MATERI KULIAH TM1-1011

Download MATERI KULIAH TM1-1011

Post on 03-Jul-2015

240 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<p>ANALISIS VEKTORMMS-2105 2 sks</p> <p>Hal 1 dari 24</p> <p>ReviewQ</p> <p>Definisi : Besaran Vektor dan Skalar</p> <p>1. Vector adalah suatu kuantitas yang mempunyai nilai magnitude/besaran dan arah, biasa dinyatakan denganPQ , P disebut pangkal vector dan Q</p> <p>P</p> <p>ujung vector, atau dengan</p> <p>A,</p> <p>atau A</p> <p>Magnitude atau panjang vector disimbolisir dengan PQ atau A , atau |A|</p> <p>2. Ska a a a ah suatu kuantitas yang hanya empunyai nilai magnitu e/besa an sa a (tidak mempunyai a ah)</p> <p>Hal 2 dari 24</p> <p>Vector dipergunakan untuk menyatakan antara lain kuantitas gaya, kecepetan, percepatan. Scalar dipergunakan untuk menyatakan antara lain masa, panjang, waktu, temperature. Definisi : Alajabar Vektor 1. Dua buah vector A dan B dikatakan sama apabila maginitud A sama dengan magnitude B dan arah A sama dengan arah B</p> <p>A</p> <p>B</p> <p>A</p> <p>-A</p> <p>2 Suatu e t r mempun ai magnitude sama dengan e t r A tetapi dengan arah berla anan disimb lisir dengan A</p> <p>Hal 3 dari 24</p> <p>3. Jumlah dua buah vector A dan B adalah suatu vector C dengan pangkal vektor berimpit dengan pangkal vector A dan ujung vector berimpit dengan ujung vector B, dimana pangkal vector B diimpitkan dengan ujung vector A, disajikan dengan C =A+B</p> <p>A C</p> <p>B</p> <p>C</p> <p>A -B B</p> <p>4. Selisih dua buah vector A dan B adalah suatu vector C yang merupakan jumlahan vector A dengan vector B, dan disajikan dengan C = A B</p> <p>Hal 4 dari 24</p> <p>5. Pergandaan suatu vector A dengan scalar m, adalah vector mA dengan magnitude |m| |A| dan arah sama dengan arah vector A bila m scalar positif atau berlawanan arah vector A bila m scalar negative.</p> <p>mA A |A| |m||A| = m |A|</p> <p>Hal 5 dari 24</p> <p>Hukum aljabar vector :Apabila A, B dan C vector dan m, n scalar, maka berlaku : 1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C Komutatif terhadap jumlahan Asosiatif terhadap jumlahan</p> <p>3. m (n A) = (mn) A = n (m A) Asosiatif terhadap multiplikasi 4. (m + n) A = m A + n A 5. m (A + B) = m A + m B Disrtributif terhadap multiplikasi Disrtributif terhadap multiplikasi</p> <p>Catatan : mengingat pada analisa vector dikenal pengertian ganda scalar dua vector, dan ganda vector dua vector, maka pergandaan scalar dengan vector digunakan istilah multiplikasi.</p> <p>Hal 6 dari 24</p> <p>Definisi : Vektor Satuan Vector satuan adalah suatu vector dengan magnitude 1 (satu).pabila A suatu vector dengan |A| &gt; 1 maka a ! A vector merupakan vector satuan dan A = |A| a</p> <p>A</p> <p>Definisi : Vektor Satuan pada Ruang Dimensi Tiga Pada ruang dimensi tiga, ditentukan sumbu koordinat-x, -y dan z, dengan titik pangkal (0,0,0). Vector satuan pada ruang dimensi tiga adalah vector-vektor satuan pada ketiga sumbu koordiant arah positif dengan masing-masing titik pangkal (0,0,0), berturut-turut disimbolisir dengan i, j dan k. z</p> <p>k</p> <p>(0,0,0)i j</p> <p>x</p> <p>y</p> <p>Hal 7 dari 24</p> <p>Komponen vector Suatu vector A pada ruang tiga dimensi dengan pangkal vektor di titik pangkal system koordinat tegak, O(0,0,0), dan ujung vector (A1,A2,A3) dapat disajikan sebagai A = A1 i + A2 j + A3 k dengan vector-vektor A x = A1 i A y = A2 j A z = A3 k y z (A1,A2,A3) Az A O Ay Ax x</p> <p>disebut vector komponen dari vector A, dan diperoleh hubunganA =A12 A22 A32</p> <p>Hal 8 dari 24</p> <p>Soal untuk latihan 1. Diberikan vektor A, B, C dan D. Konstruksikan vektor V = 3 A + 2 B (C 3 D) A B C P 2. Pada obyek P bekerja tiga buah gaya sebagaimana disajikan pada gambar. Tentukan resultan gaya tersebut. D</p> <p>150 lb</p> <p>50o 200 lb 250 lb</p> <p>3. Apabila pada soal no 2, diambil P adalah pangkal sumbu koordinat, arah gaya sebesar 250 lb sejajar dengan sumbu-z, maka tentukan komponen vektor resoltan gaya yang bekerja pada obyek P.Hal 9 dari 24</p> <p>Medan Skalar Apabila setiap titik (x,y,z) pada suatu region di ruang dimensi tiga terkorespondensi dinyatakan dengan fungsi (x,y,z) maka bidang luasan (x,y,z)</p> <p>disebut medan-skalar terdefinisi pada region Contoh : Distribusi temperature pada suatu region disajikan dengan fungsi (x,y,z) = 3 x2 y + z3, dalam hal ini (x,y,z) disebut medan scalar. Medan Vektor Apabila tiap titi , , pada i atakan j ng v ct dengan pangkal vect di titik pangkal koordinat O 0,0,0 , dan , , terkorespodensi dinyatakan dengan V(x,y, , aka V(x,y, disebut edan vektor Contoh : V(x,y, = x2 y i + 5 x y2 z j + x z3 k disebut edan vektorHal 10 dari 24</p> <p>GANDA SKALAR DUA VEKTORGanda skalar vektor A dengan vektor B disimbolisir dengan A . B didefinisikan sebagai hasil kali panjang vektor A dengan panjang vektor B dikalikan dengan cos (sudut antara vektor A dan vektor B) A . B = |A| |B| cos</p> <p>A |A| B |B|</p> <p>7</p> <p>A . B = |A| |B| cos = 7 x 8 x cos 65 65o B 8 = 56 x 0.4226 = 23.6666</p> <p>Hal 11 dari 24</p> <p>ALJABAR VEKTOR PADA GANDA SKALAR1. A . B = B . A 2. A . (B + C) = A . B + A . C 3. m (A , B) = (m A) . B = A . (m B) = (A . B) m 4. i . i = j . j = k . k = 1 i.j = j.k = k.i =0 5. A = A1 i+ A2 j + A3 k B = B1 i+ B2 j + B3 k Hukum Komutatif Hukum Distributif m skalar cos 0o = 1 cos 90o = 0</p> <p>A . B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 A . A = A1 A1 + A2 A2 + A3 A3 = A12 + A22 + A32 B . B = B1 B1 + B2 B2 + B3 B3 = B12 + B22 + B32</p> <p>6. A 0 B 0 dan A</p> <p>B maka A . B = 0Hal 12 dari 24</p> <p>GANDA VEKTOR DUA VEKTORGanda vektor antara vektor A dengan vektor B ditulis C = A X B Panjang vektor C = A X B adalah panjang vektor A dikalikan panjang vektor B dikalikan sin dan vektor B) |C| = |A| |B| sin Arah vektor C tegak lurus bidang yang dibentuk vektor A dan vektor B (sudut antara vektor A |C| C</p> <p>|A| A</p> <p>B |B|</p> <p>Apabila A = B atau vektor A sejajar dengan vektor B maka A X B = 0 Mengapa demikian ?</p> <p>Hal 13 dari 24</p> <p>ALJABAR VEKTOR PADA GANDA VEKTOR1. A X B = -B X A 2. A X (B + C) = A X B + A X C 3. m (A X B) = (m A) X B = A X (m B) = (A X B) m 4. i X i = j X j = k X k = 0 iXj =k jXk =i k.i =j Hukum Komutatif Hukum Distributif m skalar sin 0o = 0 sin 90o = 1</p> <p>5. A = A1 i+ A2 j + A3 k B = B1 i+ B2 j + B3 k</p> <p>i A X B ! A1 B1</p> <p>j A2 B2</p> <p>k A3 B3</p> <p>6. A 0 B 0 dan A // B maka</p> <p>AXB = 0</p> <p>Hal 14 dari 24</p> <p>GANDA TIGA VEKTORGanda skalar dan ganda vektor tiga buah vektor A, B dan C yang disajikan dalam bentuk (A . B) C; A . (B X C) dan A X (B X C) memenuhi sifat-sifat : 1. (A . B) C A (B . C) A |A| B |B| |B||C| cos |A| A |C| B |B|Hal 15 dari 24</p> <p>|A||B| cos (A . B) C C |C|</p> <p>|C|</p> <p>|A|</p> <p>A (B . C) C</p> <p>2. A . (B X C) = B . (C X A) = C . (A X B) B A</p> <p>AXB |A X B| A B</p> <p>A</p> <p>CXA</p> <p>BHal 16 dari 24</p> <p>Bukti A . (B X C) = B . (C X A) A = A1 i + A2 j + A3 k B = B1 i + B2 j + B3 k C = C1 i + C2 j + C3 k</p> <p>i j B x C ! B1 B 2 C1 C 2A . (B X C) =</p> <p>k B 3 = (B2 C3 B3 C2) i + (B3 C1 B1 C3) j + (B1 C2 B2 C1) k C3</p> <p>(A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 B3 C2) i + (B3 C1 B1 C3) j + (B1 C2 B2 C1) k) = A1 B2 C3 A1 B3 C2 + A2 B3 C1 A2 B1 C3 + A3 B1 C2 A3 B2 C1</p> <p>Hal 17 dari 24</p> <p>i Cx ! C1 A1</p> <p>j C2 A2</p> <p>k C3 = (C2 A3 C3 A2) i + (C3 A1 C1 A3) j + (C1 A2 C2 A1) k A3</p> <p>B . (C x A) = (B1 i + B2 j + B3 k) . ((C2 A3 C3 A2) i + (C3 A1 C1 A3) j + (C1 A2 C2 A1) k) = B1 C2 A3 B1 C3 A2 + B2 C3 A1 B2 C1 A3 + B3 C1 A2 B3 C2 A1 = A1 B2 C3 A1 B3 C2 + A2 B3 C1 A2 B1 C3 + A3 B1 C2 A3 B2 C1 = (A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 B3 C2) i + (B3 C1 B1 C3) j + (B1 C2 B2 C1) k) = A . (B X C)</p> <p>Hal 18 dari 24</p> <p>A . (B X C) menyatakan volume (atau minus volume) paralel epipedum dengan rusuk-rusuk vektor A , vektor B dan vektor C A</p> <p>Apabila A = A1 i + A2 j + A3 k B = B1 i + B2 j + B3 k C = C1 i + C2 j + C3 k makaA1 A2 A3 B3 C3</p> <p>B</p> <p>.( B v C ) ! B1 B 2 C1 C 2</p> <p>Pergandaan A . (B x C) disebut tripel ganda skalar atau box product A . (B x C) biasa pula ditulis sebagai A . B x CHal 19 dari 24</p> <p>3. A X (B X C) (A X B) X C</p> <p>A</p> <p>C</p> <p>C A</p> <p>A</p> <p>C</p> <p>Hal 20 dari 24</p> <p>A 4. A x (B x C) = (A . C) B - (A . B) C</p> <p>B</p> <p>C</p> <p>B C A x (B x C)</p> <p>(A . C) B</p> <p>-(A . B) C</p> <p>(A . B) C</p> <p>(A . C) B - (A . B) C</p> <p>(A . C) BHal 21 dari 24</p> <p>(A X B) X C = (A . C) B - (B . C) A</p> <p>A = A1 i + A2 j + A3 k B = B1 i + B2 j + B3 k C = C1 i + C2 j + C3 k</p> <p>i A x B ! A1 B1</p> <p>j A2 B2</p> <p>k A 3 = (A2 B3 A3 B2) i + (A3 B1 A1 B3) j + (A1 B2 A2 B1) k B3 i j A 3B1 A 1B 3 C2 k A 1B 2 A 2B1 C3</p> <p>( A x B ) x C ! A 2B 3 A 3B 2 C1</p> <p>= (A3 B1 A1 B3) C3 i + (A1 B2 A2 B1) C1 j + (A2 B3 A3 B2) C2 k </p> <p>(A1 B2 A2 B1) C2 i - (A2 B3 A3 B2) C3 j - (A3 B1 A1 B3) C1 k</p> <p>Hal 22 dari 24</p> <p>= (A3 B1 C3 A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i + (A1 B2 C1 A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j + (A2 B3 C2 A3 B2 C2 - A3 B1 C1 A1 B3 C1) k</p> <p>(A . C) B = (A1 C1 + A2 C2 + A3 C3) (B1 i + B2 j + B3 k) = (A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i + (A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j + (A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k (B . C) A = (B1 C1 + B2 C2 + B3 C3) (A1 i + A2 j + A3 k) = (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i + (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j + (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k</p> <p>Hal 23 dari 24</p> <p>(A . C) B - (B . C) A = (A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i - (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i + (A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j - (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j + (A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k - (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k = (A3 B1 C3 A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i + (A1 B2 C1 A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j + (A2 B3 C2 A3 B2 C2 - A3 B1 C1 A1 B3 C1) k = AxBxC</p> <p>A x (B x C) biasa disebut vector triple product</p> <p>Hal 24 dari 24</p>