math iv, pers diff 01

31
[email protected] Independent Oil and Gas Professional Data & Knowledge Management Masterclass Facilitator (Persamaan Diferensial, PD)

Upload: rizkyanandaputra

Post on 20-Oct-2015

32 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

  • [email protected] Oil and Gas ProfessionalData & Knowledge Management Masterclass Facilitator

    (Persamaan Diferensial, PD)

  • Obyektif Belajar Persamaan Diferensial

    Mengerti dan bisa menggunakan persamaan diferensial

    Mengerti persamaan diferensial tingkat satu dan yang lebih tinggi serta mencari solusinya

    Mengerti implementasi persamaan diferensial dalam bidang fisika dan tentunya geofisika

  • 3Kenapa Math dan Strategi Belajar Math

    Sesuai dengan VMV dan Strategi yang ada, agar bertindak dengan pemikiran yang sistematis, logis, rasional dan kritis serta kreatif ....

    Hampir semua orang sanggup mempelajari matematik (tidak perlu memiliki otak yang jenius...)

    Ingat matematik adalah akumulasi Menyimak penjelasan dosen, tanya kalau belum

    mengerti Selalu mengerjakan PR, tentunya bukan hanya

    menyalin dari teman Mengerjakan soal-soal yang ada, kalau perlu cari sendiri

    (tidak bisa paham tanpa pratek mengerjakan soal2)

    Hafalkan kalau memang perlu saja (matematika tidak sekedar menghafal rumus namun memahaminya)

  • 4Jadi yang Perlu Dalam Belajar Matematik

    1. Bertanya di Kelas2. Mendatangi guru di luar pelajaran3. Tanya Teman4. Mengikuti Pelajaran Tambahan yang ada di Sekolah/

    asistensi5. Membentuk belajar kelompok6. Cari Guru Privat7. Mengikuti berbagai Media Belajar OnLine

    Semuanya kembali ke masing-masing siswa...Punya Vision nggak.......?Boleh nggak melakukan kalau visinya ....DO!

  • Pokok Bahasan

    5

    PersamaanDifferensial

    (PD)

    PendahuluanPersamaan

    Differensial

    Penyelesaianpersamaan

    Order satu

    Penyelesaianpersamaan

    Order dua/ lebih tinggi

    Aplikasi Persamaan Diferensial di bidang

    Fisika/ Geofisika

    Contoh-2

    Soal

  • Day2Day Math IV1. Pendahuluan dan persamaan diferensial

    2. Persamaan diferensial orde satu

    3. Persamaan diferensial diferensial orde satu yang dapatdipisahkan

    4. Persamaan diferensial homogen

    5. Persamaan diferensial linear dan Non Linier (Pers. Riccati)

    6. Persamaan diferensial eksak dan Non-Eksak

    7. Persamaan diferensial Bernoulli dan aplikasi persamaandiferensial dalam geometri dan fisika

    8. UTS (Ujian Tengah Semester)

    9. Persamaan diferensial orde lebih tinggi

    10. 11. Persamaan diferensial linear orde-n dengan

    11. koefisien konstan

    12. Persamaan diferensial Clairut

    13. Persamaan diferensial Couchy-Euler

    14. Persamaan Diferensial Legendre

    15. UAS (Ujian Akhir Semester) 6

  • References

  • Pendahuluan PD

    8

    PersamaanDifferensial

    (PD)

    PendahuluanPersamaan

    Differensial

    Penyelesaianpersamaan

    Order satu

    Penyelesaianpersamaan

    Order dua/ lebih tinggi

    Contoh Persamaan Diferensial di bidang

    Fisika/ Geofisika

    Contoh

    Soal

  • Persamaan Diferensial

    9

    Persamaan Diferensial : persamaan yang terdiri dari:

    Variabel

    Fungsi yang tak diketahui

    Turunannya dengan simbol:

  • Persamaan Differensial (PD)

    Bentuk Umum Persamaan Differensial

    dapat ditulis sebagai berikut :

    10

    xfyadx

    dya

    dx

    yda

    dx

    yda

    dx

    yda

    n

    n

    nn

    n

    n

    012

    2

    21

    1

    1

    dimana bukan 0.

  • Orde Persamaan Diferensial

    11

    Orde Persamaan Diferensial (PD) mengikuti orde teringgi

    dari turunan fungsi pada persamaan tersebut.

    PD orde 1 dan 2 yang dapat dituliskan sbb:

    xfyadx

    dya

    dx

    yd

    axfyadx

    dya

    012

    2

    201 PD Orde 1

    PD Orde 2

    Turunan untuk orde yang lebih tinggi bisa dituliskan sebagai:

  • 12

    Homogeneous first-order linear partial differential equation

    Homogeneous second-order linear constant coefficient partial differential equation of elliptic type, the Laplace equation

    Third-order nonlinear partial differential equation, the Kortewegde Vries equation

    Contoh PD dengan orde tertentu dimana fungsi u tergantung pada variabel x dan t atau x dan y.

    Orde Persamaan Diferensial

  • Sekali lagi PD

    Persamaan Differensial adalah Persamaan

    yang mengandung turunan atau differensial

    Derajat dari Persamaan Differensial adalahPangkat dari order Persamaan Differensial

    Order dari PD adalah order tertinggi dariturunan dalam persamaan.

    Contoh Orde 1 dan Orde 2:

    13

    2

    25 3 7 3 0

    dy d y dyy t y

    dt dx dx

  • Solusi Persamaan Diferensial

    14

    Apakah PD punya solusi?

    Keunikan Solusi: Apakah persamaan diferensial bisa mempunyai lebih dari satu solusi? Jika ya, bagaimana kita bisa mendapatkan yang sesuai dengan solusi khususnya.

    Solusi khusus (Particular Solution) dapat diketahui dari Initial Value Problem (IVP) atau harga awal dari fungsi dan turunannya yang diketahui.

    Jika harga awal tidak diketahui, maka solusi yang didapat adalah Solusi Umum saja (General Solution).

  • Differential Equation Basics

    Finally, we need to solve for any constant(s) in the total solution by defining the system at some point(s) in time or space.

    These points are called initial conditions or boundary conditions, depending on when or where they are in the solution space.

    15

  • Penyelesaian PersamaanDifferensial

    Penyelesaian Umum ( total solution ) (yt) terdiri dari dua bagian yaitu:

    Penyelesaian umum dari persamaan diferensialC.F (complementary Function, yg )

    Penyelesaian khusus PS (particular solution, yp), yaitu penyelesaian

    P.U(total solution ) adalah jumlah dari C.F dan PS

    16

    pgt yyy

  • Contoh:

    Dari persamaan differensial order satu

    17

    Penyelesaian Umum dari soal adalah:

    2tydt

    dy

    Penyelesaian Umum ( C.F ): tg eKty

    Penyelesaian khusus: 222 tttyp

    222 tteKty tt

  • Persamaan Differensial

    Banyaknya konstanta dalam penyelesaianumum (yg tentunya sama denganbanyaknya IVP) sama dengan order daripersamaan.

    18

    9;20037

    4035

    0

    2

    2

    xdx

    dyyy

    dx

    dy

    dx

    yd

    ytydt

    dy

  • Contoh:

    Diberikan persamaan :

    19

    Syarat awal ( initial value problem ):

    Penyelesaian Umum adalah:

    Total penyelesaian dinamakanpenyelesaian khusus (karenatidak memuat lagi konstanta C)

    2tydt

    dy

    222 tteCty tt

    50 y

    223 2 ttety tt

  • Penggunaan PD

    Beberapa contoh aplikasi dari PD antara lain :

    Seismologi

    Climatology and Environmental analysis

    Gerakan dalam mekanika

    Rambatan panas

    Getaran

    Aerodinamika & dinamika fluida

    Electronik & circuit design

    Dinamika Populasi & Sistim biologi

    Options trading & economics

    20

  • Persamaan Diferensial

    21

  • Persamaan Diferensial

    22

    Homogeneous second-order linear constant coefficient ordinary differential equation describing the harmonic oscillator:

    Second-order nonlinear ordinary differential equation describing the motion of a pendulum of length L:

    Contoh group pertama persamaan diferensial, dengan u sebagai perubah yang tak diketahui sebagai fungsi x, dan c, konstanta.

  • Modelling via Persamaan Diferensial

    23

    Salah satu masalah yang sulit bagi para peneliti dalamriset rutinnya adalah:Bagaimana menterjemahkan fenomena fisis ke suatupersamaan yang menerangkan proses fisika tersebut?''

    Pada dasarnya tidak mungkin menerangkan fenomenafisika ini secara total, sehingga digunakan beberapapersamaan yang bisa menerangkan pendekatan fisis.

  • Modelling via Persamaan Diferensial

    24

    Pada umumnya setelah mendapatkan persamaandiferensialnya, maka dibandingkan data yang didapatdari persamaan yang ada dengan data asli yangdidapatkan dari sistim pengukuran aktual/ fisis.

    Jika kedua set data tersebut identik/ mendekati, makapeneliti akan merasa yakin bahwa persamaandiferensial tersebut merupakan deskripsi yang benaruntuk keadaan riil/ fisis yang ada

  • Modelling via Persamaan Diferensial

    25

    Sebagai contoh:

    Kita bisa menggunakan persamaan-persamaan untukmemprediksi kelakuan suatu sistim secara jangkapanjang (misal klimatologi). Perlu dicatat bahwapersamaan tersebut hanya valid (bisa dipakai) jika, datayang dihasilkan sesuai dengan data fisis/ aktual yangada.

    Namun demikian menurunkan persamaan yang bagusbukan merupakan pekerjaan yang mudah, sehingga perluperubahan yang berulang dengan koreksi-koreksi yangdisebut sebagai model suatu sistim.

    (http://www.sosmath.com)

  • Bagaimana Membangun Modelnya

    26

    Tahapan Dasar untuk membentuk Model:

    Tahap 1:Tentukan asumsi-asumsi untuk model tersebut. Asumsi harus berdasarkan hubungan antara besaran yang akan dipelajariTahap 2:Uraikan parameter dan variabel yang digunakan dalam model tersebutTahap 3:Gunakan asumsi-asumsi pada Tahapan 1 untuk menurunkan persamaan matematiknya sehubungan dengan dengan parameter dan variabel dari Tahapan kedua.

    http://www.sosmath.com/diffeq/modeling/modeling.html

  • Contoh Persamaan Diferensial

    27

    y ' = 3x Turunan pangkat satu, maka PD orde 1

    y '' + y' + y = 3x Turunan tertinggi 2, PD orde 2

    -2 y ''' + y'' + y 4 = 3x Turunan tertinggi 3 PD Orde 3

    y = f(x) + C adalah solusi umum persamaan diferensial

  • Contoh

    28

    Selesaikan: y ' = 2x

    Jawab:

    Integralkan kedua sisinya:

    y ' dx = 2x dx

    Didapat

    y + C1 = x 2 + C2

    dimana:

    C1 dan C2 adalah konstatnta integrasi.

    Solusi persamaan adalah: y = x 2 + C, dimana C = C2 - C1.

  • Contoh 2

    29

    C1 dan C2 adalah kondisi awal yang dapat dihitung jika diketahui, misalkan f (0) = 3 dan f (0) = 2, maka:

    Solusi akhir:

  • Contoh 3

    Jawab:

    y = C*e 4x + e 3x y turunan y : y ' = 4C*e 4x + 3e 3x

    Verifikasi persamaan y = C*e 4x + e 3x, untuk C konstanta, merupakan

    solisi persamaan deferensial y ' - 4y = -e 3x

    Subtitusikan y ' dan y ke persamaan diferensial (sebelah kiri):

    y ' - 4y = 4C*e 4x + 3e 3x - 4 (C*e 4x + e 3x) = 4C*e 4x + 3e 3x - 4C*e 4x - 4e 3x

    = 4C*e 4x - 4C*e 4x + e 3x (3 - 4) = - e 3x

    Ternyata hasil subtitusi sama dengan harga sebelah kanan persamaan

    diferensial, oleh karena itu:

    y = C*e 4x + e 3x adalah solusi persamaan diferensial y ' - 4y = -e 3x.

  • Contoh-2 Lain

    31

    f = sin xf = 7f = ex

    f = 1/xf = xf = x cos x