math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/chrom6.pdf · » ½vÉ ¼...

25

Upload: nguyencong

Post on 21-Mar-2018

218 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

������������ ���������������������� ��!"�� #����%$����&'�(�����'�)��&'��*�

+-,/.10325476�890;:<:/=96?> @38/ACBD=E6�FD+�0G,E,/6CHI8KJ�LM 8N4�6POQ : M�R�S 8EH1HTF"O=90/:U:V=E6 >

WYX[ZT\']T^N_/\`CaEb�c/d1e1a"f9g/h�i'j?kml?nYompqn'rGatsvuxwyn-ompqnmrNazk'{ze1a9b�w|nU}�b�~<bqpqe|bT��w|b�e�nUws����CaEbIpqb�n-r9n'u�pYkml�~UbIpqe1ux�TbTwyuxw)��km{N{9bT��e|bT���N��n'{�bT�No<b�u�l�e1aEbT��n'pqb�kml�/uxw|e|nm{E�Tb�n<e�}�k<w|e�c�u�{�s����3b�w|e1�E�N��e1a9b?w|e1p|�E�Te1�Npqb�kml�r�k'�Cbqpqw k'l���aEkmpq�Nnm�o'pqnmrNa9wYnm{E��e1aEb3�Tk<}�rN�xbT�<uxe���kml��Tkm�xk'p|u�{9o�e1aEbT}�����b3w|e|nmpqe��N��omux~<u�{Eo{EbT��nm{E����km{Ew|e1p|�9�Te1ux~Ub�rGpqk/k'l�w�k'l�e1aEb��/{9k'�C{zl�n<��e|w�e1a9nUe�n'{N��r�k'�CbIp�kmln'{zu�{Ne|bIpq~'nm��ompqn'rGazuxw�n'{�u�{Ne|bqpq~mn'��ompqnmrNaK�Cnm{E�ze1a9nUe�nm{N�"k/�G��r�k'�CbIp�kmln-oUbI{EbIpqnm���|a9k'pq�Gn'��o'pqnmrNazuxw�n<oUnmu�{���aEkmpq�Nnm���z�3b�e1a9bq{�w1aEk'�De1aEn<e�uxe�uxw��k<}�rN�9e|nUe1uxkm{Enm���x��aEnmpq�3e|k�nmrNrNpqkm�<ux}�n<e|bI�x����km�xkmp�e1aEb�bT~UbI{3r�k'�CbIpqw�kml��Gd~UbIpqe|bT�z�|a9k'pq�Gn'��ompqn'rGaEw��Cuxe1aNu�{�n'{P�� ¡V¢¤£ l�n<�Te|k'p'� l�k'pYnm{N�z¥�¦�§G�P��brNpqbTw|bI{Ne�e1�CkybT�/nU�Te�n'{9�-�I�xkUw|bT�-l�kmpq}��G�xnUw�l�k'p�e1a9b��|aGpqkU}�n<e1ux�yr�km�x�<{Ek<}�uxn'�l¨kmp�e1aEbycVd�e1a-r�k'�CbIp©kmlªn�e1pqbTb�k'{z�3~<bIpqe1ux�Tb�wT��«G�Npqe1a9bIpq}�kmpqb<�K�Cbyomux~<b�nm{¬�­�cE��®Cnm�xo<k'p|uxe1a9}�l�kmp�bT~'nm���En<e1u�{Eo�e1aEb�r�k'�x�<{9kU}�uxnm���

¯�°E±�²)³K´NµC¶V·�¸�¹�ºN»I¼K½/¾9¿N»T½/À�¹ÂÁUÃ/ÄT¹�»IºNÅ"½VÆqÇÈÄ?É9Ê�Å-Ë[Ì'»UÃ<ÄT¹�»IºNÅ"½VÆqÇÈÄ?À[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ç�½/¾�ÃÄ'ºG¾ÎºG»qÇÈÉ�¿[ÃNÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾�¿G»�½/À¹�ÁUÃÂÀKº/Ð�Ì'»�º/Ñ�½)¿N»T½/À�¹�Ã9ÆI»qÌ'ÌGÒ

Ó Ô Õ�Ö ×?Ø3Ù�Ú3Û�ÖªÜ'Ø5Õ

Ý|É3ÆI¹�ÇÈÁ�ÀK½/À[Ì'»�Ð�ÌyÁIÆqÊ�¼�Í�Æq¹�Ì�ÁIÆq»qÊÂÄ'ÆqÊ�»IÌ�º/ÑCÀKº/Ð�Ì'»IÁ�º/Ñ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾�¿G»�½VÀ�¹�Áy½/ɼ3ÁqºGÅ3ÌÇÈÅ3À[ºN»IÆ�½/É9Æ�ÁIÊ�ËKÄm¾¨½VÁqÁIÌ'ÁUÒ�Þàß©½VÄ�á9¿G»qºNÊÂÉ�¼YÅ�½/ÆIÌ'»qÇ�½/¾9½/É�¼)Å3ºNÁIÆ�Ä'¾�½/ÁIÁqÌ'Á?ºVÑK¿N»T½/À�¹ÂÁ�¼�ÇÈÁ|âÄ'Ê�ÁIÁqÌ'¼�ÇÈÉ3ÆI¹�ÇÈÁyÀK½VÀKÌ'»y½V»qÌ�¼ÂÌTãKÉ�Ì'¼�ÇÎÉ�ä�åÂÒ�æ-ç9ÀKÌmÄ'ÇèãKÄU½/¾È¾ÈÍ9Ã9Ð�Ì�ÁqÇÈÅ�À�¾ÈÇxÑ1Í�Æq¹�Ì)À�»qº9º/Ñ1Áº/Ñ?ÁIÌ'ÏNÌ'»T½/¾Cá9É�º/Ð�É�Æq¹�ÌmºN»qÌmÅ3ÁUÃ[Å�½/áNÌ�Æq¹�Ì)À�»qº9º/Ñ1Á�Å3ºN»IÌ�Ä'ºNÉ�ÁIÆq»IÊ�Ä'ÆqÇÈÏGÌNÃ�½/ɼ"ÁIºNÅ�ÌTâÆqÇÈÅ�Ì'Á�¿NÌ'É�Ìm»�½/¾ÈÇÈé'Ì-ÆI¹�Ì-»qÌ'ÁIÊ�¾ÈÆqÁ<Ò3ê�¹�Ì-ÇÈÉ9ÆqÌmÉEÆ�ÇÈÁ�ÆIº"À[Ì'É�ÌmÆq»�½VÆqÌ�Æq¹�Ì�Ä�¹[½/»�½VÄ'ÆqÌm»qÇÈÁqÆIÇÎÄÀ�»IºNÀ[Ì'»qÆIÇÎÌmÁyº/Ñ�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾�¿N»T½/À�¹�Áy½VÉ�¼3ÆI¹�Ì'ÇÈ»�ÀKº/Ð�Ì'»qÁ�Ë9Í-Ì'¾ÈÌ'Å�Ì'É9Æ�½V»qÍ-Å3ÌmÆq¹�º9¼�Á<ÃE½VÉ�¼Áq¹Âº/Ðë¹�º/Ð�Ì'ÏNÌmÉ"À[º/Ð�Ì'»qÁ�ºVÑ�Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾�¿N»T½/À�¹ÂÁ©½V»qÌy¹[½/»q¼ÂÌ'»�Æqº�Ð�ºG»qá�Ð�ÇÈÆq¹3ÆI¹K½/É�º9¼�¼À[º/Ð�Ì'»IÁUÒ�Ý|ÉP½/¼�¼�ÇÈÆIÇκGÉ�Ã�Ð�Ì3Ä'ºGÉ�ÁqÇȼ�Ìm»YÄ'ºG¾ÈºN»qÇÈÉ�¿GÁ�º/Ñ�Æq¹ÂÌ3ÁqÀ[Ì'Ä'Ç�½V¾�Ä'¾�½/ÁqÁ)º/ÑYìTí�îNïIðNñVòóTô<õqö�÷qø/õI÷�ù�ø/ú1û�ö�û1ü/û�÷mý�þ ø/ö�ÿ'÷��1ú1ö�û������¤ùàõq÷��mø��9ý� ÷��������ÿ��� �Gý�ù�õI÷��'ø����������������! #"$"�%�&�'(%���)���*+-, ÷/.�$�1û10�÷IøUû�����23�$04./ü/û1÷���ô<õqö�÷Iø/õq÷mý657�10�ú1û��1�'ø�895�û��'ø<û�ö�õ�ô<û�'û�÷[þ�ø/ö�ÿm÷��1ú�ö�û��mý�:$:�;$<�=>5@?G÷��BAõ��(��øyô<û���÷I÷qûIýUô�Tÿ�mø/ø�$C9ý�D�÷��$��8'öE<�:�F�:/;�A-:�;$;�G������(�$��H�I��(J$'$K������$L$�$*M)N���/"�*�L���O�H��!)��/P$Q

R

Page 2: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

� ï������5Ñ�ºN»IÅ3Ì'¼�Ë9ÍPÆT½/á9ÇÈÉ�¿zÀ[º/Ð�Ìm»qÁ3ºVÑyÆq»IÌ'Ì'ÁUÃ�½/É�¼�¿NÇÈÏGÌ3Æ|Ð�º�Ì���½VÄ'Æ�Ñ�ºN»IÅ-Ê�¾�½/Á�Ñ�ºG»Æq¹ÂÌ'ÇÈ»�Ä�¹Â»qºNÅ�½/ÆIÇÎÄ�ÀKºG¾ÈÍEɺNÅ3Ç�½V¾ Ò

¸�¹�ºN»I¼K½/¾9¿G»�½/À¹�Á?½/É�¼�Ä'ºN¾ÈºG»qÇÈÉ�¿NÁ º/ÑKÄT¹�ºG»q¼K½V¾9¿N»�½VÀ�¹�ÁC¹K½<ÏGÌ�Ë[Ì'Ì'É-ÁIÆqÊ�¼�ÇÈÌ'¼�ÇÈÉ9ÆqÌ'É9âÁqÇÈÏGÌ'¾ÈÍEÒ��z½/É9Í-ÇÈÅ3À[ºN»IÆ�½VÉEÆCÁIÊ�ËKÄm¾¨½VÁqÁIÌ'Á�º/Ñ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾�¿G»�½VÀ�¹�Á�ÁqÊÂÄ�¹z½VÁ�ÆI»qÌ'Ì'Á<Ã[ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾¿N»T½/À�¹ÂÁUÃ?½/ɼ�ÁqÆq»IºNÉ�¿G¾ÈÍ�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾�¿N»�½VÀ�¹�Á�¹[½<ÏNÌ-»qÌmÄ'Ì'ÇÈÏNÌ'¼�ÁIÀKÌ'ÄmǨ½V¾y½/ÆIÆqÌ'É9ÆqÇȺGÉ�Ò�ÌÉ�ºGÆqÌ3ÆI¹K½/Æ-ÌmÏNÌ'»IÍPÁqÆI»qºGÉ�¿N¾ÈÍ�Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾�¿N»T½/À�¹�½/É�¼�Ì'ÏNÌm»qÍPÁIÀ�¾ÈÇÈÆY¿G»�½/À¹PÇÈÁYÄT¹�ºG»q¼K½V¾|Ò� ¾ÈÁIºKÃ9Ì'ÏGÌ'»qÍ�Æq»IÌ'ÌY½VÉ�¼�Ì'ÏNÌ'»IÍ3ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾�¿G»�½/À¹"ÇÈÁ�ÁIÆq»qºGÉ�¿N¾ÈÍ-ÄT¹�ºG»q¼K½V¾ Ò

ê�¹�Ì�Ñ ½VÄ'ÆyÆI¹K½/Æy½VÉ9Í"À[º/Ð�Ì'»�º/Ñ�½-ÆI»qÌ'Ì�ÇÈÁ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾C½/É�¼zÀ»qº9º/Ñ?Æq¹ÂÌ'»qÌ'ºVÑ©½/ÀÂÀKÌU½V»qÁÇÈÉ � R����ª½/ɼ � ���qÒ���º/Ð�Ì'ÏGÌ'»UÃ�� ºNË[Ì'»qÆ��E½VÅ3ÇÈÁqºGÉ"Þ�� Ì'»qÁIºNÉK½V¾�¸�ºNÅ3Å-ÊÂÉ�ÇÈÄU½/ÆIÇκ/É Ã;å������Næ½/Æ�¸�¾ÈÌ'Å�ÁqºNÉ �yÉÂÇÎÏGÌ'»qÁIÇÈÆ|ÍzÅ"½<Í�¹K½<ÏGÌ-ËKÌ'ÌmÉ�Æq¹�Ì5ãK»qÁIÆ�ÆqºzÀ»qº/ÏNÌ�Æq¹[½/Æ�À�»IºNÀ[Ì'»qÆ|Í�ÇÈÉÆq¹ÂÌ�ÌU½/»I¾ÎÍ)Ì'ÇÈ¿N¹9ÆqÇÈÌ'Á<Ò"!�ÇÈÉ�ÌU½V»ªÆIÇÈÅ3Ì�½V¾Î¿GºN»IÇÎÆI¹�Å3ÁC½/»IÌ�¿GÇÎÏGÌ'É�ÇÎÉ� R�����Ñ1ºN»CãKɼ�ÇÈÉ�¿�½yÆI»qÌ'ÌÁ�#9ÊK½V»qÌ�»Iº9ºNÆyºVÑ�½�¿NÇÈÏNÌ'É�¿G»�½/À¹�½/É�¼z½�Á$#EÊ[½/»qÌ�»qº9ºGÆ�º/Ñ�½�À�¾�½/ÉK½V»�¿N»T½/À�¹�Ò�Ý|É%� �&�?½À[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ǩ½V¾�ÆqÇÈÅ3Ì�½/¾È¿NºG»qÇÈÆq¹�Å(Ñ1ºN»�»qÌ'ÄmºN¿NÉÂÇÎémÇÎÉ¿zÆq»IÌ'Ì-ÀKº/Ð�Ì'»IÁ�ÇÈÁ�¿NÇÈÏNÌmÉt½VÁ�Ð�Ì'¾È¾�½VÁ½�Áq¹ÂºN»qÆ�À�»Iº9º/Ñ?Æq¹K½VÆ�½VÉEÍ�ÀKº/Ð�Ì'»�º/Ñ�½-ÆI»qÌ'Ì�ÇÈÁ�ÁqÆq»IºNÉ�¿G¾ÈÍ"ÄT¹�ºG»q¼K½V¾|Ò�Ý|É'� R&(���½VÉ�¼%�*)��qÃÇÈÆ�ÇÈÁYÁI¹�º/Ð�É�Æq¹[½/Æ-½/É9Í�À[º/Ð�Ì'»YºVÑ�½�ÁqÆI»qºGÉ�¿N¾ÈÍ�Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾�¿N»T½/À�¹�ÇÈÁY½V¿E½VÇÎÉ�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾|ÒÝ|É+� R�,���ÇÈÆ�ÇÈÁ�Áq¹�º/Ð�É�Æq¹K½VÆY½/É9Í�ÀKº/Ð�Ì'»�º/Ñy½/É�ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾�¿N»T½/À�¹�ÇÈÁY½V¿E½/ÇÈÉ�ÇÈÉEÆIÌ'»qÏN½V¾|Ò� ÄT¹K½V»�½VÄ'ÆqÌ'»IÇÈéU½/ÆIÇκGÉzº/Ñ�ÁqÆq»IºNÉ�¿G¾ÈÍ3ÄT¹�ºN»I¼K½/¾C¿G»�½/À¹�ÁyÇÈÉ�ÆqÌ'»IÅ3Á�º/Ñ?ÆqºGÆ�½/¾È¾ÈÍ3Ë[½/¾�½/É�ÄmÌ'¼Å"½VÆq»IÇÎÄmÌ'Á�ÇÈÁC¿NÇÈÏNÌmÉYÇÈÉ-�*,��qÃ/Ð�¹�Ì'»IÌ�ÁqÆI»qºNÉ¿N¾ÈÍ�Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾�¿G»�½/À¹�ÁCÐ�Ì'»IÌ�ãK»qÁIÆ?ÇÈÉ9Æq»qº9¼�ÊÂÄ'Ì'¼�Ò

ê�¹�Ì�ÁqÊÂËKÄ'¾�½VÁqÁ?ºVÑ7ÄT¹�ºG»q¼K½V¾�¿N»T½/À�¹�ÁCÄ'ºGÉ�ÁqÇÈÁIÆqÇÈÉ�¿�º/Ñ�ÁqÆI»qºNÉ¿N¾ÈÍ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾9¿G»�½/À¹�Á?¹K½VÁË[Ì'Ì'É-»qÌmÁqÌU½V»qÄT¹�Ì'¼�Æq¹�ºG»qºNÊ¿N¹�¾ÈÍ9ÒKê�¹ÂÇÎÁCÇÈÁCÅ"½VÇÎɾÎÍ�Ë[Ì'ÄU½/ÊÂÁqÌyÆI¹�Ì'Í�Í9ÇÈÌ'¾È¼Y½ ÀKºG¾ÎÍ9É�ºGÅ3Ç�½/¾ÆqÇÈÅ�ÌYÁIºN¾ÈÏN½/Ë�ÇȾÈÇÈÆ|Í3ºVÑ©ÆI¹�Ì3¼�ºGÅ"½VÆqÇÈÄ�ÁqÌmÆ�½VÉ�¼�¼�ºNÅ�½/ÆIÇÎÄ)ÀK½/»IÆqÇÈÆqÇȺNÉ�À�»IºNË�¾ÈÌ'Å�ÁUÒ�ê�¹�ÌÇÈÉ9ÆqÌ'»IÌ'ÁqÆIÌ'¼�»IÌU½/¼ÂÌ'»yÅ�½<ÍYÀ�Ê»qÁqÊÂÌYÁIÊ�ÄT¹"»IÌ'ÁqʾÎÆIÁ�ËEÍ�Ñ1ºN¾È¾Èº/Ð�ÇÎÉ¿�»qÌTÑ1Ì'»qÌ'ÉÂÄ'Ì'Á-��å9Ã.(9Ã7R�/9ÃR�01�qÒ

ç9ºNÅ�Ì-Ñ�ÊÂÉ�¼K½/Å�Ì'É9Æ�½V¾�À�»IºNÀ[Ì'»qÆIÇÈÌ'Á3¹K½<ÏGÌ�ËKÌ'ÌmÉëÀ�»qº/ÏGÌ'¼�Ñ�ºN»-½/»IË�ÇÈÆq»T½/»qÍ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾¿N»T½/À�¹ÂÁUÒ�Ý|Æ-Щ½VÁYÁI¹�º/Ð�ÉPÆI¹K½/Æ-ÇÈÉ2� R��&�yÆq¹K½VÆYÇèÑ43 ÇÈÁYÄT¹�ºG»q¼K½V¾yÆq¹ÂÌ'É+365"½VÉ�¼+387½/»IÌ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾|Ã[Ð�¹�ÇȾÈÌ8389�ÇÈÁyÉ�ºGÆyÉ�ÌmÄ'Ì'ÁqÁT½/»IÇξÈÍzÄT¹�ºG»q¼K½V¾|Ò�ê�¹�Ì'»IÌYÇÈÆ�Ð�½/ÁyÄmºNÉ�:TÌmÄ'ÆqÊ�»IÌ'¼Æq¹[½/ÆY½VÉEÍ�ºE¼Â¼�À[º/Ð�Ìm»�º/Ñy½�Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾?¿G»�½/À¹�ÇÎÁ�½V¿E½/ÇÈÉzÄT¹�ºG»q¼K½V¾|Ò-ê�¹�ÇÈÁ�Ä'ºNÉ�: Ì'Ä'ÆqÊ»qÌÐ�½/Á�À�»qº/ÏGÌ'¼�ÇÎÉ+� R;��Ã?½V¾ÈÆq¹�ºGÊ�¿N¹%<�Ê�ÄT¹�Ì'Æ-¹[½/¼PÁI¹�º/Ð�É�Æq¹�ÇÈÁ�ÌU½/»I¾ÈÇÎÌm»YÇÈÉ�½�¼�Ç>=�Ì'»qÌ'É9ÆÁqÌmÆqÆqÇÈÉ�¿ �*0��qÒCÝ|É?� R&)���½)É�Ì'Ä'Ì'ÁIÁ�½V»qÍ�½VÉ�¼3ÁIÊA@3Ä'ÇÈÌ'É9Æ�Ä'ºNɼ�ÇÈÆqÇȺNÉ�ÇÎÁ�¿GÇÈÏNÌ'É�ÇÎÉ�ºN»I¼�Ì'»�Ñ�ºG»½/¾È¾?À[º/Ð�Ì'»qÁ�º/Ñ�½�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾�¿N»T½/À�¹�ÆIº�Ë[Ì3ÄT¹�ºG»q¼K½V¾ Ò B�ÆI¹�Ì'»-ÁqÊÂËKÄ'¾�½VÁqÁqÌmÁ-º/ÑyÀ[Ì'»|Ñ�ÌmÄ'Æ¿N»T½/À�¹ÂÁ�¹K½<ÏNÌ-Ë[Ì'Ì'É�Áq¹�º/Ð�É�ÆIºzË[Ì-Ä'¾ÈºNÁqÌm¼PÊ�É�¼ÂÌ'»�Æ�½Vá9ÇÎÉ¿zÀKº/Ð�Ì'»IÁUà ÇÎÉÂÄ'¾ÈÊ�¼�ÇÈÉ�¿�Æq¹�ÌÄ'¾�½/ÁIÁ�º/Ñ?Ä'º9Ä'ºGÅ3ÀK½V»�½/ËÂÇξÈÇÈÆ|Í�¿G»�½/À¹�Á�Þ�Ð�¹�ÇÈÄT¹�ÇÈÉ�Ä'¾ÈÊ�¼�Ì'Á�ÇÈÉ9ÆqÌm»qÏN½/¾�¿G»�½VÀ�¹�Á�æC�*����Ò

ê�¹�Ì�»qÌ'Å�½/ÇÈÉ�¼�Ìm»�ºVÑ�Æq¹�ÇÈÁ�ÀK½/À[Ì'»�ÇÈÁ�ºG»q¿9½/É�ÇÈé'Ì'¼z½VÁ?Ñ�ºG¾È¾Îº/Ð�Á<Ò�Ý|ÉzäTå�Ð�Ì�ÇÎÉ9ÆI»qº9¼�Ê�Ä'̺NÊ»yÉ�ºGÆ�½/ÆIÇȺNÉ�ÃÂÀ�»qº/ÏGÌ�ÁqºGÅ3Ì�Ê�ÁqÌ Ñ�Ê�¾C¾ÈÌ'Å3Å�½/ÁUÃ9½/ɼz¿NÇÈÏNÌ�½VÉzÌ'¾ÈÌ'Å3ÌmÉEÆT½/»IÍ"½/ɼzÁqÌ'¾èÑ�âÄ'ºGÉEÆT½/ÇÈÉ�Ì'¼�À�»Iº9º/ѪºVÑ?Æq¹�Ì�Ñ ½VÄ'Æ�Æq¹K½VÆy½/É9Í-À[º/Ð�Ì'»�º/Ñ?½�Æq»qÌmÌ�ÇÈÁ�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾ Ò

Ý|É-äD/�Ð�Ì?À�»Iº/ÏNÌCÄ'ºNÉÂÁqÆq»IÊ�Ä'ÆIÇÎÏGÌ'¾ÈÍ�Æq¹[½/Æ�½/É9Í�ÀKº/Ð�Ì'»�ºVÑK½/É�ÇÈÉEÆIÌ'»qÏN½V¾N¿G»�½/À¹�ÇÈÁ�½V¿E½/ÇÈɽ/É�ÇÈÉ9ÆqÌm»qÏN½/¾�¿N»�½VÀ�¹�ÒE�Ì3½/¾ÈÁqº�¿GÇÎÏGÌ3½�¾ÎÇÈÉ�Ì<½/»�ÆIÇÎÅ�ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹�Å ÆIºzÄ'ºNÉÂÁqÆq»IÊ�Ä'Æ�Æq¹�ÌÀ[º/Ð�Ì'»�¿G»�½VÀ�¹�Ò?ê�¹ÂÌ�ÄmºNÉ�ÁIÆq»qÊÂÄ'ÆqÇȺNÉ�½/¼�¼�ÇÈÆIÇκGÉK½/¾È¾ÈÍ-½/À�À�¾ÈÇÈÌ'Á�ÆIº-Ä'ÇÈ»qÄ'Ê�¾�½V»|âq½/»qÄ�¿G»�½/À¹�ÁUÃÐ�¹�ÇÈÄT¹"½VÁ©½)»qÌ'ÁIÊ�¾ÈÆ©½V»qÌ�½/¾ÈÁIº�Ä'¾ÈºNÁIÌ'¼3Ê�ɼ�Ì'»�Æ�½Vá9ÇÎÉ¿�ÀKº/Ð�Ì'»IÁUÒ"�Ì�Äm¾ÎºGÁqÌ�Æq¹ÂÌyÁqÌmÄ'ÆqÇȺNÉË9Í�¿NÇÈÏ9ÇÎÉ¿�½5¼�ÇÈ»qÌ'Ä'Æ�½/É�¼�½/¾ÈÆqÌ'»IÉK½/ÆIÇÈÏNÌ�À�»Iº9º/Ñ?º/Ñ�ÆI¹�Ì�Ñ ½VÄ'ÆyÆI¹K½/Æ�½/É9Í3º9¼�¼�ÀKº/Ð�Ì'»�º/ѽ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾�¿G»�½VÀ�¹�ÇÎÁ�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾|Ò

Ý|ÉDä���Ð�Ì�Áq¹�º/Ð Æq¹K½VÆYÇÈÆ�ÇÎÁ�¹K½V»q¼�Æqº�½/À�À»qºF�9ÇÈÅ"½/ÆIÌ'¾ÈÍzÄ'ºG¾ÎºG»YÌmÏNÌ'É�À[º/Ð�Ì'»IÁ-º/ÑÄT¹�ºN»I¼K½/¾�¿N»T½/À�¹ÂÁ�Ð�ÇÈÆq¹�ÇÈÉ%G-Þ�H  ¡FIKJ æ'à Ñ�ºG»Y½/É9ÍMLONP��ÃCÊ�ɾÎÌmÁqÁRQS� â|À�»qºGË�¾ÈÌ'Å3Á�¹K½<ÏGÌ

å

Page 3: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

»�½VÉ�¼�ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É�ºGÅ3Ç�½/¾�ÆIÇÎÅ�ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹�Å3Á<Ò�ê�¹�ÇÈÁ�ÇÈÁ�ÌmÁqÁqÌmÉEÆIÇ�½/¾È¾ÈÍzÆq¹�Ì-ÁIÆq»IºNÉ�¿GÌ'ÁqÆ»qÌmÁqÊ�¾ÈÆ�ÀKºGÁqÁqÇÈË�¾ÈÌNà ÁqÇÈÉ�ÄmÌ-¿N»qÌmÌ'¼�Í�Ä'ºG¾ÎºG»qÇÈÉ�¿GÁ�ºVÑ ½V»qË�ÇÈÆI»�½/»IÍ�ÌmÏNÌ'É�À[º/Ð�Ìm»Y¿G»�½/À¹�ÁY½/»IÌ� HÂâq½/À�À�»IºF�9ÇÎÅ�½/ÆIÌNÒ-�Ì-ÁIÆqÊ�¼ÂÍ�ºE¼Â¼PÀ[º/Ð�Ì'»IÁYºVÑy¿NÌ'ÉÂÌ'»�½V¾�¿N»�½VÀ�¹�Á<Ã?½/É�¼�½/¾ÈÁqº�ã[É�¼Æq¹ÂÌ'Å ¹K½V»q¼�Æqº�Ä'ºN¾ÈºN»�½VÀ�À�»qºF�9ÇÈÅ"½VÆqÌ'¾ÈÍ-Ð�ÇÈÆq¹ÂÇÎÉ�½/É?H�����9 I J Ñ|½/Ä'ÆIºN»UÃ7Ñ�ºN»�½/É9Í L8N �Âù�º/Ð�Ì'ÏNÌm»UÃ�Ð�Ì�¿NÇÈÏNÌ�½�¿N»IÌ'Ì'¼�Í HK9��$5Tâ�½VÀ�À�»IºF�EÇÈÅ�½/ÆqÇȺ/É�Ò!�½VÁqÆq¾ÈÍ9Ã/ÇÈÉ3ä�)�Ð�Ì�ÁqÆIÊ�¼�Í�ÀKº/Ð�Ì'»IÁ?º/Ñ�Æq»IÌ'Ì'Á�½/É�¼-Ä'ºG¾ÈºN»qÇÈÉ�¿GÁ�ºVÑ7ÆI¹�ºNÁIÌ�ÀKº/Ð�Ì'»qÁ<Ò��Ì

¿NÇÈÏGÌ�Æ|Ð�ºyÌ���½VÄ'Æ�½/ɼYÄ'¾ÈºGÁqÌ'¼�Ñ�ºG»qÅ-Ê�¾�½VÁ[Ñ�ºN»CÆq¹ÂÌ�Ä�¹Â»qºNÅ�½/ÆIÇÎÄ�ÀKºG¾ÎÍ9É�ºGÅ3Ç�½/¾/ºVÑKÆq¹ÂÌ��Gâ ÆI¹À[º/Ð�Ì'»CºVÑ ½�Æq»IÌ'Ì�Ð�ÇÈÆq¹OH-ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'ÁUÒ��Ì�Ä'ºNÅ�À�¾ÈÌ'Å3ÌmÉEÆ�ÆI¹�Ì'ÁIÌyÀ�»IÌ'Ä'ÇÈÁqÌ�Ñ�ºG»qÅ-Ê�¾�½VÁ�Ð�ÇÎÆI¹½/É G-Þ���H�æ�½/¾È¿NºG»qÇÈÆq¹�Å Æqº�Ì'ÏN½/¾ÈÊK½VÆqÌ�Æq¹�Ì�ÄT¹�»IºNÅ"½VÆqÇÈÄyÀ[ºN¾ÈÍ9É�ºGÅ3Ç�½/¾K½VÆ©½VÉ9Í3À[ºNÇÈÉ9ÆUÒ

×��� 'Ü�� Ü<Õ���×?Ü����

�ºN»3½�ÁqÌmÆ�� ½/É�¼ë½VÉ�Ìm¾ÎÌmÅ3Ì'É9Æ��NÃ�¼ÂÌ'É�ºNÆIÌzË9Í�������� �zÆq¹�Ì�ÁqÌ'Æ�Ä'ºNÉ9Æ�½VÇÈÉ�ÇÈÉ�¿t½V¾È¾Ì'¾ÈÌ'Å�Ì'É9ÆqÁ�ºVÑ!�vÌ��9Ä'¾ÈÊ�¼�ÇÈÉ�¿"�GÒ ! Ì'Æ$#&%'�1�)(�R*(�å)(,+�+�+ �3½/É�¼.-�/0%1#2�3�1�4�9Ò���ºG»5�62798 -9/�Ã9Ð�Ìy¼�Ì'ɺNÆqÌ�ÆI¹�Ì�ÁqÌ'Æ$� 5 ( 5;: R<(�+�+,+=( 7 ��ËEÍ � 5?>�7 �qÒ�Ý1Ñ 5 Ì�#9ÊK½V¾ÈÁ RNÃGÆq¹�Ì'ÉÐ�Ì�ÁIÇÈÅ3À�¾ÈÍ�Ð�»qÇÈÆqÌO� 7 ��ÇÈÉ�ÁqÆIÌU½/¼�ºVÑ � R >�7 �qÒ� ¾È¾�¿N»T½/À�¹ÂÁ�ÇÈÉ3ÆI¹�ÇÈÁ�ÀK½/À[Ì'»y½V»qÌ�ãKÉ�ÇÈÆqÌGÃ9ÁqÇÈÅ3À�¾ÈÌNÃG½/É�¼�Ê�É�¼�ÇÈ»qÌmÄ'ÆqÌ'¼�Ê�É�¾ÈÌ'ÁqÁ�ºGÆq¹�Ìm»|â

Ð�ÇÈÁqÌ�ÁIÆ�½VÆqÌ'¼�Ò�ß�ÍtìTîVòÎîNïA@CB<D�Ð�Ì�Ð�ÇȾȾ�½/¾ÈЩ½<Í9Á�Å�ÌU½/É�Æq¹ÂÌ�Ê�ÁqÊ[½/¾CÏNÌ'»IÆqÌ���Ä'ºN¾ÈºN»IÇÈÉ�¿-º/ѽ�¿NÇÈÏGÌ'É3¿G»�½/À¹�Ò

��ºG»©½�¿G»�½VÀ�¹ 3-Ã9Ð�Ì�¼�Ì'É�ºGÆqÌ�Æq¹ÂÌ�ÁqÌ'Æ�ºVѪÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'ÁyºVÑ 3�Ë9ÍFEYÞ 3�æmÃ�½/É�¼�ÆI¹�Ì�ÁqÌ'ƺ/Ñ�Ìm¼�¿NÌ'Á�ºVÑ 3DË9Í�G-Þ 3�æmÒ��Ì�»qÌ'ÁIÌ'»qÏGÌ�Æq¹�Ì�ÁqÍ9Å-Ë[ºN¾�H�Ñ�ºG»IHJEYÞ 3)æ,HèÃNÆI¹�Ì�É9Ê�Å-ËKÌm»?º/ÑÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁ�ºVÑ 3-ÒK�ºN»ML 8 EYÞ�3�æ'ÃG¾ÈÌ'ÆMN�Þ�LNæC¼�ÌmÉ�ºNÆIÌyÆq¹ÂÌOB��,@PDUí)Q�îGïqí�î<î<ð-º/ÑRL�Ã9ÆI¹K½/Æ?ÇÈÁ<ÃÆq¹ÂÌ�ÁIÌ'ÆyºVÑ�½/¾È¾KÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Á�½V¼�:'½VÄ'Ì'É9Æ�Æqº�L5Ë�Ê�Æ�É�ºGÆ�ÇÎÉÂÄ'¾ÈÊ�¼�ÇÈÉ�¿SL5ÇÎÆIÁqÌ'¾èÑ�Ò"! ÇÈáNÌ'Ð�ÇÈÁqÌGÃ9¾ÎÌmÆNM�TL&�C¼�Ì'É�ºGÆqÌ�Æq¹�Ì�ì'òÈîF���Tð�B �,@UD<íVQTîGïqí�î<îUð�ºVÑML�Ã[Ð�¹�ÇÈÄT¹zÇÈÁ�Æq¹�Ì�ÁqÌ'Æ�Æq¹K½VÆyÄ'ºGÉ�ÁqÇÈÁIÆqÁ�º/ѽ/¾È¾9Æq¹ÂÌ�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á�½/¼�:m½/Ä'Ì'É9ÆCÆqºOLÂÃNÆIºN¿NÌmÆq¹�Ì'»�Ð�ÇÈÆq¹�L�ÇÎÆIÁqÌ'¾èÑ�ÒK�ºN»?½�ÁqÊ�Ë�¿G»�½VÀ�¹�W�ºVÑ 35ÃÆq¹ÂÌ�¿G»�½VÀ�¹�ÇÎÉ31D���B��<ïqñ � �Tð3ºG»O@CB�ð*XEì��Tð�ËEÍYW�Ã9¼�Ì'ɺNÆqÌm¼?3O�TWE�qÃNÇÈÁ�Æq¹�Ì)ÁqÊ�Ë�¿G»�½VÀ�¹Ð�¹�ÇÈÄT¹Y¹[½/Á?ÏGÌ'»qÆIÌ��YÁIÌ'ÆZEYÞ�Wzæ'Ã9½/ɼYÌ'¼Â¿NÌ�ÁqÌmÆZ�<�\[R(�L4�O]<[�(^L 8 E�Þ�Wzæ�½/ɼ"��[�(�L4� 8G-Þ�3�æ��9Ò�Ý1Ñ�_a`bEYÞ 3)æ�Æq¹ÂÌ'É 3 �U_ �ªÇÈÁ�Æq¹�Ì�ÁqÊÂË�¿N»T½/À�¹zÇÈÉ�¼ÂÊ�Ä'Ì'¼�Ë9Í"ÆI¹�Ì�ÁqÊ�Ë�¿G»�½VÀ�¹¹K½<Ï9ÇÈÉ�¿�ÏNÌ'»IÆqÌ���ÁIÌ'Æc_ ½/É�¼P½VÉ�É�ºzÌ'¼�¿GÌ'ÁUÒd��ºG»�½/É�Ì'¼�¿GÌ"�\[R(�L4�9Ã�ÆI¹�Ì3ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Áe[½/ɼfL3½V»qÌ�ÄU½/¾È¾ÈÌ'¼zÆI¹�Ì-��B�ð<g&�Uï � @�ì����YºVÑ�ÆI¹�Ì�Ì'¼�¿NÌGÒyê�¹�Ì�ð<@ � � ñ<B�ì��-Ë[Ì'Æ|Ð�Ì'Ì'É.[�½VÉ�¼L�ÇÈÉM3�ÇÈÁ�Æq¹�Ì-É9Ê�Å-Ë[Ì'»�º/Ñ�Ì'¼�¿NÌmÁ�ÇÈÉ�ÆI¹�Ì-Áq¹�ºG»qÆIÌ'ÁqÆ�ÀK½/ÆI¹zÑ1»qºNÅh[�Æqº"L�Òc��ºG»yÆ|Ð�ºÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁi[�½/É�¼fL5ÇÈÉ ½�¿G»�½VÀ�¹ 3-Ã�Ð�Ì�¼�Ì'ɺNÆqÌ)Æq¹�Ì�¼ÂÇÎÁIÆ�½VÉ�Ä'Ì�ËKÌ'Æ|Ð�Ì'Ì'É.[z½VÉ�¼"L-ÇÈÉ3�Ë9ÍYjlk Þm[�(^LGæ'ÒCê�¹�ÇÈÁ�ÇÈÁ�ÁI¹�ºN»IÆqÌ'ÉÂÌ'¼�ÆIºej[Þ�[R(�LNæ�Ð�¹�ÌmÉ 3 ÇÈÁ�Ê�É�¼ÂÌ'»qÁIÆqº9º9¼�Ò

��ºG»?½�¿N»T½/À�¹O3D½/É�¼Y½VÉYÌm¼�¿NÌZn�ºVÑ 3-Ã/¾ÈÌ'Æ"3��?n�¼�Ì'ɺNÆqÌ�Æq¹ÂÌ�¿N»�½VÀ�¹�ºNË�ÆT½/ÇÈÉ�Ì'¼�Ë9ͼ�Ì'¾ÈÌ'ÆIÇÈÉ�¿In�Ñ�»qºGÅ 35Ò�B�É�Æq¹�Ì�ºNÆq¹ÂÌ'»C¹K½/É�¼ Ã'¾ÈÌ'Æ 33o<n�¼�Ì'É�ºGÆqÌ?ÆI¹�Ì�ÁIÇÈÅ3À�¾ÈÌ�ÄmºNÉ9Æq»T½/Ä'ÆIÇκGɺ/Ñ"3 ËEÍ-ÆI¹�Ì�Ì'¼Â¿NÌOnNÒ�ÌYÄ<½/¾È¾?½/ÉzÌ'¼Â¿NÌ3½zìTí�îGïqð�º/Ñ©½�ÁqÇÈÅ�À�¾ÈÌ�ÄmÍEÄm¾ÎÌ-ºVÑ�¾ÈÌ'É�¿GÆq¹�Ñ�ºGÊ�»�ºN»�Å3ºG»qÌNÃÂÇèÑ�ÇÈÆ

ÇÈÁ�ɺNÆ�ÇÈÉ3ÆI¹�Ì�Ä'Í9Ä'¾ÈÌNÃ�Ë�ÊÂÆ�¹K½/Á�ËKºGÆq¹�ÇÈÆqÁ�Ì'É�¼�ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Á�ºNÉ�Æq¹�Ì�Ä'Í9Ä'¾ÈÌNÒ � ¿N»�½VÀ�¹ 3 ÇÈÁÄU½V¾Î¾ÈÌ'¼�ìTí�îGïqðNñVò?ÇèÑ�ÌmÏNÌ'»IÍ"ÁIÇÈÅ3À�¾ÈÌ�Ä'Í9Ä'¾ÈÌ�º/Ñ?¾ÈÌ'É�¿GÆq¹�Ñ1ºNÊ�»�ºG»yÅ3ºG»qÌ�¹K½/Á�½�Ä�¹ÂºN»q¼ Ò�Ý|ÉÑ ½VÄ'ÆUÃ[Æq¹ÂÌ'»qÌ�ÇÈÁy½/ÉzÌ�#9Ê�ÇÈÏN½V¾ÎÌmÉEÆy½VÉ�¼zÅ�ºN»qÌ�Ä'ºGÅ3À�ÊÂÆ�½/ÆIÇȺNÉK½V¾KÄ'ºGÉ�¼�ÇÈÆqÇȺGÉ3Ñ1ºN»�½�¿G»�½VÀ�¹Ë[Ì'ÇÈÉ�¿�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾|Ò � ¿G»�½/À¹ 3�ÇÈÁ-ÄT¹�ºG»q¼K½V¾�ÇxÑ�½/É�¼�ºNÉ�¾ÈÍ�ÇèÑyÆq¹ÂÌ'»qÌzÇÈÁ3½VÉPºN»I¼�Ì'»IÇÎÉ¿��L � (,+�+,+�(�L�p?�"ºGÉqE�Þ�3�æ'ÃCÄU½V¾È¾ÎÌm¼�½ ��@Cr!sKòt@�ì,@àñ/ò �mòu@Cr�@CB�ñ � @àî<B�îNïIð��<ï�@CB<DGÃ�ÁIÊ�ÄT¹�Æq¹K½VÆ

/

Page 4: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

Ñ�ºG»�ÌU½/ÄT¹"L���ÃÂÆq¹�Ì)ÁqÌ'Æ$N�ÞmL��|æ��F��L � (,+�+,+�(�L�� I � ��ÇÈÉ�¼�ÊÂÄ'Ì'Á�½�Äm¾ÎÇ #9Ê�Ì�ÇÈÉ 3 ��å��9ÃÂê�¹�Ì'º/â»qÌmÅ )ÂÒ /ÂÒ R�/�ÃGÀK½V¿NÌ R&(�(1��Ò� É�îUðGðzìTí�îNïIðzÇÈÁ�½VÉzÌ'¼�¿GÌ : ºNÇÈÉ�ÇÈÉ�¿-Æ|Ð�º3ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁ�Æq¹K½VÆ�½/»qÌ�½/É�ºE¼Â¼z¼�ÇÈÁqÆT½/É�Ä'Ì

½/À[½/»qÆ�ÇÎÉ-½�Ä'Í9Ä'¾ÈÌNÒ � ÄT¹�ºG»q¼K½V¾�¿N»T½/À�¹�ÇÈÁ � � ïIî<B<DVò���ìTí�îNïIðNñVò7ÇèÑ�Ì'ÏNÌm»qÍ�ÁqÇÈÅ3À�¾ÈÌ?ÄmÍEÄm¾ÎÌ�º/ÑÌ'ÏGÌ'Éz¾ÈÌ'É�¿GÆq¹�ÁqÇ �-ºN»�Å�ºN»IÌy¹K½VÁy½/É�º9¼�¼�Ä�¹ÂºN»q¼ Ò � ÉzÌ�#9Ê�ÇÈÏN½V¾ÎÌmÉEÆ�Ä'ºGÉ�¼�ÇÈÆqÇȺNÉ�ÇÈÁ�Æq¹K½VÆÆq¹ÂÌ'»qÌ�Ì��9ÇÎÁIÆ�½VÉ�ºN»I¼�Ì'»qÇÈÉ�¿ ��L � (�+,+�+�(^L�p?�3ºGÉqEYÞ 3)æ'à ÄU½/¾È¾ÈÌ'¼P½ � � ïqî<B*D �mòu@Cr�@CB�ñ � @�î*BîNïIð��<ï�@CB<DGÃ�Ð�¹ÂÇÎÄT¹zÇÈÁy½5ÁqÇÈÅ3À�¾ÈÇÈÄ'Ç�½/¾ÂÌ'¾ÈÇÎÅ�ÇÈÉK½/ÆIÇκGÉ-ºN»I¼�Ì'»qÇÈÉ�¿-ÁIÊ�ÄT¹�ÆI¹K½/Æ�ÇèÑ �������qý/ɼ L� V(�L�� 8 N�Þ�L�� æmÃ�ÆI¹�Ì'É

N�ÞmL� Eæ��F�\L � (,+�+�+^(�L�� I � �$`2N�ÞmL��Gæ��"�\L � (�+�+,+=(^L�� I � � �*,9Ã9R�/&�qÒ� É @ B � �<ï�g<ñ/òRDGïqñ�s�ízÇÈÁ�½�¿N»�½VÀ�¹zÐ�¹�ºGÁqÌ�ÏGÌ'»qÆIÌ��zÁIÌ'Æ�ÄU½/ÉzË[Ì�»qÌ'À�»IÌ'ÁqÌmÉEÆIÌ'¼PË9Í�½

Ä'ºG¾Î¾ÈÌ'ÄmÆqÇȺNÉ�ºVÑyÀ�»qºGÀKÌ'»<Ã?Ä'¾ÈºGÁqÌ'¼�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾ÎÁ)º/ÑyÆq¹ÂÌ3»qÌ<½/¾�ÉEÊÂÅ-ËKÌ'»IÁUÃ?½VÉ�¼�Ð�¹�Ì'»IÌ3Æ|Ð�ºÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁy½/»qÌ�Ä'ºGÉ�É�Ì'ÄmÆqÌ'¼�Ë9Í3½/É�Ì'¼�¿NÌ�ÇèѪ½/É�¼�ºNÉ�¾ÈÍ�ÇxÑ�ÆI¹�Ì�Ä'ºN»I»qÌ'ÁIÀKºGÉ�¼�ÇÈÉ�¿�ÇÈÉEÆIÌ'»qÏN½V¾ÈÁ¹K½<ÏGÌ�½5É�ºNÉ�ÌmÅ3À�Æ|Í�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÁIÌ'Ä'ÆqÇȺGÉ�Ò�Ý|Æ�ÇÈÁ�ÌU½/ÁIÍzÆqº�ÁqÌmÌ-Æq¹K½VÆyÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾C¿N»T½/À�¹�Á�½V»qÌ-½ÁqÊÂËKÄ'¾�½VÁqÁ?ºVÑKÄT¹�ºN»I¼K½/¾�¿G»�½VÀ�¹�ÁUÒ � ¿N»T½/À�¹O3ëÇÈÁCÄU½V¾Î¾ÈÌ'¼�½8��s[òu@ � DNïIñ�s¤íÂÃ/ÇèÑREYÞ�3�æ ÄU½/É�ËKÌÀK½V»qÆqÇÈÆIÇκGÉ�Ì'¼�ÇÈÉ9Æqº-½�¼�ÇÈÁ :TºGÇÎÉ9Æ�Ê�É�ÇȺNÉ������ Ð�¹�Ì'»qÌ�Æq¹ÂÌ�ÇÈÉ�¼ÂÊ�Ä'Ì'¼zÁIÊ�Ë�¿G»�½/À¹?3O� �E�¹K½VÁ�É�º-Ì'¼�¿GÌ'ÁUÃ[½/É�¼ 3O� � �ªÇÈÁ�Ä'ºNÅ�À�¾ÈÌ'ÆqÌNÒ

��ºG»e� 8 - / ½VÉ�¼�½�¿G»�½VÀ�¹ 3-à Æq¹ÂÌ ��� � í s¤î��"�<ï3ºVÑS3-ÃC¼�Ì'É�ºGÆqÌ'¼�Ë9ÍM3 ÃCÇÈÁÆq¹ÂÌ�¿G»�½VÀ�¹-Ñ�ºG»qÅ�Ì'¼�Ñ�»qºGÅ EYÞ�3�æ'Ã9Ð�¹�Ìm»qÌY½V¾Î¾[ÀK½VÇλIÁ�ºVѪÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Á�¹K½<Ï9ÇÈÉ�¿�¼�ÇÈÁqÆT½/É�ÄmÌ�º/ѾÈÌ'É�¿GÆq¹���ºN»C¾ÈÌ'ÁqÁ�ÇÈÉ 3D½/»IÌ�Ä'ºNÉ�ÉÂÌ'Ä'ÆqÌm¼3Ë9ÍY½/É-Ìm¼�¿NÌNÒ�Q�ºNÆIÌ�Æq¹K½VƪÆI¹�Ì�ºN»IÇÈ¿NÇÈÉK½/¾9Ì'¼Â¿NÌ'ÁÇÈÉ 3 ½/»IÌ�»qÌ'ÆT½/ÇÈÉ�Ì'¼�Ò!�Ì'Æ���Ë[Ì�½VÉ�Ê�É»qº9ºNÆIÌ'¼�ÆI»qÌ'Ì�½/É�¼�¾ÎÌmÆ���Ë[Ì-Æq¹�Ì�¾ÈÌ'É�¿NÆI¹�ºVÑ©ÆI¹�Ì�¾ÎºGÉ�¿NÌmÁqÆ�ÀK½/ÆI¹

ÇÈÉ�� Þ�ÆI¹K½/Æ�ÇÈÁUÃ��CÇÈÁ�Æq¹�Ì3ð*@�ñ<rR� � �<ï�º/Ñ �yæ'Ò � ÏNÌm»qÆqÌ��"ºVѪ¼�Ìm¿N»qÌmÌ�ºNÉ�Ì�ÇÈÉ��DÇÈÁ�Ä<½/¾È¾ÈÌ'¼½�ò �Tñ"!'Ò?Ý1Ñ#�?ÇÈÁ�Ì'ÏGÌ'É�Ã[Æq¹�ÌmÉzÆq¹�Ì�ìD��B � ïqî*@�ð3î"!$�DÇÈÁ�Æq¹�Ì�ÊÂÉ�Ç #EÊÂÌ�ÏNÌ'»IÆqÌ���Ã[Ð�¹�ÇÈÄT¹�ÇÎÁ�º/Ѽ�ÇÈÁqÆT½/É�ÄmÌY½/Æ�Å3ºGÁqÆ%�moNå)Ñ�»IºNÅ ½V¾È¾�Æq¹�Ì�¾ÈÌU½<ÏNÌmÁ�º/Ñ&��ÒCÝ1Ñ#�CÇÈÁ�º9¼�¼�Ã9Æq¹ÂÌ'ÉzÆq¹ÂÌ�ì���B � ïqî<@àðî'!(��ÇÎÁCÆI¹�ÌyÊ�ÉÂÇ #9Ê�Ìy½V¼�:'½VÄ'Ì'É9Æ?ÀK½VÇλCºVÑ7ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Á�ÁIÊ�ÄT¹3ÆI¹K½/Æ?Ì<½/ÄT¹-¾ÈÌU½<Ñ�ÇÈÁ?º/Ñ�¼�ÇÈÁqÆT½/É�Ä'̽/Æ)Å3ºNÁIÆ-Þ)� * RUæ�oGå�Ñ�»IºNÅ ºGÉ�Ì3ºVÑ©ÆI¹�Ì'ÁIÌ"Æ|Ð�ºzÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'ÁUÒ�Ý|ÉP½�ÆI»qÌ'Ì���à »qº9ºNÆIÌ'¼�½VÆÏNÌm»qÆqÌ��,+9ÃK½VÉPñ<B�ì���� � îGïYºVÑML3ÇÈÁy½VÉEÍ�ÏGÌ'»qÆIÌ���ºNÉzÆI¹�Ì"ÞàÊ�É�Ç #9Ê�ÌUæ ÀK½/ÆI¹3Ñ1»qºNÅ L5Æqº�+9ÒQyºGÆqÌNÃ?L�ÇÈÁy½/Éz½/É�ÄmÌ'ÁqÆIºN»yºVѪÇÈÆqÁIÌ'¾èÑ�Ò

��ºG»Y½�Æq»IÌ'Ì���½/ɼ � 8 -�/�Ã�!�ÇÈÉ�½/É�¼Pç¤áEÇÈÌ'É[½3ÁI¹�º/Ð Æq¹K½VÆ�Æq¹ÂÌ-¿N»�½VÀ�¹-� ÇÈÁÄT¹�ºN»I¼K½/¾8� R&�9Ã�äD)1��Ò�ê�¹�Ì'ÇÈ»YÀ»qº9º/Ñ�¼�Ì'À[Ì'É�¼�Á�¹�ÌU½<Ï9ÇȾÎÍ�ºGÉPÆI¹�Ì�Ä�¹[½/»�½VÄ'ÆqÌm»qÇÈéU½/ÆIÇȺNÉ�º/ÑÄT¹�ºN»I¼K½/¾C¿G»�½/À¹�Á�½VÁyÀ�»IÌ'Ä'ÇÈÁqÌ'¾ÈÍzÆI¹�Ì�@CB � �<ï����Tì � @�î<BYDGïqñ�s�íA�3Þà¿N»�½VÀ�¹�Á Ñ�ºN»IÅ3Ì'¼�Ñ�»IºNÅ�½Ä'ºG¾Î¾ÈÌ'ÄmÆqÇȺNÉ�º/Ñ�ÁqÌ'ÆIÁUÃ�Ð�¹ÂÌ'»qÌzÆI¹�Ì�ÁqÌ'ÆIÁ3»IÌ'À�»qÌmÁqÌ'É9ÆzÆI¹�Ì�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á�½/É�¼�Æ|Ð�º�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á½/»IÌ�½/¼�:'½VÄ'Ì'É9Æ�ÇxѪ½VÉ�¼3ºGÉ�¾ÈÍ-ÇèÑ�Æq¹�Ì'ÇÈ»�Ä'ºG»q»IÌ'ÁqÀ[ºNÉ�¼ÂÇÎÉ¿-ÁqÌ'ÆIÁ�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÁIÌ'Ä'Æ�æ º/ÑCÁqÊ�Ë�ÆI»qÌ'ÌmÁyÇÈÉÆq»IÌ'Ì'Á � R�R$�qÒ�¸�ºN»IÉ�Ì'ÇȾ©½VÉ�¼-.�ÌU½/»IÉ�Ì'Í�¾¨½VÆqÌ'»)À�»qº/ÏGÌ'¼�Æq¹K½VÆ�½VÉ9ÍzÀKº/Ð�Ì'»�º/Ñ�½�ÆI»qÌ'Ì�ÇÈÁ½/ÄmÆqÊK½V¾Î¾ÈÍ-ÁIÆq»qºGÉ�¿N¾ÈÍ�Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾"� �&�qÒ�Ì�ÄmºNÉ�Ä'¾ÈÊ�¼ÂÌ�ÆI¹�ÇÈÁªÁIÌ'Ä'ÆIÇκGÉYÐ�ÇÈÆI¹�½ ¼�ÌTãKÉ�ÇÈÆIÇκGÉ�Ã<Ñ�ºG¾È¾Îº/Ð�Ì'¼�Ë9Í�Æ|Ð�º�¾ÈÌ'Å3Å�½/Á<ÃTÆq¹K½VÆ

½/¾È¾Èº/Ð Ê�Á�Æqº�À�»qÌ'ÁIÌ'É9Æ"½VÉPÌ'¾ÈÌ'Å�Ì'É9Æ�½/»IÍP½/É�¼�É�Ì'Ð(À�»qº9ºVÑ�º/ÑyÆI¹�Ì !�ÇÈÉ�½VÉ�¼�ç¤áEÇÈÌ'É[½»qÌmÁqÊ�¾ÈÆUÒ/�°�021 354631³7198;:)<�= îNï�ñeDGïqñ s¤í 3 ñ<BÂð�� 8 #?>@� �-ð��5A�B���ñ��Gâ Ë[½/¾È¾yñF��ñ��XlQ���� �Bb`0EYÞ 3�æC>"��X9ì�í � íÂñ � !'îNï�ñ<BD��g&�Uï � @�ì���� [�(^L 8 BE>F� �yí�ñ*g��Oj4k�Þm[�(^LGæ 6 ��G

Page 5: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

��°������ 8�:�8�� � � � Q���ñ � ï�����ïqî<î � ��ð)ñ � g��<ï � ��� +�G%=�îGï �,g&�Uï �Ig&�<ï � ��$[ 8 EYÞ)�yæC>� í��C�;� � î'!$g��<ï � @�ì�����L 8 EYÞ �yæ8�'ñ � @ �)! �\@ B<D

j�©Þ�[R(�LNæ 6 ��ñ<BÂðj�©Þ5+\(�LNæ 6 j��Þ +\(�[KæA( Þ�R<æ

@ �-ñ�� ��QTñ/òàò�G ��íÂñ � @ � > � í��Yg&�Uï � @�ì���� ��í)@�ì�í�ñNï���ì'òÈîF���<ï � î � í���ïqî<î � � í�ñ*Bf[;>yñ<B�ðñNï$�Yî"!�ð<@ � � ñ<B�ì��O��îNï�ò ����� !'ïqî*ra[�> !'îNï�r ñS� ��QTñ/òàòR@CB�?G��ïIîUî"! G �ÌzÐ�½/É9Æ-Æqº�ÁI¹�º/Ð�Æq¹K½VÆ"½VÉEÍ�Æ|Ð�º�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'ÁdL�½VÉ�¼ L���ÁT½/ÆIÇÎÁ�Ñ�Í9ÇÈÉ�¿�Æq¹�ÌÄ'ºGÉ�¼�ÇÈÆqÇȺNÉÂÁ�ÁIÆ�½VÆqÌ'¼�ÇÈÉ�Æq¹�Ì-¾ÈÌ'Å�Å"½-½/»IÌYºVÑ©¼ÂÇÎÁIÆ�½VÉ�Ä'Ì���ºN»�¾ÈÌ'ÁIÁ�Ñ�»qºGÅ ÌU½VÄT¹�ºNÆq¹ÂÌ'»UÒ!�ÌmÆ���Þ�����æ�ËKÌ-ÆI¹�Ì-¾ÈÌU½/ÁIÆ�ÄmºNÅ3Å�ºNÉ�½/É�Ä'ÌmÁqÆqºG»�º/Ñ�[�½/ɼfL�Þ�»IÌ'ÁqÀ[Ì'Ä'ÆIÇÈÏNÌ'¾ÈÍ9à [�½VÉ�¼L���æmÒ�ç9ÇÈÉ�ÄmÌ�ËKºGÆq¹�� ½/É�¼����?½/»IÌY½/É�ÄmÌ'ÁqÆIºN»qÁ)º/ÑM[�Ã[Ì'ÇÈÆI¹�Ì'»�� ÇÈÁ�½/É�½/É�Ä'ÌmÁqÆqºG»�º/Ñ����ºN»�Ï9ÇÈÄ'ÌTâ|ÏNÌ'»IÁ�½ÂÒOëÇÈÆq¹�ºGÊ�Æ�¾ÈºNÁqÁ�ºVÑ©¿GÌ'É�Ì'»T½/¾ÈÇÈÆ|ÍEÃ[ÁqÊÂÀ�ÀKºGÁqÌ����CÇÈÁ ½VÉP½/É�ÄmÌ'ÁqÆIºN»�ºVÑ��)Òç9ÇÈÉ�Ä'Ì�L�Á�½VÆqÇÈÁ|ã[Ì'Á"Þ/RUæmÃ�Ð�Ì-¹K½<ÏNÌ�j�©Þ�[R(�yæ�� j�©Þ�LV(�yæmÒ-Q�ºNÆqÌ-ÆI¹K½/Æ)ÇÎÉP½�ÆI»qÌ'Ì�½ÁqÇÈÅ�À�¾ÈÌ�ÀK½/ÆI¹3Ë[Ì'Æ|Ð�ÌmÌ'É�Æ|Ð�º�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á�ÇÈÁ�Æq¹�Ì�ÁI¹�ºN»IÆqÌ'ÁIÆ�ÀK½/ÆI¹3Ë[Ì'Æ|Ð�ÌmÌ'ÉzÆq¹ÂÌ'Å�Ò ëÇÈÆq¹Æq¹ÂÇÎÁ�Ñ|½/Ä'Æ�ÇÈÉ3Å�ÇÈÉ�¼�ÃGÐ�Ì�¹K½<ÏGÌ

j Þm[�(^L � æ %0j Þ�[R(�yæ : j Þ��3(�� � æ : j Þ�� � (�L � æê�¹�Ì'»IÌTÑ�ºG»qÌNÃ

j�©Þ�LV(�L � æ % j��ÞmL)(���æ : j��Þ��O(� � æ : j�©Þ�� � (�L � æ6 j Þm[�(���æ : j Þ��O(� � æ : j Þ�� � (^L � æ6 j��Þm[�(^L � æ6 � +

ê�¹�ÇÈÁ�À�»Iº/ÏNÌ'Á�ÆI¹�Ì�¾ÈÌ'Å3Å�½�Ò ��

��°������ 8�:! #" ! �1@ ��ñ � ï�����ñ<BÂðe� 8 -�/%> � í���B� @ ��ìTí�îGïqðNñVò�G��ïIîUî"! G�¸�ºNÉÂÁqÇȼ�Ì'»%$ ¼�ÇÈÁIÆqÇÈÉ�Ä'Æ�ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁf[ � (�+,+�+�(^['& ºVÑ � Ð�ÇÎÆI¹ëÆq¹ÂÌ�À�»qºGÀKÌ'»IÆ|ÍÆq¹[½/Æ-Ñ1ºN»-ÌU½VÄ�¹ � 8 �($R�qÃ�Æq¹�Ì�Ê�É�Ç #9Ê�ÌzÀ[½/Æq¹�) Þm[ � (�[ � /�� æ�Ñ�»qºGÅ [ � Æqº [ � /�� ¹K½VÁ¾ÈÌ'É�¿GÆq¹f��ºN»�¾ÎÌmÁqÁUà Ð�¹�Ì'»qÌ�['& /�� %a[ � Ò6�Ì�ÁI¹�º/Ð�Æq¹�Ìm»qÌ-ÇÈÁ�½ � 8 � $ �?ÁqÊ�ÄT¹�Æq¹K½VÆj Þ�[ �

I � (�[ � /�� æ 6 � Ò�ê�¹�ÇÈÁ�Ð�ÇȾξÂÇÎÅ�À�¾ÈÍY½/É-Ìm¼�¿NÌ�Ë[Ì'Æ|Ð�ÌmÌ'É"[ �I � ½/ɼ�[ � /�� ÇÈÉ�

ý/ɼ"¹ÂÌ'É�Ä'Ì�ÆI¹�Ì�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾ÎÇÈÆ|Í-ºVÑ&� Ò?¸�ºNÉÂÁqÇȼ�Ì'»�Æq¹�Ì�ÁqÊÂË�Æq»IÌ'ÌYºVÑ&�D¼�ÌTãKÉÂÌ'¼zË9Í

W %*)�Þ�[ � (^[ 9 æ���+,+-+��.)�Þm[ & I � (^[ & æ��.)�Þ�[ & (^[ � æA+� ¾È¾[Æq¹�Ì�¾ÈÌU½<ÏNÌ'Á�º/Ñ W�½V»qÌ�Ä'ºNÉ9Æ�½VÇÈÉ�Ì'¼3ÇÈÉ-ÆI¹�ÌyÁIÌ'Æ$��[ � (�+,+�+�(�[/&3�EÒ�!�Ì'Æ$+ 8 E-ÞmW�æCËK̽�Ä'Ì'É9ÆI»qºNÇȼ�º/ÑMW�Ò���º9ºNÆZW ½/Æ$+�½/É�¼�¾ÈÌ'Æ%�-ËKÌ�ÁIÊ�ÄT¹zÆq¹K½VÆIj10YÞ�[ � (�+/æ2� j30�Þm[ � (�+/æÑ�ºG»�Ì'ÏGÌ'»qÍ�� 8 �($R�qÒ ß�Í!�Ì'Å�Å"½�å�Ò�å�Ð�Ì�ÁqÌ'Ì)Æq¹K½VÆ@B � %0��[Y]4j10YÞm[�(�[ � æ 6 � ��ÇÈÁ�½�Gâ|ËK½/¾È¾�ÇÈÉ"W�Ò�ç¤ÇÎÉÂÄ'ÌO[ �

I � ½/É�¼d[ � /�� ½V»qÌ�ÄmºNÉ9Æ�½VÇÎÉÂÌ'¼�ÇÎÉ B(��ÃK½VÉ�¼"j�.% j 0 Ð�¹�Ì'É»qÌmÁqÆq»IÇÈÄ'ÆqÌ'¼�Æqº-ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'ÁyÇÈÉYW�Ã�Ð�Ì�¹K½<ÏNÌ�Æq¹K½VÆ�j��Þm[��

I � (^[�� /�� æ 6 ��Ò ��

)

Page 6: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

ê�¹�Ì3ìmòu@���XA�6��@��&��ºVÑ�½�¿N»T½/À�¹�ÇÈÁ�Æq¹�Ì�É9Ê�Å-Ë[Ì'»�º/ÑCÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á�º/ÑCÆq¹�Ì�¾�½/»I¿NÌ'ÁIÆ�Ä'ºNÅ5âÀ�¾ÈÌ'ÆIÌ-ÁqÊ�Ë�¿G»�½VÀ�¹�ºVÑ�Æq¹ÂÌ-¿N»�½VÀ�¹�ÒR!�Ì'Æ��yÞ 3�æ�¼�ÌmÉ�ºNÆIÌ-Æq¹�Ì-Ä'¾ÈÇ #9Ê�Ì�ÁIÇÎémÌ-º/Ñ 3-Ò)ß�Í�½Æq¹ÂÌ'ºN»IÌ'Å º/Ñ�ß�Ì'»q¿GÌ-Ñ�»IºNÅ R&(���� ��å��9Ã�ÀK½V¿NÌ-å��MR��qÃ�½/¾È¾CÄ�¹ÂºN»q¼[½/¾?¿G»�½/À¹�Á83 ½V»qÌ3s �<ï��!��Tì � Ã�Å�ÌU½/ÉÂÇÎÉ¿-Æq¹K½VÆ���ÞmWzæ9%��yÞmWzæ Ñ�ºG»�Ì'ÏNÌ'»IÍ�ÇÈÉ�¼ÂÊ�Ä'Ì'¼�ÁqÊ�Ë¿N»�½VÀ�¹ W ºVÑ 3-Ò)Ý|ÉÀK½V»qÆqÇÈÄ'ʾ¨½V»UÃ��Þ�3�æK%�yÞ 3)æ'ÒCê�¹�Ì�¾�½/»I¿NÌ'ÁIÆ?Ä'¾ÈÇ #9Ê�Ì�ÇÈÉ� ÇÈÁªÇÈÉ�¼ÂÊ�Ä'Ì'¼�ËEÍ�Æq¹ÂÌy¾�½/»I¿NÌ'ÁIÆ�Gâ|ËK½/¾È¾ ÇÎÉ���Ò�Ý1Ñ 7 Þ �yæ�ÇÈÁyÆI¹�Ì�ÄU½V»q¼�ÇÈÉK½V¾ÎÇÈÆ|Í�º/Ñ©½�¾�½/»I¿NÌ'ÁIÆO�Gâ Ë[½/¾È¾|Ã9Æq¹�Ì'É�Ð�Ì�¿NÌ'Æ�Æq¹�ÌÑ�ºG¾Î¾Èº/Ð�ÇÈÉ�¿�Ä'ºG»qºN¾È¾�½/»IÍEÒ��³K´/³ ������´/±-8�:�� =�îGï�ñ � ï$��� � ñ*B�ð�� 8 -�/%>�� ��í�ñ*g�����Þ � æK%�yÞ � æ�% 7 �Þ)�yæ G

� ���3Ø�×?ÙY�O ���×�������� ��Õ5Ù�Ö����yÜT×���Ø�� ��×��

Ý|ÉPÆI¹�ÇÈÁ�ÁqÌmÄ'ÆqÇȺNÉ�Ð�Ì-ãK»IÁqÆ�Ä'ºNÉÂÁqÇȼ�Ì'»-½/É�ÇÎÅ�ÀKºG»qÆT½/É9Æ�ÁqÊ�Ë[Ä'¾�½/ÁIÁYºVÑyÄ�¹ÂºN»q¼[½/¾�¿N»T½/À�¹ÂÁÄ'ºGÉ�ÁqÇÈÁqÆIÇÈÉ�¿�º/Ñ�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾?¿N»T½/À�¹�Á<ÒO�Ì�Ä'ºNÉ�ÁIÆq»IÊ�Ä'Æ-½/É�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾ª»IÌ'À�»IÌ'ÁqÌ'É9ÆT½/ÆqÇȺGÉ�Ñ�ºG»½/É9Í�À[º/Ð�Ì'»?º/Ñ�½/É-ÇÈÉ9ÆqÌm»qÏN½/¾9¿G»�½/À¹�Ñ�»qºGÅ�Æq¹ÂÌ�»qÌ'À�»IÌ'ÁqÌmÉEÆT½/ÆIÇκGÉ3ºVÑ7ÆI¹�Ìy¿GÇÎÏGÌ'É�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾¿N»T½/À�¹ Ò�Ì-Æq¹�Ì'É�¼�Ì'»IÇÎÏGÌ"½�ÉÂÌ'Ð�½/É�¼�Ì'¾ÈÌ'Å3Ì'É9ÆT½/»qÍ�À�»qº9º/ÑyºVÑyÆq¹�Ì5Ñ ½/ÄmÆ�Æq¹K½VÆY½/É9ͺ9¼�¼�ÀKº/Ð�Ì'»�ºVÑ�½)Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾�¿G»�½VÀ�¹�ÇÎÁ�½/¿9½/ÇÈÉ3ÄT¹�ºG»q¼K½V¾|Ò�ê�¹�Ì�½/À�À�»IºE½VÄ�¹�º/ÑCÆq¹�ÇÈÁ�À�»IºEºVÑÇÈÁ�¼�ÇÈ»qÌ'ÄmÆUÃK½VÉ�¼z½<ÏNºGÇμÂÁ�ÆI¹�Ì�ÆqÌ'¼�ÇȺGÊ�Á�ÄU½/ÁIÌY½/É[½/¾ÈÍ9ÁqÇÈÁ�ÇÈÉM� R$�qÒ

���! "$#&%('*),+#*-/.!021,'3)547698;:<),69=?>?+� ÁIÁqÊ�Å�Ì�½/É�ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾G¿N»�½VÀ�¹ 3�ÇÈÁ�»IÌ'À�»qÌmÁqÌ'É9ÆqÌm¼-ËEÍ�»IÌU½/¾9ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾ÈÁ3@ � (,+�+,+=(A@ p Ã<Ð�¹�Ì'»qÌ@��K% � 5 ��( 7 � �[Ñ�ºN»�ÌU½/ÄT¹�� 8 � R<(�+�+,+=(DH��9Ò �ºN»Z� 8 -�/�½/É�¼�� 8 � R*(,+�+,+=(DH��9ÃNÐ�Ì�Ñ1ºN»qŽ�É�Ì'ÐDÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾3@ � Þm��æ % � 5 � ( 7 � Þm�Âæ��qÃ9Ð�¹�Ì'»IÌ

7 � Þm��æ�%vÅ"½��4� 7CB ]*jKÞD@ � (A@ B æ 6 ��* R\�l(

Æq¹[½/Æ�ÇÈÁUÃ<Æq¹ÂÌ?¾ÈÌTÑ�Æ�Ì'É�¼ÂÀKºGÇÎÉ9ÆIÁ�º/ÑE@���½/ɼF@C��Þ���æ�½/»IÌ?Æq¹�Ì�Á�½/Å�ÌNÃ'ËÂÊ�Æ�ÆI¹�Ì?»qÇÈ¿G¹EÆ�ÌmÉ�¼�À[ºNÇÈÉ9ƺ/ÑG@���Þ���æ�ÇÈÁ3Æq¹ÂÌ�¾�½/»I¿NÌ'ÁIÆ�Ì'É�¼�À[ºNÇÈÉ9Æ�º/Ñ�½VÉëÇÈÉEÆIÌ'»qÏN½V¾�½/Æ"½�¼�ÇÈÁqÆT½/É�Ä'Ì�ºVÑ�½/Æ�Å3ºGÁqÆ��* R�Ñ�»qºGÅH@��TÒ"Q�ºNÆIÌ�ÆI¹K½/Æ$j[Þ�@���(I@ B æ 6 �E* R�Å3ÌU½VÉ�Á�ÆI¹�Ì�Ì��9ÇÈÁqÆIÌ'É�Ä'Ì�º/ÑCÇÈÉEÆIÌ'»qÏN½V¾ÈÁ@IJ   (,+�+�+^(I@IJLK/Ã�Ð�¹ÂÌ'»qÌ�+ 6 � * RGÃ�ÁqÊÂÄ�¹�Æq¹K½VÆY½/¾È¾CÆq¹ÂÌ3ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÁqÌ'Ä'ÆIÇȺNÉ�ÁG@����M@IJ   (I@IJ   �@ J ¡ (,+�+�+^(I@ J K#�N@ B ½V»qÌY½V¾È¾�É�ºGÉ�Ì'Å3ÀÂÆ|ÍEÒ�ëÇÈÆq¹�ÆI¹�ÇÈÁyÁqÌmÆqÊ�À�ÇÈÉ"Å�ÇÈÉ�¼�Ã9Ð�Ì�ºNË�ÆT½/ÇÈÉ�Æq¹�ÌÑ�ºG¾Î¾Èº/Ð�ÇÈÉ�¿�Æq¹ÂÌ'ºN»IÌ'Å�ÒO;PC°9³K´/° � ;:)< "�! 3 @ �3ñ<B�@CB � �UïAgUñVò DGïqñ s¤í�ï�� s7ï������,B � �TðdQ6� � í���ï$��ñVò @ B � �<ï�g<ñ/ò>�@ � (,+�+�+^(I@ p >��í��<ï��N@���% � 5 �^( 7 � � !'îNï R 6 � 6 H >3ñ*B�ðf� 8 -9/%> � í �,B 3 @ �ï�� s7ï$������B � ��ð�Q�� � í��3@CB � �Uï�g<ñ/ò>�?@ � Þ���æ�(�+�+,+�(I@ p Þm��æ G��ïIîUî"! G !�ÌmÆ?@���½/ɼ/@ �YË[Ì�ÇÈÉEÆIÌ'»qÏN½V¾ÈÁ�ÇÎÉ�Æq¹�Ì)»qÌ'À�»IÌ'ÁqÌmÉEÆT½/ÆIÇκGÉzº/Ñ 3 º/Ѫ¼ÂÇÎÁIÆ�½VÉ�Ä'ÌY½VÆÅ3ºGÁqÆZ��Ñ�»IºNÅ�Ì<½/ÄT¹zºNÆI¹�Ì'»<Ò��Ì�Ä<½/Éz½/ÁIÁqÊ�Å�Ì 5 � � 5 ��Ò?ç¤ÇÎÉÂÄ'ÌOjKÞD@���(A@ �/æ 6 ��Ã�ÆI¹�Ì'»qÌÇÈÁy½/É�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾3@IJCÐ�ÇÎÆI¹

j[Þ�@ � (I@ J æ 6 ��* R�½VÉ�¼ j[Þ�@ J (A@ � æ 6 R<+ Þ�åGæ

Page 7: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

� �»qºNÅ Þ�åGæ�½/É�¼�Æq¹�Ì�¼�ÌTãKÉÂÇÎÆIÇȺNÉ�º/Ñ�@��TÞm��æmÃCÐ�Ì�¿NÌ'Æ)Æq¹K½VÆ 7 J 6 7 �TÞm��æmÒ � ¿9½/ÇÈÉ�Ê�Á|âÇÈÉ�¿�Þ�åNæmÃ�Ð�Ì�ÁqÌ'Ì�ÆI¹K½/Æ�Å�½F�4� 5 J ( 5 � ���PÅ3ÇÈÉ?� 7 J ( 7 � �EÒ �yÌ'ÉÂÄ'ÌNÃ[Ð�Ì�¹K½<ÏGÌ

Å�½F�4� 5 � ( 5 � ��% 5 � 6 Å"½F�4� 5 J ( 5 � �?�PÅ3ÇÈÉ?� 7 J ( 7 � � 6 Å�ÇÈÉV� 7 � Þm��æA( 7 � Þ���æ��4+ê�¹�Ì'»IÌTÑ�ºG»qÌNÃ&@��TÞm��æ��N@ �ÂÞm��æ��%���Ò

ç9Ê�À�À[ºNÁIÌYɺ/Ð�ÃKºGÉzÆq¹ÂÌYºGÆq¹�Ì'»�¹K½/ɼ�Ã[Æq¹K½VÆF@C��Þ���æ�� @ �EÞ���æ��%��ÂÒ�ç¤ÇÎÉÂÄ'Ì�Ð�ÌYÄU½VÉÄ'ºGÉEÆIÇÈÉEÊÂÌ�ÆIº3½/ÁIÁqÊ�Å�Ì�ÆI¹K½/Æ 5 � � 5 ��Ã9Æq¹�ÇÈÁ�Å�ÌU½/É�Á�ÆI¹K½/Æ 5 � 8 @C��Þ���æ'Ò�ß�Í�¼�ÌTãKÉ�ÇÈÆIÇκGɺ/Ñ�@C��Þ���æ'Ã�Æq¹�Ì'»IÌ�ÇÎÁ�½/ÉPÇÈÉ9ÆqÌm»qÏN½/¾�@IJ�Ð�ÇÈÆq¹qj[Þ�@���(A@ J¨æ 6 � * R3Ä'ºGÉ9Æ�½/ÇÈÉ�ÇÈÉ�¿ 5 ��Ã?½VÉ�¼¹�Ì'ÉÂÄ'Ì @IJ7� @ ���%���Ò ê�¹9Ê�ÁUÃ?jKÞD@���(A@IJ�æ 6 � * R�½VÉ�¼"j[Þ�@IJ (I@ �Næ 6 R�½/ɼ"ÁIºYÇÈÆ�Ñ�ºG¾È¾Îº/Ð�ÁÆq¹[½/Æ�j[Þ�@���(I@ �/æ 6 ��Ò

ê�¹�ÇÈÁ?Áq¹Âº/Ð�ÁMj[Þ�@���(A@ �;æ 6 ��ÇèÑ ½VÉ�¼YºGÉ�¾ÈÍ�ÇèÑ @C��Þ���æ ��@ �EÞ���æ��%�ÂÃNÐ�¹ÂÇÎÄT¹�Ä'ºNÅ�À�¾ÈÌ'ÆqÌmÁÆq¹ÂÌ�À»qº9º/Ñ?º/ÑCºNÊ�»�ÆI¹�Ì'ºG»qÌ'Å�Ò ��

¸�ºN»IºN¾È¾�½/»qÍ-/ÂÒ�å�º/ÑCê�¹�Ì'ºN»IÌ'Å /�Ò R�Ð�½/Á�À»qÌ'Ï9ÇȺNÊ�ÁI¾ÈÍ-À�»qº/ÏGÌ'¼�ÇÎÉ � R�,��qÒ"�y½<Í9ÄT¹K½/ʼ9â¹9Ê�»qÇ� ÁzÀ�»Iº9º/Ñ3Ð�½/ÁzÉ�ºGÉ9â|Ä'ºNÉ�ÁIÆq»IÊ�Ä'ÆqÇÈÏGÌPÊ�ÁIÇÎÉ¿ëÆq¹�Ì�ÄT¹K½/»T½/Ä'ÆIÌ'»qÇÈéU½VÆqÇȺNÉ�ºVÑ3ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾¿N»T½/À�¹ÂÁ�Ë9Í�ß�ºN¾�½/ɼP½/É�¼M!�Ì'á9áGÌ'»qáGÌ'»qáGÌ'»�Ñ�»qºGÅ R&(��Nå�½VÁYÀ�»IÌ'Ä'ÇÈÁqÌm¾ÎÍ�ÆI¹�ºNÁIÌ-ÄT¹�ºN»I¼K½/¾¿N»T½/À�¹ÂÁyÆq¹[½/Æ�Ä'ºGÉEÆT½/ÇÈÉ�É�ºzñF� � �UïIî<@�ðGñ/ò � ï�@ sKò �O�*/��qÒ � É�½/ÁIÆqÌ'»IºNÇȼK½V¾�Æq»IÇÈÀ�¾ÈÌ�ÇÈÁy½�ÆI»qÇÈÀ�¾È̺/Ñ�ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Á�ÁqÊÂÄ�¹�ÆI¹K½/Æ�Ñ�ºN»�½/É9Í�Æ|Ð�º)º/ѪÆI¹�Ì'Å�Ã/Æq¹�Ìm»qÌ�ÇÈÁ�½)ÀK½/ÆI¹S:TºGÇÈÉ�ÇÈÉ�¿�Æq¹�Ì'Å Æq¹K½VƼ�º9Ì'Á�É�ºNÆ�ÇÈÉEÆIÌ'»qÁIÌ'Ä'Æ�Æq¹ÂÌ�ÉÂÌ'ÇÈ¿N¹9ËKºG»q¹�º9º9¼�º/ÑCÆq¹�Ì�ÆI¹�ÇÈ»q¼�ÏNÌm»qÆqÌ��7Ò��³K´/³ ������´/±� �: 8#"�! 3 @ ��ñ<BF@CB � �Uï�g<ñ/ò DGïqñ s¤í > � í �,B � îc@ � 3 !'îGï�ñ*B7�S� 8 -�/ G

�Ì�ɺ/ÐP¿NÇÈÏGÌ©½VÉYÌ�@3ÄmÇÎÌmÉEÆ"G-Þ�H�¾ÎºG¿M��æC½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹�ÅëÑ1ºN»CÄ'ºNÅ�À�Ê�ÆIÇÎÉ¿yÆq¹ÂÌ�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾»qÌmÀ�»qÌ'ÁIÌ'É9Æ�½VÆqÇȺNÉzºVÑ?Æq¹�Ì�À[º/Ð�Ì'»�¿G»�½VÀ�¹ 3 ºVÑ�½VÉ"ÇÈÉ9ÆqÌm»qÏN½/¾�¿G»�½VÀ�¹ 3-Ò�Ì ãK»qÁIƪÁIÀKÌmÄ'ÇèÑ�Í�½�¾ÎÇÈÉ�Ì<½/»|â|ÆqÇÈÅ�Ì�½/¾È¿NºG»qÇÈÆq¹�Å�à �������������������������GÃ<Æqº�Ä'ºGÅ3À�Ê�ÆIÌ

½is7ïqî<ð<X9ì � ºVÑ�Æ|Ð�º�ÀKº/Ð�Ì'»IÁ�º/Ñ�ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾�¿N»T½/À�¹ÂÁ 3! �½VÉ�¼ 3#"�Ã9ºGË�Æ�½VÇÎÉÂÇÎÉ¿�Æq¹�Ì�À[º/Ð�Ìm»¿N»T½/À�¹ 3! =/�"�Ò �Ì�½VÁqÁqÊÂÅ3Ì�½/Á�ÇÈÉ�À�ÊÂÆy½�ÁqºN»IÆqÌ'¼�¾ÎÇÈÁIÆ�Ä'ºGÉ9Æ�½/ÇÈÉ�ÇÈÉ�¿-½/¾È¾�ÆI¹�Ì�Ì'É�¼ÂÀKºGÇÎÉ9ÆIÁº/Ñ 3! �½/É�¼?3#"�Ò�ê�¹�Ì�ºNÊ�ÆIÀ�Ê�ÆyÇÈÁ�½/ÉzÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾ »qÌ'À�»IÌ'ÁqÌmÉEÆT½/ÆIÇκGÉ�º/Ñ 3$ �/�"Tà � 5 ��(&%O� � � �qÃÐ�¹�Ì'»IÌ'% � � �?ÇÈÁyÆq¹ÂÌY¾�½/»I¿NÌ'»�º/Ñ�ÆI¹�Ì �¨â ÆI¹�»IÇÈ¿N¹9ÆyÌ'ɼ�ÀKºGÇÈÉEÆ�º/Ñ�ÆI¹�Ì�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾�Ð�ÇÈÆq¹z¾ÈÌTÑ1ÆÌ'É�¼ÂÀKºGÇÎÉ9Æ 5 ��ÇÎÉ%3$ -½/É�¼�ÆI¹�Ì3»IÇοG¹9ÆqÅ3ºGÁqÆ�Ì'É�¼ÂÀKºGÇÎÉ9Æ�ºVÑ�½/É�º/ÏGÌ'»q¾�½/ÀÂÀ�ÇÈÉ�¿�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾Ñ�»IºNÅ 3�"TÒ�ÌyÀ�»Iº9Ä'Ì'ÁqÁ�ÆI¹�Ì�Ì'É�¼�À[ºNÇÈÉ9ÆqÁ�º/Ñ�ÇÈÉ9ÆqÌm»qÏN½/¾ÈÁ�º/Ñ�ÆI¹�Ìy¿G»�½/À¹�Á�ÇÈÉ�¼�Ì'Ä'»IÌU½/ÁIÇÎÉ¿-ºN»q¼ÂÌ'»UÒ

�Ì�Ê�ÁqÌ-½R#9Ê�Ì'Ê�Ì�¼K½VÆ�½�ÁqÆI»qÊ�ÄmÆqÊ�»IÌ�(�ÆIº3Å�½/ÇÈÉ9Æ�½/ÇÈÉ-ÆI¹�Ì�ÁqÌmÆyº/Ñ�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾ÎÁ�Ñ1»qºNÅ 3! Æq¹[½/Æ�½/»qÌ�¾ÈÇÈÏNÌy½VÆ©½VÉEÍ-¿GÇÈÏNÌ'É-ÆIÇÎÅ�ÌNÃ9½/É�¼�Æqº�»qÌ'À[ºN»IÆ�Æq¹�Ì�ºNÉÂÌyÆq¹[½/Æ�»qÌU½VÄ�¹ÂÌ'Á�Ñ�Ê»qÆq¹ÂÌ'ÁqÆÆqº�Æq¹ÂÌz»qÇÈ¿N¹9Æ<ÒPÝ|É�½/¼�¼�ÇÈÆIÇκGÉPÆIº�ÆI¹�Ì #9Ê�Ì'Ê�Ì�Ð�ÇÈÆq¹�ÇÈÆqÁ-ÁqÆT½/É�¼[½/»q¼�ºGÀKÌ'»T½/ÆIÇκGÉ�ÁUÃ�Ð�ÌÅ"½VáNÌ�Ê�ÁIÌ�º/Ñ?½�Ë�ÇÈÆy½/»I»�½<Í-ÇÈÉ�¼�Ì��9Ì'¼�ËEÍ-ÆI¹�Ì�ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾ÈÁ�º/Ñ 3$ /Ò

)!*,+ ����-.��/�01�������������2�����������3�465,7�8 3! 9.3�"�:�';=<?>A@CBED 3! GF�H B&I @ � % � 5 � ( 7 � �J9LK 5,4 �d% R<($+�+,+�( HNM?�� 3�"OF�H B&I @��� % � 5 ��(Zj�� �P9AK 5,4 �.% R*(I+�+�+�( HNM?��#Q#@CB&>?@ BEDR;=<CB�S 46TVUAW�4 SX> 4 SEYJSL<CB U BJH 5 < 5 K 3! =/�"EM?�

0

Page 8: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

��� I S /�H SX< 7 > 5 H=< B�YC9�B&ICS 7 @?> W H � U B�S W S K B�SL< 7 > 5 H=<CB�Y UL4 S�< 5 B�H=<�� W @ 7 S 7 9K�� 5 K B&I S!H=<CB�S 46TVUAW Y UX4 S�� H T SX<'H=<!Y 5,4 B�S 7�5,467 S 4 MR;=< B&I S!Y 5,4 BJH=<���9,BJH SEY$�� UL4 S�� 4 5 SX< UX4 �VH B 4.UL4 H W � M?��#H=< B�S 4 TXUAW � ����H Y B&I S H=< 7 S�� 5 K B&I S H=<CB�S 46TXUAW F�H B&I B&I S ����B&I W S&K B SX< 7 > 5 H=< BEMR�� B � >XS � ����H Y U <!SX<CB 4�� 7 SX< 5 BJH=<���B&ICS�B � >XS 5 K SX< 7 > 5 H=< BEMK��#H=< B�S 4 TXUAW � ��� U < 7 B � >XS � ����I U T SR/�H SX<CB 4 H SEYCM �����S U 7�8 (!:$% <A@ W W %���9�H K�( H Y S�� > B � M?�����H ��I B J 8 + : H Y U K @?<�� BJH 5 < B&I U B�B U� SEY U < H=<CB�S 46TVUAW H=< 7 S�� U < 7 4 S B&@ 4 <CYO�� B&I S 4 H � ICB SX< 7 > 5 H=<CB 5 KNB&ICS H=< B�S 4 TXUAW H=< 3 J 9,F ICS 4 S �d% � 5,4�� M?�

K 5,4 ��� ��B 5 H 7?5� UL4 S 7� ���!�"�$#

K 5,4 �%� /�H 7A5 F <CB 5 R 7A5H K 8 B � >XS � ����H Y U�W S K B�SL< 7 > 5 H=<CBJ:GB&ICSX<

� UL4 S 7$� H=< B�S 4 TXUAW � �����!�'&(#H K 8 B � >XS � ����H Y U�4 H ��I B�SL< 7 > 5 H=<CB K 4 5 � 3$ : B&I SX<

) <�*�@ SX@CS 8 (�9 H=<CB�S 46TXUAW � ��� :+#H K 8 B � >XS � ����H Y U�4 H ��I B�SL< 7 > 5 H=<CB K 4 5 � 3#" : B&I SX<F IVH W S 8 � UL4 S 7� ��S U 7 8 (!:,� : 7?5

- S+*�@ SX@CS 8 (!:.#H K/��S U 7�8 ($:��% <A@ W W B&I SX<

0 � H=< B�S 46TVUAW � ���1�!�2� H � ICB 8 ��S U 7�8 ($:J:+#S W YJS0 � H=< B�S 46TVUAW � ���1�!�2� H � ICB " 8 H=<CB�S 46TVUAW � ��� :+#K 5,4 ��� R�B 5 H 7?5

5 @CB&>A@CB H=< B�S 4 TXUAW Y � 5 ��(&%O� � � �3#�Ì?Ê�ÁIÌy½�Æq»T½/¼�ÇÈÆIÇκGÉK½/¾GÆq»IÇÎÄTá�Æqº�Ì�@3Ä'ÇÈÌ'É9Æq¾ÈÍ�ÄmºNÅ3ÀÂÊ�ÆqÌ?ÆI¹�Ì�ÀKº/Ð�Ì'»C¿N»T½/À�¹ 3 Ò�êCº

Ñ�ºG»qÅ(Æq¹�Ì�Á$#9ÊK½/»IÌ�¿N»T½/À�¹ 389/Ã[Ð�Ì�Ä'ºNÅ�À�Ê�ÆqÌ�465$7�8:9�3<;�3>=GÃ9½/É�¼�ÆIº3Ä'ºGÅ3À�Ê�ÆIÌS389�?TÃÐ�ÌYÄ'ºGÅ3À�ÊÂÆqÌ�ÆI¹�ÌYÁ$#9ÊK½/»IÌ � ÆqÇÈÅ3Ì'Á<ÒyêCº�Ä'ºNÅ�À�Ê�ÆqÌ�½/É�½V»qË�ÇÈÆq»T½/»IÍzÀKº/Ð�Ì'»<ÃKÐ�Ì�Æq¹�Ì'ÉÑ�ºG»qÅ Æq¹�ÌzÀ»qº9¼�Ê�Ä'Æ�ºVÑ�Æq¹ÂÌ�À[º/Ð�Ìm»qÁ3ÄmºN»q»IÌ'ÁqÀ[ºNɼ�ÇÈÉ�¿PÆIºPÆq¹ÂÌzË�ÇÈÆ-»qÌ'À»qÌ'ÁIÌ'É9Æ�½/ÆIÇȺNɺ/ÑS��à ÇÎÉë½VÆ3Å3ºGÁqÆ3åC¾ÈºG¿ �v½/À�À�¾ÈÇÈÄU½VÆqÇȺNÉ�Á�º/Ñ@4A5$7�8�Ò ��ºG»-Ì���½/Å3À¾ÎÌGÃ�ɺNÆqÇÈÄ'Ì�Æq¹K½VÆ3��3B;%�ÞIÞqÞ 3C9Uæ$9Uæ$9�+�389GÒ� ÁqÆI»�½VÇοG¹9Æ|Ñ�ºG»qÐ�½/»q¼-½/ÀÂÀ�¾ÈÇÎÄ<½/ÆqÇȺGÉYºVÑ7ºGÊ�»?½/À�À�»IºE½VÄ�¹-Í9ÇÈÌ'¾È¼�Á?ÆI¹�Ì�Á�½VÅ3Ì�»qÌ'ÁIÊ�¾ÈÆCÑ�ºG»

Ä'ÇÈ»qÄmÊ�¾�½/»|âq½/»IÄ-¿N»T½/À�¹�Á<Ò � ì�@�ïqì�XGòÎñNïC�qñNïqìODGïqñ s¤í�ÇÈÁ�½-¿G»�½/À¹�Ð�¹�ºGÁqÌ-ÏGÌ'»qÆIÌ���ÁIÌ'Æ�ÄU½VÉË[Ìy»qÌmÀ�»qÌ'ÁIÌ'É9ÆqÌ'¼�ËEÍ�½�Ä'ºN¾È¾ÈÌ'Ä'ÆIÇȺNÉ-º/Ñ�À�»IºNÀ[Ì'»UÃ9Ä'¾ÈºGÁqÌ'¼�½/»qÄmÁ�ºVÑ7ÆI¹�ÌyÊ�ÉÂÇÎÆ�Ä'ÇÈ»qÄ'¾ÈÌyÇÈÉ�Æq¹�Ì»qÌ<½/¾CÀ�¾�½/É�ÌGÃKÐ�¹ÂÌ'»qÌ-Æ|Ð�º-ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á�½/»qÌ�Ä'ºGÉ�É�Ì'Ä'ÆIÌ'¼�Ë9Íz½/ÉzÌ'¼Â¿NÌ�ÇxÑ�½VÉ�¼zºNɾÎÍ�ÇèÑ?Æq¹�ÌÄ'ºG»q»qÌmÁqÀ[ºNÉ�¼�ÇÈÉ�¿�½/»IÄ'Á�¹K½<ÏNÌ�½)É�ºNÉÂÌ'Å3À�Æ|Í-ÇÈÉ9ÆqÌm»qÁqÌmÄ'ÆqÇȺNÉ Ò�QyºNÆIÌ�Æq¹[½/Æ�Ì'ÏNÌ'»IÍ�ÇÎÉ9ÆIÌ'»qÏN½V¾¿N»T½/À�¹-ÇÈÁ<Ã/ÇÈÉYÀK½V»qÆIÇÎÄmÊ�¾�½/»UÃ9½�Ä'ÇÈ»qÄ'ʾ¨½V»|âq½/»IÄ�¿N»�½VÀ�¹�Ò � ¾ÈÁqº)É�ºNÆIÇÎÄmÌ�Æq¹K½VÆ?Ì'ÏNÌm»qÍ�Ä'Í9Ä'¾ÈÌNÃ9º/ѽ/»IË�ÇÈÆq»T½/»qÍ-¾ÈÌ'É¿NÆq¹ Ã9ÇÎÁy½)Ä'ÇÈ»qÄmÊ�¾�½/»|âq½/»IÄ�¿N»�½VÀ�¹�ÒCê�¹�Ìm»qÌTÑ�ºG»qÌNÃÂÇÈÉ3¿NÌmÉ�Ì'»�½V¾|Ã9Ä'ÇÈ»qÄ'Ê�¾�½V»|âq½/»qÄ¿N»T½/À�¹ÂÁY½/»IÌ3É�ºGÆ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾�¿N»T½/À�¹�Á<Ò�Ý|É�Å3º9¼�ÇèÑ�Í9ÇÈÉ�¿-Æq¹ÂÌ3¼�ÌTã[É�ÇÈÆqÇȺNÉ�Á)º/Ñ 7 ��Þ���æ�½VÉ�¼@��TÞm��æ ÇÈÉ�Æq¹�Ì�ºGËEÏ9ÇȺNÊÂÁ�Ð�½<ÍEÃ<Ð�Ì�ºNË�ÆT½/ÇÈÉ�Æq¹ÂÌ�Ñ�ºN¾È¾Èº/Ð�ÇÈÉ�¿�Ä'ºN»IºN¾È¾�½/»IÍ�ÆI¹K½/ÆCÇÈÁ?½/ÉK½V¾ÈºN¿NºGÊ�ÁÆqº3¸�ºG»qºG¾Î¾�½V»qÍO/�Ò�å�Ñ1ºN»�ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÏN½/¾�¿N»T½/À�¹ÂÁUÒ

,

Page 9: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

��³K´/³ ������´/±� �: #"�! 3 @ ��ñ-ì�@�ïqì�XGòÎñGï��qñNïIì DGïqñ s¤í >�ï$� s�ï������,B � �Tð�Q6��ñNïIì���@ � (,+�+,+�(I@ p >ñ<BÂðe� 8 -�/%> � í���B-3 @ ��ñ�ì,@àïqì�XNòÈñNï��qñGïqìZDGïqñ�s�ízï$� s�ï����;��B � �Tð�Q6� � í���ñNïIì��@ � Þm��æA(,+�+�+^(I@�p�Þm�Âæ G

����� ����� = #&%('*),+ #*-��,>?#�)��?698 : ),69=�>?+Ý|Æ�¹K½VÁ�Ë[Ì'Ì'ÉPÀ[ºNÇÈÉ9ÆqÌm¼�ºNÊ�Æ�É9Ê�Å�Ì'»qºGÊ�Á�ÆIÇÎÅ�Ì'Á�ÇÈÉ�ÆI¹�Ì3¾ÈÇÈÆqÌ'»T½/ÆIÊ�»qÌ-ÆI¹K½/Æ�Á$#9ÊK½/»IÌ'Á-º/ÑÄT¹�ºN»I¼K½/¾�¿G»�½VÀ�¹�Áy½/»IÌ�É�ºNÆ�É�Ì'Ä'ÌmÁqÁ�½V»qÇȾÈÍ3ÄT¹�ºG»q¼K½V¾ Ã�½VÉ�¼"½)Ä'¾�½/ÁIÁqÇÈÄ�Ì���½/Å�À�¾ÈÌ�º/ѪÁIÊ�ÄT¹z½¿N»T½/À�¹�ÇÈÁC¿NÇÈÏNÌ'É�ÇÈÉS� ÇÈ¿NÊ�»IÌ RNÃ�ÞàÁqÌ'Ì8� R�)��qÃ�� R&����ÃG½/É�¼� R�(��9Ñ�ºN»CÆI¹�Ì�Á�½VÅ3Ì?Ì���½VÅ3À�¾ÈÌUæmÒ�Ý|ÉÑ ½VÄ'ÆUÃ9Ð�ÌyÐ�ÇȾȾKÁIÌ'Ì�Å3ºG»qÌy¿GÌ'É�Ì'»T½/¾È¾ÈÍYÇÈÉ�Æq¹�Ì�É�Ì��9Æ�ÁIÌ'Ä'ÆqÇȺGÉ3Æq¹[½/Æ�Æq¹ÂÌ�ÁIÊ�Ë[Ä'¾�½/ÁqÁ�ºVÑ�Æq¹�ÌÄT¹�ºN»I¼K½/¾[¿N»T½/À�¹ÂÁ�Ä'ºGÉ�ÁqÇÈÁIÆqÇÈÉ�¿�ºVÑ�ÁqÀ�¾ÈÇÈÆC¿N»�½VÀ�¹�Á�½/»IÌyÁqÊÂÄ�¹�Æq¹K½VÆCÑ�ºG»yñ<B7��¿GÇÎÏGÌ'É-¿N»T½/À�¹ ÃÆq¹ÂÌ'»qÌ-ÇÈÁ�½5Ä'ºN»I»qÌ'ÁIÀKºGÉ�¼�ÇÈÉ�¿�ÁqÀ¾ÎÇÈÆ�¿N»�½VÀ�¹�Ã[Ð�¹�ºGÁqÌ�Á�#9ÊK½/»IÌY¹[½/ÁyÆI¹�Ì�¿NÇÈÏNÌ'É�¿N»�½VÀ�¹�½VÁ½/É�ÇÈÉ�¼�ÊÂÄ'Ì'¼�ÁqÊ�Ë¿N»�½VÀ�¹�Ò

� � � � �

����

� � � � �

����

����

��

����

� ÇÈ¿NÊ�»IÌ R<] � ÉzÌ���½/Å�À�¾ÈÌ�º/Ñ©½5Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾C¿N»T½/À�¹zÐ�¹ÂºNÁqÌ�Á�#9ÊK½V»qÌ�ÇÈÁyÉ�ºGÆyÄT¹�ºN»I¼K½/¾|Ò�Ý|ÉÆq¹ÂÌyÁ�#9ÊK½V»qÌ�º/Ñ�Æq¹�ÇÈÁ?¿G»�½/À¹�ÃNºGÉ�¾ÈÍ�Æ|Ð�º�Ì'¼�¿GÌ'Á©½V»qÌ�Å3ÇÈÁqÁIÇÎÉ¿�Ñ�»IºNÅ� ��9Ò ê�¹�Ì'Í3½/»IÌ�Æq¹�Ì� Ð�Çȼ�Ì�¹�ºG»qÇÈé'ºGÉEÆT½/¾�Ì'¼Â¿NÌ��3½VÉ�¼�Æq¹�Ì � ÆT½/¾È¾�ÏNÌm»qÆqÇÈÄU½V¾�Ì'¼�¿GÌNÒ ��Ì-Ð�ÇȾξ�Ä'ºNÉ�Äm¾Îʼ�Ì3ÆI¹�ÇÈÁ�ÁqÌ'ÄmÆqÇȺNÉ�Ð�ÇÎÆI¹P½�Ñ�Ì'Ð ¾ÈÌ'Å�Å"½/Á�½/É�¼P½VÉ�ºNË�ÁIÌ'»qÏN½VÆqÇȺNÉ Ò

ê�¹�Ì'Í�Ð�ÇȾȾ/Ì'ÉK½VË�¾ÈÌ?Ê�Á�ÆIºy¿GÇÎÏGÌ?½�¼�ÇÈ»qÌ'Ä'Æ?½VÉ�¼�Ì'¾ÈÌ'Å3Ì'É9ÆT½/»qÍ�À�»qº9ºVÑKº/Ñ�Æq¹ÂÌCÑ ½/ÄmÆ�Æq¹[½/Æ�½/É9ͺ9¼�¼zÀ[º/Ð�Ìm»yº/Ñ�½�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾�¿N»T½/À�¹�ÇÎÁy½V¿E½VÇÎÉ�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾ Ò�ê�¹�ÇÈÁ�»IÌ'ÁqÊ�¾ÈÆ�Ð�½/Á�À�»IÌ'Ï9ÇκGÊ�Áq¾ÈÍÀ�»Iº/ÏNÌ'¼�ÇÈÉ?� R���ÊÂÁqÇÈÉ�¿-Ì��9¹K½VÊ�ÁqÆIÇÎÏGÌ�ÄU½/ÁIÌY½/ÉK½V¾ÈÍEÁIÇÈÁUÒ� ¿G»�½VÀ�¹PÇÈÁ�î<X � �<ï�s[òÎñ<BÂñNï�ÇèÑ�ÇÈÆ�¹K½VÁ�½�À�¾�½/É[½/»�Ì'Å-Ë[Ì'¼�¼ÂÇÎÉ¿zÁqÊ�ÄT¹�Æq¹[½/Æ�Ì'ÏNÌ'»IÍ

ÏNÌm»qÆqÌ���¾ÈÇÎÌmÁ�ºNÉ�Æq¹ÂÌ�Ê�É9Ë[ºNÊ�ɼ�Ì'¼)Ñ ½/Ä'ÌGÒ��Ì?Ä<½/¾È¾E½VÉ�ºNÊ�ÆIÌ'»qÀ¾¨½VÉK½/»C¿G»�½/À¹ 3�ºNÉRH�� �ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁ�!�XGò�ò � � ï�@�ñ<B*D<XGòÎñ � �Tð�ÇèÑ©ÆI¹�Ì'»IÌ"ÇÈÁ�½�À�¾�½VÉK½/»�ÌmÅ-ËKÌ'¼Â¼�ÇÈÉ�¿ 3��-ºVÑ 3-à Ð�¹�ÇÈÄT¹¹K½VÁ�ºGÉ�Ì�»qÌ'¿GÇκGÉzË[ºNÊ�É�¼ÂÌ'¼�Ë9Í H�Ì'¼�¿GÌ'ÁUÃC½/É�¼�½/¾È¾Cº/Ñ�ÆI¹�ÌYºGÆq¹�Ìm»�»IÌ'¿NÇȺGÉ�Á�ËKºGÊ�É�¼�Ì'¼

(

Page 10: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

Ë9ÍzÆq¹Â»qÌ'Ì�Ì'¼�¿NÌmÁUÒ�Ý|É�ºNÆq¹ÂÌ'»�Ð�ºN»q¼ÂÁUÃ"3 ÇÎÁ�Ñ�ʾξÈÍzÆI»qÇ�½/É¿NÊ�¾�½/ÆIÌ'¼�ÇxÑ 3(Ä'ºNÉ�ÁIÇÈÁqÆqÁ)º/Ñy½Ä'Í9Ä'¾ÈÌNÃÂÐ�¹�ºNÁIÌ�ÇÈÉEÆIÌ'»qÇȺG»�Ñ ½/Ä'Ì�ÇÈÁ�¼�ÇÈÏ9Çȼ�Ì'¼�ÇÈÉEÆIºYÆI»qÇ�½/É¿N¾ÈÌ'ÁUÒ � É�ÇÎɼ�Ê�Ä'ÆIÇκGÉ�ºNÉ H � /)(Í9ÇÈÌ'¾È¼�Á�Æq¹�Ì�Ñ�ºG¾È¾Îº/Ð�ÇÈÉ�¿�¾ÈÌ'Å�Å"½�Ò��°������� �:�� " !!% @ ��ñ��@Cr!sKò � $��qì��/ì'ò ��@CB�ñ�ì�íÂîNïqðGñ/ò DGïqñ s¤í 3 > � í �,B � í��c@CB��ð<X9ì��TðM��X4Q DNïIñ�s¤íM3 � %S� >ZD���B��<ïqñ � �Tð.Q�� % @CBM3E>�ìTî<B � ñ<@ BA�zñ!�XGò�ò�� � ï�@�ñ*B<D*XNòÈñ � �Tðî<X � �Uï sKòÎñ*B�ñNï9DNïIñ�s¤í�î<B � í�� $ g&�<ï � @àìD����î'! � í���ì6�/ìmò ��G

��ºG»�ÁqÇÈÅ3À¾ÎÌ�ÄmºNÉ9Æq»T½/Ä'ÆIÇκGÉ�ÁS33o<n�Ð�Ì�ºGË�Æ�½VÇÎÉ�Æq¹�Ì Ñ�ºN¾È¾Èº/Ð�ÇÈÉ�¿�¾ÎÌmÅ3Å"½ÂÒ��°������� �:���� � � 3 Q��zñ�!AXNòàò�� � ï�@àñ<B<D*XGòÎñ � �TðPî*X � �<ï�sKòÈñ<B�ñGïeDGïqñ s¤ívî<B !'î*X9ï"îGïr�îNï��Yg&�Uï � @�ì���� G�"�!�nd@ �3ñ<B �Tð,D��YQ�î*X4B�ð<@CB*D � í��YB�î*B�� � ïA@�ñ<B<D*XGòÎñGï3ï�� D*@�î<B�@CBPî*B��� ñ<B�ð�í���B�ì��?��g&�Uï ���Ys[òÎñ<BÂñNï�,r�Q��TðNð<@ B<DPî"!O3E> � í���B � í ��DGïqñ s¤íM3Oo*n.@ ��ñ/ò �'î�ñ!�XGò�ò � � ï�@�ñ*B<D<XGòÈñ � ��ð�î<X � �Uï�s[òÎñ*B�ñNï�DGïqñ s¤íDG��ïIîUî"! G�¸�¾ÈÌU½/»I¾ÈÍEÃA3Oo<n ÇÎÁ�ºGÊ�ÆqÌm»qÀ�¾�½/É[½/»UÒ�Ý1Ñ 3 ¹K½VÁ HzÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'ÁUÃ[Æq¹ÂÌ'ÉzÌ'ÏGÌ'»qÍ�À�¾�½/É[½/»Ì'Å-Ë[Ì'¼�¼�ÇÈÉ�¿)º/Ñ 33o<n�¹K½/Á H * �YÆI»qÇ�½/É�¿GÊ�¾�½/»�»qÌ'¿GÇȺNÉ�Á�½/É�¼�ºNÉ�Ì�»IÌ'¿NÇȺNÉ�ËKºGÊ�É�¼�Ìm¼"Ë9ÍH * R�Ì'¼�¿GÌ'ÁUÒ �yÌ'ÉÂÄ'ÌNÃ[ÇÈÆ�ÇÎÁ�Ñ�Ê�¾È¾ÈÍ-Æq»IÇ�½/É�¿GÊ�¾�½/ÆqÌm¼�Ò ��

ê�¹�Ì�À�»Iº9º/ѪºVѪÆI¹�Ì�É�Ì��9Æ�¾ÈÌ'Å�Å"½�ÇÈÁ�ÁqÆq»T½/ÇÈ¿N¹9Æ�Ñ�ºN»IЩ½V»q¼�Ò��°������� �:���� � � [ � > [ 9 > [ 5 >?ñ*B�ð�[��YQ��Yð*@ � � @CBÂì � g��<ï � @�ì����$@CBzñ�DNïIñ�s¤íE3G =�îGï� 8 � R*(D/ � >�ñ��D��X4rR� )�Þ�[ � (�[ � /�� æ�@ �-ñ��@Cr!sKò �9s�ñ � í�î"!�ò �,B<D � í"��îNï)ò �����F!'ïqî*r [ �� îS[D� /�� G " ! )�Þ�[ � (^[ 9 æ�ñ*B�ð )�Þ�[ 5 (�[ � æyíÂñ<g&�Yñ*B7��g&�Uï � ���@CBzìTî*rSr�î<B�> � í �,B �,@ � í �Uïj4k�Þm[ � (�[ 5 æ 6 ��îGï�j4k�Þ�[ 9 (�[ � æ 6 ��G

��ºG»yÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'ÁS[�½/É�¼fL�ÇÈÉ�½5¿N»�½VÀ�¹�Ã1)�Þm[�(�LNæ�¼�Ì'É�ºGÆqÌ'Á�½5ÀK½/ÆI¹zËKÌmÆ|Ð�Ì'ÌmÉ [�½VÉ�¼L�Ò ê�¹�ÌYɺNÆ�½VÆqÇȺNÉ���[Þm[�(^LGæ�¼�Ì'ɺNÆqÌmÁ�ÆI¹�Ì�¾ÎÌmÉ�¿NÆI¹"ºVÑ )�Þm[�(�LNæ'Ò �Ì�ÁqºGÅ3Ì'ÆIÇÎÅ�Ì'Á�ÁqÊ�Ë9âºN»�ÁqÊ�À[Ì'»IÁqÄ'»IÇÎÀÂÆ�Æq¹�Ì)ÉK½/Å�Ì�ºVÑ©½�ÀK½VÆq¹�Ò�Ý1Ñ�Æq¹�Ì'»IÌYÇÈÁ�É�º3¼K½VÉ�¿NÌm»yº/Ñ�½VÅ-Ë�ÇÈ¿NÊ�ÇÈÆ|Í9Ã/Æq¹�̾ÈÌ'É�¿GÆq¹3ºVѪ½�¾�½VËKÌ'¾ÈÌ'¼�ÀK½/ÆI¹�) �NÞ�[R(�LNæ�Ð�ÇȾξÂËKÌ�¼�Ì'ɺNÆqÌm¼3Ë9Í-Æq¹�Ì�ÁT½/Å3Ì�¾�½VËKÌ'¾ � �GÞm[�(^LGæ'ÃÇÈÉ�ÁqÆIÌU½/¼�ºVÑ&���NÞm[�(^LGæ'Ò�� ?¶m°9´����D4631³ 1 �:�� � � � [�>RL�>�ñ<B�ð.�1QD� � íÂï�����ð<@ � � @CB�ì � g��<ï � @�ì����$@CB�ñ-ìTî<BVB��Tì � �TðDGïqñ�s�í7G ��� � )�Þm[�(�LNæ � ) Þm[�(���æ��SQ���ñZs�ñ � í�î'! �qí�îNï � ��� � ò ��B<D � í !'ïIî<r [ � î$L � ï����ms��Tì �� @Cg��mò���>�!'ïIî<r1[ � î ��� G%��í �,B � í��<ï��O��<@ � � �YñYX4BV@���XA��g&�Uï � ���[/��ñ<BÂðzñ�s�ñNï � @ � @�î<Bî'! � í �Zs�ñ � íA�

)�Þ�[R(�LNæK%*)���Þm[�(�[ � æ���)���Þm[ � (�LNæ) Þm[�(���æR%*)���Þm[�(^[ � æ��.)��©Þ�[ � (���æ�(

��í �Uï$��) � Þ�[/� (�LNæ�ñ<B�ð�) � Þm['� (���æzñGï��dg��<ï � ����ð<@ ���'î*@CB � > ��GìD� s � !mîNï � í���@�ï"@CB)@ � @àñ/òg&�Uï � ��S['�)>�ñ*B�ð?� � Þ�[R(�[/�Èæ�%� � Þ�[R(�[/�Èæ G�ÌyÉ�º/Ð�À�»IÌ'ÁqÌmÉEÆ�½�¼ÂÇ =�Ì'»IÌ'É9Æy½/É�¼�Å3ºN»IÌ�¼�ÇÈ»qÌ'ÄmÆ�À�»qº9º/Ñ�Ñ1»qºNÅ ÆI¹�ºNÁIÌ ½VÀ�À[ÌU½/»IÇÎÉ¿

ÇÈÉ?� R��ª½VÉ�¼M�*0���º/Ñ?Æq¹�Ì�Ñ�ºG¾È¾Îº/Ð�ÇÈÉ�¿�ÆI¹�Ì'ºN»IÌ'Åf]

R��

Page 11: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

O;PC°9³K´/° � ;:�� ��� � � 8 - / Q���ñ*B�îUðGð�@CB � � D��<ï G�" ! 3 @ ��ñ�ì�íÂîNïqðGñ/ò DGïqñ s¤í�> � í���B3 @ ��ñ/ò>� î�ì�íÂîNïIðNñ/ò G��ïIîUî"! G�¸�ºNÉÂÁqÇȼ�Ì'»�½�ÁIÇÈÅ3À�¾ÈÌ $�â|Ä'Í9Ä'¾ÈÌ�ÇÈÉ-3 ÒCê�¹�ÇÈÁ�$�â ÄmÍEÄm¾ÎÌ�Ä'ºG»q»IÌ'ÁqÀ[ºNÉ�¼ÂÁyÆqº�¼�ÇÈÁ|âÆqÇÈÉ�ÄmÆYÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Á�[ � (�+,+�+�(^[ & ÇÈÉ%3-Ã�½/É�¼ $ ÁIÇÈÅ3À�¾ÈÌ-ÀK½VÆq¹�Á�ÇÈÉ 3-ÃCÌU½VÄT¹�ºVÑy¾ÈÌ'É�¿NÆI¹��ºN»�¾ÈÌ'ÁIÁUÃ[ÉK½/Å�Ì'¾ÈÍ�) Þm[ � (�[ 9 æA(,+�+�+^(�)�Þ�[ & I � (^[ & æ�½VÉ�¼ )�Þm[ & (^[ � æmÃ�Ä'ºGÉ�É�Ì'Ä'ÆIÇÈÉ�¿-Æq¹�ÌÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁªÄmÍEÄm¾ÎÇÈÄU½V¾È¾ÎÍ9Ò[ê�¹�»qºGÊ�¿N¹ÂºNÊ�Æ Æq¹�Ì?À»qº9º/Ñ�Ã<¾ÈÌ'ÆK[ & /�� Þ�[/�& /�� æ�Ì�#9ÊK½V¾ [ � Þà»qÌ'ÁIÀKÌ'Ä âÆqÇÈÏGÌ'¾ÈÍEÃ?[/� � æmÒ6�ÌY½/ÁIÁqÊ�Å�Ì�Ñ�Ê�»IÆq¹�Ìm»�ÆI¹K½/Æ�½/¾È¾CÆq¹�ÌmÁqÌ�ÀK½/ÆI¹�Á�¹K½<ÏNÌ�Å�ÇÈÉ�ÇÈÅ"½<¾[¾ÎÌmÉ�¿NÆI¹�ÁUÃÆq¹[½/Æ�ÇÈÁUÃ�� � Þm[D��(^[D� /�� æK% j4k�Þ�[7��(�[D� /�� æ�Ñ�ºN»y½V¾Î¾��IÒ!�Ì'Æ � 8 �($R�qÒ�ê�¹�Ì�ÀK½/ÆI¹�Á ) Þm[D� I � (�[7��æ�½VÉ�¼ )�Þ�[7��(^[D� /�� æ�¿NÇÈÏGÌ�»IÇÈÁqÌ�ÆIº3½�Ê�É�Ç #9Ê�ÌÏNÌm»qÆqÌ�� [/�� ÁT½/ÆqÇÈÁ�Ñ�Í9ÇÎÉ¿ B�Ë�ÁIÌ'»qÏN½VÆqÇȺNÉ%/ÂÒ*0�Ò3ç9ÇÈÅ�Çξ�½V»q¾ÈÍEÃÂÆq¹�Ì-À[½/Æq¹ÂÁ )�Þ�[ � (^[ � /�� æ�½VÉ�¼

)�Þ�[ � /�� (^[ � /K9 æ�¿NÇÈÏGÌy»qÇÈÁIÌ�Æqº-½�Ê�É�Ç #9Ê�Ì�ÏNÌ'»IÆqÌ��"['� � /�� Ò��Ì�ÁqÌ'Ì�Ë9Í!�Ì'Å�Å"½6/�Ò*�)Æq¹K½VÆÆq¹ÂÌzÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á"['�� ½/ɼ ['�� /�� ºNÉ*)�Þm[ � (�[ � /�� æ5Å-Ê�ÁqÆ�Ë[Ìz¼�ÇÈÁqÆIÇÎÉÂÄ'ÆUÃy½VÉ�¼ë½/À�À[ÌU½V»3ÇÈÉÆq¹ÂÌYÁT½/Å3Ì�ºG»q¼�Ì'»�ºGÉ ) Þm[ � (�[ � /�� æy½/Á$[ � ½/ɼf[ � /�� ¼ÂºKÒ �yÌ'É�ÄmÌNÃ�Æq¹ÂÌ $�â Ä'Í9Ä'¾ÈÌ�%a%%-Þ�[/� � (�+�+,+�(�[/�& æ[ÇÎÁ�ÁIÇÈÅ3À�¾ÈÌNÃTÍ9ÇÈÌ'¾È¼�ÇÈÉ�¿�¼�ÇÈÁ :TºGÇÎÉ9Æ�ÀK½VÆq¹�Á/) �NÞ�[/� � (�[/� 9 æA(,+�+�+^(�) �VÞm['�& I � (�[/�& æ½/ɼ ) �NÞ�[/�& (^['� � æmÒ��ºG»yÌU½VÄT¹,� 8 �($ �ªÀ�ÇÈÄTá�ºNÉ�Ì�ºVÑ�Æq¹ÂÌ�ÀK½/ÆI¹�Á�Ñ�»qºGÅ [D�?ÆIº�['�� Þ1½/¾ÈºNÉ�¿ ) Þm[D� I � (�[7�1æºN» ) Þm[D��(�[7� /�� æqæ�½/ɼ3ÄU½V¾Î¾�ÇÈÆ ) �NÞ�[7��(^['�� æmÒ�Ì�¹K½<ÏNÌ�É�º/Ð�ÁI¹�º/Ð�É�Æq¹K½VÆ3Ð�Ì�ÄU½/Éë½/ÁIÁqÊ�Å�Ì�Æq¹�Ì�ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁ [ � (�+,+�+�(^[ & ½/»IÌ

Ä'ºGÉ�É�Ì'Ä'ÆIÌ'¼�ÇÈÉz½/É � ºEÄmÆqºNÀÂÊ�Á �Vâ ¾ÈÇÈáNÌ�Å"½VÉ�É�Ì'»�Ë9Í�Æq¹�Ì�ÁqÇÈÅ3À¾ÎÌ $�â|Ä'Í9Ä'¾ÈÌ'%5Ã�ÆqºG¿NÌ'ÆI¹�Ì'»Ð�ÇÈÆq¹zÀ[½/Æq¹ÂÁUÃ[ºN» � ÆqÌmÉEÆT½/Ä'¾ÈÌ'Á � ) �GÞm[D��(^['�� æmÃKÐ�¹ÂÇÎÄT¹�½V»qÌ�¼�ÇÈÁ :TºGÇÈÉEÆy½VÅ3ºGÉ�¿YÆI¹�Ì'Å�ÁqÌ'¾ÈÏNÌmÁ½/ɼ3Ñ1»qºNÅ1%-Ò��Ì�ÄU½V¾È¾�Æq¹�Ì�ÌmÉEÆIÇÈ»qÌ�º9Ä'ÆqºGÀ�Ê�Áy¿G»�½VÀ�¹ %��GÒ

ß�Í%! Ì'Å3Å�½-/ÂÒ �[à 3(ÄmºNÉ9Æ�½VÇÎÉÂÁY½�Ñ�Ê�¾È¾ÈÍzÆI»qÇ�½/É�¿GÊ�¾�½/ÆIÌ'¼�ºNÊ�ÆIÌ'»qÀ¾¨½VÉK½/»�¿N»T½/À�¹�ºGÉ['� � (,+�+�+^(�['�& Ò�QyºGÆqÌ�Æq¹[½/Æ

� � Þ�[7�=(^[ �� æ : � � Þm[ �� (�[ �� /�� æ : � � Þ�[ �� /�� (�[D� /�� æ�% j4k�Þm[D��(^[D� /�� æ 6 �

Ñ�ºG»�ÌU½/ÄT¹ � 8 �($R�qÒç9ÇÈÉ�Ä'Ìf��ÇÈÁ-º9¼�¼�Ã�Æq¹ÂÌ'É�Ñ�ºN»-ÌU½VÄT¹�� 8 � $ ��ÆI¹�Ì'»qÌ�ÇÎÁ3½VÉ�Ì'¼�¿NÌd��� � (�� � /�� �zºGÉ) �GÞm['�� (^['�� /�� æ'Ã/ÇÈÉ�Æq¹�ÇÈÁCºN»I¼�Ì'»<ÃNÁIÊ�ÄT¹-Æq¹K½VÆ�Ñ1ºN»?½/É9Í�ÏNÌ'»IÆqÌ�����ºGÉ�Æq¹�Ìy½V»qÄ�ºVÑ %ë¼ÂÌTãKÉ�Ì'¼Ë9Í���� � (^['�� (�� � �9ÃNÆI¹�ÌyÀK½VÆq¹�Ñ�»IºNÅ���ÆqºS[ � ½V¾ÈºNÉ�¿�Æq¹ÂÇÎÁ�½/»qÄ�ºNÉ�%�½VÉ�¼-Æq¹�Ì � ÆIÌ'É9Æ�½/Äm¾ÎÌ �) �GÞm['�� (^[ � æ�¹K½VÁ�¾ÎÌmÉ�¿NÆI¹ ½VÆ�Å�ºNÁIÆ�Þ��?* R<æ�oNåÂÒ<�Ì'É�ºNÆIÌ�ËEÍE� � ÆI¹�Ì�ÁqÊ�ËÂÆq»qÌmÌ�º/Ñ %���Ä'ºGÉ�É�Ì'ÄmÆqÇÈÉ�¿�[ � Ã� � ÃE½VÉ�¼� � Ò��ÌyÉ�ºGÆqÌ�Æq¹K½VÆ

� ��¹[½/Á3½/Æ�Å3ºGÁqÆ�ÆI¹�»qÌmÌz¾ÈÌU½<ÏNÌ'Á<Ã�½VÉ�¼�Æq¹�Ì'Í�½/»IÌ"½/Å�ºNÉ�¿ ��[D��(��D��(������9Ò%��ºG»qÌ'º/ÏGÌ'»Uý/Æ�Å3ºGÁqÆ�ºNÉÂÌ"À[ºNÁIÁqÇÈË�¾ÈÌ3ÏGÌ'»qÆIÌ���ÃM['�� ÃCºVÑ$� ��¹K½VÁY¼ÂÌ'¿N»IÌ'Ì�Æq¹�»IÌ'ÌNÒ'�Ì-É�º/Ð�¹K½<ÏGÌ3½ÀK½V»qÆqÇÈÆIÇκGÉ

E�Þ % � æ % E-Þ)� � æ���+,+-+ �FEYÞ � & æ�+¸�ºNÉ9ÆI»�½/ÄmÆqÇÈÉ�¿-ÌU½VÄ�¹ � ��Æqº3½�ÁIÇÎÉ¿N¾ÈÌ�ÏNÌm»qÆqÌ�� � ��Ð�ÇξȾ�¿GÇÎÏGÌ�½�¿N»�½VÀ�¹�ÃÂÐ�¹�ÇÈÄ�¹�ËEÍ!�Ì'Å5âÅ"½VÁ /�Ò ��½/É�¼ /�Ò*)�Ð�ÇȾȾ�ÄmºNÉ9Æ�½VÇÎÉ�½�Ñ1Ê�¾È¾ÎÍ�ÆI»qÇ�½/É¿NÊ�¾�½/ÆIÌ'¼�ºNÊÂÆqÌ'»IÀ�¾�½/ÉK½V»-¿N»�½VÀ�¹ % � �ºNÉ � � (�+�+,+�( � & ½VÁ©½)ÁqÊ�Ë¿N»�½VÀ�¹�Þ�Ä'ºGÉ9Æq»�½VÄ'ÆqÇÈÉ�¿-Ì<½/ÄT¹ � ÆqÌmÉEÆT½/Ä'¾ÈÌNà � ) �GÞm[D�^(�['�� æ'Ã9¹K½VÁ�ɺÌ�=�Ì'Ä'Æ�ºNÉ�Æq¹�Ì Ñ�Ê�¾È¾�Æq»IǨ½VÉ�¿Nʾ¨½V»qÇÈÆ|Í�º/Ñ�%�� �'æ'Ò�ê�¹�Ì'»IÌTÑ�ºN»IÌNÃ[Æq¹�Ìm»qÌY½V»qÌ�Æ|Ð�º-ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Á � �½/ɼ � �ÂÃ�Ð�ÇÈÆq¹�É�Ì'ÇÈÆI¹�Ì'» �O% � : R�É�ºG»$�K% � : RNÃ�ÄmºNÉ�É�ÌmÄ'ÆqÌ'¼�Ë9Í"½VÉ"Ìm¼�¿NÌ�ÇÈÉ %�� �/Ò�yÌmÉ�Ä'ÌNÃÂÆq¹�Ì'»IÌyÅ-Ê�ÁIÆCËKÌ�½/É-Ì'¼�¿GÌyÇÈÉ�%�� Ð�ÇÎÆI¹YºGÉ�ÌyÌmÉ�¼�ÏNÌm»qÆqÌ��3ÇÈÉ � �ª½VÉ�¼3ÆI¹�Ì�ºNÆI¹�Ì'»

R�R

Page 12: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

ÇÈÉ�� ��Ã9Å�ºN»IÌ�ÁIÀKÌmÄ'ÇèãKÄU½/¾È¾ÈÍ9Ã�½/É�Ì'¼�¿GÌ�ËKÌmÆ|Ð�Ì'ÌmÉ � ��½/ɼ �'�9ÃÂÐ�¹�Ì'»qÌ�� �?ÇÈÁy½�ÏNÌ'»IÆqÌ���ÇÈÉ� � ½/É�¼�Ð�¹�Ìm»qÌ � � ÇÈÁy½�ÏNÌm»qÆqÌ��3ÇÈÉ�� � Ò��Ì�Ä'ºNÉÂÄ'¾ÈÊ�¼�Ì�ÆI¹K½/Æ

j k Þm[ � (�[ � æ 6 j k Þ�[ � (�� � æ : j k Þ � � (�� � æ : j k Þ � � (^[ � æ

6 � � Þm[D�^(�� �1æ : R : � � Þ �"�V(�[ �/æ

6��* Rå : R :

��* Rå

% � +

�yÌmÉ�Ä'ÌNÃ�ÆI¹�Ì'»IÌ"ÇÈÁ3½VÉPÌ'¼�¿GÌ�Ä'ºNÉ�ÉÂÌ'Ä'ÆqÇÈÉ�¿ [D��Æqº [���ÇÈÉ 3 Ã?Æq¹9Ê�Á-ÄmºNÅ3À¾ÎÌmÆqÇÈÉ�¿�Æq¹�ÌÀ�»IºEºVÑ?º/ѪºGÊ�»�Æq¹ÂÌ'ºN»IÌ'Å�Ò ��

� � �N�3×?Ø��3Ü�� ��Ö � Û�Ø� 'Ø)×�Ü;Õ � Ø�� ��Ø?� � × � Ø�� �)×��������

�Ì?¹K½<ÏGÌ?ÁqÌmÌ'ÉYÆI¹K½/ÆCº9¼�¼�À[º/Ð�Ì'»qÁCº/Ñ�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾E¿G»�½VÀ�¹�Á?½/»IÌ?ÌU½/ÁIÍ�Æqº�Ä'ºN¾ÈºG»UÃ<ÁqÇÈÉ�Ä'Ì�Æq¹ÂÌ'ͽ/»IÌ©½V¾ÈÁqºyÄT¹�ºG»q¼K½V¾|ÃUÐ�¹ÂÇξÈÌ?ÌmÏNÌ'É�ÀKº/Ð�Ì'»IÁ�½/»IÌ�¿GÌ'É�Ì'»T½/¾È¾ÈÍ�ɺNÆ�ÄT¹�ºG»q¼K½V¾|Ò�Ý|É�ÆI¹�Ì�Ä'Ê�»q»IÌ'É9ÆÁqÌmÄ'ÆqÇȺNÉ-Ð�Ì�Áq¹K½V¾Î¾9ÁIÆqÊ�¼�Í�¹�º/Ð�¼�Ç>@3Ä'ʾÎÆCÆI¹�Ì�ÌmÏNÌ'É-À[º/Ð�Ìm»qÁCº/Ñ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾9¿N»T½/À�¹ÂÁ�½/»IÌ�ÆIºÄ'ºG¾ÎºG»UÒ Ý|É-ÁqºGÅ3Ì?»IÌ'ÁqÀ[Ì'Ä'ÆIÁUÃ[Æq¹�Ì�ÇÈÁIÁqÊ�Ì�ÇÈÁ?¹�º/Ð�Ñ ½/»�Ñ�»qºGÅ�Ë[Ì'ÇÈÉ�¿�Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾[Æq¹�Ì'ÁIÌyÀ[º/Ð�Ìm»¿N»T½/À�¹ÂÁy½/»qÌGÒ��ÌyÅ3Ì<½/ÁqÊ»qÌ�Æq¹�Ì�¼�Ç>@3Ä'ʾÎÆ|Í-ÇÈÉ�ÆqÌ'»IÅ3Á�º/Ѫ¹Âº/Ðë¿Nº9º9¼"½VÉ"ÌmÁqÆqÇÈÅ�½/ÆqÌ�º/ÑÆq¹ÂÌ�ÄT¹�»IºNÅ�½/ÆqÇÈÄ�ÉEÊÂÅ-ËKÌ'»�½/É�Ì�=�Ì'Ä'ÆIÇÈÏNÌY½V¾Î¿GºN»IÇÎÆI¹�Å ÄU½/É ãKÉ�¼�Ò

ê�¹�Ì3ÄmºN¾ÈºN»IÇÎÉ¿"À»qºN˾ÎÌmÅ ÇÈÁ�[Þ H�æC�qñ�s<s�ïqî,�<@Cr�ñ<Qmò ��ºGÉP½�¿NÇÈÏNÌmÉ�Ä'¾�½/ÁqÁ)º/Ñy¿N»T½/À�¹ÂÁÇèÑ�ÃCÆq¹ÂÌ'»qÌ�Ì��9ÇÈÁqÆIÁ�½�ÀKºG¾ÈÍEɺNÅ3Ç�½V¾ªÆIÇÈÅ3Ì-½/¾È¿NºG»qÇÈÆq¹�Å Æq¹K½VÆ�Ñ1ºN»�ÌU½/ÄT¹P¿G»�½VÀ�¹ 3(ºGÉ HÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁyºNÊÂÆqÀ�Ê�ÆIÁy½�ÄmºN¾ÈºN»IÇÎÉ¿�Ð�ÇÈÆq¹"½VÆ�Å�ºNÁIÆ�KÞ�H�æ ��Þ�3�æ'Ò �ÌyÁT½<Í-Æq¹K½VÆ©½)À�»qºGË�¾ÈÌ'ÅÇÈÁ�í�ñGïqð � î)ñ�s<s�ïqî,�<@Cr�ñ � �?Ð�ÇÈÆI¹�ÇÈÉ�½�¿GÇÈÏNÌ'É)Ñ ½/ÄmÆqºN»<ÃNÇèÑ�Æq¹�Ì�ÄmºNÉ9Æq»T½/»qÍ�Ð�ºNÊ�¾È¼�ÍEÇÈÌ'¾È¼�Æq¹�ÌÄ'ºGÉ�Ä'¾ÈÊ�ÁqÇȺGÉPÆq¹[½/Æ�� � �%� � ��Ã�Æq¹�Ì�Ä'¾�½/ÁIÁ-º/ÑyÀ�»IºNË�¾ÈÌ'Å�ÁYÐ�ÇÈÆI¹PÀ[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ǩ½V¾�â|ÆqÇÈÅ-Ìé'Ì'»Iº/â|Ì'»q»IºN»�»�½VÉ�¼�ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼3½V¾Î¿GºN»IÇÎÆI¹�Å3Á<Ò

ê�¹�Ì?Å�½/ÇÈÉy»IÌ'ÁqÊ�¾ÈÆ º/Ñ�Æq¹�ÇÈÁ ÁqÌ'Ä'ÆIÇȺNÉ�ÇÈÁ�Æq¹[½/Æ�ÄmºN¾ÈºN»IÇÎÉ¿�Æq¹�Ì?ÌmÏNÌ'É�À[º/Ð�Ì'»qÁ º/Ñ�ÄT¹�ºN»I¼K½/¾¿N»T½/À�¹ÂÁyÇÈÁ�¹K½/»I¼zÆqº3½VÀ�À�»IºF�EÇÈÅ�½/ÆqÌ�Ð�ÇÈÆq¹�ÇÈÉ"½�Ñ ½/ÄmÆqºN»�ºVÑ H�� ��9 I J äÑ�ºN»y½VÉ9Í L N+��Ò�Ý|ÉÑ ½VÄ'ÆUà Ä'ºN¾ÈºG»qÇÈÉ�¿3Á$#9ÊK½/»IÌ'ÁYºVÑ�ÁqÀ¾ÎÇÈÆ�¿N»T½/À�¹ÂÁ�ÇÈÁ�¹[½/»q¼�Ð�ÇÈÆI¹�ÇÈÉzÆq¹K½VÆ�Ñ ½VÄ'ÆqºG»UÒ�Ý|É9ÆqÌ'»IÌ'ÁqÆ�âÇÈÉ�¿N¾ÈÍ9Ã9Æq¹�ÇÈÁ�ÄU½/ÉzË[Ì�Å"½/ÆIÄT¹�Ì'¼�Ð�ÇÈÆq¹z½-ÁIÇÎÅ�À�¾ÈÌSG-Þ � H�æ1âq½/À�À»qºF�9ÇÈÅ"½/ÆIÇȺNÉ3½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹�ÅÑ�ºG»�Ì'ÏGÌ'É�À[º/Ð�Ì'»IÁCº/ÑK½/»IË�ÇÈÆq»�½V»qÍ�¿N»T½/À�¹ÂÁUÒ �Ì?Æq¹�ÌmÉYÄ'ºGÉ�ÁqÇȼ�Ìm»ªº9¼�¼)ÀKº/Ð�Ì'»qÁ º/ÑK¿GÌ'É�Ì'»T½/¾¿N»T½/À�¹ÂÁUÃK½VÉ�¼3¿GÇÈÏNÌ�É�ÌU½V»q¾ÈÍ-Å"½VÆqÄT¹�ÇÈÉ�¿�ËKºGÊ�É�¼�Á�ºGÉ"ÆI¹�Ì'ÇÈ»y½/ÀÂÀ�»qºF�9ÇÈÅ"½VË�ÇȾxÇÈÆ|ÍNÒ

��ºG»©½)¿N»T½/À�¹3-Ã9¾ÈÌ'Æ���Þ�3�æ�¼�Ì'É�ºGÆqÌ�Æq¹�Ì�ÁIÇÎémÌ�ºVѪ½�Å�½F�9ÇÈÅ-Ê�ÅDÇÎɼ�Ì'À[Ì'É�¼�Ì'É9Æ�ÁqÌ'ÆÇÈÉ 3-ÒCê�¹[½/Æ�ÇÈÁUÃ���Þ 3)æ�¿NÇÈÏNÌ'Á�Æq¹ÂÌ�@CB�ð�� s��,BÂð���B�ì���BVX4rSQ��<ïYºVÑ 3-Ò

� ÇλIÁqÆ<Ã�Ð�Ì�¿NÇÈÏGÌY½/É�½/À�À»qºF�9ÇÈÅ"½/ÆIÇȺNÉ3¾Èº/Ð�Ì'»yË[ºNÊÂÉ�¼zÑ1ºN»yÄmºN¾ÈºN»IÇÎÉ¿3Ì'ÏGÌ'É�À[º/Ð�Ì'»qÁº/ÑCÄT¹�ºN»I¼K½/¾ ¿N»�½VÀ�¹�Á<ÒO;PC°9³K´/° � � :)< ��í��3s7ïIî<Qmò ��r î"!3ìTî/òÈîNï�@ B<D�C��XEñGï����3î'! �ms[òu@ � DNïIñ�s�íA��@ �YíÂñNïqð � îñ�s*s7ïIî-�*@CrYñ � �E��@ � íV@ B G5Þ H  ¡�I J æ(!'îNï�ñ*B7� L�N+�7G

RUå

Page 13: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

��ïIîUî"! G �Ì3¿GÇÈÏNÌ3½�»qÌ'¼�ÊÂÄ'ÆqÇȺNÉ�Ñ�»IºNÅ�� »�½/À¹�¸�ºN¾ÈºG»qÇÈÉ�¿�Ð�¹�ÇÈÄT¹PÇÈÁ-á9É�º/Ð�É�Æqº�ËK̹K½V»q¼�Æqº3½VÀ�À�»qºF�9ÇÈÅ"½VÆqÌ�Ð�ÇÈÆq¹ÂÇÎÉ�½/ÉH�� IKJ Ñ ½/ÄmÆqºN»8� R&����Ò��ÇÈÏNÌ'Éz½5¿N»�½VÀ�¹ 3 ºNÉ"N ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'ÁUÃ[Ð�Ì�Ä'ºGÉ�ÁqÆI»qÊ�Ä'Æ�½�¿N»�½VÀ�¹fW Æq¹[½/ÆyÄmºNÉ9Æ�½VÇÎÉÂÁ

N(Ä'ºGÀ�ÇÈÌ'Á�ºVÑ�ÌU½/ÄT¹�ÏNÌ'»IÆqÌ��-ÇÈÉ-3�½/¾ÈºGÉ�¿�Ð�ÇÈÆq¹3½VÉ3½/¼�¼�ÇÈÆIÇκGÉK½/¾9Ä'¾ÈÇ #9Ê�ÌyºGÉ�N(ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á<Ò!�ÌmÆSH"% N 9 : N ¼�Ì'É�ºGÆqÌ�Æq¹�Ì�É9Ê�Å-Ë[Ì'»�º/Ñ?ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á�ÇÈÉ"W�Ò � Ä'ºGÀ9Í"ºVÑ?ÏNÌ'»IÆqÌ��fL �ÇÈÁ�½V¼�:'½/ÄmÌ'É9ÆyÆqº�Æq¹�Ì��<â ÆI¹�Ä'¾ÈÇ #9Ê�Ì�ÏGÌ'»qÆIÌ��zÇèÑ�½/É�¼zºGÉ�¾ÈÍ�ÇxÑZ�\L � (�L � �YÇÈÁ�½VÉzÌ'¼�¿GÌYÇÈÉ 3ºN»�ÇèÑ#�R% �¤Ò��ºN»IÅ"½/¾È¾ÈÍ9ÃU¾ÈÌ'Æ

EYÞmW�æ % ���7�=(^[D��� �O] R 6 �=( � 6 Nd�l(�½/É�¼G-ÞmW�æ % �*� � � (�[ ��� J �O]4�\L � (�L � � 8 G5Þ 3�æ�ºG»@��% �4�

�;�<��� � (�� � �i]MR 6 �=( � 6 Nd�4+Ý|É�W 9GÃCÆq¹ÂÌ"¿G»�½VÀ�¹PÇÈÉ�¼�ÊÂÄ'Ì'¼PË9Íq�\[ ��� J ] � % R<(TåV(�+�+,+=(^Nd��ÇÎÁ-½�Ä'ºNÀ9Í�º/Ñ435Ã

Ñ�ºG»yÌU½VÄ�¹ � % R*(,+�+�+^(�N�Ò�ê�¹�Ì�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á � � ½V»qÌY½V¼�:'½VÄ'Ì'É9ÆyÆIº3Ì'ÏGÌ'»qÍzÏGÌ'»qÆIÌ���ÇÈÉfW 9/Ò¸�ºNÀÂÇÎÌmÁ�ºVÑ�½)ÏNÌ'»IÆqÌ��YL-½/»qÌ�½/¼�:m½/Ä'Ì'É9Æ�ÆIºYÀ�»IÌ'Ä'ÇÈÁqÌm¾ÎÍ�Æq¹�Ì�Ä'ºGÀ�ÇÈÌ'Á�º/Ñ L Á�É�Ì'ÇÈ¿N¹9Ë[ºN»qÁ�ÇÈÉ3-Ò

ê�¹�Ì�»qÌ'ÁIÊ�¾ÈÆyº/ÑZ��Ì'ÇÈ¿GÌ ½VÉ�¼ .�ÇȾÈǨ½VÉM� R&���ªÁIÆ�½/ÆIÌ'Á�Æq¹K½VÆyÇÈÆyÇÈÁ�¹K½/»I¼zÆqº�¼�ÇÈÁqÆqÇÈÉ�¿GÊ�ÇÈÁq¹Ë[Ì'Æ|Ð�ÌmÌ'É�Æ|Ð�º�ÄU½/ÁIÌ'Á,]�Þ�Ç�æ ��Þ�3�æ 6 N J Ã�½VÉ�¼�ÞàÇÈǨæ ��Þ�3�æ 6 N � I J Ñ�ºG»�½VÉ9Í�ã.�9Ì'¼L�N+��Ò"B�Æq¹ÂÌ'»yÄU½VÁqÌ'Á Ñ�»qºGÅ � R����?½/»qÌ�É�ºGÆ�»qÌ'¾ÈÌ'ÏN½VÉ9Æ�Æqº-ºNÊ»�Ð�ºN»Iá7ÒB�Ë�ÁqÌ'»IÏNÌ�ÆI¹K½/Æ�ÇèÑ7@)ÇÈÁ©½VÉ3ÇÈÉ�¼�Ì'À[Ì'É�¼ÂÌ'É9ÆyÁqÌmÆ�ÇÎÉYW 9/Ã9ÆI¹�Ì'É�ÇÈÆ�Ä'ºGÉ�ÁqÇÈÁIÆqÁ�º/Ñ�ÄmºNÀ�ÇÈÌ'Á

º/Ñ�¼ÂÇÎÁIÆqÇÈÉ�Ä'Æ�ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁ�Æq¹K½VÆCÑ�ºN»IÅ�½/É-ÇÈÉ�¼�Ì'À[Ì'É�¼ÂÌ'É9Æ�ÁqÌ'Æ�ÇÈÉ-3-Ò ê�¹�Ì'»IÌTÑ�ºN»IÌNà ��Þ�W 9'æ 6��Þ 3�æmÒ�ê�¹9Ê�ÁUÃCÇèÑ ��Þ 3�æ 6 N J ÃCÆq¹�ÌmÉ ��ÞmW 9<æ 6 N J Ò � ¾ÈÁqº[ÃCÐ�Ì-¹[½<ÏNÌ ��ÞmW 9mæ �ÞmN 9 : Nzæ=o ��ÞmW 9Uæ2�2N 9 I J Ò� ¾ÈÁqº[ÃyÆI»qÇÈÏ9Ç�½/¾È¾ÈÍ ��ÞmW 9Uæ 6 ��Þ 3�æ +VN : N�Ò ê�¹9Ê�ÁUÃ�ÇèÑ���Þ 3)æ 6 N J à Æq¹�Ì'É

��Þ�W 9<æ 6 Nd��/ JK: N�Ò3示Kà ÇxÑ�Ð�Ì-Ä'ºNÊ�¾È¼�¼�ÇÈÁIÆqÇÈÉ�¿NÊÂÇÎÁI¹�Ë[Ì'Æ|Ð�Ì'Ì'É�Æq¹�Ì-ÄU½VÁqÌ'Á�Ð�¹�Ì'É��Þ�W 9<æ 6 Nd��/ JM: N ½/ɼ ��Þ�W 9'æ�� N 9 IKJ Ã�Ð�ÌzÄmºNÊ�¾È¼ë¼�ÇÈÁIÆqÇÈÉ�¿NÊÂÇÎÁI¹�ËKÌ'Æ|Ð�Ì'Ì'ÉÆq¹ÂÌ3Æ|Ð�ºzÄU½/ÁIÌ'Á-º/Ñ�Æq¹ÂÌ3»qÌmÁqÊ�¾ÈÆ�º/Ñ � R����qÒ�yÌmÉ�Ä'ÌNÃ�ÇÎÆ)ÇÎÁ)¹K½/»I¼PÆqº�½/À�À�»IºF�9ÇÎÅ�½/ÆIÌ�Æq¹�ÌÄT¹�»qºGÅ"½VÆqÇÈÄyÉ9Ê�Å-Ë[Ì'»�º/Ñ?ÆI¹�Ì�Á�#9ÊK½V»qÌ�¿G»�½VÀ�¹fW 9�Ð�ÇÈÆI¹�ÇÈÉ"½)Ñ ½VÄ'ÆqºG»yº/ÑMNd� I 9 J Ð�¹�ÇÈÄT¹ÇÈÁ H����D9 IKJ ÇèÑ�Ð�Ì�ÇÈ¿NÉ�ºG»qÌy¾Èº/Ð�Ì'»�ºN»I¼�Ì'»�ÆIÌ'»qÅ�ÁUÒ ��

ê�¹�Ì�Ä'ºNÉ�ÁIÆq»IÊ�Ä'ÆqÇȺGÉ�º/ÑYê�¹�ÌmºN»qÌmÅ �KÒ R�ÄU½/ÉDËKÌ�Å3º9¼�ÇèãKÌm¼ëÆqº�¿NÇÈÏNÌ�Æq¹�Ì�Á�½VÅ3̹K½V»q¼�É�ÌmÁqÁ3»IÌ'ÁqʾÎÆ�Ñ1ºN»3½/ɺNÆq¹ÂÌ'»-ÁqÊ�Ë[Ä'¾�½/ÁIÁ3ºVÑ�À[Ì'»|Ñ�ÌmÄ'Æ3¿G»�½/À¹�Á,]�Ë�ÇÈÀK½V»qÆIÇÎÆIÌ3¿G»�½/À¹�ÁUÒç9ÇÈÅ3À¾ÎÍ�»qÌmÅ3º/ÏNÌy½V¾È¾�Ì'¼�¿NÌmÁyË[Ì'Æ|Ð�ÌmÌ'É �¤â ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'ÁUÒ

¸�Ê�Ë[Ì'ÁUÃ�½/É�¼vÆq¹9Ê�Á"½V¾È¾�¹�ÇÈ¿N¹�Ì'»�ÀKº/Ð�Ì'»IÁUÃ�ºVÑYÁqÀ�¾ÈÇÈÆ-¿N»T½/À�¹ÂÁ"½/»IÌ�½/¾È»IÌU½/¼�Í�Ä'ºNÅ5âÀ�¾ÈÌ'ÆIÌy¿N»T½/À�¹ÂÁUÒ��yº/Ð�Ì'ÏGÌ'»UÃ9ÄT¹�ºG»q¼K½V¾�¿N»�½VÀ�¹�Á�»qÌ'Å�½/ÇÈÉ�¹K½/»I¼3Æqº�Ä'ºG¾ÎºG»CÑ�ºG»�¾�½/»I¿NÌ'»�Ì'ÏNÌ'ÉÀ[º/Ð�Ì'»IÁUÒO;PC°9³K´/° � � :�8��?î/òÎîGï�@CB<DE��g���B�s�î � �Uï���î"!�ì�íÂîNïIðNñ/òRDGïqñ s¤íA�O@ �yíÂñNïqð � î3ñ s<s7ïIî-�*@ �r�ñ � � ��@ � í)@CBOH�� ��9 I J !mîNï�ñ<B7�RL�N+�7G��ïIîUî"! G !�ÌmÆ��0% å � ½VÉ�¼�½/ÁIÁqÊ�Å�Ì � � å�Ò �Ì�Å3º9¼�ÇèÑ�Í�Æq¹ÂÌ�Ä'ºGÉ�ÁqÆI»qÊ�ÄmÆqÇȺNÉDº/Ñê�¹�Ì'ºG»qÌ'Å �[Ò RNÒ?ß�Ì'Æ|Ð�Ì'Ì'É�ÌU½/ÄT¹�ÏNÌ'»IÆqÌ�� �D��½/ɼzÆq¹�Ì)Ä'ºN»I»qÌ'ÁIÀKºGÉ�¼�ÇÈÉ�¿�[D��� �-ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á<ÃÐ�Ì ½V¼�¼z½�À[½/Æq¹�ºVÑ � * R�ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'ÁUÒ

E-ÞmWzæ % � �D��(������ � (������ 9 (�+,+�+�(������ " I � (^[D��� Jm(�] R 6 �=("� 6 Nd�l(�½VÉ�¼

R�/

Page 14: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

G-Þ�Wzæ % �<� ���4(������ � �O]4�\L��^(�L��*� 8 G-Þ�3�æ�ºN»$��% �4�� �<� �D� (����*�O] R 6 �=( � 6 N �� �<� � ��� � (�� � � 9 �l(�+,+�+�(���� � � " I 9 (�� ��� " I � �l(� � ��� " I � (^[ ��� J �S]MR 6 ��(�� 6 N �

ê�¹�Ì�¿G»�½/À¹eW(Ä'ºGÉ9Æ�½/ÇÈÉ�Á�N 9 : � N�ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'ÁUÒ�ê�¹�Ì �-½/ɼ �;â ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Á�Ñ�ºN»IŽ�Ä'¾ÈÇ #9Ê�̺NÉ � N ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'ÁUÒ�ê�¹�Ì�ÁqÊ�Ë¿N»�½VÀ�¹zºVÑ W ºNÉ�Æq¹�Ì�[D� � �)ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á)ÇÎÁ�ÆI¹�Ì�Á�½/Å�Ì�½/Á�ÇÈÉê�¹�Ì'ºG»qÌ'Å �KÒ RNÒ � ¿E½VÇÈÉ�à ��ÞmW æ 6 ��Þ 3�æmÃ�ÁIº ��ÞmW æ � ÞmN 9 : � Nzæ�o ��Þ 3�æmÃ�Ð�¹�ÇȾÈÌ��Þ�W æ 6 Þ���Þ 3�æ : � æ +,N�ÒCê�¹�Ì�Æq¹�Ì'ºG»qÌ'Å�ɺ/Ð�Ñ�ºN¾È¾Èº/Ð�Á�ËEÍ-ÆI¹�Ì�ÁT½/Å3Ì�½/»I¿NÊ�Å�Ì'É9ÆqÁÑ�ºG»y½/É9Í � % G-ÞmN J æ'Ò ��

�Ì�É�ºGÆqÌ�ÆI¹K½/Æ�Æq¹ÂÌ�� � â|¹K½/»I¼�É�Ì'ÁIÁ�»qÌ'¼ÂÊ�Ä'ÆqÇȺGÉ�ºVÑ ! ÇÈÉ�½/É�¼�ç9á9ÇÎÌmÉK½ � R����CÍ9ÇÎÌm¾Î¼ÂÁÉ�ÌU½V»q¾ÈÍ�Æq¹�Ì-ÁT½/Å�Ì�»IÌ'ÁqʾÎÆ Ñ�ºN»�¿NÌ'É�Ìm»�½/¾�¿N»�½VÀ�¹�Á<ÃKºG»�½/ÉPÞ�H o<��æ � ��9 I J â|¹K½V»q¼�É�ÌmÁqÁUÒC�ÌÄU½VÉ-¿NÇÈÏNÌy½�ÁIÇÈÅ3À�¾ÈÌ�Å"½/ÆIÄT¹�ÇÈÉ�¿yÊ�ÀÂÀKÌ'»�Ë[ºNÊ�É�¼-ÆI¹K½/Æ�¹�ºG¾Î¼ÂÁCÑ�ºN»?½V»qË�ÇÈÆq»T½/»IÍY¿G»�½/À¹�Á 35ÒO;PC°9³K´/° � � :! ��?î/òÎîGï�@CB<D��g&�,Bcs�î �"�<ï��Yî"!IDGïqñ s¤í �e@ �6G-Þ � H�æ��qñ s<s7ïIî-�*@Cr�ñ<Qmò ��Q��ñO��@Cr!sKò ��DGï����Tð �-ñ/òTDNîGï�@ � íVrEG��ïIîUî"! G�Ý1Ñ?ÁqÊA@3ÄmÌ'ÁyÆIº-Áq¹�º/ÐDÆq¹�ÇÈÁ�Ñ�ºG»�Á�#9ÊK½V»qÌ�¿G»�½/À¹�Á�ÁqÇÈÉ�Ä'ÌR389 "?ÇÈÁ�Æq¹�Ì�Á$#9ÊK½/»IÌ�º/ÑÆq¹ÂÌ�¿G»�½VÀ�¹ 3�"�Ò

ê�¹�Ì�Å"½��EÇÈÅ�Ê�Å(¼�Ì'¿N»IÌ'Ì � Þ 389mæ�ºVÑS389-ÇÈÁ-½/Æ�Å3ºNÁIÆ � Þ 3�æ$9/Ò�ê�¹EÊÂÁUÃ�½"ãK»qÁIÆ|âãKÆ�¿G»qÌ'Ìm¼�Í�½V¾Î¿GºN»IÇÎÆI¹�Å�Ê�ÁIÌ'Á3½/Æ�Å�ºNÁIÆ�Å�ÇÈÉV� � Þ�3�æ�9 : R<(�H���ÄmºN¾ÈºN»IÁYºGÉ%389/Ò � É9ÍÉ�Ì'ÇÈ¿G¹EË[ºN»I¹�º9º9¼�ÇÈÉM3 Ñ�ºN»IÅ3Á�½3Äm¾ÎÇ #9Ê�Ì�ÇÈÉ 3 9 ÒYê�¹ÂÌ'»qÌTÑ1ºN»qÌGÃCÆq¹�Ì�ºNÀ�ÆIÇÈÅ"½/¾ ÁqºG¾ÎÊÂÆqÇȺNÉ»qÌ�#EÊÂÇλIÌ'Áy½/Æ�¾ÈÌU½/ÁIÆ � Þ�3�æ : R�Ä'ºG¾ÎºG»qÁ<Ò��yÌ'É�ÄmÌNÃ�Ð�Ìy¿GÌ'Æy½�À[Ì'»|Ñ�ºG»qÅ�½/É�Ä'Ì�»�½VÆqÇȺ�Ð�¹�ÇÈÄT¹ÇÈÁy½/Æ�Å3ºGÁqÆ�Å3ÇÈÉV� � Þ 3�æA(DH o � Þ 3�æ � 6 � HCÒ ��

� É�ºGÆq¹�Ìm»�Å3ÌU½VÁqÊ�»IÌ-º/Ñ�ɺNÉ9â|ÄT¹�ºN»I¼K½/¾ÈÇÈÆ|Í�Ð�ºGÊ�¾È¼�Ë[Ì-Æq¹�Ì-Æ|Í9À[Ì'Á�ºVÑ�¿N»T½/À�¹�Á)Ä'ºNÉ9âÆ�½VÇÈÉ�Ì'¼z½/Á�ÁIÊ�Ë�¿N»T½/À�¹ÂÁUÒ?ê�¹ÂÌ�À»qº9º/Ñ�Á�ºVѪê�¹�ÌmºN»qÌmÅ3Á �KÒ R�½/É�¼E�KÒ�å�½/É�ÁIÐ�Ì'»�Æq¹K½VÆUÒ�� ?¶m°9´����D4631³ 1���:�� ��í �M�C�,X9ñGï���î'!�ñ ��sKòt@ � DNïIñ�s¤í ì�ñ*B�ìTî<B � ñ<@CB�ñ*B�ñGï�Q�@ � ïIñNï �DGïqñ�s�ízñ�� ñ ��XlQ DGïqñ s¤í7G

���! ����� = #&%('*),+ #*-N: '30�'3),698;:<),69=?>?+Ý|ÆyÅ�½<Í-ËKÌ)Ñ�»IÊ�ÇÈÆ|Ñ�Ê�¾ Æqº�ÁqÆqʼ�Í�Æq¹�Ì�º9¼�¼zÀ[º/Ð�Ì'»IÁ�º/Ñ?¿NÌ'ÉÂÌ'»�½V¾ª¿G»�½VÀ�¹�ÁUÒ$�ºN»y¿GÌ'É�Ì'»T½/¾¿N»T½/À�¹ÂÁUÃ�ÆI¹�Ì � HÂâ ¹[½/»q¼ÂÉ�Ì'ÁqÁ�»qÌ'ÁIÊ�¾ÈÆy½/¾ÈÁqº-¹ÂºN¾È¼�Á�Ñ�ºN»�º9¼�¼�À[º/Ð�Ì'»IÁUÒO;PC°9³K´/° � � :����?î/òÎîGï�@CB<D�î<ðNð s¤î��"�Uï;��î'!KDNïIñ�s�íA�Z@ �ªí�ñGïqð � î�ñ�s*s7ïqî,�<@ rYñ � � ��@ � íV@CBH�����9 IKJ !'îNï�ñ*B7� L�N+�7G��ïIîUî"! Ga�ºN»�Æq¹�ÌzÄ<½/ÁqÌ�ºVÑi�2% å � Ã�Ð�ÇÈÆq¹ � ¿N»IÌU½/ÆIÌ'»-Æq¹[½/É RNÃ�Ð�Ì�Ä'ºGÉ�ÁqÆI»qÊ�Ä'Æ�Æq¹�ÌÑ�ºG¾Î¾Èº/Ð�ÇÈÉ�¿�¿N»T½/À�¹SW ºNÉ � N : N 9�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á<ÃNÐ�¹�ÌmÉ�¿NÇÈÏNÌmÉY½�¿G»�½/À¹ 3�ºNÉ�N ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á<Ò

R��

Page 15: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

ê�¹�Ì�¿N»T½/À�¹�Ä'ºNÉÂÁqÇÈÁqÆIÁ�º/Ñ 3-Ã�½�À[½/Æq¹�ºVÑ � * RyÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Áy½/ÆIÆ�½VÄ�¹ÂÌ'¼�Æqº�ÌU½/ÄT¹�ÏNÌ'»IÆqÌ���º/Ñ3-ÃN½VÉ�¼3½�ÁqÌ'Æ�º/ÑRN(ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁ©½VÆqÆ�½VÄT¹�Ì'¼-Æqº)Æq¹�Ì�Ì'ɼ-É�º9¼�Ì�º/Ñ�ÌU½/ÄT¹�ÀK½/ÆI¹�Ò �ºN»IÅ"½V¾Î¾ÈÍNÃ

E-ÞmW�æ % ��L � (�� � � � (�� ��� 9 (�+,+�+�(�� ��� " I � (^[ ��� � (�]�R 6 �=( � 6 N �l(�½/É�¼G-ÞmW�æ % �<�\L��^(�L��*�O]4��L���(^L��*� 8 G-Þ 3�æ �

�;�<�\L � (���� � � �l(A� ����� � (������ 9 �4(,+�+,+�(A� ����� " I 9 (������ " I � �l(����� � " I � (�[7��� J��O] R 6 �=( � 6 Nd�

ê�¹�ÌY[9â|ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á-ÇÈÉ�¼ÂÊ�Ä'Ì3ÇÈÉ W Æq¹�Ì�Á�½/Å�ÌYÁIÊ�Ë�¿G»�½/À¹�½/Á�ÇÈÉ�ê�¹�Ì'ºG»qÌ'Å�Á �[Ò R-½VÉ�¼�KÒ�åÂÒ�ê�¹�Ì�ÆI¹�Ì'ºN»IÌ'Å�É�º/Ð�Ñ1ºN¾È¾Èº/Ð�Á�Ë9Í-Æq¹ÂÌ�Á�½VÅ3Ì�½V»q¿GÊ�Å3Ì'É9Æ<Ò ��

B�É"ÆI¹�Ì�À[ºNÁIÇÎÆIÇÈÏNÌyÁIÇȼ�ÌNÃ�: Ê�ÁqÆy½VÁ�Æq¹�Ì�º9¼�¼�ÇÈÉEÆIÌ'¿NÌm»qÁyÀ¾¨½<Í3½VÉ�ÇÎÅ�ÀKºG»qÆT½/É9Æ?»qºG¾ÈÌyÇÈÉê�¹�Ì'ºG»qÌ'Å /�Ò*,ÂÃNÐ�Ì�ÄU½/É�ºNËÂÆ�½/ÇÈÉ�½�É�ºGÉ9Æq»qÇÈÏ9Ç�½/¾�½/À�À»qºF�9ÇÈÅ"½/ÆIÇȺNÉ�Ñ�ºG»�ÏGÌ'»qÆIÌ���Ä'ºN¾ÈºG»qÇÈÉ�¿½/¾È¾�º9¼�¼�À[º/Ð�Ì'»IÁ�º/ÑC¿N»�½VÀ�¹�Á<ÒO;PC°9³K´/° � � :����?î/òÎîGï�@CB<D�î<ðNð$s�î � �Uï���î'!�DGïqñ s¤í �i@ � G5Þ HK9��$5Uæ��qñ s<s7ïIî-�*@Cr�ñ<Qmò ��G��ïIîUî"! G !�ÌmÆ�� % å � * RGÒ2!�ÌmÆ��?��Ë[ÌzÆI¹�ÌzÅ"½��9ÇÎÅ�Ê�Å º/ÏNÌ'»3½V¾Î¾�ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Á�L�º/ÑÆq¹ÂÌzÉ9Ê�Å-ËKÌm»YºVÑ�ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁ"Ð�ÇÈÆI¹�ÇÈÉP¼�ÇÈÁqÆT½/É�ÄmÌ,��Ñ�»IºNÅ LÂÒëê�¹�ÌzÅ�½F�9ÇÈÅYÊÂÅ ¼�Ì'¿G»qÌ'̺/ÑO3 ÇÈÁ��� KÒ ê�¹�Ì�ãK»qÁIÆ|â1ãKÆ�½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹�Å ÆI¹�Ì'ÉDÊ�ÁqÌmÁ�½/Æ�Å3ºGÁqÆ��� : R�Ä'ºN¾ÈºN»IÁUÒ�?Ì'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á�Ð�ÇÈÆq¹�ÇÈÉz¼ÂÇÎÁIÆ�½VÉ�Ä'Ì � * R)Ñ�»qºGÅ ½�¿NÇÈÏNÌ'É�É�º9¼�Ì�L�Å-ÊÂÁqÆ�Ñ1ºN»qÅ ½�Ä'¾ÈÇ #9Ê�Ì�ÇÈÉ3 ÒCê�¹9Ê�Á<Ã9Æq¹�Ì�Ä'¾ÈÇ #9Ê�Ì�½/É�¼�Æq¹�Ì�ÄT¹�»IºNÅ"½VÆqÇÈÄ�ÉEÊÂÅ-ËKÌ'»�º/Ñ 3 ÇÈÁ©½VÆ�¾ÈÌU½VÁqÆ�� " I � : RGÒ�yÌmÉ�Ä'ÌNÃ�ÆI¹�Ì�ÀKÌ'»�Ñ�ºN»IÅ"½VÉ�Ä'Ì�»T½/ÆqÇȺ-ÇÈÁ�½VÆ�Å3ºGÁqÆ�Å3ÇÈÉ)��� o�� " I � (DH o�� " I � �9Òy¸�¾ÈÌU½/»I¾ÎÍ9Ã� 6 Þ�� " I � æ 5EÒ ê�¹9Ê�ÁUÃ9ÆI¹�Ì�ÀKÌ'»�Ñ�ºN»IÅ"½VÉ�Ä'Ìy»T½/ÆIÇκ)ÇÎÁ�½/Æ�Å3ºGÁqÆ HK9��$5NÒ QyºGÆqÌNÃÂÆq¹K½VÆ�Ð�ÌÄU½VÉ�½/¾ÈÁqº-Ë[ºNÊÂÉ�¼�Æq¹�Ì�ÀKÌm»|Ñ�ºG»qÅ"½VÉ�Ä'Ì�»�½VÆqÇȺ-Ë9Í�) � 9NÃÂÐ�¹�Ì'»qÌ) � ÇÈÁyÆI¹�Ì�ÁqÇÈé'Ì)º/Ñ?Æq¹�̺NÀÂÆqÇÈÅ"½V¾�ÁqºG¾ÎÊÂÆqÇȺNÉ�Ò ��

ê�¹�ÇÈÁ�Í9ÇÈÌ'¾È¼�Á�½/É�ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÌ'ÁqÆIÇÈÉ�¿yÄ'ºGÅ3ÀK½V»qÇÈÁqºGÉyÐ�ÇÈÆq¹�ÆI¹�Ì?Ý|É�¼�ÌmÀKÌ'ɼ�Ì'É9Æ?ç9Ì'Æ�À»qºN˾ÎÌmÅ�ÒÝ|Æ-Ð�½/Á�Áq¹�º/Ð�É�ÇÈÉ2� RUå��yÆI¹K½/Æ-ÇÈÉ�¼ÂÌ'ÀKÌmÉ�¼�Ì'É9Æ3ÁIÌ'ÆqÁ�ÇÈÉPº9¼�¼PÀ[º/Ð�Ì'»qÁ�º/Ñ�¿G»�½VÀ�¹�Á3½/»I̹K½V»q¼�Æqº3½VÀ�À�»qºF�9ÇÈÅ"½VÆqÌ�Ð�ÇÈÆq¹�ÇÈÉz½/ÉH�� IKJ Ñ|½/Ä'ÆIºN»UÒCê�¹ÂÇÎÁ�Í9ÇÈÌ'¾È¼�Á�ÆI¹�Ì�ãK»qÁIÆyÉ�ºGÉEÆI»qÇÈÏ9Ç�½/¾ÁqÌmÀK½/»T½/ÆqÇȺGÉYË[Ì'Æ|Ð�Ì'Ì'É3½/ÀÂÀ�»qºF�9ÇÈÅ"½VÆqÇȺNÉ�Áº/Ñ ��»T½/À�¹-¸�ºN¾ÈºG»qÇÈÉ�¿y½/ɼ�Ý|É�¼�Ì'À[Ì'É�¼ÂÌ'É9Æ�ç9Ì'ÆÇÈÉ"½�ÉK½VÆqÊ�»T½/¾�Ä'¾�½VÁqÁyºVѪ¿G»�½/À¹�ÁUÒ��³K´/³ ������´/±M��:�� ��í��-ñ�s*s7ïIî-�*@CrYñ*Q,@¨òu@ � �-î'! "�B�ð�� s��,B�ð��,B ��� � � ñ<B�ð ��ïqñ s¤í �?î/òÈîNï��@CB<Dd@CB�îUðGð�s�î � �Uï��-î'!�DNïIñ�s�íA�3ð<@ � �Uï���Q��zñ !mñNì � îGï3î'!-ñ � ò �TñF� � H������ I J !mîNï-ñ<BD�L�N+�7G

� ���-×?Ø�� ��ÖªÜ'Û���ØS ���Õ5Ø � ÜA�O �� �NØ)× ��Ø�� ��×���Ø���Ö × �9���

Ý|É-Æq¹ÂÇÎÁ�¾¨½VÁqÆ?ÁIÌ'Ä'ÆIÇκGÉ3Ð�Ì�Ñ�Ê�»IÆq¹�Ì'»�ÁqÆIÊ�¼�Í�ÀKº/Ð�Ì'»IÁ�ºVÑ7ÆI»qÌ'Ì'Á<Ò"�Ì�Ð�ÇȾȾ9¿NÇÈÏNÌ�Æ|Ð�º�Ì���½/Ä'ƽ/ɼ�Ä'¾ÈºNÁqÌm¼�Ñ�ºG»qÅ-Ê�¾�½/Á�Ñ1ºN»�ÆI¹�Ì3ÄT¹�»IºNÅ"½VÆqÇÈÄ�ÀKºG¾ÎÍ9É�ºGÅ3Ç�½/¾�ºVÑyÆq¹�Ì��Eâ ÆI¹�ÀKº/Ð�Ì'»�º/Ñy½Æq»IÌ'Ì�ºNÉH�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á<Ò?ê�¹�Ì-ìTí�ïIî<r�ñ � @�ì;s�î/ò��\BÂî<r�@�ñ/ò9º/Ѫ½)¿N»T½/À�¹3-ÃN¼ÂÌ'É�ºNÆIÌ'¼N� k�Þ � æ'ÃÁqÀ[Ì'Ä'ÇèãKÌmÁY¹�º/Ð�Å�½/É9Í3¼ÂÇ =�Ì'»IÌ'É9Æ�Щ½<Í9Á�Æq¹ÂÌ'»qÌ3½V»qÌ�º/Ñ�Ä'ºN¾ÈºN»IÇÈÉ�¿ 3 ÊÂÁqÇÈÉ�¿ � � ��Þ 3)æ

R�)

Page 16: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

Ä'ºG¾ÎºG»qÁ<Ò�QyºNÆIÌyÆI¹K½/Æ�Ë[ºNÆI¹ 3.�;n�½VÉ�¼ 33o<n�¹K½<ÏNÌ Ñ�Ì'Ð�Ì'»�Ì'¼�¿NÌmÁyÆq¹[½/É 35Ò���Ì'É�Ä'ÌNÃÂÆq¹�ÌÑ ½VÄ'Æ�ÆI¹K½/Æ�� k Þ � æ�ÇÈÁ©½VÄ'ÆqÊ[½/¾È¾ÈÍ3½�À[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ç�½/¾9ÇÈÉ � ÄU½VÉ3ÌU½VÁqÇȾÈÍ-ËKÌ�ÏGÌ'»qÇèãKÌ'¼�Ë9Í-Ê�ÁIÇÎÉ¿ÇÈÉ�¼�Ê�ÄmÆqÇȺNÉ�ºNÉ H G-Þ 3�æ�HèÃ�½/É�¼�Æq¹�Ì�»IÌ'Ä'Ê�»I»qÌ'ÉÂÄ'Ì

� k�Þ � æ�% � k���� Þ � æ * � k � � Þ � æÞ�ÁIÌ'Ì� å���ÃÂê�¹�Ì'ºN»IÌ'Å )ÂÒ*/�Ò �KÃ9ÀK½V¿NÌ R&(�)1�àæmÒ��ºN»yÌ��¤½VÅ3À�¾ÈÌNÃ9ÇèÑ p ¼�ÌmÉ�ºNÆIÌ'Á�Æq¹ÂÌ�Ä'ºNÅ5âÀ�¾ÈÌ'ÆIÌ�¿N»�½VÀ�¹DºNÉ H�ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁUÃ�Æq¹�ÌmÉ ������Þ � æ.% � Þ � * RUæ +,+-+TÞ � * H : R<æ5Ñ�ºN» �¿N»IÌU½/ÆIÌ'»�Æq¹K½VÉ�ºN»3Ì�#EÊ[½/¾yÆIº%HCÒ !�ÇÈáNÌ'Ð�ÇÈÁIÌNÃ�Ñ�ºG»3½/É9ÍPÆI»qÌ'Ì � ºGÉ+HDÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á<ÃyÐ�̹K½<ÏGÌ � Þ � æ�% � Þ � * RUæ p I �UÒ ��ºG»qÌ'º/ÏGÌ'»UÃ�ÇèÑ43 ÇÎÁ3½�¿N»T½/À�¹�ºNÉ+H�ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Á"½VÉ�¼� k Þ � æ�% � Þ � * RUæ p I �<Ã?Æq¹ÂÌ'ÉPºGÉ�Ì3ÄU½VÉPÁI¹�º/Ð�Ë9ÍP½/É�ÌU½/ÁIÍ�ÇÎɼ�Ê�Ä'ÆIÇκGÉPÆI¹K½/ÆO3(ÇÈÁÇÈÉ�¼�Ì'Ìm¼ ½�ÆI»qÌ'Ì)ºNÉ HzÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'ÁUÒ!�Ì'Æ63�Ë[ÌY½)Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾�¿G»�½VÀ�¹�ÒCê�¹�Ì�ÁqÇÈÅ�À�¾ÈÇÎÄmǨ½V¾�Ì'¾ÈÇÈÅ3ÇÈÉK½VÆqÇȺNÉ�ºG»q¼�Ìm»qÇÈÉ�¿KÃ

��L � (,+�+,+�(�L p ��ºGÉYEYÞ 3�æmÃ9Í9ÇÎÌm¾Î¼ÂÁ?Æq¹K½VÆ�ÆI¹�ÌyÄT¹�»IºNÅ�½/ÆqÇÈÄ�ÀKºG¾ÈÍEɺNÅ3Ç�½V¾ � k Þ � æ�º/Ñ 3D¹K½VÁÆq¹ÂÌyÑ1ºN¾È¾Èº/Ð�ÇÎÉ¿�Ñ�ºN»IÅ

� k Þ � æ %p��� �

Þ � * j[Þ �1æqæA( Þ /Gæ

Ð�¹�Ì'»IÌOjKÞ5��æ %aH N�ÞmL � æ7�c��L � (,+�+,+�(�L � I � �VHxÒ �yÌmÉ�Ä'ÌNÃ[½/¾È¾�Æq¹ÂÌ�»Iº9ºNÆqÁ�º/Ñ�ÆI¹�ÌyÄT¹�»IºNÅ�½/ÆqÇÈÄÀ[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ǩ½V¾�Ñ1ºN»yÄT¹�ºG»q¼K½V¾C¿N»�½VÀ�¹�Á�½/»qÌ�É�ºGÉ�É�Ì'¿9½/ÆqÇÈÏGÌ�ÇÈÉ9ÆqÌm¿NÌ'»IÁUÒ6QyºGÆqÌ�Æq¹K½VÆyÇÈÉzÆI¹�ÇÈÁÄU½VÁqÌNÃ�Æq¹ÂÌzÄT¹�»qºGÅ"½/ÆIÇÈÄ-ÉEÊÂÅ-ËKÌ'»�º/Ñ 3 ÇÎÁ-¿GÇÈÏNÌ'É�ËEÍ ��Þ 3�æc% + : RGÃ?Ð�¹�Ìm»qÌ,+.%Å"½�� � �\j[Þ �1æ��EÃ9ÆI¹�Ì�¾�½/»I¿NÌ'ÁIÆ�»qº9ºNÆ�ºVÑ � k Þ � æmÒ

ç9ÇÈÉ�Ä'Ìz½ Ñ�Ê�¾È¾ÈÍ�ÆI»qÇ�½/É�¿GÊ�¾�½/ÆIÌ'¼PºGÊ�ÆqÌ'»IÀ�¾�½/ÉK½V»Y¿G»�½VÀ�¹PÇÈÁ�Ä�¹ÂºN»q¼[½/¾|Ã?ÆI¹�Ì�Ñ�ºN¾È¾Èº/Ð�ÇÈÉ�¿Ä'ºG»qºN¾È¾�½/»IÍ-ÇÈÁ�ÇÎÅ�Å-Ì'¼�Ç�½/ÆIÌ�Ñ�»qºGÅ�ê�¹�Ì'ºG»qÌ'Å /�Ò*,ÂÒ��³K´/³ ������´/± ��: <�"�!�31@ ��ñ#!�XGò�ò � � ï�@�ñ*B<D<XGòÈñ � ��ð�î*X � �<ï�sKòÈñ<B�ñGï�DNïIñ�s¤í5ñ<B�ð�� 8 -�/�@ �ñ<B�î<ðNðc@CB � � D��<ï�> � í���B � í ��ì�íÂïqî*rYñ � @�ì s¤îVò��\B�î*rS@�ñVò !'îNï�3 í�ñF��î*B9ò���B�î<B)B�� DNñ � @Cg&�@CB � � D��<ï���ñF��ïqî<î � � G

ç9ÇÈÉ�Ä'Ì�Ì'ÏGÌ'»qÍ�À[º/Ð�Ìm»YºVÑ ½�ÆI»qÌ'Ì�ÇÈÁYÄT¹�ºG»q¼K½V¾|ÃCÐ�Ì�áEɺ/ÐÆI¹K½/Æ-½/¾È¾�Æq¹�Ì�»qº9ºNÆIÁ-º/Ñ� � Þ � æ�½/»IÌ�É�ºNÉÂÉ�Ì'¿E½VÆqÇÈÏNÌ�ÇÈÉ9ÆqÌm¿NÌ'»IÁUÒCÝ|É3ºG»q¼�Ìm»�ÆIº�¼�Ì'»IÇÎÏGÌ�Æq¹�Ì Ñ�ºN»IÅ-Ê�¾�½/Á Ñ�ºN»2� � Þ � æ'ÃÐ�Ì?É�Ì'Ì'¼�Æqº Ñ�ºN»IÅ-Ê�¾�½/ÆIÌ�ÁqºGÅ3ÌCáNÌmÍ�Çȼ�Ì<½/ÁUÒ���ÌmÄU½/¾È¾NÆI¹�Ì�Å3ÌU½VÉ�ÇÈÉ�¿�ºVÑ �Gâ Ë[½/¾È¾NÀ�»IÌ'ÁqÌmÉEÆIÌ'¼ÇÈÉ <�ÌTãKÉÂÇÎÆIÇȺNÉzå�Ò RNÒ

¸�¾ÈÌU½/»I¾ÎÍ9ÃK½VÉ9Í3ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÁqÌ'Ä'ÆIÇȺNÉ�º/Ñ �Gâ|ËK½V¾Î¾ÈÁ�ÇÈÉ���ÇÈÁ�½/¿9½/ÇÈÉz½��Gâ|ËK½V¾Î¾|Ò;��ºG»�½-ÆI»qÌ'ÌE�½/ɼ � 8 -9/�Ã9¾ÈÌ'Æ�B � (�+�+,+=( B & Ë[Ì�Æq¹�Ì)Ä'ºNÅ�À�¾ÈÌ'ÆqÌ�¾ÎÇÈÁIÆqÇÈÉ�¿�º/Ñ�½/¾È¾�Æq¹ÂÌS�Gâ|ËK½/¾È¾ÈÁ�ºVÑ&��Ò�ºN»�Æq¹�Ì�»IÌ'Å"½VÇÈÉ�¼�Ì'»�º/Ñ?Æq¹ÂÇÎÁ�ÀK½VÀKÌ'»<ÃÂÑ�ºN»Z�.` �($R�C¾ÎÌmÆ

�� Þ � æ�% � Þ � * R<æ +,+-+TÞ � * 7 : RUæA(Ë[ÌYÆI¹�Ì�!mñ/ò�òt@CB<D !'ñGì � îNï�@àñ/ò7!�X4B�ì � @�î*B�Ã�Ð�¹�Ìm»qÌ 7 %��� � �� B �� ÞàÁqºNÅ�Ì'ÆqÇÈÅ�Ì'Á�ÇÈÉzÆq¹�̾ÈÇÈÆqÌ'»T½/ÆqÊ»qÌNÃÂÆq¹�ÇÈÁ�Ñ1Ê�É�Ä'ÆIÇκGÉ�ÇÎÁ�¼ÂÌ'É�ºNÆIÌ'¼zË9Í�Þ � æ�����æmÒ?Ý1Ñ 7 %2�ÂÃ9Æq¹�Ì'É�¾ÎÌmÆ � Þ � æ�% RGÒê�¹�Ì�Ñ�Ê�ÉÂÄ'ÆqÇȺNÉ � Þ � æ�Ð�ÇȾȾ�À�¾�½<Í3½/É�ÇÎÅ�ÀKºG»qÆT½/É9Æ�»IºN¾ÈÌyÇÈÉ�Ð�¹K½VÆ�Ñ�ºN¾È¾Èº/Ð�ÁUÒ

R��

Page 17: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

� �! ��#2)����?8!69+�- #�) � >?),#���631,. � = #28��?0�#�� . 698!+�Ìyɺ/Ð�À�»IÌ'ÁqÌmÉEÆ�Æq¹�Ì ãK»qÁIÆ�Ñ�ºG»qÅ-Ê�¾�½ Ñ�ºN»<� Þ � æ'ÒO;PC°9³K´/° � �;:�8 ��� � �1Q��Yñ � ï$��� > � 8 -9/%>?ñ<B�ðEB � (,+�+,+�(�B & ñ/ò�ò�î"! � � ����Q�ñVò�ò � G�-��í�ñ*g��

� � Þ � æ�% � ��� &�� �� Þ � æ�� I �����

�� �   +

��ïIîUî"! G �Ì�Ð�ÇȾξ�ÊÂÁqÌ�ÇÈÉ�¼�ÊÂÄ'ÆqÇȺNÉ�ºNÉ HY% HTE�Þ)�yæ,HèÒ�Ý1Ñ#��¹K½/Á�Ì��¤½VÄ'Æq¾ÈÍ�ºNÉÂÌ�ÏNÌ'»IÆqÌ���ÃÆq¹ÂÌ'É � � Þ � æ % � Ã�Ð�¹�ÇÈÄT¹z½/¿G»qÌ'Ì'Á�Ð�ÇÈÆI¹"ÆI¹�Ì�Ñ�ºN»IÅ-Ê�¾�½�Ò

ç9Ê�À�À[ºNÁIÌ �(¹K½/ÁOH#� åzÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'ÁUÒ !�Ì'Æ�[ 8 EYÞ)�yæ�Ë[Ìz½/É�Ì'É�¼�ÏGÌ'»qÆIÌ���º/Ñ�½¾ÈºNÉ�¿GÌ'ÁqÆ�À[½/Æq¹�ÇÈÉ���ÒCß�Í!�Ì'Å�Å"½�å�Ò�å�½/¾È¾�º/Ñ#�! Á�ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁUÃ�Ð�¹ÂÇÎÄT¹z½/»IÌ�º/ÑC¼�ÇÈÁqÆT½/É�Ä'Ì��ºN»�¾ÈÌ'ÁIÁ�Ñ�»qºGÅ [�Ã�½V»qÌ�ÄmºNÉ9Æ�½VÇÎÉÂÌ'¼�ÇÎÉ�½��Gâ|ËK½/¾È¾[º/Ñ&��Ò!�Ì'Æ B � (,+�+�+^(�B�&�Ë[Ì�½/¾È¾�Æq¹ÂÌi�Eâ ËK½V¾È¾ÎÁ�º/Ñ#��Ã9Ì'É9Ê�Å�Ì'»�½VÆqÌ'¼�ÇÈÉ3ÁIÊ�ÄT¹�½�Ð�½<Í-Æq¹K½VÆ

[ 8 B � (�+,+�+�( B J ½VÉ�¼[ �8 B J /�� (�+,+�+�(�B & (

½/ɼ�ÁqÊ�ÄT¹�Æq¹[½/Æ�H B � H 6 +-+,+ 6 H B J^HèÒ � ¿E½/ÇÈÉ�à ËEÍM!�ÌmÅ3Å"½-åÂÒ�å�Ã�Ð�Ì-Å"½<Íz½/ÁIÁqÊ�Å�ÌB � ` B J�Ñ�ºG»©½V¾È¾ � 8 � � �qÃNÆI¹K½/Æ�ÇÈÁUÃ7B�J ÇÈÁ�À�»IÌ'Ä'ÇÈÁqÌm¾ÎÍ�Æq¹�ÌO�Gâ|ËK½V¾Î¾Âº/Ñ&�vÄ'ºNÉ�ÁIÇÈÁqÆqÇÈÉ�¿�º/Ñ [½/ɼ"½/¾È¾[Æq¹�Ì�ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Á�º/ÑC¼�ÇÈÁqÆ�½VÉ�Ä'ÌO�-ºG»�¾ÈÌ'ÁIÁ�Ñ�»qºGÅ [-ÇÈÉ���Ò"!�½/ÁIÆq¾ÈÍ9ÃNÁIÇÎÉÂÄ'Ì?B�Jl�!��[ �ÇÈÁ�½Y�Gâ|ËK½/¾È¾ ÇÎÉ ��ÃKÐ�Ì�ÄU½/É�½/ÁIÁqÊ�Å�Ì B�J /�� % B�J �$��[ �Y½/ɼ B J /�� �% ��Ò�¸�ºGÉ�ÁqÇȼ�Ìm»Æq¹ÂÌ�Æq»IÌ'Ì � � % �.�$�\[ ��ºNÉ H�* R�ÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁUÒ�ß�Í3ºGÊ�»yÄT¹�ºGÇÎÄmÌ�º/Ñ?Æq¹ÂÌ�ÏNÌ'»IÆqÌ��"[ Ã�Ð�̹K½<ÏGÌ�Ë9Í-ÆI¹�Ì�¼�ÌTã[É�ÇÈÆqÇȺNÉ�º/Ñ?ÄT¹�»qºGÅ"½/ÆIÇÈÄ�ÀKºG¾ÎÍ9É�ºGÅ3Ç�½/¾ÈÁCÆq¹[½/Æ

� Þ � æ�% Þ � * H B�J^H : R<æ �  Þ � æ�+

QyºGÆqÌ�Æq¹[½/Æ B�J /�� (�+�+,+=( B & ½/»qÌ�À�»IÌ'Ä'ÇÈÁqÌm¾ÎÍ�½/¾È¾[Æq¹�ÌO�Gâ|ËK½/¾È¾ÈÁ�º/Ñ&� � Ã9ÁIº-ËEÍ-ÆI¹�Ì�ÇÈÉ�¼�Ê�ÄTâÆqÇȺGÉ3¹9Í9ÀKºGÆq¹�Ì'ÁIÇÈÁyÐ�Ì�¹[½<ÏNÌ�  Þ � æK% �

� �� J /���� &��� � Þ � æ � I ��� � ��� �   +

!�ÌmÆ���% �\�.` �($R� ]*���`2� � : R > $ � �9Ò�Ý|Æ�ÆI¹�Ì'»IÌTÑ�ºN»IÌ�ÁqÊ @3Ä'Ì'ÁyÆIº-Áq¹�º/ÐDÆq¹[½/Æ� ���� �� Þ � æ�� I ��� �

�� �   % � * H B J H : R*+ Þ �9æ

Qyº/Ð�Ã��YÄmºNÉ�ÁIÇÎÁIÆqÁ º/Ñ�Æq¹�ºGÁqÌZ��Æq¹K½VÆ�Ä'ºNÉ9Æ�½VÇÈÉ ½VÆ�¾ÈÌU½VÁqÆ�ºGÉ�ÌCÌ'¾ÈÌ'Å3ÌmÉEÆ�ºVÑ�� � ��Ò �yÌ'É�ÄmÌNÃ� �� � B ÇÈÁ�½��Gâ|ËK½/¾È¾[Ä'ºNÉ9Æ�½VÇÈÉ�Ì'¼�ÇÈÉ"ºGÉ�Ì�º/ÑCÆq¹�ÌS�Eâ ËK½V¾È¾ÎÁ%B � (�+,+�+�(�B�JqÒ"<�ÌTã[É�Ì

� � % ��� 8 �f]<��� � � � �% ��� �<�4+�Ìy¹[½<ÏNÌ�½�À[½/»qÆIÇÈÆqÇȺNÉ�� �?% � � � ��� � 9 Ã9Ð�¹�Ìm»qÌ!� � � `"� �[ÇÈÁ�Æq¹�Ì�ÁIÌ'ÆyºVѪÆq¹ÂºNÁqÌO� 8 � �É�ºGÆyÄ'ºGÉEÆT½/ÇÈÉ�ÇÈÉ�¿E�qÃ�½/É�¼#� � 9 ` � ��ÇÈÁyÆI¹�Ì�ÁqÌmÆ�ºVÑ?Æq¹�ºGÁqÌ�� 8 � ��ÆI¹K½/Æ�¼�º3Ä'ºGÉ9Æ�½/ÇÈÉ��qÒê�¹�Ì'»IÌ�ÇÈÁy½�ºGÉ�ÌTâ|ÆqºVâ ºGÉ�Ì�Ä'ºN»I»qÌ'ÁIÀKºGÉ�¼�Ì'É�ÄmÌ-ËKÌ'Æ|Ð�Ì'Ì'É#� � � ½VÉ�¼$� � 9 ¿GÇÎÏGÌ'É�Ë9Í

� � �&% � � ' � � �F��� � 8 � � 9 +

R�0

Page 18: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

�ºN»Z� � 8 � � � Ã9Ð�Ì�¹[½<ÏNÌ � �� Þ � æ % � � ��� J�� Þ � æ'ÒCê�¹9Ê�ÁUÃ� �� Þ � æ � I ����� � � � �   + � � ��� J�� Þ � æ � I �����

� ����� �� �   % R*+

ê�¹�Ì'»IÌTÑ�ºG»qÌNÃ�ÇÎÆ�ÁIÊA@3Ä'Ì'Á�ÆqºzÄmºNÉ�ÁIÇμÂÌ'»YºGÉ�¾ÈÍzÆq¹ÂºNÁqÌY� 8 ��Æq¹[½/Æ�Ä'ºGÉ9Æ�½/ÇÈÉ �y½/É�¼�ɺºNÆI¹�Ì'»�Ì'¾ÈÌ'Å3Ì'É9Æ�º/Ñ � � ��ÒCç9º[Ã

� � �

�� Þ � æ � I ��� � � � �   % � � � �� J /�� � &��

� � � ��� J�� Þ � æ � I ��� �� � �� +

�ºN»�½�É�ºNÉ�ÌmÅ3À�Æ|Í�� �(� ` � � : R > $ ��Ì'ÇÈÆq¹�Ì'» � : R 8 � �(��ºN»�ɺNÆUÒ"! Ì'Æ� �(� % ��� �(� �F�6� �i]*� �(� ` � � : R > $R� �l+

� ¿9½/ÇÈÉ�Ã9Ð�Ì�¿NÌ'Æy½)ÀK½/»IÆqÇÈÆqÇȺGÉ� �(� %"� �(�� ��� �(�9 Ã9Ð�¹�Ì'»IÌ!� �(�� ÇÈÁ�ÆI¹�Ì�ÁqÌmÆyº/ÑCÌ'¾ÈÌ'Å3ÌmÉEÆIÁ�º/Ñ� �(� ÆI¹K½/Æ�¼�ºYɺNÆ�Ä'ºNÉ9Æ�½VÇÈÉ� : RNÃ9½/É�¼�� �(�9 ÇÈÁ?Æq¹ÂÌ�ÁIÌ'Æ�º/Ñ�ÆI¹�ºNÁIÌyÌ'¾ÈÌ'Å�Ì'É9ÆqÁ�º/Ñ�� �(� Æq¹K½VƼ�º-Ä'ºGÉ9Æ�½/ÇÈÉ�� : RGÒ��Ì�½/¾ÈÁIº-¹K½<ÏNÌ�½�ºNÉ�ÌTâ|ÆqºVâ ºGÉ�Ì�Ä'ºN»I»qÌ'ÁIÀKºGÉ�¼�Ì'ÉÂÄ'Ì� �(���% � �(� �F�6� � ' � �(� �F�6� �F�F��� : R � 8 � �(�9 (

Ð�¹�Ì'»IÌe� �(��` � � : å > $R�qÒ�ç9ÇÈÉ�ÄmÌ B J /�� % B J �$��[ ��Ñ�ºN»�½�É�ºNÉ�ÌmÅ3À�Æ|Í-ÁIÊ�ÄT¹f� �(�qÃ�Ð�̹K½<ÏGÌ�ÆI¹K½/Æ �

�� � � ��� J��B % �

�� � � ��� J�� ��� J /�� �B +

�yÌmÉ�Ä'ÌNÃ[ÇèѪÐ�Ì�À�Ê�Æ�� J %2� �(� �F��� �Y½/É�¼Y� J / % � �(���"��� �F�F�6� : R �EÃ9ÆI¹�Ì'É�Ð�Ì�¹K½<ÏGÌ

�� Þ � æ � I ��� � � � �   + �� � Þ � æ � I ��� � � � � �   % R*+

�ºN»Z� �(� %���Ã9Ð�Ì�ºGË�Æ�½VÇÈÉ� � J�� Þ � æ + � � J � J /�� � Þ � æ I � % � * H B J H : R*+

ê�¹�ÇÈÁ�À�»Iº/ÏNÌ'Á�ÆI¹K½/Æ�Þ �Eæ�ÇÈÁ�Ä'ºN»I»qÌ'ÄmÆUÃ�½/É�¼�¹�ÌmÉ�Ä'Ì�ºGÊ�»�Æq¹�ÌmºN»qÌmÅ�Ò ��

� ��0��������?¸�¾ÈÌU½V»q¾ÈÍ�Æq¹�Ì�À�»IºE¼ÂÊ�Ä'ÆC¼�ÇÈÁqÀ�¾�½<ÍGÌ'¼�ÇÎÉ)ê�¹�Ì'ºN»IÌ'Å )ÂÒ�å�ÇÎÁ ¾�½/»q¿GÌyÞ�ÇÈÉ�Ñ ½VÄ'ÆUý�À�»IºE¼ÂÊ�Ä'ÆyºVÑ�å & Ñ ½VÄ'ÆqºG»qÁ�æmÃK½VÉ�¼�ÇÎÆ�¼ÂºEÌmÁ�É�ºNÆ�¿GÇÎÏGÌ�½/É�Ì�@3Ä'ÇÈÌ'É9ÆyÐ�½<Í-Æqº-Ä<½/¾ÈÄ'Ê�¾�½/ÆIÌÆq¹ÂÌ�ÄT¹�»qºGÅ"½/ÆIÇÈÄyÀ[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ǩ½V¾GÑ�ºN» � Ò � Ä'ºNÉ�ÁIÇȼ�Ì'»�½VË�¾ÈÌ�ÁqÇÈÅ�À�¾ÈÇxã[ÄU½/ÆIÇκGÉ�½VÀ�À[ÌU½/»IÁyÇÈÉÆq¹ÂÌyÑ1ºN¾È¾Èº/Ð�ÇÎÉ¿�Æq¹�ÌmºN»qÌmÅ�Ã9Ð�¹�ÇÈÄT¹�ÇÎÁ�Æq¹ÂÌ�ÁqÌ'ÄmºNÉ�¼zÌ��¤½VÄ'Æ�Ñ�ºG»qÅ-Ê�¾�½�Ñ�ºG» � Þ � æ'ÒO;PC°9³K´/° � �;:! ��� � � Q���ñ � ï$����ñ*B�ð�� 8 - / G�" !&B � (�+,+�+�( B���ñNï���ñVò�ò � í���ð*@ � � @ B�ì �Å"½��9ÇÎÅ3½V¾ ����Q�ñVò�ò ��î'!%� > � í���B

� Þ � æ�% � ��� � � �� Þ � æ � I ��� �

�� �   +

R�,

Page 19: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

��ïIîUî"! G �Ì-Ð�ÇȾȾªÊÂÁqÌ3ÇÈÉ�¼ÂÊ�Ä'ÆqÇȺGÉ�ºNÉ%Hq% HJEYÞ �yæ,HèÒ�ê�¹�Ì5Ñ�ºN»IÅ-Ê�¾�½�Ä'¾ÈÌU½/»I¾ÎÍ�¹�ºG¾Î¼ÂÁÐ�¹�Ì'É H�Ì�#9ÊK½/¾ÈÁ RGÒ!�Ì'Æ B � (�+,+�+�(�B � Ë[Ìt½V¾È¾�Æq¹�Ì�Å"½��EÇÈÅ3½V¾M�Gâ|ËK½/¾È¾ÈÁ-º/Ñ?��Ò � Á3ÇÈÉëÆq¹ÂÌzÀ�»qº9ºVÑYº/Ñ

ê�¹�Ì'ºG»qÌ'Å )ÂÒ�å�ÃG¾ÎÌmÆ�[ 8 EYÞ �yæ�ËKÌY½�¾ÈÌU½;ѪºVÑ2�DÆq¹[½/Æ�ÇÈÁy½/É�Ì'É�¼ÂÏNÌ'»IÆqÌ��zºVÑ�½�¾ÈºNÉ¿NÌ'ÁIÆÀK½VÆq¹PÇÈÉ-��ÒM!�ÌmÆ � � % �2�3��[ �EÒ�ß�Í%! Ì'Å3Å�½3åÂÒ åÂÃ�Ð�Ì3Å�½<Í�½/ÁIÁqÊ�Å�Ì3ÆI¹K½/ÆB �ÇÈÁ�Æq¹�Ì�Þ�Ê�ÉÂÇ #9Ê�Ì�� æ�Å�½F�9ÇÈÅ"½<¾R�Gâ|ËK½V¾Î¾ Ä'ºNÉ9ÆT½/ÇÈÉ�ÇÈÉ�¿�[ Ò�Ý|É�¼�ÌmÌ'¼�Ë9ÍzÆq¹�Ì�¼�ÌTã[É�ÇÈÆqÇȺNÉ�º/ÑÄT¹�»qºGÅ"½VÆqÇÈÄyÀ[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ç�½/¾xÁ<Ã/Ð�Ì�¹[½<ÏNÌ

� Þ � æ�%�Þ � * H B � H : RUæ �  Þ � æ�+

�Ì�Å-Ê�ÁIÆyÄ'ºGÉ�ÁqÇȼ�Ìm»�Æ|Ð�º3À[ºNÁIÁqÇÈË�ÇȾÈÇÈÆqÇÈÌ'Á,] Ð�¹�Ì'Æq¹ÂÌ'» B � �$��[ �YÇÈÁ�½-Å"½��9ÇÎÅ�½<¾ �Eâ ËK½V¾È¾º/Ñ � � ºN»�É�ºGÆUÒ� ��� ������� �?ç9ÊÂÀ�ÀKºGÁqÌ B � �?�\[ �?ÇÈÁC½�Å"½��9ÇÎÅ3½V¾��Eâ ËK½V¾È¾Nº/Ñ7� � ÒCç9º[ÃUÆI¹�Ì�Å"½F�9ÇÈÅ"½<¾�Gâ|ËK½/¾È¾ÈÁ�º/Ñ&� � ½V»qÌ?B � (,+�+�+^(�B � I � ÃK½VÉ�¼ B � �9��[ �EÒ�!�Ì'Æ

B��� % B � ÇxÑ#� 6�� * RB � �9�\[ � ÇxÑ#�R% � +

!�ÌmÆ � � Þ � æ�% � Þ � * RUæ +,+,+'Þ � * 7 � : RUæmÃ�Ð�¹�Ì'»IÌ 7 � % H � �� B � HèÒ6�Ì�Ä'ºNÉÂÁqÇȼ�Ì'»Æ|Ð�º�ÁqÊ�Ë[ÄU½VÁqÌ'Á�¼�ÌmÀKÌ'ɼ�ÇÈÉ�¿YºGÉYÐ�¹ÂÌ'Æq¹�Ìm»��f% � � ��ºN»?É�ºGÆUÒ QyºGÆqÌyÆI¹K½/Æ�Ñ�ºN»M���% � � �9ÃÐ�Ì�¹[½<ÏNÌ �

�� B � % �

�� B +

ê�¹9Ê�ÁUà �� Þ � æ�% � � Þ � æë¹�ÌmÉ �d% � � �9Ã9Ð�Ì�¹K½<ÏGÌ

� Þ � æ % � � � � Þ � æ% Þ � * H B�� H : R<æ � �� � � Þ � æ% Þ � * H B � H : R<æ � � Þ � æ�+

ê�¹�Ì'»IÌTÑ�ºG»qÌNÃ[Ê�ÁIÇÎÉ¿YÆI¹�Ì�ÇÈÉ�¼�Ê�ÄmÆqÇȺNÉ�¹EÍ9À[ºNÆI¹�Ì'ÁqÇÈÁ<Ã�Ð�Ì�¹K½<ÏNÌ� � Þ � æ % Þ � * H B � H : R<æ �

 Þ � æ

% Þ � * H B �<H : R<æ + � � � � � � Þ � æ � I ������� �  

% Þ � * H B �<H : R<æ � �� � � Þ � æ + � ��� � � � � � � � � � � � � Þ � æ � I ��� �

�� �  

% � � � � Þ � æ + � ��� � � � � � � � � � � �� Þ � æ�� I ��� �

�� �  

% � � � � �� Þ � æ � I ��� �

�� �   +

R�(

Page 20: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

ê�¹�ÇÈÁ�Ä'ºGÅ3À�¾ÈÌ'ÆIÌ'Á�ÆI¹�Ì�ÇÈÉ�¼�ÊÂÄ'ÆqÇȺNÉ�ÇÈÉ"ÆI¹�ÇÈÁ�ÄU½/ÁIÌNÒ� ��� ��� ��� ��ç¤Ê�À�À[ºNÁqÌ B � ���\[ ��ÇÎÁ�É�ºGÆ�½�Å"½��EÇÈÅ3½V¾ �Eâ ËK½V¾È¾?ÇÈÉ9� � Ò�ç9ÇÈÉ�Ä'ÌB � (�+,+�+�( B � I � ½/»qÌ-½/¾È¾ Å"½F�9ÇÈÅ3½/¾[ÇÈÉ ��Ã�ÆI¹�Ì'Í�½V»qÌ-½/¾È¾�Å�½F�9ÇÈÅ"½<¾[ÇÎÉ � � Ò6�Ì�á9É�º/ÐÆq¹[½/Æ&B � �)��[ �?ÇÈÁ�Ä'ºNÉ9Æ�½VÇÈÉ�Ì'¼�ÇÈÉ�ÁqºGÅ3ÌCÅ"½��EÇÈÅ�½<¾��Gâ|ËK½V¾Î¾/ºVÑ7� � Ò�ê�¹�ÇÈÁ�Å�½F�9ÇÈÅ3½/¾,�Eâ ËK½V¾È¾Å-Ê�ÁIÆ�½V¾ÈÁqº�Ë[ÌyÅ�½F�9ÇÈÅ3½/¾NÇÈÉE� > ½/É�¼-ÆI¹�Ì'»IÌTÑ�ºN»IÌNÃ9Ð�ÌyÄU½VÉ3½/ÁqÁIÊ�Å3Ì$B � � ��[ �$` B �

I � ÃÁqºEB � (,+�+,+�(�B � I � ½/»IÌ�À�»qÌmÄ'ÇÈÁqÌ'¾ÈÍ3½/¾È¾�ÆI¹�ÌyÅ�½F�9ÇÈÅ"½<¾4�Gâ Ë[½/¾È¾ÈÁªÇÈÉ� � Ò �yÌmÉ�Ä'ÌNÃÂÐ�Ì�¹K½<ÏGÌË9Í3ÆI¹�Ì�ÇÎɼ�Ê�Ä'ÆIÇκGÉ�¹EÍ9À[ºNÆI¹�Ì'ÁqÇÈÁ�  Þ � æ�% �

�� �I � �

�� Þ � æ � I ��� � � � �   +

Ý|Æ�ÁqÊ @3Ä'Ì'ÁyÆIº-Áq¹�º/ÐDÆq¹[½/Æ�

��� � � � � �� �I � �

� Þ � æ � I � � � � � �   % � * H B��<H : R*+ Þ )Gæ

Ý1Ñ&�Y% �\�.` � � � ]<���` � � * R�� �EÃ9ÆI¹�Ì'É$��% ��� � �Y� � �O]l� ��`2� � * R;� �EÒ QyºNÆIÌ�Æq¹K½VÆB � ��B �

I � %�B � �9�\[ ��½/É�¼z½V¾ÎÁIºYÆI¹K½/Æ��Y% � � ��� 9 Ã9Ð�¹�Ì'»IÌ� � % �\� �(� �F� � �O]<� �(� ` � � *tå&� �4(

½/ɼ� 9 % ��� �(� �F� � * R\�F�F� � �i]*� �(� ` � � *På&� �l+

�ºN»�½�É�ºNÉ�ÌmÅ3À�Æ|Í-ÁIÌ'ÆI� �(� ` � � *�å&�qÃ9Ð�Ì�¹[½<ÏNÌ�

�� �� � ��� � �B % �

�� �� � ��� � I � � ��� � �B +

ê�¹�Ì'»IÌTÑ�ºG»qÌNÃ[ÇèÑ � �Z%2� �(�7�"� � ��½/É�¼"� �I%2� �(�7�F� � * R �F�"� � �EÃGÆq¹ÂÌ'É

� �� Þ � æ � I ��� � � � � �   + � �� � Þ � æ � I ��� �� �� � �   % R*+

� ¾ÈÁIºKà � � � � Þ � æ + � � � I � � � � Þ � æ I �Z% � *�H B�� H : RNÒCê�¹�ÇÈÁ�Áq¹�º/Ð�Á�ÆI¹K½/Æ�Þ )Gæ�ÇÈÁ�ÏN½V¾ÎÇȼ3½VÉ�¼Áqº-ÄmºNÅ3À¾ÎÌmÆqÌ'Á�ÆI¹�Ì�ÇÎɼ�Ê�Ä'ÆIÇκGÉ�Ò ��

� ��0�������� � ¾ÈÆq¹ÂºNÊ�¿G¹-Æq¹�Ì Ñ�ºN»IÅ-Ê�¾�½�ÇÎÉ-ê�¹ÂÌ'ºN»IÌ'Å )�Ò*/�ÇÈÁ�½�ÁIÊ�Ë�ÁqÆT½/É9ÆqÇ�½V¾KÁIÇÎÅ�À�¾ÈÇèâãKÄU½VÆqÇȺNÉ�º/Ñ�ÆI¹�ÌYºGÉ�Ì�¿GÇÎÏGÌ'ÉzÇÈÉzê�¹�ÌmºN»qÌmÅ )�Ò�åÂÃ�ÇÈÆyÁIÆqÇȾȾ�¼�º9Ì'Á�É�ºGÆ�Í9ÇÈÌ'¾È¼z½�Ñ ½VÁqÆ�Ð�½<ÍÆqº-Ä<½/¾ÈÄ'Ê�¾�½/ÆIÌ;� Þ � æ�Ñ�ºG»y½�¿GÇÎÏGÌ'É�ÇÈÉEÆIÌ'¿NÌm» � Ò

��ºG»YÆI¹�Ì�ÁqÌ'ÄmºNÉ�¼�À[º/Ð�Ì'»�º/Ñ ��ÃCÐ�Ì�¹K½<ÏGÌ3ÆI¹�Ì-Ñ�ºG¾È¾Îº/Ð�ÇÈÉ�¿�Ä'ºG»qºG¾Î¾�½V»qÍ�Æqº�ê�¹�Ì'º/â»qÌmÅ )ÂÒ /ÂÒ��³K´/³ ������´/± ��:�� ��� � �1QD��ñ � ï������Rj � (�+,+�+�(^j & � í���ð�� DNï$�D����î"! � í ��$hB�î*B��|ò �Tñ*g����î'!���� jd%�Å�½F� �=��j�� ��� ñ*B�ðE!'îNïO�TñNìTí � 8 �($R��ò � � � ��%hHT� � 8 �($R�I]Rj�� � � � H G��í���B

� ¡ Þ � æ % � Þ � * RUæ��� � 9

Þ � *-��æ B +

�

Page 21: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

��ïIîUî"! G�ê�¹�Ì�Å"½F�9ÇÈÅ"½V¾Eå;â ËK½V¾È¾ÎÁ�½/»qÌ�Æq¹�Ì�ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Á�º/ÑCÆq¹�Ì�ÁqÊ�Ë9â|ÁqÆT½/»IÁ�º/Ñ&�vÄ'Ì'É9ÆqÌ'»IÌ'¼½/Æ�Æq¹�Ì�É�ºGÉ9â ¾ÈÌU½<ÏGÌ'ÁyºVÑF��Ò � ÉzÇÈÉ9ÆqÌ'»IÁqÌ'ÄmÆqÇȺNÉ�º/Ñ©å;â Ë[½/¾È¾ÈÁ�¹K½/Á�ºNÉÂÌ�º/Ñ�ÆI¹�Ì)Ñ�ºN¾È¾Èº/Ð�ÇÈÉ�¿Ñ�ºG»qÅ3Á�]

� ½Yå;â ËK½V¾È¾� ½ R â Ë[½/¾È¾�Þ�Æq¹[½/Æ?ÇÈÁUÃ9½�ÁIÌ'Æ?º/Ñ�Æ|Ð�º�É�Ì'ÇÈ¿N¹9Ë[ºN»IÇÎÉ¿�ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Á�É�Ì'ÇÈÆq¹�Ìm»�ºVÑ7Ð�¹�ÇÈÄT¹3½/»I̾ÎÌ<½<ÏNÌ'ÁTæ

� ½ �;â ËK½V¾È¾?Þ�Æq¹[½/Æ�ÇÈÁUÃ�½�ÁIÇÎÉ¿N¾ÈÌyÉ�ºGÉ9â|¾ÎÌ<½<ѪÏGÌ'»qÆIÌ���æ� Ì'Å3À�Æ|Í�Ì�Ä'ºNÉ�ÁIÇȼ�Ì'»yÆI¹�Ì�Ä'ºNÉ9ÆI»qÇÈË�Ê�ÆIÇκGÉ�º/ѪÌ<½/ÄT¹zÆ|Í9ÀKÌ�ºVÑ�ÇÈÉ9ÆqÌm»qÁqÌmÄ'ÆqÇȺNÉ�Æqº-Æq¹ÂÌ�º/ÏGÌ'»�½V¾È¾

À�»IºE¼ÂÊ�Ä'ÆyÇÈÉ�ÆqÊ�»IÉ�Ò?Ý1Ñ#B � (,+�+,+�(�B & ½V»qÌY½V¾Î¾[Æq¹ÂÌ�Å"½��EÇÈÅ3½V¾¤å;â Ë[½/¾È¾ÈÁUÃ9Æq¹ÂÌ'É

N % �� � &��

� � � � Þ � æ�%&��� �

� Þ � * RUæ +,+-+TÞ � * j�� æ

ÇÈÁ�Æq¹�Ì�À�»Iº9¼�Ê�Ä'Æ�Ä'ºN»I»qÌ'ÁIÀKºGÉ�¼�ÇÈÉ�¿3ÆIº-ÇÈÉEÆIÌ'»qÁIÌ'Ä'ÆIÇκGÉ�Á�Ñ1ºN»qÅ�ÇÈÉ�¿�å<â|ËK½/¾È¾ÈÁUÒê�¹�Ì�À�»Iº9¼�Ê�Ä'Æ�Ä'ºG»q»IÌ'ÁqÀ[ºNÉ�¼ÂÇÎÉ¿3Æqº3½V¾È¾�Æq¹�Ì RTâ|ËK½V¾Î¾ÈÁ�ÇÈÁ

� %&I ���� �

� Þ � * RUæ�(

ÁqÇÈÉ�ÄmÌyÌU½VÄ�¹ R â Ë[½/¾È¾9ÇÎÁ�½/É-ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÁqÌ'Ä'ÆIÇȺNÉ-º/Ñ�Ì��¤½VÄ'Æq¾ÈÍ�Æ|Ð�º�å;â ËK½V¾È¾ÎÁCºVÑ���Ã9½/É�¼�Æq¹ÂÌ'»qÌ�½/»IÌÌ���½/ÄmÆq¾ÈÍ $ * R�ÁqÊÂÄ�¹ R â ËK½V¾È¾ÎÁ�ÇÈÉ���Ã9Ð�¹�ÇÈÄ�¹z½V»qÌ�É�ºNÆ�ÄmºNÉ�É�ÌmÄ'ÆqÌ'¼�Æqº-¾ÈÌU½<ÏNÌmÁUÒQyÌ��9Æ�Ð�Ì�Ä'ºGÉ�ÁqÇȼ�Ì'»�ÆI¹�Ì�Ä'ºNÉ9ÆI»qÇÈË�Ê�ÆIÇκGÉ�¼�Ê�Ì�Æqº-ÇÈÉ9ÆqÌ'»IÁqÌ'ÄmÆqÇȺNÉ�Á�Æq¹K½VÆ©½V»qÌ �;â Ë[½/¾È¾ÈÁUÒ

ç9Ê�ÄT¹�½/ÉzÇÈÉ9ÆqÌm»qÁqÌmÄ'ÆqÇȺNÉ�ÇÈÁ�½-ÁqÇÈÉ�¿G¾ÈÌ�ÏNÌ'»IÆqÌ���º/ÑF��ÆI¹K½/Æ�ÇÎÁ�É�ÌmÇÎÆI¹�Ì'»�½-¾ÈÌU½;Ñ�ÇÈÉ ��É�ºG»½�¾ÈÌU½<Ñ?ÇÈÉ�Æq¹�Ì)Æq»qÌmÌ ���1Ã�Ð�¹�Ì'»IÌ ��� % � �9�U¾ÈÌU½<ÏGÌ'Á�º/Ñ �$�EÒ � ÁqÁIÊ�Å3ÇÈÉ�¿�[ 8 EYÞ)�yæ ÇÈÁÁqÊÂÄ�¹�½ �;â ËK½V¾È¾ ÃGÆq¹ÂÌ'É

�\[ �Z%�B �   ��+-+,+ ��B � � (Ð�¹�Ì'»IÌ�� � åÂÒ�Ý1Ñ [ ÇÎÁ�ɺNÆ�Æq¹ÂÌ�Ä'Ì'É9ÆqÌm»�ºVÑ�½/É9Í3ºVÑ�ÆI¹�ÌYå;â ËK½V¾È¾ÎÁ B �   (,+�+�+�(�B � � ÃÂÆq¹�Ì'É[�ÇÈÁ�Æq¹�Ì�ÄmÌ'É9ÆqÌ'»�º/ÑCÁqºGÅ3ÌyºGÆq¹�Ìm»�å<â|ËK½V¾Î¾|ÃGÁ�½<Í�B(��Ã�Ð�¹�Ìm»qÌ ���8 � � � (,+�+�+^(���� �EÒCÝ|É�ÆI¹�ÇÈÁÄU½VÁqÌ��[ �!% B �   ��+-+,+ ��B � � ��B �½/¾ÈÁIºKÃ�½/ɼ3¹�Ì'ÉÂÄ'ÌYÐ�Ì�¹K½<ÏNÌ

� � �   ������� � � � � � � Þ � æ � I ���� + � � �   ������� � � � � Þ � æ � I ���

� �   % R<+

!�ÇÈáGÌ'Ð�ÇÈÁqÌNÃ9ÇèÑ [ ÇÎÁ�ÆI¹�Ì�Ä'Ì'É9ÆqÌm»�ºVѪºGÉ�Ì�º/ѪÆI¹�ÌYå;â ËK½V¾È¾ÎÁ<ÃNÁT½<Í B �   Ã�Æq¹ÂÌ'É�\[ �Z%�B � ¡ ��+-+,+ ��B � � (

å R

Page 22: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

½/ɼ"ÆI¹�Ì'»IÌTÑ�ºN»IÌNÃ� � � ¡ ������� � � � � Þ � æ � I � � � �   + � � �   ������� � � � � Þ � æ � I ���

� � ¡ % R<+�Ì�Ä'ºGÉ�Ä'¾ÈÊ�¼�Ì)Æq¹K½VÆ�ÆI¹�Ì�À[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ç�½/¾[À�»qº9¼�Ê�ÄmÆ�ÄmºN»q»IÌ'ÁqÀ[ºNɼ�ÇÈÉ�¿�Æqº"½V¾È¾�Æq¹ÂÌ �<â|ËK½/¾È¾ÈÁÇÈÁ RNÃ�½VÉ�¼�¹�Ì'É�Ä'Ì)ËEÍ�ê�¹�Ì'ºG»qÌ'Å )�Ò*/

� ¡ Þ � æ�%N�

% � Þ � * RUæ&��� �

Þ � *tåGæ +-+,+TÞ � *.j �|æ�+

¸�ºNÊÂÉEÆIÇÈÉ�¿YÆI¹�Ì�Ì��9À[ºNÉ�ÌmÉEÆIÁyºVѪÌU½VÄ�¹�ºVÑ�ÆI¹�Ì�Ñ ½/ÄmÆqºN»IÁ�Þ � *-��æ�À�»Iº/ÏNÌ'Á�ºNÊ�»�ÄmºN»qºG¾È¾¨½V»qÍ9Ò��

� ��0�������� � ÁIÇÈÅ3À�¾ÈÌ�À�»qº9º/Ñ�ºVѪ¸�ºN»IºN¾È¾�½/»qÍR)�Ò ��ÄU½VÉ-ËKÌ�ºNËÂÆ�½/ÇÈÉ�Ìm¼-ËEÍ�Ê�ÁIÇÎÉ¿�Æq¹�ÌÁ�½VÅ3Ì�ÇÎɼ�Ê�Ä'ÆIÇÎÏGÌ�ÇμÂÌU½-½/Á�ÇÈÉ"ÆI¹�Ì�À�»qº9ºVÑ�Á�º/Ñ?ê�¹�Ì'ºG»qÌ'Å�Á )ÂÒ�åY½VÉ�¼ )�Ò*/�Ò

� ��� �8 :<#2),. 1,> � - #2) �,>�),#�� 6*1,. �=�#28 �?0?#���. 698;'&42698��?6*1,. #�0��ÇÈÏNÌmÉ ½VÉzÇÈÉ9ÆqÌ'¿GÌ'» � ÃÂÆq¹�Ì�ÄT¹�»qºGÅ"½/ÆIÇÈÄyÀ[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ǩ½V¾,� � Þ � æ�ÄU½VÉ�½/ÄmÆqÊK½V¾Î¾ÈÍ-Ë[ÌYÌmÏN½/¾èâÊK½VÆqÌ'¼�ÇÈÉ3¾ÈÇÈÉ�ÌU½V»?ÆqÇÈÅ3Ì�Ñ1ºN»�ÌU½/ÄT¹�ã.�9Ì'¼�ÀKº/Ð�Ì'»Z��ÒCÝ|É3Ð�¹[½/Æ�Ñ�ºN¾È¾Èº/Ð�ÁUÃGÐ�Ì�À�»qÌmÁqÌ'É9Æ�½VÉG-Þ���H�æ?½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹�Å�Æqº�ÌmÏN½/¾ÈÊK½/ÆIÌ � Þ � æmÃNÐ�¹�Ìm»qÌ$��¹K½VÁ H�ÏNÌ'»IÆqÇÈÄ'Ì'Á�½/ɼ � ÇÈÁ�½/É9Í�ÇÈÉ9âÆqÌm¿NÌ'»<Ò?êCº�Ì'ÏN½/¾ÈÊK½VÆqÌyÆI¹�ÇÈÁ?À[ºN¾ÈÍ9É�ºNÅ�Ǩ½V¾NÇÈÆ?ÁIÊA@3Ä'Ì'Á�ÆIºY¿GÌ'Æ�½)ÁqÇÈÅ3À�¾ÈÇÈÄ'Ç�½/¾GÌ'¾ÈÇÈÅ3ÇÈÉK½/ÆIÇȺNɺN»I¼�Ì'»IÇÎÉ¿YºVѪÆq¹ÂÌyÏNÌm»qÆqÇÈÄ'ÌmÁyº/Ñ�� ÃNÆIºN¿GÌ'Æq¹�Ìm»yÐ�ÇÈÆq¹-ÆI¹�Ì�ÏN½/¾ÈÊ�Ì'ÁZj� �Þ�RUæA(,+�+�+^(�j� EÞ�H�æ'Ã9ÆIºÍ9ÇÈÌ'¾È¼ � � Þ � æ�½/Áy½)À�»qº9¼�ÊÂÄ'Æ�½VÁ�ÇÎÉ�Þ /Gæ'Ò

ê�¹�ÌyÉÂÌ��9Æ?ºNË�ÁIÌ'»qÏN½VÆqÇȺNÉ�Ñ1ºN¾È¾Èº/Ð�ÁªË9Í-½/É-ÇÈÉ�¼�ÊÂÄ'ÆqÇÈÏNÌy½VÀ�À�¾ÈÇÈÄU½/ÆIÇȺNÉ�ºVÑ !�Ì'Å�Å"½�å�Ò�åÂÒ� É9Í�»qº9ºNÆ�ºVѪÆq¹ÂÌ�ÆI»qÌ'ÌE�ëÇÈÁ�ÁqÊ @3Ä'ÇÈÌ'É9ÆUÒ�� ?¶m°9´����D4631³ 1 ��: ����ï��TñNð � í � =;@�ï�� � � � ��ñGïqìTí � �%= � ��îGïqð��Uïzî"!zñ � ï������ D<@ g����zñ� � ïIî<B<DE�mòu@Cr�@CB�ñ � @�î*B�îNïqð��UïA@CB<D�î'! � í �Zs�î � �Uï�DGïqñ s¤í � G��ïIîUî"! G�ê�¹�Ì�ßZ�Cç-ºN»I¼�Ì'»IÇÎÉ¿KÃG»qº9ºNÆIÌ'¼"½VÆ�½/É9Í�ã.�9Ì'¼�É�º9¼�ÌNÃG¼�ÇÈÏ9ÇμÂÌ'Á?Æq¹ÂÌyÉ�º9¼�Ì'Á�ÇÈÉ9Æqº¾ÈÌ'ÏNÌm¾ÎÁ<Ã9Ð�ÇÈÆq¹3ÆI¹�Ì�¾Èº/Ð�Ì'ÁIÆ�¾ÈÌU½<ÏGÌ'Áy½/Æ�¾ÈÌ'ÏNÌm¾���Ò?¸�ºNÉÂÁqÇȼ�Ì'»�½�¾ÈÌU½<Ñ [�½/Æ�¾ÈÌ'ÏGÌ'¾���½/É�¼�¾ÎÌmÆN [Þm[[æ�Ë[Ì�ÇÈÆqÁCÉ�Ì'ÇÈ¿G¹EË[ºN»I¹�º9º9¼YÇÈÉ?� Ò ! Ì'ÆML�½/É�¼ ��ËKÌ�ÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Á?ÇÈÉ�N KÞ�[KæC½/ÆC¾ÈÌ'ÏGÌ'¾ÈÁ��½/É�¼���Ã�»qÌmÁqÀ[Ì'Ä'ÆqÇÈÏGÌ'¾ÈÍEÃ[Ð�ÇÈÆq¹ � 6 ��Ò�ê�¹�Ì'É�ÃÂÐ�Ì)Ä'¾�½/ÇÈÅ�Æq¹[½/Æ�N [ÞmLNæ!` N �Þ��yæ'Ò�êCºÁqÌmÌ-Æq¹�ÇÈÁUà ¾ÈÌ'Æ��-Ë[Ì-Æq¹�Ì-¾ÈÌU½VÁqÆ�Ä'ºGÅ3Å3ºGÉz½/É�Ä'ÌmÁqÆqºG»�º/ÑZLz½/É�¼���Ò�N [Þ���æyÄmºNÉ9Æ�½VÇÎÉÂÁ½/¾È¾ ¼�Ì'ÁqÄmÌ'É�¼K½VÉEÆIÁYºVÑ��9Ã�ÁqÇÈÉ�Ä'Ì�Æq¹ÂÌ'ÇÈ»�¼ÂÇÎÁIÆ�½VÉ�Ä'Ì�Æqº � ÇÈÁ ½VÆyÅ�ºNÁqÆ�ÆI¹�Ì�¾¨½V»q¿GÌ'»�º/Ñ?Æq¹�̼�ÇÈÁqÆT½/É�ÄmÌ'ÁyºVÑ �DÆqº�[�½VÉ�¼"L�Æqº�[ Ò��yÌ'É�ÄmÌNà [3ÇÈÁ�ÁIÆq»qºGÉ�¿N¾ÈÍ�ÁqÇÈÅ3À�¾ÈÇÈÄ'Ç�½/¾ÂÇÎÉ�� ÒB�Ë�ÁqÌ'»IÏNÌzÆI¹K½/Æ)Ñ�ºG»�½�Ä'ºNÉÂÉ�Ì'Ä'ÆIÌ'¼ëÁqÊÂË�Æq»IÌ'Ìf�Dº/Ñ ��Ã?ÆI¹�Ì3À[º/Ð�Ìm»-¿N»�½VÀ�¹�� ÇÈÁ

Æq¹ÂÌYÁT½/Å3Ì�½/Á�Æq¹�Ì�ÁqÊÂË�¿N»T½/À�¹�º/ÑF� ÇÈÉ�¼�Ê�Ä'Ìm¼�Ë9ÍzÆI¹�ÌYÏGÌ'»qÆIÇÈÄ'Ì'Á�ºVÑ ��Ò8�yÌmÉ�Ä'ÌNà Æq¹�ÌÁ�½VÅ3Ì3½V»q¿NÊÂÅ3Ì'É9ÆY½VÀ�À�¾ÈÇÈÌ'ÁYË9Í�ÇÈÉ�¼�ÊÂÄ'ÆqÇȺNÉ�ÆIº�ÆI¹�Ì�Æq»IÌ'Ì�� �3[�ÃCÍ9ÇÈÌ'¾È¼�ÇÈÉ�¿�½�ÁqÆI»qºNÉ¿Ì'¾ÈÇÈÅ3ÇÈÉK½VÆqÇȺNÉ�ºN»I¼�Ì'»qÇÈÉ�¿-ºVÑ&� Ò ��

ß�Ìm¾Îº/ÐDÐ�Ìy¿NÇÈÏGÌ�½/Éz½V¾Î¿GºN»IÇÎÆI¹�Å�à � /�����0��,��- � ��� *�� ����0G- � * ÃÂÑ�ºG»�Ä'ºNÅ�À�Ê�ÆqÇÈÉ�¿½�»qÌmÀ�»qÌ'ÁIÌ'É9Æ�½VÆqÇȺNÉëºVÑ�ÆI¹�Ì�Ä�¹Â»qºNÅ�½/ÆIÇÎÄ�ÀKºG¾ÈÍEɺNÅ3Ç�½V¾ Ò Q�½VÅ3Ì'¾ÈÍ9ÃCÐ�Ì�ãKÉ�¼�ÆI¹�Ì�ÏN½/¾èâÊ�Ì'Á�j� �Þ�R<æ�(�+,+�+�(^j� 9Þ H�æ'à Ð�¹�Ì'»IÌ�j� �Þ �1æ�% H N KÞ�L�� æ � ��L � (,+�+,+=(^L�� I � � HèÒE�yÌ'»IÌ�N �Þ5��æ

åNå

Page 23: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

¼�Ì'ɺNÆqÌmÁ-Æq¹�Ì�É�Ì'ÇÈ¿G¹EË[ºN»I¹�º9º9¼�º/ÑiL���ÇÈÉ-� Ò.�ºN»�Ì<½/ÄT¹�É�º9¼�Ì�L�Ð�Ì3Å�½/ÇÈÉ9Æ�½/ÇÈÉzÇÈÆIÁÉ9Ê�Å-Ë[Ì'»�º/Ñ�¼ÂÌ'ÁqÄ'ÌmÉ�¼K½/É9ÆIÁ�º/Ñ�¼ÂÇÎÁIÆ�½VÉ�Ä'Ì � Ã[Ð�¹�Ì'»IÌ � % R*(,+�+�+^(���Ò�ê�¹ÂÌ'É�à j Þ H�æ�ÇÈÁ�½ÁqÇÈÅ�À�¾ÈÌ�ÁqÊ�Å(º/Ñ?ÁqÊÂÄ�¹�ÏN½V¾ÎÊÂÌ'Á�º/Ñ?½/É�Ä'ÌmÁqÆqºG»qÁ�º/Ñ?Æq¹�Ì�¾Èº/Ð�Ì'ÁqÆ�¾ÈÌU½;Ñ�Ò!�Ì'Æ ��� ÞmLGæ?Ë[ÌyÆI¹�ÌyÁIÌ'Æ�ºVÑ�ÄT¹�ÇȾμ»qÌ'É-ºVÑ L�Ò"!�ÌmÆ ) � Þ�LNæ�ËKÌ$L�Ð�¹�Ì'É���Ì�#EÊ[½/¾ÈÁ ��½VÉ�¼

Æq¹ÂÌ?ÀK½/»IÌ'É9Æ�ºVÑ ) � I �;Þ�LNæ�Ð�¹ÂÌ'É �9ÇÈÁ�¿N»IÌU½/ÆIÌ'»CÆq¹K½VÉ�ºN»�Ì�#9ÊK½V¾NÆqº RGÒ�!�ÌmÆ j4n,� � � ÞmLGæ�Ë[Ì?Æq¹�ÌÉ9Ê�Å-Ë[Ì'»�º/Ñ9¼�Ì'ÁqÄmÌ'É�¼K½VÉEÆIÁ?º/ÑVL�ºVѤ¼ÂÇÎÁIÆ�½VÉ�Ä'Ì�½VÆ�Å3ºNÁIÆ��IÒ ê�¹EÊÂÁUÃ\j4n,� � B ÞmLNæ;% RGÃUÄmºNÊ�É9Æ|âÇÈÉ�¿�Æq¹�Ì-ɺE¼ÂÌ3ÇÈÆqÁIÌ'¾èÑ�Ò��ºN»�Ä'ºNÉ9ÏGÌ'É�ÇÈÌ'É�Ä'ÌGÃC¼�ÌTãKÉ�ÌYj4n,� � I � ÞmLGæO% ��Ò-! Ì'ÆSj4n ) � � Þ�LNæ¼�Ì'ɺNÆqÌ�Æq¹ÂÌ-¼�ÇÈÁqÆ�½VÉ�Ä'Ì)Ñ�»qºGÅ L�Æqº3ÆI¹�Ì�»qº9ºNÆ?+9Ã[Æq¹K½VÆyÇÈÁUà Æq¹�Ì�É9Ê�Å-ËKÌm»yº/Ñ�Ì'¼�¿NÌmÁ�ºGÉÆq¹ÂÌ�À[½/Æq¹ Ò

)!*,+ ����-.��/�0 � /�����0�� ��- � ��� * � ����0 - � *0 I 4 5 � 3 5�W �A8 � :�';=<?>A@CBED � 4 SES �a��#Q#@CB&>?@ BED j Þ/RUæA(I+�+�+^(9j Þ�H�æ9�

UL4 �XH B 4 UL4 H W ��4 5,5 BF� U B Y 5 � S$< 5,7 SE+6#5,467 S 4 B&ICS�< 5 7 SEY 5 K&� H=< U������ 5,4 7 S 4 L � ($+,+�+�(�L�p�#K 5,4 S U �LIeL 8 E 7?5

jln�� � B Þ�LNæ � R�#jln�� � ��Þ�LNæ � R :� � � �� � � � j4n,� � � I � Þm[[æE97��% R*(,+�+,+=(^� #

K 5,4 �O%2H 7A5 F <CB 5 R 7?5jKÞ �Væ � �$#K 5,4 �R% R�B 5 Å�ÇÎÉ[Þm� (�j4n ) � � Þ�LNæIæ 7?5

j[Þ �Væ �hjKÞ �Væ : � j4n,� � I � Þ ) � ÞmL � æIæ * j4n�� � I � I � Þ ) � I �UÞ�L � æqæ��A#K 5,4 �R% R�B 5 Å�ÇÎÉ[Þm� (�j4n ) � � Þ�LNæIæ 7?57 S+� 4 S U YJS�j4n,� � I � Þ ) � ÞmL � æIæ � �!5 < S(#

K 5,4 ��� R�B 5 H 7?55 @CB&>A@CB�j[Þ �1æ+#

ê�¹�Ì?ÆIÇÎÅ�Ì�Ä'ºGÅ3À�¾ÈÌ��9ÇÈÆ|Í�º/Ñ )!*,+ ����-.��/�0 � /�� � 0 �,��- � ��� * � ����0 - � * ÇÈÁ�Ä'¾ÈÌU½/»I¾ÎÍG-Þ�H ��æ'Ò

� ��»IºNÅDÆq¹�Ì�ß �CçGâ|ºN»I¼�Ì'»�ºVÑ )!*,+ � ��-.��/�0 � /�����0 �,��- � ��� *�� ����0G- � * Ð�Ì?Ä<½/É�ÃÇÈÉ-Ñ ½VÄ'ÆUü�Ì'¼�ÊÂÄ'Ì�Å3ºG»qÌ�½/Á�Áq¹Âº/Ð�É"ÇÈÉ�Æq¹�Ì�ÉÂÌ��9Æ�À�»qºGÀKºGÁqÇÈÆqÇȺNÉ Ò��´/³��?³�¶ 354631³ 1 �;:�� )$* + ����-.��/�0 � /�����0 �,��- � � � *�� ��� 0 - � * ìTîNïmï��Tì � ò���ìTî<r��s X � ��� � í��C��@��&����j � î'! � í �8� � ïqî<B*D/ò �8��@Cr!sKòt@�ì,@àñ/òRB���@UD<íVQTîNïqíÂîUî<ðF��î'!%� G��ïIîUî"! G�ê�¹�Ì�É9Ê�Å-Ë[Ì'»Cº/ÑKɺE¼ÂÌ'Á�Ð�ÇÈÆI¹�ÇÈÉ�¼�ÇÈÁqÆT½/É�Ä'Ì$��Ñ1»qºNÅ1L�Æq¹[½/ÆC¹K½<ÏNÌy½�Ä'ºGÅ3Å�ºNɽ/ÉÂÄ'Ì'ÁqÆIºN»�½/Æ ) � ÞmLGæ�Ì�#9ÊK½/¾ÈÁ-ÆI¹�ÌzÉ9Ê�Å-Ë[Ì'»YºVÑ�¼�ÌmÁqÄ'Ì'ɼK½/É9ÆqÁ�ºVÑ�) � ÞmLGæ'Òvê�¹EÊÂÁUÃ�Æq¹�ÌÉ9Ê�Å-Ë[Ì'»�º/ÑyɺE¼ÂÌ'ÁYÐ�ÇÈÆI¹�ÇÈÉ�¼�ÇÈÁqÆ�½VÉ�Ä'ÌY��Ñ�»IºNÅ LzÆI¹K½/Æ)¹K½<ÏNÌ.) � Þ�LNæ-½/Á-½�Ä'ºGÅ3Å�ºNɽ/ÉÂÄ'Ì'ÁqÆIºN»�Ë�Ê�ÆyɺNÆ ) � I �UÞmLGæyÌ�#EÊ[½/¾ÈÁ�j4n,� � I �qÞ ) � ÞmLNæIæ(* j4n�� � I � I � Þ ) � I �;Þ�LNæqæmÒ�ê�¹�ÇÈÁÇÈÁ?Ä'ºGÊ�É9ÆqÌ'¼z½/Æ�ÌU½/ÄT¹3ÇÈÉ�ÉÂÌ'»�ÇÈÆIÌ'»�½VÆqÇȺNÉ-ÇÈÉ-Æq¹ÂÌ�½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹�Å�ÒÂê�¹�Ìy»IÌ'ÁqÊ�¾ÈÆIÇÎÉ¿YÁIÊ�Å Æq¹�Ì'É

å�/

Page 24: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

Ä'ºG»q»qÌmÄ'Æq¾ÈÍPÄmºNÊ�É9ÆqÁ-ºGÉ�Ä'Ì�½/¾È¾�ɺE¼ÂÌ'Á-Ð�ÇÈÆq¹�ÇÈÉ�¼�ÇÈÁqÆT½/É�ÄmÌ �tÑ�»qºGÅ L�Ò�Ý|É�Æq¹�Ì�ÁqÌmÄ'ºNÉ�¼ÇÈÉ�É�Ì'»�¾Îº9ºGÀ�Ã<Ð�Ì�¼�ÌmÄ'»qÌ'Å�Ì'É9Æ�½/¾È¾9Ä'ºGÊ�É9ÆqÌ'»IÁ�ÆI¹K½/Æ?ÇÈÉ9ÏNºG¾ÈÏNÌ?ÆI¹�Ì�ÁqÇÈÅ3À¾ÎÇÈÄ'Ç�½V¾/É�º9¼�Ì�ËKÌmÇÎÉ¿»qÌmÅ3º/ÏNÌm¼�Ò ��

� ��0����������ºN» ã.�9Ì'¼ HCÃ<Æq¹ÂÌ�É9Ê�Å-Ë[Ì'»�º/Ñ�ÏGÌ'»qÆIÇÎÄmÌ'Á?º/Ñ7��Ã<Ð�Ì?É�Ì'Ì'¼-½/Æ ¾ÈÌU½/ÁIÆ G-Þ�H�æÄU½V¾ÎÄmÊ�¾�½/ÆqÇȺGÉ�Á�Æqº�Ì'ÏN½/¾ÈÊK½VÆqÌ;� Þ � æ�Ñ�ºG»y½/É9Í�¿NÇÈÏNÌ'É � Ò ��Ì'É�Ä'ÌGÃ�Æq¹�Ì�Ë[Ì'ÁqÆ�½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹�ÅÀ[ºNÁqÁIÇÈË�¾ÈÌ�Å-ÊÂÁqÆ�ËKÌ8G-Þ � Þ���æ�H�æmÃKÐ�¹ÂÌ'»qÌ � ÇÈÁ�ÁIºNÅ�Ì�Ñ�Ê�ÉÂÄ'ÆqÇȺNÉ Ò� ����0?# % 8 ' ��:&� '*021,+��Ì'ÇÈ»�ÇÎÁ�¿G»�½/ÆIÌTÑ�Ê�¾CÆIº3Æq¹ÂÌ-<yÌmÀK½/»IÆqÅ3ÌmÉEÆ�º/Ñ ��½/Æq¹ÂÌ'Å"½VÆqÇÈÄ'Áy½/Æ � »qÇÈé'ºNÉ[½3ç9ÆT½/ÆqÌR�yÉÂÇxâÏNÌm»qÁqÇÈÆ|Í9Ã/ÇÈÉYêCÌ'Å�ÀKÌ � »IÇÈé'ºNÉK½ÂÃ<Ñ�ºG»?ÇÈÆqÁC¿NÌ'ÉÂÌ'»qºGÁqÇÈÆ|Í�½VÉ�¼�¹�ºNÁIÀ�ÇÈÆ�½/¾ÈÇÈÆ|Í9Ò��y½<Í� Á�»IÌ'ÁqÌU½V»qÄT¹Ð�½/Á�ÁqÊ�À�À[ºN»IÆqÌ'¼�Ë9Í-½S�ÂÊ�¾ÈË�»qÇÈ¿G¹EÆ���Ì'ÁIÌU½/»IÄ�¹"�ÂÌ'¾È¾Èº/Ð�Áq¹�ÇÈÀ�Æqº�Æq¹�Ì �yÉ�ÇÈÏNÌm»qÁqÇÈÆ|Í-ºVÑ�Ý|Ä'ÌTâ¾�½/É�¼ > ¹ÂÌ�ÆI¹K½/É�á9ÁCÆq¹ÂÌM��ʾÎË»qÇÈ¿N¹9Æ�¸�ºNÅ�Å3ÇÈÁqÁIÇȺNÉ�Á[º/Ñ�Ý|Ä'Ì'¾�½VÉ�¼�½VÉ�¼�ÆI¹�Ì ��É�ÇÈÆqÌ'¼�ç9Æ�½VÆqÌ'ÁÑ�ºG»�ÆI¹�Ì'ÇÈ»�ÁqÊ�ÀÂÀKºG»qÆUÒR��ÇÎÁ�»IÌ'ÁqÌU½V»qÄT¹PÐ�½/Á�½V¾ÎÁIº3ÁIÊ�À�À[ºN»qÆIÌ'¼�Ë9Í�½E�E½VÀK½/É�ÌmÁqÌ3ç9º9Ä'ÇÈÌ'Æ|ÍÑ�ºG»-Æq¹�Ì?��»qºNÅ�ºNÆIÇκGÉPºVÑ ç9Ä'ÇÈÌ'ÉÂÄ'Ì�Þ �Eç���ç�æY��Ì'¾È¾Èº/Ð�Áq¹ÂÇÎÀ�Æqº�ÆI¹�Ì �yÊÂÅ"½/É ��Ì'É�ºGÅ3̸�Ì'É9ÆqÌm»Y½/Æ�Æq¹ÂÌ ��É�ÇÈÏNÌ'»IÁqÇÈÆ|Ízº/Ñ�ꪺGá9ÍNº > ¹�Ì�Æq¹[½/É�á9Á6�Eç���ç�Ñ�ºG»�Æq¹�Ì'ÇÈ»�ÁqÊÂÀ�ÀKºG»qÆ<Ò8�yÌÆq¹[½/É�á9Á�Ë[ºNÆI¹�¼�Ì'ÀK½V»qÆqÅ�Ì'É9ÆqÁ�Ñ1ºN»�ÆI¹�Ì'ÇÈ»�¹�ºGÁqÀ�ÇÈÆ�½V¾ÈÇÎÆ|Í�¼�Ê�»qÇÈÉ�¿�¹�ÇÈÁ�ÁIÆ�½<Í9Á�ÇÈÉ�Ý|Ä'Ì'¾�½VÉ�¼½/ɼ?�9½/ÀK½VÉ�ÒO�z½/¿GÉEÊÂÁ�ÆI¹K½/ÉÂáEÁ)Æq¹�Ì ��»�½V¼�ÊK½VÆqÌ3ç9ÄT¹�º9ºN¾CºVÑ©Ý|É9Ñ1ºN»qÅ�½/ÆIÇÎÄmÁyº/Ñ%.�ÍGºNÆIº�yÉÂÇÎÏGÌ'»qÁIÇÈÆ|ÍEÃ9ÇÈÉ-�9½/ÀK½VÉ�Ã9Ñ1ºN»�Æq¹�Ì'ÇÈ»�¹�ºGÁqÀ�ÇÈÆT½/¾ÈÇÈÆ|ÍEÒ

� � �*��×���Õ3ÛZ�9�

� R;� ��Ò[ß©½V¾�½/á9»qÇÈÁq¹ÂÉK½/É�½VÉ�¼M�CÒ �C½VÊ�¾È»�½�:'½ÂÒS� º/Ð�Ì'»qÁ�ºVÑ ¸�¹�ºG»q¼K½V¾ ��»�½VÀ�¹�ÁUÒ��$X����� ïqñ/òt@�ñ<B��9î<X9ï�BÂñ/òªî"!���ñ � í���rYñ � @àì��'ÃKç¤Ì'»qÇÈÌ'Á � Ã/ �R]�å R RTâqå R&0�Ã�Þ/R�(�,�/NæmÒ

��å1� ¸�Ò�ß�Ì'»q¿GÌNÒ�ß©½V¾¨½VÉ�Ä'Ì'¼%��½/Æq»IÇÈÄ'Ì'ÁUÒ��ñ � í �,r�ñ � @�ìTñ/ò ��ïqî�DNïIñ<r�rS@ B<DNà 8R] R�(� /MRNÃÞ�R&(�0GåNæ'Ò

�*/1� �KÒ<¸�¹�Ò'ß�ºN¾�½/ɼ ½VÉ�¼�¸�Ò �-Ò&!�Ì'á9áGÌ'»qáGÌ'»qáGÌ'»UÒA��Ì'À»qÌ'ÁIÌ'É9Æ�½/ÆIÇȺNÉ�ºVÑ)� ÇÈÉ�ÇÈÆqÌ ��»T½/À�¹ÂÁË9Í3½-ç9Ì'Æ�ºVÑ�Ý|ÉEÆIÌ'»qÏN½V¾ÈÁ�ºNÉ3ÆI¹�Ì8��ÌU½V¾ ! ÇÈÉ�ÌNÒ#=�XlBÂðNñ<rR��B � ñVò ��î'!���ñ � í���r�ñ � @�ì��'Ã�;< ] � )� ���KÃ[Þ�R�(��Nå� R�(���/Gæ'Ò

� ��� <YÒ �-ÒN¸�ºN»IÉ�Ì'ÇȾ�½/É�¼-�CÒ�� Ò .�ÌU½V»qÉ�Ì'Í9Ò�êC»qÌmÌS� º/Ð�Ìm»qÁUÒ��9î<X9ï�BÂñ/ò�î'!���ò DGîNï�@ � í)r8�'Ã8��R] R�R R�9R�/ RGÃ�Þ�R&(�(�,Næ'Ò

�*)1����Ò�<�½/¹Â¾Î¹[½/Ê�Á�½/É�¼�CÒ�<�Ê�ÄT¹�Ì'ÆUÒ"B�É�ç9Æq»IºNÉ�¿G¾ÎÍ3¸�¹ÂºN»q¼[½/¾ ��»T½/À�¹�Á<Ò���ï�� �?î<r��Q�@CB�ñ � îNïA@�ñNà 8,����]�å�/� /���Ã[Þ�R&(�,�0Gæ'Ò

�*�1� �CÒA<�½VÅ"½VÁqÄT¹�áNÌGÒ�<�ÇÎÁIÆ�½VÉ�Ä'Ì'Á�ÇÎÉ�¸�º9Ä'ºNÅ�ÀK½/»T½/Ë�ÇȾÈÇÈÆ|Í � »�½/À¹�Áy½/É�¼�ê�¹�Ì'ÇÈ» ��º/Ð�âÌ'»IÁUÒ��3@ �'ìUï$� � ���;s<s[òu@ �Tð���ñ � í���r�ñ � @�ì��'à ��]*��0��0NåÂÃ�Þ�R&(�(NåGæ'Ò

�*01� �CÒ�<�Ê�ÄT¹�Ì'Æ<Ò ��»qºNÀ»qÇ��Ì'Æ��Ì�¼�Ì6�yÌm¾Î¾ÈÍ�Ì'ÆS�C»IºNË�¾��Ì'Å�Ì'Á�¼�Ì � Ì'À�»��Ì'ÁqÌ'É9ÆT½/ÆqÇȺGÉ�Ò �?î/ò �òÎî ��X � �#G ��G � G � G�Ã�Þ�B�»qÁ�½<Í R�(�0��NæmÃ�¸�QS��ç�Ã��C½/»qÇÈÁ<Ã78 ��!R] R R�0�9R�R&,�Ã�Þ/R�(�0�,NæmÒ

åF�

Page 25: math.gmu.edumath.gmu.edu/~geir/Chrom6.pdf · » ½VÉ ¼ ºGÅ3ÇÈé'Ì'¼zÀ[ºN¾ÈÍ9É ºGÅ3Ç ½/¾ ÆIÇÎÅ ÌY½/¾È¿GºN»qÇÈÆI¹ Å3Á

�*,1� ��ÒK�K½V»qË[Ì'»UÒ�¸�¹K½V»�½/ÄmÆqÌ'»IÇÎé<½/ÆqÇȺGÉPº/Ñ�ç¤Æq»qºGÉ�¿N¾ÈÍ�¸�¹�ºN»I¼K½/¾ ��»T½/À�¹�Á<Ò �O@ �'ì<ï�� � ���ñ � í���rYñ � @àì��'Ã,� �] R&0�/� R�,�(�Ã�Þ/R�(�,�/NæmÒ

�*(1� ��ÒM�[½/»qË[Ì'»<Ò <�ºNÅ3ÇÈÉK½VÆqÇȺNÉ Ã�Ý|É�¼ÂÌ'ÀKÌmÉ�¼�Ì'É9Æ?<�ºNÅ�ÇÈÉK½/ÆIÇκ/É Ã?½/É�¼+<�ÊK½/¾ÈÇÈÆ|Í�ÇÈÉç9ÆI»qºNÉ¿N¾ÈÍ�¸�¹�ºG»q¼K½V¾ � »�½/À¹�ÁUÒ �O@ �'ì<ï�� � ��� s<sKòt@ �Tð ��ñ � í���rYñ � @àì��'à � ] R�R�)� R&/���ÃÞ�R&(�,��Eæ'Ò

� R��1� ��ÒV��Ì'ÇÈ¿GÌ�½/ɼ-�KÒ�.�ÇȾÈÇ�½/É�Ò��[Ìm»qº.�É�º/Ð�¾ÈÌ'¼�¿GÌ ½VÉ�¼3ÆI¹�Ì�¸�¹�»qºGÅ"½VÆqÇÈÄ QyÊ�Å-Ë[Ì'»<Ò�9î<X9ï�B�ñVòªî"! �?î<r!s X � �Uï�ñ*B�ð � �&� � ��r � ì�@ ��B�ì����'à � � ] R�,�0� R&(�(�ÃÂÞ�R�(�(�,Gæ'Ò

� R�R;� ��Ò ��½<Ï9»IÇξ|Ò�ê�¹ÂÌYÝ|É9ÆqÌm»qÁqÌmÄ'ÆqÇȺNÉ � »�½/À¹�Á�º/Ñ©ç9ÊÂË�Æq»IÌ'Ì'Á�ÇÈÉzêC»qÌmÌ'ÁY½/»IÌ � �¤½VÄ'Æq¾ÈÍÆq¹ÂÌ"¸�¹�ºG»q¼K½V¾ ��»T½/À�¹ÂÁUÒ��9î<X9ï�B�ñVò©î"! �?î*rSQ�@CB�ñ � îGï�@�ñ/ò ��í��TîGï � �yÃ(< ��] � 0;â )���ÃÞ�R&(�0��Eæ'Ò

� RUå1� ��Ò ��Ò ��½V¾Î¾È¼��ºG»qÁIÁqºNÉ Ã.�[Ò .�»T½/ÆIºEÄT¹9Ï �� ¾ Ã[½/É�¼ �KÒ � Ò�êCÌ'¾È¾ÈÌNÒyÝ|ɼ�Ì'À[Ì'É�¼�Ì'É9ÆYç¤Ì'ÆqÁÐ�ÇÈÆq¹M<�ºNÅ3ÇÈÉK½VÆqÇȺ/É"¸�ºGÉ�ÁqÆI»�½VÇÎÉ9ÆIÁUÒ��O@ � ì<ï�� � ���;s<s[òu@ �Tð ��ñ � í �,r�ñ � @�ì�� à ���R]*/�(�)F�[Ã�Þ�å������Gæ'Ò

� R�/1� Q�Ò#.�½/¾ÈÍ9½/ÉK½Âà ��Ò��C»�½VÁ�½V¼�Ãy½/ɼ �CÒ�ç�Ò#.�Ê�Å�½/»<Ò2B�É ��Ì'É�Ì'»T½/ÆIÇÎÉ¿�ç9ÆI»qºNÉ¿�C¾ÈÇÈÅ3ÇÈÉK½VÆqÇȺNÉ8B�»q¼�Ìm»qÇÈÉ�¿NÁ�º/Ѫç¤Æq»qºGÉ�¿N¾ÈÍ-¸�¹�ºN»I¼K½/¾ ��»�½VÀ�¹�ÁUÒ ��ïIîUì����Tð<@CB*DF��î'! � í����� � í =�î*X4B�ðNñ � @�î*BA��î"! � î'! � �?ñGï�� � �TìTíVB�îVòÎî�D ��ñ<B�ð���í ��îGï�� � @àì�ñVò �?î*rZs X � �<ï� ì�@ ��B�ì�� �?î*B !��<ï���B�ì��6G�ç9À»qÇÈÉ�¿NÌm»|â �?Ì'»q¾�½V¿KÃ/ß�Ì'»q¾ÈÇÈÉ�à � Ì'»qÅ�½/É9ÍEÃ<ÀK½V¿NÌ'Á?åGå R��å�/Gå�ÃÞ�R&(�(�,Næ'Ò

� R���� �)Ò.!�½VÁqáN½V» ½VÉ�¼?<�Ò�ç9¹�ÇÈÌ'»<ÒSB�É�¸�¹�ºN»I¼K½/¾ ��»T½/À�¹�Á<Ò �?î<B<DGï�������X�� �OX4r �<ïqñ*B��� @CX4rYÃ78��R]*)�0�(��)�,�,�Ã�Þ/R�(�,��NæmÒ

� R�)1� ��ÒK!�½VÁqáN½V»y½/É�¼?<�Ò�ç9¹�ÇÈÌ'»<ÒSB�É?� º/Ð�Ì'»qÁ�½VÉ�¼�¸�Ì'É9ÆqÌm»qÁ�º/Ñ©¸�¹ÂºN»q¼[½/¾ � »�½/À¹�ÁUÒ�O@ � ì<ï�� � � � s<sKòt@ �Tð���ñ � í���rYñ � @�ì��'à ��] R�/�(� R�� 0�ÃÂÞ�R�(�,�/Gæ'Ò

� R��1����Ò â�!?Ò"! ÇÎÉë½VÉ�¼ëç�Ò?ç9á9ÇÈÌ'ÉK½�Ò � ¾È¿NºG»qÇÈÆq¹ÂÅ3Á�Ñ�ºG»3çA#9ÊK½/»IÌ ��º9ºNÆIÁ-º/Ñ � »�½/À¹�ÁUÒ� " ��� �9î<X9ï�BÂñ/ò�î'! �O@ �'ì<ï�� � ����ñ � í���rYñ � @�ì��'à ��Þ/RUæA] (�(�9R�R�,ÂÃKÞ/R�(�(�)NæmÒ

� R�01�"ç�Ò !�Ò�� Ì'É�¿-½/É�¼-��ÒEç�Ò9¸�¹K½VÉ�¿KÒ � ç9ÇÈÅ�À�¾ÈÌ !�ÇÈÉ�ÌU½V»�ê�ÇÈÅ�Ì � ¾È¿NºG»qÇÈÆq¹ÂÅ�Ñ�ºG»?Æq¹�Ì<�ºNÅ�½/ÆqÇÈÄ �C½/»qÆIÇÈÆqÇȺNÉ-�C»IºNË�¾ÈÌ'Å ºGÉ3ç9Æq»IºNÉ�¿G¾ÎÍ-¸�¹�ºG»q¼K½V¾ ��»T½/À�¹ÂÁUÒ "�B !'îNïArYñ � @�î*B��ïIîUì����D��@CB*D�� � ��� �Uï��'à � R]�å�(�0��/�����Ã9Þ�R&(�(NåGæ'Ò

� R�,1� � Ò��y½<Í9ÄT¹K½VÊ�¼�¹9Ê�»qÇ|Ò-B�É%� º/Ð�Ì'»qÁ�ºVÑ©Ý|É9ÆIÌ'»qÏN½V¾©½VÉ�¼?��É�ÇÈÆ�Ý|É9ÆqÌ'»IÏN½/¾ � »�½/À¹�ÁUÒ�?î<B*DNï$������X�� �3X4r �<ïqñ*B � @ Xlr�Ã����R]�å�/�)��åF�EåÂÃ�Þ�R&(�,�0Næ'Ò

� R�(1� � Ò8�y½<Í9ÄT¹K½/Ê�¼Â¹EÊ»qÇ|Ò B�É � º/Ð�Ì'»qÁ�ºVÑ"ç9Æq»IºNÉ�¿G¾ÈÍ�¸�¹�ºN»I¼K½/¾-½/É�¼ ¸�ÇÈ»qÄ'Ê�¾�½V»��»T½/À�¹�Á<Ò���ï�� �?î*rSQ�@CB�ñ � îGï�@�ñGà � ] R��A0�9R����ÂÃ9Þ�R�(�(NåGæ'Ò

��å��1� <YÒGß�Ò��Ì'ÁIÆUÒ�Ý|É9ÆI»qº9¼�Ê�Ä'ÆIÇȺNÉ3ÆIº � »�½/À¹-ê�¹�Ì'ºN»IÍEÒ ��ï���B � @�ì�� �)ñ/ò�ò/"�B�ì�G�ÃA�yÀ�À[Ì'»ç�½V¼�¼�¾ÈÌ8��ÇÈÏNÌ'»<ÃAQyÌ'Ð �NÌm»qÁqÍ9ÃCÞ�R&(�(��Gæ'Ò

å�)