materi kuliah tm1-1011

24
ANALISIS VEKTOR MMS-2105 2 sks Hal 1 dari 24

Upload: tantrawan

Post on 03-Jul-2015

273 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MATERI KULIAH TM1-1011

ANALISIS VEKTOR

MMS-2105 2 sks

Hal 1 dari 24

Page 2: MATERI KULIAH TM1-1011

1. Vector adalah suatu kuantitas yang mempunyai nilai magnitude/besaran dan arah, biasa dinyatakan dengan

PQ , P disebut pangkal vector dan Q

ujung vector, atau dengan A , atau A

Review

Definisi : Besaran Vektor dan Skalar

P

Q

Magnitude atau panjang vector disimbolisir

dengan PQ atau A , atau |A|

2. Skalar adalah suatu kuantitas yang hanya mempunyai nilai magnitude/besaran saja (tidak mempunyai arah)

Hal 2 dari 24

Page 3: MATERI KULIAH TM1-1011

Vector dipergunakan untuk menyatakan antara lain kuantitas gaya, kecepetan, percepatan.

Scalar dipergunakan untuk menyatakan antara lain masa, panjang, waktu, temperature.

Definisi : Alajabar Vektor

1. Dua buah vector A dan B dikatakan sama apabila maginitud A sama dengan magnitude B dan arah A sama dengan arah B

A

B

2 Suatu vector mempunyai magnitude sama dengan vector A tetapi dengan arah berlawanan disimbolisir dengan –A

A

-A

Hal 3 dari 24

Page 4: MATERI KULIAH TM1-1011

3. Jumlah dua buah vector A dan B adalah suatu vector C dengan pangkal vektor berimpit dengan pangkal vector A dan ujung vector berimpit dengan ujung vector B, dimana pangkal vector B diimpitkan dengan ujung vector A, disajikan dengan C = A + B

A

B

C

4. Selisih dua buah vector A dan B adalah suatu vector C yang merupakan jumlahan vector A dengan vector –B, dan disajikan dengan C = A – B

A

-B

B

C

Hal 4 dari 24

Page 5: MATERI KULIAH TM1-1011

5. Pergandaan suatu vector A dengan scalar m, adalah vector mA dengan magnitude |m| |A| dan arah sama dengan arah vector A bila m scalar positif atau berlawanan arah vector A bila m scalar negative.

A

|A|

|m||A| = m |A|

mA

Hal 5 dari 24

Page 6: MATERI KULIAH TM1-1011

Hukum aljabar vector :

Apabila A, B dan C vector dan m, n scalar, maka berlaku :

1. A + B = B + A Komutatif terhadap jumlahan

2. A + (B + C) = (A + B) + C Asosiatif terhadap jumlahan

3. m (n A) = (mn) A = n (m A) Asosiatif terhadap multiplikasi

4. (m + n) A = m A + n A Disrtributif terhadap multiplikasi

5. m (A + B) = m A + m B Disrtributif terhadap multiplikasi

Catatan : mengingat pada analisa vector dikenal pengertian ganda scalar dua vector, dan ganda vector dua vector, maka pergandaan scalar dengan vector digunakan istilah multiplikasi.

Hal 6 dari 24

Page 7: MATERI KULIAH TM1-1011

Definisi : Vektor Satuan

Vector satuan adalah suatu vector dengan magnitude 1 (satu).

merupakan vector satuan dan A = |A| a

Apabila A suatu vector dengan |A| > 1, maka vector

A

Aa

Definisi : Vektor Satuan pada Ruang Dimensi Tiga

Vector satuan pada ruang dimensi tiga adalah vector-vektor satuan pada ketiga sumbu koordiant arah positif dengan masing-masing titik pangkal (0,0,0), berturut-turut disimbolisir dengan i, j dan k.

x

y

z

(0,0,0)i

j

k

Pada ruang dimensi tiga, ditentukan sumbu koordinat-x, -y dan –z, dengan titik pangkal (0,0,0).

Hal 7 dari 24

Page 8: MATERI KULIAH TM1-1011

Komponen vector

Suatu vector A pada ruang tiga dimensi dengan pangkal vektor di titik pangkal system koordinat tegak, O(0,0,0),

dan ujung vector (A1,A2,A3) dapat disajikan sebagai

A = A1 i + A2 j + A3 k

dengan vector-vektor

Ax = A1 i Ay = A2 j Az = A3 k

disebut vector komponen dari vector A, dan diperoleh hubungan

|A| = 23

22

2

1AAA

z

x

y

OAx

Ay

Az

(A1,A2,A3)

A

Hal 8 dari 24

Page 9: MATERI KULIAH TM1-1011

Soal untuk latihan

1. Diberikan vektor A, B, C dan D. Konstruksikan vektor V = 3 A + 2 B – (C – 3 D)

A

B

C D

2. Pada obyek P bekerja tiga buah gaya sebagaimana disajikan pada gambar. Tentukan resultan gaya tersebut.

250 lb200 lb

150 lb 50o

P

3. Apabila pada soal no 2, diambil P adalah pangkal sumbu koordinat, arah gaya sebesar 250 lb sejajar dengan sumbu-z, maka tentukan komponen vektor resoltan gaya yang bekerja pada obyek P.

Hal 9 dari 24

Page 10: MATERI KULIAH TM1-1011

Medan Skalar Apabila setiap titik (x,y,z) pada suatu region di ruang dimensi tiga terkorespondensi dinyatakan dengan fungsi Φ(x,y,z) maka bidang luasan Φ(x,y,z)

disebut medan-skalar terdefinisi pada region

Contoh :

Distribusi temperature pada suatu region disajikan dengan fungsi Φ(x,y,z) = 3 x2 y + z3, dalam hal ini Φ(x,y,z) disebut medan scalar.

Medan Vektor Apabila setiap titik (x,y,z) pada region menyatakan ujung vector dengan pangkal vector di titik pangkal koordinat O(0,0,0), dan (x,y,z) terkorespodensi dinyatakan dengan V(x,y,z), maka V(x,y,z) disebut medan vektor

Contoh :

V(x,y,z) = x2 y i + 5 x y2 z j + x z3 k disebut medan vektor

Hal 10 dari 24

Page 11: MATERI KULIAH TM1-1011

GANDA SKALAR DUA VEKTOR

Ganda skalar vektor A dengan vektor B

A

Bdisimbolisir dengan A . B didefinisikansebagai hasil kali panjang vektor A

|A|

dengan panjang vektor B |B|

dikalikan dengan

cos θ (sudut antara vektor A dan vektor B)

θ

A . B = |A| |B| cos θ

A

7

B

8

65o

A . B = |A| |B| cos θ

= 7 x 8 x cos 65

= 56 x 0.4226 = 23.6666

Hal 11 dari 24

Page 12: MATERI KULIAH TM1-1011

ALJABAR VEKTOR PADA GANDA SKALAR

1. A . B = B . A Hukum Komutatif

2. A . (B + C) = A . B + A . C Hukum Distributif

3. m (A , B) = (m A) . B = A . (m B) = (A . B) m

m skalar

4. i . i = j . j = k . k = 1

i . j = j . k = k . i = 0

cos 0o = 1

cos 90o = 0

5. A = A1 i+ A2 j + A3 k

B = B1 i+ B2 j + B3 kA . B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3

A . A = A1 A1 + A2 A2 + A3 A3

= A12 + A2

2 + A32

B . B = B1 B1 + B2 B2 + B3 B3

= B12 + B2

2 + B32

6. A ≠ 0 B ≠ 0 dan A ┴ B maka A . B = 0

Hal 12 dari 24

Page 13: MATERI KULIAH TM1-1011

GANDA VEKTOR DUA VEKTOR

Ganda vektor antara vektor AA

dengan vektor B

B

ditulis C = A X B

Panjang vektor C = A X B adalah

panjang vektor A

|A|

dikalikan panjang vektor B

|B|

dikalikan sin θ (sudut antara vektor A

dan vektor B)

|C| = |A| |B| sin θ

Arah vektor C tegak lurus bidang yang dibentuk vektor A dan vektor B

θ┐

|C|C

Apabila A = B atau vektor A sejajar dengan vektor B maka A X B = 0

Mengapa demikian ?

Hal 13 dari 24

Page 14: MATERI KULIAH TM1-1011

ALJABAR VEKTOR PADA GANDA VEKTOR

1. A X B = -B X A Hukum Komutatif

2. A X (B + C) = A X B + A X C Hukum Distributif

3. m (A X B) = (m A) X B = A X (m B) = (A X B) m

m skalar

4. i X i = j X j = k X k = 0

i X j = k j X k = i k . i = j

sin 0o = 0

sin 90o = 1

5. A = A1 i+ A2 j + A3 k

B = B1 i+ B2 j + B3 k 321

321

BBB

AAA

kji

BXA

6. A ≠ 0 B ≠ 0 dan A // B maka A X B = 0

Hal 14 dari 24

Page 15: MATERI KULIAH TM1-1011

GANDA TIGA VEKTOR

Ganda skalar dan ganda vektor tiga buah vektor A, B dan C yang disajikan dalam bentuk (A . B) C; A . (B X C) dan A X (B X C) memenuhi sifat-sifat :

1. (A . B) C ≠ A (B . C)A

B C

|A|

|B|

θ |C|

|A||B| cos θ |C|

(A . B) C

A

B

C|A|

|C|

|B|

φ

|B||C| cos φ |A|A (B . C)

Hal 15 dari 24

Page 16: MATERI KULIAH TM1-1011

2. A . (B X C) = B . (C X A) = C . (A X B)

AB

C A

B|C|

θ |A X B|

C

A

A X B

B

θ

┐ C X A

Hal 16 dari 24

Page 17: MATERI KULIAH TM1-1011

321

321

CCC

BBBx

kji

CB

Bukti A . (B X C) = B . (C X A)

= (B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k

A . (B X C) =

(A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k)

= A1 B2 C3 – A1 B3 C2 + A2 B3 C1 – A2 B1 C3 + A3 B1 C2 – A3 B2 C1

A = A1 i + A2 j + A3 k

B = B1 i + B2 j + B3 k

C = C1 i + C2 j + C3 k

Hal 17 dari 24

Page 18: MATERI KULIAH TM1-1011

321

321

AAA

CCCx

kji

AC = (C2 A3 – C3 A2) i + (C3 A1 – C1 A3) j + (C1 A2 – C2 A1) k

B . (C x A) =

(B1 i + B2 j + B3 k) . ((C2 A3 – C3 A2) i + (C3 A1 – C1 A3) j + (C1 A2 – C2 A1) k)

= B1 C2 A3 – B1 C3 A2 + B2 C3 A1 – B2 C1 A3 + B3 C1 A2 – B3 C2 A1

= A1 B2 C3 – A1 B3 C2 + A2 B3 C1 – A2 B1 C3 + A3 B1 C2 – A3 B2 C1

= (A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k)

= A . (B X C)

Hal 18 dari 24

Page 19: MATERI KULIAH TM1-1011

C

A

B

A . (B X C) menyatakan volume (atau

minus volume) paralel epipedum dengan

rusuk-rusuk vektor A , vektor B

dan vektor C

Apabila A = A1 i + A2 j + A3 k

B = B1 i + B2 j + B3 k

C = C1 i + C2 j + C3 k

maka

)(. CBA

321

321

321

CCC

BBB

AAA

Pergandaan A . (B x C) disebut tripel ganda skalar atau box product

A . (B x C) biasa pula ditulis sebagai A . B x C

Hal 19 dari 24

Page 20: MATERI KULIAH TM1-1011

3. A X (B X C) ≠ (A X B) X C A

B

B

C

┐B x C B x CA┐

A x (B x C)

A B┐A x B

C

(A x B) x C)

A x B

C

Hal 20 dari 24

Page 21: MATERI KULIAH TM1-1011

4. A x (B x C) = (A . C) B - (A . B) CC

A x (B x C) A

B

C

C

A

B

A

(A . B) C

B

B x C

B

CA

B x C

(A . C) B

(A . C) B

-(A . B) C

(A . C) B - (A . B) C

Hal 21 dari 24

Page 22: MATERI KULIAH TM1-1011

(A X B) X C = (A . C) B - (B . C) A A = A1 i + A2 j + A3 k

B = B1 i + B2 j + B3 k

C = C1 i + C2 j + C3 k

321

321

BBB

AAAx

kji

BA = (A2 B3 – A3 B2) i + (A3 B1 – A1 B3) j + (A1 B2 – A2 B1) k

321

122131132332

CCC

BABABABABABAxx kji

CBA )(

= (A3 B1 – A1 B3) C3 i + (A1 B2 – A2 B1) C1 j + (A2 B3 – A3 B2) C2 k –

(A1 B2 – A2 B1) C2 i - (A2 B3 – A3 B2) C3 j - (A3 B1 – A1 B3) C1 k

Hal 22 dari 24

Page 23: MATERI KULIAH TM1-1011

= (A3 B1 C3 – A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i

+ (A1 B2 C1 – A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j

+ (A2 B3 C2 – A3 B2 C2 - A3 B1 C1 – A1 B3 C1) k

(A . C) B = (A1 C1 + A2 C2 + A3 C3) (B1 i + B2 j + B3 k)

= (A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i + (A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j + (A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k

(B . C) A = (B1 C1 + B2 C2 + B3 C3) (A1 i + A2 j + A3 k)

= (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i + (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j + (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k

Hal 23 dari 24

Page 24: MATERI KULIAH TM1-1011

(A . C) B - (B . C) A =

(A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i - (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i +

(A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j - (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j +

(A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k - (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k

= (A3 B1 C3 – A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i

+ (A1 B2 C1 – A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j

+ (A2 B3 C2 – A3 B2 C2 - A3 B1 C1 – A1 B3 C1) k

= A x B x C

A x (B x C) biasa disebut vector triple product

Hal 24 dari 24