matematika v1

Matematika_”akar,polynomial,determinan dan matriks”

2.1. Mencari akaradalah positif jika x positif adalah negatif jika x negatif dan n ganjil

n = nomor indeks atau akar x = radicand = adalah tanda akar

Jika tidak ada nomor indeks n, maka yang dimaksud adalah sebagai akar.

à à à à

Untuk kasus nomer indeks mempunyai nilai yang sama dengan pangkat yang ada pada radicand, maka terdapat aturan berikut:

① Jika n adalah genap dan bilangan bulat positif, maka à ② Jika n adalah ganjil dan bilangan bulat positif, maka à

Sebagai contoh adalah sebagai berikut:1. à maksudnya akar 25 dapat bernilai -5 atau

+5

2. à Karena nomer akar dan pangkat adalah sama

yaitu bilangan bulat ganjil, maka jawabannya

bergantung pada nilai radicand apakah positif

atau negatif.

2.2. Perkalian dan hasil bagi akar Jika kita mengalikan dua akar yang mempunyai nomor indeks yang

sama, kita dapat menulis hasilnya dibawah akar yang sama dengan nomor indeks tersebut.

Sebagai contoh, tentukan hasil kali dua akar berikut :

1.

2.Jika nomor indeksnya berbeda, kita tidak dapat mengalikannya bersama-sama.Untuk hasil bagi akar dengan nomer indeks yang sama, maka:① Jika n adalah genap, x dan y menggambarkan setiap bilangan real yang tidak negatif, serta y tidak sama dengan nol. ② Jika n adalah ganjil, x dan y menggambarkan setiap bilangan real, serta y tidak sama dengan nol.

Saturday, October 23, 2010


2.4. Penjumlahan dan pengurangan akar

1. 2.

3.

2.5 Menyederhanakan akar-akar

2.6. Persamaan-persamaan dengan akar Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan-persamaan akar

adalah sebagai berikut:① Isolasi salah satu akar ② Hilangkan tanda akar dengan operasi invers untuk mendapatkan eksponen yang sesuai dengan nomer indeks.③ Jika masih ada tanda akar, ulangi langkah 1 dan 2④ Selesakan persamaan yang tersisa ⑤ Periksa untuk penyelesaian yang tidak berhubungancontoh :① à

② à 2x – 6 = 9 – 6x + x2

③ Karena tidak ada lagi akar-akar, maka tidak perlu mengulangi langkah 1 dan 2.

3. Eksponen

Hukum-hukum mengenai eksponen adalah sebagai berikut:① xm . xn = xm+n ④ (xm)n = xm.n

② ⑤ (x.y)n = xn . yn

③ ⑥

I. Hitunglah akar-akar berikut ini: ① ② ③ ④

⑤ ⑥ ⑦ ⑧



II. Sederhanakan akar-akar berikut:① ② ③ ④

⑤ ⑥ ⑦ ⑧

III. Carilah penyelesaian persamaan berikut:

① ②

③ ④

⑤ ⑥

⑦ ⑧

⑨ ⑩

1. PolynomialSuatu polynomial dalam x adalah suatu pernyataan yang melibatkan pangkat x, yang biasanya disusun dalam pangkat yang mengecil. Secara umum bentuknya adalah sebagai berikut:

n = bilangan bulat tidak negatif cn = koefisien utama c0 = konstanta

Derajat polynomial diberikan oleh pangkat x tertinggi yang muncul dalam pernyataan tersebut. Sebagai contoh:

2x – 3 à derajat pertama: linier 2x2 + 4x + 2 à derajat kedua: kuadratik

2x3 + 4x2 – 2x + 7 à derajat ketiga: kubik1.1 Penjumlahan polynomialContoh 1 : (3x3 + x2 – 2x + 10) + (3x2 – 5x)

= 3x3 + x2 – 2x + 10 + 3x2 – 5x à hilangkan tanda kurung = 3x3 + (x2 + 3x2) + (-2x + -5x) + 10 à kombinasi elemen

= 3x3 + 4x2 – 7x + 10 à hasil penjumlahan Cara vertical :3x3 + x2 – 2x + 10

3x2 – 5x +3x3 + 4x2 – 7x + 10

1.2. Pengurangan polynomial7x3 + 5x2 – 2x + 4

2x4 – 5x + 3 -

– 2x4 + 7x3 + 5x2 + 3x + 11.3 Perkalian polynomial



1.3.1 Mengalikan monomial dengan monomial

( -3x4 ) ( 2x5 ) = (-3)(2) (x4 )( x5 ) = -6x9

1.3.2 Mengalikan monomial dengan polynomialSebagai contoh:

2a x (7a3b3 + 3a2b2 – 5ab)

= 2a(7a3b3) + 2a(3a2b2) – 2a(5ab)= 14a4b3 + 6a3b2 – 10a2b)

1.3.3 Mengalikan polynomial dengan polynomial Sebagai contoh:

(2y – 3 ) x (4y2 + y – 7)

= 2y x (4y2 + y – 7) – 3 x (4y2 + y – 7)= (8y3 + 2y2 – 14y) – (12y2 + 3y – 21)= 8y3 + 2y2 – 14y – 12y2 – 3y + 21)= 8y3 + (2y2 – 12y2) + (-14y – 3y)+ 21= 8y3 – 10y2 – 17y + 21

Cara mengalikan dengan vertikal

4y2 + y – 72y – 3

kalikan semua dengan 2y 8y3 + 2y2 – 14y kalikan dengan -3 -12y2 – 3y + 21

tambahkan kedua baris 8y3 + 14y2 – 17y + 21

NB : Pastikan bahwa variabel dalam kolom yang sama memiliki pangkat yang sama.

1.4 Faktorisasi polynomial① (10x + 8) = 2 (5x + 4)② (35x 2 y 2 – 10x y 3) è FPB koefisien 35 & 10 ialah 5

FPB dari pangkat x ialah x FPB dari pangkat y ialah y2

jadi (35x 2 y 2 – 10x y 3) = 5x y 2 ( 7x - 2y ) ③ 15a 3b – 9a 2 b 2 = 3a 2 b (5a – 3b)④ 8x 4 y 3 + 6x 3 y 3 = 2x 3 y 2 ( 4xy + 3 ) Contoh lain :① 2ac + 6bc + ad + 3bd= ( 2ac + 6bc ) + (ad + 3bd )= 2c (a + 3b ) + d (a + 3b)



= (a + 3b ) (2c + d )② x 3 – 4x 2 y + x y 2 – 4y 3 = ③ 12x 2 – y 2 + 3x – 4xy 2 = ④ 20x 2 – 3y 2 + 4 xy 2 – 15x =

Pernyataan : a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 a2 – b2 = (a – b) (a + b) 1.4.1 Faktorisasi bentuk x2 + bx + c

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

1.4.2 Faktorisasi bentuk ax2 + bx + cContoh : 6x 2 + 11x + 3 = 6x 2 + 2x + 9x + 3

= (6x 2 + 9x) + (2x + 3) = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) = (2x + 3) (3x + 1)

Contoh lain : 3x 2 - 14x + 8 = 3x 2 - 2x - 12x + 8 = (3x 2 - 12x) – (2x – 8) = 3x (x - 4) – 2(x – 4)= (x - 4) (3x – 2)

1.5 Pembagian polynomial

4x2 – 6x + 7

3x + 4 12x3 – 2x2 – 3x + 28 12x3 + 16x2

– 18x2 – 3x – 18x2 – 24x

21x + 28 21x + 28

Metode synthetic division

2.1 Faktorisasi soal-soal berikut ① 18xy3 – 8x3y② 16x2 – 24xy – 18x + 27y③ x2 + 7x - 30④ x2 + 10x + 25⑤ x3 – 6x2y – 2xy + 12y2



⑥ (x – 2y)2 – (2x – y)2

⑦ 4x2 - 36⑧ 3x2 – 11x -4

2.2 Lakukan pembagian berikut ① (x2 + 5x – 6) : (x – 1)② (x2 – x – 2) : (x + 1)③ (12x3 - 11x2 – 25) : (3x – 5)④ (a3 + 8b3) : (a + 2b)⑤ (x2 + 2x – 3) : (x – 1)

⑥ (3a3 + 2a2 + 1) : (a + 1)

⑦ (15x3 + 46x2 – 49) : (5x + 7)⑧ (6x3 – 5x2 – 14x + 12) : (2x – 3)⑨ (18x3 + 13x +`14) : (3x + 2)⑩ (x3 + 2x2 – 25x – 50) : (x + 5)

2.3 Sederhanakan setiap soal berikut: ① 2ab – 4ac + ba – 2cb + 3ba② 3x2yz – zx2y + 4yxz2 – 2x2zy + 3x2yz – 3zy2

③ Cp x C-q : C-2

④ (x½)-2/3 : (y3/4)2 x (x3/5)-5/3

(x1/4)-1 x (y1/3)6

⑤ (x3/y2) : (x/y3)

⑥ (ab/c) : (ac/b) x (bc/a)

1. Determinan

1.1 Minor dari elemenMinor dari elemen suatu determinan adalah determinan dari elemen-elemen yang tersisa sesudah kita menghilangkan baris dan kolom dimana elemen tersebut berada. Sebagai contoh, minor a1 dalam D3 adalah



1.2 Nilai suatu determinan

1.3 Kofaktor elemen Kofaktor elemen dari suatu determinan adalah minor dari elemen

bersama dengan tanda dari hasilkali elemen dan minornya dalam ekspansi dari determinan itu.

Kofaktor dari elemen a1, a2, a3, b1, b2, … dapat dinyatakan dengan A1, A2, A3, B1, B2, …. Sebagai contoh, kofaktor c1 dalam D3 adalah

Jadi dengan menggunakan kofaktor elemen, ekspansi dari D3 pada baris ke dua adalah a2A2 + b2B2 + c2C2

1. Determinan1.5 Determinan orde 2

1.6 Determinan orde 3 ( cara sarrus )

det (A) = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33

� Reduksi baris atau kolom Cara lain yang dapat dilakukan untuk mendapatkan nilai determinan

adalah dengan mereduksi salah satu baris atau kolom (lihat sub bab 2.1: nilai suatu determinan ).



1.7 Persamaan simultan dengan 3 bilangan anu

Perhatikan persamaan berikut:a1x + b1y + c1z + d1 = 0a2x + b2y + c2z + d2 = 0a3x + b3y + c3z + d3 = 0

Jika kita cari x, y dan z dengan metode eliminasi, akan diperoleh hasil-hasil yang dapat dinyatakan dalam bentuk determinan sebagai berikut:

Dari hubungan determina tersebut diperoleh hasil sebagai berikut:

2. Matriks 2.1 Definisi Matriks Matriks adalah himpunan bilangan real atau kompleks yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk jajaran persegi panjang. Suatu matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut sebagai matriks yang mempunyai orde m x n.

2.3 Penambahan dan pengurangan matriks

�

�

2.7 Adjoin suatu matriks bujur-sangkar Untuk mendapatkan adjoin suatu matriks bujur-sangkar A, dapat

dilakukan dengan langkah-langkah berikut:� Tentukan nilai determinan A, yaitu |A|� Bentuklah matriks C kofaktor dari elemen-elemen |A|.� Tulislah transpos C yaitu CT, untuk mendapatkan adjoin A.



Sebagai contoh

Dari determinan A, dapat dibentuk matriks baru C dari kofaktor-kofaktornya sebagai berikut

2.8 Invers suatu matriks bujur-sangkar contoh :

� Tentukan nilai determinan A, yakni |A|

= (0+18+80) – (5+48+0) = 98 - 53 = 45

� Bentuklah matriks kofaktor CUntuk mendapatkan matriks C kofaktor, dilakukan perhitungan

setiap kofaktor elemen sebagai berikut



dari kofaktor elemen hasil perhitungan, didapatkan matriks C kofaktor sebagai berikut :

� Tuliskan transpos C untuk memperoleh adjoin matriks A

� Bagi elemen-elemen adj A dengan nilai |A|, yakni 45 untuk memperoleh invers A.


matematika v1

Documents