mate ma tika

1

LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN (LKPP)

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

PEMBELAJARAN MATEMATIKA III BERBASIS SCL

Drs. Daeng Idris, M.Si

Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan

Nomor : 469/H4.23/PM.05/2008 Tanggal 04 Februari 2008

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA

UNIVERSITAS HASANUDDIN FEBRUARI 2008

HALAMAN PENGESAHAN

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN

2

PROGRAM TRANSFORMASI DARI TEACHING KE LEARNING UNIVERSITAS HASANUDDIN 2007

Judul : PEMBELAJARAN MATEMATIKA III BERBASIS SCL

Nama : Drs. Daeng Idris, M.Si NIP : 130 937 332 Pangkat/Golongan : Lektor Kepala / IV b Jurusan : Matematika Fakultas/ Universitas : MIPA HASANUDDIN Jangka Waktu Kegiatan : 1 (satu) bulan Mulai 04 Januari 2008 s/d 04 Februari 2008 Biaya yang diusulkan : Rp 4.000.000,- (empat juta rupiah)

Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan Nomor : 469/H4.23/PM.05/2008, tanggal 04 Februari 2008.

Makassar, 04 Februari 2008 Mengetahui : Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin Dekan, U.b: Pembantu Dekan I Pembuat Modul Drs. H. Hasyim Barium, M. Si Drs. Daeng Idris, M.Si NIP. 130 878 519 NIP 130 937 332

i

3

KATA PENGANTAR

Dalam rangka melaksanakan citra unhas 2006-2010 utamanya pada proses

pembelajaran berbasis pada SCL maka dilakukanlah pelatihan dosen UNHAS

dalam rangka tranformasi dari Teaching ke Facilitating dan hasil dari pelatihan

tersebut, dosen ditugaskan untuk membuat rancangan pembelajaran berbasis SCL

dalam hal ini penulis mengajukan Proposal Hibah Modul Pembelajaran

Matematika III berbasis SCL.

Tujuannya adalah untuk mengembangkan modul-modul pembelajaran

berbasis SCL agar berdampak pada proses pembelajaran mahasiswa secara aktif

dan reflektif sehingga sesuai dengan misi Program Studi berdasarkan kemajuan

Sains dan teknologi.

ii

4

RINGKASAN

Mata kuliah ini membahas tentang : Vektor, Fungsi Vektor, Turunan Fungsi

Vektor, Turunan Parsial, Integral Lipat, Integral Fungsi Vektor (Integral Garis dan

Integral Permukaan) pada tahap akhir dilakukan Uji Kompetensi dan Remedial,

sedangkan sasaran pembelajarannya antara lain :

a) Mampu menemukan contoh-contoh aplikasi vektor pada bidang Sains

b) Mampu menyusun langkah-langkah penggunaan turunan pada fungsi vektor

c) Mampu menggali informasi tentang konsep turunan parsial dan menggunakannya

untuk pemecahan masalah ke-ekstriman.

d) Mampu menggali informasi tentang konsep integral lipat dan menggunakannya

untuk penyelesaian masalah dalam bidang dan ruang.

e) Mampu menyusun Portfolio tentang Integral Fungsi Vektor (integral garis dan

integral permukaan) dan penyelesaian masalahnya.

f) Mampu menyusun langkah-langkah pemecahan kasus disertai alasannya.

Kemampuan-kemampuan di atas untuk mencapai sasaran pembelajaran yakni :

(i) Kemampuan memahami Sains dasar dan aplikasinya

(ii) Kemampuan dalam dasar-dasar Matematika/ Statistika dan aplikasinya

(iii) Kemampuan membuat laporan tertulis dan presentasi

(iv) Kemampuan berkomunikasi dan bekerja sama dalam suatu tim kerja

Kemampuan-kemampuan untuk mencapai sasaran pembelajaran merupakan sebagian

dari misi Program Studi

Modul-modul Pembelajaran

1. Vektor

Metode : Kuliah interaktif dipadu dengan Experential Learning untuk

menggali kembali materi-materi pembelajaran pada tingkat sekolah

lanjutan dan tingkat pertama bersama dilakukan secara individual

2. Fungsi Vektor dan Turunan Fungsi Vektor

Metode : Kuliah interaktif dipadu dengan Cooperative Learning untuk

membahas topik-topik tertentu yang menuntut mahasiswa

menyelesaikan tugas kelompok

3. Turunan Parsial iii

5



menyelesaikan tugas kelompok dilanjutkan dengan presentasi

4. Integral Lipat

Metode : Kuliah interaktif dipadu dengan Case Study untuk membahas kasus-

kasus tertentu yang menuntut mahasiswa menyelesaikan tugas

kelompok dilanjutkan dengan presentasi

5. Integral Fungsi Vektor

Metode : Kuliah interaktif dipadu Problem Based Learning untuk membahas

topik-topik tertentu yang menuntut mahasiswa kerja individual dan

dilanjutkan dengan presentasi

Indikator Keberhasilan

Indikator kebehasilan mahasiswa dalam proses pembelajaran berbasis SCL, bila

dapat memenuhi persyaratan minimum yang harus dicapai (55 %), meliputi :

1. Ketepatan pemakaian konsep

2. Kesesuaian sistematik

3. Kemampuan pembahasan masalah

4. Kejelasan alasan

5. Ketelitian

6. Kerja sama tim

iv

6

PETA KEDUDUKAN MODUL

Vektor

Turunan Parsial

Integral Lipat

Integral Fungsi Vektor

Fungsi Vektor dan Turunan Fungsi Vektor

v

7

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………….. i

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………… ii

KATA PENGANTAR ……………………………………………………….. iii

RINGKASAN ……………………………………………………………….. iv

PETA KEDUDUKAN MODUL ……………………………………………... vi

DAFTAR ISI …………………………………………………………………. vii

MODUL I ……………………………………………………………………. 1

MODUL II ……………………………………………………………………. 8

MODUL III …………………………………………………………………... 12

MODUL IV …………………………………………………………………... 18

MODUL V …………………………………………………………………… 23

LAMPIRAN : RANCANGAN PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

Mata Kuliah : MATEMATIKA III

vi

8

MODUL I

Judul : Vektor

BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang

Modul I ini merupakan awal dari materi pembelajaran Matematika III, yang

meliputi pembahasan tentang pengertian vektor di ruang. perkalian titik,

perkalian silang, perkalian tripel skalar, persamaan garis dan persamaan bidang.

Integral fungsi vektor ini merupakan intisari pembelajaran matematika III.

B. Ruang Lingkup Isi

Vektor meliputi :

- Pengertian vektor

- Vektor di ruang

- Perkalian titik

- Perkalian silang

- Perkalian tripel skalar

- Persamaan garis dan persamaan bidang

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul pertama yang merupakan modul awal dari

pembelajaran Matematika III sebagai dasar untuk pembelajaran modul-modul

selanjutnya.

D. Sasaran Pembelajaran Modul

Setelah mempelajari modul ini, mahasiswa diharapkan dapat :

Memahami pengertian vektor

Membedakan antara perkalian titik dan perkalian silang

Menerapkan dalam persamaan garis dan persamaan bidang

Menggunakan perkalian tripel skalar

9

BAB II. PEMBAHASAN A. VEKTOR

Pengertian Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah dinyatakan oleh sepenggal

garis yang berarah, mempunyai titik pangkal dan titik ujung yang berpanah.misal

titik pangkal A dan titik ujung B, maka vektor dinyatakan oleh AB = a

Vektor Di Ruang

a = ( )321 ,, aaa = ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

3

2

1

aaa

= kajaia 321 ++

dengan ( )0,0,1=i ( )0,1,0=j ( )1,0,0=k

=i Vektor satuan dalam arah sumbu x =j Vektor satuan dalam arah sumbu y =k Vektor satuan dalam arah sumbu z

=1a Komponen vektor dalam arah sumbu x =2a Komponen vektor dalam arah sumbu y =3a Komponen vektor dalam arah sumbu z

Panjang vektor =a norm a = 33

22

21 aaaa ++=

Jika ( )321 ,, aaaA dan ( )321 ,, bbbB maka ( )332211 ,, abababAB −−−=

Jarak ( ) ( ) ( )233

222

211 abababAB −+−+−=

Sifat-sifat vektor Jika cba ,, vektor di ruang, k dan m skalar, maka : 1. abba +=+ 2. ( ) ( ) cbacba ++=++ 3. aaa =+=+ 00 4. ( ) 0=−+ aa 5. ( ) bkakkba +=+ 6. ( ) amakamk +=+

10

Perkalian Titik Definisi Perkalian titik dua vektor tak nol a dan b adalah :

θcos. baba =

θ sudut antara a dan b 0 ≤≤θ π Dua vektor a dan b ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika 0. =ba

Perkalian titik dari ( ) == 321 ,, aaaa kajaia 321 ++ dan

b = ( )321 ,, bbb = kbjbib 321 ++ adalah

332211. babababa ++= Sifat-sifat perkalian titik Jika cba ,, vektor-vektor di ruang dan m skalar, maka: 1. abba .. =

2. 2

. aaa =

3. ( ) cabacba .. +=+ 4. ( ) cbcacba .. +=+ 5. 00. =a 6. aa =1. 7. ( ) ( )bambam .. =

Skalar proyeksi b pada a = a

ba .

Vektor proyeksi b pada a = aa

baaa

aba ...

2=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

11

Perkalian Silang Definisi : Jika a dan b vektor tak nol di ruang, perkalian silang a dan b

adalah vektor : ( ) nbaba θsin.=×

θ sudut antara a dan b πθ ≤≤0 n vektor satuan yang tegak lurus a dan juga tegak lurus b Dua vektor a dan b sejajar jika dan hanya jika 0=× ba Perkalian silang vektor-vektor satuan kdanji, :

kji =× kij −=× 0=× ii ikj =× ijk −=× 0=× jj jik =× jki −=× 0=× kk

Sifat-sifat perkalian silang Jika cdanba, vektor-vektor di ruang dan m skalar, maka : 1. abba ×−=× 2. ( ) ( ) bmabambam ×=×=× 3. ( ) cabacba ×+×=+× 4. ( ) cbcacba ×+×=×+ Panjang perkalian silang ba × menyatakan luas jajaran genjang yang terbentuk oleh a dan b yang tidak segaris. Jika ( )321 ,, aaaa = dan ( )321 ,, bbbb = , maka :

( )122131132332 ,, bababababababa −−−=×

321

321

bbbaaakji

=

12

Perkalian Tripel Skalar Perkalian tripel skalar dari ( )321 ,, aaaa = , ( )321 ,, bbbb = dan ( )321 ,, cccc = adalah :

( )321

321

321

.cccbbbaaa

cba =×

Panjang dari perkalian tripel skalar menyatakan isi benda paralelepipedum yang terbentuk oleh cdanba, yang tidak sebidang : ( )cba ×.

Persamaan Garis dan Persamaan Bidang Persamaan garis Persamaan garis λ : atrr += 0 ( ) ( ) ( )321000 ,,,,,, aaatzyxzyx += Persamaan parameter

10 atxx +=

20 atyy +=

30 atzz +=

Persamaan Bidang Persamaan bidang w Bidang w Titik P (x,y,z) dan P0 (x0,y0,z0) pada bidang w Vektor ( )0rr − ada pada bidang w n vektor normal permukaan dan n = (a,b,c)

Persamaan bidang w = ( ) 00 =− nrr

( ) ( )( ) ( ) 0,,.,,,, 000 =− cbazyxzyx ( ) ( ) ( ) 0000 =−+−+− zzcyybxxa

13

B. TUGAS INDIVIDUAL DAN DISKUSI KELOMPOK 1. Diketahui jibdankjia 23432 +=−−= tentukan :

(i) ba 23 + (ii) ba 23 +

(iii) ba 23 +

2. Jika ( )321 ,, aaaa = , ( )321 ,, bbbb = , ( )321 ,, cccc = tunjukkan

( ) cbcacba .. +=+ 3. Diketahui kjmimbdankjima 422 −+=+−= tentukan m agar a

tegak lurus b 4. Jika kjibkjia 532,423 +−=−+= Tentukan :

(i) Skalar proyeksi b pada a (ii) Vektor proyeksi b pada a

5. Tentukan luas ABC∆ bila ( ) ( ) ( )1,1,3,0,2,3,1,3,2 −− CBA 6. Jika kcjciccdankbjbibbkajaiaa 321321321 , ++=++=++= ,

tunjukkan bahwa :

( )321

321

321

.cccbbbaaa

cba =×

7. Tentukan nilai m agar kjia 42 +−= , kjimb 189 +−= dan

kjic 74 −+= sebidang . 8. Periksa apakah garis tztytxl 3,2,1:1 =−=+= dengan garis

tztytxl +=+=−= 4,21,2:2 sejajar atau tidak.

9. Tentukan persamaan bidang melalui A (3,1,1) , B (2,-1,3) dan C (2,4,5)

10. (i) Tentukan sudut antara bidang 32 =++ zyx dan bidang 53 =−− zyx (ii) Tentukan persamaan garis perpotongan kedua bidang di atas

14

C. INDIKATOR PENILAIAN Kompetensi akhir sesi pembelajaran modul I yakni menemukan contoh-contoh

aplikasi vektor pada bidang sains dan indikator penilaian meliputi : Ketepatan

pemakaian konsep dengan contoh-contoh dan Kesesuaian sistematiknya.

Kriteria Nilai Tidak tepat 1 Kurang tepat 3 Cukup tepat 4

Ketepatan pemakaian konsep

Sangat tepat 5

Kriteria Nilai Tidak sesuai 1 Kurang sesuai 3 Cukup sesuai 4

Kesesuaian sistematik

Sangat sesuai 5

BAB III. PENUTUP

Setelah mempelajari modul vektor mahasiswa dapat membedakan antara

perkalian titik dan perkalian silang serta dapat mempergunakannya dalam menentukan persamaan garis dan persamaan bidang.

DAFTAR PUSTAKA (i) Erwin Kreyszig : “Advanced Engineering Mathematics” John Wiley & Sons,

Inc. 1988.

(ii) James Stewart : “Multivariable Calculus Concept And Contexts”: An International Thomson Publishing Company, 1990.

(iii) Murray Spiegel : “Advanced Calculus” Schaum’s Outline Series, 1974.

(iv) Referensi yang lain yang mutakhir.

15

MODUL II

Judul : Fungsi Vektor dan Turunan Fungsi Vektor

BAB I. PENDAHULUAN Latar Belakang

Modul II ini membahas tentang fungsi vektor dan turunan fungsi vektor sebagai

dasar pembahasan kalkulus vektor.

Ruang Lingkup Isi

a. Fungsi Vektor meliputi :

- Fungsi vektor dari kurva ruang

- Limit fungsi vektor

- Kekontinuan fungsi vektor

b. Turunan fungsi vektor meliputi :

- Turunan fungsi vektor

- Kurvatur

- Vektor normal dan binormal

Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul kedua yang membahas tentang fungsi vektor dan

turunan fungsi vektor sebagai dasar pembahasan kalkulus vektor yang diperlukan

dalam pembahasan integral fungsi vektor.

Sasaran Pembelajaran Modul


Membedakan antara vektor dan fungsi vektor

Memahami pengertian limit dan kekontinuan fungsi vektor

Menggunakan turunan fungsi vektor dalam menentukan vektor normal,

binormal, kurvatur.

16

BAB II. PEMBAHASAN

A. FUNGSI VEKTOR DAN TURUNAN FUNGSI VEKTOR

Fungsi Vektor dari Kurva Ruang

Fungsi bernilai vektor atau fungsi vektor adalah fungsi yang domainnya himpunan

Fungsi vektor di ruang dinyatakan oleh :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )thtgtfkthjtgitftr ,,=++= Persamaan parameternya dinyatakan oleh : ( )tfx = , ( )tgy = , ( )thz = Fungsi vektor dengan persamaan parameternya dapat dinyatakan dalam bentuk Euclides ( ) czyxF =,,

Limit Fungsi Vektor

Jika ( )tr = ( ) ( ) ( )( ),,, thtgtf maka ( ) ( ) ( ) ( )( )thtgtftratatatat →→→→

= lim,lim,limlim

Kekontinuan Fungsi Vektor

Fungsi ( )tr kontinu pada t = a , bila ( )trat→

lim = ( )ar

Turunan Fungsi Vektor

Diketahui fungsi vektor ( )tr maka turunan pertamanya adalah :

( ) ==dt

rdtr ' ( ) ( )h

trhtrh

−+→0

lim

jika ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )thtgtfkthjtgitftr ,,=++= maka ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )thtgtfkthjtgitftr ',',''''' =++=

Teorema Jika u dan v fungsi vektor yang dapat diturunkan , f fungsi bernilai riil dan

c skalar, maka : (i) ( ) ( )( ) ( ) ( )tvtutvtu ''' +=+ (ii) ( )( ) ( )tuctuc ''= (iii) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvtutvtutvtu '''. +=

17

(iv) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvtutvtutvtu ''' ×+×=×

(v) ( )( )( ) ( ) ( )( )tfutftfu '''= Kurvatur

Teorema : Kurvatur dari fungsi vektor ( )tr adalah ( )( ) ( )

( ) 3'

'''

tr

trtrtK

×=

Vektor Normal dan Binormal Fungsi vektor ( )tr

Vektor singgung satuan ( ) ( )( )trtrtT

''

=

Vektor normal utama ( ) ( )( )tTtTtN

''

=

Vektor binormal ( ) ( ) ( )tNtTtB ×= ( )tT dan ( )tN membentuk bidang oskulasi persamaannya : ( ) ( )( ) ( ) 0. 00 =− tBtrtr

B. TUGAS INDIVIDUAL DAN DISKUSI KELOMPOK

1. Tentukan persamaan parameter, persamaan vektor dari kurva berbentuk helix tzyx 4,422 ==+

2. Tentukan persamaan parameter, persamaan vektor dari kurva yang merupakan perpotongan antara selinder 122 =+ yx dan selinder parabolik 2yz =

3. Tentukan persamaan parameter, persamaan vektor dari kurva perpotongan 22 yxz += dan xz += 1

4. Jika ( ) kt

tjeittr t sin3 ++= − , hitung : ( )trt 0lim→

5. Periksa apakah ( ) ktjttitttr ++= sincos kontinu di t = π 6. Buktikan ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tvtutvtutvtu '''. += 7. Tentukan kurvatur dan jari-jari kurvatur dari ( ) ktjtittr ++= 23 pada

saat t = 0 8. Tentukan persamaan bidang oskulasi dari kurva

( ) ktjtittr 6cos8sin8 ++= pada titik ( )π3,0,8 9. Tentukan persamaan bidang singgung dari permukaan z = xy pada titik (2,3,6)

10. Tentukan persamaan bidang singgung dari permukaan ( )22

41 yxz −= pada

titik (3, 1, 2)

18

C. INDIKATOR PENILAIAN

Kompetensi akhir sesi pembelajaran modul II yakni menyusun langkah-langkah

penggunaan turunan pada fungsi vektor dan indikator penilaian meliputi : Ketepatan

pemakaian konsep turunan dan Kesesuaian sistematiknya.


Ketepatan pemakaian konsep turunan

Sangat tepat 5



Sangat sesuai 5

BAB III. PENUTUP

Setelah mempelajari modul fungsi vektor dan turunan fungsi vektor mahasiswa dapat memahami fungsi vektor limit, kekontinuan dan turunan fungsi vektor, serta dapat menggunakannya dalam menentukan persamaan bidang oskulasi.


Inc. 1988.




19

MODUL III

Judul : Turunan Parsial


Modul III ini membahas tentang fungsi dengan beberapa peubah bebas, turunan

parsial dan penggunaannya dalam menentukan masalah keekstriman.


Turunan parsial meliputi :

- Fungsi dengan beberapa peubah bebas

- Limit dan kekontinuan fungsi

- Turunan parsial

- Ekstrim

- Ekstrim bersyarat

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul ketiga yang membahas tentang turunan parsial dan

mempergunakannya untuk masalah keekstriman.



1. Menentukan domain dan range

2. Menentukan limit dan kekontinuan

3. Memahami pengertian turunan parsial

4. Menggunakan turunan parsial dalam masalah keekstriman

20

BAB II. PEMBAHASAN

A. TURUNAN PARSIAL Fungsi Dua Variabel

Suatu fungsi f dari dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada masing-masing pasangan terurut bilangan riel (x,y) di dalam himpunan D sebuah bilangan riel unik yang dinyatakan oleh f (x,y).

Himpunan D daerah asal dari f dan daerah nilainya adalah himpunan nilai yang

digunakan f atau dengan kata lain ( ) ( ){ }Dyxyxf ∈,,

Kurva ketinggian dari fungsi f dua variabel adalah kurva-kurva dengan

persamaan f (x,y) = k (k konstanta dalam daerah nilai f). Limit dan Kekontinuan

Misalkan f adalah fungsi dua variabel yang daerah asalnya D mencakup titik-titik

yang sengaja dipilih dekat dengan (a,b). Maka kita dapatkan bahwa limit dari f(x,y).

bila (x,y) mendekati (a,b) adalah L ditulis ( ) ( )

( ) Lyxfbayx

=→

,lim,,

( ) ( ) ( ) 50,050 22 <−+−<<∈−∋>∋∈>∀ byaxktkLyxf jika ( ) 1, Lyxf → bila ( ) ( )bayx ,, → sepanjang lintasan 1L ( ) 2, Lyxf → bila ( ) ( )bayx ,, → sepanjang lintasan 2L Dengan 1L ≠ 2L . Maka

( ) ( )( )yxf

bayx,lim

,, → tidak ada.

Fungsi dua variabel f disebut kontinu di (a,b) bila :

( ) ( )( ) ( )bafyxf

bayx,,lim

,,=

→

Turunan Parsial

Jika f adalah fungsi dua variabel, turunan parsialnya adalah fungsi xf dan yf didefinisikan sebagai :

( ) ( ) ( )h

yxfyhxfyxfhx

,,lim,0

−+=

→

21

( ) ( ) ( )h

yxfhyxfyxfhy

,,lim,0

−+=

→

Notasi turunan parsial Jika z = ( )yxf , , turunan parsial ditulis :

( ) fDfDxz

xffyxf xxx ==

∂∂

=∂∂

== 1,

( ) fDfDyz

yffyxf yyy ==

∂∂

=∂∂

== 2,

turunan-turunan yang lebih tinggi z = f (x,y)

( ) 112

2

2

2

fx

zx

fxf

xff xxxx =

∂∂

=∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

==

( ) 12

22

fxyz

xyf

xf

yff xyyx =

∂∂∂

=∂∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

==

( ) 21

22

fyxz

yxf

yf

xff yxxy =

∂∂∂

=∂∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

==

( ) 222

2

2

2

fy

zy

fyf

yff yyyy =

∂∂

=∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

==

Andaikan f terdefinisi pada cakram D yang memuat titik (a,b). Jika fungsi xyf dan yxf kontinu pada 1D maka : ( ) ( )bafbaf yxxy ,, =

Bidang Singgung

Misalkan f mempunyai turunan parsial kontinu. Persamaan bidang singgung terhadap permukaan ( )yxfz ,= di titik ( )000 ,, zyx adalah : ( )( ) ( )( )0000000 ,, yyyxfxxyxfzz yx −+−=−

Aturan Rantai, Turunan Fungsi Implisit

( )( )( ) dt

dyyz

dtdx

xz

dtdz

thytgx

yxfz

∂∂

+∂∂

==== ,

( )( )( ) s

yyz

sx

xz

sz

tshytsgxyxfz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

===

,,,

22

ty

yz

tx

xz

tz

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

( )

zFyF

yz

zFxF

xz

czyxF

∂∂∂∂

−=∂∂

∂∂∂∂

−=∂∂

=,,

Turunan Berarah dan Vektor Gradien

Turunan berarah dari ( )001 , yxDf dalam arah vektor satuan ban ,= adalah :

( ) ( ) ( )h

yxfhbyhaxfyxfD

hn0000

000,,

lim,−++

=→

jika limit ada. Jika f adalah fungsi dari x dan y yang terdiferisasiasi maka f mempunyai turunan berarah dalam arah sembarang vektor satuan ban ,= dan ( ) ( ) ( )byxfayxfyxfD yxn ,,, += Vektor Gradien Jika f fungsi dua variabel x dan y, maka gradien f adalah fungsi vektor f∇ yang didefinisikan oleh :

( ) ( ) ( ) jyfi

xfyxfyxfyxf yx ∂

∂+

∂∂

==∇ ,,,,

Turunan berarah ( ) ( ) nyxfyxfDn .,, ∇= Nilai maksimum dari turunan berarah fDn adalah f∇ dan ini terjadi ketika

n mempunyai arah sama seperti vektor gradien f∇

Nilai Maksimum dan Minimum

Fungsi dua variabel mempunyai maksimum lokal di (a,b) bila f(x,y) ≤ f(a,b) untuk semua (x,y) di dalam cakram D dengan pusat (a,b). Bilangan f(a,b) disebut nilai maksimum lokal jika ( ) ( )bafyxf ,, ≥ untuk semua (x,y) di dalam cakram D bilangan f (a,b) disebut nilai minimum lokal. Jika f mempunyai maksimum atau minimum lokal di (a,b) maka ( ) 0, =baf x dan ( ) 0, =baf y

23

Penggali Lagrange

Untuk menentukan nilai maksimum atau minimum ( )zyxf ,, terhadap kendala ( )zyxg ,,

(a) carilah semua nilai x,y,z dan λ sedemikian sehingga ( ) ( )zyxgzyxf ,,,, ∇=∇ λ

(b) Hitung f di semua titik (x,y,z) yang dihasilkan dari langkah (a) Yang tertinggi adalah nilai maksimum f Yang terendah adalah nilai minimum f


1. Tentukan Domain dan range dari 224 yxz −−=

2. Hitung ( ) ( ) 42

2

0,0,lim

yxxy

yx +→

3. ( ) ( ) ( )

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+=

0,0,0

0,0,3, 22

2

yx

yxyxyx

yxf

Periksa apakah ( )yxf , kontinu di (0,0)

4. Tunjukkan bahwa 22ln yxu += memenuhi Teorema Clairnt

5. Tentukan persamaan bidang singgung dari permukaan 223 yxz −−= pada titik P (1, -1, 1)

6. Diketahui 22,,cos tsystxyez x +=== tentukan : sz∂∂ dan

tz∂∂

7. Diketahui ( ) 321ln zxyyzx +=+ tentukan : xz∂∂ dan

yz∂∂

8. Misalkan suhu di titik (x,y,z) di ruang diberikan oleh

( ) 22217,,

zyxzyxT

+++= dengan T diukur dalam derajat Celcius dan x,y,z

dalam meter. Dalam arah manakah suhu bertambah besar tercepat di titik P(1,1,-2) ? Berapa laju pertumbuhan maksimum ?

9. Tentukan jarak terpendek dari titik P(1,0,-2) ke bidang 42 =++ zyx 10. Kotak persegi panjang tanpa tutup dibuat dari 12 m2 papan. Tentukan ukuran

kotak sehingga volume maksimum.

24


Kompetensi akhir sesi pembelajaran modul III yakni menggali informasi tentang

konsep turunan parsial dan menggunakannya untuk pemecahan masalah keekstriman

dan indikator penilaian meliputi : Ketepatan pemakaian konsep turunan parsial,

Kesesuaian sistematiknya dan kerjasama tim dalam presentasi.


Ketepatan pemakaian konsep turunan parsial

Sangat tepat 5



Sangat sesuai 5

Kriteria Nilai Tidak ada kerjasama 1 Kurang kerjasama 3 Cukup kerjasama 4

Kerjasama tim dalam presentasi

Kerjasama yang bagus 5

BAB III. PENUTUP

Setelah mempelajari modul turunan parsial mahasiswa dapat memahami tentang domain dan range, menentukan limit dan kekontinuan serta dapat menggunakan turunan parsial dalam pemecahan masalah keekstriman.


Inc. 1988.




25

MODUL IV

Judul : Integral Lipat

BAB I. PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Modul IV ini merupakan pendahuluan untuk integral fungsi vektor yang meliputi

pembahasan tentang Integral lipat dua dan integral lipat tiga serta aplikasinya.


Integral Lipat meliputi :

a. Integral lipat dua :

- Integral lipat dua dan Mengubah urutan integrasi

- Integral lipat dua dalam koordinat polar

- Aplikasi integral lipat dua

b. Integral lipat tiga :

- Integral lipat tiga

- Aplikasi integral lipat tiga

- Integral lipat tiga dalam koordinat selinder

- Integral lipat tiga dalam koordinat bola

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul keempat yang membahas tentang integral lipat sebagai

dasar pembahasan integral fungsi vektor.



1. Menghitung integral lipat dua sebagai integral yang berulang

2. Mengubah urutan integrasi dan menghitungnya

3. Mengaplikasikan integral lipat dua dan integral lipat tiga

4. Menggunakan integral lipat tiga dalam koordinat selinder maupun koordinat

bola

26

BAB II. PEMBAHASAN

A. INTEGRAL LIPAT

Integral Lipat Dua dan Mengubah Urutan Integrasi

∫∫ ∫ ∫=D

b

a

xg

xg

dxdyyxfdAyxf)(

)(

1

1

),(),( = ∫ ∫d

c

yh

yh

dydxyxf)(

)(

1

1

),(

Integral Lipat Dua Dalam Koordinat Polar

Koordinat polar x = r cos θ

y = r sin θ

θθθ ddrrrrfdAyxfDD∫∫∫∫ =

1

)sin,cos(),(

Aplikasi Integral Lipat Dua

Jika ρ (x,y) menyatakan kerapatan masa lamina maka

Massa = m = ∫∫D

dAyx ),(ρ

Momen terhadap sumbu y = my = ∫∫D

dAyxx ),(ρ

Momen terhadap sumbu x = mx = ∫∫D

dAyxy ),(ρ

Titik pusat massa = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛mm

mm xy ,

Momen Inersia terhadap sumbu y = Iy = ∫∫D

dAyxx ),(2 ρ

Momen Inersia terhadap sumbu x = Ix = ∫∫D

dAyxy ),(2 ρ

27

Momen Inersia terhadap titik asal O = Io = dAyxyxD

),()( 22 ρ∫∫ +

Integral Lipat Tiga

∫∫∫ ∫ ∫ ∫=E

b

a

xg

xg

yxf

yxf

dxdydzzyxfdVzyxf)(

)(

),(

),(

1

2

1

2

),,(),,(

Aplikasi Integral Lipat Tiga

Volume V = ∫∫∫E

dV

Massa = m = dVzyxE∫∫∫ ),,(σ

Titik pusat massa benda ),,(),,(m

mm

mm

mzyx xyxzyz=

Integral Lipat Tiga Dalam Koordinat Selinder

θθθ ddrdzrzrrfdVzyxfE E∫∫∫ ∫∫∫=

1

),sin,cos(),,(

Integral Lipat Tiga Dalam Koordinat Bola

θϕρϕρϕρθϕρθϕρ dddfdVzyxfE E

sin)cos,sinsin,cossin(),,( 2

1∫∫∫ ∫∫∫=


1. Diketahui ∫ ∫−

+2

1

2

2

x

x

dxdy

(a) Gambar dan arsir daerah integrasi (b) Ubah urutan integrasi (c) Hitung integral tersebut

2. Tentukan volume benda yang terletak di bawah paraboloida 22 yxz += di atas bidang xy dan di dalam selinder yyx 222 =+

28

3. Tentukan titik pusat massa benda lamira yang dibatasi oleh 422 =+ yx di kwadran pertama bila kerapatan massa lamira konstan.

4. Hitung ( )∫∫ +−

D

yx dAe22

. Bila D daerah 922 =+ yx di kwadran pertama

5. Tentukan volume benda yang dibatasi 0,0,2,632 ====++ zxyxzyx 6. Tentukan volume benda yang dibatasi oleh 632 =++ zyx dan bidang-

bidang koordinat 7. Hitung dVyx

E∫∫∫ + 22 E dibatasi oleh 224 yxz −−= dan bidang xy

8. Tentukan titik pusat massa benda E yang dibatasi 22 yxz += dan 22 2212 yxz −−=

9. Hitung ( )∫∫∫ ++

E

zyx dVe .23

222

E benda dibatasi oleh 4222 =++ zyx dan

9222 =++ zyx

10. Tentukan titik pusat massa benda E dibatasi oleh 22 yxz += dengan 1222 =++ zyx


Kompetensi akhir sesi pembelajaran modul IV yakni menggali informasi tentang

konsep integral lipat dan menggunakannya untuk penyelesaian masalah dalam

bidang dan ruang dan indikator penilaian meliputi : Ketepatan konsep, Kesesuaian

sistematiknya, Kerjasama tim dan Kemampuan penyelesaian masalah


Ketepatan konsep

Sangat tepat 5



Sangat sesuai 5

Kriteria Nilai Tidak bekerjasama 1 Kurang kerjasama 3 Cukup kerjasama 4

Kerjasama tim

Kerjasama yang bagus 5

29

Kriteria Nilai Tidak mampu 1 Kurang mampu 3 Cukup mampu 4

Kemampuan penyelesaian masalah

Sangat mampu 5

BAB III. PENUTUP

Setelah mempelajari modul integral lipat mahasiswa dapat menggunakan integral lipat dalam pembahasan integral fungsi vektor.


Inc. 1988.




30

MODUL V

Judul : Integral Fungsi Vektor


Modul V ini merupakan terakhir dari materi pembelajaran Matematika III, yang

meliputi pembahasan tentang Integral Garis dan Integral Permukaan. Integral fungsi

vektor ini merupakan intisari pembelajaran matematika III.


Integral Fungsi Vektor meliputi :

a. Integral Garis :

- Integral garis di bidang

- Integral garis di ruang

- Integral garis pada medan vektor

- Teorema fundamental untuk integral garis

- Bebas lintasan dan medan vektor konservatif

- Teorema Green

c. Integral Permukaan:

- Integral permukaan

- Integral permukaan dan medan vektor

- Teorema Stokes

- Teorema Divergensi Gauss

C. Kaitan Modul

Modul ini merupakan modul kelima yang merupakan modul terakhir dan merupakan

intisari pembelajaran Matematika III

31



1. Menjelaskan tentang Integral Garis dan Integral Permukaan

2. Membedakan antara Integral Garis dan Integral Permukaan

3. Mengetahui hubungan antara kebebasan lintasan dengan medan vektor

konservatif

4. Menggunakan Teorema Green

5. Menggunakan Teorema Divergensi Gauss

6. Menggunakan Teorema Stokes

32

BAB II. PEMBAHASAN A. INTEGRAL GARIS DAN INTEGRAL PERMUKAAN

Integral Garis Di Bidang

Jika C kurva pada bidang dinyatakan oleh persamaan parameter :

( ) ( ) btatyytxx ≤≤== Ekivalen dengan persamaan vektor ( ) ( ) ( ) jtyitxtr += dan diasumsikan C kurva yang mulus. ( ) ( )( )0≠trdankontinutr Definisi : Jika f terdefinisi pada kurva mulus C yang diberikan oleh ( ) ( )tyytxx == , maka integral garis dari f sepanjang kurva C adalah :

( ) ( ) ( )( ) dtdtdy

dtdxtytxfdsyxf

CC

22

,, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫

Jika ( ) ( ) jyxQiyxPv ,, += dan ( ) ( ) ( ) jtyitxtr += pada kurva C dari titik ( )11, yx ke titik ( )22 , yx maka integral garis dinyatakan oleh :

( ) ( ) dyyxQdxyxPdrvCC

,,. += ∫∫

Jika ( )tfx = dan ( )tgy = , maka :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) dttgtgtfQdttftgtfPdyyxQdxyxPt

tC

',',,,2

1

+=+ ∫∫

Integral Garis Di Ruang

Jika C kurva mulus di ruang yang dinyatakan oleh persamaan parameter : ( ) ( ) ( ) btatzztyytxx ≤≤===

atau oleh fungsi vektor ( ) ( ) ( ) ( ) ktzjtyitxtr ++= , maka integral dari f sepanjang C dinyatakan oleh :

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) dtdtdz

dtdy

dtdxtztytxfdszyxf

CC

222

,,,, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= ∫∫

33

Jika ( ) ( ) ( ) jzyxRjzyxQizyxPv ,,,,,, ++= dan ( ) ( ) ( ) ( ) ktzjtyitxtr ++=

Maka ( ) ( ) ( ) dzzyxRdyzyxQdxzyxPC

,,,,,, ++∫

Integral Garis Dari Medan Vektor Misalkan f suatu medan vektor yang kontinu pada kurva mulus C yang

dinyatakan oleh fungsi vektor ( ) btatr ≤≤ , maka integral garis dari f sepanjang C adalah :

( )( ) ( ) ∫∫∫ ==CCC

dsTFdttrtrFdrF .'.

T vektor singgung satuan di titik (x,y,z) pada kurva C

Teorema Fundamental Untuk Integral Garis

Misalkan C kurva mulus yang dinyatakan oleh fungsi vektor ( ) btatr ≤≤ dan misalkan f fungsi dengan dua peubah atau lebih yang dapat diturunkan dan vektor gradien f∇ kontinu pada C, maka : ( )( ) ( )( )arfbrfrdf

C

−=∇∫ .

Bebas Lintasan dan Medan Vektor Konservatif

Jika F medan vektor yang kontinu pada domain D maka rdF

C

.∫ bebas

lintasan pada domain D jika dan hanya jika 0. =∫ rdFC

untuk setiap kurva

tertutup sederhana C pada D. Jika rdF

C

.∫ bebas lintasa pada D, maka F merupakan medan vektor yang

konservatif pada D. Ini berarti ada fungsi f sehingga Ff =∇ Jika ( ) ( ) ( ) jyxQiyxPyxF ,,, += medan vektor yang konservatif dan P, Q

mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu pada D, maka xQ

yP

∂∂

=∂∂

Teorema Green

Jika C lintasan bergerak positif, mulus bagian demi bagian, kurva tertutup sederhana pada bidang dan D daerah yang dibatasi oleh C.

34

Jika P , Q mempunyai turunan parsial yang kontinu pada daerah terbuka yang mengandung D, maka :

dAyP

xQdyQdxP

C D∫ ∫∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=+

INTEGRAL PERMUKAAN

Integral Permukaan

Persamaan vektor permukaan S dinyatakan oleh ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) dArrvurfdszyxf

kvuzjvuyivuxvur

yx

DS

×=

++=

∫∫∫∫ ,,,

,,,,

Jika permukaan S dinyatakan oleh ( )yxf ,=τ , maka persamaan parameternya : ( )yxgzyyxx ,===

( )

kygjr

kxgir

kyxgjyixr

y

x

∂∂

+=

∂∂

+=

++= ,

( )

111

100

10

01

22222

22

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=×

+∂∂

−∂∂

−=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=

∂∂∂∂

=×

yz

xz

yg

xg

yg

xgrr

kjygi

xg

kygj

xgi

ygxgkji

rr

yx

yx

( ) ( )( ) dAzzyxgyxfdszyxf yxDS

1,,,,, 22 ++= ∫∫∫∫

35

Integral Permukaan dari Medan Vektor

Jika F medan vektor yang kontinu terdefinisi pada permukaan S yang vektor normal satuan n maka integral permukaan dari F dan S adalah : dsnFsdF

SS

.. ∫∫∫∫ =

Integral ini sering disebut Flux F terhadap S

( )( )

( ) dArrFsdF

dArrrrrrvurF

dsrrrrF

dsnFsdF

vu

DS

vu

D vu

vu

vu

vu

S

SS

×=

×⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

×

×=

×

×=

=

∫∫∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

.

,

.

..

Jika permukaan S dinyatakan z = g (x,y), maka :

( )

( )

dARygQ

xgP

dAkjygi

xgkRjQiP

dArrFsdF

S

S

yx

SS

∫∫

∫∫

∫∫∫∫

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−∂∂

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂∂

−∂∂

−++=

×= ..

Teorema Stokes

Misalkan S suatu permukaan yang mulus bagian demi bagian yang terbatas oleh kurva C yang tertutup sederhana mulus bagian demi bagian dengan arah positif. Misalkan F suatu medan vektor yang komponennya mempunyai turunan parsial yang kontinu pada daerah terbuka 3Rdi terkandung S, maka : dsFarcrdF

SC

.. ∫∫∫ =

36

Teorema Divergensi Gauss

Misalkan E daerah sederhana dan S batas permukaan dari E dalam arah positif. Misalkan F medan vektor yang fungsi dari komponennya mempunyai turunan parsial yang kontinu pada daerah terbuka yang terkandung E, maka : ∫∫∫∫∫ =

ES

dvFdivsdF ..

B. TUGAS INDIVIDUAL DAN DISKUSI KELOMPOK 1. Hitung ∫

C

dsxy C lintasan melalui bagian kurva lingkaran 422 =+ yx

berlawanan dengan gerak jarum jam

2. Hitung ∫ +C

dyxdxyx 2 bila C garis melalui (0,1) ke (1,2) kemudian ke (5,4)

3. Hitung ∫C

dsxyz C garis melalui (1,1,0) ke (0,2,4)

4. Hitung ∫ +−C

dzxydyxzdxzy C garis melalui (1,0,1) ke (1,2,2)

kemudian (1,2,3) 5. Hitung rdF

C

.∫ bila ( ) ( ) jyxixyyxF −+=, C garis melalui lingkaran

923 =+ yx dari titik (3,0) ke (0,3) berlawanan dengan gerak jarum jam 6. Hitung rdF

C

.∫ bila ( ) jeiyyxF x 1, −+=

C melalui ( ) 1023 ≤≤+= tjtittr 7. Tentukan titik pusat massa dari 0,0422 ≥≥=+ yxyx bila kerapatan

massa konstan 8. Tentukan momen inersia terhadap titik awal 0 dari daerah 923 =+ yx ,

0,0 ≥≥ yx bila kerapatan massa konstan 9. Tentukan usaha dari medan vektor ( ) jyixyyxF 2, += sepanjang garis

partikel pada setengah lingkaran ( ) π≤≤+= tjtittr 0sincos 10. Tentukan usaha dari medan vektor ( ) kyjxizzyxF ++=,, sepanjang gerak

partikel pada ( ) 1032 ≤≤+−= tktjtittr

37

11. Jika ( ) ( ) ( ) jyxeiyyeyxF xx cossin, +++= (a) Tunjukkan apakah F konservatif (b) Tentukan f sehingga Ff =∇

12. Jika ( ) jyxixyyxF 223 32, += dan C = ( ) ( )2

01sin 2 π≤≤++= tjtittr

(a) Tentukan f sehingga Ff =∇ (b) Hitung rdF

C

.∫

13. Jika ( ) ( ) kxjyxiyxzzyxF 2cossin2,, +++= dan C = ( ) π20sincos ≤≤++= tktjtittr

(a) Tentukan f sehingga Ff =∇ (b) Hitung rdF

C

.∫

14. jika ( ) kRjQiPzyxF ++=,, konservatif dan P,Q,R mempunyai turunan parsial yang kontinu tunjukkan bahwa :

yR

zQ

xR

zP

xQ

yP

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ ;;

15. (a) Tunjukkan ( )

( )

( ) dyyyxdxyx 221,5

0,1

3cossin2 −+∫−

bebas lintasan

(b) Hitunglah integral tersebut 16. Hitung luas permukaan 1222 =++ zyx 17. Hitung ( ) dszyx

S∫∫ + 22 S bagian selinder 922 =+ yx diantara bidang

2,0 == zz 18. Tentukan titik pusat massa dari 1222 =++ zyx , 0≥z 19. Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung rdF

C

.∫ dengan

( ) kzjxyizxzyxF 222,, ++= dan C kurva perpotongan selinder 922 =+ yx dengan bidang 1=++ zyx

20. Gunakan Teorema Divergensi untuk menghitung ( ) dszyxS∫∫ ++ 222 dengan S

bola 9222 =++ zyx

38


Kompetensi akhir sesi pembelajaran modul V yakni menyusun portofolio tentang

integral garis dan integral permukaan dan penyelesaian masalahnya dan indikator

penilaian meliputi : Kelengkapan isi, Ketepatan konsep, Kesesuaian sistematiknya,


Kriteria Nilai Tidak lengkap 1 Kurang lengkap 3 Cukup lengkap 4

Kelengkapan isi

Sangat lengkap 5


Ketepatan konsep

Sangat tepat 5



Sangat sesuai 4

Kriteria Nilai Tidak mampu 1 Kurang mampu 2 Cukup mampu 3


Sangat mampu 4

BAB III. PENUTUP

Setelah mempelajari modul integral fungsi vektor mahasiswa dapat membedakan antara integral garis dan integral permukaan dan dapat mempergunakannya dalam bidang sains lainnya.

39


Inc. 1988.




LAPORAN

II. RANCANGAN PEMBELAJARAN BERBASIS SCL MATA KULIAH : MATEMATIKA III

Oleh :


Program Studi Statistika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin,

Makassar 31 Agustus 2007

LEMBAR PENGESAHAN

RANCANGAN PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

Mata Kuliah : Matematika III

Angkatan II

Telah diperiksa dan disetujui Oleh Coach Clinic SCL Universitas Hasanuddin

Makassar 2007

Coach Cochee,

Drs. H. Muhammad Hasbi, MSc Drs. Daeng Idris, M.Si NIP. 131 846 397 NIP. 130 937 332

Mengetahui, Ketua LKKP-Unhas

Ub. Kepala PKPAI-Unhas,

Ir. Machmud Syam, DEA NIP. 131 637 597

III. Daftar Isi

No. Halaman

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Sampul

Halaman Pengesahan

Daftar Isi

Kompetensi Lulusan Kurikulum PS

Rancangan Pembelajaran Mata Kuliah

Tabel Rencana Penilaian Kinerja Mahasiswa

Kontrak Pembelajaran

Buku Panduan Kerja Ketrampilan

Buku Pegangan Tutor (Modul……)

Buku Kerja Mahasiswa (Modul ….)

Lembar Penilaian Indikator Pencapaian Kompetensi

Lembar Konsultasi

1

2

3

4

5

7

9

15

IV. KOMPETENSI LULUSAN KURIKULUM BERDASARKAN KEPMEN 045/U/2002 V. PROGRAM STUDI STATISTIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS HASANUDDIN

Elemen Kompetensi Kelompok kompetensi

No Rumusan Kompetensi a b c d e

1 Kemampuan memahami sains dasar dan aplikasinya. ν ν 2 Kemampuan dalam dasar-dasar matematika/ statistika dan aplikasinya. ν ν 3 Kemampuan mengkomunikasikan konsep-konsep statistika secara matematis ν ν 4 Kemampuan melakukan pengumpulan, pengelolaan, analisis dan interpretasi

terhadap data berdasarkan konsep-konsep statistika. ν ν

5 Kemampuan menerapkan statistika dalam mengkontruksi model dari berbagai fenomena yang ada berdasarkan hukum-hukum probabilitas.

ν ν ν

6 Kemampuan menerapkan statistika dalam bisnis dan industri. ν ν ν

Kompetensi utama

7 Kemampuan menerapkan statistik dalam kependudukan dan kesehatan ν ν ν 8 Kemampuan terlibat dalam kegiatan lintas disiplin ν ν 9 Kemampuan membuat laporan tertulis dan presentasi ν ν 10 Kemampuan dalam penguasaan dasar-dasar pemograman dan pemanfaatan komputer

dalam mendukung proses pembelajaran ν ν

Kompetensi pendukung

11 Kemampuan dalam penggunaan bahasa Inggris ν ν 12 Kemampuan beradaptasi dalam masyarakat dan lingkungan kerja. ν ν ν 13 Kemampuan mengembangkan diri berdasarkan prinsip-prinsip budaya bahari ν ν ν 14 Kemampuan berkomunikasi dan bekerja sama dalam suatu tim kerja. ν ν ν

Kompetensi lainnya

15 Kemampuan menjunjung norma, tata nilai, moral, agama, etika dan tanggung jawab sosial.

ν ν ν

Elemen Kompetensi : a. Landasan Kepribadian b. Penguasaan ilmu dan ketrampilan c. Kemampuan berkarya d. Sikap dan prilaku dalam berkarya menurut tingkat keahlian berdasarkan ilmu dan ketrampilan yang dikuasai e. Pemahaman kaidah berkehidupan bermasyarakat sesuai dengan pilihan dalam berkarya.

RENCANA PEMBELAJARAN BERBASIS KBK MATA KULIAH : MATEMATIKA III

Kompetensi utama : Kemampuan memahami sains dasar dan aplikasinya (no. 1) Kemampuan dalam dasar-dasar matematika/ statistika dan aplikasinya. (no. 2) Kompetensi pendukung : Kemampuan membuat laporan tertulis dan presentasi (no. 9) Kompetensi lainnya : Kemampuan berkomunikasi dan bekerja sama dalam suatu tim kerja. (no. 14) MINGGU KE

MATERI PEMBELAJARAN

BENTUK PEMBELAJARAN (METODE SCL)

KOMPETENSI AKHIR SESI PEMBELAJARAN

INDIKATOR PENILAIAN

BOBOT NILAI (%)

1 s.d 2 Vektor Kuliah + tugas individual (Experential Learning)

Menemukan contoh-contoh aplikasi vektor pada bidang sains

-Ketepatan pemakaian konsep dengan contoh

-Kesesuaian sistematiknya

5 5 10

3 s.d 5 Fungsi vektor dan turunan fungsi vektor

Kuliah + kerja kelompok (Cooperative Learning)

Menyusun langkah-langkah penggunaan turunan pada fungsi vektor

-Ketepatan penggunaan konsep turunan


5 5 10

6 s.d 8 Turunan Parsial Kuliah + kerja kelompok + Menggali informasi tentang -Ketepatan konsep 5

presentasi (Cooperative Learning)

konsep turunan parsial dan menggunakannya untuk pemecahan masalah ke ekstriman


-Kerja sama tim dalam presentasi mengenai turunan parsial

5 5 15

9 s.d 11 Integral Lipat Kuliah + kerja kelompok + presentasi (Case Study)

Menganalisis kasus tentang pemakaian integral lipat dalam pemecahan masalah

-Ketepatan konsep -Kesesuaian sistematiknya

-Kerja sama tim dalam presentasi

-Kemampuan dalam penyelesaian masalah integral lipat

5 5 5 5 20

11 s.d 14 Kalkulus Vektor Kuliah + Kerja individual + Tutorial (Problem Based Learning)

Menyusun portfolio tentang integral garis dan integral permukaan dan penyelesaian masalahnya

-Kelengkapan isi -Ketepatan konsep


-Kemampuan penyelesaian masalah integral garis dan integral permukaan

5 5 5 5 20

15 s.d 16 Uji kompetensi dan Remidial

Studi kasus (Problem Solving Learning)

Menyusun langkah-langkah pemecahan kasus disertai dengan alasannya

-Ketepatan konsep -Kesesuaian sistematik -Kejelasan alasan -Ketelitian

5 5 5 5

-Kemampuan dalam pemecahan kasus

5 25

Nama Mata Kuliah : Matematika III Kode/ Nama Dosen : H12DI / Drs. Daeng Idris, M.Si Jumlah Peserta : 34

Program Studi : Statistika Jurusan : Matematika IV. Evaluasi Kompetensi akhir Sesi Pembelajaran

Menemukan contoh-contoh aplikasi vektor dalam bidang Sains (10 %)

Menyusun langkah-langkah penggunaan turunan pada fungsi vektor (10 %)

Menggali informasi tentang konsep turunan parsial dan menggunakannya untuk pemecahan masalah keekstriman (15 %)

No NIM Nama Mahasiswa

Ketepatan konsep dan contoh (5 %)

Kesesuaian sistematiknya (5 %)

Ketepatan konsep turunan (5 %)


Ketepatan konsep (5 %)


Kerja sama tim (5 %)

1 H12106001 SRIWAHYUNI 2 H12106002 HASTUTI 3 H12106003 HAERANI K 4 H12106004 M. FATH REZA

5 H12106005 NOER FITRI 6 H12106006 SARTINA 7 H12106007 INDRAWATI 8 H12106008 EVISA R 9 H12106009 ABDULWAHID 10 H12106010 RAHMAWATI 11 H12106011 AKRAM AD 12 H12106012 EKAWATY 13 H12106013 EMIL JAYA 14 H12106014 NURHIMA 15 H12106015 TRISNADIA S

Menganalisis kasus tentang pemakaian integral lipat dalam pemecahan masalah

(20 %)

Menyusun fortofolio tentang integral garis dan integral permukaan dan penyelesaian masalah (20 %)

No NIM Nama Mahasiswa



Kerja sama tim

(5 %)

Kemampuan penyelesaian (5 %)

Kelengkapan isi (5 %)



Kemampuan penyelesaian (5 %)

1 H12106001 SRIWAHYUNI 2 H12106002 HASTUTI 3 H12106003 HAERANI K 4 H12106004 M. FATH REZA 5 H12106005 NOER FITRI 6 H12106006 SARTINA 7 H12106007 INDRAWATI 8 H12106008 EVISA R 9 H12106009 ABDULWAHID 10 H12106010 RAHMAWATI 11 H12106011 AKRAM AD

12 H12106012 EKAWATY 13 H12106013 EMIL JAYA 14 H12106014 NURHIMA 15 H12106015 TRISNADIA S VI. KONTRAK PEMBELAJARAN Nama Mata Kuliah : Matematika III Kode Mata Kuliah : 201H113 Pembelajar : Drs. Daeng Idris,M.Si. Semester : 3 Hari Pertemuan /jam : Senin 13.50 – 15.30 ; Rabu 7.30 – 9.10 Tempat Pertemuan : Senin PB 132 ; Rabu PB 132

1. Manfaat Mata Kuliah

Mata kuliah ini merupakan kelanjutan dari Matematika Dasar 1 dan Matematika Dasar 2, turunan dan integral menjadi landasan mata kuliah ini yang diterapkan pada fungsi vektor. Awal kuliah dimulai dengan vektor, fungsi vektor, turunan parsial yang akan digunakan untuk membahas turunan fungsi vektor, sedangkan integral lipat digunakan untuk membahas integral fungsi vektor dan sebagai bekal untuk perkuliahan tingkat lanjut.

2. Diskripsi Mata Kuliah

Mata kuliah ini membahas tentang Vektor, Fungsi Vektor, Turunan Parsial, Integral Lipat, Integral Garis, Integral Permukaan. Pada tahapan akhir dilakukan uji kompetensi dan remedial

3. Tujuan Pembelajaran

a. Mampu menemukan contoh-contoh aplikasi vektor pada bidang sains. b. Mampu menyusun langkah-langkah penggunaan turunan pada fungsi vektor. c. Mampu Menggali informasi tentang konsep turunan parsial dan menggunakannya untuk pemecahan masalah ke ekstriman d. Mampu menggali informasi tentang konsep integral lipat dan menggunakannya untuk penyelesaian masalah dalam bidang dan

ruang e. Mampu menyusun portfolio tentang integral garis dan integral permukaan dan penyelesaian masalahnya f. Mampu menyusun langkah-langkah pemecahan kasus disertai dengan alasannya

4. Organisasi Materi


04. Integral Lipat

03. Turunan Parsial

06. Uji Kompetensi dan Remedial

5. Strategi Pembelajaran

Mata kuliah ini menggunakan kuliah interaktif dan dipadu dengan experential learning untuk menggali kembali materi-materi pembelajaran pada tingkat sekolah lanjutan dan tingkat pertama bersama, kemudian digunakan metode Cooperative Learning dan Collaborative Learning pada topik-topik yang menuntut mahasiswa menyelesaikan tugas kelompok, sedangkan untuk tugas individual dilakukan dengan menggunakan metode Problem Based Learning. Pada tahap akhir dilakukan uji kompetensi dengan pemecahan studi kasus (Problem Solving Learning).

6. Materi/ Bahan bacaan

(i) Erwin Kreyszig : “Advanced Engineering Mathematics” John Wiley & Sons, Inc. 1988. (ii) James Stewart : “Multivariable Calculus Concept And Contexts”: An International Thomson Publishing Company, 1990. (iii) Murray Spiegel : “Advanced Calculus” Schaum’s Outline Series, 1974. (iv) Referensi yang lain yang mutakhir.

7. Tugas-tugas

01. Vektor

02. Fungsi Vektor dan Turunan vektor

1. Buku bacaan materi kuliah telah dibaca oleh mahasiswa sebelum mengikuti perkuliahan 2. Mahasiswa diwajibkan menyelesaikan tugas-tugas (tugas individual dan tugas kelompok) dan dikumpulkan pada waktu

yang telah ditetapkan 3. Mahasiswa diwajibkan untuk terlibat secara aktif dalam presentasi dan diskusi

8. Kriteria Penilaian

1. Ketepatan pemakaian konsep dengan contoh dan kesesuaian sistematik dalam pembahasan vektor (10 %) 2. Ketepatan penggunaan konsep dan kesesuaian sistematik pada turunan fungsi vektor (10 %) 3. Ketepatan konsep, kesesuaian sistematik dan kerja sama tim dalam pembahasan turunan parsial (15 %) 4. Ketepatan konsep, kesesuaian sistematik, kerja sama tim dan kemampuan dalam pembahasan masalah integral lipat (20 %) 5. Kelengkapan isi, ketepatan konsep, kesesuaian sistematik, dan kemampuan pembahasan masalah integral garis dan integral

permukaan (20 %) 6. Ketepatan konsep, kesesuaian sistematik, kejelasan alasan, ketelitian dan kemampuan dalam pemecahan kasus (25 %) Perolehan nilai akhir (A,B,C,D,E) berdasarkan atas Penilaian Acuan Patokan (PAP) sebagai berikut :

Nilai Numerik Nilai Huruf 85 – 100 A 70 – 84 B 55 – 69 C 40 – 54 D 0 – 39 E

9. Norma Akademik

(i) Mahasiswa harus berpakaian rapi dan bersepatu (ii) Mahasiswa wajib membawa minimal satu buku tesis matematika

(iii) Mahasiswa menghadiri kuliah tepat waktu (yang terlambat ada pengurangan nilai)

VII. 10. Jadwal Pembelajaran

Minggu ke-

Topik Bahasan Metode SCL Dosen

I Kontrak pembelajaran Kuliah, simulasi (Pre-test) H12DI II Vektor Kuliah, Experential Learning H12DI III Fungsi vektor Kuliah, Cooperative Learning H12DI IV Turunan fungsi vektor Kuliah, kerja kelompok, Cooperative Learning H12DI V Gerak partikel Kuliah, kerja kelompok, Cooperative Learning H12DI VI Turunan parsial Kuliah, kerja kelompok, Cooperative Learning H12DI VII Ke ekstriman Presentasi kelompok, Cooperative Learning H12DI VIII Keekstriman bersyarat Presentasi kelompok, Cooperative Learning H12DI IX Integral lipat dua Kuliah, kerja kelompok, Case Study H12DI X Integral lipat tiga Presentasi kelompok, Case Study H12DI XI Transformasi pada integral lipat dua dan tiga Presentasi kelompok, Case Study H12DI XII Kalkulus vektor Kuliah, kerja individual, Problem Based Learning H12DI XIII Integral garis Tutorial, Pre Tutorial, Problem Based Learning H12DI XIV Integral permukaan Presentasi Fortofolio individu, Problem Based Learning H12DI XV Uji kompetensi Problem solving H12DI

XVI Remedial Problem solving H12DI

LEMBAR KONSULTASI

Nama Coach : Drs. H. Muhammad Hasbi, M.Sc. Nama Cochee : Drs. Daeng Idris, M.Si No .

Tanggal VIII. Rekomendasi/ Catatan TTD Coach

1 2 3 4 5 6

Makassar, 31 Agustus 2007 Mengetahui, Konsultan Coaching Clinic SCL Drs. Muhammad Hasbi, M.Sc.

V. NIP. 131 846 397

LEMBAGA KAJIAN DAN PENGEMBANGAN PENDIDIKAN (LKPP)

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

PEMBELAJARAN MATEMATIKA III BERBASIS SCL


Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan

Nomor : 469/H4.23/PM.05/2008 Tanggal 04 Februari 2008

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MIPA

UNIVERSITAS HASANUDDIN FEBRUARI 2008

HALAMAN PENGESAHAN

LAPORAN MODUL PEMBELAJARAN PROGRAM TRANSFORMASI DARI TEACHING KE LEARNING

UNIVERSITAS HASANUDDIN 2007

Judul : PEMBELAJARAN MATEMATIKA III BERBASIS

SCL Nama : Drs. Daeng Idris, M.Si NIP : 130 937 332 Pangkat/Golongan : Lektor Kepala / IV b Jurusan : Matematika Fakultas/ Universitas : MIPA HASANUDDIN Jangka Waktu Kegiatan : 1 (satu) bulan Mulai 04 Januari 2008 s/d 04 Februari 2008 Biaya yang diusulkan : Rp 4.000.000,- (empat juta rupiah)

Dibiayai oleh Dana DIPA Universitas Hasanuddin sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Pekerjaan Nomor : 469/H4.23/PM.05/2008, tanggal 04 Februari 2008.

Makassar, 04 Februari 2008 Mengetahui : Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin Dekan, U.b: Pembantu Dekan I Pembuat Modul Drs. H. Hasyim Barium, M. Si Drs. Daeng Idris, M.Si NIP. 130 878 519 NIP 130 937 332

KATA PENGANTAR

Dalam rangka melaksanakan citra unhas 2006-2010 utamanya pada proses

pembelajaran berbasis pada SCL maka dilakukanlah pelatihan dosen UNHAS

dalam rangka tranformasi dari Teaching ke Facilitating dan hasil dari pelatihan

tersebut, dosen ditugaskan untuk membuat rancangan pembelajaran berbasis SCL

dalam hal ini penulis mengajukan Proposal Hibah Modul Pembelajaran

Matematika III berbasis SCL.

Tujuannya adalah untuk mengembangkan modul-modul pembelajaran

berbasis SCL agar berdampak pada proses pembelajaran mahasiswa secara aktif

dan reflektif sehingga sesuai dengan misi Program Studi berdasarkan kemajuan

Sains dan teknologi.

ii

RINGKASAN

Mata kuliah ini membahas tentang : Vektor, Fungsi Vektor, Turunan Fungsi

Vektor, Turunan Parsial, Integral Lipat, Integral Fungsi Vektor (Integral Garis dan

Integral Permukaan) pada tahap akhir dilakukan Uji Kompetensi dan Remedial,

sedangkan sasaran pembelajarannya antara lain :

g) Mampu menemukan contoh-contoh aplikasi vektor pada bidang Sains

h) Mampu menyusun langkah-langkah penggunaan turunan pada fungsi vektor

i) Mampu menggali informasi tentang konsep turunan parsial dan menggunakannya

untuk pemecahan masalah ke-ekstriman.

j) Mampu menggali informasi tentang konsep integral lipat dan menggunakannya

untuk penyelesaian masalah dalam bidang dan ruang.

k) Mampu menyusun Portfolio tentang Integral Fungsi Vektor (integral garis dan

integral permukaan) dan penyelesaian masalahnya.

l) Mampu menyusun langkah-langkah pemecahan kasus disertai alasannya.

Kemampuan-kemampuan di atas untuk mencapai sasaran pembelajaran yakni :

(i) Kemampuan memahami Sains dasar dan aplikasinya

(ii) Kemampuan dalam dasar-dasar Matematika/ Statistika dan aplikasinya

(iii) Kemampuan membuat laporan tertulis dan presentasi

(iv) Kemampuan berkomunikasi dan bekerja sama dalam suatu tim kerja

Kemampuan-kemampuan untuk mencapai sasaran pembelajaran merupakan sebagian

dari misi Program Studi

Modul-modul Pembelajaran

6. Vektor

Metode : Kuliah interaktif dipadu dengan Experential Learning untuk

menggali kembali materi-materi pembelajaran pada tingkat sekolah

lanjutan dan tingkat pertama bersama dilakukan secara individual

7. Fungsi Vektor dan Turunan Fungsi Vektor



menyelesaikan tugas kelompok

iii

8. Turunan Parsial



menyelesaikan tugas kelompok dilanjutkan dengan presentasi

9. Integral Lipat

Metode : Kuliah interaktif dipadu dengan Case Study untuk membahas kasus-

kasus tertentu yang menuntut mahasiswa menyelesaikan tugas

kelompok dilanjutkan dengan presentasi


Metode : Kuliah interaktif dipadu Problem Based Learning untuk membahas

topik-topik tertentu yang menuntut mahasiswa kerja individual dan

dilanjutkan dengan presentasi

Indikator Keberhasilan

Indikator kebehasilan mahasiswa dalam proses pembelajaran berbasis SCL, bila

dapat memenuhi persyaratan minimum yang harus dicapai (55 %), meliputi :

7. Ketepatan pemakaian konsep

8. Kesesuaian sistematik

9. Kemampuan pembahasan masalah

10. Kejelasan alasan

11. Ketelitian

12. Kerja sama tim

iv

PETA KEDUDUKAN MODUL

Vektor

Turunan Parsial

Integral Lipat

Integral Fungsi Vektor

Fungsi Vektor dan Turunan Fungsi Vektor

v

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ………………………………………………………….. i

HALAMAN PENGESAHAN ………………………………………………… ii

KATA PENGANTAR ……………………………………………………….. iii

RINGKASAN ……………………………………………………………….. iv

PETA KEDUDUKAN MODUL ……………………………………………... vi

DAFTAR ISI …………………………………………………………………. vii

MODUL I ……………………………………………………………………. 1

MODUL II ……………………………………………………………………. 8

MODUL III …………………………………………………………………... 12

MODUL IV …………………………………………………………………... 18

MODUL V …………………………………………………………………… 23

LAMPIRAN : RANCANGAN PEMBELAJARAN BERBASIS SCL

Mata Kuliah : MATEMATIKA III

vi

mate ma tika

Documents