manipulasi aljabar

16

Upload: isone-rachman

Post on 10-Jul-2015

2.409 views

Category:

Documents


33 download

TRANSCRIPT

Kompetensi Dasar;

2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang

berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat

Indikator:

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan

melengkapkan bentuk kuadrat.

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara rumus

ABC

Menentukan sumbu simetri, titik puncak, sifat definit positif atau

negatif fungsi kuadrat dengan melengkapkan bentuk kuadrat.

Bentuk umum persamaan kuadrat

ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c, Є R dan a ≠ 0.

x =disebut peubah atau variabel

a =disebut koefisien x2

b =disebut koefisien x

c =disebut konstanta (suku tetap)

Menyelesaikan persamaan kuadrat ax2+bx+c= 0 berarti mencari

nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Nilai x yang

memenuhi persamaan kuadrat tersebut akar atau penyelesaian dari

persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat dapat di tentukan akar-akarnya dengan cara:

1. faktorisasi

2. melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

3. menggunakan rumus

Dalam penyelesaian persamaan kuadrat dengan faktorisasi, menggunakan

sifat perkalian berikut.

Penerapannya adalah dengan mengubah (memfaktorkan) bentuk

persamaan ax2+bx+c=0 menjadi bentuk (ax+a) (x+β)=0, lalu

menyelesaikan bentuk terakhir menggunakan sifat perkalian. Masalah kita

sekarang adalah menemukan cara menentukan a dan β yang bersesuaian.

Kita bagi menjadi 2 kasus:

1.kasus a=1

2.Kasus a≠1

Jika ab=0, maka a=0 atau b=0.

Bentuk umum persamaan kuadrat menjadi ax2+bx+c =0 di atas menjadi

bentuk (ax+a) (x+β)=0.

ax2+bx+c =(x+a) (x+β)

=x2 + ax+ βx+ aβ

=x2 + (a+β)x + aβ

Menurut persamaan dua bentuk kuadrat, koefisien variabel x yang

sederajat di ruas kiri dan ruas kanan sama hanya jika a+β=b, dan aβ=c

Kita dapat memfaktorkan bentuk ax2+bx+c=0 menjadi bentuk (ax+a)

(x+β)=0 jika kita dapat menemukan pasangan (a,β) yang memenuhi

a+β=b dan aβ=c.

Pada kasus a≠1, persamaan ax2+bx+c=0 dapat disederhanakan x2+b∕a+c∕a=0, atau

x2+dx+e=0, dengan d=b∕a dan e=c∕a. Selanjutnya diselesaikan seperti kasus 1.

Seringkali bilangan d dan e muncul sebagai pecahan sehingga sulit menentukan a

dan β yang bersesuaian. Oleh karena itu bentuk ax2+bx+c=0 diubah menjadi bentuk

a(x+a∕a) (x+β∕a), dan mencari a dan β yang bersesuaian.

ax2+bx+c =a(x+a⁄a) (x+β⁄a)

=(ax+a) (x+β⁄a)

=ax2 + βx + ax + aβ⁄a

=ax2 + (a+β)x + aβ⁄a

Menurut kesamaan dua bentuk kuadrat haruslah b=a+β dan c=aβ⁄a atau ac=aβ

Kita dapat memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c = 0 menjadi bentuk

a(x+a⁄a) (x+β⁄a) jika kita dapat menemukan pasangan (a, β) yang

memenuhi a+ β=b dan a β=ac.

Tentukan nilai-nilai a dan β yang memenuhi

a. a + β=2 dan a β=1

b. a + β=-7 dan a β=12

c. a + β=11 dan a β=18

d. a + β=5 dan a β=-84

Jawab:

a. a + β=2 dan a β=1 a=1 dan β=1

b. a + β=-7 dan a β=12 a=−3 dan β=-4

c. a + β=11 dan a β=18 a=9 dan β=2

d. a + β=5 dan a β=-84 a=12 dan β=-7

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan bentuk

kuadrat sempurna artinya mengubah persamaan kuadrat

ax2+bx+c=0 menjadi bentuk (x+p)2=q, dengan q≥0. sifat utama

yang digunakan dalam melengkapkan kuadrat adalah

Untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna, seringkali kita perlu

menambahkan sebuah konstanta pada kedua ruas persamaan.

(x+d)2 = x2+2dx+d2 Tunjukkan!

ax2 + bx+c =0

↔ x2 + b⁄a x + c⁄a =0

↔ x2 + b⁄a x =-c⁄a

↔ x2x + b⁄a x + b2⁄4a2 = -c⁄a + b2⁄4a

2

↔ (x+b⁄2a)2 = b2-4ac

4a2

↔ x+b⁄2a = ±√b2-4ac =±√b2-4ac

√4a2 2a

↔ x = -b⁄2a ± 1⁄2a√b2 - 4ac

= -b±√b2 – 4ac

2aMaka sekarang kita telah mendapatkan dua akar persamaan kuadrat, yaitu;

x1 = -b+√b2 - 4ac dan x2 = -b-√b2 - 4ac

2a 2a

Bagi kedua ruas dengan a

Tambahkan kedua ruas dengan −c⁄a

Tambahkan kedua ruas dengan (½ x koefisien x)2

Selesaikan persamaan kuadrat x2+2x-8=0 dengan melengkapkanbentuk kuadrat sempurna.

Jawab;

x2 + 2x – 8 =0

↔x2 + 2x =8

↔x2 + 2x + (1)2 =8 + (1)2

↔x2 + 2x + 1 =9

↔(x + 1)2 =9

↔x + 1 =±3

↔x + 1 =3 V x + 1=-3

↔X =2 V x + 1=-4

Penyelesaiannya adalah x =-4 atau x =2

Pindahkan konstanta ke ruas kanan

Tambahkan kedua ruas dengan (½

koefisien x)2

Ingat;

Untuk melengkapkan

bentuk kuadrat sempurnah

tambahkan (½ koefisien x)2

pada kedua ruas

persamaan setelah

konstanta dipindah ke ruas

lain

x2 + 2x – 8 =0

a=1, b=2 dan c=-8

x= -b ± √b2c – 4ac

2a

x= -(2) ±√(2)2 – 4(1)(-8)

2(1)

x= -2 ±√4 + 32

2

x= -2 ±√36

2

x= -2 ± 6

2

x1= -2 + 6 atau x2= -2 – 6

2 2

x1= 4 x2= -8

2 2

x1= 2 x2= -4

Penyelesaiannya adalah x= -4 atau x= 2

Titik puncak dan persamaan sumbu simetri dari fungsi kuadrat dalam bentukpuncak y= a(x – h)2 + k dapat ditentukan tannpa menggambar sketsa grafiknya,

seperti berikut:

Koordinat titik puncak atau titik ekstrim adalah titik (h,k)

Sumbu simetri adalah x=h

Nilai ekstrim atau nilai puncak adalah yekstrim=k

Jika a > 0, para bola ke atas sehingga jenis titik ekstrimnya adalah

titik minimum dan jenis nilai ekstrimnya adalah nilai minimum (diberi

lambang ymin)

Jika a < 0, para bola ke bawah sehingga jenis titik ekstrimnya

adalah titik maksimum dan jenis nilai ekstrimnya adalah nilai maksimum

(diberi lambang ymaks)

a > 0, grafik y= ax2 berupa parabola yang terbuka.

a < 0, grafik y= -ax2 berupa parabola yang terbuka kebawah.

Rumus persamaan sumbu simetri x=-b∕2a

Rumus titik puncak/ titik balik=-b,-(b2–4ac)

2a 4a

Jika a > 0 dan D < 0 = definit positif

Jika a < 0 dan D > 0 = definit negatif

Tentukanlah koordinat titik puncak, persamaan sumbu simetri, dan nilai ekstrim darifungsi kuadrat berikut;

f(x)=X2 – 3X + 2

a= 1, b=-3, c=2

Sb simetri = -b∕2a

= - (-3)

2 (1)

= 3∕2= 11∕2

T.Puncak = -b,-(b2–4ac)

2a 4a

=(11∕2, ,-((-3)2–4(1)(2))

4a

=(11∕2, ,-(9 – 8)

4a

= (11∕2,n –(¼)

Definit positif karena a > 0 dan D < 0

Thankz

&

Good bye!!...