SUDUT DAN GARIS

1. SUDUTA. Pengertian Dasar Tentang Sudut

Sudut adalah suatu daerah yang terbentuk dari pertemuan/perpotongan dua garis pada satu titik.

Kaki sudut merupakan garis-garis pembentuk sudut. Garis AC dan AB adalah kaki sudut. Titik A disebut pangkal atau pojok. Daerah yang diarsir disebut daerah sudut dan selanjutnya disebut sudut.

Dalam pengertian tentang sudut, dapat kita simpulkan sebagai berikut: Kaki sudut adalah garis-garis pembentuk

sudut. Titik sudut adalah titik berpotongan atau

pertemuan kedua kaki sudut. Daerah sudut adalah daerah yang dibatasi oleh

kedua kaki sudut.

B. Notasi dan Nama SudutSudut dinotasikan dengan lambang “∠”. Lambang ini diikuti dengan nama

sudut tersebut. Perhatikan nama sudut dapat dilakukan dalam tiga cara, yaitu: 1. Memberi nama sudut dengan huruf yunani

Nama sudut dapat dinyatakan secara langsung dengan huruf yunani. Huruf yunani yang biasa digunakan adalah α (alfa ) , β (beta ) , γ (gamma ) dan θ (teta ) .Jika daerah sudut dinamai α , maka sudutnya ditulis ∠a ( dibaca sudut alfa).

2. Memberikan nama sudut dengan tiga hurufUntuk memberikan nama sudut, nama titik sudut diletekkan ditengah

kedua nama ujung kaki sudut tersebut. Ketiga titik ditulis dengan huruf kapital. Misalkan ketiga titik pada kaki sudut adalah A,B dan C. A merupakan pangkal, B dan C merupakan ujung. Nama sudut itu adalah ∠BAC atau ∠CAB, atau dapat juga ditulis sudut BAC atau sudut CAB.

3. Memberikan nama sudut dengan satu huruf

1

Penamaan sudut dengan satu huruf sesuai dengan nama titik pangkalnya. Misalkan titik pangkalnya adalah A, maka sudut itu diberi nama ∠A atau sudut A.

C. Satuan SudutSatuan sudut yang sering digunakan untuk mengukur besar sudut ada tiga, yaitu:1. Sistem sexagesimal

Dalam sistem ini, besar sudut diukur dalam derajat.

1 sudut siku=90° ,1°=60' , dan1'=60' '

1° dibaca satu derajat60' dibaca enam puluh menit60' ' dibaca enam puluh detik

2. Sistem centesimalDalam sistem ini sudut diukur dalam satuan grad.

1 sudut siku=100g ,1g=100' , dan 1'=100' '

3. Ukuran lingkaran (circular measure)Dalam sistem ini besar sudut diukur dalam radian. 1 radian ditulis sebagai 1c.

πc=180=200g=2× sudut siku .

Contoh 1:

a. Ubahlah 5 μ6 radian kedalam satuan derajat

b. ubahlah 135° ke dalam satuan radianc. ubahlah 225° ke dalam siste m centesimal

Jawab:

a. ingat: μc=180°

2

jadi, ( 5 μ6 )

c

= 5.180°

6=150°

b. ingat: 180°=μc

jadi, 135°=( μ180

× 135)c

=( 3 μ4 )radian

c. ingat: 180°=200g

jadi, 225 =( 200180

× 225)g

=250g

contoh 2:

a. 29° 16' 20' '+20° 56' 58' '=….b. 40° 06' 35' '−29° 56' 57' '=…

Jawab:

Ingat: 1°=60' dan 1'=60' '

Untuk menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan sudut, gunakan penjumlahan dan pengurangan bersusun.

a. Kolom detik : 20' '+58' '=78 ' '=1' 18' '

Kolom menit: 16'+56' ¿72'=1°12'

Kolom derajat: 29° +20° ¿49°

Jadi, 29° 16' 20' ' +20° 56' 58 ' '=( 49° )+(1° 12' )+(1' 18 ' ' )= 50° 13' 18 ' '

b. Kolom detik : 35' '−57' '¿60' '+35 ' '−57' '¿38' '

Kolom menit : 05'−56 '=60'+05'−56'=9'

Kolom derajat: 39°−29°=10°

Jadi, 40 ° 06' 35' '−29° 56' 57' '=10° 9' 38 ' '

D. Sudut Sebagai Jarak PutarSudut sebagai jarak putar dapat dipandang sebagai ukuran dari rotasi (perputaran) sebuah garis pada satu titik, contohnya adalah pada perputaran jarum jam.

Jika jarum panjang pada jam yang mengarah ke angka 12 diputar hingga kembali ke angka 12, maka jarum jam tersebut dikatakan satu putaran penuh. Dalam matematika, bidang atau jarak putar satu putaran penuh tersebut membentuk sudut 360°.

3

Jika jarum panjang berputar 12 putaran, yaitu berputar dari angka 12

dan berakhir pada jam 6, maka dikatakan jarum jam membentuk sudut lurus sebesar 180°.

Jika jarum panjang berputar dari angka 12 dan berakhir pada angka 3,

maka jarum panjang tersebut berputar 14

putaran, dan membentuk sudut siku-siku sebesar 90°. Pada puataran jarum jam, semakin jauh jarak putar ujung jarum maka sudut yang diperoleh semakin besar.

E. Melukis dan Mengukur Sudut dengan Busur Derajat

a. Melukis sudutUntuk menggambar sebuah sudut,

misalnya ∠KLM dengan ukuran 60°, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Gambarlah satu kaki ∠KLM , misalnya KL dengan 2. Letakkan busur derajat dengan garis KL ,

sedemikian sehingga garis nol pada sudut berimpit dengan garis KL dan titik L berimpit dengan titik tengah (pusat) busur.

3. Perhatikan angka nol pada busur yang merimpit dengan garis KL, ada yang terletak di dalam dan di luar. Jika letak angka nol ada pada skala bagian luar, maka angka 60 yang digunakan pada skala bagian luar. Jika angka nol ada pada skala bagian dalam, maka angka 60 yang digunakan pada skala bagian dalam. Beri tanda titik M pada posisi 60° .

4. Lepas busur , kemudian tarik garis dari titik sudut L ke titik M yang sudah ditandai tadi. Buat keterangan sudut 60° dengan garis lengkung dan arsiran.

b. Mengukur sudut

4

Langkah-langkah dalam mengukur suatu sudut dengan busur derajat adalah sebagai berikut;

1. Himpitkan titik tengah busur dengan titik sudut yang akan diukur sehingga salah satu kakinya berimpit dengan garis nol.

2. Perhatkan titik nol pada busur, agar dapat memakai skala derajat tersebut. Bacalah besar sudut yang tertera pada kaki sudut lainnya.

F. Jenis-jenis SudutBerikut ini di berikan beberapa jenis sudut mulai dari sudut yang kecil hingga sudut yang besar dan sering digunakan dalam geometri.

Jenis sudut gambar Besar sudut

Sudut lancip0°<α<90°

Sudut siku-siku

α=90°

5

Sudut tumpul 90°<α<180°

Sudut lurus α=180°

Sudut refleks Besar sudutnya 180° sampai 360°

Sudut satu putaran penuh

Besar sudutnya 360°

G. Melukis Sudut-sudut Tertentu dengan Mengguakan Penggaris dan Jangkaa. Melukis sudut menjadi dua bagian sama besar

Misalkan kita ingin membagi ∠BACmenjadi 2 bagian yang sama besar. Caranya adalah:

1. Lukiskan busur dengan menggnakan jangka yang berpusat di B sehingga memotong BC dan AB. Titik-titik potongnya kita namakan E dan D.

2. Dengan pusat masing-masing di E dan D, lukiskan busur lingkaran dengan lebar jangka yang sama. Titik potongnya kita namakan T.

3. Hubungkan B dan T diperoleh garis BT. BT adalah garis bagi ∠ABC.4. ∠ABC = 2∠CBT = 2∠ABT5. ∠CBT=∠ABT

b. Melukis sudut 90°

Cara melukis:

1. Dengan titik B sebagai pusat dari jari-jari AB . Buatlah busur lingkaran dengan melalui titik A dan memotong penpanjangan AB di titik B'.(gambar i)

6

2. Dengan titik A dan B' sebagai pusat dan panjang jari-jarinya lebih dari AB , buatlah busur lingkaran yang saling berpotongan dan dinamai dengan C. (gambar ii)

3. Hubungkan titik B dan C maka besar ∠ABC=90°.

. c. Melukis sudut 60°

Cara melukis :

1. Buat busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari AB . (gambar i)2. Dengan pusat B danpanjang jari-jari tetap sama, buatlah busur

lingkaran sehingga busur tadi berpotongan dititik C. (gambar ii)3. Hubungkan A dan C, maka besar ∠BAC=60°.

d. Melukis sudut 45°

Cara melukis:Untuk melukis sudut 45°, lukislah dahulu sudut 90°, kemudian lukislah garis bagi sudut itu sehingga sudut yang besarnya 90° terbagi menjadi dua bagian yang sama.

e. Melukis sudut 30°

Cara melukis:Untuk melukis sudut 30° lukislah terlebih dahulu sudut 60°, kemudian lukislah garis bagi sudut itu sehingga sudut yang besarnya 60° terbagi menjadi dua bagian yang sama.

7

dua sudut a dan b yang saling berpelurus jumlahnya 180°dan ditulis a+b=180°

H. Hubungan Antarsudut

a. Sepasang sudut yang saling berpelurus

Perhatikan masing-masing sudut BOC dan sudut AOC. Kedua sudut tersebut bila dihimpitkan akan membentuk sudut 180°. Sudut BOC dan sudut AOC dikatakan sudut yang saling berpelurus.

Contoh soal:

Perhatikan gambar dibawah ini. 

 Hitunglah nilai a° dan tentukan pelurus dari sudut a° !

Penyelesaian:Berdasarkan gambar diperoleh bahwa

3a° + 2a° = 180°

8

Dua sudut a dan b yang saling berpenyiku jumlahnya 90° dan ditulis a+b=90°

5a° = 180°a° = 180°/5a° = 36

Pelurus sudut a° = 180° – 36° = 144°.b. Sepasang sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen)

Perhatikan gambar disamping,∠WRT=90° ,∠TRS=b ,∠WRS=aHal ini berarti:

∠TRS+∠WRS=90°atau a+b=90°.

Pasangan ∠TRS dan ∠WRS disebut sudut yang berpenyiku atau sering disebut sudut yang saling berkomplemen.

contoh soal:

Perhatikan gambar di bawah.

Berdasarkan gambar di atas hitunglah nilai x°; berapakah penyiku sudut x°; dan berapakah pelurus dari penyiku x°?Penyelesaian:

x° + 3 x° = 90°4 x° = 90°x° = 22,5°

penyiku dari x° = 90° - 22,5° = 67,5°

pelurus dari penyiku x° = 180° - 67,5° = 112,5°

c. Sepasang sudut yang saling bertolak belakang

9

Dua sudut yang saling bertolak belakang terbentuk apabila dua buah garis lurus saling berpotongan tidak pada kedua ujungnya, yang akan membentuk empat buah sudut yang berlawanan. Sudut-sudut yang berlawanan dari keempat sudut itu ada dua pasang dan disebut sudut yang saling bertolak belakang. Perhatikan gambar disamping. Garis KL dan NL berpotogan di O. Perpotongan kedua garis itu membentuk empat buah sudut, yaitu ∠KOL, ∠NOM, ∠MOL dan ∠KON. Keempat sudut itu mempunyai dua pasang sudut yang saling bertolak belakang, yaitu:

1. ∠KOL bertolak belakang dengan ∠NOM.2. ∠MOL bertolak belakang dengan ∠KON.

Contoh soal:

Perhatikan gambar di bawah ini.

 Diketahui besar ∠SOP = 45°. Tentukan besar ∠ROQ, ∠SOR, dan ∠POQ.Penyelesaian:Diketahui:∠SOP = 45°∠ROQ = ∠SOP (bertolak belakang)∠ROQ = 45°

∠SOP + ∠SOR = 180° (berpelurus)45° + ∠SOR = 180°∠SOR = 180° – 45°∠SOR = 135°

∠POQ = ∠SOR (bertolak belakang)

10

Dua sudut a dan b yang saling bertolak belakang besarnya sama dan ditulis a=b

∠POQ = 135°

2. GARISGaris adalah deretan titik-titik (bisa tak berhingga jumlahnya) yang saling bersebelahan dan memanjang kedua arah. Titik-titik tersebut kita gambar menyatu satu sama lain.Untuk menamakan sebuah garis, kita ambil dua titik (misalkan A dan B ) yang mewakili titik-titik lain dalam garis tersebut sehingga kita namakan sebagai

garis AB ditulis AB . A B

Sifat-sifat garis:1. Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis saja.2. Garis AB adalah jarak terdekat antara titi A dan titik B.3. Suatu garis dapat diperpanjang secra tak terbatas ke kedua arahnya.A. Kedudukan Dua Garis1. Dua garis sejajar

Perhatikan gambar lintasan kereta disamping. Lintasan tersebut terdiri dari dua batang besi (rel) dan balok-balok kayu (bantalan rel). Kedua batang besi tersebut tidak akan pernah bertemu karena jarak mereka satu sama lain

sama (panjang setiap balok kayu sama). Jika kita misalkan lintasan ini lurus maka kedua rel tadi dapat kita anggap sebagai dua garis yang saling sejajar, karen dua rel tadi terletak pada satu bidang datar dan tidak akan pernah bertemu. Dengan kata

lain, dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan/titik potong.

2. Dua garis berpotonganDua garis dikatakan saling berpotongan, jika kedua garis tersebut memiliki satu titik persekutuan/titik potong. Perhatikan contoh gambar lintasan pesawat disamping. Lintasan tesebut saling berpotongan.

3. Dua garis berimpitDua garis dikatakan saling

berimpit apabila garis tersebut terletak pada satu garis lurus, sehingga hanya

11

terlihat sebagai satu garis lurus saja. Berikut ini contoh dua garis yang saling berimpit.

B. Garis Vertikal dan HorisontalPada bidang bidang koordinat, garis vertikal merupakan garis yang sejajar dengan sumbu Y (pada gambar b), dan garis horisontal merupakan garis garis yang sejajar sumbu X(pada gambar a ). Garis vertikal dan horisontal

berpotongan tegak lurus di satu titik. Dalam koordinat Cartesius, sumbu Y (garis vertikal) dan sumbu X (garis horisontal) berpotongan tegak lurus di O.

C. Hubungan Sudut-sudut Pada Dua Garis Sejajar Yang Dipotong Oleh Sebuah GarisA. Sudut Sehadap

Perhatikan gambar disamping. Garis k sejajar garis l dan keduanya dipotong oleh garis t. Garis t disebut sebagai garis transversal, yaitu garis yang memotong dua atau lebih garis lain. Sudut-sudut yang sehadap adalah:

1. ∠Q dengan ∠U2. ∠P dengan ∠T3. ∠S dengan ∠W4. ∠R dengan ∠V

contoh soal:

12

apabila dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis maka sudut-sudut yang sehadap sama besar.

A

BC

D E

A

BC

D E

H I

1. Perhatikan gambar di samping!

Diketahui CB // DE. Jika

dan

maka ….

Pembahasan:

Perhatikan gambar berikut! HI // BC // DE

dan berseberangan, maka

dan sehadap, maka

B. Sudut Berseberangana. Sudut dalam berseberangan

Garis k dan l keduanya dipotong oleh garis transversal t.

Sudut-sudut tersebut dinamakan sudut dalam berseberangan karena terletak berseberangan terhadap garis transversal dan berada di wilayah dalam garis-garis sejajar.

13

Apabila dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis maka sudut-sudut dalam sama besar

b. Sudut luar berseberanganSudut-sudut luar berseberangan adalah:

1. ∠Q dengan ∠W 2. ∠P dengan ∠V

Sudut-sudut tersebut dikatakan berseberangan karena terletak berseberangan terhadap garis transversal dan berada di wilayah luar garis-garis sejajar.

Contoh soal:Garis p sejajar garis q. Tentukan besar dari sudut A dan sudut B!

Pembahasan:Sudut A dan B berseberangan dalam sehingga besarnya adalah sama. Maka5x − 10 = 3x + 202x = 30 x = 15∠A = 3x + 20 = 3(15) + 20 = 65°∠B = 5x − 10 = 5(15) − 10 = 65°

14

Apabila dua garis sejajar dipotong sebuah oleh garis maka sudut-sudut luar berseberangan sama besar

C. Sudut Sepihaka. Sudut dalam sepihak

garis k dan l dipotong oleh garis transversal t . sudut-sudut dalam sepihak adalah :1. ∠S dengan ∠T2. ∠R dengan ∠U

Sudut-sudut tersebut dinamakan sudut dalam sepihak karena keduanya sepihak terhadap garis transversal san berada dalam wilayah garis-garis sejajar.

b. Sudut luar sepihakUntuk sudut-sudut sepihak gambar disamping adalah:1. ∠Q dengan∠V2. ∠P dengan ∠W

Sudut-sudut tersebut dinamakan sepihak karena keduanya sepihak terhadap garis transversal dan berada di wilayah luar garis sejajar.

15

Apabila dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis maka jumlah sudut-sudut dalam sepihak sama dengan 180°.(teorema)

Apabila dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis maka jumlah-jumlah sudut-sudut luar sepihak sama dengan 180°. (teorema)

SEGITIGA1. Pengertian Segitiga

Sebuah segitiga terbentuk apabila tiga titik yang tidak terletak pada satu garis lurus saling dihubungkan. Hal ini berarti:

Gambar bangun ABC disamping adalah sebuah segitiga. Ketiga titik segitiga tersebut yaitu A, B dan C disebut titik sudut. AB,BC,AC disebut sisi. Sisi-sisi dan sudut-sudut dalam segitiga dalam segitiga ABC disebut unsur-unsur sebuah segitiga.

Notasi segitiga ABC sering digunakan ∆ ABC . Rincian tentang unsur-unsur ∆ ABCpada gambar disamping dapat diterangkan sebagai berikut:

Sisi BC yang berhadapan dengan sudut A ditulis a.

Sisi AC yang berhadapan dengan sudut B ditulis b.

Sisi AB yang berhadapan dengan sudut C ditulis c.

2. Jenis-jenis Segitiga1. Jenis segitiga ditinjau dari panjang sisi-sisinya

a. Segitiga sama kakiSegitiga sama kaki terbentuk dari dua buah segitiga siku-siku

kongruen yang diletakkan bersisian dan berimpian pada sisi siku-siku yang sama panjang.

Gambar disamping memperlihatkan bahwa AC=AD merupakan kaki dari segitiga sama kaki.ABD, CD merupakan alas, serta AB merupakan tinggi segitiga dan sering pula disebut sebagai sumbu simetri.

16

Segitiga adalah bidang datar yang dibatasi oleh tiga baris lurus dan membentuk tiga sudut,

Segitiga sam kaki terbentuk dari dua segitiga siku-siku yang sama panjang.

b. Segitiga sama sisi

c. Segitiga sembarangSegitiga yang panjang sisi-sisinya tidak mencirikan segitiga sama

kaki maupun segitiga sam sisi disebut segitiga sembarang. Dari pernyataan diats dapat pula dinyatakan sebagai berikut:

2. Jenis segitiga ditinjau dari sudut-sudutnyaPada topik sebelumnya kita telah oelajari jenis segitiga ditinjau dari

panjang sisi-sisinya. Sekarang kita akan meninjau jenis segitiga berdasarkan ukuran sudut-sudutnya.

Apabila segitiga ditinjau dari ukuran sudutnya, maka nama segitiga itu mengikuti nam ukuran sedutnya, yaitu:

a. Segitiga yang ketiga sudutnya lancip disebut segitiga lancip.b. Segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku disebut segitiga siku-

sikuc. Segitiga yang salah satu sudutnya tumpul disebut segitiga tumpul.

17

Segitiga sam sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama panjang

Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya tidak sam panjang