matematika smu

Panduan Materi Matematika SMK (Teknik Kesehatan)

M A T E M A T I K A

TEKNIK KESEHATAN


DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan i

KATA PENGANTAR

Keputusan Menteri Pendidikan Nasional No. 153/U/2003, tanggal 14 Oktober 2003,tentang Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 2003/2004, antara lain menetapkan bahwa dalampelaksanaan ujian akhir nasional ada mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusatdan ada mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh sekolah. Mata pelajaran yang naskahsoalnya disiapkan oleh pusat untuk SMK adalah mata pelajaran Bahasa Indonesia, BahasaInggris, dan Matematika. Naskah soal tiga mata pelajaran ini disiapkan oleh Pusat PenilaianPendidikan (Puspendik). Selain dari tiga mata pelajaran tersebut naskah soalnya disiapkan olehsekolah/madrasah.

Berkaitan dengan hal tersebut, Pusat Penilaian Pendidikan menyiapkan buku panduanmateri untuk mata pelajaran-mata pelajaran yang naskah soalnya disiapkan oleh pusat. Buku inimemuat uraian tentang hal-hal sebagai berikut.

1. Gambaran umum.2. Standar kompetensi lulusan.3. Ruang lingkup, ringkasan materi, beserta latihan dan pembahasannya.

Buku panduan materi ujian ini dimaksudkan untuk memberi arah kepada guru dan siswatentang materi yang akan diujikan berkaitan dengan berbagai kompetensi lulusan dalam matapelajaran-mata pelajaran tersebut. Dengan adanya buku panduan materi ujian ini, diharapkanpara guru dapat menyelenggarakan proses pembelajaran yang lebih terarah, dan para siswa dapatbelajar lebih terarah pula. Dengan demikian, diharapkan para siswa dapat mencapai hasil ujianyang sebaik mungkin.

Semoga buku ini bermanfaat bagi berbagai pihak dalam rangka meningkatkan mutuproses dan hasil belajar siswa.

Jakarta, Desember 2003Kepala Pusat Penilaian Pendidikan,

Bahrul Hayat, Ph.D.NIP 131602652


DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan ii

DAFTAR ISI

HalamanKata Pengantar ........................................................................................................... iDaftar Isi .................................................................................................................... ii

Gambaran Umum....................................................................................................... 1Standar Kompetensi Lulusan ..................................................................................... 2

Ruang Lingkup dan Ringkasan Materi ...................................................................... 3

• Kompetensi 1 ................................................................................................. 3• Kompetensi 2 ................................................................................................. 24• Kompetensi 3 ................................................................................................. 29• Kompetensi 4 ................................................................................................. 34• Kompetensi 5 ................................................................................................. 42• Kompetensi 6 ................................................................................................. 52


DEPDIKNAS Hak Cipta pada Pusat Penilaian Pendidikan 1

• Pada ujian nasional tahun pelajaran 2003/2004, bentuk tes Matematikatingkat SMK berupa tes tertulis dengan bentuk soal pilihan ganda,sebanyak 40 soal dengan alokasi waktu 120 menit.

• Acuan yang digunakan dalam menyusun tes ujian nasional adalahkurikulum 1994 beserta suplemennya, dan standar kompetensi lulusan.

• Materi yang diujikan untuk mengukur kompetensi tersebut meliputi:bilangan berpangkat, basis bilangan, bentuk aljabar, barisan dan deret,persamaan dan pertidaksamaan, fungsi komposisi, sistem persamaanlinear dan program linear, persamaan kuadrat, matriks, logaritma, logikamatematika, penarikan kesimpulan, lingkaran, luas dan keliling bangundatar, jaring-jaring, volum dan luas permukaan bangun ruang,pengukuran, skala, perbandingan dan fungsi trigonometri, ukuranpemusatan, ukuran penyebaran, peluang, permutasi dan kombinasi, limit,differensial, integral, dan luas antara dua kurva.

GAMBARAN UMUM



Standar Kompetensi Lulusan

1. Siswa mampu memahami konsep dan operasi hitung pada bilangan dan bentukaljabar, barisan dan deret, persamaan, pertidaksamaan, fungsi, sistem persamaanlinear dan program linear, matriks, dan logaritma, serta mampu menerapkannyasesuai dengan bidang keahlian.

2. Siswa mampu memahami konsep logika matematika untuk pemecahan masalah.

3. Siswa mampu memahami konsep bangun datar, bangun ruang, pengukuran, danskala, serta mampu menerapkannya sesuai dengan bidang keahlian.

4. Siswa mampu memahami konsep perbandingan dan fungsi trigonometri dan mampumenggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

5. Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan mampu memahamikonsep kejadian dan peluang, serta mampu menggunakannya dalam kehidupansehari-hari.

6. Siswa mampu memahami konsep limit, diferensial, dan integral, serta mampumenggunakannya untuk menyelesaikan masalah.



RINGKASAN MATERI DAN CONTOH SOAL

Ringkasan Materi

A. Bilangan irasional.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk ba dengan a

dan b = 0.

Contoh 7 ,6 ,5 ,3 ,2 dan sebagainya,Atau bilangan desimal berulang yang tidak beraturan, contoh 2,315645913 …

Jika suatu desimal mempunyai angka berulang dan beraturan bukan termasuk bilanganirasionalContoh a. 0,111111 …

b. 0,3333 …c. 0,12121212 …d. 0,6666 … dsb.

Karena bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk ba .

Contoh:Ubahlah bentuk desimal 0,121212 … menjadi pecahan biasa!Jawab:

Misal P = 0,121212 …100 P = 12,12121212 …

100P – P = 12,121212 … – 0,121212 … 99 P = 12

P = 9912

P = 334

Jadi bentuk desimal dari 0,121212 … = 334

KOMPETENSI 1

Siswa mampu memahami konsep dan operasi hitung pada bilangan dan bentuk aljabar,barisan dan deret, persamaan, pertidaksamaan, fungsi, sistem persamaan linear dan programlinear, matriks, dan logaritma, serta mampu menerapkannya sesuai dengan bidang keahlian.



Operasi pada Bilangan Irasional

1. Penjumlahan dan pengurangan.Bilangan irasional dapat di jumlah maupun dikurangi jika bagian tersebut sejenis.

Contoh:a. 2 5 + 4 5 = (2 + 4) 5

= 6 5

b. 7 3 + 5 3 − 4 5 = (7 + 5) 3 − 4 5 = 12 3 − 4 5 = 4 (3 3 − 5 )

c. 3 72 + 4 50 − 2 200 = 3. 210022254236 ×−×+×= 3 × 6 2 + 4 × 5 2 − 2 ×10 2= 16 2 + 20 2 − 20 2= (18 + 20 – 20) 2= 18 2

2. Merasionalkan penyebutJika suatu pecahan penyebutnya bilangan irasional maka untuk merasionalkan

penyebutnya dengan jalan di kalikan dengan akar sesamanya.

Contoh.Rasionalkan penyebutnya!

a. 7

2 b. 57

4−

c. 32

6+

Jawab:

a.7

7277

72

=×

b. ( ) ( )57257

5745757

574

+=−+

=++

×−

c. ( ) ( )32634

3263232

326

−=−−

=−−

×+



B. Bilangan berpangkat (Pangkat Rasional)Sifat-sifat

1. ab × ac = ab+c

2. ab : ac = ab – c

3. (ab)c = ab × c

4. 21

aa =

5. cb

c b aa =6. a0 = 1

7.ab

ba 1

=

−

8. ac × bc = (a × b)c

9. a-b = ba

1

Contoh :

Carilah nilai dari a. ( ) ( )3

41

52

2168132 ×

b. 12

3 932125 −

−

×

×

c. 64 × 512-1 ×8

Jawab:

a. ( ) ( )( )

26

32

6

32 2

31

3

41

452

5

=×

=×

b. ( )91

235

231

3 ×

×

= 5 × 91

49×

= 45

c. 26 × 2-9 × 23 = 26+(-9)+3 = 20 = 1

Exponen dalam bentuk ax, a bilangan Real dan x merupakan variabel dari persamaan.Contoh:Carilah nilai x pada persamaan eksponen berikut ini!

a. 23x = 641 b. 3x+6 =

2x27

1−

c. 125

15 x4x2=−



Jawab:a. 23x = 2−6

3x = −6

36x −

=

x = −2

b. 3x+6 = ( )21

2x27 −

3x+6 = ( ) 21

6x33−−

3x+6 = 26x3

3+−

x + 6 = 2

6x3 +−

2x + 12 = −3x + 6 5x = −6

x = 2,156

−=−

c. 3x4x 552 −− =

x2 − 4x = −3x2 −4x + 3 = 0(x − 3)(x − 1) = 0x1 = 3 x2 = 1

C. LogaritmaBentuk umum alog b = c artinya ac = b dengan bilangan pokok a dan b > 0Sifat-sifat 1. alog b + alog c = alog b × c.

2. alog b − alog c = alog cb

3. alog a = 14. alog ac = c5. alog b × blog c × c log d = alog d6. bloga

a = b. dan sebagainya

Contoh:Carilah nilai logaritma berikut ini!a). 2log 12 + 2log 20 − 2log 15

b).

61log

91log 27log

6

33 −



c). 2log x + 2log (x + 2) = 3

d). 2log 27 × 3log 125 × 5log 81

Jawab:

a). 16log 15240log

152012log 222 ==

×

= 2log 24 = 4 2log 2 = 4 × 1 = 4

b). 51

56log 1

3log6log 1

243log 6log

27log

6

53

6

3

1691

3

−=−

=−

=−

=−

c). 2log x (x + 2) = 2log 82log (x2 + 2x) = 2log 8x2 + 2x = 8x2 + 2x – 8 = 0(x + 4)(x – 2) = 0x1 = −4 x2 = 2Untuk x = −4 tidak memenuhi jadi Hpnya x = 2

d). 2log 33 × 3log 53 ×5 log 2-3

= 3 × 3 × −3. 2log 3 × 3 log 5 × 5log 2= −27 × 2log 2= −27 × 1= −27

D. Skala dan Persen

Skala 1 : 1.000.000 artinya setiap satu 1 cm pada peta mewakili 1.000.000 cm padasesungguhnya.Contoh:1). Jika pada peta jarak Jakarta – Bukit Tinggi 15 cm jika skala tertulis 1 : 20.000.000,

berapa jarak sebenarnya antara Jakarta – Bukit Tinggi?2). Jarak antara kota Wonogiri – Gorontalo 5.000 km. Jika skala 12.500.000. Berapa jarak

ke dua kota tersebut pada peta?

Jawab:1). Pada skala tertulis 1 : 20.000.000 artinya setiap 1 cm pada peta mewakili 20.000.000 cm

atau 200 km pada sesungguhnya.Jadi jarak sesungguhnya adalah 200 km × 15 = 3.000 km

2). Jarak sesungguhnya = 5.000 km = 500.000.000 cm. Jarak pada peta =000.500.12000.000.500 40 cm.



Persen artinya per seratusContoh1). Ubahlah pecahan berikut kedalam persen

a. 41 b.

81 c.

201 d. 0,4 e. 0,125

2). Di dalam kelas terdapat 35 murid wanita dan 7 murid laki-lakia. berapa persen murid laki-laki di banding jumlah murid dalam kelas?b. Berapa persen murid laki-laki di banding murid wanita?

Jawab:

1. a.41× 100% = 25%

b.81× 100% = 12,5%

c.201× 100% = 5%

d. 0,4× 100% = 40%e. 0,125× 100% = 12,5%

2. a. Murid laki-laki = 7 jumlah murid 42

persentase = 100427

× %

= 10061× % = 16,6%

b. Murid laki-laki = 7Murid wanita = 35

Persentase = 100357

× % = 20%

E. Aproksimasi

Perhitungan secara matematika yang di lakukan dengan pendekatan dalam pengukuran.1. Pengukuran terkecil

pengukuran terkecil adalah nilai terkecil dari banyaknya pendekatan desimal yang adaContoh:

a. Panjang benda 15 m pengukuran terkecilnya 1 mb. panjang benda 8,6 cm pengukuran terkecilnya 0,1 cmc. Berat benda 2,35 gram pengukuran terkecilnya 0,01 gram

2. Salah mutlak

Salah mutlak adalah 21 dari pengukuran terkecil



ContohDiketahui berat benda 8,15 gramCarilah salah mutlak pengukuran tersebut

Jawab:Pengukuran 8,15Pengukuran terkecil 0,01

Salah mutlak = 21 × 0,01 = 0,005 gr.

3. Salah RelatifSalah relatif adalah salah mutlak di bagi dengan hasil pengukuranContoh :

Tentukan salah relatif dari sebuah benda yang bermassa 2,5 kg.Jawab:

Pengukuran terkecil 0,1 kg

Salah mutlak 21× 0,1 = 0,05

Salah relatif = 02,05,2

05,0=

4. Persentasi kesalahanPersentasi kesalahan adalah salah relatif × 100%Contoh :

Diketahui hasil pengukuran panjang suatu benda 10,0 cmCarilah prosentase kesalahannya!

Jawab:Hasil pengukuran 10,0 cmPengukuran terkecil = 0,1Salah mutlak = 0,05

Salah relatif = 0,10

05,0 = 0,005

Persentasi kesalahan 0,005 × 100% = 0,5%

Diketahui hasil pengukuran panjang suatu benda 12,5 cm.Carilah a. Pengukuran terkecil

b. Salah mutlakc. Salah relatifd. Persentase kesalahannya!

LATIHAN DAN PEMBAHASAN



Pembahasan:a. Hasil pengukuran 12,5 cm

pengukuran terkecil = 0,1 cm

b. Salah mutlak = 05,01,021

=×

c. Salah relatif = 5,12

05,0pengukuran hasil

mutlak salah=

= 0,004 persentase kesalahan = salah relatif × 100%

= 0,004 × 100% = 0,4%

5. A. Luas maksimum, luas minimum dan Toleransi

Luas maksimum = panjang maksimum × lebar maksimumLuas minimum = panjang minimum × lebar minimumToleransi = panjang maksimum – panjang minimum

Contoh:Diketahui sebuah bidang dengan ukuran panjang 15,2 m dan lebar 12,5 mCarilah luas maksimum dan minimumnya

Ukuran panjang 15,2 mPanjang maksimum = panjang pengukuran + salah mutlakPanjang minimum = panjang pengukuran – salah mutlak

Lebar maksimum = lebar pengukuran + salah mutlakLebar minimum = lebar pengukuran – salah mutlak

Panjang mak = 15,2 + 0,05 = 15,25 ,Panjang min = 15,2 – 0,05 = 15,15 m

Lebar mak = 12,5 + 0,05 = 12,55 mLebar min = 12,5 – 0,05 = 12,45 m

Luas mak = panjang × lebar mak = 15,25 × 12,55 m = 191,3875 m2

Luas min = panjang minimum × lebar minimum = 15,15 m × 12,45 m = 188,6175 m2



5. B. Selisih maksimum dan minimum pada dua buah pengukuran.

Selisih maksimum adalah selisih antara panjang maksimum pada pengukuran pertamadi kurang panjang minimum pengukuran ke dua.

Selisih minimum adalah panjang minimum pada pengukuran pertama di kurangpanjang maksimum pengukuran ke dua.

Contoh dari dua buah pengukuran panjang suatu benda di ketahui sebagai berikut:Panjang benda I 45,4 cmPanjang benda II 40,8 cmCarilah selisih maksimum dan minimumnya

Jawab :Pengukuran I Panjang = 45,4 cm

Panjang mak = 45,45Panjang min = 45,35

Pengukuran II Panjang = 40,8 cmPanjang mak = 40,85Panjang min = 40,75

Selisih mak = 45,45 cm – 40,75 cm = 4,70 cmSelisih min = 45,35 cm – 40,85 cm = 4,50 cm

Toleransi adalah selisih pengukuran maksimum – pengukuran minimumContoh dari hasil pengukuran berat benda 2,7 gramBerat maksimum = 2,75 grBerat minimum = 2,65 gr

Toleransi = 2,75 gr – 2,65 gr = 0,1 gr atau dapat di tulis (2,7 ± 0,5).

F. Persamaan dan Pertidaksamaan

F.1. Persamaan linier dengan I variabelContoh :Carilah nilai x pada persamaan ini!1). 5x + 6 = 2x – 9.

2). 3x2 = − 4



Jawab:1). 5x + 6 = 2x – 9

5x – 2x = −9 – 6 3x = −15

x = 315−

x = −5

2).3x2 = −4

2x = −12

x = 6212

−=−

F.2. Persamaan linier dengan 2 variabelContoh :Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan :1). 2x – y = 11

x + 2y = 3

2). Harga 4 buku dan 3 pensil adalah Rp10.100,00Harga 3 buku dan 5 pensil adalah Rp 9.500,00Burhan membeli 6 buku dan 2 pensil dengan membayar Rp20.000,00. Berapakahkembaliannya?

Jawab:1). 2x – y = 11 1 2x – y = 11

x + 2y = 3 2 2x + 4y = 6 −5y = 5 y = −1

2x – (−1) = 11 2x + 1 = 11 2x = 10

x = 2

10 = 5 Hp = {5, −1}

2). Misal buku = x pensil = y

4x + 3y = 10.100 3 12x + 9y = 30.3003x + 5y = 9.500 4 12x + 20y = 38.000

−11y = −7.700

y = 11

700.7−

y = 700.



4x + 3(700) = 10.1004x + 2.100 =10.100

4x = 10.100 – 2.100 4x = 8.000

x = 4000.8 = 2.000

Harga 1 buku Rp2.000,00 dan harga 1 pensil 700Harga 6 buku + 2 pensil = 6(2.000) +2(700)

= 12.000 + 1.400 = 13.400.

Jika Burhan membayar dengan uang Rp20.000,00 maka kembaliannyaRp20.000,00 – Rp13.400,00 = Rp6.600,00

F.3.1. Persamaan Kuadrat Bentuk umum ax2 + 6x + c = 0 dengan syarat a ≠ 0. Untuk menentukan Akar – akar persamaan kuadrat salah satunya dengan caramemfaktorkan.

Contoh :Carilah akar-akar persamaan kuadrat!1). 3x2 + 5x – 2 = 02). x2 − 7x – 18 = 0

Jawab :1). 3x2 + 5x – 2 = 0

(3x – 1)(x + 2) = 0

3x – 1 = 0 x + 2 = 0 3x = 1 x2 = − 2

x1 = 31

2). x2 − 7x – 18 = 0(x – 9)(x + 2) = 0x – 9 = 0 x + 2 = 0 x1 = 9 x2 = −2

F.3.2. Menyusun persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 Jika x1 dan x2 di ketahui

ax2 − (x1 + x2) x + x1. x2 = 0Contoh:Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:

a. 2 dan 31

−

b. 31

− dan −5

c. 4 dan −1



Jawab:

a. x2 − (2 + (31

− )x + 2 × 31

− = 0

x2 − 35 x −

32 = 0

3x2 − 5x – 2 = 0

b. x2 – (31 + (−5)x +

31 × – 5 = 0

x2 − (−3

14 )x − 35 = 0

x2 + 3

14 x − 35 = 0

3x2 + 14x – 5 = 0

c. x2 – (4 + − 1)x + 4 × – 1 = 0x2 – 3x – 4 = 0

F.3.3. Simetris Akar-akar Persamaan Kuadrat Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Akar-akarnya x1 dan x2 maka nilai

x1 + x2 = −ab dan x1 . x2 =

ac .

Contoh soal:Diketahui persamaan kuadrat2x2 + 5x – 3 = 0 Akar-akarnya x1 dan x2 carilah:a. x1 + x2b. x1 . x2

c. 22

21 xx +

d. 21 x

1x1

+

Jawab:

a. x1 + x2 = 25

ab

−=−

b. x1 . x2 = 23

ac −=

c. 22

21 xx + = (x1 + x2)2 – 2x . x2

=

−−

−

232

25 2

= 425 + 3

= 941



d.35

x . xxx

x1

x1

23

25

21

21

21

==+

=+−

−

G. PertidaksamaanG.1. Pertidaksamaan linier

Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya berderajatsatu.Contoh

i : 2x + 5 > 2ii : 6x – 3 < 2x + 4

Contoh soal:Carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ini.a). 6x – 2 < 2x + 10

b). 3

)5x6(2 + < 5x + 10

c). −6 < 2x +4 < 12

Jawaba). 6x – 2 < 2x + 10

6x – 2x < 10 + 2 4x < 12

x < 3

12

x < 4Hp = {x|x < 4, x ∈ R}

b). 2(6x + 5) < 3(5x + x) 12x + 10 < 15x + 30 12x – 15x < 30 – 10 −3x < 20

x > 3

20−

x > −632

Hp = {x|x > −632 , x ∈ R}

c). −6 < 2x + 4 < 12 −6 – 4 < 2x + 4 – 4 < 12 – 4 −10 < 2x < 8 −5 < x < 4

Himpunan = {x| −5 < x < 4, x ∈ R}



G.2. Pertidaksamaan KuadratBentuk umum i ax2 + bx + c > 0

ii ax2 + bx + c ≥ 0iii ax2 + bx + c < 0iv ax2 + bx + c ≤ 0

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat adalah selang (interval) pada sumbux yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.Contoh soal:Carilah Hp dari pertidaksamaan berikut ini.

1. 3x2 + 5x – 2 ≤ 02. 2x2 – 5x – 3 > 03. −x2 – 2x + 3 ≥ 0

Jawab:3x2 + 5x – 2 ≤ 03x2 + 5x – 2 = 0(3x – 1)(x + 2) = 03x – 1 = 03x = 1 x + 2 = 0

x1 = 31 x2 = −2

−2 31

Kita ambil salah satu titik pada interval garis tersebut misal 0 kita substitusikanpertidaksamaan awal (soal).3x2 + 5x – 2 ≤ 03(0)2 + 5(0) – 2 ≤ 0 −2 ≤ 0 memenuhi.

Jadi nilai x yang memenuhi antara −2 dan 31 .

Hp = {x| −2 ≤ x ≤ 31 , x ∈R)

2). 2x2 – 5x – 3 > 02x2 – 5x – 3 = 0(2x + 1)(x – 3) = 02x + 1 = 0 x – 3 = 02x = −1 x2 = 3

x1 = −21 Hp + + − − − − − + + +

−21 3

}A ≠ 0



Untuk x = 0 tidak memenuhi jadi yang memenuhi x < −21 dan x > 3.

Hp = {x| x < −21 atau x > 3, x ∈ R}.

3). −x2 – 2x + 3 ≥ 0−x2 – 2x + 3 = 0(−x + 1)(x + 3) = 0−x + 1 = 0 x + 3 = 0

−x = −1 x2 = −3 − − − + + + + Hp − − − x1 = 1

−3 1Untuk x = 0 kita substitusikan soal ternyata memenuhijadi Hpnya (x | −3 ≤ x ≤ 1, x ∈ R}

H. Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang tersusun dalam bentuk baris dan kolom.

Operasi matrik1). Penjumlahan dan pengurangan 2 matriks atau lebih dapat di jumlah maupun di kurangi

jika matrik tersebut mempunyai ukuran yang sama.Contoh:

Diket matriks A =

−6 42 5

B =

− 2 5

4 7 dan C =

1 93 10

Carilah a). A + Bb). A + B – Cc). 2A + 3B + 4C

Jawab:

a). A + B =

− 8 1

2 21

b). A + B – C =

−

−7 101 2

c). 2A =

−21 84 10

3B =

− 6 15

21 12 4C =

4 36

12 40

2A + 3B + 4C =

22 2902 71



2). Perkalian Matriks2 buah matrik dapat di kalikan jika jumlah kolom matriks 1 = jumlah baris matriks 2.

Misal matriks A

d cb a

B =

h gf e

Contoh:

Jika A =

−6 42 5

dan B =

−1 6 4 3

Maka A × B =

++−+⋅−+−

661 3612(-2)20 1215

=

−22 24

18 27.

3). Invers matriks jika A =

d cb a

maka invers dari matriks A di lambangkan A-1

A-1 =

−

−− a c

b d

bcad1

Contoh:

Diket matriks A =

3 57 12

Carilah A-1

Jawab:

A-1 =

−

−− 21 5

7 3

35361 =

−

−21 57 3

4). Kesamaan matriks 2 matrik dikatakan sama jika ukurannya sama dan unsur-unsur yangbersesuaian sama.

Contoh diket matrik A =

−3 56 a2

B =

+−

ba 56 10

Jika A = B, carilah a dan b!Jawab:2a = 10 a + b = 3 a = 5 5 + b = 3 , b = −2

I. Baris AritmatikBaris aritmatik adalah barisan yang suku-suku berurutannya mempunyai beda yang tetapRumus Un = a + (N – 1) b



Diketahui barisan aritmatik suku ke 6 nya = 28 dan suku ke 11 nya 53 . Carilaha. Suku pertama dan bedanyab. Rumus suku ke n (Un)c. Suku ke 80d. Suku ke berapakah yang besarnya 498

Pembahasan:a) U6 = a + 5b U11 = a + 10b

5 25 b 25 5b 53 b10a28 b5 a

−−

=−=−

=+=+

b = 5a + 5b = 28a + 5 x 5 = 28 a + 25 = 28

a = 3

Jadi suku pertamanya = 3 dan bedanya = 5

b) Rumus suku ke nUn = a + (n − 1) bUn = 3 + (n − 1) 5Un = 3 + 5n – 5Un = 5n – 2

c) Besar suku ke 80U80 = 5 (80) – 2

= 400 – 2 = 398

d) Un = 5n – 2498 = 5n – 25n = 498 + 25n = 500

n = 5

500 = 100

Jadi 498 adalah suku yang ke 100




J. Barisan GeometriSuatu barisan yang suku-suku berurutan mempunyai rasio yang tetap

Rumus Un = arn – 1

Diketahui barisan geometri suku ke 3 nya = 12 dan suku ke 6 nya = 96. Carilaha. Suku pertama dan rasionyab. Rumus suku ke nc. Besar suku ke 11 nya

Jawaba) Diket U6 = 96

U3 = 12

3U6U = 2

5

arar =

1296

r3 = 8 r = 2

ar2 = 12a(2)2 = 12 4a = 12 a = 3Suku pertama 3 rasio 2

b) Un = arn – 1

= 3 (2)n – 1

Un = 23 (2)n

c) U11 = 23 (2)11

= 3072

K. Deret AritmatikDeret aritmatik adalah jumlah dari barisan aritmatik

Rumus Sn = 21 n (2a + (n – 1 ))b, atau

Sn = 21 n (a + Un)



Diketahui deret aritmatik suku pertama = 4 dan bedanya 7 contoh jumlah dari 100 sukupertama

Pembahasan:A = 4, b = 7, n = 100

Sn = 21 n (2a + (n – 1) b)

S100 = 21 (100) (2 x 4 + (100 – 1) 7)

= 50 (8 + (99) 7)= 50 (8 + 693)= 50 (701)

S100 = 35050

Soal yang berhubungan dengan kehidupan sehari-hariContohSebuah permasalahan farmasi memproduksi obat. Bulan pertama memproduksi obatsebanyak 2000 kardus dan setiap bulan berikutnya bertambah 200 kardus.Berapa jumlah produksi obat farmasi tersebut selama 1 tahun.JawabA = 2000, b = 200, n = 12

Sn = 2n (2a + (n – 1) b)

S12 = 2

12 (2 (2000) + (12 – 1) 200)

S12 = 6 (4000 + 2200)S12 = 6 (6200)S12 = 37200 kardusJadi produksi obat farmasi tersebut selama 1 tahun = 37200 kardus.

L. Deret GeometriDeret geometri adalah jumlah dari barisan geometri

Rumus Sn = 1r

)1r(a n

−− untuk | r | > 0

Rumus Sn = r1

)r1(a n

−− untuk | r | < 0

Rumus Sn = r1

a−

untuk | r | < 0 dan n → ∼




Diketahui deret geometri suku pertama = 5 dan rasio = 3. Carilah jumlah dari 6 sukupertama

Diket a = 5 r = 3 n = 6

Sn = 1r

)1r(a n

−−

S6 = 13

)13(5 6

−−

S6 = 2

)728( 5

S6 = 1820

Contoh dalam kehidupan sehari-hariDi Indonesia pada tahun 1990 terdapat penderita HIV sebanyak 20 orang. Jika setiaptahun yang menderita penyakit HIV bertambah dengan kelipatan 2 kali.Berapa banyak penderita HIV pada tahun 2002.

Pembahasan:a = 20 r = 2 n = 12

Sn = 1r

)1r(a n

−−

= 12

)12(20 12

−−

= 1

)14096(20 −

= 20 (4095)= 81900

Pada tahun 2002 penderita HIV ada 81900

deret konvergen tak hingga

Sebuah Bola tennis di jatuhkan dalam ketinggian 30 m setiap kali mantul tingginya 32 dari

tinggi semula.Carilah panjang lintasan bola tersebut sampai tidak memantul lagi.





Pembahasan:H = 30 m

a = 32 h =

32 x 30 = 20 m, r =

32

Panjang lintasan = h + 2 Sn

= 30 + 2)

321(

20

−

= 30 + 2 (60)= 30 + 120= 150 m.



A. PengertianLogika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan dapat di uji kebenarannyasecara matematika

A1. Kalimat terbukaKalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai kebenarannya. Ataudengan kata lain kalimat yang masih bervariabel.Contoh

a. 2x + 5 = 7b. x2 + 1 = 10c. Jarak kota A dan kota B 200 kmd. Usia A lebih muda dari B, dll.

A2. Pernyataan: Jika variabel pada kalimat terbuka di ganti maka akan menjadi pernyataan.Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar.Contoh pernyataan

a. 2 x 5 = 10b. 20 : 2 = 6c. Toni lebih muda dari Susi

Pernyataan a bernilai benarPernyataan b bernilai salahPernyataan c bisa benar atau salah

B. Nilai kebenaran dari pernyataan majemuk konjungsi (Λ ) di baca “dan”.Jika P suatu pernyataan dan q juga merupakan suatu pernyataan maka nilai kebenaran daripernyataan majemuk p dan q dapat dilihat dari tabel kebenaran

p q p Λ qBBSS

BSBS

BSSS

Contoh p adalah pernyataan 2 + 3 = 5q adalah pernyataan Wonogiri ada di propinsi Jawa Tengahp dan q keduanya pernyataan yang benar

Jika dilihat tabel kebenaran maka baris pertama berbunyi2 + 3 = 5 dan Wonogiri ada di propinsi Jawa TengahPernyataan majemuk tersebut bernilai benar.

Kesimpulan : Operasi konjungsibernilai benar jika kedua-duanya benarlainnya salah.

KOMPETENSI 2

Siswa mampu memahami konsep logika matematika untuk pemecahan masalah.



Baris ke 22 + 3 = 5 danWonogiri tidak ada di propinsi Jawa Tengah.Pernyataan majemuk tersebut bernilai salah.

Baris ke 32 + 3 ≠ 5 dan Wonogiri berada di propinsi Jawa Tengah.Pernyataan majemuk tersebut bernilai salah

Baris ke 42 + 3 ≠ 5 dan Wonogiri tidak berada di propinsi Jawa Tengah.Pernyataan majemuk tersebut bernilai salah.

C. Disjungsi (∪) di baca “atau”.Jika p merupakan suatu pernyataan dan q juga merupakan suatu pernyataan maka tabelkebenaran dari pernyataan majemuk p dan q dapat di lihat dari tabel kebenaran.

p q p ∪ qBBSS

BSBS

BBBS

D. Implikasi (→) di baca “jika maka”.Jika p suatu pernyataan maka pernyataan majemuk p → q di baca jika p maka q.Tabel kebenaran dari implikasi

p q p → qBBSS

BSBS

BSBB

Contoh p = Hari hujanq = halaman rumah basah

Baris pertama : Jika hari hujan maka halaman rumah basah, bernilai benarBaris ke dua : Jika hari hujan maka halaman rumah tidak basah.

implikasi bernilai salah.Baris ke tiga : Jika hari tidak hujan maka halaman rumah basah.

Implikasi ada kemungkinan benar jadi di anggap benar.Baris keempat : Jika hari tidak hujan maka halaman tidak basah.

Implikasi bernilai benar.

Kesimpulan : dari tabel kebenaran adalah jikap salah dan q salah maka p atau q bernilaisalah lainnya benar

Kesimpulan : Implikasi bernilai salah jika pbenar dan q salah lainnya benar.



E. Biimplikasi (implikasi dua arah) dilambangkan (p ⇔ q) di baca “p jika dan hanya jika q”.

Tabel kebenaran Biimplikasip q p ⇔ qBBSS

BSBS

BSSB

F. Negasi (Ingkaran)Jika p suatu pernyataan maka negasi p di lambangkan ∼p dibaca bukan pTabel negasi

p ∼PB SS B

Invers, Konvers, dan Kontra Posisi dari implikasiJika p → q merupakan implikasiMaka: ∼p → ∼q disebut Invers

q → p disebut Konvers∼q → ∼p disebut Kontraposisi

Contoh:Carilah kontraposisi dari implikasi berikut ini;

Jika hari hujan maka pejalan kaki memakai payung.Dengan melihat rumus yang ada maka kontraposisinya adalah

Jika pejalan kaki tidak memakai payung maka hari tidak hujan.

Contoh:Carilah nilai kebenaran dari pernyataan ((p ∪ q) → (p ∩ q))Jawab

p q (p ∪ q) (p ∩ q) ((p ∪ q) → (p ∩ q))BBSS

BSBS

BBBS

BSSS

BSSB

Jadi nilai kebenaran dari ((p ∪ q) → (p ∩ q)) adalah BSSB

Kesimpulan : Biimplikasi bernilai benar jikakedua-duanya benar atau kedua-duanya salah.



Contoh negasi dari pernyataanJika rina rajin belajar maka ia menjadi juara kelas.

Pembahasan:Negasi dari p → q adalah p ∩ ∼q.Jadi negasi dari pernyataan tersebut adalahRina rajin belajar dan ia tidak menjadi juara kelas.Penarikan kesimpulan1. Modus Ponen2. Modus Tallen3. Silogisma

Modus PonenRumusp1 = p → q Benarp2 = p BenarK ∴= q Benar

p1 = Premis satu (pernyataan 1)p2 = premis dua (pernyataan 2)K = konklusi = kesimpulanContoh modus ponenp1 = Jika hari Senin maka diadakan upacara benderap2 = Hari SeninK = Diadakan upacara bendera

Modus TollenRumusP1 = p → q benarP2 = ∼q∴K = ∼p

Contoh p1 = Jika cerita seorang perawat maka ia berseragam putih-putihP2 = Anita berseragam biru putihK = Anita bukan seorang perawat

SilogismaRumus

p1 = p → qp2 = q → rK ∴ p → r




Contohp1 = Jika Rudi sakit maka ia pergi ke Dokterp2 = Jika Rudi pergi ke Dokter maka ia mengeluarkan uangK = Jika Rudi sakit maka ia mengeluarkan uang

Contoh konklusi dari beberapa premis berikut inip1 = Jika pembangunan berhasil maka rakyat sejahterap2 = Jika rakyat sejahtera maka negara kuat

Pembahasan:Berdasarkan silogisma adalahJika pembangunan berhasil maka negara kuat




A. Bangun Datar

A.1. LingkaranLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap titik tertentu,titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak yang di maksud adalah jari-jarilingkaran.

Unsur-unsur lingkaran.a. Busur lingkaranb. Tali busurc. Juringd. Temberenge. Sudut pusat dan sudut keliling lingkaran dan sebagainya

A.2. Luas dan keliling lingkaran

Luas lingkaran = πr2 atau 41πD2, keliling lingkaran 2πr atau πD.

D = Diameter atau garis tengah lingkaran.

1). Diketahui lingkaran dengan sudut AOB = 120o jikakeliling lingkaran = 88 cm. Carilah luas juringAOB (daerah yang diarsir).

2). Diketahui lingkaran dengan, Jika sudut AOB = 50o

dan BCD 80o maka besar sudut ACD adalah …

Pembahasan:1). 2πr = 88 cm

744 r = 88 cm

r = 88 × 447

r = 14 cm

O

BA

CD

KOMPETENSI 3

Siswa mampu memahami konsep bangun datar, bangun ruang, pengukuran, dan skala, sertamampu menerapkannya sesuai dengan bidang keahlian.


��A B

O



Luas Juring AOB = 722

360120

× × 14 cm × 14 cm

= 2cm 61631×

= 205,3 cm3

2). Sudut ACB = 25o karena 21 AOB.

Sudut ACD = 80o – 25o = 55o

A.3. TrapesiumLuas dan keliling trapesium

Luas trapesium = tinggi2

sejajar sisi jumlah×

Keliling trapesium = jumlah panjang semua sisinya

Diketahui gambar trapesium sebagai berikut

Carilah luas trapesium tersebut

Pembahasan:

Luas = t2

sejajar sisi jumlah×

= 15cmcm 2

1038×

+

= 360 cm2

B. Bangun Ruang

B.1. BalokLuas dan volume balokLuas = 2 (p × l + p × t + l × t)Volume balok = p × l × t

A BE F

D C

8 cm 20 cm

10 cm

17 cm




Diketahui balok tanpa tutup dengan ukuran p = 20 cm l = 12 cm dan tinggi 8 cm,carilah luas dan volumenya!

Pembahasan:Luas = p × l + 2 × p × t + 2 × l × t

= 20 cm × 12 cm + 2 × 20 cm × 8 cm + 2 × 12 cm × 8 cm = 240 cm2 + 320 cm2 + 192 cm2

= 752 cm2

Volume = 20 cm × 12 cm × 8 cm = 1.920 cm3

B.2. PrismaNama prisma di ambil dari nama alasnya misal prisma segitiga, prisma segilima dsb.

Luas dan volume prisma.Luas = jumlah luas seluruh sisinya.Volume = luas alas × tinggi

Diketahui prisma dengan alas berupa segitiga sama sisi yang panjang sisi 8 cm. Dantinggi prisma sama dengan keliling alas. Carilah luas permukannya!

Pembahasan:

Alas = 2

3882

ta 21⋅×

=× cm2

= 16 2 cm2

Karena luas alas dan tutupnya sama maka luas alas dan tutup= 2 × 16 2 = 32 2

Luas bidang tegak = a × t × 3 = 8 cm × 24 cm × 3 = 576 cm2

luas permukaan prisma = (576 + 32 3 ) cm2.





B.2. Limas dan kerucutLuas dan volume LimasLuas = luas alas + luas sisi tegak

Volume limas = 3

tinggi alas luas ×

Luas dan volume kerucutLuas = luas alas x luas kelimut

= π r2 + rs

volume = 3

tinggi x alas luas

Diketahui limas segi empat T ABCD.AB // CD dan BC // ADAB = 8 cm BC = 6 cm. Jika garis tinggi limas 13 cm, carilah volume limas!

Pembahasan:Tinggi limas dapat ditentukan dengan phitagoras.T2 = 132 – 52

= 169 – 25 = 144 t = 144 = 12 cm

volume limas = 3

tinggi alas luas ×

= 3

cm 12cm 48 2 ×

= 192 cm3

Diketahui kerucut dengan jari-jari alas 7 cm dan tinggi kerucut 24 cm. Carilah luaspermukaan kerucut!

Pembahasan:Panjang garis pelukis dapat ditentukan dengan phitagoras.Misal garis pelukis itu SS2 = 72 + 242

= 49 + 576 = 625 S = 25.





Luas permukaan kerucut = π r2 + π r s= π r (r + s)

= 722

× 7(7 + 25) cm

= 22 (32)= 704 cm2.



Mengaplikasikan rumus-rumus trigonometri untuk menyelesaikan masalah.1. Perbandingan sinus α, cosinus α, dan tan α

Perhatikan gambar berikut

Sinus α = ry

Cosinus α = rx

Tan α = xy

y = r sin α r2 = x2 + y2

x = r cos α r2 = (r cos α)2 + (r sin α)2

r2 = r2 cos2 α + r2 sin2 αr2 = r2 cos2 α + sin2 α)

cos2 α + sin2 α = 2

2

rr

cos2 α = 1 – sin2 αsin2 α = 1 – cos2 α

cosec α = αsin

1 = ry

1 = yr

sec α = αcos

1 = rx

1 = xr

cotg α = yx

αr

xy

P (x, y)

x

y

cos2 α + sin2 α = 1

Siswa mampu memahami konsep perbandingan dan fungsi trigonometri dan mampumenggunakannya untuk menyelesaikan masalah.

KOMPETENSI 4



1.) Diketahui sin α = 178 , α pada kuadran I

Carilah a.) cos αb.) tan αc.) cosec αd.) sec αe.) cotg α

2.) Diketahui tan α = 21 , α pada kuadran I.

Carilah sin α, cos α, ctan α, cosec α, dan sec α

Pembahasan:

I) Sin α = 17r

8 y ,

178

==

x2 = r2 – y2

x2 = 172 – 82

x2 = 289 – 64x2 = 225x = 225 = 15

a.) cos α = rx =

1715

b.) tan α = xy =

158

c.) cosec α = yr =

817

d.) sec α = xr =

517

e.) cotg α = yx =

815

2) Tan α = 21 berarti y = 1, x = 2

R = 22 yx +

= 22 12 + = 5




a.) sin α = ry =

51

b.) cos α = rx =

52

c.) cotg α = yx = 2

d.) cosec α = yr = 5

e.) sec α = xr =

25

2. Nilai Trigonometri di berbagai kuadranTabel-tabel sudut istimewa

α 00 300 450 600 900

sin

cos

tan

0

1

0

21

321

33

221

221

1

321

21

3

1

0

∞

cat ∞ 3 1

33 0

Pada kuadran pertama

cos (90 – α) = sin αsin (90 – α) = cos αtan (90 – α) = cotg α

Yang senilai dengan sin 820 adalah ….a. sin 800

b. cos 80

c. cos 820

d. –cos 80

e. –cos 820




Pembahasan:Sin 820 = sin (900 – 820) = cos 80 (B)Pada kuadran IIcos (180 – α) = – cos αsin (180 – α) = sin αtan (180 – α) = – tan αcotg (180 – α) = – cot α

Contoh soal tanpa menggunakan tabel

Carilah nilai dari sin 150JawabSin 150 = sin (180 – 150) = sin 30

= 21

Pada kuadran IIcos (1800 + α) = – cos αsin (1800 + α) = – sin αtan (1800 + α) = tan αcotg (1800 + α) = cotg α

Tanpa menggunakan tabel tentukan nilai dari tan 2400

Pembahasan:tan 2400 = tan (180 + 60)

= tan 600

= 3

Pada kuadran IVcos (3600 – α) = cos αsin (3600 – α) = – sin αtan (3600 – α) = – tan αcotg (3600 – α) = – cotg α




Tanpa menggunakan tabel tentukan nilai dari sin 300

Pembahasan:sin 300 = sin (360 – 60) = − sin 600

= 321

−

Rumus-rumus sudut rangkap

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cost αsin (α − β) = sin α cos β − sin β cost α

cos (α + β) = cos α cos β − sin β sin αcos (α − β) = cos α cos β + sin β sin α

Tanpa menggunakan tabel tentukan nilai daria. cos 105b. sin 750

Pembahasan:a.) cos 1050 = cos (600 + 450)

= cos 600 cos 450 – sin 600 sin 450

= 21 . 2

21 − 3

21 . 2

21

= 241 − 6

41

= 241 ( 31+ )

b.) sin 750 = sin (450 + 300)= sin 45 cos 300 + sin 300 cos 450

= 221 . 3

21 +

21 . 2

21

= 641 + 2

41

= 241 ( 13 + )





Soal diketahui tan α = 21 sin β =

53 , α pada kuadran I dan β pada kuadran II

Carilah a.) sin (α + β) b.) cos (α - β)

jawab

tan α = 21 sin α =

51 , cos α =

52

sin β = 53 , cos β =

54

− karena pada kuadran II

a. sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

= 5

2 x 53

54 x

51

+−

= 55

255

6554

=+−

b. cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

= 53 x

51

54 x

52

+−

= 55

3 55

8+−

= 5

1 55

5=

sin 2 α = 2 sin α cos αcos 2 α = cos2 α - sin2 α

= 2 cos2 α - 1

cos 2 x = 1 – 2 sin2 α

Diketahui sin α = 135

Carilah a.) sin 2 αb.) cos 2 αc.) tan 2 α




Pembahasan:cos2 α = 1 – sin2 α

= 1 – 2

135

= 1 – 16925

= 169144

cos α = 169144 =

1312

sin 2 α = 2 sin α cos α

= 2 . 135 x

1312

= 169120

cos 2 α = 2 cos2 α - 1

= 2 11312 2

−

= 2 1169144

−

= 169119

tan 2 α =

169119169120

2cos2sin

=αα =

169120 x

119169

tan 2 α = 199120

Persamaan Trigonometri

Bentuk sin ax = P

ContohCarilah Hp dari persamaan trigonometri untuk 0 ≤ x ≤ 360

sin 2x = 321

sin 2x = sin 60 2x = 60 + k . 360 atau sin 2x = sin 120

x = 30 + k .180 2x = 120 + k . 360untuk k = 0 x = 30 x = 60 + k . 180

k = 1 x = 210



k = 0 x = 60k = 1 x = 240

Hp {300, 600, 2100, 2400}

Bentuk a cos2 x + b cos x + c = 0

ContohCarilah Hp dari persamaan trigonometri 3 cos 2x – 2 cos x – 5 = 0

Jawab3 ( 2 cos2 x –1) – 2 cos x – 5 = 06 cos2 x – 3 – 2 cos x – 5 = 06 cos2 x – 2 cos x – 8 = 03 cos2 x – cos x – 4 = 0

(3 cos x – 4) (cos x + 1) = 0

3 cos x = 4 cos x + 1 = 0

cos x = 34 cos x = –1

x = 1800 = πHp {π}



A. StatistikaStatistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana mencari, mengolah, dan menyajikan suatudata sedang data yang sudah di olah disebut data statistik.A1. Data

Data dibagi menjadi 2 yaitu data kuantitatip dan data kualitatip. Data kuantitatip dibagi 2yaitu diskrit dan kontinu, sedang data kualitatip dibagi dua yaitu intern dan ekstern

Penyajian dataSetelah di olah data di sajikan dalam bentuk diagram-diagram di antaranya adalah1. Diagram batang2. Diagram lingkaran (pastel)3. Diagram garis dll.

ContohDiketahui data penerimaan siswa baru di SMK “X” Tahun pembelajaran.

1998/1999 – 2002/20031998/19991999/20002000/20012001/20022002/2003

Sebanyak 120 anakSebanyak 200 anakSebanyak 300 anakSebanyak 400 anakSebanyak 180 anak

Dari data tersebut buatlah diagram lingkarannyaJawabJumlah penerimaan siswa selama 5 tahun adalah 1200 anak dan satu lingkaran penuh =3600, maka bagian-bagian sudutnya adalah

Tahun 1998/1999 = 1200120 x 3600 = 360

Tahun 1999/2000 = 1200200 x 3600 = 600

Tahun 2000/2001 = 1200300 x 3600 = 900

Tahun 2001/2002 = 1200400 x 3600 = 1200

Tahun 2002/2003 = 1200180 x 3600 = 540

KOMPETENSI 5

Siswa mampu mengolah, menyajikan, menafsirkan data, dan mampu memahami konsepkejadian dan peluang, serta mampu menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.



Diagram lingkarannya sebagai berikut:

SoalDiketahui data banyak pasien di rumah sakit ‘H’ dalam lima bulan berturut-turut sebagaiberikut

Bulan pertama 120 orangBulan ke dua 150 orangBulan ke tiga 200 orangBulan ke empat 90 orangBulan ke lima 160 orang

Dari data tersebuta. buatlah diagram batangnyab. berapa persen banyaknya pasien pada 3 bulan pertamaJawaba.

B. Persentasi banyaknya pasien selama 3 bulan pertama adalah

% 100 x 720

200150120 ++

= 720470 x 100 % = 65 %

2002/03

540

98/99

360

60099/00

900

2000/01

2001/02

1200

��

20406080

100120140160180

��

��

200

��

��

1 2 3 4 5 Bulan ke

Banyaknya pasien



B. Ukuran tendensi sentral pada data tunggalYang termasuk tendensi sentral adalah

rata-rata (mean)nilai tengah (median)nilai sering muncul (modus)

Diketahui data berat 11 benda dalam kg sebagai berikut:5, 3, 2, 7, 11, 8, 4, 6, 7, 6, 3

Carilah a) Meanb) Modusc) Mediannya

Pembahasan:

a) Mean = nxiΣ =

11367648117235 ++++++++++

Mean = 1162 = 5,63

b) Nilai tengahUntuk mencari nilai tengah data harus diurutkan terlebih dahulu mulai yang kecil ke yangbesar

2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 11Letak median adalah : nilai tengah = 6Mediannya adalah data ke 6 dari kiri yaitu 6.

c) Modus adalah data yang sering muncul yaitu 3, 6 dan 7.

C. Ukuran Penyebaran1. Jika data dibagi empat maka pembagiannya di sebut kuartil

a. kuartil bawah Q1b. kuartil tengah Q2 (median)c. kuartil atas Q3d. simpangan Ratae. variansif. simpangan baku

ContohDiketahui data dari 10 berat benda dalam gram sebagai berikut:

6, 2, 4, 5, 7, 5, 8, 11, 3, 9Dari data tersebut carilaha. Q1, Q2, Q3, dan Qd nyab. Simpangan rata-ratanyac. Variansinyad. Simpangan bakunya




JawabUntuk mencari Q1, Q2, Q3 dan Qd data harus di urutkan terlebih dahulu mulai yang terkecilyaitu 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 11Q2 adalah nilai tengah data tersebut yaitu antara data ke 5 dan data ke 6

Q2 = 2

6 ke data5 ke data + = 2

65 + = 5,5

Q1 = 4 (data tengah bagian pertama)Q3 = 8 (data tengah bagian ke dua)

Qd = 21 (Q3 − Q1)

= 21 (8 − 4)

= 2b. Rata simpangan (RS)

RS = n

xxi −Σ

Xi = data ke Ix = rata-ratanyan = banyak datax = 6RS =

106116968676665656463 62 −+−+−+−+−+−+−+−+−+−

105321011234 +++++++++ =

1022 = 2,2

c. Variansi (S)

S = n

xxi 2−Σ

S =

n611696867666565646362 2222222222 −+−+−−+−+−+−+−+−+−

= 10

5321011234 2222222222 +++++++++

= 10

259410114916 +++++++++ = 1070 = 7

Simpangan baku (Sb)Sb = S = 7



Modus, Mean, Kuartil 1, 2, 3 pada data kelompok

Modus Rumus Mo = λ +

+ 21

1

ddd c

Mo = Modusλ = tepi bawah dimana modus terletakKelas modus adalah kelas yang mempunyai frekwensi paling banyak.

d1 = Selisih frekwensi kelas modus – sebelum kelas modus.d2 = Selisih frekwensi kelas modus sesudah kelas modus.

C = Panjang kelas interval

Mean (Rata-rata)

1. Rata-rata biasa x = f xi f

ΣΣ

2. Rata-rata sementara x = x s + f fd

ΣΣ

3. Cara Code x = x s + C f

fU

ΣΣ

Keterangan x = rata-ratax s = rata-rata sementarad = simpang = xi − x sU = CodeC = panjang kelas intervalxi = nilai tengah interval

Kuartil bawah Q1 = λ1 + C f

fn41

Σ−

Kuartil tengah Q2 = λ2 + C f

fn42

Σ−

Kuartil atas Q = λ3 + C f

fn43

Σ−



Keteranganλ1 = tepi bawah dimana Q1 terletakλ2 = tepi bawah dimana Q2 terletakλ3 = tepi bawah dimana Q3 terletakn = banyak dataΣ f = frekwensi komulatif sebelum Qi → I =1, 2, 3C = panjang kelas intervalF = frekwensi dimana Q terletak

Diketahui data dari 80 berat benda dalam kg sebagai berikutBerat benda f

20 – 2425 – 2930 – 3435 – 3940 – 4445 – 4950 – 54

61015201784

Dari tabel tersebut

Carilah (1) Mean dengan cara a. biasab. Rata-rata sementarac. Coding

(2) Modus(3) Q1, Q2 dan Q3 nya.

Pembahasan:

Berat benda f xi f.xi d=x1 − x f.d U f.U20 – 2425 – 2930 – 3435 – 3940 – 4445 – 4950 – 54

61015201784

22273237424752

132270480740714376208

−15−10−5051015

−90−100−75

0858060

−3−2−10123

−18−20−15

0171612

Σ f = 80 Σ fxi = 2920 Σ f.d = −40 Σ f.U = −8




1 a. x = fxi.f

ΣΣ =

802920 = 36,5

1 b. x = Rs + ffdΣΣ

= 37 +

−

8040

= 37 + (−0,5)= 36,5

1 c. x = Rs + Cf

fU

ΣΣ

= 37 +

−

808 5

= 37 – 0,5= 36,5

2. Mo = λ + C dd

d21

1

+

= 34,5 + 5 75

5

+

= 34,5 + 1225

= 34,5 + 2,08= 36,58

3. Letak Q1 = 41 n =

41 x 80 = 20 data ke 20 masuk pada kelas yang ke 3.

λ1 = 29,5, Σ f = 16, C = 5, f = 15

Q1 = λ1 + C f

fn41

Σ−

= 29,5 + 5 15

1620

−

= 29,5 + 5 154

= 29,5 + 1,33Q1 = 30,83



Q2 letak42 n =

42 x 80 = 40 data ke ke 40 masuk pada kelas ke 4

λ2 = 34,5 , Σ f = 6 + 10 + 15 = 31, f = 20, C = 5

Q2 = λ2 + C f

fn41

Σ−

= 34,5 5 20

3140

−

= 34,5 + 2045

= 34,5 + 2,25= 36,75

Q3 = λ3 + C f

fn41

Σ−

= 39,5 + 5 17

5160

−

= 39,5 + 1745

= 39,5 + 2,64= 42,14

PermutasiBanyaknya cara untuk menyusun k buah unsur dari n buah unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutannya disebut permutasi

Dilambangkan P(n,k) = )!kn(

!n−

Contoh Berapa banyak cara untuk menyusun 2 huruf yang terdiri dari A, B, C, D yangurutannya diperhatikan

Jawab

P(4,2) = )!24(

!4−

= cara 121x 2

1x 2x 3x 4=

Huruf itu adalahAB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC.



Kombinasi

Banyaknya cara untuk menyusun k huruf dari n huruf yang tersedia tanpa memperhatikanurutannya disebut kombinasi k unsur dari n unsur yang tersedia di lambangkan

C (n, k) =!k )!kn(

!n−

ContohBerapa banyak cara untuk menyusun 2 huruf yang terdiri dari huruf ABCD yang urutannyatidak di perhatikanJawabKarena urutannya tidak di perhatikan maka banyak cara

C(4,2) =2! )!24(

!4−

= 1 x 2 x 1 x 21x 2x 3x 4 = 6 yaitu AB, AC, AD, BC, BD, CD

ContohBerapa banyak cara untuk membuat formasi tim bola volly yang terdiri dari 8 orang.Jawab1 regu bola volly ada 6 orang

Banyak formasi tim C(8,6) =6! )!68(

!8−

= 1x 2x 1x 2x 3x 4x 5x 61x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8 = 28 cara

Peluang Suatu Kejadian

Jika peluang suatu kejadian kita lambangkan P maka nilai P antara 0 dan 1 atau dapat ditulis0 ≤ P ≤ 1Jika P = 0 adalah kejadian yang mustahil dan jika P = 1 maka kejadian pasti terjadiContoh: Kejadian yang pasti terjadi

a. manusia akan matib. ayam bertelorc. kuda beranak, dst

Contoh: Kejadian yang mustahila. manusia tidak akan matib. bulan bisa ngomongc. daun sirih berbuah semangka, dst

Peluang suatu kejadian berlaku rumus P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Seperangkat kartu Brid di ambil salah satu kartu secara acak tentukan peluang yang terambila) kartu merah atau ASb) kartu AS atau King




Pembahasan: P(A) = kartu merah P(B) = kartu AS

a) P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

= 5226 +

524 −

522

= 5228

b) P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

= 524 +

524 − 0

= 528

Jika P(A ∪ B) = P(A) + P(B) maka kejadian tersebut saling lepas

Sebuah Dadu dan mata uang dilempar sekali, tentukan peluang munculnya sisi dadu genapdan uang muncul angka.

Pembahasan:

P(A) = Dadu muncul sisi genap = 63 =

21

P(B) = Uang muncul sisi angka = 21

Peluang munculnya dadu muncul sisi genap dan uang munculangka = P(A∩B) = P(A) x P(B)

= 21 x

21

= 41




A. Limit Limit artinya batas

Limit f(x) artinya f(x) mendekati f(a) untuk nilai x mendekati a. x → a

Contoh:Tentukan nilai dari

Limit f(x) = 5x + 2x → 2

Jawab:Limit f(x) = 5x + 2x → 2= limit f(2) = 5(2) + 2 = 12Jadi limit f(x) = 5x + 2 = 12. x → 2

Cara mengerjakan limit

Jika x → a disubstitusikan pada f(x) ternyata hasilnya 00 atau

∞∞ maka ada beberapa cara

untuk menentukan nilai limitnya antara lain:1). Memfaktorkan2). Membagi dengan variabel pangkat tertinggi3). Dengan mengalikan akar sesamanya

Carilah nilai limit berikut ini!

1). 3x542x

3xlim 3

−−

→

2). 32

23

x2x3x102x8x65x

xlim

−+−+++

∞→


KOMPETENSI 6

Siswa mampu memahami konsep limit, diferensial, dan integral, serta mampu menggunakannyauntuk menyelesaikan masalah.



3). ( )2x1x43

2xlim

−+−

→

Pembahasan:

1). 3x542x

3xlim 3

−−

→ = limit

00

3354)3( 2 3

=−−

Karena 00 merupakan bilangan tak tentu maka untuk menentukan limitnya dengan

cara difaktorkan.

3x542x

3xlim 3

−−

→ =

3x)272(x

3xlim 3

−−

→

= 3x

)3x)(9x32(x 3x

lim 2

−−++

→

= 23xlim→ (x2 + 3x + 9)

= 2 (32 + 3(3) + 9) = 54

2). 32

23

x2x3x102x8x62x

xlim

−+−−++

∞→

3

3

3

2

33

333

2

3

3

xx2

xx3

xx

x10

x2

xx8

xx6

x5x

x

lim

−++

+++

∞→

2x3

x10

0x8

x65

x

lim

2

2

−+−

+++

∞→

limit 212

25

20000005

=−

=−+−+++

3). )2x(

1x43 2x

lim−

+−→

1x431x43

)2x(1x43

2xlim

++++

×−

+−→

)1x43( )2x()1x4(9 2x

lim++−

+−→

)1x43( )2x(x48 2x

lim++−

−→



)1x43( )2x()2x(4 2x

lim++−

−−→

1x43 4

2xlim

+−−

→ =

334+−

= 64−

= 32−

Limit Fungsi TrigonometriRumus-rumus limit fungsi trigonometri

1).x

xsin 0x

lim→

= 1 atauxsin

x 0x

lim→

= 1

2).xtan

x 0x

lim→

= x

xtan 0x

lim→

= 1

3).ba

bxaxsin

0xlim

=→

ba

bxaxtan

0xlim

=→

a).x2x5

0xlim→

b).x3

x6tan 0x

lim→

c).)1x2(

)3x6sin( 0x

lim++

→d).

x4cos1x3cos1limit

−−

Pembahasan:

a).x2x5

0xlim→

= 25

b).x3

x6tan 0x

lim→

= 2

c).)1x2()1x2(3

0xlim

++

→




Misal (2x + 1) = y

3yy3 0x

lim =→

d).x4cos1x3cos1

0xlim

−−

→ =

)xsin21(1)xsin21(1

0x

lim

242232

−−−−

→

= x2sin2xsin2

0x

lim2

232

→

= 169

42xsinxsin

0x

lim 492

232

223

==

=

→

.

B. DeferensialDeferensial (turunan)Jika fungsi y = f(x) diturunkan maka turunannya dilambangkan y′ atau f′ (x). Deferensial diambil dari teory limit

Yaitu h

)x(f)h(x f 0h

lim −+→

Carilah turunan pertama dari fungsi y = 4x2.

Pembahasan:

y′ = h

x4)h(x 4 0h

lim 22 −+→

y′ = h

x4)hxh2(x 4 0h

lim 222 −++→

y′ = h

x4)h4xh8 x4 0h

lim 222 −++→

y′ = h

h4xh8 0h

lim 2+→

y′ = 4hx8 0hlim +→

y′ = )0(4x8 +y′ = 8x

Jadi y′ = 8x.




Rumus-rumus deferensial.

1). Jika f(x) = axn maka f′(x) = n . axn-1

2). Jika f(x) = )x(v)x(u maka f′(x) =

( )2)x(V)x('V)x(U)x(V)x('U ⋅−⋅

3). Jika f(x) = U(x) . V(x) maka f′(x) = U′ (x) . V(x) + U(x) V′(x)4). Jika f(x) = (ax + b)n maka f′(x) kita tentukan sebagai berikut, misal U = (ax + b)

f′(x) = dxdu

dudy

⋅

Tentukan f′(x) dari fungsi-fungsi berikut ini!1). f(x) = 3x12

2). f(x) = −6x2

3). f(x) = 25 x4

x6

−

4). f(x) = (6x + 5)(3x + 4)5). Y = (8x2 + 5)6

Pembahasan:1). f′(x) = 12 ×3x12-1

2). f′(x) = 2 x – 6x2-1 = –12x

3). f′(x) = −5 × 6x-5-1 – 2 x – 4x-2-1

= −30x-6 + 8x-3

= 36 x

8x30

+−

4). f′(x) = 18x2 + 39x + 20 f′(x) = 36x + 39

5). f′(x) = 6(8x2 + 5)6-1 . 16x = 96x (8x2 + 5)5

Menentukan titik stasioner dengan diferensialSuatu fungsi f(x) dapat ditentukan titik stasionernya dengan deferensial.Contoh:

Carilah titik stasioner dari fungsi y = x4 – 2x2




Jawab:Syarat mempunyai titik stasioner y′ = 04x3 – 4x = 04x (x2 – 1) = 04x = 0 x2 – 1 = 0 x = 0 (x + 1)(x – 1) = 0

x + 1 = 0 x – 1 = 0 x = −1 x = 1

Untuk x = −1y = 14 – 2 (1)2

= −1 (−1, −1)

Untuk x = 0y = 04 – 2 (0)2

= 0 (0, 0)Untuk x = 1

y = 14 – 2 (1)2

= 1 (1, −1)Jadi titik stasionernya = (−1, −1), (0, 0), dan (1, −1)

C. IntegralIntegral disebut juga anti deferensial atau anti turunan.f(x) = ∫ dx )x('f

Integral fungsi aljabar

Rumus 1). c x1n

adx ax 1nn ++

= +∫2). ( )∫ ++

+=+ + cbax

1)a(n1dx )bax( 1nn

Tentukan hasil integral berikut ini!1). dx x3 7∫2). dx

x2

3∫




Pembahasan:

1). dx x3 7∫ = c x17

3 17 ++

+

= c x83 8 +

2). dx x2

3∫ = dx x2 3∫ − = c x13

2 13 ++−

+−

= −x−2 + c

= cx

12 +

−

Integral tertentu

∫ −=b

a)a(F)b(Fdx )x(f

Contoh:

Carilah nilai dari ∫−

+−3

2

2 dx )16x(

Jawab:

∫−

+−3

2

2 dx )16x( = 3

2

3 x16x31

−+−

=

−+−−−

+− )2(16)2(

31)3(16)3(

31 33

= ( )

−−+− 32

38489

= 39 + 2931

= 6831

Integral untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva.Misal daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) selang antara garis x = a dan x = b,

maka luasnya adalah ( )dx )x(g)x(fb

a∫ −



Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x dan y = x antara garis x = 1 dan x = 4!

Pembahasan:

L = ( )∫ −4

1

dx xx2

= dx x4

1∫

= ] ( ) ( )2171

214

21x

21 224

12 =−= satuan luas.

Carilah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x, sumbu x dan garis x = 1 sampai x = 4!

Pembahasan:Sumbu x sama dengan y = 0

L = dx )x6x(0 24

1

−−∫

= dx x6x0 24

1

+−∫

= 1

423 x3x31

+−

=

+−−

+− 2223 )1(31

31)4(3)4(

31

= −2131 + 48 +

31 − 3

= 24 satuan luas

Integral untuk menentukan volume benda putar.Jika fungsi y = f(x) pada interval x = a sampai x = b di putar mengelilingi sumbu x sejauh

360o maka volumenya adalah π ∫b

a

2 dx y .





Tentukan volume benda putar kurva y = 2x pada interval x = 1 sampai x = 4 di putar padasumbu x sejauh 360o.

Pembahasan:

V = π . ∫4

1

2 dx )x2(

= π . ∫4

1

2 dx x4

V = π . 1

43x34

= π . 33 )1(34)4(

34

−

= π . (84) = 84π




1. Tempat sampah industri berbentuk kubus mempunyai rusuk 12 m, dibuat model dengan skala1 : 300. Maka volume kubus pada model adalah ....

a. 64 cm3

b. 72 cm3

c. 72 cm3

d. 124 cm3

e. 360 cm3

2. Pedagang elektronika menjual televisi 14 inci seharga Rp1.500.000,00 dan memperolehkeuntungan 20% dari penjualan tersebut, maka harga pembelian pedagang itu adalah ....

a. Rp 750.000,00b. Rp1.150.000,00c. Rp1.200.000,00d. Rp1.250.000,00e. Rp1.300.000,00

3. Dari sistem persamaan linier

−=−=+

12y3x4y2x

Nilai x – y = ....a. −1b. 0c. 1d. 2e. 3

4. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 3x2 + x – 2 ≥ 0, x ∈ R adalah ....

a. { x | x ≤ –1 atau x ≥ 32 }

b. { x | –1 ≤ x ≤ 32 }

c. { x | x ≤ 1 atau x ≥32 }

d. {x | x ≤ – 32 atau ≥ 1}

e. {x |32 ≤ x ≤ 1}

Contoh Latihan Soal :



5. Keliling bangun pada gambar di samping yang diarsiradalah ....

a. 78 cmb. 82 cmc. 86 cmd. 90 cme. 94 cm

6. Diketahui gambar disamping dengan∠ACB = 40o,maka besar ∠APB adalah ....

a. 110o

b. 109o

c. 107o

d. 105o

e. 100o

7. Pada gambar di samping ∠ AOB = 120o, OA = 20 cm(π = 3,14), maka panjang Busur AB = ....

a. 41,87 cmb. 62,80 cmc. 125,66 cmd. 156,66 cme. 209,33 cm

8. Sebuah roket ditembakkan selama t detik, memenuhi persamaan lintasanh(t) = 600t – 5t2 (h dalam meter). Tinggi maksimum yang dicapai roket adalah ....

a. 9.000 mb. 18.000 mc. 27.000 md. 36.000 me. 40.000 m

��

7cm

21cm

14cm

7cm

B

120 o

A

O

A B

C

P

O

40o



9. Jika P =

21

−1

3 dan q =

− 22

1 3

−4 1

maka p x q = ....

a.

4459

− 611

b.

−

−−

611

4459

c.

−−

−−−

611

44 59

d.

−

−611

4 459

e.

−6

11

5 449

10. Invers matriks A =

−−

3184

adalah ....

a.

−

−

41

41

243

b.

− 121

41

43

c.

−

−

141

243

d.

−−

1123

e.

−

432

41 1



11. Limas T.ABCD dengan alas bujur sangkarpanjang AB = 10 dm dan tinggi limas = 12 dm.Luas permukaan limas adalah ....

a. 260 dm2

b. 300 dm2

c. 320 dm2

d. 360 dm2

e. 380 dm2

12. Panjang kawat 24 m hendak dibuat 8 buah kubus dengan ukuran tertentu. Panjang kawatuntuk setiap rusuk kubus mempunyai persentase kesalahan sebesar ....

a. 0,002%b. 0,02 %c. 0,2 %d. 2 %e. 20 %

13. Nilai dari 2log 8 – 21

log 0,25 + 3log271 + 2log 1 = ....

a. –2b. –1c. 0d. 1e. 2

14. Daerah yang diarsir adalah daerah himpunanpenyelesaian permasalahan program linear.Nilai maksimum dari fungsi tujuan z = 2x +5y adalah ….

a. 6 b. 7

c. 10d. 15e. 29

15. Rumus suku ke – n barisan Aritmatika 15, 10, 5, 0, −5 adalah ....a. Un = 5n + 10b. Un = 20 – 5nc. Un = 20 + 5nd. Un = 15 – 5ne. Un = 10n + 5

A B

CD

T

10 dm

To = 12 dm

A (0, 2)

B (1, 1)

C (3, 0)

E (2, 5)

D (5, 1)

��

x

y



16. Jumlah tak hingga dari deret:

6 + 3 + 23 +

43 + ... adalah ....

a. 11,25b. 11,75c. 12,00d. 12,25e. 12,75

17. Suatu perusahaan memerlukan 3 staf pengurus yaitu Direktur Utama, Sekretaris danBendahara, sedangkan calon yang tersedia ada 7 orang, maka banyaknya susunan yangmungkin adalah ....

a. 21b. 24c. 35d. 175e. 210

18. Seorang siswa harus menjawab 7 soal dari 10 soal yang di sediakan. Banyaknya caramemilih 7 soal dari 10 soal tersebut adalah ....

a. 17 carab. 70 carac. 120 carad. 540 carae. 720 cara

19. Suatu pernyataan yang sesuai dengan pernyataan: “Jika anda datang, maka saya tidakpergi” adalah ....

a. Jika saya pergi, maka anda tidak datang.b. Jika saya tidak pergi, maka anda datang.c. Jika anda datang, maka saya pergi.d. Jika anda tidak datang, maka saya tidak pergi.e. Jika saya pergi, maka anda datang.

20. Diketahui diagram panah di samping, maka relasihimpunan A ke B dapat ditulis sebagai ....

a. B = 2Ab. B = 2A − 1c. B = A2

d. B = A2 − 1e. B = 2A2 − 1

A

169148

1234

B



21. Jika f(x) = 1x42x3

+− dan f –1 (x) merupakan invers dari fungsi f(x), maka f –1 (x) = ....

a.14x23x

−−−−

b.3x24x3

+−

c.34xx2

+−

d.3x42x

−−−

e.34x2 x

−−

22. Titik balik minimum kurva y = x3 – 12x + 1 adalah ....a. (2, –15)b. (1, –10)c. (0, 1)d. (–1, 12)e. (–2, 17)

23. Nilai minimum dari f(x) = x2 – x dalam interval −1 ≤ x ≤ 3 adalah ....a. 1

b. 21

c. 0

d.21

−

e.41

−

24. Diketahui tabel berikut :

Mean dari data tersebut adalah ....a. 6,125b. 6,225c. 6,325d. 6,425e. 6,525

x 4 5 6 7 8 9 10f 3 6 10 13 5 2 1



25. Simpangan baku dari data: 5, 3, 9, 7, 6 adalah ....a. 1b. 2c. 3d. 5e. 7

26. Median dari tabel distribusi Frekuensi disamping adalah ....

a. 54,5b. 54,0c. 53,5d. 53,0e. 52,5

27. Nilai dari 3x

lim→

3x

35x2x2

−−− = ....

a. 0b. 4c. 6d. 7e. 12

28. Diketahui cotg A = 247 dengan A sudut lancip.

sin A + cos A = ....

a.725

b.724

c.2425

d.2524

e.2531

Nilai Frekuensi47 – 49 250 – 52 453 – 55 656 – 58 559 – 61 3Jumlah 20



29. ( )∫ =+ ....dx 3x cosx sin

a. cos x + 31 sin 3x + c

b. –cos x + 31 sin 3x + c

c. –cos x – 31 sin 3x + c

d. cos x + 3 sin 3x + ce. –cos x + 3 sin 3x + c

30. ∫−

=−+3

2

2 ....dx 2)x(2x

a.6

15

b.2

15

c.6

515

d. 162

1

e.6

117

31. Seorang peternak mempunyai persediaan makanan selama 25 hari untuk 2000 ekor ayam.Jika ada penambahan 500 ekor ayam, maka makanan akan habis setelah ….

a. 10 harib. 20 haric. 33 harid. 100 harie. 200 hari

32. Nilai x yang memenuhi persamaan 32x – 2 =

4x

271 +

adalah ....

a. −2b. 1c. 0d. 2e. 5



33. Pada kemasan suatu obat tertulis:Tiap tablet mengandung:Zingiberis Rhizomas ..... 40%Menthol Folia ………… 50%

Jika tiap tablet 100 mg, maka berat zat lain yang tidak tercantum adalah ….a. 10 mgb. 100 mgc. 400 mgd. 500 mge. 1000 mg

34. Sebuah botol berbentuk tabung dengan garis tengah 14 cm dan tinggi 24 cm. Jika 87

bagian botol itu diisi dengan zat cair, mka volume zat cair itu adalah ….a. 3.200 cm3

b. 2.500 cm3

c. 2.400 cm3

d. 2.332 cm3

e. 3.234 cm3

35. Diketahui deret geometri kovergen dengan suku pertama 8 dan rasio 32 . Jumlah suku tak

hingga dari deret tersebut adalah ....

a.3

16

b. 24c. 26d. 30e. 40

36. Setiap penduduk kelurahan “A” berpeluang untuk terkena wabah “Demam berdarah”sebesar 0,02. Jika jumlah penduduk kelurahan tersebut adalah 6000 orang, maka yangtidak terjangkit wabah tersebut adalah ….

a. 120 orangb. 1.200 orangc. 4.800 orangd. 5.880 orange. 30.000 orang



37. Kontraposisi dari pernyataan “Jika saya sakit maka saya pergi ke dokter” adalah ....a. Jika saya tidak sakit maka saya tidak pergi ke dokterb. Jika saya tidak sakit maka saya pergi ke dokterc. Jika saya sakit maka saya pergi ke dokterd. Jika saya tidak pergi ke dokter maka saya tidak sakite. Jika saya pergi ke dokter maka saya sakit

38. Nilai dari =−

−−→ )5x(

)15x2x( 5xlim 2

….

a. 8b. 5c. 3d. −3e. −8

39. Diketahui fungsi f(x) = (2x + 21 ) (2x −

21 ). Jika f′ (x) turunan f(x), maka adalah f′ (x)

adalah ....

a. 4x2 −x1

b. 4x2 −2x

1

c. 8x2 −3x

1

d. 8x2 −3x

1

e. 8x2 −x2

40. Dengan kendaraan yang berkecepatan rata-rata 60 km/jam, seseorang menempuh jarak120 km dan kembali lagi dengan kecepatan 40 km/jam. kecepatan rata-rata pergi danpulang adalah ....

a. 20 km/jamb. 24 km/jamc. 25 km/jamd. 48 km/jame. 50 km/jam



1. Panjang sebenarnya 12 m = 1200 cmSkala 1 : 300Panjang skala 1200 : 300 = 4 cmVolume kubus pada model = r3

= (4 cm)3

= 64 cm3 (Kunci : A)

2. Misal harga TV itu x

100100 x +

10020 x = Rp1.500.000,00

100120 x = Rp1.500.000,00

x = Rp1.500.000,00 x 120100

= Rp1.250.000,00 (Kunci : D)

3. Persamaan linier 1y2x34yx2−=+

=+−−=−

=+ 12 y4x6

12y3x623

7y = 14 y = 2

2x + 2 = 42x = 4 – 22x = 2 x = 1

x – y = 1 – 2= −1 (Kunci : A)

4. HP dari pertidaksamaan 3x2 + x – 2 ≥ 0, x ∈ R

3x2 + x – 2 = 0(3x – 2)(x + 1) = 03x = 2

x1 = 32

x + 1 = 0x2 = −1

HP = {xx ≤ −1 atau x ≥ 32 } (Kunci : A)

� ��−132

Pembahasan Soal :



5. Keliling bangun yang diarsir

Keliling lingkaran r = 7 cm = 44 cmKeliling lingkaran r = 3,5 cm = 22 cm (Kunci : E)

+= cm 94cm 28

cm 4 x 7 Keliling

6. Sudut BOC = 180 – (90 + 20)= 700

Sudut AOB = 1400 karena 2 x BOCSudut Reflek AOB = 360 – 140 = 2200

Besar sudut APB = 21 Sudut reflek AOB

= 21 x 220

= 1100 (Kunci : A)

7. ∠ AOB = 1200 r = OA = 20 cm π= 3,14

Panjang busur AB = 0

0

360120 x 2 x 3,14 x 20 cm

= 41,87 cm

8. Lintasan roket dengan persamaan h(t) = 600t – 5t2 (h dalam meter)Tinggi maksimum jika h1(t) = 0

600 – 10t = 010t = 600

t = 10600 = 60

h (60) = 600(60) – 5(60)2

= 36000 – 18000= 18000 m (Kunci : B)

��

21 cm

14 cm

7 cm7 cm



9. P =

− 1 23 1 Q =

−

− 4 1 2 2

1 3

P x Q =

−+−−−+−++−−+

1x412,2x1x1x 2 2,x 1 3x 24x 31x 1 2,x 3x 1x 1 2,x 3 3x 1

=

−−

6 4 411 5 9 (Kunci : D)

10. Matrik A =

−−

3 18 4 A−1 =

8121+−

−−

4 1 8 3

= 4

1−

−−

4 18 3

=

−

−

1 41

2 43

(Kunci : C)

11. Luas permukaan limasTinggi bidang segitiga

T = 22 512 += 169= 13 dm

Luas permukaan = 4 x luas ∆ + luas bidang alas

= 4 x 2

dm 10x 31 3 + 10 x 10 dm2

= 260 dm2 + 100 dm2

= 360 dm2 (Kunci : D)

12. Kawat 24 m di buat 8 kubus panjang setiap rusuk = 24 : 96 = 0,25 m.Salah mutlak = 0,005

Persentasi kesalahan 25,0

005,0 x 100% = 2%

13. 2log 8 − 21

log 41 + 3log

271 + 2log 1 = 3 – 2 – 3 + 0

= −2 (Kunci : A)



14. z = 2x + 5y (5,1) z = 2 (5) + 5 (5)

= 10 + 5= 15

(2,5) = 2 (2) + 5 (5)= 4 + 25= 29

z maksimum = 29 (Kunci : E)

15. Rumus suku ke n dari barisan 15, 10, 5, 0, −5, …adalah

Un = a + (n − 1) b= 15 + ( n – 1) − 5= 15 − 5 n + 5

Un = 20 – 5n (Kunci : B)

16. Jumlah tak hingga dari deret 6 + 3 + 23 +

43 + . . .

∞S = r1

a−

=

211

6

− =

216 = 12,00 (Kunci : C)

17. Cara memilih 3 staf yang terdiri dari 7 calon. Karena setiap calon berhak menduduki jabatan,maka banyaknya cara untuk memilih

7P3 )!37(!7−

= 7 x 6 x 5 = 210 (Kunci : E)

18. Banyak cara memilih 7 soal dari 10 soal

10C7 !7 )!710(!10

−=

1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 1x 2x 31x 2x 3x 4x 5x 6x 7x 8x 9x 10

= 6

8x 9x 10

= 120 cara (Kunci : C)

19. Suatu pernyataan yang sesuai dengan pernyataan“Jika anda datang maka saya tidak pergi” adalah “Jika sayatidak pergi maka anda datang” (Kunci : B)

(3,0)��

(1,1)(5,1)

(2,5)

(0,2)



20. Diketahui

Relasi dari himpunan A ke B adalah B = A2

Jawaban (Kunci : C)

21. f(x) = x1 dan g(x) = x2 + 1

(g o f) (x) = 2

x1

+ 1

= 2x1 + 1 (Kunci : B)

22. Titik balik minimun kurva y = x2 – 12x + 1Syarat f1(x) = 0

3x2 – 12 = 03(x2 – 4) = 0

x2 = 4x = ± 4x1 = 2 dan −2

Untuk x = 2 y = 23 – 12 (2) + 1= 8 – 24 + 1= −15 (2, −15)

Untuk x = −2 y = −23 − 12 (−2) + 1= −8 + 24 + 1= 17 (−2, 17)

Fungsi naik dan turunFungsi turun ∫ 1 (x) < 0

3x2 − 12 < 0 x2 − 4 < 0 x2 − 4 = 0(x + 2)(x − 2) = 0x1 = −2 x2 = 2

Titik minimum (2, −15) karena minimum grafik dari turun lalu naik.(Kunci : A)

1234

169148

A B

� �−2 2



23. Nilai minimum dari f(x) = x2 − x untuk −1 ≤ x ≤ 3 adalahSyarat ∫ 1 (x) = 0

2x − 1 = 02x = 1

x = 21

y = 2

21

+

21

−

= 41 −

21

= 41

− (Kunci : E)

24. Tabelxf

43

56

610

713

85

92

101

fox 12 30 60 91 40 18 10

x.fΣ = 261, fΣ = 40, x = ffxΣΣ =

40261 = 6,525 (Kunci : E)

25. Simpangan baku dari data 5, 3, 9, 7, 6 adalah x = 5

67935 ==== = 5

30 = 6

Sb = n

xx 2−Σ

= 5

01331 2222 ++++

= 520

= 4 = 2 (Kunci : B)

26. TabelNilai Frekwensi

47 – 4950 – 5253 – 5556 – 5859 – 61

24653

Me = L2 +

Σ−

f

fn21

C

= 52,5 +

−

6610 3

= 52,5 +6

12

= 52,5 + 2 = 54,5 (Kunci : A)



27.3x

3x5x2 3xLimit 2

−−−

→

3x)2x)(1x2( 3x

Limit−

−+→

Limit (2x + 1) = 2 x 3 + 1x → 3 = 7 (Kunci : D)

28. Diketahui Cotg A = 247 , A Sudut lancip

Sin A + Cos A = …

Cotg A = 247 , x = 7, y = 24, r = 25

Sin A + Cos A =2524 +

257 =

2531 (Kunci : E)

29. )x3 Cosx(sin∫ + dx = −Cos x + 31 Sin 3x + C (Kunci : B)

30. ∫−

3

2(2x2 + x − 2) dx =

32 x3 +

21 x2 − 2x ∫−

32

=

−+ )3(2)3(

21)3(

32 23 −

−−−+− )2(2)2(

21)2(

32 23

=

−+ 6

29

354 −

++− 42

316

= 1565 (Kunci : C)

31. Perbandingan berbalik nilai.Persediaan makanan 25 hari untuk 2.000 ekor jika di tambah 500 ekor maka akan habisselama ....

=×

500.2000.225 20 hari (Kunci : B)



32. Nilai x pada persamaan

32x-2 = 4x

271 +

32x-2 = (3−3)x + 4

32x-2 = 3−3x − 12

2x – 2 = −3x – 122x + 3x = −12 + 2

5x = −10 x = −2 (Kunci : A)

33. Zat yang tidak tercantum = 100% − (40 + 50)% dari 1.000 mg zat yang tidak tercantum =

10010 × 1.000 mg = 100 mg.

34. Sebuah botol dengan garis tengah 14 cm tinggi 24 cm jika di isi 87 bagian maka

volumenya = λ a × t

= 722

× 7 × 7 × 24 × 87

= 3.234 cm3

35. Deret konvergen tak hingga a = 8 r = 32

S∞ = r1

a−

= 321

8−

= 24 (Kunci : B)

36. Jumlah peluang yang tidak terkena demam berdarah.1 – 0,02 = 0,980,98 × 6.000 = 5.880 (Kunci : D)

37. Kontra posisi dari pernyataan jika saya sakit maka saya pergi ke dokter adalah ….Kontra posisi dari p → q adalah −g → −p.Jika saya tidak pergi ke dokter maka saya tidak sakit

(Kunci : D)



38. Nilai ( )5x1

15x2x 5x

lim 2

−−−

→( )( )

5x3x5x

5xlim

−+−

→

3x 5x

lim+

→ = 5 + 3

= 8 (Kunci : A)

39. Turunan dari f(x) = (2x + x1 )(2a −

x1 ) adalah ….

Jawab:

f(x) = 4x2 − 2x1

f(x) = 4x2 − x−2

f(x) = 8x + 2x−3

f(x) = 8x + 3x2 (Kunci : C)

40. ==+

=5

240tt

25V21

48 km/jam. (Kunci : D)

atau51202222

1205

1203

1203

401

601

×==

+=

+

= 48 km/jam. (Kunci : D)

matematika smu

Documents