1. Pembuktian suatu teorema memegang peranan yang penting dalam matematika. Di dalam matematika, secara umum ada dua untuk membuktikan suatu teorema, yaitu secara induktif dan secara deduktif. Secara deduktif pembuktian didasarkan pada aksioma, definisi, ataupun dalil-dalil yang telah ada. Pembuktian secara induktif dapat dipergunakan untuk dalil-dalil yang berlaku dalam domai bilangan cacah. Pembuktian ini didasarkan pada prinsip induksi, yaitu dimulai dengan beberapa kasus, diasumsikan berlaku untuk kasus tertentu, n=k, dan dari asumsi ini dibuktikan juga berlaku untuk n=k+1.3.1 Notasi SigmaNotasi sigma merupakan operator untuk menyatakan operasi penjumlahan. Notasi ini disimbolkan dengan , dibaca sigma. Dalam hal ini ada tiga bagian dalam menggunakan notasi sigma ini, yaitu : 1.Notasi sigma itu sendiri 2.bilangan bulat yang menyatakan indek penjumlahan 3.komponen yang dijumlahkan Sebagai contoh adalah : 6a[ j ] j =3 yang dibaca : jumlah a[j], j berjalan dari 3 sampai dengan 6. Notasi ini berarti :Melakukan penjumlahan untuk nilai-nilai dalam array a, dengan : j sebagai indeks penjumlahan. Dalam hal ini penjumlahan dilakukan mulai dari a[3], a[4], s/d a[6], atau dengan kata lain, arti symbol tersebut adalah :a[3]+a[4]+a[5]+a[6] Indeks dari penjumlahan tersebut dapat saja dibalik tanpa merubah arti, sehingga symbol tersebut artinya sama dengan :3 [ j] a j=6 Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam memakai notasi sigma adalah sebagai berikut : n 1. k = (| n m | +1)k , dalam hal ini k adalah konstanta.j =m n 2. a[ j ] = a[m +1] + a[m + 2] + a[m + 3] + ... + a[n]j =m Topik 3 Induksi Matematika3-1

2. n3. j j =m 2 = m 2 + (m + 1) 2 + (m + 2) 2 + ... + n 24. , symbol ini untuk menyatakan penjumlahan seluruh anggota himpunan A. aa A5. [i,a 1< 1 dan n2, n bilangan asli.7. Buktikan bahwa (a+2+3++n)2 12+22+32++n2 untuk n bilangan asli8. Buktikan bahwa 2n1+na, untuk a>1, dan n bilangan bulat yang lebih dari satu. Topik 3 Induksi Matematika3-4 5. Latihan 3.2.1. Buktikan dengan prinsip induksi pernyataan berikut : a. 13+23++n3=[n(n+1)/2]2 b. 14+24++n4=[n(n+1)(6n3+9n2+n-1)]/30 c. a+ar+ar2++arn-1=a(1-rn)/(1-r) d. 32+52++(2n+1)2=(1/3)(n+1)(2n+1)(2n+3)-1 e. 1+2x0.5+3(0.5)2++n(0.5)(n-1)=4-(n+2)(0.5)(n-1)1 1 1 1n f. + ++ ... +=2 2 x3 3 x 4 n(n +1) n +13 5 7(2n + 1) n ( n + 2) g.+ 2 2 + 2 2 + ... + 2= 21 x2 22 x3 3 x 4n (n + 1) 2(n + 1) 2 h. 3+33+35++32n-1=(3/8)(9n-1)2. Jika x dan y bilangan bulat, tunjukkan bahwa (xn-yn) habis dibagi (x-y) untuk n bilangan bulat positif3. Dengan induksi tunjukkan bahwa (2n+1)2-1 habis bagi 8 untuk semua bilangan bulat n1.4. Jika k adalah bilangan bulat positif, buktikan bahwa k(k+1) adalah bilangan genap.5. Tunjukkan bahwa (13n-5n) habis dibagi 8 untuk n bilangan asli.6. Buktikan bahwa (a+1)nan+a, untuk a>1 dan n2, n bilangan asli.7. Buktikan bahwa (a+2+3++n)2 12+22+32++n2 untuk n bilangan asli8. Buktikan bahwa 2n1+na, untuk a>1, dan n bilangan bulat yang lebih dari satu. Topik 3 Induksi Matematika3-4 6. Latihan 3.2.1. Buktikan dengan prinsip induksi pernyataan berikut : a. 13+23++n3=[n(n+1)/2]2 b. 14+24++n4=[n(n+1)(6n3+9n2+n-1)]/30 c. a+ar+ar2++arn-1=a(1-rn)/(1-r) d. 32+52++(2n+1)2=(1/3)(n+1)(2n+1)(2n+3)-1 e. 1+2x0.5+3(0.5)2++n(0.5)(n-1)=4-(n+2)(0.5)(n-1)1 1 1 1n f. + ++ ... +=2 2 x3 3 x 4 n(n +1) n +13 5 7(2n + 1) n ( n + 2) g.+ 2 2 + 2 2 + ... + 2= 21 x2 22 x3 3 x 4n (n + 1) 2(n + 1) 2 h. 3+33+35++32n-1=(3/8)(9n-1)2. Jika x dan y bilangan bulat, tunjukkan bahwa (xn-yn) habis dibagi (x-y) untuk n bilangan bulat positif3. Dengan induksi tunjukkan bahwa (2n+1)2-1 habis bagi 8 untuk semua bilangan bulat n1.4. Jika k adalah bilangan bulat positif, buktikan bahwa k(k+1) adalah bilangan genap.5. Tunjukkan bahwa (13n-5n) habis dibagi 8 untuk n bilangan asli.6. Buktikan bahwa (a+1)nan+a, untuk a>1 dan n2, n bilangan asli.7. Buktikan bahwa (a+2+3++n)2 12+22+32++n2 untuk n bilangan asli8. Buktikan bahwa 2n1+na, untuk a>1, dan n bilangan bulat yang lebih dari satu. Topik 3 Induksi Matematika3-4 7. Latihan 3.2.1. Buktikan dengan prinsip induksi pernyataan berikut : a. 13+23++n3=[n(n+1)/2]2 b. 14+24++n4=[n(n+1)(6n3+9n2+n-1)]/30 c. a+ar+ar2++arn-1=a(1-rn)/(1-r) d. 32+52++(2n+1)2=(1/3)(n+1)(2n+1)(2n+3)-1 e. 1+2x0.5+3(0.5)2++n(0.5)(n-1)=4-(n+2)(0.5)(n-1)1 1 1 1n f. + ++ ... +=2 2 x3 3 x 4 n(n +1) n +13 5 7(2n + 1) n ( n + 2) g.+ 2 2 + 2 2 + ... + 2= 21 x2 22 x3 3 x 4n (n + 1) 2(n + 1) 2 h. 3+33+35++32n-1=(3/8)(9n-1)2. Jika x dan y bilangan bulat, tunjukkan bahwa (xn-yn) habis dibagi (x-y) untuk n bilangan bulat positif3. Dengan induksi tunjukkan bahwa (2n+1)2-1 habis bagi 8 untuk semua bilangan bulat n1.4. Jika k adalah bilangan bulat positif, buktikan bahwa k(k+1) adalah bilangan genap.5. Tunjukkan bahwa (13n-5n) habis dibagi 8 untuk n bilangan asli.6. Buktikan bahwa (a+1)nan+a, untuk a>1 dan n2, n bilangan asli.7. Buktikan bahwa (a+2+3++n)2 12+22+32++n2 untuk n bilangan asli8. Buktikan bahwa 2n1+na, untuk a>1, dan n bilangan bulat yang lebih dari satu. Topik 3 Induksi Matematika3-4