Kelompok 5

MAYDINA IZZATUL YAZIDAHWIDYA APRINIKA SARI

ALMA SUPHIA DEVIZAHRATUNNISA

WANDA HIKMAH PERMANA

RELASI DAN FUNGSI

PENGERTIAN RELASI

Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B adalah

pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-

anggota B.

Relasi dalam matematika misalnya : lebih dari ,

kurang dari , setengah dari , faktor dari dan

sebagainya.

Contoh :

Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 } . Jika

himpunan A ke himpunan B dinyatakan relasi “

kurang dari “ , maka lebih jelasnya dapat

ditunjukkan pada gambar di bawah :

1 .2 .3 .4 .

.1 .2 .3

BA

RELASI”KURANG DARI”

MENYATAKAN RELASI

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan Himpunan pasangan berurutan . a. Diagram Panah

1

1 2 3 4 5 6 7 98 100

23456789

10

Him

pu

nan

B

Himpunan A

DIAGRAM KARTESIUSContoh :Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } danB = { 1, 2, 3, …, 10 }.Gambarlah diagram cartesius yang menyatakan relasi A ke B denganhubungan : “SETENGAH DARI”

HIMPUNAN BERURUTAN

Contoh :

Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan

B = { 1, 2, 3, … , 10 } .

Tentukan himpunan pasangan berurutan yang menyatakan relasi A ke B dengan hubungan : “KUADRAT DARI”

JAWAB

{ (1,1), (4,2), (9,3),(16,4), (25,5) }

PERHATIKAN…

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

Diagram panah pada gambar di samping merupakan pemetaan maka rangenya adalah

a. {a, b, c}b. {d, e}c. {a, b, c, d, e}d. {1, 2, 3, 4}

CONTOH SOAL

Misalkan R adalah Relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Sifat yang mungkin pada R:

1. Refleksif : Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) anggota R untuk setiap a anggota AMenyatakan bahwa di dalam relasi refleksif setiap elemen di dalam A berhubungan dengan dirinya sendiri. 

2. Simetris : Relasi R pada himpunan A disebut setangkup jika (a,b) anggota R, maka (b,a) anggota R , untuk a,b anggota A menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak setangkup jika (a,b) anggota R sedemikian sehingga (b,a) anggota R

3. Transitif : Relasi  R  pada  himpunan  A disebut menghantar jika (a,b) anggotaR  dan (b,c) anggota R, maka (a,c) anggota R untuk semua a,b,c anggota A

SIFAT-SIFAT RELASI

4. AntisimetrisRelasi R pada himpunan A disebut tolak-setangkup jika (a,b)ΠR dan (b,a) Î R maka a = b, untuk semua a,b Î A.

Definisi di atas menyatakan bahwa jika (a,b) Î R, maka (b,a) ÏR kecuali a = b. Juga menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A tidak tolak-setangkup jika ada elemen berbeda a dan b  sedemikian  sehingga (a,b) Î R dan (b,a) Î R.

5) EkuivalenRelasi R disebut ekuivalensi jika dan hanya jika relasi R bersifat reflektif, simetris, dan transitif.

Jenis-jenis Relasi1) Relasi invers2)Relasi refleksi3)Relasi simetris4)Relasi antisimetris5)Relasi transitif6)Relasi ekuivalensi

PENGERTIAN FUNGSI

Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B

adalah suatu relasi yang memasangkan setiap

elemen dari A secara tunggal , dengan elemen

pada B

SYARAT RELASI ADALAH FUNGSI :

Semua anggota A memiliki pasangan anggota B

Anggota A hanya memiliki satu pasangan

dengan anggota B

Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan (daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi tersebut .

Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh berikut :

PERHATIKAN...

. 1

. 2

. 3

. 4

. 5

0 .

2 .

4 .

6 .

BA

Daerah kawan/kodomain

Daerah asal/Domain

Daerah hasil/Range

Dari diagram panah diatas dapat dilihat

bahwa :

1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang

memasangkan setiap anggota A dengan

tepat satu anggota B.

2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah

asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan

{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).

Notasi Fungsi

Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan dengan huruf kecil f , g , h , dan sebagainya. Misal : f : x y dibaca f memetakkan x ke y , maka y = f(x) dibaca sama dengan f dari x digunakan untuk menunjukkan bahwa y adalah fungsi dari x .

MENYATAKAN FUNGSISuatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga cara yaitu

dengan diagram panah , diagram cartesius , dan himpunan

pasangan berurutan .

Contoh :

Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }

a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan

pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 ,

i 2 , u 1 , e 4 , o 2 .

b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius

c . Nyatakan pula f sebagai himpunan

pasangan berurutan .

1. DIAGRAM PANAH

. 1

. 2

. 3

. 4

a .

i .

u .

e .

o .

BA

a 1 ,

i 2 ,

u 1 ,

e 4 ,

o 2 .

DIAGRAM KARTESIUS

1

a i u e o0

23456789

10

{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }

• HIMPUNAN BERURUTAN

SIFAT KHUSUS FUNGSI

1. Fungsi Injektif (satu-satunya) Jika setiap anggota A memiliki bayangan berbeda di B2. Fungsi Surjektif (pada) Jika setiap anggota B prapeta di A.3. Fungsi Bijektif (korespondensi satu-satu) Jika fungsi tsb injektif sekaligus surjektif.

Jenis-jenis Fungsi1) Fungsi konstan (fungsi tetap)

Fungsi konstan adalah fungsi  yang dinyatakan dalam rumus f(x) = c, dengan c suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya sumbu x merupakan garis yang sejajar dengan sumbu x.Fungsi konstan ditulis sebagai:

f: x          f(x) = k

2) Fungsi linearSuatu fungsi f(x) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax + b, di mana a ≠ 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupagaris lurus.

3) Fungsi identitasSuatu fungsi f(x) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsiberlaku f(x) = x atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f(x) = x.

4) Fungsi kuadratSuatu fungsi f(x) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan olehf(x) = ax2 + bx + c, di mana a ≠ 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dangrafiknya berupa parabola.5) Fungsi tangga (bertingkat)Suatu fungsi f(x) disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f(x) berbentukinterval-interval yang sejajar.

6) Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlakSuatu fungsi f(x) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakansetiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya.7) Fungsi ganjil dan fungsi genapSuatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku f(–x) = –f(x) dan disebutfungsi genap apabila berlaku f(–x) = f(x). Jika f(–x) ≠ –f(x) maka fungsi initidak genap dan tidak ganjil.

MENGHITUNG NILAI FUNGSIUntuk menghitung nilai fungsi dapat digunakan rumus : f (x) = ax + b Contoh : 1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5x -3 Tentukan : a. Rumus fungsi . b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .

JAWAB :

a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3

b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3 untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17 x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8 Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17 dan x = -1 adalah -8

Menentukan bentuk fungsiSuatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b . Contoh : Suatu fungsi ditentukan dengan rumus f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 . Tentukan : a. Nilai a dan b b. Bentuk fungsinya

JAWABa. f (x) = ax + b f (2) = 2a + b = 10 2a + b = 10 f (-4) = -4a + b = -8 -4a + b = -8 - 6a = 18 a = 3 untuk a = 3 2a + b = 10 2 . 3 + b = 10 6 + b = 10 b = 4 Jadi , nilai a = 3 dan b = 4

b. f (x) = ax + b f (x) = 3x + 4 Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4

Semoga bermanfaat