan j dari i hingga n.Untuk matriks A pada Pers. (5.1) di atas,a11 = 80, a12 = 80, a13 = 90a21 = 80, a22 = 90, a23 = 85dan seterusnya.Bila banyaknya baris dan kolom sebuah matriks adalah sama, matriks tersebut disebut matriks bujur sangkar berukuran n x n , atau berorde n. Matriks yang hanya terdiri dari satu baris, berukuran (1 x n), disebut matriks baris. Sedangkan yang terdiri dari hanya satu kolom, berukuran (n x l) disebut matriks kolom. Jika setiap elemen sebuah matriks adalah bilangan real, matriks bersangkutan dikatakan matriks real, sedangkan bila sekurang-kurangnya satu elemennya bernilai kompleks, ia dikatakan matriks kompleks.Sebuah matriks A berukuran m x n dengan elemen aij seringkali diringkas sebagai berikut : A = (aij). Untuk matriks bujur sangkar, elemen-elemen aij, dengan (i = j), disebut elemen diagonal.

Matriks bujur sangkar A yang semua elemen tak diagonalnya nol, jadi aij = , untuk i j, disebut matriks diagonal. Matriks diagonal ini, seringkali diringkas penulisannya dengan pernyataan : = diag [a11 a22 ... ann].Matriks diagonal istimewa yang semua elemen diagonalnya bernilai satu, disebut matriks satuan, yang lazimnya dinotasikan dengan I. Matriks yang semua elemennya nol, aij = 0, untuk semua i dan j, disebut matriks nol, dan dilambangkan dengan 0.Contoh.Matriks-matriks, , (2)Berturut-turut adalah matriks diagonal, dan satuan berorde-3.

5.3 ALJABAR MATRIKSa) Kesamaan matriks.Dua buah matriks adalah sama, jika dan hanya jika mereka memiliki ukuran yang sama dan setiap elemennya yang bersangkutan adalah sama pula. Jadi, jika A = (aij), dan B = (bij) adalah dua buah matriks dengan ukuran sama, maka A = B, jika dan hanya jika aij = bij, untuk semua i dan j.Contoh. = Jika dan hanya jikaa11 = 1a12 = 2a13 = -1a21 = 3a22 = 1a23 = 0

b) Penjumlahan/pengukuran matriks.Dua buah matriks A dan B berukuran sama dapat dijumlahkan/dikurangkan dengan hasil sebuah matriks baru C berukuran sama pula, yang elemennya merupakan hasil jumlah/selisih elemen matriks A dan B yang bersesuaian.Jadi, misalkan A = (aij), dan B = (bij) bersama-sama berukuran (m x n). Maka, A B = C, dengan Cij = aij bij.Contoh. + =

c) Perkalian dengan sebuah bilangan.Perkalian sebuah matriks A dengan sebuah bilangan c, menghasilkan sebuah matriks baru B dengan ukuran yang sama dan elemennya sama dengan hasil kali elemen matriks A dengan c. Misalkan A = (aij) berukuran ( m x n), maka cA = B. Matriks B = (bij) juga berukuran (m x n) dengan bij = c aij.Contoh.

d) Perkalian matriks.Sebuah matriks A (m x n) dapat mengalikan sebuah matriks B (n x p) dari kiri, yang memberi hasil sebuah matriks C = AB berukuran (m x p). Elemen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari C adalah jumlah :(3)PERHATIAN : definisi perkalian matriks mensyaratkan jumlah elemen baris matriks pertama (A) haruslah sama banyak dengan jumlah elemen kolom matriks kedua (B).Dalam kalimat, Pers. (5.3) mengatakan elemen i dan j dari matriks hasil kali AB = C, diberikan oleh jumlah hasil kali setiap elemen A dalam baris i, satu per satu, secara berurutan dari kiri ke kanan, dengan elemen bersesuaian B dalam kolom j, dari atas ke bawah.Contoh.Misalkan,A = dan B = maka AB = C, dengan

PERHATIAN : Berbeda dari aljabar bilangan biasa, hasil kali dua buah matriks, pada umumnya, tidaklah komut, yakni AB BA.

e) Operasi transpos.Dalam berbagai penerapan matriks, seringkali kita ingin memperoleh sebuah matriks baru dari matriks A dengan cara mempertukarkan baris dan kolomnya. Operasi pertukaran baris dan kolom sebuah matriks A ini disebut operasi transposisi, sedangkan matriks hasil transposisi-nya disebut matriks transpos dari A, atau A transpos, yang lazim dilambangkan dengan AT. Jadi, jika :A = (aij) makaAT = (aji)Dengan demikian, jika matriks A berukuran (m x n), maka AT berukuran (n x m).Contoh. Jika A = berukuran (2 x 3)maka: AT = berukuran (3 x 2)Jadi, transpos sebuah matriks baris adalah matriks kolom, dan sebaliknya.

TEOREMA I :1) (AT)T = A(4)Jika A dan B adalah matriks berorde sama, maka :2) (A + B)T = AT + BT(5)3) (AB)T = BTAT(6)

Dalam pendahuluan vektor, telah pula kita pelajari bahwa dua buah vektor a dan b adalah tegak lurus atau ortogonal, jika hasil kali titik keduanya adalah nol, yakni a.b = 0 . Sejalan dengan ini, definisi keortogonalan dua vektor dalam ruang berdimensi-n didefinisikan sebagai berikut: DEFINISI II :Vektor (matriks kolom) A dan B berdimensi-n adalah ortogonal, jika = 0. Selanjutnya, jika = 1, A disebut vektor ortonormal.BEBAS LINIERBerikut adalah definisi vektor-vektor bebas linier, yakni himpunan sejumlah vektor yang masing-masingnya bukan merupakan resultan vektor yang lainnya. Sebagai contoh, vektor satuan sistem koordinat kartesius i,j,dan k adalah himpunan tiga buah vektor yang bebas linier dalam ruang berdimensi -3.DEFINISI III :Himpunan vektor berdimensi-n {() dengan k } adalah bebas linear, jika persamaan vektor : A2 +, A2 + + ,Ak = 0hanyalah mempunyai pecahan untuk : = = = 0Sama halnya dengan vektor satuan i, j, dan k yang membangun ruang (vektor) berdimensi 3, himpunan vektor {Ak, 2 } yang bebas linear membangun ruang (vektor) berdimensi k.

5.4 MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR. REDUKSI BARISTinjauan sistem persamaan linear dalam variabel x, y, z berikut : 2x + y z = 2x y + z = 7(7)2x + 2y z = 4Sistem persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks sebagai berikut : AX = B (8)Dengan A = ; X = ; B = (9)Matriks A ini sering kali disebut matriks koefisien. Berikut akan kita bahas langkah pemecahan sistem persamaan linear, yaitu dengan mengalikannya, langkah demi langkah, ke suatu sistem persamaan setara sederhana berbentuk: (10)yang darinya terbaca langsung pemecahannya. Untuk itu kita akan menerapkan metode Reduksi Baris (RB) pada persamaan matriksnya, pers. (7) mengikuti langkah-langkah berikut ini :Kita mulai dengan membentuk matriks [A|B] (3x4), yang ketiga kolom pertamanya adalah kolomnya A, dan kolom keempatnya adalah B, yaitu[A|B] = (11)Matriks [A|B] ini disebut matriks perluasan (augmented) sistem persamaan linear (7). Pada matriks perluasan inilah kita terapkan operasi RB, yang terdiri dari:(a). Menukarkan dua buah baris(b). Mengalikan sebarang garis dengan sebuah tetapan taknol.(c). Menjumlahkan atau mengurangkan dua baris sebarang.Tujuan kita adalah menerapkan secara berulang ketiga operasi baris ini pada matriks perluasan bersangkutan hingga ia teralihkan ke bentuk [I|S], yakni[I|S] = yang adalah matriks perluasan sistem persamaan (10).Marilah kita terapkan ketiga operasi yang disebutkan diatasLangkah 1. Tukarkan baris 1 dan 2 : Langkah 2. Kurang baris 3 dengan baris 2. Langkah 3. Tukar baris 3 dengan baris 2.Hasil dari langkah 2 dan 3 adalah : Langkah 4. Jumlahkan baris 3 dengan (-2) kali baris 1Langkah 5. Jumlahkan baris 3 (langkah 4) dengan -3 kali baris 2.(langkah 2 dan 3). Hasil langkah 4 dan 5 adalah : > > Langkah 6. Kalikan baris 3 dengan (-1/9) > Matriks perluasan terakhir ini telah berada dalam bentuk eselon baris, yaitu bentuk matriks dengan elemen taknol pertama pada setiap baris terletak pada kolom berikut dari elemen taknol pertama baris sebelumnya.Kita dapat menyederhanakannya lebih lanjut, ke bentuk yang semua suku matriks koefesiennya setelah elemen taknol, 1 dalam hal ini, sama dengan nol. Untuk itu kita terapkan operasi RB berikut.Langkah 7. Jumlahkan baris 1 dengan baris 2 kemudian, Langkah 8. Jumlahkan baris 1 dengan -3 kali baris 3 > > Langkah 9. Jumlahkan baris 2 dengan -2 kali baris 3: > Ini menggambarkan sistem persamaan linear (5.22), yang memiliki pemecahan .CATATAN : untuk menghemat ruang, dan memperjelas operasi reduksi baris ini, disarankan menggunakan notasi aljabar berikut diatas tanda panah ( >) antara matriks semula dan matriks hasil. Yaitu, aRp bRg, (dibaca: baris p dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan atau dikurangkan dengan b kali baris q), seperti diperlihatkan pada contoh 5.8, (R singkatan row, istilah inggris untuk baris).

RANK MATRIKSPenerapan matriks dalam pemecahan persamaan linear seringkali memerlukan pengertian rank matriks. Definisinya sebagai berikut.DEFINISI IV :Sebuah matriks A (m x n) dikatakan memiliki rank r m, jika matriks hasil reduksi baris kebentuk eselon baris memiliki paling sedikit r buah baris taknol.Contoh.Selidikilah rank dari matriks :M = Pemecahan :Untuk mengalihkan matriks M ke bentuk eselon baris, kita lakukan operasi reduksi baris berikut : R2 R3 -(1/11)R2 R3 4R1 R3+7R1 Karena dalam bentuk eselon ini terdapat dua baris yang taknol, maka rank matriks M adalah r=2.Sistem persamaan linear di atas terdiri atas 3 buah persamaan dalam 3 variabel, untuk rank matriks perluasan r sama dengan jumlah variabel n. Dalam hal yang umum, r tidak perlu sama dengan n, seperti diperlihatkan pada contoh berikut.Contoh. Pecahan sistem persamaan berikut dengan menggunakan metode reduksi baris :x + 3y + z = 63x - 2y - 8z = 74x + 5y - 3z = 17Pemecahan :Matriks perluasan adalah :M = yang telah kita perlihatkan dalam contoh 5.8 memiliki rank r = 2.Persamaan setaranya dalam bentuk eselon adalah :x + 3y + z = 6 y + z = 10 = 0Jadi, terdapat tak hingga banyaknya pemecahan dalam bentuk :x = 3 + 2z dan y = 1 zkarena z dapat diberi nilai bebas berapapun. Secara geometris, pemecahan ini menyatakan garis potong ketiga bidang yang dinyatakan oleh masing-masing persamaan linier.Jadi, kita mempunyai aturan umum berikut :Misalkan M matriks perluasan sebuah sistem persamaan linier takhomogen dalam n variabel yang memiliki rank r n. Jika:a) r = n, maka terdapat pemecahan tunggal bagi setiap variabelb) r < n, maka terdapat tak hingga banyaknya pemecahan dengan r buah variabel yang dipilih yang dinyatakan dalam (n-r) variabel bebas yang sisa.

5.5.DeterminanUntuk setiap matriks bujur sangkar A berode n kita kaitkan sebuah bilangan det (A) atau (aij) yang disebut determinan A, yang dihitung dari elemen matriks A sebagai berikut.Untuk n = 1 dan n = 2, kita definisikan :det [a11] = a11(5.24)det = (5.25)

Sedangkan untuk matriks berukuran n = 3, kita definisikan :

(5.26)

Dengan menyusun kembali suku-sukunya, ruas kanan pers. (5.26) dapat ditulis sebagai berikut :

atau,(5.27)

ketiga determinan pada pers. (5.27) dapat diperoleh dari determinan semula dengan mengabaikan baris dan kolom tertentu.Definisi (5.27) untuk determinan matriks berorde 3 ini memperlihatkan suatu pola perhitungan determinan yang diturunkan dari definisi umum determinan matriks berode n > 3. Untuk memahami rumusan pola umumnya, kita perlu menelaah terlebih dahulu kedua besaran berikut :1. MINORDeterminan orde dua pada pers (5.27) disebut determinan minor dari elemen bersangkutan yang dikalikan. Jadi, adalah minor dari

adalah minor dari 2. KOFAKTORKofaktor dari determinan aij adalah determinan Kij , yaituKij = x (minor dari )Jadi, pers (5.27) dapat dituliskan sebagai

secara umum, determinan suatu matriks A diberikan oleh definisi berikut

DEFINISI V :Determinan suatu matriks A sama dengan jumlah hasilkali setiap elemen sebarang baris atau kolom dengan kofaktornya.Contoh.Hitunglah determinan matriks koefisien pers. (5.21) :

Dengan menggunakan kofaktor dari elemen-elemen kolom ketiga.Pemecahan :Kofaktor dari elemen kolom ketiga, -1,1, dan 1, berturut-turut dinyatakan oleh K13, K23, K33 adalah K13 = = 4K23 = = -2K33 = = -3Dengan menggunakaan definisi V = (-1)K13 + (1)K23 + (1)K33= (-1)(4) + (1)(2) + (1)(-3)= -9

Perhitungan determinan, seringkali dipermudah dengan menggunakan teorema-teorema berikut.TEOREMA 3 :Misalkan A sebuah matriks bujur sangkar berorde n. Maka:

Dengan teorema ini, teorema berikut yang diungkapkan dalam baris matriks, juga berlaku untuk kolom matriks.TEOREMA 4 :Misalkan A sebuah matriks bujur sangkar berorde n.a) Jika salah satu baris matriks A sama dengan nol. Maka : det (A) = 0b) Jika dua baris dari matriks A adalah sebanding. Maka : det (A) = 0c) Jika A adalah matriks hasilkali salah satu baris matriks A dengan tetapan C, maka : det (A) = c det (A)d) Jika A adalah matriks hasil pertukaran dua baris matriks A maka : det (A) = - det (A)

Berikut adalah teorema determinan mengenai perkalian matriks.TEOREMA 5 :Jika A dan B adalah dua matriks bujur sangkar berorde sama, maka :

5.6.ATURAN CRAMER BAGI SISTEM PERSAMAAN LINIERAturan Cramer adalah suatu aturan untuk memecahkan sebuah sistem n persamaan linear dengan n variabel seperti (n = 2)

apabila determinan matriks koefisiennya :

tak sama dengan nol. Pemecahannya diberi oleh rumus : ; Pembilang untuk pemecahan x adalah determinan matriks yang diperoleh dari matriks koefisien A dengan menggantikan kolom pertamanya dengan kolom b (tetapan b1 dan b2) ; sedangkan penggantian kolom kedua matriks A dengan kolom b, determinannya memberikan pembilang untuk pemecahan y.Untuk sistem n > 2 persamaan linear, aturan pemecahan di atas diperluas oleh teorema berikut.

TEOREMA 6. ATURAN CRAMERJika AX = B adalah suatu sistem persamaan linear untuk n variabel x1, dan A berorde n, dengan det (A) 0, maka

Ui adalah determinan matriks yang diperoleh dari A dengan menggantikan kolom ke-i dari A dengan matriks kolom B.Contoh.Pemecahan sistem persamaan linear (5.20) dengan menggunakan aturan CramerPemecahan :Kita hitung dulu determinan matriks yang bersangkutan menurut pers. (5.32) :D = det (A) = = -9 ;Ux = = -27 ;Uy = = 18 ;Uz = = -18Maka menurut metode Cramer, pemecahan untuk x, y, dan z berturut-turut adalah:

sesuai dengan hasil metode reduksi baris di atas.

PERSAMAAN LINIER HOMOGENMetode Cramer dapat pula diterapkan pada sistem persamaan linier homogen, untuk , yakni yang berbentuk .Jika maka pemecahannya adalah:

0i adalah determinan matriks yang diperoleh dari A dengan menggantikan kolom ke-i dari A dengan matriks kolom B = 0; jadi 0i bernilai nol untuk semua i. Jelas, pemecahannya adalah , yang dikenal sebagai pemecahan trivial.Untuk memperoleh pemecahan taknol (taktrivial), , tuliskan kembali persamaan (5.33) sebagai berikut:

Dengan demikian, jika maka haruslah dipenuhi:

sebagai syarat perlu, pemecahan taktrivial. Dalam hal ini, matriks A disebut matriks singuler, sebaliknya disebut matriks taksinguler.

5.7Matriks InversJika A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga AB = BA = I maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan B = A-1 (B sama dengan invers A). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A, maka dapat dituliskan A = B-1. Jika tidak ditemukan matriks B maka A dikatakan matriks tunggal (singular).Apabila A dan B adalah matriks se-ordo dan memiliki invers maka invers dari AB yaitu:

Contoh 1. dan

Maka dapat dituliskan bahwa Contoh 2. dan

Karena maka matriks A dan B disebut matriks tunggal.

TEOREMA 5.7 :Jika A sebuah matriks berorde n dan det (A) 0 maka: (5.37)Konsep matriks invers ini dapat pula digunakan untuk memecahkan suatu sistem persamaan linear. Misal: (5.38)Jika A-1 adalah matriks invers A maka dengan mengalikan kedua belah ruas dengan A-1 maka: (5.39)yang bergantung pada matriks invers A-1.

Ada dua metode perhitungan matriks invers sebuah matriks bujur sangkar A, yaitu sebagai berikut.1. Metode reduksi barisDalam metode reduksi baris ini, pertama membentuk matriks perluasan 2. Metode determinanMetode ini didasarkan pada syarat bahwa sebuah matriks A berorde n memiliki invers, jika dan hanya jika determinannya tidak nol, det (A) 0. Langkah-langkah perhitungannya adalah sebagai berikut. Membentuk matriks kofaktor dari A, yaitu sebuah matriks yang semua elemennya adalah kofaktor dari setiap elemen matriks A.

Membentuk transpos dari matriks kofaktor tersebut, yaitu mempertukarkan barisnya menjadi kolom dan kolomnya menjadi baris.

Matriks ini lazim disebut matriks adjoint dari A, ditulis adj (A), jadi:

Maka:

Contoh.Hitunglah matriks invers dari Pemecahan.Kofaktor dari elemen-elemen matriks A yaitu:

sehingga:

Karena adjoint A adalah transpos dari cof (A) maka:

Kemudian menghitung det (A):

Jadi:

Contoh.Selesaikan persamaan linier berikut:2x + y z = 2x y + z = 72x + 2y z = 4PEMECAHAN : ; ; dan Maka:X = (invers A telah dihitung pada contoh)Jadi, .

5.8 MATRIKS SEBAGAI OPERATOR TRANSFORMASIPada geometri analisis, kita pelajari persamaan rotasi yang mengaitkan koordinat (x,y), dari suatu titik P relatif terhadap suatu sistem sumbu (X,Y), dengan koordinat (X,y) titik P yang sama relatif terhadap sistem sumbu baru (X,Y).

GAMBAR 5.1 Rotasi koordinat dengan sudut .Jika sudut rotasi antara sumbu (X,Y) terhadap (X,Y) adalah (arah putaran positif, lihat Gambar 5.1), maka persamaannya adalah :x = x cos + y sin y = -x sin + y cos yang dapat digabung dalam bentuk matriks sebagai berikut : = (5.46)Matriks R = (5.47)dikenal sebagai matriks transformasi. Persamaan yang setara dengan (5.45), namun berlaku dalam ruang tiga dimensi, berkaitan dengan rotasi benda tegar (gasing yang berpusing dan porosnya).Dari segi transformasi, matriks rotasi A dapat dipandang sebagai suatu operator yang memetakan setiap titik (x,y) dalam bidang, ke titik bayangannya (x,y) = (x cos + y sin , -x cos + y sin ).Bentuk umum transformasi linear pada bidang adalah :(5.48)dengan matriks transformasi yang bersangkutan adalah M = (5.49)Transformasi linear istimewa dari (x,y) ke (x,y) yang adalah sedemikian rupa sehingga tak mengubah jarak antara 2 titik, yakni :(5.50)disebut transformasi orthogonal. Berikut kita akan mencari persamaan yang dipenuhi elemen matriks M agar transformasi (5.48) orthogonal. Sisipkan Pers. (5.48) ke dalam ruas kanan Pers. (5.50), kita peroleh= + = = + Jadi, = 1, ab + cd = 0, dan = 1(5.51)Karena itu kita peroleh = = atau,(5.52)Jadi, M adalah matriks orthogonal.Berdasarkan definisi matriks invers, syarat matriks orthogonal ini menunjukkan bahwa . Matriks rotasi R pada (5.48), sebagaimana dapat Anda perlihatkan, adalah orthogonal. Karena itu, dengan memperkalikan Pers. (5.47) dengan , kita peroleh transformasi koordinat invers (balik) : = (5.53)CATATAN : Sifat geometri yang tak berubah dibawah suatu transformasi disebut invariant. Sebagai contoh, jarak pada bidang datar adalah suatu invariant terhadap transformasi orthogonal.Untuk memberikan tafsiran geometri bagi matriks transformasi umum M, marilah kita meninjau (x,y) sebagai koordinat titik-titik pada suatu bidang selaput yang dapat dideformasi, artinya dapat ditarik, dilenturkan, dan dirotasikan terhadap suatu titik tertentu O pada selaput. Maka setelah deformasi, setiap koordinat (x,y) akan menjadi (x,y). Dalam hal ini matriks M berperan sebagai operator yang melakukan deformasi yang bersangkutan.12