BAB 5MAKSIMISASI LABA

5.1. PENDAHULUAN

Bab ini akan membahas kasus maksimisasi laba untuk perusahaan dalam pasar kompetisi ( compotitive firm ) untuk pasar input dan outputnya. Perusahaan akan memilih tingkat output ( produk yang dihasilkannya ) untuk memaksimumkan labanya. Pemilihan tingkat output laba maksimum juga akan menentukan kombinasi input – input yang akan digunakan untuk memproduksi output tersebut.

Competitive firms merupakan perusahaan – perusahaan yang sifatnya menerima harga ( pricetakers ) yang ditentukan oleh mekanisme pasar. Pasar berkompetisi terdiri dari pelaku – pelaku pasar yang jumlahnya cukup banyak dan mempunyai informasi sempurna. Oleh karena itu akan sangat beralasan jika semua perusahaan akan menerapkan harga pasar yang sama untuk produk yang sejenis. Jika perusahaan yang menetapkan harga lebih tinggi, maka perusahaan ini akan ditingglakan oleh langganannya, karena langganan mempunyai informasi tentang harga pasar yang lebih rendah dan tersedia dari perusahaan lain yang menjual dengan harga pasar tersebut. Akibatnya perusahaan dapat menetapkan harga diluar harga pasar dan hanya dapat menerima harga pasar ( price takers ). Karena tidak dapat mempengaruhi harga, untuk memaksimumkan labanya, perusahaan akan menentukan tingkat input dan output optimalnya. Bab ini juga akan membahas fungsi permintaan dari tingkat input optimal dan fungsi penawaran dari output dari optimalnya.

Maksimisasi laba merupakan proses maksimisasi tidak dengan batasan ( unconstrained maximization ). Pembaca yang membutuhkan konsep dan teori tentang optimasi tanpa batasan ini dapat berkonsultasi terlebih dahulu di bab 2.Contoh proses maksimisasi dengan batasan ( constrained maximization ) adalah maksimisasi utiliti yang akan dibahas di bab 7.

5.2. MASIMISASI LABA

Laba adalah pendapatan dikurangi dengan biaya total. Pendapatan perusahaan diperoleh dari menjual produknya sebesar Y dengan harga p. Biaya total yang dikeluarkan perusahaan adalah biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi output Y, yaitu sebesar jumlah faktor input yang digunakan Xi dikalikan dengan harga faktor input tesebut, wi. Dengan demikian, laba dapat dirumuskan :

= p.Y – wi . Xi – … – wn . Xn (5-1)

Output Y merupakan fungsi produksi f(X1,…,Xn), sehingga rumus laba dapat dituliskan :

= p.f(X1,…,Xn) – wi . Xi –…– wn . Xn (5-2)

Untuk kasus dua faktor input X1 dan X2, fungsi sasaran laba dapat dituliskan :

= p. f(X1.X2) – w1.X1 – w2..X2 (5-3)

Turunan pertama kondisi perlu proses maksimisasi laba adalah :

= p. – w1 = 0 (5-4a)

= p. – w2 = 0 (5-4b)

Kondisi turunan pertama ini menunjukkan bahwa nilai dari produk marjinaluntuk masing – masing faktor ( p . fi ) harus sama dengan harga faktor inputnya ( wi ). Kondisi turunan pertama ini juga menunjukkan bahwa slope dari garis isoprofit sama dengan slope dari Isoquant ( fungsi produksi ) seperti tampak di gambar 5.1.

Gambar 5.1. Laba maksimum terjadi pada persinggangan isoprofit dengan isoquant.

Turunan kedua kondisi perlu untuk maksimisasi laba untuk kasus dua faktor adalah :

11 < 0 (5-6a)22 < 0 (5-6b)11 22 - 2 > 0 (5-6c)

Karena ij = p.fij dan p adalah nilai positip, maka tanda ij akan sama dengan tanda fij, sehingga (506a), (5-6b) dan (5-6c) dapat juga dituliskan sebagai :

X1

fX1

X2

fX2

Y

w

x/p

x=p.Y – w.X

Y=f(x)

isoquat

isoprofit

Slope=w/p

12

f11 < 0 (5-7a)f22 < 0 (5-7b)f11 f22 – f12 > 0 (5-7c)

Untuk kasus n-faktor input, turunan pertama kondisi perlu adalah sebagai berikut :

= p. – wi = 0 (5-8a)

atau

= p.fi – wi = 0 (5-8b)

untuk i = 1 sampai dengan n.

Kondisi cukup turunan kedua untuk kasus n-faktor adalah matrik Hessian harus bernilai negatif semidefinite atau principal minor determinant matrik Hessian mempunyai tanda yang bergantian atau naturally ordered principal minor determinant berganti tanda.

5.3. FUNGSI PERMINTAAN FAKTOR INPUT

Fungsi yang memberikan pilihan optimal dari faktor input disebut dengan fungsi permintaan faktor input ( factor demand function ). Fungsi permintaan faktor input dapat diperoleh dari turunan pertama sama dengan nol dari maksimisasi laba.

5.4. FUNGSI PENAWARAN OUTPUT

Fungsi yang memberikan pilihan optimal dari output yang merupakan fungsi dari harga – harga faktor input ( wi ) disebut dengan fungsi penawaran output ( output supplay function ). Fungsi Y merupakan fungsi produksi yang merupakan fungsi dari faktor – faktor input, yaitu Y = f(X1,…,Xn). Untuk tingkat optimal maka Xi adalah Xi, sehingga fungsi produksi optimal adalah Y = f(X1,…,Xn). Nilai Y menunjukkan tingkat output yang menghasilkan profit maksimum. Dengan mensubtitusikan nilai X i = Xi(w1,…,wn,p) kedalam Y = f(X1,…,Xn), maka akan didapatkan :

Y = f{X1(w1,…,wn,p),…,Xn(w1,…,wn,p)}

maka akan didapatkan :

Y = Y(w1,…,wn,p) (5-9)

Persamaan ini adalah fungsi penawaran output. Fungsi penawaran output ini menunjukkan hubungan antara output dengan harga – harga faktor input (w1,…,wn) dan harga dari outputnya (p).

2

X2

fX2

5.5. FUNGSI LABA MAKSIMUM

Fungsi laba maksimum dapat dicari dengan mensubstitusikan nilai – nilai optimal ke dalam fungsi sasaran laba sebagai berikut :

= p.Y(w1,K , wn,p) – w1.X*(w1,K , wn,p)

– K – wn.Xn(w1,K , Wn,p) (5-10)

Jika fungsi laba maksimum yang diketahui, maka fungsi permintaan faktor input, X(wi,p) dan fungsi penawaran output, Y(wi,p) akan lebih mudah didapatkan dengan menggunakan Hotelling’s lemma.

Hotelling’s Lemma

Xi(w1,K , wa,p)= (5-11)

Y(w1,K , wa,p)= (5-12)

Hotelling’s Lemma sebenarnya diperoleh dari turunan-turunan pertama dari fungsi laba di (5-10).

5.6 PROPERTI DARI FUNGSI LABA MAKSIMUM

Fungsi laba maksimum mempunyai properti sebagai berikut ini.1. Laba tidak menurun terhadapat p, yaitu jika p sama atau naik, maka laba tidak akan

turun. Properti ini dapat dibuktikan sebagai berikut ini. Jika w dan p tetap, maka yang menentukan laba adalah p.Y. Jika Y’ > Y, maka p’ Y > p.Y Ini terbukti bahwa Y’ > Y tidak akan menurunkan laba, yaitu laba baru p’Y paling tidak sama atau lebih besar dari p.Y.

2. Laba tidak menaik terhadap w, yaitu jika w sama atau menurun, maka laba tidak akan menaik. Pembuktian properti ini dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti di properti 1.

3. Convex terhadap w1

1

w1

p1

w1

(w0,w0 ,p0)1 2

(w1,w0,p0,X0 ,X0 )2 1 2

(w0,w0 ,p0)1 2

w0

1

Gambar 5.2. Fungsi laba maksimum Convex terhadap w.

Properti ini dapat dibuktikan sebagai berikut ini. Misalnya harga – harga faktor input dan harga output adalah w0.w0 dan p0 untuk kasus dua faktor input X1 dan X2. Analisis dimulai dari titik laba maksimum (w0 , w0,p). Pada titik optimal ini X0 = X*(w0 , w0 , p) dan X0 = X*(w0 , w0 , p). Dengan mengambil w0 dan p tetap, tetapi w1 bervariasi, efek terhadap laba akan digambarkan. Kasus pertama adalah dengan mengambil X1 dan X2

konstan, yaitu pada nilai awalnya sebesar X0 dan X0 . Fungsi laba ini akan berbentuk :

(w1,w0,p0,X0,X0)=p0f(X0,X0)-w1 X0 – w 0 X0.

Fungsi ini menunjukkan laba akan berubah sesuai dengan perubahan w1 dengan faktor – faktor lain w2 ,p0 , X1 dan X2 konstan. Fungsi ini menunjukkan garis lurus dengan intercept sebesar p0f(X0 , X0 – w0 X0) dan slope menurun sebesar – X0 seperti terlihat di gambar 5.2. Sekarang pertimbangkan kasus yang kedua, yaitu fungsi laba maksimum :

(w1,w0,p0)=p0f(X*,X*)-w1,X* - w0 X*

Fungsi kedua ini menunjukkan laba maksimum akan berubah sesuai dengan perubahan w1 dengan faktor – faktor yang konstan hanya w0 dan p0. Nilai – nilai X0 dan X0 akan berubah menjadi X* dan X* untuk mendapatkan laba maksimum . Pada titik awal. Yaitu w0 , kedua fungsi menghasilkan nilai laba optimal , sehingga kedua fungsi bersinggungan di titik optimal ini, untuk titik w1 w0 , faktor input yang tetap sebesar X0

dan X0 adalah tidak optimal, sehingga dihasilkan laba yang tidak optimal. Jika faktor input ikut berubah optimal sebesar X* dan X* , maka akan dihasilkan laba yang maksimum, sehingga (w1,w0,p0)>(w1,w0,p0 ,X0,X0). Nilai yang lebih besar dari ditunjukkan oleh kurva yang berada diatas kurva dan kurva berbentuk convex terhadap w1.

4. Convex terhadap p.

1 2

1 2 1 2 1 1

2 1 2 2 2

1 2

1 2 21 2 21 2

0 0 0

1 2 2 2 1

2 1 2 1 2 2

2 2 1

21

1 1

21

2

2 1 2 2

Properti ini dapat dibuktikan seperti pembuktian properti convex terhadap w sebelumnya.

5.7. PROPERTI DARI FUNGSI PERMINTAAN FAKTOR INPUT

Fungsi permintaan faktor input maksimal laba X* ( w1,…,wn,p) mempunyai properti homogeneous of degree zero terhadap p dan w. properti ini dapat dibuktikan sebagai berikut ini. Misalnya untuk kasus dua buah faktor input, fungsi sasaran laba dapat ditulis :

= p.f(X1,X2) – w1.X1 – w2 . X2

Kondisi perlu turunan pertama adalah (lihat (5-5a) dan (5-5b)) :

p.f1 – w1 = 0 (5-13a)p.f2 – w2 = 0 (5-13b)

Dengan menyelesaikan kedua persamaan ini, maka akan diperoleh fungsi permintaan X1

*(w1,w2,p) dan X2*(w1,w2,p). Kalikan kedua persamaan di atas dengan t untuk p dan w

sebagai berikut :

t.p.f1 – t.w1= 0t.p.f2 – t.w2 = 0

atau :t(p.f1 – w1) = 0 (5-14a)t(p.f2 – w2) = 0 (5-14b)

p

(w0,w0 ,p0)1 2

(w0,w0,p0,X0 ,X0 )2 1 2

(w0,w0 ,p)1 2

p0

1

1

i

Penyelesaian dari persamaan ini adalah fungsi permintaan X1*(tw1,tw2,tp) dan

X2*(tw1,tw2,tp). Secara matematis, nilai dari persamaan (5-13a) adalah sama dengan (5-

14a) dan (5-13b) adalah sama dengan nilai (5-14b), sehingga :

X*(w1,w2,p)=X*(tw1,tw2,tp)X*(w1,w2,p)=X*(tw1,tw2,tp)

Hasil ini menunjukkan bahwa fungsi permintaan faktor input mempunyai properti homogeneous of degree 0 terhadap w dan p.

5.8. PROPERTI DARI FUNGSI PENAWARAN OUTPUT

Fungsi penawaran output Y*(w1,…,wn,p) mempunyai properti homogeneous of degree zero terhadap w dan p. Properti ini dapat dibuktikan seperti membuktikan properti homogeneous of degree zero terhadap w dan p untuk fungsi permintaan input (lihat bab 5.7).

5.9. HUBUNGAN MAKSIMISASI LABA DENGAN MINIMISASI BIAYA

Perbedaan antara model minimisasi biaya dengan maksimisasi laba terletak ditingkat output. Untuk model maksimisasi laba, output ditentukan secara endogenous, sedang untuk minimisasi biaya, output adalah suatu parameter yang masuk kedalam model. Misalnya adalah fungsi permintaan input. Jika nilai parameter Y di model minimisasi biaya X*(w1,…,wn,Y) diganti dengan Y* yang merupakan tingkat output maksimisasi laba, hasilnya adalah fungsi di permintaan faktor input maksimisasi laba X*(w1,…,wn,p).

Hubungan ini dapat dituliskan dalam suatu identiti yang penting sebagai berikut :

X*(wi,Y*(wi,Y*))=X*(wi,p) (5-15)

Notasi :

X* = fungsi permintaan faktor input minimisasi biaya (cost).X* = fungsi permintaan faktor input maksimisasi laba (profit).

BAB 4FUNGSI BIAYA

1

2

i

i

ic ip

ic

ip

4.1. PENDAHULUAN

Bab ini akan membahas fungsi biaya. Fungsi biaya yang diminimumkan dengan kekangan fungsi produksinya akan menghasilkan fungsi permintaan faktor input. Properti – properti dari fungsi biaya dan fungsi permintaan faktor input juga akan dibahas. Suatu lemma yang disebut dengan Sheppard’s lemma juga akan dibahas. Dengan menggunakan lemma ini, fungsi permintaan faktor input akan lebih mudah diperoleh jika fungsi biaya minimum diketahui.

Fungsi biaya dapat terdiri dari fungsi biaya jangka pendek dan fungsi biaya jangka panjang. Hubungan antara keduanya juga akan dibahas.

4.2. MINIMISASI BIAYA

Misalnya untuk memproduksi suatu output diperlukan dua buah faktor input, yaitu tenaga kerja (L) dengan upah per-unitnya sebesar w dan modal kerja (K) dengan biaya modal sebesar r per Rp 1,-. Biaya total adalah sebesar C = w . L + r . K. Dengan biaya total (C) dan harga input (w,r) tetap, kombinasi faktor – faktor input K dan L dapat digambarkan dalam suatu garis isocost. Jika biaya total bervariasi, sedang r dan w tetap, garis isocost akan bergeser secara paralel. Jika harga input r dan w tetap, maka besarnya biaya total akan tergantung dari kombinasi pemakaian jumlah faktor input K dan L.

Kombinasi pemakaian K dan L tergantung dari fungsi produksinya. Jika fungsi produksi adalah Y1, maka biaya total adalah sebesar TC1. Jika fungsi produksi adalah Y2, maka biaya total adalah sebesar TC2 dengan kombinasi faktor input yang digunakan adalah K2* dan L2*. Kurva yang menggambarkan kombinasi faktor – faktor input yang digunakan untuk menghasilkan output tertentu disebut dengan production isoquant. Biaya total yang terjadi hasil persinggungan isocost dan isoquant merupakan biaya total minimum, yaitu biaya ekonomis terendah untuk memproduksi output tertentu.

K

L

K2*

K1*

TC1/r

TC2/r

L1* L2* TC1/w TC2/w

Y2

Y1

isoquant

isocost

Gambar 4.1. Isocost dan isoquant.

Minimisasi biaya total untuk n faktor input produksi selanjutnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

Minimumkan : C = wi . Xi (4-1) i=l

Kekangan : f(X1,…,Xn) = Y (4-2)

Notasi :

C = biaya total (total cost).wi = faktor harga input ke-i.Xi = faktor input ke-I yang digunakan.Y = jumlah output.

Misalnya akan digunakan dua buah faktor input, yaitu X1 dan X2 di dalam proses produksi. Karena permasalahan minimisasi biaya ini mempunyai kekangan ( constrained minimization ), maka untuk penyelesaiannya akan digunakan metode Lagrange. Fungsi Langrange dapat ditulis sebagai berikut :

= w1 X1 + w2 X2 + (Y- f(X1,X2)) (4-3)

Turunan pertama sama dengan nol ( kondisi perlu untuk optimasi ) terhadap X1, X2 dan adalah sebagai berikut :

n

= 1 = w1 – f1 = 0 (4-4a)

= 2 = w2 – f2 = 0 (4-4b)

= 2 = Y – f(X1, X2) = 0 (4-4c)

Keterangan :

f1 = dan f2 =

Dengan membagi persmaan (4-4a) dengan (4-4b) akan didapatkan :

w1 - f1 = 0w2 - f2 = 0

atau

w1 = f1

w2 = f2

dan akan didapatkan :

w1 f1

w2 f2 (4-5)

Persamaan (4-5) menunjukkan titik kombinasi faktor input yang menghasilkan biaya minimal yang terletak diantara persingunggan fungsi produksi ( isoquant ) dengan

fungsi biaya ( isocost ). Slope dari isoquant di suatu titik adalah sebesar - dan isocost

yang merupakan suatu garis lurus mempunyai slope sebesar - . Kondisi slope yang

sama ini menunjukkan bahwa minimum dicapai pada marginal rate of technical substitution ( menunjukkan kesediaan perusahaan untuk menukar faktor – faktor secara

internal ) sebesar - sama dengan rasio harga input ( menunjukkan kesempatan yang

tersedia di pasar secara external untuk menukar input ) sebesar - .

Karena proses ini adalah proses minimisasi yang mempunyai kekangan, kondisi cukup turunan kedua untuk interior harus dipenuhi, yaitu, naturally ordered border – preserving principal minor determinant untuk matrik Hessian harus bertanda negatip. Turunan – turunan keduanya adalah sebagai berikut :

= - f11 = - f12 = - f1

= - f 21 = - f22 = -f2

X1

X2

X

fX1

fX2

=

f1

f2

w1

w2

f1

f2

w1

w2

2

X2 1

2

X1 X2

2

X1 X

2X2 X1

2

X22

2X2 X2

X X1 2X X2

2X2

= - f1 = - f2 = 0

Naturally ordered border – preserving principal minor determinant untuk matrik Hessian harus bernilai negatip sebagai berikut :

- f11 - f12 -f1

H = - - f22 -f2 <0 (4-5)-f1 -f2 0

4.3. FUNGSI PERMINTAAN FAKTOR INPUT

Dari hasil proses minimisasi biaya total akan didapatkan nilai – nilai optimal pemakaian faktor – faktor input. Nilai optimal ini merupakan permintaan ( demand ) dari perusahaan terhadap faktor – faktor input tersebut. Nilai optimal faktor – faktor input ini tergantung dari harga input dan tingkat produksinya. Dengan demikian fungsi permintaan faktor – faktor input adalah fungsi dari harga input dan tingkat produksinya dan dapat dinyatakan sebagai :

Xi* = Xi* (w1,…,wn,Y). (4-7)

Fungsi ini disebut juga dengan fungsi permintaan faktor terkondisi, karena proses minimisasi biaya mempunyai kondisi kekangan dari fungsi produksi.

Contoh 4.1 :

Berikut ini adalah fungsi produksi Cobb-Douglas Y = X11/5 X2

4/5. Masalah minimisasi biaya total yang menggunakan dua buah faktor input X1 dan X2 dapat dinyatakan :

Minimumkan : C = w1 . X1 + w2 . X2

Kekangan : Y = X11/5 X2

4/5

Fungsi Lagrange adalah :

= w1 . X1 – w2 . X2 + (Y- X11/5 X2

4/5)

Turunan pertama sama dengan nol ( kondisi perlu untuk optimasi ) terhadap X1, X2 dan adalah sebagai berikut :

= 1 = w1 - (1/5 X1-4/5 X2

4/5) = 0 (4-8a)

= 2 = w2 - (1/5 X11/5 X2

-1/5) = 0 (4-8b)

= 2 = Y – X11/5 X2

4/5) = 0 (4-8c)

X1

X2

X

Dengan membagi persamaan (4-8a) dengan (4-8b) akan didapatkan :

w1 (1/5 X1-4/5 X2

4/5) 1 X2.w 1 (1/5 X1

1/5 X2-1/5) 4 X1.

Besarnya X1 dan X2 dapat diperoleh :

X1 = (4-9a)

X2 = 4 (4-9b)

Substitusikan nilai (4-9a) ke (4-8c) sehingga diperoleh :

Y – ( )1/5 X24/5 = 0

Y – ( )1/5 X2 = 0

X2*(w1,w2,Y) = Y ( )-1/5 = Y (4 )1/5 = 1,32 Y ( )1/5. (4-10a)

Sedang untuk mendapatkan besarnya X1*, dengan cara yang sama substitusikan (4-9b) ke (4-8c) sehingga diperoleh :

Y – X11/5 (4 )4/5 = 0

Y – (4 )4/5 X1 = 0

X1*(w1,w2,Y) = Y (4 )-4/5 = Y ( )4/5 = 0,33 Y ( )4/5. (4-10b)

4.4. FUNGSI BIAYA TOTAL MINIMUM

Di Contoh 4.1. telah didapatkan besarnya faktor – faktor input yang digunakan untuk proses produksi dengan biaya total yang minimum. Fungsi biaya total minimum ini dapat diperoleh engan mensubstitusikan faktor – faktor input optimal, yaitu X1*(w1,w1,Y) dan X2*(w1,w1,Y) ke dalam fungsi sasarannya. Fungsi sasaran biaya total adalah :

C = w1 . X1 + w2 . X2

Dengan mensubstitusikan X1*(w1,w2,Y) = 0,33 Y ( )4/5 dan X2*(w1,w2,Y) = 1,32 Y( )1/5

ke dalam fungsi sasaran biaya total akan didapatkan fungsi biaya total minimum sebagai berikut :

C* = w1. 033 Y ( )4/5 + w2 . 1,32 Y ( )1/5

= =

14

X2.w2

w1

X1.w1

W2

14

X2.w2

w1

14

w2

w1

14

w2

w1

w1

w2

w1

w2

X1.w1

w2

w1

w2

14

w2

w1

w1

w2

w2

w1

w2

w1

w1

w2

w2

w1

w1

w2

= 0,33 Y . w11/5 . w2

4/5 + 1,32 Y . w24/5 . w1

1/5

= (0,33 + 1,32) (w11/5 . w24/5 . Y)= 1,65 w1

1/5 . w24/5 . Y.

Dengan demikan fungsi biaya total minimum merupakan fungsi dari harga faktor input (wi) dan tingkat output (Y) dan dapat dinyatakan sebagai :

C* = C*(w1,…,wn,Y).

Jika yang diketahui adalah fungsi biaya total minimum ini dan besarnya faktor – faktor input optimal akan dicari, maka jalan pintas yang dapat dilakukan adalah dengan menggunakan Sheppard’s lemma.

Sheppard’s lemma (untuk fungsi biaya)

Besarnya faktor – faktor input optimal adalah turunan pertama terhadap faktor input bersangkutan dari fungsi biaya total minimum sebagai berikut :

Xi*(w1,…,wn, Y) = (4-11)

Dengan fungsi biaya total minimum sebagai berikut :

C*(w1, w2, Y) = 1,65 w11/5 . w2

4/5 . Y.

dan dengan menggunakan Sheppard’s lemma, besarnya faktor – faktor input dapat ditentukan :

X1*(W1,W2,Y) = = 1/5 . 1,65 w1-4/5 . w2

4/5 . Y

= 0,33 Y ( )4/5.

X2*(W1,W2,Y) = = 4/5 . 1,65 w11/5 . w2

-1/5 . Y

= 1,32 Y ( )1/5.

4.5. PENGGANDA LAGRANGE

Dari persamaan (4-8a) dan (4-8b) dapat diperoleh nilai dari pengganda Langrange ( Langrange multiplier ) yang diberi simbol sebagai berikut :

C*(w1,…, wn, Y)wi

C*(w1,w2, Y)wi

w2

w1

w2

w1

C*(w1,w2, Y)wi

= w1 . 5 ( )4/5

= w1 . 5 ( )4/5

*(w1,w2,Y) = 5 ( )4/5 w11/5 w2

4/5 = 1,65 w11/5 w2

4/5.

*(w1,w2,Y) adalah pengganda Lagrange ( Lagrange multiplier ). Variabel ini mempunyai interpretasi ekonomi yang penting, yaitu menunjukkan fungsi biaya marginal. Berikut ini interpretasi dari *(w1,w2,Y).

Dari persamaan (4-4a) dan (4-4b) dapat diperoleh nilai pengganda Langrange sebagai berikut :

* = = (4-12)

w1 merupakan harga per-unit faktor input. f1 merupakan turunan pertama fungsi produksi terhadap faktor input i, sehingga f1 adalah besarnya tambahan output karena kenaikan

per-unit faktor input atau . Dengan demikian adalah atau atau

MC ( marginal cost ).

Persamaan (4-12) juga menunjukkan bahwa pada titik biaya minimum, MC untuk tiap – tiap titik faktor input bernilai sama. Ini berarti bahwa penambahan faktor input X1

atau X2 atau Xn akan mengakibatkan besarnya kenaikan biaya bersih untuk tiap – tiap faktor input adalah sama.

Kembali ke persamaan (4-4a) dan (4-4b). Kalikan persamaan (4-4a) dengan X1

dan persamaan (4-4b) dengan X2 dan kemudian gabungkan keduanya, maka akan didapatkan :

-w1 X1* + * f1 X1* = w2 X2* - * f2 X2*

* = (4-13)

Persamaan ini menunjukkan bahwa tidak hanya MC untuk tiap – tiap faktor input bernilai sama, tetapi juga akan sama jika kombinasi faktor – faktor input dirubah pada kondisi optimal.

Interpretasi di atas bahwa * adalah MC dilakukan secara logika. Secara matematik hal ini juga dapat dibuktikan. Pada tingkat minimum, biaya total dapat dituliskan :

C*(w1,w2,Y) = w1 X1*(w1,w2,Y) + w2 X2*(w1,w2,Y).

w2

w1

14Y ( )4/5

w1

w2Y (4 )4/5

w2

w1

14

14

w1

f1

w2

f2

YX2

w1

f1

biaya/Xi

Y/X1

biayaY

w1 X 1* + * f1 X1*w2 X 2* + * f2 X2*

Turunkan C* terhadap Y :

= w1 + w2 (4-14)

Dari (4-12) diketahui bahwa w1 = * f1 dan w2 = * f2 dan substitusikan ke (4-14) akan diperoleh :

= * f1 + * f2

adalah MC, maka persamaan di atas dapat ditulis :

MC = * (f1 + f2 ) (4-15)

Pada tingkat optimal, fungsi produksi Y = f(X1, X2) dapat dituliskan :

Y = f(X1*(w1,w2,Y),X2*(w1,w2,Y))

atau

Y – f(X1*(w1,w2,Y),X2*(w1,w2,Y)) = 0 (4-16)

Persamaan ini menggunakan simbol identiti (=) karena solusi optimalnya disubstitusikan ke fungsinya secara langsung. Turunkan persamaan ini terhadap Y :

1 – f1 - f2 = 0

f1 + f2 = 1

Substitusikan nilai ini ke persamaan (4-15), maka akan didapatkan :

MC = * (1)

atau

* = MC = (4-17)

Pendekatan secara matematik ini dapat dilakukan dengan lebih mudah menggunakan teorema amplop ( envelope theorem ) sebagai berikut :

= = *4.6. BIAYA MARJINAL

Biaya marjinal ( marginal cost ) dapat didefinisikan sebagai tingkat perubahan biaya total minimum terhadap perubahan output (Y). Dengan demikian, biaya marjinal

C*(w1, w2, Y)Y

X1*Y

X2*Y

C*(w1, w2, Y)Y

X1*Y

X2*Y

C*(w1, w2, Y)Y

X1*Y

X2*Y

X1*Y

X2*Y

X2*Y

X1*Y

C*Y

Y

C*Y

dapat dihitung sebagai turunan pertama fungsi biaya total minimum terhadap output sebagai berikut :s

MC = (4-18)

Umumnya kurva biaya marjinal digambar dengan output (Y) sebgai sumbu horisontal. Kurva biaya marjinal akan bergeser karena perubahan faktor harga.

Gambar 4.2. Kurva biaya marjinal bergeser karena perubahan harga.

4.7. BIAYA RATA – RATA

Biaya rata – rata dapat didefinisikan sebagai biaya total minimum dibagi dengan output sebagai berikut :

AC = = (w1 X1 * +…+ wn.Xn *)

= (w1.X1 * (w1,…,wn, Y)+…+wn.Xn * (w1,…wn, Y)) (4-19)

Biaya rata – rata (AC) mempunyai hubungan yang positip dengan harga faktor input wi. Turunkan persamaan (4-9) terhadap wi, sebagai berikut :

= ( X1 * + w1. +…+ wn ) (4-20)

Dari persamaan (4. ) bahwa w i = * fi, maka persamaan (4-20) dapat dituliskan :

= ( X1* + * f1. +…+wn )

C*(w1,…,wn, Y)Y

MC

Y

MC”

MC

MC’

C*(w1,…,wn, Y)Y

1Y

1Y

ACw1

1Y

X1*

w1

Xn*

w1

ACw1

1Y

X1*

w1

Xn*

w1

X1*

Y*

YX1

*

w1

Xn*

w1

ACw1

X1*

Y*

YX1

*

Y

ACwi

= + ( f1 +…+ fn ) (4-21)

Turunan fungsi produksi Y = f (X1*,…, Xn

*) terhadap w1 akan didapatkan hasil

f1 +…+ fn = 0. Substitusikan hasil ini ke persamaan (4-21) akan didapatkan :

= + (0)

= > 0

Dengan cara yang sama, fungsi biaya rata – rata dapat diturunkan terhadap w2,…, wn dan akan didapatkan : 3

= > 0 untuk I = 1, …, n (4-22)

Persamaan (4.22) menunjukkan bahwa untuk tingkat input (Xi) dan tingkat output (Y) positip, AC akan bergerak sesuai dengan perubahan harga faktor input secara linier, sehingga AC dapat dituliskan :

AC = .w1 +…+ .wn (4-23)

4.7. HUBUNGAN BIAYA MARJINAL DAN BIAYA RATA – RATA

Untuk mengetahui hubungan antara biaya marjinal dan biaya rata – rata, turunkan

AC* = terhadap Y sebagai berikut :

Y.( )-C*

= (4-24)

Nilai adalah MC* , sehingga persamaan di atas dapat dinyatakan :

___________________________

3 Hasil ini dapat juga diperoleh secara lebih mudah dengan menggunakan teorema

amplop ( envelope theorem ). Dari definisi biaya rata – rata AC = C*/Y, maka = . .

Misalnya untuk dua faktor input , fungsi Langrange untuk minimisasi biaya adalah :

= w1.X1 w2.X2 (Y – f (X1,X2)).

X1*

w1

Xn*

w1

Xi*

Y

Xi*

YXn

*

Y

C*(w1,…,wn, Y)Y

C*

YAC*

Y Y

C*

Y

ACw1

C*

Y1Y

Teorema amplop mengatakan :

= = X1*

sehingga = atau = untuk I = 1,…n.

= -

= -

Dengan mengatur kembali persamaan ini, didapat :

= +

dan

MC* = AC* + -Y (4-25)

Hubungan antara MC* dan AC* adalah sebagai berikut ini. Pada posisi AC*

minimum yaitu pada slope AC* yaitu bernilai 0, maka MC* = AC* + 0. Y atau

MC* = AC*. Ini berarti bahwa biaya marjinal sama besarnya dengan biaya rata – rata di posisi biaya rata – rata minimum. Fungsi biaya rata – raa merupakan fungsi cekung, sehingga slope fungsi ini di sebelah kiri biaya rata – rata minimum adalah menurun atau

< 0, sehingga nilai MC* bernilai lebih kecil dari AC*. Di sebelah kanan AC*

minimum, MC* bernilai lebih besar bernilai lebih besar dari AC*.

MC* < AC* MC* > AC*

Gambar 4.3. Hubungan antara MC* dan AC*.4.8. FUNGSI BIAYA JANGKA PANJANG

Dalam waktu jangka panjang, variabel – variabel faktor input yang menentukan biaya akan bervariasi. Misalnya kasus dua variabel faktor input K dan L untuk faktor input modal dan tenaga kerja. Variabel K dan L ini akan bervariasi tergantung dari

C*

w1

w1

ACw1

Xi*

YACw1

Xi*

YAC*

YY.MC*

Y2

C*

Y2

MC*

YAC*

Y

MC*

YAC*

YAC*

Y

AC*

Y

AC*

Y

AC*

Y

MC”

MC*

AC*

Y

AC*

MC*

jumlah output yang diproduksi. Untuk memproduksi Y1 akan dibutuhkan kombinasi (K1*,

L1*) dengan biaya total minimum C1

*. Untuk memproduksi Y2 akan dibutuhkan kombinasi (K2

*, L2*) dengan biaya total minimum C2

* dan seterusnya. Titik – titik kombinasi faktor –faktor input untuk biaya total minimum ini jika dihubungkan akan membentuk suatu garis yang disebut dengan jalur ekspansi jangka (long – run expansion path ).

Gambar 4.4. Jalur ekspansi jangka panjang dan fungsi biaya jangka panjang.

Fungsi biaya jangka panjang selanjutnya dapat dibentuk dari biaya – biaya minimum untuk memproduksi beragam tingkat output.

4.9. FUNGSI BIAYA JANGKA PANJANG

Dalam jangka pendek, beberapa faktor input sifatnya adalah tetap walaupun tingkat output diperbesar. Misalnya dalam jangka pendek, faktor input modal, K, sifatnya adalah tetap, yaitu sebesar K walaupun produksi ditingkatkan. Karena K adalah tetap, maka untuk memproduksi output yang berbeda, faktor input lain harus ada yang bervariasi. Misalnya hanya digunakan dua buah faktor input K dan L untuk memproduksi output Y. Dengan K yang tetap untuk memproduksi output sebesar Y1 dibutuhkan tenaga kerja sebesar L1. Jika output ditingkatkan menjadi Y2, sedang K masih tetap, maka tenaga kerja menjadi L2 dan untuk memproduksi Y3 dibutuhkan L3 dan seterusnya. Jika titik – titik kombinasi faktor input ini dibutuhkan akan didapatkan jalur ekpansi jangka pendek (Short – run expansion path). Gambar 4.5. menunjukkan jalur ekpansi jangka pendek ini.

K

Y3

K

Y2Y1

L1 L2 L3

Short – runExpansion path

Gambar 4.5. Jalur ekspansi jangka pendek

Biaya total jangka pendek sering kali di pisahkan menjadi biaya tetap dan biaya variabel. Untuk contoh diatas, W.L adalah biaya total variabel, karena nilainya bervariasi tergantung dari jumlah faktor input L yang digunakan, sedang r.K adalah biaya tetap. Demikian juga dengan biaya rata – rata jangka pendek dapat dipisahkan menjadi biaya rata – rata variabel dan biaya rata – rata tetap. Kurva biaya rata – rata terhadap output akan berbentuk huruf U ( U - shapped ).

Keterangan :

AC = biaya rata – rata ( Average Cost ).AVC = biaya variabel rata – rata ( Average Variabel Cost ).AFC = biaya tetap rata – rata ( Average Fixed Cost ).

Gambar 4.6. Biaya rata – rata, biaya dan biaya tetap jangka pendek.

4.10. HUBUNGAN ANTARA BIAYA JANGKA PENDEK DAN JANGKA PANJANG

Fungsi biaya total jangka panjang merupakan suatu amplop dari fungsi – fungsi biaya jangka pendek. Ini berarti bahwa fungsi biaya total jangka panjang membungkus fungsi – fungsi biaya total jangka pendek.

AVC

ACAVCAFC

Y

AFC

ACAVCAFC

Y

AC

ACAVCAFC

Y

Gambar 4.7. Fungsi biaya total jangka panjang membungkus fungsi biaya total jangka pendek.

Biaya total jangka panjang untuk semua kemungkinan akan lebih kecil atau sama dengan biaya total jangka pendek. Biaya total jangka panjang akan sama dengan biaya total jangka pendek pada saat faktor input tetap jangka pendek sama dengan minimum faktor input jangka panjang.

Gambar 4.8. Hubungan antara biaya total jangka panjang dan jangka pendek.

Fungsi biaya total jangka panjang tidak akan terletak di atas fungsi biaya jangka pendek (lihat Gambar 4.7). Fungsi biaya total jangka panjang akan menyinggung fungsi biaya jangka panjang, yang berarti bahwa kedua biaya total adalah sama. Di Gambar 4.7, biaya total jangka pendek sama besarnya dengan biaya total jangka panjang untuk tingkat produksi Y2. Di gambar 4.8. terlihat bahwa biaya total jangka panjang yang sama dengan

2

C

LRTC1

Y1 Y2 Y3

LRTC = Long – Run total Cost

SRTC1

SRTC2 = LRTC2

LRTC3

SRTC3

SRTC = Short – Run total Cost

Y

biaya total jangka pendek di tingkat produksi Y2 terjadi karena K* = K. Untuk tingkat output lainnya, misalnya Y1 dan Y3, biaya total jangka pendek lebih besar dari biaya total jangka panjang.

Biaya total jangka panjang tidak lebih besar dari biaya total jangka pendek karena kombinasi faktor input untuk biaya total jangka panjang lebih efisien daripada yang digunakan untuk biaya total jangka pendek. Di gambar 4.8 terlihat bahwa kombinasi faktor – faktor input untuk fungsi jangka panjang menyebabkan isocost ( garis penuh ) menyinggung isoquant. Untuk jangka pendek, isocost ( garis putus – putus )tidak menyinggung isoquant, sehingga besarnya isocost jangka pendek ini akan lebih besar daripada isocost jangka panjang.

Fungsi biaya total jangka panjang merupakan amplop dari fungsi biaya total jangka pndek. Hal ini juga berlaku untuk fungsi biaya rata – rata, yaitu fungsi biaya rata – rata jangka panjang merupakan amplop dari fungsi biaya rata – rata jangka pendek.

Keterangan :

AC = biaya rata – rata ( Average Cost ).SAC = biaya variabel rata – rata ( Short term Average Cost ).LAC = biaya tetap rata – rata ( Long – term Average Cost ).

Gambar 4.9. Fungsi biaya rata – rata jangka panjang merupakan amplop fungsi biaya rata – rata jangka pendek.

4.11. PROPERTI DARI FUNGSI BIAYA

Fungsi biaya mempunyai beberapa properti sebagai berikut ini.

1. Meningkatkan searah dengan Y. Jika Y meningkatkan, maka C juga meningkatkan

AC

SAC

LAC

Y

atau > 0. Ini berarti bahwa MC ( Marginal Cost ) adalah positip.

2. Tidak menurun terhadap harga input. Jika harga baru dari input ( w’ ) sama atau meningkat dari harga atau input sebelumnya (w), maka biaya total baru tidak akan menurun. Jika w’ w maka C(w’,Y)C(w,Y).

3. Mempunyai homogenitas derajad 1 terhadap w. Jika harga faktor input (w) meningkat sebesar t kali, maka biaya total juga akan meningkat sebesar t kali. Biaya total C*(w1,…,wn, Y)=w1 X1

* +…+wn.Xn*. Jika harga input dikalikan dengan t :

C* (tw1,…,twn, Y)=tw1.X1*(tw1,…twn, Y)

+…+ twn.Xn* (tw1,…,twn, Y)

Karena faktor input X1* mempunyai properti derajad homogeritas 0 terhadap wi (lihat

bab 4.12), maka Xi*(twi,Y)=Xi

*(wi,Y) untuk I = 1 sampai dengan n, sehingga :

C* (tw1,…,twn, Y)=tw1.X1*(tw1,…twn, Y)

+…+ twn.Xn* (tw1,…,twn, Y)

=t[w1.X1*(w1,…wn, Y)+…+ wn.Xn

*(w1,…wn,Y)]

=t C*(w1,…, wn, Y)

Secara umum, untuk n faktor input, properti ini dapat ditulis :

C*( w, Y)= C*(w,Y)

4. Berbentuk cembung terhadap w.Pertimbangkan suatu fungsi biaya C = w1 X1 + w2 X2. Misalnya grafik fungsi biaya ini digambarkan dengan sebuah harga input yang bervariasi, yaitu w1 dan harga input lainnya konstan, yaitu w2, maka w2.X2 adalah intercept dari kurvanya dan slopenya adalah sebesar X1. Fungsi ini disebut dengan fungsi biaya pasif.

CY

Gambar 4.10. Fungsi cembung dari fungsi biaya.

Sekarang pertimbangkan lagi C* = w1.X1* + w2.X2

*. Karena fungsi ini merupakan fungsi biaya minimum, maka fungsi tidak akan berada di atas fungsi biaya pasif. Karena fungsi biaya pasif adalah garis lurus, dan C*(w1,w2,Y) tidak mungkin terletak di atasnya dan keduanya bersinggungan di titik w1

*, maka fungsi C*(w1,w2,Y) berbentuk cembung terhadap w1.

4.12. PROPERTI DARI FUNGSI PERMINTAAN FAKTOR INPUT

Fungsi permintaan faktor input mempunyai properti sebagai berikut ini :

1. Meningkat searah dengan Y. Jika Y meningkat maka Xi juga meningkat.2. Mempunyai derajad homogenitas 0 terhadap w. Misalnya harga – harga faktor input

dikalikan dengan nilai t, maka masalah minimisasi biaya menjadi :

Minimumkan : tw1 .X1 + tw2 .X2

Kekangan :f(X1,X2)=Y

Fungsi Lagrange adalah sebagai berikut :

= tw1 .X1 + tw2 .X2 + (Y – f(X1,X2))

1 = tw1 - f1 = 0 (4-26a)

2 = tw2 - f2 = 0 (4-26b) = Y - f(X1,X2) = 0 (4-26c)

membagi (4-26a dengan (4-26b) didapat :

= =

Dengan demikian solusi minimisasi biaya untuk X1*(w1,w2,Y) akan sama dengan solusi

untuk X1*(tw1,tw2,Y) atau dengan kata lain fungsi permintaan faktor input mempunyai

derajad homogenitas terhadap faktor harga.

Cara lain untuk menentukan derajad homogenitas dapat dilakukan dengan Euler’s theorem :

.w1 + .w2 = t.Xi*(w1,w2,Y) untuk i = 1,2.

Misalnya adalah minimisasi biaya di contoh 3.1 sebelumnya didapatkan hasil :

X1* = Y( )

X1* = Y(4 )

Turunan pertama X1* terhadap wi adalah :

= - Y( w2 .w1

- )

= Y( w2- - w1

- )

Dengan teorema Euler :

.w1+ .w2 =

Y( w2 .w1 ).w1 + Y( w2 .w1 )w2

= - Y( w2 w1 )+ Y( w2 w1 )

= 0

Hasil ini menunjukkan bahwa X1* adalah homogen dengan derajad O terhadap w1 dan w2.

Untuk X2* dapat dilakukan dengan cara yang sama sebagai berikut :

= .Y(4w1 w2 )

= - Y(4w1 .w2 )

Dengan teorema Euler :

w2

w1

w1

w2

tw1

tw2

f1

f2

Xi*

w1

Xi*

w2

14

45

w1

w2

45

X1*

w145

14

45

95

X1*

w2

45

14

25

45

X1*

w1

X1*

w2

45

14

25

95 4

514

15

15

45

14

45

45 4

514

45

45

X2*

w115

45

15

X2*

w215

45

65

X2*

w1

X2*

w2

.w1+ .w2

= Y( 4 w1 .w2 ).w1 - Y( 4.w1 .w2 )w2

= Y( 4 w1 .w2 )- Y( 4 w1 .w2 )

= 0

Hasil ini juga menunjukkan bahwa X2* adalah homogen dengan derajad O terhadap w1

dan w2.

15

15

65

15

15

15 1

5

15

15

15

45 1

5