materi kuliah tm1-1011
TRANSCRIPT
ANALISIS VEKTOR
MMS-2105 2 sks
Hal 1 dari 24
1. Vector adalah suatu kuantitas yang mempunyai nilai magnitude/besaran dan arah, biasa dinyatakan dengan
PQ , P disebut pangkal vector dan Q
ujung vector, atau dengan A , atau A
Review
Definisi : Besaran Vektor dan Skalar
P
Q
Magnitude atau panjang vector disimbolisir
dengan PQ atau A , atau |A|
2. Skalar adalah suatu kuantitas yang hanya mempunyai nilai magnitude/besaran saja (tidak mempunyai arah)
Hal 2 dari 24
Vector dipergunakan untuk menyatakan antara lain kuantitas gaya, kecepetan, percepatan.
Scalar dipergunakan untuk menyatakan antara lain masa, panjang, waktu, temperature.
Definisi : Alajabar Vektor
1. Dua buah vector A dan B dikatakan sama apabila maginitud A sama dengan magnitude B dan arah A sama dengan arah B
A
B
2 Suatu vector mempunyai magnitude sama dengan vector A tetapi dengan arah berlawanan disimbolisir dengan –A
A
-A
Hal 3 dari 24
3. Jumlah dua buah vector A dan B adalah suatu vector C dengan pangkal vektor berimpit dengan pangkal vector A dan ujung vector berimpit dengan ujung vector B, dimana pangkal vector B diimpitkan dengan ujung vector A, disajikan dengan C = A + B
A
B
C
4. Selisih dua buah vector A dan B adalah suatu vector C yang merupakan jumlahan vector A dengan vector –B, dan disajikan dengan C = A – B
A
-B
B
C
Hal 4 dari 24
5. Pergandaan suatu vector A dengan scalar m, adalah vector mA dengan magnitude |m| |A| dan arah sama dengan arah vector A bila m scalar positif atau berlawanan arah vector A bila m scalar negative.
A
|A|
|m||A| = m |A|
mA
Hal 5 dari 24
Hukum aljabar vector :
Apabila A, B dan C vector dan m, n scalar, maka berlaku :
1. A + B = B + A Komutatif terhadap jumlahan
2. A + (B + C) = (A + B) + C Asosiatif terhadap jumlahan
3. m (n A) = (mn) A = n (m A) Asosiatif terhadap multiplikasi
4. (m + n) A = m A + n A Disrtributif terhadap multiplikasi
5. m (A + B) = m A + m B Disrtributif terhadap multiplikasi
Catatan : mengingat pada analisa vector dikenal pengertian ganda scalar dua vector, dan ganda vector dua vector, maka pergandaan scalar dengan vector digunakan istilah multiplikasi.
Hal 6 dari 24
Definisi : Vektor Satuan
Vector satuan adalah suatu vector dengan magnitude 1 (satu).
merupakan vector satuan dan A = |A| a
Apabila A suatu vector dengan |A| > 1, maka vector
A
Aa
Definisi : Vektor Satuan pada Ruang Dimensi Tiga
Vector satuan pada ruang dimensi tiga adalah vector-vektor satuan pada ketiga sumbu koordiant arah positif dengan masing-masing titik pangkal (0,0,0), berturut-turut disimbolisir dengan i, j dan k.
x
y
z
(0,0,0)i
j
k
Pada ruang dimensi tiga, ditentukan sumbu koordinat-x, -y dan –z, dengan titik pangkal (0,0,0).
Hal 7 dari 24
Komponen vector
Suatu vector A pada ruang tiga dimensi dengan pangkal vektor di titik pangkal system koordinat tegak, O(0,0,0),
dan ujung vector (A1,A2,A3) dapat disajikan sebagai
A = A1 i + A2 j + A3 k
dengan vector-vektor
Ax = A1 i Ay = A2 j Az = A3 k
disebut vector komponen dari vector A, dan diperoleh hubungan
|A| = 23
22
2
1AAA
z
x
y
OAx
Ay
Az
(A1,A2,A3)
A
Hal 8 dari 24
Soal untuk latihan
1. Diberikan vektor A, B, C dan D. Konstruksikan vektor V = 3 A + 2 B – (C – 3 D)
A
B
C D
2. Pada obyek P bekerja tiga buah gaya sebagaimana disajikan pada gambar. Tentukan resultan gaya tersebut.
250 lb200 lb
150 lb 50o
P
3. Apabila pada soal no 2, diambil P adalah pangkal sumbu koordinat, arah gaya sebesar 250 lb sejajar dengan sumbu-z, maka tentukan komponen vektor resoltan gaya yang bekerja pada obyek P.
Hal 9 dari 24
Medan Skalar Apabila setiap titik (x,y,z) pada suatu region di ruang dimensi tiga terkorespondensi dinyatakan dengan fungsi Φ(x,y,z) maka bidang luasan Φ(x,y,z)
disebut medan-skalar terdefinisi pada region
Contoh :
Distribusi temperature pada suatu region disajikan dengan fungsi Φ(x,y,z) = 3 x2 y + z3, dalam hal ini Φ(x,y,z) disebut medan scalar.
Medan Vektor Apabila setiap titik (x,y,z) pada region menyatakan ujung vector dengan pangkal vector di titik pangkal koordinat O(0,0,0), dan (x,y,z) terkorespodensi dinyatakan dengan V(x,y,z), maka V(x,y,z) disebut medan vektor
Contoh :
V(x,y,z) = x2 y i + 5 x y2 z j + x z3 k disebut medan vektor
Hal 10 dari 24
GANDA SKALAR DUA VEKTOR
Ganda skalar vektor A dengan vektor B
A
Bdisimbolisir dengan A . B didefinisikansebagai hasil kali panjang vektor A
|A|
dengan panjang vektor B |B|
dikalikan dengan
cos θ (sudut antara vektor A dan vektor B)
θ
A . B = |A| |B| cos θ
A
7
B
8
65o
A . B = |A| |B| cos θ
= 7 x 8 x cos 65
= 56 x 0.4226 = 23.6666
Hal 11 dari 24
ALJABAR VEKTOR PADA GANDA SKALAR
1. A . B = B . A Hukum Komutatif
2. A . (B + C) = A . B + A . C Hukum Distributif
3. m (A , B) = (m A) . B = A . (m B) = (A . B) m
m skalar
4. i . i = j . j = k . k = 1
i . j = j . k = k . i = 0
cos 0o = 1
cos 90o = 0
5. A = A1 i+ A2 j + A3 k
B = B1 i+ B2 j + B3 kA . B = A1 B1 + A2 B2 + A3 B3
A . A = A1 A1 + A2 A2 + A3 A3
= A12 + A2
2 + A32
B . B = B1 B1 + B2 B2 + B3 B3
= B12 + B2
2 + B32
6. A ≠ 0 B ≠ 0 dan A ┴ B maka A . B = 0
Hal 12 dari 24
GANDA VEKTOR DUA VEKTOR
Ganda vektor antara vektor AA
dengan vektor B
B
ditulis C = A X B
Panjang vektor C = A X B adalah
panjang vektor A
|A|
dikalikan panjang vektor B
|B|
dikalikan sin θ (sudut antara vektor A
dan vektor B)
|C| = |A| |B| sin θ
Arah vektor C tegak lurus bidang yang dibentuk vektor A dan vektor B
θ┐
|C|C
Apabila A = B atau vektor A sejajar dengan vektor B maka A X B = 0
Mengapa demikian ?
Hal 13 dari 24
ALJABAR VEKTOR PADA GANDA VEKTOR
1. A X B = -B X A Hukum Komutatif
2. A X (B + C) = A X B + A X C Hukum Distributif
3. m (A X B) = (m A) X B = A X (m B) = (A X B) m
m skalar
4. i X i = j X j = k X k = 0
i X j = k j X k = i k . i = j
sin 0o = 0
sin 90o = 1
5. A = A1 i+ A2 j + A3 k
B = B1 i+ B2 j + B3 k 321
321
BBB
AAA
kji
BXA
6. A ≠ 0 B ≠ 0 dan A // B maka A X B = 0
Hal 14 dari 24
GANDA TIGA VEKTOR
Ganda skalar dan ganda vektor tiga buah vektor A, B dan C yang disajikan dalam bentuk (A . B) C; A . (B X C) dan A X (B X C) memenuhi sifat-sifat :
1. (A . B) C ≠ A (B . C)A
B C
|A|
|B|
θ |C|
|A||B| cos θ |C|
(A . B) C
A
B
C|A|
|C|
|B|
φ
|B||C| cos φ |A|A (B . C)
Hal 15 dari 24
2. A . (B X C) = B . (C X A) = C . (A X B)
AB
C A
B|C|
θ |A X B|
C
A
A X B
┐
B
θ
┐ C X A
Hal 16 dari 24
321
321
CCC
BBBx
kji
CB
Bukti A . (B X C) = B . (C X A)
= (B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k
A . (B X C) =
(A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k)
= A1 B2 C3 – A1 B3 C2 + A2 B3 C1 – A2 B1 C3 + A3 B1 C2 – A3 B2 C1
A = A1 i + A2 j + A3 k
B = B1 i + B2 j + B3 k
C = C1 i + C2 j + C3 k
Hal 17 dari 24
321
321
AAA
CCCx
kji
AC = (C2 A3 – C3 A2) i + (C3 A1 – C1 A3) j + (C1 A2 – C2 A1) k
B . (C x A) =
(B1 i + B2 j + B3 k) . ((C2 A3 – C3 A2) i + (C3 A1 – C1 A3) j + (C1 A2 – C2 A1) k)
= B1 C2 A3 – B1 C3 A2 + B2 C3 A1 – B2 C1 A3 + B3 C1 A2 – B3 C2 A1
= A1 B2 C3 – A1 B3 C2 + A2 B3 C1 – A2 B1 C3 + A3 B1 C2 – A3 B2 C1
= (A1 i + A2 j + A3 k) . ((B2 C3 – B3 C2) i + (B3 C1 – B1 C3) j + (B1 C2 – B2 C1) k)
= A . (B X C)
Hal 18 dari 24
C
A
B
A . (B X C) menyatakan volume (atau
minus volume) paralel epipedum dengan
rusuk-rusuk vektor A , vektor B
dan vektor C
Apabila A = A1 i + A2 j + A3 k
B = B1 i + B2 j + B3 k
C = C1 i + C2 j + C3 k
maka
)(. CBA
321
321
321
CCC
BBB
AAA
Pergandaan A . (B x C) disebut tripel ganda skalar atau box product
A . (B x C) biasa pula ditulis sebagai A . B x C
Hal 19 dari 24
3. A X (B X C) ≠ (A X B) X C A
B
B
C
┐B x C B x CA┐
A x (B x C)
A B┐A x B
C
┐
(A x B) x C)
A x B
C
Hal 20 dari 24
4. A x (B x C) = (A . C) B - (A . B) CC
A x (B x C) A
B
C
C
A
B
A
(A . B) C
B
B x C
B
CA
B x C
(A . C) B
(A . C) B
-(A . B) C
(A . C) B - (A . B) C
Hal 21 dari 24
(A X B) X C = (A . C) B - (B . C) A A = A1 i + A2 j + A3 k
B = B1 i + B2 j + B3 k
C = C1 i + C2 j + C3 k
321
321
BBB
AAAx
kji
BA = (A2 B3 – A3 B2) i + (A3 B1 – A1 B3) j + (A1 B2 – A2 B1) k
321
122131132332
CCC
BABABABABABAxx kji
CBA )(
= (A3 B1 – A1 B3) C3 i + (A1 B2 – A2 B1) C1 j + (A2 B3 – A3 B2) C2 k –
(A1 B2 – A2 B1) C2 i - (A2 B3 – A3 B2) C3 j - (A3 B1 – A1 B3) C1 k
Hal 22 dari 24
= (A3 B1 C3 – A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i
+ (A1 B2 C1 – A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j
+ (A2 B3 C2 – A3 B2 C2 - A3 B1 C1 – A1 B3 C1) k
(A . C) B = (A1 C1 + A2 C2 + A3 C3) (B1 i + B2 j + B3 k)
= (A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i + (A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j + (A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k
(B . C) A = (B1 C1 + B2 C2 + B3 C3) (A1 i + A2 j + A3 k)
= (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i + (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j + (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k
Hal 23 dari 24
(A . C) B - (B . C) A =
(A1 C1 B1 + A2 C2 B1 + A3 C3 B1) i - (B1 C1 A1 + B2 C2 A1 + B3 C3 A1) i +
(A1 C1 B2 + A2 C2 B2 + A3 C3 B2) j - (B1 C1 A2 + B2 C2 A2 + B3 C3 A2) j +
(A1 C1 B3 + A2 C2 B3 + A3 C3 B3) k - (B1 C1 A3 + B2 C2 A3 + B3 C3 A3) k
= (A3 B1 C3 – A1 B3 C3 - A1 B2 C2 + A2 B1 C2) i
+ (A1 B2 C1 – A2 B1 C1 - A2 B3 C3 + A3 B2 C3) j
+ (A2 B3 C2 – A3 B2 C2 - A3 B1 C1 – A1 B3 C1) k
= A x B x C
A x (B x C) biasa disebut vector triple product
Hal 24 dari 24