matematika terapan dan pemodelan rk...

Matematika

Terapan

dan Pemodelan

(RK 1441):

Konsep

Dasar

Pemodelan

Dr. Heru

SetyawanJurusan

Teknik Kimia FTI‐ITS

http://www.its.ac.id/personal/material.php?id=heru‐che

Dr. Heru Setyawan, Jurusan Teknik Kimia FTI-ITS

Materi

Pokok

Formulasi matematika persoalan‐persoalanTeknik KimiaPenyelesaian PD biasa dengan deretFungsi‐fungsi khususPenyelesaian analitik PD parsial


Daftar

Pustaka

Rice, R.G. and Duong, D.Do., Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers, John Willey, New York, 1995.Mickley, H.S., Sherwood, T.S. and Reed, C.E., Applied mathematics in Chemical Engineering, Mc.Graw Hill, New York, 1984.Jenson, V.G. and Jeffrey, G.V., Mathematical Methods in Chemical Engineering, Academic Press, London, 1977.


Penilaian

Kehadiran 10%Tugas 30%Quiz I & II 30%UAS 30%

100%


Produksi

Toluene dari

n-heptane

PLANT

CH3 CH2 CH2 CH2 CH2 CH2 CH3 →C6 H5 CH3 + 4H2

Reaksi dehidrogenasi pada katalis Cr2 O3 :

• Berapa suhu reaktor?• Bagaimana menentukan ukuran reaktor?• Bagaimana mengetahui kebutuhan panas/energi?• Bagaimana memisahkan produk?• Dan lain lain


Proses

Problem-Solving Rekayasa

Mendefinisikanmasalah

Modelmatematika

Hasil

angkaatau

grafik

Implementasi

DATATEORI

Alat

problem-solving:Komputer, statistika,

metoda

numerik, grafik, dll.

Interface masyarakat: penjadwalan,

optimisasi, komunikasi, interaksi

publik, dll.


Model Matematika

Sederhana

Model matematika: didefinisikan secara luas sebagai rumus atau persamaan yang menyatakan ciri pokok sistem fisik atau proses dalam bahasa matematika.

• Variabel tak bebas: karakteristik yang biasanya mencerminkan perilaku atau keadaan sistem

• Variabel bebas: biasanya dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku sistem ditentukan

• Parameter: merupakan cerminan sifat-sifat atau komposisi sistem• Fungsi penggerak: pengaruh luar yang bekerja pada sistem.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= penggerak

fungsi parameter, ,bebasvariabel bebas tak

Variabel f

Model dapat diwakili sebagai hubungan fungsional berbentuk:


Model Matematika

Sederhana

Hukum Newton II (tentang gerak): laju perubahan momentum sebuah benda sama dengan gaya resultante yang bekerja padanya.

• a = variabel tak bebas yang mencerminkan perilaku sistem• F = fungsi penggerak• m = parameter yang mewakili sifat sistem

Untuk kasus sederhana seperti ini tidak ada variabel bebas karena kita tidak memprediksi bagaimana percepatan berubah dalam waktu atau ruang.

dalam format persamaan diatas:

maF =

mFa =


Karakteristik

Tipikal

Model Matematika

Fisik

Model matematika menggambarkan proses alam atau sistem dalam bahasa matematika.Model matematika mewakili idealisasi dan simplifikasi realitas. Yakni, model tersebut mengabaikan detail dari proses alam dan menfokuskan pada manifestasi intinya. Jadi, hukum Newton II tidak memasukkan pengaruh relativitas yang pengaruhnya kecil ketika dikenakan pada benda dan gaya yang berinteraksi pada atau disekitar permukaan bumi pada kecepatan dan pada skala yang tampak mata manusia.Model matematika menghasilkan hasil yang dapat diulangi, dan sebagai akibatnya, dapat digunakan untuk tujuan prediksi. Sebagai contoh, jika gaya pada benda dan massanya diketahui, persamaan diatasdapat digunakan untuk menghitung percepatan.


Model Yang Lebih

Kompleks

FA

FB

Gaya-gaya yang bekerja pada benda jatuh

Berapa kecepatan akhir batu jatuh bebas?

Dalam hukum Newton II:

Percepatan, a Laju perubahan percepatan, dv/dt

Fdtdvm =AB FFF +=

mgFB =

vCF DA −=vCmg

dtdvm D−=

vmCg

dtdv D−=

( ) ( )[ ]tmC

D

DeCgmtv −−= 1

dibagi m

v = 0 pada t = 0

• t = variabel bebas• CD , m = parameter• g = fungsi penggerak


Tipe-Tipe

Model

Model FisikRealisasi fisik seperti apa adanya.Biasanya berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebihsederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkandan diwakili.Contoh:

Berukuran lebih kecil: Model skala pesawat terbang, kapal, saluranairBerukuran sama tetapi konstruksinya sederhana: Perancangan ataudesain mobilPeralatan proses ukuran laboratorium atau pilot plant

Model Konseptualrealisasi fisik seperti apa adanya, tetapi merupakan saran atau usulan pernyataan realisasi fisik.Realisasi fisik dari saran adalah sebuah kalimat yang dinyatakandalam bahasa yang sesuai.Jika menggunakan bahasa matematika, kalimat tersebut disebut persamaan.


Model Proses

Konseptual

Model

Variabel

input

Variabel

output

Variabel

internal

PernyataanParameter prosesParameter non‐proses

• Dalam model proses konseptual terdapat pernyataan yang mengandung parameter-parameter;

• Setiap pernyataan:• merupakan model dari sebuah sub-fenomena.• menyatakan hubungan antara input dan output sub-fenomena yang

menjadi pertanyaan.


Hubungan

Proses

dan

Model Proses

Besaran

dan

pernyataan Parameter

proses

Parameternon‐proses

Model proses

Fenomena

proses

Peralatan

proses

Sifat

fisika Besaran

lain

Proses

Ruang

model

Ruang

fisik


Manfaat

Model Matematika

Riset dan pengembangan: menentukan mekanismekinetika kimia dan parameter‐parameter dari data reaksilaboratorium atau pilot plant; mengeksplorasi pengaruhkondisi operasi yang berbeda untuk optimisasi dan studipengendalian; membantu dalam perhitungan scale‐up.Desain: Mengeksplorasi ukuran dan susunan peralatanproses untuk unjuk kerja dinamis; mempelajari interaksibermacam‐macam bagian proses, khususnya ketikadigunakan recycle bahan atau integrasi panas; mengevaluasi proses alternatif dan struktur pengendalidan strategi; mensimulasikan start‐up, shutdown, dansituasi dan prosedur darurat.Operasi pabrik: troubleshooting masalah pengendali danproses; membantu dalam start‐up dan training operator; mempelajari pengaruh dari dan kebutuhan untukproyek ekspansi (menghilangkan bottleneck); mengoptimalkan operasi pabrik.


Model teoritis: dikembangkan menggunakanprinsip kimia dan fisika.Model empiris: diperoleh dari analisa matematika(statistika) data operasi proses.Model semiempiris: mongkompromikan antara (a) dan (b), dengan satu atau lebih parameter dievaluasi dari data eksperimen atau plant.

Klasifikasi

Model matematika

Pembedaan model teoritis-empiris didasarkan pada tujuan penggambaran pernyataan dan bukan pada kedalaman pengetahuan.


Perbandingan

Model Teoritis

dan

Empiris

Teoritismencoba menggambarkan meknisme dari sebuah fenomena(menggambarkan hubungan sebab‐akibat dari suatu mekanisme).Karena keterbatasan pengetahuan tentang fisika ruang‐waktu, gambaran hubungan sebab‐akibat ini dibatasi pada tingkat penggambaran yang sangat kasar. Contoh: dalam rekayasa proses digunakan aksioma kontinum dan bukan teori kuantum.membutuhkan pemahaman tentang mekanisme sehinggamembutuhkan sangat banyak pengetahuan (pemahaman) dan sangat banyak kerja untuk mengembangkan.dapat digunakan untuk mengekstrapolasi dengan resiko yang lebih kecil dibandingkan dengan pernyataan empiris.

Empiristidak mencoba menggambarkan mekanisme.tidak didasarkan pada teori yang menyatakan mekanisme tersebut.didasarkan pada data yang diperoleh melalui pengalaman (percobaan dan pengamatan) tanpa interpretasi eksplisit tentang data melalui sebuah teori.mengkorelasikan data empirismenggunakan metoda statistika.lebih mudah untuk mengembangkan daripada pernyataan teoritis.hanya dapat digunakan untuk ekstrapolasi dengan resiko yang sangat besar karena model empiris tidak memberikan implikasi apapun tentang keabsahannya diluar kisaran data dimana data tersebut didasarkan.


Ilustrasi

Model Teoritis

dan

Empiris

Penentuan faktor friksi f untuk aliran fluida incompressible dalam pipa. Aliran laminar:Dari persamaan konservasi memontum dan persamaan fluida Newtonian:

2100 Re Re16

<=f

525,0 103 Re 3000 Re079,0 ×<<= −fAliran turbulent:

102 103 104 105 1060.001

0.01

0.1

Fakt

or fr

iksi

, f

Bilangan Reynolds, Re102 103 104 105 106

0.01

0.1


Rangkuman

Model yang sering digunakan dalam teknik kimia:Model fisik: realisasi fisik seperti apa adanya tetapi berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebih sederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkan dan yang diwakili. Model konseptual: saran atau usulan pernyataan realisasi fisik yang dinyatakan dalam bahasa yang sesuai dimana dalam teknik bahasa yang paling sering digunakan adalah bahasa matematika yang umumnya disebut persamaan atau model matematika.

Model matematika hanyalah merupakan suatu pendekatan dari suatu proses nyata yang tidak dapat menggambarkan secara rinci fenomena fisika, baik makroskopis maupun mikroskopis, yang menyertai proses tersebut.Uji plant tetap dibutuhkan untuk mengkonfirmasi validitas model dan membuktikan ide dan rekomendasi penting yang timbul dari studi model.


Soal

1.

Jawab benar atau salah dan diskusikan jawaban anda:a.

Saat ini perhatian dapat lebih diberikan kepada masalah

formulasi matematika proses teknik kimia dan interpretasinya

karena komputer dan metoda numerik menfasilitasi

penyelesaian problema teknik kimia.

b.

Hukum kedua Newton merupakan contoh yang bagus dari

fakta bahwa sebagian besar hukum‐hukum fisika didasarkan

pada laju perubahan besaran daripada pada besarnya besaran.

c.

Model matematika seharusnya tidak pernah digunakan untuk

tujuan prediksi.

2.

Dean (Ph.D. Thesis, University of London, 1974) mengukur variasi

kecepatan garis pusat uc

dalam daerah masuk aliran udara diantara

dua pelat sejajar yang skemanya ditunjukkan pada gambar dibawah.

x

y uc

Daerah

masuk

Daerah

terkembang

penuh

2Lu0


Soal

Hasil pengukuran, yang dinyatakan sebagai jarak tak berdimensi x/L

dan kecepatan pusat tak berdimensi uc

/u0

, ditunjukkan pada tabel

dibawah.

a.

Buat grafik x/L

lawan uc

/u0

berdasarkan data yang disajikan

pada tabel diatas.b.

Cari persamaan yang pas yang menghubungkan uc

/u0

sebagai

fungsi x/L

untuk data tersebut. Dapatkah data tersebut diwakili

oleh satu persamaan? Jika tidak, berikan saran agar semua data

terwakili!c.

Termasuk klasifikasi yang manakah persamaan yang diperoleh

pada (b) diatas?

x/L 18 29 40 55 65 78 90 100 115 150 uc/u0 1,062 1,082 1,11 1,125 1,15 1,16 1,165 1,138 1,13 1,12


Soal

3.

Data berikut dilaporkan untuk kesetimbangan uap‐cair untuk

campuran biner benzene dan toluene:

dimana x

dan y

berturut‐turut mewakili fraksi mol benzene dalam

cairan dan uap.a.

Tunjukkan bagaimana data ini dapat diplotkan untuk

menghasilkan garis lurus jika volalitas relatif adalah konstan.

Jika benzene dan toluene dianggap mengikuti hukum Raoult,

volatilitas relatif α dapat dianggap konstan dan hubungan

antara x

dan y

bisa dinyatakan sebagai:

b.

Paskan garis lurus terbaik dengan titik‐titk pada suatu grafik

dengan (i) pengamatan visual garis lurus melalui titik‐titik dan

(ii) metoda rata‐rata.

c.

Tentukan volatilitas relatif rata‐rata campuran dengan

menggunakan garis lurus yang diperoleh.

d.

Termasuk tipe persamaan yang manakah persamaan diatas?

Diskusikan!

x 0,167 0,333 0,500 0,667 0,833 y 0,320 0,550 0,710 0,830 0,930

( )xxy

11 −+=

αα

matematika terapan dan pemodelan rk...

Documents