mat 1 bab 1-3
TRANSCRIPT
Matematika 1a
1
BAB I SISTEM MATEMATIKA
Matematika merupakan suatu ilmu yang digunakan oleh banyak kalangan dan berbagai ilmu
untuk mempermudah maupun mempercepat perkembangan ilmu yang lain. Dalam matematika sering dijumpai operasi penjumlahan (+), pengurangan (-),perkalian (x), pembagian (:),perpangkatan
(an), akar ( ) dan kombinasi operasi lainnya.
Sistem matematika terdiri dari himpunan S dan operasi *, maka sistem matematika tersebut diberi notasi (S,*); ada pula sistem matematika yang terdiri dari himpunan S dengan operasi * dan #, dan sistem matematika tersebut diberi notasi (S,*,#)
Definisi 1.1: Sistem matematika adalah sesuatu yang memenuhi tiga syarat berikut:
• Adanya suatu himpunan tertentu. • Adanya suatu operasi dalam himpunan tersebut • Hasil operasi merupakan anggota himpinan tersebut.
Definisi1.2: Jika * suatu operasi dalam himpunan S, maka operasi * dinamakan:
a. Tertutup jika p * q = r dan r S untuk setiap p, q S.
b. Komutatif jika p *q = q * p = r untuk setiap p, q S.
c. Assosiatif jika p * (q * r) = (p * q)* r untuk setiap p, q, r S.
d. Mempunyai unsur identitas jika untuk setiap p S, ada i S, sehingga p * i =i * p = p, i disebut unsur identitas operasi *.
e. Mempunyai unsur invers jika untuk semua p S, ada x S, sehingga p * x = x * p = I, x disebut invers dari p, dan p disebut invers dari x.
Definisi 1.3: Jika * suatu operasi pertama dan # suatu operasi kedua pada himpunan S, maka:
operasi * bersifat distributif terhadap operasi # jika p * (q # r) = (p * q) # (p * r)
untuk semua p, q, r S Definisi 1.4: Grup adalah sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan dengan satu
operasi dan memenuhi sifat: • tertutup, • sifat asosiatif, • mempunyai unsur identitas dan • mempunyai unsur invers.
Jika dalam grup berlaku sifat komutatif maka sistem matematika tersebut dinamakan grup komutatif atau grup Abel. Ini sebagai penghormatan terhadap ahli matematika Nurwegia yang bernama Niels Henrik Abel
1.1 Sistem Matematika Bilangan Asli Sejak sekitar tahun 400 sebelum masehi, orang mulai memikirkan bilangan sebagai konsep abstrak. Mereka menyebutkan bahwa lima kerikil mempunyai kesamaan dengan lima binatang yaitu suatu kuantitas yang disebut lima. Kuantitas merupakan suatu kebutuhan dasar manusia dalam kehidupan sehari-hari, terutama dalam menghitung (mencacah) dan membandingkan jumlah barang atau benda. Hal ini mendorong manusia untuk membuat lambang untuk dapat dikomunikasikan kepada pihak lain dengan mudah dan tidak salah pengertian. Beberapa bangsa (dan mungkin juga suku bangsa) yang sudah mengembangkan bilangan dan cara penggunaannya antara lain Mesir (sekitar th 300 S.M), Babylonia (sekitar th 200 S.M), Yunani (sekitar th 600 S.M), Mayan (sekitar th 300 S.M), Jepang-China (sekitar th 200 S.M), Romawi (sekitar th 100 S.M), Hindu-Arab (sekitar th 300 S.M), dan Jawa (sekitar th …?).
Matematika 1a
2
Dalam penulisan lambang bilangan dipilih lambang tertentu dengan aturan tertentu pula. Tampaknya petama kali untuk mengetahui lambang bilangan sangat terbatas dan bilangan terkecil satu, dan selama jari tangan manusia sepuluh tidak mengherankan jika yang sering banyak digunakan bilangan basis sepuluh. Berdasarkan hal-hal tersebut kita perlu mengasumsikan bahwa manusia telah menemukan himpunan konsep bilangan asli beserta lambangnya. Lambang Hindu Arab yang sampai sekarang banyak digunakan adalah : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Aturannya, nilai tempat angka paling kanan satu, nilai tempat kedua dari kanan sepuluh, nilai tempat ketiga dari kanan seratus, nilai tempat keempat dari kanan seribu dan seterusnya. Untuk bilangan pecahan kurang dari satu, ditempatkan di kanan tempat yang bernilai satu dengan diberi batas koma. Tempat pertama di belakang koma bernilai sepersepupuh, tempat kedua di kanan koma bernilai seperseratus, tempat ketiga di kanan koma bernilai seperseribu dan seterusnya. Selanjutnya himpunan bilangan bulat positip dinamakan himpunan bilangan asli dan dinyatakan dengan N = {1, 2, 3, …..}. 1.1.1 Operasi penjumlahan
Definisi 1.5: Jika p = n(A), q = n(B) , A dan B dua himpunan yang saling lepas, dan r = n(AB), maka p + q = r
Sekarang akan kita selidiki sifat apa sajakah yang dimiliki himpunan bilangan asli dengan operasi pejumlahannya. Berdasarkan definisi penjumlahan bilangan asli kita dapat memilih beberapa contoh operasi bilangan bulat. 2 + 3 = 5, 23 +64 = 87, 135 +320 = 355, ….. dst. Dari beberapa contoh ini terlihat bahwa jumlah dua bilangan asli hasilnya merupakan bilang asli juga. Berdasarban contoh-contoh tersebut, bisakah disimpulkan bahwa jumlah sebarang dua bi1angan asli merupakan suatu bilangan asli pula?. Jawabnya tidak bisa. Tidak boleh. Mengapa demikian? Banyak bilangan asli itu tidak terhingga, sedangkan contohnya hanya beberapa saja, contoh tersebut merupakan sesuatu yang tidak berarti. Untuk mengatasi ini disusun suatu aksioma yaitu aksioma bilangan asli.
Aksioma 1.1: Jika a dan b dua bilangan asli maka hasil penjumlahan (a + b) merupakan suatu
bilangan asli. Berdasarkan aksioma tersebut kita katakan bahwa penjumlahan pada himpunan bilangan asli bersifat tertutup. Dengan demikian himpunan bilangan asli beserta operasi penjumlahannya memenuhi 3 sifat tentang sistem matematika. Jadi tidak diragukan lagi bahwa bilangan bulat dengan operasi penjumlahan merupakan suatu sistem, dan disebut sistem matematika bilangan asli dalam operasi penjumlahan. Dari sistem bilangan asli dengan operasi penjumlahan ini, kita dapat menyelidiki sifat-sifat apa saja yang dimilikinya. Sesuai dengan sifat ketertutupan operasi penjumlahan pada bilangan asli, untuk sifat asosiatif dan komutatif operasi penjumlahan bilangan asli disusun aksioma berikut: Aksioma 1.2: Dalam {N,+} berlaku sifat asosiatif. Jika a, b dan c sebarang tiga bilangan asli maka
berlaku (a + b) + c = a + (b + c). Aksioma 1.3: Dalam {N,+} berlaku sifat komutatif. Jika a dan b sebarang dua bilangan asli maka
maka berlaku a + b = b + a {N,+} tidak mempunyai unsur identitas karena tidak ada bilangan asli yang jika ditambah bilangan asli (misalnya p) hasil penjumlahannya p. Dengan demikian sistem bilangan asli ini juga tidak mempunyai sifat invers. 1.1.2 Operasi pengurangan Definisi 1.6: Suatu bilangan asli r merupakan hasil pengurangan bilangan asli q terhadap
bilangan asli p (ditulis p q = r) jika r + q = p. (p q = r jika r + q = p)
Matematika 1a
3
Berdasarkan definiai tersebut untuk operasi pengurangan untuk bilangan asli tidak berlaku
sifat komutatif. Untuk ini kita cukup menunjukkan satu contoh yang tidak memenuhinya. 6 2 = 4,
karena 4 + 2 =6. Tetapi 2 6 4, karena 4 + 6 2. Lalu berapa dua dikurangi enam? 2 6 = ? Ternyata tidak ada bilangan asli yang jika ditambah 6 menghasilkan 2. Berdasarkan hal ini
tampak bahwa bilangan asli dengan operasi pengurangannya bukan merupakan sisim matematika. karena ternyata operasi pengurangan dalam himpunan bilangan asli tidak tertutup. Bagaimana dengan sifat asosiatif operasi pengurangan bilangan asli? Selidiki! 1.1.3 Operasi perkalian Definisi 1.7: Suatu bilangan asli r merupakan hasil kali p x q jika q + q + q +… sampai p kali sama
dengan r (p x q = r jika q + q + q + …… + q = r) p suku
Sesuai dengan operasi penjumlahan, sekarang akan kita selidiki sifat apa sajakah yang dimiliki
himpunan bilangan asli dengan operasi perkaliannya. Berdasarkan definisi perkalian bilangan asli, kita dapat memilih beberapa contoh operasi perkalian bilangan bulat. Yaitu: 2 x 3 = 6, 23 x 3 = 63, 135 x 2 = 270, ….. dst. Dari beberapa contoh ini terlihat bahwa hasil kali bilangan asli juga merupakan bilangan asli juga. Sesuai dengan penjumlahan bilangan asli disusun suatu aksioma yaitu aksioma berikut:
Aksioma 1.4: Jika a dan b dua bilangan asli maka hasil hasil kali (a x b) juga merupakan suatu
bilangan asli.
Berdasarkan aksioma tersebut kita katakan bahwa operasi perkalian pada himpunan bilangan asli bersifat tertutup. Dengan demikian himpunan bilangan bulat beserta operasi perkaliannya memenuhi 3 sifat tentang sistem matematika. Jadi tidak diragukan lagi bahwa bilangan bulat dengan operasi perkalian merupakan suatu sistem, dan disebut sistem bilangan asli dalam operasi perkalian. Dari sistem bilangan asli dengan operasi perkalian ini, kita dapat menyelidiki sifat-sifat apa saja yang dimilikinya. Sesuai dengan sifat ketertutupan operasi perkalian pada bilangan asli, untuk sifat asosiatif dan komutatif operasi perkalian bilangan asli disusun aksioma berikut: Aksioma 1.5: Dalam {N,x} berlaku sifat asosiatif. Jika a, b dan c sebarang tiga bilangan asli maka
berlaku (a x b) x c = a x (b x c). Aksioma 1.6: Dalam {N,x} berlaku sifat komutatif. Jika a dan b sebarang dua bilangan asli maka
maka berlaku a x b = b x a Berbeda dengan {N,+}, {N,x} mempunyai unsur identitas yaitu 1, karena sesuai dengan definisi
perkalian bilangan asli, untuk setiap bilangan a N berlaku a x 1 = 1 x a = a. Tetapi walaupun mempunyai unsur identitas (i = 1), hanya ada satu bilangan asli yang mempunyi invers. 1 x 1 = 1 = i. Jadi {N,x} tidak memenuhi sifat invers. 1.1.4 Operasi pembagian Definisi 1.8: Suatu bilangan asli r merupakan hasil bagi bilangan asli q terhadap bilangan asli p (ditulis
p : q = r) jika q x r= p
Sesuai dengan operasi pengurangan, operasi pembagian pada bilangan asli tidak berlaku sifat tertutup, karena jika pembagi lebih dari bilangan yang dibagi hasil baginya bukan merupakan bilangan asli lagi. Dengan demikian sesuai dengan opetrasi pengurangan, operasi pembagian pada bilangan asli tidak bersifat tertutup. Jadi himpunan bilangan asli dengan operasi pembagiannya bukan merupakan sistem.
Matematika 1a
4
Bagaimana dengan sifat asosiatif bilang asli? Selidiki!.
Dari {N,+} dan (N,x} dapat dibentuk sistem baru yaitu {N,x,+} yang di dalamnya beraku sifat distributif Secara keseluruhan, sifat-sifat yang dimiliki {N,+,x} adalah:
1. komutatif :
p + q = q + p dan p x q = q x p untuk semua p, q Z 2. assosiatif :
p + (q + r) = (p + q) + r dan p x (q x r) = (p x q) x r untuk semua p, q, r Z 3. mempunyai unsur identitas perkalian
untuk semua p Z, ada 1 Z sahingga p x 1 = 1 x p = p 1 adalah unsur identitas perkalian
4. berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan (p + q) . r = (p . r) + (q . r) 5. memenuhi hukum kanselasi:
Jika p, q, r Z, r ≠ 0, dan pr = qr, maka p = q
Jika p, q, s Z, s ≠ 0, dan p/s = q/s, maka p = q
1.2 Sistem Matematika Bilangan Bulat
Bersamaan dengan perkembangan zaman masyarakat memerlukan sistem bilangan supaya dapat memenuhi keperluan lain, yaitu mengurangi dan membagi. Dengan demikian mereka mempunyai tuntutan pekerjaan yang tidak sekedar berhitung tetapi hal lain yang lebih luas. Pengurangan dua bilangan yang sama besar hasilnya tidak ada balam bilangan asli, karena itu perlu lambang bilangan baru yaitu 0. Dengan adanya tambahan lambing 0 ini diperoleh himpunan baru yang disebut himpunan bilangan cacah, dan dinyatakan dengan W = {0, 1, 2, 3, …} Perkembangan lebih lanjut muncul pertanyaan, bagai mana jika dalam suatu pengurangan bilangan pengurangnya lebih dari bilangan yang dikurangi? Untuk menjawab ini muncul lambang baru yang disebut bilangan negative, yaitu ¯1, ¯2, ¯3 ….. Dengan demikian diperoleh himpunan baru yang dinamakan himpunan bilangan bulat dan dinyatakan dengan Z = { …..¯3, ¯2, ¯1, 0, 1, 2, 3, …..}. Karena perkembangan kehidupan manusia maka muncul permasalahan-permasalahan baru yang diikuti perkembangan pola pikir manusia sehingga muncul bilangan rasional, bilangan irrasional dan bilangan kompleks. Ketiga jenis bilangan ini dibahas pada bab lain.
Sekarang perhatikan himpunan semua bilangan bulat, yaitu Z = {.... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Operasi penjumlahan pada himpunan Z bersifat tertutup, yaitu apabila a dan b dua bilangan bulat sebarang maka hasil penjumlahan (a + b ter)masuk dalam Z. Oleh karena hasil kali dua bilangan bulat sebarang merupakan suatu bilangan bulat pula maka operasi perkalian pada himpunan Z bersifat tertutup pula. Jadi, himpunan semua bilangan bulat dengan operasi penjumlahan dan operasi perkalian membentuk suatu sistem yang biasa disebut sistem bilangan bulat. Suatu bilangan bulat dengan penjumlahan mempunyai unsur identitas, yaitu 0 (nol) sebab untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku a + 0 = 0 + a = a. Misalnya, 5 + 0 = 0 + 5 = 5, -7 + 0 = 0+ (-7) = -7, 16 + 0 = 0 + 16 = 16, dan sebagainya. Secara umum, jika a suatu bilangan bulat maka -a juga suatu bilangan bulat sedemikian hingga a + (-a) = (-a) + a = 0. Selanjutnya, -a disebut invers penjumlahan (lawan) dari a. Hal ini dapat dikatakan bahwa setiap bilangan bulat memiliki tepat satu unsur invers penjumlahan (lawan) yang termasuk dalam himpunan bilangan bulat. Jadi semua sifat yang dimiliki {N,+,x} dimiliki pula oleh {Z,+,x}, bahkan {Z,+,x} mempunyai satu kelebihan sifat, yaitu adanya unsur invers pada operasi penjumlahan.
Matematika 1a
5
1.2.1 Penjumlahan bilangan negatif Contoh:
1. Hitunglah 9 + 4
(9 + 4) + 5 = 9 + (4 + 5)
= 9 + 9 = 0
Terlihat bahwa 5 merupakan invers penjumlahan (9 + 4). Padahal 5 juga merupakan invers
5. Jadi 9 + 4 = 5.
2. Hitunglah 4 + 7
(4 + 7) + 3 = 4 + (7 +3)
= 4 + 4 = 0
Terlihat bahwa 3 merupakan invers penjumlahan (4 + 7). Padahal 3 juga merupakan invers
3. Jadi 4 + 7.= -3
3. Hitunglah 6 + 5
(6 + 5) + 1 = 6 + (5 + 1)
= 6 + 6 = 0
Terlihar bahwa 1 merupakan invers penjumlahan dari (6 + 5). Padahal 1 juga merupakan
invers penjumlahan dari 1. Jadi (6 + 5) = -1
1.2.2 Perkalian bilangan negatif Contoh:
1. Hitunglah 2 x 3
(2 x 3) + 6 = (2 x 3) + (2 x 3)
= 2 x (3 + 3) = 2 x 0 = 0
Ini menunjukkan bahwa (2 x 3) merupakan invers penjumlahan 6. Padahal 6 + 6 = 0. Hal ini
menunjukkan pula bahwa 6 merupakan invers penjumlahan 6. Karena 6 hanya mempunyai
satu invers penjumlahan, maka 2 x 3 = 6
2. Hitunglah 2 x 3
(2 x 3) + 6 = (2 x 3) + (2 x 3)
= (2 + 2) x 3
= 0 x 3 = 0
Ini menunjukkan bahwa (2 x 3) merupakan invers penjumlahan6. Padahal 6 juga
merupakan invers penjumlahan 6. Jadi 2 x 3 = 6 Berdasarkan contoh di atas bolehkah disimpulkan bahwa
Untuk sebarang bilangan bulat a dan b berlaku: a x b = a x b
1.2.3 Operasi Pengurangan Definisi 1.9: Suatu bilangan bulat merupakan hasil pengurangan bilangan bulat q terhadap
bilangan bulat p (ditulis p q = r) jika r + q = p. (p q = r jika r + q = p) Contoh:
1. 8 2 = 6 karena 6 + 2 = 8
2. 3 6 = 3 karena 3 + 6 = 3
3. Hitunglah 5 2
Misalkan 5 2 = p,
maka (berdasarkan definisi) p + 2 = 5
(p + 2) + 2 = 5 + 2 (hukum kanselasi)
P + (2 + 2) = 7 p + 0 = 7 p = 7
Matematika 1a
6
4. Hitunglah 5 8
Misalkan 5 8 = p,
maka (berdasarkan definisi) p + 8 = 5
(p + 8) + 8 = 5 + 8 (hukum kanselasi)
P + (8 + 8) = 13 p + 0 = 13 p = 13 Berdasarkan dua contoh terakhir di atas bolehkah disimpulkan bahwa
Untuk sebarang bilangan bulat a dan b berlaku:
a b = a + b Soal latihan
1. Apakah himpunan bilangan bulat dengan operasi pengurangannya merupakan grup komutatif
2. Selidikki sifat-sifat yang dimiliki/tidak dimiliki himpunan bilangan bulat dengan operasi pengurannya.
3. Untuk a, b, dan c N, didefinisikan: aob = a + b 4. Selidiki apakah operasi o pada bilangan bulat merupakan grup? Selidiki sifat apa saja yang dimilikki opersi tersebut?
4. (idem soal no. 3) untuk operasi * = 2a + b +1
5. (idem soal no. 3) untuk operasi # = 2a b +1
6. (idem soal no. 3) untuk operasi & = 2a + bc 3
1.3 Sistem Matematika Bilangan Jam / Modulo 1.3.1 Jam empatan (J4)
Bilangan jam adalah bilangan yang banyak bilangannya terbatas. Bilangan jam empatan (J4) berarti banyak bilangannya hanyaempat, yaitu 1, 2, 3, dan 4. Gambar 1.1 menunjukkan (J4). gambar (a) menunjukkan 1, gambar (b) menunjukkan 3 dan gambar (c) menunjukkan 4
(a) (b) (c) Gambar 1.1
Jika jarum diputar ke kanan berarti ditambah sedangkan jika diputar ke kiri berarti dikurangi. 1 + 2 = 3 (semula gb (a) menjadi gb (b) 3 +1 = 4 (semula gb (b) menjadi gb (c) 3 + 2 = 1 (semula gb (b) menjadi gb (a) 4 + 3 = 3 (semula gb (c) menjadi gb (b)
1 2 = 3 (semula gb (a) menjadi gb (b)
3 3 = 4 (semula gb (b) menjadi gb (c)
3 2 = 1 (semula gb (b) menjadi gb (a)
4 3 = 1 (semula gb (c) menjadi gb (a)
1
2
3
4
1
3
4 2
1
3
4 2
1
3
4 2
1
3
4
Matematika 1a
7
Berikut akan kita selidiki sifat-sifat yang dimiliki bilangan jam empatan (J4). Untuk menyelidikinya tidak harus dari hal yang umum dulu, karena banyak elemen (unsur) dalam jam empatan tidak tidak terbatas seperti halnya pada himpunan bilangan asli maupun bilangan bulat. Banyak elemen pada J4 hanya 4. 1.3.1.1 Penjumlahan
1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1= 4 4 + 1 = 1 1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2= 1 4 + 2 = 2 1 + 3 = 4 2 + 3 = 1 3 + 3= 2 4 + 3 = 3 1 + 4 = 1 2 + 4 = 2 3 + 4= 3 4 + 4 = 4
Dari table di atas terlihat bahwa operasi penjumlahan pada J4 bersifat: tertutup dan komutatif. Jadi J4 dengan operasi penjumlahannya merupakan sistema matematika yang berlaku sifat komutatif
Untuk menyelidiki berlaku tidaknya sifat asosiatifnya, cukup dengan memberikan satu contoh saja (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 2 1 + (2 + 3) = 1 + 1 = 2 Terlihat pada {J4,+) berlaku sifat asosiatif. Untuk menyelidiki elemen identitasnya kita perhatikan table penjumlahan di atas dan kita tulis lagi sebagaiberikut:
1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1= 4 4 + 1 = 1 1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2= 1 4 + 2 = 2 1 + 3 = 4 2 + 3 = 1 3 + 3= 2 4 + 3 = 3 1 + 4 = 1 2 + 4 = 2 3 + 4= 3 4 + 4 = 4
setelah memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat disimpulkan unsur identitas bilangan jam empatan adalah bilangan 4.
Untuk mengetahui tentang elemen invernya kita perhatikan table penjumlahan dan kita tulis lagi sebagai berikut:
1 + 1 = 2 2 + 1 = 3 3 + 1= 4 4 + 1 = 1 1 + 2 = 3 2 + 2 = 4 3 + 2= 1 4 + 2 = 2 1 + 3 = 4 2 + 3 = 1 3 + 3= 2 4 + 3 = 3 1 + 4 = 1 2 + 4 = 2 3 + 4= 3 4 + 4 = 4
Dengan memperhatikan bilangan yang tertulis tebal dapat kita ketahui invers dari setiap elemen pada J4 tersebut
1.3.1.2 Perkalian
Sesuai dengan operasi penjumlahan, kita buat table perkalian sebagi berikut. 1 x 1 = 1 2 x 1 = 2 3 x 1= 3 4 x 1 = 4 1 x 2 = 2 2 x 2 = 4 3 x 2= 2 4 x 2 = 4 1 x 3 = 3 2 x 3 = 2 3 x 3= 1 4 x 3 = 4 1 x 4 = 4 2 x 4 = 4 3 x 4= 4 4 x 4 = 4
Dari table tersebut terlihat bahwa dalam J4 berlaku sifat-sifat: tertutup, komutatip, asosiatif adanya elemen identitas dan invers. Bagaimana dengan sifat distributif pekalian terhdap penjumlahan? Bagaimana dengan sifat-sifat yang dimiliki pada operasi pengurangan? Jelaskan (untuk latihan) 1.3.2 Jam limaan (J5) Perhatikan himpunan bilangan jam limaan J5 = {1, 2, 3, 4, 5}. Sesuai dengan pembahasan pada jam empatan, kita buat tabel penjumlahannya Hasil penjumlahan bilangan jam limaan pada himpunan jam limaan J5 dapat dilihat pada tabel berikut ini.
Matematika 1a
8
Penjumlahan Bilangan Jam Limaan
+ 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
1 2 3 4 5
Tampak pada tabel di atas bahwa hasil penjumlahan bilangan jam limaan pada himpunan J5 selalu menjadi elemen dari J5 pula. Hal ini menunjukkan bahwa penjumlahan pada J5 bersifat tertutup. Maka, himpunan bilangan jam limaan J5 dengan operasi penjumlahan membentuk suatu sistem. Anda dengan mudah dapat menunjukkan bahwa sistem bilangan jam limaan dengan penjumlahan memiliki sifat asosiatif dan sifat komutatif karena semua hasil operasi penjumlahan telah tersusun dalam tabel, maka sifat ko-mutatif itu ditunjukkan oleh tabel yang simetris terhadap diagonal yang dibuat dari kiri atas ke kanan bawah (diagonal utama). Kolom terakhir dari tabel merupakan hasil-hasil dari (1) 1 + 5 = 1, (2) 2 + 5 = 2, (3) 3 + 5 = 3, (4) 4 + 5 = 4, (5) 5 + 5 = 5 Sedangkan baris terakhir merupakan hasil-hasil dari : (1) 5 + 1 = 1, (2) 5 + 2 = 2, (3) 5 + 3 = 3, (4) 5 + 4 = 4, (5) 5 + 5 = 5. Ini berarti bahwa elemen identitas penjumlahan dari sistem tersebut adalah 5, dan elemen J5
mempunyai invers penjumlahan yang termasuk dalam J5 pula. Adanya elemen invers dan sifat asosiatif pada operasi perkaliana serta sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dipersilahkan maha siswa menyelidikinya. 1.4 Sistem Matematika Bilangan Bulat Selain Penjumlahan dan Perkalian Kita dapat membuat operasi baru pada bilangan bulat, misalnya operasi o (dibaca “bundaran”) dengan aturan sebagai berikut. Jika a dan b bilangan-bilangan bulat maka a o b = a + b – 2. Berdasarkan definisi (aturan) tersebut apakah himpunan bilangan bulat dengan operasi o membentuk suatu sistem? Selanjutnya, kita akar menyelidiki sifat-sifat yang dimiliki oleh bilangan bulat dengan operasi o tersebut. Misalkan a, b, dan c adalah bilangan-bilangan bulat
a o b = a + b 2
b o a = b + a 2
Dari hasil operasi bundaran terlihat bahwa a + b 2 = b + a 2. Dengan demikian 0perasi >bundaran” untuk bilangan bulat berlaku sifat tertutup , jadi himpunan bilangan bulat dengan operasi “o” membentuk suatu sistem.Selanjudnya kita selidiki sifat-sifat yang dimilikinya. (a o b) o c = (a + b – 2) o c = (a + b – 2) + c – 2 = a + b – 2 + c – 2 = a + b + c – 4
Matematika 1a
9
a o (b o c) = a o (b + c – 2) = a + (b + c – 2) – 2 = a + b + c –2 – 2 = a + b + c – 4 Terlihat bahwa (a o b) o c = a o (b o c) Jadi berlaku sifat asosiatif Apakah himpunan semua bilangan bulat dengan operas o tersebut mempunyai elemen identitas? Misalnya, sistem ini memiliki elemen identitas e maka apabila a suatu bilangan bulat berlaku -a o i = a. Padahal (berdasarkan definisi) a o i = a + i – 2. Berdasarkan dua persamaan terakhir a + i – 2 = a. Ini berarti bahwa i = 2. Jadi {Z,0} mempunyai elemen identitas. yaitu 2 Apakah setiap elemen dari sistem ini mempunyai invers terhadap operasi o ? Marilah hal ini kita selidiki. Misalkan, a suatu bilangan bulat dan invers dari a adalah e maka berlaku a o e = i = 2 (2 adalah elemen identitasnya) Berdasarkan definisi, a o e = a + e – 2
Dari dua persamaan terakhir, a + e – 2 = 2 e = a + 4 e = 4 2
Jadi invers dari a adalah 4 2 Jadi, himpunan semua bilangan bulat dengan operasi o (bundaran) yang didefinisikan oleh a o b = a + b – 2 untuk setiap bilangan bulat a dan b membentuk suatu sistem yang memiliki sifat asosiatif, sifat komutatif, elemen identitasnya 2 dan setiap bilangan bulat mempunyai invers. Soal Latihan :
1. Selidiki apakan operasi berikut merupakan sebuah sistem matematika a. p*q = a + ab + b b. n*m = (n – m)(m – n) c. p*q = 1/p + 1/q d. n*m = 1/(p + q) e. p*q = 1/(p + pq + q)
2. Diketahui Z (-) = bilangan bulat negative dan Z (+) = bilangan bulat positif. Buktikan pernyataan berikut
a. Z (-) + Z (+) = Z (+) b. Z (-) + Z (+) = Z (-) c. Z (-) - Z (+) = Z (-) d. Z (-) - Z (+) = Z (+) e. Z (-) + Z (+) = 0
3. Diketahui Z (-) = bilangan bulat negative dan Z (+) = bilangan bulat positif. Buktikan pernyataan berikut
a. Z (+) x Z (+) = Z (+) b. Z (-) x Z (+) = Z (-) c. Z (+) x Z (-) = Z (-) d. Z (-) x Z (-) = Z (+)
4. Apakah operasi bilangan jam berikut merupakan sebuah sistem matematika pada operasi penjumlahan dan perkalian
a. jam limaan b. jam enaman c. jam dua belasan
Matematika 1a
10
BAB II FPB, KPK DAN BILANGAN BERBASIS NON SEPULUH
2.1 Faktor Persekutuan Terbesar
Suatu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat lain yang bukan nol, maka hasil baginya adalah bilangan bulat atau bukan bilangan bulat. Jika 20 : 4, maka hasil baginya 5 (bilangan bulat) dan jika 22 dibagi 4 hasilnya 5,5 (bukan bilangan bulat)
Definisi 2.1: Suatu bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b ≠ 0 jika dan hanya jika ada
bilangan bulat c sehingga a = bc
Keterbagian tersebut dinotasikan ba dan dibaca b membagi a, atau a habis dibagi b, atau a kelipatan b, atau b faktor a
Contoh 1. 420 karena ada bilangan bulat 5 sehingga 12 = 4.5
2. Kelipatan 3 adalah 3,-3, 6, -6, 9, -9 ….. dst karena 33, 3-3. 36, 3-6, ….
3. Faktor 4 adalah 4, -4, 2,-2, 1, dan -1 karena 44, -44, 24, -24, 14, dan -14
Definisi 2.2 : Jika a,b Z, a dan b tidak kedua-duanya bernilai nol, maka:
a. c Z disebut factor persekutuan (common factor) dari a dan b jika ca dan cb. b. c dinamakan FPB (greatest common factor) dari a dan b jika c bilangan bulat positif
terbesar sehingga ca dan cb. Ditulis (a,b) = c
Contoh : Tentukan FPB dari 12 dan 16 Jawab. Faktor-faktor yang positif dari 12 adalah A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Faktor-faktor yang positif dari 16 adalah B = {1, 2, 4, 8, 16}
Faktor-faktor persekutuan yang positif dari 12 dan 16 adalah A B = {1, 2, 4} Jadi (12,16) = 4 2.2 Kelipatan Persekutuan Terbesar
Definisi 2.3 : Jika a, b Z, a ≠ 0, dan b ≠ 0, maka:
a. c Z disebut kelipatan persekutuan (common multiple) dari a dan b jika ac dan
bc. b. c dinamakan KPK (greatest common multiple) dari a dan b jika c bilangan bulat
positif terkecil sehingga ac dan bc. Ditulis [a,b] = c
Contoh : Tentukan KPK dari 12 dan 16 Jawab. Kelipatan 12 yang positif adalah A = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, …..} Kelipatan 16 yang positif adalah B = {16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, …..}
Kelipatan persekutuan yang positif dari 12 dan 16 adalah A B = {48, 96, , ……} Jadi [12,16] = 48 Definisi 2.4 : Bilangan prima adalah suatu bilangan asli lebih dari 1 yang tepat mempunyai dua
faktor positif nn dan 14. Bilangan asli yang mempunyi faktor lebih dari satu disebut bilangan komposit.
Untuk menentukan FPB dan KPK akan lebih mudah dengan menggunakan pohon faktor. Untuk ini, masing-masing bilangan difaktorkan dalam faktor-faktor prima.
Matematika 1a
11
Contoh: 24 = 23,3 36 = 22.32. Jadi (12,36) = 22.3 dan [12,36] = 23.32. ilustrasi pengerjaan dengan pohon faktor yaitu :
Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa faktor-faktor bilangan dari 24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 = 1, (1x2), (1x3), (1x22), (1x2x3), (1x23), (1x22x3), (1x23x3) 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 19, 36 = 1, 2, 3, (1x22), (1x2x3), (1x32), (1x22x3), (1x2x32), (1x22x32) sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa : KPK dari 24 dan 36 adalah 1 x 23 x 32 = 1 x 8 x 9 = 72 FPB dari 24 dan 36 adalah 1 x 2 x 3 = 1 x 2 x 3 = 6 Terlihat bahwa faktor persekutuan terbesar (FPB) merupakan hasil kali faktor persekutuan prima yang berpangkat kecil, sedangkan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) merupakan hasil kali factor persekutuan prima yang berpangkat besar. Untuk lebih mudah mengingat; FPBesar.kecil KPKecil.besar Masalah: Mengapa FPBesar dipilih yang pangkat kecil ? Sebaliknya KPKecil dipilih yang pangkat besar? 2.3 Bilangan berbasis non sepuluh Bilangan yang kita kenal sekarang umumnya berbasis sepuluh. Bilangan ini disebut sistem Hindu-Arab, karena sistem ini ditemukan oleh orang Hindu dan disempurnakan oleh orang Arab dan diperkenalkan di benua eropa. Karena menggunakan bilangan dasar sepuluh, maka disebut pula sistem decimal. Sistem bilangan berbasis sepuluh mempunyai sepuluh angka yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0; sedangkan system bilangan berbasis non sepuluh angka yang dipergunakan tidak sepuluh. Sistem bilangan berbasis tujuh mempunyai tujuh angka yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 0. Sistem
bilangan berbasis duabelas mempunyai duabelas angka yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, , , 0. Angka
dan berturut-turut menunjukkan nilai sepuluh dan sebelas (basis sepuluh).
Matematika 1a
12
2.3.1 Bilangan berbasis lima Sistem bilangan berbasis lima mempunyai lima angka yaitu 1,2, 3, 4, 0. Lambang bilangan berbasis lima, angka paling kanan menunjukkan satuan, angka kedua dari kanan menunjukkan limaan, angka ketiga dari kanan menunjukkan lima limaan, angka keempat dari kanan menunjukkan lima lima limaan. Contoh: 425 = 4.5 + 2 = 2210 3045 = 3.52 + 0.5 + 4 = 7910 21435 = 2.53 + 1.52 + 4.5 + 3 = 29810 34125 = …..? (untuk latihan) Untuk mengubah bilangan berbasis sepuluh menjadi bilangan berbasis lima, bilangan tersebut dibagi lima. Sisa pembagian pertama merupakan satuan, sisa pembagian kedua merupakan limaan, sisa pembagian ketiga merupakan lima limaan, demikian seterusnya Contoh: 7910 = ….? (basis 5) 79 : 5 = 15 sisa 4 29810 = …..? (untuk latihan) 15 : 5 = 3 sisa 0 3 : 5 = 0 sisa 3 Jadi 7910 = 3045 . a. Penjumlahan Sesuai dengan penjumlahan yang sering kita lakukan pada bilangan decimal, pada penjumlahan bilangan perbasis lima ini diawali dari menjumlahkan satuannya. Jika hasil penjumlahan lebih dari empat, yang ditulis satuannya, sedangkan satu limaan ditambahkan pada angka sekelah kirinya (limaan). Demikian pula untuk penjumlahan limaan. Jika hasil penjumlahan lebih dari empat, yang ditulis kelebihannya (jika hasil penjumlahan 7 yang ditulis 3, jika hasil penjumlahan 5 yang ditulis 0), sedangkan satu lima limaan ditambahkan pada lima limaan yang berada diririnya. Demikian seterusnya untuk angka-angka sebelah kirinya. Contoh:
425 2 satuan + 4 satuan = 6 satuan 3045 = 1 limaan + 1 satuan 4015 = 1.5 + 1
= 115 1 satuan ditulis di tempat satuan, sedangkan 1 limaan ditambahkan
pada 4 limaan pada bilangan pertama. 4 limaan + 1 limaan = 5 limaan + 0 limaan
= 1 lima limaan + 0 limaan = 1.52 + 0.5
0 limaan ditulis di tempat limaan (tempat kedua dari kanan), sedangkan 1 lima limaan ditambahkan pada tempat lima limaan (tempat ketiga dari kanan). Karena bilangan pertama hanya ada dua angka, maka ditambahkan pada bilangan kedua. Di tempat ketiga dari kanan pada bilangan kedua ada angka 3, yang berarti 3 lima limaan. 3 lima limaan + 1 lima limaan = 4 limaan limaan = 4.52
Jadi hasilnya adalah 4.52 + 0.5 + 1.1 = 4015
Jika masing-masing bilangan dijabarkan, penjumlahan tersebut demikian: 42 = 4.5 + 2.1 304 = 3.52 + 0.5 + 4.1 3.52 + 4.5 + (2+4).1 = 3.52 + 4.5 + (5+1).1 = 3.52 + 4.5 + (5.1 + 1.1) = 3.52 + (4.5 + 5.1) + 1.1 = 3.52 + (4.5 + 1.5) + 1.1 = 3.52 + 5.5 + 1.1 = 3.52 + 1.52 + 1.1 = 4.52 + 0.5 + 1.1 = 401
Matematika 1a
13
b. Pengurangan Pada dasarnya sama dengan penjumlahan sama. Jika satuan yang dikurangi kurang dari pengurangnya, maka diambilkan pada limaan. Jika limaan yang dikurangi kurang dari limaan penguranggya, maka diambilkan dari lima limaan. Demikian seterusnya. Contoh: 304 = 3.52 + 0.5 + 4.1 = 2.52 + (5+0).5 + 4.1 = 2.52 + 5.5 + 4.1
42 = 4.5 + 2.1 4.5 + 2.1 2.1 2.52 + 1.5 + 2.1 = 2155 2. Bilangan berbasis duabelas Untuk membahas bilangan berbasis dua belas ini perlu dua lambang untuk menunjukkan
angka sepuluh dan angka sebelas. Misalnya kita pilih lambang untuk angka sepuluh dan untuk
angka sebelas. Jadi = 1010 dan = 1110 Contoh: 912 = 910
2612 = 2.12 + 6 = 24 + 6 = 3010
312 = 11.12 + 3 = 132 + 3 = 13510
612 = 6.12 + 11 = 72 + 11 = 8310
5012 = 5.123 + 0.122 + 10.12 + 11 = 1728 + 0 + 120 + 11 =185910
a. Penjumlahan
Contoh: Hitunglah 312 + 612
Jawab 312 + 612 = (11.12 + 3) + (6.12 + 11) = (11 + 6).12 + (3 + 11)
= (12 + 5).12 + (12 + 2) = 12.12 + (5.12 + 12) + 2 = 1.122 + (6.+1).12 + 2 = 17212
b. Pengurangan
Contoh: Hitunglah 5012 64
Jawab: 5012 = 5.123 + 0.122 + 10.12 + 11 = 4.123 + 12.122 + 10.12 + 11
6412 = 6.122 + 10.12 + 4 = 6.122 + 10.12 + 4 = 4.123 + 6.122 + 0.12 + 7 = 460712
Soal Latihan :
1. Dengan menunjukkan faktor-faktor dari bilangan, tunjukkan cara menentukan FPB dari bilangan berikut:
a. 12 dan 9 b. 10 dan 12 c. 36 dan 24 d. 12, 9 dan 24 e. 10, 18 dan 16
2. Dengan menunjukkan kelipatan dari bilangan, tunjukkan cara menentukan KPK dari bilangan berikut:
a. 12 dan 9 b. 15 dan 12 c. 7 dan 8 d. 6, 7 dan 12 e. 5, 9 dan 15
Matematika 1a
14
3. Dengan menggunakan pohon faktor , tunjukkan cara menentukan FPB dari bilangan berikut: a. 12 dan 9 b. 10 dan 12 c. 36 dan 24 d. 12, 9 dan 24 e. 10, 18 dan 16
4. Dengan menggunakan pohon faktor, tunjukkan cara menentukan KPK dari bilangan berikut: a. 12 dan 9 b. 15 dan 12 c. 7 dan 8 d. 6, 7 dan 12 e. 5, 9 dan 15
5. Hitunglah penjumlahan bilangan basis non decimal berikut a. 5128 + 3678 = b. 2345 + 1235 =
c. 112+ 112 = d. 11012 + 10012 = e. 5218 + 2315 + 10112 =
6. Hitunglah pengurangan bilangan basis non decimal berikut a. 5318 – 3468 = b. 2315 – 1135 =
c. 112 – 112 = d. 11112 – 11012 = e. 5218 – 2135 – 10012 =
7. Hitunglah penjumlahan dan pengurangan berikut a. (5218 + 2115)– 10112 = b. 5218 – (2315 + 1012) =
Matematika 1a
15
BAB III BILANGAN RASIONAL, BILANGAN IRASIONAL DAN BILANGAN KOMPLEKS
Bada bab I telah kita bahas tentang bilangan bulat dan sekerang kita akan membahas
bilangan rasional dan irarional. Supay mempunyai banyangan secara menyeluruh tentang bilangan, berikut ditunjukkan (diingatkan kembali) skema tentang bilangan, dan secara rinci bilangan tersebut dibahas kemudian. Perhatikan skema bilangan berikut :
Dari skema di atas terlihat bahwa posisi bilangan rasional dan bilangan irasional berada pada tingkat 3, sedangkan bilangan bulat, bilangan cacah, bilangan asli, bilangan genap/ganjil, dan bilangan prima/komposit berturut-trut berada pada tingkat 4, 5, 6, 7 dan 8. Telah disinggung di bab I bagaimana munculnya bilangan yang pertama kali (dinamakan bilangan asli), diikuti dengan bilangan cacah dan bilangan bulat. Kenyataan, sesudah berabad abad menggunakan bilangan bulat seiring dengan perkembangan pengetahuan dan peradapan manusia, sangat diperlukan bilangan-bilangan di antara 0 dan 1, di antara 1 dan 2, di antara 2 dan 3 dan seterusnya. Berkaitan dengan hal tersebut para matematisi menyadari perlunya merumuskan suatu bilangan kusus sesuai dengan kasus-kasus dalam penyelesaian masalah sederhana: Tidak ada pengganti bilangan x sehingga kalimat berikut menjadi benar
5 : 2 = x 17 : 3 = x 23 : 4 = x Untuk mengatasi hal tersebut diperlukan bilangan baru yang menunjukan nilai x sehingga kalimat a : b = x dengan a dan b bilangan cacah dan b ≠ 0 merupakan kalimat yang benar. Lambang yang menggantikan x ditulis a/b, dibaca a per b dan dinamakan pecahan. Berkaitan dengan hal ini muncul definisi berikut:
Matematika 1a
16
Definisi 3.1 Pecahan adalah suatu lambang yang memuat pasangan bilangan bulat a dan b (b ≠ 0) dan ditulis a/b untuk menyatakan nilai x sehingga pernyataan (kalimat) a : b = x menjadi benar.
Berdasarkan definisi tersebut tampak jelas bahwa 3 :5 = x dipenuhi oleh x = 3/5. Jadi 3 : 5 = 3/5. Sesuai dengan hal tersebut ini dapat ditentukan bahwa:
12 : 5 = 12/5 3 : 8 = 3/8 9 : 13 = 9/13 15 : 8 = 15/8 Secara umum
a/b = c/d ad = cd
Definisi 3.2 Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan balam bentuk a/b yang mana a dan b merupakan bilangan bulat dan b ≠ 0
Jika FPB (faktor persekutuan terbesar) dari a dan b sama dengan 1, (a,b) = 1, maka a/b
dinamakan pecahan sederhana. 7/11 adalah pecahan sederhana karena (7,11) = 1. 12/27 bukan pecahan sederhana karena (12,27) = 3 ≠ 1. Mengubah pecahan yang bukan sederhana menjadi pecahan sederhana dinamakan menyederhanakan Untuk mengubah pecahan yang tidak sederhana menjadi pecahan sederhana, dilaksanakan dengan membagi pembilang a dan penyebut b dengan (a,b). Misalkan (a,b) ≠ 1 maka a/b bukan pecahan sederhana dan [a/(a,b)]/[b/(a,b)] merupakan hasil penyederhanaan pecahan a/b. Sebagai contoh untuk menyederhanakan pecahan 12/27 dapat dilaksanakan sebagai berikut:
12/27 = [12/(12,27)]/27/(12,27)]
= (12/3)/(27/3) = 4/9 Telah kita bahas bahwa pecahan tadak sederhana dapat disederhanakan. Sebaliknya, pecahan sederhana dapat dibuat tidag sederkana dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bilangan yang sama. Misalkan a/b adalah suatu pecahan yang sederhana, jika pembilang dan penyebutnya dikalikan dengan c (c≠0), maka diperoleh pecahan baru ac/bc yang tidak sederhana yaitu bc/sc dengan (ac,bc) = c. pecahan a/b dan ac/bc merupakan dua pecahan yang senilai (mempunyai nilai yang sama). Selanjutnya didefinisikan: Definisi 3.3 a/b = (ac)/(bc) untuk semua bilangan bulat a, b ≠ 0 dan c ≠ 0 3.1 Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Rasional Bilangan rasional yang dinyatakan dalam bentuk pecahan dapat diartikan sebagai lambang untuk menyatakan beberapa bagian dari sejumlah bagian yang sama. 1/5 berarti 1 bagian dari 5 bagian, 2/5 berarti 2 bagian dari 5 bagian, 3/5 berarti 3 bagian dari 5 bagian dan seterusnya. Dengan demikian jelas bahwa 1/5 + 2/5 = (1+2)/5 = 3/5. Jadi jika 1/5 dianggap sebagai satu unit, maka 2/5 berarti 2 unit dan 3/5 berarti 3 unit. Jika penyebut dua bilangan rasional tidak sama kedua bilangan tidak dapat dijumlahkan karena masing-masing bilangan tidak menunjuk pada unit yang sama.
2/3 tidak dapat dijumlahkan dengan 3/4 karena sebagai unit pada bilangan pertama 1/3 sedangkan pada bilangan kedua 1/4. Supaya kedua bilangan itu dapat dijumlahkan, masing-masing harus dinyatakan dalam unit yang sama, yaitu 1/12. Jadi penjumlahan kedua bilangan itu dapat dilaksanakan demikian:
2/3 + 3/4 = 8/12 + 9/12= (8+9)/12 = 17/12
Definisi 3.4 : a/b + c/b = (a+c)/b a/b + c/d = ad/bd + cb/db
a/b c/b = (ac)/b a/b c/d = ad/bd cb/db
Matematika 1a
17
Untuk operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan rasionl berlaku sifat-sifat berikut: 1. penjumlahan dan pengurangan bersifat tertutup. 2. penjumlahan bersifat komutatif. 3. penjumlahan bersifat sosiatif. 4. penjumlahan mempunyai unsur identitas 0. 5. setiap bilangan rasional mempunyai invers terhadap operasi penjumlahan.
3.2 Perkalian dan pembagian Bilangan Rasional Perkalian dan pembagian dua bilangan rasional didefinisikan sebagai berikut: Definisi 3.5 Jika a/b dan c/d adalah dua bilangan rasional, maka
a/b x c/d = ac/bd
a/b : c/d = ad/cd
Untuk operasi perkalian dan pembagian bilangan rasional berlaku sifat-sifat 1. perkalian bersifat tertutup 2. perkalian bersifat komutatif 3. perkalian bersifat asosiatif 4. perkalian mempunyai unsur identitas yaitu 1 5. setiap bilangan rasional (kecuali 0) mempunyai invers terhadap operasi perkalian. 6. perkalian dengan 0 hasilnya 0 7. perkalian bersifat distributif terhadap penjumlahan
3.3 Bilangan Desimal Desimal artinya sepuluh (berasal dari bahasa latin decem), yang mana penggunaan kata ini dipengaruhi oleh banyak jari tangan kanan dan kiri dan menandai banyak lambang dasar yang disebut angka (digit). Sistem penulisan lambang bilangan decimal maksudnya penulisan lambing bilangan berbasis sepuluh. Lambang bilangan 0 s/d 9 sama dengan lambang angka, sedangkan lambang bilangan yang lebih dari 9 dinyatakan sebagai suku-suku penjumlahan perpangkatan dari 10. dan bersifat posisional dan penjumlahan. Untuk bilangan bulat, posisi angka paling kanan bernilai 1 (= 100), posisi kirinya (kedua dari kanan) bernilai 10 (=101), posisi kirinya lagi (ketiga dari kanan) bernilai 100 (=102), ….. dan seterusnya. Jadi jika suatu bilangan bulat N = an an-1 an-2 …… a3 a2 a1 a0 nilainya adalah an x 10n + an-1 x 10n-1 + an-2 x 10n-2 + ……. +a3 x 103 + a2 x 102 + a1 x 101 + a0 x 100
Untuk bilangan positif yang kurang dari satu, posisi lambangnya berada di belakang koma.
Posisi pertama di belakang koma bernilai 1/10 (=101), posisi kedua di kanan koma bernilai 1/100
(=102), …. dan seterusnya
Contoh : 253,04 = 2x100 + 5x10 + 3x1 + 0x1/10 + 4x1/100 = 200 + 50 + 3 + 0 + 1/25 Jika nilai bilangan tersebut harus dinyatakan dalam bentuk pecahan, maka masing-masing suku harus ditulis dalam bentuk pecahan yang penyebutnya sama, yaitu
5000/25 + 1250/25 + 75/25 + 1/25 = 6376/25
Pada pecahan di atas nilai pembilang lebih dari nilai penyebut. Pecahan yang pembilang lebih dari penyebut dinamakan pecahan tidak sejati, sedangkan pecahan yang pembilangnya kurang dari penyebut dinamakan pecahan sejati. Pecahan tidak sejati dapat pula disebut pecahan campuran dapat ditulis sebagai campuan antara bilanga bulat dan pecahan sejati.
Matematika 1a
18
Jika suatu pecahan dinyatakan dalam bentuk decimal mama banyak angka di belakang koma terbatas atau tak terbatas tetapi berulang. Contoh:
1. 3/4 = 0,75 2. 31/8 = 3,875 3. 20/6 = 3,333 ….. 4. 74/55 = 1,3454545….. = 1,345
Contoh di atas menunjukkan bahwa pecahan decimal ada yang terbatas dan ada yang tidak terbatas. Dua contoh pertama menunjukkan terbatas sedangkan dua contoh terakhir tidak terbatas tetapi berulang. Ada pecahan yang tigak terbatas dan tidak berulang. Bilangan yang demikian disebut bilangan irasional yang akan dibahas pada bagian akhir bab ini. Jika contoh soaldiatas dibalik, yaitu mengubah pecahan desimal menjadi pecahan dalam bentuk a/b dua contoh pertama tidak sukar, karena untuk bagian yang pecah (sebelah kanan koma) cukup mebaginya dengan 100 (pada contoh pertama) dan membaginya dengan 1000 untuk contoh kedua. Pada contoh ketiga dan keempat tidak semudah itu karena banyak angka di kanan koma tak terhingga. Untuk mengubah contoh tiga menjadi bilangan dalam bentuk a/b, bilangan itu dimisalkan x, kemudian dikalikan sepuluh. Misalkan 3,3333….. = x, maka 10 x = 33,33333…… x = 3,33333 9 x = 30,0. Jadi x = 30/9 Untuk lalihan, Ubahlah bilangan 1,345menjadi bilangan dengan bentuk a/b jika bilangan tersebut (a)
berbasis 10, (b) berbasis 6, dan (c) berbasis 8 3.4 Pembulatan dan bentuk baku Jika bilangan pecah ditulis dalam bentuk decimal, maka banyak angka di belakang koma berbeda-beda. Ada yang dua angka, tiga angka, enam angka dan sebagainya. Untuk menghindari supaya angka di belakang koma tidak banyak dilakukan pembulatan (nilai pendekatan) dan ada aturannya sebagai berikut:
1. pembulatan sampai persepuluhan terdekat berarti satu angka di belakang koma. 2. pembulatan sampai perseratusan terdekat berarti dua angka di belakang koma. 3. pembulatan sampai perseribuan terdekat berarti tiga angka di belakang koma ….. dst. 4. jika angka di kanan angka pendekatan < 5, maka dibulatkan ke bawah, yaitu semua angka di
kanannya dihilangkan (dihapus). Contoh: 2,5364 = 2,536 (pendekatan perseribuan, atau pembulatan tiga angka di belakang koma).
5. jika angka di kanan angka pendekatan 5, maka dibulatkan ke atas, yaitu semua angka di kanannya dihapus dan angka pendekatan ditambah satu. Contoh: 2,5364 = 2,5351 = 2,54 (pendekatan perseratusan atau dua angka di belakang koma).
Dalam penulisan bilangan, angka yang bernilai pendekatan (angka terakhir) pada bilangan tersebut dinamakan angka penting, karena angka inilah yang menentukan sejauh mana penyimpangan nilai yang tertulis dengan nilai sebenarnya Contoh : 2,351 ditulis 2,4 terjadi penyimpangan +0,049
2,446 ditulis 2,4 terjadi penyimpangan 0,046
2,401 ditulis 2,4 terjadi penyimpangan 0,001 2,399 ditulis 2,4 terjadi penyimpangan +0,011 Terlihat dari empat contoh di atas semua (setelah dibulatkan) menunjukka bilangan yang sama, padahal sebenarnya berbeda-beda. Perbedaan yang paling besar adalah pada contoh pertama dan kedua, yaitu 0,095. Ini berarti pembulatan persepuluhan dapat mengakibatkan perbedaan sepersepuluh.
Matematika 1a
19
Notasi ilmiah baku (bentuk baku) suatu bilangan adalah penulisan bilangan dengan cara
“mengalikan bilangan b dengan perpangkatan n dari 10” yang mana 1 b < 10
Contoh : 0,4519 ditulis 0,5 x 101.
0,00514 ditulis 0,5 x 102. 7111942 ditulis 7,1 x 106. 3.5 Bilangan Irasional Telah kita ketahui bahwa bilangan rasional selalu dapat dinyatakan dalam decimal yang banyak angka di belakang koma terbatas atau tidak terbatas tetapi berulang. Bilangan yang banyak angka dibelakang koma tak terbatas dan tak berulang dinamakan bilangan irasional. Contoh bilangan irasional:
1. 2,3759824097514 … (dst, tak berulang) 3. 2 = 1,414214 ….
2. 0,9763586192375 … (dst, tak berulang) 4. 3 = 1,732050 ….. Bilangan irasional dapat ditunjukkan dengan panjang segmen garis sebagai berikut:
Jika panjang ruas garis AB = BC = CD = EF = satu satuan panjang, panjang ruas garis DE = AD dan besar ukuran
ABC = ACD = ADE = EFA = 900 ,maka panjang
ruas garis AC = 2 AD = 3 AE = 6 dan AF = 5. Jelaskan mengapa demikian? Bagaimana menentukan titik F?
Gambar 3.1
Soal : Gambarkan segmen garis yang panjangnya 31, 56 dan 90 3.6 Bilangan kompleks Bilangan dapat dibedakan menjadi dua kelompok besar, yaitu bilangan nyata atau riel (real) yaitu bilangan yang mencakup bilangan rasional dan bilangan irasional, sedangkan bilangan kayal
atau imajiner (imaginary) adalah bilangan yang satuannya (-1) dan umumnya dinyatakan dengan huruf i (yang maksudnya imajiner). Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk a + bi, yang mana a dan b merupakan
bilangan nyata. Untuk mempermudah dalam memahami bilangan kompleks, bilangan kompleks dipetakan pada titik-titik dalam sistem koordinat kartesius siku-siku. Bilangan kompleks a + bi (dalam bentuk persegi panjang)ditunjukkan oleh titik yang mempunyai koordinat (a,b), yaitu suatu titik yang berkoordinat x = a dan y = b Gambar 3-1 menunjukkan bahwa
titik A = 2 + 3i titik C = 4 2i
Gambar 3.2 titik B = 4 titik D = 6i
Karena i = -1, maka i2 = (-1)2 = 1. Berikut beberapa contoh yang berkaitan dengan i.
. -9 = (9)(-1) = (9)(-1) = 3i
. -12 = (12)(-11) = (23)(-1) = 23i . i5 = (i2)2i = (-1)2i = i
. (-9)(-9) = (-9)(-9) = 81 = 9 (salah)
. (-9)(-9) = (3i)(3i) = 9i2 = 9 (benar)
A B
C
D E
F
. A
.C
D.
.B
Matematika 1a
20
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan kompleks Jika a, b, c dan bilangan nyata, maka . (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
. (a+bi) (c+di) = (ac) + (bd)I Contoh 1. Tentukan (2 + 6i) + (5 + 3i), kemudian gambar grafiknya
Secara aljabar. (2 + 6i) + (5 + 3i) = 7 + 9i Secara grafik, dua bilangan kompleks masing-masing tersebut dinyatakan oleh titik P1 dan P2 seperti ditunjukkan pada gambar Gb. 3.2 (a) di dawah. Misalkan 2 + 6i dinyatakan dengan P1 sedangkan 5 + 3i dinyatakan denh P2. Hubungkan P1 dan P2 dengan titik asal O. Jajaran genjang lengkap dengan sisi-sisi yang berdekatan OP1 dan OP2. Puncak P (titik 7 + 9i) menyatakan jumlah dari dua bilangan kompleks yang diberikan.
Gambar 3-2
2. Tentukan, (-4 + 2i) – (3 + 5i), kemudian gambar grafiknya Secara aljabar. (-4 + 2i) – (3 + 5i) = -7 – 3i Secara grafik. (-4 + 2i) – (3 + 5i) = (-4 + 2i) + (-3 – 5i). Kita sekarang memproses untuk menjumlah (-4 + 2i) dengan (-3 – 5i). Dua bilangan kompleks (-4 + 2i) dan (-3 – 5) masing-masing dinyatakan oleh titik P1 dan P2 sebagaimana ditunjukkan oleh gambar 3.2(b) diatas. Hubungkan titik P1 dan P2 dengan titik asal O. Jajaran genjang lengkap mempunyai sisi-sisi yang berdekatan OP1 dan OP2. Puncak P (titik -7 – 3i) menyatakan pengurangan (-4 + 2i) – (3 + 5i).
3. 43 +4i adalah bilangan kompleks dalam bentuk persegi panjang. Untuk mengubah bentuknya
menjadi dalam bentuk polar, ditentukan dan r. = tang-1(4/43) = 300 dan r = [(43)2 + 42)] =
8. Jadi 43 + 4i = 8(cos 300 + i sin 300). Gambarlah 4. 2 – 2i
= tang-1(-2/2) = 3150 dan r = [22 + (-2)2] = 8 = 22
Jadi 2 – 2i = 22(cos 3150 + i sin 3150). Gambarlah
3.6.1 Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar Jika koordinat titik-titik yang menunjukkan bilangan kompleks dinyatakan dalam system koordinat polar, jarak titik terhadap pusat koordinat dinamakan modulo atau harga mutlak (bisa disebut besar) bilangan kompleks, dan biasa dinyatakan dengan huruf r. Gambar 3-4 menunjukkan bilangan kompleks
Matematika 1a
21
x + yi = r(cos + i sin )
Gambar 3-4
dinamakan amplitudo atau argument bilangan nyata. Berdasarkan gambar3-4, tidak diragukan lagi bahwa besar bilangan kompleks tersebut adalah
Contoh= r (cos θ + I sin θ) Carilah bentuk polar tiap-tiap bilangan kompleks berikut. 1. 2 + 2i
Amplitudo atau argument, 011 451tan2
2tanθ
Modulo atau harga mutlak, 22822r 22
Sehingga 2 + 2i
= 00 45sini45cos22
Gambar 3.5
2. i31
Amplitudo atau argumen, 01 602
1cosθ
Medulo atau harga mutlak, 213r
Sehingga i31 = r (cos θ + i sin θ)
= 2 (cos 600 + i sin 600)
Gambar 3.6 3. -3 + 3i
θ = 1800 – 450 = 1350, 2399r ; maka 00 135sini135cos233i3
4. i31
θ = 1800 + 600 = 2400, 213r ; maka 00 240sini240cos2i31
5. i3
θ = 3600 – 300 = 3300, 213r ; maka 00 330sini330cos2i3 Gb. 3.7
r = (x2 + y2)
Contoh 3 Contoh 4 Contoh 5
.(x,y)
O.
r
x
y
Matematika 1a
22
6. Tulislah bilangan kompleks berikut dalam bentuk persegi panjang (a + bi)
a) 2 (cos 300 + i sin 300) = i3i2
13
2
12
b) 6 (cos 600 + i sin 600) = i333i32
1
2
16
c) 10 (cos 450 + i sin 450) = i2525i22
12
2
110
d) 3 (cos 900 + i sin 900) = 3(0 + i) = 3i
e) 2 (cos 1500 + i sin 1500) = i3i2
13
2
12
f) 8 (cos 2400 + i sin 2400) = i344i32
1
2
18
g) 6 (cos 3150 + i sin 3150) = i2323i22
12
2
16
h) 4 (cos 7200 + i sin 7200) = 4(cos 00 + i sin 00) = 4(1 + 0) = 4 Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Jika a, b, c dan d bilangan nyata, maka
. (a + bi) x (c + di) = (ac bd) +(ad + bc)i
. dic
bia
=
dic
bia
x
dic
dic
=
ddcc
iadbcbdac
..
)()(
=
ddcc
bdac
+
ddcc
adbc
i
. r1 (cos 1 + i sin 1) x r2 (cos 2 + i sin 2) = r1r2[cos(1 + 2) + i sin(1 + 2)]
. r1 (cos 1 + i sin 1)/ r2 (cos 2 + i sin 2) = (r1 / r2)[cos(1 - 2) + i sin(1 - 2)] Contoh: 1. Tentukan perkalian berikut kemudian nyatakan dalam bentuk persegi panjang.
a) 000000 45sini45cos1225cosi25cos320sinicos204
= i2626i22
12
2
112
b) 000000 60sini210cos1042sini42cos5sin18i18cos9
= i255i32
1
2
110
c) 000000 210sini210cos18130sini130cos680sini80cos3
= i939i2
13
2
118
2. Tentukan hasil perkalian berikut secara analitik dan grafik
a) 3i3i3
Analitik : 3i263i3i3333i3i3
Grafik : P1 = 00 30sini30cos2i3
P2 = dan,120sini120cos323i3 00
P = 0021 150sini150cos34.PP
Matematika 1a
23
Gambar. 3.8 [
3. Tentukan hasil pembagian berikut kemudian nyatakan dalam bentuk persegi panjang.
a)
2i32i2
13
2
1430sini30cos4
24sini24cos3
54sini54cos12 00
00
00
b)
00
00
00
270sini270cos22315sini315cos2
45sini45cos24
= i22i02290sini90cos22 00
c) i
i
1
322
2
323222
1
1.
1
322
ii
i
i
i
i
.3131 i
Grafik (Gb 3.9) .300sin300cos4322 00
1 iiP
.45sin45cos2 00
2 iP dan
00
2
1 255sin255cos22 iP
PP
Gambar. 3.9 3.6.2 Perpangkatan Seperti halnya pada bilangan riel, perpangkatan sama halnya perkalian berulang, dan hukum-hukum yang berlaku pada bilangan riel berlaku pula pada bilangan kompleks. Untuk menentukan hasil perpangkatan bilangan kompleks lebih mudah jika dinyatakan dengan bentuk polar, karena tinggal memangkatkan besarnya (harga mutlaknya) dan mengalikan amplitudonya. Contoh:
1. [2(cos 300 +i sin 300)]5 = 25[cos (5x300) + i sin (5x300)] = 32(cos 1500 + i sin 1500)
Perlu diingat cos = cos ( + k.3600), dan sin = sin ( + k.3600) untuk k = bilangan bulat.
2. [½(3 + i)]100 =[ ½3 + ½ i]100 = [1(cos 300 + i sin 300)]100 = 1100 (cos 100x300 + i sin 100x300) = cos 30000 + i sin 30000
= Cos (1200 + 8.3600) + i sin (1200 + 8.3600)
Matematika 1a
24
= cos 1200 + i sin 1200
= cos (1800-1200) + i sin (1800-1200) = -cos 600 + I sin 600
= -½ + ½3i Dipersilahkan menggambar bilangan yang dipangkatkan dan hasil perpangkatannya. PANGKAT-PANGKAT BILANGAN KOMPLEKS Tentukan pangkat yang ditunjukkan bilangan kompleks berikut dan nyatakan hasil-hasilnya ke dalam bentuk empat persegi panjang
a) iiii 83831630sin30cos415sin15cos421
21002200
b) 810181180sin180cos345sin45cos3 004400 iii
c) 006600 480sin480cos245sin45cos2 ii
= 00 120sin120cos64 i
ii 3323236421
21
d) iiii 0190sin90cos130sin30cos 003300
e) 003
003135sin135cos2245sin45cos21 iii
ii 22222221
21
f) 004
004180sin180cos445sin45cos21 iii
4014180sin180cos4 00 ii
g) 00100
00100
21
21 3000sin3000cos30sin30cos13 iii
= ii 3120sin120cos21
2100
3.6.3 Akar Bilangan Kompleks. Perlu disadari bahwa satu bilangan kompleks dapat diberi lambang lebih dari satu dalam
bentuk polar. Karena cos = cos ( + k.3600), dan sin = sin ( + k.3600) untuk k = bilangan bulat.
Contoh: 2 23i = 2(cos 3000 +i sin 3000) untuk k = 0 = 2(cos 6600 +i sin 6600) untuk k = 1
= 2(cos 600 + isin 600) untuk k = 1
= 2(cos 4200 +i sin 4200) untuk k = 2 Akibat perbedaan nilai k, banyak suatu bilangan sama dengan pangkat akar tersebut. . akar pangkat dua suatu bilangan ada dua bilangan . akar pangkat tiga suatu bilangan ada tiga bilangan . akar pangkat empat suatu bilangan ada empat bilangan .dan seterusnya. Contoh:
1. . 38 = 38(cos 00 + i sin 00)
= 38[cos (00 + k.3600) + i sin (00 + k.3600)] = 2 cos [(k.3600)/3] + 2 sin [(k.3600)/3]. = 2 untuk = 0, 3, 6, 9, …
= 2 (cos 1200 + i sin 1200) = 1 + 3i untuk k = 1, 4, 7. 10, ….
= 2 (cos 2400 + i sin 2400) = 1 + 3i untuk k = 2, 5, 8, …
2.
2
36060sin
2
36060cos460sin60cos16
000000 k
ik
i
(Gb. 3.9)
Matematika 1a
25
00
1 30sin30cos40 ikz = ii 2323421
21
00
2 210sin210cos41 ikz = ii 2323421
21
Z2 (k = 2) = 4 (cos(780/2) + i sin (780/2) = 4 (cos 390 + I sin 390) = 4 (cos 30 + I sin 30)
= i21
21 34
= i232
Gambar. 3.9
3. 5
36050sin
5
36050cos250sin50cos32
0000
5 00 ki
ki
(Gb. 3.10)
00
1 10sin10cos20 ikz
00
2 82sin82cos21 ikz
00
3 154sin154cos22 ikz
00
4 226sin226cos23 ikz
00
5 298sin298cos24 ikz
Gamba. 3.10 Catatan bahwa akar-akar z1, z2, z3. z4, z5 terletak pada suatu lingkaran yang jari-jarinya (2)
adalah modulo tiap-tiap bilangan kompleks dan sudutnya adalah 00
725
360
4.
3
3600sin
3
3600cos20sin0cos888
000003 3
1
31 k
ik
i (Gb. 3.11)
20120sin0cos20 00
1 iikz
iiikz 3132120sin120cos2121
2100
2
Matematika 1a
26
iiikz 3132240sin240cos2221
2100
3
Gambar. 3.11
5. 3
360180sin
3
360180cos180sin180cos111
0000003 3
13
1 ki
ki
iikz 360sin60cos021
2100
1
1180sin180cos1 00
2 ikz
iikz 3300sin300cos221
2100
3
AKAR-AKAR BILANGAN KOMPLEKS Perolehan semua akar-akar yang ditunjukkan (z1, z2 dan seterusnya) dan dinyatakan secara grafik.
6. Carilah semua akar-akar yang ditunjukkan. a. Keempat akar 1 b. Ketiga akar 1- i c. Ketiga akar – 8i
d. Keempat akar i322
i. 4
3600sin
4
3600cos0sin10cos11
00000 4
1
41 k
ik
1010sin0cos0 00
1 iikz
iiikz 090sin90cos1 00
2
1180sin180cos2 00
3 ikz
1270sin270cos3 00
4 ikz
ii. 3
360315sin
3
3603152315sin1315cos21
0000
6003/1 31 k
ik
i
0061 105sin105cos20 ikz
0062 225sin225cos21 ikz
0063 345sin345cos22 ikz
Matematika 1a
27
iii.
3
360270sin
3
360270cos2270sin1270cos881
0000003/1 3
1 ki
k
iiikz 20290sin90cos20 00
1
iiikz 332210sin210cos2121
2100
2
iiikz 332330sin330cos2221
2100
3
iv.
4
36060sin
4
36060cos260sin160cos4322
000000
4/1 41 k
ik
i
00
1 15sin15cos20 ikz
00
2 105sin105cos21 ikz
00
3 195sin195cos22 ikz 00
4 285sin285cos23 ikz
Soal Latihan 1. Gambarkan bilangan kompleks dalam bentuk persegi panjang berikut kemudian nyatakan
menjadi dalam bentuk polar a.
2. Gambarkan bilangan kompleks dalam bentuk polar berikut kemudian nyatakan menjadi dalam
bentuk persegi panjang a.
Matematika 1a
28