Aljabar Logika

Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar

a. Dapat menggunakan Nilai kebenaran pernyataan majemuk dan

implikasinya dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat

b. Dapat Menggunakan sifat dan prinsip logika dalam menarik kesimpulan

dan pembuktian dalam penulisan ilmiah

Waktu : 2 x 50 Menit

Metode : - Ceramah

- Lat soal dan Tanya jawab

-

Logika merupakan ilmu yangmempelajariu aturan aturan dalam penalaran (berfikir

logis) baik dalam matematika, sains, dan lain-lain khususnya dalam penelitian. Karena

logika berhubungan dengan pernyataan. Oleh sebab itu dalam logika hanya dikenal dua

kemungkinan kebenaran saja yaitu benar atau salah.

Masih ingatkah kita tentang bilangan biner yang hanya mempergunakan angka 0 dan

1 yang dipergunakan dalam setiap instruksi komputer, dan instruksi ini pada hakekatnya

merupakan serangkaian kombinasi logis.

1. Pernyataan/Statement, nilai kebenarn dan kalimat terbuka

A. Pernyataan/Statement

Kalimat merupakan rangkaian kata-kata yang disusun sehingga memiliki makna

yang benar. Kalimat ini dikelompokkan mejadi kalimat pernyataan dan bukan

pernyataan.

Dalam matematika, kalimat pernyataan memiliki ciri sebagai berikut

• Sifat Dasar : Benar atau salah, tapi tidak keduanya dan disebut dengan

nilai kebenarannya

Contoh:

a. Sembilan adalah bilangan genap

b. Ibukota Negara Indonesia adalah Jakarta

1

Kalimat diatas adalah kalimat pernyataan karena kita dapat menentukan bahwa kalimat

tersebut salah untuk (a) dan benar untuk (b)

c. P adalah bilangan prima

Adalah bukan kalimat pernyataan tetapi kalimat pemberitahuan yang jika diberi nilai

untuk p maka akan kelihatan benar dan salahnya

d. Ani adalah gadis yang cantik

adalah bukan kalimat pernyataan yang mana kata cantik itu relatif, tergantung dari

siapa yang mengatakan

B. Lambang dan Nilai Kebenaran

Dalam matematika, kalimat pernytaan dapat dinotasikam dengan huruf kecil tanpa tanda

tambahan

Contoh : p, q, r

p : Bilangan cacah terkecil adalah 0

q : Tidak Bilangan genap yang prima

Setiap kalimat poernytaan mempunyai nilai kebenaran (B) jika kalimat itu benar dan (S)

jika kalimat itu salah. Lambang dari kebenaran tersebut adalah τ (dibaca tau) dari huruf

bahasa Yunani

Sehingga diperoleh

τ (p) = B dibaca nilai kebenaran pernyataan p adalah Benar

τ (q) = S dibaca nilai kebenaran pernyataan q adalah Salah

C. Kalimat terbuka

Adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih

mengandung variable

Contoh

a…x + 6 = 9

b…p adalah bilangan ganjil

Dua kalimayt diatas bukan kalimat pernyataan yang dapat diubah menjadi kalimat

pernyataan benar atau salah dengan mengganti nilai x dan p

2

2. Konjugasi ( and/dan)

Symbol : ∧

Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata “ dan” yang membentuk pernyataan baru

Tabel kebenaran

p Q p ∧ qS

S

B

B

S

B

S

B

S

S

S

BSuatu konjugasi menghasilkan nilai pernyataan itu benar jika kedua dari pernyataan itu

benar

Contoh

Tentukan nilai kebenaran dari kunjugasi berikut:

a. Ibukota negara RI adalah Jakarta dan Jakarta berada di Pulau Jawa

p= Ibukota negara RI adalah Jakarta adalah benar

q= Jakarta berada di Pulau Jawa

(p ^ q) = adalah B

b. Nyamuk DBD adalah Aedes Agepty dan Aedes Agepty bertelur ditempat yang

keruh

p= Nyamuk DBD adalah Aedes Agepty bernilai benar

q= Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh adalah salah

(p ^ q) = adalah S

3. Disjungsi ( or/atau)

Symbol : ∨

Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata “ atau” yang membentuk pernyataan baru

Tabel kebenaran

P Q p ∨ q3

S

S

B

B

S

B

S

B

S

B

B

BSuatu Disjungsi akan mempunyai nilai kebenaran salah jika kedua pernyaan tersebut slah

dan mempunyai Nilai pernyataan itu benar jika kedua dari pernyataan itu benar atau salah

satu dari pernyatan itu benar

Contoh

a. Nyamuk Aedes Agepty menggigit pada malam hari atau Aedes Agepty

bertelur ditempat yang keruh

p= Nyamuk Aedes Agepty menggigit pada malam hari adalah salah

q= Aedes Agepty bertelur ditempat yang keruh adalah salah

(p V q) = adalah S

b. Semua bilangan prima adalah genap atau semua persegi panjang mempunyai

sisi sama panjang

p= Semua bilangan prima adalah genap adalah salah

q= semua persegi panjang mempunyai sisi sama panjang adalah B

(p V q) = adalah B

4. Kalimat ingkar (negasi/negative)

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering kali melakukan penyangkalan atau pengingkaran

sesuatu. Untuk pengingkaran tersebutkita menggunakan kata-kata ” tidak”, ”tidak benar”,

atau bukan

Symbol : ~

pernyataan yang diinverskan atau kebalikan membentuk pernyataan baru

Tabel kebenaran

p ∼pS

B

B

SNilai pernyataan itu adalah negative dari pernyataan yang ada

Contoh

r : Semua orang bersekolah

4

∼r : tidak semua oarang bersekolah atau ada orang yang tidak bersekolah

5. Implikasi/ Kondisional (jika, maka)

Implikasi atau pernyataan bersyarat adalah pernyataan majemuk dari pernyataan p

dan pernyataan q dengan Symbol : →

Dua pernyataan yang digabungkan dengan kata “ jika, maka” yang membentuk

pernyataan baru. Dimana p pernyataan sebab dan q adalah pernyataan akibat. Jadi

implikasi adalah suatu hubungan pernyataan yang mengandung hubungan sebab

akibat walaupun pada dasarnya nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk tidak

harus ada hubungan anatara komponen-komponen pembentuknya

Tabel kebenaran

p Q p→ qS

S

B

B

S

B

S

B

B

B

S

B

Pada tabel diatas terlihat bahwa jika pernyataan sebab benar dan akibat salah maka dia

akan menghasilkan nilai kebaran yang salah

Contoh

Jika sesorang tergigit nyamuk Aedes Agepty maka Terdapat bintik pada kulit dan

demam yang merupakan ciri dari penyakit DBD

p= sesorang tergigit nyamuk Aedes Age adalah benar

q= Terdapat bintik pada kulit dan demam yang merupakan ciri dari penyakit DBD

adalah benar

p q maka menghasilkan benar

Dari suatu implikasi kita dapat mengubahnya menjadi pernytaan baru yaitu invers,

konvers dan kontraposisi

p q Invers nya adalaha – p - q

p q Konvers nya adalaha q p

p q Kontraposisi nya adalaha – q - p5

6. Biimplikasi/Bikondisional ( jika dan hanya jika)

Merupakan kalimat implikasi dua arah ytang menyatakan pernyataan majemuk dari

pernytaan p dan pernyatan q yang berbentuk

( p q ) ^ ( q p)

dibaca q jika p dan p jika q sehingga menghasilkan bentuk p q dengan

simbol : ↔

Dibaca : a. p jika dan hanya jika q

b. p syarat perlu dan cukup bagi q

c. q syarat perlu dan cukup bagi p

Tabel kebenaran

P Q p↔ qS

S

B

B

S

B

S

B

B

S

S

B

Suatu pernyataan berbiimplikasi bernilai benar bila mempunyai keduanya pernyataan

yang bernilai sama

Contoh 3 Log 27 = 3 jika dan hanya jika 3 3 = 27

p= 3 Log 27 = 3 adalah benar

q= 3 3 = 27 adalah benar

maka p ↔ q menghasilkan pernyataan benar

7. Ekuivalensi

Kita ketahui bahwa nilai kebenaran pernyataan majemuk merupakan fungsi dari nilai

kebenaran pernytaan penyususnnya. Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan

ekuivalensi jika memeilki nilai kebenaran yang samma A = B

Berikut ini beberapa ekuivalensi yangperelu diketahui

a. Hukum Komulatif

p v q = q v p

p ^ q = q ^ p6

b. Hukum assosiatif

p ^ ( q ^ r) = ( p ^ q ) ^ r

p v ( q v r ) = (p v q ) v r

c. Hukum distributif

p ^ ( q v r) = ( p ^ q ) v ( p ^ r )

p v ( q ^ r ) = (p v q ) ^ (p v r)

d. Hukum De morgan

- ( p ^ q ) = - p v –q

- ( p v q ) = - p ^ - q

8. Tautologi

Tabel kebenaran

P ∼p p ∨ ∼pS

B

B

S

B

B

Adalah jika gabungan dari beberapa pernyataan menghasilkan suatu table kebenaran

yang bernilai benar semuanya

9. Kontradiksi

Tabel kebenaran

P ∼p p ∧ ∼pS

B

B

S

S

S

Adalah jika gabungan dari beberapa pernyataan menghasilkan suatu table kebenaran

yang bernilai salah semuanya

10. KontingensiSuatu pernyatan majemuk merupakan kontingensi jika nilai kebenarannya

memuat benar dan salah

Tabel kebenaran

P ∼p p ∼pS B S

7

B S S

11. Silogisme

Suatu pernyataan baru akibat dari beberapa premis yang kemudian menghasilkan

kongklusi

Contoh

Jika p mengakibatkan q (premis I) p q

Jika q mengakibatkan r (premis II q r

Maka p mengakibatkan r (konklusi) p r

ContohJika kita sabar, maka disayang Allah premis 1Jika kita disayang Allah maka kita akan bahagia premis 2

Jadzi konklusinya adalah ” jika kita sabar, maka kita akan bahagia”

8