PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar

a. Dapat menggunakan persamaan dan pertidaksamaan dan implikasinya

dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat

b. Dapat Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan dalam menarik

kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah

Waktu : 2 x 50 Menit

Metode : - Ceramah

- Lat soal dan Tanya jawab

A. Persamaan

Persamaan adalah “Adanya kalimat matematika yang belum mempunyai nilai

kebenaran (B atau S). Dalam menyelesaikan suatu persamaan harus dicari suatu

bilangan sehingga persamaan tersebut menjadi proposisi benar. Jika bilangan yang

menyebabkan persamaan itu menjadi proposisi benar disebut jawab (selesaian)

persamaan tersebut. Himpunan itu disebut himpunan selesaian. Jika, x + 2 = 5

maka himpunan selesaian 3 .

Berikut ini merupakan beberapa contoh persamaan.

1. 2x – 3 = 7 yang himpunan selesaiannya 5

2. 3x + 5 = 6x – 1 yang himpunan selesaianya 2

3. 2x + 3y = 7 yang himpunan selesaiannya (2,1) = (x,y) : x = 2, y = 1

4. x2 + 5 x + 6 = 0 yang himpunan selesaiannya -2, -3

Suatu persamaan yang mengandung satu peubah dan berpangkat satu disebut

persamaan linear satu peubah. Bentuk umum persamaan linear satu peubah ialah

ax + b = c dengan a, b dan c bilangan real dan a 0.

Teknik Penyelasaian

ax + b = c, a 0 diketahui

ax + b – b = c – b p = q p – r = q – r

ax c – b p = q p q a a r r

c – b c - b

60

x = Himpunan selesaian a a

Contoh

Tentukan himpuna selesaian

(a) x + 6 = 7

(b) 2x – 7 = 5

(c) 3 (x + 2 ) + 2 (x + 1) = 4x + 1

Jawab

(a) x + 6 = 7

x + 6 – 6 = 7 – 6

x = 1 Himpunan penyelesaian 1

Pemeriksaan, 1 + 6 = 7. Benar.

(b) 2x – 7 = 5

2x – 7 + 7 = 5 + 7

2x = 12

2x 12 2 2

x = 6 Himpunan penyelesaian 6

Pemeriksaan, 2.6 – 7 = 5. Benar.

(c) 3 (x +2) + 2 (x + 1) = 4x + 1

3x +6 + 2x + 2 = 4x + 1

5x – 8 + 8 = 4x + 1 +-8

5x – 4x = 4x – 4x -7

x = -7 Himpunan penyelesaian -7

Pemeriksaan 3 (5-2) + 2 (5+1) = 4.5 + 1

33 + 2.6 = 21

21 = 21. Benar.

Contoh

Tentukan himpunan selesaian dari persamaan berikut.

2x – 1 3x – 2 1 + = 7 3 2 3

61

Jawab

Bila kedua ruas persamaan tersebut dikalikan dengan 6,

222 (2x – 1) + 3 (3x – 2) = 6 34x – 2 + 9x – 6 = 44

13x – 8 = 44

13x = 44 + 8

13x = 52

1 1 13x = 52 13 13

x = 4 Himpunan selesaian 4

Periksalah kebenaran selesaian tersebut

Contoh

Jika suatu bilangan ditambah dua kali bilangan itu menghasilkan 12, tentukan

bilangan tersebut.

Jawab

Misalnya bilangan yang ditanyakan x.

x + 2x = 12 (persamaan linear satu peubah yang disebut juga model matematika)

3x = 12

3x 12 = 3 3

x = 4 Bilangan yang dinyatakan adalah 4.

Contoh

Dua bilangan asli berurutan jumlahnya 19. tentukan masing – masing bilangan

itu.

Jawab

Misalnya dua bilangan berurutan itu n dan (n + 1)

Maka n + (n + 1) = 19

2n + 1 = 19

62

2n + 1 – 1 = 19 – 1

2n = 18

½. 2n = ½. 18 n = 9

Jadi dua bilangan berurutan itu 9 dan 10

Contoh

Ani pergi ke pasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1 kg apel 3 kali harga

1 kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan 3 kg rambutan dengan harga Rp.

9.000,00. Berapa masing – masing harga apel dan rambutan setiap kg ?

Jawab

Misalnya harga 1 kg rambutan x rupiah. Karena itu harga 1 kg apel 3 x rupiah.

Harga 3 kg rambutan adalah 3 x rupiah dan 2 kg apel adalah 6 x rupiah.

Maka 3x + 6x = 9000,-

9x = 9000,-

x = 1000,-

Jadi harga 1 kg rambutan Rp. 1.000,00 dan 1 kg apel Rp. 3.000,00

B. Pertidaksamaan

Suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan relasi

≤, < ≥, atau > disebut suatu pertidaksamaan.

1. x + 6 > 3

2. x – 5 ≤ 7 + 2x

3. x + y < 2

4. x2 – 5x + 6 ≥ 0

5. x2 + y2 > 4

Bila pertidaksamaan hanya mengandung satu peubah dan berpangkat satu maka

pertidaksamaan tersebut dinamakan pertidaksamaan linear satu peubah.

Selanjutnya bila dikatakan pertidaksamaan, maka yang dimaksud adalah

pertidaksamaan linear satu peubah.

Contoh 1 dan 2 merupakan suatu pertidaksamaan linear satu peubah sedang

contoh 3, 4 dan 5 bukan.

63

Bentuk umum pertidaksamaan linear satu peubah adalah ax + b ≤ 0, ax + b < 0, ax

+ b ≥ 0, ax + b > 0 dengan a, b bilangan real dan a ≠ 0.

Seperti halnya persamaan, menyelesaikan suatu pertidaksamaan merupakan suatu

proses mendapatkan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi

proposisi benar.

Bilangan yang memperoleh tersebut merupakan selesaian pertidaksamaan

tersebut.

Himpunan semua selesaian suatu pertidaksamaan disebut himpunan selesaian.

Teknik Penyelesaian

Seperti halnya teknik penyelesaian persamaan, kita juga menggunakan sifat – sifat

antara lain sebagai berikut.

1. Jika a, b, c bilangan real

(a) a ≤ b maka a + c ≤ b + c

(b) a ≥ b maka a + c ≥ b + c

2. a, b dan c bilangan real

(a) Untuk c > 0. Jika a > b maka ac > bc

Jika a < b maka ac < bc

(b) Untuk c < 0. Jika a > b maka ac < bc

Jika a < b maka ac > bc

Contoh

Tentukan himpunan selesaian

(a) 2x + 5 > 9

(b) –x + 2 < 3

(c) 3x + 2 ≥ 5x – 2

Jawab

(a) 2x + 5 > 9

2x + 5 – 5 > 9 – 5

2x > 4

2x 4 > Mengapa tanda > tetap ? 2 2

64

x > 2

Ini berarti setiap bilangan x yang lebih dari 2 memenuhi pertidaksamaan tersebut

sehingga himpunan selesaiannya adalah { x : x > 2 }. Himpunan selesaian dapat di

gambarkan pada garis bilangan berikut.

0 1 2

Gambar 2.1

(b) -x + 2 < 3

-x + 2 – 2 < 3 – 2

-x < 1

x > -1

(-1) (-x) > (-1). 1 Mengapa tanda < berubah menjadi > ?

Himpunan selesaian {x : x > 1} dapat digambarkan sebagai garis bilangan berikut.

-2 -1 0

Gambar 2.2

(c) 3x + 2 ≥ 5x - 2

3x + 2 2 ≥ 5x - 2 - 2

3x ≥ 5x - 4

3x - 5 x ≥ 5x - 4 - 5x

-2x ≥ -4

-2x -4 ≥ Mengapa tanda ≥ berubah menjadi ≤ ?-2 -2

x ≤ 2

Himpunan selesaian {x : x ≤ 2 } yang dapat digambarkan sebagai garis bilangan

berikut.

-3 -2 -1 0 1 2 3

Gambar 2.3

65

Garis bilangan dapat memudahkan untuk mencari selesaian pertidaksamaan.

Contoh

Tentukan himpunan selesaian

(a) -2x + 4 ≤ x + 3 dan 2x – 3 < x - 1

(b) x + 5 < 5 atau 3x + 4 > 10

(d) 4 < -x + 4dan –x < x –4

Jawab

(a) -2x + 4 ≤ -x + 3 dan 2x –3 < x –1

-2x + 4 – 4 ≤ -x + 3 – 4 2x – 3 + 3 < x –1 + 3

-2x ≤ -x – 1 2x < x + 2

-2x + x ≤ -1 2x – x < x – x + 2

-x ≤ -1 2x – x < x – x + 2

x ≥ 1 x < 2

-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3

Bila harus memenuhi kedua – duanya karena konjungsi dan

-1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3

Gambar 2.4

Himpunan selesaian {x : 1≤ x < 2 }

3 3 3 3 3Pemeriksaan, x = ,2 + 4 ≤ - + 3 dan 2. – 3 < -1 2 2 2 2 2

66

3 1 1 ≤ dan 0 < 2 2

Benar dan benar Benar

x = 0, -2.0 + 4 ≤ -0 + 3 dan 2.0 –3 < -0 –1

4 ≤ 3 dan -3 < -1

Salah dan Benar Salah

(b) x + 5 < 5 atau 3x + 4 > 10

x + 5 – 5 < 5 – 5 3x + 4 – 4 > 10 – 4

x < 10 3x > 6

3x 6 >3 3

x > 2

-2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3

Bila harus memenuhi salah satu atau kedua-duanya (disjungsi atau) maka

himpunan selesaiannya {x : x < 0 atau x > 2}

-2 -1 0 1 2 3

Periksalah kebenaran dari selesaian tersebut.

(c) 4 < -x + 4 dan -x < x – 4

4 – 4 < -x + 4 – 4 -x + x < x – 4 – x

0 < -x -2x < -4

67

-2x -4-x > 0 >

-2 -2

x < 0 x > 2

-3 -2 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 4

Bila memnuhi kedua – duanya karena konjungsi dan

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3 4

Gambar 2.4

Himpunan selesaian Ø

Ternyata tidak ada pengganti x yang memenuhi kedua-duanya.

Contoh 2.7

Untuk membangun rumah tipe A1 dan A2 Akhmad meminta imbalan berturut -

turut Rp. 5.000.000,00 dan Rp. 4.000.000,00.

Berapa imbalan yang diminta oleh Akhmad untuk membangun sebuah rumah tipe

A3 agar rata - rata imbalan ketiga tipe yang diperoleh melebihi imbalan

membangun sebuah rumah tipe A1.

Jawab

Misalnya Akhmad minta imbalan x rupiah

5.000.000,00 + 4.000.000,00 + xMaka > 5.000.000,00 3

9.000.000,00 + x > 5.000.000,00

3

68

9.000.000,00 + x > 3 x 5.000.000,00

x > 6.000.000,00

Jadi imbalan yang diminta Akhmad ongkos borongan lebih dari Rp. 6.000.000,00

Latihan 2.1

1. Tentukan himpunan selesaian persamaan berikut.

x – 3 2x + 3(a) x – 5 = 7 (d) =

2 3

2x - 1(b) 2x + 3 = 9 (e) = 5

3

x-1 2x -3(c) 3x – 1 = 2x + 1 (f) + = 1

2 3

2. Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan berikut.

x – 3 2x + 3(a) x – 5 > 7 (d) ≤

2 3

2x - 1(b) 2x + 3 < 9 (e) > 5

3

x-1 2x -3(c) 3x – 1 ≥ 2x + 1 (f) + < 1

2 3

69